많은 사람들은 미국에서 주식 거래의 대부분이 더 이상 인간이 아니라 로봇 컴퓨터에 의해 실행된다는 사실을 모르고 있습니다. 이 슈퍼컴퓨터는 눈 깜짝할 사이에 수천 개의 서로 다른 증권을 사고팔 수 있습니다. 알려진 바와 같이 초단타매매는 최근 몇 년 동안 월스트리트에서 만연해 왔으며 지난 봄 다우존스 산업평균지수가 단 15분 만에 600포인트 폭락했을 때 소규모 시장 폭락의 원인이 되었습니다.
증권 거래 위원회와 의회 의원들은 컴퓨터 거래를 통한 시장 조작의 유용성, 잠재적 위험 및 의혹에 대해 어려운 질문을 제기하기 시작했습니다. 인간 트레이더에서 기계로의 전환은 한때 금융 세계의 중심이었던 뉴욕 증권 거래소의 풍경을 변화시켰습니다. 이제 거래의 30% 미만이 거래소에서 발생하고 나머지는 전자 플랫폼과 대체 거래 시스템을 통해 수행됩니다.
대형 은행과 고주파 거래 회사가 소유한 두 개의 전자 증권 거래소인 BATS와 Direct Edge가 등장하여 놀라운 속도로 하루에 10억 개 이상의 주식을 거래합니다. Manoj Narang과 Quants(양적 분석가)라고 하는 수학자 및 과학자 팀이 운영하는 Tradeworks와 같은 고주파 거래 회사가 이 관행에 참여합니다. 그들은 거래당 1페니 이하의 이익을 내는 것을 목표로 1초도 안 되는 시간 동안 거래를 실행합니다. 이러한 회사는 컴퓨터에 프로그래밍된 복잡한 수학적 알고리즘에 의존하여 실시간 데이터를 분석하고 순식간에 결정을 내립니다.
고주파 거래의 주요 측면 중 하나는 컴퓨터가 거래되는 회사를 이해하지 못한다는 것입니다. 그들은 회사, 경영진 또는 기타 질적 요소의 가치를 모릅니다. 거래 결정은 순전히 정량적 요소, 확률 및 통계 분석을 기반으로 합니다. 이 접근 방식은 시장에서 일시적인 기회를 포착할 수 있지만 근본적인 요소를 무시합니다.
고주파 거래자는 속도 이점을 얻기 위해 슈퍼컴퓨터와 인프라에 막대한 투자를 합니다. 컴퓨터가 증권 거래소 서버에 가까울수록 중요한 시장 정보를 더 빨리 받을 수 있습니다. 몇 밀리초의 이점이라도 상당한 이익을 가져올 수 있습니다. 비평가들은 초단타 거래자들이 이 이점을 이용하여 실제 가치를 추가하지 않고 선행 주문, 주식 조작 및 시장에서 돈을 추출한다고 주장합니다.
지지자들은 고주파 거래가 시장 유동성을 증가시키고 거래 비용을 줄이며 주식 스프레드를 축소한다고 주장하지만 비평가들은 그것이 공정성과 투명성을 훼손한다고 믿습니다. 거래의 빠른 특성과 알고리즘의 복잡성으로 인해 규제 기관이 공정한 경쟁의 장을 모니터링하고 보장하기가 어렵습니다. 다우존스가 몇 분 만에 600포인트 폭락했던 2010년의 "플래시 크래시"는 초단타매매 및 통제력 부족과 관련된 잠재적 위험을 노출시켰습니다.
규제 당국과 입법자들은 초단타매매와 관련된 문제를 해결하기 위한 개혁안을 제안하기 시작했습니다. 증권거래위원회는 고빈도 매매를 추적·식별하는 방안을 검토하고 있으며, 가격 변동성이 극심한 경우 거래를 정지시키는 서킷 브레이커를 시행하고 있습니다. 그러나 시장의 무결성에 대한 신뢰를 회복하고 시스템이 조작되었다고 느끼는 일반 투자자에게 투명성을 제공하려면 더 많은 변화가 필요합니다.
최근 몇 년 동안 고주파 거래자들은 통화 및 상품 시장으로 활동을 확장하여 금융 시장에 미치는 영향에 대한 우려를 더욱 높였습니다. 기술의 발전은 규제 기관의 능력을 능가했으며 혁신과 시장 무결성 사이의 균형을 맞추는 개혁에 대한 요구가 커지고 있습니다.
Steve Kroft gets a rare look inside the secretive world "high-frequency trading," a controversial technique the SEC is scrutinizing in which computers can ma...
"금융의 수학적 모델링 및 계산: 연습과 Python 및 MATLAB 컴퓨터 코드 사용"은 수학, 금융 및 컴퓨터 과학의 교차점을 탐구하는 귀중한 책입니다. 해당 분야의 전문가가 작성한 이 책은 Python 및 MATLAB과 같은 널리 사용되는 프로그래밍 언어를 사용하여 재무에서 수학적 모델을 이해하고 구현하는 데 대한 포괄적인 가이드를 제공합니다.
이 책은 독자들에게 확률 이론, 확률적 미적분학 및 최적화 기술을 포함하여 재무에서 수학적 모델링의 기본 개념을 소개하는 것으로 시작합니다. 실제 금융 문제를 해결하는 데 있어 수치적 방법과 시뮬레이션의 중요성을 강조하면서 모델링 및 계산의 실용적인 측면을 강조합니다.
이 책의 눈에 띄는 특징 중 하나는 Python과 MATLAB의 수많은 연습 문제와 컴퓨터 코드가 포함되어 있다는 것입니다. 이러한 연습을 통해 독자는 자료에 적극적으로 참여하고 개념에 대한 이해를 강화하며 프로그래밍 기술을 개발할 수 있습니다. 연습을 통해 작업하고 제공된 코드를 구현함으로써 독자는 재무 분석을 위해 이러한 프로그래밍 언어를 사용하여 숙련도를 향상시키고 재무에 수학적 모델을 적용하는 실제 경험을 얻을 수 있습니다.
이 책은 옵션 가격 책정, 포트폴리오 최적화, 위험 관리 및 자산 배분과 같은 금융과 관련된 광범위한 주제를 다룹니다. 변동성 모델링, 이자율 모델링 및 신용 위험 모델링과 같은 고급 주제를 탐구하여 독자에게 재무 모델링에 사용되는 수학적 기법에 대한 포괄적인 이해를 제공합니다.
저자는 책 전반에 걸쳐 이론적 엄격함과 실제 적용 사이의 균형을 유지합니다. 실제 예제 및 사례 연구와 함께 근본적인 수학적 개념 및 알고리즘에 대한 명확한 설명을 제공합니다. 이 접근 방식을 통해 독자는 이론적 토대를 파악하는 동시에 이러한 모델을 적용하여 실제 재정 문제를 해결하는 방법에 대한 통찰력을 얻을 수 있습니다.
또한 이 책은 실제 시나리오에서 모델을 선택하고 구현할 때 정보에 입각한 결정을 내리는 데 필요한 비판적 사고 기술을 독자에게 제공하여 다양한 모델링 접근 방식의 장점과 한계를 강조합니다.
"금융의 수학적 모델링 및 계산: 연습과 Python 및 MATLAB 컴퓨터 코드 사용"은 수학적 모델링 및 계산 방법에 대한 이해를 심화하려는 금융 분야의 학생, 연구원 및 실무자를 위한 훌륭한 리소스입니다. 이론적 설명, 실습, 바로 사용할 수 있는 컴퓨터 코드의 조합은 재정 문제를 해결하기 위해 수학적 기법을 적용하는 데 관심이 있는 모든 사람에게 필수적인 동반자입니다.
이 포괄적인 강의는 현대 금융을 이해하는 데 필수적인 광범위한 주제를 다루는 전산 금융 및 금융 공학의 매혹적인 분야에 대한 소개 역할을 합니다. 강사는 다양한 시나리오에서 파생 상품 가격 책정을 위한 실용적인 모델을 만드는 데 활용되는 수학 및 전산 금융의 이론적 모델의 중요성을 강조합니다.
전산 금융 과정에서 학생들은 실용적인 금융 방법을 이해하고 적용하는 데 중요한 다양한 주제를 탐구합니다. 강사인 Leth Lag가 진행하는 이 과정은 시뮬레이션 및 옵션 가격 책정을 위해 Python을 사용하여 효율적인 프로그래밍 기술의 구현을 강조합니다. 이 포괄적인 프로그램은 금융, 양적 금융 및 금융 공학에 관심이 있는 개인을 위해 설계되었습니다. 내재 변동성, 헤지 전략, 이국적인 파생 상품의 매혹적인 영역과 같은 필수 개념을 다룰 것입니다.
전산 금융은 수학적 금융과 수치적 방법 사이에 위치한 학제간 분야입니다. 주요 목표는 프로그래밍 기술과 이론적 모델을 결합하여 경제 분석에 직접 적용할 수 있는 기술을 개발하는 것입니다. 반면에 금융 공학은 금융 이론, 공학 방법, 수학적 도구 및 프로그래밍 실습을 사용하는 종합적인 접근 방식을 포함합니다. 금융 엔지니어는 파생상품의 가격을 책정하고 복잡한 금융 계약을 효율적으로 처리하는 데 활용할 수 있는 수학 및 전산 금융을 기반으로 실용적인 모델을 만드는 데 중요한 역할을 합니다. 이러한 모델은 이론적으로 타당하고 다양한 시나리오에 적용할 수 있어야 합니다.
이 과정은 주식, 옵션, 금리, 외환, 신용 시장, 원자재, 에너지 및 암호 화폐를 포함하여 전산 금융에서 거래되는 다양한 자산 클래스에 대해 조명합니다. 특히 암호화폐는 다양한 자산 등급에 대한 노출을 제공하며 헤징 목적으로 사용될 수 있습니다. 각 자산 클래스에는 위험 통제 및 헤징 전략에 사용되는 고유한 계약이 있습니다. OTC(Over-the-Counter) 시장은 여러 거래 상대방이 있어 이해해야 할 추가적인 복잡성을 나타냅니다.
강사는 다양한 기능과 특정 방법론, 모델 및 가격 책정 가정의 필요성을 강조하면서 금융에서 암호 화폐의 역할을 탐구합니다. 또한 금리, 외환, 주식, 원자재, CDS(Credit Default Swap)와 같은 다양한 자산군의 시장 점유율을 조사합니다. 옵션은 금융 세계의 상대적으로 작은 부분을 나타내지만 금융 및 전산 분석에 대한 뚜렷한 관점을 제공합니다.
옵션과 투기에 대한 주제가 철저히 논의될 것이며, 상대적으로 적은 자본 투자로 개인이 주식의 미래 방향에 대해 추측할 수 있게 함으로써 옵션이 주식 구매의 대안을 제공하는 방법을 강조합니다. 그러나 옵션에는 만기가 있으며 주가가 변하지 않으면 가치를 잃을 수 있으므로 타이밍이 투기에서 중요한 요소입니다. 이 과정은 금융 시장, 자산 등급 및 이러한 복잡한 환경을 탐색하는 금융 엔지니어의 역할에 대한 소개를 제공합니다. 가장 인기 있는 자산군인 주식에 대해 자세히 살펴보며 소유권의 개념과 주식 가치가 회사 실적 및 미래 기대치에 어떻게 영향을 받는지 강조합니다.
강의는 수요와 공급, 경쟁사 및 회사 실적과 같은 요인에 의해 영향을 받는 시장에서 주식 행동의 확률론적 특성을 밝힐 것입니다. 주식의 예상 가치는 실제 가치와 다를 수 있으며 변동성이 발생할 수 있습니다. 변동성은 주식 가격의 미래 변동을 결정하므로 모델링 및 가격 옵션에서 중요한 요소입니다. 또한 강의는 두 가지 유형의 투자자, 즉 배당 수익에 관심이 있는 투자자와 성장 기회를 찾는 투자자를 구분할 것입니다.
배당금과 배당금 투자의 개념을 소개하고, 기업이 정기적으로 주주들에게 배당금을 배분함에 따라 배당금이 어떻게 꾸준하고 확실한 투자를 제공하는지 강조합니다. 그러나 배당금 지급은 다를 수 있으며 높은 배당 수익률은 회사 투자의 위험이 증가했음을 나타낼 수 있습니다. 강의는 금리와 자금 시장에 대해 간략하게 다룰 것이며, 이러한 주제는 후속 과정에서 더 광범위하게 다룰 것임을 인정합니다.
인플레이션과 이자율에 미치는 영향에 대해 논의하고 중앙 은행이 이자율을 조정하여 인플레이션을 제어하는 방법을 설명합니다. 강의는 금리 인하의 단기적 이점과 장기적 영향뿐만 아니라 현대 통화 이론이나 중앙 은행의 자산 매입과 같은 대체 전략을 탐구합니다. 또한 금리를 결정하는 시장 참여자 간의 불확실성의 역할과 인플레이션이 시민에게 미치는 숨겨진 세금 효과에 대해 설명합니다. 강의는 대출의 위험 관리 주제를 탐구하는 것으로 마무리됩니다. 강사는 대출자가 파산하거나 대출 불이행과 같은 대출 기관이 직면한 잠재적 위험을 강조합니다. 이러한 위험을 완화하기 위해 대금업자는 종종 잠재적 손실에 대해 적절하게 보상되도록 위험 프리미엄을 부과합니다.
앞으로 연사는 금리와 금융에서의 중요성에 초점을 맞출 것입니다. 그들은 이자율이 저축 계좌, 모기지 및 대출을 포함한 다양한 금융 상품에 어떤 영향을 미치는지 설명할 것입니다. 인플레이션과 같은 요인으로 인해 현재 한 단위의 통화가 미래의 동일한 단위보다 더 가치가 있다는 개념을 강조하면서 복리 이자의 개념이 도입될 것입니다. 이자율을 계산하는 두 가지 주요 방법인 단순 및 복리를 각각의 차이점과 실제 사례에 대한 자세한 설명과 함께 논의할 것입니다.
연사는 특히 만기가 1년인 투자에 대해 복리 금리에 대해 더 깊이 파고들 것입니다. 지수 함수를 사용하여 복리 이율의 수학적 모델링을 설명할 것입니다. 여기에서 하나의 통화 단위에 e를 이자율의 거듭제곱으로 곱합니다. 또한 연사는 이 수학적 표현이 저축 계좌를 관리하는 미분 방정식과 어떻게 일치하여 미래 현금 흐름을 할인하는 데 사용되는 곱셈 계수를 결정하는지 설명합니다. 그러나 화자는 실제로 이자율이 일정하지 않고 시간이 지남에 따라 변한다는 점에 유의할 것입니다. 테너와 같은 다양한 도구와 유로 및 미국 달러와 같은 통화의 가격에서 알 수 있습니다.
유로존과 달러에 대한 이자율과 시장 유동성을 나타내는 그래프가 논의될 것입니다. 특히 유로존의 현재 상태는 최대 30년까지 모든 만기에서 마이너스 수익률을 보여 유로존 내에서 국채에 투자하면 손실을 입을 수 있음을 암시합니다. 연사는 개인이 더 높은 수익률을 제공하는 유로를 달러로 교환하고 미국 채권에 투자하는 것을 선호할 수 있다고 제안할 것입니다. 그럼에도 불구하고 이러한 접근 방식은 환율 변동으로 인한 잠재적 손실을 포함하여 위험을 수반합니다. 연사는 금리가 시간 의존적이며 시장 역학의 영향을 받는다는 점을 강조할 것입니다.
강사는 채권 매입의 개념에 대해 설명하고 채권 매입자들은 채권의 실제 가치보다 더 많은 금액을 지불하는 경우가 많다는 점을 강조합니다. 결과적으로 채권에 투자된 돈의 가치는 시간이 지남에 따라 감가 상각될 수 있으며 인플레이션은 투자 가치를 잠식할 수 있습니다. 연기금 및 중앙은행과 같은 채권의 주요 구매자가 언급되어 채권 시장에서 그들의 중요한 역할을 강조합니다. 또한 강사는 시간이 지남에 따라 금융 가격의 변화를 측정하는 변동성의 개념을 다룰 것입니다. 변동성은 분산과 같은 통계적 척도를 사용하여 계산되며 시장 또는 보안의 변동 경향에 대한 통찰력을 제공하여 불확실성과 위험을 초래합니다.
그런 다음 이 과정은 전산 금융의 두 가지 중요한 개념인 자산 수익률과 변동성에 관심을 돌릴 것입니다. 자산 수익률은 특정 기간 내 유가 증권의 손익을 의미하는 반면 변동성은 이러한 수익률의 분산을 측정합니다. 변동성이 큰 시장은 단기간에 상당한 가격 변동을 나타내어 불확실성과 위험이 높아집니다. 시장의 불확실성을 측정하는 도구인 VIX 지수가 도입됩니다. 그것은 외가격 또는 풋 옵션을 활용하며 일반적으로 투자자가 시장 가치 하락 시 자본을 보호하기 위해 사용합니다. 실제로는 어려울 수 있으므로 타이밍과 노출 시간 예측의 중요성을 강조합니다.
강사는 VIX 지수를 포함한 다양한 지수의 변동성 분석의 복잡성에 대해 논의할 것입니다. 그들은 시장 상황과 변동으로 인한 변동성을 수학적으로 모델링하는 데 어려움이 있음을 인정할 것입니다. 또한 변동성에 기반한 파생 가격 책정의 기본 구성 요소 역할을 하는 유럽식 옵션이 도입될 예정입니다. 강사는 콜옵션과 풋옵션을 명확하게 구분하여 콜옵션은 미리 정해진 가격과 날짜에 자산을 살 수 있는 권리를 부여하는 반면, 풋옵션은 보유자에게 미리 결정된 가격으로 자산을 팔 수 있는 권리를 부여한다고 설명합니다. 본질적으로 보험 역할을하는 날짜.
옵션의 기초가 확립되면 강사는 다양한 자산 클래스 내의 옵션에 대한 개요를 제시합니다. 콜 옵션과 풋 옵션이라는 두 가지 주요 옵션 유형을 강조합니다. 콜 옵션의 경우 매수자는 지정된 만기일과 행사 가격에 기초 자산을 발행자에게 매도할 권리가 있습니다. 즉, 만기가 되면 구매자가 옵션을 행사하기로 선택하면 작성자는 행사 가격으로 주식을 구매해야 합니다. 반면에 풋 옵션은 구매자에게 지정된 만기일과 행사 가격에 기초 자산을 발행자에게 매도할 수 있는 권리를 부여합니다. 만기가 되면 구매자가 옵션을 행사하는 경우 작성자는 지정된 행사 가격으로 주식을 구매해야 합니다.
옵션의 잠재적인 수익성을 설명하기 위해 강사는 콜 옵션과 풋 옵션에 대한 두 가지 그래픽 표현을 제시합니다. 이 그래프는 기본 주식의 가치를 기반으로 잠재적 이익 또는 손실을 나타냅니다. 시청자는 그래프를 검토하여 주식 가치의 변화가 옵션의 수익성에 어떤 영향을 미칠 수 있는지에 대한 통찰력을 얻을 수 있습니다.
과정 전반에 걸쳐 강사는 파생 상품 모델링, 효율적인 프로그래밍 구현, 시뮬레이션 및 옵션 가격 책정을 위한 Python 사용을 포함하여 전산 금융과 관련된 추가 고급 주제를 탐색합니다. 그들은 세션 중에 라이브로 프로그래밍하고 시청자와 협력하여 결과를 분석하여 실제 경험과 실용적인 통찰력을 제공합니다.
이 과정은 금융, 양적 금융 및 금융 공학에 관심이 있는 개인을 위해 특별히 설계되었습니다. 실제 금융 문제를 해결하는 데 필요한 학제 간 지식과 기술을 제공하여 수학 금융과 수치 방법 사이의 격차를 해소하는 것을 목표로 합니다. 내재 변동성, 헤징 전략 및 이국적인 파생 상품의 개념도 다루어 컴퓨터 금융 및 금융 산업에서의 응용 프로그램에 대한 포괄적인 이해를 제공합니다.
과정이 끝날 때까지 참가자는 전산 금융, 금융 공학 및 수치 방법의 실제 적용에 대한 견고한 기초를 얻게 됩니다. 그들은 파생 상품 가격 책정, 위험 관리 및 금융 데이터 분석을 위한 모델을 개발하고 구현하기 위한 도구와 지식을 갖추게 될 것입니다. 이 과정은 금융, 양적 분석 또는 금융 공학 분야에서 경력을 쌓고자 하는 사람들을 위한 디딤돌 역할을 하여 그들이 정보에 입각한 결정을 내리고 끊임없이 진화하는 전산 금융 분야에 기여할 수 있도록 합니다.
00:00:00 이 과정은 파생 상품 모델링, 효율적인 프로그래밍 구현, 시뮬레이션 및 옵션 가격 책정을 위한 Python 사용을 포함하여 전산 금융과 관련된 다양한 주제를 다룹니다. 코스 강사인 Leth Lag가 라이브로 프로그래밍하고 시청자와 함께 결과를 분석합니다. 이 과정은 금융, 양적 금융 및 금융 공학에 관심이 있는 사람들을 위해 설계되었으며 내재 변동성 및 헤징의 개념도 다룹니다. 과정은 이국적인 파생 상품에 대한 토론으로 끝납니다.
00:05:00 이 섹션에서는 실제 금융 문제를 다루고 실용적인 수치 방법을 강조하는 응용 컴퓨터 과학 분야인 전산 금융에 초점을 맞춥니다. 이 분야는 수학적 금융과 수치적 방법 사이의 학제간입니다. 전산금융의 목표는 경제 분석에 직접 적용할 수 있는 기술을 개발하는 것이며 프로그래밍 및 이론 모델을 사용합니다. 논의된 또 다른 측면은 금융 이론, 공학 방법, 수학 도구 및 프로그래밍 실습을 적용하는 종합 분야인 금융 공학입니다. 금융 공학과 전산 금융은 관련이 있으며 금융 엔지니어는 실용적이고 실행 가능하며 빠르고 효율적인 모델을 개발하고 금융 기관에서 파생 상품 가격 책정 및 헤지 전략 구현에 사용할 수 있습니다.
00:10:00 이 섹션에서는 복잡한 금융 계약을 위한 모델 개발에서 금융 공학의 역할에 대해 설명합니다. 금융 엔지니어는 수학 및 전산 금융의 이론적 모델을 사용하여 파생 상품 및 기타 복잡한 계약의 가격을 책정하는 데 사용할 수 있는 실용적인 모델을 만듭니다. 모델은 이론적으로 정확해야 하고 다양한 시나리오에서 수행되어야 합니다. 금융 공학은 고객의 요구 사항에 의해 주도되며 정량적 모델링 및 프로그래밍을 포함한 여러 분야의 기술이 필요합니다. 강의는 또한 금융 엔지니어가 모델과 도구를 사용하여 가격을 책정하는 주식 및 옵션 교환을 포함한 금융의 주요 자산 클래스에 대해 설명합니다.
00:15:00 이 섹션에서 연사는 전산 금융에서 거래되는 다양한 자산 클래스에 대해 논의합니다. 주식, 옵션, 금리, 외환, 신용 시장, 원자재, 에너지 및 암호 화폐가 있습니다. 암호화폐의 경우 그 특성에 따라 여러 종류가 있으며 옵션 시장이라고도 할 수 있습니다. 연사는 위험을 헤지하고 통제하는 데 사용되는 각 자산 클래스 내의 다양한 계약에 대해 다룹니다. 또한 발표자는 OTC 시장과 같은 일부 시장은 고객의 위험 프로필을 위해 설계되었으며 여러 상대방을 포함한다고 언급했습니다.
00:20:00 이 섹션에서 발표자는 금융에서 암호 화폐의 역할에 대해 논의하고 다양한 자산 클래스에 대한 노출을 제공하도록 설계된 방법을 설명합니다. 암호화폐는 위험을 헤지하는 데 사용할 수 있으며 일부는 주식, 금, 은 및 석유에 대한 노출도 제공합니다. 서로 다른 암호화폐는 고유한 특성을 가지고 있어 가격 책정에 대해 서로 다른 방법론, 모델 및 가정이 필요합니다. 그런 다음 스피커는 금리, 외환, 주식, 상품 및 CDS와 같은 다양한 자산 클래스의 시장 점유율에 대해 논의합니다. 옵션은 금융 세계의 작은 부분이지만 여전히 중요하며 금융 및 계산 분석에 대한 고유한 관점을 제공합니다.
00:25:00 이 섹션에서는 옵션 및 추측 주제에 대해 설명합니다. 옵션은 주식을 사는 것보다 더 저렴한 대안이 될 수 있으므로 적은 자본 투자로 주식의 미래 방향에 베팅할 수 있습니다. 그러나 옵션에는 만기일이 있으며 해당 기간 동안 주가에 아무 일도 일어나지 않으면 가치를 잃어 투기에서 타이밍이 중요한 문제가 됩니다. 강의는 금융 시장의 개념, 자산 클래스, 금융 엔지니어의 역할을 소개합니다. 주식을 사는 것이 회사의 소유주가 되는 것을 의미하고 주식의 가치가 회사의 성과와 미래 지불에 대한 기대에 어떻게 의존하는지를 포함하여 첫 번째이자 가장 인기 있는 자산 클래스인 주식 또는 주식도 탐구합니다.
00:30:00 이 섹션에서 발표자는 수요와 공급, 경쟁업체, 회사 실적과 같은 다양한 요인의 영향을 받는 확률론적인 시장 주식의 행동에 대해 논의합니다. 이는 주식의 예상 가치가 실제 가치와 다를 수 있어 변동성이 발생할 수 있음을 의미합니다. 변동성은 미래의 주식 가격 변동을 결정하므로 모델링 및 가격 옵션에서 중요한 요소입니다. 또한 주식 소유자는 이론적으로 회사의 일부를 소유하고 배당금을 받거나 주식 성장으로 인한 혜택을 얻을 수 있습니다. 투자자에는 두 가지 유형이 있습니다. 배당 수익에 관심이 있는 사람과 성장 기회를 찾는 사람입니다.
00:35:00 영상의 이 섹션에서는 배당과 배당 투자의 개념에 대해 설명합니다. 배당 투자는 회사가 분기 또는 반기마다 주주들에게 배당금을 지급하기 때문에 꾸준하고 확실한 투자를 원하는 사람들에게 매력적입니다. 그러나 배당금은 해마다 다를 수 있으며 높은 배당금 지급은 회사 투자에 더 많은 위험이 있음을 나타낼 수 있습니다. 비디오는 또한 금리와 자금 시장에 대해 간략하게 다루며 금리는 원칙의 비율이지만 이 주제는 후속 과정에서 다룰 것입니다.
00:40:00 이 섹션에서 강사는 인플레이션과 금리가 경제에 미치는 영향에 대해 논의합니다. 경제가 호황을 누리고 통화 순환이 증가하면 인플레이션 위험이 있으며 이는 금리 인상을 통해 은행이 통제할 수 있습니다. 그러나 금리를 낮추는 것은 단기적으로 경제를 부양할 수는 있지만 장기적인 해결책은 아닙니다. 중앙 은행은 대안으로 현대 통화 이론을 사용하거나 시장에서 자산을 구매할 수 있습니다. 또한 강사는 은행에서 돈을 받는 것에 대한 시장 참여자의 불확실성이 이자율에 어떤 영향을 미치고 인플레이션이 시민들에게 숨겨진 세금으로 어떻게 작용할 수 있는지 설명합니다. 마지막으로 강사는 대출의 위험 관리에 대해 이야기하고 차용인이 파산하거나 대출을 불이행할 수 있으며 이는 대출 기관이 손실에 대해 보상할 수 있도록 위험 프리미엄으로 이어집니다.
00:45:00 이 섹션에서 연사는 금리와 금융에서의 중요성에 대해 논의합니다. 금리가 저축 계좌, 모기지, 대출에 미치는 영향을 설명합니다. 발표자는 이자율을 모델링하는 방법과 가장 간단한 개념은 오늘날 1유로가 인플레이션과 같은 요인으로 인해 1년 후에 1유로보다 더 가치가 있다는 것입니다. 이자율을 계산하고 계산하는 두 가지 주요 방법은 간단하고 복리이며, 투자 기간 동안 복리 이자가 발생합니다. 화자는 이러한 용어를 정의하고 이를 설명하기 위한 예를 제공합니다.
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01:00:00 이 섹션에서는 강사가 채권 구매의 개념에 대해 설명합니다. 채권 구매자는 채권 가치보다 더 많은 금액을 지불하므로 시간이 지남에 따라 돈의 가치가 떨어지고 인플레이션이 발생하여 투자 손실이 발생할 수 있습니다. 연기금과 중앙은행은 채권의 주요 구매자입니다. 강사는 또한 시간 경과에 따른 금융 가격 변동의 척도인 변동성의 개념을 다루며 일정 기간 동안 시장이나 증권의 상승 또는 하락 경향에 대한 통계적 척도의 분산을 사용하여 계산됩니다.
01:05:00 이 섹션에서는 전산 금융의 두 가지 중요한 개념인 자산 수익률과 변동성에 대해 알아봅니다. 자산 수익률은 특정 기간 동안 유가 증권의 이익 또는 손실이며 변동성은 이러한 수익률의 분산을 측정합니다. 변동성이 큰 시장은 가격이 단기간에 급격하게 변동하여 불확실성과 위험으로 이어질 수 있음을 의미합니다. VIX 지수는 불확실성을 측정하고 외가격 또는 풋 옵션을 사용하여 구성되는 시장 도구의 한 예입니다. 시장 가치가 하락할 경우 투자자가 자본을 보호하기 위해 자주 사용합니다. 그러나 노출 시간이 매우 짧고 예측하기 어려울 수 있으므로 사용 시 타이밍이 중요합니다.
01:10:00 강사는 VIX 지수를 포함한 다양한 지수의 변동성과 시장 상황 및 변동으로 인해 수학적으로 분석하기 어려울 수 있는 방법에 대해 논의합니다. 그런 다음 그는 옵션 가격과 변동성 사이의 일대일 대응을 통해 변동성에 대한 파생 가격 책정의 기본 구성 요소인 유럽 옵션을 소개합니다. 강사는 콜 옵션과 풋 옵션의 차이점을 설명합니다. 콜 옵션은 보유자에게 미래 날짜에 정해진 가격으로 자산을 살 수 있는 권리를 부여하는 반면, 풋 옵션은 보유자에게 미래 날짜에 자산을 매도할 수 있는 권리를 부여합니다. 정해진 가격으로 본질적으로 보험 역할을합니다.
01:15:00 이 섹션에서 강사는 자산 클래스 내의 옵션에 대한 개요를 제시하고 옵션의 두 가지 주요 유형인 콜 옵션과 풋 옵션을 식별합니다. 콜옵션의 경우 매수자는 지정된 만기일과 행사가격으로 작가에게 매도할 수 있으며, 이는 작가가 만기일에 행사가격으로 주식을 매도할 의무가 있음을 의미합니다. 반대로 풋 옵션의 경우 구매자는 작가에게 매도할 수 있으며 이는 다시 만기일에 이루어지지만 이번에는 작가가 지정된 행사 가격으로 주식을 매수해야 합니다. 그런 다음 강사는 두 가지 유형의 옵션에 대해 하나씩 두 개의 그래프를 제시하여 주식 가치에 따른 잠재적 이익을 강조합니다.
Computational Finance Lecture 1- Introduction and Overview of Asset Classes▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬This course is based on the book:"Mathemati...
강사는 과정에 대한 개요를 제공하는 것으로 시작하여 거래 신뢰도 이해의 중요성, 헤징 및 재무에서 수학적 모델의 필요성을 강조합니다. 그들은 풋 옵션 가격 책정 주제를 탐구하고 헤징의 개념을 설명합니다. 확률적 미분방정식을 풀기 위한 도구로 Ito의 보조정리를 소개하면서 확률적 프로세스와 자산 가격 모델링도 다룹니다.
이러한 개념의 실제 적용을 설명하기 위해 강사는 투자자가 잠재적인 주식 가치 하락으로부터 투자를 보호하려는 교육 전략의 예를 제시합니다. 최악의 경우를 대비해 최소한의 자금 확보를 위해 풋옵션 형태로 보험에 가입할 것을 제안한다.
옵션 거래로 이동하면서 강사는 주식 가격의 하향 움직임으로부터 보호하기 위해 풋 옵션 사용에 중점을 둡니다. 그러나 그들은 풋 옵션을 사는 것이 비용이 많이 들 수 있다는 점에 주목합니다. 특히 Tesla가 예시한 것처럼 주식의 변동성이 높을 때 그렇습니다. 옵션 비용을 줄이기 위해 행사 가격을 낮출 수 있지만 이는 주식에 대해 더 낮은 가격을 수용하는 것을 의미합니다. 강사는 만기 및 행사 가격으로 분류된 시장에서 사용할 수 있는 다양한 유형의 옵션을 보여주는 Reuters의 스크린샷을 제공합니다. 또한 행사 가격과 콜 및 풋 옵션의 옵션 가격 사이의 관계를 설명합니다.
내재 변동성은 시장 불확실성의 척도로 도입되었습니다. 강사는 행사 가격이 낮을수록 내재 변동성이 높아진다고 설명합니다. 기본 자산에 대한 옵션의 가치 종속성을 측정하는 델타도 도입됩니다. 그런 다음 비디오는 헤징의 개념과 위험 없는 포트폴리오를 달성하기 위해 비율을 설정하는 방법에 대해 자세히 설명합니다. 하지만 주식의 가치가 증가하지 않으면 이익이 제한될 수 있습니다. 단기 투자에 대한 적합성을 강조하면서 옵션 헤징에 대해 논의하지만 변동성이 높은 기간 동안의 잠재적인 비용에 주목합니다.
옵션 거래는 헤지 및 위험 감소 수단으로 추가로 탐구됩니다. 강사는 옵션이 장기 투자에 비용이 많이 들 수 있기 때문에 일반적으로 만기가 확실한 단기 투자에 더 바람직하다고 제안합니다. 콜 헤징 개념이 도입되어 옵션 매도가 대규모 주식 포트폴리오를 보유한 투자자의 위험을 줄이는 데 어떻게 도움이 되는지 강조합니다. 그러나 콜옵션을 너무 많이 매도하는 것은 상승 가능성을 제한할 수 있고 항상 어느 정도의 위험을 수반하므로 주의해야 합니다.
그런 다음 비디오는 예측할 수 없지만 종종 계절적 가격 패턴으로 인해 인플레이션에 대한 헤지로 사용되는 원자재라고 설명하면서 상품에 대해 자세히 설명합니다. 상품 거래는 주로 미래 날짜에 상품을 사고 파는 거래가 이루어지는 선물 시장에서 이루어집니다. 전기 시장과 기타 원자재 간의 차이점이 강조됩니다. 전기는 완전히 저장할 수 없고 파생 상품의 예측 가능성과 가치에 미치는 영향으로 인해 고유한 문제가 제기됩니다.
강사는 일반적으로 외환 시장이라고 하는 자산 클래스로서 통화 거래에 대해 논의합니다. 특정 환율의 전통적인 구매 또는 판매와 달리 개인은 통화 간에 금액을 교환합니다. 강사는 기축통화이자 기축통화인 미국 달러의 역할을 강조한다. 그들은 또한 통화를 강화하거나 약화시키기 위해 중앙 은행의 환율 조작에 대해서도 언급합니다. 또한 국제 비즈니스에서 통화 위험을 헤지하기 위한 외환 파생 상품의 작은 적용이 언급됩니다.
연사는 은행과 금융 기관이 투자 불확실성을 관리하기 위해 변동하는 환율에 대비해 보험을 사고 팔 수 있는 방법을 설명합니다. 다른 국가에 투자하면 다양한 통화 강세 및 통화 정책으로 인해 불확실성이 발생하여 불확실한 수익으로 이어질 수 있습니다. 전산 금융은 불확실성을 모델링하고 다양한 요소를 고려하여 이러한 투자와 관련된 위험을 관리하고 계산하는 데 중요한 역할을 합니다. 연사는 또한 비트코인이 환율로 간주될 수 있으며 미국 달러와의 교환을 통해 가치가 결정되는 규제 상품으로서 비트코인의 하이브리드 특성에 대해 설명합니다. 비트코인의 변동성은 미래 가치를 예측하기 어렵게 만듭니다.
또한 연사는 옵션 가격 책정의 기본 원칙인 위험 중립 가격 책정의 개념을 탐구합니다. 위험중립적 가격결정은 완벽하게 효율적인 시장에서 옵션의 기대수익률이 무위험이자율과 같아야 한다고 가정합니다. 이 접근 방식은 옵션에 대한 예상 수익이 무위험 비율로 할인되는 위험 중립 측정을 기반으로 다양한 결과의 확률을 고려하여 가격 책정 프로세스를 단순화합니다.
그런 다음 스피커는 가격 옵션에 널리 사용되는 수학적 모델인 BSM(Black-Scholes-Merton) 모델을 소개합니다. BSM 모델은 현재 주가, 행사 가격, 만기까지의 시간, 무위험 이자율 및 기초 자산의 변동성과 같은 다양한 요소를 통합합니다. 기본 자산이 기하학적 브라운 운동을 따르고 시장이 효율적이라고 가정합니다.
연사는 유러피안 콜 또는 풋 옵션의 가치를 계산하는 공식을 포함하여 BSM 모델의 핵심 구성 요소에 대해 설명합니다. 변동성이 높을수록 더 큰 가격 변동 가능성으로 인해 옵션의 가치가 증가하므로 옵션 가격 책정에서 변동성의 중요성을 강조합니다. 발표자는 옵션 가격에 내포된 미래 변동성에 대한 시장의 기대인 내재 변동성의 역할에 대해서도 언급합니다.
다음으로 기초자산에 대해 중립적인 포지션을 유지하여 위험을 최소화하는 전략인 델타헤징(Delta Hedging)의 개념에 대해 강의한다. Delta는 기초 자산의 가격 변동에 대한 옵션 가격의 민감도를 측정합니다. 기초 자산에 보유하고 있는 주식 수를 조정함으로써 투자자는 가격 변동에 덜 영향을 받는 델타 중립 포트폴리오를 만들 수 있습니다.
연사는 BSM 모델을 사용하여 델타 헤징 프로세스를 설명하고 어떻게 효과적으로 위험을 줄일 수 있는지 보여줍니다. 기초 자산의 가격이 변함에 따라 헤지가 지속적으로 조정되는 동적 헤징의 개념에 대해 논의합니다. 이를 통해 포트폴리오가 델타 중립을 유지하고 시장 변동에 대한 노출을 최소화할 수 있습니다.
델타 헤징 외에도 감마 헤징, 베가 헤징과 같은 다른 위험 관리 기법을 강의합니다. 감마는 델타의 변화율을 측정하는 반면 베가는 내재 변동성의 변화에 대한 옵션 가격의 민감도를 측정합니다. 이러한 기술을 통해 투자자는 변화하는 시장 상황과 위험에 따라 포지션을 관리하고 조정할 수 있습니다.
