강의는 몬테카를로 시뮬레이션 및 전산 금융 통합과 관련된 여러 주제를 다루며 다양한 접근 방식과 기술에 대한 통찰력을 제공합니다.
강사는 적분 문제를 소개하고 Monte Carlo 샘플링을 사용하여 적분을 계산하는 방법을 보여줌으로써 시작합니다. 통합에 대한 고전적 접근과 기대값에 기반한 통합의 두 가지 접근 방식을 설명합니다. Python 프로그래밍 데모를 통해 강사는 시뮬레이션을 보다 효율적으로 분석하고 만드는 방법을 보여줍니다. 수렴 및 다양한 유형의 수렴에 대한 부드러움의 영향에 대해 논의합니다.
또한 강의에서는 Euler와 Milstein이라는 두 가지 중요한 이산화 기법을 다루고 시뮬레이션의 시간 단계를 기반으로 오류를 제어하는 방법을 설명합니다. 강사는 90년 가까이 다양한 분야에서 활용되어 온 몬테카를로 시뮬레이션의 원리와 역사를 강조한다. 그것은 1930년대, 특히 맨해튼 프로젝트 동안 물리학자들 사이에서 인기를 얻었습니다.
전산 금융에서 미래 보수의 기대 가치를 계산하는 것의 중요성에 대해 논의합니다. 여기에는 일정하거나 시간에 따른 이자율을 고려하여 주식의 밀도를 사용하여 실제 축에 통합하는 것이 포함됩니다. 샘플링 및 확률 이론과 관련된 Monte Carlo 통합은 각 시뮬레이션마다 다양한 출력을 제공하는 기술로 도입됩니다. 강의는 시뮬레이션에서 설정을 조정하여 오류 분포의 분산을 제어하는 능력과 고차원 문제에 대한 적용을 강조합니다. 강사는 또한 Monte Carlo로 샘플링 및 시뮬레이션을 개선하는 방법에 대해 설명합니다.
Monte Carlo 시뮬레이션을 사용하여 적분을 추정하는 구체적인 방법을 설명합니다. 이 방법은 직사각형 영역에서 균일하게 포인트를 샘플링하고 적분을 추정하기 위해 곡선 아래 샘플의 비율을 세는 것을 포함합니다. 금융에서 일반적으로 사용되지는 않지만 이 접근 방식은 고차원 문제에 유용할 수 있습니다. 강사는 관심 영역을 효율적으로 포착하기 위해 통합되는 기능을 이해하는 것이 중요하다고 강조합니다.
강의는 또한 재무에서 몬테카를로 시뮬레이션의 한계와 과제에 대해 탐구합니다. 대략적인 추정치를 제공하지만 특히 복잡한 시뮬레이션의 경우 결과가 매우 부정확할 수 있습니다. 강사는 몬테카를로 시뮬레이션에서 예상되는 오류가 시뮬레이션 횟수의 제곱근만큼 감소하여 계산 강도가 높아진다고 설명합니다. 강의는 통합 및 기대 접근 간의 관계를 추가로 탐구하여 이들이 어떻게 연결되어 있는지에 대한 예를 보여줍니다. 금융 분야에서 기대 접근 방식은 일반적으로 기존의 Monte Carlo 시뮬레이션보다 더 효율적이고 정확한 것으로 간주됩니다.
강의는 큰 수의 법칙과 독립 확률 변수와의 관계를 다룹니다. 평균을 결정하기 위한 분산 추정 및 기대값 계산에 대해 설명합니다. "순진한 접근 방식"과 기대 접근 방식 사이의 비교가 제시되며, 후자는 더 적은 수의 샘플로도 훨씬 더 정확함을 입증합니다. 강사는 이 시뮬레이션을 수행하기 위한 코드를 시연하며 기능을 통합하기 위한 접근 방식에 대해 두 지점을 지정해야 할 필요성을 강조합니다.
재무에서 발생하는 확률적 적분의 다양한 예가 논의되며, 시간 단계에 따른 브라운 운동의 합산, 증분에 대한 브라운 운동의 합, 증분에 의한 브라운 운동의 곱셈을 강조합니다. 함수 g(t)가 함수 g(s)dW(s)와 함께 0에서 T까지 통합되는 보다 구체적인 사례가 제시됩니다. 이 강의에서는 적분 범위를 더 작은 하위 구간으로 나누는 방법과 몬테카를로 시뮬레이션을 사용하여 적분을 근사화하는 방법을 설명합니다. 샘플 크기의 중요성과 값의 범위는 정확한 결과를 위해 강조됩니다.
발표자는 분할 및 근사 프로세스를 통해 결정론적 적분을 수치적으로 해결하는 방법을 설명합니다. 그들은 Ito 적분을 소개하고 왼쪽 경계에서 선택된 적분과 함께 구간의 시작 부분에서 함수 GT의 평가를 설명합니다. 강사는 T 제곱의 GT 함수가 있는 예를 사용하여 Ito isometry 속성으로 기대값과 분산을 얻는 방법을 보여줍니다. 계산을 시뮬레이션하기 위해 Python 코드가 제공되며 관련 단계가 설명됩니다.
브라운 운동의 생성과 과정을 구성하고 적분을 정의하는 데 사용하는 방법에 대해 설명합니다. 강의는 분포를 생성하고 이를 사용하여 브라운 운동 과정을 구성하는 과정을 안내합니다. 스케일링 조건 제거가 분포 및 분산에 미치는 영향을 보여줍니다. 강사는 또한 Ito의 Lemma를 적용하여 브라운 운동과 관련된 적분을 푸는 요령을 설명합니다. 마지막으로 강의에서는 적분을 계산하기 위해 함수 x 제곱을 고려하는 방법을 보여줍니다.
tw 제곱 t와 같은 함수의 동역학을 얻기 위한 Ito의 Lemma의 적용이 논의됩니다. 이토의 Lemma를 x제곱에 적용하여 적분을 통해 계산되는 항을 드러내어 정규분포가 아닌 파이제곱분포를 도출하는 강의입니다. 화자는 원하는 결과를 얻기 위해 어떤 유형의 기능을 적용할지 추측하는 경험의 중요성을 강조합니다. 코드는 적분 사이를 전환하도록 수정되었으며 결과를 개선하기 위해 샘플 수의 증가가 제안되었습니다.
Monte Carlo 시뮬레이션, 수치 루틴 및 양질의 난수 생성기의 중요성에 대해 논의합니다. 강의는 Ito의 Lemma를 설명하고 dwt dwt가 0인 이유를 이해하기 위한 휴리스틱 접근 방식을 제공합니다. 그리드 크기를 줄이면 예상보다 분산의 수렴이 빨라지는 것으로 관찰됩니다. 분산이 거의 0에 가까워지는 동안 기대값이 더 느린 속도로 0이 된다는 것을 입증하기 위해 실험을 수행합니다. 화자는 dwt dwt가 0인 이유에 대한 직관을 제공하는 동시에 이 관계의 이론적 증명이 상당히 관련되어 있음을 인정합니다.
강의는 두 개의 유사한 함수인 g1과 g2의 수렴에 대해 탐구하고 브라운 운동에서 샘플링했을 때의 기대치를 조사합니다. 이 함수의 한계는 x가 마이너스 무한대에 접근할 때 0이고 x가 플러스 무한대에 접근할 때 1입니다. 강사는 시뮬레이션된 샘플의 수를 증가시키면서 오류를 계산하고 오류를 샘플 수와 비교한 그래프를 제시합니다. 곡선이 매끄럽지 않고 진동 범위가 넓은 첫 번째 함수는 곡선이 매끄럽고 빠르게 수렴하는 두 번째 함수와 대조됩니다.
융합은 몬테카를로 시뮬레이션을 금융에 활용할 때 중요한 고려 사항으로 부각됩니다. 강의는 약한 수렴과 강한 수렴의 차이점을 설명하며, 강한 수렴이 약한 수렴보다 더 강력합니다. 부드럽지 않은 함수와 디지털 방식의 보수를 다룰 때 수렴에 오류가 발생하여 상당히 다른 평가 결과가 나올 수 있습니다. 정확한 재무 시뮬레이션 및 평가를 위해서는 두 유형의 수렴의 차이점과 의미를 이해하는 것이 중요합니다.
강의는 Monte Carlo 시뮬레이션 및 가격 책정 알고리즘의 맥락에서 약한 수렴과 강한 수렴에 대해 논의합니다. 약한 수렴은 기대 수준의 순간과 일치하지만 정확한 경로 종속 보상을 위해서는 강한 수렴이 필요합니다. 완전한 Monte Carlo 가격 책정 알고리즘에는 현재 시간부터 계약 지불 날짜까지 그리드 정의, 가격 책정 방정식 및 자산에 대한 확률적 동인이 포함됩니다. Monte Carlo 시뮬레이션은 스톡 프로세스의 복잡성으로 인해 폐쇄형 평가가 불가능할 때 필요합니다. 그리드는 일반적으로 동일한 간격으로 배치되지만 경우에 따라 대체 전략을 사용할 수 있습니다.
교수는 Monte Carlo 시뮬레이션의 정확성과 시간 제약을 강조합니다. 시간 단계의 수를 늘리면 정확도가 향상되지만 시뮬레이션 시간도 늘어납니다. 더 큰 Monte Carlo 단계를 허용하는 고급 기술 또는 폐쇄형 솔루션은 정확성과 속도를 모두 달성하는 데 도움이 될 수 있습니다. 그런 다음 강의는 유럽식 옵션에 대한 그리드, 자산 및 보수를 정의하는 것으로 진행됩니다. 옵션의 최종 상태는 관찰 시점에 따라 다릅니다. 큐 측정값 아래의 기대값을 할인하여 옵션 가격을 계산하는 방법과 얻은 결과의 변동성을 측정하기 위한 표준 오차를 계산하는 방법을 강의에서 설명합니다.
표준 오차의 개념은 Monte Carlo 시뮬레이션의 맥락에서 논의됩니다. 강의에서는 큰 수의 강법칙을 이용하여 기대값을 계산할 수 있고, 표본을 독립적으로 추출한다는 가정하에 평균의 분산을 계산할 수 있다고 설명합니다. 주어진 특정 수의 경로에 대한 기대치의 변동성을 측정하는 표준 오차는 분산을 경로 수의 제곱근으로 나누어 결정할 수 있습니다. 샘플 수가 증가하면 오류가 감소합니다. 일반적으로 샘플 수를 4배 늘리면 오류가 2배 감소합니다. 확률론적 미분 방정식을 시뮬레이션하는 고전적인 방법은 오일러 이산화(Euler Discretization)를 이용하는 것인데, 이는 간단하지만 한계가 있습니다.
강사는 몬테카를로 시뮬레이션에서 확률적 미분 방정식과 오일러 이산화의 사용에 대해 논의합니다. 이 프로세스에는 그리드를 정의하고 시뮬레이션을 수행하고 절대 오차를 통해 정확한 솔루션과 시뮬레이션 간의 차이를 측정하는 작업이 포함됩니다. 비교 가능성을 보장하기 위해 정확한 버전과 이산화된 버전 모두에서 변수의 무작위성이 동일하도록 하는 것이 중요합니다. 강의는 또한 몬테카를로 시뮬레이션에서 각 시간 단계와 경로에 대해 이중 루프를 사용하는 것보다 더 효율적이기 때문에 벡터화의 중요성을 강조합니다. 그러나이 접근 방식은 프로세스를 단순화하지만 정확성과 속도 측면에서 제한이 있다는 점에 유의해야 합니다.
드리프트 항과 변동성 항(r 및 시그마)이 있는 브라운 운동에 대한 정확한 솔루션은 정확한 표현에서 생성된 브라운 운동과 근사에 사용된 동일한 운동을 사용하여 검사됩니다. 강의에서는 약한 수렴의 절대 오차와 평균 오차를 비교하여 약한 수렴이 유럽 유형의 보수 가격 책정에는 충분하지만 경로 종속 보수에는 충분하지 않을 수 있음을 강조합니다. 정확한 솔루션과 비교하여 오일러 이산화에 대해 생성된 경로를 설명하기 위해 그래프가 표시되며, 일부 경로에 대해 둘 사이의 차이를 관찰할 수 있습니다. 강의는 강한 오류와 약한 오류를 비교하는 것으로 끝납니다.
연사는 코드를 사용한 Monte Carlo 시뮬레이션 구현에 대해 논의합니다. 오류를 정량화하려면 강의 앞부분에서 논의한 대로 오류 측정을 사용해야 한다고 설명합니다. 이 코드는 경로를 생성하고 다색 시뮬레이션을 사용하여 정확한 값을 근사값과 비교합니다. 출력은 주식 및 정확한 값에 대한 시간 경로입니다. 스피커는 오류 수준에서 비교하기 위해 근사 및 정확한 솔루션 모두에 대해 동일한 브라운 운동을 생성하는 것의 중요성을 강조합니다. 약한 수렴 오류와 강한 수렴 오류를 측정하기 위해 단계 수의 범위를 정의하고 각 단계에 대해 Monte Carlo 시뮬레이션을 수행합니다. 이 코드는 약한 오류와 강한 오류의 두 가지 유형의 오류를 생성합니다.
강사는 Monte Carlo 방법과 관련된 시뮬레이션 프로세스와 시뮬레이션을 여러 번 반복해야 하기 때문에 시간이 많이 걸리는 방법에 대해 설명합니다. 그 결과는 약한 수렴 그래프와 강한 수렴 그래프를 통해 나타나며, 약한 수렴 오류는 느리게 성장하는 파란색 선으로 표시되고 강한 수렴 오류는 델타 T 모양의 제곱근을 따라가며 분석을 확인합니다. 강사는 테일러 전개를 적용해 추가항을 도출하는 밀스타인의 이산화 기법을 통해 오차를 획기적으로 줄일 수 있다고 설명한다. 최종 공식에 도달하려면 더 많은 작업이 필요하지만 Milstein의 계획에는 항상 분석적으로 사용할 수 있는 것은 아닌 변동성 항의 도함수가 필요합니다.
연사는 전산 금융, 특히 기하학적 브라운 운동에서 몬테카를로 시뮬레이션의 사용을 설명합니다. 분포 의미에서 변동성 항을 계산하고 오일러 체계와 비교하는 방법을 보여줍니다. Monte Carlo 시뮬레이션은 Euler의 방법보다 수렴 속도가 빠르지만, 추가 전산 계산이 필요하기 때문에 다차원 모델에서 도함수를 도출하는 것이 어려울 수 있습니다. 또한 화자는 두 체계 사이의 약한 감각과 강한 감각의 절대 오차를 비교하여 몬테카를로의 강한 오차는 델타 t에서 선형인 반면 오일러의 약한 오차는 같은 차수임을 강조합니다. 마지막으로 기하학적 브라운 운동에서 경로를 생성하고 강력한 수렴을 분석하기 위한 Monte Carlo 시뮬레이션의 코드 구현을 제공합니다.
발표자는 Black-Scholes 또는 기하학적 브라운 운동의 예를 사용하여 수렴에 대한 다양한 이산화 기술의 영향에 대해 논의합니다. Euler 및 Milstein 체계의 분석은 다양한 이산화 기술의 영향을 보여줍니다. 화자는 밀스타인 체계와 오일러 체계 간의 오류를 비교하여 항상 적용 가능한 것은 아니지만 밀스타인 체계의 오류가 오일러보다 훨씬 낮다는 것을 보여줍니다. 다른 체계의 이점은 최종 결과를 볼 때 분명하지 않을 수 있지만 시뮬레이션의 계산 비용을 고려할 때 시간이 중요해집니다. 따라서 Monte Carlo의 빠른 시뮬레이션을 수행하려면 큰 시간 단계를 사용하는 것이 필수적입니다.
그런 다음 강사는 Monte Carlo 시뮬레이션에서 난수 생성기(RNG)의 역할에 대해 논의합니다. 그들은 정확하고 신뢰할 수 있는 결과를 보장하기 위해 양질의 RNG를 사용하는 것의 중요성을 강조합니다. 강사는 의사 난수 생성기(PRNG)가 시뮬레이션에서 일반적으로 사용된다고 언급하고 무작위성에 가까운 숫자 시퀀스를 생성하는 방법을 설명합니다. 또한 RNG에 대한 고정 시드 값을 사용하여 시뮬레이션에서 재현성의 필요성을 강조합니다. 다음으로 강사는 몬테카를로 시뮬레이션에서 사용되는 분산 감소 기법인 대립 변량의 개념에 대해 설명합니다. 대조 변량의 기본 아이디어는 관심 양에 반대 효과를 갖는 무작위 변량 쌍을 생성하는 것입니다. 원래 변량과 그에 상응하는 대조물에서 얻은 결과의 평균을 취함으로써 추정치의 분산을 줄일 수 있습니다. 이 기법은 대칭 분포를 다룰 때 특히 유용합니다.
강의에서는 또 다른 분산 감소 기법으로 제어 변수의 개념을 소개합니다. 제어 변수는 관심의 양과 상관 관계가 있는 알려진 기능을 시뮬레이션 프로세스에 도입하는 것을 포함합니다. 목표함수로부터 얻은 추정값에서 기지함수로부터 얻은 추정값을 빼면 추정값의 분산을 줄일 수 있다. 강사는 제어 변수가 실제로 어떻게 적용될 수 있는지 설명하는 예를 제공합니다. 분산 감소 기술 외에도 강사는 층화 샘플링의 개념에 대해 설명합니다. 층화 샘플링은 샘플 공간을 계층으로 나누고 각 계층에서 개별적으로 샘플링하는 것을 포함합니다. 이 접근 방식을 사용하면 각 계층이 샘플에 표시되어 보다 정확한 추정치를 얻을 수 있습니다. 강의는 층화 샘플링을 구현하는 절차를 설명하고 단순 무작위 샘플링에 비해 이점을 강조합니다.
마지막으로 강사는 중요도 샘플링의 개념을 탐구합니다. 중요도 샘플링은 원하는 이벤트를 생성할 가능성이 더 높은 샘플에 더 높은 확률을 할당하여 드문 이벤트의 확률을 추정하는 데 사용되는 기술입니다. 강의에서는 중요도 샘플링이 희귀 이벤트 추정을 위한 몬테카를로 시뮬레이션의 효율성을 어떻게 향상시킬 수 있는지 설명합니다. 강사는 예제를 제공하고 정확한 결과를 위해 적절한 샘플링 분포를 선택하는 것의 중요성에 대해 논의합니다.
강의는 적분 문제, 몬테카를로 샘플링을 이용한 적분 계산, 프로그래밍 시연, 수렴 분석, 이산화 기법, 몬테카를로 시뮬레이션의 원리와 역사, 전산 금융에서의 응용, 분산 감소 등 몬테카를로 시뮬레이션과 관련된 다양한 주제를 다룹니다. 기술 및 중요도 샘플링. 강사는 몬테카를로 시뮬레이션의 이론 및 실제 구현에 대한 통찰력을 제공하고 다양한 분야에서의 관련성을 강조합니다.
00:00:00 몬테카를로 시뮬레이션에 대한 이 섹션에서 강사는 적분 문제와 몬테카를로 샘플링을 사용하여 적분을 계산하는 방법을 포함한 여러 주제를 다룹니다. 통합에 대한 고전적 접근과 기대값에 기반한 통합이라는 두 가지 다른 접근 방식을 제시합니다. 강의에는 Python 프로그래밍 시연과 시뮬레이션을 보다 효율적으로 분석하고 만드는 방법도 포함됩니다. 강사는 부드러움이 수렴에 미치는 영향과 다양한 유형의 수렴에 대해 논의합니다. 또한 두 가지 중요한 이산화 기법인 Euler와 Milstein을 소개하고 시뮬레이션의 시간 단계에 따라 오류를 제어하는 방법을 보여줍니다. 마지막으로 그들은 거의 90년 동안 존재하고 특히 맨해튼 프로젝트에서 30년대 물리학자들에 의해 대중화되었던 몬테카를로 시뮬레이션의 원리와 역사에 대해 논의합니다.
00:05:00 이 섹션에서 강사는 전산 금융에서 미래 보상의 기대 가치를 계산하는 것의 중요성에 대해 논의합니다. 여기에는 일정하거나 시간에 따른 이자율을 가정하여 주식 밀도와 함께 실제 축에 대한 적분을 사용하는 것이 포함됩니다. Monte Carlo 통합 기술은 샘플링 및 확률 이론과 관련이 있으며 시뮬레이션에서 얻은 출력은 매번 달라집니다. 이 기술은 고차원 문제에 사용할 수 있으며 시뮬레이션에서 특정 설정을 선택하여 오류 분포의 분산을 제어할 수 있습니다. 강의는 또한 Monte Carlo로 샘플링 및 시뮬레이션을 개선하는 방법에 대해 논의합니다.
00:10:00 이 섹션에서는 강사가 Monte Carlo 시뮬레이션을 수행하여 적분을 추정하는 방법을 설명합니다. 이 방법은 직사각형 영역에서 점을 균일하게 샘플링하고 총 샘플 수 중 곡선 아래에 몇 개의 샘플이 있는지 계산하는 것을 포함합니다. 곡선 아래 샘플의 비율에 직사각형 면적을 곱하면 적분의 추정치를 얻을 수 있습니다. 이 접근 방식은 일반적으로 금융에서 사용되지 않지만 고차원 문제에 유용할 수 있습니다. 강사는 통합되는 기능에 대해 더 많이 알면 시뮬레이션이 관심 영역을 효율적으로 캡처하는 데 도움이 될 수 있다고 말합니다.
00:15:00 강의의 이 섹션에서 교수는 몬테카를로 시뮬레이션 기술과 적분을 추정하는 데 사용할 수 있는 방법에 대해 논의합니다. 그는 Monte Carlo 시뮬레이션이 대략적인 추정치를 제공할 수 있지만 결과가 매우 부정확할 수 있으며 특히 매우 복잡한 시뮬레이션이 필요한 금융 분야에서 그러하다고 설명합니다. Monte Carlo 시뮬레이션에서 예상되는 오류는 계산 집약적일 수 있는 시뮬레이션 수의 제곱근만큼 감소합니다. 교수는 또한 적분 접근법과 기대 접근법 사이의 관계에 대해 논의하고 이들이 어떻게 연결되는지에 대한 예를 제공합니다. 전반적으로 기대 접근 방식은 Monte Carlo 시뮬레이션에 비해 재무에서 더 효율적이고 정확한 것으로 간주됩니다.
00:20:00 이 섹션에서 강사는 큰 수의 법칙과 독립 확률 변수와의 관계에 대해 설명합니다. 그들은 평균 계산을 위한 분산 추정과 기대값 계산을 강조합니다. 그런 다음 "순진한 접근 방식"과 기대 접근 방식 사이의 비교가 표시되며, 후자는 더 적은 수의 샘플로도 훨씬 더 정확합니다. 강사는 계속해서 이 시뮬레이션을 수행하기 위한 코드를 보여주며 기능을 통합하기 위해 이 접근 방식에 대해 두 지점을 지정해야 할 필요성을 강조합니다.
00:25:00 이 섹션에서 강사는 재무에서 발생하는 확률 적분의 다양한 예에 대해 설명합니다. 첫 번째 예는 시간 단계에 따른 브라운 운동의 합산과 관련된 반면, 두 번째 예는 증분에 대한 브라운 운동의 합산과 관련됩니다. 세 번째 예에서는 브라운 운동에 증분을 곱합니다. 그런 다음 강사는 함수 g(t)가 함수 g(s)dW(s)와 함께 0에서 T까지 통합되는 보다 구체적인 사례로 이동합니다. 이 방법은 적분 범위를 더 작은 하위 구간으로 나누고 Monte Carlo 시뮬레이션을 사용하여 적분 값을 근사화하는 것을 포함합니다. 강의는 샘플 크기의 중요성과 정확한 결과를 위한 값의 범위를 강조합니다.
00:30:00 이 섹션에서 화자는 분할 및 근사 프로세스를 통해 결정론적 적분을 수치적으로 해결하는 방법에 대해 설명합니다. 그들은 Ito 적분을 소개하고 함수 GT가 구간의 시작 부분에서 평가되고 적분은 항상 왼쪽 경계에서 선택된다고 설명합니다. 화자는 T 제곱의 GT 함수가 있는 예를 사용하고 Ito isometry 속성으로 기대치와 분산을 얻는 방법을 보여줍니다. 계산을 시뮬레이션하고 관련 단계를 설명하는 Python 코드를 제공합니다.
00:35:00 강의의 이 섹션에서 발표자는 브라운 운동을 생성하고 프로세스를 구성하고 적분을 정의하는 데 사용하는 방법에 대해 설명합니다. 분포를 생성하고 이를 사용하여 프로세스를 구성한 다음 스케일링 조건 제거가 분포 및 분산에 미치는 영향을 보여줍니다. 발표자는 브라운 운동과 관련된 적분을 풀기 위한 요령인 Ito의 보조정리를 적용하는 방법도 설명합니다. 마지막으로 적분을 계산하기 위해 함수 x 제곱을 고려하는 방법을 보여줍니다.
00:40:00 이 섹션에서 연사는 tw 제곱 t와 같은 함수의 역학을 얻기 위해 Ethos Lemma를 적용하는 방법에 대해 설명합니다. x제곱에 Ito의 Lemma를 적용하여 화자는 적분을 통해 계산되는 항을 얻음으로써 정규 분포가 아닌 파이 제곱 분포가 됩니다. 화자는 원하는 결과를 얻기 위해 어떤 유형의 기능을 적용할지 추측하는 경험의 필요성을 강조합니다. 코드는 적분 사이를 전환하도록 수정되었으며 결과를 개선하기 위해 샘플 수의 증가가 제안되었습니다.
00:45:00 이 섹션에서 발표자는 Monte Carlo 시뮬레이션, 수치 루틴 및 양질의 난수 생성기의 중요성에 대해 논의합니다. 계속해서 Ito의 Lemma를 설명하고 dwt dwt가 0인 이유를 이해하기 위한 휴리스틱 접근 방식을 탐구합니다. 격자 크기를 줄이면 분산이 예상보다 훨씬 빠르게 수렴되며 분산이 거의 0인 동안 기대가 훨씬 느리게 0이 되는 실험에서 관찰할 수 있습니다. 화자는 dwt dwt가 0인 이유에 대한 직관을 제공하고 이에 대한 이론적 증명이 다소 관련되어 있다고 말하면서 결론을 내립니다.
00:50:00 이 섹션에서 발표자는 두 개의 유사한 함수인 g1과 g2의 수렴에 대해 논의하고 브라운 운동에서 샘플링했을 때의 기대치를 조사합니다. 함수는 x가 마이너스 무한대로 가는 경우 0, 플러스 무한대로 가는 x에 대해 1의 한계를 가집니다. 화자는 시뮬레이션된 샘플의 수를 증가시키면서 오류를 계산하고 오류를 샘플 수와 비교하는 그래프를 보여줍니다. 첫 번째 함수는 곡선이 매끄럽지 않고 넓은 범위에서 진동하는 반면 두 번째 함수는 곡선이 매끄럽고 빠르게 수렴합니다.
00:55:00 이 섹션에서 발표자는 재무에서 Monte Carlo 시뮬레이션을 사용할 때 수렴을 고려하는 것의 중요성에 대해 논의합니다. 논의된 수렴의 두 가지 유형은 약한 수렴과 강한 수렴이며, 강한 것이 약한 것보다 더 강력합니다. 연사는 부드럽지 않은 함수와 디지털 방식의 보수를 다룰 때 수렴에 오류가 발생할 수 있으며, 이로 인해 평가 결과가 크게 달라질 수 있다고 설명합니다. 두 유형의 수렴의 차이점과 의미를 이해하는 것은 정확한 재무 시뮬레이션 및 평가를 보장하는 데 중요합니다.
01:00:00 비디오의 이 섹션에서 강사는 Monte Carlo 시뮬레이션 및 가격 책정 알고리즘의 맥락에서 약한 수렴과 강한 수렴에 대해 논의합니다. 약한 수렴은 기대 수준의 순간과 일치하지만 정확한 경로 종속 보상을 위해서는 강한 수렴이 필요합니다. 완전한 Monte Carlo 가격 책정 알고리즘에는 오늘부터 계약 지불 날짜까지의 그리드 정의, 가격 책정 방정식 및 자산에 대한 확률적 동인이 포함됩니다. Monte Carlo 시뮬레이션은 스톡 프로세스의 복잡성으로 인해 폐쇄형 평가가 불가능할 때 필요합니다. 그리드는 일반적으로 동일한 간격으로 배치되지만 경우에 따라 그렇지 않을 수도 있습니다.
01:05:00 강의의 이 섹션에서 교수는 몬테카를로 시뮬레이션의 정확성과 시간 제약에 대해 논의하면서 시간 단계가 많을수록 정확도가 높아지지만 시뮬레이션에 소요되는 시간도 늘어난다는 점에 주목합니다. 큰 Monte Carlo 단계를 허용하는 고급 기술 또는 폐쇄형 솔루션은 정확성과 시간 모두에 도움이 될 수 있습니다. 그런 다음 교수는 유럽 유형 옵션에 대한 그리드, 자산 및 보수를 정의하고 최종 상태는 관찰 시점에 따라 다르다고 설명합니다. 그런 다음 대기열 측정 하의 기대값을 취하여 옵션 가격을 결정하기 위해 할인하고 얻은 결과의 변동성을 측정하기 위해 표준 오차를 계산합니다.
01:10:00 이 섹션에서는 Monte Carlo 시뮬레이션의 맥락에서 표준 오차의 개념에 대해 설명합니다. 대수의 강법칙을 이용하여 기대값을 계산할 수 있으며, 표본이 독립적으로 추출된다는 가정하에 평균의 분산을 계산할 수 있습니다. 주어진 특정 수의 경로에 대한 기대치의 변동성을 측정하는 표준 오차는 분산을 경로 수의 제곱근으로 나누어 결정할 수 있습니다. 샘플 수가 증가하면 오류가 감소합니다. 일반적으로 샘플 수를 4배로 늘리면 오류가 2배로 줄어듭니다. 확률론적 미분 방정식을 시뮬레이션하는 고전적인 방법은 오일러 이산화(Euler Discretization)를 이용하는 것인데, 이는 간단하지만 한계가 있습니다.
01:15:00 이 섹션에서 강사는 몬테카를로 시뮬레이션에서 확률적 미분 방정식 및 오일러 이산화의 사용에 대해 설명합니다. 이 프로세스에는 그리드를 정의하고 시뮬레이션을 수행하고 절대 오차를 통해 정확한 솔루션과 시뮬레이션 간의 차이를 측정하는 작업이 포함됩니다. 비교 가능성을 보장하기 위해 정확한 버전과 이산화된 버전 모두에서 변수의 무작위성이 동일하도록 하는 것이 필수적입니다. 강의는 또한 몬테카를로 시뮬레이션에서 시간 단계와 경로에 대해 이중 루프를 사용하는 것보다 더 효율적이기 때문에 벡터화를 강조합니다. 전반적으로 이 접근 방식은 프로세스를 단순화하지만 정확성과 속도에는 한계가 있습니다.
01:20:00 이 섹션에서는 정확한 표현에서 생성된 브라운 운동과 근사에 사용된 동일한 운동을 사용하여 r 및 sigma를 사용한 경계 운동에 대한 정확한 솔루션을 검사합니다. 약한 수렴의 절대오차와 평균오차를 비교하여 약한 수렴이 유럽형 보수의 가격결정에는 충분하지만 경로 의존적 보수에는 충분하지 않음을 설명한다. 그래프는 정확한 솔루션과 비교하여 오일러 이산화에 대해 생성된 경로를 보여줍니다. 여기에서 일부 경로에 대해 둘 사이의 차이를 볼 수 있고 강한 오류와 약한 오류를 비교할 수 있습니다.
01:25:00 이 섹션에서는 발표자가 코드를 사용하여 Monte Carlo 시뮬레이션을 구현하는 방법에 대해 설명합니다. 오류를 정량화하려면 이전 슬라이드에서 논의한 오류 측정을 사용해야 한다고 설명합니다. 이 코드는 경로를 생성하고 다색 시뮬레이션을 사용하여 정확한 것과 근사치를 비교합니다. 출력은 재고 및 정확한 값에 대한 시간 경로입니다. 화자는 오류 수준에서 비교하기 위해 근사와 정확 모두에 대해 동일한 브라운 운동을 생성하는 것의 중요성을 강조합니다. 약한 수렴 오류와 강한 수렴 오류를 측정하기 위해 단계 수의 범위를 정의하고 각 단계에 대해 Monte Carlo 시뮬레이션을 수행합니다. 이 코드는 약한 오류와 강한 오류의 두 가지 유형의 오류를 생성합니다.
01:30:00 이 섹션에서 강사는 Monte Carlo 방법과 관련된 시뮬레이션 프로세스와 시뮬레이션을 여러 번 반복해야 하기 때문에 시간이 많이 걸리는 방법에 대해 설명합니다. 그 결과는 약한 수렴 그래프와 강한 수렴 그래프를 통해 나타나며 약한 수렴 오류는 느리게 성장하는 파란색 선으로 표시되고 강한 수렴 오류는 분석을 확인하는 델타 T 모양의 제곱근을 따릅니다. 강사는 테일러 전개를 적용해 추가항을 도출하는 밀스타인의 이산화 기법을 통해 오차를 획기적으로 줄일 수 있다고 설명한다. 최종 공식에 도달하려면 더 많은 작업이 필요하지만 Milstein의 계획에는 항상 분석적으로 사용할 수 있는 것은 아닌 변동성 항의 도함수가 필요합니다.
01:35:00 이 섹션에서 연사는 전산 금융, 특히 기하학적 브라운 운동에서 몬테카를로 시뮬레이션을 사용하는 방법을 설명합니다. 분포 의미에서 변동성 항을 계산하고 오일러 체계와 비교하는 방법을 보여줍니다. Monte Carlo 시뮬레이션은 Euler보다 수렴 속도가 빠르지만, 추가 계산 계산이 필요하기 때문에 다차원이 포함된 모델에서 도함수를 도출하는 것이 어려울 수 있습니다. 또한 화자는 두 체계 사이의 약한 감각과 강한 감각의 절대 오차를 비교하여 몬테카를로의 강한 오차는 델타 t에서 선형인 반면 오일러의 약한 오차는 같은 차수임을 강조합니다. 마지막으로 기하학적 브라운 운동에서 경로를 생성하고 강력한 수렴을 분석하기 위한 Monte Carlo 시뮬레이션의 코드 구현을 제공합니다.
01:40:00 이 섹션에서 발표자는 Black-Scholes 또는 기하학적 브라운 운동의 예를 사용하여 다양한 이산화 기술이 수렴에 미치는 영향에 대해 논의합니다. Euler 및 Milstein 체계의 분석은 다양한 이산화 기술의 영향을 보여줍니다. 화자는 밀스타인 체계와 오일러 체계 간의 오류를 비교하여 항상 적용 가능한 것은 아니지만 밀스타인 체계의 오류가 오일러보다 훨씬 낮다는 것을 보여줍니다. 최종 결과를 보면 다른 방식의 이점이 보이지 않을 수 있지만 시뮬레이션의 계산 비용을 고려할 때 시간도 중요합니다. 따라서 Monte Carlo의 빠른 시뮬레이션을 수행하려면 큰 시간 단계를 사용하는 것이 필수적입니다.
Computational Finance Lecture 9- Monte Carlo Simulation▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬This course is based on the book:"Mathematical Modeling and Com...
강의는 도전적인 Heston 모델을 사용하여 파생 상품, 특히 유럽 옵션 가격 책정을 위해 Monte Carlo 시뮬레이션을 활용하는 데 중점을 둡니다. Monte Carlo와 간단한 Black-Scholes 모델을 사용하여 유럽 및 디지털 옵션의 가격을 책정하는 워밍업 연습으로 시작합니다. Heston 모델의 분산을 모델링하는 Cox-Ingersoll-Ross(CIR) 프로세스의 시뮬레이션에 대해 논의하며 이 분포에서 정확한 샘플링의 필요성을 강조합니다. 강사는 CIR 모델의 정확한 시뮬레이션을 시연하며 정확한 샘플 생성의 이점을 강조합니다.
다음으로 강사는 오일러 이산화에 비해 더 큰 시간 단계와 더 높은 정확도를 허용하는 거의 정확한 시뮬레이션의 개념을 소개합니다. Heston 모델은 Euler 및 Milstein 방식을 모두 사용하여 시뮬레이션하고 결과를 비교합니다. 약한 수렴은 유럽형 보수에 중요하고 강한 수렴은 경로 종속 보수에 중요합니다. 실제 응용 프로그램의 계산 시간 제약을 고려하여 보상 유형 및 원하는 결과 품질에 따라 단계 또는 경로 수를 조정해야 합니다.
평가에 필요한 계산 시간에 대해 논의하고 Euler와 Milstein 이산화 체계 간의 코드 비교를 제시합니다. 강사는 생산 환경을 위한 코드 최적화에 대해 조언하며 최종 스톡 값만 필요한 보수 평가에 전체 경로를 저장하는 것이 필요하지 않을 수 있음을 강조합니다. 강의는 또한 Black-Scholes 모델의 단순화된 구현으로 정확한 솔루션을 제공합니다.
몬테카를로 시뮬레이션을 사용한 디지털 또는 현금 또는 무(cash-or-nothing) 옵션의 가격 책정에 대해 설명하고 유럽 옵션과 비교하여 손익 계산의 차이점을 강조합니다. 두 가지 유형의 옵션에 대한 접근 방식을 비교하기 위해 진단 및 출력이 제공됩니다. 이 강의는 강력한 수렴이 존재하지 않는 터미널 종속 보상이 있는 옵션에 대한 몬테카를로 시뮬레이션의 한계를 인정합니다. 코드의 일반적인 특성이 강조되어 Heston 모델과 같은 다른 모델에 적용할 수 있습니다.
이 강의에서는 Heston 모델이 제대로 작동하는 데 필요한 조건에 대해 자세히 살펴보고 이산화 기술이 이러한 조건에 어떤 영향을 미칠 수 있는지 논의합니다. 변동성 매개변수의 변화가 모델의 행동에 미치는 영향은 그래프를 통해 입증되며 프로세스가 부정적이 되어서는 안 된다는 점을 강조합니다. 이러한 조건을 유지하는 데 있어 오일러 이산화의 한계도 강조됩니다. Monte Carlo 시뮬레이션을 사용한 Heston 모델의 다음 반복에서 부정적인 실현 가능성에 대해 논의합니다. 부정적인 실현 가능성은 특정 매개변수 간의 관계를 기반으로 계산되며, 중요한 가격 차이를 피하기 위해 Monte Carlo 경로를 모델과 정렬하는 것의 중요성이 강조됩니다. Heston 모델 시뮬레이션에서 음수 값을 처리하기 위한 두 가지 접근 방식인 절단 및 반사 오일러 방식에 대해 설명합니다. 각 접근 방식의 장단점을 비교하고 계산 비용은 더 높지만 더 작은 시간 단계가 편향을 줄이는 데 미치는 영향을 언급합니다.
강의는 Heston 모델의 CIR 프로세스에 대한 정확한 시뮬레이션의 사용을 탐색하여 중심이 아닌 카이제곱 분포에서 직접 샘플링을 가능하게 합니다. 이 접근 방식은 작은 시간 단계의 필요성을 피하고 특정 관심 시간에 샘플링을 허용합니다. 시뮬레이션을 위한 계산 코드가 설명되어 샘플 생성을 위한 단순성과 최적성을 강조합니다. 이 강의는 X 값과 분산 값 모두에 대한 Heston 모델 프로세스의 통합에 대해 탐구하고 대체를 통해 달성된 단순화를 강조합니다. 더 쉬운 통합을 위해 큰 시간 단계를 사용하라는 권장 사항과 함께 다차원 시뮬레이션에서 프로세스의 적절한 순서 지정의 중요성이 강조됩니다. 강의에서는 품질을 유지하면서 계산 시간을 줄이는 것을 목표로 특정 날짜의 가격 옵션에 대한 대규모 시간 단계 시뮬레이션의 중요성을 다룹니다. 추가 근사값을 도입하지 않고 중심이 아닌 카이제곱 분포에서 샘플링을 사용한 정확한 시뮬레이션이 권장됩니다. 이 강의는 또한 델타 t가 시뮬레이션 정확도에 미치는 영향에 대해 논의하고 결과에 미치는 영향을 조사할 것을 제안합니다.
Heston 모델의 거의 정확한 시뮬레이션의 성능을 분석하는 수치 실험을 제시하는 강의와 함께 전산 금융의 오류 개념에 대해 논의합니다. 강의에서는 적분을 단순화하고 CIR 프로세스의 거의 정확한 시뮬레이션을 사용하여 시뮬레이션이 확률적이라기보다 결정론적이라고 설명합니다. 강사는 Heston 모델을 시뮬레이션할 때 이 단순화된 체계의 성능을 평가하기 위해 수치 실험을 수행합니다.
이 강의는 전산 노력과 전산 금융의 틀에 도입된 작은 오류 사이의 균형을 더 탐구합니다. 강사는 변동성 프로세스에 대한 Feller 조건이 실제로 충족되지 않는 경우가 많기 때문에 모델을 시장 데이터로 보정해야 할 필요성을 강조합니다. 강의는 Heston 모델의 상관 계수가 일반적으로 잠재적으로 수치 계획 고려 사항으로 인해 매우 부정적이라는 점을 지적합니다.
강사는 이국적인 파생 상품의 가격을 책정하기 위해 Monte Carlo 시뮬레이션을 사용하는 방법에 대해 논의하고 모델을 액체 도구로 보정하는 것의 중요성을 강조합니다. 모델 보정에서 얻은 매개 변수를 사용하여 Monte Carlo 경로를 시뮬레이션하고 파생 상품과 관련된 헤징 수단을 고려하여 가격 정확도를 보장합니다. 강사는 더 적은 시간 단계로도 오일러 이산화에 비해 거의 정확한 시뮬레이션의 우월성을 강조하고 오일러 오류의 주요 원인은 극단적인 매개변수 또는 펠러 조건 위반 하에서 분산 프로세스의 문제가 있는 이산화에 있다고 설명합니다.
