Commercio quantitativo - pagina 20
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Quali sono le sfide della discretizzazione del processo CIR utilizzando il metodo di Eulero?
Quali sono le sfide della discretizzazione del processo CIR utilizzando il metodo di Eulero?
Benvenuto nella serie di domande e risposte basate sul corso di Finanza Computazionale. Oggi abbiamo la Domanda 22, che si basa sulla Lezione 10. La domanda riguarda le sfide della discretizzazione del processo di Cox Ingersoll Ross (CIR) usando il metodo di Eulero.
Il processo CIR è un popolare processo stocastico, particolarmente utilizzato nella dinamica del modello Heston. È un processo non negativo con un comportamento di ritorno alla media. La varianza nel processo CIR può fluttuare attorno a una media a lungo termine, mostrando volatilità. In particolare, la soluzione di questo processo segue una distribuzione chi-quadrato non centrale, che ha code più grosse rispetto alle distribuzioni comunemente note come la normale o il log-normale.
Una caratteristica importante del processo CIR è la cosiddetta "condizione di fallimento". Questa condizione afferma che se due volte il parametro di ritorno alla media moltiplicato per la media a lungo termine è maggiore del parametro di volatilità al quadrato, i percorsi o la distribuzione del processo rimarranno lontani da zero. Se questa condizione non è soddisfatta, ci sarà un accumulo di massa di probabilità intorno allo zero, portando a una maggiore probabilità che i percorsi si avvicinino allo zero.
In termini di simulazione, questo accumulo intorno allo zero e la maggiore probabilità di eventi estremi pongono delle sfide. Sebbene la condizione di guasto sia raramente soddisfatta durante la calibrazione del modello Heston rispetto ai dati di mercato, diventa cruciale durante la simulazione del modello. Una discretizzazione imprecisa può causare incoerenze tra la simulazione Monte Carlo e l'inversione di Fourier, portando a prezzi inaffidabili degli strumenti di mercato.
La discretizzazione di Eulero, come discusso nella Lezione 10, si basa su passaggi iterativi in cui ogni passaggio dipende dal precedente. Coinvolge un parametro costante, un incremento temporale (DT), la volatilità (gamma), il quadrato della realizzazione precedente e una componente di moto browniano. Tuttavia, con la discretizzazione di Eulero, esiste la possibilità che la varianza diventi negativa a causa del coinvolgimento di variabili casuali normalmente distribuite (Z).
È possibile derivare la probabilità che la varianza diventi negativa sotto la discretizzazione di Eulero. Questa probabilità dipende dalla distribuzione normale di Z e dalla disuguaglianza tra il lato destro e il lato sinistro dell'espressione derivata. Man mano che la condizione di fallimento diventa meno soddisfatta, aumenta la probabilità di realizzazioni negative. Variazioni negative possono portare a esplosioni di simulazione e produrre risultati errati se non gestite correttamente.
È essenziale affrontare le sfide della discretizzazione di Eulero per il processo CIR per garantire risultati di simulazione accurati. In pratica, la condizione di fallimento va considerata, anche se spesso non è soddisfatta quando si calibrano i modelli ai dati di mercato. I risultati incoerenti dei prezzi possono essere una bandiera rossa, evidenziando la necessità di metodi di discretizzazione accurati nella finanza computazionale.
Spero che questa spiegazione chiarisca le sfide associate alla discretizzazione del processo CIR utilizzando il metodo di Eulero. Se hai ulteriori domande, non esitare a chiedere.
Perché abbiamo bisogno di Monte Carlo se disponiamo di metodi FFT per la determinazione dei prezzi?
>Perché abbiamo bisogno di Monte Carlo se disponiamo di metodi FFT per la determinazione dei prezzi?
Benvenuti alla sessione di domande e risposte basata sulla serie di conferenze sulla finanza computazionale. Oggi abbiamo la domanda numero 23, che è correlata ai materiali trattati nella lezione numero 10. La domanda è: perché abbiamo bisogno di Monte Carlo se disponiamo di metodi veloci di trasformazione di Fourier per la determinazione del prezzo? Questa domanda ci sfida a considerare la praticità delle diverse tecniche di determinazione del prezzo e perché i metodi Monte Carlo sono ancora rilevanti nonostante non siano i più veloci.