강의가 끝날 무렵 연사는 BSM 모델의 한계와 가정을 강조합니다. 그들은 실제 시장이 거래 비용, 유동성 제약 및 시장 마찰의 영향과 같은 모델의 가정에서 벗어날 수 있음을 인정합니다. 연사는 신중한 접근을 장려하고 옵션 가격 책정 모델과 관련된 제한 및 불확실성을 이해하는 것의 중요성을 강조합니다.
전반적으로 강의는 거래 자신감, 헤징 전략, 옵션 가격 책정 모델 및 위험 관리 기술에 대한 포괄적인 개요를 제공합니다. 그것은 학습자가 금융 시장의 복잡한 세계를 탐색하고 거래 및 투자 활동에서 정보에 입각한 결정을 내리는 데 필요한 필수 지식과 도구를 갖추게 합니다.
00:00:00 이 섹션에서는 강사가 거래 자신감, 헤지 및 과정에서 학습할 모델의 필요성에 대해 설명합니다. 풋 옵션의 가격 책정 방법과 헤지 개념에 대해 자세히 설명합니다. 강사는 확률적 프로세스와 자산 가격을 모델링하는 방법도 다룹니다. 그들은 Ito의 보조정리와 이것이 확률적 미분방정식을 푸는 데 어떻게 사용될 수 있는지 소개합니다. 마지막으로 강사는 투자자가 주식 가치의 잠재적인 하락으로부터 투자를 보호하고자 하는 교육 전략의 예를 제공합니다. 이를 위해 그들은 최악의 시나리오에서 최소한 일정 금액의 돈을 가지고 있는지 확인하기 위해 보험을 구입할 수 있습니다.
00:05:00 이 섹션에서 강사는 주식 가격의 하락 움직임을 방지하기 위해 풋 옵션을 사용하는 방법에 대해 설명합니다. 그러나 풋옵션을 매수하는 것은 테슬라의 경우처럼 특히 주식의 변동성이 높을 때 비쌀 수 있습니다. 옵션을 더 저렴하게 만들기 위해 파업 가격을 낮출 수 있지만 이는 주식 가격을 낮추는 것을 의미합니다. 그런 다음 강사는 만기 및 행사 가격으로 분류된 시장에서 사용할 수 있는 다양한 유형의 옵션을 보여 주는 Reuters의 스크린샷을 보여주고 행사 가격과 콜 및 풋 옵션의 옵션 가격 간의 관계를 설명합니다.
00:10:00 이 섹션에서는 내재 변동성의 개념을 도입하여 시장의 불확실성을 측정하는 것으로 설명합니다. 행사가가 낮을수록 내재 변동성이 높아지고 옵션의 가치가 기초 자산에 따라 달라지는 정도를 측정하기 위해 델타도 도입됩니다. 그런 다음 비디오는 헤징이 어떻게 작동하는지, 그리고 포트폴리오 가치에 변동이 없는 비율이 어떻게 존재하는지를 설명하고 위험이 없는 즉각적인 결과를 제공하지만 주식의 가치가 증가하지 않으면 잠재적인 이익을 제한할 수도 있습니다. 그런 다음 옵션을 통한 헤징에 대해 논의하며 변동성이 높을 때 비용이 많이 들 수 있지만 주식을 장기간 보유할 계획이 없는 사람들에게 적합하다고 설명합니다.
00:15:00 이 섹션에서 강사는 헤지 및 위험 감소의 한 형태로 옵션 거래에 대해 설명합니다. 옵션은 일반적으로 만기가 확실한 단기 투자에만 바람직하며 장기 투자에 옵션을 사용하면 비용이 많이 들 수 있다고 설명합니다. 강사는 또한 콜을 통한 헤징의 개념과 옵션 매도가 대규모 주식 포트폴리오를 보유한 투자자의 위험을 줄이는 방법이 될 수 있는 방법에 대해 이야기합니다. 그러나 그들은 너무 많은 콜옵션을 매도하면 보유 주식의 잠재적 상승 여력이 줄어들 수 있으며 옵션 거래는 항상 어느 정도의 위험을 수반한다고 경고합니다.
00:20:00 이 섹션에서는 가격을 예측할 수 없지만 종종 계절적 영향을 나타내기 때문에 인플레이션에 대한 헤지 수단으로 자주 사용되는 귀금속, 석유 및 식품과 같은 원자재인 상품을 살펴봅니다. 상품 거래는 주로 미래에 상품을 사고 파는 거래가 이루어지는 미래 시장에서 이루어집니다. 전기 시장과 다른 원자재의 차이점은 전기를 완전히 저장할 수 없기 때문에 특히 예측 가능성과 파생 상품의 상승이 전기에 의존하는 경우 시장을 어렵게 만듭니다. 상품에 대한 에너지 시장은 종종 에너지의 거래 및 공급을 구체적으로 다루며 소비자 권리를 보호하고 과점을 피하기 위해 국가 국제 당국에 의해 규제됩니다.
00:25:00 이 섹션에서 강사는 외환 시장이라고도 하는 통화의 자산 클래스에 대해 설명합니다. 개인이 특정 환율을 사거나 팔 수 없다는 점에서 독특합니다. 대신, 그들은 한 통화에서 다른 통화로 금액을 교환합니다. 달러는 기준 통화로 간주되며 기축 통화입니다. 외환 시장은 중앙 은행의 보유고로 인해 세계에서 가장 많이 조작되는 시장 중 하나입니다. 그들은 통화를 강화하거나 약화시키기 위해 환율에 영향을 미치거나 조작할 수 있습니다. 강사는 해외 사업을 할 때 통화 위험을 헤지하기 위해 파생 상품을 사용할 수 있는 FX 시장의 작은 응용 프로그램에 대해서도 이야기합니다.
00:30:00 이 섹션에서 연사는 투자 불확실성을 처리하기 위해 은행 및 기타 금융 기관이 환율 변동에 대비하여 보험을 사고 팔 수 있는 방법에 대해 논의합니다. 해외에 투자할 때 국가마다 통화 및 통화 정책의 강점이 다르기 때문에 수익이 불확실할 수 있습니다. 전산 금융은 이러한 불확실성을 모델링하고 다양한 요인을 고려하여 이러한 유형의 투자와 관련된 위험을 관리하고 계산하는 데 중점을 둡니다. 화자는 또한 비트코인이 환율로 간주될 수 있으며 상품으로 규제되기 때문에 흥미로운 하이브리드 상품이지만 그 품질은 미국 달러와의 교환을 통해 결정된다는 점에 주목합니다. 또한 비트코인 가격에는 변동성이 있어 미래의 가치를 예측하기 어렵습니다.
00:35:00 이 섹션에서 연사는 비트코인 투자에 대한 이익을 보호하기 위해 풋 옵션 사용에 대해 논의합니다. 풋 옵션의 가치는 행사가가 비트코인의 현재 가치에서 얼마나 떨어져 있는지에 따라 달라지며 행사가가 높을수록 옵션 가격이 높아집니다. 그러나 이 시장에서 플레이하려면 보험금을 지불하는 데 상당한 돈이 필요하기 때문에 상당한 자본이 필요합니다. 비트코인의 변동성은 또한 옵션 투자의 불확실성과 비용을 증가시킵니다. 연사는 또한 옵션의 역사를 간략하게 설명하고 만기 기간이 긴 옵션은 보험 비용으로 인해 기초 자산보다 더 비싼 경향이 있다고 설명합니다.
00:40:00 비디오의 이 섹션에서 연사는 유럽, 미국, 버뮤다 및 이국적인/경로 종속 옵션을 포함하여 다양한 유형의 옵션을 소개하고 설명합니다. 유럽식 옵션은 만기일에만 행사할 수 있는 반면 미국식 옵션은 모든 거래일에 행사할 수 있어 가격이 더 비쌉니다. 버뮤다 옵션에는 특정 운동 날짜가 있는 반면 이국적/경로 종속 옵션은 사용자 정의되고 유동적이지 않습니다. 그런 다음 연사는 만기, 행사 가격, 포트폴리오, 작가 및 금융 공학과 같은 옵션과 관련된 다양한 용어에 대해 논의합니다. 강의 시리즈의 주요 초점은 옵션 가격을 정확하게 책정하고 옵션과 관련된 위험을 최소화하는 것입니다. 연사는 또한 그래프로 토론을 단순화하고 옵션 가격을 결정하는 주요 요인을 이해하는 것이 중요함을 강조합니다.
00:45:00 이 섹션에서 교수는 통계 모델과 회귀 분석을 사용하여 스톡 옵션의 가격 책정 및 비교에 대해 설명합니다. 초점은 옵션을 매도하기 위해 자신의 포지션을 헤지하고 동시에 주식이 오르거나 내리는 위험으로부터 자신을 보호하려는 옵션 작성자의 관점에 있습니다. 포트폴리오를 헤지함으로써 작가는 옵션을 매도하고 가치, VC0 및 델타 가치를 받을 수 있으며, 이는 잠재적인 노출에 대해 헤지하기 위해 일정량의 주식을 매수 또는 매도하여 일치해야 합니다. 작가는 델타를 결정할 때 위험을 최소화하고 이익을 최대화하기 위해 주가가 오르든 내리든 두 가지 시나리오를 고려해야 합니다.
00:50:00 강의의 이 섹션에서 교수는 시장의 변동에 영향을 받지 않는 방식으로 포트폴리오를 구축하는 방법을 설명합니다. 이를 위해서는 주가가 오르든 내리든 포트폴리오의 가치가 변하지 않아야 한다. 교수는 주가 상승과 하락의 차이인 델타를 결정하기 위해 간단한 연습을 사용합니다. 일단 이것을 계산하면 볼륨의 가격보다 작은 것으로 밝혀진 옵션의 가치를 결정하는 데 대체될 수 있습니다. 이것은 주식을 예측하는 데 사용되는 통계 분석이 주식에 따라 달라지는 옵션의 가치와 아무 관련이 없음을 의미합니다. 옵션 가치의 차이는 확률보다 더 중요한 것으로 나타났으며, 이는 가격을 높이는 주식의 높은 변동성과 관련될 수 있습니다.
00:55:00 이 섹션에서는 주식의 현재 상태, 만기 및 변동성을 포함하여 옵션 가격을 결정하는 요소에 대해 설명합니다. 금리는 또한 옵션의 가치를 결정하는 역할을 합니다. 만기 시간이 길고 변동성이 높으면 옵션이 내가격이 될 가능성이 높아지는 반면 출력 패리티는 콜과 풋 사이에 관계가 있음을 나타냅니다. 둘 사이를 전환하여 어느 쪽이 더 유리한지 수치적으로 평가할 수 있습니다. 출력 패리티를 사용할 때 주식에 대한 가정을 할 필요가 없으며 관계가 유지되지 않으면 차익 거래가 존재합니다.
01:00:00 이 섹션에서 강사는 차익 거래의 개념에 대해 논의하고 시장에 차익 거래가 존재하는지 여부를 식별하기 위해 콜 및 풋에 대한 정보를 사용하는 전략을 제시합니다. 주식 시장에서 임의 행동을 모델링하는 것의 중요성도 강조하고 두 가지 일반적인 모델인 기하 및 산술 브라운 운동을 소개합니다. 강사는 후자가 어떻게 주식이 마이너스가 되도록 허용하는지 강조합니다. 이는 바람직하지 않습니다. 또한 투자 수익률의 개념에 대해 논의하고 수익률을 측정하기 위해 5년 간의 시장 데이터를 사용하여 작은 실험을 수행합니다. 수익률은 때때로 위 또는 아래로 점프하면서 0 근처에서 진동하는 것으로 표시됩니다.
01:05:00 이 섹션에서 동영상은 수집된 수익을 사용하여 평균이 0이고 표준 편차가 1%인 시간 경과에 따른 수익 밀도를 추정하는 방법에 대해 설명합니다. 경험적 누적분포함수는 정규분포와 비교하여 정규분포가 경험적 분포에서 얻은 것보다 꼬리가 굵고 0에 도달하는 속도가 느리다는 것을 보여줍니다. 그런 다음 비디오는 스톡의 임의성을 모델링할 목적으로 노이즈를 모델링하는 일반적인 관행인 브라운 운동이라고도 하는 Wiener 프로세스를 소개합니다. 위너 프로세스는 시간 t0에서 0 반환, 고정 독립 증분, 평균 0과 분산 t를 갖는 정규 분포, 점프가 없는 연속 경로를 포함하여 많은 바람직한 속성을 가지고 있습니다. 비디오는 또한 주식 모델링의 두 가지 주요 구성 요소인 가격을 주도하고 모델에서 제곱되는 시간과 변동성에 대해 설명합니다.
01:10:00 이 섹션에서 강사는 확률적 프로세스의 정의와 주가 및 수익률 모델링에 사용되는 방법을 설명합니다. 확률적 프로세스는 시간과 확률적 공간이라는 두 가지 매개변수가 있는 무작위 변수입니다. 강사는 2차원으로 정의된 무작위 변수의 집합으로 확률적 프로세스의 공식적인 정의를 제공합니다. 또한 주가를 시뮬레이션하는 데 사용되는 기하학적 브라운 운동 과정에 대해서도 논의합니다. 이 프로세스는 드리프트 항과 변동성 항으로 구성되며 각 시간 단계에서 주가를 모델링하기 위해 이산화할 수 있습니다. 강사는 주가와 수익률을 모델링할 때 시간 요소를 고려하는 것이 중요하다고 강조합니다.
01:15:00 비디오의 이 섹션에서 강사는 확률적 미분 방정식과 적분 형식에 대해 설명합니다. 계속해서 기하학적 브라운 운동 형태의 프로세스인 Samelson 모델을 설명합니다. 이 모델은 역사적 실현 경로에 맞게 조정될 때 주식 및 지수에 대한 실제 데이터에 매우 적합합니다. 그러나 옵션에 대한 보정에는 적합하지 않으며 실제 데이터의 불일치는 모델이 예측하는 것보다 큰 상승 및 하락 확률이 더 큰 것으로 나타납니다. 이는 극한 상황이 발생할 수 없고 대부분의 정보가 3 시그마 간격 내에 있는 모델의 가우시안 특성 때문입니다.
01:20:00 이 섹션에서 연사는 옵션에 사용되는 다양한 모델에 대해 논의하며 이러한 모델의 주요 동인으로서 변동성의 역할을 강조합니다. 옵션에 사용되는 모델은 변동성에 의해 결정되며 꼬리 부분의 적합성 부족과 같은 문제를 해결하기 위해 가능한 대안 솔루션에는 점프 또는 확률적 변동성이 포함됩니다. 발표자는 또한 산술적 브라운 운동, 기하학적 브라운 운동 및 Ornstein-Uhlenbeck 과정의 세 가지 과정을 각각의 특징과 차이점을 중심으로 소개합니다. 산술 브라운 운동은 단순하지만 주식 수익률은 음수가 될 수 있으므로 프로세스 값이 항상 양수로 유지되기 때문에 기하학적 브라운 운동이 선호됩니다. 마지막으로 Ornstein-Uhlenbeck 프로세스는 장기 평균과 경로가 해당 평균 주위에서 진동하는 속도를 나타내는 매개변수가 있는 속도계 버전으로 표시됩니다.
01:25:00 이 섹션에서 강사는 주식이 음수가 될 수 없고 일반적으로 기하급수적 성장을 경험하기 때문에 주식에 일반적으로 사용되는 기하학적 브라운 운동과 같이 다양한 자산 클래스에서 사용되는 다양한 확률 프로세스 간의 차이점에 대해 논의합니다. 강의에서는 특정 확률적 미분방정식의 해를 찾는 데 사용되는 재무 도구인 Ito의 Lemma도 소개합니다. 기본형은 프로세스의 함수가 주어지면 프로세스의 동역학이 무엇인지 가르치고 강사는 이것이 어떻게 많은 미분 방정식을 손으로 풀 수 있게 하는지 설명합니다. Ito의 Lemma를 다룰 때 기억해야 할 주요 요소는 Ito 테이블입니다.
01:30:00 이 섹션에서 발표자는 Ethos 테이블을 사용하여 주어진 프로세스에 대한 확률적 미분 방정식을 찾는 방법에 대해 설명합니다. Ito's lemma는 적용하고 싶은 함수에 두 번째 프로세스가 주어졌을 때 프로세스의 동역학을 찾는 강력한 도구이며 표를 기억하면 쉽게 적용할 수 있습니다. 발표자는 동역학을 찾기 위해 기하학적 브라운 운동과 대수 함수를 사용하는 스톡 프로세스의 예를 제공하고, 테이블의 적용을 통해 방정식에 하나의 요소만 남아 최종 솔루션을 찾는 데 사용됩니다.
01:35:00 이 섹션에서 발표자는 스톡 프로세스의 브라운 운동 및 로그 측면에서 스톡 프로세스에 대한 솔루션에 대해 논의합니다. 스톡 프로세스의 로그는 일정한 부분과 산술적 브라운 운동 부분이 있는 가우시안 분포를 가집니다. 스톡 프로세스의 로그에 대한 밀도 함수는 프로세스의 매개변수에 의해 결정되는 평균 및 분산을 갖는 로그 정규 분포인 것으로 밝혀졌습니다. 그런 다음 화자는 변동성의 변화로 인해 분포가 더 넓어지는 것과 같이 다양한 매개변수가 프로세스의 로그 정규 분포에 어떻게 영향을 미치는지 설명합니다.
01:40:00 이 섹션에서 발표자는 프로세스의 분산에 대한 mu의 영향과 프로세스 분포에 대한 결과적인 영향에 대해 논의합니다. mu가 높을수록 더 두꺼운 꼬리 분포로 이어지고 프로세스의 변동성이 증가합니다. 그런 다음 화자는 시뮬레이션된 정규 프로세스와 로그 정규 프로세스를 보여줍니다. 로그 정규 프로세스는 비대칭 밀도와 위쪽으로 갈수록 더 두꺼운 꼬리를 가집니다. 이것은 기하학적 경계 운동과 밀도의 기하급수적 형태에 의해 구동되는 주식을 반영합니다.
Computational Finance Lecture 2- Stock, Options and Stochastics▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬This course is based on the book:"Mathematical Modeling...
강의에서 강사는 Python의 주식 경로 시뮬레이션을 탐구하고 가격 옵션에 대한 Black-Scholes 모델을 탐색합니다. 그들은 옵션에 대한 차익 거래 없는 가격을 도출하는 두 가지 접근 방식, 즉 헤징과 마팅게일에 대해 논의합니다. 연사는 마팅게일을 프로그래밍하고 시뮬레이션하는 방법을 시연하며 가격 프레임워크에서 편미분 방정식(PDE)과 몬테카를로 시뮬레이션 사이의 연결을 강조합니다.
오일러 이산화 방법을 사용하여 화자는 확률적 프로세스의 그래프를 시뮬레이션하고 생성하는 방법을 설명합니다. 그들은 간단한 프로세스로 시작하고 Ito의 기본형을 사용하여 S에서 S의 로그인 X로 전환합니다. 그런 다음 강사는 오일러 이산화 방법을 소개하고 Python으로 구현하는 방법을 보여줍니다. 이 방법은 연속 함수를 이산화하고 드리프트 및 브라운 운동 모두에 대한 증분을 시뮬레이션하여 시뮬레이션된 경로의 그래프를 생성합니다.
컴퓨팅 관점에서 발표자는 옵션 가격 책정 모델의 경로 시뮬레이션에 대해 논의합니다. 각 경로를 개별적으로 시뮬레이션하는 대신 타임 슬라이싱을 수행하고 각 행이 특정 경로를 나타내는 행렬을 구성하는 효율성을 설명합니다. 행 수는 경로 수에 해당하고 열 수는 시간 단계 수에 해당합니다. 발표자는 표준 정규 랜덤 변수를 사용하여 이산화 프로세스의 구현을 설명하고 더 나은 수렴을 위한 표준화의 중요성을 강조합니다.
강의는 또한 Python을 사용하여 기하학적 브라운 운동에 대한 경로 시뮬레이션을 다룹니다. 발표자는 안정적인 시뮬레이션을 위해 무작위 시드를 수정하는 방법을 설명하고 자산 가격 모델링을 위한 mu 및 sigma와 같은 매개변수 및 드리프트가 있는 확률적 미분 방정식을 포함하는 Black-Scholes 모델을 소개합니다. 연사는 Black-Scholes 모델이 여전히 금융 산업, 특히 주식 가격 옵션에 널리 사용되고 있다고 강조합니다. 서로 다른 결과 확률을 기반으로 가격 책정 옵션을 지원하는 실제 측정 및 위험 중립 측정의 개념에 대해 논의합니다.
또한 강의는 옵션 가격 책정 및 Python의 시뮬레이션을 탐구합니다. 화자는 차익 거래 또는 위험이 없는 조건을 가정하지 않고 과거 데이터를 기반으로 추정되는 실제 측정과 특정 조건이 유지되어야 하는 위험 중립 측정을 구별합니다. 그들은 주식의 지속적인 거래와 기본 주식의 움직임을 포착하기 위해 옵션 포지션을 조정하는 거래 전략을 제시합니다. 화자는 Ito의 보조정리를 사용하여 포트폴리오의 동역학을 설명하고 이 방법을 통해 옵션 값의 확률적 특성을 도출합니다.
연사는 또한 브라운 운동과 독립적인 헤징 포트폴리오를 구성하는 기술에 대해 자세히 설명합니다. 그들은 델타 중립 포트폴리오를 보장하면서 브라운 운동과 관련된 항을 무효화하는 델타를 선택하는 것에 대해 논의합니다. 연사는 저축 계좌와 동일한 수익을 내는 포트폴리오의 중요성을 강조하고 자금 설정 계좌의 개념을 소개합니다.
또한 Black-Scholes 모델을 사용하여 옵션 평가를 위한 편미분방정식(PDE)의 도출에 대해 강의합니다. 결과 PDE는 옵션의 공정 가치를 결정하는 경계 조건이 있는 2차 파생 상품입니다. 발표자는 Black-Scholes 모델의 옵션 가격이 보정 또는 과거 데이터에서 얻을 수 있는 드리프트 매개변수 mu에 크게 의존하지 않는다고 강조합니다. 그러나 헤징을 위한 거래 비용은 이 모델에서 고려되지 않습니다.
강의는 Black-Scholes 모델 및 옵션 가격 책정 내의 다양한 중요한 개념을 다룹니다. 차익 거래 기회가 없다는 가정을 논의하여 모델 적용에 대한 위험이 없는 시나리오로 이어집니다. 연사는 델타 헤징의 개념과 그것이 포트폴리오의 가장 큰 무작위 요소를 제거하는 방법을 설명합니다. 또한 발표자는 감마를 델타 동작의 척도로 소개하고 모델의 모든 매개변수를 헤지할 수 있음을 강조합니다. 마지막으로 강의는 시간, 행사가, 변동성 및 시장 관련 매개변수와 같은 옵션 가치의 결정 요인을 탐구합니다.
강의에서 연사는 Black-Scholes 모델과 옵션 가격 책정에 적용하는 방법을 자세히 살펴봅니다. 그들은 일정한 변동성과 거래 비용의 부재를 포함하여 모델의 가정과 한계에 대해 논의합니다. 이러한 한계에도 불구하고 Black-Scholes 모델은 유러피안 콜 및 풋 옵션 가격 책정의 단순성과 효율성으로 인해 금융 산업에서 널리 사용되고 있습니다.
연사는 현재 옵션 가격에서 파생된 미래 변동성에 대한 시장의 기대인 내재 변동성의 개념을 소개합니다. 내재 변동성은 옵션 가격에 영향을 미치기 때문에 Black-Scholes 모델에서 중요한 매개변수입니다. 연사는 모델을 사용하여 시장 데이터에서 내재 변동성을 어떻게 얻을 수 있는지 설명하고 옵션 거래 전략에서 그 중요성에 대해 논의합니다.
델타 헤징, 감마 트레이딩 등 다양한 옵션 트레이딩 전략에 대해 강의한다. 델타 헤징은 기초 자산 가격의 변화와 관련하여 중립적인 위치를 유지하기 위해 포트폴리오 구성을 지속적으로 조정하는 것입니다. 감마 거래는 기본 자산의 가격과 관련하여 델타가 어떻게 변하는지 측정하는 감마의 변화를 이용하는 데 중점을 둡니다. 이러한 전략은 옵션 거래에서 위험을 관리하고 수익성을 극대화하는 것을 목표로 합니다.
연사는 또한 시간 소멸(theta), 이자율(rho) 및 배당 수익률을 포함하여 옵션 가격에 영향을 미치는 다른 중요한 요소에 대해서도 언급합니다. 이러한 요소가 옵션 가격에 미치는 영향과 트레이더가 이를 사용하여 정보에 입각한 결정을 내리는 방법을 설명합니다.
강의 전반에 걸쳐 Python 프로그래밍을 활용하여 다양한 옵션 가격 책정 모델 및 거래 전략의 구현을 시연합니다. 발표자는 코드 예제를 제공하고 라이브러리 및 함수를 활용하여 계산 및 시뮬레이션을 수행하는 방법을 설명합니다.
요약하면 강의는 Black-Scholes 모델 및 관련 개념을 사용하여 옵션 가격 책정 및 시뮬레이션에 대한 포괄적인 개요를 제공합니다. Python 프로그래밍에서 이러한 개념의 실제 적용을 강조하여 양적 금융 및 옵션 거래에 관심이 있는 개인에게 유용한 리소스가 됩니다.
00:00:00 강의의 이 섹션에서 강사는 가격 책정을 위한 Python 및 Black-Scholes 모델의 주식 경로 시뮬레이션에 대해 설명합니다. 그는 헤징과 마팅게일을 통해 옵션에 대한 차익 거래 없는 가격을 도출하는 두 가지 방법을 설명하고 마팅게일을 프로그래밍하고 시뮬레이션하는 방법을 보여줍니다. 또한 가격 책정 프레임워크에서 편미분 방정식(PDE)과 Monte Carlo 시뮬레이션 간의 관계와 확률적 미분 방정식에서 서로 다른 측정값을 구별하는 방법에 대해 설명합니다. 강의는 Black-Scholes 모델에 대한 증명과 Python을 사용하여 가격 책정을 수행하는 방법에 대한 데모로 끝납니다.
00:05:00 이 섹션에서 발표자는 오일러 이산화 방법을 사용하여 확률적 프로세스의 그래프를 시뮬레이션하고 생성하는 방법에 대해 설명합니다. 이전 강의의 간단한 프로세스로 시작하여 Ito의 보조정리를 사용하여 S에서 S의 로그인 X로 전환합니다. 그런 다음 오일러 이산화 방법과 Python을 사용하여 구현하는 방법을 설명합니다. 이 방법에는 연속 함수를 이산화하고 드리프트 및 브라운 운동 모두에 대한 증분을 시뮬레이션하는 작업이 포함됩니다. 비디오에 표시된 코드는 시뮬레이션된 경로의 그래프를 생성하는 데 사용됩니다.
00:10:00 이 섹션에서 발표자는 옵션 가격 책정 모델의 경로를 시뮬레이션하는 컴퓨팅 관점에 대해 논의합니다. 각 경로를 개별적으로 시뮬레이션하는 대신 타임 슬라이싱을 수행하고 각 행이 특정 경로에 해당하는 행렬을 만드는 것이 계산상 효율적입니다. 행 수는 경로 수에 따라 결정되고 열 수는 시간 단계 수에 따라 결정됩니다. 연사는 표준 정규 랜덤 변수를 사용하여 프로세스의 이산화 구현과 표준화가 더 나은 수렴을 달성하는 데 어떻게 도움이 되는지 설명합니다.
00:15:00 이 섹션에서 발표자는 안정적인 시뮬레이션을 위해 임의 시드를 수정하는 방법을 포함하여 Python을 사용하여 기하학적 브라운 운동의 경로를 시뮬레이션하는 방법을 설명합니다. 그들은 또한 주식과 같은 자산의 가격을 모델링하기 위해 드리프트가 있는 확률적 미분 방정식과 mu 및 sigma와 같은 매개변수를 포함하는 Black-Scholes 모델을 소개합니다. 그들은 이 모델이 금융 산업에서 여전히 일반적으로 사용된다는 점에 주목하고 주식 옵션의 가격을 책정하는 데 어떻게 사용될 수 있는지 설명합니다. 연사는 또한 다양한 결과의 확률을 기반으로 옵션 가격을 책정하는 데 도움이 되는 실제 측정 및 위험 중립 측정의 개념에 대해 설명합니다.
00:20:00 이 섹션에서는 Python의 옵션 가격 책정 및 시뮬레이션에 대해 강의합니다. 실제 측정은 차익 거래 또는 무위험에 대한 가정 없이 과거 데이터를 기반으로 추정된 매개 변수로 설명되는 반면 위험 중립 측정은 임의의 조건을 유지해야 합니다. 하나의 옵션을 보유하고 일부 주식을 보유하기 위해 주식에서 지속적으로 거래하고 기본 주식의 움직임을 포착하기 위해 옵션을 매매하는 전략이 제시됩니다. 포트폴리오는 기본 주식의 변동에 대비하여 그 가치와 헤지를 일치시키기 위해 매일 일관되게 재조정됩니다. Ito's Lemma를 적용하여 포트폴리오의 역동성을 알아보고, 이 방법을 통해 옵션의 가치를 확률적으로 도출합니다.
00:25:00 강의의 이 섹션에서 연사는 Ito의 보조 정리를 적용하고 제곱항을 처리하기 위해 동적을 주식으로 대체하는 방법에 대해 설명합니다. 그런 다음 브라운 운동에 의존하지 않는 헤징 포트폴리오를 구축하는 방법을 설명합니다. 이는 브라운 운동 주변의 모든 항이 0이 되는 델타를 선택함으로써 달성됩니다. 연사는 또한 이 포트폴리오가 어떻게 모든 돈을 저축 계좌에 넣는 것과 동일한 수익률을 제공해야 하는지에 대해 논의하고 돈 설정 계좌를 통한 돈의 표현을 설명합니다.
00:30:00 이 섹션에서 강사는 Black-Scholes 모델을 사용하여 옵션 가치 평가를 위한 편미분 방정식(PDE)을 유도하는 방법을 설명합니다. 결과 PDE는 옵션의 공정 가치를 결정하는 데 사용할 수 있는 경계 조건이 있는 2차 파생 상품입니다. 흥미롭게도 이 모델은 매개 변수 mu에 의존하지 않습니다. 즉, 보정 또는 과거 데이터에서 얻은 드리프트가 위험 중립 프레임워크에서 옵션 가격에 큰 영향을 미치지 않는다는 의미입니다. 그러나 이 모델에서는 헤징을 위한 거래 비용이 고려되지 않는다는 점에 유의해야 합니다.
00:35:00 이 섹션에서 발표자는 Black-Scholes 모델 및 옵션 가격 책정의 몇 가지 중요한 개념에 대해 설명합니다. 첫 번째는 차익 거래 가능성이 없다는 가정이며, 이는 모델이 무위험 시나리오에 적용됨을 의미합니다. 연사는 또한 델타 헤지와 그것이 포트폴리오의 가장 큰 무작위 구성 요소를 제거하는 방법을 설명합니다. 또한 발표자는 델타가 어떻게 작동하는지 측정하는 감마의 중요성과 모델의 모든 매개변수를 헤지할 수 있는 방법을 소개합니다. 마지막으로 연사는 시간, 행사가, 변동성 및 시장 관련 매개변수를 포함하여 옵션 가치의 결정 요인에 대해 논의합니다. Black-Scholes 모델에서 가장 중요한 결과 중 하나는 가격 책정 방정식이 mu에 의존하지 않는다는 것입니다. mu는 옵션 가격 책정에서 매우 중요한 요소가 아닙니다.
00:40:00 이 섹션에서 화자는 옵션 가격 책정 및 Python의 시뮬레이션에 대해 설명합니다. 그들은 현재 가치가 3800인 SMP에 대한 다양한 풋 및 콜 옵션, 다양한 만기, Black-Scholes 내재 변동성 및 델타에서 얻은 내재 변동성을 표시하는 그래프를 분석합니다. 그들은 Black-Scholes 모델이 한계와 가정에도 불구하고 옵션 가격 책정의 시장 표준으로 간주된다고 설명합니다. 그런 다음 스피커는 옵션의 공정 가치를 결정하는 대안적인 방법을 제공하는 마팅게일을 소개합니다. 그들은 여과의 개념과 마팅게일로 간주되는 확률적 과정에 대한 세 가지 조건을 설명합니다. 그들은 세 번째 조건이 가장 중요하며 마팅게일이 고차원 BD에 유용한 방법이라는 점에 주목합니다.
00:45:00 비디오의 이 섹션에서는 마틴게일의 개념과 공정성 및 무효 차익 거래와의 관계에 대해 설명합니다. 브라운 운동이 마팅게일인지 확인하기 위한 조건을 예제를 통해 설명하고 시연합니다. 브라운 운동 증분의 독립성과 선형 기대 속성도 다루어집니다. 로그정규분포와 관련된 예제를 소개하고 마틴게일인지 판단하기 위해 확인해야 할 주요 조건을 설명합니다.
00:50:00 이 섹션에서 강사는 ewt-s의 기대치를 계산하기 위해 여과 방법을 사용하는 방법에 대해 논의하고 이전 라인에서 주어진 프로세스가 한계 조건을 충족하고 마팅게일임을 확인합니다. 이 섹션의 주요 내용은 확률적 적분 프로세스가 마팅게일이며, 정의된 프로세스가 드리프트가 없는 적분일 때마다 xt는 여과와 관련하여 항상 마틴게일이라는 것입니다. 드리프트가 없는 프로세스는 미분 형식으로 dxt = dt * dw t로 나타낼 수도 있습니다.
00:55:00 이 섹션에서 강사는 주가가 마틴게일인지 여부에 대해 논의합니다. 미래에 투자한 금액과 동일한 금액을 기대한다면 나쁜 투자가 될 것이기 때문에 주식은 일반적으로 마팅게일이 아닙니다. 그러나 할인된 재고 프로세스를 고려하고 미래 현금 흐름을 오늘로 할인하면 회사의 가치가 현재 보이는 가치와 같을 것이라고 기대할 수 있습니다. 강사는 Ito의 보조정리를 적용하고 이 항이 마팅게일인지 확인하기 위해 s over m의 동역학을 찾습니다. 확률 적분 과정 정리를 적용하면 이것이 유지되는 조건을 결정할 수 있습니다. 스톡에 대한 1차 편도함수는 m 분의 1이고 2차 도함수는 0이므로 이 항은 마팅게일입니다.
01:00:00 이 섹션에서 발표자는 관심 척도인 Q 척도에서 역학을 할인 재고 프로세스에서 마팅게일로 변환하기 위해 척도 간에 전환하는 방법에 대해 설명합니다. 발표자는 측정 가능한 P 측정값에서 Q 측정값으로 기대치를 전환하는 방법을 보여주고 프로세스와 측정값이 있으면 측정 변환을 도출할 수 있다고 설명합니다. 할인된 재고 프로세스가 Q 측정에서 마팅게일이어야 한다는 조건을 적용함으로써 화자는 선행 항을 취소하고 측정 간 전환을 위한 측정 변환을 유도합니다.
01:05:00 강의의 이 섹션에서 강사는 오늘까지 할인된 미래 수익의 위험 중립 측정 하의 기대를 포함하는 가격 책정 방정식의 시작점에 대해 설명합니다. 이것은 파생 상품의 시장 가격을 형성하고 이 표현의 동역학에 대한 방정식은 위험의 시장 가격을 포함하며, 이는 변동성에 따라 조정된 이자율과 비교하여 주식의 예상 성장 사이의 관계를 알려줍니다. 강사는 Itô의 보조정리를 사용하여 이 식의 동역학을 찾는 방법을 시연하고 단순화 후 결과 방정식은 Black-Scholes 방정식의 PDE에 대한 표현식과 동일합니다.
01:10:00 이 섹션에서 발표자는 위험 중립 측정에 따라 기대치를 계산할 때 위험 중립 측정에 속하지 않는 프로세스를 고려할 수 없다고 설명합니다. 이것은 기대에 사용되는 프로세스가 그것을 할인하기 위해 r을 가져야 함을 의미합니다. 따라서 기댓값에 사용되는 과정에서 드리프트는 항상 m에서 r로 변경되어야 합니다. 화자는 Python 코드를 사용하여 주식이 마팅게일인지 여부를 확인하는 방법을 시연하고 통장에 적립된 돈을 사용하여 할인된 주식 가치를 소개합니다. 또한 시뮬레이션의 경로 수를 늘려 정확도를 개선하지만 성능상의 이유로 모든 경로를 플로팅하는 것은 주의해야 합니다.
01:15:00 이 섹션에서 연사는 옵션 가격 책정을 위한 몬테카를로 시뮬레이션과 편미분 방정식(PDE) 사이의 연결에 대해 논의합니다. 발표자는 일반적인 PDE를 제시하고 PDE가 μ가 아니라 이자율 r에 의존함을 강조합니다. 이 PDE 해결과 Monte Carlo 시뮬레이션의 가격 책정을 연관시키기 위해 연사는 PDE와 확률적 과정 사이의 연결을 설정하고 확률적 과정의 임의 경로를 시뮬레이션하여 특정 PDE를 해결하는 방법을 제공하는 Feynman-Kac 공식을 소개합니다. 최종 조건도 논의되며 발표자는 할인이 일반적으로 가격 책정과 관련이 있다고 언급합니다.
01:20:00 이 섹션에서 발표자는 예상되는 미래 지급액을 할인하여 오늘 파생 상품의 가치를 계산하는 방법과 미래 현금 흐름을 할인하기 위해 무위험 이자율을 사용하는 방법을 설명합니다. 발표자는 또한 확률적 과정과 이를 미분 값에 대한 편미분 방정식(PDE)과 연관시키는 방법에 대해 설명합니다. 이토의 보조정리를 과정에 적용하여 항을 단순화하고 확률적 미분방정식의 양변을 적분함으로써 화자는 적분의 기대치가 0임을 보여주고, 이는 PDE와 도함수 값 사이의 관계를 증명하는 데 도움이 됩니다.
01:25:00 이 섹션에서 강사는 확률적 미적분과 옵션 가격 책정에서의 사용에 대해 설명합니다. 그는 브라운 운동을 포함하는 확률적 적분의 기대가 어떻게 항상 0인지를 보여줍니다. 이는 오늘날 옵션의 가치가 성숙기에 프로세스의 보수에 대한 기대와 동일하게 됩니다. 강사는 확률적 미적분학을 사용하여 말단 조건이 있는 편미분 방정식을 푸는 방법을 시연하고 변수의 2차 적률을 계산하고 이를 가격 방정식에 적용하여 SDE의 솔루션을 얻는 방법을 보여줍니다. 마지막으로 할인된 미래 가치의 할인은 항상 가격 책정 방정식의 솔루션과 관련이 있으며 프로세스의 드리프트는 항상 위험 중립 척도의 드리프트와 같다고 설명합니다.
