在此视频中，演讲者总结了之前线性代数课程的亮点，包括特征值、行列式和主元，所有这些都提供了正定矩阵的检验。演讲者随后解释了正定矩阵和不定矩阵之间的关系、它们与特征值和行列式的联系，以及如何计算矩阵向量 X 中的能量。演讲者还讨论了深度学习、神经网络、机器学习和最小化能量的概念。他们触及了凸函数的概念，并解释了如何将其用于深度学习。最后，演讲者介绍了正定和半定矩阵的练习，并简要提到了即将到来的奇异值分解主题。
00:30:00 在本节中，演讲者介绍了正定矩阵和半定矩阵的练习。说话者举了一个正定矩阵S和一个正定矩阵T的例子，问他们的加法S+T是否是正定的。演讲者用能量测试来回答这个问题，把方程分成两部分来证明它确实是正定的。演讲者还使用第一个测试讨论了 sin 倒数的积极性。演讲者指出矩阵必须是对称的才能具有实数特征值并且可以接受进一步的质疑。
该视频解释了奇异值分解 (SVD) 的概念，它用于将一个矩阵分解为三个矩阵，其中中间一个是对角线并包含奇异值。 SVD 有助于理解 A、Sigma 和 V 之间的关系，最终有助于求解方程。该视频讨论了正交向量、特征向量和特征值在 SVD 中的重要性，并强调了 A 和 V 矩阵的正交性。该视频还解释了 SVD 过程的图形表示和矩阵的极点分解。最后，视频讨论了使用 SVD 提取大数据矩阵最重要部分的过程。
00:00:00 在本节中，讲师讨论了类似于特征值但适用于矩形矩阵的奇异值分解 (SVD) 的概念。特征值对于矩形矩阵不可行，因为特征向量要么是复数要么不是正交的。 SVD 引入两组奇异向量和奇异值，分别代替特征向量和特征值。 SVD 的关键在于转置 a 是一个大矩阵，它是正方形的，表示矩形矩阵的乘积。执行 SVD 的第一步是证明任何矩阵都可以分解为 u 乘以 sigma 乘以 V 转置。
00:05:00 在本节中，演讲者讨论了矩阵 A 转置 A 的因式分解，并介绍了特征向量和特征值的概念。该矩阵具有正定特征值，用于计算它们的平方根。该矩阵的特征向量是正方形的、对称的和正定的。结果矩阵具有相同的特征值但不同的特征向量。演讲者接着谈到 A 的因式分解，我们正在寻找一组正交向量 V，可以将其与 A 相乘以获得一组正交向量 U。这些向量将用于计算奇异值分解 (SVD) ). SVD 的目标是将 A 分解为三个矩阵，其中中间一个是对角矩阵，包含 A 的奇异值。
00:10:00 在本节中，输出空间中 V 的正交性质的概念在线性代数的大图中进行了探讨，其中空间分为列空间、零空间等。结果表明，当 V 乘以 a 时，得到的用途也是正交的，从而使 V 变得特殊。给出了方程的矩阵形式，并表明通过查看转置 a，可以简化寻找正交和正交用途的问题。得出的结论是转置 a 是对称的、正定的并且具有对角线形式，这告诉我们 V 的性质。
00:15:00 在本节中，演讲者讨论了奇异值分解 (SVD) 的概念。 SVD 中的 V 是 A 转置的特征向量。Sigma 转置 Sigma 是 A 转置 A 的特征值。SVD 是通过理解双或三特征值的特征向量的最后一步建立的。 SVD 有助于理解 A、Sigma 和 V 之间的关系，这最终将有助于求解诸如 A 乘以 A 转置乘以 X 等于 B 等方程。
00:25:00 在本节中，演讲者讨论了奇异值分解 (SVD) 中 A 和 V 矩阵的正交性及其与特征向量的关系。 A 和 V 矩阵显示为分别在列空间和行空间中彼此正交。演讲者随后讨论了数据矩阵中这种关系的发现历史和重要性。演讲者告诫不要使用 A 转置 A 来计算 SVD，因为它可能计算量大且容易出现舍入误差。最后，演讲者使用图表解释了如何将 SVD 因子视为一系列旋转和拉伸。