Heston 모델에서 오일러 이산화의 정확성은 내가격, 외가격 및 등가격 옵션을 포함한 다양한 옵션을 사용한 실험을 통해 탐색됩니다. 강의는 실험에 사용된 코드를 제시하며, 오일러 이산화와 CIR 샘플링을 포함하는 거의 정확한 시뮬레이션과 비중심 매개변수를 사용한 원목 공정의 시뮬레이션을 중심으로 합니다.
강사는 오일러 이산화와 거의 정확한 시뮬레이션을 모두 사용하여 유럽 옵션의 가격을 책정하기 위한 시뮬레이션의 설정 및 구성에 대해 논의합니다. CIR 프로세스의 정확한 시뮬레이션, 브라운 운동의 상관 관계 및 지수 변환은 시뮬레이션의 필수 부분입니다. 일반 함수를 사용한 옵션 가격 책정을 시연하여 행사 가격 및 시간 단계와 같은 변수가 시뮬레이션의 정확도에 미치는 영향을 보여줍니다. 거의 정확한 시뮬레이션이 오일러 방식에 비해 더 적은 시간 단계로 높은 정확도를 달성한다는 점을 강조하며 강의를 마칩니다.
강의는 Heston 모델에서 파생 상품 가격 책정을 위한 Monte Carlo 시뮬레이션의 사용을 광범위하게 다룹니다. CIR 프로세스의 시뮬레이션을 탐색하고 문제와 함정에 대해 논의하며 다양한 이산화 방식을 비교합니다. 강의는 거의 정확한 시뮬레이션의 이점을 강조하고 보정 및 모델 정확도의 중요성을 강조하며 전산 금융에서 Monte Carlo 시뮬레이션을 구현하기 위한 실용적인 통찰력과 코드 예제를 제공합니다.
00:00:00 이번 전산금융강의에서는 업계에서 도전적인 모델인 헤스톤 모델을 이용한 유러피안 옵션 등의 파생상품 가격 책정을 위해 몬테카를로 시뮬레이션을 활용하는 데 초점을 맞췄다. 강의는 Monte Carlo 및 간단한 Black-Scholes 모델을 사용하여 유럽 및 디지털 옵션의 가격 책정을 수행하는 워밍업으로 시작됩니다. CIR 프로세스의 시뮬레이션은 시뮬레이션의 필수 요소인 Heston 모델의 분산에 대한 역학이므로 논의됩니다. 시뮬레이션의 함정이 강조 표시되고 분포에서 정확한 샘플링에 도움이 되는 CIR 모델의 정확한 시뮬레이션이 시연됩니다. 오일러보다 더 큰 시간 단계와 더 높은 정확도를 허용하는 거의 정확한 시뮬레이션이 도입되었으며, 이는 오일러 이산화를 사용하여 헤스톤 모델을 시뮬레이션하는 데 사용되며 그 결과를 밀스타인 이산화와 비교합니다.
00:05:00 이 섹션에서 강사는 유럽 콜 옵션 및 디지털 콜 옵션 보수에 대한 Heston 모델의 Monte Carlo 시뮬레이션에 대해 설명합니다. 초기 재고 5, 시그마 30%, 이자율 6%, 만기 1로 시작합니다. 그들은 Euler와 Milstein 체계를 모두 사용하여 여러 경로의 결과를 비교하여 유럽식 보수의 경우 약한 수렴 순서가 중요하고 부분 종속 보수의 경우 강한 수렴이 중요하다는 사실을 발견했습니다. 그들은 결과의 유형에 따라 특히 시간이 중요한 생산 환경에서 필요한 컴퓨팅 시간을 염두에 두고 더 높은 품질의 결과를 위해 단계 또는 경로의 수를 조정해야 한다고 경고합니다.
00:10:00 Heston 모델의 Monte Carlo 시뮬레이션 강의의 이 섹션에서 발표자는 평가에 필요한 계산 시간에 대해 논의하고 Euler와 Milstein 이산화 체계 간의 코드 비교를 제공합니다. 이 코드는 유러피언 콜 및 풋 옵션에 대한 파일과 함께 경로 생성 및 보수 평가를 포함합니다. 발표자는 생산 환경에서 코드를 보다 효율적으로 만들 수 있으며 주식의 마지막 가치만 요구하는 보수 평가를 위해 전체 경로를 저장할 필요가 없다고 지적합니다. Black-Scholes 모델의 간단한 구현으로 정확한 솔루션이 제공됩니다.
00:15:00 이 섹션에서 발표자는 유럽 옵션과 동일한 접근 방식을 사용하여 디지털 또는 현금 옵션의 가치를 계산하는 방법을 설명합니다. 유일한 차이점은 만기 시 주식 가치만 보고 출력 옵션의 경우 주식이 K보다 클 확률을 계산하는 보수 계산에 있습니다. 그들은 유사성과 오류를 보여주는 다양한 진단 및 출력을 실행합니다. 유럽과 디지털 옵션 모두에 대한 접근 방식 사이. 발표자는 또한 강력한 수렴이 존재하지 않기 때문에 지불금이 터미널 지불에만 의존하는 옵션에 대해 Monte Carlo 시뮬레이션을 사용하는 단점에 대해 이야기합니다. 마지막으로 발표자는 코드가 일반적이며 Heston 모델과 같은 다른 모델에도 동일한 접근 방식을 사용할 수 있음을 의미합니다.
00:20:00 이 섹션에서 발표자는 경로가 제대로 작동하기 위해 Heston 모델에서 충족되어야 하는 조건과 어떻게 이산화 기술이 이러한 조건을 유지할 수 없는지 논의합니다. 연사는 장기 평균을 곱한 평균 회귀 속도에 비해 변동성이 훨씬 작으면 프로세스 경로가 잘 작동한다고 설명합니다. 그러나이 조건이 충족되지 않으면 프로세스의 경로가 0에 도달하고 반송되어 특수 프로세스가 될 수 있습니다. 그런 다음 연사는 그래프를 통해 변동성 매개변수의 변화가 미치는 영향을 보여주고 프로세스가 음수가 될 수 없는 방법을 설명합니다. 발표자는 오일러 이산화를 적용하면 모델이 이러한 조건을 유지할 수 없고 경로가 다르게 동작할 수 있다고 언급하면서 결론을 내립니다.
00:25:00 강의의 이 섹션에서 교수는 Monte Carlo 시뮬레이션과 함께 Heston 모델을 사용하는 동안 다음 반복에서 부정적인 실현 가능성에 대해 논의합니다. 음수 실현 확률은 이전 타임스탬프의 VI가 양수라고 가정하고 VI+1이 음수일 확률을 찾아 계산합니다. 이 시나리오가 발생할 가능성은 TAPA, V BAR 및 GAMMA 간의 관계에 따라 다릅니다. 감마가 매우 크고 카파 곱하기 V bar가 매우 작은 경우 음수 실현 확률이 증가하고 복소수로 이어져 시뮬레이션이 실패할 수 있습니다. 교수는 가격 파생 상품의 실질적인 차이를 피하기 위해 모델을 재정의하지 않고 Monte Carlo 경로가 모델과 일치하는지 확인하는 것의 중요성을 강조합니다.
00:30:00 이 섹션에서 강사는 Heston 모델 시뮬레이션에서 음수 값 문제를 처리하기 위한 두 가지 가능한 접근 방식에 대해 설명합니다. 첫 번째 접근 방식은 음수 값이 강제로 0이 되는 잘림(truncation)이지만 이로 인해 실제 모델과 크게 다를 수 있는 편향이 발생합니다. 두 번째 접근 방식은 음수 값이 절대 값으로 미러링되는 반사 오일러 방식이지만 이 방식도 프로세스를 재정의하고 편향을 초래할 수 있습니다. 강사는 두 가지 방식을 비교하고 더 작은 시간 단계로 바이어스를 줄일 수 있지만 계산 비용이 더 많이 든다는 점에 주목합니다.
00:35:00 이 섹션에서 강사는 Heston 모델의 Monte Carlo 시뮬레이션에 사용되는 두 가지 접근 방식인 절단 및 반사 원리에 대해 설명합니다. 두 접근 방식 모두 정확한 솔루션이 아닌 서로에 대해서만 비교할 수 있는 편향을 제공합니다. 그러나 정확한 솔루션이 없으면 편향을 비교하기 위해 매우 많은 수의 시간 단계가 있는 참조를 사용할 수 있습니다. 강사는 또한 두 경로에 대해 정확히 동일한 무작위성을 보장하기 위해 두 접근 방식에 대해 무작위 시드를 고정하는 것이 중요하다는 점에 주목합니다. 마지막으로 강사는 마운트 재설정과 관련된 코드의 작은 오타에 대해 경고하고 학생들에게 델타 t에 대해 고정된 값을 설정하고 이를 많은 시간 단계로 참조와 비교하도록 조언합니다.
00:40:00 강의의 이 섹션에서 연사는 오일러 또는 중간 상태 체계에 의존하는 대신 정확한 시뮬레이션을 사용하여 CIR 프로세스의 시뮬레이션에 대해 논의합니다. CIR 프로세스가 중심이 아닌 카이제곱 분포를 따른다는 사실을 알고 있으면 Python, MATLAB 또는 C++와 같은 널리 사용되는 프로그래밍 언어에서 사용할 수 있는 빠른 라이브러리를 사용하여 이 분포에서 직접 샘플링할 수 있습니다. 중심이 아닌 카이제곱 분포에서 직접 샘플링하는 이점은 관심 있는 시간에서 직접 샘플링할 수 있으므로 작은 시간 단계를 고려할 필요가 없다는 것입니다. 또한 프레젠테이션에는 매개변수에 대한 지수 및 자유도의 영향을 포함하여 분포를 시뮬레이션하는 프로세스에 대한 논의가 포함됩니다.
00:45:00 이 섹션에서는 화자가 Heston 모델의 Monte Carlo 시뮬레이션에 대해 이야기합니다. CIR의 정확한 샘플링 시뮬레이션을 수행하려면 사용자는 매개변수를 정의하고 특정 지점에서 특정 매개변수를 계산하고 모든 경로의 벡터를 취하여 v를 얻어야 합니다. 시뮬레이션에 사용되는 계산 코드는 샘플 생성, 함수 평가 및 이전 시간 단계를 포함하므로 간단합니다. 또한 시뮬레이션이 작동하기 위한 조건부 검사 또는 요구 사항이 없으며 정확한 분포에서 샘플링하면 시뮬레이션이 관련된 시간 단계에 의존하지 않으므로 샘플 생성을 위한 최적의 방법이 됩니다.
00:50:00 강의의 이 섹션에서는 수렴을 개선하기 위해 비중앙 고득점 분포를 사용하여 Heston 모델을 정확하게 시뮬레이션하는 데 초점을 맞춥니다. Heston 모델에는 CIR 프로세스에 자금을 지원하는 분산 프로세스가 있으며 CIR 프로세스의 정확한 샘플링은 이러한 수렴 개선을 촉진하는 데 중요합니다. 첫 번째 단계는 Monte Carlo 시뮬레이션의 수렴을 위한 대수 변환을 수행하는 것입니다. 그런 다음 확률적 미분방정식은 중심이 아닌 높은 제곱 분포에서 정확한 샘플링을 얻기 위해 Cholesky 분해를 사용하여 독립적인 브라운 감정으로 표현됩니다. 이는 CIR 프로세스에 연결하고 Heston 모델을 정확하게 시뮬레이션하는 중요한 단계입니다.
00:55:00 강의의 이 섹션에서 연사는 다차원 문제를 시뮬레이션할 때 프로세스 순서 지정의 중요성을 설명하고 X 및 분산 값 모두에 대해 Heston 모델 프로세스를 통합하는 방법을 보여줍니다. X와 분산 사이의 상관관계는 동일하므로 분산 프로세스의 표현을 X에 대한 프로세스로 대체할 수 있습니다. 이 대체는 방정식을 단순화하고 전체 프로세스의 시뮬레이션을 허용합니다. 연사는 프로세스를 더 쉽게 통합하기 위해 큰 시간 단계를 사용하도록 조언합니다.
01:00:00 이 섹션에서는 특정 날짜의 가격 옵션에 중요한 대규모 시간 단계 시뮬레이션을 수행하는 데 중점을 둡니다. 우리는 품질을 유지하면서 관찰 지점 사이에서 시뮬레이션되는 경로의 수를 줄여 시뮬레이션에 필요한 시간을 최소화하고자 합니다. Loan Central High Square 방법의 샘플링을 사용한 정확한 시뮬레이션은 추가 근사 없이 권장됩니다. Heston 모델의 시뮬레이션은 시간 t에서의 샘플 값을 기반으로 하며 해당 간격의 시작 값으로 근사화됩니다. 근사는 시뮬레이션 정확도에 대한 허용 가능한 영향 수준을 결정하기 위해 조사해야 하는 새로운 용어 델타 t를 도입합니다.
01:05:00 이 섹션에서는 계산 노력이 프레임워크에 도입된 작은 오류를 보상할 것이라는 희망과 함께 계산 금융의 오류 개념에 대해 논의합니다. Heston 모델의 거의 정확한 시뮬레이션인 x_i+1에 대한 표현이 CIR 프로세스의 정확한 시뮬레이션에서 얻을 수 있도록 적분이 단순화되었습니다. 시간 t_i에서 vt의 값을 동결함으로써 분산 프로세스가 미리 결정되고 시뮬레이션이 더 이상 확률적이지 않습니다. 이 단순화된 방식으로 Heston 모델의 거의 정확한 시뮬레이션 성능을 분석하기 위해 수치 실험이 수행됩니다.
01:10:00 이 섹션에서 강사는 거의 정확한 시뮬레이션의 개념과 대규모 시간 단계 시뮬레이션의 이점에 대해 설명합니다. 큰 시간 단계를 수행하면 계산에 필요한 시간이 줄어들지만 오류가 발생한다고 설명합니다. 강의에는 Heston 모델에 대한 시간 단계 크기, 행사 가격 및 기타 매개 변수를 변경할 때 발생하는 오류를 분석하는 실험도 포함됩니다. 또한 강사는 변동성 프로세스의 한계 조건인 Feller 조건이 실제로는 거의 항상 충족되지 않는다고 언급하며 시장 데이터에 대한 모델 보정의 중요성을 강조합니다. 마지막으로, Heston 모델에 대한 상관 계수는 일반적으로 실제로 매우 음수이며 이는 수치 체계 때문일 수 있다는 강의 노트입니다.
01:15:00 이 섹션에서 강사는 몬테카를로 시뮬레이션을 사용하여 이국적인 파생 상품의 가격을 책정하고 가장 유동성이 높은 상품으로 모델을 보정하는 것의 중요성에 대해 논의합니다. t 대량으로 거래됨. 모델 보정에서 얻은 매개변수를 사용하여 Monte Carlo 경로를 시뮬레이션하고 이국적인 파생 상품의 가격을 책정하여 가격이 정확하고 파생 상품에 사용되는 헤징 도구가 보정 중에 고려되도록 할 수 있습니다. 강사는 또한 시간 단계가 더 적은 경우에도 거의 정확한 시뮬레이션이 오일러 이산화보다 나은 점과 오일러 오류는 주로 극단적인 매개변수에 대한 분산 프로세스의 문제가 있는 이산화 또는 펠러 조건이 충족되지 않을 때 발생한다고 설명합니다.
01:20:00 이 섹션에서는 Heston 모델의 Euler 이산화 정확도를 깊은 내가격, 외가격 및 등가격 옵션을 사용하여 탐색합니다. 외가격에서 깊은 내가격 옵션으로 정확도가 향상되었음을 보여주는 결과. 실험에 사용된 코드는 오일러 이산화 및 cir 샘플을 포함하는 거의 정확한 시뮬레이션과 non-centrality 매개변수를 사용하는 원목 스톡 프로세스의 스톡 프로세스 시뮬레이션에 중점을 두고 논의됩니다.
01:25:00 이 섹션에서 강사는 Euler와 거의 정확한 시뮬레이션을 모두 사용하여 유럽 옵션 가격을 책정하기 위한 시뮬레이션의 설정 및 구성에 대해 논의합니다. 시뮬레이션에는 지수 변환이 뒤따르는 브라운 운동의 상관 관계가 있는 CIR 프로세스의 정확한 시뮬레이션이 포함됩니다. 그런 다음 강사는 이산화 시간 단계에 대한 델타 t의 벡터를 지정하고 COS 방법의 정확한 시뮬레이션을 수행하는 일반 함수를 사용하여 옵션 가격 책정을 시연합니다. 분석은 거의 정확한 시뮬레이션이 매우 정확하고 오일러 체계에 비해 더 적은 시간 단계가 필요함을 보여줍니다. 또한 행사 가격 및 시간 단계와 같은 변수를 변경하면 시뮬레이션의 정확도에 상당한 영향을 미칠 수 있습니다.
01:30:00 이 섹션에서 화자는 Euler 이산화의 성능과 Heston 모델의 Monte Carlo 시뮬레이션에서 거의 정확한 시뮬레이션을 비교합니다. 경로 수를 늘리면 두 접근 방식의 차이가 더욱 두드러집니다. 결과는 거의 정확한 시뮬레이션이 오일러 이산화를 능가하고 실제로 거의 정확하다는 것을 보여줍니다. 적분의 근사치는 고품질 결과를 얻는 데 핵심이 아니며 실험은 오일러가 있는 경우 그 사이에 많은 시간 단계가 필요하지만 거의 정확한 시뮬레이션은 높은 결과를 얻기 위해 몇 단계만 필요하다는 것을 보여줍니다. 시뮬레이션에서 너무 많은 시간 단계를 거치지 않고도 정확도를 높일 수 있으므로 Monte Carlo로 Heston 모델을 시뮬레이션하는 데 매우 유용합니다.
Computational Finance Lecture 10- Monte Carlo Simulation of the Heston Model▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬This course is based on the book:"Mathemat...
강의에서는 헤징의 개념이 금융에서 파생상품 가격 결정과 마찬가지로 중요하다고 강조합니다. 강사는 파생상품 가격이 특정 매개변수에 미치는 영향과 헤징 실험을 수행하는 방법을 결정하기 위해 다양한 민감도 계산을 탐구합니다. Black-Scholes 모델의 헤징 원칙, 손익 시뮬레이션, 동적 헤징, 점프의 영향 등 몇 가지 주요 주제를 다룹니다. 강사는 헤징의 개념이 파생상품의 가치를 결정하고 헤징의 가격이 전체적인 가치를 결정한다고 강조합니다.
포괄적인 이해를 돕기 위해 강사는 금융 산업에서 헤징의 개념을 설명하는 것으로 시작합니다. 금융기관은 이국적인 파생 상품 가치에 추가 스프레드를 적용하여 수익을 창출합니다. 위험을 완화하기 위해 파생 상품을 복제하는 포트폴리오가 구성됩니다. 이 포트폴리오는 주식에 대한 포트폴리오의 민감도에 해당하는 더하기 기호와 빼기 델타가 있는 파생 상품의 가치로 구성됩니다. 적절한 델타를 선택하는 것은 사용된 모델에 맞추기 위해 사거나 팔아야 하는 주식의 수를 결정하므로 매우 중요합니다. 강사는 델타가 계약 기간 내내 지속적으로 조정되어 평균 이익 손실이 0이 되는 실험을 시연합니다.
강의에서는 델타 헤징의 개념을 다루고 동적 헤징과 정적 헤징을 구분합니다. 델타 헤징은 복제 포트폴리오의 가치가 헤지의 델타를 결정하는 포트폴리오의 위험 요소를 헤지하기 위해 사용됩니다. 동적 헤징은 델타를 자주 조정하는 반면 정적 헤징은 파생상품 계약 시작 시 또는 특정 간격에서만 파생상품을 매매합니다. 이 비디오는 또한 가격 책정 모델의 확률적 미분 방정식의 수에 대한 헤지의 민감도와 헤지 빈도가 잠재적인 손익에 미치는 영향에 대해 설명합니다.
강의에서는 손익(P&L) 계정의 개념을 소개하면서 파생상품 판매 및 헤징 시 손익을 추적하는 역할을 설명합니다. P&L 계정은 옵션 매도에서 얻은 초기 수익금과 저축 또는 차용 금리에 따라 시간이 지남에 따라 증가하는 델타 h 값의 영향을 받습니다. 목표는 파생 상품의 만기에서 균형을 이루는 P&L 계정을 달성하는 것입니다. 이는 Black-Scholes 모델에 따라 부과되는 공정 가치를 나타냅니다. 그러나 모델이 적절하게 선택되지 않으면 공정가치에 추가된 스프레드가 모든 헤징 비용을 충당하지 못하여 손실이 발생할 수 있습니다. 따라서 대체 파생 상품의 가격을 책정하기 위해 현실적이고 강력한 모델을 사용하는 것이 필수적입니다.
강의는 헤징의 반복 과정과 만기 말의 손익(P&L) 계산에 대해 심도 있게 다룹니다. 이 프로세스에는 시간 t0과 시간 t1에서 옵션의 델타를 계산한 다음 이들 사이의 차이를 결정하여 매수 또는 매도할 주식 수를 확인하는 작업이 포함됩니다. 강사는 옵션 매도는 본질적으로 변동성을 매도하고 프리미엄을 징수하는 것과 관련되기 때문에 매도 및 수금 대상을 이해하는 것의 중요성을 강조합니다. 마지막에는 만기 시가를 기준으로 매도한 옵션의 가치를 결정하고, 이를 반복하는 과정을 통해 초기 프리미엄, 만기 시가, 매수 또는 매도한 주식수량을 이용하여 손익을 평가합니다. .
강사는 주식 가치와 관련된 변동성과 민감도를 줄이는 수단으로 전산 금융의 헤징에 초점을 맞춥니다. 이 강의에서는 헤징이 손실을 최소화하는 데 어떻게 도움이 되는지 설명하고 몬테카를로 경로 시뮬레이션에서 피아노 분포의 개념을 소개하여 P&L의 평균이 0이 되어야 함을 강조합니다. 이국적인 파생 상품 판매 및 헤지에서 파생된 이익은 예상 손익이 0이므로 고객에게 부과되는 추가 스프레드에서 발생합니다.
푸리에 변환 모델과 같은 고급 모델에서 알 수 없는 밀도로 인한 문제를 극복하기 위해 감도를 계산하는 데 대체 방법이 사용됩니다. 이러한 접근 방식 중 하나는 확률적 프로세스의 매개변수와 관련하여 임의 변수의 도함수를 계산하기 위한 수학적 프레임워크를 제공하는 Malliavin 미적분입니다.
Malliavin 미적분학은 Malliavin 파생물의 개념을 소개하며, 이는 고전적인 도함수의 개념을 확률적 프로세스에 의해 구동되는 무작위 변수로 확장합니다. 이 도함수를 사용하면 기존 방법을 적용할 수 없는 복잡한 모델에 대한 민감도를 계산할 수 있습니다. Malliavin 파생물을 활용하여 실무자는 푸리에 변환 모델의 다양한 매개변수에 대한 민감도를 얻을 수 있습니다. 이 접근 방식을 사용하면 모델에 존재하는 복잡한 종속성과 역학 관계를 포착하므로 보다 정확한 가격 책정 및 위험 관리가 가능합니다. 그러나 Malliavin 미적분을 활용하려면 고급 수학적 기술과 확률 분석에 대한 깊은 이해가 필요하다는 점에 유의해야 합니다. 일반적으로 양적 금융 및 수리적 금융 전문가들이 탐구하는 전문 분야입니다.
요약하면 푸리에 변환 모델과 같이 알 수 없는 밀도가 포함된 모델을 다룰 때 Malliavin 미적분학은 민감도를 계산하는 강력한 도구를 제공합니다. 이 접근 방식을 통해 복잡한 재무 시나리오에서 위험 평가 및 파생 상품의 정확한 평가가 가능합니다.
00:00:00 이 섹션에서는 헤징의 개념이 파생 가격 책정과 마찬가지로 중요한 것으로 소개됩니다. 강의는 파생 상품 가격이 특정 매개변수에 미치는 영향을 결정하기 위한 민감도의 다양한 계산과 헤징 실험을 수행하는 방법에 중점을 둡니다. 강의는 Black-Scholes 모델의 헤지 원리, 손익 시뮬레이션, 동적 헤징 및 점프의 영향과 같은 주제를 다룹니다. 강의는 헤징의 개념이 파생상품의 가치를 결정하고 헤징의 가격이 파생상품의 가치를 결정함을 강조한다.
00:05:00 이 섹션에서는 강사가 재무 헤징의 개념을 설명합니다. 금융 기관은 이국적인 파생 상품의 가치에 추가된 추가 스프레드로 수익을 창출합니다. 위험을 헤지하기 위해 주식에 대한 포트폴리오의 민감도에 해당하는 플러스 기호와 마이너스 델타가 있는 파생 상품의 가치로 구성되는 파생 상품을 복제하는 포트폴리오가 구축됩니다. 적절한 델타를 선택하는 것은 사용된 모델에 따라 포지션을 갖기 위해 얼마나 많은 주식을 사거나 팔아야 하는지를 결정하기 때문에 중요합니다. 강사는 델타가 계약 기간 동안 지속적으로 조정되어 평균적으로 이익 손실이 0이 되는 실험을 보여줍니다.
00:10:00 이 섹션에서는 델타 헤징의 개념과 동적 헤징과 정적 헤징의 두 가지 유형에 대해 강의합니다. 델타 헤징은 포트폴리오의 위험 요소를 헤지하는 데 사용됩니다. 복제 포트폴리오의 가치는 헤지의 델타를 결정합니다. 동적 헤징은 델타를 자주 조정하는 반면 정적 헤징은 파생상품 계약 시작 시 또는 몇 차례만 파생상품을 매수하거나 매도합니다. 비디오는 또한 가격 책정 모델의 확률적 미분 방정식의 수에 대한 헤지의 민감도와 헤지 빈도가 잠재적인 손익에 미치는 영향에 대해 설명합니다.
00:15:00 이번 전산금융 강의에서는 파생상품 매도 및 헤징 시 손익계산서의 개념을 소개합니다. P&L 계정은 옵션을 매도하여 얻은 초기 금액과 저축 또는 차입 이자율에 따라 시간이 지남에 따라 증가하는 델타 h 값에 따라 달라집니다. 목표는 파생 상품의 만기 시 P&L 계정이 0이 되도록 하는 것입니다. 이는 Black-Scholes 모델에 따라 공정 가치가 부과되었음을 나타냅니다. 모델을 제대로 선택하지 않으면 공정가치에 더해진 추가 스프레드가 모든 헤징 비용을 충당하지 못해 손실이 발생할 수 있습니다. 대체 파생 상품의 가격 책정을 위한 현실적이고 좋은 모델을 갖는 것이 중요합니다.
00:20:00 이 섹션에서는 만기 종료 시 손익(P&L)을 할당하고 헤징하는 반복 프로세스에 대해 설명합니다. 이 프로세스에는 시간 t0과 시간 t1에서 옵션의 델타를 계산하고 이들 사이의 차이를 찾아 매수 또는 매도할 주식 수를 결정하는 작업이 포함됩니다. 이 섹션은 또한 옵션 매도자가 본질적으로 변동성을 매도하고 프리미엄을 징수하는 것이기 때문에 무엇이 매도되고 수금되는지를 염두에 두는 것이 중요함을 강조합니다. 최종적으로 매도된 옵션의 가치는 만기시점의 주가를 기준으로 결정되며, 손익은 최초 프리미엄, 만기시가, 전체 주식의 매수 또는 매도액을 기준으로 평가됩니다. 반복 과정.
00:25:00 이 섹션에서 강사는 주식 관련 가치의 변동성과 민감도를 줄이는 방법으로 전산 금융의 헤징 아이디어에 중점을 둡니다. 강의에서는 헤징이 손실을 줄이는 데 어떻게 도움이 되는지 설명하고 몬테카를로 경로 시뮬레이션에서 피아노 분포의 개념을 설명하며 apl의 기대치가 0이 되어야 함을 지적합니다. 강의는 또한 기대 pl이 0이기 때문에 이국적인 파생 상품을 판매하고 이를 헤징함으로써 발생하는 이익이 고객에게 부과되는 추가 스프레드에서 나온다고 설명합니다. 강의는 만기에 pl의 기대치가 0과 같다는 것을 보여주면서 결론을 내립니다.
00:30:00 이 섹션에서 화자는 헤징 절차에 대해 논의하고 주어진 필터링 t0이 0인지 여부를 결정하기 위해 기대치를 취합니다. 연사는 계속해서 오늘로 할인된 주식의 기대치는 항상 초기 주식과 같고, 오늘로 할인된 예상 미래 수익의 표현은 파생상품의 가치와 같다고 설명합니다. 또한 연사는 파생 상품의 전체 손익이 pl 계정을 취하고, 적절한 헤징을 수행하고, 회수를 재귀적으로 평가하고, 음수 또는 양수일 수 있는 기대치를 고려하여 계산할 수 있음을 보여줍니다.
00:35:00 이 섹션에서 연사는 헤징에서 손익(P/L)의 확률 분포에 대한 헤징 빈도의 영향에 대해 논의합니다. P/L 분포의 분산은 헤징 빈도에 따라 다릅니다. Black Scholes 모델의 가정은 헤징이 매 순간 지속적으로 발생한다는 것인데, 이는 실제로 달성하기 거의 불가능합니다. 그 결과, 실험은 손익 불확실성에 대한 헤징 빈도의 영향을 조사합니다. P/L을 개발하는 반복적인 프로세스는 그래프에서 볼 수 있는 P/L 분포로 이어지며, 헤징 빈도가 증가하면 P/L의 불확실성이 감소한다는 결과를 보여줍니다. 이 지식을 바탕으로 화자는 몬테카를로 시뮬레이션에서 옵션 민감도 요소인 델타가 시간에 따라 어떻게 진화하는지 연구합니다.
00:40:00 이 섹션에서 교수는 기본 주식이 행사 가격에서 더 멀리 이동할 때 델타의 동작과 이것이 변동성과 시간의 영향을 받는 방식에 대해 논의합니다. Black-Scholes 모델에 따르면 주식이 외가격이 되면 내가격이 될 가능성이 더 작아집니다. 이 효과는 시간이 지남에 따라 더 중요하며 주식이 하락하고 만기에 가까워질수록 델타는 더 빨리 0이 됩니다. 교수는 또한 점프가 델타 헤징에 미치는 영향과 현실이 Black-Scholes 모델과 어떻게 다른지 언급합니다. 강의에는 다중 경로에 대한 벡터를 사용한 델타 헤징의 실험 및 구현이 포함됩니다.
00:45:00 강의의 이 섹션에서 연사는 헤징 코드와 Monte Carlo Greeks에 대해 논의합니다. 이 코드는 t, k 및 s0의 세 가지 인수를 고려합니다. s0의 값은 시간이 지남에 따라 변하므로 확률적이므로 코드에 벡터를 통합해야 합니다. 이 프로그램은 모든 시간 단계를 반복하고 r dt의 비율로 증가하는 델타 및 PNL을 계산합니다. 마지막 단계에서는 옵션이 내가격인지 외가격인지에 따라 손익을 차감하고 헤지를 매도합니다. 손익의 히스토그램은 헤지 빈도에 따라 다른 분포를 보여줍니다.
00:50:00 이 섹션에서 강사는 헤징 실험에서 손익 분포에 대한 주파수 증가의 영향에 대해 논의합니다. 결과는 헤지 빈도가 증가함에 따라 분포가 좁아지고 덜 위험하다는 것을 보여줍니다. 또한 강의에서는 점프 확산 과정을 추가하여 모델의 동역학을 변경하는 효과를 탐색합니다. 결과는 시장의 점프가 델타 및 옵션 가격에 직접적인 영향을 미치며 다른 방향으로 발생할 수 있음을 보여줍니다. 강사는 이 실험이 헤지할 때 다양한 시장 시나리오를 고려하는 것의 중요성을 강조한다고 강조합니다.
00:55:00 이 섹션에서는 포아송 점프 프로세스가 확산 모델에서 고려되며 시뮬레이션에는 드리프트에 대한 수정이 포함됩니다. 실험은 주식의 역학만 변경하지만 Delta의 민감도는 여전히 Black-Scholes 모델을 기반으로 하므로 모델에서 생성된 값과 헤징 매개변수 간에 일관성이 생성됩니다. 그러나 삽화는 승리 경로보다 패배 경로를 더 많이 보여줍니다. 이는 점프 분포와 대수 점프가 손익 분포에 미치는 영향 때문일 수 있습니다. 시간 단계의 수를 200에서 5,000으로 늘리면 분포가 약간 좁아지지만 거래 손실 효과는 여전히 문제가 됩니다.
01:00:00 이 섹션에서 강사는 금융, 특히 헤징에서 점프 모델을 사용할 때의 단점에 대해 논의합니다. 단점은 점프 효과로 인해 마이너스 손익이 발생하여 위험을 줄이기 위한 헤지를 찾기가 어려워 Heston 모델과 같은 모델이 선호된다는 것입니다. 점프 효과를 줄이는 한 가지 방법은 다른 스트라이크가 있는 다른 옵션으로 헤지하는 것입니다. 단점은 가격 책정 및 헤징 측면에서 비용이 많이 드는 서로 다른 구성의 7가지 파생 상품을 구매해야 할 수 있다는 것입니다. 강사는 변동성에 대한 파생 상품의 가치에 대한 민감도인 베가(Vega)에 대해서도 논의합니다. 이는 헤지에서 중요한 그리스어입니다. 마지막으로 강사는 델타 헤지가 Black Scholes 모델에서 잘 작동하는 이유와 이를 개선할 수 있는 방법을 설명합니다.
01:05:00 이 섹션에서 연사는 실제로 델타 및 베가 헤징의 개념에 대해 논의합니다. 실질적인 헤징에서는 주식의 변동성 계수가 다르기 때문에 델타 헤징과 베가 헤징이 필요합니다. Vega 헤징은 변동성 변화와 관련된 불확실성을 헤지하기 위해 수행됩니다. 따라서 파생상품 계약 포트폴리오는 변동성에 대한 파생상품의 민감도에 해당하는 옵션을 매수 또는 매도하여 vega에 대해 헤지해야 합니다. 트레이더는 자신의 포트폴리오가 델타와 베가의 한도를 초과하지 않도록 해야 하며, 서로 다른 거래를 함께 모아 거래 포트폴리오를 구축하는 것은 델타, 베가 및 포트폴리오 수준에서 헤징을 위해 감마와 같은 다른 그리스를 볼 때 유익할 것입니다. .
01:10:00 이 섹션에서는 헤징의 개념과 포트폴리오의 위험을 줄이기 위한 파생 상품의 사용에 대해 설명합니다. 주어진 예는 델타가 50이고 베가가 200인 주식 및 파생 상품의 포트폴리오와 관련이 있습니다. 목표는 콜 옵션을 사용하고 주식을 사고 팔아서 위험을 줄이는 것입니다. 강의에서는 델타에도 영향을 미치기 때문에 베가를 헤징하는 것부터 시작하는 것이 가장 좋은 방법이라고 설명합니다. 20개의 콜옵션을 매도함으로써 포트폴리오의 베가는 0으로 줄어들고 델타는 36으로 줄어듭니다. 나머지 델타를 헤지하기 위해 36개 주식이 매도되어 베가와 델타가 0인 포트폴리오가 됩니다.
01:15:00 강의의 이 섹션에서는 델타의 파생물인 감마를 사용한 헤징에 중점을 둡니다. 높은 감마는 델타가 많이 변경된다는 것을 의미하므로 낮은 델타를 유지하기 위해 포트폴리오를 더 자주 재조정해야 합니다. 주식은 헤징을 위해 감마를 추가하는 데 사용할 수 없으며 대신 감마 또는 베가와 같은 2차 값에 민감한 옵션 또는 기타 파생 상품을 사용해야 합니다. Black-Scholes 모델의 민감도는 폐쇄형으로 제공되지만 폐쇄형 솔루션을 사용할 수 없는 모델에는 Monte Carlo 시뮬레이션이 필요합니다. 근사 민감도를 얻기 위한 두 가지 방법은 O(delta delta theta) 차수인 finite difference와 delta theta 제곱 차수인 central difference가 있습니다.
01:20:00 이 섹션에서 화자는 특히 델타 및 베가 헤지의 실험 결과에 중점을 두고 유한 차분을 사용하여 특정 매개변수와 관련하여 가치의 민감도 계산에 대해 논의합니다. 화자는 특히 민감도 계산에서 작은 충격 크기의 경우 중앙 차이가 전방 차이보다 더 정확하다는 것을 설명합니다. 또한 매개변수에 대한 도함수 값의 민감도인 경로별 민감도의 개념을 소개하고 이 접근법의 핵심 요소인 미분과 기대 연산자의 교환에 대해 논의합니다. 발표자는 이 접근 방식이 가격 책정에 사용되는 확률적 프로세스에 대한 지식이 있을 때 유럽식 보수에 대해 특히 정확하지만 수렴을 개선하고 유한 차분 계산에 비해 더 나은 결과를 얻을 수 있는 대안이 있음을 강조합니다.
01:25:00 강의의 이 섹션에서는 매개변수 변경과 관련하여 몬테카를로 평가의 민감도에 초점을 맞춥니다. 매개변수에 대한 미분의 미분을 알면 보수에 대한 지식을 통합하여 결과를 개선할 수 있습니다. 강의는 스톡 드라이버로 Black-Scholes 모델을 소개하는 유럽 콜 옵션의 예를 제공합니다. 이 모델에는 델타와 베가에 대해 계산할 수 있는 두 개의 매개변수 시그마와 s0이 있습니다. 지표 함수를 통해 주식에 대한 미분을 계산할 수 있습니다. 두 매개변수에 대한 보수의 미분과 주식의 미분을 구하면 기대값을 계산할 수 있습니다.
01:30:00 이 섹션에서 비디오는 전산 금융에서 경로 감도의 유용성에 대해 설명합니다. 경로를 시뮬레이션함으로써 st0 및 c에 대한 기대치와 민감도를 계산하여 경로 delta 및 vega로 이어질 수 있습니다. 수치 실험 결과를 분석한 결과, 경로 수를 늘려도 일정 수준 이상으로 결과의 품질이 향상되지 않는 것으로 나타났습니다. 동영상에는 경로의 수를 변경하고 동일한 시드를 기반으로 경로 델타와 베가의 기대치를 계산하는 파이썬 코드 실험도 포함되어 있습니다. 이 섹션의 주요 내용은 경로 민감도가 도움이 될 수 있고, 유한 차분 방법과 같은 재실행이 필요하지 않으며, 미리 생성된 경로에 의존하므로 사용이 간단하다는 것입니다.
01:35:00 이 섹션에서 강사는 더 복잡한 모델인 Heston 모델을 사용하여 민감도를 계산하는 방법과 이를 Black-Scholes 모델과 비교하는 방법에 대해 설명합니다. Heston 모델에는 변동성 프로세스를 구동하기 위해 여러 매개변수가 필요한 확률적 솔루션이 있어 Black-Scholes 모델에 비해 Vega 개념을 사용한 민감도 계산이 더 복잡해집니다. 그럼에도 불구하고 추가 노력이나 계산 없이 좋은 결과를 얻기 위해 경로 민감도를 사용하여 민감도를 계산하는 기술은 동일하게 유지됩니다. 강사는 또한 정확도를 보장하기 위해 유한 차분과 분석적 민감도 계산을 비교할 것을 권장합니다. 마지막으로 적분과 미분 계산을 번갈아 가며 민감도를 계산하는 기법으로 우도비법을 소개한다.
01:40:00 이 섹션에서 교수는 그리스인을 계산하는 우도 비율 방법에 대해 설명합니다. 이 방법은 밀도의 비율을 취하고 그들의 도함수를 우도 비율 표현으로 대체하는 것을 포함합니다. 이렇게 하면 자산 밀도 로그의 편도함수와 같은 미분 값을 계산할 수 있습니다. 이것은 밀도의 비율이기 때문에 가능도 비율이라고 합니다. 교수는 이 방법이 유용하긴 하지만 보수 함수를 계산해야 하기 때문에 경로별 방법만큼 실용적이지 않을 수 있음을 강조합니다. 그러나 밀도의 로그가 닫힌 형식으로 제공되는 모델의 경우 더 효율적일 수 있으므로 염두에 두는 것이 좋습니다.
01:45:00 이 섹션에서 발표자는 알 수 없는 밀도로 인해 푸리에 변환 모델의 매개변수에 대한 민감도를 계산하는 데 어려움이 있음을 설명합니다. 이는 경로별 접근 방식에 비해 델타에 대해서도 얻기가 훨씬 더 어렵습니다. 고급 프로세스를 처리할 때 밀도에 대해 알아야 하기 때문에 우도 비율 방법은 잘 수행되지 않습니다.
Computational Finance Lecture 11- Hedging and Monte Carlo Greeks▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬This course is based on the book:"Mathematical Modelin...
강의는 시작 날짜가 지연된 유럽 옵션의 일종인 포워드 스타트 옵션의 복잡성에 대해 탐구하며 종종 성능 옵션이라고 합니다. 이러한 옵션은 표준 유럽 옵션보다 더 복잡하며 강의에서는 유럽 옵션과 비교하여 보수 정의 및 이점에 대한 개요를 제공합니다.