In pratica, sono necessari entrambi gli approcci. Abbiamo bisogno di metodi molto rapidi per la determinazione del prezzo delle opzioni europee, che possono essere valutate in modo efficiente utilizzando metodi come il metodo COS o la trasformazione rapida di Fourier. Tuttavia, quando si tratta di prezzare derivati esotici, spesso abbiamo bisogno di metodi più flessibili, anche se non sono i più veloci. I derivati esotici possono avere strutture e caratteristiche complesse che non possono essere facilmente gestite dalla rapida trasformazione di Fourier. Inoltre, la necessità di prezzi estremamente rapidi non è sempre cruciale per i derivati esotici.
Quando prezziamo derivati esotici, in genere iniziamo calibrando un modello di prezzo utilizzando strumenti più semplici come le opzioni europee. Poiché i derivati esotici sono meno liquidi, è difficile trovare i prezzi di mercato per derivati esotici simili a scopo di calibrazione. Tuttavia, le opzioni europee sono più facilmente disponibili e i loro prezzi possono essere utilizzati per calibrare il modello. Questo approccio ci consente di estrapolare i parametri del modello calibrato per valutare i derivati esotici. È importante notare che questa strategia potrebbe non funzionare sempre bene, soprattutto con i modelli di volatilità locale, in quanto può portare a prezzi errati. Tuttavia, in questo corso, ci concentreremo principalmente sui modelli di volatilità stocastica log-normale, che sono meno sensibili a questo problema.
Riassumiamo alcuni punti chiave. I metodi Monte Carlo sono utilizzati principalmente per la determinazione del prezzo di derivati callable esotici, mentre i metodi veloci di Fourier offrono vantaggi in termini di velocità per la determinazione del prezzo delle opzioni europee. Il motivo per cui le opzioni europee ricevono molta attenzione è che il loro prezzo funge da elemento costitutivo per la calibrazione dei modelli e il prezzo di derivati più complessi. Un prezzo efficiente delle opzioni europee è fondamentale per la calibrazione del modello, in quanto ci consente di abbinare i prezzi del modello ai dati di mercato. Se un modello non può valutare le opzioni europee in modo efficiente, sarà probabilmente poco pratico per l'uso nel mondo reale. Un esempio è il modello di Heston con parametri dipendenti dal tempo, in cui la valutazione numerica della funzione caratteristica può essere molto lenta, rendendo difficile la calibrazione. Tuttavia, se assumiamo parametri dipendenti dal tempo ma costanti a tratti, possiamo ancora trovare una funzione caratteristica efficiente, anche se con flessibilità ridotta.
La velocità di determinazione del prezzo è fondamentale, in particolare durante la fase di calibrazione, che comporta numerose iterazioni. L'ottimizzatore prova varie combinazioni di parametri del modello per trovare il miglior adattamento ai dati di mercato, richiedendo migliaia o addirittura centinaia di migliaia di valutazioni. Pertanto, ogni millisecondo risparmiato è essenziale. Vale la pena ricordare che sebbene la rapida trasformazione di Fourier possa fornire prezzi efficienti per alcuni derivati esotici come le Bermuda, non è una soluzione generica. L'aggiunta di funzionalità o parametri aggiuntivi può richiedere una modifica significativa del metodo. Al contrario, i metodi Monte Carlo forniscono intrinsecamente flessibilità, rendendoli adatti per la determinazione del prezzo di un'ampia gamma di derivati esotici. In pratica, le trasformazioni rapide di Fourier vengono spesso utilizzate per la calibrazione, mentre i metodi Monte Carlo vengono utilizzati per valutare i derivati esotici.
In alternativa, potremmo considerare i metodi PD (equazione alle derivate parziali), che si collocano tra la trasformata veloce di Fourier e Monte Carlo. I metodi PD possono prezzare i prodotti richiamabili in modo efficiente, ma hanno una minore flessibilità in termini di specifica del payoff, richiedendo una nuova specifica per ogni scenario.
Spero che questa spiegazione chiarisca l'importanza dei metodi Monte Carlo e della trasformazione veloce di Fourier nella finanza computazionale. Arrivederci alla prossima! Arrivederci!