01:30:00 이 섹션에서 강사는 옵션 가격 책정에 대한 두 가지 주요 접근 방식인 PDE 접근 방식과 위험 중립 확률 접근 방식을 설명합니다. 위험 중립적 접근 방식은 실제 통계적 확률에서 위험 중립적 확률로 확률 측정을 변경하는 것과 관련이 있으며 이는 마팅게일을 처리할 때 특히 중요합니다. 강사는 또한 측정 간의 차이점과 언제 어느 것을 선택해야 하는지에 대해 논의합니다. 위험 중립 확률은 시장의 두 거래 당사자가 동의하는 미래 이벤트 또는 상태의 확률입니다. 이는 특정 이벤트와 관련된 확률을 추정하고 가격을 측정하는 데 도움이 됩니다.
01:35:00 이 섹션에서는 금융 상품 가격 책정에 사용되는 시장에서 측정되는 확률인 위험 중립 확률의 개념을 설명합니다. 위험 중립 확률은 역사적 통계나 예측이 아니라 사건 발생 확률에 대한 시장의 일반적인 믿음을 반영합니다. 발표자는 Q 측정 또는 P 측정을 사용하여 Monte Carlo 시뮬레이션을 시뮬레이션하는 방법을 보여줍니다. Q 측정은 위험 중립 측정이며 계약 가격이 설정되면 결정되며 특정 이벤트에 할당된 위험 중립 확률을 알려줍니다. 발표자는 차익 거래를 피하기 위해 이 확률 측정을 사용하는 것의 중요성을 강조하고 시장 데이터 및 과거 데이터에서 시뮬레이션에 필요한 매개변수를 추정하는 방법을 설명합니다.
01:40:00 강의의 이 섹션에서는 옵션 가격 책정 및 Python의 시뮬레이션과 관련하여 드리프트의 개념에 대해 설명합니다. 시뮬레이션에는 언제든지 주식과 계정에 저장된 돈 사이의 비율을 계산하는 것이 포함되며 이는 위험 중립적 조치에 따른 마팅게일입니다. 코드가 플롯되고 B 측정값에서 비율이 마팅게일이 아님을 보여줍니다. 강의의 두 번째 부분은 기하학적 브라운 운동 하에서 옵션 가격을 찾기 위해 유명한 Black-Scholes 모델을 적용하고 대수 변환을 사용하여 Black-Scholes 공식을 도출하고 함수를 적분하는 것입니다. 기대값은 위험 중립적인 방법으로 계산되며 파생값은 Feynman-Kac 공식을 사용하여 얻습니다.
01:45:00 이 섹션에서는 누적 생성 기능을 사용하여 옵션 가격을 계산하는 과정을 설명합니다. 여기에는 원래 옵션 가격 통합을 누적 생성 기능 버전으로 변환하는 작업이 포함됩니다. 변환은 로그 정규 분포보다 다루기 쉬운 정규 분포를 제공합니다. 대체 후에는 유러피언 콜 옵션의 가격을 책정하는 유명한 공식인 Black-Scholes 가격 책정 정리로 끝납니다.
Computational Finance Lecture 3- Option Pricing and Simulation in Python▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬This course is based on the book:"Mathematical...
전산 금융에 대한 이 포괄적인 강의에서는 내재 변동성의 개념이 중심 무대를 차지하며 옵션 가격 계산에서 그 중요성을 조명합니다. Black-Scholes 모델은 내재 변동성 계산의 기초 역할을 하지만 그 한계와 비효율성이 충분히 강조되었습니다. 이 강의는 내재 변동성을 계산하기 위한 다양한 방법론, 특히 Newton-Raphson 방법과 같은 반복 프로세스에 대해 자세히 설명합니다. 또한 강사는 모델링 옵션 가격과 관련된 문제를 탐구하고 시장 기대치를 반영하는 내재 변동성의 역할을 강조합니다. 강의 전반에 걸쳐 옵션 가격의 변동성을 이해하고 효과적인 헤징 포트폴리오를 구성하는 것이 매우 중요하다는 것이 중심 주제로 남아 있습니다.
강의는 유동적인 외가격 풋 및 콜에 특히 중점을 두고 옵션 가격과 내재 변동성 사이의 관계에 초점을 맞춤으로써 탐구를 확장합니다. 시간 종속 변동성 매개변수와 내재 변동성 스마일에 대한 시간 종속성의 영향을 포함하는 다양한 유형의 내재 변동성 스큐를 조사합니다. 또한 Black-Scholes 모델의 한계와 지역변동성 모델, 점프 모델, 확률적 변동성 모델 등 변동성 모델을 다루는 대안적 접근 방식에 대해 설명합니다. 옵션 만기가 변동성에 미치는 영향도 설명됩니다. 만기가 짧은 옵션은 만기가 긴 옵션에 비해 만기가 더 집중되어 스마일 효과가 덜 두드러집니다.
교수는 특히 옵션 가격 책정 및 변동성 모델링과 관련하여 이전 섹션에서 다룬 주요 개념을 요약하는 것으로 시작합니다. 암시적 변동성이 도입되어 시장 데이터의 계산과 불확실성 측정에서의 역할을 강조합니다. 내재 변동성 계산 알고리즘에 대해 자세히 설명합니다. 또한 Black-Scholes 모델의 한계와 효율성은 시간 종속 변동성 매개변수 통합 및 내재 변동성 표면 생성과 같은 확장과 함께 해결됩니다. 강의는 또한 Black-Scholes 모델에만 의존하는 것의 단점을 다루고 로컬 변동성 및 확률적 변동성과 같은 대체 모델을 소개합니다. 불확정 클레임 가격 책정을 위한 적절한 모델을 지정해야 할 필요성과 가격 책정 편미분 방정식(PDE)에 도달하기 위한 옵션 및 주식으로 구성된 헤지 포트폴리오 구성의 중요성에 중점을 둡니다.
연사는 특히 결정론적 이자율을 다룰 때 편미분 방정식을 풀 때 기대치를 활용하는 방법과 위험 중립적 조치에 따라 기대치를 적용하는 방법을 탐구합니다. 유럽식 콜 및 풋 옵션에 대한 가격 책정 방정식은 모델 매개변수에 따라 달라지는 d1 지점에서 평가된 초기 주식 정상 누적 분포 함수(CDF)와 만기까지의 시간 동안 이자율을 포함하는 지수에 의존하여 제시됩니다. 강의에서는 이 공식을 엑셀에서 쉽게 구현할 수 있다고 설명한다.
다음으로 강사는 옵션 가격을 추정하는 도구 역할을 하는 Black-Scholes 모델에 필요한 매개변수에 대해 자세히 설명합니다. 이러한 매개변수에는 만기까지의 시간, 파업, 이자율, 현재 주식 가치 및 시장 가격을 사용하여 추정해야 하는 변동성 매개변수 시그마가 포함됩니다. 강사는 옵션 가격과 변동성 사이의 일대일 대응을 강조하며, 변동성의 증가는 그에 상응하는 옵션 가격의 증가를 의미하며 그 반대의 경우도 마찬가지임을 강조합니다. 그런 다음 내재 변동성의 개념에 대해 논의하며 중간 가격에 기반한 계산과 Black-Scholes 모델 내에서의 중요성을 강조합니다.
이 강의에서는 여러 매개변수가 있는 모델에서 내재 변동성을 얻는 방법에 대해 자세히 설명합니다. 선택한 모델에 관계없이 Black-Scholes 모델의 테스트를 통과해야 합니다. 그러나 Black-Scholes 모델을 사용하여 모든 옵션의 가격을 동시에 책정하는 것은 각 행사가마다 내재 변동성이 다르기 때문에 비실용적입니다. 강의는 또한 옵션 만기가 길어질수록 내재 변동성이 증가하는 경향이 있어 불확실성이 커진다는 점을 지적합니다. 시장 데이터와 100주에 대한 표준 콜 옵션을 사용하여 내재 변동성의 계산을 보여주는 예제가 제공됩니다.
내재 변동성의 개념은 강사가 자세히 설명합니다. 옵션의 과거 데이터는 Black-Scholes 방정식을 사용하여 변동성을 추정하는 데 사용됩니다. 그러나 강사는 이 추정이 옵션에 대한 특정 가격을 제공하지만 시장은 후향적 역사적 추정과 대조되는 미래 지향적 특성으로 인해 다르게 가격을 책정했을 수 있다고 강조합니다. 이러한 불일치에도 불구하고 두 변동성 간의 관계는 여전히 투자 목적으로 활용되지만 강사는 이 관계에 대한 순전히 투기적인 의존에 대해 주의를 기울입니다. 그런 다음 강의는 옵션의 시장 가격 및 기타 사양이 주어진 Black-Scholes 방정식을 사용하여 내재 변동성을 계산하는 방법을 설명합니다. 그러나 강사는 결정적인 올바른 값이 없기 때문에 내재 변동성의 개념에는 본질적으로 결함이 있으며 사용된 모델은 옵션 가격의 진정한 표현이 아니라 근사치라는 점을 인정합니다.
강사는 반복적 접근 방식인 Newton-Raphson 방법을 사용하여 내재 변동성을 찾는 과정을 설명합니다. 이 방법은 암시적 변동성인 시그마를 해결하기 위해 Black-Scholes 방정식과 시장 가격을 기반으로 함수를 설정하는 것과 관련됩니다. 강사는 Black-Scholes 내재 변동성이 시장 내재 변동성과 일치하는 함수를 찾는 목적으로 정확한 솔루션과 반복 사이의 차이를 계산하기 위해 Taylor 급수 확장의 사용을 강조합니다. 내재 변동성을 밀리초 단위로 빠르게 계산하는 능력은 시장 조성자가 차익 거래 기회를 식별하고 수익을 창출하는 데 매우 중요합니다.
Newton-Raphson 방법을 사용하여 내재 변동성을 계산하는 반복 프로세스의 개념을 소개합니다. 이 프로세스는 함수 g가 0에 접근할 때까지 여러 번 반복되며 각각의 새 단계는 이전 단계를 기반으로 추정됩니다. 강사는 Newton-Raphson 방법의 수렴에 대한 초기 추측의 중요성을 강조합니다. 극한의 외가격 옵션이나 0에 가까운 옵션은 함수가 평평해져서 수렴을 방해하는 작은 기울기가 발생하므로 문제가 발생할 수 있습니다. 이 문제를 극복하기 위해 실무자는 일반적으로 초기 추측의 그리드를 정의합니다. 이 알고리즘은 접선을 사용하여 함수를 근사화하고 더 빠른 수렴으로 이어지는 기울기가 더 가파른 x 절편을 계산합니다.
또한 강사는 옵션의 내재 변동성을 계산하기 위한 Newton-Raphson 알고리즘의 구현에 대해 설명합니다. 이 알고리즘은 시장 가격, 행사가, 만기까지의 시간, 이자율, 초기 재고량 및 초기 변동성 매개변수를 포함한 입력 매개변수와 함께 Black-Scholes 모델에 의존합니다. 알고리즘의 수렴이 분석되고 오류 임계값이 결정됩니다. 이 코드는 NumPy 및 SciPy 라이브러리를 활용하여 미리 준비된 필요한 메서드 및 정의와 함께 Python을 사용하여 시연됩니다.
이 강의에서는 Vega로 알려진 변동성 매개변수에 대한 콜 가격의 파생물과 옵션 값과 같이 이 계산에 필요한 입력을 강조하면서 내재 변동성 계산에 대해 자세히 설명합니다. 코드의 핵심은 내재 변동성을 계산하는 단계별 프로세스를 포함하며 강사는 관련된 다양한 매개 변수와 그 중요성에 대한 설명을 제공합니다. 강의는 내재 변동성을 계산하는 데 사용되는 반복 프로세스에 대한 간략한 데모로 끝납니다.
연사는 또한 내재 변동성 계산의 오류 주제와 반복 간의 차이에 의해 결정되는 방법에 대해 설명합니다. 출력 차트는 콜 가격, 행사가, 만기 및 기타 매개변수에 대해 얻은 내재 변동성을 보여줍니다. 발표자는 변동성에 대한 다양한 초기 추측에 따라 수렴이 어떻게 달라지는지를 보여주면서 산업 보정에서 이 프로세스의 중요성을 강조합니다. 모델이 성공적으로 수렴되려면 초기 추측이 실제 내재 변동성에 가까워야 합니다. 업계 종사자들은 일반적으로 적절한 수렴이 달성되고 특정 변동성 값이 선택될 때까지 다양한 초기 변동성을 시도합니다.
강의는 내재된 변동성의 해석에 대해 더 깊이 파고듭니다. 내재 변동성은 시장 기대치와 정서에 대한 통찰력을 제공할 수 있습니다. 내재 변동성이 높으면 시장 참가자가 상당한 가격 변동을 예상하고 있으며 이는 기초 자산의 불확실성 또는 인식된 위험을 나타낼 수 있습니다. 반대로 낮은 내재 변동성은 상대적으로 안정적인 가격에 대한 기대를 나타냅니다.
강의는 내재 변동성이 미래 변동성의 척도가 아니라 시장 가격을 반영한다는 점을 강조합니다. 내재 변동성은 수요와 공급 역학, 시장 정서 및 시장 참여자의 위험 선호도와 같은 다양한 요인의 영향을 받습니다. 따라서 다른 시장 지표 및 기본 분석의 맥락에서 내재 변동성을 해석하는 것이 중요합니다.
강사는 또한 암시적 변동성 표면 또는 변동성 미소의 개념을 강조합니다. 내재 변동성 표면은 내재 변동성과 다양한 행사 가격 및 만기 간의 관계를 나타냅니다. 특정 시장 조건에서 외가격 옵션의 내재 변동성은 등가격 옵션보다 높거나 낮을 수 있습니다. 내재 변동성 표면의 이 곡률을 변동성 미소 또는 미소라고 합니다. 강의에서는 변동성 스마일이 시장 참가자들이 큰 하락 위험이나 예상치 못한 긍정적인 이벤트와 같은 극단적인 가격 변동 가능성에 대한 인식을 나타낸다고 설명합니다.
또한 강의는 내재 변동성 기간 구조의 개념을 다룹니다. 내재 변동성 기간 구조는 특정 옵션에 대한 내재 변동성과 다양한 만기 간의 관계를 나타냅니다. 강사는 내재 변동성 기간 구조가 상향 경사(콘탱고), 하향 경사(백워데이션) 또는 평평한 곡선과 같은 다양한 모양을 나타낼 수 있다고 설명합니다. 이러한 기간 구조는 다양한 기간 동안의 미래 변동성에 대한 시장 기대치에 대한 통찰력을 제공할 수 있습니다.
또한 강의는 내재 변동성과 관련된 한계와 과제에 대해 자세히 설명합니다. 내재 변동성은 옵션 가격에서 파생되며 금리, 배당 수익률, 효율적 시장 가설 등 다양한 요인과 가정에 의해 영향을 받는다는 점을 강조합니다. 따라서 내재 변동성이 항상 실제 근본적인 변동성을 정확하게 반영하는 것은 아닙니다.
또한 강의에서는 역사적 변동성의 개념과 내재 변동성과의 비교에 대해 논의합니다. 과거 변동성은 기초 자산의 과거 가격 움직임을 기반으로 계산되며 내재 변동성은 옵션 가격에서 파생됩니다. 강사는 역사적 변동성은 후향적이며 미래 시장 기대치를 완전히 포착하지 못할 수 있는 반면 내재 변동성은 옵션 가격에 포함된 미래 지향적 정보를 통합한다는 점에 주목합니다.
마지막으로 강의의 핵심 내용을 요약하는 것으로 강의를 마칩니다. 내재 변동성, 계산 방법, 옵션 가격 책정 및 시장 기대치의 맥락에서의 해석을 이해하는 것의 중요성을 강조합니다. 강사는 금융 시장 및 투자 의사 결정에서의 중요성을 고려할 때 이 분야에 대한 추가 탐색 및 연구를 권장합니다.
00:00:00 강의의 이 섹션에서 교수는 옵션 가격 책정 및 모델링 변동성에 대해 지금까지 배운 내용을 요약하는 것으로 시작합니다. 그는 내재변동성의 개념과 그것이 시장에서 어떻게 계산되는지, 그리고 불확실성 측정에서의 중요성에 대해 설명합니다. 내재 변동성 계산 알고리즘에 대해서도 설명합니다. 또한 Black-Scholes 모델의 한계와 효율성은 시간 종속 변동성 매개변수 도입 및 내재 변동성 표면 생성과 같은 모델의 확장과 함께 다룹니다. 마지막으로 Black-Scholes 모델의 단점과 지역 변동성 및 확률적 변동성과 같은 대체 모델이 언급됩니다. 강의는 불확정 클레임 가격 책정에 사용할 수 있는 모델을 지정해야 할 필요성과 가격 책정 PDE에 도달하기 위한 옵션과 주식으로 구성된 헤지 포트폴리오 구성의 중요성을 강조합니다.
00:05:00 이 섹션에서 연사는 편미분 방정식을 풀 때 기대치를 사용하는 방법, 특히 결정론적 이자율의 경우와 손목 중립 측정에서 기대값을 취해야 하는 필요성에 대해 논의합니다. 기대에 사용된 프로세스는 살인 Q 측정값 아래에 있어야 하며 P 측정값에서 할인됩니다. 유럽식 콜 및 풋 옵션의 가격 책정 방정식은 모델 매개변수의 함수인 d1 지점에서 평가된 초기 주식 정상 cdf와 만기까지의 시간에 따른 이자율 지수에 의존하는 것으로 나타났습니다. 수식은 Excel에서 쉽게 구현할 수 있습니다.
00:10:00 이 섹션에서는 스피커가 옵션 가격을 추정하는 데 사용되는 Black-Scholes 모델에 필요한 매개변수를 설명합니다. 이러한 매개변수에는 만기까지의 시간, 파업, 이자율, 현재 주식 가치 및 시장 가격을 사용하여 추정해야 하는 변동성 매개변수 시그마가 포함됩니다. 발표자는 옵션 가격과 변동성 사이에는 일대일 대응이 있으며 변동성의 증가는 옵션 가격의 증가를 의미하며 그 반대의 경우도 마찬가지라고 강조합니다. 이어서 Black-Scholes 모델에서 중요한 요소인 중간 가격을 기준으로 계산되는 내재 변동성에 대해 설명합니다.
00:15:00 이 섹션에서 강사는 매개변수가 많은 모델에서 내재 변동성을 얻는 방법에 대해 설명합니다. 그는 선택한 모델에 관계없이 항상 블랙숄즈 모델을 통과해야 한다고 지적합니다. 그러나 블랙숄즈 모델은 행사가마다 이식 변동성이 다르기 때문에 모든 옵션의 가격을 동시에 책정하는 데 사용할 수 없습니다. 강사는 또한 옵션의 만기가 길수록 내재 변동성이 높아져 불확실성이 커진다고 지적합니다. 마지막으로 시장 데이터와 100주에 대한 표준 콜옵션으로부터 임플란트 변동성을 계산하는 방법에 대한 예제를 제공합니다.
00:20:00 이 섹션에서 강사는 내재 변동성의 개념에 대해 설명합니다. 그는 Black-Scholes 방정식을 사용하여 변동성을 추정하기 위해 옵션에 대한 과거 데이터를 사용하는 것으로 시작합니다. 그런 다음 그는 이것이 옵션에 대한 특정 가격을 제공하지만 시장이 미래 지향적이라는 사실로 인해 시장이 다르게 가격을 책정할 수 있는 반면 역사적 추정은 후향적이라는 점에 주목합니다. 그는 사람들이 여전히 투자 목적으로 두 변동성 사이의 관계를 사용한다고 설명하지만 이것이 순전히 투기적인 것에 대해 경고합니다. 마지막으로 그는 Black-Scholes 방정식을 사용하여 주어진 시장 가격 및 기타 사양에서 옵션의 내재 변동성을 계산하는 방법을 설명합니다. 그러나 정확한 숫자를 알 수 있는 방법이 없고 사용된 모델이 옵션 가격 책정에 대한 실제 모델이 아니기 때문에 내재 변동성의 개념에는 본질적으로 결함이 있다고 그는 지적합니다.
00:25:00 이 섹션에서는 강사가 Newton-Raphson의 접근 방식을 사용하여 옵션 가격 책정 모델의 역수를 계산하여 내재 변동성을 찾는 과정을 설명합니다. 여기에는 내재 변동성인 시그마를 찾기 위해 Black-Scholes 방정식과 시장 가격에 대한 함수를 설정하는 작업이 포함됩니다. 이를 위해 Black-Scholes 내재 변동성이 시장 내재 변동성과 동일한 함수를 찾는 것을 목표로 Taylor 시리즈 확장을 사용하여 정확한 솔루션과 반복 사이의 차이를 계산합니다. 시장 조성자는 차익 거래 기회를 식별하고 수익을 내기 위해 밀리초 단위의 빠른 내재 변동성 계산에 의존합니다.
00:30:00 이 섹션에서는 Newton-Raphson 방법을 사용하여 내재 변동성을 계산하는 반복 프로세스의 개념을 소개합니다. 이 프로세스에는 함수 g가 0에 충분히 가까워질 때까지 반복 계산이 포함되며, 각 새 단계는 이전 단계에서 추정됩니다. 그러나 초기 추측은 Newton-Raphson 방법의 수렴에 중요한 요소입니다. 옵션 값이 너무 외가격이거나 0에 너무 가까우면 함수가 매우 평평해지고 그래디언트가 너무 작아 수렴할 수 없습니다. 사람들은 일반적으로 초기 추측의 문제를 극복하기 위해 초기 추측에 대한 그리드를 정의합니다. 이 알고리즘은 접선으로 함수를 근사화하고 표준 선에서 x 절편을 계산하며 기울기가 급격할수록 수렴 속도가 빨라집니다.
00:35:00 강의의 이 섹션에서 연사는 옵션의 내재 변동성을 계산하기 위한 Newton-Raphson 알고리즘의 구현을 설명합니다. 최적화할 함수는 Black-Scholes 모델이며 입력 매개변수는 시장 가격, 행사가, 만기까지의 시간, 이자율, 초기 재고량 및 초기 변동성 매개변수입니다. 알고리즘은 대상 함수와 Vega로 알려진 1차 도함수라는 두 가지 평가에 의존합니다. 알고리즘의 수렴을 분석하고 오류 계층을 도출합니다. 이 코드는 필요한 메서드와 정의가 사전에 준비된 Python으로 구현되며 NumPy 및 SciPy 라이브러리에 의존합니다.
00:40:00 이 섹션에서 강사는 내재 변동성을 계산하는 과정을 설명합니다. 이 계산에 필요한 입력에는 옵션 값과 변동성 매개변수에 대한 콜 가격의 미분이 포함됩니다. 변동성 매개변수에 대한 옵션 값의 민감도인 Vega 매개변수도 논의됩니다. 코드의 핵심은 내재 변동성 계산과 관련이 있으며 강사는 프로세스를 단계별로 안내합니다. 또한 계산과 그 중요성에 관련된 다양한 매개변수를 설명합니다. 강의는 내재 변동성을 계산하는 데 사용되는 반복 프로세스에 대한 간략한 데모로 끝납니다.
00:45:00 이 섹션에서 연사는 내재 변동성 계산 오류와 반복 간의 차이에 의해 결정되는 방법에 대해 설명합니다. 출력 차트는 콜 가격, 행사가, 만기 및 기타 매개변수에 대해 발견된 내재 변동성을 보여줍니다. 연사는 또한 변동성에 대한 다양한 초기 추측으로 수렴이 어떻게 변하고 이 프로세스가 산업 보정에서 얼마나 중요한지 보여줍니다. 초기 추측은 실제 내재 변동성에 가까워야 합니다. 그렇지 않으면 모델이 수렴되지 않습니다. 업계 종사자들은 모델이 성공하고 변동성이 선택될 때까지 다양한 초기 변동성을 시도합니다.
00:50:00 이 섹션에서 강사는 옵션 가격 계산에서 내재 변동성을 사용하는 방법에 대해 설명합니다. 그들은 문제가 초기 변동성이 0에 가까워 경사 검색을 비효율적으로 만든다는 점에 주목합니다. 강의는 또한 내재 변동성이 시장이 예상하는 형태의 종류를 나타내는 방법과 옵션 가격이 올바른지 계산하는 방법을 조사합니다. 강사는 옵션 가격을 확인하는 동안 항상 스트라이크를 0으로 사용해야 한다고 주장하며 결론을 내립니다.
00:55:00 이 섹션에서는 옵션 가격 모델링의 어려움과 특히 내재 변동성이 더 이상 일정하지 않을 때 하나의 매개변수로 두 개의 내재 변동성을 피팅할 때 Black-Scholes 모델의 유연성이 제한되는 방식에 대해 알아봅니다. 그러나 Black-Scholes 모델은 시장에서 제시된 가격으로 보정할 수 있기 때문에 하나의 특정 행사가로 단일 옵션을 맞추기에 충분할 때 여전히 사용됩니다. 우리는 또한 일련의 행사가에 대한 내재 변동성을 그릴 때 관찰할 수 있는 일반적으로 세 가지 다른 모양이 있으며, 가장 일반적인 형태는 내재 변동성 미소이며 미소의 가장 낮은 지점은 주변 지역에 위치할 수 있습니다. 최저점이지만 반드시 내재 변동성이라는 의미는 아닙니다.
01:00:00 강의의 이 섹션에서는 가장 유동적인 외가격 풋 및 콜에 초점을 두고 옵션 가격과 내재 변동성 사이의 관계에 대해 논의합니다. 강의는 옵션 가격이 외가격으로 이동할수록 어떻게 증가하는지, 그리고 그 결과 시가와 모델 가격의 차이(내재변동성)도 커지는 것을 설명합니다. 이 강의에서는 또한 등가격 옵션에서 멀어질수록 내재 변동성이 약간 증가하는 것을 포함하여 다양한 유형의 내재 변동성 스큐를 다룹니다. 강의는 시간 종속 변동성 매개변수를 사용하여 Black-Scholes 방정식을 개선하는 방법에 대한 토론으로 끝납니다.
01:05:00 이 섹션에서는 시간 종속성이 내재 변동성에 미치는 영향과 이것이 내재 변동성 스마일 생성에 미치는 영향에 대해 설명합니다. 다양한 행사가에 대해 시간에 따른 변동성을 갖는 내재 변동성 스마일을 생성하는 것은 불가능하지만 내재 변동성 기간 구조를 갖는 것은 가능합니다. 여기서 변동성 영향은 옵션 길이에 따라 다릅니다. 이 비디오는 또한 내재 변동성을 계산하고 시간 종속 변동성이 있는 경로를 생성하는 방법과 이것이 Black-Scholes 내재 변동성 방정식에 미치는 영향을 보여줍니다. 비디오는 또한 만기가 다른 두 옵션에 대해 서로 다른 변동성 수준을 맞추는 예를 보여줍니다.
01:10:00 이 섹션에서 연사는 그래프를 사용하여 다양한 행사 및 만기에 따라 내재 변동성이 어떻게 변하는지 설명합니다. 그들은 변동성과 확률적 변동성 모델을 논의하는 데 중요한 요소인 내재 변동성 표면의 개념을 소개합니다. 그런 다음 옵션의 만기와 변동성 사이의 관계에 대해 논의하며, 만기가 짧은 옵션은 자금 수준에 더 집중적으로 분포하는 반면, 만기가 긴 옵션은 시간이 지남에 따라 분산되고 스마일 효과가 덜 두드러진다고 설명합니다. 마지막으로 그들은 만기가 길수록 옵션의 분포가 훨씬 더 넓어져 더 많은 불확실성을 의미한다고 지적합니다.
01:15:00 이 섹션에서는 계약의 만기 및 기타 요인에 따라 달라지는 내재 변동성의 다양한 형태에 대해 설명합니다. Black-Scholes 모델은 그리드의 한 지점으로만 보정할 수 있기 때문에 한계가 있으므로 화폐 수준 외부의 모든 변동성은 평평합니다. Black-Scholes 모델은 더 복잡한 보상이나 계약에 이상적이지는 않지만 파생 상품의 가격 책정, 복제 포트폴리오 구성, 헤징 및 시장 움직임 시뮬레이션에 대한 통찰력을 제공하므로 여전히 중요합니다. 한계에도 불구하고 Black-Scholes 모델은 금융의 기본 모델입니다.
01:20:00 이 섹션에서 화자는 Black-Scholes 모델의 현실적 한계에 대해 이야기합니다. 그는 헤징을 하려면 예금 계좌에 투자하는 것과 동일한 수익률을 제공하기 위해 포트폴리오를 지속적으로 재조정해야 하지만 거래 비용으로 인해 하루에 수백 번 주식을 사고 파는 것은 매우 비쌀 것이기 때문에 비실용적이라고 강조합니다. 결과적으로 헤징은 시장 행동에 따라 훨씬 덜 빈번하게 발생하며 블랙숄즈 모델에서는 거래 비용과 덜 빈번한 헤지가 고려되지 않습니다. 더욱이 금융 시계열에 대한 실증 연구에 따르면 자산 가격의 정규성 가정으로는 헤비 테일을 포착할 수 없다는 사실이 밝혀졌습니다. 이것은 극한 현상에 할당된 확률이 매우 낮다는 것을 의미하며 이는 Black-Scholes 모델의 로그 정규 분포로 잘 포착되지 않습니다.
01:25:00 강의의 이 섹션에서 강사는 변동성 모델을 처리하는 다양한 접근 방식을 설명합니다. 첫 번째 접근 방식은 실제 모델의 단순한 확장인 로컬 변동성 모델에 대해 설명합니다. 지역 변동성 모델의 함수를 지역 변동성 함수라고 하며 시장 데이터를 사용하여 구성됩니다. 다음 강의에서 논의할 두 번째 접근 방식은 스마일 및 스큐 효과 생성을 가능하게 하는 점프 모델입니다. 세 번째 접근법은 변동성을 유도하기 위해 확률적 미분 방정식을 활용하는 로컬 변동성의 고급 확장인 확률적 변동성을 포함합니다.
Computational Finance Lecture 4- Implied Volatility▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬This course is based on the book:"Mathematical Modeling and Computa...
확산 모델에서 점프-확산 모델로의 전환, 스톡 프로세스에 점프를 통합하여 블랙-숄즈 모델을 향상시키는 방법을 모색하는 강의가 진행됩니다. 강사는 스톡 프로세스에 포함된 점프를 설명하고 점프의 정의를 제공하는 것으로 시작합니다. 그런 다음 그들은 모델이 q 측정값 아래에 있도록 보장하면서 주식에 대한 확률적 프로세스에서 점프를 처리해야 할 필요성을 강조하면서 Python에서 점프 프로세스의 간단한 구현을 보여줍니다.
또한 강의에서는 가격 급등 도입의 의미와 그것이 가격 PDE(부분 미분 방정식)에 미치는 영향에 대해 추가 적분 항을 소개합니다. 논의는 내재 변동성 모양에 대한 다양한 점프 분포의 영향과 기대 반복 기대, 기대의 타워 속성, 복잡한 기대를 처리할 때 점프 프로세스의 특성 함수와 같은 개념의 활용으로 확장됩니다.
강사는 가격 옵션 및 보정 모델에서 점프 프로세스의 실용성을 강조하고, 현실감과 무거운 꼬리를 수용할 수 있는 능력을 강조하고 잠금 및 회전 밀도의 첨도 및 비대칭을 제어합니다. 점프 프로세스를 통합하면 암시적 변동성 스마일 또는 암시적 변동성 스큐에 더 잘 맞을 수 있으므로 점프 프로세스가 Black-Scholes 모델에 대한 보다 유리한 대안이 됩니다.
초점을 이동하면서 강의는 브라운 운동과 상관관계가 없는 카운팅 프로세스로 표현되는 점프 프로세스의 개념을 소개합니다. 이러한 프로세스는 포아송 분포를 따르는 초기 0 값과 독립적인 증분을 특징으로 하는 무작위 포아송 프로세스를 사용하여 모델링됩니다. 포아송 프로세스의 속도는 지정된 기간 동안의 평균 점프 수를 결정합니다. 강의는 표기법과 기대치를 사용하여 점프 프로세스에 대해 주어진 간격 내에서 평균 점프 수를 계산하는 방법을 설명합니다.
전산 금융에서 강사는 점프 프로세스의 시뮬레이션에 대해 논의하고 점프 크기가 폭발할 수 없다는 점에 주목하고 이와 관련된 기술적 가정을 설명합니다. 이 프로세스에는 점프 프로세스의 각 증분에 대해 푸아송 분포를 사용하여 독립적인 증분을 시뮬레이션하기 위한 행렬 및 매개변수를 정의하는 작업이 포함됩니다. 강의는 또한 주가 결정을 위한 점프 프로세스의 역학을 확장하기 위해 Ethos 보조 정리에서 포아송 프로세스의 활용을 다룹니다. 컴퓨팅 금융의 맥락에서 강의는 점프 프로세스의 개념을 소개하고 설명합니다. "t-마이너스"라는 용어를 프로세스에서 점프가 발생하기 직전의 시간으로 정의하고 Ethos lemma 및 시간에 대한 미분 계산을 통해 프로세스의 역학을 탐구합니다. 점프 크기와 함수 "g"의 결과 조정 사이의 관계가 논의되며, 확률 프로세스 모델링에서 이러한 개념의 실질적인 관련성을 강조합니다. 강의는 또한 주식 시장 행동을 모델링할 때 점프 프로세스와 확산 프로세스의 독립성을 고려하는 것의 중요성을 강조합니다.
점프와 확산 과정을 모두 포함하는 모델에서 함수 "g"의 동역학을 도출하기 위해 강의는 높은 확산 복잡도의 거동과 Ito의 보조정리의 적용에 중점을 둡니다. Ito의 기본형은 모델 복잡성이 증가하는 상황에서 dxpt 제곱과 같은 교차 항을 처리하는 데 사용됩니다. 드리프트, 확산, 점프를 포함한 모든 요소가 결합되면 Ito의 보조정리를 사용하여 "g"의 동역학을 도출할 수 있습니다. 포아송 과정과 브라운 운동의 차이점을 강조하면서 Ito 테이블의 확장도 다루었습니다. 강의는 점프 및 확산 프로세스를 통합하는 함수 "g"에 대한 동역학을 도출하는 프로세스의 개요를 설명하면서 끝납니다.
앞으로 강의는 Q 측정 하에서 점프 및 브라운 운동으로 주식의 역학을 얻는 과정을 설명합니다. 이 프로세스에는 새로운 변수를 정의하고 동역학을 결정하여 동역학의 기대치가 0이 되도록 보장하는 작업이 포함됩니다. 점프 구성 요소는 다른 모든 프로세스와 독립적인 것으로 가정하므로 드리프트, 변동성 및 J 빼기 1의 기대치를 포함하는 표현이 생성됩니다. 그런 다음 이 표현은 Q 측정에 대한 방정식으로 대체되어 저축 계좌에 대한 ST의 역학이 마틴게일임을 보장합니다.
강사는 확산과 점프의 두 가지 구성 요소가 있는 모델의 경로를 설명하는 예를 제공하면서 확산과 점프를 모두 사용하여 모델을 파생시키는 방법에 대해 계속 논의합니다. 확산 부분은 연속적인 동작을 나타내는 반면 점프 요소는 불연속성을 도입하여 특정 주식에서 관찰되는 점프 패턴을 나타낼 수 있습니다. 강사는 주식 및 이자율에 대한 초기 값과 함께 점프에 대한 매개변수와 브라운 운동에 대한 변동성 매개변수도 다룹니다. 이해를 더욱 높이기 위해 강사는 시뮬레이션을 프로그래밍하고 결과 경로를 플로팅하는 방법을 시연합니다.
그런 다음 강의는 로그 정규 분포의 기대값으로 분석적으로 계산되는 j의 거듭제곱에 대한 e의 기대값을 설명하는 것으로 이동합니다. z는 정규 분포의 증분을 나타내고 j는 점프 크기를 나타내는 c x pi x dt로 구동되는 포아송 증분의 시뮬레이션이 수행됩니다. 점프 확산 과정의 역학은 편미분 방정식과 적분 미분 방정식을 모두 포함하며 적분 부분은 점프 크기의 예상을 나타냅니다. 가격산정식은 포트폴리오 구성이나 특성함수접근법을 통해 도출할 수 있으며 매개변수는 시장의 옵션가격을 이용하여 보정할 필요가 있다.
포트폴리오 구성의 맥락에서 강의는 기초 주식이 있는 매도 옵션과 헤지로 구성되는 포트폴리오를 구성하는 과정을 설명합니다. 포트폴리오의 역학이 저축 계좌와 같은 비율로 증가하도록 함으로써 가격 책정 미분 방정식을 도출할 수 있습니다. 원하는 역학 관계를 달성하려면 저금통으로 나눈 주식이 마팅게일이어야 합니다. 그런 다음 강의에서는 mu에 대한 조건을 도출하여 동역학이 확립되면 v의 동역학이 도출될 수 있음을 보여줍니다. 그런 다음 이 정보는 기대치를 계산하고 v의 역학을 도출하는 데 사용됩니다.
강사는 시간에 대한 1차 도함수에 대한 방정식을 더 탐구합니다. 이 방정식은 x에 대해서도 1차이고 점프가 있는 시간 t에서의 계약 값에 대한 기대치를 포함합니다. 이것은 기대치의 존재로 인해 적분 항으로 이어지며, 그 결과 순수 PDE보다 해결하기 더 어려운 부분 적분 미분 방정식(PID)이 생성됩니다. 해결책은 예상 값에 대한 분석적 표현을 찾는 것과 관련되며, 이는 때때로 무한 급수로 표현될 수 있습니다. 수렴 개선을 위한 경계 조건의 중요성과 PID를 로그 변환으로 변환하는 방법에 대해서도 설명합니다.
점프 과정에 대한 논의를 이어가며 강의는 디럭스 옵션에서 PID와 PID의 경우 점프 과정의 변형에 초점을 맞춥니다. 강의는 점프 크기를 지정하기 위한 두 가지 일반적인 접근 방식, 즉 고전적인 상인 모델과 비대칭 이중 지수를 제시합니다. 시그마 j와 mu j를 추가하면 모델의 보정이 더 복잡해지지만 실용성과 업계 수용성은 매개변수가 적은 모델을 선호하는 경우가 많습니다. 강의는 또한 점프 프로세스의 역학이 더욱 복잡해짐에 따라 수렴을 달성하는 것이 어려워지고 푸리에 공간 또는 매개변수 보정을 위한 분석 솔루션과 같은 고급 기술이 필요하다는 점을 인정합니다.