00:30:00 在本节中，通过过程的图形表示来解释奇异值分解 (SVD) 的概念。该视频演示了正交矩阵如何旋转单位向量，以及 Sigma 如何拉伸它们，从而产生椭圆。最后，应用正交矩阵 U 来旋转椭圆。如果矩阵是正定对称的，那么U和V是一样的，原来给定作为输入的S和A输出是一样的。该视频还解释了如何计算因式分解中的参数。
在此 YouTube 视频中，讲师解释了主成分分析 (PCA) 的概念，它用于理解数据矩阵并从中提取有意义的信息。突出显示了包含最关键信息的矩阵的最大 k 个奇异值的重要性，以及 Eckart-Young 定理，该定理指出奇异值分解的前 k 个部分提供对秩 k 矩阵的最佳近似, 介绍。演讲者还讨论了向量和矩阵的不同类型范数，包括 l2、l1 和无穷范数。强调了 Frobenius 范数在 Netflix 竞赛和 MRI 扫描中的重要性，以及最接近 A 的秩 k 矩阵的概念。演讲者还讨论了使用正交矩阵来保留原始矩阵的属性并介绍了该概念奇异值分解 (SVD) 及其与 PCA 的关系。最后，讨论了求解涉及矩形矩阵 A 及其转置的线性方程组的重要性，以及使用 SVD 方法寻找给定数据集的最佳年龄与身高比的方法。
00:00:00 在本节中，讲师解释了主成分分析 (PCA) 的概念，这是一种用于理解数据矩阵的工具。他强调了从数据中提取有意义的信息而不是全部复制的重要性。他解释说，矩阵的最大 k 个奇异值包含最重要的事实，并且 K 是秩 K 矩阵的最佳近似值。介绍了 Eckert-Young 定理，该定理指出使用奇异值分解的前 K 个部分是对秩 K 矩阵的最佳近似，讲师解释了矩阵范数的不同度量。
00:10:00 在本节中，演讲者解释了三个重要的矩阵范数。首先是二次范数，类似于一个向量的长度，满足三角不等式。第二个是 Frobenius 范数，它将矩阵的条目视为长向量，并取其平方和的平方根。第三个是核范数，它是矩阵奇异值的总和。这些范数很重要，因为它们都满足 Eckart-Young 陈述，即可以从矩阵的前 K 个奇异值中找到最接近矩阵的秩 K 近似值。
00:20:00 在本节中，演讲者讨论了最接近 A 的秩 k 矩阵的概念。这涉及通过填充 MRI 在看起来不够长的位置看到的内容来完成矩阵，使用核规范。给出的示例是四阶矩阵，为了找到二阶矩阵的最佳近似值，说话者选择 4 和 3 作为两个最大值。任何其他矩阵 B 都会比所选矩阵更远离 A，尽管它并不明显，因为它取决于范数。定理的要点是要找到最接近A的秩k矩阵并不容易，需要证明。
00:40:00 在本节中，演讲者讨论了求解涉及矩形矩阵 A 及其转置的线性方程组的重要性。虽然这是 1806 年的一个基本应用，但演讲者指出，这与统计学家长期以来应用的主成分分析 (PCA) 不同。他指出，涉及均值和方差的协方差矩阵或样本协方差矩阵在此类统计应用中起着巨大的作用。特别地，样本协方差矩阵是从样本中计算出来的，并通过数据点的数量进行归一化，它恰好是一个训练 aa 转置。