포워드 스타트 옵션에 대한 가격 책정 기술이 더 복잡하며 강의는 특성 기능의 사용에 중점을 둡니다. Black-Scholes 모델을 사용하는 것과 Heston 모델에서 더 까다로운 가격 책정의 두 가지 유형의 포워드 스타트 옵션을 살펴봅니다. Python에서의 구현과 변동성에 의존하는 제품의 가격 책정도 다룹니다. 강의는 구성 요소로서의 유럽 옵션의 중요성과 이색 옵션과의 보정 및 관계를 강조합니다. Merton 점프를 통합하여 Heston 모델을 확장한 Bates 모델을 다루고 잘 보정된 모델을 보장하기 위한 헤징 매개변수의 사용을 강조합니다. 동영상은 포워드 스타트 옵션의 알려지지 않은 초기 주식 가치가 미래 시간(t1)에 어떻게 결정되는지 설명하고 이러한 옵션과 관련된 여과의 개념을 소개합니다. 강의는 또한 포워드 스타트 옵션이 다른 파생상품의 구성 요소 역할을 할 수 있는 방법을 탐구하여 파생상품 비용을 줄이는 전략을 제시합니다. 또한 교수는 클릭 옵션 구성, 원하는 파생 구조, 유럽 콜 및 포워드 스타트 옵션과의 관계를 다룹니다. 강의는 가격 할인 요소를 계산할 때 지불 날짜를 식별하는 것의 중요성을 강조합니다. 또한 두 주식의 비율이 비율의 로그 지수로 재구성되는 방법을 보여줍니다.
Monte Carlo 시뮬레이션 및 Black-Scholes 모델과 같은 분석 솔루션을 포함하여 포워드 스타트 옵션에 대한 다양한 가격 책정 방법에 대해 설명합니다. 특정 프로세스 클래스의 모든 모델에 대한 전방 시작 옵션의 가격 책정을 허용하는 전방 특성 함수를 찾아야 할 필요성이 설명됩니다. 이 강의에서는 특성 함수와 두 주식의 IU 로그 기대값을 사용하여 포워드 스타트 옵션의 가격 책정을 보여줍니다. 특성 함수를 결정할 때 더 큰 시그마 필드에 대한 조건이 탐색되어 마이너스 로그가 있는 지수가 예상을 벗어날 수 있습니다. T2에서 T1까지 할인된 특성 함수도 활용됩니다.
강의는 미래의 기대치를 나타내고 위험중립적 수단에 대한 기대로 표현되는 선물 통화 기능에 대해 자세히 설명합니다. 결정론적 이자율은 할인된 통화 함수와 할인되지 않은 통화 함수 간에 차이가 없음을 설명합니다. 그러나 확률론적 이자율은 복잡성을 야기합니다. 추가적인 기대값을 수반하는 순방향 시동 특성 함수를 도출하는 과정은 실제 사용을 위해 외부 기대치에 대한 분석적 솔루션을 허용하는 것의 중요성과 함께 설명됩니다. 전방 출발 특성 함수는 Black-Scholes 및 Heston 모델에 적용됩니다.
또한 강의는 Black-Scholes 모델의 포워드 스타트 통화 기능에 중점을 둡니다. 가격은 초기 주식 가치가 아닌 시간 경과에 따른 성과에만 의존해야 하므로 할인된 통화 기능에 비해 솔루션을 단순화합니다. 여러 차원에서 분산 부분이 존재하려면 내부 기대치를 해결해야 합니다. Black-Scholes 모델의 정확한 표현이 표시되어 두 주식의 비율 분포가 초기 주식 가치와 독립적임을 확인합니다. 분포는 p1에서 t2까지 증분을 포함하는 기하학적 브라운 운동으로 단순화됩니다.
Black-Scholes 모델에 따른 포워드 스타트 옵션의 가격 책정에 대해 설명하고 서로 다른 시간에 두 주식의 비율에 대한 기하학적 브라운 운동의 사용을 강조합니다. 포워드 스타트 옵션에 대한 콜 및 풋 옵션의 가격 솔루션은 행사가 조정 및 할인 시간이 약간 다를 뿐 유럽 콜 및 풋 옵션의 가격 솔루션과 매우 유사합니다. 강의에서는 가격을 계산할 때 Black-Scholes 내재변동성을 사용하는 것이 시장 기준에 맞기 때문에 다른 모델을 사용하는 경우에도 사용하는 것이 중요함을 강조합니다. 또한 앞으로 시작 옵션에 대한 두 가지 매개변수를 고려하라는 강사의 권장 사항을 강조하고 시청자에게 이 모델에서 Black-Scholes 가격이 분석적으로 알려져 있음을 상기시킵니다.
계속해서 화자는 분산을 나타내는 두 번째 확률 프로세스를 도입하여 정방향 시작 옵션에 대한 특성 함수의 복잡성을 증가시키는 번거로움 모델을 탐구합니다. 그러나 연사는 스톡 프로세스의 한계 분배에만 초점을 맞추기 때문에 가격 옵션에는 이 두 번째 차원이 필요하지 않다고 설명합니다. 특성함수를 단순화하고 대입한 후 통화선도함수에 대한 표현을 얻는다. 화자는 표현식과 관련된 기능에 대한 자세한 내용을 보려면 Hassle 모델의 슬라이드를 다시 방문할 것을 제안합니다.
강의는 Cox-Ingersoll-Ross(CIR) 과정에 대한 모멘트 생성 함수에 대한 논의로 진행되며, Heston 모델의 순방향 특성 함수에 대한 폐쇄형 표현을 제시합니다. 강사는 닫힌 형태의 모멘트 생성 기능을 사용하면 더 빠른 계산이 가능하다고 말합니다. 순방향 통화 함수에 모멘트 생성 함수를 대입하여 순방향 특성 함수에 대한 폐쇄형 표현식을 도출합니다. 마지막으로 발표자는 Heston 모델과 파생된 표현식을 사용하여 포워드 시작 옵션의 가격을 책정하는 수치 실험을 소개합니다.
다음으로 스피커는 앞으로 시작 옵션과 Bates 모델로 초점을 이동합니다. 분산 프로세스가 dvt로 표현되는 방법을 설명하고 변동성과 분산에 대한 매개변수에 대해 논의합니다. 화자는 내재 변동성이 매개변수에 미치는 영향과 전진 시작 옵션의 시간 거리 효과를 관찰하기 위해 두 가지 실험을 수행합니다. 실험은 내재 변동성 모양이 동일하게 유지되지만 수준이 다르다는 것을 보여줍니다. 시간 거리가 증가함에 따라 변동성은 장기 분산의 제곱근에 수렴합니다. 연사는 t1과 t2 주변에 더 집중된 밀도를 갖는 더 짧은 만기 옵션의 논리를 설명합니다. 내재 변동성을 비교하기 위해 코드를 사용한 추가 실험이 수행됩니다.
계속해서 강사는 전방 시작 옵션 가격 책정을 위한 전방 특성 함수 및 비용 방법의 구현을 다룹니다. 순방향 특성 함수는 Heston 모델과 CIR 프로세스를 위한 모멘트 생성 함수를 포함하여 람다 식과 다양한 매개변수를 사용하여 정의됩니다. 포워드 스타트 옵션 가격 책정 방법은 유럽 옵션 가격 책정 방법과 유사하지만 두 가지 다른 시간을 처리하기 위한 조정이 포함됩니다. 강사는 변동성 그리드를 정의하고 시장 가격에 보간하는 것과 관련된 전방 내재 변동성을 계산할 때 Newton-Raphson 알고리즘에 대한 좋은 초기 추측을 얻기 위한 요령을 공유합니다.
강의는 Newton-Raphson 방법을 사용하여 전방 내재 변동성을 계산하는 과정에 대한 설명으로 진행됩니다. 모델의 옵션 가격과 시장 가격의 차이에 대해 논의하고 강사는 SciPy 최적화 기능을 적용하여 Newton-Raphson 방법을 계산하고 내재 변동성이라고도 하는 최적의 변동성을 구하는 방법을 시연합니다. 이 섹션은 장기 평균과 초기 분산이 동일하고 내재 변동성과 전방 입력 변동성의 수준이 일치함을 확인합니다. 푸아송 분포를 따르는 독립 랜덤 변수 j에 의해 구동되는 추가 점프를 통합하는 Heston 모델의 확장인 Bates 모델도 도입됩니다.
강의는 Heston 모델과 Bates 모델의 차이점을 강조합니다. Heston 모델은 만기가 더 긴 주식 옵션의 스마일 및 스큐를 보정하는 데 적합하지만 1~2주 이내에 만료되는 옵션과 같이 만기가 짧은 옵션에는 어려움을 겪습니다. Bates 모델은 독립적인 점프를 도입하여 단기 옵션의 더 나은 조정을 가능하게 함으로써 이 문제를 해결합니다. Bates 모델에는 많은 매개변수가 포함되어 있지만 Heston 모델에서 확장하는 것은 어렵지 않습니다. Bates 모델의 특성함수를 도출하기 위해서는 로그 변환이 필요하며, 점프를 추가해도 모델이 여전히 잘 보정될 수 있음을 알 수 있습니다.
그런 다음 연사는 특히 확률적 강도에 중점을 둔 Bates 모델의 수정에 대해 논의합니다. 화자는 현재 매개변수를 탐색하지 않고 불필요한 복잡성을 도입하기 때문에 강도를 확률론적으로 만드는 것이 불필요하다는 의견을 표명합니다. 대신 모델의 강도는 상태 변수에서 선형으로 유지되고 일정한 드리프트로 정의됩니다. 화자는 아핀 점프 확산 프레임워크를 분석하고 책의 파생에 대한 세부 정보를 포함합니다. Heston 모델과 Bates 모델의 특성 함수 간의 유일한 차이점은 Bates 모델의 "a" 항에 있습니다. 또한 두 개의 수정 항에는 점프에 대한 모든 정보가 포함되어 있습니다. 강도의 영향, 점프의 변동성 및 j의 분포를 나타내는 mu j의 분석을 제공하는 수치 결과가 제시됩니다.
Heston 모델을 Bates 모델로 확장하는 방법에 대해 설명합니다. Bates 모델은 모든 시장 정보에 대해 모델을 보정하는 데 사용되므로 다른 모델에 비해 이점을 제공합니다. 이 모델의 코드는 단순하며 특히 모든 시장 정보에 대한 조정이 중요한 짧은 만기 옵션의 경우 추가적인 유연성을 제공합니다. 강의는 또한 포워드 스타트 옵션 또는 성능 옵션의 가격 책정에서 얻은 지식을 사용하여 분산 스왑과 같은 보다 흥미로운 파생상품의 가격 책정에 대해서도 다룹니다.
연사는 투자자가 자산의 미래 변동성에 베팅할 수 있는 분산 스왑이라는 파생 상품 유형을 소개합니다. 분산 스왑의 보상은 주어진 날짜 그리드에 대한 제곱 대수 주식 성과의 합계를 이전 주식 성과로 나눈 값으로 정의됩니다. 강사는 확률적 미분 방정식과 연결될 때 이 보상의 특이한 공식이 더 명확해진다는 점에 주목합니다. 이 파생상품의 가격을 책정할 때 행사가가 일정한 기대치와 같으면 개시 시점의 스왑 가치는 0이 됩니다. 게다가 화자는 대부분의 스왑이 액면가로 거래된다고 설명합니다. 즉, 두 상대방이 매수 또는 매도하기로 합의할 때 계약의 가치는 0이 됩니다.
그런 다음 강의에서는 Bates 모델의 시간 종속적 프레임워크와 시간 종속적 변동성을 시간 경과에 따른 파생 상품의 성능에 연결하는 방법에 대해 설명합니다. 보수는 변동성의 적분에 해당하는 대수 성과의 제곱으로 정의됩니다. 연사는 시그마 v 제곱의 기대값과 확률적 미분 방정식을 사용하여 계약의 세 번째 값을 찾는 방법을 설명합니다. 또한 252영업일의 스케일링 계수는 금융의 필수 요소로 도입됩니다.
마지막으로 연사는 투자자가 자산의 미래 변동성에 베팅할 수 있는 파생 계약인 분산 스왑의 공정 가치를 다룹니다. 스왑의 공정 가치는 0에서 계약 만기까지의 기간에 해당하는 스케일링 계수에 이자율에 해당하는 요소를 더하고 q log st의 기대값을 st0으로 나눈 값을 뺀 값으로 표현할 수 있습니다. 이러한 기대치를 평가하는 것은 몬테카를로 시뮬레이션 또는 주식의 분석적 분포를 통해 수행할 수 있습니다. 모든 작은 간격의 성과가 합성되더라도 결국 주식 가치를 초기 가치로 나눈 비율 또는 로그와 동일하다는 점에 주목하는 것이 흥미 롭습니다.
강의는 전진 시작 옵션, 성능 옵션, Heston 모델, Bates 모델 및 분산 교환과 관련된 광범위한 주제를 다룹니다. 가격 책정 기술, Python 구현, 금융 파생 상품에서 이러한 개념의 중요성에 대한 통찰력을 제공합니다.
00:00:00 이 섹션에서는 유럽 옵션보다 조금 더 복잡한 정방향 시작 옵션에 대해 강의합니다. 즉시 시작되지 않고 미래에 시작되는 일종의 유럽 옵션으로 성과 옵션이라고 합니다. 이 강의는 표준 유럽 옵션과 비교한 이점 및 보수 정의를 포함하여 포워드 스타트 옵션의 소개를 다룹니다. 포워드 스타트 옵션에 대한 가격 책정 기술이 더 복잡하며 강의에서는 특징적인 기능을 다룹니다. 강의는 또한 Black-Scholes 모델을 사용하는 것과 Heston 모델에서 더 까다로운 가격 책정 등 두 가지 유형의 포워드 스타트 옵션을 다룹니다. 강의는 Python으로 구현하고 변동성에 의존하는 제품의 가격 책정으로 끝납니다. 빌딩 블록으로서의 유럽 옵션의 중요성과 조정 및 이국적인 옵션과의 관계에 대해 논의합니다. 강의에서는 Heston 모델과 동일하지만 Merton 점프가 추가된 Bates 모델과 잘 보정된 모델을 보장하기 위한 헤징 매개변수 사용에 대해서도 언급합니다.
00:05:00 이 섹션에서 비디오는 유럽 옵션 유형으로 간주되지만 미래 시작 날짜가 있는 포워드 시작 옵션에 대해 설명합니다. 포워드 스타트 옵션의 초기 주식 가치는 알려지지 않았으며 초기 주식 가치가 시간 t0에 알려진 유럽 옵션과 달리 시간 t1에 결정됩니다. 또한 필터링의 개념은 포워드 스타트 옵션과 관련하여 논의되며 기본 주식의 현재 가치가 아니라 특정 기간의 성과에 어떻게 의존하는지 설명합니다. 동영상은 또한 포워드 스타트 옵션이 다른 파생 상품의 구성 요소로 사용될 수 있는 방법을 설명하고 파생 상품 비용을 줄이기 위한 전략의 한 가지 예를 제안합니다.
00:10:00 강의의 이 섹션에서 교수는 원하는 구조로 인해 투자자들이 좋아하는 파생 상품인 클릭 옵션의 요소 구성에 대해 설명합니다. 그는 또한 클릭 옵션의 보상을 정의하고 유러피언 콜과 포워드 스타트 옵션 간의 관계를 보여줍니다. 또한 교수는 가격 할인 요소를 계산할 때 지불 날짜를 식별하는 것이 중요하다고 설명합니다. 또한 그는 두 주식의 비율이 비율의 로그 지수로 재구성되는 방법을 보여줍니다.
00:15:00 이 섹션에서 발표자는 Monte Carlo 시뮬레이션 및 Black-Scholes 모델과 같은 분석 솔루션을 포함하여 포워드 스타트 옵션의 가격을 책정하는 다양한 방법에 대해 논의합니다. 연사는 고급 프로세스 클래스의 모든 모델에 대한 가격 결정력 시작 옵션을 허용하는 순방향 특성 함수를 찾아야 할 필요성을 설명합니다. 그런 다음 특성 함수와 두 주식의 IU 로그 기대값을 사용하여 포워드 스타트 옵션의 가격을 시연합니다. 스피커는 또한 특성 함수를 결정할 때 더 큰 시그마 필드에서 컨디셔닝이 어떻게 발생하는지 설명하여 마이너스 로그가 있는 지수가 예상을 벗어날 수 있도록 합니다. 마지막으로 화자는 T2에서 T1까지 할인된 특성 함수를 파생에 사용합니다.
00:20:00 이 섹션에서 발표자는 미래의 기대치를 의미하며 위험 중립 조치에 대한 기대치로 표현될 수 있는 포워드 통화 기능에 대해 논의합니다. 그들은 결정론적 이자율을 다룰 때 할인된 통화 함수와 할인되지 않은 통화 함수 사이에 차이가 없다고 설명합니다. 그러나 확률적 이자율이 도입되면 상황이 더 복잡해집니다. 발표자는 순방향 시작 특성 함수를 도출하는 프로세스에는 가격 옵션에 중요한 추가 예상 값 계산이 포함된다는 점에 주목합니다. 그들은 또한 가격 책정에 사용되는 프로세스가 실제 사용에 적합하도록 하기 위해 외부 기대치에 대한 분석 솔루션을 허용하는 것이 중요하다고 언급합니다. 그런 다음 발표자는 전진 출발 특성 함수를 블랙 Scholes 및 Heston 모델에 어떻게 적용할 수 있는지에 대해 논의합니다.
00:25:00 이 섹션에서는 Black-Scholes 모델의 포워드 스타트 통화 기능에 중점을 둡니다. 가격은 초기 주식 가치가 아닌 시간 경과에 따른 성과에만 의존해야 합니다. 즉, 솔루션은 원래 할인된 통화 기능보다 훨씬 간단합니다. 다차원의 경우 분산 부분은 여전하므로 어느 정도 내적 기대치를 해결해야 한다. Black-Scholes 모델의 정확한 표현이 이 섹션에 표시되어 두 주식의 비율 분포가 초기 주식 가치에 의존하지 않음을 확인합니다. 분포는 로그 정규성과 유사하므로 p1에서 t2까지 증가하는 기하학적 브라운 운동으로 단순화할 수 있습니다.
00:30:00 이 섹션에서 발표자는 Black-Scholes 모델에서 포워드 스타트 옵션의 가격 책정에 대해 논의합니다. 그는 그들이 기하학적 브라운 운동을 다루고 있기 때문에 서로 다른 시간에 있는 두 주식의 비율도 기하학적 브라운 운동이라고 설명합니다. 포워드 스타트 옵션에 대한 콜 및 풋 옵션의 가격 책정 솔루션은 유럽 콜 및 풋에 사용되는 것과 유사하지만 행사 가격 조정과 할인에 사용되는 시간이 약간 다릅니다. 발표자는 가격을 계산할 때 Black-Scholes 내재 변동성을 사용하는 것이 시장 표준이기 때문에 다른 모델을 사용하는 경우에도 사용하는 것이 중요하다고 강조합니다. 그는 포워드 스타트 옵션에 대한 두 가지 매개변수를 염두에 둘 것을 권장하고 시청자에게 블랙숄즈 가격이 이 모델에서 분석적으로 알려져 있음을 상기시킵니다.
00:35:00 이 섹션에서 발표자는 번거로움 모델과 분산을 나타내는 두 번째 확률 프로세스를 도입하여 정방향 시작 옵션에 대한 특성 함수의 복잡성을 증가시키는 방법에 대해 논의했습니다. 연사는 스톡 프로세스의 한계 분포에만 초점을 맞추기 때문에 옵션 가격 책정 시 이 두 번째 차원이 필요하지 않다고 설명했습니다. 문자함수를 단순화하고 대체하여 통화선도함수에 대한 표현을 얻었다. 발표자는 표현과 관련된 기능에 대한 자세한 내용을 보려면 Hassle 모델에 대한 슬라이드를 다시 방문할 것을 권장했습니다.
00:40:00 이 섹션에서 화자는 Heston 모델의 순방향 특성 함수에 대한 CIR 프로세스의 모멘트 생성 함수 및 폐쇄형 표현에 대해 설명합니다. 발표자는 모멘트 생성 기능이 닫힌 형태로 제공되어 더 빠른 계산이 가능하다는 점에 주목합니다. 모멘트 생성 함수를 순방향 통화 함수로 대체함으로써 화자는 순방향 특성 함수에 대한 폐쇄형 표현을 유도합니다. 마지막으로 발표자는 Heston 모델과 파생된 표현식을 사용하여 포워드 시작 옵션의 가격을 책정하는 수치 실험을 소개합니다.
00:45:00 이 섹션에서 연사는 전진 시작 옵션과 Bates 모델에 대해 설명합니다. 분산 프로세스가 dvt로 제공되는 방법과 매개변수가 변동성과 분산에 사용되는 방법을 설명합니다. 화자는 내재 변동성이 매개변수에 미치는 영향과 전진 시작 옵션의 시간 거리 효과를 관찰하기 위해 두 가지 실험을 수행합니다. 첫 번째 실험은 고정된 시간 간격을 포함하고 두 번째 실험은 간격의 길이를 확장하는 고정된 시작점을 가집니다. 실험은 내재 변동성의 모양은 동일하지만 수준이 다르며 거리가 증가함에 따라 변동성은 장기 분산의 제곱근으로 수렴합니다. t1과 t2 주변에 더 집중된 밀도를 갖는 짧은 만기의 논리를 설명하고 내재 변동성을 비교하기 위해 코드를 사용하여 추가 실험을 수행합니다.
00:50:00 이 섹션에서 강사는 포워드 시작 옵션 가격 책정을 위한 포워드 특성 함수 및 비용 방법의 구현에 대해 설명합니다. 순방향 특성 함수는 CIR 프로세스를 위한 하스텔 모델 및 모멘트 생성 함수와 같은 다양한 매개변수와 람다 식을 사용하여 정의됩니다. 포워드 스타트 옵션 가격 책정 방법은 유럽 옵션 가격 책정 방법과 유사하지만 두 가지 다른 시간을 처리하기 위한 조정이 추가되었습니다. 강사는 또한 변동성에 대한 그리드를 정의하고 시장 가격에 보간하는 것과 관련된 전방 내재 변동성을 계산하기 위한 Newton-Raphson 알고리즘에 대한 좋은 초기 추측을 얻기 위한 요령을 제공합니다.
00:55:00 이 섹션에서 강사는 Newton-Raphson 방법을 사용하여 전방 내재 변동성을 계산하는 프로세스에 대해 설명합니다. 강의는 모델의 옵션 가격과 시장 가격의 차이를 보여주고 SciPy 최적화를 사용하여 내재 변동성이 될 최적의 변동성을 얻기 위해 적용된 Newton-Raphson을 계산합니다. 이 섹션에서는 또한 장기 평균과 초기 분산이 동일하고 내재 변동성과 전방 입력 변동성의 수준이 동일함을 확인합니다. 또한 Heston 모델의 확장인 Bates 모델에 대해 설명하고 Poisson 분포로 주어지는 독립 확률 변수 j에 의해 구동되는 추가 점프 효과를 강조합니다.
01:00:00 이 섹션에서는 Heston 모델과 Bates 모델의 차이점에 대해 설명합니다. Heston 모델은 만기가 더 긴 주식 옵션에 대해 스마일 및 스큐를 보정하는 데 적합하지만 만기가 1~2주 후에 만료되는 옵션과 같이 만기가 더 짧은 옵션에 대해서는 그렇게 하기가 어렵습니다. Bates 모델은 프로세스에 독립적인 점프를 추가하여 단기 옵션을 더 잘 조정할 수 있도록 하여 이 문제를 해결합니다. 모델에 많은 매개변수가 있지만 Heston 모델에서 확장하는 것은 어렵지 않습니다. Bates 모델의 특성함수를 도출하기 위해서는 로그 변환이 필요하며, 점프를 추가해도 모델이 여전히 잘 보정될 수 있음을 알 수 있습니다.
01:05:00 이 섹션에서 화자는 Bates 모델의 수정, 특히 확률적 강도에 대해 설명합니다. 화자는 현재 매개변수를 탐색하지 않고 불필요한 복잡성을 도입할 것이기 때문에 강도를 확률론적으로 만드는 것이 필요하다고 생각하지 않습니다. 모델의 강도는 상태 변수에서 선형이며 일정한 드리프트로 정의됩니다. 아핀 점프 확산 프레임워크가 책에 포함된 파생의 세부 사항과 함께 분석됩니다. Heston 모델과 Bates 모델의 특성 함수 간의 유일한 차이점은 Bates 모델의 "a" 항에 있는 반면 두 개의 수정 항에는 점프에 대한 모든 정보가 포함됩니다. 강도, 점프의 변동성 및 j의 분포를 나타내는 mu j의 영향을 분석하여 수치 결과가 제시됩니다.
01:10:00 이 섹션에서 강사는 Heston 모델을 Bates 모델로 확장하여 모델을 모든 시장 정보로 보정하여 다른 모델에 비해 이점을 제공하는 방법에 대해 설명합니다. 이 모델의 코드는 단순하며 특히 모든 시장 정보에 대한 조정이 중요한 단기 만기 옵션에서 추가적인 유연성을 제공합니다. 강의는 또한 포워드 스타트 옵션 또는 성능 옵션의 가격 책정에서 얻은 지식을 사용하여 분산 스왑과 같은 훨씬 더 흥미로운 파생 상품의 가격 책정을 다룹니다.
01:15:00 이 섹션에서 강사는 주어진 날짜 그리드에 대한 주식 성과의 제곱 로그 합계를 이전 주식 성과로 나눈 값으로 정의되는 분산 스왑이라는 파생 상품 유형에 대해 설명합니다. 강사는 확률적 미분 방정식과 연결될 때 이 보상의 특이한 공식이 더 명확해진다는 점에 주목합니다. 이 파생상품의 가격을 책정할 때 행사가가 기대치(상수)와 같다면 개시 시점의 스왑 가치는 0이 됩니다. 또한 강사는 대부분의 스왑은 액면가로 거래되며, 이는 두 상대방이 매수 또는 매도에 동의할 때 계약의 가치가 0이 된다는 것을 의미한다고 설명합니다.
01:20:00 비디오의 이 섹션에서 연사는 Bates 모델의 시간 종속적 프레임워크와 시간 종속적 변동성을 시간에 따른 파생 상품의 성능에 연결하는 방법에 대해 설명합니다. 보수는 변동성의 적분에 해당하는 대수 성능 제곱으로 정의됩니다. 발표자는 또한 시그마 v 제곱의 기대값과 확률적 미분 방정식을 사용하여 계약의 세 번째 값을 찾는 방법을 설명합니다. 또한 252영업일의 스케일링 계수는 금융의 필수 요소로 도입됩니다.
01:25:00 이 섹션에서 연사는 투자자가 자산의 미래 변동성에 베팅할 수 있는 파생 계약인 분산 스왑의 공정 가치에 대해 논의합니다. 스왑의 공정 가치는 0에서 계약 만기까지의 기간에 해당하는 스케일링 계수에 이자율에 해당하는 요소를 더하고 q log st의 기대값을 st0으로 나눈 값을 뺀 값으로 표현할 수 있습니다. 이러한 기대치를 평가하기 위해 몬테카를로 시뮬레이션 또는 주식의 분석적 분포를 사용할 수 있으며 모든 작은 구간의 성과를 합성하더라도 결국 재고를 초기 값으로 나눈 값입니다.
Computational Finance Lecture 12- Forward Start Options and Model of Bates▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬This course is based on the book:"Mathematic...
이 강의는 이국적인 파생상품의 가격 책정과 가격 책정 모델을 경로 종속 사례로 확장하는 데 중점을 둡니다. 보수 구조를 확장하는 주요 동기는 고객에게 더 저렴한 가격을 제공하는 동시에 주식 시장 변동에 대한 노출을 제공하는 것입니다. 원하는 노출을 유지하면서 파생 비용을 줄이기 위한 수단으로 디지털 기능 및 장벽의 사용을 탐구합니다. 강의는 바이너리 및 디지털, 배리어 옵션 및 아시아 옵션을 포함한 다양한 유형의 보수를 탐구하고 파생 상품 가격에 미치는 영향을 조사합니다. 또한 강의에서는 다중 자산 옵션의 가격 책정과 수백 개의 주식 바스켓을 처리하기 위한 잠재적인 모델 확장에 대해 논의합니다.
블랙숄즈모형, 점프, 확률변동성모형 등 확률론적 미분방정식을 이용한 모델링 및 가격결정에 필요한 위험요인과 상품명세를 시작으로 금융상품의 가격결정 절차를 다룬다. 제품의 복잡성에 따라 정확한 가격 책정을 위해 1차원 또는 2차원 방정식 시스템이 충분할 수 있습니다. 이 프로세스에는 제품 가격을 책정하고 헤징 비용을 최소화하기 위해 최적의 매개 변수 세트를 선택하여 차익 거래가 없는 환경을 보장하는 보정 및 헤징도 포함됩니다.
유럽 옵션, 미국 옵션 및 버뮤다 옵션에 중점을 두고 다양한 유형의 옵션이 정의됩니다. 유럽 옵션은 이국적인 파생 상품의 기본 구성 요소로 간주되지만 시기를 잡기 어렵고 상당한 위험을 수반할 수 있습니다. 미국 옵션은 더 많은 유연성을 제공하여 언제든지 운동을 허용하는 반면 버뮤다 옵션은 지정된 날짜에만 운동을 허용합니다.
특정 시점의 한계 분포가 아닌 주식의 전체 이력에 의존하는 이국적인 파생 상품 및 경로 종속 옵션이 도입되었습니다. 바이너리와 디지털을 사용하여 보수 함수를 조정하면 파생 값이 크게 감소하는 것으로 나타났습니다. 강의는 자산 또는 무, 현금 또는 무, 주식 또는 무, 복합 옵션 및 선택자 옵션을 포함하여 다양한 유형의 이국적인 파생 상품을 다룹니다. 이러한 옵션에는 비용을 제어하기 위해 최대, 최소 또는 기타 제한과 같은 방식으로 계약을 제한하는 것이 포함됩니다. 과거, 특히 고금리 시기에 이국적인 파생상품의 인기에 대해서도 논의합니다.
이국적인 파생 상품을 통해 높은 수익을 창출하는 전략에 대해 설명합니다. 이 전략에는 수익이 보장된 안전한 계정에 대부분의 투자를 할당하고 잠재적인 옵션 지불금의 가격을 책정하는 것이 포함됩니다. 이 전략은 현재 인기가 없지만 과거에는 효과적이었습니다. 강의에는 잠재적 주식 성장에 대한 상한선을 설정하여 계약을 평가하고 가치를 낮추는 코드 예제도 포함되어 있습니다. 이 강의에서는 손익 구조의 작은 조정이 어떻게 평가를 크게 낮추고 고객에게 파생 상품을 더 매력적으로 만들 수 있는지 강조합니다. 장벽과 경로 종속성을 도입하면 비용을 줄일 수 있습니다. 업앤아웃, 다운앤아웃, 업앤인, 다운앤인 옵션과 같은 다양한 장벽 옵션과 주식의 과거 행동을 기반으로 한 파생상품 가격에 미치는 영향에 대해 논의합니다.
룩백 옵션(lookback options)의 개념을 탐구합니다. 여기에서 주식의 전체 기간 동안 최대 또는 최소 가치가 만기 시 보상을 결정합니다. 룩백 옵션은 경로 의존성을 포함하며 주식이 행사가보다 만기가 낮은 경우에도 긍정적인 지불금을 제공할 수 있습니다. 강의에서는 몬테카를로 시뮬레이션과 편미분 방정식(PDE)을 사용하여 룩백 옵션을 구현하는 방법을 설명하고, 장벽 옵션에 대한 특수한 경계 조건과 다른 이국적인 파생 상품으로의 확장을 강조합니다.
배리어 옵션은 거래 상대방 고객에 대한 매력과 교차 통화 시장에서의 사용을 강조하면서 자세히 논의됩니다. 강의는 out, in, down 및 up 옵션을 포함하는 배리어 옵션의 구성 및 보수에 대해 설명합니다. 강사는 배리어 옵션이 시간에 따라 달라지며 계약이 복잡해질 수 있다고 강조합니다. Monte Carlo 시뮬레이션 및 PDE는 가격 장벽 옵션에 대한 계산 방법으로 제시됩니다.
이 강의에서는 업앤아웃 옵션을 표준 유럽 옵션과 비교하여 배리어 트리거 보상으로 인해 업앤아웃 옵션의 가치가 크게 감소한다는 점에 주목합니다. 주식이 전체 기간 동안 특정 수준을 초과하지 않는 경우에만 보상이 발생하는 상향 배리어 옵션의 개념이 도입되었습니다. 강의는 배리어가 파생상품의 가격에 미치는 영향을 프로그래밍 연습을 통해 보여주며, 업앤아웃 배리어 옵션의 가격이 유사한 보수 구조를 가진 디지털 옵션의 가격과 동일함을 보여줍니다.
그런 다음 강사는 Monte Carlo 시뮬레이션을 사용하여 up-and-out 장벽의 구현을 설명합니다. 만기 시 주식 가치에만 의존하는 디지털 옵션의 보수와 달리 상향 배리어는 파생 상품의 전체 기간 동안 주식의 행동 이력도 고려합니다. 부울 행렬과 논리 조건을 활용하여 장벽에 도달했는지 여부를 결정하는 함수가 정의됩니다. 결과 "적중 벡터"는 각 경로에 대해 장벽이 적중되었는지 여부를 나타내는 이진 벡터입니다. 강사는 배리어 값을 변경하면 히트 벡터에 어떤 영향을 미치는지 보여주면서 배리어가 맞으면 보상이 0이고 맞지 않으면 1이라는 점을 강조합니다.
파생 계약에 장벽을 도입하는 개념은 가치를 낮추고 특정 자산에 대한 노출을 원하는 고객에게 보다 저렴한 옵션을 제공하는 방법으로 설명됩니다. 장벽의 존재는 파생 상품의 가치에 상당한 영향을 미치며 주식이 지정된 수준을 초과하지 않으면 잠재적으로 손실을 초래할 수 있습니다. 그러나 장벽을 통합함으로써 파생상품 가격을 약 30%까지 낮출 수 있어 투자자들에게 더욱 매력적인 상품이 될 수 있습니다. 그럼에도 불구하고 장벽이 있는 불연속 파생 상품은 헤징 비용 측면에서 문제를 일으킬 수 있으며 무한대로 상승할 수 있습니다. 이 문제를 완화하기 위해 강사는 대체 방법을 사용하여 보수를 복제하여 비용을 절감할 것을 제안합니다.
영상은 행사가격이 다른 콜옵션을 전략적으로 매매하여 옵션의 디지털 기능을 복제하는 개념을 소개합니다. 행사 가격이 서로 접근함에 따라 결과적인 보상은 디지털 옵션과 더욱 유사해집니다. 그러나 강사는 델타 및 감마 감도의 변화로 인해 옵션의 불연속성을 정확하게 복제하는 데 어려움이 있음을 인정합니다. 헤징에 근사치를 사용할 수 있지만 옵션의 디지털 특성으로 인한 잠재적인 헤징 손실을 보상하기 위해 프리미엄을 부과하는 것이 중요합니다. 영상은 디지털 한계를 도입하거나 손익 구조를 변경하여 파생 비용을 줄이는 개념을 강조합니다.
그런 다음 강의는 기초 자산과 관련된 변동성과 불확실성을 줄이고 결과적으로 파생 상품의 가격을 낮추는 수단으로 아시아 옵션에 대해 논의합니다. 아시아 옵션은 변동하는 주식의 평균 행동을 기반으로 하며, 이는 주식 자체보다 부드러운 경향이 있어 관련 불확실성을 줄입니다. 강사는 고정 및 변동 행사가 콜 및 풋을 포함하여 시장에서 사용할 수 있는 다양한 아시아 옵션을 탐색합니다. 특히 플로팅 행사가 옵션은 불확실성을 줄이고 특정 기초 자산 수준과 관련된 위험을 완화할 수 있는 능력으로 인해 원자재 거래에서 인기가 있습니다.
연사는 주식의 평균을 계산하는 다양한 방법을 설명하고 거래에서 그 중요성을 강조합니다. 산술 및 기하 평균의 두 가지 유형의 평균이 도입되었으며 기하 평균은 분석 표현으로 인해 수학적 분석에 선호됩니다. 실제로는 합계가 자주 사용되며 Monte Carlo 시뮬레이션 또는 PDE와 같은 근사 기법이 필요합니다. 강의는 또한 적분 표현으로 인해 산술 평균과 다른 연속 평균의 개념을 탐구하여 가격 문제에 추가 차원을 추가하고 해결하기 더 복잡하게 만듭니다.
그런 다음 초점은 1차원적 문제에서 벗어나 고차원적 고려 사항을 포함하는 아시아 옵션의 가격 책정으로 이동합니다. 아시아 옵션은 주가와 주식 적분이라는 두 가지 독립 변수를 도입합니다. 옵션의 보수는 관찰된 적분 또는 0에서 만기까지의 경로에 따라 달라지며 만기에 지급됩니다. 이 강의는 최종 부품에 따라 달라지는 수량으로 이국적인 파생 계약의 가격을 책정하는 것이 어려울 수 있으며 고급 기술이 필요하다는 점을 인정합니다. 그러나 델타 헤징은 아시아 옵션에 도입된 복잡성에도 불구하고 적절한 헤징 계수를 달성하는 데 여전히 효과적입니다. 강사는 몬테카를로 시뮬레이션을 사용하여 아시아 옵션 가격을 책정하고 고차원 문제를 처리하는 유연성을 강조합니다. 주식 가격의 여러 경로를 시뮬레이션하고 평균 보수를 계산함으로써 Monte Carlo 시뮬레이션은 옵션 가격의 추정치를 제공할 수 있습니다. 강의는 또한 수렴 문제 및 정확한 결과를 얻기 위한 충분한 경로의 필요성과 같은 Monte Carlo 시뮬레이션의 잠재적인 문제에 대해 언급합니다.
그런 다음 강사는 리베이트가 있는 장벽 옵션으로 알려진 다른 유형의 이국적인 옵션에 대해 논의합니다. 이 옵션은 이전에 논의한 배리어 옵션과 유사한 구조를 가지고 있지만 배리어에 부딪히면 추가 리베이트 지불이 있습니다. 리베이트의 존재는 장벽이 위반될 경우 옵션 보유자에게 보상하여 잠재적인 손실을 완화합니다. 강의에서는 리베이트 지불이 옵션 비용을 줄여 투자자들에게 더 매력적으로 만든다고 설명합니다.
리베이트가 있는 장벽 옵션의 가격을 책정하기 위해 강사는 녹아웃 옵션의 반대인 리버스 녹아웃 옵션의 개념을 소개합니다. 리버스 녹아웃 옵션은 장벽에 부딪히지 않으면 리베이트를 지불합니다. 리버스 녹아웃 옵션의 가격을 책정하고 리베이트 지불을 빼면 리베이트가 있는 장벽 옵션의 가격을 결정할 수 있습니다. 비디오는 Monte Carlo 시뮬레이션을 사용하여 이 가격 책정 방법론을 구현하는 예를 제공합니다.
강의 전반에 걸쳐 이국적인 파생 상품 계약을 이해하고 효과적으로 가격을 책정하는 것의 중요성이 강조됩니다. 이국적인 옵션은 투자자에게 유연성과 맞춤형 솔루션을 제공하지만 가격 책정 및 위험 관리에는 정교한 모델과 기술이 필요합니다. 강의는 파생 가격 책정 방법론을 강화하고 시장 참여자의 진화하는 요구 사항을 충족하기 위한 학계와 산업계 간의 협력의 중요성뿐만 아니라 이 분야의 추가 연구 및 개발의 필요성을 강조하면서 마무리됩니다.
00:00:00 이 섹션에서는 이국적인 파생 상품의 가격 책정 및 가격 책정 모델을 경로 종속 사례로 확장하는 데 중점을 둡니다. 고객이 파생 상품에 대해 더 저렴한 가격을 원하지만 여전히 주식 시장의 변동에 대해 동일한 노출을 원할 때 보상을 확장해야 할 필요성이 발생합니다. 원하는 기능에 대한 노출을 제공하면서 파생 제품의 비용을 줄일 수 있는 디지털 기능 및 장벽의 사용을 탐구합니다. 그런 다음 강의에서는 바이너리 및 디지털, 배리어 옵션 및 아시아 옵션과 같은 다양한 유형의 보상과 파생 상품 가격에 미치는 영향을 살펴봅니다. 마지막으로, 수백 개의 주식 바스켓을 처리하기 위한 모델의 잠재적인 확장을 포함하여 다중 자산 옵션에 대해 논의합니다.
00:05:00 전산 금융의 이국적인 파생 상품에 대한 강의의 이 섹션에서는 금융 상품의 가격 책정 절차에 초점을 맞춥니다. Black-Scholes 모델, 점프 및 확률적 변동성 모델과 같은 여러 확률적 미분 방정식을 사용하여 모델링 및 가격 책정에 필요한 제품 사양 및 위험 요소로 시작합니다. 제품의 복잡성에 따라 1차원 또는 2차원 방정식 시스템이 파생 상품을 정확하게 설명하거나 가격을 책정하는 데 충분할 수 있습니다. 이 프로세스에는 제품 가격을 책정하고 헤징에 사용하기 위해 최적의 매개변수 세트를 선택하는 보정 및 헤징도 포함됩니다. 차익 거래가 없는 세상을 보장하기 위해 헤징 비용은 고객에게 판매되는 파생 상품보다 높지 않아야 합니다.
00:10:00 이 섹션에서 화자는 다양한 옵션의 정의에 대해 논의합니다. 한 시점에만 행사할 수 있는 유럽식 옵션, 언제든지 행사할 수 있는 미국식 옵션, 지정된 날짜에 행사할 수 있는 버뮤다식 옵션 등 4가지 주요 옵션 범주가 포함됩니다. 스피커는 계속해서 유럽 옵션이 가장 인기가 있으며 모든 종류의 이국적인 파생 상품의 기본 구성 요소라고 설명합니다. 그러나 시간을 맞추기가 어렵고 매우 위험할 수 있습니다. 연사는 미국식 옵션은 언제든지 행사할 수 있는 반면 버뮤다식 옵션은 지정된 날짜에만 행사할 수 있다고 설명합니다.