강의는 점프 확산 과정을 위해 Monte Carlo 시뮬레이션을 사용하여 가격 책정 과정을 설명합니다. 가격 책정에는 현재 가치를 할인하여 미래 보상에 대한 기대치를 계산하는 것이 포함됩니다. PID 및 Monte Carlo 시뮬레이션과 같은 방법은 시뮬레이션의 계산 복잡성 측면에서 잘 수행되지만 점프가 도입될 때 매개변수 수가 크게 증가하기 때문에 가격 책정 및 모델 보정에는 적합하지 않을 수 있습니다. 강의는 또한 점프 및 강도 매개변수의 분포와 내재 변동성 스마일 및 스큐에 미치는 영향을 해석하는 방법에 대해 자세히 설명합니다. 점프 및 스큐에 대한 결과 효과를 관찰하기 위해 다른 매개변수는 고정된 상태로 유지하면서 매개변수를 변경하는 시뮬레이션 실험이 수행됩니다.
함축된 변동성 스마일과 레벨의 형태에 대한 변동성과 점프 강도의 영향을 분석하기 위해 강사는 이들의 관계에 대해 논의합니다. 점프의 변동성을 높이면 변동성이 높아지는 반면, 점프의 강도는 함축된 변동성 미소의 수준과 모양에도 영향을 줍니다. 이 정보는 옵션 가격의 행동을 이해하고 모델을 실제 시장 데이터로 보정하는 데 중요합니다.
그런 다음 강의에서는 Tower Property의 개념과 금융 문제를 단순화하는 데 적용하는 방법을 소개합니다. 다른 프로세스의 기대치나 가격을 계산하기 위해 한 프로세스의 경로를 조건화함으로써 확률적 미분 방정식에서 여러 차원의 문제를 단순화할 수 있습니다. Tower Property는 점프 적분을 다룰 때 종종 합계가 되는 변동성 매개변수 및 회계 프로세스가 있는 Black-Scholes 방정식의 문제에도 적용할 수 있습니다. 강사는 이러한 애플리케이션의 매개변수에 대한 가정이 필요함을 강조합니다.
다음으로 강사는 전산 금융에서 가격 방정식을 풀기 위한 푸리에 기법의 사용에 대해 논의합니다. 푸리에 기법은 일부 특수한 경우에 대한 분석 형식에서 찾을 수 있는 특성 함수에 의존합니다. 강사는 Merton의 모델을 사용하여 예를 살펴보고 이 방정식의 특성 함수를 찾는 방법을 설명합니다. 독립적인 부분을 포함하는 기대 조건을 분리함으로써 강사는 특성 함수를 결정할 수 있도록 기대 측면에서 요약을 표현하는 방법을 보여줍니다. 푸리에 기법 사용의 이점은 모델 보정 및 실시간 평가에 중요한 빠른 가격 계산을 가능하게 하는 기능입니다.
다음으로 강사는 전산 금융에서 가격 방정식을 풀기 위한 푸리에 기법의 사용에 대해 논의합니다. 푸리에 기법은 일부 특수한 경우에 대한 분석 형식에서 찾을 수 있는 특성 함수에 의존합니다. 강사는 Merton의 모델을 사용하여 예를 살펴보고 이 방정식의 특성 함수를 찾는 방법을 설명합니다. 독립적인 부분을 포함하는 기대 조건을 분리함으로써 강사는 특성 함수를 결정할 수 있도록 기대 측면에서 요약을 표현하는 방법을 보여줍니다. 푸리에 기법 사용의 이점은 모델 보정 및 실시간 평가에 중요한 빠른 가격 계산을 가능하게 하는 기능입니다.
강의 전반에 걸쳐 강사는 전산 재무 모델에서 점프 프로세스를 이해하고 통합하는 것이 중요함을 강조합니다. 점프를 포함함으로써 모델은 실제 주식 가격의 행동을 더 잘 포착하고 더 정확한 가격 책정 및 보정 결과를 제공할 수 있습니다. 강의는 또한 적분 미분 방정식을 푸는 복잡성과 주의 깊은 매개변수 보정의 필요성과 같은 점프 프로세스와 관련된 문제를 강조합니다. 그러나 적절한 기술과 방법론을 사용하면 점프 프로세스는 전산 재무 모델의 정확성과 현실성을 크게 향상시킬 수 있습니다.
00:00:00 이 섹션에서 강사는 스톡 프로세스에 점프를 포함하고 확산 모델에서 점프 확산 모델로 이동하여 블랙 숄즈 모델을 개선하는 방법을 설명합니다. 토론은 스톡 프로세스에 점프를 포함하는 방법과 점프의 정의로 시작됩니다. 강사는 또한 Python에서 점프 프로세스의 간단한 구현을 수행하는 방법과 주식에 대한 확률적 프로세스에서 점프를 처리하여 모델이 여전히 q 측정값 아래에 있는지 확인하는 방법을 보여줍니다. 가격 책정에 점프를 포함하면 가격 책정 pde에 표시될 추가 필수 조건이 도입됩니다. 강의는 또한 다양한 내재 변동성 모양에 대한 다양한 점프 분포의 영향과 기대 반복 기대, 기대의 타워 속성 및 복잡한 기대를 다룰 때 점프 프로세스의 특성 함수를 사용하는 방법에 대해 논의합니다. 마지막으로 다중 매개변수를 갖는 점프 확산 모델의 보정을 위해 특성 함수를 반전하기 위해 푸리에 변환을 사용하는 방법을 강의합니다.
00:05:00 이 섹션에서 강사는 모델을 점프로 확장하는 방법에 대해 설명합니다. KLM과 같은 주식의 거동은 점프 패턴을 나타내기 때문에 기하학적 브라운 운동으로 설명할 수 없습니다. 이러한 급등은 시장에서 관찰되며 예상치 못한 시장 이벤트 또는 배당금 지급으로 인한 것일 수 있지만 종종 정치적 갈등 또는 상품 배송 문제와 같은 요인과 관련이 있습니다. 주식의 행동과 옵션 가격에 대한 다중 행사가를 더 잘 맞추려면 이러한 점프 현상을 포함하는 프로세스가 필요합니다. 그러한 프로세스 중 하나는 일부 주식에서 나타나는 점프 패턴을 설명할 수 있는 브라운 운동과 점프 부분을 포함하는 점프 확산이 있는 Lévy 기반 모델입니다.
00:10:00 이 섹션에서 강사는 가격 옵션 및 보정 모델에서 점프 프로세스의 유용성에 대해 논의합니다. 그는 가격 옵션에서 점프가 얼마나 현실적인지, 그리고 무거운 꼬리를 포함하면서 더 나은 보정을 허용하는 방법을 설명합니다. 또한 점프 프로세스는 잠금 및 회전 밀도의 첨도 및 비대칭을 제어하는 데 도움이 될 수 있습니다. 점프를 포함하는 프로세스를 구축함으로써 그는 내재 변동성 미소 또는 내재 변동성 스큐에 더 잘 맞출 수 있는 방법을 보여줍니다. 전반적으로 점프 프로세스는 Black-Scholes 모델에 대한 우수한 대안입니다.
00:15:00 이 섹션에서는 계산 프로세스로 표시되는 점프 프로세스인 전산 금융의 두 번째 확률 프로세스를 소개합니다. 점프 과정은 브라운 운동과 상관관계가 없으며 무작위 포아송 과정으로 모델링됩니다. 푸아송 프로세스는 처음에 0 값을 가지며 푸아송 분포에 의해 주어진 확률로 독립적인 증분을 갖습니다. 포아송 프로세스의 속도는 지정된 시간 동안 점프의 평균 양을 나타냅니다. 작은 시간 간격 동안 점프가 발생할 확률은 포아송 과정과 작은 o dt를 사용하여 계산됩니다. 제로 점프가 발생할 확률도 논의됩니다.
00:20:00 이 섹션에서 강사는 점프 프로세스에 대해 주어진 간격에서 평균 점프 수를 계산하는 방법을 설명합니다. 계산에는 dxp의 짧은 표기법을 사용하여 점 s + dt 및 x-ps에서의 점프 수 간의 차이를 대체하는 것이 포함됩니다. 사건의 기대치는 사건의 확률에 기대값을 곱하여 계산합니다. 또한 보상 포아송 프로세스의 정의가 도입되어 프로세스의 기대값이 0입니다. 마지막으로 강의에서는 일반적으로 임의 변수의 점프 크기와 프로세스 사이에 상관관계가 없기 때문에 점프의 크기를 평가하고 점프가 언제 발생했는지 정의하기가 어렵다고 언급합니다.
00:25:00 이 섹션에서 강사는 전산 금융의 점프 프로세스에 대해 설명합니다. 점프 크기는 폭발할 수 없으며 이에 대한 기술적 가정이 있습니다. 프로세스의 경로 및 실현을 시뮬레이션하려면 점프 프로세스의 각 증분에 대해 독립적인 증분을 시뮬레이션하는 데 사용되는 푸아송 분포에 대한 행렬 및 매개변수 정의가 포함됩니다. 강의는 또한 Ethos 보조정리에서 Poisson 프로세스를 사용하여 주가 결정을 위한 동역학을 확장하는 방법을 다룹니다.
00:30:00 이 섹션에서는 전산 금융의 맥락에서 점프 프로세스의 개념을 소개하고 설명합니다. "t-마이너스"라는 용어는 프로세스에서 점프가 발생하기 직전의 시간으로 정의되며, ethos lemma 및 시간에 대한 미분 계산을 통해 프로세스의 역학을 탐색합니다. 점프의 크기와 그에 따른 함수 g의 조정 사이의 관계가 논의되고 확률적 프로세스 모델링에서 이러한 개념의 실질적인 관련성이 강조됩니다. 또한 주식 시장 행동을 모델링할 때 점프 프로세스와 확산 프로세스의 독립성을 고려하는 것의 중요성이 강조됩니다.
00:35:00 강의의 이 섹션에서는 점프 및 확산 프로세스가 모두 있는 모델에서 함수 g의 동역학을 유도하는 데 중점을 둡니다. 연사는 높은 확산으로 인해 모델의 복잡성이 증가하면 솔루션 도출이 훨씬 더 어려워질 수 있다고 설명하면서 시작합니다. 그런 다음 화자는 특히 dxpt 제곱과 같은 교차 용어를 다룰 때 이 문맥에서 어떻게 적용되는지 논의하기 위해 Ito의 보조정리를 소개합니다. 그런 다음 화자는 모든 요소(드리프트, 확산 및 점프)가 결합되면 Ito의 기본형을 사용하여 g의 역학을 도출할 수 있다고 설명합니다. 포아송 과정과 브라운 운동의 차이가 분명해진다고 설명하면서 Ito 테이블의 확장도 언급됩니다. 마지막으로 발표자는 점프 및 확산 프로세스를 통합하는 함수 g에 대한 역학을 도출하는 프로세스를 설명합니다.
00:40:00 이 섹션에서 발표자는 Q 측정 하에서 점프 및 브라운 운동으로 주식의 역학에 도달하는 과정을 설명합니다. 이 프로세스에는 새 변수를 정의하고 역학을 결정하고 역학의 기대치가 0이 되도록 보장하는 작업이 포함됩니다. 점프 구성 요소는 다른 모든 프로세스와 독립적인 것으로 가정되며 결과 식에는 J 빼기 1의 기대치와 함께 드리프트 및 변동성에 대한 용어가 포함됩니다. 마지막 단계는 이 프로세스를 Q 측정에 대한 방정식으로 대체하고 저축 계정에 대한 ST의 역학이 마팅게일임을 확인하는 것입니다.
00:45:00 강의의 이 섹션에서 강사는 확산 및 점프가 있는 모델을 파생시키는 방법을 설명하고 확산 구성 요소와 점프의 두 구성 요소가 있는 모델의 경로가 어떻게 생겼는지에 대한 예를 제공합니다. 프로세스에는 연속적으로 동작하는 확산 부분과 불연속적으로 만드는 점프 요소가 있습니다. 강사는 주식 및 이자율에 대한 초기 값뿐만 아니라 점프에 대한 매개변수와 브라운 운동에 대한 변동성 매개변수에 대해서도 설명합니다. 마지막으로 강사는 시뮬레이션을 프로그래밍하고 경로를 그리는 방법을 보여줍니다.
00:50:00 전산 금융 강의의 이 섹션에서 화자는 로그 정규 분포의 기대값으로 분석적으로 계산되는 j의 거듭제곱에 대한 e의 기대값을 설명합니다. 그런 다음 z는 정규 분포의 증분으로, j는 점프 크기로 사용하여 cpi 곱하기 dt로 구동되는 푸아송 증분을 시뮬레이션합니다. 점프 확산 과정의 역학은 편미분 방정식과 적분 미분 방정식을 모두 포함하며 적분 부분은 점프 크기의 예상을 나타냅니다. 가격 책정 등식은 포트폴리오 구성 또는 특성 함수 접근 방식을 통해 도출할 수 있으며 매개 변수는 시장의 옵션 가격을 사용하여 보정해야 합니다.
00:55:00 이 섹션에서는 매도된 옵션과 기초 주식이 있는 헤지를 구성하는 포트폴리오를 구성하는 과정을 설명합니다. 포트폴리오의 역학이 저축 계좌와 동일한 비율로 증가하도록 함으로써 가격 책정 미분 방정식을 도출할 수 있습니다. 주식과 위험정보의 역학관계를 이루기 위해서는 주식을 적금통장으로 나눈 것이 마팅게일이 되어야 한다고 설명한다. 그런 다음 강의에서는 mu에 대한 조건을 도출하여 동역학이 확립되면 v의 동역학을 도출할 수 있음을 보여줍니다. 그런 다음 이 정보는 기대치를 계산하고 v의 역학을 도출하는 데 사용됩니다.
01:00:00 이 섹션에서 발표자는 시간에 대한 1차 도함수, 즉 x에 대한 1차 도함수 방정식에 대해 논의하고 시간 t에서의 계약 가치에 대한 기대치를 포함합니다. 도약. 이것은 적분항을 포함하기 때문에 부분적분미분방정식(PID)이 되는 기대의 존재로 인해 적분항으로 이어집니다. 발표자는 이 때문에 PID가 PDE보다 해결하기 더 어려울 수 있다고 설명합니다. 해결책은 예상 값에 대한 분석적 표현을 찾는 것과 관련되며, 이는 때때로 무한 급수로 표현될 수 있습니다. 발표자는 경계 조건의 중요성과 더 나은 수렴을 위해 PID를 로그 변환으로 변환하는 방법에 대해서도 설명합니다.
01:05:00 이 섹션에서 발표자는 디럭스 옵션에서 pid 및 pid의 경우 점프 프로세스의 변환에 대해 설명합니다. 발표자는 점프 크기 j의 사양은 사용자에게 달려 있지만 두 가지 일반적인 접근 방식인 고전 상인 모델과 비대칭 이중 지수를 설명합니다. 시그마 j와 mu j를 추가하면 모델의 보정이 더 복잡해지지만 일반적으로 매개변수가 더 적으면 업계에서 더 실용적이고 받아들일 수 있습니다. 발표자는 점프 프로세스의 역학이 너무 복잡하면 수렴을 달성하는 것이 문제가 되며 이러한 매개변수를 보정하기 위해 푸리에 공간 또는 분석 솔루션과 같은 고급 기술이 필요하다고 지적합니다.
01:10:00 이 섹션에서 발표자는 현재 가치를 할인하여 미래 수익에 대한 기대치를 계산하는 점프 확산 프로세스에 Monte Carlo 시뮬레이션을 사용하여 가격 책정을 수행하는 방법에 대해 설명합니다. PID 및 Monte Carlo와 같은 방법은 시뮬레이션의 계산 복잡성 측면에서 잘 수행되지만 점프를 도입하면 매개변수 수가 크게 증가하므로 가격 책정 및 모델 보정에는 적합하지 않을 수 있습니다. 연사는 또한 점프 및 강도 매개변수의 분포를 해석하는 방법과 내재 변동성 스마일 및 스큐에 대한 영향을 설명합니다. 또한 스피커는 점프 및 스큐 효과의 변화를 관찰하기 위해 다른 매개변수를 고정한 상태에서 매개변수를 변경하는 시뮬레이션 실험을 수행합니다.
01:15:00 이 섹션에서 강사는 묵시적 변동성 미소와 수준의 모양에 대한 변동성과 점프 강도의 영향에 대해 논의합니다. 점프의 변동성을 높이면 변동성이 높아지는 반면, 점프의 강도는 함축된 변동성 미소의 수준과 모양에도 영향을 미칩니다. 그런 다음 강의는 기대에 대한 타워 속성과 점프 및 적분을 처리하는 데 사용할 수 있는 방법에 대해 논의합니다. 기대에 대한 타워 속성은 기대 표현을 단순화하고 쉽게 처리할 수 있도록 하여 점프와 관련된 기대를 계산하는 데 유용한 도구가 됩니다.
01:20:00 이 섹션에서 강사는 Tower Property에 대해 논의하고 재무 문제를 단순화하기 위해 이를 적용합니다. 다른 프로세스의 기대치나 가격을 계산하기 위해 한 프로세스의 경로를 조건화함으로써 확률적 미분 방정식에서 여러 차원의 문제를 단순화할 수 있습니다. Tower Property는 점프 적분을 다룰 때 종종 합계가 되는 변동성 매개변수 및 회계 프로세스가 있는 Black-Scholes 방정식의 문제에도 적용할 수 있습니다. 강사는 이러한 애플리케이션의 매개변수에 대해 가정해야 한다고 강조합니다.
01:25:00 이 섹션에서 강사는 전산 금융에서 가격 방정식을 풀기 위한 푸리에 기법의 사용에 대해 논의합니다. 푸리에 기법은 일부 특수한 경우에 대한 분석 형식에서 찾을 수 있는 특성 함수에 의존합니다. 강사는 Merton의 모델을 사용하여 예를 살펴보고 이 방정식의 특성 함수를 찾는 방법을 설명합니다. 독립적인 부분을 포함하는 기대항을 분리함으로써 강사는 합을 기대치로 표현하는 방법을 보여주어 특성 함수를 찾습니다. 푸리에 기법을 사용할 때의 장점은 모델 보정 및 실시간 평가에 매우 중요한 매우 빠른 가격 계산이 가능하다는 것입니다.
01:30:00 이 섹션에서 강사는 점프 프로세스를 푸리에 변환에 연결하는 공식에 대해 설명합니다. 조건부 기대를 사용하여 강사는 공식을 지수의 기대를 포함하는 특성 함수로 단순화합니다. 새로운 표현은 지수의 정의와 매우 유사합니다. 더 단순화하면 푸리에 기법을 평가하는 데 활용될 특성 함수가 간결하게 표현됩니다.
Computational Finance Lecture 5- Jump Processes▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬This course is based on the book:"Mathematical Modeling and Computation...
강사는 프론트 오피스와 백 오피스의 구별에 초점을 맞춰 금융 기관 내에서 가격 책정 모델 선택에 대한 통찰력을 제공합니다. 프론트 오피스는 거래 활동을 처리하고 거래를 시작한 다음 거래 유지 및 장부 기록을 위해 백 오피스로 전송됩니다. 강사는 가격 책정 모델을 선택할 때 보정, 위험 평가, 가격 정확도 및 계산 효율성을 포함한 다양한 요소를 고려할 필요성을 강조합니다. 또한 효율적인 가격 책정 평가를 가능하게 하는 모델 클래스로 특성 함수 및 아핀 점프 확산 프로세스의 개념을 도입합니다. 이러한 모델은 빠른 가격 계산이 가능하므로 실시간 거래에 적합합니다. 강의는 또한 통화 함수 도출, 점프 통합을 통한 프레임워크 확장, 금융 기관의 가격 책정 및 모델링 워크플로우와 같은 주제에 대해 자세히 설명합니다.
점프 프로세스를 이해하는 것의 중요성과 가격 책정 정확도에 미치는 영향은 강의 전반에 걸쳐 적분 미분 방정식을 풀고 모델 매개변수를 보정하는 것과 관련된 문제와 함께 강조됩니다. 적절한 기법과 방법론을 활용함으로써 전산 금융 모델을 개선하여 실제 주가 행동을 더 잘 반영하고 가격 책정 및 조정 결과를 개선할 수 있습니다.
또한 연사는 특히 고객을 위한 금융 상품을 설계하고 가격을 책정하는 금융 기관의 프론트 오피스의 역할을 강조합니다. 프론트 오피스는 이러한 제품에 대한 적절한 가격 책정 모델을 선택하고 거래가 올바르게 예약되도록 할 책임이 있습니다. 백오피스와의 협업은 선택한 모델을 검증하고 구현하여 기관의 위험 및 거래에 대한 적합성을 보장하는 데 중요합니다. 프런트 오피스의 주요 목표는 고객에게 경쟁력 있는 가격을 제공하고 허용 가능한 한도 내에서 위험을 관리하는 동시에 안정적인 수익 흐름을 보장하는 것 사이에서 균형을 맞추는 것입니다.
연사는 금융 상품의 사양과 기본 위험 요소를 포착하기 위한 확률적 미분 방정식 공식화로 시작하여 성공적인 가격 책정과 관련된 필수 단계를 설명합니다. 이러한 위험 요소는 가격 책정 모델과 후속 가격 계산을 결정하는 데 중요한 역할을 합니다. 이러한 위험 요소의 적절한 사양 및 모델링은 정확한 가격 책정 및 위험 관리에 매우 중요합니다.
강의 중에는 몬테카를로 시뮬레이션과 같은 수치 기법뿐만 아니라 정확한 솔루션과 준정확 솔루션을 포함한 다양한 가격 책정 방법이 논의됩니다. 발표자는 가격 책정 모델의 매개변수가 시장 관찰과 일치하도록 조정되는 모델 보정의 중요성을 강조합니다. 모델 보정을 위한 더 빠른 대안으로 푸리에 기술이 도입되어 모델 매개변수를 효율적으로 계산할 수 있습니다.
이 강의는 또한 전산 금융에서 가격 책정에 대한 두 가지 인기 있는 접근 방식인 Monte Carlo 시뮬레이션과 편미분 방정식(PDE)을 비교합니다. Monte Carlo 시뮬레이션은 고차원 가격 문제에 널리 사용되지만 정확도가 제한되고 샘플링 오류가 발생하기 쉽습니다. 반면에 PDE는 델타, 감마, 베가와 같은 감도를 저렴한 비용으로 계산할 수 있는 기능과 솔루션의 부드러움과 같은 이점을 제공합니다. 연사는 푸리에 기반 방법이 단순한 금융 상품에 대해 보다 빠르고 적합한 가격 책정 방식을 제공하므로 향후 강의에서 다룰 것이라고 언급합니다.
특성 함수의 개념은 알려진 분석 확률 밀도 함수가 있는 모델과 없는 모델 간의 격차를 해소하기 위한 핵심 도구로 도입되었습니다. 특성함수를 이용하여 가격결정 및 위험평가에 필수적인 종목의 확률밀도함수 도출이 가능해진다.
강의 내내 캘리브레이션의 중요성이 강조됩니다. 액체 기기는 보정을 위한 기준으로 사용되며 그 매개변수는 더 복잡한 파생 제품의 가격을 정확하게 책정하는 데 적용됩니다. 강사는 진화하는 시장 상황에 적응하고 신뢰할 수 있는 가격 책정 결과를 달성하기 위해 가격 책정 모델과 기술을 지속적으로 개선하고 개선해야 할 필요성을 강조합니다.
요컨대, 강의는 프론트 오피스의 역할, 모델 조정 및 위험, 효율성 및 정확성에 대한 고려 사항에 중점을 두어 금융 기관에서 가격 결정 모델을 선택하는 프로세스에 대한 통찰력을 제공합니다. 또한 몬테카를로 시뮬레이션, PDE, 푸리에 기반 가격 책정 및 모델 보정과 같은 다양한 기술을 소개합니다. 특성 함수의 개념과 확률 밀도 함수를 도출하는 데 있어 이들의 중요성에 대해 모델 개선 및 실제 조건에 대한 적응의 과제 및 중요성과 함께 논의합니다.
00:00:00 이 섹션에서 강사는 금융 기관의 맥락에서 가격 책정 모델을 선택하는 방법에 대해 설명합니다. 그는 프론트 오피스는 일반적으로 거래 활동과 관련이 있는 반면 백 오피스는 거래 및 부기를 유지하는 데 중점을 둔다고 설명합니다. 고객이 파생상품 구매를 원할 경우 프론트오피스에서 거래가 이루어진 후 백오피스로 이관됩니다. 또한 강사는 가격 책정 모델을 선택할 때 보정, 위험, 가격 책정 및 효율성과 같은 다양한 측면을 고려하는 것의 중요성을 강조합니다. 또한 그는 가격을 빠르고 효율적으로 평가할 수 있는 모델 클래스인 특성 함수 및 아핀 점프 확산 프로세스의 개념을 소개합니다. 또한 블록 모델에 대한 통화 기능을 도출하는 방법과 점프를 추가하여 프레임워크를 확장하는 방법도 강의합니다.
00:05:00 이 섹션에서 발표자는 주로 클라이언트를 위한 금융 상품 설계 및 가격 책정을 다루는 금융 기관 프런트 오피스의 워크플로우에 대해 논의합니다. 프런트 오피스는 제품 가격 책정에 사용할 모델을 결정하고 거래를 예약합니다. 또한 사용된 모델의 검증 및 구현을 위해 백오피스와 조정하여 해당 모델이 기관의 위험 및 거래에 적합한지 확인합니다. 프런트 오피스는 허용 가능한 한도 내에서 위험을 유지하고 지속적으로 흐르는 이익을 유지하면서 고객에게 더 나은 가격을 제공하는 선호도의 균형을 맞추는 것을 목표로 합니다. 연사는 성공적인 가격 책정을 위해 금융 상품의 사양 및 관련된 위험 요소에 대한 확률적 미분 방정식을 포함하여 필요한 단계를 설명합니다.
00:10:00 강의의 이 섹션에서 연사는 가격 책정 및 금융 상품 모델링 프로세스에 대해 논의합니다. 프로세스에는 위험 요소 지정, 차원에 적합한 모델 선택, 모델 가격 정의, 모델 보정 및 가격 책정 수행이 포함됩니다. 마지막 단계는 제품을 판매하고 헤징하는 것입니다. 연사는 또한 다양한 가격 책정 방법을 설명하고 정확 및 준정밀 솔루션과 Monte Carlo 시뮬레이션과 같은 수치적 방법을 강조했습니다. 강의의 초점은 더 빠른 보정을 위해 푸리에 기술을 사용하는 것에 대해 말하는 모델 보정의 네 번째 포인트에 있습니다.
00:15:00 이 섹션에서 연사는 몬테카를로 시뮬레이션 및 PDE와 같은 전산 금융의 가격 책정에 대한 다양한 접근 방식에 대해 논의합니다. Monte Carlo 시뮬레이션은 PDE가 여러 차원에서 해결하고 이산화하기 어려울 수 있기 때문에 특히 고차원 가격 문제에 널리 사용되는 접근 방식입니다. 그러나 이 기술은 2차원으로 제한되며 무작위 노이즈 및 잠재적인 샘플링 오류와 관련됩니다. 반면에 PDE는 델타, 감마, 베가와 같은 감도를 저렴한 비용으로 계산할 수 있고 항상 매끄럽다는 장점이 있습니다. 발표자는 향후 강의에서는 더 빠르고 간단한 제품에 더 적합한 Fourier 기반 방법에 중점을 둘 것이라고 설명합니다. 그는 또한 액체 기기를 기반으로 보정이 수행되는 방법과 이러한 매개변수가 보다 복잡한 파생 제품의 가격 책정에 사용되는 방법을 설명합니다.
00:20:00 이 섹션에서 강사는 금융 파생상품 가격 책정을 위한 Monte Carlo 샘플링 사용과 샘플링 오류 및 임의성 효과의 잠재적인 문제에 대해 논의합니다. 그들은 또한 교정을 위한 푸리에 기술과 주식의 확률 밀도 함수 찾기와 같은 대체 방법의 사용에 대해 언급합니다. 특성 함수의 개념은 확률 밀도 함수가 분석적으로 알려진 모델과 그렇지 않은 모델 간의 격차를 해소하는 데 도움이 되도록 도입되었습니다. 목표는 궁극적으로 주식의 특성함수에서 확률밀도함수로 가는 길을 찾는 것입니다.
00:25:00 이 섹션에서 강사는 유럽형 옵션의 가격 책정에 특히 유용한 밀도 복구를 위한 푸리에 변환의 사용에 대해 논의합니다. 푸리에 변환 방법은 계산적으로 효율적이며 가우시안 기반 모델에 제한되지 않으므로 특성 함수가 있는 임의 변수에 사용할 수 있습니다. 밀도 복구 프로세스는 주어진 시간 t에서 관찰된 밀도에 확률적 프로세스의 경로를 관련시키는 것을 포함합니다. 강사는 여러 그래프를 보여주고 신호 빈도의 중요성과 프로세스의 분산과 회전 수 사이의 관계에 대해 논의합니다.
00:30:00 이 섹션에서 발표자는 푸리에 변환의 기술적 측면과 신호 분석에서의 중요성에 대해 설명합니다. 그들은 푸리에 변환이 어떻게 통화 함수를 주파수 도메인 표현으로 전환하고 특성 함수를 i 지수의 기대치로 정의할 수 있는지 설명합니다. 밀도는 CDF에서 도함수를 취하여 도출되며 특성 함수를 사용하여 변수의 k번째 모멘트를 찾을 수 있습니다. 마지막으로 특성 함수의 도함수와 k번째 모멘트 사이의 관계를 포함하여 푸리에 변환의 유용한 속성을 강조합니다.
00:35:00 이 섹션에서 화자는 Y의 로그로 정의된 변수 X와 U의 로그 Y의 특성 함수 사이의 관계를 설명합니다. 로그를 취함으로써 X는 변환되고 방정식은 다음에서 적분으로 단순화됩니다. 0 ~ 무한대, 여기서 변수의 로그 보정 함수는 주식의 모든 순간을 계산할 수 있습니다. 이 방법은 고려 중인 모델이 드문 것으로 간주되는 마이너스 주식을 포함하지 않는 한 더 쉽습니다. 화자는 또한 이것이 Black-Scholes 모멘트를 분석적으로 계산하는 데 유용하다고 언급합니다. 스피커는 또한 Black-Scholes 모델의 특성 함수를 소개합니다.
00:40:00 이 섹션에서는 강사가 전산 금융에서 주식 변수에 대한 로그 변환을 수행하는 방법을 설명합니다. 변수를 변환하면 결과 편미분 방정식(PDE)을 더 쉽게 풀 수 있습니다. 강사는 변환 후 업데이트된 PDE를 제공하고 Duffie-Pan-Singleton 정리를 사용하여 솔루션을 찾는 방법을 설명합니다. 솔루션의 정확한 조건에 대한 추가 세부 정보는 나중에 논의될 예정입니다.
00:45:00 이 섹션에서 발표자는 Duffy-Pan-Singleton 방법을 사용하여 특성 함수에 대한 편미분 방정식을 푸는 방법에 대해 설명합니다. 해를 찾으려면 u에서 x로의 변환의 도함수를 계산하고 PDE로 대체해야 합니다. 그런 다음 화자는 경계 조건을 사용하여 a와 b에 대한 상미분 방정식의 해를 찾은 다음 이를 특성 함수의 식으로 대체하여 최종 결과에 도달합니다. 이 방법은 알려진 분석 솔루션으로 사소한 경우인 Black-Scholes 모델에 대한 특성 함수를 찾는 데 사용됩니다.
00:50:00 이 섹션에서는 연사가 Affine Jump Diffusion Processes에서 연결된 함수를 유도하고 a와 b의 값을 찾는 과정을 설명합니다. 수정 함수는 주어진 PDE에 해를 적용할 수 있는지 확인하고 a와 b를 찾기 위해 풀어야 할 ODE의 수를 결정해야 합니다. Black-Scholes 모델에서 특성 함수는 주식 가치의 초기 로그에 따라 달라집니다. Affine Diffusion Processes로 간주될 수 있는 모델 클래스는 특성 함수가 e^(a+bx)의 형식을 갖도록 존재합니다. 발표자는 또한 x의 수와 브라운 운동에 따라 변동성 구조를 행렬로 표현해야 하는 필요성을 포함하여 확률적 미분 방정식 시스템이 주어진 특성 함수 형식을 충족하는 데 필요한 조건에 대해 논의합니다.
00:55:00 이 섹션에서는 강사가 Affine Jump 확산 프로세스의 조건을 설명합니다. 브라운 운동의 수는 일반적으로 모델의 상태 변수 수에 해당하지만 엄격한 요구 사항은 없습니다. 이러한 프로세스의 세 가지 조건은 X에만 선형적으로 의존할 수 있는 드리프트, 이자율에 대한 조건 및 변동성 구조에 관한 조건입니다. 가장 중요하고 어려운 조건은 변동성 구조입니다. 휘발성을 곱하거나 제곱한 후 얻은 행렬은 X에서 선형이어야 합니다. 이 조건은 Black-Scholes 모델에서 충족되지 않지만 조건을 충족하기 위해 로그 변환에서 변환될 수 있습니다.
01:00:00 강의의 이 섹션에서 교수는 미분 방정식 시스템의 맥락에서 특성 함수의 개념을 논의하고 이를 Black-Scholes 모델에 적용합니다. 특성 함수는 경계 조건과 필터링이 있는 할인 통화 함수로 정의됩니다. Riccati 유형 ODE의 해당 시스템에 대한 솔루션을 사용하여 해결할 수 있습니다. 교수는 Black-Scholes 모델의 경우 특성 함수를 해결하기 위해 이 접근 방식을 사용하는 방법에 대한 예를 제공합니다.
01:05:00 이 섹션에서는 아핀 점프 확산 프로세스의 특성 함수에 중점을 둡니다. 할인된 특성 함수에 대한 방정식을 살펴보면 이 항이 일정하기 때문에 외부에서 사용할 수 있음을 알 수 있습니다. 이 섹션에서는 미세 확산 조건과 A와 B의 상미분 방정식을 푸는 조건도 살펴봅니다. 시간 소모적인 계산을 피하기 위해 분석적으로 풀 수 있는 매개변수를 선택하는 것이 중요합니다. 또한 이 섹션에서는 둘 이상의 차원 작업에 대해 설명하고 상관관계가 없는 기하학적 브라운 운동 프로세스를 사용하여 두 스톡을 모델링하는 예를 제공합니다.
01:10:00 이 섹션에서 강사는 2차원 아핀 점프 확산 설정에 대한 특성 함수 계산에 대해 논의합니다. 강사는 확률론적 미분방정식의 체계에 추가 항인 j와 다차원 포아송 과정이 포함되어 점프가 이제 아핀 점프 확산의 틀에 포함된다는 것을 의미한다고 설명합니다. 강사는 또한 특성 함수의 종료 조건에는 a가 x에 종속되지 않는 상수항이고 b1 및 b2가 각각 x1 및 x2에 해당하는 경계 조건이 포함된다고 설명합니다. 마지막으로, 명시적으로 알려진 a, iu1 및 iu2가 있는 2d 특성 함수에 대한 방정식이 제공됩니다.
01:15:00 이 섹션에서는 점프 크기가 독립적이고 프레임워크의 강도가 j에 의존하지 않는 Affine Jump Diffusion Processes 모델에서 확산 부분과 점프 부분 사이의 독립성에 초점을 맞춥니다. 이 프레임워크의 조건은 선형 드리프트, 제곱 변동성 또는 이자율의 공분산 메트릭이며 강도에 대해서도 동일합니다. 즉, 푸아송 프로세스의 강도인 psi는 상태 값에 선형적으로 의존할 수 없습니다. 마지막으로 섹션은 증가된 변동성 및 변동성으로 인해 모델에서 점프를 사용하는 어려움에 대한 논의로 끝납니다. 이로 인해 보정 및 헤징이 더 복잡해집니다.
01:20:00 이 섹션에서 발표자는 아핀 점프 확산 프로세스에 대한 입력 및 출력 예측 함수의 차원에 대해 설명합니다. 출력 예측 함수는 일반적으로 주식 로그의 한계 분포를 나타내는 1차원이며 분산 및 점프를 포함하여 u의 특성에 따라 달라집니다. 입력 예측 함수의 차원은 확률적 미분 방정식의 수와 관련이 있습니다. 그런 다음 화자는 확률적 미분 방정식과 부분 적분 미분 방정식을 유도하여 아핀 점프 확산 모델의 프로세스를 시연합니다. 그들은 제곱 항 때문에 모델이 유사하지 않다는 것을 발견했지만, 로그 변환을 수행한 후에는 하나의 독립 확률 변수 j만 있는 기본 미분 방정식이 남습니다. 그런 다음 미분을 계산하여 j의 특성 함수와 x의 함수의 곱인 특성 함수에 대한 솔루션을 얻습니다.
01:25:00 이 섹션에서 강사는 아핀 점프 확산 프로세스에 대한 미분 방정식의 유도에 대해 논의합니다. 이것은 x로 항을 취하여 0으로 설정하고 다른 모든 항을 수집하여 a의 도함수로 넣음으로써 수행됩니다. 그런 다음 a에 대한 솔루션이 파생되고 아핀 확산 가정을 사용하지 않고 찾은 것과 동일합니다. 그러나 측면 p인 a0 및 l0과 같은 몇 가지 상수 매개변수가 포함되어 있으며, 이는 점프의 강도가 일정하고 상태에 따라 달라지지 않음을 나타냅니다.
Computational Finance Lecture 6- Affine Jump Diffusion Processes▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬This course is based on the book:"Mathematical Modelin...
강의에서는 한계가 있을 수 있는 Black-Scholes 모델의 대안으로 확률적 변동성 모델의 개념에 대해 자세히 설명합니다. 발표자는 확률적 변동성 모델이 아핀 확산 모델에 속하며 가격과 내재 변동성을 효율적으로 얻기 위해서는 고급 기술이 필요하다고 강조합니다. 확률적 변동성을 통합한 동기를 설명하고 Heston의 2차원 확률적 변동성 모델을 소개합니다.
다루는 한 가지 중요한 측면은 단일 지점이 아닌 전체 내재 변동성 표면에 대한 모델 보정입니다. 이는 경로 종속 보상 및 타격 방향 종속성을 처리할 때 특히 중요합니다. 실무자는 일반적으로 모델을 콜 및 풋과 같은 유동 상품으로 보정한 다음 이국적인 파생 상품의 가격으로 추정합니다. 확률적 변동성 모델은 고유한 한계에도 불구하고 전체 변동성 표면에 대한 보정을 허용하므로 시장에서 인기가 있습니다.
강의는 또한 주식 시장에서 변동성 표면의 중요성과 적절한 모델의 필요성을 강조합니다. 변동성 표면이 가파른 스마일을 나타내는 경우 점프 또는 확률적 변동성을 통합한 모델이 종종 선호됩니다. P 측정 및 위험 중립 측정을 포함하여 가격 옵션에 사용되는 다양한 측정에 대해 설명합니다. 이자율을 시간 종속적으로 만드는 것은 스마일이나 스큐를 개선하지 않지만 확률적 또는 지역적 변동성을 도입하면 보정에 도움이 될 수 있습니다. 평균 회귀 제곱근 프로세스를 활용하여 변동성을 모델링하는 Hassel 모델도 소개됩니다.