00:05:00 在本节中，讨论了向量和矩阵范数的概念。讲师介绍了压缩感知和信号处理领域不可或缺的不同类型的范数，例如 L1 范数和最大范数。他解释说，P 范数等于 P 次幂到 P 次幂，在这里取 P 次幂和 P 根将产生两个 V 的范数，与 V 的范数相比具有两倍的因数。此外，零引入了范数，其非零分量的数量给出了矩阵和向量稀疏性的度量。但是，它不是范数，因为它违反了相同数量的非零分量具有相同范数的规则，并且讨论了存在适当范数的介于1和无穷大之间的数学论文。
00:10:00 在本节中，讲师讨论向量和矩阵的范数。范数的单位球是一个圆，方程 v1 的平方加上 v2 的平方等于 1。 l1范数的单位球是正象限中v1加v2等于1的直线图的菱形。最大范数的单位球也用点零、+/- 1 和 +/- i 等于最大值绘制，其余边界需要一点思考才能弄清楚。随着数字 p 的变化，范数从菱形开始，在 p 等于 2 时膨胀为圆形，在 p 等于无穷大时变成正方形。最后，不包括 0 范数，只有一个非零的点在轴上。
00:15:00 在本节中，讲师讨论了不同类型的范数，例如 L1 或曼哈顿范数、L2 或欧几里得范数，以及 s 范数（正定对称矩阵的范数）。讲师指出三角不等式在范数中的重要性，它在某些情况下会被打破，例如当使用 p 小于 1 的 Lp 范数时。此外，s-范数被证明具有满足凸性的特定形状，而某些违反范数规则的范数则不具备这种形状。
00:20:00 在本节中，讲师讨论了可应用于向量和矩阵的不同类型的范数。当矩阵 S 为单位矩阵时使用 L2 范数，但使用不同的矩阵 S 会改变范数的形状。典型情况是 S 等于 3，这会创建一个用椭圆表示的加权范数。所有向量范数都是 L2 范数的变体，具有不同的 P 值。讲师还简要提到了基追踪问题和岭回归及其各自的 L1 和 L2 范数。
00:30:00 在本节中，演讲者讨论了 L1 范数获胜者，以及如何进一步提高这条线是不可取的，因为它增加了第二部分的非零值。他们还介绍了矩阵的二范数的概念，以及它如何通过放大因子与向量的二范数相关联，放大因子是 AX 的两个范数与 X 的两个范数的最大比率。矩阵范数被定义为所有 X 的最大放大因子。
00:20:00 在本节中，引入了 Sigma plus 的概念，即 Sigma 的伪逆，作为无法逆的矩形矩阵的解决方案。伪逆用于求解最小二乘问题，其中方程 ax 等于 B，但 a 不可逆。当测量值或噪声过多时，就会出现此问题。 Sigma plus矩阵用于得到列空间中的向量，而正交空间中的向量被认为是无解的。解决最小二乘问题的第一种方法是使用 Sigma 加矩阵给出解决方案。
00:25:00 在本节中，演讲者讨论了使用线性方程组将直线拟合到噪声测量的最小二乘问题。他们解释说，如果测量值位于一条直线上，那么线性系统就有一个解，但一般来说，它没有。然后他们介绍了使用 L2 范数平方最小化 ax + b 与实际测量值之间的距离的想法。该技术由高斯提出，用于在表示最接近测量值的直线的方程 Cx + D 中找到 C 和 D 的最佳值。
00:30:00 在本节中，演讲者解释了最小二乘法的概念以及它如何用于解决线性回归和统计中无法解决的问题。按照高斯的建议，通过最小化二次损失函数，生成一个线性方程组，最终给出最佳答案。最好的 X 是通过求解方程 a 转置 a 乘以 X 等于转置 B 找到的，这导致最小值。讲者接着画图解释A的列空间的概念，B为什么不在列空间，以及平方和正规方程如何得出最好的AX。