Come proteggere i salti?
Come proteggere i salti?
Benvenuti alla sessione di domande e risposte di oggi basata sul corso di finanza computazionale. In questa sessione, discuteremo la domanda numero 24, che è correlata ai materiali trattati nella lezione numero 11. L'obiettivo della domanda di oggi è sulla copertura dei salti.
Durante la lezione numero 11, abbiamo approfondito gli aspetti della copertura, affrontando in particolare come coprire diversi tipi di strumenti finanziari. Ho fornito illustrazioni di una simulazione che prevedeva la simulazione di uno stock utilizzando sia il moto browniano che il moto browniano geometrico, nonché processi con salti. Abbiamo esplorato come sviluppare una strategia di copertura ed esaminato l'impatto di queste coperture sul conto economico (P&L) di un portafoglio.
La copertura, in sostanza, riguarda la minimizzazione dei rischi. Dal punto di vista di un istituto finanziario, quando si vendono opzioni o altri derivati, l'obiettivo è quello di stabilire una copertura, che comporta operazioni di compensazione. Lo scopo di questa copertura è garantire che l'istituto non sia influenzato dalle fluttuazioni del mercato. In sostanza, l'istituto mira ad essere immune agli alti e bassi del mercato, beneficiando al tempo stesso del premio aggiuntivo ricevuto in aggiunta al fair value del prezzo del derivato.
La domanda a portata di mano è: come funziona il processo di copertura quando si ha a che fare con processi diffusivi e cosa succede quando l'asset sottostante mostra salti? Questa domanda affronta un aspetto impegnativo della copertura, che richiede di considerare modelli con volatilità stocastica, come il modello Heston.
Durante la conferenza, ho presentato il codice e dimostrato la strategia di copertura. Un aspetto cruciale è il concetto di Delta. Delta rappresenta la sensibilità del prezzo dell'opzione alle variazioni del prezzo dell'asset sottostante. Nel caso di un'azione che finisce in the money, Delta si avvicina a uno, indicando una maggiore correlazione tra il prezzo dell'opzione e il prezzo dell'azione. Al contrario, se il titolo finisce al di sotto del prezzo di esercizio, Delta si avvicina allo zero.
Nel contesto di un caso Black-Scholes, presumiamo una continua copertura o ribilanciamento del nostro portafoglio ogni giorno. Ciò significa che, a seconda delle fluttuazioni del mercato, adeguiamo quotidianamente il nostro portafoglio di copertura. L'obiettivo è che il valore combinato del nostro portafoglio di copertura e del derivato sia pari a zero alla scadenza dell'opzione. La qualità della nostra copertura dipende dalla frequenza del nostro ribilanciamento. Nel caso Black-Scholes, dove assumiamo infiniti passaggi di ribilanciamento, la distribuzione del P&L si restringe, avvicinandosi a uno scenario ideale di fluttuazioni nulle.
Tuttavia, quando si ha a che fare con i salti, l'impatto sulla copertura diventa più impegnativo. Anche con una maggiore frequenza di ribilanciamento, la distribuzione del P&L si allarga. Ciò significa che il rischio associato ai salti richiede un trattamento diverso. Un possibile approccio è seguire la strategia di copertura utilizzata nei modelli con volatilità stocastica, come il modello Heston. In questi modelli, il portafoglio che replica l'opzione prevede termini aggiuntivi che aiutano a coprire i rischi associati alla volatilità stocastica. In particolare, questi termini aggiuntivi comportano l'acquisto o la vendita di opzioni con diversi strike per compensare il rischio. È essenziale considerare la liquidità delle opzioni coinvolte per ottimizzare la strategia di copertura.
Nel caso dei salti, ulteriori ricerche suggeriscono che per ottenere una buona copertura, potrebbe essere necessario includere circa sette opzioni aggiuntive con diversi strike. Questa ulteriore complessità evidenzia l'importanza di comprendere la strategia dei modelli di copertura con volatilità stocastica quando si affrontano i rischi di salto.