강의는 확률적 변동성 모델의 개념을 자세히 탐구합니다. 처음에는 확률적 미분방정식을 정의하기 위해 정상 과정과 브라운 운동이 사용되지만, 이 접근법은 특히 음수가 될 수 있기 때문에 변동성을 정확하게 포착하지 못하는 것으로 인정됩니다. CIR 프로세스라고도 하는 Box Inverse 프로세스의 이점은 뚱뚱한 꼬리를 나타내고 음수가 아니므로 변동성에 적합한 모델이 되기 때문에 설명됩니다. 확률적 변동성 구조를 가진 Heston 모델이 도입되었으며, 분산(VT)은 비중심 카이제곱 분포를 따르는 것으로 나타났습니다. 이 분포는 전이 분포임을 밝히고, Feller's condition은 모델 교정 시 확인해야 할 중요한 기술적 조건으로 언급하고 있다.
Feller의 조건이라고 하는 0에 도달하는 경로를 피하기 위한 확률적 변동성 모델의 조건에 대해 설명합니다. kappa 매개변수와 장기 평균의 곱의 두 배가 변동성 제곱인 감마 제곱보다 크거나 같을 때 조건이 충족됩니다. 조건이 충족되지 않으면 경로가 0에 도달하고 바운스백되어 달성 가능한 경계 조건으로 이어질 수 있습니다. 중심이 아닌 카이제곱 분포의 속성과 CIR 과정과의 관계를 설명합니다. Feller의 조건을 만족하거나 만족하지 않는 효과를 설명하기 위해 분산 경로 및 밀도 그래프가 제공됩니다.
확률적 변동성 모델에서 뚱뚱한 꼬리 분포의 중요성은 모델을 시장 데이터로 보정한 후에 종종 관찰되기 때문에 강조됩니다. 모델의 Feller 조건이 충족되지 않으면 Monte Carlo 경로가 0에 도달하고 0으로 유지될 수 있습니다. 브라운 운동을 통한 모델의 상관관계 포함에 대해 설명하고 일반적으로 점프가 독립적인 것으로 간주된다고 언급합니다. 강의는 Feller의 상태가 밀도에 미치는 영향을 나타내는 그래프로 끝납니다.
강의는 Brownian 운동의 상관관계와 분산에 초점을 맞춥니다. 화자는 상관관계가 있는 브라운 운동을 다룰 때 특정 관계가 참이어야 하며 증분에도 동일하게 적용된다고 설명합니다. 촐레스키 분해(Cholesky decomposition) 기법은 양의 정부호 행렬과 두 개의 하부 삼각 행렬의 곱셈을 사용하여 두 개의 브라운 운동을 상관시키는 방법으로 소개됩니다. 이 방법은 강의 뒷부분에서 논의되는 두 프로세스를 공식화하는 데 유용합니다.
독립적인 브라운 운동을 사용한 하위 삼각 행렬 곱셈의 구성이 논의되어 독립적이고 상관된 프로세스의 조합을 포함하는 벡터를 생성합니다.
또한 강사는 Heston 모델의 특징적인 기능이 효율적이고 빠른 가격 책정에 대한 귀중한 통찰력을 제공한다고 설명합니다. 특성 함수를 유도함으로써 관련된 모든 항이 명시적이라는 것이 명백해지며 상미분 방정식을 풀기 위해 복잡한 분석 또는 수치 계산이 필요하지 않습니다. 이러한 단순성은 Heston 모델의 중요한 장점 중 하나로 간주되어 파생 상품 가격 책정을 위한 실용적이고 강력한 도구가 됩니다.
발표자는 변동성과 관련된 위험을 효과적으로 관리하기 위해서는 Heston 모델의 각 매개변수의 특성과 의미를 이해하는 것이 중요하다고 강조합니다. kappa, 장기 평균, 변동성, 상관관계 및 분산 프로세스의 초기 값과 같은 매개변수는 모두 변동성 역학 및 내재 변동성 표면에 뚜렷한 영향을 미칩니다. 시장에 대한 이러한 매개변수를 조정하고 그 효과를 분석함으로써 실무자는 내재된 변동성 스마일 및 스큐에 대한 귀중한 통찰력을 얻을 수 있으므로 보다 정확한 가격 책정 및 위험 관리가 가능합니다.
강의는 단일 지점이 아닌 전체 내재 변동성 표면에 대해 확률적 변동성 모델을 보정하는 것의 중요성을 강조합니다. 경로 의존적 보상 및 파업 방향 의존성은 시장 데이터의 전체 복잡성을 포착하기 위해 포괄적인 보정 접근 방식을 필요로 합니다. 일반적으로 실무자는 모델을 콜 및 풋과 같은 유동 상품으로 보정한 다음 이국적인 파생 상품의 가격으로 추정합니다. 확률적 변동성 모델은 전체 변동성 표면에 대한 보정을 허용하지만 보정 프로세스가 완벽하지 않고 한계가 있음을 인정합니다.
확률적 변동성 모델에 대한 이해를 더욱 높이기 위해 강사는 모델을 시장 데이터로 보정할 때 자주 관찰되는 두꺼운 꼬리 분포의 개념에 대해 자세히 설명합니다. 발표자는 모델의 펠러 조건이 충족되지 않으면 몬테카를로 경로가 0에 도달하고 0으로 유지되어 모델의 정확도에 영향을 미칠 수 있다고 설명합니다. 추가로 점프의 포함과 확률적 변동성 모델의 상관관계에 대한 독립적인 고려가 논의됩니다. 강의는 이러한 요소가 변동성 역학 및 가격 책정에 어떻게 영향을 미치는지에 대한 통찰력을 제공합니다.
강의는 Heston 모델과 Black-Scholes 모델을 비교하는 것으로 끝납니다. Heston 모델은 변동성 모델링에서 더 큰 유연성과 확률을 제공하지만 Black-Scholes 모델은 가격 파생 상품에 대한 벤치마크로 남아 있습니다. 내재 변동성 스마일 및 스큐에 대한 다양한 매개변수 변경의 영향을 이해하는 것은 실무자가 특정 요구에 적합한 모델을 선택하는 데 필수적입니다. 포괄적인 보정 및 분석을 통해 Heston's와 같은 확률적 변동성 모델은 금융 시장의 가격 책정 및 위험 관리에 대한 귀중한 통찰력을 제공할 수 있습니다.
강의는 Heston 모델에 대해 논의하는 것 외에도 Brownian 운동에서 상관관계와 분산의 중요성을 다룹니다. 연사는 상관관계가 있는 브라운 운동을 다룰 때 촐레스키 분해의 사용을 포함하여 특정 관계와 조건이 참이어야 한다고 설명합니다. 이 기술은 양의 정부호 행렬과 두 개의 하부 삼각 행렬의 곱셈을 사용하여 두 브라운 운동의 상관 관계를 허용합니다. 강의는 이 방법이 다차원 사례에서 프로세스를 공식화하고 원하는 상관 구조를 달성하는 데 필수적임을 강조합니다.
또한 강사는 확률적 변동성 모델에서 독립적이고 상관관계가 있는 브라운 운동의 구성 및 표현에 중점을 둡니다. 촐레스키 분해는 브라운 운동을 연관시키는 데 유용한 도구이지만 강의에서는 실용적인 목적을 위해 항상 필요한 것은 아니라고 지적합니다. 대신 Ito의 기본형을 적용하여 상관관계가 있는 브라운 운동을 효과적으로 통합할 수 있습니다. 이 강의에서는 상관관계가 있는 브라운 운동으로 주식 포트폴리오를 구성하는 예를 제공하고 다중 변수를 포함하는 다차원 함수의 동역학을 결정하기 위해 Ito의 보조 정리를 적용하는 방법을 보여줍니다.
강의는 마틴게일 접근 방식을 사용하는 Heston 모델의 가격 책정 편미분 방정식(PDE)도 다룹니다. 이 접근 방식에는 장기 평균에 대한 변동성 비율을 나타내는 pi라고 하는 특정 양이 마팅게일임을 확인하는 것이 포함됩니다. Ethos Lemma를 적용하여 미분과 분산 과정을 포함하는 마팅게일 방정식을 유도합니다. 가격 책정 PDE를 사용하면 파생 계약에 대한 공정한 가격을 결정할 수 있고 가격 책정에서 위험 중립적인 방법을 사용할 수 있습니다.
또한 발표자는 확률적 변동성 모델에서 내재 변동성 형태에 대한 다양한 매개변수의 영향에 대해 논의합니다. 감마, 상관관계 및 평균 회귀 속도(kappa)와 같은 매개변수는 내재 변동성의 곡률, 왜도 및 기간 구조에 영향을 미치는 것으로 나타났습니다. 이러한 매개변수의 효과를 이해하면 모델을 정확하게 보정하고 원하는 변동성 역학을 포착하는 데 도움이 됩니다.
강의 내내 연사는 특히 전체 내재 변동성 표면에 대한 모델 보정의 중요성을 강조합니다. 액체 기기로 보정하고 이국적인 파생 상품으로 외삽하는 것은 실무자 사이에서 일반적인 관행입니다. Heston 모델을 포함한 확률적 변동성 모델은 전체 변동성 표면에 대해 조정할 수 있는 유연성을 제공하여 가격 책정 및 위험 관리에서 더 나은 정확성을 가능하게 합니다. 그러나 모델 보정에 제한이 없는 것은 아니며 Heston 및 Black-Scholes 모델과 같은 모델 간의 미묘한 차이를 신중하게 검토하여 적절한 가격 책정 및 위험 평가를 보장해야 합니다.
이 강의에서는 Heston 모델, 매개 변수 의미, 보정 기술, Brownian 운동에서 상관관계 및 분산의 역할에 초점을 맞춰 확률적 변동성 모델에 대한 포괄적인 개요를 제공합니다. 실무자는 이러한 개념을 이해하고 효과적으로 적용함으로써 파생 상품 가격 책정, 위험 관리 및 금융 시장의 복잡성을 탐색하는 능력을 향상시킬 수 있습니다.
00:00:00 이 섹션에서는 결함이 있을 수 있는 Black-Scholes 모델의 대안으로 확률적 변동성 모델에 대해 알아봅니다. 점프를 포함하면 일부 문제를 해결할 수 있지만 구현 및 해석이 어렵습니다. 확률적 변동성 모델은 가격과 내재 변동성을 효율적으로 얻기 위해 고급 기술이 필요한 아핀 확산 모델 클래스에 속합니다. 강의는 확률적 변동성의 동기를 다루고 Heston의 2차원 확률적 변동성 모델을 소개합니다. 또한 모집단을 처리하는 방법, 브라운 운동의 상관관계를 지정하는 방법, 상관관계를 사용하는 방법, Ito의 보조정리를 고차원 사례로 확장하는 방법, 마팅게일 접근 방식, Monte Carlo 및 푸리에 변환을 사용하여 PDE 가격을 책정하는 방법을 다룹니다. 이 강의는 곡률 또는 편향과 관련된 위험을 관리할 때 각 매개변수의 의미와 영향을 이해하는 것이 중요함을 강조합니다. 마지막으로 Heston 모델과 Black-Scholes 모델을 비교하여 전자의 특성함수를 도출하여 사용한다.
00:05:00 이 섹션에서 강사는 표면의 한 지점이 아니라 전체 내재 변동성 표면에 대해 모델을 보정하는 것의 중요성에 대해 논의합니다. 그들은 보수가 경로에 따라 다르고 타격 방향에 따라 달라지는 경우 표면의 한 지점에만 보정하는 것만으로는 충분하지 않다고 설명합니다. 강의는 계속해서 실무자들이 일반적으로 모델을 콜 및 풋과 같은 유동 상품으로 보정한 다음 이국적인 파생 상품의 가격으로 추정하는 방법을 설명합니다. 강사는 또한 보정이 완벽하지 않고 한계가 있지만 실무자가 전체 변동성 표면에 보정할 수 있기 때문에 확률적 변동성 모델이 시장에서 인기가 있다고 설명합니다.
00:10:00 이 섹션에서 발표자는 주식 시장의 변동성 표면을 보정하기 위한 확률적 변동성 모델의 사용에 대해 논의합니다. 표면에 가파른 미소가 있는 경우 점프를 포함하는 모델이나 변동성을 임의 변수로 모델링하는 확률적 변동성 같은 모델이 필요할 수 있다고 설명합니다. 스피커는 또한 P 측정 및 위험 중립 측정을 포함하여 가격 옵션에 사용되는 다양한 측정을 설명합니다. 그들은 금리를 시간 종속적으로 만드는 것이 스마일이나 스큐를 개선하지 않지만 변동성을 확률적 또는 지역적으로 만드는 것이 보정에 도움이 될 수 있다고 경고합니다. 마지막으로 평균 회귀 제곱근 프로세스를 사용하여 변동성을 모델링하는 Hassel 모델을 소개합니다.
00:15:00 강의의 이 섹션에서는 확률적 변동성 모델의 개념에 대해 설명합니다. 확률적 미분 방정식을 정의하기 위해 정상 과정과 브라운 운동을 사용하는 것을 설명하지만 음수가 될 수 있으므로 변동성을 정확하게 모델링하지 못합니다. CIR 프로세스라고도 하는 Box Inverse 프로세스의 이점은 두꺼운 꼬리가 있고 음수가 아니므로 변동성에 적합한 모델이 되기 때문에 강조됩니다. 확률적 변동성 구조를 갖는 Heston 모형을 도입하였으며, Heston 모형의 분산인 VT는 비중심 카이제곱 분포를 따르는 것으로 나타났다. 이는 전이 분포라고 설명하고 있으며, 모델 캘리브레이션 시 확인해야 할 중요한 기술적 조건으로 펠러의 상태를 언급하고 있다.
00:20:00 이 섹션에서 강사는 Fellouris 조건이라고도 하는 0에 도달하지 않는 경로를 갖는 확률적 변동성 모델의 조건에 대해 설명합니다. kappa 매개변수와 장기 평균의 곱의 두 배가 변동성 제곱인 감마 제곱보다 크거나 같을 때 조건이 충족됩니다. 조건이 충족되지 않으면 경로가 0에 도달하고 도달 가능한 경계 조건으로 알려진 바운스 백이 발생할 수 있습니다. 강사는 또한 중심이 아닌 카이제곱 분포의 속성과 CIR 프로세스와의 관계에 대해 설명합니다. 마지막으로 강사는 Fellouris 조건이 충족될 때와 충족되지 않을 때 분산 경로 및 밀도 그래프를 제공합니다.
00:25:00 이 섹션에서 발표자는 확률적 변동성 모델과 모델을 시장 데이터로 보정한 후 자주 관찰되는 두꺼운 꼬리 분포의 중요성에 대해 논의합니다. 발표자는 모델의 펠러 조건이 충족되지 않으면 Monte Carlo 경로가 0에 도달하고 0에 머무를 수 있다고 말합니다. 그런 다음 발표자는 브라운 운동을 통해 모델에 상관 관계가 어떻게 포함되는지 설명하고 점프는 일반적으로 독립적인 것으로 간주됩니다. 섹션은 펠러 조건이 밀도에 미치는 영향을 보여주는 그래프로 끝납니다.
00:30:00 확률적 변동성 모델에 대한 비디오의 이 섹션에서 발표자는 브라운 운동의 상관관계 및 분산에 대해 논의합니다. 그는 상관관계가 있는 브라운 운동을 다루는 경우 특정 관계가 참이어야 하며 증분에도 동일하게 적용된다고 설명합니다. 화자는 계속해서 양의 정부호 행렬과 두 개의 하부 삼각 행렬의 곱셈을 사용하여 두 브라운 운동의 상관 관계를 허용하는 촐레스키 분해 기술을 설명합니다. 이 방법은 다음 논의에서 두 프로세스를 공식화하는 데 도움이 되는 데 사용됩니다.
00:35:00 이 섹션에서 강사는 독립적인 브라운 운동을 사용하여 하부 삼각 행렬 곱셈의 구성에 대해 논의하며, 그 결과 독립적이고 상관된 프로세스의 조합을 포함하는 벡터가 생성됩니다. 강의는 표기법을 단순화하고 표현을 대입하여 두 브라운 운동 사이의 상관 관계를 결정하는 방법을 보여줍니다. 이 유도를 사용하면 모멘트와 상관 관계의 동일한 속성이 보존되어 적합한 분해 방법을 유연하게 선택할 수 있습니다.
00:40:00 강의의 이 섹션에서 발표자는 두 개의 상관관계가 있는 브라운 운동을 사용하는 것에서 두 개의 독립 변수를 사용하는 것으로의 전환과 Cholesky 분해를 사용하여 상관관계를 달성하는 방법에 대해 논의합니다. 음의 상관, 양의 상관 및 제로 상관의 차이를 보여주기 위해 제공된 샘플 그래프와 함께 독립적인 브라운 운동을 처리할 때의 이점도 설명됩니다. 또한 발표자는 샘플 표준화 및 경로 생성을 사용하여 이러한 상관 관계를 시뮬레이션하는 방법에 대한 코드 예제를 제공합니다. 반복 프로세스를 사용하여 이전 동작에서 생성되는 브라운 동작에 대한 새로운 실현과 함께 브라운 동작을 생성하는 프로세스도 강조 표시됩니다.
00:45:00 이 섹션에서 비디오는 상관 선형 동작에 대한 여러 색상 경로를 시뮬레이션하는 방법과 더 높은 차원 및 비양의 명확한 상관 행렬을 처리하는 방법에 대해 설명합니다. 촐레스키 분해는 모든 차원에 적용할 수 있는 상관 시간 dt를 사용하여 독립적인 브라운 운동을 계산하는 데 사용됩니다. 그러나 비양의 정부호 상관 행렬을 만나면 특정 알고리즘을 사용하여 행렬을 양의 정부호로 매핑해야 합니다. 상관 계수의 범위를 지정하여 실제 범위인 -1과 1 내에 있도록 하는 것도 중요합니다. 또한 비디오에서는 실제로 다차원 사례의 각 프로세스가 모든 상관 브라운 운동에 따라 달라질 수 있다고 언급합니다. , 그러나 이것은 특이한 경우입니다.
00:50:00 이 섹션에서 강사는 브라운 운동의 상관 관계를 다루고 방정식 시스템을 상관 관계에서 비 상관 관계로 변환하는 데 유용한 도구인 Cholesky 분해를 소개합니다. 그들은 상관 관계와 Cholesky 분해를 사용하여 독립적인 브라운 운동의 관점에서 미분 방정식 시스템을 나타내는 방법을 설명합니다. 강사는 또한 벡터 프로세스에 Ethos 보조정리를 적용하기 위한 기술적 조건에 대해 논의합니다. 즉, 함수 g는 충분히 미분 가능해야 합니다. 다차원 확률 미분 방정식의 예와 벡터의 각 프로세스에서 함수 g를 미분하여 프로세스의 동역학을 얻는 방법을 제공합니다.
00:55:00 이 섹션에서 화자는 확률적 변동성 모델에서 독립적이고 상호 연관된 브라운 운동의 표현에 대해 논의합니다. 그들은 실용적인 목적을 위해 Cholesky 분해를 수행할 필요가 없으며 대신 Ito의 보조 정리를 사용하여 상관된 브라운 운동을 적용할 수 있다고 설명합니다. 연사는 또한 상관관계가 있는 브라운 운동과 시그마 값으로 두 주식의 포트폴리오를 구성하는 예를 제공합니다. 그들은 2개 또는 3개의 변수를 포함하는 다차원 함수의 동역학을 찾기 위해 Ito의 기본형을 적용하는 과정을 더 설명합니다.
01:00:00 강의의 이 섹션에서 연사는 Martingale 접근 방식을 사용하여 Heston 모델에 대한 가격 책정 편미분 방정식(PDE)을 도출하기 위해 Ethos Lemma를 적용하는 방법에 대해 설명합니다. 가격 책정 PDE는 현재로 할인된 파생 상품의 가치가 기대되는 미래 가치와 같아야 하며 통화 계정은 이자율 방정식에 의해 구동되고 분산 프로세스는 확률적으로 가변적이어야 합니다. 관찰할 수 없거나 거래할 수 없는 변수에 대한 가격 책정 PDE를 도출하는 것은 상당히 복잡할 수 있지만 마틴게일 접근 방식은 이를 달성하는 더 간단한 방법 중 하나로 간주됩니다. 가격 책정 PDE는 계약에 대한 공정한 가격과 위험 중립 측정값을 도출할 수 있다는 점에서 강력합니다.
01:05:00 이 섹션에서 발표자는 확률적 변동성 모델에서 파생 상품 가격 책정에 대한 마팅게일 접근법을 설명합니다. 이 접근법은 양을 m에 대한 v의 비율인 pi로 정의한 다음 Ethos Lemma를 적용하여 이 양이 마팅게일임을 확인하는 것을 포함합니다. 화자는 마팅게일에 대한 방정식을 도출하는데, 여기에는 1 나누기 m dv 빼기 rv 나누기 m dt와 같은 간단한 도함수가 포함됩니다. 경제는 자산, 거래할 수 없는 변동성, 예금 계좌로 구성됩니다. 솔루션을 얻기 위해 화자는 Taylor의 급수를 적용하고 이토 미적분학으로 용어를 처리합니다. 이는 간단합니다. 그러나 분산 프로세스의 곱과 재고와 관련된 항을 계산하는 것이 더 복잡합니다. 최종 솔루션에는 두 개의 브라운 운동과 분산과 스톡 사이의 상관관계에 따라 달라지는 추가 항이 포함됩니다.
01:10:00 이 섹션에서 강사는 Black-Scholes 모델과 비교하여 분산 프로세스의 Heston 모델의 유연성과 확률에 대해 설명합니다. 그들은 모델이 카파, 장기 평균, 변동성 및 상관관계를 포함한 여러 매개변수와 분산 프로세스의 초기 값인 또 다른 매개변수를 포함하는 방법을 설명합니다. 그들은 또한 모델의 가장 큰 장점은 이러한 각 매개변수가 변동성에 개별적인 영향을 미치므로 변동성 스마트 스큐의 보정 및 이식이 가능하다는 점에 주목합니다. 강사는 함축된 변동성 미소와 기술에 대한 다양한 매개변수 변경의 영향을 분석할 것이라고 강조합니다.
01:15:00 이 섹션에서 강사는 확률적 변동성 모델의 내재 변동성 모양에 대한 다양한 매개변수의 영향을 설명합니다. 감마 매개변수는 내재 변동성의 곡률을 제어하며 이를 늘리면 기울기가 가팔라집니다. 상관관계는 내재 변동성의 왜도에 영향을 미치고 음의 상관관계는 웃는 모양으로 이어집니다. 평균 회귀 속도(kappa)는 내재 변동성의 기간 구조에 영향을 미치며 kappa가 클수록 장기 평균으로 더 빨리 수렴됩니다. 카파는 내재 변동성의 수준과 형태에 어느 정도 영향을 미치지만 주요 영향은 기간 구조에 있습니다.
01:20:00 이 섹션에서 연사는 특히 내재 변동성의 기간 구조를 제어하기 위해 확률적 변동성 모델에 대한 다양한 매개변수의 영향에 대해 논의합니다. 장기 평균 및 v0 매개변수는 모델에 유사한 영향을 미칩니다. V bar는 만기가 주어진 경우 수준을 제어하고 v0은 내재 변동성의 기간 구조를 제어합니다. 즉각적인 내재 변동성을 블랙 숄즈와 비교하면 헤드스톤 모델 또는 블랙 숄즈가 더 적절한지 여부를 결정할 수 있습니다. 또한 화자는 옵션 가격을 사용하여 Hastel 모델과 블랙 숄즈 모델 간의 차이점을 설명합니다. 묵시적인 미소의 제어는 일반적으로 Hastel 모델의 두꺼운 꼬리와 관련이 있는 반면 블랙 숄즈 모델은 훨씬 빠르게 0으로 수렴합니다.
01:25:00 확률적 변동성 모델을 보정하고 다양한 매개변수가 가격에 미치는 영향을 살펴볼 때 명심하십시오. 가격만 보고 내재 변동성 형태를 결정할 수는 없지만 외가격 내재 변동성 옵션으로 조정하면 모델의 정확성에 대한 더 많은 통찰력을 얻을 수 있습니다. 모델과 시장의 차이는 특히 외가격 옵션에서 내재 변동성에 상당한 영향을 미칠 수 있으므로 변동성 스큐와 미소를 이해하는 것이 모델 보정에서 매우 중요합니다. Heston 모델과 Black-Scholes 모델의 미묘한 차이는 무거운 꼬리와 변동성 모양과 같은 옵션 가격 이외의 다른 요소를 조사해야 합니다. 상관계수는 변동성과 주식을 연결하는 데에도 중요하며 그 값은 과거 데이터가 아닌 옵션의 시장 가격을 기준으로 선택됩니다.
01:30:00 이 섹션에서 연사는 가격 파생 상품에서 Heston 모델과 Black Scholes 모델에 대한 우월성에 대해 논의합니다. 그러나 시장에서 실제 확률적 변동성을 나타내는 수량을 결정하려고 할 때 문제가 발생합니다. Heston 모델이 연관되어 있는지 확인하기 위해 화자는 상태 변수 s_t와 variance_t의 두 가지 상태 변수로 구성된 상태 벡터에서 상태 변수와 제곱 공분산 행렬이 선형인지 확인합니다. 그런 다음 발표자는 대수 변환을 수행한 후 모든 항이 상태 공간 벡터에 대해 선형인지 확인해야 한다고 설명합니다. 모델의 복잡성에도 불구하고 대수 변환을 수행해도 도출이 크게 복잡해지지는 않습니다.
01:35:00 이 섹션에서 화자는 순간 공분산 행렬에 대해 논의하고 프로세스가 괜찮은지 여부를 확인하는 데 도움이 된다고 말합니다. 또한 Heston 모델의 특징적인 함수를 도출하여 효율적이고 빠른 가격 결정과 관련된 Handy Decomposition이라고 합니다. 화자는 책에서 파생의 몇 페이지를 다루고 있음을 인정하지만 모든 용어가 명시적이며 특성 함수에 대한 ODE를 풀기 위해 분석적 또는 수치적 계산이 필요하지 않음을 강조합니다. 이것은 Heston 모델의 가장 큰 장점 중 하나로 간주됩니다.
Computational Finance Lecture 7- Stochastic Volatility Models▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬This course is based on the book:"Mathematical Modeling a...
옵션 가격 결정을 위한 푸리에 변환에 대한 강의 중에 강사는 기술의 응용 및 다양한 측면에 대해 자세히 설명합니다. 그들은 푸리에 변환이 미세 확산 모델 클래스에 속하는 모델의 밀도를 계산하고 효율적으로 가격 옵션을 계산하는 데 사용된다는 설명으로 시작합니다. 이 기술은 계산 비용이 많이 들 수 있는 실제 축에 대한 적분 계산을 포함합니다. 그러나 반전 보조 정리를 사용하여 강사는 "u"에 대한 도메인이 어떻게 축소되어 적분의 실수 부분을 계산할 수 있는지 설명합니다. 이 접근 방식은 비용이 많이 드는 계산과 관련된 계산 부담을 최소화하는 데 도움이 됩니다.
강사는 구현 효율성을 크게 향상시키는 고속 푸리에 변환(FFT)을 사용하여 이 표현의 개선에 대해 더 논의합니다. FFT의 속성을 활용하여 계산 작업량이 줄어들어 옵션 가격이 보다 효율적이고 빨라집니다. 이 세션은 푸리에 변환 방법과 비용 방법을 비교하여 각각의 구현 세부 사항에 대한 통찰력을 제공하는 것으로 마무리됩니다.
앞으로 강사는 푸리에 변환을 사용하여 밀도를 계산하는 빠른 방법을 유도하는 첫 번째 단계를 자세히 설명합니다. 이 단계는 도메인을 2개로 나누고 실수 부분을 추출하는 작업을 포함하며 이는 계산 비용이 적게 드는 작업입니다. 또한 강사는 특성 함수의 보다 효율적인 계산을 용이하게 하기 때문에 복소수의 나눗셈과 켤레를 취하는 것의 중요성에 대해 탐구합니다. 각 "x" 값에 대한 밀도를 얻기 위한 그리드 구성에 대해서도 설명하며 적절한 도메인 선택 및 경계 정의의 중요성을 강조합니다.
푸리에 변환 적분과 "n"개의 그리드 포인트로 구성된 그리드를 사용하여 "x"의 밀도 계산에 대한 설명으로 강의가 진행됩니다. 강사는 여러 "x" 값에 대해 동시에 밀도 계산을 수행해야 할 필요성을 강조합니다. 그리드가 정의되면 "감마"라는 함수를 포함하는 새로운 적분을 도입하고 이산 적분을 근사화하기 위해 사다리꼴 적분을 사용합니다. 이 프로세스를 설명하기 위해 강사는 균일한 간격의 격자가 있는 함수에 대해 사다리꼴 적분을 수행하는 예를 제공합니다.
그런 다음 연사는 푸리에 변환을 위한 그리드를 정의하기 위해 매개변수를 구성하는 프로세스에 대해 자세히 설명합니다. 이러한 매개변수는 그리드 포인트 수, "u"의 최대값, 델타 "x"와 델타 "u" 간의 관계를 포함합니다. 이러한 매개변수가 설정되면 적분과 합계를 대체하여 각 "x" 값에 대한 함수를 도출할 수 있습니다. 강의는 사다리꼴 적분과 사다리꼴의 경계 절점에서 평가되는 특성 함수를 통합한 방정식을 포함합니다.
적분의 표현과 옵션 가격 결정에서 고속 푸리에 변환(FFT)을 사용하는 것의 중요성에 대해 자세히 설명합니다. 연사는 FFT에 입력하기에 적합한 함수를 정의함으로써 실무자가 대부분의 라이브러리에 이미 있는 빠른 평가 및 구현 기능을 활용할 수 있다고 설명합니다. 강사는 이 변환을 계산하는 단계와 적분을 계산하는 데 어떻게 활용할 수 있는지 설명합니다. 전반적으로 강의는 전산 금융에서의 FFT의 중요성과 옵션 가격 책정에서의 유용성을 강조합니다.
앞서 언급한 주제 외에도 강의에서는 옵션 가격 결정을 위한 푸리에 변환과 관련된 다양한 측면을 탐구합니다. 여기에는 불연속적인 포인트 수에 대한 정확한 계산을 보장하기 위한 보간 기술의 사용, Taylor 급수와 특성 함수 사이의 관계, 짝수 함수에 대한 코사인 확장 방법의 적용, 대략적인 밀도를 위한 절단 도메인의 사용이 포함됩니다. 강의는 또한 밀도의 회복, 푸리에 확장을 사용하여 얻은 수치 결과, 행렬 및 벡터 형태의 가격 표현을 다룹니다.
강의 전반에 걸쳐 강사는 푸리에 변환 방법의 실제 구현을 강조하고 다양한 매개변수의 영향에 대해 논의하며 접근 방식의 장점과 한계를 강조합니다. 포괄적인 설명과 수치 실험을 제공함으로써 강의는 실제 시나리오에서 옵션 가격 책정을 위해 푸리에 변환을 적용하는 데 필요한 지식과 도구를 학습자에게 제공합니다.
강사는 옵션 가격 결정을 위한 푸리에 변환에서 밀도 함수의 회복에 대해 논의합니다. 이들은 높은 정확도 밀도 계산을 달성하기 위해 변환에서 충분히 많은 수의 점("n"으로 표시됨)을 선택하는 것의 중요성을 강조합니다. 강사는 분포에 의해 결정되는 "u_max"와 함께 도메인과 최대값을 정의하기 위해 복소수 "i"를 소개합니다. 또한 강사는 그리드에 있지 않은 입력에 대해서도 출력 밀도 함수의 정확한 계산을 보장하기 위해 특히 그리드 포인트 "x_i"에서 3차 보간법을 사용하여 보간법의 필요성을 설명합니다.
연사는 푸리에 변환을 사용하여 보간법의 이점과 옵션 가격 책정과의 관련성을 추가로 탐구합니다. 푸리에 변환은 더 큰 그리드에 유리하지만 더 큰 숫자를 처리할 때는 보간법이 FFT보다 상대적으로 계산 비용이 적게 들기 때문에 선호될 수 있습니다. 발표자는 코드 예제를 통해 보간이 어떻게 작동하는지 보여주고 매개변수를 조정하면 추가 비용 없이 민감도를 계산하고 그리스를 얻을 수 있음을 강조합니다. 이 기능은 코사인 확장 기술을 배리어 및 버뮤다 옵션과 같은 보다 이국적인 파생상품의 가격을 책정하는 데 이상적으로 만듭니다.
또한 강사는 Taylor 급수와 전산 금융의 특성 함수 간의 관계에 대해 논의합니다. 강의는 추가 적분 없이 직접적인 관계를 허용하는 시리즈와 특성 함수 간의 일대일 대응을 보여줍니다. 그런 다음 강사는 옵션 가격 책정을 위한 "코사인 방법"을 설명합니다. 이 방법은 0에 가까운 짝수 함수를 나타내기 위해 푸리에 코사인 확장을 사용합니다. 이 방법은 적분과 계수를 계산하는 것과 관련되며, 확장의 첫 번째 항에 항상 반을 곱해야 한다는 중요한 참고 사항이 있습니다.
이 강의에서는 "a"에서 "b"까지 유한 지원 범위를 달성하기 위해 함수 "g"에 대한 적분 영역을 변경하는 과정을 자세히 살펴봅니다. 화자는 표현을 단순화하는 데 오일러 공식의 중요성을 설명하고 "k pi 나누기 ba"로 "u"를 대체하면 밀도와 관련된 더 간단한 표현이 되는 방법을 보여줍니다. 잘린 도메인은 모자 기호로 표시되며 매개변수 "a" 및 "b"의 특정 값은 해결되는 문제에 따라 선택됩니다. 화자는 이것이 근사 기법이며 휴리스틱 선택이 "a"와 "b"의 값을 선택하는 것과 관련이 있음을 강조합니다.
또한 푸리에 전개와 밀도 회복의 관계를 탐구한다. 강의에서는 방정식 양쪽의 실수 부분을 취함으로써 밀도의 적분을 특성 함수의 실수 부분으로 표현할 수 있는 오일러 공식을 보여줍니다. 이 우아하고 빠른 방법은 특성 함수의 정의를 사용하여 목표 함수와 특성 함수의 적분 사이의 관계를 찾는 것을 용이하게 합니다. 비용 방법은 팽창 계수를 계산하고 밀도를 복구하기 위해 이러한 관계를 발견하는 것을 목표로 합니다. 이 방법은 무한 합계 및 절단 도메인에서 오류를 발생시키지만 이러한 오류는 제어하기 쉽습니다.
이어서 적은 수의 항으로도 높은 정확도를 달성할 수 있는 푸리에 코사인 확장을 요약하는 데 중점을 둡니다. 정규확률밀도함수(PDF)를 이용한 수치실험을 통해 시간측정을 포함하여 항의 수에 따른 오차발생을 살펴보았다. 코드 실험은 코사인 방법을 사용하여 밀도를 생성하도록 구성되어 있으며 오류는 코사인 방법을 사용하여 복구된 밀도와 정확한 정상 PDF 간의 최대 절대 차이로 정의됩니다. 코사인 방법은 방법의 핵심인 특성 함수를 사용하여 밀도를 복구하는 데 몇 줄의 코드만 필요합니다.
또한 발표자는 행렬 표기법을 사용하여 효율적으로 수행할 수 있는 푸리에 확장의 수치 결과에 대해 논의합니다. 오류는 확장 항의 수가 증가함에 따라 감소하며 64개 항에서 달성된 10^-17의 낮은 오류입니다. 적은 수의 항을 사용하면 진동이 발생하거나 적합도가 떨어질 수 있습니다. 발표자는 도메인 및 확장 항의 수와 같은 매개변수를 특히 꼬리가 많이 달린 분포의 경우 신중하게 조정해야 한다고 지적합니다. 또한 강의에서는 정규 특성 함수를 사용하여 로그 정규 밀도를 모델링할 수도 있음을 강조합니다.
앞으로 강사는 대수정규분포의 경우를 자세히 살펴보고 그 밀도가 정규분포와 어떻게 다른지 설명합니다. 로그 정규 분포로 인해 일반적으로 더 많은 수의 확장 항이 필요합니다. 강사는 특정 유형의 배포 및 도메인에 대해 적절한 수의 용어를 선택하는 것이 중요함을 강조합니다.
원가법은 밀도회복에 특히 유용하며 만기에만 지불하는 유럽형 옵션 등 파생상품 가격결정에 흔히 사용됨을 강조한다. 강사는 위험 중립 측정 하에서 밀도 및 보수 함수의 곱 통합을 포함하여 가격 책정이 어떻게 작동하는지 설명합니다.
강의가 진행됨에 따라 연사는 연결 기능을 도출하고 코사인을 사용할 수 있는 보다 이국적인 옵션에 대해 논의합니다. 시간 축의 한 지점에서 다른 지점으로의 전이를 설명하는 분포를 나타내는 "전이 밀도"라는 용어가 도입되었습니다. 초기 값은 임의 변수의 분포로 표시됩니다. 이 프레젠테이션에서는 밀도가 지정된 간격으로 제한되는 밀도 절단에 대해 자세히 살펴봅니다. 가우시안 구적법(Gaussian quadrature method)에 대해 설명합니다. 이 방법은 특정 지수를 곱한 특성 함수의 실수 부분의 합산을 포함합니다.
이 강의에서는 조정된 로그 자산 가격의 개념을 소개합니다. 이는 조정 계수로 나눈 만기 주식의 로그로 정의됩니다. 보상의 대안적 표현이 제시되고 화자는 "v"의 선택이 계수 "h_n"에 직접적인 영향을 미친다는 점에 주목합니다. 이 접근 방식은 여러 행사 가격에 대한 보수를 평가하는 데 사용할 수 있으며 동시에 다양한 행사 가격으로 옵션 가격을 책정하는 편리한 방법을 제공합니다.
다음으로 발표자는 옵션 가격 결정을 위한 푸리에 변환에서 지수 함수와 코사인 함수를 사용하여 보수 함수에 밀도를 곱한 적분을 계산하는 과정에 대해 자세히 설명합니다. 관련된 두 적분에 대한 일반 형식이 제공되며 다양한 보수를 계산하기 위해 다른 계수가 선택됩니다. 연사는 여러 번의 공격에 대해 이 기술을 구현하여 한 번에 모든 공격의 가격을 책정하여 시간을 절약하고 계산 비용을 줄이는 것이 중요하다고 강조합니다. 마지막으로 가격 표시는 행렬에 벡터를 곱한 형태로 표시됩니다.