在本次数值线性代数讲座中，讨论了求解 Ax=b 形式的线性方程的困难。当矩阵 A 几乎是奇异的，使其逆过大时，以及当问题太大且无法在可行时间内解决的巨型矩阵时，就会出现这些困难。讲师概述了解决该问题的几种可能性，从简单的正常情况到极其困难的欠定方程情况。讨论了随机线性代数、迭代方法和 SVD 的使用，以及找到适用于测试数据的解决方案的重要性，尤其是深度学习。此外，讲师强调 SVD 仍然是诊断任何矩阵问题的最佳工具。
00:00:00 在本节中，讲师讨论了在尝试求解方程 Ax = B 时可能出现的困难。他指出，问题可能以各种规模和等级出现，并且可能接近奇异或不接近奇异。他概述了解决该问题的几种可能性，从具有合理条件数的方阵的简单正常情况到欠定方程的极其困难的情况。在后一种情况下，讲师指出该问题在深度学习中很常见，并且可能存在多种解决方案。
00:05:00 在本节中，讲师讨论了 Ax = b 的难题以及如何解决这些问题。这些问题通常出现在矩阵的列几乎相互依赖时，这使得接受给定矩阵的列 a1、a2 到 an 成为问题。对此的解决方案是使用 Gram-Schmidt 并通过正交化来固定列，从而在该列空间中找到标准正交列向量。讲师将 Gram-Schmidt 讨论留到下一课，但预示了列旋转的重要性，它允许对列进行重新排序，这个概念也适用于消除法。
00:10:00 在本节中，讲师讨论了求解 Ax=b 形式的线性方程的困难，包括矩阵可能接近奇异的可能性，使其逆矩阵过大。讲师还谈到了逆向问题，这些问题通常是您知道系统输出但必须确定网络结构或输入的问题。这些问题通常会给出几乎奇异的矩阵，如果不添加惩罚项来最小化问题，就很难准确求解系统。还提到了 Leu 和 QR 世界、行交换和 Gram-Schmidt 正交化。
00:15:00 在本节中，我们将了解使用 Ax=b 方法求解线性方程的一些困难。一个这样的困难是当矩阵 A 的条件很差时，导致向量接近零和转置 a 的巨大逆。为了解决这个问题，我们需要对 A 进行惩罚，这使得它的条件更好，但也将问题转移到决定对它进行多少惩罚。另一种方法是迭代方法，如共轭梯度法，我们一步步接近准确答案，直到足够接近为止。当问题太大且无法在可行时间内解决的巨型矩阵时，使用随机线性代数对矩阵的列和行进行采样以从样本中提供答案。
00:30:00 在本节中，演讲者解释了标准 Gram-Schmidt 过程的改进，用于对矩阵 A 的列进行正交归一化。改进涉及考虑 A 中的所有剩余列，而不是仅考虑 A 中的下一列，当正交化每个新列。演讲者争辩说，这并不比标准方法做更多的工作，因为无论如何都可以更快地计算出所有需要的减法。改进依赖于选择最大的剩余列，类似于选择高斯消元中的最大枢轴。
在本视频中，介绍了用于计算特征值和奇异值的 QR 方法。该过程涉及从所需矩阵开始并将其分解为 QR，创建一个上三角矩阵 R，该矩阵将非正交基与正交基连接起来。迭代该过程，直到对角线项变小，此时它们可用于近似特征值。演讲者还讨论了一种用于计算特征向量以加速该过程的移位方法。还强调了使用 MATLAB 处理对称矩阵的好处。该视频还涉及用于解决大型矩阵的特征值问题的 Krylov 向量的概念。
00:00:00 在本节中，教授介绍了用于计算矩阵的特征值和奇异值的QR方法。 QR 方法涉及从一个矩阵开始，其特征值是期望的，并将其分解为 QR。通过将矩阵的列正交化并创建连接非正交基与正交基（上三角矩阵）的矩阵 R，将矩阵的列转换为正交基。接下来，该方法涉及颠倒顺序并再次执行相同的操作以生成下一个矩阵。教授声称变换前后特征值相同，矩阵相似，这对计算矩阵的奇异值很有用。