00:15:00 이 섹션에서는 주식의 전체 역사에 의존하는 계약인 이국적인 파생 상품 및 경로 종속 옵션에 대해 배웁니다. 주어진 시간의 한계 분배에만 관심이 있는 것이 아니라 이러한 계약은 과거 종속성을 기반으로 하며 각 경로가 계약의 가치를 결정합니다. 파생 상품의 비용을 줄이는 한 가지 방법은 만료 시 불연속적인 보상이 있는 옵션인 바이너리 및 디지털을 사용하는 것입니다. 이러한 기술을 사용하여 보수 함수를 조정하면 파생 상품의 가치를 크게 줄일 수 있습니다. 이 간단한 조정은 극단적인 결과의 가능성을 제거하여 궁극적으로 이러한 계약의 가격을 낮추는 결과를 가져옵니다.
00:20:00 이 섹션에서 비디오는 자산 또는 무, 현금 또는 무, 주식 또는 무, 복합 옵션을 포함하는 다양한 유형의 이국적인 파생 상품에 대해 설명합니다. 복합 옵션을 사용하면 만기가 다른 만기 옵션의 가치를 선택할 수 있으며, 선택자 옵션을 사용하면 투자자가 풋 또는 콜 옵션 중에서 선택할 수 있습니다. 비디오는 이러한 유형의 옵션이 최대값, 최소값 또는 비용을 제어하기 위한 기타 제한과 같은 어떤 방식으로든 계약을 제한하는 것과 관련이 있음을 강조합니다. 비디오는 과거 특히 고금리 시대에 이국적인 파생 상품의 인기를 언급합니다.
00:25:00 이 섹션에서 화자는 선호도가 떨어진 이국적인 파생 상품을 통해 높은 수익을 창출하는 전략을 설명합니다. 이 전략은 투자의 95%를 총 수익이 보장된 안전한 계정에 넣고 잠재적인 옵션 지불금 가격을 책정하는 것을 포함합니다. 이 전략은 현재 인기가 없지만 과거에는 매우 효과적이었습니다. 그런 다음 연사는 계속해서 잠재적 주식 성장에 대한 상한선을 설정하여 계약 가치를 평가하고 계약 가치를 줄이는 코드를 설명합니다. 시연에서는 가격에 미치는 영향을 설명하기 위해 즉석에서 변경할 수 있는 일반적인 보수 함수를 사용합니다.
00:30:00 이 섹션에서 강사는 보상의 작은 조정이 평가를 크게 줄여 클라이언트에게 더 매력적으로 만드는 방법에 대해 설명합니다. 더 높은 잠재력에 대한 제한을 도입함으로써 고객의 잠재적인 이익을 줄이더라도 보수의 가치는 3배 이상 감소할 수 있습니다. 또한 그는 일종의 경로 의존성을 도입하여 장벽 의존적으로 만듦으로써 파생 상품 가격의 비용을 줄이는 방법에 대해 이야기합니다. 계약은 기본적으로 전체 수명 동안 주식이 한도 또는 조건에 도달하지 않았거나 0으로 만료되는 경우에만 지불합니다. 업앤아웃, 다운앤아웃 콜, 업앤인 콜, 다운앤인 콜 또는 풋 옵션과 같은 다양한 가능성이 있으며, 그는 시간부터 주식의 역사에 의존하는 방법을 설명합니다. 만기가 지불금의 최종 가치를 결정할 때까지 t0.
00:35:00 이 섹션에서는 이국적인 파생 상품, 특히 룩백 옵션에 중점을 둡니다. 이 옵션은 평생 동안 최대 주식을 포함하며 만기 시 보상은 역사적으로 관찰된 최대 가치입니다. 이 구조는 경로 의존성을 통합하여 주식이 행사가보다 만기가 낮은 경우에도 긍정적인 지불금을 허용합니다. 마찬가지로 주식의 최소값을 풋 옵션에 사용할 수 있습니다. 룩백 옵션은 몬테카를로에서 비교적 쉽게 구현할 수 있으며 장벽 옵션의 경우 특별한 경계 조건이 필요한 편미분 방정식을 사용할 수 있습니다. 장벽 횡단을 위한 장벽 및 창의 도입은 녹인 및 녹아웃과 같은 다른 이국적인 파생물에도 통합될 수 있습니다.
00:40:00 이 섹션에서 연사는 장벽 옵션과 상대방 고객에 대한 호소력에 대해 설명합니다. 이러한 계약은 매력적일 수 있지만 입찰-매도 스프레드를 피하기 위해 유동적인 기본 자산에 의존해야 합니다. 배리어 옵션은 일반적으로 통화 간 시장에서 사용되며 투기로 간주될 수 있습니다. 연사는 아웃, 인, 다운 및 업 옵션을 포함하여 배리어 옵션의 다양한 구성과 결과를 설명합니다. 그들은 계약에 복잡성을 추가하기 위해 장벽이 시간에 따라 달라질 수 있다고 언급합니다. Monte Carlo의 계산은 상대적으로 간단하지만 PDE는 경계 조건의 조정이 필요합니다.
00:45:00 이 섹션에서는 업 및 아웃 옵션과 같은 이국적인 파생 상품과 표준 유럽 옵션과의 차이점에 대해 강의합니다. 위로 및 밖으로 옵션은 배리어가 트리거된 경우에만 보상이 있습니다. 즉, 유럽 옵션에 비해 가치가 크게 감소합니다. 강의는 또한 주식이 전체 기간 동안 특정 수준을 초과하지 않는 경우에만 보상이 발생하는 업 및 아웃 배리어 옵션의 개념을 소개합니다. 파생 상품의 가격에 대한 장벽의 영향은 디지털 보상 평가 가격과 동일한 가격이 책정된 업 앤 아웃 장벽과 함께 프로그래밍 연습을 통해 탐색됩니다.
00:50:00 이 섹션에서 강사는 몬테카를로 시뮬레이션을 사용하여 상향 장벽 구현에 대해 논의합니다. 만기 시 주식 가치에만 의존하는 디지털 보상과 달리 상향 장벽은 파생상품의 수명 동안 주식의 행동 이력도 고려합니다. 장벽에 도달했는지 여부를 판단하는 기능은 부울 행렬과 논리 조건을 사용하여 정의됩니다. 결과 적중 벡터는 각 경로에 대해 장벽이 적중되었는지 여부를 식별하는 0과 1 벡터입니다. 강사는 배리어 값을 변경하면 결과 히트 벡터에 어떤 영향을 미치는지 보여주고 배리어가 맞으면 보수가 0이고 맞지 않으면 1이라는 점을 강조합니다.
00:55:00 이 섹션에서는 파생상품의 가치를 낮추고 특정 자산에 노출된 고객에게 더 저렴한 대안을 제공하는 방법으로 배리어 옵션의 개념을 살펴보았습니다. 장벽의 존재는 파생 상품의 가치에 상당한 영향을 미쳤으며 주식이 일정 수준을 초과하지 않으면 잠재적 손실로 이어졌습니다. 배리어 도입으로 파생상품의 가격이 약 30% 낮아져 투자자들에게 더욱 매력적인 상품이 되었습니다. 그러나 불연속 파생상품의 경우 헤징 비용이 무한대로 상승하여 고객에게 문제가 될 수 있습니다. 이에 대한 한 가지 가능한 해결책은 비용을 줄이기 위해 약간 다른 방법으로 결과를 복제하는 것입니다.
01:00:00 이 섹션에서는 행사가가 다른 콜 옵션을 매도 및 매수하여 옵션의 디지털 기능을 복제하는 아이디어를 비디오에서 소개합니다. 파업이 서로 가까워질수록 보상은 더욱 디지털화됩니다. 그러나 델타 및 감마 감도의 변화로 인해 옵션의 불연속성을 복제하는 데 약간의 어려움이 있습니다. 비디오는 헤징에 근사치를 사용할 수 있지만 디지털로 인한 잠재적인 헤징 손실을 보상하기 위해 프리미엄을 부과하는 것이 중요하다고 지적합니다. 디지털 제한을 도입하거나 보수 구조를 변경하여 파생 상품 비용을 줄이는 개념도 논의됩니다.
01:05:00 이 섹션에서는 강사가 아시아 옵션, 평균 옵션 도입을 통해 파생 상품의 가격을 낮추는 기초 자산과 관련된 변동성과 불확실성을 줄이는 방법을 설명합니다. 그는 변동하는 주식의 평균 곡선이 주식 자체보다 더 부드럽기 때문에 관련 불확실성이 더 작아진다고 설명합니다. 강사는 또한 고정 및 변동 행사가 콜 및 풋을 포함하여 시장에서 사용할 수 있는 아시아 옵션의 다양한 변형에 대해 논의합니다. 변동 행사가 옵션은 특정 기초 수준과 관련된 불확실성 및 위험 감소로 인해 상품 거래에서 인기가 있습니다. 유산.
01:10:00 이 섹션에서 발표자는 거래에서 고려해야 할 중요한 측면인 주식의 평균을 계산하는 다양한 방법을 설명합니다. 평균의 두 가지 유형은 산술 평균과 기하 평균이며 후자는 분석 표현으로 인해 수학적 분석에 선호됩니다. 그러나 실제로는 더 자주 곱이 합계이므로 Monte Carlo 또는 PDE와 같은 근사 기법이 필요합니다. 또한 화자는 연속 평균의 개념과 적분 표현으로 인해 산술 평균과 어떻게 다른지 탐구합니다. 통합 표현은 가격 문제에 추가 차원을 추가하고 해결하기 더 복잡하게 만듭니다.
01:15:00 강의의 이 섹션에서는 1차원적 가격 책정 문제에서 벗어나 두 개의 독립 변수인 주가와 주식의 적분. 옵션에 대한 보수는 0에서 T까지 관찰되는 적분 또는 경로에 따라 달라지며 만기에 지급됩니다. 이국적인 파생 계약의 최종 부분 종속 수량은 형식으로 작성할 수 있지만 불행하게도 방정식 시스템이 좋지 않아 옵션 가격을 책정하고 평가하는 데 더 고급 기술이 필요합니다. 그러나 불확실성에도 불구하고 델타 헤징은 여전히 적절한 헤징 계수를 얻기에 충분합니다.
01:20:00 이 섹션에서는 아시아 옵션 파생상품과 관련된 포트폴리오의 역학 관계에 대해 설명합니다. 포트폴리오에는 주식 및 옵션 계약에 대한 두 가지 차원이 포함되며, 이는 두 가지 차원의 PDE를 사용해야 함을 의미합니다. 포트폴리오의 역동성은 주식의 일반적인 기능과 아시아 옵션 파생상품의 파생상품을 포함합니다. 아시아 옵션에 대한 헤징에는 파생 상품에 해당하는 델타를 선택하는 것이 포함됩니다. 아시아 옵션의 가격 책정에 대한 PDE는 처리해야 하는 추가 차원으로 인해 유럽 옵션보다 더 복잡한 것으로 나타났습니다. 아시아 옵션을 실행하고 감소된 변동성 불확실성 효과를 계산하기 위한 코드도 표시됩니다.
01:25:00 이 섹션에서 강사는 만기 시 주식의 분산과 이것이 가격에 미치는 영향에 대해 설명합니다. 변동성이 낮으면 가격이 낮아지고 변동성이 높아지면 가격이 높아집니다. 강의는 또한 바스켓 옵션과 그것이 양의 또는 음의 상관 관계가 있는 주식 모음인 방법을 탐구합니다. 바스켓 옵션은 인기가 높아지고 있으며 포트폴리오의 투자 위험을 줄이는 데 도움이 될 수 있으며, 서로 다른 기본 주식 간의 상관 관계는 위험을 더욱 줄이고 더 많은 잠재적 투자로 이어질 수 있습니다.
01:30:00 이국적인 파생 상품 강의의 이 섹션에서 교수는 바스켓 옵션과 그 변형에 대해 논의합니다. 이러한 옵션에는 투자자가 바스켓에 포함하려는 일련의 주식이 포함되며 두 기본 주식의 차이에 따라 가장 실적이 좋은 자산 또는 교환 옵션에 대한 콜 옵션이 있습니다. 이러한 옵션의 목표는 투자자를 유치하기 위해 주요 지수보다 더 나은 성능을 발휘하는 것입니다. 그러나 이러한 고차원 파생 상품의 가격 책정은 매우 복잡하며 분석적으로 해결할 수 없기 때문에 종종 수치 기법이 필요합니다. 배당금의 존재는 또한 주식의 역학을 복잡하게 만듭니다. 교수는 특히 수백 개의 기본 주식으로 구성된 바스켓의 경우 고차원 PDE가 시간이 많이 걸리고 해결하기 어렵다고 강조합니다.
01:35:00 이 섹션에서 강사는 다중 자산 옵션과 관련된 고차원 문제를 해결하는 데 직면한 문제에 대해 논의합니다. 이러한 문제는 차원이 증가함에 따라 발생하여 차원의 저주를 초래합니다. 몬테카를로 기법은 이러한 복잡한 문제를 해결하는 데 널리 사용되는 접근 방식입니다. 상관 관계를 보정해야 하는 경우 과거 데이터를 사용하거나 이국적인 파생 상품과 같은 다른 파생 상품을 사용하여 수행할 수 있습니다. 또한 강사는 PD를 사용하면 적응 그리드 및 병렬화와 같은 수치 기술을 통해 접근 방식을 개선할 수 있다고 지적합니다. 그러나 차원이 너무 높으면 이러한 기술을 사용할 수 없으며 Monte Carlo가 이러한 유형의 문제를 해결하는 가장 좋은 방법이 될 것입니다.
Computational Finance Lecture 13- Exotic Derivatives▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬This course is based on the book:"Mathematical Modeling and Comput...
전산 금융에 관한 시리즈는 각 강의에서 다루는 중요한 주제에 대한 포괄적인 요약으로 마무리되었습니다. 이 과정은 확률론적 미분방정식, 내재 변동성, 점프 확산, 확산 과정의 아핀 클래스, 확률론적 변동성 모델 및 옵션 가격 결정을 위한 푸리에 변환을 포함하여 광범위한 주제에 걸쳐 있습니다. 또한 몬테카를로 시뮬레이션과 같은 수치 기법과 다양한 헤징 전략에 대해서도 탐구했습니다.
이후 강의에서는 포워드 스타트 옵션과 이국적인 파생상품으로 초점이 옮겨갔고, 여기에서 과정을 통해 얻은 지식은 이러한 복잡한 금융 상품을 구조화하는 데 적용되었습니다. 초기 강의에서는 과정에 대한 소개를 제공하고 금융 공학, 다양한 시장 및 자산 클래스의 기본 원칙에 대해 논의했습니다. 두 번째 강의에서는 상품, 통화 및 암호화폐에 중점을 두고 다양한 유형의 옵션과 헤징 전략을 구체적으로 다루었습니다.
콜 및 풋 옵션의 가격 책정과 헤징과의 관계는 코스 전반에 걸쳐 중심 주제였습니다. 강사는 차익거래 기회를 피하기 위해서는 헤징 전략의 가격이 항상 파생상품의 가격과 같아야 한다고 강조했다. 자산 가격 및 임의성 측정을 포함하여 다양한 자산 클래스 모델링의 수학적 측면에 대해 논의했습니다. 확률적 과정, 확률적 미분방정식, Itô's lemma는 금융상품의 가격을 결정하는 중요한 도구로 강조되었습니다. Python 시뮬레이션도 시연되어 확률적 미분 방정식이 가격 책정 목적으로 주식 이동의 실제 동작을 시뮬레이션할 수 있는 방법을 보여줍니다. Black-Scholes 모델의 장점과 단점이 다루어졌으며 포트폴리오 관리 및 헤지 전략의 일관성을 보장하기 위한 전체론적 관점의 필요성을 강조했습니다.
Martingales는 옵션 가격 결정의 중요한 개념으로 반복적으로 강조되었으며, 과정에서 다루는 다른 중요한 주제에는 Black-Scholes 모델, 내재 변동성, Newton-Raphson 알고리즘 수렴 및 시간 종속 변동성의 한계가 포함됩니다. 시뮬레이션된 프로세스가 마팅게일인지 확인하기 위한 Python 코딩의 실제 적용과 드리프트에 대한 조치의 영향을 조사했습니다. 이 과정은 간단한 유럽 옵션의 가격 책정에 대한 깊은 통찰력을 제공했으며 가격을 계산하기 위해 다양한 모델과 조치를 사용할 수 있는 방법을 보여주었습니다.
Black-Scholes 모델의 한계, 특히 점프를 모델에 통합하는 것과 관련하여 논의되었습니다. 점프는 내재 변동성 표면의 조정을 개선하고 스큐를 생성할 수 있지만 복잡성을 도입하고 헤징 효율성을 감소시킵니다. Heston 모델과 같은 확률적 변동성 모델은 이국적인 옵션의 보정 및 가격 책정에서 모델의 유연성을 향상시키기 위해 도입되었습니다. 또한 빠른 가격 책정 기술이 솔루션으로 제시되었습니다. 푸리에 변환에서 아핀 모델 내에서 사용하기 위해 모델이나 확률적 미분 방정식이 충족해야 하는 조건에 대해서도 설명했습니다.
주식 및 주식의 가격 책정을 위한 두 가지 중요한 모델인 확산 프로세스의 아핀 클래스와 확률적 변동성 모델, 특히 Heston 모델이 논의되었습니다. 확산 프로세스의 아핀 클래스는 유럽 옵션의 빠른 조정을 허용하는 반면 Heston 모델은 유럽 옵션의 내재 변동성의 전체 표면을 조정하는 데 유연성을 제공합니다. 강의는 모델에서 상관 관계의 영향과 이점, PDE 가격 책정, 모델이 아핀 프로세스 프로세스에 속할 때 가격 책정을 위한 푸리에 변환 사용에 대해 다루었습니다. 이러한 모델을 이해하고 활용하는 것은 전산 금융 분야에서 가치 있는 기술로 부각되었습니다.
콜 옵션과 풋 옵션에 초점을 맞춘 유럽 옵션의 가격 책정은 또 다른 강의의 핵심 주제였습니다. 해를 얻기 위한 수치적 기법의 중요성과 함께 특성 함수의 사용과 복소수 값 ODE의 시스템을 풀 수 있는 능력이 강조되었습니다. 효율적인 보정 및 평가와 우수한 모델의 균형을 맞추는 것은 실제 적용 및 업계 수용을 위해 강조되었습니다. Vital에서의 구현과 함께 가격 책정을 위한 푸리에 변환의 cos 방법의 이점에 대해 논의했습니다. 효율적인 보정과 가격 책정을 위한 Monte Carlo 시뮬레이션 활용도 권장되었습니다.
이국적인 파생상품의 가격을 책정하는 몬테카를로 샘플링은 다른 강의에서 광범위하게 탐구되었습니다. 여러 차원, 모델 복잡성 및 정확한 가격 책정의 계산 비용으로 인해 발생하는 문제가 해결되었습니다. Monte Carlo 시뮬레이션은 오류를 줄이고 정확도를 개선하는 데 중점을 둔 대체 가격 접근 방식으로 제시되었습니다. 강의는 적분, 확률적 적분, Euler 및 Milstein 체계와 같은 보정 방법을 포함하여 Monte Carlo 샘플링의 다양한 측면을 다루었습니다. Payoff 기능의 평활도 평가와 약한 변환기와 강한 변환기에 대한 이해는 정확한 가격 책정을 보장하는 데 중요한 요소로 강조되었습니다.
Heston 모델 전용 강의에서는 보정의 유연성, 암시적 변동성 표면 모델링 및 효율적인 Monte Carlo 시뮬레이션에 대해 논의했습니다. 강의에서는 분산 과정에 대한 Cox Ingersoll Ross(CIR) 과정의 정확한 시뮬레이션과 관련된 Heston 모델의 거의 정확한 시뮬레이션에 대해서도 다루었습니다. Euler 및 Milstein 이산화 방법은 CIR 프로세스에서 문제가 발생할 수 있지만 시뮬레이션을 수행하는 효율적인 방법이 있습니다. 강의는 특히 델타 헤징을 다루고 시장 점프를 설명할 때 시뮬레이션을 위한 현실적인 모델을 고려하는 것의 중요성을 강조했습니다.
금융 헤징의 개념은 별도의 비디오에서 철저히 탐구되었습니다. 헤징은 포트폴리오를 관리하고 거래 후 계약을 적극적으로 유지함으로써 위험에 대한 노출과 잠재적 손실을 줄이는 것입니다. 이 비디오는 가격 책정을 넘어 계약 만기까지 지속적인 위험 관리를 포함하는 헤징의 중요성을 강조했습니다. 델타 헤징과 시장 점프의 영향에 대해 논의했으며 정확한 시뮬레이션을 위해 현실적인 모델을 사용하는 것의 중요성을 강조했습니다.
델타 헤징의 한계는 다른 강의에서 더 복잡한 파생 상품에 대해 감마 및 베가 헤징과 같은 다른 유형의 헤징을 고려할 필요성을 강조하면서 다루었습니다. 유한 차이, 경로별 민감도 및 우도 지수를 포함하여 민감도의 계산 및 효율성을 개선하는 방법을 다루었습니다. 강의는 또한 포워드 스타트 옵션의 가격 책정과 불확실한 초기 재고가 있는 가격 옵션과 관련된 문제에 대해 탐구했습니다. 옵션값은 특성함수를 이용하여 도출하였으며, 내재변동성에 대한 논의와 이를 Python으로 구현하는 것으로 강의를 마무리하였다.
재무 모델, 특히 Heston 모델의 추가 점프에 대한 강의에서는 파라미터 보정 및 헤징 전략에 미치는 영향을 탐구했습니다. 이상한 표현, 분산 스왑 계약 및 Black-Scholes 역학을 사용하는 조건부 기대 사이의 관계에 중점을 두고 분산 스왑 및 변동성 제품에 대해서도 논의했습니다. 또한 바이너리 및 디지털 옵션, 경로 종속 옵션, 배리어 옵션, 아시아 옵션 등 다양한 기술을 사용하여 제품의 구조화에 대해 강의했습니다. 또한 여러 자산과 관련된 계약의 가격 책정에 대해서도 다루었습니다. 이 강의는 과정을 통해 습득한 지식을 요약하는 역할을 했으며, 향후 더 발전된 파생상품에 대처하기 위한 기초를 제공했습니다.
마지막으로 연사는 14개 강의를 모두 성공적으로 이수하고 전산금융, 금융공학, 파생상품가격에 대한 지식을 습득한 시청자들에게 축하 인사를 전했다. 시청자는 새로 발견한 전문 지식을 실제 설정에 적용하거나 지식을 확장하기 위해 추가 과정을 고려하도록 권장되었습니다. 연사는 그들이 미래의 노력에 대해 잘 준비되어 있다고 확신하며 성공적인 금융 경력을 기원했습니다.
00:00:00 이 섹션에서 연사는 각 강의에서 다루는 중요한 주제를 강조하여 전산 금융에 대한 전체 시리즈를 요약합니다. 이 시리즈는 확률적 미분 방정식, 내재 변동성, 점프 확산, 확산 프로세스의 아핀 클래스, 확률적 변동성 모델 및 옵션 가격 책정을 위한 푸리에 변환과 같은 광범위한 전산 금융 주제를 다루었습니다. 발표자는 또한 몬테카를로 시뮬레이션 및 헤징 전략과 같은 수치 기법에 대해서도 논의했습니다. 마지막 강의에서는 포워드 스타트 옵션과 이국적인 파생 상품에 대해 다루었으며, 여기에서 연사는 과정을 통해 얻은 지식을 적용하여 이러한 제품을 구성했습니다. 처음 두 강의에서는 과정에 대한 소개를 제공하고 금융 공학, 다양한 시장 및 자산 클래스의 원리에 대해 논의했습니다. 강의 2에서 연사는 상품, 통화 및 암호 화폐에 중점을 두고 다양한 유형의 옵션 및 헤징 전략을 다루었습니다.
00:05:00 강의의 이 섹션에서는 콜 및 풋 옵션의 가격 책정을 수행하는 방법과 이것이 헤징과 어떻게 관련되는지에 초점을 맞춥니다. 중요한 점은 헤징 전략의 가격이 항상 파생 상품의 가격과 같아야 한다는 것입니다. 그렇지 않으면 차익 거래 기회가 있습니다. 그런 다음 강의는 다양한 자산 클래스를 모델링하는 수학으로 들어가 자산 가격과 무작위성을 설명하고 이 무작위성을 측정하는 방법을 설명합니다. 금융 상품의 가격 책정에 있어서 확률적 과정, 확률적 미분방정식 및 Itô의 보조정리의 중요성이 강조됩니다. 강의는 또한 Python의 시뮬레이션과 스톡 움직임의 실제 동작을 시뮬레이션하기 위해 확률적 미분 방정식을 사용하는 방법과 가격 책정에 사용할 수 있는 방법을 다룹니다. Black-Scholes 모델의 장단점에 대해 논의하고 포트폴리오와 헤징 전략의 일관성을 보장하기 위해 파생 상품 가격을 결정할 때 더 큰 그림을 염두에 두어야 함을 강조합니다.
00:10:00 비디오의 이 섹션에서 강사는 전산 금융 과정에서 다루는 몇 가지 주요 개념을 강조합니다. 옵션 가격 결정에 사용되는 가장 중요한 도구 중 하나는 코스 전반에 걸쳐 반복적으로 강조된 마팅게일의 개념입니다. 다른 중요한 주제로는 Black-Scholes 모델, 내재 변동성, Newton-Raphson 알고리즘의 수렴 및 시간 종속 변동성 사용의 한계가 있습니다. 강의에서는 Python 코딩을 사용하여 시뮬레이션된 프로세스가 마팅게일인지 여부와 측정값이 드리프트에 미치는 영향을 확인하는 방법도 강조했습니다. 전반적으로 이 과정은 간단한 유럽 옵션의 가격 책정에 대한 깊은 통찰력과 가격을 계산하기 위해 다양한 모델과 측정을 사용할 수 있는 방법을 제공했습니다.
00:15:00 비디오의 이 섹션에서는 Black-Scholes 모델의 제한 사항, 특히 점프를 모델에 통합할 수 있는 방법에 대해 설명합니다. 점프를 포함하면 내재 변동성 표면 보정을 개선하고 스큐를 생성할 수 있습니다. 그러나 모델 복잡성이 증가하고 헤징 효율성이 감소합니다. 이러한 이유로 모델의 유연성을 높여 이국적인 옵션의 조정 및 가격 책정을 더 잘 처리할 수 있는 방법으로 확률적 변동성 모델을 도입하고 솔루션으로 빠른 가격 책정 기법을 논의합니다. 또한 푸리에 변환 내의 아핀 모델 내에서 사용되기 위해 모델 또는 확률적 미분 방정식이 충족해야 하는 조건에 대해 설명합니다.
00:20:00 이 섹션에서 강사는 주식 및 주식 가격 책정을 위한 두 가지 중요한 모델에 대해 설명합니다. 첫 번째 모델은 유럽 유형 옵션의 빠른 보정을 허용하는 확산 프로세스의 아핀 클래스입니다. 두 번째 모델은 확률적 변동성 모델, 특히 유럽식 옵션의 내재 변동성의 전체 표면에 대해 보정할 수 있을 만큼 충분히 유연한 Heston 모델입니다. 강의는 또한 모델의 상관 관계, 가격 책정 PDE의 영향과 이점, PDE에 도달하는 방법, 모델이 프로세스의 아핀 클래스에 속할 때 가격 책정을 위한 푸리에 변환의 사용을 다룹니다. 전반적으로 강의는 전산 금융에서 이 두 가지 모델을 이해하고 사용하는 것의 중요성과 이점에 중점을 둡니다.
00:25:00 강의의 이 섹션에서는 통화 및 풋을 주요 집중으로 사용하여 유럽 유형 옵션의 가격 책정에 중점을 둡니다. 특성 함수의 사용에 대해 논의하고 복소수 값 ODE의 시스템을 풀 수 있는 능력의 중요성과 솔루션을 얻기 위한 수치 기법의 필요성을 강조합니다. 좋은 모델을 보유하는 것과 모델을 효율적으로 보정하고 평가할 수 있는 것 사이의 균형을 맞추는 것이 중요하다는 점을 강조합니다. 이는 업계에서 실제 적용 및 수용에 필수적이기 때문입니다. 푸리에 변환의 cos 방법을 가격 책정에 사용하는 이점에 대해 논의하고 Vital에서의 구현을 시연합니다. 효율적인 보정도 중요하며 가격 책정을 위해 Monte Carlo 시뮬레이션을 사용하는 것이 좋습니다.
00:30:00 이 섹션에서는 이국적인 파생상품의 가격을 책정할 때 Monte Carlo 샘플링의 다양한 측면에 초점을 맞춥니다. 여러 차원, 모델 복잡성 및 계산 비용으로 인해 정확한 가격 책정에 시간이 많이 소요될 수 있습니다. Monte Carlo 시뮬레이션은 오류를 줄이고 정확도를 개선하는 방법에 집중해야 하는 대체 가격 책정 방식으로 자주 사용됩니다. 강의는 적분, 확률적 적분, Euler 및 Milstein 체계와 같은 보정 방법을 포함하여 Monte Carlo 샘플링의 다양한 측면을 다룹니다. 보수 함수의 평활도를 평가하는 것도 수렴에 영향을 미치며 약하고 강력한 변환기를 이해하는 것은 정확한 가격 책정을 보장하는 데 중요합니다.
00:35:00 이 섹션에서는 비디오에서 Heston 모델의 보정 유연성, 임플란트 변동성 표면 및 Monte Carlo의 효율적인 시뮬레이션에 대해 설명합니다. 강의는 또한 분산 프로세스에 대한 Cox Ingersoll Ross(CIR) 프로세스의 정확한 시뮬레이션과 관련된 Heston 모델의 거의 정확한 시뮬레이션에 대해 다룹니다. Euler와 Milstein 이산화는 CIR 프로세스에 문제가 있을 수 있지만 CIR 시뮬레이션을 수행하는 효율적인 방법이 있습니다. 강의에서는 CIR 과정에 대한 실패 조건의 중요성을 제기하지만 정확한 분포를 알고 있기 때문에 조건부 샘플링 표현에 대해서는 문제가 되지 않습니다.
00:40:00 이 섹션에서는 포트폴리오를 유지하고 거래 후 계약을 관리하여 위험에 대한 노출과 잠재적 손실을 줄이는 금융 헤징의 개념에 대해 비디오에서 설명합니다. 비디오는 거래가 이루어진 후 발생하고 계약 만기까지 계속되어야 하는 헤징의 중요성을 설명합니다. 이 비디오는 가격 책정보다 헤징이 더 중요하며 모델이 헤징을 위해 매일 좋은 성능을 발휘해야 한다는 점을 강조합니다. 이 비디오는 또한 델타 헤징의 개념과 시장 점프의 효과에 대해 논의하며 시뮬레이션을 위해 현실적인 모델을 사용하는 것의 중요성을 강조합니다.
00:45:00 이 섹션에서 강사는 델타 헤징의 한계와 더 복잡한 파생 상품에 대한 감마 및 베가 헤징과 같은 다른 유형의 헤징을 고려하는 것의 중요성에 대해 논의합니다. 이 강의는 감도의 계산과 유한 차분, 경로별 감도 및 우도 지수와 같은 효율성을 개선하는 방법을 다룹니다. 또한 이 강의는 선도 시작 옵션의 가격 책정과 불확실한 초기 재고가 있는 가격 옵션과 관련된 복잡성에 대해 자세히 설명합니다. 특성 함수를 사용하여 옵션 값을 도출하고 내재 변동성에 대한 논의와 파이썬에서의 구현으로 강의를 마칩니다.
00:50:00 이 섹션에서 강의는 재무 모델, 특히 Heston 모델의 역학에 추가 점프를 포함하는 것과 이것이 매개변수 조정 및 헤징에 미치는 영향을 다룹니다. 강의는 또한 이상한 표현, 분산 스왑 계약 및 Black-Scholes 역학을 사용한 조건부 기대 간의 관계에 중점을 두고 분산 스왑 및 변동성 제품을 탐구합니다. 또한 강의에서는 바이너리 및 디지털 옵션, 경로 종속 옵션, 배리어 옵션 및 아시아 옵션과 같은 다양한 기술을 사용하여 제품을 구조화하고 여러 자산이 포함된 계약의 가격 책정에 대해 설명합니다. 궁극적으로 강의는 과정을 통해 배운 지식을 요약하는 역할을 하며 향후 더 발전된 파생 상품을 위한 토대를 제공합니다.
00:55:00 이 섹션에서 연사는 시청자가 14개의 강의를 모두 따르고 전산 금융, 금융 공학 및 파생 가격 책정에 대한 지식을 얻은 것을 축하합니다. 연사는 이 성과를 통해 시청자가 업계에서 일하거나 더 많은 지식을 얻기 위해 추가 과정을 계속할 준비를 할 수 있다고 제안합니다. 연사는 시청자의 성공적인 금융 경력을 기원합니다.
Computational Finance Lecture 14- Summary of the Course▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬This course is based on the book:"Mathematical Modeling and Com...
강사는 금융 공학 과정을 소개하면서 시작하여 목표와 중점 분야를 강조합니다. 이 과정은 금리와 외환 및 인플레이션과 같은 여러 자산 클래스를 탐구하는 것을 목표로 합니다. 궁극적인 목표는 학생들이 선형 제품으로 구성된 다중 자산 포트폴리오를 구축하고 xva 및 위험 가치 계산을 수행하는 능력을 얻는 것입니다. 확률론적 미분 방정식, 수치 시뮬레이션 및 수치 방법에 대한 사전 지식은 과정 자료를 완전히 활용하는 데 필요합니다.
코스 구조는 각 세션이 끝날 때 숙제와 함께 14개의 강의로 구성되어 있습니다. 과정 전반에 걸쳐 사용되는 프로그래밍 언어는 Python이며 논의된 개념의 실제 구현 및 적용을 가능하게 합니다.
연사는 전산 금융 과정의 실용적인 특성을 강조합니다. 이론적 지식을 다루지만 구현 효율성과 각 강의에 대한 Python 코드 예제 제공에 중점을 둡니다. 과정 자료는 "A Book of Mathematical Modeling and Computation in Finance"라는 책을 기반으로 하지만 독립적입니다. 강의는 또한 과정 로드맵에 대한 개요를 제공하여 학생들이 14개 강의 각각에서 다룰 주제에 대한 명확한 이해를 제공합니다.
첫 번째 강의는 전체 과정의 개요를 제공하고 xva 및 var 계산을 수행하는 궁극적인 목표를 달성하는 데 다루는 개념의 중요성을 강조하는 데 중점을 둡니다.
강사는 금융 공학 과정 전체에서 다룰 주제에 대한 광범위한 개요를 제공합니다. 여기에는 전체 흰색 및 전체 흰색 2요인 모델, 측정, 여과 및 확률 모델과 같은 다양한 모델이 포함됩니다. 스왑션과 같은 선형 및 비선형 상품을 포함한 금리 상품의 가격 책정이 핵심 초점입니다. 강의에서는 Python 코드를 사용한 수익률 곡선 구성, 다중 곡선 구성, 스파인 포인트 및 보간 방법 선택에 대해 다룹니다. 다른 주제로는 마이너스 이자율, 옵션, 모기지 및 선불, 외환, 인플레이션, 다중 자산에 대한 Monte Carlo 시뮬레이션, 시장 모델, 볼록성 조정, 익스포저 계산 및 cva, bcva 및 fva와 같은 가치 조정 측정이 포함됩니다.
과정이 진행됨에 따라 위험 관리가 초점이 되며 강의 13은 코딩 및 과거 데이터 분석을 사용한 위험 측정에 전념합니다. 강의 14는 과정 전체에서 배운 모든 내용을 요약하는 역할을 합니다.
두 번째 강의는 Python의 조건부 기대 및 시뮬레이션을 포함하여 여과 및 측정 변경에 중점을 둡니다. 학생들은 실습에 참여하여 조건부 기대치를 시뮬레이션하고 측정값 변경을 사용하여 가격 책정 문제의 이점과 단순화를 탐구합니다.
후속 강의에서 강사는 Hijack 모델 프레임워크, 균형 대 기간 구조 모델 및 수익률 곡선 역학에 대한 개요를 제공합니다. 강의는 파이썬에서 몬테카를로 시뮬레이션을 통한 모델의 시뮬레이션과 단가를 다룹니다. 다요인 확장에 대한 탐색과 함께 1요인 모델과 2요인 모델 간의 비교에 대해 설명합니다. S&P 지수, 연준이 암시하는 단기 금리, 수익률 곡선 역학을 분석하기 위한 비디오 실험이 수행됩니다.
시간 경과에 따른 금리 변화를 관찰하고 이를 확률적 모델과 비교하기 위해 수익률 곡선의 시뮬레이션을 탐구합니다. 다루는 주제에는 fulbright 모델의 유사성, 정확한 시뮬레이션, 금리 상품의 구성 및 가격 책정, 스왑 예제의 불확실한 현금 흐름 계산이 포함됩니다.
수익률곡선 구축 강의는 수익률곡선과 금리스왑, 선물환계약, 파생상품가격의 관계를 다룬다. 다양한 수익률 곡선 모양과 시장 상황과의 관련성에 대해 설명합니다. 내재 변동성 및 스파인 포인트 계산, 보간 루틴 및 단일 수익률 곡선에서 다중 곡선 접근 방식으로의 확장에 대해 논의합니다. Python 실험을 사용하여 수익률 곡선을 구축하고 이를 시장 도구에 연결하는 실용적인 측면을 강조합니다.
강사는 Black-Scholes 모델에 따른 스왑션 가격 책정과 풀 화이트 또는 단기 금리 모델을 사용한 옵션을 포함하여 금융 공학과 관련된 주제를 탐구합니다. Jamshidian의 트릭과 Python 실험에 대해 설명합니다. 이 강의는 또한 음의 금리, 이동된 로그 정규 이동된 내재 변동성, 이동 매개변수가 내재 변동성 형태에 미치는 영향과 같은 개념을 다룹니다. 또한 강의는 모기지의 선불과 은행의 관점에서 포지션 및 헤징에 미치는 영향에 대해 자세히 설명합니다.
Bullet Mortgage가 소개되고 관련 현금 흐름과 선불 결정 요인이 설명됩니다. 강의는 모기지 포트폴리오에 대한 조기상환의 영향을 강조하고 재융자 인센티브를 시장 관찰 가능 항목에 연결합니다. 또한 파이프라인 위험과 금융 기관의 관리에 대해 논의합니다.
이 과정은 포트폴리오에 영향을 미칠 수 있는 잠재적인 미래 위험을 시뮬레이션할 수 있는 여러 자산 클래스를 동시에 모델링하는 것으로 이동합니다. 이국적인 파생 상품에 대한 관심이 줄어들 수 있음에도 불구하고 서로 다른 자산 클래스 간의 상관 관계를 조사하고 위험 관리 목적을 위한 하이브리드 모델의 중요성을 강조합니다.
확률적 변동성과 관련된 확장과 함께 가격 책정 평가 조정(XVA) 및 위험 가치에 대한 하이브리드 모델을 탐색합니다. 주식동태, 확률적 이자율 등 XVA 환경에 적합한 하이브리드 모델을 강의한다. Heston 모델과 같은 확률적 변동성 모델은 두 번째 블록에서 논의되어 스톡 프로세스와 관련된 확률적 이자율을 통합하는 방법을 설명합니다. 강의는 또한 외환 및 인플레이션에 대해 탐구하고 유동 통화, 선도 FX 계약, 교차 통화 스왑 및 FX 옵션의 역사와 발전에 대해 논의합니다. 측정 변경이 프로세스 역학에 미치는 영향도 조사하여 궁극적으로 다양한 자산 클래스의 서로 다른 자산에 정의된 계약의 가격을 책정하고 노출 및 위험 측정을 계산합니다.
강사는 확률적 변동성에 존재하는 양자 수정 요소와 확률적 이자율이 있는 FX 옵션의 가격 책정을 포함하여 금융 공학과 관련된 추가 주제를 다룹니다. 통화 기반에서 상품 기반 정의로의 진화를 추적하면서 인플레이션의 개념을 탐구합니다. LIBOR 시장 모델 및 볼록성 조정과 같은 시장 모델이 논의되어 HJM 프레임워크 내에서 LIBOR 시장 모델과 같은 시장 모델의 이면에 있는 동기와 금리 발전에 대한 역사적 관점을 제공합니다. 강의는 또한 로그 정규 LIBOR 시장 모델, 확률적 변동성, LIBOR 시장 모델의 스마일 및 스큐 역학에 대해 탐구합니다.
위험 중립적 가격 책정 및 Black-Scholes 모델에 중점을 두고 금융 상품 가격 책정에 사용되는 다양한 기술을 다룹니다. 강사는 동결 기술과 같은 위험한 기술의 오용에 대해 경고하고 가격 책정 프레임워크에서 볼록성 수정의 중요성을 강조합니다. 학생들은 볼록성 수정의 필요성을 인식하는 방법과 금리 움직임 또는 시장 웃음과 왜곡을 가격 문제에 통합하는 방법을 배웁니다. 이 섹션은 CVA, BCVA, VA 및 FVA를 포함한 XVA 시뮬레이션과 Python 시뮬레이션을 사용한 예상 노출, 잠재적인 미래 노출 및 온전성 검사를 다루는 것으로 결론을 내립니다.
강사는 파생 상품 가격 책정, 가격 발견의 중요성, 무역 귀속의 실질적인 측면, 위험 가치 및 예상 부족액과 같은 위험 관리 조치를 포함하여 금융 공학 과정에서 다루는 주제를 다시 방문합니다. 이자율 스왑 포트폴리오 구축 및 시뮬레이션 결과를 통해 VAR 및 예상 부족액을 추정하기 위한 수익률 곡선 구성 지식 활용과 같은 실용적인 응용 프로그램에 중점을 둡니다. 강의는 또한 Monte Carlo 시뮬레이션을 사용하여 VAR 계산에서 누락된 데이터, 차익 거래 및 재등급과 관련된 문제를 다룹니다.