요소의 벡터화 및 행렬 조작과 관련된 옵션 가격 결정의 푸리에 변환 구현 공식에 대해 설명합니다. 강의는 "k"를 벡터로 취하고 "n_k" 스트라이크로 행렬을 만드는 과정을 설명합니다. 복소수를 처리하기 위해 실수부가 계산됩니다. 특성 기능은 "x"에 의존하지 않고 다중 타격에 대한 효율적인 구현을 달성하는 데 중요한 역할을 하기 때문에 매우 중요합니다. 구현의 정확성과 수렴은 용어의 수에 따라 다르며 샘플 비교가 표시됩니다.
또한 연사는 옵션 가격 책정에서 푸리에 변환 방법에 사용되는 코드를 자세히 살펴보고 관련된 다양한 변수를 설명합니다. 점프 확산 모델의 경우 일반적으로 10 또는 8로 유지되는 계수 "a" 및 "b"의 범위 개념을 도입합니다. 이 코드에는 다양한 모델에 적용할 수 있는 일반 함수인 특성 함수에 대한 람다 표현식이 포함되어 있습니다. 화자는 동일한 실험을 여러 번 반복하여 평균 시간을 계산하여 시간 측정의 중요성을 강조합니다. 마지막으로 비용 방법과 큰 변동성을 가정하기 위해 통합 범위를 활용하는 방법을 설명합니다.
강의는 옵션 가격 결정의 푸리에 변환 방법에 대한 행사가 정의 및 계수 계산 과정에 대한 설명으로 계속됩니다. 강사는 모델 매개변수를 조정하면 더 나은 수렴으로 이어질 수 있고 평가를 위한 더 적은 항이 필요하지만 일반적으로 표준 모델 매개변수를 고수하는 것이 안전하다고 강조합니다. 그들은 매트릭스를 정의하고 매트릭스 곱셈을 수행하여 할인 행사 가격을 얻고 결과 오류를 정확한 솔루션의 오류와 비교하는 단계를 자세히 설명합니다. 강의는 오류가 용어의 수와 선택한 파업 범위에 따라 다르다는 점을 강조합니다.
그런 다음 발표자는 고속 푸리에 변환(FFT) 방법과 코사인 방법을 포함하여 옵션 가격 책정을 위한 다양한 방법을 비교합니다. 그들은 FFT 방법이 많은 수의 격자점에 더 적합하고 코사인 방법이 적은 수의 격자점에 더 효율적이라고 설명합니다. 강사는 두 가지 방법을 사용하여 옵션 가격 계산을 시연하고 결과를 비교합니다.
또한 강의는 위험 관리 및 포트폴리오 최적화와 같은 금융의 다른 영역에서 Fourier 기반 방법의 적용을 다룹니다. 강사는 푸리에 기반 방법을 사용하여 VaR(Value-at-Risk) 및 CVaR(Conditional Value-at-Risk)과 같은 위험 측정을 추정할 수 있다고 설명합니다. 푸리에 방법과 최적화 기법을 결합하면 위험을 최소화하거나 수익을 극대화하는 최적의 포트폴리오 할당을 찾을 수 있습니다.
강의는 프레젠테이션 전반에 걸쳐 논의된 주요 사항을 요약하는 것으로 마무리됩니다. 푸리에 변환 기술은 옵션 가격 책정 및 기타 금융 애플리케이션을 위한 강력한 도구를 제공합니다. 코사인 방법을 사용하면 특성 함수와 푸리에 확장을 활용하여 옵션의 효율적이고 정확한 가격 책정이 가능합니다. 항의 수 및 영역과 같은 매개변수의 선택은 방법의 정확성과 수렴에 영향을 미칩니다. 또한 푸리에 기반 방법은 옵션 가격 책정을 넘어 다양한 재무 문제로 확장될 수 있습니다.
전반적으로 강의는 옵션 가격 책정의 푸리에 변환 기술에 대한 포괄적인 개요를 제공하며 밀도 복구, 보간법, cos 방법, 로그 정규 분포, 다중 스트라이크, 구현 고려 사항 및 다른 가격 책정 방법과의 비교와 같은 주제를 다룹니다. 강사의 설명과 코드 예제는 재무에서 이러한 기술의 실제 적용을 설명하고 정확성과 효율성 측면에서 이점을 강조하는 데 도움이 됩니다.
00:00:00 이 섹션에서는 옵션 가격 결정을 위한 푸리에 변환에 대해 알아봅니다. 푸리에 변환 기술은 미세 확산 모델 클래스에 속하는 모델에 대한 밀도 및 효율적인 가격 옵션을 계산하는 데 사용됩니다. 이 기술은 계산 비용이 많이 들 수 있는 실제 축에 대한 적분 계산을 포함합니다. 그러나 반전 보조 정리를 사용하면 u에 대한 도메인을 줄이고 적분의 실수 부분을 계산할 수 있으므로 비용이 많이 드는 계산에서 벗어나는 데 도움이 됩니다. 블록에는 빠른 푸리에 변환을 사용하여 이 표현의 개선에 대한 논의가 포함되어 구현을 훨씬 빠르고 효율적으로 만듭니다. 마지막으로 세션은 푸리에 변환 방법과 비용 방법을 비교하고 이러한 기술의 구현 세부 사항을 설명하는 것으로 마무리됩니다.
00:05:00 이 섹션에서 강사는 옵션 가격 책정을 위해 빠른 푸리에 변환을 사용하여 밀도를 계산하는 빠른 방법을 유도하는 첫 번째 단계에 대해 설명합니다. 첫 번째 단계는 도메인을 2개로 나누고 실제 부분을 차지하는 것으로 비용이 적게 듭니다. 또한 강사는 복소수를 나누고 특성 함수를 보다 효율적으로 계산할 수 있는 켤레를 취하는 방법에 대해 설명합니다. 강의는 또한 특정 도메인을 선택하고 경계를 정의하는 것과 관련된 모든 x에 대한 밀도를 얻기 위해 격자를 구성하는 것을 다룹니다.
00:10:00 강의의 이 섹션에서 교수는 푸리에 변환 적분과 그리드 포인트의 n개의 그리드를 사용하여 x의 밀도를 계산하는 방법을 설명합니다. 그들은 동시에 여러 x에 대해 밀도 계산을 수행해야 함을 명확히 합니다. 그리드가 정의되면 감마라는 함수의 0에서 무한대까지 새로운 적분을 정의하고 이산 적분에서 사다리꼴 적분을 결정합니다. 교수는 균일한 간격의 격자가 있는 함수에 대해 사다리꼴 적분을 수행하는 방법을 설명하기 위해 예를 제공합니다.
00:15:00 강의의 이 섹션에서 발표자는 푸리에 변환을 위한 그리드를 정의하기 위해 매개변수를 구성하는 프로세스에 대해 설명합니다. 이러한 매개변수에는 그리드 포인트 수, u의 최대값, 델타 x와 델타 u 간의 관계가 포함됩니다. 이러한 매개변수가 정의되면 적분과 합계를 대체할 수 있으며 각 x 값에 대해 함수를 얻을 수 있습니다. 스피커는 사다리꼴 통합 및 사다리꼴의 경계 노드에서 평가되는 문자 함수를 포함하는 방정식을 제공합니다.
00:20:00 강의의 이 섹션에서 연사는 적분의 표현과 옵션 가격 책정에서 고속 푸리에 변환(FFT)을 사용하는 것의 중요성에 대해 논의합니다. 연사는 FFT의 입력에 맞는 함수를 정의함으로써 대부분의 라이브러리에서 이미 사용 가능한 FFT의 빠른 평가 및 구현의 이점을 누릴 수 있다고 설명합니다. 그런 다음 스피커는 이 변환을 계산하는 단계와 적분을 계산하는 데 사용할 수 있는 방법을 설명합니다. 전반적으로 강의는 전산 금융에서 FFT의 관련성과 옵션 가격 책정에 대한 유용성을 강조합니다.
00:25:00 이 섹션에서 강사는 옵션 가격 책정을 위한 푸리에 변환에 대해 설명합니다. 푸리에 변환에 사용할 특성 함수와 그리드를 정의하는 것으로 시작합니다. 강사는 불연속적인 포인트 수(예: 수천 포인트)가 있지만 원활한 작동을 위해서는 수백만 포인트가 필요하므로 보간법의 필요성을 지적합니다. 그들은 특성 함수의 사다리꼴 통합이 밀도를 복구하는 데 도움이 되지만 여전히 도움이 되지 않는다는 점에 주목합니다. 강사는 고속 푸리에 변환을 사용하면 이산화 푸리에 변환에 필요한 평가 및 연산 횟수를 줄일 수 있다고 설명합니다. 그들은 그리드 포인트의 차원이 증가할 때 작업 감소를 비교하는 그래프를 보여줍니다. 여기서 빠른 푸리에 변환으로 달성되는 복잡성은 훨씬 더 좋습니다.
00:30:00 이 섹션에서는 강사가 푸리에 변환과 옵션 가격 책정에 사용하는 방법에 대해 설명합니다. 하나의 용어에 초점을 맞추고 결합 함수에서 계산된 밀도의 보정 함수를 정의합니다. 강사는 고속 푸리에 변환을 사용함으로써 행렬 m의 대각선 양쪽에 있는 항이 실제로는 같은 항이라는 점을 가장 큰 장점으로 강조하며, 이 사실을 사용하여 계산에 필요한 연산 수를 줄일 수 있습니다. 또한 강의는 대각선 반대쪽에 있는 카운터에서 용어 간의 대칭 및 유사성 속성에 대해 설명합니다. 강의는 zk에서 문제를 표현하는데 필수적인 보정항에 대해 자세히 설명합니다.
00:35:00 이 섹션에서 강사는 전산 금융에서의 고속 푸리에 변환(FFT) 적용에 대해 설명합니다. FFT 알고리즘은 메트릭에서 용어의 유사성 속성을 활용하여 필요한 계산 수를 줄이는 데 도움이 됩니다. 그러나 FFT를 사용하려면 공식이 알고리즘이 소화할 수 있는 특별한 형식이어야 합니다. 강사는 밀도를 복구하기 위해 다양한 수치 적분 기법을 사용할 수 있지만 공식은 FFT를 적용할 수 있어야 한다고 강조합니다. 마지막으로 강사는 가우시안 분포에 대한 FFT 코딩과 다양한 매개변수가 밀도 복구에 미치는 영향을 보여주는 실험을 제공합니다.
00:40:00 이 섹션에서 강사는 옵션 가격 책정을 위한 푸리에 변환의 복구 밀도 함수에 대한 세부 사항을 논의합니다. 변환에 사용되는 점의 수는 n이며, 이는 높은 정확도 밀도를 달성하기에 충분히 커야 합니다. 강사는 i를 도메인과 최대값을 정의하는 데 사용되는 복소수로 정의하고 u 최대값은 분포에 의해 결정됩니다. 강사는 계속해서 fxi 지점의 그리드 xi에서 3차 보간법을 사용하여 보간법을 처리하는 방법을 설명합니다. 이 보간은 그리드에 없는 입력에 대해서도 출력 밀도 함수가 정확하게 계산되도록 하기 위해 필요합니다.
00:45:00 비디오의 이 섹션에서 연사는 보간법의 이점과 보간법이 푸리에 변환을 사용한 옵션 가격 책정과 어떻게 관련되는지에 대해 설명합니다. 화자는 푸리에 변환이 큰 상자에 유리하지만 FFT보다 비교적 저렴하기 때문에 더 큰 수의 경우 보간법이 선호될 수 있다고 언급합니다. 연사는 또한 코드를 통해 보간이 작동하는 방식을 시연하고 매개 변수를 변경하면 추가 비용 없이 민감도를 계산하고 그리스어를 얻을 수 있으므로 코사인 확장 기술이 배리어 및 버뮤다 옵션과 같은 보다 이국적인 파생 상품의 가격을 책정하는 데 이상적이라고 설명합니다.
00:50:00 이 섹션에서 강사는 Taylor 급수와 전산 금융에서 사용되는 특성 함수 간의 관계에 대해 설명합니다. 이 계열은 특성 함수와 일대일로 대응하므로 추가 적분 없이 직접적인 관계가 가능합니다. 강사는 계속해서 옵션 가격 책정을 위한 cos 방법을 설명합니다. 이 방법은 푸리에 코사인 확장을 사용하여 0에 가까운 짝수 함수를 나타냅니다. 이 방법에는 적분과 계수 계산이 포함되며 확장의 첫 번째 항에 항상 반을 곱해야 한다는 점을 유념하는 것이 중요합니다.
00:55:00 이 섹션에서 화자는 a에서 b까지 유한 지원 범위를 갖기 위해 함수 g에 대한 적분 영역을 변경해야 할 필요성에 대해 논의합니다. 그들은 표현을 단순화하는 오일러 공식의 중요성을 설명하고 kpi를 ba로 나눈 값으로 u를 대체하는 것이 밀도와 관련된 더 간단한 표현으로 이어지는 방법을 보여줍니다. 잘린 도메인은 모자로 표시되며 매개변수 a 및 b에 대한 특정 값은 해결 중인 문제에 따라 선택됩니다. 화자는 이것이 근사 기법이며 a와 b의 값을 선택하는 것과 관련된 휴리스틱 선택이 있음을 강조합니다.
01:00:00 이 섹션에서는 푸리에 확장과 밀도 회복 사이의 관계에 대해 강의합니다. 강의에서는 방정식 양쪽의 실수 부분을 취함으로써 밀도의 적분을 특성 함수의 실수 부분으로 표현할 수 있는 오일러 공식이 있음을 보여줍니다. 이는 통화 함수의 정의를 사용하여 대상 함수의 적분과 특성 함수 간의 관계를 찾는 매우 우아하고 빠른 방법입니다. 비용법은 목표함수의 적분과 특성함수의 아름다운 관계를 찾아 팽창계수와 밀도회복을 계산하는 것입니다. 이 방법은 무한 합계 및 절단 도메인에서 발생하는 오류를 도입하지만 이러한 오류는 제어하기 쉽습니다.
01:05:00 옵션 가격 책정을 위한 푸리에 변환 강의의 이 섹션에서는 푸리에 코사인 확장의 요약에 중점을 둡니다. 확장은 항의 수를 기준으로 오류 발생을 확인하고 시간을 측정하는 일반 PDF를 포함하는 수치 실험에서와 같이 존재하는 몇 개의 항에 대해서도 높은 정확도를 달성할 수 있습니다. 코드 실험은 코사인 방법을 사용하여 밀도를 생성하고 오류를 밀도의 최대 절대 차이로 정의하고 코사인 방법을 사용하여 복구하고 정확한 정상 PDF와 비교하도록 구성됩니다. 코사인 방법은 방법의 핵심인 특성 함수를 사용하여 밀도를 복구하는 몇 줄의 코드만 필요합니다.
01:10:00 이 섹션에서 발표자는 행렬 표기법으로 효율적으로 수행할 수 있는 푸리에 확장의 수치 결과에 대해 논의합니다. 오류는 확장 항의 수가 증가함에 따라 감소하며 64개 항에서 10^-17의 오차가 달성됩니다. 항 수가 적으면 진동이 발생하거나 적합도가 떨어질 수 있습니다. 발표자는 도메인 및 확장 용어 수와 같은 매개 변수를 조정해야 하며, 특히 꼬리가 많이 분포된 분포에 대해 조정해야 한다고 말합니다. 로그 정규 밀도는 정규 특성 함수를 사용하여 모델링할 수도 있습니다.
01:15:00 이 섹션에서 강사는 대수정규분포의 경우와 그 밀도가 정규분포와 어떻게 다른지에 대해 논의합니다. 로그 정규 분포로 인해 더 많은 수의 확장 항이 필요합니다. 강사는 특정 유형의 배포 및 도메인에 대한 용어 수를 유지하도록 권장합니다. 원가법은 밀도 회복에 강력하며 만기에만 지불하는 유럽식 옵션과 같은 파생 가격 결정에 주로 사용됩니다. 강사는 가격 책정이 어떻게 작동하는지 설명합니다. 여기에는 위험 중립 척도에서 밀도 및 보수 함수의 곱을 통합하는 것이 포함됩니다.
01:20:00 이 섹션에서 비디오는 연결 기능을 파생하고 화장품을 사용할 수 있는 더 이국적인 옵션에 대해 설명합니다. 분포라는 용어는 전이 밀도로, 시간 축의 한 지점에서 다른 지점으로 전이 밀도를 계산할 때 초기 값은 임의 변수의 분포로 표시됩니다. 그런 다음 프레젠테이션에서는 밀도가 지정된 간격으로 잘리는 밀도의 잘림과 특성 함수의 실수 부분과 일부 지수의 합계를 통합하는 가우시안 구적 방법에 대해 논의합니다. 조정된 로그 자산 가격은 만기 시 주식의 대수를 배율 계수로 나눈 값으로 정의되며 보상의 대체 표현이 제시됩니다. 비디오는 v의 선택이 계수 hn에 직접적인 영향을 미치며 이 접근 방식을 여러 번의 스트라이크에 대한 보수를 평가하는 데 사용할 수 있다고 설명합니다.
01:25:00 이 섹션에서 발표자는 옵션 가격 결정을 위한 푸리에 변환에서 지수 및 코사인 함수를 사용하여 밀도를 곱한 보수 함수에 대한 적분을 계산하는 과정에 대해 논의합니다. 스피커는 계속해서 관련된 두 적분에 대한 일반 형식과 서로 다른 계수를 선택하여 다양한 보수를 계산할 수 있는 방법을 설명합니다. 연사는 모든 스트라이크의 가격을 한 번에 책정할 수 있으므로 시간을 절약하고 비용을 절감할 수 있는 여러 스트라이크에 대해 이 기술을 구현할 수 있는 것의 중요성을 강조합니다. 마지막으로 화자는 행렬에 벡터를 곱한 형태로 가격 표시를 설명합니다.
01:30:00 강의의 이 섹션에서는 옵션 가격 책정을 위한 푸리에 변환 구현 공식에 대해 설명합니다. 여기에는 요소 벡터화 및 행렬 조작이 포함됩니다. 구현에는 k를 벡터로 취하고 nk 스트라이크가 있는 행렬을 만드는 작업이 포함됩니다. 수식에는 복소수를 처리하기 위한 실수 부분 계산이 포함됩니다. 특성 함수는 x에 의존하지 않기 때문에 중요도가 높으며 다중 타격에 대한 효율적인 구현을 달성하는 데 중요한 역할을 합니다. 구현의 정확성과 수렴은 용어의 수에 따라 다르며 샘플 비교가 표시됩니다.
01:35:00 이 섹션에서 발표자는 옵션 가격 책정을 위한 푸리에 변환 방법에 사용되는 코드에 대해 논의하고 관련된 다양한 변수를 설명합니다. 그들은 계수 a와 b에 대한 범위의 개념을 소개하고 점프 확산 모델에 대해 일반적으로 10 또는 8로 유지되는 방법을 설명합니다. 이 코드에는 다른 모델에서 작동할 수 있는 일반 함수인 특성 함수에 대한 람다 식도 포함되어 있습니다. 발표자는 동일한 실험을 여러 번 반복하고 모든 실험의 평균 시간을 취함으로써 시간 측정의 중요성을 강조합니다. 마지막으로 비용 방법과 큰 변동성을 가정하기 위해 통합 범위를 사용하는 방법을 설명합니다.
01:40:00 이 섹션에서 연사는 행사가를 정의하고 옵션 가격 결정의 푸리에 변환 방법에 대한 계수를 계산하는 과정을 설명합니다. 발표자는 모델 매개변수를 조정하는 동안 더 나은 수렴과 평가에 필요한 용어 수를 줄일 수 있지만 일반적으로 표준 모델 매개변수를 고수하는 것이 안전하다고 지적합니다. 그런 다음 발표자는 행렬을 정의하고 행렬 곱셈을 수행하여 할인된 행사가를 얻는 단계를 자세히 설명합니다. 결과 오류는 블랙홀 방법의 오류와 비교됩니다. 또한 발표자는 추가 스트라이크를 도입하면 기능이 더 원활해지고 여러 스트라이크에 대한 모델 보정이 더 쉬워지는 방법을 보여줍니다.
Computational Finance Lecture 8- Fourier Transformation for Option Pricing▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬This course is based on the book:"Mathematic...
월스트리트: 스피드 트레이더
월스트리트: 스피드 트레이더
많은 사람들은 미국에서 주식 거래의 대부분이 더 이상 인간이 아니라 로봇 컴퓨터에 의해 실행된다는 사실을 모르고 있습니다. 이 슈퍼컴퓨터는 눈 깜짝할 사이에 수천 개의 서로 다른 증권을 사고팔 수 있습니다. 알려진 바와 같이 초단타매매는 최근 몇 년 동안 월스트리트에서 만연해 왔으며 지난 봄 다우존스 산업평균지수가 단 15분 만에 600포인트 폭락했을 때 소규모 시장 폭락의 원인이 되었습니다.
증권 거래 위원회와 의회 의원들은 컴퓨터 거래를 통한 시장 조작의 유용성, 잠재적 위험 및 의혹에 대해 어려운 질문을 제기하기 시작했습니다. 인간 트레이더에서 기계로의 전환은 한때 금융 세계의 중심이었던 뉴욕 증권 거래소의 풍경을 변화시켰습니다. 이제 거래의 30% 미만이 거래소에서 발생하고 나머지는 전자 플랫폼과 대체 거래 시스템을 통해 수행됩니다.
대형 은행과 고주파 거래 회사가 소유한 두 개의 전자 증권 거래소인 BATS와 Direct Edge가 등장하여 놀라운 속도로 하루에 10억 개 이상의 주식을 거래합니다. Manoj Narang과 Quants(양적 분석가)라고 하는 수학자 및 과학자 팀이 운영하는 Tradeworks와 같은 고주파 거래 회사가 이 관행에 참여합니다. 그들은 거래당 1페니 이하의 이익을 내는 것을 목표로 1초도 안 되는 시간 동안 거래를 실행합니다. 이러한 회사는 컴퓨터에 프로그래밍된 복잡한 수학적 알고리즘에 의존하여 실시간 데이터를 분석하고 순식간에 결정을 내립니다.
고주파 거래의 주요 측면 중 하나는 컴퓨터가 거래되는 회사를 이해하지 못한다는 것입니다. 그들은 회사, 경영진 또는 기타 질적 요소의 가치를 모릅니다. 거래 결정은 순전히 정량적 요소, 확률 및 통계 분석을 기반으로 합니다. 이 접근 방식은 시장에서 일시적인 기회를 포착할 수 있지만 근본적인 요소를 무시합니다.
고주파 거래자는 속도 이점을 얻기 위해 슈퍼컴퓨터와 인프라에 막대한 투자를 합니다. 컴퓨터가 증권 거래소 서버에 가까울수록 중요한 시장 정보를 더 빨리 받을 수 있습니다. 몇 밀리초의 이점이라도 상당한 이익을 가져올 수 있습니다. 비평가들은 초단타 거래자들이 이 이점을 이용하여 실제 가치를 추가하지 않고 선행 주문, 주식 조작 및 시장에서 돈을 추출한다고 주장합니다.
지지자들은 고주파 거래가 시장 유동성을 증가시키고 거래 비용을 줄이며 주식 스프레드를 축소한다고 주장하지만 비평가들은 그것이 공정성과 투명성을 훼손한다고 믿습니다. 거래의 빠른 특성과 알고리즘의 복잡성으로 인해 규제 기관이 공정한 경쟁의 장을 모니터링하고 보장하기가 어렵습니다. 다우존스가 몇 분 만에 600포인트 폭락했던 2010년의 "플래시 크래시"는 초단타매매 및 통제력 부족과 관련된 잠재적 위험을 노출시켰습니다.
규제 당국과 입법자들은 초단타매매와 관련된 문제를 해결하기 위한 개혁안을 제안하기 시작했습니다. 증권거래위원회는 고빈도 매매를 추적·식별하는 방안을 검토하고 있으며, 가격 변동성이 극심한 경우 거래를 정지시키는 서킷 브레이커를 시행하고 있습니다. 그러나 시장의 무결성에 대한 신뢰를 회복하고 시스템이 조작되었다고 느끼는 일반 투자자에게 투명성을 제공하려면 더 많은 변화가 필요합니다.
최근 몇 년 동안 고주파 거래자들은 통화 및 상품 시장으로 활동을 확장하여 금융 시장에 미치는 영향에 대한 우려를 더욱 높였습니다. 기술의 발전은 규제 기관의 능력을 능가했으며 혁신과 시장 무결성 사이의 균형을 맞추는 개혁에 대한 요구가 커지고 있습니다.
"금융의 수학적 모델링 및 계산: 연습 및 Python 및 MATLAB 컴퓨터 코드 사용" , CW Oosterlee 및 LA Grzelak 작성, World Scientific Publishing, 2019.
"금융의 수학적 모델링 및 계산: 연습과 Python 및 MATLAB 컴퓨터 코드 사용"은 수학, 금융 및 컴퓨터 과학의 교차점을 탐구하는 귀중한 책입니다. 해당 분야의 전문가가 작성한 이 책은 Python 및 MATLAB과 같은 널리 사용되는 프로그래밍 언어를 사용하여 재무에서 수학적 모델을 이해하고 구현하는 데 대한 포괄적인 가이드를 제공합니다.
이 책은 독자들에게 확률 이론, 확률적 미적분학 및 최적화 기술을 포함하여 재무에서 수학적 모델링의 기본 개념을 소개하는 것으로 시작합니다. 실제 금융 문제를 해결하는 데 있어 수치적 방법과 시뮬레이션의 중요성을 강조하면서 모델링 및 계산의 실용적인 측면을 강조합니다.
이 책의 눈에 띄는 특징 중 하나는 Python과 MATLAB의 수많은 연습 문제와 컴퓨터 코드가 포함되어 있다는 것입니다. 이러한 연습을 통해 독자는 자료에 적극적으로 참여하고 개념에 대한 이해를 강화하며 프로그래밍 기술을 개발할 수 있습니다. 연습을 통해 작업하고 제공된 코드를 구현함으로써 독자는 재무 분석을 위해 이러한 프로그래밍 언어를 사용하여 숙련도를 향상시키고 재무에 수학적 모델을 적용하는 실제 경험을 얻을 수 있습니다.
이 책은 옵션 가격 책정, 포트폴리오 최적화, 위험 관리 및 자산 배분과 같은 금융과 관련된 광범위한 주제를 다룹니다. 변동성 모델링, 이자율 모델링 및 신용 위험 모델링과 같은 고급 주제를 탐구하여 독자에게 재무 모델링에 사용되는 수학적 기법에 대한 포괄적인 이해를 제공합니다.
저자는 책 전반에 걸쳐 이론적 엄격함과 실제 적용 사이의 균형을 유지합니다. 실제 예제 및 사례 연구와 함께 근본적인 수학적 개념 및 알고리즘에 대한 명확한 설명을 제공합니다. 이 접근 방식을 통해 독자는 이론적 토대를 파악하는 동시에 이러한 모델을 적용하여 실제 재정 문제를 해결하는 방법에 대한 통찰력을 얻을 수 있습니다.
또한 이 책은 실제 시나리오에서 모델을 선택하고 구현할 때 정보에 입각한 결정을 내리는 데 필요한 비판적 사고 기술을 독자에게 제공하여 다양한 모델링 접근 방식의 장점과 한계를 강조합니다.
"금융의 수학적 모델링 및 계산: 연습과 Python 및 MATLAB 컴퓨터 코드 사용"은 수학적 모델링 및 계산 방법에 대한 이해를 심화하려는 금융 분야의 학생, 연구원 및 실무자를 위한 훌륭한 리소스입니다. 이론적 설명, 실습, 바로 사용할 수 있는 컴퓨터 코드의 조합은 재정 문제를 해결하기 위해 수학적 기법을 적용하는 데 관심이 있는 모든 사람에게 필수적인 동반자입니다.
https://github.com/LechGrzelak/Computational-Finance-Course
이 과정 전산 금융은 "금융의 수학적 모델링 및 계산: 연습과 Python 및 MATLAB 컴퓨터 코드"라는 책을 기반으로 합니다.
전산 금융: 강의 1/14(자산 클래스 소개 및 개요)
이 포괄적인 강의는 현대 금융을 이해하는 데 필수적인 광범위한 주제를 다루는 전산 금융 및 금융 공학의 매혹적인 분야에 대한 소개 역할을 합니다. 강사는 다양한 시나리오에서 파생 상품 가격 책정을 위한 실용적인 모델을 만드는 데 활용되는 수학 및 전산 금융의 이론적 모델의 중요성을 강조합니다.
전산 금융 과정에서 학생들은 실용적인 금융 방법을 이해하고 적용하는 데 중요한 다양한 주제를 탐구합니다. 강사인 Leth Lag가 진행하는 이 과정은 시뮬레이션 및 옵션 가격 책정을 위해 Python을 사용하여 효율적인 프로그래밍 기술의 구현을 강조합니다. 이 포괄적인 프로그램은 금융, 양적 금융 및 금융 공학에 관심이 있는 개인을 위해 설계되었습니다. 내재 변동성, 헤지 전략, 이국적인 파생 상품의 매혹적인 영역과 같은 필수 개념을 다룰 것입니다.전산 금융은 수학적 금융과 수치적 방법 사이에 위치한 학제간 분야입니다. 주요 목표는 프로그래밍 기술과 이론적 모델을 결합하여 경제 분석에 직접 적용할 수 있는 기술을 개발하는 것입니다. 반면에 금융 공학은 금융 이론, 공학 방법, 수학적 도구 및 프로그래밍 실습을 사용하는 종합적인 접근 방식을 포함합니다. 금융 엔지니어는 파생상품의 가격을 책정하고 복잡한 금융 계약을 효율적으로 처리하는 데 활용할 수 있는 수학 및 전산 금융을 기반으로 실용적인 모델을 만드는 데 중요한 역할을 합니다. 이러한 모델은 이론적으로 타당하고 다양한 시나리오에 적용할 수 있어야 합니다.
이 과정은 주식, 옵션, 금리, 외환, 신용 시장, 원자재, 에너지 및 암호 화폐를 포함하여 전산 금융에서 거래되는 다양한 자산 클래스에 대해 조명합니다. 특히 암호화폐는 다양한 자산 등급에 대한 노출을 제공하며 헤징 목적으로 사용될 수 있습니다. 각 자산 클래스에는 위험 통제 및 헤징 전략에 사용되는 고유한 계약이 있습니다. OTC(Over-the-Counter) 시장은 여러 거래 상대방이 있어 이해해야 할 추가적인 복잡성을 나타냅니다.
강사는 다양한 기능과 특정 방법론, 모델 및 가격 책정 가정의 필요성을 강조하면서 금융에서 암호 화폐의 역할을 탐구합니다. 또한 금리, 외환, 주식, 원자재, CDS(Credit Default Swap)와 같은 다양한 자산군의 시장 점유율을 조사합니다. 옵션은 금융 세계의 상대적으로 작은 부분을 나타내지만 금융 및 전산 분석에 대한 뚜렷한 관점을 제공합니다.
옵션과 투기에 대한 주제가 철저히 논의될 것이며, 상대적으로 적은 자본 투자로 개인이 주식의 미래 방향에 대해 추측할 수 있게 함으로써 옵션이 주식 구매의 대안을 제공하는 방법을 강조합니다. 그러나 옵션에는 만기가 있으며 주가가 변하지 않으면 가치를 잃을 수 있으므로 타이밍이 투기에서 중요한 요소입니다. 이 과정은 금융 시장, 자산 등급 및 이러한 복잡한 환경을 탐색하는 금융 엔지니어의 역할에 대한 소개를 제공합니다. 가장 인기 있는 자산군인 주식에 대해 자세히 살펴보며 소유권의 개념과 주식 가치가 회사 실적 및 미래 기대치에 어떻게 영향을 받는지 강조합니다.
강의는 수요와 공급, 경쟁사 및 회사 실적과 같은 요인에 의해 영향을 받는 시장에서 주식 행동의 확률론적 특성을 밝힐 것입니다. 주식의 예상 가치는 실제 가치와 다를 수 있으며 변동성이 발생할 수 있습니다. 변동성은 주식 가격의 미래 변동을 결정하므로 모델링 및 가격 옵션에서 중요한 요소입니다. 또한 강의는 두 가지 유형의 투자자, 즉 배당 수익에 관심이 있는 투자자와 성장 기회를 찾는 투자자를 구분할 것입니다.
배당금과 배당금 투자의 개념을 소개하고, 기업이 정기적으로 주주들에게 배당금을 배분함에 따라 배당금이 어떻게 꾸준하고 확실한 투자를 제공하는지 강조합니다. 그러나 배당금 지급은 다를 수 있으며 높은 배당 수익률은 회사 투자의 위험이 증가했음을 나타낼 수 있습니다. 강의는 금리와 자금 시장에 대해 간략하게 다룰 것이며, 이러한 주제는 후속 과정에서 더 광범위하게 다룰 것임을 인정합니다.
인플레이션과 이자율에 미치는 영향에 대해 논의하고 중앙 은행이 이자율을 조정하여 인플레이션을 제어하는 방법을 설명합니다. 강의는 금리 인하의 단기적 이점과 장기적 영향뿐만 아니라 현대 통화 이론이나 중앙 은행의 자산 매입과 같은 대체 전략을 탐구합니다. 또한 금리를 결정하는 시장 참여자 간의 불확실성의 역할과 인플레이션이 시민에게 미치는 숨겨진 세금 효과에 대해 설명합니다. 강의는 대출의 위험 관리 주제를 탐구하는 것으로 마무리됩니다. 강사는 대출자가 파산하거나 대출 불이행과 같은 대출 기관이 직면한 잠재적 위험을 강조합니다. 이러한 위험을 완화하기 위해 대금업자는 종종 잠재적 손실에 대해 적절하게 보상되도록 위험 프리미엄을 부과합니다.
앞으로 연사는 금리와 금융에서의 중요성에 초점을 맞출 것입니다. 그들은 이자율이 저축 계좌, 모기지 및 대출을 포함한 다양한 금융 상품에 어떤 영향을 미치는지 설명할 것입니다. 인플레이션과 같은 요인으로 인해 현재 한 단위의 통화가 미래의 동일한 단위보다 더 가치가 있다는 개념을 강조하면서 복리 이자의 개념이 도입될 것입니다. 이자율을 계산하는 두 가지 주요 방법인 단순 및 복리를 각각의 차이점과 실제 사례에 대한 자세한 설명과 함께 논의할 것입니다.
연사는 특히 만기가 1년인 투자에 대해 복리 금리에 대해 더 깊이 파고들 것입니다. 지수 함수를 사용하여 복리 이율의 수학적 모델링을 설명할 것입니다. 여기에서 하나의 통화 단위에 e를 이자율의 거듭제곱으로 곱합니다. 또한 연사는 이 수학적 표현이 저축 계좌를 관리하는 미분 방정식과 어떻게 일치하여 미래 현금 흐름을 할인하는 데 사용되는 곱셈 계수를 결정하는지 설명합니다. 그러나 화자는 실제로 이자율이 일정하지 않고 시간이 지남에 따라 변한다는 점에 유의할 것입니다. 테너와 같은 다양한 도구와 유로 및 미국 달러와 같은 통화의 가격에서 알 수 있습니다.
유로존과 달러에 대한 이자율과 시장 유동성을 나타내는 그래프가 논의될 것입니다. 특히 유로존의 현재 상태는 최대 30년까지 모든 만기에서 마이너스 수익률을 보여 유로존 내에서 국채에 투자하면 손실을 입을 수 있음을 암시합니다. 연사는 개인이 더 높은 수익률을 제공하는 유로를 달러로 교환하고 미국 채권에 투자하는 것을 선호할 수 있다고 제안할 것입니다. 그럼에도 불구하고 이러한 접근 방식은 환율 변동으로 인한 잠재적 손실을 포함하여 위험을 수반합니다. 연사는 금리가 시간 의존적이며 시장 역학의 영향을 받는다는 점을 강조할 것입니다.
강사는 채권 매입의 개념에 대해 설명하고 채권 매입자들은 채권의 실제 가치보다 더 많은 금액을 지불하는 경우가 많다는 점을 강조합니다. 결과적으로 채권에 투자된 돈의 가치는 시간이 지남에 따라 감가 상각될 수 있으며 인플레이션은 투자 가치를 잠식할 수 있습니다. 연기금 및 중앙은행과 같은 채권의 주요 구매자가 언급되어 채권 시장에서 그들의 중요한 역할을 강조합니다. 또한 강사는 시간이 지남에 따라 금융 가격의 변화를 측정하는 변동성의 개념을 다룰 것입니다. 변동성은 분산과 같은 통계적 척도를 사용하여 계산되며 시장 또는 보안의 변동 경향에 대한 통찰력을 제공하여 불확실성과 위험을 초래합니다.
그런 다음 이 과정은 전산 금융의 두 가지 중요한 개념인 자산 수익률과 변동성에 관심을 돌릴 것입니다. 자산 수익률은 특정 기간 내 유가 증권의 손익을 의미하는 반면 변동성은 이러한 수익률의 분산을 측정합니다. 변동성이 큰 시장은 단기간에 상당한 가격 변동을 나타내어 불확실성과 위험이 높아집니다. 시장의 불확실성을 측정하는 도구인 VIX 지수가 도입됩니다. 그것은 외가격 또는 풋 옵션을 활용하며 일반적으로 투자자가 시장 가치 하락 시 자본을 보호하기 위해 사용합니다. 실제로는 어려울 수 있으므로 타이밍과 노출 시간 예측의 중요성을 강조합니다.
강사는 VIX 지수를 포함한 다양한 지수의 변동성 분석의 복잡성에 대해 논의할 것입니다. 그들은 시장 상황과 변동으로 인한 변동성을 수학적으로 모델링하는 데 어려움이 있음을 인정할 것입니다. 또한 변동성에 기반한 파생 가격 책정의 기본 구성 요소 역할을 하는 유럽식 옵션이 도입될 예정입니다. 강사는 콜옵션과 풋옵션을 명확하게 구분하여 콜옵션은 미리 정해진 가격과 날짜에 자산을 살 수 있는 권리를 부여하는 반면, 풋옵션은 보유자에게 미리 결정된 가격으로 자산을 팔 수 있는 권리를 부여한다고 설명합니다. 본질적으로 보험 역할을하는 날짜.
옵션의 기초가 확립되면 강사는 다양한 자산 클래스 내의 옵션에 대한 개요를 제시합니다. 콜 옵션과 풋 옵션이라는 두 가지 주요 옵션 유형을 강조합니다. 콜 옵션의 경우 매수자는 지정된 만기일과 행사 가격에 기초 자산을 발행자에게 매도할 권리가 있습니다. 즉, 만기가 되면 구매자가 옵션을 행사하기로 선택하면 작성자는 행사 가격으로 주식을 구매해야 합니다. 반면에 풋 옵션은 구매자에게 지정된 만기일과 행사 가격에 기초 자산을 발행자에게 매도할 수 있는 권리를 부여합니다. 만기가 되면 구매자가 옵션을 행사하는 경우 작성자는 지정된 행사 가격으로 주식을 구매해야 합니다.