00:05:00 在本节中，教授解释了使用 QR 分解计算特征值的过程。该过程涉及多次迭代 QR 因式分解，直到所得矩阵的对角线项变得非常小。此时，对角线元素接近于原始矩阵的实际特征值，可以用来逼近它们。这位教授还强调了该方法的快速收敛性，非对角线项会立方并迅速趋近于零，从而使该方法极其准确。
00:10:00 在本节中，视频讨论了计算特征向量算法的改进，其中涉及引入偏移。他们不采用矩阵 A，而是采用矩阵 A - siI，其中 si 是单位矩阵的某个倍数。这会将矩阵 A 的所有特征值移动 si。然后他们使用这个移位矩阵，执行 Gram-Schmidt 过程，并反转顺序以获得尽可能接近 A 的矩阵。最后，他们撤消移位以获得新矩阵 A1。希望 A1 仍然与 A 相似，但计算时间更快。
00:15:00 在本节中，教授讨论了用于计算矩阵特征值的 QR 方法。他演示了一个不完整的示例，其中他使用 QR 方法显示矩阵的下三角部分开始消失，并且特征值开始在对角线上弹出。然后教授讨论了如何利用原始矩阵中的任何零点来提高 QR 方法的效率。如果存在带零的额外对角线，则可以通过跳过 QR 因式分解过程中的某些步骤来加快该方法。
00:20:00 在本节中，演讲者讨论如何计算特征值和奇异值。不可能获得所有特征值，因为不可能使整个下三角部分等于零，这会给我们特征值。这是因为特征值求解一个n次方程，几个世纪以前，已经证明不可能通过简单的步骤求解一个瞬时方程。此外，没有简单的公式可以找到 lambda 或奇异值。然而，通过继续使用 QR 方法并将矩阵简化为具有一个三角形加一个对角线但有很多零的 Hessenberg 形式，我们可以尽可能地接近。 MATLAB 和其他矩阵系统使用 la pack 和 Linpack 来计算这些值。
00:25:00 在视频的这一部分，演讲者讨论了使用 MATLAB 的好处，并对对称矩阵的特征进行了深入分析。他解释说，如果一个矩阵是对称的，那么可以安全地预测它在主对角线上方只有一个对角线，使其成为三对角矩阵。这显着减少了进行 QR 计算的时间，因为它只需要处理 2n 个数字而不是 N^2。演讲者还简要介绍了奇异值，指出它们是转置矩阵的特征值，但警告不要使用行列式计算它们，因为它速度慢、病态并导致信息丢失。
本视频讲座讨论了随机矩阵乘法的概念，它涉及对矩阵 A 的列和矩阵 B 的相应行进行采样，概率加起来为 1。可以计算随机样本的均值以获得正确答案，但仍然会存在方差。讲座继续讨论均值和方差的概念，以及如何选择最小化方差的最佳概率。该过程涉及引入一个名为 Lambda 的未知变量，并对其求导以找到最佳 PJ。然后焦点转移到在查看矩阵中的哪些列更大或更小时如何加权概率的问题。讲师提出了两种可能性：根据范数平方加权概率或混合矩阵的列并使用相等的概率。总的来说，视频详细解释了随机矩阵乘法和优化概率以获得最小方差的过程。
00:00:00 在视频的这一部分，演讲者解释了随机矩阵乘法的概念，这是一个属于随机线性代数的概念。该方法通过对矩阵 A 的列和矩阵 B 的相应行进行采样来用于大型矩阵，但不是全部。相反，不同的片段被随机抽样，概率加起来为 1。通过计算随机样本的均值，可以得到正确答案，但仍然会存在方差。然后的目标是选择最小化方差的最佳概率。讲座继续讨论均值和方差的概念，并通过示例进行练习。
