[Arquivo!] Pura matemática, física, química, etc.: problemas de treinamento do cérebro não relacionados ao comércio de qualquer forma - página 289

 
Richie, parece que você tem seu próprio programa sobre Vasik para cálculos com uma precisão louca, você se vangloriou dele uma vez. Tente calcular o número, cujo quadrado é o que o problema requer.
 
Mathemat писал(а) >>
Richie, parece que você tem seu próprio programa sobre Vasik para cálculos com uma precisão louca, você se vangloriou dele uma vez. Tente calcular um número, cujo quadrado é o que o problema requer.

Eu me diverti muito no meu quarto ano na universidade. Tivemos um bom professor de informática, formado pela Universidade Estadual de Moscou, que costumava colocar problemas tão interessantes. Então todos estes módulos não foram úteis para mim e foram eliminados por falta de uso, assim como numerosos copybooks. Agora a precisão de mais de 5 caracteres não é utilizada.
Em geral, suas tarefas são interessantes. Eu nem sei como me aproximar dele :)
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Quando eu tiver muito tempo livre, tentarei restaurar o que um dia fiz. Lembro-me de ter lutado com esses zeros naquela época.
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Bem, o número: 3,16...................e+99
É óbvio. Quantos sinais há na elipse, quem sabe? É claro, não é prova.

 
Não é um problema tão difícil assim. É muito mais fácil do que o problema dos 5 ^1000 sem zeros nos números.
Vamos ouvir aqueles que tentam resolvê-lo...
 


 
OK, aqui está a solução para o problema dos 99 noves.
Considere a diferença entre dois quadrados adjacentes, n^2 e (n+1)^2. É 2*n+1.
Agora veja o nosso número de 199 dígitos. Se deve ser o quadrado de algum número k, então k < 3,2*10^99. Consequentemente, a diferença entre os quadrados adjacentes de inteiros em torno de k nunca pode ser maior que 2*3,2*10^99 + 1 < 6,4*10^99 + 1 < 10^100 -1.
Por outro lado, 100 dígitos atribuídos ao 99 original são em qualquer caso um número não menor que 0, mas não maior que 10^100-1. Ou seja, é provável que haja algum tipo de quadrado colocado nessa faixa. É isso aí.
 
Mathemat >>:
ОК, вот решение задачки про 99 девяток.
Рассмотрим разность между двумя соседними квадратами, n^2 и (n+1)^2. Она равна 2*n+1.
Теперь - про наше 199-разрядное число. Если оно и должно быть квадратом некоторого числа k, то k < 3.2*10^99. Следовательно, разница между соседними квадратами целых в районе k никак не может быть больше 2*3.2*10^99 + 1 < 6.4*10^99.
С другой стороны, 100 цифр, приписанных к исходным 99, в любом случае составляют число не меньше 0, но не больше 10^100-1. Т.е. в этом диапазоне обязательно разместится некий квадрат. Всё.

Ótimo. Bravo!

 
Provar que há irracionais a, b tais que a^b é racional. 20_

Vi uma linha de raciocínio tão agradável em algum lugar, mas veio a calhar agora (só me lembro do início, relacionado à construção do número alfa). Acho que isso veio à tona na teoria dos números transcendentais.

Comprovação.
Let alpha = (sqrt(2))^sqrt(2). Então, obviamente, alpha^sqrt(2) = 2. Não sabemos qual é a aberração do número alfa, então vamos raciocinar.
Vamos supor que o alfa seja irracional. Então, a última igualdade resolve o problema.
Agora suponha que o alfa seja racional. Obviamente, não é igual a 1. Então existe um n natural tal que o alfa^(1/n) é irracional. Portanto, (alpha^(1/n))^(n*sqrt(2)) = alpha^sqrt(2) = 2. Encontramos novamente um par de irracionais que satisfazem o problema: alpha^(1/n) e n*sqrt(2). Provado.

P.S. A prova é "não é realmente construtiva". Quem quiser construir um exemplo explícito, experimente você mesmo. A propósito, um número mais simples, alfa = 2^sqrt(2), também é adequado para a prova.
 
Sobre somas complicadas em dados. Como o autor do problema se sentiu obrigado a apresentar a resposta correta. :)

1) Número máximo de dados lançados = 25 (número de números primos na faixa de 1 a 89 + 1).
// número mínimo de dados para obter o número máximo = 15

2) Média das somas finais = 7,449704470311508;

Como resolvi o segundo item. Muito simples - eu fiz um roteiro em mql5. :) :)
Eu encontrei um algoritmo muito brilhante, porque é simples. A simplicidade é que não é preciso construir uma árvore de decisão, tudo se resolve de uma só vez.
O roteiro e um arquivo de texto com os resultados no trailer. Se você tiver alguma pergunta sobre o algoritmo, pergunte, eu responderei.
Arquivos anexados:
statcubs.rar  3 kb
 
Mathemat >>:
Доказать, что существуют иррациональные a, b такие, что a^b рационально. 20_

Где-то такое чудесное рассуждение видел, но вот сейчас пригодилось (помню только начало, связанное с конструированием числа alpha). Кажись, встретилось мне в теории трансцендентных чисел.

Доказательство.
Пусть alpha = (sqrt(2))^sqrt(2). Тогда, очевидно, alpha^sqrt(2) = 2. Мы не знаем, что это за уродец такой, число alpha, поэтому давайте рассуждать.
Допустим, что alpha иррационально. Тогда последнее равенство решает задачу.
Теперь допустим, что alpha рационально. Очевидно, оно не равно 1. Тогда существует такое натуральное n, что alpha^(1/n) - иррационально. Следовательно, (alpha^(1/n))^(n*sqrt(2)) = alpha^sqrt(2) = 2. Мы снова нашли пару иррациональных, удовлетворяющих задаче: alpha^(1/n) и n*sqrt(2). Доказано.

P.S. Доказательство "не совсем конструктивно". Желающие построить явный пример - попробуйте сами. Кстати, число попроще, alpha = 2^sqrt(2), тоже подходит для доказательства.

Muito bem feito. Ao ler de perto, encontrei uma mais simples. Reproduzo tudo (copio o início do quadro, acrescento o meu próprio em verde):

Comprovação.
Let alpha = (sqrt(2))^sqrt(2). Então, obviamente, alpha^sqrt(2) = 2. Não sabemos qual é a aberração do número alfa, então vamos raciocinar.
Vamos supor que o alfa seja irracional. Então, a última igualdade resolve o problema.
Agora suponha que o alfa seja racional. Então a solução é alfa = (sqrt(2))^sqrt(2);

É isso aí. :))

 
MetaDriver >>:

Теперь допустим, что alpha рационально. Тогда решением является alpha = (sqrt(2))^sqrt(2);

Oh, certo, yup :) Droga, às vezes eu não vejo o óbvio.

E há algo suspeito com seu roteiro. Vamos ver.