[Archiv!] Reine Mathematik, Physik, Chemie usw.: Gehirntrainingsprobleme, die in keiner Weise mit dem Handel zusammenhängen - Seite 476
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Für diejenigen, die gerne Probleme lösen:
Ein Verkehrspolizist, der Strafzettel für Geschwindigkeitsübertretungen kassiert, wiegt 11 kg pro Jahr..,
und ein Verkehrspolizist, der Bußgelder für falsches Abbiegen kassiert - nur 6,5 kg.
1. Berechnen Sie das jährliche Gesamtgewicht der Verkehrspolizisten in einer 15-köpfigen Einheit,
wenn 7 von ihnen wegen Geschwindigkeitsübertretungen angeklagt werden
und 8 für das Wenden an einer falschen Stelle.
Zeichnen Sie die Kurve der Gewichtszunahme als Diagramm. )))
2. Wie lange wird es dauern, bis die Verkehrspolizisten 1 und 2 verhungert sind, wenn die Autofahrer nicht mehr gegen die Vorschriften verstoßen?
Осталось доказать, что расстановка символов в закольцованной ленте 00111 - единственная. Ну например, ни при каких сдвигах и ни при каких поворотах нам не встречается последовательность - 01011
Es gibt nur drei mögliche Kombinationen für ein geschlungenes Band: 1) 00111, 2) 01011 und 3) 11010. Das dritte und das zweite Band sind gespiegelt, so dass sie zu einem zusammengefasst werden können, indem man die Regel formuliert: In einem echten Schleifenband müssen zwei Nullen an benachbarten Stellen stehen. Die anderen drei werden von drei untergeordneten Einheiten besetzt.
Nehmen wir an, dass in einem Schleifenband eine einzelne Null zwischen dem Paar 11 und 1 zulässig ist. Es ist zum Beispiel die Kombination 01011.
Es liegt auf der Hand, dass zur Erstellung einer korrekten Matrix die ursprüngliche oberste Zeile zyklisch Position für Position verschoben werden muss. Es ist nicht schwer, an diesen Punkt zu gelangen. Wenn es keine solche zyklische Positionsverschiebung gibt, entsteht ein ungeordnetes (sprich: unkontrollierbares) Chaos. Erstellen wir genau die gleiche Matrix mit einer Verschiebung, die wir aus Zeile 01011 erhalten. Wenn sie zu einem Widerspruch in der Problembedingung führt, dann muss unsere Regel "In einem echten Schleifenband müssen zwei Nullen an benachbarten Stellen stehen. Die anderen drei werden von drei untergeordneten besetzt" ist die einzig richtige. Konstruieren wir eine Matrix
0 1 0 1 1
1 0 1 0 1
1 1 0 1 0
0 1 1 0 1
1 0 1 1 0
Die Matrix steht nicht im Widerspruch zu den Bedingungen des Problems. Das bedeutet, dass wir weitere 100 Kombinationen haben, um die Karno-Karte zu bauen, und dass unsere Regel nicht zutrifft. Wir haben insgesamt 200 Möglichkeiten.
Ein lustiges Problem über die Anordnung der Einheiten in einer Matrix. Nun, irgendwo müssen wir ja anfangen. Der Versuch, mindestens eine solche Matrix zu finden, führt zu diesem Ergebnis:
1 0 0 1 1
1 1 0 0 1
1 1 1 0 0
0 1 1 1 0
0 0 1 1 1
Vergleicht man die erste obere horizontale Reihe mit der zweiten, kommt man zu dem Schluss, dass die zweite Reihe nichts anderes ist als die um eine Position nach rechts verschobene erste. Das Zeichen ganz rechts (das letzte in der Reihe) verschwindet aus der Matrix und wir setzen es einfach an die erste Stelle, an den freien Platz des ersten Zeichens. Vergleicht man alle nachfolgenden Zeilen mit den vorhergehenden, so kommt man zu demselben Ergebnis: Jede nachfolgende Zeile ist die vorherige, um eine Position nach rechts verschoben. Für die Spalten gilt dasselbe, nur vertikal verschoben. Jede Zeile ist also ein Schleifenband und jede Spalte ist ein Schleifenband. Es stellt sich heraus, dass es sich nicht nur um eine Matrix, sondern um eine Karno-Karte handelt. Das Problem ist also nicht, wie viele Möglichkeiten man hat, eine solche Matrix zu erstellen, sondern wie viele Möglichkeiten man hat, solche Karno-Karten zu erstellen.