00:15:00 在本节中，演讲者讨论了方差的计算，并介绍了一个新的方差公式，该公式使用概率和与均方的距离。演讲者还提出了线性代数中随机抽样的概念，以及当 B 远大于 A 时调整概率如何有助于降低方差。最佳概率来自 B 除以 A 的大小的平方，演讲者计划将来进一步讨论这个问题。最后，演讲者提到了第二个方差公式，它涉及概率和与输出平方的距离。
00:25:00 在本节中，讲师解释了如何重新调整概率以使它们加起来为 1。然后他讨论了他的计划，即以特定概率选择行列和列行 J，以及他将如何将它们相乘。他的近似值，即近似 aB，将是 S 个样本上所有这些样本的总和。讲师还提到计划是选择 PJ 以最小化总方差并且均值是正确的。
00:30:00 在本节中，讲师解释了如何在随机矩阵乘法中计算样本的方差。所有样本之和的均值是通过一个样本的均值乘以样本数来计算的，这就引出了计算方差的难点。方差计算将取决于选择的 P1 到 PR 的概率取决于大小。每个样本肯定是错的，因为它是rank one，所以在计算方差的时候，我们肯定不会得到零。样本的方差是 AJ AJ 转置概率平方的总和。从该计算中减去均方以获得完整的方差。
00:35:00 在本节中，演讲者插入 PJ 的值并将分母简化为 JP j bj 范数的 JPG 之和。通过将第一个幂相加得到 C，说话者得到方差的表达式。取s个样本合并后，方差是一个固定的数，就是他们希望变小的C。说话者想通过根据 a 的长度乘以 B 的长度来选择概率权重来表明这是最佳选择。
00:40:00 在本节中，演讲者讨论了优化矩阵 A 的行或列和矩阵 B 的行的概率 P1 到 PR 的最后一步，受制于它们总和为 1 的约束。目标是通过选择最优的 PJs 来最小化方差表达式。演讲者引入了拉格朗日思想，通过引入一个未知数（通常称为 lambda）来将约束构建到函数中，以找到最佳 PJ。本节总结了随机抽样的讨论并引出了最后一个子问题。
00:45:00 在这一节中，讲师讨论了拉格朗日在概率相加条件下优化概率的概念。该过程涉及将方程式构建到函数中，并对未知变量 lambda 求导。将导数设置为零并求解后，您将得到最终的推荐答案，可以通过对 P 求导来验证该答案。讲师还解释说拉格朗日乘数是使方程等于 1 的正确数字。
该视频讨论了低阶矩阵的概念及其在函数矩阵中的重要性，特别是矩阵求逆公式，该公式根据更简单的 1 乘 1 矩阵求出 N 乘 n 矩阵的逆。该公式可用于查找具有低秩扰动的矩阵的逆，并且可以简化查找逆的过程。演讲者通过展示第二个矩阵的公式来展示该公式的工作原理，并展示如何应用相同的逻辑得出答案。该视频还讨论了该公式的实际应用，特别是在最小二乘问题和卡尔曼滤波器中的应用。
00:00:00 在本节中，教授讨论了低阶矩阵的概念及其在函数矩阵中的重要性。重点话题是一个著名的公式，称为矩阵求逆公式，也称为 A 及其逆的低秩变化。该公式根据更简单的 1 乘 1 矩阵使用 UV 转置并将其除以 1 减去 V 乘以 U 的转置来求 N 乘 n 矩阵的逆。该公式可用于求具有低矩阵的逆矩阵秩扰动，可用于简化求逆的过程。教授解释了该公式的工作原理及其实际应用。
00:05:00 在本节中，演讲者讨论了按 1 阶更改矩阵将如何导致按第 1 阶更改其逆矩阵。他提供的公式根据 1 乘 1 的逆运算计算 N 乘 n 的逆运算，这非常有用。然后演讲者演示了如何通过将要求的逆乘以原始矩阵并希望得到单位矩阵来检查公式。演讲者通过展示第二个矩阵的公式来展示该公式的工作原理，并展示如何应用相同的逻辑得出答案。