마지막 강의에서 강사는 백테스팅과 VAR 엔진 테스트에 대해 논의한다. 과정이 초기 14주 이상으로 연장될 것임을 인정하면서 강사는 포괄적이고 즐거운 학습 여정에 대한 자신감을 표현합니다. 녹음된 강의는 가치 평가 조정(XVA) 및 위험 가치 계산을 이해하는 정상으로 학생들을 안내합니다.
00:00:00 비디오의 이 섹션에서 강사는 금융 공학 과정을 소개하고 금리 및 외환 및 인플레이션과 같은 여러 자산 클래스에 중점을 두는 것을 포함하는 주요 목표를 설명합니다. 이 과정의 목표는 학생들이 선형 제품으로 구성된 다중 자산 포트폴리오를 구축하고 위험 계산에서 xva 및 가치를 수행하는 것입니다. 확률적 미분 방정식, 수치 시뮬레이션 및 수치 방법에 대한 사전 지식이 필요합니다. 작업량은 14개의 강의로 구성되어 있으며 각 강의가 끝날 때 숙제가 주어지며 사용되는 프로그래밍 언어는 Python입니다.
00:05:00 이 섹션에서 발표자는 실제 구현에 중점을 두고 위험 가치 및 xva 계산을 사용하여 포트폴리오를 구축하는 전산 금융 과정을 소개합니다. 이 과정은 또한 이론적 지식, 구현 효율성을 다루고 각 강의에 대한 Python 코드를 제공합니다. 발표자는 "A Book of Mathematical Modeling and Computation in Finance"라는 책을 기반으로 하지만 과정의 자료가 독립적이라고 설명합니다. 과정 로드맵에 대해 논의하여 14개의 강의에서 다룰 주제에 대한 개요를 제공합니다. 첫 번째 강의의 초점은 과정의 개요와 xva 및 var 계산의 궁극적인 목표를 달성하는 데 있어 그 중요성에 있습니다.
00:10:00 이 섹션에서는 강사가 금융 공학 과정에서 다룰 주제에 대한 개요를 제공합니다. 이 과정은 전체 흰색 및 전체 흰색 2요인 모델, 측정, 여과 및 확률 모델과 같은 다양한 모델을 다룹니다. 그들은 스왑션을 포함하여 선형 및 비선형 상품과 같은 금리 상품의 가격 책정에 중점을 둘 것입니다. 이 과정에서는 수익률 곡선 구성, 수익률 곡선 구성 방법, 다중 곡선 구성, 스파인 포인트 및 Python 코드를 사용하여 보간법을 선택하는 방법에 대해 자세히 설명합니다. 강의는 마이너스 금리, 옵션, 모기지 및 선불, 외환, 인플레이션, 다중 자산을 위한 몬테카를로 엔진, 시장 모델, 볼록성 조정, 노출 계산 및 cva, bcva와 같은 가치 조정 측정과 같은 주제를 다룹니다. , 그리고 fva.
00:15:00 과정의 이 섹션에서는 초점이 위험 관리와 위험 관리자의 관점에서 위험을 측정하고 관리하는 방법으로 이동합니다. 강의 13에서는 코딩 및 과거 데이터 분석을 사용한 위험 측정을 다루며 강의 14에서는 과정에서 배운 모든 내용을 요약합니다. 두 번째 강의에서는 Python의 조건부 기대 및 시뮬레이션을 포함하여 여과 및 측정 변경의 개념을 다룰 것입니다. 강의에는 조건부 기대치를 시뮬레이션하는 방법과 측정값 변경을 사용하여 가격 문제를 개선하고 단순화하는 방법에 대한 실습도 포함됩니다.
00:20:00 이 섹션에서 강사는 향후 여러 강의에서 다룰 주제를 설명합니다. 강의는 두 개의 블록으로 나뉘며, 첫 번째 블록은 Hijack 모델 프레임워크의 역사와 가정, 그리고 평형 대 기간 구조 모델과의 관계에 대해 논의하는 데 중점을 둡니다. 두 번째 블록은 Python의 Monte Carlo 시뮬레이션을 통해 모델을 시뮬레이션하면서 수익률 곡선 역학 및 단기 금리를 검사합니다. 2요인 모델을 1요인 모델과 비교하여 다중 요인에 대한 가능한 확장을 강조합니다. 또한 S&P 지수, 연준이 암시하는 단기 금리, 수익률 곡선 역학을 살펴보기 위해 비디오 실험이 수행됩니다.
00:25:00 비디오의 이 섹션에서 강사는 수익률 곡선의 시뮬레이션과 이를 확률 모델과 비교할 수 있는 시간 경과에 따른 이자율의 변화를 관찰하는 데 사용할 수 있는 방법에 대해 설명합니다. 강의는 두 부분으로 나뉘는데, 첫 번째 부분은 풀브라이트 모델과 정확한 시뮬레이션의 유사성을 다루고 두 번째 부분은 시장에서 다양한 금리 상품의 구성 및 가격 책정에 중점을 둡니다. 강사는 또한 금리 제품이 모델에 대한 다색 몬테카를로 경로를 시뮬레이션하고 해당 모델을 옵션 시장으로 보정하는 궁극적인 목표와 함께 수익률 곡선을 구성하기 위한 빌딩 블록 역할을 하기 때문에 금리 제품의 가격을 책정하는 방법을 이해하는 것이 중요함을 강조합니다. 스왑은 고정 및 변동 금리 교환으로 인한 현금 흐름의 순서가 어떻게 불확실하고 계산할 수 있는지를 설명하기 위한 예로 사용됩니다.
00:30:00 비디오의 이 섹션에서 강사는 수익률 곡선의 구성 요소와 금리 스왑, 선도 거래자 계약 및 파생 상품 가격 책정과의 관계에 대해 설명합니다. 그는 수익률 곡선의 가능한 형태와 시장 상황과의 관련성, 내재 변동성의 개념 및 수익률 곡선을 구축하기 위한 스파인 포인트 계산에 대해 설명합니다. 강사는 또한 수익률 곡선에 대한 보간 루틴의 중요성을 강조하고 단일 수익률 곡선을 다중 곡선 접근 방식으로 확장하는 방법에 대해 설명합니다. 이 섹션에서는 Python 실험을 사용하여 수익률 곡선을 구축하고 이를 시장 도구와 연결하는 실질적인 측면을 강조합니다.
00:35:00 과정의 이 섹션에서 강사는 금융 공학과 관련된 다양한 주제에 대해 논의합니다. 첫 번째 블록은 Black-Scholes 모델에 따른 스왑션의 가격 책정을 다루고 두 번째 블록은 풀 와이드 또는 숏 레이트 모델을 사용하는 가격 옵션을 다룹니다. 유명한 Jamshidian의 트릭과 Python 실험도 이 섹션에서 설명합니다. 마이너스 금리의 개념, 이동된 로그 정규 이동된 내재 변동성, 이동 매개변수가 내재 변동성 형태에 미치는 영향도 강조됩니다. 또한 강의는 모기지의 선불과 은행의 관점에서 선불이 포지션과 헤징에 미치는 영향을 다룹니다.
00:40:00 비디오의 이 섹션에서 강사는 총알 모기지의 개념을 소개하고 관련 현금 흐름 및 선불 결정 요인을 설명합니다. 그들은 또한 모기지 포트폴리오에 대한 선불의 영향에 대해 논의하고 재융자 인센티브를 시장 관찰 가능 항목에 연결합니다. 강의에서는 파이프라인 위험과 금융 기관의 관리에 대해서도 다룹니다. 앞으로 강사는 포트폴리오에 영향을 미칠 수 있는 미래 위험의 가능한 시나리오를 시뮬레이션하기 위한 기반을 제공하는 여러 자산 클래스를 동시에 모델링하는 것에 대해 이야기합니다. 서로 다른 자산 클래스 간의 상관관계가 중요할 것이며 이국적인 파생 상품에 대한 관심이 감소함에도 불구하고 하이브리드 모델은 위험 관리 목적에 여전히 유용할 것입니다.
00:45:00 비디오의 이 섹션에서 연사는 가격 조정 및 위험 가치뿐만 아니라 확률 변동성이 있는 확장을 위한 하이브리드 모델의 사용에 대해 논의합니다. 첫 번째 블록은 주식 역학 및 확률적 이자율을 포함하여 XVA 환경에 사용할 수 있는 하이브리드 모델을 다룹니다. 두 번째 블록은 Heston 모델과 같은 확률적 변동성 모델과 주식 프로세스 자체와 상관관계가 있는 확률적 이자율을 포함하는 방법에 중점을 둡니다. 강의는 또한 변동 통화의 역사와 발전, 선도 FX 계약, 이종 통화 스왑 및 FX 옵션을 포함하여 외환 및 인플레이션에 대해 탐구합니다. 측정 변경의 개념은 측정 변경이 논의된 후 프로세스의 역학에서 중요한 역할을 합니다. 궁극적으로 목표는 서로 다른 자산 클래스의 서로 다른 자산 하에서 정의된 계약의 가격을 책정하고 익스포저 및 위험 측정을 계산할 수 있도록 하는 것입니다.
00:50:00 금융 공학 과정의 이 섹션에서 강사는 확률적 변동성에 존재하는 양자 수정 요소, 확률적 이자율이 있는 FX 옵션의 가격 책정 및 인플레이션 개념과 같은 주제를 다룹니다. 강의는 통화 기반에서 상품 기반으로 인플레이션 정의의 진화를 설명할 것입니다. 강의는 또한 LIBOR 시장 모델 및 볼록성 조정과 같은 시장 모델을 다룰 것입니다. 강사는 금리 개발의 역사를 제공하고 HJM 프레임워크를 사용하여 LIBOR 시장 모델과 같은 시장 모델의 동기를 설명합니다. 로그 정규 LIBOR 시장 모델의 사양, 확률적 변동성, LIBOR 시장 모델의 스마일 및 스큐도 논의됩니다.
00:55:00 금융 공학 과정의 이 섹션에서 강사는 위험 중립 가격 책정 및 Black-Scholes 모델을 포함하여 제품 가격 책정에 사용되는 다양한 기술에 대해 설명합니다. 그는 또한 동결 기술과 같은 위험한 기술의 남용에 대해 경고하고 가격 책정 프레임워크에서 볼록성 수정의 중요성을 강조합니다. 이 과정은 볼록성 수정의 필요성을 인식하는 방법과 문제를 해결하기 위해 시장에 존재하는 전체 금리 또는 미소와 스큐를 포함하는 방법을 다룹니다. 이 섹션은 cva, bca, va 및 fva를 포함한 xva 시뮬레이션과 Python 시뮬레이션을 사용하여 예상 노출, 잠재적 미래 노출 및 온전성 검사를 계산하는 방법에 대해 논의하면서 결론을 내립니다.
01:00:00 이 섹션에서 강사는 파생 상품 가격 책정 및 가격 발견의 중요성, 거래 귀속의 실질적인 측면, 위험 가치 및 예상 부족. 이자율 스왑 포트폴리오 구축 및 시뮬레이션 결과를 통해 var 및 예상 부족액을 추정하기 위해 수익률 곡선 구축에 대한 지식을 사용하는 등 실용적인 응용에 중점을 둡니다. 강사는 또한 Monte Carlo 시뮬레이션을 사용한 var 계산과 관련된 누락된 데이터, 차익 거래 및 재등급 문제에 대해 논의합니다.
01:05:00 이 섹션에서 강사는 백 테스트 및 VAR 엔진 테스트에 관한 과정의 마지막 강의에 대해 설명합니다. 그는 또한 이 과정을 완료하는 데 14주 이상 걸릴 것이라고 언급했지만 각 강의를 추가 지식으로 구축하여 궁극적인 목표인 가치 평가 조정 XVA 및 위험 가치 계산을 지원하는 훌륭한 스타일로 진행될 것이라고 언급했습니다. 코스는 이미 녹화되어 있으며 강사는 즐거운 여행으로 산 정상에 도달할 것이라고 자신합니다.
Financial Engineering: Interest Rates and xVALecture 1- part 1/1, Introduction and Overview of the Course▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬This course i...
강의에서 강사는 확률적 점프가 포함된 Black-Scholes 모델을 자세히 살펴보고 파생 가격 책정에 적용하는 방법을 보여줍니다. 조건부 기대의 통합은 모델의 정확도를 향상시키는 수단으로 강조됩니다. 또한 숫자와 측정값 변경의 개념을 탐구하여 서로 다른 숫자 간의 이동이 가격 책정 결과를 개선할 수 있는 방법을 보여줍니다. 이 섹션에서는 특히 금리 영역 내에서 여과, 기대 및 측정 변경의 중요성을 강조합니다.
주제를 확장하면서 교수는 가격 책정에서 측정, 여과 및 기대의 중추적인 역할을 강조합니다. 그들은 주식과 같은 척도가 가격 책정 과정에서 어떻게 효과적으로 사용될 수 있는지를 보여주며 척도 변경은 가격 책정 문제의 복잡성을 줄이는 데 도움이 됩니다. 강의에서는 일반적으로 확률적 할인과 관련된 전방 측정의 개념을 추가로 조사합니다. 여과는 시간, 노출 프로필 및 위험 프로필을 이해하기 위한 기본 원칙으로 설명됩니다. 또한 확률적 과정의 정의와 시장 데이터 해석 및 미래 실현 예측에 있어 여과의 중요성을 소개합니다.
앞으로 여과 및 측정의 개념을 철저히 검토합니다. 필터링은 현재와 관련되거나 미래로 확장될 수 있으므로 확률적 프로세스를 처리할 때 명확한 구분이 필요합니다. 과거는 주식 역사의 단일 궤적을 나타내는 반면, 미래의 확률은 확률적 미분 방정식과 시뮬레이션을 통해 모델링할 수 있습니다. 이 과정은 주로 현재(t0)까지의 필터링에 중점을 두지만 나중에 향상된 계산 효율성을 위해 미래의 필터링을 활용하는 방법을 자세히 살펴봅니다. 미래 시나리오를 시뮬레이션하고 다양한 결과를 개발하는 것이 가능해집니다. 그러나 본질적인 불확실성을 감안할 때 가장 현실적인 시나리오를 결정하는 것은 여전히 어려운 일입니다. 결과의 분포를 추정하는 것은 측정값 p와 관련된 과거 데이터 및 보정 기술을 활용하는 것과 관련됩니다.
그런 다음 강의에서는 가격 책정 및 위험 관리에서 측정 Q의 고유한 역할을 강조하고 주로 위험 관리에서 측정 P를 강조하면서 측정 및 여과에 대해 자세히 설명합니다. 두 척도를 모두 사용하면 각 척도의 적합성이 고유하지 않기 때문에 위험 프로필에 대한 미래 시나리오를 생성하는 것이 필수적입니다. 게다가 시간이 지날수록 역사 지식의 축적은 더 넓은 여과로 이어진다. 그러나 측정 가능성에 대한 이해를 유지하고 특정 미래 시간의 확률론적 수량에 대한 불확실성을 인정하는 것 또한 필수적입니다.
강사는 금융 공학의 맥락에서 여과 및 측정에 대해 논의합니다. 특히 그들은 측정 가능성이 불변성을 의미하지 않는다는 점을 강조합니다. 오히려 확률적 양을 나타냅니다. 여과는 각 주어진 시간에 사용 가능한 지식의 범위를 밝히고 축적된 지식으로 인해 시간이 갈수록 확장됩니다. 필터링 및 측정 변경은 재무 모델링에서 강력한 도구가 될 수 있지만 부적절하게 사용하면 심각한 문제가 발생할 수 있습니다. 따라서 이러한 도구를 효과적으로 사용하는 방법을 파악하고 모델링 오류를 피하기 위해 시간을 탐색하는 것이 중요합니다. 이 섹션은 과거 데이터 또는 시장 도구에서 추론할 수 있는 재무 모델링의 보정 프로세스에 대한 개요로 결론을 내립니다.
미래 실현을 고려하지 않고 주어진 순간까지 사용 가능한 정보에만 의존하는 프로세스를 언급하는 적응 프로세스의 개념이 도입되었습니다. 적응된 프로세스의 예에는 브라운 운동과 특정 기간 내 프로세스의 최대값 결정이 포함됩니다. 반대로 적응되지 않은 프로세스는 미래 실현에 의존합니다. 강의는 또한 시그마 필드, 여과 및 기대 사이의 관계를 설정하는 강력한 가격 책정 도구인 타워 속성을 소개합니다.
조건부 기대는 특히 두 변수가 관련된 함수를 다룰 때 금융 공학에서 강력한 도구로 논의됩니다. 기대의 타워 속성은 기대를 조건화하고 외부 및 중첩된 내부 기대를 계산하는 데 활용됩니다. 이 속성은 시뮬레이션에서 응용 프로그램을 찾아 특히 확률적 미분 방정식 및 특정 여과를 사용하여 블록체인 옵션 가격 책정 모델에 적용할 수 있는 특정 문제 구성 요소의 분석 계산을 가능하게 합니다. 적분 방정식을 통합하여 조건부 기대의 정의를 탐구합니다.
강사는 금융 공학에서 조건부 기대와 여과의 중요성을 강조합니다. 그들은 무작위 변수가 조건화될 수 있고 그 답이 분석적으로 알려진 경우 내부 기대치를 샘플링하여 외부 기대치를 계산할 수 있음을 강조합니다. 그러나 금융에서는 조건부 밀도 또는 2차원 밀도에 대한 분석 지식을 보유하는 것이 일반적이지 않습니다. 강사는 현재의 관점에서 확률적 양으로 남아 있기 때문에 코딩에서 조건부 기대치를 올바르게 사용하는 것의 중요성을 강조합니다. 또한 수렴을 개선할 수 있으므로 시뮬레이션 컨텍스트에서 모델의 일부에 대한 분석 솔루션을 통합하는 이점에 대해 논의합니다. 이러한 개념을 설명하기 위해 강사는 브라운 운동의 외부 기대치를 계산하는 예를 제공합니다.
앞으로 강사는 예상 시간이 0인 경우와 비교하여 복잡성을 강조하면서 미래 시점에 대한 기대치를 탐구합니다. 그들은 이 시나리오가 조건부 기대에 대한 하위 시뮬레이션을 포함하여 각 경로에 대해 여러 경로와 중첩된 Monte Carlo 시뮬레이션이 필요하다고 설명합니다. 이러한 복잡성은 독립적 증분의 속성으로 인해 발생하며 브라운 운동은 항상 서로 다른 두 시간(t 및 s)에서의 값 간의 차이로 표현될 수 있습니다.
몬테카를로 시뮬레이션으로 초점을 이동하면서 연사는 주식의 옵션 가치를 시뮬레이션하기 위한 브라운 운동의 구성에 대해 논의합니다. 두 가지 유형의 마팅게일을 탐색하고 스톡 옵션의 조건부 기대치를 계산하기 위한 내포된 몬테카를로 방법을 소개합니다. 시뮬레이션은 시간 s까지 하나의 경로를 생성하고 각 경로에 대한 하위 시뮬레이션을 수행하여 해당 시점의 기대치를 평가합니다. 이 프로세스는 각 경로에 대해 시간 s에서 특정 실현에 대한 조건부 기대치를 계산하는 것을 수반합니다. 그런 다음 오류는 조건부 기대값과 시간 s에서의 경로 값 간의 차이로 측정됩니다. 브라운 운동의 표준화는 독립적인 증분을 사용하여 구성되도록 보장하여 Monte Carlo 시뮬레이션 내에서 원하는 속성의 시행을 용이하게 합니다.
마지막으로 발표자는 브라운 운동을 시뮬레이션하는 것이 간단하고 비용 효율적으로 보일 수 있지만 조건부 기대치를 통합하려면 중첩된 몬테카를로 접근 방식이 필요하며 각 경로에 대해 브라운 운동의 여러 시뮬레이션을 수행해야 한다고 강조합니다. 결과적으로 이 프로세스는 시간이 오래 걸릴 수 있습니다.
결론적으로 강의는 측정, 필터링, 조건부 기대 및 재무 공학의 Monte Carlo 시뮬레이션과 관련된 주제를 광범위하게 다룹니다. 파생 가격 책정, 위험 관리 및 모델 조정에서 이러한 개념의 중요성은 전체적으로 강조됩니다. 이러한 도구와 기술의 기본 원칙을 이해함으로써 재무 전문가는 모델링 정확도를 향상하고 복잡한 가격 문제를 효과적으로 탐색할 수 있습니다.
00:00:00 강사는 확률적 점프가 포함된 Black-Scholes 모델의 사용과 조건부 기대치를 통합하여 이를 개선할 수 있는 방법을 시연합니다. 더 나은 결과를 얻기 위해 서로 다른 숫자 사이의 측정값을 변경하는 것과 관련된 숫자 및 측정 변경의 개념에 대해서도 설명합니다. 전반적으로 이 섹션에서는 특히 금리 세계에서 파생 가격의 여과, 기대 및 측정 변화의 중요성을 강조합니다.
00:05:00 금융 공학 과정의 이 섹션에서 교수는 가격 책정에서 측정, 여과 및 기대의 중요성에 대해 논의합니다. 그는 주식과 같은 척도가 가격 책정에 활용되는 방법과 척도 변경을 사용하여 가격 책정 문제의 차원을 줄이는 방법을 설명합니다. 일반적으로 확률적 할인과 관련된 전방 측정의 개념도 탐구합니다. 이 섹션에서는 여과의 핵심 원리와 여과가 시간, 노출 프로필 및 위험 프로필을 이해하는 데 어떻게 통합되는지 강조합니다. 또한 시장 데이터 및 미래 실현을 이해하기 위한 확률적 과정의 정의와 여과의 개념을 소개합니다.
00:10:00 강의의 이 섹션에서는 여과 및 측정의 개념에 대해 설명합니다. 필터링은 현재 또는 미래까지 가능하며 확률적 프로세스를 처리할 때 두 가지를 구분하는 것이 중요합니다. 과거는 주식 역사의 하나의 경로이며 미래의 확률은 일부 확률적 미분 방정식과 시뮬레이션을 사용하여 설명할 수 있습니다. 이 과정은 현재(t0)까지의 필터링을 주로 고려하지만 나중에 계산 효율성을 추출하기 위해 미래를 위한 필터링 사용에 대해 논의합니다. 미래를 시뮬레이션하고 가능한 많은 결과를 나타내는 시나리오를 개발하는 것이 가능합니다. 그러나 항상 불확실성이 있기 때문에 어떤 시나리오가 가장 현실적인지 알 수 없습니다. 결과 분포는 과거 데이터를 사용하여 추정할 수 있으며 회귀 또는 측정 p와 관련된 기타 기술을 사용하여 보정할 수 있습니다.
00:15:00 이 섹션에서는 측정 및 필터링의 개념에 대해 설명합니다. 측정 Q는 주로 가격 책정 및 위험 관리와 관련이 있는 반면 측정 P는 주로 위험 관리에 사용됩니다. 두 척도가 모두 고유하지 않기 때문에 두 척도의 적합성을 결정하기가 어렵기 때문에 위험 프로필에 대한 미래 시나리오를 생성하는 것은 두 척도를 모두 사용할 때 필수적입니다. 또한 시간의 증가는 더 많은 역사적 지식으로 이어지고 지식이 증가함에 따라 더 큰 여과가 발생합니다. 그러나 측정 가능성도 중요하며 미래 특정 시점의 확률적 수량에 대한 불확실성을 이해해야 합니다.
00:20:00 이 섹션에서 강사는 금융 공학에서의 여과 및 측정의 개념에 대해 설명합니다. 측정 가능은 여전히 확률적 양이므로 상수를 의미하지 않는다는 점에 유의하는 것이 중요합니다. 필터링은 주어진 시간에 얼마나 많은 지식을 가지고 있는지 알려주며, 시간이 지날수록 축적된 지식으로 인해 필터링이 커집니다. 필터링 및 측정 변경은 재무 모델링에서 강력한 도구가 될 수 있지만 부적절하게 사용하면 큰 문제가 발생할 수 있습니다. 재무 모델링에서 실수를 방지하려면 이러한 도구를 사용하는 방법과 시간을 여행하는 방법을 아는 것이 중요합니다. 강사는 재무 모델링의 보정 프로세스와 과거 데이터 또는 시장 도구에서 이를 암시할 수 있는 방법을 설명하면서 섹션을 마칩니다.
00:25:00 이 섹션에서는 프로세스가 미래를 내다보지 않고 대신 그 순간까지 알려진 정보에만 의존한다는 아이디어를 나타내는 적응 프로세스의 개념에 대해 설명합니다. 적응된 프로세스의 예로는 브라운 운동 및 특정 기간 내 프로세스의 최대값 찾기가 포함되며, 적응되지 않은 프로세스의 예로는 미래 실현에 의존하는 프로세스가 포함됩니다. 강력한 가격 책정 도구인 타워 속성도 소개되며 시그마 필드, 여과 및 기대치 간의 관계를 포함합니다.
00:30:00 이 섹션에서는 조건부 기대의 개념이 특히 두 변수의 함수를 다룰 때 금융 공학에서 강력한 도구로 논의됩니다. 기대의 타워 속성은 기대를 조건화하고 외부 기대와 내포된 내부 기대를 계산하는 데 사용됩니다. 이 속성은 문제의 일부를 분석적으로 계산하고 특히 확률적 미분 방정식 및 특정 여과를 사용하여 블록체인 옵션 가격 책정 모델에 적용할 수 있는 시뮬레이션에 사용할 수 있습니다. 조건부 기대의 정의도 적분 방정식으로 탐구합니다.
00:35:00 이 섹션에서 강사는 금융 공학의 조건부 기대 및 여과의 개념에 대해 설명합니다. 무작위 변수가 조건화될 수 있고 답이 분석적으로 알려진 경우 내부 기대값에 대한 샘플링을 수행하여 외부 기대값을 계산할 수 있음을 강조합니다. 그러나 금융에서는 조건부 밀도나 2차원 밀도를 분석적으로 아는 경우가 드물다. 그들은 또한 오늘날의 관점에서 여전히 확률적 수량이므로 코드에서 조건부 기대를 올바르게 사용하는 것의 중요성을 강조합니다. 또한 강사는 시뮬레이션 측면에서 모델의 일부에 분석 솔루션을 부과하는 이점과 더 나은 수렴을 가져올 수 있는 방법에 대해 이야기합니다. 마지막으로 브라운 운동의 외부 기대치를 계산하는 예를 제공합니다.
00:40:00 이 섹션에서 강사는 기대가 시간 0인 경우보다 훨씬 더 복잡한 미래 시점에 대한 기대에 대해 논의합니다. 강사는 이를 위해서는 각 경로에 대해 하위 시뮬레이션을 수행하고 조건부 기대치를 취하는 것과 관련된 모든 경로에 대해 다중 경로 및 중첩된 몬테카를로 시뮬레이션이 필요하다고 설명합니다. 강사는 또한 이것이 독립 증분의 속성을 사용하여 브라운 운동이 시간 t에서의 브라운 운동 빼기 시간 s에서의 브라운 운동으로 항상 쓰여질 수 있다는 사실과 관련이 있다고 설명합니다.
00:45:00 강의의 이 섹션에서 연사는 몬테카를로 시뮬레이션과 주식의 옵션 가치를 시뮬레이션하기 위한 브라운 운동의 구성에 대해 논의합니다. 스톡 옵션의 조건부 기대값을 계산하기 위한 중첩된 몬테카를로 방법을 포함하여 두 가지 유형의 마팅게일을 살펴봅니다. 화자는 시간 s까지 하나의 경로에 대한 시뮬레이션과 각 경로에 대한 하위 시뮬레이션을 설명하여 그 시점에서 기대치를 얻습니다. 기대는 각 경로에 대해 반복되는 시간 s에서의 특정 실현에 대한 조건부 기대입니다. 오류는 조건부 기대값과 시간 s에서의 경로 간의 차이로 계산됩니다. Brownian 모션의 표준화는 독립적인 증분으로 구성되어 Monte Carlo 시뮬레이션에서 속성을 더 쉽게 적용할 수 있도록 합니다.
00:50:00 비디오의 이 섹션에서 발표자는 달리기 동작의 시뮬레이션에 대해 논의하고 간단하고 저렴하지만 조건부 기대가 관련된 경우 브라운 동작의 여러 시뮬레이션을 포함하는 중첩된 다색이 필요하다고 강조합니다. 즉, 각 경로에 대해 중첩된 시뮬레이션을 수행해야 하므로 시간이 많이 소요될 수 있습니다.
Financial Engineering: Interest Rates and xVALecture 2- part 1/3 Understanding of Filtrations and Measures▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬This course ...
휴식 후 세션에 오신 것을 환영합니다. 오늘은 금융공학 강의 2강의 두 번째 블록을 이어서 하겠습니다. 이 블록에서는 고급 개념에 중점을 두고 XVA의 가격 및 이자율에 대해 자세히 설명합니다.
이전에는 Python의 연습 및 시뮬레이션과 함께 여과 및 조건부 기대의 개념에 대해 논의했습니다. 이제 이전에 수행한 실험보다 더 발전된 추가 기대치를 살펴보겠습니다. 특히 옵션 가격 책정에 집중하고 조건부 기대의 도구를 활용하여 Monte Carlo 시뮬레이션의 수렴을 개선할 것입니다. 또한 숫자의 개념과 파생 가격 책정에서의 유용성을 소개하겠습니다.
이 블록에서는 수치의 개념뿐만 아니라 Girsanov 정리를 사용하여 Black-Scholes 모델의 동역학을 위험 중립 측정(측정 P)에서 Q 측정으로 변환합니다. 이 변환에는 기본 프로세스 변경이 포함됩니다. 기하학적 브라운 운동에 측정값 P는 과거 관측치와 연결되어 있는 반면 측정값 Q는 일반적으로 파생 가격 책정과 연결되어 있다는 점에 유의해야 합니다.
세 번째 블록으로 이동하여 자세한 측정 변경 사항에 중점을 둘 것입니다. 측정 변경을 사용하여 차원을 줄이고 상당한 이점을 얻을 수 있는 여러 장점과 요령을 보여 드리겠습니다. 그러나 지금은 오늘 강의의 다음 네 가지 요소에 집중하고 세션을 즐기자.
첫째, 우리는 실제 옵션 가격 책정을 해결하기 위해 조건부 기대 및 여과에 대한 지식을 활용할 것입니다. 구체적으로 유럽 옵션을 고려하고 조건부 기대가 가격 결정에 어떻게 도움이 되는지 살펴볼 것입니다. Black-Scholes 모델과 비슷하지만 확률적 변동성이 있는 더 복잡한 확률적 미분 방정식으로 작업할 것입니다. Black-Scholes는 일정한 변동성(시그마)을 가정하지만 시간에 따른 변동성과 확률적 변동성을 포함하도록 모델을 일반화할 것입니다.
예상의 타워 속성을 활용하여 이 문제를 해결하고 Monte Carlo 시뮬레이션을 개선할 수 있습니다. 경로를 직접 시뮬레이션하고 확률적 변동성(j)을 무작위로 샘플링하는 대신 조건부 기대치를 활용하여 더 나은 수렴을 달성할 수 있습니다. j의 실현을 조건으로 각 j에 대해 Black-Scholes 가격 책정 공식을 적용할 수 있습니다. 이 접근 방식은 Monte Carlo 시뮬레이션에서 불확실성 및 상관 관계 관련 문제를 크게 줄입니다.
다음 섹션에서는 조건부 기대와 Black-Scholes 공식을 기반으로 한 유럽 옵션 가격 책정에 대한 정확한 표현을 소개하겠습니다. 여기에는 내부 및 외부 기대가 포함되며 내부 기대는 j의 특정 실현을 조건으로 하며 Black-Scholes 공식을 적용합니다. 외부 기대치는 j에서 샘플링하고 각 샘플에 대해 Black-Scholes 공식을 사용해야 합니다.
Monte Carlo 시뮬레이션에서 예상에 대한 타워 속성 적용의 영향을 정량화하기 위해 두 가지 접근 방식을 비교할 것입니다. 첫 번째 접근 방식은 Black-Scholes 모델의 정보를 활용하지 않고 기대값을 직접 샘플링하는 무차별 대입 Monte Carlo 시뮬레이션입니다. 두 번째 접근 방식은 조건부 기대와 Black-Scholes 공식을 통합합니다. 수렴과 안정성을 비교하면 조건부 기대 접근 방식을 통해 상당한 이득을 얻을 수 있음을 관찰할 수 있습니다.
이 정보가 도움이 되셨기를 바랍니다. 조건부 기대의 실질적인 측면을 더 자세히 살펴보고 싶다면 이 책의 3장(확률적 변동성)과 12장(태블릿 가격 책정)을 참조하는 것이 좋습니다. 이제 Python 코드를 사용하여 이 접근 방식을 실제로 시연해 보겠습니다.
주식 및 변동성에 대한 Monte Carlo 샘플을 생성한 후 각 샘플에 대한 옵션 보상을 계산하는 코드의 다음 부분으로 이동합니다. 이 경우 행사 가격이 18인 유럽식 콜 옵션을 고려합니다. 다음 방정식을 사용하여 옵션 보수를 계산할 수 있습니다.
보수 = np.maximum(stock_samples[-1] - 파업, 0)
다음으로 Black-Scholes 공식을 사용하여 조건부 기대치를 계산합니다. 각 변동성 샘플에 대해 해당 변동성 값과 함께 Black-Scholes 모델을 사용하여 옵션 가격을 계산합니다.
마지막으로 모든 변동성 샘플에 대한 조건부 기대치의 평균을 취하여 전체 옵션 가격을 계산합니다.
option_price = np.평균(조건부_기대)
조건부 기대 접근 방식을 사용하여 Black-Scholes 모델의 정보를 활용하여 Monte Carlo 시뮬레이션의 수렴을 개선합니다. 이것은 더 정확한 옵션 가격으로 이어지고 만족스러운 수렴에 필요한 Monte Carlo 경로의 수를 줄입니다.
여기에 제공된 코드는 개념을 설명하기 위한 단순화된 예제라는 점에 유의해야 합니다. 실제로는 확률적 변동성, 시간 단계 및 기타 모델 가정과 같은 요인을 설명하기 위해 추가 고려 사항과 개선 사항이 있을 수 있습니다.
전반적으로 옵션 가격 책정에 조건부 기대치를 적용하면 특히 Black-Scholes 프레임워크의 가정에서 벗어난 복잡한 모델을 처리할 때 Monte Carlo 시뮬레이션의 효율성과 정확성을 높일 수 있습니다.
이제 금융 공학의 측정 변경이라는 주제로 초점을 옮겨 보겠습니다. 시스템 역학을 다룰 때 적절한 측정 변환을 통해 가격 책정 문제의 복잡성을 단순화하는 것이 때때로 가능합니다. 이는 빈도가 다른 여러 기초가 있는 금리 세계와 특히 관련이 있습니다. 일관된 프레임워크를 설정하기 위해 우리는 서로 다른 측정의 확률적 프로세스를 하나의 기본 측정으로 가져오는 측정 변환에 의존합니다.
수학적 금융 분야에서 숫자는 거래 가능한 모든 자산의 가격을 표현하는 데 사용되는 거래 가능한 개체로서 중요한 역할을 합니다. 숫자는 사과, 채권, 주식, 저축예금 등 자산의 가치를 나타내는 단위입니다. 숫자로 가격을 표현함으로써 서로 다른 상대방 간에 상품과 서비스를 이전하기 위한 일관된 프레임워크를 구축합니다.
과거에는 자산이 종종 금이나 기타 숫자로 표현되었습니다. 적절한 숫자를 선택하면 금융 공학 문제의 복잡성을 크게 단순화하고 개선할 수 있습니다. 드리프트가 없는 프로세스인 마팅게일로 작업하는 것은 드리프트가 있는 프로세스보다 다루기가 더 쉽기 때문에 재무에서 특히 유리합니다.
서로 다른 측정은 프로세스 및 거래 가능한 자산의 특정 역학과 관련이 있습니다. 일반적인 경우에는 예금 계좌와 관련된 위험 중립 측정, 제로 쿠폰 채권과 관련된 T-forward 측정 및 숫자로 주식과 관련된 측정이 포함됩니다. 측정값 변경은 측정값을 전환하고 다른 프로세스의 속성을 활용할 수 있는 방법을 제공합니다. Girsanov 정리는 특정 조건에서 한 측정에서 다른 측정으로 전환할 수 있는 측정 변환을 위한 중요한 도구입니다.
측정 변경의 이론적인 측면은 복잡할 수 있지만 이 과정은 실제 적용과 이론을 실제 문제에 적용하는 방법에 중점을 둡니다. 주요 내용은 측정 변경 및 마팅게일을 금융 공학 문제를 효과적으로 단순화하고 해결하는 도구로 사용할 수 있는 방법을 이해하는 것입니다.
측정 변경은 마팅게일로 알려진 드리프트 없이 프로세스를 처리하는 데 도움이 되는 강력한 도구라는 점에 유의해야 합니다. 측정값을 적절하게 변경하면 프로세스에서 드리프트를 제거하고 당면한 문제를 단순화할 수 있습니다. 이는 확률론적 이자율과 주식 역학을 다룰 때 특히 유용합니다.
그러나 측정값 변경이 항상 실현 가능하지 않거나 더 간단한 문제가 발생할 수 있다는 점을 언급할 가치가 있습니다. 때로는 드리프트를 제거한 후에도 분산과 같은 특정 변수의 역학이 복잡하게 남아 있을 수 있습니다. 그럼에도 불구하고,
일반적으로 측정값 변경을 통해 드리프트를 제거하면 문제가 간단해집니다.
마팅게일로 작업하는 것은 드리프트가 없는 확률적 미분 방정식이 드리프트가 있는 미분 방정식보다 다루기 쉽기 때문에 유리합니다. 적절한 숫자를 식별하고 측정 변경을 수행함으로써 복잡성을 효과적으로 줄이고 시뮬레이션 기술을 개선할 수 있습니다.
측정 변경을 통해 측정 사이를 전환하고 마팅게일의 속성을 활용할 수 있습니다. 측정 변경 사항을 이해하고 적용하는 것은 금융 상품의 가격 책정 및 분석을 크게 단순화할 수 있는 귀중한 기술입니다.
이제 측정 변경의 개념과 수학적 재무에서의 실제 적용에 대해 자세히 살펴보겠습니다. 앞서 논의한 측정 변환 공식은 다음과 같이 작성할 수 있습니다.
dQb/dQa = exp(-1/2 * ∫₀ᵗ yₛ² ds + ∫₀ᵗ yₛ dWₛ)
이 공식을 사용하면 한 측정값 Qa에서 다른 측정값 Qb로 전환할 수 있습니다. 여기에는 yₛ로 표시되는 "numeraire process"라는 특정 프로세스와 Wiener 프로세스 Wₛ가 사용됩니다.
Girsanov 정리는 지수 항에 대한 적분성 조건과 같은 특정 조건에서 이 측정 변환이 유효하다고 말합니다. 이 변환을 적용하여 측정값을 Qa에서 Qb로 또는 그 반대로 변경할 수 있습니다.
실제 응용 프로그램에서 측정 변경은 수학적 금융의 실제 문제를 단순화하고 해결하는 데 사용됩니다. 이를 통해 확률적 프로세스의 역학을 변환하고 마팅게일의 속성을 활용할 수 있습니다.
숫자를 적절하게 선택하고 측정 변경을 수행함으로써 프로세스에서 드리프트를 제거하고 당면한 문제를 단순화할 수 있습니다. 이 단순화는 확률적 이자율 및 주식 역학과 관련된 복잡한 모델을 처리할 때 특히 유용합니다.
측정 변경이 항상 단순한 문제로 이어지는 것은 아니라는 점에 유의해야 합니다. 때로는 드리프트를 제거한 후에도 분산과 같은 특정 변수가 여전히 복잡한 동역학을 나타낼 수 있습니다. 그러나 일반적으로 측정값 변경은 금융 공학 문제를 단순화하고 해결하기 위한 강력한 도구를 제공합니다.
이 과정에서는 실제 시나리오에서 측정 변경 사항을 실제로 적용하는 데 초점을 맞춥니다. 측정값 변경 및 마팅게일의 이점을 추출하여 수학 금융의 복잡한 문제를 단순화하는 방법을 탐구합니다.
요약하면 측정값 변경은 측정값을 전환하고 마팅게일의 속성을 활용할 수 있게 함으로써 수학적 금융에서 중요한 역할을 합니다. 측정 변경 사항을 이해하고 적용함으로써 우리는 금융 상품의 가격 책정 및 분석을 단순화하고 시뮬레이션 기술을 향상시키며 복잡한 모델을 보다 효과적으로 다룰 수 있습니다.
Financial Engineering: Interest Rates and xVALecture 2- part 2/3 Understanding of Filtrations and Measures▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬This course ...
강의를 계속하면서 강사는 측정 변경 및 재무에서의 실제 적용에 대한 주제에 대해 자세히 설명합니다. 그들은 Girizanov 정리와 스톡 측정의 개념에 대한 재교육을 제공함으로써 시작합니다. 기초를 확립함으로써 강사는 측정값 변경이 재무 모델의 차원을 효과적으로 줄일 수 있는 방법을 탐색하기 위한 단계를 설정합니다.