Offen gesagt, scheint mir, dass das Band eine einzige Symbolfolge hat, nämlich 00111, wobei die erste Null und die letzte Eins zwei benachbarte Symbole des Schleifenbandes sind. Wenn diese Annahme (über die Einzigartigkeit der Folge) richtig ist, ist die Anzahl der Kombinationen nicht schwer zu berechnen.
Es ist klar, dass, wenn das obere Band horizontal verschoben wird, alle anderen horizontalen Bänder in die gleiche Richtung und um die gleiche Anzahl von Positionen verschoben werden sollten. Wir haben also 5 vertikale und 5 horizontale Verschiebungen des gesamten Kartenfeldes. Für jede vertikale Verschiebung gibt es 5 horizontale Verschiebungen. Die Gesamtzahl ist 5*5, aber wir können die Box drehen. Streichen wir die oberste Zeile blau. Wie viele Positionen wird das Quadrat haben? Blau oben, blau rechts, blau unten, blau links. Insgesamt gibt es 4 Stellen. Wir haben also 5*5*4 = 100 Möglichkeiten, die gegebene Karno-Karte zu bauen.
Es bleibt zu beweisen, dass die Anordnung der Symbole im Schleifenband 00111 die einzige ist. Zum Beispiel, bei keiner Verschiebung und keiner Drehung treffen wir auf die Sequenz - 01011
Sie haben eine der Varianten zum Ausfüllen der Matrix. Nun können Sie beliebige Spalten vertauschen, und das Ergebnis wird ebenfalls die Bedingungen des Problems erfüllen. Sie können auch beliebige Zeilen vertauschen. Hier haben wir es also:
<Anzahl der Spalten-Permutationen> * <Anzahl der Zeilen-Permutationen
Sie haben eine der Möglichkeiten zum Ausfüllen der Matrix erhalten. Nun können Sie beliebige Spalten vertauschen, und das Ergebnis erfüllt ebenfalls die Bedingungen des Problems. Sie können auch beliebige Zeilen vertauschen. Wir haben also:
<Anzahl der Spalten-Permutationen> * <Anzahl der Zeilen-Permutationen>
Nein - sehen Sie genauer hin - ich habe noch 4 weitere Matrixquadrat-Drehpositionen gekoppelt. Insgesamt <Anzahl der Spalten-Permutationen> * <Anzahl der Zeilen-Permutationen> * <Anzahl der Matrix-Quadrat-Drehungen
Außerdem habe ich die zweite mögliche Anordnung von Symbolen im Schleifenband gefunden. Gesamtzahl der Kombinationen = <Anzahl der Spalten-Permutationen> * <Anzahl der Zeilen-Permutationen> * <Anzahl der Drehungen der Matrixquadrate> * <2> = 200
drknn:
Es bleibt zu beweisen, dass die Anordnung der Zeichen im Schleifenband 00111 die einzige ist. Zum Beispiel begegnet uns bei keinen Verschiebungen und keinen Drehungen die Sequenz - 01011
Sie können es nicht beweisen. Es gibt noch viele weitere Möglichkeiten. Zum Beispiel erzeugt die Permutation beliebiger Spalten oder Zeilen einer "richtigen" Matrix eine richtige Matrix.
Ein Beispiel, das mir spontan einfällt:
zy: ))
PapaYozh ist der Zeit voraus.
Sie können es nicht beweisen. Es gibt noch viele weitere Möglichkeiten. Wenn man zum Beispiel beliebige Spalten oder Zeilen einer "richtigen" Matrix umordnet, entsteht eine richtige Matrix.
Ein Beispiel, das mir spontan einfällt:
zy: ))
PapaYozh ist der Zeit voraus.
Sie haben die These "Man kann es nicht beweisen" mit Ihrem eigenen Beispiel widerlegt. Schauen Sie sich Ihre Matrix an - machen Sie eine horizontale Schleife - Sie werden immer 111 und 00 in einer Reihe haben. Das Gleiche gilt, wenn Sie die Schleife vertikal ausführen. Damit bleibt Ihnen nur noch die Möglichkeit, das Band zu bauen, indem Sie eine Null zwischen 11 und 1 setzen