00:10:00 矩阵 A 及其逆矩阵中低秩变化的公式。该公式涉及取 N×n 矩阵的逆，但可以切换为 K×K 矩阵，这是单位矩阵的较小扰动。通过检查证明该公式是正确的，并且可用于扰乱矩阵 A。还列出了发现该公式的个人的姓名。
00:15:00 在本节中，演讲者正在讨论在取低秩矩阵 A 的逆时发生的变化。他们使用代数运算来表明在取 A 的逆时，某些项可以消除，导致简化的表达。演讲者指出，虽然他们能够通过检查公式是否产生单位矩阵来证明公式，但重要的是首先要考虑公式是如何推导出来的。他们建议使用该公式通过最小二乘法中的新测量或观察来求解线性系统。
第 5 讲。正定矩阵和半定矩阵
5.正定和半定矩阵
在此视频中，演讲者总结了之前线性代数课程的亮点，包括特征值、行列式和主元，所有这些都提供了正定矩阵的检验。演讲者随后解释了正定矩阵和不定矩阵之间的关系、它们与特征值和行列式的联系，以及如何计算矩阵向量 X 中的能量。演讲者还讨论了深度学习、神经网络、机器学习和最小化能量的概念。他们触及了凸函数的概念，并解释了如何将其用于深度学习。最后，演讲者介绍了正定和半定矩阵的练习，并简要提到了即将到来的奇异值分解主题。
第 6 讲。奇异值分解 (SVD)
6.奇异值分解（SVD）
该视频解释了奇异值分解 (SVD) 的概念，它用于将一个矩阵分解为三个矩阵，其中中间一个是对角线并包含奇异值。 SVD 有助于理解 A、Sigma 和 V 之间的关系，最终有助于求解方程。该视频讨论了正交向量、特征向量和特征值在 SVD 中的重要性，并强调了 A 和 V 矩阵的正交性。该视频还解释了 SVD 过程的图形表示和矩阵的极点分解。最后，视频讨论了使用 SVD 提取大数据矩阵最重要部分的过程。
第 7 讲 Eckart-Young：最接近 A 的秩 k 矩阵
7. Eckart-Young：最接近A的秩k矩阵
在此 YouTube 视频中，讲师解释了主成分分析 (PCA) 的概念，它用于理解数据矩阵并从中提取有意义的信息。突出显示了包含最关键信息的矩阵的最大 k 个奇异值的重要性，以及 Eckart-Young 定理，该定理指出奇异值分解的前 k 个部分提供对秩 k 矩阵的最佳近似, 介绍。演讲者还讨论了向量和矩阵的不同类型范数，包括 l2、l1 和无穷范数。强调了 Frobenius 范数在 Netflix 竞赛和 MRI 扫描中的重要性，以及最接近 A 的秩 k 矩阵的概念。演讲者还讨论了使用正交矩阵来保留原始矩阵的属性并介绍了该概念奇异值分解 (SVD) 及其与 PCA 的关系。最后，讨论了求解涉及矩形矩阵 A 及其转置的线性方程组的重要性，以及使用 SVD 方法寻找给定数据集的最佳年龄与身高比的方法。
第 8 讲：向量和矩阵的范数
第 8 讲：向量和矩阵的范数
本讲讨论向量和矩阵范数的概念，包括L1范数和最大范数，以及它们在压缩感知和信号处理等领域的应用。本讲座还涵盖范数中三角不等式的重要性、s 范数的形状以及向量和矩阵的 L2 范数之间的联系。此外，讲座探讨了 Frobenius 范数和核范数，这仍然是优化神经网络的猜想，并强调了与学生一起教学和学习的重要性。
第 9 讲。解决最小二乘问题的四种方法
9. 求解最小二乘问题的四种方法