Per riassumere, la copertura dei salti pone sfide che richiedono un approccio ponderato. Incorporando strategie da modelli di copertura con volatilità stocastica, è possibile mitigare l'impatto dei salti sulle strategie di copertura. L'inclusione di ulteriori opzioni con diversi strike può ulteriormente migliorare l'efficacia della copertura. Ricorda, mentre questa discussione fornisce spunti preziosi, è importante considerare le dinamiche e i rischi specifici associati ai derivati e alle controparti coinvolte.
Che cos'è la sensibilità del percorso?
Che cos'è la sensibilità del percorso?
Benvenuti alla sessione di domande e risposte di oggi sul tema della finanza computazionale. Nella sessione odierna, discuteremo la domanda numero 25, che riguarda il concetto di sensibilità del sentiero. I calcoli di sensibilità svolgono un ruolo cruciale nella copertura del portafoglio, poiché aiutano a ridurre i rischi e rendono il portafoglio meno suscettibile alle fluttuazioni del mercato.
Quando si vendono derivati, è auspicabile istituire un portafoglio di copertura che non sia influenzato dai movimenti del mercato. Ciò significa che il rischio complessivo associato al derivato e al portafoglio di copertura combinato dovrebbe essere immune alle fluttuazioni del mercato. Il raggiungimento di questa copertura perfetta ci consente di mantenere il premio ricevuto durante la vendita iniziale del derivato. Nella lezione numero 11, abbiamo coperto i dettagli delle strategie di copertura e discusso l'importanza di calcolare accuratamente le sensibilità.
Un approccio comune al calcolo delle sensibilità, come la sensibilità rispetto a un parametro come la volatilità, consiste nell'utilizzare approssimazioni alle differenze finite. Ciò comporta il calcolo della derivata del valore della derivata rispetto al parametro utilizzando un piccolo incremento (Delta hat). Tuttavia, questo approccio ha dei limiti. In primo luogo, richiede di calcolare due volte il valore della derivata, il che può essere computazionalmente costoso, soprattutto quando si ha a che fare con un gran numero di parametri. In secondo luogo, l'accuratezza dell'approssimazione può essere sensibile alla scelta del cappello Delta, portando a errori potenzialmente significativi.
La sensibilità Pathwise offre un'alternativa più accurata per il calcolo delle sensibilità. Implica lo scambio dell'ordine di differenziazione e integrazione per semplificare l'espressione. Sfruttando i calcoli analitici per determinati elementi dell'espressione, possiamo migliorare la convergenza e l'accuratezza rispetto alle approssimazioni alle differenze finite. Questo approccio è particolarmente vantaggioso quando il payoff del derivato non dipende dal parametro che si sta differenziando. In tali casi, la sensibilità può essere calcolata in modo esplicito senza la necessità di ulteriori approssimazioni.
Ad esempio, quando si considera la sensitività di un'opzione call rispetto al prezzo del titolo (Delta), il metodo della sensitività pathwise consente di calcolare l'aspettativa del titolo dato che è maggiore del prezzo di esercizio. Analogamente, per la sensitività rispetto alla volatilità (Vega), il metodo semplifica il calcolo utilizzando lo stesso fattore comune e valutando l'aspettativa utilizzando i percorsi Monte Carlo del titolo.
L'applicazione del metodo della sensibilità del percorso può portare a una migliore convergenza e accuratezza, riducendo al contempo il numero di percorsi Monte Carlo richiesti per i calcoli. Elimina inoltre la necessità di valutare più volte il valore della derivata, con conseguente efficienza computazionale.
Vale la pena notare che mentre il metodo della sensibilità del percorso funziona bene in modelli come Black-Scholes, dove esistono soluzioni analitiche per i greci, può anche essere applicato a modelli più complessi come il modello di Heston. È ancora possibile ottenere espressioni analitiche per determinate derivate, consentendo calcoli di sensibilità accurati.
Per maggiori dettagli e requisiti numerici, consiglio di rivisitare la lezione numero 11 e di fare riferimento al libro e ai materiali della lezione, che forniscono un confronto tra la sensibilità del percorso e i metodi alle differenze finite. I risultati dimostrano la convergenza e l'accuratezza superiori raggiunte dalla sensibilità del percorso, consentendo risultati di alta qualità con meno percorsi Monte Carlo.
Se hai ulteriori domande, non esitare a chiedere e sarò lieto di fornire ulteriori approfondimenti.