강의는 위험 중립적 조치에서 주식 자산에 의해 구동되는 저축 계정 조치로의 전환에 중점을 둡니다. 이 전환은 두 척도의 비율을 활용하여 이루어지며 프로세스는 간단한 용어로 설명됩니다. 선택한 자산을 자신의 포트폴리오에 있는 다른 자산과 동일한 단위로 표현하는 것의 중요성을 강조하며 이는 척도 변경을 통해 달성할 수 있습니다. 또한 강의에서는 관련 측정값에 대한 기대치를 측정값으로 나눈 1에 대한 적분으로 표현되는 보수 함수에 대해 자세히 설명합니다. 이 결과는 원하는 쿼리를 찾는 수단을 제공합니다. 강의는 마지막 용어를 얻기 위해 사용된 대체 방법을 보여주면서 끝맺으며 측정값 변경의 실용성을 추가로 설명합니다.
앞으로 연사는 보수의 단순화를 탐구하고 새로운 척도 하에서 주식의 역학을 탐구합니다. t0의 값은 새로운 마팅게일 방법을 도입하여 최대 st 빼기 k 0의 측정 하에서 기대값으로 제공됩니다. 마팅게일 접근법의 개념을 설명하고, 마팅게일의 조건을 만족시키기 위해 스톡 프로세스로 모든 것을 나누는 것이 중요함을 강조합니다. 새로운 조치에 따라 역학을 단순화하는 이점을 강조하면서 할인 프로세스가 강조 표시됩니다. 동역학은 마팅게일로 mtst의 비율에서 파생될 수 있습니다. 또한 화자는 마팅게일 접근 방식의 이점을 효과적으로 활용하기 위해 새로운 척도 하에서 분산 및 측정된 변환을 결정해야 할 필요성을 강조합니다.
강의를 확장하면서 강사는 Black-Scholes 사례에 사용된 동일한 절차를 비마팅게일 프로세스에 어떻게 적용할 수 있는지 설명합니다. 일련의 필수 조건을 따르면 측정 변환을 활용하여 새로운 프로세스의 역학을 도출하고 새로운 측정에 따른 기대치를 결정할 수 있습니다. 이러한 변환으로 인한 드리프트 및 변동성에 대한 수정을 설명하는 것의 중요성은 원래 측정값과 새 측정값에 따라 두 프로세스를 모두 구현할 때 강조됩니다. 궁극적으로 계산은 새 척도 하에서 단일 로그 정규 프로세스를 포함하는 우아한 표현으로 단순화됩니다.
또한 강사는 S2가 일정 수준에 도달할 때만 지급되는 저축 계좌와 관련된 보수 값과 함께 확률적 미분 방정식 S1 및 S2의 2차원 시스템을 소개합니다. 이 복잡한 기대치를 계산하려면 두 주식 간의 공동 분배가 필요합니다. 우아한 형태의 기대값을 찾기 위해 Girsanov 정리를 활용하여 측정 변환이 사용됩니다. 강사는 S1을 분자로 선택하고 임의의 숫자 도함수를 식별하여 과정을 설명합니다. 강의는 또한 필요한 모든 측정 변화를 유도하는 것의 중요성을 강조하고 다양한 측정에서 브라운 운동 사이의 관계에 대한 잠재적 영향을 탐구합니다. 강사는 복잡한 금융 상품의 우아하고 강력한 가격 책정에서 측정 변환의 중요성을 강조합니다.
강의를 계속하면서 연사는 무작위 니코틴 유도체에 대한 측정된 변환을 설명하고 결과를 단순화하는 것의 중요성을 강조합니다. 항을 상쇄하기 위해 찾아야 하는 해당 측정값과 함께 방정식의 공식이 설명됩니다. 저축 채권의 동역학, 드리프트 및 변동 계수는 에토스 보조 정리를 적용한 후에 논의됩니다. 이 변환에서 상관 요소는 무시할 수 있는 것으로 확인됩니다. 발표자는 또한 에토스 테이블과 관련하여 S2와 S1 사이의 관계의 중요성을 강조합니다.
초점을 이동하면서 발표자는 S1 측정 변환에서 두 스톡 프로세스의 역학에 대해 논의합니다. 여기에는 새로운 측정의 대체가 포함됩니다.
S1 측정 변환에서 발표자는 첫 번째 스톡 프로세스가 여전히 로그 정규 분포를 따르지만 드리프트에 추가 항이 있다고 설명합니다. 마찬가지로 두 번째 스톡 프로세스는 두 프로세스 간의 상관 관계로 인해 추가 항을 나타냅니다. 화자는 가장 간단한 것부터 가장 고급인 것까지 변수를 정렬하는 것의 중요성을 강조하고 확률론적 미분 방정식을 단순화하는 기술로 Cholesky 분해를 사용할 것을 권장합니다. 로그 정규 속성을 활용하여 평가 확률을 효과적으로 해결할 수 있습니다.
강의 범위를 확장하여 강사는 이자율 영역의 근본적인 파생 상품인 제로 쿠폰 채권에 대해 논의합니다. 제로이표채권은 단순한 보수(만기 시점에 받는 단일 가치)로 이해하고 사용하기 쉽습니다. 또한 더 복잡한 파생 상품의 가격을 책정하는 데 중요한 구성 요소 역할을 합니다. 어떤 경우에는 개시 시 채권의 가치가 1보다 클 수 있으며 이는 마이너스 금리를 나타냅니다. 마이너스 금리는 유동성 증가를 목표로 하는 중앙은행의 개입으로 인해 발생할 수 있지만 지출 촉진 효과는 여전히 논쟁의 대상입니다. 강사는 제로쿠폰채권이 금리세계의 지표변화 과정에서 결정적인 역할을 한다고 강조한다.
또한 강사는 제로이표채권을 고려할 때 포워드 대책으로 전환하는 것의 중요성에 대해 심도 있게 설명한다. 기본 가격 책정 정리와 일반 가격 책정 방정식을 사용하여 제로 쿠폰 채권의 현재 가치를 도출할 수 있습니다. 가격 방정식은 할인된 보상에 대한 기대를 포함하며 이는 제로 쿠폰 채권에 대한 하나와 같습니다. 강사는 이자율이 확률적이라는 점을 강조하고 측정값을 T 포워드 측정값으로 변경하여 방정식에서 확률적 할인을 제거할 수 있는 방법에 대해 설명합니다. 이 섹션은 루블 코드 파생 상품을 모델링하는 방법과 가격 책정 방정식이 위험 중립 측정에서 T 포워드 측정으로 이동하는 방법에 대한 설명으로 결론을 내립니다.
또한 교수는 금융 내에서 가격 책정 모델의 측정 방법 변경 및 차원 축소의 중요성을 강조합니다. T 포워드 측정값 아래의 가격으로 전환하고 할인 요소의 특이성을 제거함으로써 실무자는 측정값 변경 기술을 일상 작업에서 강력한 도구로 활용할 수 있습니다. 강의에서는 여과의 개념과 조건부 기대와의 관계를 요약하고 이러한 도구가 금융의 복잡한 문제를 단순화하는 방법을 강조합니다.
학생들을 참여시키고 그들의 이해를 강화하기 위해 강사는 세 가지 연습을 제시합니다. 첫 번째 연습에서는 풋 옵션 가격 책정을 위한 분석 솔루션을 구현하여 코드에 Python의 이자율이 통합되도록 합니다. 두 번째 연습에서는 가격을 풋 옵션으로 확장하여 그 효과를 평가할 기회를 제공합니다. 마지막으로, 학생들은 슬라이드 24의 제곱 스톡 표현식에 대한 몬테카를로 시뮬레이션 결과와 분석 표현식을 비교해야 합니다. 이 연습에서는 측정 변환 적용의 이점과 실질적인 차이점을 강조합니다.
이 강의에서는 측정 변경 사항과 재무에서의 응용 프로그램에 대한 종합적인 탐구를 제공합니다. 그것은 조치의 전환, 보수의 단순화, 새로운 조치 하의 역학, 프로세스의 변환, 제로 쿠폰 채권 및 이자율의 중요성과 같은 주제를 다룹니다. 실무자는 측정 변환을 활용하여 가격 책정 모델을 개선하고 계산을 단순화하며 복잡한 금융 상품에 대한 귀중한 통찰력을 얻을 수 있습니다.
00:00:00 이 섹션에서 강사는 측정값 변경 및 재무에서의 적용에 대한 주제를 계속 설명합니다. 그는 Girizanov 정리와 스톡 측정의 개념에 대한 복습으로 시작한 다음 측정 변경을 사용하여 차원을 줄이는 방법을 보여줍니다. 그는 또한 포워드 측정을 정의하고 측정 변경을 사용하여 주식 또는 이자율 제품에서 확률적 할인을 제거하는 방법을 설명합니다. 그런 다음 강사는 측정 변경이 문제를 단순화하고 우아한 솔루션을 얻는 데 도움이 될 수 있는 문제를 제시합니다. 전반적으로 이 섹션은 재무 측정 변경의 실제 적용에 대한 유용한 통찰력을 제공합니다.
00:05:00 이 섹션에서는 위험 중립적 조치에서 주식 자산에 의해 구동되는 저축 계정 조치로 전환 조치에 중점을 둡니다. 이를 달성하기 위해 두 척도의 비율이 사용되며 관련 프로세스가 간단한 용어로 설명됩니다. 강의는 자신의 포트폴리오에 있는 다른 모든 자산과 동일한 단위로 표현될 자산을 선택하는 것의 중요성과 측정 전환을 통해 이를 달성할 수 있는 방법을 강조합니다. 보수 함수에 대해서도 논의하고 관련 측정치 하의 기대값은 쿼리를 찾는 수단을 제공하는 결과와 함께 1/m분의 적분으로 작성됩니다. 강의는 마지막 용어를 얻기 위해 사용된 대체를 보여줌으로써 끝납니다.
00:10:00 이 섹션에서 연사는 보수의 단순화와 새로운 척도에 따른 주식의 역학 문제에 대해 논의합니다. t0의 값은 최대 st - k 0의 측정 하에서 기대값으로 주어지며 새로운 마팅게일 방법이 도입되었습니다. 마팅게일 접근 방식은 모든 것을 스톡 프로세스로 나누어 마팅게일에 적합하도록 해야 한다고 설명합니다. 연사는 또한 할인 프로세스를 강조하고 그것이 새로운 척도 하에서 단순화된 역학으로 이어지는 경우에만 유익하다고 언급합니다. 역학은 마팅게일로 mtst의 비율에서 찾을 수 있습니다. 마지막으로 화자는 마팅게일 접근법의 이점을 얻기 위해 새로운 척도 하에서 분산과 측정된 변환을 찾아야 할 필요성을 강조합니다.
00:15:00 이 섹션에서 강사는 Black-Scholes 사례에 사용된 것과 동일한 절차를 비마팅게일 프로세스에 적용하는 방법을 설명합니다. 일련의 필수 조건을 따르면 측정 변환을 사용하여 새 프로세스의 역학 및 새 측정에 따른 기대치를 도출할 수 있습니다. 강사는 원래 측정과 새 측정에서 두 프로세스를 모두 구현할 때 이러한 변환에서 발생하는 드리프트 및 변동성에 대한 수정을 고려하는 것이 중요하다고 강조합니다. 계산은 궁극적으로 새로운 척도 하에서 단일 로그 정규 프로세스를 사용하여 우아한 표현으로 단순화됩니다.
00:20:00 이 섹션에서 강사는 확률적 미분방정식 S1과 S2의 2차원 시스템과 S2가 일정 수준에 도달할 때만 지급되는 저축 계좌와 관련된 보수 값을 소개합니다. 이 복잡한 기대치를 계산하려면 두 주식 간의 공동 분배가 필요합니다. 그런 다음 측정 변환을 사용하여 매우 우아한 형태로 Girsanov 정리를 통해 기대값을 찾습니다. 먼저, S1을 분자로 선택한 다음 임의의 분자 도함수를 찾습니다. 이 강의에서는 필요한 모든 척도 변화를 유도하는 것의 중요성과 다양한 척도에서 브라운 운동 사이의 관계가 어떻게 영향을 받을 수 있는지에 대해 논의합니다. 강사는 복잡한 금융 상품의 가격을 우아하고 강력하게 책정하는 측정 변환의 중요성을 강조합니다.
00:25:00 강의의 이 섹션에서 연사는 무작위 니코틴 유도체에 대한 측정된 변환과 결과 단순화의 중요성을 설명합니다. 연사는 eq의 공식과 용어를 상쇄하기 위해 찾아야 하는 해당 측정값을 설명합니다. 그들은 에토스 보조정리를 적용한 후 저축 채권의 역학과 드리프트 및 변동성 계수를 검토합니다. 상관 요소는 이 변환에서 중요하지 않습니다. 화자는 ethos 테이블과 관련하여 s2와 s1 사이의 관계의 중요성에 주목합니다.
00:30:00 이 섹션에서 발표자는 새 측정값의 대체를 포함하는 s1 측정값 변환에서 두 스톡 프로세스의 역학을 살펴봅니다. 첫 번째 스톡 프로세스는 여전히 로그 정규 분포를 따르지만 드리프트에 항이 추가됩니다. 마찬가지로 두 번째 스톡 프로세스는 두 프로세스 간의 상관 관계로 인해 추가 용어가 있습니다. 화자는 변수를 가장 간단한 것부터 가장 고급인 것까지 정렬하는 것의 중요성을 강조하고 확률론적 미분 방정식을 단순화하기 위해 Cholesky 분해를 사용할 것을 권장합니다. 궁극적으로 로그 정규 속성을 사용하여 평가 확률을 해결할 수 있습니다.
00:35:00 금융 공학 과정의 이 섹션에서 강사는 이자율 세계에서 기본적이지만 강력한 파생 상품인 제로 쿠폰 채권에 대해 논의합니다. 무이표 채권에 대한 보상은 만기 시 받는 단일 가치이므로 이해하고 사용하기 쉬운 도구입니다. 또한 더 복잡한 파생 상품의 가격 책정을 위한 기본 구성 요소가 될 수도 있습니다. 강사는 채권의 가치가 처음에 1보다 큰 경우가 있을 수 있으며 이는 마이너스 금리를 나타냅니다. 마이너스 금리는 중앙은행이 유동성을 늘리기 위해 개입한 결과일 수 있지만 지출을 자극하는 효과는 논쟁의 여지가 있습니다. 금리 세계에서 대책을 바꾸는 과정에서 제로이표채권이 중요한 매개체가 될 것임을 강사는 분명히 한다.
00:40:00 이 섹션에서 강사는 제로 쿠폰 채권과 측정값을 포워드 측정값으로 변경하는 것의 중요성에 대해 논의합니다. 기본 가격 책정 이론과 일반 가격 책정 방정식을 사용하여 제로 쿠폰 채권의 현재 가치를 도출할 수 있습니다. 가격 등식에는 제로 쿠폰 채권에 대한 1과 동일한 할인된 보상에 대한 기대가 포함됩니다. 강사는 이자율이 확률적이라는 점을 강조하고 측정값을 T 포워드 측정값으로 변경하여 방정식에서 확률적 할인을 제거할 수 있는 방법에 대해 설명합니다. 이 섹션은 강사가 루블 코드 파생 상품을 모델링하는 방법과 가격 책정 방정식이 위험 중립 측정에서 T 포워드 측정으로 변경되는 방법을 설명하는 것으로 끝납니다.
00:45:00 강의의 이 섹션에서 교수는 측정값을 변경하고 차원을 줄이는 아이디어와 재무에서 가격 책정 모델에 적용할 수 있는 방법에 대해 논의합니다. 측정값을 변경함으로써 실무자는 t 포워드 측정값 아래의 가격으로 작업하고 할인 요소에서 특이성을 제거할 수 있습니다. 이를 통해 측정된 위험한 기술을 일상 작업에서 강력한 도구로 사용할 수 있습니다. 강의는 또한 여과의 개념과 조건부 기대와의 관계, 그리고 이러한 도구를 사용하여 금융의 복잡한 문제를 단순화하는 방법을 요약합니다.
00:50:00 이 섹션에서는 필터링 이해의 중요성, 조건부 기대치 및 Black-Scholes 조건부 점프를 사용하여 옵션 가격의 변화를 측정합니다. 이 섹션에서는 분자를 선택하는 방법과 이러한 측정값이 브라운 운동과 어떻게 관련되는지 설명했습니다. 측정값 변경은 확률적 미분 방정식, 차원 축소 및 도함수 변환을 전송하는 것과 같은 예에서 유익한 것으로 입증되었습니다. 학생들이 기대치, 역학, 몬테카를로 시뮬레이션 수행과 같은 파생 가격 및 이자율에 대한 기술을 개발할 수 있도록 숙제 연습이 제공되었습니다.
00:55:00 강의의 이 섹션에서 강사는 학생들을 위한 세 가지 연습을 제시합니다. 첫 번째는 풋 옵션 가격 책정을 위한 분석 솔루션을 구현하고 강의 설명에서 제공되는 Python 코드에 이자율을 포함하여 제대로 작동하는지 확인해야 합니다. 두 번째 연습은 옵션을 넣고 그 효과를 확인하기 위해 동일한 가격을 확장하는 것입니다. 마지막으로 학생들은 슬라이드 24의 제곱 스톡 표현에 대한 몬테카를로 시뮬레이션 결과와 분석 표현을 비교해야 합니다. 이는 측정된 변환을 적용할 때의 이점과 엄청난 차이를 보여줍니다.
Financial Engineering: Interest Rates and xVALecture 2- part 3/3 Understanding of Filtrations and Measures▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬This course ...
전산 금융: 강의 9/14(몬테카를로 시뮬레이션)
전산 금융: 강의 9/14(몬테카를로 시뮬레이션)
강의는 몬테카를로 시뮬레이션 및 전산 금융 통합과 관련된 여러 주제를 다루며 다양한 접근 방식과 기술에 대한 통찰력을 제공합니다.
강사는 적분 문제를 소개하고 Monte Carlo 샘플링을 사용하여 적분을 계산하는 방법을 보여줌으로써 시작합니다. 통합에 대한 고전적 접근과 기대값에 기반한 통합의 두 가지 접근 방식을 설명합니다. Python 프로그래밍 데모를 통해 강사는 시뮬레이션을 보다 효율적으로 분석하고 만드는 방법을 보여줍니다. 수렴 및 다양한 유형의 수렴에 대한 부드러움의 영향에 대해 논의합니다.
또한 강의에서는 Euler와 Milstein이라는 두 가지 중요한 이산화 기법을 다루고 시뮬레이션의 시간 단계를 기반으로 오류를 제어하는 방법을 설명합니다. 강사는 90년 가까이 다양한 분야에서 활용되어 온 몬테카를로 시뮬레이션의 원리와 역사를 강조한다. 그것은 1930년대, 특히 맨해튼 프로젝트 동안 물리학자들 사이에서 인기를 얻었습니다.
전산 금융에서 미래 보수의 기대 가치를 계산하는 것의 중요성에 대해 논의합니다. 여기에는 일정하거나 시간에 따른 이자율을 고려하여 주식의 밀도를 사용하여 실제 축에 통합하는 것이 포함됩니다. 샘플링 및 확률 이론과 관련된 Monte Carlo 통합은 각 시뮬레이션마다 다양한 출력을 제공하는 기술로 도입됩니다. 강의는 시뮬레이션에서 설정을 조정하여 오류 분포의 분산을 제어하는 능력과 고차원 문제에 대한 적용을 강조합니다. 강사는 또한 Monte Carlo로 샘플링 및 시뮬레이션을 개선하는 방법에 대해 설명합니다.
Monte Carlo 시뮬레이션을 사용하여 적분을 추정하는 구체적인 방법을 설명합니다. 이 방법은 직사각형 영역에서 균일하게 포인트를 샘플링하고 적분을 추정하기 위해 곡선 아래 샘플의 비율을 세는 것을 포함합니다. 금융에서 일반적으로 사용되지는 않지만 이 접근 방식은 고차원 문제에 유용할 수 있습니다. 강사는 관심 영역을 효율적으로 포착하기 위해 통합되는 기능을 이해하는 것이 중요하다고 강조합니다.
강의는 또한 재무에서 몬테카를로 시뮬레이션의 한계와 과제에 대해 탐구합니다. 대략적인 추정치를 제공하지만 특히 복잡한 시뮬레이션의 경우 결과가 매우 부정확할 수 있습니다. 강사는 몬테카를로 시뮬레이션에서 예상되는 오류가 시뮬레이션 횟수의 제곱근만큼 감소하여 계산 강도가 높아진다고 설명합니다. 강의는 통합 및 기대 접근 간의 관계를 추가로 탐구하여 이들이 어떻게 연결되어 있는지에 대한 예를 보여줍니다. 금융 분야에서 기대 접근 방식은 일반적으로 기존의 Monte Carlo 시뮬레이션보다 더 효율적이고 정확한 것으로 간주됩니다.
강의는 큰 수의 법칙과 독립 확률 변수와의 관계를 다룹니다. 평균을 결정하기 위한 분산 추정 및 기대값 계산에 대해 설명합니다. "순진한 접근 방식"과 기대 접근 방식 사이의 비교가 제시되며, 후자는 더 적은 수의 샘플로도 훨씬 더 정확함을 입증합니다. 강사는 이 시뮬레이션을 수행하기 위한 코드를 시연하며 기능을 통합하기 위한 접근 방식에 대해 두 지점을 지정해야 할 필요성을 강조합니다.
재무에서 발생하는 확률적 적분의 다양한 예가 논의되며, 시간 단계에 따른 브라운 운동의 합산, 증분에 대한 브라운 운동의 합, 증분에 의한 브라운 운동의 곱셈을 강조합니다. 함수 g(t)가 함수 g(s)dW(s)와 함께 0에서 T까지 통합되는 보다 구체적인 사례가 제시됩니다. 이 강의에서는 적분 범위를 더 작은 하위 구간으로 나누는 방법과 몬테카를로 시뮬레이션을 사용하여 적분을 근사화하는 방법을 설명합니다. 샘플 크기의 중요성과 값의 범위는 정확한 결과를 위해 강조됩니다.
발표자는 분할 및 근사 프로세스를 통해 결정론적 적분을 수치적으로 해결하는 방법을 설명합니다. 그들은 Ito 적분을 소개하고 왼쪽 경계에서 선택된 적분과 함께 구간의 시작 부분에서 함수 GT의 평가를 설명합니다. 강사는 T 제곱의 GT 함수가 있는 예를 사용하여 Ito isometry 속성으로 기대값과 분산을 얻는 방법을 보여줍니다. 계산을 시뮬레이션하기 위해 Python 코드가 제공되며 관련 단계가 설명됩니다.
브라운 운동의 생성과 과정을 구성하고 적분을 정의하는 데 사용하는 방법에 대해 설명합니다. 강의는 분포를 생성하고 이를 사용하여 브라운 운동 과정을 구성하는 과정을 안내합니다. 스케일링 조건 제거가 분포 및 분산에 미치는 영향을 보여줍니다. 강사는 또한 Ito의 Lemma를 적용하여 브라운 운동과 관련된 적분을 푸는 요령을 설명합니다. 마지막으로 강의에서는 적분을 계산하기 위해 함수 x 제곱을 고려하는 방법을 보여줍니다.
tw 제곱 t와 같은 함수의 동역학을 얻기 위한 Ito의 Lemma의 적용이 논의됩니다. 이토의 Lemma를 x제곱에 적용하여 적분을 통해 계산되는 항을 드러내어 정규분포가 아닌 파이제곱분포를 도출하는 강의입니다. 화자는 원하는 결과를 얻기 위해 어떤 유형의 기능을 적용할지 추측하는 경험의 중요성을 강조합니다. 코드는 적분 사이를 전환하도록 수정되었으며 결과를 개선하기 위해 샘플 수의 증가가 제안되었습니다.
Monte Carlo 시뮬레이션, 수치 루틴 및 양질의 난수 생성기의 중요성에 대해 논의합니다. 강의는 Ito의 Lemma를 설명하고 dwt dwt가 0인 이유를 이해하기 위한 휴리스틱 접근 방식을 제공합니다. 그리드 크기를 줄이면 예상보다 분산의 수렴이 빨라지는 것으로 관찰됩니다. 분산이 거의 0에 가까워지는 동안 기대값이 더 느린 속도로 0이 된다는 것을 입증하기 위해 실험을 수행합니다. 화자는 dwt dwt가 0인 이유에 대한 직관을 제공하는 동시에 이 관계의 이론적 증명이 상당히 관련되어 있음을 인정합니다.
강의는 두 개의 유사한 함수인 g1과 g2의 수렴에 대해 탐구하고 브라운 운동에서 샘플링했을 때의 기대치를 조사합니다. 이 함수의 한계는 x가 마이너스 무한대에 접근할 때 0이고 x가 플러스 무한대에 접근할 때 1입니다. 강사는 시뮬레이션된 샘플의 수를 증가시키면서 오류를 계산하고 오류를 샘플 수와 비교한 그래프를 제시합니다. 곡선이 매끄럽지 않고 진동 범위가 넓은 첫 번째 함수는 곡선이 매끄럽고 빠르게 수렴하는 두 번째 함수와 대조됩니다.
융합은 몬테카를로 시뮬레이션을 금융에 활용할 때 중요한 고려 사항으로 부각됩니다. 강의는 약한 수렴과 강한 수렴의 차이점을 설명하며, 강한 수렴이 약한 수렴보다 더 강력합니다. 부드럽지 않은 함수와 디지털 방식의 보수를 다룰 때 수렴에 오류가 발생하여 상당히 다른 평가 결과가 나올 수 있습니다. 정확한 재무 시뮬레이션 및 평가를 위해서는 두 유형의 수렴의 차이점과 의미를 이해하는 것이 중요합니다.
강의는 Monte Carlo 시뮬레이션 및 가격 책정 알고리즘의 맥락에서 약한 수렴과 강한 수렴에 대해 논의합니다. 약한 수렴은 기대 수준의 순간과 일치하지만 정확한 경로 종속 보상을 위해서는 강한 수렴이 필요합니다. 완전한 Monte Carlo 가격 책정 알고리즘에는 현재 시간부터 계약 지불 날짜까지 그리드 정의, 가격 책정 방정식 및 자산에 대한 확률적 동인이 포함됩니다. Monte Carlo 시뮬레이션은 스톡 프로세스의 복잡성으로 인해 폐쇄형 평가가 불가능할 때 필요합니다. 그리드는 일반적으로 동일한 간격으로 배치되지만 경우에 따라 대체 전략을 사용할 수 있습니다.
교수는 Monte Carlo 시뮬레이션의 정확성과 시간 제약을 강조합니다. 시간 단계의 수를 늘리면 정확도가 향상되지만 시뮬레이션 시간도 늘어납니다. 더 큰 Monte Carlo 단계를 허용하는 고급 기술 또는 폐쇄형 솔루션은 정확성과 속도를 모두 달성하는 데 도움이 될 수 있습니다. 그런 다음 강의는 유럽식 옵션에 대한 그리드, 자산 및 보수를 정의하는 것으로 진행됩니다. 옵션의 최종 상태는 관찰 시점에 따라 다릅니다. 큐 측정값 아래의 기대값을 할인하여 옵션 가격을 계산하는 방법과 얻은 결과의 변동성을 측정하기 위한 표준 오차를 계산하는 방법을 강의에서 설명합니다.
표준 오차의 개념은 Monte Carlo 시뮬레이션의 맥락에서 논의됩니다. 강의에서는 큰 수의 강법칙을 이용하여 기대값을 계산할 수 있고, 표본을 독립적으로 추출한다는 가정하에 평균의 분산을 계산할 수 있다고 설명합니다. 주어진 특정 수의 경로에 대한 기대치의 변동성을 측정하는 표준 오차는 분산을 경로 수의 제곱근으로 나누어 결정할 수 있습니다. 샘플 수가 증가하면 오류가 감소합니다. 일반적으로 샘플 수를 4배 늘리면 오류가 2배 감소합니다. 확률론적 미분 방정식을 시뮬레이션하는 고전적인 방법은 오일러 이산화(Euler Discretization)를 이용하는 것인데, 이는 간단하지만 한계가 있습니다.
강사는 몬테카를로 시뮬레이션에서 확률적 미분 방정식과 오일러 이산화의 사용에 대해 논의합니다. 이 프로세스에는 그리드를 정의하고 시뮬레이션을 수행하고 절대 오차를 통해 정확한 솔루션과 시뮬레이션 간의 차이를 측정하는 작업이 포함됩니다. 비교 가능성을 보장하기 위해 정확한 버전과 이산화된 버전 모두에서 변수의 무작위성이 동일하도록 하는 것이 중요합니다. 강의는 또한 몬테카를로 시뮬레이션에서 각 시간 단계와 경로에 대해 이중 루프를 사용하는 것보다 더 효율적이기 때문에 벡터화의 중요성을 강조합니다. 그러나이 접근 방식은 프로세스를 단순화하지만 정확성과 속도 측면에서 제한이 있다는 점에 유의해야 합니다.
드리프트 항과 변동성 항(r 및 시그마)이 있는 브라운 운동에 대한 정확한 솔루션은 정확한 표현에서 생성된 브라운 운동과 근사에 사용된 동일한 운동을 사용하여 검사됩니다. 강의에서는 약한 수렴의 절대 오차와 평균 오차를 비교하여 약한 수렴이 유럽 유형의 보수 가격 책정에는 충분하지만 경로 종속 보수에는 충분하지 않을 수 있음을 강조합니다. 정확한 솔루션과 비교하여 오일러 이산화에 대해 생성된 경로를 설명하기 위해 그래프가 표시되며, 일부 경로에 대해 둘 사이의 차이를 관찰할 수 있습니다. 강의는 강한 오류와 약한 오류를 비교하는 것으로 끝납니다.
연사는 코드를 사용한 Monte Carlo 시뮬레이션 구현에 대해 논의합니다. 오류를 정량화하려면 강의 앞부분에서 논의한 대로 오류 측정을 사용해야 한다고 설명합니다. 이 코드는 경로를 생성하고 다색 시뮬레이션을 사용하여 정확한 값을 근사값과 비교합니다. 출력은 주식 및 정확한 값에 대한 시간 경로입니다. 스피커는 오류 수준에서 비교하기 위해 근사 및 정확한 솔루션 모두에 대해 동일한 브라운 운동을 생성하는 것의 중요성을 강조합니다. 약한 수렴 오류와 강한 수렴 오류를 측정하기 위해 단계 수의 범위를 정의하고 각 단계에 대해 Monte Carlo 시뮬레이션을 수행합니다. 이 코드는 약한 오류와 강한 오류의 두 가지 유형의 오류를 생성합니다.
강사는 Monte Carlo 방법과 관련된 시뮬레이션 프로세스와 시뮬레이션을 여러 번 반복해야 하기 때문에 시간이 많이 걸리는 방법에 대해 설명합니다. 그 결과는 약한 수렴 그래프와 강한 수렴 그래프를 통해 나타나며, 약한 수렴 오류는 느리게 성장하는 파란색 선으로 표시되고 강한 수렴 오류는 델타 T 모양의 제곱근을 따라가며 분석을 확인합니다. 강사는 테일러 전개를 적용해 추가항을 도출하는 밀스타인의 이산화 기법을 통해 오차를 획기적으로 줄일 수 있다고 설명한다. 최종 공식에 도달하려면 더 많은 작업이 필요하지만 Milstein의 계획에는 항상 분석적으로 사용할 수 있는 것은 아닌 변동성 항의 도함수가 필요합니다.
연사는 전산 금융, 특히 기하학적 브라운 운동에서 몬테카를로 시뮬레이션의 사용을 설명합니다. 분포 의미에서 변동성 항을 계산하고 오일러 체계와 비교하는 방법을 보여줍니다. Monte Carlo 시뮬레이션은 Euler의 방법보다 수렴 속도가 빠르지만, 추가 전산 계산이 필요하기 때문에 다차원 모델에서 도함수를 도출하는 것이 어려울 수 있습니다. 또한 화자는 두 체계 사이의 약한 감각과 강한 감각의 절대 오차를 비교하여 몬테카를로의 강한 오차는 델타 t에서 선형인 반면 오일러의 약한 오차는 같은 차수임을 강조합니다. 마지막으로 기하학적 브라운 운동에서 경로를 생성하고 강력한 수렴을 분석하기 위한 Monte Carlo 시뮬레이션의 코드 구현을 제공합니다.
발표자는 Black-Scholes 또는 기하학적 브라운 운동의 예를 사용하여 수렴에 대한 다양한 이산화 기술의 영향에 대해 논의합니다. Euler 및 Milstein 체계의 분석은 다양한 이산화 기술의 영향을 보여줍니다. 화자는 밀스타인 체계와 오일러 체계 간의 오류를 비교하여 항상 적용 가능한 것은 아니지만 밀스타인 체계의 오류가 오일러보다 훨씬 낮다는 것을 보여줍니다. 다른 체계의 이점은 최종 결과를 볼 때 분명하지 않을 수 있지만 시뮬레이션의 계산 비용을 고려할 때 시간이 중요해집니다. 따라서 Monte Carlo의 빠른 시뮬레이션을 수행하려면 큰 시간 단계를 사용하는 것이 필수적입니다.
그런 다음 강사는 Monte Carlo 시뮬레이션에서 난수 생성기(RNG)의 역할에 대해 논의합니다. 그들은 정확하고 신뢰할 수 있는 결과를 보장하기 위해 양질의 RNG를 사용하는 것의 중요성을 강조합니다. 강사는 의사 난수 생성기(PRNG)가 시뮬레이션에서 일반적으로 사용된다고 언급하고 무작위성에 가까운 숫자 시퀀스를 생성하는 방법을 설명합니다. 또한 RNG에 대한 고정 시드 값을 사용하여 시뮬레이션에서 재현성의 필요성을 강조합니다. 다음으로 강사는 몬테카를로 시뮬레이션에서 사용되는 분산 감소 기법인 대립 변량의 개념에 대해 설명합니다. 대조 변량의 기본 아이디어는 관심 양에 반대 효과를 갖는 무작위 변량 쌍을 생성하는 것입니다. 원래 변량과 그에 상응하는 대조물에서 얻은 결과의 평균을 취함으로써 추정치의 분산을 줄일 수 있습니다. 이 기법은 대칭 분포를 다룰 때 특히 유용합니다.
강의에서는 또 다른 분산 감소 기법으로 제어 변수의 개념을 소개합니다. 제어 변수는 관심의 양과 상관 관계가 있는 알려진 기능을 시뮬레이션 프로세스에 도입하는 것을 포함합니다. 목표함수로부터 얻은 추정값에서 기지함수로부터 얻은 추정값을 빼면 추정값의 분산을 줄일 수 있다. 강사는 제어 변수가 실제로 어떻게 적용될 수 있는지 설명하는 예를 제공합니다. 분산 감소 기술 외에도 강사는 층화 샘플링의 개념에 대해 설명합니다. 층화 샘플링은 샘플 공간을 계층으로 나누고 각 계층에서 개별적으로 샘플링하는 것을 포함합니다. 이 접근 방식을 사용하면 각 계층이 샘플에 표시되어 보다 정확한 추정치를 얻을 수 있습니다. 강의는 층화 샘플링을 구현하는 절차를 설명하고 단순 무작위 샘플링에 비해 이점을 강조합니다.
마지막으로 강사는 중요도 샘플링의 개념을 탐구합니다. 중요도 샘플링은 원하는 이벤트를 생성할 가능성이 더 높은 샘플에 더 높은 확률을 할당하여 드문 이벤트의 확률을 추정하는 데 사용되는 기술입니다. 강의에서는 중요도 샘플링이 희귀 이벤트 추정을 위한 몬테카를로 시뮬레이션의 효율성을 어떻게 향상시킬 수 있는지 설명합니다. 강사는 예제를 제공하고 정확한 결과를 위해 적절한 샘플링 분포를 선택하는 것의 중요성에 대해 논의합니다.
강의는 적분 문제, 몬테카를로 샘플링을 이용한 적분 계산, 프로그래밍 시연, 수렴 분석, 이산화 기법, 몬테카를로 시뮬레이션의 원리와 역사, 전산 금융에서의 응용, 분산 감소 등 몬테카를로 시뮬레이션과 관련된 다양한 주제를 다룹니다. 기술 및 중요도 샘플링. 강사는 몬테카를로 시뮬레이션의 이론 및 실제 구현에 대한 통찰력을 제공하고 다양한 분야에서의 관련성을 강조합니다.
전산 금융: 강의 10/14(Heston 모델의 Monte Carlo 시뮬레이션)
전산 금융: 강의 10/14(Heston 모델의 Monte Carlo 시뮬레이션)
강의는 도전적인 Heston 모델을 사용하여 파생 상품, 특히 유럽 옵션 가격 책정을 위해 Monte Carlo 시뮬레이션을 활용하는 데 중점을 둡니다. Monte Carlo와 간단한 Black-Scholes 모델을 사용하여 유럽 및 디지털 옵션의 가격을 책정하는 워밍업 연습으로 시작합니다. Heston 모델의 분산을 모델링하는 Cox-Ingersoll-Ross(CIR) 프로세스의 시뮬레이션에 대해 논의하며 이 분포에서 정확한 샘플링의 필요성을 강조합니다. 강사는 CIR 모델의 정확한 시뮬레이션을 시연하며 정확한 샘플 생성의 이점을 강조합니다.
다음으로 강사는 오일러 이산화에 비해 더 큰 시간 단계와 더 높은 정확도를 허용하는 거의 정확한 시뮬레이션의 개념을 소개합니다. Heston 모델은 Euler 및 Milstein 방식을 모두 사용하여 시뮬레이션하고 결과를 비교합니다. 약한 수렴은 유럽형 보수에 중요하고 강한 수렴은 경로 종속 보수에 중요합니다. 실제 응용 프로그램의 계산 시간 제약을 고려하여 보상 유형 및 원하는 결과 품질에 따라 단계 또는 경로 수를 조정해야 합니다.
평가에 필요한 계산 시간에 대해 논의하고 Euler와 Milstein 이산화 체계 간의 코드 비교를 제시합니다. 강사는 생산 환경을 위한 코드 최적화에 대해 조언하며 최종 스톡 값만 필요한 보수 평가에 전체 경로를 저장하는 것이 필요하지 않을 수 있음을 강조합니다. 강의는 또한 Black-Scholes 모델의 단순화된 구현으로 정확한 솔루션을 제공합니다.
몬테카를로 시뮬레이션을 사용한 디지털 또는 현금 또는 무(cash-or-nothing) 옵션의 가격 책정에 대해 설명하고 유럽 옵션과 비교하여 손익 계산의 차이점을 강조합니다. 두 가지 유형의 옵션에 대한 접근 방식을 비교하기 위해 진단 및 출력이 제공됩니다. 이 강의는 강력한 수렴이 존재하지 않는 터미널 종속 보상이 있는 옵션에 대한 몬테카를로 시뮬레이션의 한계를 인정합니다. 코드의 일반적인 특성이 강조되어 Heston 모델과 같은 다른 모델에 적용할 수 있습니다.
이 강의에서는 Heston 모델이 제대로 작동하는 데 필요한 조건에 대해 자세히 살펴보고 이산화 기술이 이러한 조건에 어떤 영향을 미칠 수 있는지 논의합니다. 변동성 매개변수의 변화가 모델의 행동에 미치는 영향은 그래프를 통해 입증되며 프로세스가 부정적이 되어서는 안 된다는 점을 강조합니다. 이러한 조건을 유지하는 데 있어 오일러 이산화의 한계도 강조됩니다. Monte Carlo 시뮬레이션을 사용한 Heston 모델의 다음 반복에서 부정적인 실현 가능성에 대해 논의합니다. 부정적인 실현 가능성은 특정 매개변수 간의 관계를 기반으로 계산되며, 중요한 가격 차이를 피하기 위해 Monte Carlo 경로를 모델과 정렬하는 것의 중요성이 강조됩니다. Heston 모델 시뮬레이션에서 음수 값을 처리하기 위한 두 가지 접근 방식인 절단 및 반사 오일러 방식에 대해 설명합니다. 각 접근 방식의 장단점을 비교하고 계산 비용은 더 높지만 더 작은 시간 단계가 편향을 줄이는 데 미치는 영향을 언급합니다.
강의는 Heston 모델의 CIR 프로세스에 대한 정확한 시뮬레이션의 사용을 탐색하여 중심이 아닌 카이제곱 분포에서 직접 샘플링을 가능하게 합니다. 이 접근 방식은 작은 시간 단계의 필요성을 피하고 특정 관심 시간에 샘플링을 허용합니다. 시뮬레이션을 위한 계산 코드가 설명되어 샘플 생성을 위한 단순성과 최적성을 강조합니다. 이 강의는 X 값과 분산 값 모두에 대한 Heston 모델 프로세스의 통합에 대해 탐구하고 대체를 통해 달성된 단순화를 강조합니다. 더 쉬운 통합을 위해 큰 시간 단계를 사용하라는 권장 사항과 함께 다차원 시뮬레이션에서 프로세스의 적절한 순서 지정의 중요성이 강조됩니다. 강의에서는 품질을 유지하면서 계산 시간을 줄이는 것을 목표로 특정 날짜의 가격 옵션에 대한 대규모 시간 단계 시뮬레이션의 중요성을 다룹니다. 추가 근사값을 도입하지 않고 중심이 아닌 카이제곱 분포에서 샘플링을 사용한 정확한 시뮬레이션이 권장됩니다. 이 강의는 또한 델타 t가 시뮬레이션 정확도에 미치는 영향에 대해 논의하고 결과에 미치는 영향을 조사할 것을 제안합니다.
Heston 모델의 거의 정확한 시뮬레이션의 성능을 분석하는 수치 실험을 제시하는 강의와 함께 전산 금융의 오류 개념에 대해 논의합니다. 강의에서는 적분을 단순화하고 CIR 프로세스의 거의 정확한 시뮬레이션을 사용하여 시뮬레이션이 확률적이라기보다 결정론적이라고 설명합니다. 강사는 Heston 모델을 시뮬레이션할 때 이 단순화된 체계의 성능을 평가하기 위해 수치 실험을 수행합니다.