옵션의 잠재적인 수익성을 설명하기 위해 강사는 콜 옵션과 풋 옵션에 대한 두 가지 그래픽 표현을 제시합니다. 이 그래프는 기본 주식의 가치를 기반으로 잠재적 이익 또는 손실을 나타냅니다. 시청자는 그래프를 검토하여 주식 가치의 변화가 옵션의 수익성에 어떤 영향을 미칠 수 있는지에 대한 통찰력을 얻을 수 있습니다.
과정 전반에 걸쳐 강사는 파생 상품 모델링, 효율적인 프로그래밍 구현, 시뮬레이션 및 옵션 가격 책정을 위한 Python 사용을 포함하여 전산 금융과 관련된 추가 고급 주제를 탐색합니다. 그들은 세션 중에 라이브로 프로그래밍하고 시청자와 협력하여 결과를 분석하여 실제 경험과 실용적인 통찰력을 제공합니다.
이 과정은 금융, 양적 금융 및 금융 공학에 관심이 있는 개인을 위해 특별히 설계되었습니다. 실제 금융 문제를 해결하는 데 필요한 학제 간 지식과 기술을 제공하여 수학 금융과 수치 방법 사이의 격차를 해소하는 것을 목표로 합니다. 내재 변동성, 헤징 전략 및 이국적인 파생 상품의 개념도 다루어 컴퓨터 금융 및 금융 산업에서의 응용 프로그램에 대한 포괄적인 이해를 제공합니다.
과정이 끝날 때까지 참가자는 전산 금융, 금융 공학 및 수치 방법의 실제 적용에 대한 견고한 기초를 얻게 됩니다. 그들은 파생 상품 가격 책정, 위험 관리 및 금융 데이터 분석을 위한 모델을 개발하고 구현하기 위한 도구와 지식을 갖추게 될 것입니다. 이 과정은 금융, 양적 분석 또는 금융 공학 분야에서 경력을 쌓고자 하는 사람들을 위한 디딤돌 역할을 하여 그들이 정보에 입각한 결정을 내리고 끊임없이 진화하는 전산 금융 분야에 기여할 수 있도록 합니다.
전산 금융: 강의 2/14(주식, 옵션 및 스토캐스틱)
전산 금융: 강의 2/14(주식, 옵션 및 스토캐스틱)
강사는 과정에 대한 개요를 제공하는 것으로 시작하여 거래 신뢰도 이해의 중요성, 헤징 및 재무에서 수학적 모델의 필요성을 강조합니다. 그들은 풋 옵션 가격 책정 주제를 탐구하고 헤징의 개념을 설명합니다. 확률적 미분방정식을 풀기 위한 도구로 Ito의 보조정리를 소개하면서 확률적 프로세스와 자산 가격 모델링도 다룹니다.
이러한 개념의 실제 적용을 설명하기 위해 강사는 투자자가 잠재적인 주식 가치 하락으로부터 투자를 보호하려는 교육 전략의 예를 제시합니다. 최악의 경우를 대비해 최소한의 자금 확보를 위해 풋옵션 형태로 보험에 가입할 것을 제안한다.
옵션 거래로 이동하면서 강사는 주식 가격의 하향 움직임으로부터 보호하기 위해 풋 옵션 사용에 중점을 둡니다. 그러나 그들은 풋 옵션을 사는 것이 비용이 많이 들 수 있다는 점에 주목합니다. 특히 Tesla가 예시한 것처럼 주식의 변동성이 높을 때 그렇습니다. 옵션 비용을 줄이기 위해 행사 가격을 낮출 수 있지만 이는 주식에 대해 더 낮은 가격을 수용하는 것을 의미합니다. 강사는 만기 및 행사 가격으로 분류된 시장에서 사용할 수 있는 다양한 유형의 옵션을 보여주는 Reuters의 스크린샷을 제공합니다. 또한 행사 가격과 콜 및 풋 옵션의 옵션 가격 사이의 관계를 설명합니다.
내재 변동성은 시장 불확실성의 척도로 도입되었습니다. 강사는 행사 가격이 낮을수록 내재 변동성이 높아진다고 설명합니다. 기본 자산에 대한 옵션의 가치 종속성을 측정하는 델타도 도입됩니다. 그런 다음 비디오는 헤징의 개념과 위험 없는 포트폴리오를 달성하기 위해 비율을 설정하는 방법에 대해 자세히 설명합니다. 하지만 주식의 가치가 증가하지 않으면 이익이 제한될 수 있습니다. 단기 투자에 대한 적합성을 강조하면서 옵션 헤징에 대해 논의하지만 변동성이 높은 기간 동안의 잠재적인 비용에 주목합니다.
옵션 거래는 헤지 및 위험 감소 수단으로 추가로 탐구됩니다. 강사는 옵션이 장기 투자에 비용이 많이 들 수 있기 때문에 일반적으로 만기가 확실한 단기 투자에 더 바람직하다고 제안합니다. 콜 헤징 개념이 도입되어 옵션 매도가 대규모 주식 포트폴리오를 보유한 투자자의 위험을 줄이는 데 어떻게 도움이 되는지 강조합니다. 그러나 콜옵션을 너무 많이 매도하는 것은 상승 가능성을 제한할 수 있고 항상 어느 정도의 위험을 수반하므로 주의해야 합니다.
그런 다음 비디오는 예측할 수 없지만 종종 계절적 가격 패턴으로 인해 인플레이션에 대한 헤지로 사용되는 원자재라고 설명하면서 상품에 대해 자세히 설명합니다. 상품 거래는 주로 미래 날짜에 상품을 사고 파는 거래가 이루어지는 선물 시장에서 이루어집니다. 전기 시장과 기타 원자재 간의 차이점이 강조됩니다. 전기는 완전히 저장할 수 없고 파생 상품의 예측 가능성과 가치에 미치는 영향으로 인해 고유한 문제가 제기됩니다.
강사는 일반적으로 외환 시장이라고 하는 자산 클래스로서 통화 거래에 대해 논의합니다. 특정 환율의 전통적인 구매 또는 판매와 달리 개인은 통화 간에 금액을 교환합니다. 강사는 기축통화이자 기축통화인 미국 달러의 역할을 강조한다. 그들은 또한 통화를 강화하거나 약화시키기 위해 중앙 은행의 환율 조작에 대해서도 언급합니다. 또한 국제 비즈니스에서 통화 위험을 헤지하기 위한 외환 파생 상품의 작은 적용이 언급됩니다.
연사는 은행과 금융 기관이 투자 불확실성을 관리하기 위해 변동하는 환율에 대비해 보험을 사고 팔 수 있는 방법을 설명합니다. 다른 국가에 투자하면 다양한 통화 강세 및 통화 정책으로 인해 불확실성이 발생하여 불확실한 수익으로 이어질 수 있습니다. 전산 금융은 불확실성을 모델링하고 다양한 요소를 고려하여 이러한 투자와 관련된 위험을 관리하고 계산하는 데 중요한 역할을 합니다. 연사는 또한 비트코인이 환율로 간주될 수 있으며 미국 달러와의 교환을 통해 가치가 결정되는 규제 상품으로서 비트코인의 하이브리드 특성에 대해 설명합니다. 비트코인의 변동성은 미래 가치를 예측하기 어렵게 만듭니다.
또한 연사는 옵션 가격 책정의 기본 원칙인 위험 중립 가격 책정의 개념을 탐구합니다. 위험중립적 가격결정은 완벽하게 효율적인 시장에서 옵션의 기대수익률이 무위험이자율과 같아야 한다고 가정합니다. 이 접근 방식은 옵션에 대한 예상 수익이 무위험 비율로 할인되는 위험 중립 측정을 기반으로 다양한 결과의 확률을 고려하여 가격 책정 프로세스를 단순화합니다.
그런 다음 스피커는 가격 옵션에 널리 사용되는 수학적 모델인 BSM(Black-Scholes-Merton) 모델을 소개합니다. BSM 모델은 현재 주가, 행사 가격, 만기까지의 시간, 무위험 이자율 및 기초 자산의 변동성과 같은 다양한 요소를 통합합니다. 기본 자산이 기하학적 브라운 운동을 따르고 시장이 효율적이라고 가정합니다.
연사는 유러피안 콜 또는 풋 옵션의 가치를 계산하는 공식을 포함하여 BSM 모델의 핵심 구성 요소에 대해 설명합니다. 변동성이 높을수록 더 큰 가격 변동 가능성으로 인해 옵션의 가치가 증가하므로 옵션 가격 책정에서 변동성의 중요성을 강조합니다. 발표자는 옵션 가격에 내포된 미래 변동성에 대한 시장의 기대인 내재 변동성의 역할에 대해서도 언급합니다.
다음으로 기초자산에 대해 중립적인 포지션을 유지하여 위험을 최소화하는 전략인 델타헤징(Delta Hedging)의 개념에 대해 강의한다. Delta는 기초 자산의 가격 변동에 대한 옵션 가격의 민감도를 측정합니다. 기초 자산에 보유하고 있는 주식 수를 조정함으로써 투자자는 가격 변동에 덜 영향을 받는 델타 중립 포트폴리오를 만들 수 있습니다.
연사는 BSM 모델을 사용하여 델타 헤징 프로세스를 설명하고 어떻게 효과적으로 위험을 줄일 수 있는지 보여줍니다. 기초 자산의 가격이 변함에 따라 헤지가 지속적으로 조정되는 동적 헤징의 개념에 대해 논의합니다. 이를 통해 포트폴리오가 델타 중립을 유지하고 시장 변동에 대한 노출을 최소화할 수 있습니다.
델타 헤징 외에도 감마 헤징, 베가 헤징과 같은 다른 위험 관리 기법을 강의합니다. 감마는 델타의 변화율을 측정하는 반면 베가는 내재 변동성의 변화에 대한 옵션 가격의 민감도를 측정합니다. 이러한 기술을 통해 투자자는 변화하는 시장 상황과 위험에 따라 포지션을 관리하고 조정할 수 있습니다.
강의가 끝날 무렵 연사는 BSM 모델의 한계와 가정을 강조합니다. 그들은 실제 시장이 거래 비용, 유동성 제약 및 시장 마찰의 영향과 같은 모델의 가정에서 벗어날 수 있음을 인정합니다. 연사는 신중한 접근을 장려하고 옵션 가격 책정 모델과 관련된 제한 및 불확실성을 이해하는 것의 중요성을 강조합니다.
전반적으로 강의는 거래 자신감, 헤징 전략, 옵션 가격 책정 모델 및 위험 관리 기술에 대한 포괄적인 개요를 제공합니다. 그것은 학습자가 금융 시장의 복잡한 세계를 탐색하고 거래 및 투자 활동에서 정보에 입각한 결정을 내리는 데 필요한 필수 지식과 도구를 갖추게 합니다.
전산 금융: 강의 3/14(Python의 옵션 가격 책정 및 시뮬레이션)
전산 금융: 강의 3/14(Python의 옵션 가격 책정 및 시뮬레이션)
강의에서 강사는 Python의 주식 경로 시뮬레이션을 탐구하고 가격 옵션에 대한 Black-Scholes 모델을 탐색합니다. 그들은 옵션에 대한 차익 거래 없는 가격을 도출하는 두 가지 접근 방식, 즉 헤징과 마팅게일에 대해 논의합니다. 연사는 마팅게일을 프로그래밍하고 시뮬레이션하는 방법을 시연하며 가격 프레임워크에서 편미분 방정식(PDE)과 몬테카를로 시뮬레이션 사이의 연결을 강조합니다.
오일러 이산화 방법을 사용하여 화자는 확률적 프로세스의 그래프를 시뮬레이션하고 생성하는 방법을 설명합니다. 그들은 간단한 프로세스로 시작하고 Ito의 기본형을 사용하여 S에서 S의 로그인 X로 전환합니다. 그런 다음 강사는 오일러 이산화 방법을 소개하고 Python으로 구현하는 방법을 보여줍니다. 이 방법은 연속 함수를 이산화하고 드리프트 및 브라운 운동 모두에 대한 증분을 시뮬레이션하여 시뮬레이션된 경로의 그래프를 생성합니다.
컴퓨팅 관점에서 발표자는 옵션 가격 책정 모델의 경로 시뮬레이션에 대해 논의합니다. 각 경로를 개별적으로 시뮬레이션하는 대신 타임 슬라이싱을 수행하고 각 행이 특정 경로를 나타내는 행렬을 구성하는 효율성을 설명합니다. 행 수는 경로 수에 해당하고 열 수는 시간 단계 수에 해당합니다. 발표자는 표준 정규 랜덤 변수를 사용하여 이산화 프로세스의 구현을 설명하고 더 나은 수렴을 위한 표준화의 중요성을 강조합니다.
강의는 또한 Python을 사용하여 기하학적 브라운 운동에 대한 경로 시뮬레이션을 다룹니다. 발표자는 안정적인 시뮬레이션을 위해 무작위 시드를 수정하는 방법을 설명하고 자산 가격 모델링을 위한 mu 및 sigma와 같은 매개변수 및 드리프트가 있는 확률적 미분 방정식을 포함하는 Black-Scholes 모델을 소개합니다. 연사는 Black-Scholes 모델이 여전히 금융 산업, 특히 주식 가격 옵션에 널리 사용되고 있다고 강조합니다. 서로 다른 결과 확률을 기반으로 가격 책정 옵션을 지원하는 실제 측정 및 위험 중립 측정의 개념에 대해 논의합니다.
또한 강의는 옵션 가격 책정 및 Python의 시뮬레이션을 탐구합니다. 화자는 차익 거래 또는 위험이 없는 조건을 가정하지 않고 과거 데이터를 기반으로 추정되는 실제 측정과 특정 조건이 유지되어야 하는 위험 중립 측정을 구별합니다. 그들은 주식의 지속적인 거래와 기본 주식의 움직임을 포착하기 위해 옵션 포지션을 조정하는 거래 전략을 제시합니다. 화자는 Ito의 보조정리를 사용하여 포트폴리오의 동역학을 설명하고 이 방법을 통해 옵션 값의 확률적 특성을 도출합니다.
연사는 또한 브라운 운동과 독립적인 헤징 포트폴리오를 구성하는 기술에 대해 자세히 설명합니다. 그들은 델타 중립 포트폴리오를 보장하면서 브라운 운동과 관련된 항을 무효화하는 델타를 선택하는 것에 대해 논의합니다. 연사는 저축 계좌와 동일한 수익을 내는 포트폴리오의 중요성을 강조하고 자금 설정 계좌의 개념을 소개합니다.
또한 Black-Scholes 모델을 사용하여 옵션 평가를 위한 편미분방정식(PDE)의 도출에 대해 강의합니다. 결과 PDE는 옵션의 공정 가치를 결정하는 경계 조건이 있는 2차 파생 상품입니다. 발표자는 Black-Scholes 모델의 옵션 가격이 보정 또는 과거 데이터에서 얻을 수 있는 드리프트 매개변수 mu에 크게 의존하지 않는다고 강조합니다. 그러나 헤징을 위한 거래 비용은 이 모델에서 고려되지 않습니다.
강의는 Black-Scholes 모델 및 옵션 가격 책정 내의 다양한 중요한 개념을 다룹니다. 차익 거래 기회가 없다는 가정을 논의하여 모델 적용에 대한 위험이 없는 시나리오로 이어집니다. 연사는 델타 헤징의 개념과 그것이 포트폴리오의 가장 큰 무작위 요소를 제거하는 방법을 설명합니다. 또한 발표자는 감마를 델타 동작의 척도로 소개하고 모델의 모든 매개변수를 헤지할 수 있음을 강조합니다. 마지막으로 강의는 시간, 행사가, 변동성 및 시장 관련 매개변수와 같은 옵션 가치의 결정 요인을 탐구합니다.
강의에서 연사는 Black-Scholes 모델과 옵션 가격 책정에 적용하는 방법을 자세히 살펴봅니다. 그들은 일정한 변동성과 거래 비용의 부재를 포함하여 모델의 가정과 한계에 대해 논의합니다. 이러한 한계에도 불구하고 Black-Scholes 모델은 유러피안 콜 및 풋 옵션 가격 책정의 단순성과 효율성으로 인해 금융 산업에서 널리 사용되고 있습니다.
연사는 현재 옵션 가격에서 파생된 미래 변동성에 대한 시장의 기대인 내재 변동성의 개념을 소개합니다. 내재 변동성은 옵션 가격에 영향을 미치기 때문에 Black-Scholes 모델에서 중요한 매개변수입니다. 연사는 모델을 사용하여 시장 데이터에서 내재 변동성을 어떻게 얻을 수 있는지 설명하고 옵션 거래 전략에서 그 중요성에 대해 논의합니다.
델타 헤징, 감마 트레이딩 등 다양한 옵션 트레이딩 전략에 대해 강의한다. 델타 헤징은 기초 자산 가격의 변화와 관련하여 중립적인 위치를 유지하기 위해 포트폴리오 구성을 지속적으로 조정하는 것입니다. 감마 거래는 기본 자산의 가격과 관련하여 델타가 어떻게 변하는지 측정하는 감마의 변화를 이용하는 데 중점을 둡니다. 이러한 전략은 옵션 거래에서 위험을 관리하고 수익성을 극대화하는 것을 목표로 합니다.
연사는 또한 시간 소멸(theta), 이자율(rho) 및 배당 수익률을 포함하여 옵션 가격에 영향을 미치는 다른 중요한 요소에 대해서도 언급합니다. 이러한 요소가 옵션 가격에 미치는 영향과 트레이더가 이를 사용하여 정보에 입각한 결정을 내리는 방법을 설명합니다.
강의 전반에 걸쳐 Python 프로그래밍을 활용하여 다양한 옵션 가격 책정 모델 및 거래 전략의 구현을 시연합니다. 발표자는 코드 예제를 제공하고 라이브러리 및 함수를 활용하여 계산 및 시뮬레이션을 수행하는 방법을 설명합니다.
요약하면 강의는 Black-Scholes 모델 및 관련 개념을 사용하여 옵션 가격 책정 및 시뮬레이션에 대한 포괄적인 개요를 제공합니다. Python 프로그래밍에서 이러한 개념의 실제 적용을 강조하여 양적 금융 및 옵션 거래에 관심이 있는 개인에게 유용한 리소스가 됩니다.
전산 금융: 강의 4/14(내재 변동성)
전산 금융: 강의 4/14(내재 변동성)
전산 금융에 대한 이 포괄적인 강의에서는 내재 변동성의 개념이 중심 무대를 차지하며 옵션 가격 계산에서 그 중요성을 조명합니다. Black-Scholes 모델은 내재 변동성 계산의 기초 역할을 하지만 그 한계와 비효율성이 충분히 강조되었습니다. 이 강의는 내재 변동성을 계산하기 위한 다양한 방법론, 특히 Newton-Raphson 방법과 같은 반복 프로세스에 대해 자세히 설명합니다. 또한 강사는 모델링 옵션 가격과 관련된 문제를 탐구하고 시장 기대치를 반영하는 내재 변동성의 역할을 강조합니다. 강의 전반에 걸쳐 옵션 가격의 변동성을 이해하고 효과적인 헤징 포트폴리오를 구성하는 것이 매우 중요하다는 것이 중심 주제로 남아 있습니다.
강의는 유동적인 외가격 풋 및 콜에 특히 중점을 두고 옵션 가격과 내재 변동성 사이의 관계에 초점을 맞춤으로써 탐구를 확장합니다. 시간 종속 변동성 매개변수와 내재 변동성 스마일에 대한 시간 종속성의 영향을 포함하는 다양한 유형의 내재 변동성 스큐를 조사합니다. 또한 Black-Scholes 모델의 한계와 지역변동성 모델, 점프 모델, 확률적 변동성 모델 등 변동성 모델을 다루는 대안적 접근 방식에 대해 설명합니다. 옵션 만기가 변동성에 미치는 영향도 설명됩니다. 만기가 짧은 옵션은 만기가 긴 옵션에 비해 만기가 더 집중되어 스마일 효과가 덜 두드러집니다.
교수는 특히 옵션 가격 책정 및 변동성 모델링과 관련하여 이전 섹션에서 다룬 주요 개념을 요약하는 것으로 시작합니다. 암시적 변동성이 도입되어 시장 데이터의 계산과 불확실성 측정에서의 역할을 강조합니다. 내재 변동성 계산 알고리즘에 대해 자세히 설명합니다. 또한 Black-Scholes 모델의 한계와 효율성은 시간 종속 변동성 매개변수 통합 및 내재 변동성 표면 생성과 같은 확장과 함께 해결됩니다. 강의는 또한 Black-Scholes 모델에만 의존하는 것의 단점을 다루고 로컬 변동성 및 확률적 변동성과 같은 대체 모델을 소개합니다. 불확정 클레임 가격 책정을 위한 적절한 모델을 지정해야 할 필요성과 가격 책정 편미분 방정식(PDE)에 도달하기 위한 옵션 및 주식으로 구성된 헤지 포트폴리오 구성의 중요성에 중점을 둡니다.
연사는 특히 결정론적 이자율을 다룰 때 편미분 방정식을 풀 때 기대치를 활용하는 방법과 위험 중립적 조치에 따라 기대치를 적용하는 방법을 탐구합니다. 유럽식 콜 및 풋 옵션에 대한 가격 책정 방정식은 모델 매개변수에 따라 달라지는 d1 지점에서 평가된 초기 주식 정상 누적 분포 함수(CDF)와 만기까지의 시간 동안 이자율을 포함하는 지수에 의존하여 제시됩니다. 강의에서는 이 공식을 엑셀에서 쉽게 구현할 수 있다고 설명한다.
다음으로 강사는 옵션 가격을 추정하는 도구 역할을 하는 Black-Scholes 모델에 필요한 매개변수에 대해 자세히 설명합니다. 이러한 매개변수에는 만기까지의 시간, 파업, 이자율, 현재 주식 가치 및 시장 가격을 사용하여 추정해야 하는 변동성 매개변수 시그마가 포함됩니다. 강사는 옵션 가격과 변동성 사이의 일대일 대응을 강조하며, 변동성의 증가는 그에 상응하는 옵션 가격의 증가를 의미하며 그 반대의 경우도 마찬가지임을 강조합니다. 그런 다음 내재 변동성의 개념에 대해 논의하며 중간 가격에 기반한 계산과 Black-Scholes 모델 내에서의 중요성을 강조합니다.
이 강의에서는 여러 매개변수가 있는 모델에서 내재 변동성을 얻는 방법에 대해 자세히 설명합니다. 선택한 모델에 관계없이 Black-Scholes 모델의 테스트를 통과해야 합니다. 그러나 Black-Scholes 모델을 사용하여 모든 옵션의 가격을 동시에 책정하는 것은 각 행사가마다 내재 변동성이 다르기 때문에 비실용적입니다. 강의는 또한 옵션 만기가 길어질수록 내재 변동성이 증가하는 경향이 있어 불확실성이 커진다는 점을 지적합니다. 시장 데이터와 100주에 대한 표준 콜 옵션을 사용하여 내재 변동성의 계산을 보여주는 예제가 제공됩니다.
내재 변동성의 개념은 강사가 자세히 설명합니다. 옵션의 과거 데이터는 Black-Scholes 방정식을 사용하여 변동성을 추정하는 데 사용됩니다. 그러나 강사는 이 추정이 옵션에 대한 특정 가격을 제공하지만 시장은 후향적 역사적 추정과 대조되는 미래 지향적 특성으로 인해 다르게 가격을 책정했을 수 있다고 강조합니다. 이러한 불일치에도 불구하고 두 변동성 간의 관계는 여전히 투자 목적으로 활용되지만 강사는 이 관계에 대한 순전히 투기적인 의존에 대해 주의를 기울입니다. 그런 다음 강의는 옵션의 시장 가격 및 기타 사양이 주어진 Black-Scholes 방정식을 사용하여 내재 변동성을 계산하는 방법을 설명합니다. 그러나 강사는 결정적인 올바른 값이 없기 때문에 내재 변동성의 개념에는 본질적으로 결함이 있으며 사용된 모델은 옵션 가격의 진정한 표현이 아니라 근사치라는 점을 인정합니다.
강사는 반복적 접근 방식인 Newton-Raphson 방법을 사용하여 내재 변동성을 찾는 과정을 설명합니다. 이 방법은 암시적 변동성인 시그마를 해결하기 위해 Black-Scholes 방정식과 시장 가격을 기반으로 함수를 설정하는 것과 관련됩니다. 강사는 Black-Scholes 내재 변동성이 시장 내재 변동성과 일치하는 함수를 찾는 목적으로 정확한 솔루션과 반복 사이의 차이를 계산하기 위해 Taylor 급수 확장의 사용을 강조합니다. 내재 변동성을 밀리초 단위로 빠르게 계산하는 능력은 시장 조성자가 차익 거래 기회를 식별하고 수익을 창출하는 데 매우 중요합니다.
Newton-Raphson 방법을 사용하여 내재 변동성을 계산하는 반복 프로세스의 개념을 소개합니다. 이 프로세스는 함수 g가 0에 접근할 때까지 여러 번 반복되며 각각의 새 단계는 이전 단계를 기반으로 추정됩니다. 강사는 Newton-Raphson 방법의 수렴에 대한 초기 추측의 중요성을 강조합니다. 극한의 외가격 옵션이나 0에 가까운 옵션은 함수가 평평해져서 수렴을 방해하는 작은 기울기가 발생하므로 문제가 발생할 수 있습니다. 이 문제를 극복하기 위해 실무자는 일반적으로 초기 추측의 그리드를 정의합니다. 이 알고리즘은 접선을 사용하여 함수를 근사화하고 더 빠른 수렴으로 이어지는 기울기가 더 가파른 x 절편을 계산합니다.
또한 강사는 옵션의 내재 변동성을 계산하기 위한 Newton-Raphson 알고리즘의 구현에 대해 설명합니다. 이 알고리즘은 시장 가격, 행사가, 만기까지의 시간, 이자율, 초기 재고량 및 초기 변동성 매개변수를 포함한 입력 매개변수와 함께 Black-Scholes 모델에 의존합니다. 알고리즘의 수렴이 분석되고 오류 임계값이 결정됩니다. 이 코드는 NumPy 및 SciPy 라이브러리를 활용하여 미리 준비된 필요한 메서드 및 정의와 함께 Python을 사용하여 시연됩니다.
이 강의에서는 Vega로 알려진 변동성 매개변수에 대한 콜 가격의 파생물과 옵션 값과 같이 이 계산에 필요한 입력을 강조하면서 내재 변동성 계산에 대해 자세히 설명합니다. 코드의 핵심은 내재 변동성을 계산하는 단계별 프로세스를 포함하며 강사는 관련된 다양한 매개 변수와 그 중요성에 대한 설명을 제공합니다. 강의는 내재 변동성을 계산하는 데 사용되는 반복 프로세스에 대한 간략한 데모로 끝납니다.
연사는 또한 내재 변동성 계산의 오류 주제와 반복 간의 차이에 의해 결정되는 방법에 대해 설명합니다. 출력 차트는 콜 가격, 행사가, 만기 및 기타 매개변수에 대해 얻은 내재 변동성을 보여줍니다. 발표자는 변동성에 대한 다양한 초기 추측에 따라 수렴이 어떻게 달라지는지를 보여주면서 산업 보정에서 이 프로세스의 중요성을 강조합니다. 모델이 성공적으로 수렴되려면 초기 추측이 실제 내재 변동성에 가까워야 합니다. 업계 종사자들은 일반적으로 적절한 수렴이 달성되고 특정 변동성 값이 선택될 때까지 다양한 초기 변동성을 시도합니다.
강의는 내재된 변동성의 해석에 대해 더 깊이 파고듭니다. 내재 변동성은 시장 기대치와 정서에 대한 통찰력을 제공할 수 있습니다. 내재 변동성이 높으면 시장 참가자가 상당한 가격 변동을 예상하고 있으며 이는 기초 자산의 불확실성 또는 인식된 위험을 나타낼 수 있습니다. 반대로 낮은 내재 변동성은 상대적으로 안정적인 가격에 대한 기대를 나타냅니다.
강의는 내재 변동성이 미래 변동성의 척도가 아니라 시장 가격을 반영한다는 점을 강조합니다. 내재 변동성은 수요와 공급 역학, 시장 정서 및 시장 참여자의 위험 선호도와 같은 다양한 요인의 영향을 받습니다. 따라서 다른 시장 지표 및 기본 분석의 맥락에서 내재 변동성을 해석하는 것이 중요합니다.
강사는 또한 암시적 변동성 표면 또는 변동성 미소의 개념을 강조합니다. 내재 변동성 표면은 내재 변동성과 다양한 행사 가격 및 만기 간의 관계를 나타냅니다. 특정 시장 조건에서 외가격 옵션의 내재 변동성은 등가격 옵션보다 높거나 낮을 수 있습니다. 내재 변동성 표면의 이 곡률을 변동성 미소 또는 미소라고 합니다. 강의에서는 변동성 스마일이 시장 참가자들이 큰 하락 위험이나 예상치 못한 긍정적인 이벤트와 같은 극단적인 가격 변동 가능성에 대한 인식을 나타낸다고 설명합니다.
또한 강의는 내재 변동성 기간 구조의 개념을 다룹니다. 내재 변동성 기간 구조는 특정 옵션에 대한 내재 변동성과 다양한 만기 간의 관계를 나타냅니다. 강사는 내재 변동성 기간 구조가 상향 경사(콘탱고), 하향 경사(백워데이션) 또는 평평한 곡선과 같은 다양한 모양을 나타낼 수 있다고 설명합니다. 이러한 기간 구조는 다양한 기간 동안의 미래 변동성에 대한 시장 기대치에 대한 통찰력을 제공할 수 있습니다.
또한 강의는 내재 변동성과 관련된 한계와 과제에 대해 자세히 설명합니다. 내재 변동성은 옵션 가격에서 파생되며 금리, 배당 수익률, 효율적 시장 가설 등 다양한 요인과 가정에 의해 영향을 받는다는 점을 강조합니다. 따라서 내재 변동성이 항상 실제 근본적인 변동성을 정확하게 반영하는 것은 아닙니다.
또한 강의에서는 역사적 변동성의 개념과 내재 변동성과의 비교에 대해 논의합니다. 과거 변동성은 기초 자산의 과거 가격 움직임을 기반으로 계산되며 내재 변동성은 옵션 가격에서 파생됩니다. 강사는 역사적 변동성은 후향적이며 미래 시장 기대치를 완전히 포착하지 못할 수 있는 반면 내재 변동성은 옵션 가격에 포함된 미래 지향적 정보를 통합한다는 점에 주목합니다.
마지막으로 강의의 핵심 내용을 요약하는 것으로 강의를 마칩니다. 내재 변동성, 계산 방법, 옵션 가격 책정 및 시장 기대치의 맥락에서의 해석을 이해하는 것의 중요성을 강조합니다. 강사는 금융 시장 및 투자 의사 결정에서의 중요성을 고려할 때 이 분야에 대한 추가 탐색 및 연구를 권장합니다.
여기서 변동성 영향은 옵션 길이에 따라 다릅니다. 이 비디오는 또한 내재 변동성을 계산하고 시간 종속 변동성이 있는 경로를 생성하는 방법과 이것이 Black-Scholes 내재 변동성 방정식에 미치는 영향을 보여줍니다. 비디오는 또한 만기가 다른 두 옵션에 대해 서로 다른 변동성 수준을 맞추는 예를 보여줍니다.
전산 금융: 강의 5/14(점프 프로세스)
전산 금융: 강의 5/14(점프 프로세스)
확산 모델에서 점프-확산 모델로의 전환, 스톡 프로세스에 점프를 통합하여 블랙-숄즈 모델을 향상시키는 방법을 모색하는 강의가 진행됩니다. 강사는 스톡 프로세스에 포함된 점프를 설명하고 점프의 정의를 제공하는 것으로 시작합니다. 그런 다음 그들은 모델이 q 측정값 아래에 있도록 보장하면서 주식에 대한 확률적 프로세스에서 점프를 처리해야 할 필요성을 강조하면서 Python에서 점프 프로세스의 간단한 구현을 보여줍니다.
또한 강의에서는 가격 급등 도입의 의미와 그것이 가격 PDE(부분 미분 방정식)에 미치는 영향에 대해 추가 적분 항을 소개합니다. 논의는 내재 변동성 모양에 대한 다양한 점프 분포의 영향과 기대 반복 기대, 기대의 타워 속성, 복잡한 기대를 처리할 때 점프 프로세스의 특성 함수와 같은 개념의 활용으로 확장됩니다.
강사는 가격 옵션 및 보정 모델에서 점프 프로세스의 실용성을 강조하고, 현실감과 무거운 꼬리를 수용할 수 있는 능력을 강조하고 잠금 및 회전 밀도의 첨도 및 비대칭을 제어합니다. 점프 프로세스를 통합하면 암시적 변동성 스마일 또는 암시적 변동성 스큐에 더 잘 맞을 수 있으므로 점프 프로세스가 Black-Scholes 모델에 대한 보다 유리한 대안이 됩니다.
초점을 이동하면서 강의는 브라운 운동과 상관관계가 없는 카운팅 프로세스로 표현되는 점프 프로세스의 개념을 소개합니다. 이러한 프로세스는 포아송 분포를 따르는 초기 0 값과 독립적인 증분을 특징으로 하는 무작위 포아송 프로세스를 사용하여 모델링됩니다. 포아송 프로세스의 속도는 지정된 기간 동안의 평균 점프 수를 결정합니다. 강의는 표기법과 기대치를 사용하여 점프 프로세스에 대해 주어진 간격 내에서 평균 점프 수를 계산하는 방법을 설명합니다.
전산 금융에서 강사는 점프 프로세스의 시뮬레이션에 대해 논의하고 점프 크기가 폭발할 수 없다는 점에 주목하고 이와 관련된 기술적 가정을 설명합니다. 이 프로세스에는 점프 프로세스의 각 증분에 대해 푸아송 분포를 사용하여 독립적인 증분을 시뮬레이션하기 위한 행렬 및 매개변수를 정의하는 작업이 포함됩니다. 강의는 또한 주가 결정을 위한 점프 프로세스의 역학을 확장하기 위해 Ethos 보조 정리에서 포아송 프로세스의 활용을 다룹니다. 컴퓨팅 금융의 맥락에서 강의는 점프 프로세스의 개념을 소개하고 설명합니다. "t-마이너스"라는 용어를 프로세스에서 점프가 발생하기 직전의 시간으로 정의하고 Ethos lemma 및 시간에 대한 미분 계산을 통해 프로세스의 역학을 탐구합니다. 점프 크기와 함수 "g"의 결과 조정 사이의 관계가 논의되며, 확률 프로세스 모델링에서 이러한 개념의 실질적인 관련성을 강조합니다. 강의는 또한 주식 시장 행동을 모델링할 때 점프 프로세스와 확산 프로세스의 독립성을 고려하는 것의 중요성을 강조합니다.
점프와 확산 과정을 모두 포함하는 모델에서 함수 "g"의 동역학을 도출하기 위해 강의는 높은 확산 복잡도의 거동과 Ito의 보조정리의 적용에 중점을 둡니다. Ito의 기본형은 모델 복잡성이 증가하는 상황에서 dxpt 제곱과 같은 교차 항을 처리하는 데 사용됩니다. 드리프트, 확산, 점프를 포함한 모든 요소가 결합되면 Ito의 보조정리를 사용하여 "g"의 동역학을 도출할 수 있습니다. 포아송 과정과 브라운 운동의 차이점을 강조하면서 Ito 테이블의 확장도 다루었습니다. 강의는 점프 및 확산 프로세스를 통합하는 함수 "g"에 대한 동역학을 도출하는 프로세스의 개요를 설명하면서 끝납니다.
앞으로 강의는 Q 측정 하에서 점프 및 브라운 운동으로 주식의 역학을 얻는 과정을 설명합니다. 이 프로세스에는 새로운 변수를 정의하고 동역학을 결정하여 동역학의 기대치가 0이 되도록 보장하는 작업이 포함됩니다. 점프 구성 요소는 다른 모든 프로세스와 독립적인 것으로 가정하므로 드리프트, 변동성 및 J 빼기 1의 기대치를 포함하는 표현이 생성됩니다. 그런 다음 이 표현은 Q 측정에 대한 방정식으로 대체되어 저축 계좌에 대한 ST의 역학이 마틴게일임을 보장합니다.
강사는 확산과 점프의 두 가지 구성 요소가 있는 모델의 경로를 설명하는 예를 제공하면서 확산과 점프를 모두 사용하여 모델을 파생시키는 방법에 대해 계속 논의합니다. 확산 부분은 연속적인 동작을 나타내는 반면 점프 요소는 불연속성을 도입하여 특정 주식에서 관찰되는 점프 패턴을 나타낼 수 있습니다. 강사는 주식 및 이자율에 대한 초기 값과 함께 점프에 대한 매개변수와 브라운 운동에 대한 변동성 매개변수도 다룹니다. 이해를 더욱 높이기 위해 강사는 시뮬레이션을 프로그래밍하고 결과 경로를 플로팅하는 방법을 시연합니다.
그런 다음 강의는 로그 정규 분포의 기대값으로 분석적으로 계산되는 j의 거듭제곱에 대한 e의 기대값을 설명하는 것으로 이동합니다. z는 정규 분포의 증분을 나타내고 j는 점프 크기를 나타내는 c x pi x dt로 구동되는 포아송 증분의 시뮬레이션이 수행됩니다. 점프 확산 과정의 역학은 편미분 방정식과 적분 미분 방정식을 모두 포함하며 적분 부분은 점프 크기의 예상을 나타냅니다. 가격산정식은 포트폴리오 구성이나 특성함수접근법을 통해 도출할 수 있으며 매개변수는 시장의 옵션가격을 이용하여 보정할 필요가 있다.
포트폴리오 구성의 맥락에서 강의는 기초 주식이 있는 매도 옵션과 헤지로 구성되는 포트폴리오를 구성하는 과정을 설명합니다. 포트폴리오의 역학이 저축 계좌와 같은 비율로 증가하도록 함으로써 가격 책정 미분 방정식을 도출할 수 있습니다. 원하는 역학 관계를 달성하려면 저금통으로 나눈 주식이 마팅게일이어야 합니다. 그런 다음 강의에서는 mu에 대한 조건을 도출하여 동역학이 확립되면 v의 동역학이 도출될 수 있음을 보여줍니다. 그런 다음 이 정보는 기대치를 계산하고 v의 역학을 도출하는 데 사용됩니다.
강사는 시간에 대한 1차 도함수에 대한 방정식을 더 탐구합니다. 이 방정식은 x에 대해서도 1차이고 점프가 있는 시간 t에서의 계약 값에 대한 기대치를 포함합니다. 이것은 기대치의 존재로 인해 적분 항으로 이어지며, 그 결과 순수 PDE보다 해결하기 더 어려운 부분 적분 미분 방정식(PID)이 생성됩니다. 해결책은 예상 값에 대한 분석적 표현을 찾는 것과 관련되며, 이는 때때로 무한 급수로 표현될 수 있습니다. 수렴 개선을 위한 경계 조건의 중요성과 PID를 로그 변환으로 변환하는 방법에 대해서도 설명합니다.