Che cos'è il modello Bates e come può essere utilizzato per la determinazione del prezzo?
Che cos'è il modello Bates e come può essere utilizzato per la determinazione del prezzo?
Benvenuto in questa serie di domande e risposte basate sul corso di Finanza Computazionale. Oggi abbiamo la domanda numero 26 su 30, che si basa sulla lezione numero 12.
La domanda è la seguente: "Cos'è il modello Bytes e come può essere utilizzato per la determinazione del prezzo?"
Il modello di Bates è un'estensione del modello di volatilità stocastica di Heston. Per comprendere il modello di Bates, iniziamo guardando il modello di Heston senza considerare i termini che coinvolgono la volatilità e quello qui inscatolato. Nella sua forma base, il modello di Heston consiste di due elementi: una parte relativa al processo di Poisson e una correzione della deriva nota come correzione Martingale.
Il processo di Poisson e la sua correzione della deriva sono componenti essenziali nel modello di Heston. La correzione della deriva è associata a questa parte e funge da correzione Martingale. Le derivazioni di questa correzione si trovano negli appunti delle lezioni.
Ora, concentriamoci sul modello Bates stesso. Il modello Bates incorpora un'ulteriore componente di salto, che è indipendente dal moto browniano. Questi salti sono rappresentati da una variabile distribuita normalmente, J, con media (μJ) e varianza (σJ^2). L'entità del salto è espressa dall'esponenziale di J, dove il segno negativo indica il movimento verso il basso. Il componente di salto è guidato da un processo di Poisson, che determina se si verifica o meno un salto.
Una caratteristica importante del modello di Bates è che l'aggiunta del salto non è correlata con il moto browniano, rendendolo una componente indipendente. La ragione di questa indipendenza risiede nella funzione caratteristica del modello Bates. Esaminando la funzione caratteristica, possiamo osservare che è un prodotto del modello di Heston e della componente di salto. Se dovessimo correlare i due, complicherebbe notevolmente la derivazione della funzione caratteristica.
La motivazione alla base dell'introduzione del modello Bates è quella di migliorare la flessibilità del modello Heston nella calibrazione ai dati di mercato. I ricercatori hanno scoperto che il modello Heston fa fatica a calibrare con precisione le opzioni con scadenze estremamente brevi, come le opzioni che scadono entro una settimana o un mese. La mancanza di flessibilità del modello nel generare l'inclinazione del mercato osservata ha richiesto l'aggiunta di salti. Incorporando i salti, il modello Bates può introdurre più skew per abbinare i dati di mercato.
È importante notare che i salti nel modello Bates sono inizialmente molto attivi e aggiungono una quantità significativa di inclinazione al modello. Tuttavia, nel tempo, si diffondono e il modello converge al modello di Heston. Questa convergenza può essere facilmente osservata nella lezione numero 12 e nel libro corrispondente.
Inoltre, il modello Bates consente diverse distribuzioni per il generatore di salti, J, invece di presumere che sia distribuito normalmente, come fatto nel modello Bates standard. La variazione della distribuzione può avere un impatto sull'inclinazione risultante, offrendo flessibilità nella modellazione di diversi scenari di mercato. Tuttavia, si riconosce anche che anche con i salti forniti dal modello Bates, lo skew potrebbe essere ancora insufficiente per scenari di mercato estremi.
Ora, discutiamo l'impatto del modello Bates sulle volatilità implicite. Il modello introduce tre parametri aggiuntivi: l'intensità (λ) per il processo di Poisson, la media (μJ) per il salto normalmente distribuito e la deviazione standard (σJ) del salto. L'aumento dell'intensità o della deviazione standard aumenta principalmente rispettivamente il livello e la curvatura delle volatilità implicite. Tuttavia, è la media del salto (μJ) che influisce in modo significativo sull'inclinazione. Valori negativi e fortemente negativi di μJ aggiungono una notevole quantità di inclinazione al modello.