이 강의는 전산 노력과 전산 금융의 틀에 도입된 작은 오류 사이의 균형을 더 탐구합니다. 강사는 변동성 프로세스에 대한 Feller 조건이 실제로 충족되지 않는 경우가 많기 때문에 모델을 시장 데이터로 보정해야 할 필요성을 강조합니다. 강의는 Heston 모델의 상관 계수가 일반적으로 잠재적으로 수치 계획 고려 사항으로 인해 매우 부정적이라는 점을 지적합니다.
강사는 이국적인 파생 상품의 가격을 책정하기 위해 Monte Carlo 시뮬레이션을 사용하는 방법에 대해 논의하고 모델을 액체 도구로 보정하는 것의 중요성을 강조합니다. 모델 보정에서 얻은 매개 변수를 사용하여 Monte Carlo 경로를 시뮬레이션하고 파생 상품과 관련된 헤징 수단을 고려하여 가격 정확도를 보장합니다. 강사는 더 적은 시간 단계로도 오일러 이산화에 비해 거의 정확한 시뮬레이션의 우월성을 강조하고 오일러 오류의 주요 원인은 극단적인 매개변수 또는 펠러 조건 위반 하에서 분산 프로세스의 문제가 있는 이산화에 있다고 설명합니다.
Heston 모델에서 오일러 이산화의 정확성은 내가격, 외가격 및 등가격 옵션을 포함한 다양한 옵션을 사용한 실험을 통해 탐색됩니다. 강의는 실험에 사용된 코드를 제시하며, 오일러 이산화와 CIR 샘플링을 포함하는 거의 정확한 시뮬레이션과 비중심 매개변수를 사용한 원목 공정의 시뮬레이션을 중심으로 합니다.
강사는 오일러 이산화와 거의 정확한 시뮬레이션을 모두 사용하여 유럽 옵션의 가격을 책정하기 위한 시뮬레이션의 설정 및 구성에 대해 논의합니다. CIR 프로세스의 정확한 시뮬레이션, 브라운 운동의 상관 관계 및 지수 변환은 시뮬레이션의 필수 부분입니다. 일반 함수를 사용한 옵션 가격 책정을 시연하여 행사 가격 및 시간 단계와 같은 변수가 시뮬레이션의 정확도에 미치는 영향을 보여줍니다. 거의 정확한 시뮬레이션이 오일러 방식에 비해 더 적은 시간 단계로 높은 정확도를 달성한다는 점을 강조하며 강의를 마칩니다.
강의는 Heston 모델에서 파생 상품 가격 책정을 위한 Monte Carlo 시뮬레이션의 사용을 광범위하게 다룹니다. CIR 프로세스의 시뮬레이션을 탐색하고 문제와 함정에 대해 논의하며 다양한 이산화 방식을 비교합니다. 강의는 거의 정확한 시뮬레이션의 이점을 강조하고 보정 및 모델 정확도의 중요성을 강조하며 전산 금융에서 Monte Carlo 시뮬레이션을 구현하기 위한 실용적인 통찰력과 코드 예제를 제공합니다.
전산 금융: 강의 11/14(헤징 및 몬테카를로 그리스인)
전산 금융: 강의 11/14(헤징 및 몬테카를로 그리스인)
강의에서는 헤징의 개념이 금융에서 파생상품 가격 결정과 마찬가지로 중요하다고 강조합니다. 강사는 파생상품 가격이 특정 매개변수에 미치는 영향과 헤징 실험을 수행하는 방법을 결정하기 위해 다양한 민감도 계산을 탐구합니다. Black-Scholes 모델의 헤징 원칙, 손익 시뮬레이션, 동적 헤징, 점프의 영향 등 몇 가지 주요 주제를 다룹니다. 강사는 헤징의 개념이 파생상품의 가치를 결정하고 헤징의 가격이 전체적인 가치를 결정한다고 강조합니다.
포괄적인 이해를 돕기 위해 강사는 금융 산업에서 헤징의 개념을 설명하는 것으로 시작합니다. 금융기관은 이국적인 파생 상품 가치에 추가 스프레드를 적용하여 수익을 창출합니다. 위험을 완화하기 위해 파생 상품을 복제하는 포트폴리오가 구성됩니다. 이 포트폴리오는 주식에 대한 포트폴리오의 민감도에 해당하는 더하기 기호와 빼기 델타가 있는 파생 상품의 가치로 구성됩니다. 적절한 델타를 선택하는 것은 사용된 모델에 맞추기 위해 사거나 팔아야 하는 주식의 수를 결정하므로 매우 중요합니다. 강사는 델타가 계약 기간 내내 지속적으로 조정되어 평균 이익 손실이 0이 되는 실험을 시연합니다.
강의에서는 델타 헤징의 개념을 다루고 동적 헤징과 정적 헤징을 구분합니다. 델타 헤징은 복제 포트폴리오의 가치가 헤지의 델타를 결정하는 포트폴리오의 위험 요소를 헤지하기 위해 사용됩니다. 동적 헤징은 델타를 자주 조정하는 반면 정적 헤징은 파생상품 계약 시작 시 또는 특정 간격에서만 파생상품을 매매합니다. 이 비디오는 또한 가격 책정 모델의 확률적 미분 방정식의 수에 대한 헤지의 민감도와 헤지 빈도가 잠재적인 손익에 미치는 영향에 대해 설명합니다.
강의에서는 손익(P&L) 계정의 개념을 소개하면서 파생상품 판매 및 헤징 시 손익을 추적하는 역할을 설명합니다. P&L 계정은 옵션 매도에서 얻은 초기 수익금과 저축 또는 차용 금리에 따라 시간이 지남에 따라 증가하는 델타 h 값의 영향을 받습니다. 목표는 파생 상품의 만기에서 균형을 이루는 P&L 계정을 달성하는 것입니다. 이는 Black-Scholes 모델에 따라 부과되는 공정 가치를 나타냅니다. 그러나 모델이 적절하게 선택되지 않으면 공정가치에 추가된 스프레드가 모든 헤징 비용을 충당하지 못하여 손실이 발생할 수 있습니다. 따라서 대체 파생 상품의 가격을 책정하기 위해 현실적이고 강력한 모델을 사용하는 것이 필수적입니다.
강의는 헤징의 반복 과정과 만기 말의 손익(P&L) 계산에 대해 심도 있게 다룹니다. 이 프로세스에는 시간 t0과 시간 t1에서 옵션의 델타를 계산한 다음 이들 사이의 차이를 결정하여 매수 또는 매도할 주식 수를 확인하는 작업이 포함됩니다. 강사는 옵션 매도는 본질적으로 변동성을 매도하고 프리미엄을 징수하는 것과 관련되기 때문에 매도 및 수금 대상을 이해하는 것의 중요성을 강조합니다. 마지막에는 만기 시가를 기준으로 매도한 옵션의 가치를 결정하고, 이를 반복하는 과정을 통해 초기 프리미엄, 만기 시가, 매수 또는 매도한 주식수량을 이용하여 손익을 평가합니다. .
강사는 주식 가치와 관련된 변동성과 민감도를 줄이는 수단으로 전산 금융의 헤징에 초점을 맞춥니다. 이 강의에서는 헤징이 손실을 최소화하는 데 어떻게 도움이 되는지 설명하고 몬테카를로 경로 시뮬레이션에서 피아노 분포의 개념을 소개하여 P&L의 평균이 0이 되어야 함을 강조합니다. 이국적인 파생 상품 판매 및 헤지에서 파생된 이익은 예상 손익이 0이므로 고객에게 부과되는 추가 스프레드에서 발생합니다.
푸리에 변환 모델과 같은 고급 모델에서 알 수 없는 밀도로 인한 문제를 극복하기 위해 감도를 계산하는 데 대체 방법이 사용됩니다. 이러한 접근 방식 중 하나는 확률적 프로세스의 매개변수와 관련하여 임의 변수의 도함수를 계산하기 위한 수학적 프레임워크를 제공하는 Malliavin 미적분입니다.
Malliavin 미적분학은 Malliavin 파생물의 개념을 소개하며, 이는 고전적인 도함수의 개념을 확률적 프로세스에 의해 구동되는 무작위 변수로 확장합니다. 이 도함수를 사용하면 기존 방법을 적용할 수 없는 복잡한 모델에 대한 민감도를 계산할 수 있습니다. Malliavin 파생물을 활용하여 실무자는 푸리에 변환 모델의 다양한 매개변수에 대한 민감도를 얻을 수 있습니다. 이 접근 방식을 사용하면 모델에 존재하는 복잡한 종속성과 역학 관계를 포착하므로 보다 정확한 가격 책정 및 위험 관리가 가능합니다. 그러나 Malliavin 미적분을 활용하려면 고급 수학적 기술과 확률 분석에 대한 깊은 이해가 필요하다는 점에 유의해야 합니다. 일반적으로 양적 금융 및 수리적 금융 전문가들이 탐구하는 전문 분야입니다.
요약하면 푸리에 변환 모델과 같이 알 수 없는 밀도가 포함된 모델을 다룰 때 Malliavin 미적분학은 민감도를 계산하는 강력한 도구를 제공합니다. 이 접근 방식을 통해 복잡한 재무 시나리오에서 위험 평가 및 파생 상품의 정확한 평가가 가능합니다.
전산 금융: 강의 12/14(Forward Start 옵션 및 Bates 모델)
전산 금융: 강의 12/14(Forward Start 옵션 및 Bates 모델)
강의는 시작 날짜가 지연된 유럽 옵션의 일종인 포워드 스타트 옵션의 복잡성에 대해 탐구하며 종종 성능 옵션이라고 합니다. 이러한 옵션은 표준 유럽 옵션보다 더 복잡하며 강의에서는 유럽 옵션과 비교하여 보수 정의 및 이점에 대한 개요를 제공합니다.
포워드 스타트 옵션에 대한 가격 책정 기술이 더 복잡하며 강의는 특성 기능의 사용에 중점을 둡니다. Black-Scholes 모델을 사용하는 것과 Heston 모델에서 더 까다로운 가격 책정의 두 가지 유형의 포워드 스타트 옵션을 살펴봅니다. Python에서의 구현과 변동성에 의존하는 제품의 가격 책정도 다룹니다. 강의는 구성 요소로서의 유럽 옵션의 중요성과 이색 옵션과의 보정 및 관계를 강조합니다. Merton 점프를 통합하여 Heston 모델을 확장한 Bates 모델을 다루고 잘 보정된 모델을 보장하기 위한 헤징 매개변수의 사용을 강조합니다. 동영상은 포워드 스타트 옵션의 알려지지 않은 초기 주식 가치가 미래 시간(t1)에 어떻게 결정되는지 설명하고 이러한 옵션과 관련된 여과의 개념을 소개합니다. 강의는 또한 포워드 스타트 옵션이 다른 파생상품의 구성 요소 역할을 할 수 있는 방법을 탐구하여 파생상품 비용을 줄이는 전략을 제시합니다. 또한 교수는 클릭 옵션 구성, 원하는 파생 구조, 유럽 콜 및 포워드 스타트 옵션과의 관계를 다룹니다. 강의는 가격 할인 요소를 계산할 때 지불 날짜를 식별하는 것의 중요성을 강조합니다. 또한 두 주식의 비율이 비율의 로그 지수로 재구성되는 방법을 보여줍니다.
Monte Carlo 시뮬레이션 및 Black-Scholes 모델과 같은 분석 솔루션을 포함하여 포워드 스타트 옵션에 대한 다양한 가격 책정 방법에 대해 설명합니다. 특정 프로세스 클래스의 모든 모델에 대한 전방 시작 옵션의 가격 책정을 허용하는 전방 특성 함수를 찾아야 할 필요성이 설명됩니다. 이 강의에서는 특성 함수와 두 주식의 IU 로그 기대값을 사용하여 포워드 스타트 옵션의 가격 책정을 보여줍니다. 특성 함수를 결정할 때 더 큰 시그마 필드에 대한 조건이 탐색되어 마이너스 로그가 있는 지수가 예상을 벗어날 수 있습니다. T2에서 T1까지 할인된 특성 함수도 활용됩니다.
강의는 미래의 기대치를 나타내고 위험중립적 수단에 대한 기대로 표현되는 선물 통화 기능에 대해 자세히 설명합니다. 결정론적 이자율은 할인된 통화 함수와 할인되지 않은 통화 함수 간에 차이가 없음을 설명합니다. 그러나 확률론적 이자율은 복잡성을 야기합니다. 추가적인 기대값을 수반하는 순방향 시동 특성 함수를 도출하는 과정은 실제 사용을 위해 외부 기대치에 대한 분석적 솔루션을 허용하는 것의 중요성과 함께 설명됩니다. 전방 출발 특성 함수는 Black-Scholes 및 Heston 모델에 적용됩니다.
또한 강의는 Black-Scholes 모델의 포워드 스타트 통화 기능에 중점을 둡니다. 가격은 초기 주식 가치가 아닌 시간 경과에 따른 성과에만 의존해야 하므로 할인된 통화 기능에 비해 솔루션을 단순화합니다. 여러 차원에서 분산 부분이 존재하려면 내부 기대치를 해결해야 합니다. Black-Scholes 모델의 정확한 표현이 표시되어 두 주식의 비율 분포가 초기 주식 가치와 독립적임을 확인합니다. 분포는 p1에서 t2까지 증분을 포함하는 기하학적 브라운 운동으로 단순화됩니다.
Black-Scholes 모델에 따른 포워드 스타트 옵션의 가격 책정에 대해 설명하고 서로 다른 시간에 두 주식의 비율에 대한 기하학적 브라운 운동의 사용을 강조합니다. 포워드 스타트 옵션에 대한 콜 및 풋 옵션의 가격 솔루션은 행사가 조정 및 할인 시간이 약간 다를 뿐 유럽 콜 및 풋 옵션의 가격 솔루션과 매우 유사합니다. 강의에서는 가격을 계산할 때 Black-Scholes 내재변동성을 사용하는 것이 시장 기준에 맞기 때문에 다른 모델을 사용하는 경우에도 사용하는 것이 중요함을 강조합니다. 또한 앞으로 시작 옵션에 대한 두 가지 매개변수를 고려하라는 강사의 권장 사항을 강조하고 시청자에게 이 모델에서 Black-Scholes 가격이 분석적으로 알려져 있음을 상기시킵니다.
계속해서 화자는 분산을 나타내는 두 번째 확률 프로세스를 도입하여 정방향 시작 옵션에 대한 특성 함수의 복잡성을 증가시키는 번거로움 모델을 탐구합니다. 그러나 연사는 스톡 프로세스의 한계 분배에만 초점을 맞추기 때문에 가격 옵션에는 이 두 번째 차원이 필요하지 않다고 설명합니다. 특성함수를 단순화하고 대입한 후 통화선도함수에 대한 표현을 얻는다. 화자는 표현식과 관련된 기능에 대한 자세한 내용을 보려면 Hassle 모델의 슬라이드를 다시 방문할 것을 제안합니다.
강의는 Cox-Ingersoll-Ross(CIR) 과정에 대한 모멘트 생성 함수에 대한 논의로 진행되며, Heston 모델의 순방향 특성 함수에 대한 폐쇄형 표현을 제시합니다. 강사는 닫힌 형태의 모멘트 생성 기능을 사용하면 더 빠른 계산이 가능하다고 말합니다. 순방향 통화 함수에 모멘트 생성 함수를 대입하여 순방향 특성 함수에 대한 폐쇄형 표현식을 도출합니다. 마지막으로 발표자는 Heston 모델과 파생된 표현식을 사용하여 포워드 시작 옵션의 가격을 책정하는 수치 실험을 소개합니다.
다음으로 스피커는 앞으로 시작 옵션과 Bates 모델로 초점을 이동합니다. 분산 프로세스가 dvt로 표현되는 방법을 설명하고 변동성과 분산에 대한 매개변수에 대해 논의합니다. 화자는 내재 변동성이 매개변수에 미치는 영향과 전진 시작 옵션의 시간 거리 효과를 관찰하기 위해 두 가지 실험을 수행합니다. 실험은 내재 변동성 모양이 동일하게 유지되지만 수준이 다르다는 것을 보여줍니다. 시간 거리가 증가함에 따라 변동성은 장기 분산의 제곱근에 수렴합니다. 연사는 t1과 t2 주변에 더 집중된 밀도를 갖는 더 짧은 만기 옵션의 논리를 설명합니다. 내재 변동성을 비교하기 위해 코드를 사용한 추가 실험이 수행됩니다.
계속해서 강사는 전방 시작 옵션 가격 책정을 위한 전방 특성 함수 및 비용 방법의 구현을 다룹니다. 순방향 특성 함수는 Heston 모델과 CIR 프로세스를 위한 모멘트 생성 함수를 포함하여 람다 식과 다양한 매개변수를 사용하여 정의됩니다. 포워드 스타트 옵션 가격 책정 방법은 유럽 옵션 가격 책정 방법과 유사하지만 두 가지 다른 시간을 처리하기 위한 조정이 포함됩니다. 강사는 변동성 그리드를 정의하고 시장 가격에 보간하는 것과 관련된 전방 내재 변동성을 계산할 때 Newton-Raphson 알고리즘에 대한 좋은 초기 추측을 얻기 위한 요령을 공유합니다.
강의는 Newton-Raphson 방법을 사용하여 전방 내재 변동성을 계산하는 과정에 대한 설명으로 진행됩니다. 모델의 옵션 가격과 시장 가격의 차이에 대해 논의하고 강사는 SciPy 최적화 기능을 적용하여 Newton-Raphson 방법을 계산하고 내재 변동성이라고도 하는 최적의 변동성을 구하는 방법을 시연합니다. 이 섹션은 장기 평균과 초기 분산이 동일하고 내재 변동성과 전방 입력 변동성의 수준이 일치함을 확인합니다. 푸아송 분포를 따르는 독립 랜덤 변수 j에 의해 구동되는 추가 점프를 통합하는 Heston 모델의 확장인 Bates 모델도 도입됩니다.
강의는 Heston 모델과 Bates 모델의 차이점을 강조합니다. Heston 모델은 만기가 더 긴 주식 옵션의 스마일 및 스큐를 보정하는 데 적합하지만 1~2주 이내에 만료되는 옵션과 같이 만기가 짧은 옵션에는 어려움을 겪습니다. Bates 모델은 독립적인 점프를 도입하여 단기 옵션의 더 나은 조정을 가능하게 함으로써 이 문제를 해결합니다. Bates 모델에는 많은 매개변수가 포함되어 있지만 Heston 모델에서 확장하는 것은 어렵지 않습니다. Bates 모델의 특성함수를 도출하기 위해서는 로그 변환이 필요하며, 점프를 추가해도 모델이 여전히 잘 보정될 수 있음을 알 수 있습니다.
그런 다음 연사는 특히 확률적 강도에 중점을 둔 Bates 모델의 수정에 대해 논의합니다. 화자는 현재 매개변수를 탐색하지 않고 불필요한 복잡성을 도입하기 때문에 강도를 확률론적으로 만드는 것이 불필요하다는 의견을 표명합니다. 대신 모델의 강도는 상태 변수에서 선형으로 유지되고 일정한 드리프트로 정의됩니다. 화자는 아핀 점프 확산 프레임워크를 분석하고 책의 파생에 대한 세부 정보를 포함합니다. Heston 모델과 Bates 모델의 특성 함수 간의 유일한 차이점은 Bates 모델의 "a" 항에 있습니다. 또한 두 개의 수정 항에는 점프에 대한 모든 정보가 포함되어 있습니다. 강도의 영향, 점프의 변동성 및 j의 분포를 나타내는 mu j의 분석을 제공하는 수치 결과가 제시됩니다.
Heston 모델을 Bates 모델로 확장하는 방법에 대해 설명합니다. Bates 모델은 모든 시장 정보에 대해 모델을 보정하는 데 사용되므로 다른 모델에 비해 이점을 제공합니다. 이 모델의 코드는 단순하며 특히 모든 시장 정보에 대한 조정이 중요한 짧은 만기 옵션의 경우 추가적인 유연성을 제공합니다. 강의는 또한 포워드 스타트 옵션 또는 성능 옵션의 가격 책정에서 얻은 지식을 사용하여 분산 스왑과 같은 보다 흥미로운 파생상품의 가격 책정에 대해서도 다룹니다.
연사는 투자자가 자산의 미래 변동성에 베팅할 수 있는 분산 스왑이라는 파생 상품 유형을 소개합니다. 분산 스왑의 보상은 주어진 날짜 그리드에 대한 제곱 대수 주식 성과의 합계를 이전 주식 성과로 나눈 값으로 정의됩니다. 강사는 확률적 미분 방정식과 연결될 때 이 보상의 특이한 공식이 더 명확해진다는 점에 주목합니다. 이 파생상품의 가격을 책정할 때 행사가가 일정한 기대치와 같으면 개시 시점의 스왑 가치는 0이 됩니다. 게다가 화자는 대부분의 스왑이 액면가로 거래된다고 설명합니다. 즉, 두 상대방이 매수 또는 매도하기로 합의할 때 계약의 가치는 0이 됩니다.
그런 다음 강의에서는 Bates 모델의 시간 종속적 프레임워크와 시간 종속적 변동성을 시간 경과에 따른 파생 상품의 성능에 연결하는 방법에 대해 설명합니다. 보수는 변동성의 적분에 해당하는 대수 성과의 제곱으로 정의됩니다. 연사는 시그마 v 제곱의 기대값과 확률적 미분 방정식을 사용하여 계약의 세 번째 값을 찾는 방법을 설명합니다. 또한 252영업일의 스케일링 계수는 금융의 필수 요소로 도입됩니다.
마지막으로 연사는 투자자가 자산의 미래 변동성에 베팅할 수 있는 파생 계약인 분산 스왑의 공정 가치를 다룹니다. 스왑의 공정 가치는 0에서 계약 만기까지의 기간에 해당하는 스케일링 계수에 이자율에 해당하는 요소를 더하고 q log st의 기대값을 st0으로 나눈 값을 뺀 값으로 표현할 수 있습니다. 이러한 기대치를 평가하는 것은 몬테카를로 시뮬레이션 또는 주식의 분석적 분포를 통해 수행할 수 있습니다. 모든 작은 간격의 성과가 합성되더라도 결국 주식 가치를 초기 가치로 나눈 비율 또는 로그와 동일하다는 점에 주목하는 것이 흥미 롭습니다.
강의는 전진 시작 옵션, 성능 옵션, Heston 모델, Bates 모델 및 분산 교환과 관련된 광범위한 주제를 다룹니다. 가격 책정 기술, Python 구현, 금융 파생 상품에서 이러한 개념의 중요성에 대한 통찰력을 제공합니다.
전산 금융: 강의 13/14(이색 파생상품)
전산 금융: 강의 13/14(이색 파생상품)
이 강의는 이국적인 파생상품의 가격 책정과 가격 책정 모델을 경로 종속 사례로 확장하는 데 중점을 둡니다. 보수 구조를 확장하는 주요 동기는 고객에게 더 저렴한 가격을 제공하는 동시에 주식 시장 변동에 대한 노출을 제공하는 것입니다. 원하는 노출을 유지하면서 파생 비용을 줄이기 위한 수단으로 디지털 기능 및 장벽의 사용을 탐구합니다. 강의는 바이너리 및 디지털, 배리어 옵션 및 아시아 옵션을 포함한 다양한 유형의 보수를 탐구하고 파생 상품 가격에 미치는 영향을 조사합니다. 또한 강의에서는 다중 자산 옵션의 가격 책정과 수백 개의 주식 바스켓을 처리하기 위한 잠재적인 모델 확장에 대해 논의합니다.
블랙숄즈모형, 점프, 확률변동성모형 등 확률론적 미분방정식을 이용한 모델링 및 가격결정에 필요한 위험요인과 상품명세를 시작으로 금융상품의 가격결정 절차를 다룬다. 제품의 복잡성에 따라 정확한 가격 책정을 위해 1차원 또는 2차원 방정식 시스템이 충분할 수 있습니다. 이 프로세스에는 제품 가격을 책정하고 헤징 비용을 최소화하기 위해 최적의 매개 변수 세트를 선택하여 차익 거래가 없는 환경을 보장하는 보정 및 헤징도 포함됩니다.
유럽 옵션, 미국 옵션 및 버뮤다 옵션에 중점을 두고 다양한 유형의 옵션이 정의됩니다. 유럽 옵션은 이국적인 파생 상품의 기본 구성 요소로 간주되지만 시기를 잡기 어렵고 상당한 위험을 수반할 수 있습니다. 미국 옵션은 더 많은 유연성을 제공하여 언제든지 운동을 허용하는 반면 버뮤다 옵션은 지정된 날짜에만 운동을 허용합니다.
특정 시점의 한계 분포가 아닌 주식의 전체 이력에 의존하는 이국적인 파생 상품 및 경로 종속 옵션이 도입되었습니다. 바이너리와 디지털을 사용하여 보수 함수를 조정하면 파생 값이 크게 감소하는 것으로 나타났습니다. 강의는 자산 또는 무, 현금 또는 무, 주식 또는 무, 복합 옵션 및 선택자 옵션을 포함하여 다양한 유형의 이국적인 파생 상품을 다룹니다. 이러한 옵션에는 비용을 제어하기 위해 최대, 최소 또는 기타 제한과 같은 방식으로 계약을 제한하는 것이 포함됩니다. 과거, 특히 고금리 시기에 이국적인 파생상품의 인기에 대해서도 논의합니다.
이국적인 파생 상품을 통해 높은 수익을 창출하는 전략에 대해 설명합니다. 이 전략에는 수익이 보장된 안전한 계정에 대부분의 투자를 할당하고 잠재적인 옵션 지불금의 가격을 책정하는 것이 포함됩니다. 이 전략은 현재 인기가 없지만 과거에는 효과적이었습니다. 강의에는 잠재적 주식 성장에 대한 상한선을 설정하여 계약을 평가하고 가치를 낮추는 코드 예제도 포함되어 있습니다. 이 강의에서는 손익 구조의 작은 조정이 어떻게 평가를 크게 낮추고 고객에게 파생 상품을 더 매력적으로 만들 수 있는지 강조합니다. 장벽과 경로 종속성을 도입하면 비용을 줄일 수 있습니다. 업앤아웃, 다운앤아웃, 업앤인, 다운앤인 옵션과 같은 다양한 장벽 옵션과 주식의 과거 행동을 기반으로 한 파생상품 가격에 미치는 영향에 대해 논의합니다.
룩백 옵션(lookback options)의 개념을 탐구합니다. 여기에서 주식의 전체 기간 동안 최대 또는 최소 가치가 만기 시 보상을 결정합니다. 룩백 옵션은 경로 의존성을 포함하며 주식이 행사가보다 만기가 낮은 경우에도 긍정적인 지불금을 제공할 수 있습니다. 강의에서는 몬테카를로 시뮬레이션과 편미분 방정식(PDE)을 사용하여 룩백 옵션을 구현하는 방법을 설명하고, 장벽 옵션에 대한 특수한 경계 조건과 다른 이국적인 파생 상품으로의 확장을 강조합니다.
배리어 옵션은 거래 상대방 고객에 대한 매력과 교차 통화 시장에서의 사용을 강조하면서 자세히 논의됩니다. 강의는 out, in, down 및 up 옵션을 포함하는 배리어 옵션의 구성 및 보수에 대해 설명합니다. 강사는 배리어 옵션이 시간에 따라 달라지며 계약이 복잡해질 수 있다고 강조합니다. Monte Carlo 시뮬레이션 및 PDE는 가격 장벽 옵션에 대한 계산 방법으로 제시됩니다.
이 강의에서는 업앤아웃 옵션을 표준 유럽 옵션과 비교하여 배리어 트리거 보상으로 인해 업앤아웃 옵션의 가치가 크게 감소한다는 점에 주목합니다. 주식이 전체 기간 동안 특정 수준을 초과하지 않는 경우에만 보상이 발생하는 상향 배리어 옵션의 개념이 도입되었습니다. 강의는 배리어가 파생상품의 가격에 미치는 영향을 프로그래밍 연습을 통해 보여주며, 업앤아웃 배리어 옵션의 가격이 유사한 보수 구조를 가진 디지털 옵션의 가격과 동일함을 보여줍니다.
그런 다음 강사는 Monte Carlo 시뮬레이션을 사용하여 up-and-out 장벽의 구현을 설명합니다. 만기 시 주식 가치에만 의존하는 디지털 옵션의 보수와 달리 상향 배리어는 파생 상품의 전체 기간 동안 주식의 행동 이력도 고려합니다. 부울 행렬과 논리 조건을 활용하여 장벽에 도달했는지 여부를 결정하는 함수가 정의됩니다. 결과 "적중 벡터"는 각 경로에 대해 장벽이 적중되었는지 여부를 나타내는 이진 벡터입니다. 강사는 배리어 값을 변경하면 히트 벡터에 어떤 영향을 미치는지 보여주면서 배리어가 맞으면 보상이 0이고 맞지 않으면 1이라는 점을 강조합니다.
파생 계약에 장벽을 도입하는 개념은 가치를 낮추고 특정 자산에 대한 노출을 원하는 고객에게 보다 저렴한 옵션을 제공하는 방법으로 설명됩니다. 장벽의 존재는 파생 상품의 가치에 상당한 영향을 미치며 주식이 지정된 수준을 초과하지 않으면 잠재적으로 손실을 초래할 수 있습니다. 그러나 장벽을 통합함으로써 파생상품 가격을 약 30%까지 낮출 수 있어 투자자들에게 더욱 매력적인 상품이 될 수 있습니다. 그럼에도 불구하고 장벽이 있는 불연속 파생 상품은 헤징 비용 측면에서 문제를 일으킬 수 있으며 무한대로 상승할 수 있습니다. 이 문제를 완화하기 위해 강사는 대체 방법을 사용하여 보수를 복제하여 비용을 절감할 것을 제안합니다.
영상은 행사가격이 다른 콜옵션을 전략적으로 매매하여 옵션의 디지털 기능을 복제하는 개념을 소개합니다. 행사 가격이 서로 접근함에 따라 결과적인 보상은 디지털 옵션과 더욱 유사해집니다. 그러나 강사는 델타 및 감마 감도의 변화로 인해 옵션의 불연속성을 정확하게 복제하는 데 어려움이 있음을 인정합니다. 헤징에 근사치를 사용할 수 있지만 옵션의 디지털 특성으로 인한 잠재적인 헤징 손실을 보상하기 위해 프리미엄을 부과하는 것이 중요합니다. 영상은 디지털 한계를 도입하거나 손익 구조를 변경하여 파생 비용을 줄이는 개념을 강조합니다.
그런 다음 강의는 기초 자산과 관련된 변동성과 불확실성을 줄이고 결과적으로 파생 상품의 가격을 낮추는 수단으로 아시아 옵션에 대해 논의합니다. 아시아 옵션은 변동하는 주식의 평균 행동을 기반으로 하며, 이는 주식 자체보다 부드러운 경향이 있어 관련 불확실성을 줄입니다. 강사는 고정 및 변동 행사가 콜 및 풋을 포함하여 시장에서 사용할 수 있는 다양한 아시아 옵션을 탐색합니다. 특히 플로팅 행사가 옵션은 불확실성을 줄이고 특정 기초 자산 수준과 관련된 위험을 완화할 수 있는 능력으로 인해 원자재 거래에서 인기가 있습니다.
연사는 주식의 평균을 계산하는 다양한 방법을 설명하고 거래에서 그 중요성을 강조합니다. 산술 및 기하 평균의 두 가지 유형의 평균이 도입되었으며 기하 평균은 분석 표현으로 인해 수학적 분석에 선호됩니다. 실제로는 합계가 자주 사용되며 Monte Carlo 시뮬레이션 또는 PDE와 같은 근사 기법이 필요합니다. 강의는 또한 적분 표현으로 인해 산술 평균과 다른 연속 평균의 개념을 탐구하여 가격 문제에 추가 차원을 추가하고 해결하기 더 복잡하게 만듭니다.
그런 다음 초점은 1차원적 문제에서 벗어나 고차원적 고려 사항을 포함하는 아시아 옵션의 가격 책정으로 이동합니다. 아시아 옵션은 주가와 주식 적분이라는 두 가지 독립 변수를 도입합니다. 옵션의 보수는 관찰된 적분 또는 0에서 만기까지의 경로에 따라 달라지며 만기에 지급됩니다. 이 강의는 최종 부품에 따라 달라지는 수량으로 이국적인 파생 계약의 가격을 책정하는 것이 어려울 수 있으며 고급 기술이 필요하다는 점을 인정합니다. 그러나 델타 헤징은 아시아 옵션에 도입된 복잡성에도 불구하고 적절한 헤징 계수를 달성하는 데 여전히 효과적입니다. 강사는 몬테카를로 시뮬레이션을 사용하여 아시아 옵션 가격을 책정하고 고차원 문제를 처리하는 유연성을 강조합니다. 주식 가격의 여러 경로를 시뮬레이션하고 평균 보수를 계산함으로써 Monte Carlo 시뮬레이션은 옵션 가격의 추정치를 제공할 수 있습니다. 강의는 또한 수렴 문제 및 정확한 결과를 얻기 위한 충분한 경로의 필요성과 같은 Monte Carlo 시뮬레이션의 잠재적인 문제에 대해 언급합니다.
그런 다음 강사는 리베이트가 있는 장벽 옵션으로 알려진 다른 유형의 이국적인 옵션에 대해 논의합니다. 이 옵션은 이전에 논의한 배리어 옵션과 유사한 구조를 가지고 있지만 배리어에 부딪히면 추가 리베이트 지불이 있습니다. 리베이트의 존재는 장벽이 위반될 경우 옵션 보유자에게 보상하여 잠재적인 손실을 완화합니다. 강의에서는 리베이트 지불이 옵션 비용을 줄여 투자자들에게 더 매력적으로 만든다고 설명합니다.
리베이트가 있는 장벽 옵션의 가격을 책정하기 위해 강사는 녹아웃 옵션의 반대인 리버스 녹아웃 옵션의 개념을 소개합니다. 리버스 녹아웃 옵션은 장벽에 부딪히지 않으면 리베이트를 지불합니다. 리버스 녹아웃 옵션의 가격을 책정하고 리베이트 지불을 빼면 리베이트가 있는 장벽 옵션의 가격을 결정할 수 있습니다. 비디오는 Monte Carlo 시뮬레이션을 사용하여 이 가격 책정 방법론을 구현하는 예를 제공합니다.
강의 전반에 걸쳐 이국적인 파생 상품 계약을 이해하고 효과적으로 가격을 책정하는 것의 중요성이 강조됩니다. 이국적인 옵션은 투자자에게 유연성과 맞춤형 솔루션을 제공하지만 가격 책정 및 위험 관리에는 정교한 모델과 기술이 필요합니다. 강의는 파생 가격 책정 방법론을 강화하고 시장 참여자의 진화하는 요구 사항을 충족하기 위한 학계와 산업계 간의 협력의 중요성뿐만 아니라 이 분야의 추가 연구 및 개발의 필요성을 강조하면서 마무리됩니다.
전산 금융: 강의 14/14(과정 요약)
전산 금융: 강의 14/14(과정 요약)
전산 금융에 관한 시리즈는 각 강의에서 다루는 중요한 주제에 대한 포괄적인 요약으로 마무리되었습니다. 이 과정은 확률론적 미분방정식, 내재 변동성, 점프 확산, 확산 과정의 아핀 클래스, 확률론적 변동성 모델 및 옵션 가격 결정을 위한 푸리에 변환을 포함하여 광범위한 주제에 걸쳐 있습니다. 또한 몬테카를로 시뮬레이션과 같은 수치 기법과 다양한 헤징 전략에 대해서도 탐구했습니다.
이후 강의에서는 포워드 스타트 옵션과 이국적인 파생상품으로 초점이 옮겨갔고, 여기에서 과정을 통해 얻은 지식은 이러한 복잡한 금융 상품을 구조화하는 데 적용되었습니다. 초기 강의에서는 과정에 대한 소개를 제공하고 금융 공학, 다양한 시장 및 자산 클래스의 기본 원칙에 대해 논의했습니다. 두 번째 강의에서는 상품, 통화 및 암호화폐에 중점을 두고 다양한 유형의 옵션과 헤징 전략을 구체적으로 다루었습니다.
콜 및 풋 옵션의 가격 책정과 헤징과의 관계는 코스 전반에 걸쳐 중심 주제였습니다. 강사는 차익거래 기회를 피하기 위해서는 헤징 전략의 가격이 항상 파생상품의 가격과 같아야 한다고 강조했다. 자산 가격 및 임의성 측정을 포함하여 다양한 자산 클래스 모델링의 수학적 측면에 대해 논의했습니다. 확률적 과정, 확률적 미분방정식, Itô's lemma는 금융상품의 가격을 결정하는 중요한 도구로 강조되었습니다. Python 시뮬레이션도 시연되어 확률적 미분 방정식이 가격 책정 목적으로 주식 이동의 실제 동작을 시뮬레이션할 수 있는 방법을 보여줍니다. Black-Scholes 모델의 장점과 단점이 다루어졌으며 포트폴리오 관리 및 헤지 전략의 일관성을 보장하기 위한 전체론적 관점의 필요성을 강조했습니다.
Martingales는 옵션 가격 결정의 중요한 개념으로 반복적으로 강조되었으며, 과정에서 다루는 다른 중요한 주제에는 Black-Scholes 모델, 내재 변동성, Newton-Raphson 알고리즘 수렴 및 시간 종속 변동성의 한계가 포함됩니다. 시뮬레이션된 프로세스가 마팅게일인지 확인하기 위한 Python 코딩의 실제 적용과 드리프트에 대한 조치의 영향을 조사했습니다. 이 과정은 간단한 유럽 옵션의 가격 책정에 대한 깊은 통찰력을 제공했으며 가격을 계산하기 위해 다양한 모델과 조치를 사용할 수 있는 방법을 보여주었습니다.
Black-Scholes 모델의 한계, 특히 점프를 모델에 통합하는 것과 관련하여 논의되었습니다. 점프는 내재 변동성 표면의 조정을 개선하고 스큐를 생성할 수 있지만 복잡성을 도입하고 헤징 효율성을 감소시킵니다. Heston 모델과 같은 확률적 변동성 모델은 이국적인 옵션의 보정 및 가격 책정에서 모델의 유연성을 향상시키기 위해 도입되었습니다. 또한 빠른 가격 책정 기술이 솔루션으로 제시되었습니다. 푸리에 변환에서 아핀 모델 내에서 사용하기 위해 모델이나 확률적 미분 방정식이 충족해야 하는 조건에 대해서도 설명했습니다.
주식 및 주식의 가격 책정을 위한 두 가지 중요한 모델인 확산 프로세스의 아핀 클래스와 확률적 변동성 모델, 특히 Heston 모델이 논의되었습니다. 확산 프로세스의 아핀 클래스는 유럽 옵션의 빠른 조정을 허용하는 반면 Heston 모델은 유럽 옵션의 내재 변동성의 전체 표면을 조정하는 데 유연성을 제공합니다. 강의는 모델에서 상관 관계의 영향과 이점, PDE 가격 책정, 모델이 아핀 프로세스 프로세스에 속할 때 가격 책정을 위한 푸리에 변환 사용에 대해 다루었습니다. 이러한 모델을 이해하고 활용하는 것은 전산 금융 분야에서 가치 있는 기술로 부각되었습니다.
콜 옵션과 풋 옵션에 초점을 맞춘 유럽 옵션의 가격 책정은 또 다른 강의의 핵심 주제였습니다. 해를 얻기 위한 수치적 기법의 중요성과 함께 특성 함수의 사용과 복소수 값 ODE의 시스템을 풀 수 있는 능력이 강조되었습니다. 효율적인 보정 및 평가와 우수한 모델의 균형을 맞추는 것은 실제 적용 및 업계 수용을 위해 강조되었습니다. Vital에서의 구현과 함께 가격 책정을 위한 푸리에 변환의 cos 방법의 이점에 대해 논의했습니다. 효율적인 보정과 가격 책정을 위한 Monte Carlo 시뮬레이션 활용도 권장되었습니다.
이국적인 파생상품의 가격을 책정하는 몬테카를로 샘플링은 다른 강의에서 광범위하게 탐구되었습니다. 여러 차원, 모델 복잡성 및 정확한 가격 책정의 계산 비용으로 인해 발생하는 문제가 해결되었습니다. Monte Carlo 시뮬레이션은 오류를 줄이고 정확도를 개선하는 데 중점을 둔 대체 가격 접근 방식으로 제시되었습니다. 강의는 적분, 확률적 적분, Euler 및 Milstein 체계와 같은 보정 방법을 포함하여 Monte Carlo 샘플링의 다양한 측면을 다루었습니다. Payoff 기능의 평활도 평가와 약한 변환기와 강한 변환기에 대한 이해는 정확한 가격 책정을 보장하는 데 중요한 요소로 강조되었습니다.
Heston 모델 전용 강의에서는 보정의 유연성, 암시적 변동성 표면 모델링 및 효율적인 Monte Carlo 시뮬레이션에 대해 논의했습니다. 강의에서는 분산 과정에 대한 Cox Ingersoll Ross(CIR) 과정의 정확한 시뮬레이션과 관련된 Heston 모델의 거의 정확한 시뮬레이션에 대해서도 다루었습니다. Euler 및 Milstein 이산화 방법은 CIR 프로세스에서 문제가 발생할 수 있지만 시뮬레이션을 수행하는 효율적인 방법이 있습니다. 강의는 특히 델타 헤징을 다루고 시장 점프를 설명할 때 시뮬레이션을 위한 현실적인 모델을 고려하는 것의 중요성을 강조했습니다.
금융 헤징의 개념은 별도의 비디오에서 철저히 탐구되었습니다. 헤징은 포트폴리오를 관리하고 거래 후 계약을 적극적으로 유지함으로써 위험에 대한 노출과 잠재적 손실을 줄이는 것입니다. 이 비디오는 가격 책정을 넘어 계약 만기까지 지속적인 위험 관리를 포함하는 헤징의 중요성을 강조했습니다. 델타 헤징과 시장 점프의 영향에 대해 논의했으며 정확한 시뮬레이션을 위해 현실적인 모델을 사용하는 것의 중요성을 강조했습니다.