在此视频中，讲师讨论了最小二乘法的概念和各种方法。他强调了最小二乘法的重要性，因为它是线性代数中的一个基本问题，并且是将整个课程结合在一起的粘合剂。该视频涵盖了矩阵的伪逆、可逆和不可逆矩阵的 SVD，以及解决最小二乘问题的不同方法，包括高斯计划和正交列。该视频还讨论了使用 L2 范数平方最小化 ax + b 与实际测量值之间的距离的想法，以及它与线性回归和统计的关系。此外，该视频提供了对使用课程中所学材料的项目的深入了解，重点关注机器学习和深度学习等领域。
第 10 讲：Ax = b 的困难调查
第 10 讲：Ax = b 的困难调查
在本次数值线性代数讲座中，讨论了求解 Ax=b 形式的线性方程的困难。当矩阵 A 几乎是奇异的，使其逆过大时，以及当问题太大且无法在可行时间内解决的巨型矩阵时，就会出现这些困难。讲师概述了解决该问题的几种可能性，从简单的正常情况到极其困难的欠定方程情况。讨论了随机线性代数、迭代方法和 SVD 的使用，以及找到适用于测试数据的解决方案的重要性，尤其是深度学习。此外，讲师强调 SVD 仍然是诊断任何矩阵问题的最佳工具。
第 11 讲：根据 Ax = b 最小化‖x‖
第 11 讲：根据 Ax = b 最小化‖x‖
在本讲座中，演讲者涵盖了与数值线性代数相关的一系列主题。他们首先讨论求解 Ax=b 时可能出现的问题，然后转向 Gram-Schmidt 过程以寻找空间的正交基，以及修改后的 Gram-Schmidt 方法最小化 ‖x‖ 受制于 Ax = b .演讲者还介绍了更专业的 Gram-Schmidt 算法中的列交换或列旋转的概念，并讨论了对标准 Gram-Schmidt 过程的改进，以对矩阵 A 的列进行正交化。他们还谈到了 Krylov 空间的概念解决问题 Ax=b 以及在 Ax=b 的情况下最小化‖x‖的良好基础的重要性。最后，他们提到他们已经完成了最小化受 Ax=b 约束的 x 的问题，并且正在继续处理处理非常大的矩阵的问题。
第 12 讲。计算特征值和奇异值
12.计算特征值和奇异值
在本视频中，介绍了用于计算特征值和奇异值的 QR 方法。该过程涉及从所需矩阵开始并将其分解为 QR，创建一个上三角矩阵 R，该矩阵将非正交基与正交基连接起来。迭代该过程，直到对角线项变小，此时它们可用于近似特征值。演讲者还讨论了一种用于计算特征向量以加速该过程的移位方法。还强调了使用 MATLAB 处理对称矩阵的好处。该视频还涉及用于解决大型矩阵的特征值问题的 Krylov 向量的概念。
第 13 讲：随机矩阵乘法
第 13 讲：随机矩阵乘法
本视频讲座讨论了随机矩阵乘法的概念，它涉及对矩阵 A 的列和矩阵 B 的相应行进行采样，概率加起来为 1。可以计算随机样本的均值以获得正确答案，但仍然会存在方差。讲座继续讨论均值和方差的概念，以及如何选择最小化方差的最佳概率。该过程涉及引入一个名为 Lambda 的未知变量，并对其求导以找到最佳 PJ。然后焦点转移到在查看矩阵中的哪些列更大或更小时如何加权概率的问题。讲师提出了两种可能性：根据范数平方加权概率或混合矩阵的列并使用相等的概率。总的来说，视频详细解释了随机矩阵乘法和优化概率以获得最小方差的过程。
第 14 讲 A 及其逆的低秩变化
14. A 及其逆的低秩变化
该视频讨论了低阶矩阵的概念及其在函数矩阵中的重要性，特别是矩阵求逆公式，该公式根据更简单的 1 乘 1 矩阵求出 N 乘 n 矩阵的逆。该公式可用于查找具有低秩扰动的矩阵的逆，并且可以简化查找逆的过程。演讲者通过展示第二个矩阵的公式来展示该公式的工作原理，并展示如何应用相同的逻辑得出答案。该视频还讨论了该公式的实际应用，特别是在最小二乘问题和卡尔曼滤波器中的应用。