La media del salto (μJ) è un parametro cruciale nel modello Bates. Vale la pena notare che nel modello Heston controlla anche questo parametro
l'inclinazione quando la correlazione è assente. L'introduzione di una correlazione negativa tra l'asset e il processo di varianza nel modello Heston può aiutare a migliorare l'asimmetria. Tuttavia, se si desidera un'ulteriore inclinazione, vengono aggiunti salti al modello. È essenziale considerare gli obiettivi di calibrazione, in particolare quando si ha a che fare con opzioni a breve scadenza o derivati esotici dipendenti da realizzazioni future. In tali casi, i vantaggi della calibrazione per le scadenze logaritmiche possono essere limitati e i parametri aggiuntivi introdotti dai salti possono rappresentare una sfida.
In sintesi, il modello Bates estende il modello Heston incorporando i salti, fornendo maggiore flessibilità nella calibrazione ai dati di mercato, in particolare per le opzioni con scadenze brevi. Introducendo i salti, il modello può migliorare lo skew e corrispondere meglio alle condizioni di mercato osservate. La media del salto (μJ) è un parametro chiave nel controllo dell'inclinazione. Tuttavia, è importante valutare i compromessi e considerare gli obiettivi del prezzo quando si decide se utilizzare il modello Bates o il modello Heston. Per ulteriori dettagli e approfondimenti, consiglio di rivedere la lezione numero 12.
Qual è la relazione tra le opzioni europee e Forward-start?
Qual è la relazione tra le opzioni europee e Forward-start?
Benvenuto in questa serie di domande e risposte basate sul corso di Finanza Computazionale. Oggi abbiamo la domanda numero 27, che si basa sui materiali discussi nella lezione numero 12. La domanda è la seguente:
"Qual è la relazione tra le opzioni europee e le opzioni di avvio anticipato?"
Le opzioni di avvio in avanti sono un tipo di derivato non standard noto anche come opzioni di performance. Differiscono dalle opzioni europee in termini di data di inizio e scadenza. In un'opzione di avvio in avanti, il contratto inizia in futuro e la data di scadenza è ancora più lontana.
Per comprendere la relazione tra le opzioni europee e le opzioni di partenza anticipata, consideriamo il seguente scenario. Supponiamo di avere tre punti temporali: t0, t1 e t2. In un'opzione europea, calcoleremmo il payoff futuro atteso scontato al tempo t2 in base alla distribuzione del titolo in quel momento. Ciò significa che valutiamo l'opzione con una data di inizio t0 e valutiamo il payoff a t2.
Al contrario, le opzioni forward start partono da t1, il che significa che iniziano in un punto incerto nel futuro quando il valore del titolo è sconosciuto. Queste opzioni si concentrano sulla performance del titolo in un determinato periodo di tempo. La performance è tipicamente misurata come il rapporto tra il valore del titolo a t2 meno il suo valore a t1, diviso per il suo valore a t1.
Le opzioni forward start sono particolarmente utili per gli investitori che sono interessati alla performance di un titolo in un periodo di tempo specifico, piuttosto che al suo livello assoluto. Queste opzioni consentono agli investitori di partecipare al potenziale di rialzo della performance di un titolo durante l'intervallo prescelto.
Le opzioni di avvio in avanti fungono da elementi costitutivi per derivati più esotici, come le opzioni di clic, in cui l'analisi delle prestazioni è una componente essenziale. Considerando le prestazioni su più intervalli, queste opzioni possono essere strutturate per bloccare i profitti in ogni momento, proteggendo al contempo dal potenziale ribasso. L'investitore riceve il massimo delle performance o un payout predeterminato, creando un'opzione avversa al rischio con un costo di investimento ridotto rispetto alle tradizionali opzioni europee.
Matematicamente, le opzioni forward start implicano due date importanti: la data futura (T1) in cui l'opzione si liquida e la data di scadenza (T2). Il payoff per un'opzione forward start europea può essere rappresentato come il massimo del rapporto di performance (S(T2)/S(T1) - 1) meno il prezzo di esercizio (K) o zero.
La caratteristica chiave delle forward start option è che il loro valore non dipende dal valore iniziale delle azioni (S(t0)). Invece, è determinato dalla performance del titolo in futuro. Questa proprietà li rende attraenti per gli investitori interessati alla performance di un titolo in un determinato periodo di tempo.