델타 헤징의 한계는 다른 강의에서 더 복잡한 파생 상품에 대해 감마 및 베가 헤징과 같은 다른 유형의 헤징을 고려할 필요성을 강조하면서 다루었습니다. 유한 차이, 경로별 민감도 및 우도 지수를 포함하여 민감도의 계산 및 효율성을 개선하는 방법을 다루었습니다. 강의는 또한 포워드 스타트 옵션의 가격 책정과 불확실한 초기 재고가 있는 가격 옵션과 관련된 문제에 대해 탐구했습니다. 옵션값은 특성함수를 이용하여 도출하였으며, 내재변동성에 대한 논의와 이를 Python으로 구현하는 것으로 강의를 마무리하였다.
재무 모델, 특히 Heston 모델의 추가 점프에 대한 강의에서는 파라미터 보정 및 헤징 전략에 미치는 영향을 탐구했습니다. 이상한 표현, 분산 스왑 계약 및 Black-Scholes 역학을 사용하는 조건부 기대 사이의 관계에 중점을 두고 분산 스왑 및 변동성 제품에 대해서도 논의했습니다. 또한 바이너리 및 디지털 옵션, 경로 종속 옵션, 배리어 옵션, 아시아 옵션 등 다양한 기술을 사용하여 제품의 구조화에 대해 강의했습니다. 또한 여러 자산과 관련된 계약의 가격 책정에 대해서도 다루었습니다. 이 강의는 과정을 통해 습득한 지식을 요약하는 역할을 했으며, 향후 더 발전된 파생상품에 대처하기 위한 기초를 제공했습니다.
마지막으로 연사는 14개 강의를 모두 성공적으로 이수하고 전산금융, 금융공학, 파생상품가격에 대한 지식을 습득한 시청자들에게 축하 인사를 전했다. 시청자는 새로 발견한 전문 지식을 실제 설정에 적용하거나 지식을 확장하기 위해 추가 과정을 고려하도록 권장되었습니다. 연사는 그들이 미래의 노력에 대해 잘 준비되어 있다고 확신하며 성공적인 금융 경력을 기원했습니다.
금융 공학 과정: 강의 1/14, (과정 소개 및 개요)
금융 공학 과정: 강의 1/14, (과정 소개 및 개요)
강사는 금융 공학 과정을 소개하면서 시작하여 목표와 중점 분야를 강조합니다. 이 과정은 금리와 외환 및 인플레이션과 같은 여러 자산 클래스를 탐구하는 것을 목표로 합니다. 궁극적인 목표는 학생들이 선형 제품으로 구성된 다중 자산 포트폴리오를 구축하고 xva 및 위험 가치 계산을 수행하는 능력을 얻는 것입니다. 확률론적 미분 방정식, 수치 시뮬레이션 및 수치 방법에 대한 사전 지식은 과정 자료를 완전히 활용하는 데 필요합니다.
코스 구조는 각 세션이 끝날 때 숙제와 함께 14개의 강의로 구성되어 있습니다. 과정 전반에 걸쳐 사용되는 프로그래밍 언어는 Python이며 논의된 개념의 실제 구현 및 적용을 가능하게 합니다.
연사는 전산 금융 과정의 실용적인 특성을 강조합니다. 이론적 지식을 다루지만 구현 효율성과 각 강의에 대한 Python 코드 예제 제공에 중점을 둡니다. 과정 자료는 "A Book of Mathematical Modeling and Computation in Finance"라는 책을 기반으로 하지만 독립적입니다. 강의는 또한 과정 로드맵에 대한 개요를 제공하여 학생들이 14개 강의 각각에서 다룰 주제에 대한 명확한 이해를 제공합니다.
첫 번째 강의는 전체 과정의 개요를 제공하고 xva 및 var 계산을 수행하는 궁극적인 목표를 달성하는 데 다루는 개념의 중요성을 강조하는 데 중점을 둡니다.
강사는 금융 공학 과정 전체에서 다룰 주제에 대한 광범위한 개요를 제공합니다. 여기에는 전체 흰색 및 전체 흰색 2요인 모델, 측정, 여과 및 확률 모델과 같은 다양한 모델이 포함됩니다. 스왑션과 같은 선형 및 비선형 상품을 포함한 금리 상품의 가격 책정이 핵심 초점입니다. 강의에서는 Python 코드를 사용한 수익률 곡선 구성, 다중 곡선 구성, 스파인 포인트 및 보간 방법 선택에 대해 다룹니다. 다른 주제로는 마이너스 이자율, 옵션, 모기지 및 선불, 외환, 인플레이션, 다중 자산에 대한 Monte Carlo 시뮬레이션, 시장 모델, 볼록성 조정, 익스포저 계산 및 cva, bcva 및 fva와 같은 가치 조정 측정이 포함됩니다.
과정이 진행됨에 따라 위험 관리가 초점이 되며 강의 13은 코딩 및 과거 데이터 분석을 사용한 위험 측정에 전념합니다. 강의 14는 과정 전체에서 배운 모든 내용을 요약하는 역할을 합니다.
두 번째 강의는 Python의 조건부 기대 및 시뮬레이션을 포함하여 여과 및 측정 변경에 중점을 둡니다. 학생들은 실습에 참여하여 조건부 기대치를 시뮬레이션하고 측정값 변경을 사용하여 가격 책정 문제의 이점과 단순화를 탐구합니다.
후속 강의에서 강사는 Hijack 모델 프레임워크, 균형 대 기간 구조 모델 및 수익률 곡선 역학에 대한 개요를 제공합니다. 강의는 파이썬에서 몬테카를로 시뮬레이션을 통한 모델의 시뮬레이션과 단가를 다룹니다. 다요인 확장에 대한 탐색과 함께 1요인 모델과 2요인 모델 간의 비교에 대해 설명합니다. S&P 지수, 연준이 암시하는 단기 금리, 수익률 곡선 역학을 분석하기 위한 비디오 실험이 수행됩니다.
시간 경과에 따른 금리 변화를 관찰하고 이를 확률적 모델과 비교하기 위해 수익률 곡선의 시뮬레이션을 탐구합니다. 다루는 주제에는 fulbright 모델의 유사성, 정확한 시뮬레이션, 금리 상품의 구성 및 가격 책정, 스왑 예제의 불확실한 현금 흐름 계산이 포함됩니다.
수익률곡선 구축 강의는 수익률곡선과 금리스왑, 선물환계약, 파생상품가격의 관계를 다룬다. 다양한 수익률 곡선 모양과 시장 상황과의 관련성에 대해 설명합니다. 내재 변동성 및 스파인 포인트 계산, 보간 루틴 및 단일 수익률 곡선에서 다중 곡선 접근 방식으로의 확장에 대해 논의합니다. Python 실험을 사용하여 수익률 곡선을 구축하고 이를 시장 도구에 연결하는 실용적인 측면을 강조합니다.
강사는 Black-Scholes 모델에 따른 스왑션 가격 책정과 풀 화이트 또는 단기 금리 모델을 사용한 옵션을 포함하여 금융 공학과 관련된 주제를 탐구합니다. Jamshidian의 트릭과 Python 실험에 대해 설명합니다. 이 강의는 또한 음의 금리, 이동된 로그 정규 이동된 내재 변동성, 이동 매개변수가 내재 변동성 형태에 미치는 영향과 같은 개념을 다룹니다. 또한 강의는 모기지의 선불과 은행의 관점에서 포지션 및 헤징에 미치는 영향에 대해 자세히 설명합니다.
Bullet Mortgage가 소개되고 관련 현금 흐름과 선불 결정 요인이 설명됩니다. 강의는 모기지 포트폴리오에 대한 조기상환의 영향을 강조하고 재융자 인센티브를 시장 관찰 가능 항목에 연결합니다. 또한 파이프라인 위험과 금융 기관의 관리에 대해 논의합니다.
이 과정은 포트폴리오에 영향을 미칠 수 있는 잠재적인 미래 위험을 시뮬레이션할 수 있는 여러 자산 클래스를 동시에 모델링하는 것으로 이동합니다. 이국적인 파생 상품에 대한 관심이 줄어들 수 있음에도 불구하고 서로 다른 자산 클래스 간의 상관 관계를 조사하고 위험 관리 목적을 위한 하이브리드 모델의 중요성을 강조합니다.
확률적 변동성과 관련된 확장과 함께 가격 책정 평가 조정(XVA) 및 위험 가치에 대한 하이브리드 모델을 탐색합니다. 주식동태, 확률적 이자율 등 XVA 환경에 적합한 하이브리드 모델을 강의한다. Heston 모델과 같은 확률적 변동성 모델은 두 번째 블록에서 논의되어 스톡 프로세스와 관련된 확률적 이자율을 통합하는 방법을 설명합니다. 강의는 또한 외환 및 인플레이션에 대해 탐구하고 유동 통화, 선도 FX 계약, 교차 통화 스왑 및 FX 옵션의 역사와 발전에 대해 논의합니다. 측정 변경이 프로세스 역학에 미치는 영향도 조사하여 궁극적으로 다양한 자산 클래스의 서로 다른 자산에 정의된 계약의 가격을 책정하고 노출 및 위험 측정을 계산합니다.
강사는 확률적 변동성에 존재하는 양자 수정 요소와 확률적 이자율이 있는 FX 옵션의 가격 책정을 포함하여 금융 공학과 관련된 추가 주제를 다룹니다. 통화 기반에서 상품 기반 정의로의 진화를 추적하면서 인플레이션의 개념을 탐구합니다. LIBOR 시장 모델 및 볼록성 조정과 같은 시장 모델이 논의되어 HJM 프레임워크 내에서 LIBOR 시장 모델과 같은 시장 모델의 이면에 있는 동기와 금리 발전에 대한 역사적 관점을 제공합니다. 강의는 또한 로그 정규 LIBOR 시장 모델, 확률적 변동성, LIBOR 시장 모델의 스마일 및 스큐 역학에 대해 탐구합니다.
위험 중립적 가격 책정 및 Black-Scholes 모델에 중점을 두고 금융 상품 가격 책정에 사용되는 다양한 기술을 다룹니다. 강사는 동결 기술과 같은 위험한 기술의 오용에 대해 경고하고 가격 책정 프레임워크에서 볼록성 수정의 중요성을 강조합니다. 학생들은 볼록성 수정의 필요성을 인식하는 방법과 금리 움직임 또는 시장 웃음과 왜곡을 가격 문제에 통합하는 방법을 배웁니다. 이 섹션은 CVA, BCVA, VA 및 FVA를 포함한 XVA 시뮬레이션과 Python 시뮬레이션을 사용한 예상 노출, 잠재적인 미래 노출 및 온전성 검사를 다루는 것으로 결론을 내립니다.
강사는 파생 상품 가격 책정, 가격 발견의 중요성, 무역 귀속의 실질적인 측면, 위험 가치 및 예상 부족액과 같은 위험 관리 조치를 포함하여 금융 공학 과정에서 다루는 주제를 다시 방문합니다. 이자율 스왑 포트폴리오 구축 및 시뮬레이션 결과를 통해 VAR 및 예상 부족액을 추정하기 위한 수익률 곡선 구성 지식 활용과 같은 실용적인 응용 프로그램에 중점을 둡니다. 강의는 또한 Monte Carlo 시뮬레이션을 사용하여 VAR 계산에서 누락된 데이터, 차익 거래 및 재등급과 관련된 문제를 다룹니다.
마지막 강의에서 강사는 백테스팅과 VAR 엔진 테스트에 대해 논의한다. 과정이 초기 14주 이상으로 연장될 것임을 인정하면서 강사는 포괄적이고 즐거운 학습 여정에 대한 자신감을 표현합니다. 녹음된 강의는 가치 평가 조정(XVA) 및 위험 가치 계산을 이해하는 정상으로 학생들을 안내합니다.
금융 공학 과정: Lecture 2/14, part 1/3, (여과 및 조치의 이해)
금융 공학 과정: Lecture 2/14, part 1/3, (여과 및 조치의 이해)
강의에서 강사는 확률적 점프가 포함된 Black-Scholes 모델을 자세히 살펴보고 파생 가격 책정에 적용하는 방법을 보여줍니다. 조건부 기대의 통합은 모델의 정확도를 향상시키는 수단으로 강조됩니다. 또한 숫자와 측정값 변경의 개념을 탐구하여 서로 다른 숫자 간의 이동이 가격 책정 결과를 개선할 수 있는 방법을 보여줍니다. 이 섹션에서는 특히 금리 영역 내에서 여과, 기대 및 측정 변경의 중요성을 강조합니다.
주제를 확장하면서 교수는 가격 책정에서 측정, 여과 및 기대의 중추적인 역할을 강조합니다. 그들은 주식과 같은 척도가 가격 책정 과정에서 어떻게 효과적으로 사용될 수 있는지를 보여주며 척도 변경은 가격 책정 문제의 복잡성을 줄이는 데 도움이 됩니다. 강의에서는 일반적으로 확률적 할인과 관련된 전방 측정의 개념을 추가로 조사합니다. 여과는 시간, 노출 프로필 및 위험 프로필을 이해하기 위한 기본 원칙으로 설명됩니다. 또한 확률적 과정의 정의와 시장 데이터 해석 및 미래 실현 예측에 있어 여과의 중요성을 소개합니다.
앞으로 여과 및 측정의 개념을 철저히 검토합니다. 필터링은 현재와 관련되거나 미래로 확장될 수 있으므로 확률적 프로세스를 처리할 때 명확한 구분이 필요합니다. 과거는 주식 역사의 단일 궤적을 나타내는 반면, 미래의 확률은 확률적 미분 방정식과 시뮬레이션을 통해 모델링할 수 있습니다. 이 과정은 주로 현재(t0)까지의 필터링에 중점을 두지만 나중에 향상된 계산 효율성을 위해 미래의 필터링을 활용하는 방법을 자세히 살펴봅니다. 미래 시나리오를 시뮬레이션하고 다양한 결과를 개발하는 것이 가능해집니다. 그러나 본질적인 불확실성을 감안할 때 가장 현실적인 시나리오를 결정하는 것은 여전히 어려운 일입니다. 결과의 분포를 추정하는 것은 측정값 p와 관련된 과거 데이터 및 보정 기술을 활용하는 것과 관련됩니다.
그런 다음 강의에서는 가격 책정 및 위험 관리에서 측정 Q의 고유한 역할을 강조하고 주로 위험 관리에서 측정 P를 강조하면서 측정 및 여과에 대해 자세히 설명합니다. 두 척도를 모두 사용하면 각 척도의 적합성이 고유하지 않기 때문에 위험 프로필에 대한 미래 시나리오를 생성하는 것이 필수적입니다. 게다가 시간이 지날수록 역사 지식의 축적은 더 넓은 여과로 이어진다. 그러나 측정 가능성에 대한 이해를 유지하고 특정 미래 시간의 확률론적 수량에 대한 불확실성을 인정하는 것 또한 필수적입니다.
강사는 금융 공학의 맥락에서 여과 및 측정에 대해 논의합니다. 특히 그들은 측정 가능성이 불변성을 의미하지 않는다는 점을 강조합니다. 오히려 확률적 양을 나타냅니다. 여과는 각 주어진 시간에 사용 가능한 지식의 범위를 밝히고 축적된 지식으로 인해 시간이 갈수록 확장됩니다. 필터링 및 측정 변경은 재무 모델링에서 강력한 도구가 될 수 있지만 부적절하게 사용하면 심각한 문제가 발생할 수 있습니다. 따라서 이러한 도구를 효과적으로 사용하는 방법을 파악하고 모델링 오류를 피하기 위해 시간을 탐색하는 것이 중요합니다. 이 섹션은 과거 데이터 또는 시장 도구에서 추론할 수 있는 재무 모델링의 보정 프로세스에 대한 개요로 결론을 내립니다.
미래 실현을 고려하지 않고 주어진 순간까지 사용 가능한 정보에만 의존하는 프로세스를 언급하는 적응 프로세스의 개념이 도입되었습니다. 적응된 프로세스의 예에는 브라운 운동과 특정 기간 내 프로세스의 최대값 결정이 포함됩니다. 반대로 적응되지 않은 프로세스는 미래 실현에 의존합니다. 강의는 또한 시그마 필드, 여과 및 기대 사이의 관계를 설정하는 강력한 가격 책정 도구인 타워 속성을 소개합니다.
조건부 기대는 특히 두 변수가 관련된 함수를 다룰 때 금융 공학에서 강력한 도구로 논의됩니다. 기대의 타워 속성은 기대를 조건화하고 외부 및 중첩된 내부 기대를 계산하는 데 활용됩니다. 이 속성은 시뮬레이션에서 응용 프로그램을 찾아 특히 확률적 미분 방정식 및 특정 여과를 사용하여 블록체인 옵션 가격 책정 모델에 적용할 수 있는 특정 문제 구성 요소의 분석 계산을 가능하게 합니다. 적분 방정식을 통합하여 조건부 기대의 정의를 탐구합니다.
강사는 금융 공학에서 조건부 기대와 여과의 중요성을 강조합니다. 그들은 무작위 변수가 조건화될 수 있고 그 답이 분석적으로 알려진 경우 내부 기대치를 샘플링하여 외부 기대치를 계산할 수 있음을 강조합니다. 그러나 금융에서는 조건부 밀도 또는 2차원 밀도에 대한 분석 지식을 보유하는 것이 일반적이지 않습니다. 강사는 현재의 관점에서 확률적 양으로 남아 있기 때문에 코딩에서 조건부 기대치를 올바르게 사용하는 것의 중요성을 강조합니다. 또한 수렴을 개선할 수 있으므로 시뮬레이션 컨텍스트에서 모델의 일부에 대한 분석 솔루션을 통합하는 이점에 대해 논의합니다. 이러한 개념을 설명하기 위해 강사는 브라운 운동의 외부 기대치를 계산하는 예를 제공합니다.
앞으로 강사는 예상 시간이 0인 경우와 비교하여 복잡성을 강조하면서 미래 시점에 대한 기대치를 탐구합니다. 그들은 이 시나리오가 조건부 기대에 대한 하위 시뮬레이션을 포함하여 각 경로에 대해 여러 경로와 중첩된 Monte Carlo 시뮬레이션이 필요하다고 설명합니다. 이러한 복잡성은 독립적 증분의 속성으로 인해 발생하며 브라운 운동은 항상 서로 다른 두 시간(t 및 s)에서의 값 간의 차이로 표현될 수 있습니다.
몬테카를로 시뮬레이션으로 초점을 이동하면서 연사는 주식의 옵션 가치를 시뮬레이션하기 위한 브라운 운동의 구성에 대해 논의합니다. 두 가지 유형의 마팅게일을 탐색하고 스톡 옵션의 조건부 기대치를 계산하기 위한 내포된 몬테카를로 방법을 소개합니다. 시뮬레이션은 시간 s까지 하나의 경로를 생성하고 각 경로에 대한 하위 시뮬레이션을 수행하여 해당 시점의 기대치를 평가합니다. 이 프로세스는 각 경로에 대해 시간 s에서 특정 실현에 대한 조건부 기대치를 계산하는 것을 수반합니다. 그런 다음 오류는 조건부 기대값과 시간 s에서의 경로 값 간의 차이로 측정됩니다. 브라운 운동의 표준화는 독립적인 증분을 사용하여 구성되도록 보장하여 Monte Carlo 시뮬레이션 내에서 원하는 속성의 시행을 용이하게 합니다.
마지막으로 발표자는 브라운 운동을 시뮬레이션하는 것이 간단하고 비용 효율적으로 보일 수 있지만 조건부 기대치를 통합하려면 중첩된 몬테카를로 접근 방식이 필요하며 각 경로에 대해 브라운 운동의 여러 시뮬레이션을 수행해야 한다고 강조합니다. 결과적으로 이 프로세스는 시간이 오래 걸릴 수 있습니다.
결론적으로 강의는 측정, 필터링, 조건부 기대 및 재무 공학의 Monte Carlo 시뮬레이션과 관련된 주제를 광범위하게 다룹니다. 파생 가격 책정, 위험 관리 및 모델 조정에서 이러한 개념의 중요성은 전체적으로 강조됩니다. 이러한 도구와 기술의 기본 원칙을 이해함으로써 재무 전문가는 모델링 정확도를 향상하고 복잡한 가격 문제를 효과적으로 탐색할 수 있습니다.
금융 공학 과정: Lecture 2/14, part 2/3, (여과 및 측정의 이해)
금융 공학 과정: Lecture 2/14, part 2/3, (여과 및 측정의 이해)
휴식 후 세션에 오신 것을 환영합니다. 오늘은 금융공학 강의 2강의 두 번째 블록을 이어서 하겠습니다. 이 블록에서는 고급 개념에 중점을 두고 XVA의 가격 및 이자율에 대해 자세히 설명합니다.
이전에는 Python의 연습 및 시뮬레이션과 함께 여과 및 조건부 기대의 개념에 대해 논의했습니다. 이제 이전에 수행한 실험보다 더 발전된 추가 기대치를 살펴보겠습니다. 특히 옵션 가격 책정에 집중하고 조건부 기대의 도구를 활용하여 Monte Carlo 시뮬레이션의 수렴을 개선할 것입니다. 또한 숫자의 개념과 파생 가격 책정에서의 유용성을 소개하겠습니다.
이 블록에서는 수치의 개념뿐만 아니라 Girsanov 정리를 사용하여 Black-Scholes 모델의 동역학을 위험 중립 측정(측정 P)에서 Q 측정으로 변환합니다. 이 변환에는 기본 프로세스 변경이 포함됩니다. 기하학적 브라운 운동에 측정값 P는 과거 관측치와 연결되어 있는 반면 측정값 Q는 일반적으로 파생 가격 책정과 연결되어 있다는 점에 유의해야 합니다.
세 번째 블록으로 이동하여 자세한 측정 변경 사항에 중점을 둘 것입니다. 측정 변경을 사용하여 차원을 줄이고 상당한 이점을 얻을 수 있는 여러 장점과 요령을 보여 드리겠습니다. 그러나 지금은 오늘 강의의 다음 네 가지 요소에 집중하고 세션을 즐기자.
첫째, 우리는 실제 옵션 가격 책정을 해결하기 위해 조건부 기대 및 여과에 대한 지식을 활용할 것입니다. 구체적으로 유럽 옵션을 고려하고 조건부 기대가 가격 결정에 어떻게 도움이 되는지 살펴볼 것입니다. Black-Scholes 모델과 비슷하지만 확률적 변동성이 있는 더 복잡한 확률적 미분 방정식으로 작업할 것입니다. Black-Scholes는 일정한 변동성(시그마)을 가정하지만 시간에 따른 변동성과 확률적 변동성을 포함하도록 모델을 일반화할 것입니다.
예상의 타워 속성을 활용하여 이 문제를 해결하고 Monte Carlo 시뮬레이션을 개선할 수 있습니다. 경로를 직접 시뮬레이션하고 확률적 변동성(j)을 무작위로 샘플링하는 대신 조건부 기대치를 활용하여 더 나은 수렴을 달성할 수 있습니다. j의 실현을 조건으로 각 j에 대해 Black-Scholes 가격 책정 공식을 적용할 수 있습니다. 이 접근 방식은 Monte Carlo 시뮬레이션에서 불확실성 및 상관 관계 관련 문제를 크게 줄입니다.
다음 섹션에서는 조건부 기대와 Black-Scholes 공식을 기반으로 한 유럽 옵션 가격 책정에 대한 정확한 표현을 소개하겠습니다. 여기에는 내부 및 외부 기대가 포함되며 내부 기대는 j의 특정 실현을 조건으로 하며 Black-Scholes 공식을 적용합니다. 외부 기대치는 j에서 샘플링하고 각 샘플에 대해 Black-Scholes 공식을 사용해야 합니다.
Monte Carlo 시뮬레이션에서 예상에 대한 타워 속성 적용의 영향을 정량화하기 위해 두 가지 접근 방식을 비교할 것입니다. 첫 번째 접근 방식은 Black-Scholes 모델의 정보를 활용하지 않고 기대값을 직접 샘플링하는 무차별 대입 Monte Carlo 시뮬레이션입니다. 두 번째 접근 방식은 조건부 기대와 Black-Scholes 공식을 통합합니다. 수렴과 안정성을 비교하면 조건부 기대 접근 방식을 통해 상당한 이득을 얻을 수 있음을 관찰할 수 있습니다.
이 정보가 도움이 되셨기를 바랍니다. 조건부 기대의 실질적인 측면을 더 자세히 살펴보고 싶다면 이 책의 3장(확률적 변동성)과 12장(태블릿 가격 책정)을 참조하는 것이 좋습니다. 이제 Python 코드를 사용하여 이 접근 방식을 실제로 시연해 보겠습니다.
주식 및 변동성에 대한 Monte Carlo 샘플을 생성한 후 각 샘플에 대한 옵션 보상을 계산하는 코드의 다음 부분으로 이동합니다. 이 경우 행사 가격이 18인 유럽식 콜 옵션을 고려합니다. 다음 방정식을 사용하여 옵션 보수를 계산할 수 있습니다.
보수 = np.maximum(stock_samples[-1] - 파업, 0)
다음으로 Black-Scholes 공식을 사용하여 조건부 기대치를 계산합니다. 각 변동성 샘플에 대해 해당 변동성 값과 함께 Black-Scholes 모델을 사용하여 옵션 가격을 계산합니다.
volatility_samples = np.exp(j_samples / 2)
d1 = (np.log(stock_samples[0] / 행사가) + (0.5 * (volatility_samples ** 2)) * 만기) / (volatility_samples * np.sqrt(만기))
d2 = d1 - (변동성 샘플 * np.sqrt(만기))
conditional_expectation = np.mean(np.exp(-r * 만기) * (stock_samples[0] * norm.cdf(d1) - 스트라이크 * norm.cdf(d2)))
마지막으로 모든 변동성 샘플에 대한 조건부 기대치의 평균을 취하여 전체 옵션 가격을 계산합니다.
option_price = np.평균(조건부_기대)
조건부 기대 접근 방식을 사용하여 Black-Scholes 모델의 정보를 활용하여 Monte Carlo 시뮬레이션의 수렴을 개선합니다. 이것은 더 정확한 옵션 가격으로 이어지고 만족스러운 수렴에 필요한 Monte Carlo 경로의 수를 줄입니다.
여기에 제공된 코드는 개념을 설명하기 위한 단순화된 예제라는 점에 유의해야 합니다. 실제로는 확률적 변동성, 시간 단계 및 기타 모델 가정과 같은 요인을 설명하기 위해 추가 고려 사항과 개선 사항이 있을 수 있습니다.
전반적으로 옵션 가격 책정에 조건부 기대치를 적용하면 특히 Black-Scholes 프레임워크의 가정에서 벗어난 복잡한 모델을 처리할 때 Monte Carlo 시뮬레이션의 효율성과 정확성을 높일 수 있습니다.
이제 금융 공학의 측정 변경이라는 주제로 초점을 옮겨 보겠습니다. 시스템 역학을 다룰 때 적절한 측정 변환을 통해 가격 책정 문제의 복잡성을 단순화하는 것이 때때로 가능합니다. 이는 빈도가 다른 여러 기초가 있는 금리 세계와 특히 관련이 있습니다. 일관된 프레임워크를 설정하기 위해 우리는 서로 다른 측정의 확률적 프로세스를 하나의 기본 측정으로 가져오는 측정 변환에 의존합니다.
수학적 금융 분야에서 숫자는 거래 가능한 모든 자산의 가격을 표현하는 데 사용되는 거래 가능한 개체로서 중요한 역할을 합니다. 숫자는 사과, 채권, 주식, 저축예금 등 자산의 가치를 나타내는 단위입니다. 숫자로 가격을 표현함으로써 서로 다른 상대방 간에 상품과 서비스를 이전하기 위한 일관된 프레임워크를 구축합니다.
과거에는 자산이 종종 금이나 기타 숫자로 표현되었습니다. 적절한 숫자를 선택하면 금융 공학 문제의 복잡성을 크게 단순화하고 개선할 수 있습니다. 드리프트가 없는 프로세스인 마팅게일로 작업하는 것은 드리프트가 있는 프로세스보다 다루기가 더 쉽기 때문에 재무에서 특히 유리합니다.
서로 다른 측정은 프로세스 및 거래 가능한 자산의 특정 역학과 관련이 있습니다. 일반적인 경우에는 예금 계좌와 관련된 위험 중립 측정, 제로 쿠폰 채권과 관련된 T-forward 측정 및 숫자로 주식과 관련된 측정이 포함됩니다. 측정값 변경은 측정값을 전환하고 다른 프로세스의 속성을 활용할 수 있는 방법을 제공합니다. Girsanov 정리는 특정 조건에서 한 측정에서 다른 측정으로 전환할 수 있는 측정 변환을 위한 중요한 도구입니다.
측정 변경의 이론적인 측면은 복잡할 수 있지만 이 과정은 실제 적용과 이론을 실제 문제에 적용하는 방법에 중점을 둡니다. 주요 내용은 측정 변경 및 마팅게일을 금융 공학 문제를 효과적으로 단순화하고 해결하는 도구로 사용할 수 있는 방법을 이해하는 것입니다.
측정 변경은 마팅게일로 알려진 드리프트 없이 프로세스를 처리하는 데 도움이 되는 강력한 도구라는 점에 유의해야 합니다. 측정값을 적절하게 변경하면 프로세스에서 드리프트를 제거하고 당면한 문제를 단순화할 수 있습니다. 이는 확률론적 이자율과 주식 역학을 다룰 때 특히 유용합니다.
그러나 측정값 변경이 항상 실현 가능하지 않거나 더 간단한 문제가 발생할 수 있다는 점을 언급할 가치가 있습니다. 때로는 드리프트를 제거한 후에도 분산과 같은 특정 변수의 역학이 복잡하게 남아 있을 수 있습니다. 그럼에도 불구하고,
일반적으로 측정값 변경을 통해 드리프트를 제거하면 문제가 간단해집니다.
마팅게일로 작업하는 것은 드리프트가 없는 확률적 미분 방정식이 드리프트가 있는 미분 방정식보다 다루기 쉽기 때문에 유리합니다. 적절한 숫자를 식별하고 측정 변경을 수행함으로써 복잡성을 효과적으로 줄이고 시뮬레이션 기술을 개선할 수 있습니다.
측정 변경을 통해 측정 사이를 전환하고 마팅게일의 속성을 활용할 수 있습니다. 측정 변경 사항을 이해하고 적용하는 것은 금융 상품의 가격 책정 및 분석을 크게 단순화할 수 있는 귀중한 기술입니다.
이제 측정 변경의 개념과 수학적 재무에서의 실제 적용에 대해 자세히 살펴보겠습니다. 앞서 논의한 측정 변환 공식은 다음과 같이 작성할 수 있습니다.
dQb/dQa = exp(-1/2 * ∫₀ᵗ yₛ² ds + ∫₀ᵗ yₛ dWₛ)
이 공식을 사용하면 한 측정값 Qa에서 다른 측정값 Qb로 전환할 수 있습니다. 여기에는 yₛ로 표시되는 "numeraire process"라는 특정 프로세스와 Wiener 프로세스 Wₛ가 사용됩니다.
Girsanov 정리는 지수 항에 대한 적분성 조건과 같은 특정 조건에서 이 측정 변환이 유효하다고 말합니다. 이 변환을 적용하여 측정값을 Qa에서 Qb로 또는 그 반대로 변경할 수 있습니다.
실제 응용 프로그램에서 측정 변경은 수학적 금융의 실제 문제를 단순화하고 해결하는 데 사용됩니다. 이를 통해 확률적 프로세스의 역학을 변환하고 마팅게일의 속성을 활용할 수 있습니다.
숫자를 적절하게 선택하고 측정 변경을 수행함으로써 프로세스에서 드리프트를 제거하고 당면한 문제를 단순화할 수 있습니다. 이 단순화는 확률적 이자율 및 주식 역학과 관련된 복잡한 모델을 처리할 때 특히 유용합니다.
측정 변경이 항상 단순한 문제로 이어지는 것은 아니라는 점에 유의해야 합니다. 때로는 드리프트를 제거한 후에도 분산과 같은 특정 변수가 여전히 복잡한 동역학을 나타낼 수 있습니다. 그러나 일반적으로 측정값 변경은 금융 공학 문제를 단순화하고 해결하기 위한 강력한 도구를 제공합니다.
이 과정에서는 실제 시나리오에서 측정 변경 사항을 실제로 적용하는 데 초점을 맞춥니다. 측정값 변경 및 마팅게일의 이점을 추출하여 수학 금융의 복잡한 문제를 단순화하는 방법을 탐구합니다.
요약하면 측정값 변경은 측정값을 전환하고 마팅게일의 속성을 활용할 수 있게 함으로써 수학적 금융에서 중요한 역할을 합니다. 측정 변경 사항을 이해하고 적용함으로써 우리는 금융 상품의 가격 책정 및 분석을 단순화하고 시뮬레이션 기술을 향상시키며 복잡한 모델을 보다 효과적으로 다룰 수 있습니다.
금융 공학 과정: Lecture 2/14, part 3/3, (여과 및 조치의 이해)
금융 공학 과정: Lecture 2/14, part 3/3, (여과 및 조치의 이해)
강의를 계속하면서 강사는 측정 변경 및 재무에서의 실제 적용에 대한 주제에 대해 자세히 설명합니다. 그들은 Girizanov 정리와 스톡 측정의 개념에 대한 재교육을 제공함으로써 시작합니다. 기초를 확립함으로써 강사는 측정값 변경이 재무 모델의 차원을 효과적으로 줄일 수 있는 방법을 탐색하기 위한 단계를 설정합니다.
강의는 위험 중립적 조치에서 주식 자산에 의해 구동되는 저축 계정 조치로의 전환에 중점을 둡니다. 이 전환은 두 척도의 비율을 활용하여 이루어지며 프로세스는 간단한 용어로 설명됩니다. 선택한 자산을 자신의 포트폴리오에 있는 다른 자산과 동일한 단위로 표현하는 것의 중요성을 강조하며 이는 척도 변경을 통해 달성할 수 있습니다. 또한 강의에서는 관련 측정값에 대한 기대치를 측정값으로 나눈 1에 대한 적분으로 표현되는 보수 함수에 대해 자세히 설명합니다. 이 결과는 원하는 쿼리를 찾는 수단을 제공합니다. 강의는 마지막 용어를 얻기 위해 사용된 대체 방법을 보여주면서 끝맺으며 측정값 변경의 실용성을 추가로 설명합니다.
앞으로 연사는 보수의 단순화를 탐구하고 새로운 척도 하에서 주식의 역학을 탐구합니다. t0의 값은 새로운 마팅게일 방법을 도입하여 최대 st 빼기 k 0의 측정 하에서 기대값으로 제공됩니다. 마팅게일 접근법의 개념을 설명하고, 마팅게일의 조건을 만족시키기 위해 스톡 프로세스로 모든 것을 나누는 것이 중요함을 강조합니다. 새로운 조치에 따라 역학을 단순화하는 이점을 강조하면서 할인 프로세스가 강조 표시됩니다. 동역학은 마팅게일로 mtst의 비율에서 파생될 수 있습니다. 또한 화자는 마팅게일 접근 방식의 이점을 효과적으로 활용하기 위해 새로운 척도 하에서 분산 및 측정된 변환을 결정해야 할 필요성을 강조합니다.
강의를 확장하면서 강사는 Black-Scholes 사례에 사용된 동일한 절차를 비마팅게일 프로세스에 어떻게 적용할 수 있는지 설명합니다. 일련의 필수 조건을 따르면 측정 변환을 활용하여 새로운 프로세스의 역학을 도출하고 새로운 측정에 따른 기대치를 결정할 수 있습니다. 이러한 변환으로 인한 드리프트 및 변동성에 대한 수정을 설명하는 것의 중요성은 원래 측정값과 새 측정값에 따라 두 프로세스를 모두 구현할 때 강조됩니다. 궁극적으로 계산은 새 척도 하에서 단일 로그 정규 프로세스를 포함하는 우아한 표현으로 단순화됩니다.
또한 강사는 S2가 일정 수준에 도달할 때만 지급되는 저축 계좌와 관련된 보수 값과 함께 확률적 미분 방정식 S1 및 S2의 2차원 시스템을 소개합니다. 이 복잡한 기대치를 계산하려면 두 주식 간의 공동 분배가 필요합니다. 우아한 형태의 기대값을 찾기 위해 Girsanov 정리를 활용하여 측정 변환이 사용됩니다. 강사는 S1을 분자로 선택하고 임의의 숫자 도함수를 식별하여 과정을 설명합니다. 강의는 또한 필요한 모든 측정 변화를 유도하는 것의 중요성을 강조하고 다양한 측정에서 브라운 운동 사이의 관계에 대한 잠재적 영향을 탐구합니다. 강사는 복잡한 금융 상품의 우아하고 강력한 가격 책정에서 측정 변환의 중요성을 강조합니다.
강의를 계속하면서 연사는 무작위 니코틴 유도체에 대한 측정된 변환을 설명하고 결과를 단순화하는 것의 중요성을 강조합니다. 항을 상쇄하기 위해 찾아야 하는 해당 측정값과 함께 방정식의 공식이 설명됩니다. 저축 채권의 동역학, 드리프트 및 변동 계수는 에토스 보조 정리를 적용한 후에 논의됩니다. 이 변환에서 상관 요소는 무시할 수 있는 것으로 확인됩니다. 발표자는 또한 에토스 테이블과 관련하여 S2와 S1 사이의 관계의 중요성을 강조합니다.
초점을 이동하면서 발표자는 S1 측정 변환에서 두 스톡 프로세스의 역학에 대해 논의합니다. 여기에는 새로운 측정의 대체가 포함됩니다.
S1 측정 변환에서 발표자는 첫 번째 스톡 프로세스가 여전히 로그 정규 분포를 따르지만 드리프트에 추가 항이 있다고 설명합니다. 마찬가지로 두 번째 스톡 프로세스는 두 프로세스 간의 상관 관계로 인해 추가 항을 나타냅니다. 화자는 가장 간단한 것부터 가장 고급인 것까지 변수를 정렬하는 것의 중요성을 강조하고 확률론적 미분 방정식을 단순화하는 기술로 Cholesky 분해를 사용할 것을 권장합니다. 로그 정규 속성을 활용하여 평가 확률을 효과적으로 해결할 수 있습니다.
강의 범위를 확장하여 강사는 이자율 영역의 근본적인 파생 상품인 제로 쿠폰 채권에 대해 논의합니다. 제로이표채권은 단순한 보수(만기 시점에 받는 단일 가치)로 이해하고 사용하기 쉽습니다. 또한 더 복잡한 파생 상품의 가격을 책정하는 데 중요한 구성 요소 역할을 합니다. 어떤 경우에는 개시 시 채권의 가치가 1보다 클 수 있으며 이는 마이너스 금리를 나타냅니다. 마이너스 금리는 유동성 증가를 목표로 하는 중앙은행의 개입으로 인해 발생할 수 있지만 지출 촉진 효과는 여전히 논쟁의 대상입니다. 강사는 제로쿠폰채권이 금리세계의 지표변화 과정에서 결정적인 역할을 한다고 강조한다.
또한 강사는 제로이표채권을 고려할 때 포워드 대책으로 전환하는 것의 중요성에 대해 심도 있게 설명한다. 기본 가격 책정 정리와 일반 가격 책정 방정식을 사용하여 제로 쿠폰 채권의 현재 가치를 도출할 수 있습니다. 가격 방정식은 할인된 보상에 대한 기대를 포함하며 이는 제로 쿠폰 채권에 대한 하나와 같습니다. 강사는 이자율이 확률적이라는 점을 강조하고 측정값을 T 포워드 측정값으로 변경하여 방정식에서 확률적 할인을 제거할 수 있는 방법에 대해 설명합니다. 이 섹션은 루블 코드 파생 상품을 모델링하는 방법과 가격 책정 방정식이 위험 중립 측정에서 T 포워드 측정으로 이동하는 방법에 대한 설명으로 결론을 내립니다.
또한 교수는 금융 내에서 가격 책정 모델의 측정 방법 변경 및 차원 축소의 중요성을 강조합니다. T 포워드 측정값 아래의 가격으로 전환하고 할인 요소의 특이성을 제거함으로써 실무자는 측정값 변경 기술을 일상 작업에서 강력한 도구로 활용할 수 있습니다. 강의에서는 여과의 개념과 조건부 기대와의 관계를 요약하고 이러한 도구가 금융의 복잡한 문제를 단순화하는 방법을 강조합니다.
학생들을 참여시키고 그들의 이해를 강화하기 위해 강사는 세 가지 연습을 제시합니다. 첫 번째 연습에서는 풋 옵션 가격 책정을 위한 분석 솔루션을 구현하여 코드에 Python의 이자율이 통합되도록 합니다. 두 번째 연습에서는 가격을 풋 옵션으로 확장하여 그 효과를 평가할 기회를 제공합니다. 마지막으로, 학생들은 슬라이드 24의 제곱 스톡 표현식에 대한 몬테카를로 시뮬레이션 결과와 분석 표현식을 비교해야 합니다. 이 연습에서는 측정 변환 적용의 이점과 실질적인 차이점을 강조합니다.
이 강의에서는 측정 변경 사항과 재무에서의 응용 프로그램에 대한 종합적인 탐구를 제공합니다. 그것은 조치의 전환, 보수의 단순화, 새로운 조치 하의 역학, 프로세스의 변환, 제로 쿠폰 채권 및 이자율의 중요성과 같은 주제를 다룹니다. 실무자는 측정 변환을 활용하여 가격 책정 모델을 개선하고 계산을 단순화하며 복잡한 금융 상품에 대한 귀중한 통찰력을 얻을 수 있습니다.