점프 과정에 대한 논의를 이어가며 강의는 디럭스 옵션에서 PID와 PID의 경우 점프 과정의 변형에 초점을 맞춥니다. 강의는 점프 크기를 지정하기 위한 두 가지 일반적인 접근 방식, 즉 고전적인 상인 모델과 비대칭 이중 지수를 제시합니다. 시그마 j와 mu j를 추가하면 모델의 보정이 더 복잡해지지만 실용성과 업계 수용성은 매개변수가 적은 모델을 선호하는 경우가 많습니다. 강의는 또한 점프 프로세스의 역학이 더욱 복잡해짐에 따라 수렴을 달성하는 것이 어려워지고 푸리에 공간 또는 매개변수 보정을 위한 분석 솔루션과 같은 고급 기술이 필요하다는 점을 인정합니다.
강의는 점프 확산 과정을 위해 Monte Carlo 시뮬레이션을 사용하여 가격 책정 과정을 설명합니다. 가격 책정에는 현재 가치를 할인하여 미래 보상에 대한 기대치를 계산하는 것이 포함됩니다. PID 및 Monte Carlo 시뮬레이션과 같은 방법은 시뮬레이션의 계산 복잡성 측면에서 잘 수행되지만 점프가 도입될 때 매개변수 수가 크게 증가하기 때문에 가격 책정 및 모델 보정에는 적합하지 않을 수 있습니다. 강의는 또한 점프 및 강도 매개변수의 분포와 내재 변동성 스마일 및 스큐에 미치는 영향을 해석하는 방법에 대해 자세히 설명합니다. 점프 및 스큐에 대한 결과 효과를 관찰하기 위해 다른 매개변수는 고정된 상태로 유지하면서 매개변수를 변경하는 시뮬레이션 실험이 수행됩니다.
함축된 변동성 스마일과 레벨의 형태에 대한 변동성과 점프 강도의 영향을 분석하기 위해 강사는 이들의 관계에 대해 논의합니다. 점프의 변동성을 높이면 변동성이 높아지는 반면, 점프의 강도는 함축된 변동성 미소의 수준과 모양에도 영향을 줍니다. 이 정보는 옵션 가격의 행동을 이해하고 모델을 실제 시장 데이터로 보정하는 데 중요합니다.
그런 다음 강의에서는 Tower Property의 개념과 금융 문제를 단순화하는 데 적용하는 방법을 소개합니다. 다른 프로세스의 기대치나 가격을 계산하기 위해 한 프로세스의 경로를 조건화함으로써 확률적 미분 방정식에서 여러 차원의 문제를 단순화할 수 있습니다. Tower Property는 점프 적분을 다룰 때 종종 합계가 되는 변동성 매개변수 및 회계 프로세스가 있는 Black-Scholes 방정식의 문제에도 적용할 수 있습니다. 강사는 이러한 애플리케이션의 매개변수에 대한 가정이 필요함을 강조합니다.
다음으로 강사는 전산 금융에서 가격 방정식을 풀기 위한 푸리에 기법의 사용에 대해 논의합니다. 푸리에 기법은 일부 특수한 경우에 대한 분석 형식에서 찾을 수 있는 특성 함수에 의존합니다. 강사는 Merton의 모델을 사용하여 예를 살펴보고 이 방정식의 특성 함수를 찾는 방법을 설명합니다. 독립적인 부분을 포함하는 기대 조건을 분리함으로써 강사는 특성 함수를 결정할 수 있도록 기대 측면에서 요약을 표현하는 방법을 보여줍니다. 푸리에 기법 사용의 이점은 모델 보정 및 실시간 평가에 중요한 빠른 가격 계산을 가능하게 하는 기능입니다.
다음으로 강사는 전산 금융에서 가격 방정식을 풀기 위한 푸리에 기법의 사용에 대해 논의합니다. 푸리에 기법은 일부 특수한 경우에 대한 분석 형식에서 찾을 수 있는 특성 함수에 의존합니다. 강사는 Merton의 모델을 사용하여 예를 살펴보고 이 방정식의 특성 함수를 찾는 방법을 설명합니다. 독립적인 부분을 포함하는 기대 조건을 분리함으로써 강사는 특성 함수를 결정할 수 있도록 기대 측면에서 요약을 표현하는 방법을 보여줍니다. 푸리에 기법 사용의 이점은 모델 보정 및 실시간 평가에 중요한 빠른 가격 계산을 가능하게 하는 기능입니다.
강의 전반에 걸쳐 강사는 전산 재무 모델에서 점프 프로세스를 이해하고 통합하는 것이 중요함을 강조합니다. 점프를 포함함으로써 모델은 실제 주식 가격의 행동을 더 잘 포착하고 더 정확한 가격 책정 및 보정 결과를 제공할 수 있습니다. 강의는 또한 적분 미분 방정식을 푸는 복잡성과 주의 깊은 매개변수 보정의 필요성과 같은 점프 프로세스와 관련된 문제를 강조합니다. 그러나 적절한 기술과 방법론을 사용하면 점프 프로세스는 전산 재무 모델의 정확성과 현실성을 크게 향상시킬 수 있습니다.
전산 금융: 강의 6/14(Affine Jump 확산 과정)
전산 금융: 강의 6/14(Affine Jump 확산 과정)
강사는 프론트 오피스와 백 오피스의 구별에 초점을 맞춰 금융 기관 내에서 가격 책정 모델 선택에 대한 통찰력을 제공합니다. 프론트 오피스는 거래 활동을 처리하고 거래를 시작한 다음 거래 유지 및 장부 기록을 위해 백 오피스로 전송됩니다. 강사는 가격 책정 모델을 선택할 때 보정, 위험 평가, 가격 정확도 및 계산 효율성을 포함한 다양한 요소를 고려할 필요성을 강조합니다. 또한 효율적인 가격 책정 평가를 가능하게 하는 모델 클래스로 특성 함수 및 아핀 점프 확산 프로세스의 개념을 도입합니다. 이러한 모델은 빠른 가격 계산이 가능하므로 실시간 거래에 적합합니다. 강의는 또한 통화 함수 도출, 점프 통합을 통한 프레임워크 확장, 금융 기관의 가격 책정 및 모델링 워크플로우와 같은 주제에 대해 자세히 설명합니다.
점프 프로세스를 이해하는 것의 중요성과 가격 책정 정확도에 미치는 영향은 강의 전반에 걸쳐 적분 미분 방정식을 풀고 모델 매개변수를 보정하는 것과 관련된 문제와 함께 강조됩니다. 적절한 기법과 방법론을 활용함으로써 전산 금융 모델을 개선하여 실제 주가 행동을 더 잘 반영하고 가격 책정 및 조정 결과를 개선할 수 있습니다.
또한 연사는 특히 고객을 위한 금융 상품을 설계하고 가격을 책정하는 금융 기관의 프론트 오피스의 역할을 강조합니다. 프론트 오피스는 이러한 제품에 대한 적절한 가격 책정 모델을 선택하고 거래가 올바르게 예약되도록 할 책임이 있습니다. 백오피스와의 협업은 선택한 모델을 검증하고 구현하여 기관의 위험 및 거래에 대한 적합성을 보장하는 데 중요합니다. 프런트 오피스의 주요 목표는 고객에게 경쟁력 있는 가격을 제공하고 허용 가능한 한도 내에서 위험을 관리하는 동시에 안정적인 수익 흐름을 보장하는 것 사이에서 균형을 맞추는 것입니다.
연사는 금융 상품의 사양과 기본 위험 요소를 포착하기 위한 확률적 미분 방정식 공식화로 시작하여 성공적인 가격 책정과 관련된 필수 단계를 설명합니다. 이러한 위험 요소는 가격 책정 모델과 후속 가격 계산을 결정하는 데 중요한 역할을 합니다. 이러한 위험 요소의 적절한 사양 및 모델링은 정확한 가격 책정 및 위험 관리에 매우 중요합니다.
강의 중에는 몬테카를로 시뮬레이션과 같은 수치 기법뿐만 아니라 정확한 솔루션과 준정확 솔루션을 포함한 다양한 가격 책정 방법이 논의됩니다. 발표자는 가격 책정 모델의 매개변수가 시장 관찰과 일치하도록 조정되는 모델 보정의 중요성을 강조합니다. 모델 보정을 위한 더 빠른 대안으로 푸리에 기술이 도입되어 모델 매개변수를 효율적으로 계산할 수 있습니다.
이 강의는 또한 전산 금융에서 가격 책정에 대한 두 가지 인기 있는 접근 방식인 Monte Carlo 시뮬레이션과 편미분 방정식(PDE)을 비교합니다. Monte Carlo 시뮬레이션은 고차원 가격 문제에 널리 사용되지만 정확도가 제한되고 샘플링 오류가 발생하기 쉽습니다. 반면에 PDE는 델타, 감마, 베가와 같은 감도를 저렴한 비용으로 계산할 수 있는 기능과 솔루션의 부드러움과 같은 이점을 제공합니다. 연사는 푸리에 기반 방법이 단순한 금융 상품에 대해 보다 빠르고 적합한 가격 책정 방식을 제공하므로 향후 강의에서 다룰 것이라고 언급합니다.
특성 함수의 개념은 알려진 분석 확률 밀도 함수가 있는 모델과 없는 모델 간의 격차를 해소하기 위한 핵심 도구로 도입되었습니다. 특성함수를 이용하여 가격결정 및 위험평가에 필수적인 종목의 확률밀도함수 도출이 가능해진다.
강의 내내 캘리브레이션의 중요성이 강조됩니다. 액체 기기는 보정을 위한 기준으로 사용되며 그 매개변수는 더 복잡한 파생 제품의 가격을 정확하게 책정하는 데 적용됩니다. 강사는 진화하는 시장 상황에 적응하고 신뢰할 수 있는 가격 책정 결과를 달성하기 위해 가격 책정 모델과 기술을 지속적으로 개선하고 개선해야 할 필요성을 강조합니다.
요컨대, 강의는 프론트 오피스의 역할, 모델 조정 및 위험, 효율성 및 정확성에 대한 고려 사항에 중점을 두어 금융 기관에서 가격 결정 모델을 선택하는 프로세스에 대한 통찰력을 제공합니다. 또한 몬테카를로 시뮬레이션, PDE, 푸리에 기반 가격 책정 및 모델 보정과 같은 다양한 기술을 소개합니다. 특성 함수의 개념과 확률 밀도 함수를 도출하는 데 있어 이들의 중요성에 대해 모델 개선 및 실제 조건에 대한 적응의 과제 및 중요성과 함께 논의합니다.
전산 금융: 강의 7/14(확률적 변동성 모델)
전산 금융: 강의 7/14(확률적 변동성 모델)
강의에서는 한계가 있을 수 있는 Black-Scholes 모델의 대안으로 확률적 변동성 모델의 개념에 대해 자세히 설명합니다. 발표자는 확률적 변동성 모델이 아핀 확산 모델에 속하며 가격과 내재 변동성을 효율적으로 얻기 위해서는 고급 기술이 필요하다고 강조합니다. 확률적 변동성을 통합한 동기를 설명하고 Heston의 2차원 확률적 변동성 모델을 소개합니다.
다루는 한 가지 중요한 측면은 단일 지점이 아닌 전체 내재 변동성 표면에 대한 모델 보정입니다. 이는 경로 종속 보상 및 타격 방향 종속성을 처리할 때 특히 중요합니다. 실무자는 일반적으로 모델을 콜 및 풋과 같은 유동 상품으로 보정한 다음 이국적인 파생 상품의 가격으로 추정합니다. 확률적 변동성 모델은 고유한 한계에도 불구하고 전체 변동성 표면에 대한 보정을 허용하므로 시장에서 인기가 있습니다.
강의는 또한 주식 시장에서 변동성 표면의 중요성과 적절한 모델의 필요성을 강조합니다. 변동성 표면이 가파른 스마일을 나타내는 경우 점프 또는 확률적 변동성을 통합한 모델이 종종 선호됩니다. P 측정 및 위험 중립 측정을 포함하여 가격 옵션에 사용되는 다양한 측정에 대해 설명합니다. 이자율을 시간 종속적으로 만드는 것은 스마일이나 스큐를 개선하지 않지만 확률적 또는 지역적 변동성을 도입하면 보정에 도움이 될 수 있습니다. 평균 회귀 제곱근 프로세스를 활용하여 변동성을 모델링하는 Hassel 모델도 소개됩니다.
강의는 확률적 변동성 모델의 개념을 자세히 탐구합니다. 처음에는 확률적 미분방정식을 정의하기 위해 정상 과정과 브라운 운동이 사용되지만, 이 접근법은 특히 음수가 될 수 있기 때문에 변동성을 정확하게 포착하지 못하는 것으로 인정됩니다. CIR 프로세스라고도 하는 Box Inverse 프로세스의 이점은 뚱뚱한 꼬리를 나타내고 음수가 아니므로 변동성에 적합한 모델이 되기 때문에 설명됩니다. 확률적 변동성 구조를 가진 Heston 모델이 도입되었으며, 분산(VT)은 비중심 카이제곱 분포를 따르는 것으로 나타났습니다. 이 분포는 전이 분포임을 밝히고, Feller's condition은 모델 교정 시 확인해야 할 중요한 기술적 조건으로 언급하고 있다.
Feller의 조건이라고 하는 0에 도달하는 경로를 피하기 위한 확률적 변동성 모델의 조건에 대해 설명합니다. kappa 매개변수와 장기 평균의 곱의 두 배가 변동성 제곱인 감마 제곱보다 크거나 같을 때 조건이 충족됩니다. 조건이 충족되지 않으면 경로가 0에 도달하고 바운스백되어 달성 가능한 경계 조건으로 이어질 수 있습니다. 중심이 아닌 카이제곱 분포의 속성과 CIR 과정과의 관계를 설명합니다. Feller의 조건을 만족하거나 만족하지 않는 효과를 설명하기 위해 분산 경로 및 밀도 그래프가 제공됩니다.
확률적 변동성 모델에서 뚱뚱한 꼬리 분포의 중요성은 모델을 시장 데이터로 보정한 후에 종종 관찰되기 때문에 강조됩니다. 모델의 Feller 조건이 충족되지 않으면 Monte Carlo 경로가 0에 도달하고 0으로 유지될 수 있습니다. 브라운 운동을 통한 모델의 상관관계 포함에 대해 설명하고 일반적으로 점프가 독립적인 것으로 간주된다고 언급합니다. 강의는 Feller의 상태가 밀도에 미치는 영향을 나타내는 그래프로 끝납니다.
강의는 Brownian 운동의 상관관계와 분산에 초점을 맞춥니다. 화자는 상관관계가 있는 브라운 운동을 다룰 때 특정 관계가 참이어야 하며 증분에도 동일하게 적용된다고 설명합니다. 촐레스키 분해(Cholesky decomposition) 기법은 양의 정부호 행렬과 두 개의 하부 삼각 행렬의 곱셈을 사용하여 두 개의 브라운 운동을 상관시키는 방법으로 소개됩니다. 이 방법은 강의 뒷부분에서 논의되는 두 프로세스를 공식화하는 데 유용합니다.
독립적인 브라운 운동을 사용한 하위 삼각 행렬 곱셈의 구성이 논의되어 독립적이고 상관된 프로세스의 조합을 포함하는 벡터를 생성합니다.
또한 강사는 Heston 모델의 특징적인 기능이 효율적이고 빠른 가격 책정에 대한 귀중한 통찰력을 제공한다고 설명합니다. 특성 함수를 유도함으로써 관련된 모든 항이 명시적이라는 것이 명백해지며 상미분 방정식을 풀기 위해 복잡한 분석 또는 수치 계산이 필요하지 않습니다. 이러한 단순성은 Heston 모델의 중요한 장점 중 하나로 간주되어 파생 상품 가격 책정을 위한 실용적이고 강력한 도구가 됩니다.
발표자는 변동성과 관련된 위험을 효과적으로 관리하기 위해서는 Heston 모델의 각 매개변수의 특성과 의미를 이해하는 것이 중요하다고 강조합니다. kappa, 장기 평균, 변동성, 상관관계 및 분산 프로세스의 초기 값과 같은 매개변수는 모두 변동성 역학 및 내재 변동성 표면에 뚜렷한 영향을 미칩니다. 시장에 대한 이러한 매개변수를 조정하고 그 효과를 분석함으로써 실무자는 내재된 변동성 스마일 및 스큐에 대한 귀중한 통찰력을 얻을 수 있으므로 보다 정확한 가격 책정 및 위험 관리가 가능합니다.
강의는 단일 지점이 아닌 전체 내재 변동성 표면에 대해 확률적 변동성 모델을 보정하는 것의 중요성을 강조합니다. 경로 의존적 보상 및 파업 방향 의존성은 시장 데이터의 전체 복잡성을 포착하기 위해 포괄적인 보정 접근 방식을 필요로 합니다. 일반적으로 실무자는 모델을 콜 및 풋과 같은 유동 상품으로 보정한 다음 이국적인 파생 상품의 가격으로 추정합니다. 확률적 변동성 모델은 전체 변동성 표면에 대한 보정을 허용하지만 보정 프로세스가 완벽하지 않고 한계가 있음을 인정합니다.
확률적 변동성 모델에 대한 이해를 더욱 높이기 위해 강사는 모델을 시장 데이터로 보정할 때 자주 관찰되는 두꺼운 꼬리 분포의 개념에 대해 자세히 설명합니다. 발표자는 모델의 펠러 조건이 충족되지 않으면 몬테카를로 경로가 0에 도달하고 0으로 유지되어 모델의 정확도에 영향을 미칠 수 있다고 설명합니다. 추가로 점프의 포함과 확률적 변동성 모델의 상관관계에 대한 독립적인 고려가 논의됩니다. 강의는 이러한 요소가 변동성 역학 및 가격 책정에 어떻게 영향을 미치는지에 대한 통찰력을 제공합니다.
강의는 Heston 모델과 Black-Scholes 모델을 비교하는 것으로 끝납니다. Heston 모델은 변동성 모델링에서 더 큰 유연성과 확률을 제공하지만 Black-Scholes 모델은 가격 파생 상품에 대한 벤치마크로 남아 있습니다. 내재 변동성 스마일 및 스큐에 대한 다양한 매개변수 변경의 영향을 이해하는 것은 실무자가 특정 요구에 적합한 모델을 선택하는 데 필수적입니다. 포괄적인 보정 및 분석을 통해 Heston's와 같은 확률적 변동성 모델은 금융 시장의 가격 책정 및 위험 관리에 대한 귀중한 통찰력을 제공할 수 있습니다.
강의는 Heston 모델에 대해 논의하는 것 외에도 Brownian 운동에서 상관관계와 분산의 중요성을 다룹니다. 연사는 상관관계가 있는 브라운 운동을 다룰 때 촐레스키 분해의 사용을 포함하여 특정 관계와 조건이 참이어야 한다고 설명합니다. 이 기술은 양의 정부호 행렬과 두 개의 하부 삼각 행렬의 곱셈을 사용하여 두 브라운 운동의 상관 관계를 허용합니다. 강의는 이 방법이 다차원 사례에서 프로세스를 공식화하고 원하는 상관 구조를 달성하는 데 필수적임을 강조합니다.
또한 강사는 확률적 변동성 모델에서 독립적이고 상관관계가 있는 브라운 운동의 구성 및 표현에 중점을 둡니다. 촐레스키 분해는 브라운 운동을 연관시키는 데 유용한 도구이지만 강의에서는 실용적인 목적을 위해 항상 필요한 것은 아니라고 지적합니다. 대신 Ito의 기본형을 적용하여 상관관계가 있는 브라운 운동을 효과적으로 통합할 수 있습니다. 이 강의에서는 상관관계가 있는 브라운 운동으로 주식 포트폴리오를 구성하는 예를 제공하고 다중 변수를 포함하는 다차원 함수의 동역학을 결정하기 위해 Ito의 보조 정리를 적용하는 방법을 보여줍니다.
강의는 마틴게일 접근 방식을 사용하는 Heston 모델의 가격 책정 편미분 방정식(PDE)도 다룹니다. 이 접근 방식에는 장기 평균에 대한 변동성 비율을 나타내는 pi라고 하는 특정 양이 마팅게일임을 확인하는 것이 포함됩니다. Ethos Lemma를 적용하여 미분과 분산 과정을 포함하는 마팅게일 방정식을 유도합니다. 가격 책정 PDE를 사용하면 파생 계약에 대한 공정한 가격을 결정할 수 있고 가격 책정에서 위험 중립적인 방법을 사용할 수 있습니다.
또한 발표자는 확률적 변동성 모델에서 내재 변동성 형태에 대한 다양한 매개변수의 영향에 대해 논의합니다. 감마, 상관관계 및 평균 회귀 속도(kappa)와 같은 매개변수는 내재 변동성의 곡률, 왜도 및 기간 구조에 영향을 미치는 것으로 나타났습니다. 이러한 매개변수의 효과를 이해하면 모델을 정확하게 보정하고 원하는 변동성 역학을 포착하는 데 도움이 됩니다.
강의 내내 연사는 특히 전체 내재 변동성 표면에 대한 모델 보정의 중요성을 강조합니다. 액체 기기로 보정하고 이국적인 파생 상품으로 외삽하는 것은 실무자 사이에서 일반적인 관행입니다. Heston 모델을 포함한 확률적 변동성 모델은 전체 변동성 표면에 대해 조정할 수 있는 유연성을 제공하여 가격 책정 및 위험 관리에서 더 나은 정확성을 가능하게 합니다. 그러나 모델 보정에 제한이 없는 것은 아니며 Heston 및 Black-Scholes 모델과 같은 모델 간의 미묘한 차이를 신중하게 검토하여 적절한 가격 책정 및 위험 평가를 보장해야 합니다.
이 강의에서는 Heston 모델, 매개 변수 의미, 보정 기술, Brownian 운동에서 상관관계 및 분산의 역할에 초점을 맞춰 확률적 변동성 모델에 대한 포괄적인 개요를 제공합니다. 실무자는 이러한 개념을 이해하고 효과적으로 적용함으로써 파생 상품 가격 책정, 위험 관리 및 금융 시장의 복잡성을 탐색하는 능력을 향상시킬 수 있습니다.
전산 금융: 강의 8/14(옵션 가격 책정을 위한 푸리에 변환)
전산 금융: 강의 8/14(옵션 가격 책정을 위한 푸리에 변환)
옵션 가격 결정을 위한 푸리에 변환에 대한 강의 중에 강사는 기술의 응용 및 다양한 측면에 대해 자세히 설명합니다. 그들은 푸리에 변환이 미세 확산 모델 클래스에 속하는 모델의 밀도를 계산하고 효율적으로 가격 옵션을 계산하는 데 사용된다는 설명으로 시작합니다. 이 기술은 계산 비용이 많이 들 수 있는 실제 축에 대한 적분 계산을 포함합니다. 그러나 반전 보조 정리를 사용하여 강사는 "u"에 대한 도메인이 어떻게 축소되어 적분의 실수 부분을 계산할 수 있는지 설명합니다. 이 접근 방식은 비용이 많이 드는 계산과 관련된 계산 부담을 최소화하는 데 도움이 됩니다.
강사는 구현 효율성을 크게 향상시키는 고속 푸리에 변환(FFT)을 사용하여 이 표현의 개선에 대해 더 논의합니다. FFT의 속성을 활용하여 계산 작업량이 줄어들어 옵션 가격이 보다 효율적이고 빨라집니다. 이 세션은 푸리에 변환 방법과 비용 방법을 비교하여 각각의 구현 세부 사항에 대한 통찰력을 제공하는 것으로 마무리됩니다.
앞으로 강사는 푸리에 변환을 사용하여 밀도를 계산하는 빠른 방법을 유도하는 첫 번째 단계를 자세히 설명합니다. 이 단계는 도메인을 2개로 나누고 실수 부분을 추출하는 작업을 포함하며 이는 계산 비용이 적게 드는 작업입니다. 또한 강사는 특성 함수의 보다 효율적인 계산을 용이하게 하기 때문에 복소수의 나눗셈과 켤레를 취하는 것의 중요성에 대해 탐구합니다. 각 "x" 값에 대한 밀도를 얻기 위한 그리드 구성에 대해서도 설명하며 적절한 도메인 선택 및 경계 정의의 중요성을 강조합니다.
푸리에 변환 적분과 "n"개의 그리드 포인트로 구성된 그리드를 사용하여 "x"의 밀도 계산에 대한 설명으로 강의가 진행됩니다. 강사는 여러 "x" 값에 대해 동시에 밀도 계산을 수행해야 할 필요성을 강조합니다. 그리드가 정의되면 "감마"라는 함수를 포함하는 새로운 적분을 도입하고 이산 적분을 근사화하기 위해 사다리꼴 적분을 사용합니다. 이 프로세스를 설명하기 위해 강사는 균일한 간격의 격자가 있는 함수에 대해 사다리꼴 적분을 수행하는 예를 제공합니다.
그런 다음 연사는 푸리에 변환을 위한 그리드를 정의하기 위해 매개변수를 구성하는 프로세스에 대해 자세히 설명합니다. 이러한 매개변수는 그리드 포인트 수, "u"의 최대값, 델타 "x"와 델타 "u" 간의 관계를 포함합니다. 이러한 매개변수가 설정되면 적분과 합계를 대체하여 각 "x" 값에 대한 함수를 도출할 수 있습니다. 강의는 사다리꼴 적분과 사다리꼴의 경계 절점에서 평가되는 특성 함수를 통합한 방정식을 포함합니다.
적분의 표현과 옵션 가격 결정에서 고속 푸리에 변환(FFT)을 사용하는 것의 중요성에 대해 자세히 설명합니다. 연사는 FFT에 입력하기에 적합한 함수를 정의함으로써 실무자가 대부분의 라이브러리에 이미 있는 빠른 평가 및 구현 기능을 활용할 수 있다고 설명합니다. 강사는 이 변환을 계산하는 단계와 적분을 계산하는 데 어떻게 활용할 수 있는지 설명합니다. 전반적으로 강의는 전산 금융에서의 FFT의 중요성과 옵션 가격 책정에서의 유용성을 강조합니다.
앞서 언급한 주제 외에도 강의에서는 옵션 가격 결정을 위한 푸리에 변환과 관련된 다양한 측면을 탐구합니다. 여기에는 불연속적인 포인트 수에 대한 정확한 계산을 보장하기 위한 보간 기술의 사용, Taylor 급수와 특성 함수 사이의 관계, 짝수 함수에 대한 코사인 확장 방법의 적용, 대략적인 밀도를 위한 절단 도메인의 사용이 포함됩니다. 강의는 또한 밀도의 회복, 푸리에 확장을 사용하여 얻은 수치 결과, 행렬 및 벡터 형태의 가격 표현을 다룹니다.
강의 전반에 걸쳐 강사는 푸리에 변환 방법의 실제 구현을 강조하고 다양한 매개변수의 영향에 대해 논의하며 접근 방식의 장점과 한계를 강조합니다. 포괄적인 설명과 수치 실험을 제공함으로써 강의는 실제 시나리오에서 옵션 가격 책정을 위해 푸리에 변환을 적용하는 데 필요한 지식과 도구를 학습자에게 제공합니다.
강사는 옵션 가격 결정을 위한 푸리에 변환에서 밀도 함수의 회복에 대해 논의합니다. 이들은 높은 정확도 밀도 계산을 달성하기 위해 변환에서 충분히 많은 수의 점("n"으로 표시됨)을 선택하는 것의 중요성을 강조합니다. 강사는 분포에 의해 결정되는 "u_max"와 함께 도메인과 최대값을 정의하기 위해 복소수 "i"를 소개합니다. 또한 강사는 그리드에 있지 않은 입력에 대해서도 출력 밀도 함수의 정확한 계산을 보장하기 위해 특히 그리드 포인트 "x_i"에서 3차 보간법을 사용하여 보간법의 필요성을 설명합니다.
연사는 푸리에 변환을 사용하여 보간법의 이점과 옵션 가격 책정과의 관련성을 추가로 탐구합니다. 푸리에 변환은 더 큰 그리드에 유리하지만 더 큰 숫자를 처리할 때는 보간법이 FFT보다 상대적으로 계산 비용이 적게 들기 때문에 선호될 수 있습니다. 발표자는 코드 예제를 통해 보간이 어떻게 작동하는지 보여주고 매개변수를 조정하면 추가 비용 없이 민감도를 계산하고 그리스를 얻을 수 있음을 강조합니다. 이 기능은 코사인 확장 기술을 배리어 및 버뮤다 옵션과 같은 보다 이국적인 파생상품의 가격을 책정하는 데 이상적으로 만듭니다.
또한 강사는 Taylor 급수와 전산 금융의 특성 함수 간의 관계에 대해 논의합니다. 강의는 추가 적분 없이 직접적인 관계를 허용하는 시리즈와 특성 함수 간의 일대일 대응을 보여줍니다. 그런 다음 강사는 옵션 가격 책정을 위한 "코사인 방법"을 설명합니다. 이 방법은 0에 가까운 짝수 함수를 나타내기 위해 푸리에 코사인 확장을 사용합니다. 이 방법은 적분과 계수를 계산하는 것과 관련되며, 확장의 첫 번째 항에 항상 반을 곱해야 한다는 중요한 참고 사항이 있습니다.
이 강의에서는 "a"에서 "b"까지 유한 지원 범위를 달성하기 위해 함수 "g"에 대한 적분 영역을 변경하는 과정을 자세히 살펴봅니다. 화자는 표현을 단순화하는 데 오일러 공식의 중요성을 설명하고 "k pi 나누기 ba"로 "u"를 대체하면 밀도와 관련된 더 간단한 표현이 되는 방법을 보여줍니다. 잘린 도메인은 모자 기호로 표시되며 매개변수 "a" 및 "b"의 특정 값은 해결되는 문제에 따라 선택됩니다. 화자는 이것이 근사 기법이며 휴리스틱 선택이 "a"와 "b"의 값을 선택하는 것과 관련이 있음을 강조합니다.
또한 푸리에 전개와 밀도 회복의 관계를 탐구한다. 강의에서는 방정식 양쪽의 실수 부분을 취함으로써 밀도의 적분을 특성 함수의 실수 부분으로 표현할 수 있는 오일러 공식을 보여줍니다. 이 우아하고 빠른 방법은 특성 함수의 정의를 사용하여 목표 함수와 특성 함수의 적분 사이의 관계를 찾는 것을 용이하게 합니다. 비용 방법은 팽창 계수를 계산하고 밀도를 복구하기 위해 이러한 관계를 발견하는 것을 목표로 합니다. 이 방법은 무한 합계 및 절단 도메인에서 오류를 발생시키지만 이러한 오류는 제어하기 쉽습니다.
이어서 적은 수의 항으로도 높은 정확도를 달성할 수 있는 푸리에 코사인 확장을 요약하는 데 중점을 둡니다. 정규확률밀도함수(PDF)를 이용한 수치실험을 통해 시간측정을 포함하여 항의 수에 따른 오차발생을 살펴보았다. 코드 실험은 코사인 방법을 사용하여 밀도를 생성하도록 구성되어 있으며 오류는 코사인 방법을 사용하여 복구된 밀도와 정확한 정상 PDF 간의 최대 절대 차이로 정의됩니다. 코사인 방법은 방법의 핵심인 특성 함수를 사용하여 밀도를 복구하는 데 몇 줄의 코드만 필요합니다.
또한 발표자는 행렬 표기법을 사용하여 효율적으로 수행할 수 있는 푸리에 확장의 수치 결과에 대해 논의합니다. 오류는 확장 항의 수가 증가함에 따라 감소하며 64개 항에서 달성된 10^-17의 낮은 오류입니다. 적은 수의 항을 사용하면 진동이 발생하거나 적합도가 떨어질 수 있습니다. 발표자는 도메인 및 확장 항의 수와 같은 매개변수를 특히 꼬리가 많이 달린 분포의 경우 신중하게 조정해야 한다고 지적합니다. 또한 강의에서는 정규 특성 함수를 사용하여 로그 정규 밀도를 모델링할 수도 있음을 강조합니다.
앞으로 강사는 대수정규분포의 경우를 자세히 살펴보고 그 밀도가 정규분포와 어떻게 다른지 설명합니다. 로그 정규 분포로 인해 일반적으로 더 많은 수의 확장 항이 필요합니다. 강사는 특정 유형의 배포 및 도메인에 대해 적절한 수의 용어를 선택하는 것이 중요함을 강조합니다.
원가법은 밀도회복에 특히 유용하며 만기에만 지불하는 유럽형 옵션 등 파생상품 가격결정에 흔히 사용됨을 강조한다. 강사는 위험 중립 측정 하에서 밀도 및 보수 함수의 곱 통합을 포함하여 가격 책정이 어떻게 작동하는지 설명합니다.
강의가 진행됨에 따라 연사는 연결 기능을 도출하고 코사인을 사용할 수 있는 보다 이국적인 옵션에 대해 논의합니다. 시간 축의 한 지점에서 다른 지점으로의 전이를 설명하는 분포를 나타내는 "전이 밀도"라는 용어가 도입되었습니다. 초기 값은 임의 변수의 분포로 표시됩니다. 이 프레젠테이션에서는 밀도가 지정된 간격으로 제한되는 밀도 절단에 대해 자세히 살펴봅니다. 가우시안 구적법(Gaussian quadrature method)에 대해 설명합니다. 이 방법은 특정 지수를 곱한 특성 함수의 실수 부분의 합산을 포함합니다.
이 강의에서는 조정된 로그 자산 가격의 개념을 소개합니다. 이는 조정 계수로 나눈 만기 주식의 로그로 정의됩니다. 보상의 대안적 표현이 제시되고 화자는 "v"의 선택이 계수 "h_n"에 직접적인 영향을 미친다는 점에 주목합니다. 이 접근 방식은 여러 행사 가격에 대한 보수를 평가하는 데 사용할 수 있으며 동시에 다양한 행사 가격으로 옵션 가격을 책정하는 편리한 방법을 제공합니다.
다음으로 발표자는 옵션 가격 결정을 위한 푸리에 변환에서 지수 함수와 코사인 함수를 사용하여 보수 함수에 밀도를 곱한 적분을 계산하는 과정에 대해 자세히 설명합니다. 관련된 두 적분에 대한 일반 형식이 제공되며 다양한 보수를 계산하기 위해 다른 계수가 선택됩니다. 연사는 여러 번의 공격에 대해 이 기술을 구현하여 한 번에 모든 공격의 가격을 책정하여 시간을 절약하고 계산 비용을 줄이는 것이 중요하다고 강조합니다. 마지막으로 가격 표시는 행렬에 벡터를 곱한 형태로 표시됩니다.
요소의 벡터화 및 행렬 조작과 관련된 옵션 가격 결정의 푸리에 변환 구현 공식에 대해 설명합니다. 강의는 "k"를 벡터로 취하고 "n_k" 스트라이크로 행렬을 만드는 과정을 설명합니다. 복소수를 처리하기 위해 실수부가 계산됩니다. 특성 기능은 "x"에 의존하지 않고 다중 타격에 대한 효율적인 구현을 달성하는 데 중요한 역할을 하기 때문에 매우 중요합니다. 구현의 정확성과 수렴은 용어의 수에 따라 다르며 샘플 비교가 표시됩니다.
또한 연사는 옵션 가격 책정에서 푸리에 변환 방법에 사용되는 코드를 자세히 살펴보고 관련된 다양한 변수를 설명합니다. 점프 확산 모델의 경우 일반적으로 10 또는 8로 유지되는 계수 "a" 및 "b"의 범위 개념을 도입합니다. 이 코드에는 다양한 모델에 적용할 수 있는 일반 함수인 특성 함수에 대한 람다 표현식이 포함되어 있습니다. 화자는 동일한 실험을 여러 번 반복하여 평균 시간을 계산하여 시간 측정의 중요성을 강조합니다. 마지막으로 비용 방법과 큰 변동성을 가정하기 위해 통합 범위를 활용하는 방법을 설명합니다.
강의는 옵션 가격 결정의 푸리에 변환 방법에 대한 행사가 정의 및 계수 계산 과정에 대한 설명으로 계속됩니다. 강사는 모델 매개변수를 조정하면 더 나은 수렴으로 이어질 수 있고 평가를 위한 더 적은 항이 필요하지만 일반적으로 표준 모델 매개변수를 고수하는 것이 안전하다고 강조합니다. 그들은 매트릭스를 정의하고 매트릭스 곱셈을 수행하여 할인 행사 가격을 얻고 결과 오류를 정확한 솔루션의 오류와 비교하는 단계를 자세히 설명합니다. 강의는 오류가 용어의 수와 선택한 파업 범위에 따라 다르다는 점을 강조합니다.
그런 다음 발표자는 고속 푸리에 변환(FFT) 방법과 코사인 방법을 포함하여 옵션 가격 책정을 위한 다양한 방법을 비교합니다. 그들은 FFT 방법이 많은 수의 격자점에 더 적합하고 코사인 방법이 적은 수의 격자점에 더 효율적이라고 설명합니다. 강사는 두 가지 방법을 사용하여 옵션 가격 계산을 시연하고 결과를 비교합니다.
또한 강의는 위험 관리 및 포트폴리오 최적화와 같은 금융의 다른 영역에서 Fourier 기반 방법의 적용을 다룹니다. 강사는 푸리에 기반 방법을 사용하여 VaR(Value-at-Risk) 및 CVaR(Conditional Value-at-Risk)과 같은 위험 측정을 추정할 수 있다고 설명합니다. 푸리에 방법과 최적화 기법을 결합하면 위험을 최소화하거나 수익을 극대화하는 최적의 포트폴리오 할당을 찾을 수 있습니다.
강의는 프레젠테이션 전반에 걸쳐 논의된 주요 사항을 요약하는 것으로 마무리됩니다. 푸리에 변환 기술은 옵션 가격 책정 및 기타 금융 애플리케이션을 위한 강력한 도구를 제공합니다. 코사인 방법을 사용하면 특성 함수와 푸리에 확장을 활용하여 옵션의 효율적이고 정확한 가격 책정이 가능합니다. 항의 수 및 영역과 같은 매개변수의 선택은 방법의 정확성과 수렴에 영향을 미칩니다. 또한 푸리에 기반 방법은 옵션 가격 책정을 넘어 다양한 재무 문제로 확장될 수 있습니다.
전반적으로 강의는 옵션 가격 책정의 푸리에 변환 기술에 대한 포괄적인 개요를 제공하며 밀도 복구, 보간법, cos 방법, 로그 정규 분포, 다중 스트라이크, 구현 고려 사항 및 다른 가격 책정 방법과의 비교와 같은 주제를 다룹니다. 강사의 설명과 코드 예제는 재무에서 이러한 기술의 실제 적용을 설명하고 정확성과 효율성 측면에서 이점을 강조하는 데 도움이 됩니다.