Per valutare un'opzione forward start, consideriamo il payoff futuro atteso scontato alla data di scadenza (T2) utilizzando metodi di determinazione del prezzo appropriati. Il valore dell'opzione forward start non è influenzato dal prezzo corrente dell'azione, ma piuttosto dalla performance dell'azione nell'intervallo di tempo specificato.
In sintesi, le opzioni forward start sono un tipo di derivato non standard che consente agli investitori di concentrarsi sulla performance di un titolo in un determinato periodo di tempo. Forniscono un'alternativa avversa al rischio rispetto alle opzioni europee, consentendo di ridurre i costi di investimento pur offrendo un'esposizione ad attività specifiche. Il valore di un'opzione di avvio in avanti non dipende dal valore iniziale del titolo, sottolineando l'importanza della performance del titolo in futuro.
Spero che questa spiegazione chiarisca la relazione tra le opzioni europee e le opzioni di avvio anticipato. Se hai ulteriori domande, non esitare a chiedere. Arrivederci alla prossima!
Quali strumenti scegliere per calibrare il proprio modello di pricing?
Quali strumenti scegliere per calibrare il proprio modello di pricing?
Benvenuti alla sessione di domande e risposte sulla finanza computazionale. La domanda di oggi è la numero 28 su 30 e riguarda la scelta degli strumenti per la calibrazione in un modello di prezzo.
In questo esercizio di determinazione del prezzo, abbiamo un sistema di equazioni differenziali stocastiche che vogliamo utilizzare per valutare un derivato esotico. La domanda è: come calibriamo il modello e quali strumenti dovremmo scegliere a questo scopo per valutare con precisione il derivato esotico?
Il principio generale è quello di utilizzare strumenti di copertura come strumenti di calibrazione. Ciò significa che se gli strumenti di mercato, come le volatilità implicite e le curve dei rendimenti, hanno un impatto sul prezzo del derivato esotico, dovrebbero essere incorporati nella routine di calibrazione.
Consideriamo un esempio semplificato con una superficie di volatilità. Abbiamo una matrice di volatilità implicite corrispondenti a diversi prezzi di esercizio e scadenze. Per determinare la sensibilità del nostro derivato esotico a questi strumenti di mercato, possiamo eseguire i seguenti passaggi:
Per riassumere i passaggi coinvolti nella determinazione del prezzo di un derivato esotico:
In conclusione, usa sempre strumenti di copertura del tuo derivato esotico come strumenti di calibrazione. Questo approccio garantisce che il processo di calibrazione incorpori i fattori di mercato che influenzano in modo significativo il prezzo del derivato esotico. Inoltre, la gestione del rischio attraverso la copertura è fondamentale per mantenere il controllo sui rischi associati al derivato.
Come calibrare un modello di prezzo? Come scegliere la funzione obiettivo?
Come calibrare un modello di prezzo? Come scegliere la funzione obiettivo?
Benvenuti a Domande e risposte, incentrate sulla finanza computazionale. Oggi siamo alla domanda numero 29 su 30, verso la fine del primo volume di questa serie. La domanda del giorno è come calibrare un modello di prezzo e selezionare la funzione obiettivo.
La calibrazione in finanza è spesso considerata un'arte poiché non esiste una ricetta valida per tutti che funzioni per tutti i metodi e modelli di determinazione dei prezzi. Ogni approccio alla calibrazione è unico e richiede una profonda comprensione del modello a portata di mano, nonché abilità nel raggiungere una buona calibrazione. Tuttavia, ci sono diversi principi e considerazioni da tenere a mente quando si calibra un modello.
Ad esempio, quando si ha a che fare con un modello di volatilità stocastica come Heston o altri, che sono comunemente usati per prezzare derivati esotici come opzioni forward-start o derivati callable, è fondamentale scegliere strumenti che siano rilevanti per il derivato da prezzare. Se un derivato scade tra cinque anni e il suo valore dipende dalle volatilità di questo periodo, sarebbe inutile calibrare il modello su strumenti che scadono 30 o 40 anni nel futuro. Per identificare gli strumenti rilevanti, l'analisi di sensitività gioca un ruolo fondamentale. Modificando una per una le volatilità degli strumenti di mercato e osservando le conseguenti variazioni di valore del derivato, è possibile determinare a quali strumenti il modello è sensibile.
