Чистая математика, физика, логика (braingames.ru): задачки для мозгов, не связанные с торговлей - страница 156
Вы упускаете торговые возможности:
- Бесплатные приложения для трейдинга
- 8 000+ сигналов для копирования
- Экономические новости для анализа финансовых рынков
Регистрация
Вход
Вы принимаете политику сайта и условия использования
Если у вас нет учетной записи, зарегистрируйтесь
и кстати, нужно указать растояние до изменения времени или после? Как-то сложновато измерить расстояние, когда спрашивается процесс "когда это расстояние изменяется наиболее быстро".
Считаем, что стрелки движутся непрерывно, без рывков. Это самое логичное предположение.
Как-то у меня без производных не получается.
Похоже, и правда непростая. Интуитивно кажется, что это точка, в которой они накладываются друг на друга. (Еще вариант - когда они смотрят в противоположные стороны.) Но это совсем не очевидно.
Считаем, что стрелки движутся против часовой от некой нулевой точки, в которой вначале они совпадали по направлению.
Часовая: z1 = 36*exp(i*t) = 36*cos(t) + i*36*sin(t)
Минутная: z2 = 45*exp(i*12*t) = 45*cos(12*t) + i*45*sin(12*t)
Расстояние между концами (точнее, его квадрат): L^2 = (36*cos(t) - 45*cos(12*t))^2 + (36*sin(t) - 45*sin(12*t))^2 =
= 36^2 + 45^2 - 2*36*45*(cos(t)*cos(12*t) + sin(t)*sin(12*t)) =
= 36^2 + 45^2 - 2*36*45*cos(11*t) = 3321 - 3240*cos(11*t)
Значит, L = (3321 - 3240*cos(11*t))^0.5. (***)
L' = 0.5*(3321 - 3240*cos(11*t))^(-0.5) * 11*3240*sin(11*t) -> max по модулю.
Ну и все. Дальше я пас, даже Вольфрам не находит честных экстремумов, там приближенно.
= 36^2 + 45^2 - 2*36*45*cos(11*t) = 3321 - 3240*cos(11*t)
Пфэ.. Я как раз ща сам точно так же решил, всё так же получилось. Заглянул на форум, а тут те же мысли :)
Мда, по поводу производной я тоже не знаю. Я уже не помню, как они расчитываются. Чё правда нереально вычислить из этого выражения производную. Но почему? Ведь решение же должно быть, явно.
Кажется, решено.
Значит, мы получили такую функцию зависимости
y = (3321-3240*cos(x))^(1/2), где
у - расстояние между концами в любой момент времени
х - угол отклонения между стрелками [0 ; 2*Пи]
Отсюда найдём производную и исследуем на экстремум
y ' = 1/2*(3321-3240*cos(x))^(-1/2)*3240sin x = 0
sin x = 0
x1 = 0
x2 = pi
В 0 скорость максимальна, в pi минимальна.
Итак, максимальная скорость при 0гр, что означает, что она будет в момент, когда стрелки совпадут, как изначально и предполагалось.
Вроде бы задача решена, хотя если что будет не так, я сообщу.
Итак, максимальная скорость при 0гр, что означает, что она будет в момент, когда стрелки совпадут, как изначально и предполагалось.
Вроде бы задача решена, хотя если что будет не так, я сообщу.
Отсюда найдём производную и исследуем на экстремум
y ' = 1/2*(3321-3240*cos(x))^(-1/2)*3240sin x = 0
Нет, не так. Производную я и сам найти могу.
Здесь надо найти ее экстремум, а не нуль. Это нуль второй производной.
когда это расстояние изменяется наиболее быстро
то бишь когда скорость максимальна.
Итак, максимальная скорость при 0гр, что означает, что она будет в момент, когда стрелки совпадут, как изначально и предполагалось.
Вроде бы задача решена, хотя если что будет не так, я сообщу.
Численный метод дает совершенно другие значения ).
При старте в полдень, максимальная скорость между стрелками на 403 секунде и повторяется через 3927 секунд (точность расчетов - секунда). Расстояние 27 мм
Численный метод дает совершенно другие значения ).
При старте в полдень, максимальная скорость между стрелками на 403 секунде и повторяется через 3927 секунд (точность расчетов - секунда). Расстояние 27 мм
Еще разок. Убираем множитель 81 при числах, который ничего не решает, и множитель частоты. Получаем функцию
L(t) = (41-40*cos(t))^0.5
Функция периодическая. График:
Нам нужно найти точки, в которых L' максимальна по модулю (на графике видно, что это точки вблизи минимумов функции L, но совершенно точно не ее минимумы; на самом деле это точки перегиба графика).
Другими словами, выбирать надо из нулей второй производной L(t). Аккуратно дифференцируем дважды - и получаем, что нули второй производной - это точки, в которых cos(t) = 4/5. (Кому надо - тот и сам дважды продифференцирует функцию L(t).)
Расстояние (с учетом потерянного множителя sqrt(81)) равно
L(t) = 9*(41-40*4/5))^0.5 = 27 мм.
Возможно, я где-то напутал или чего-то не учел. Но результат удивительно "рационален", что указывает на то, что решение, возможно, верное.
P.S. Первое время от нуля (хотя его и не требуется искать) - что-то в районе pi/5, т.е. где-то 6 минут после начала движения.
Ответ получился совсем не похожим на якобы "интуитивно очевидный".
Но задачка простенькая на самом деле, только аккуратность тут нужна.
Вот найти бы решение без верхней математики...