Quando si calibra un modello per la determinazione del prezzo di esotici, in particolare le opzioni europee, è essenziale evitare di calibrare su strumenti irrilevanti. L'utilizzo di tutti gli strumenti disponibili per la calibrazione senza considerarne la rilevanza può comportare una perdita di flessibilità, soprattutto quando si tratta di opzioni a lungo termine mentre il derivato rimane nel range a breve termine. È necessario selezionare attentamente gli strumenti utilizzati per la calibrazione e concentrarsi su quelli che si allineano con gli obiettivi di copertura desiderati.
Dal punto di vista di un trader, è fondamentale calibrare il modello sugli strumenti esistenti e che possono essere acquistati o venduti sul mercato. Ciò garantisce che la calibrazione sia pertinente e applicabile in scenari di trading reali. Pertanto, la disponibilità e la liquidità degli strumenti dovrebbero essere considerate durante il processo di calibrazione.
Le opzioni europee, in particolare quelle più liquide, sono spesso utilizzate per la calibrazione quando si valutano derivati esotici. Questa scelta è guidata dalla loro liquidità e dall'idoneità a fini di copertura. Tuttavia, nei casi in cui sul mercato siano disponibili e liquidi derivati esotici più semplici, tali strumenti possono essere preferiti per compensare la copertura.
In generale, la calibrazione dei modelli per i derivati esotici può essere complessa. In tali casi, un approccio standard consiste nel calibrare il modello in base alle opzioni europee e concentrarsi sul raggiungimento di un buon adattamento al punto monetario, poiché questa è la regione più critica. Il punto in denaro rappresenta il livello in cui i valori di mercato e del modello devono allinearsi strettamente, indipendentemente dalla presenza di sorrisi o distorsioni in altre regioni della superficie della volatilità implicita. Dare un peso maggiore alle opzioni at-the-money durante l'ottimizzazione aiuta a garantire una buona calibrazione in questa regione critica.
Quando si definisce la funzione obiettivo per la calibrazione, ci sono diversi approcci da considerare. L'approccio standard prevede l'utilizzo di una funzione target ponderata, come descritto nel libro e trattato nella lezione numero 13. Questa funzione comporta la somma di tutte le scadenze e gli strike delle opzioni rilevanti, l'applicazione di pesi (indicati come Omega) a ciascun termine e il calcolo della differenza al quadrato tra prezzi di mercato e prezzi dei modelli. L'obiettivo è trovare parametri del modello (Theta) che minimizzino questa differenza, abbinando così i prezzi delle opzioni sul mercato.
La funzione del peso (Omega) può essere un parametro di ottimizzazione e aiuta a stabilire la priorità delle opzioni at-the-money durante l'ottimizzazione. È importante notare che piccole differenze nei prezzi delle opzioni possono portare a differenze significative nelle volatilità implicite. Pertanto, un approccio preferito è quello di calibrare in base alle volatilità implicite, in quanto catturano le aspettative di volatilità del mercato in modo più accurato.
Tuttavia, il calcolo delle volatilità implicite può essere computazionalmente costoso, soprattutto quando si ha a che fare con modelli di prezzo complessi. In tali casi, è comune utilizzare i prezzi delle opzioni direttamente nella funzione obiettivo.
La scelta dei pesi nella funzione obiettivo è soggettiva e dipende dai requisiti specifici e dagli obiettivi della calibrazione. In genere, vengono assegnati pesi più elevati alle opzioni at-the-money per garantire un migliore adattamento nella regione critica. I pesi per le opzioni out-of-the-money e in-the-money possono essere regolati in base alla loro importanza nel modello di prezzo o alla strategia di copertura desiderata.
Un'altra considerazione quando si seleziona la funzione obiettivo è la scelta dell'algoritmo di ottimizzazione. Sono disponibili vari algoritmi di ottimizzazione, come i minimi quadrati, la stima della massima verosimiglianza e la ricottura simulata, tra gli altri. La selezione dell'algoritmo dipende dalla complessità del modello, dalle risorse computazionali disponibili e dalle caratteristiche desiderate del processo di calibrazione, come la velocità o l'accuratezza.
Vale la pena ricordare che la calibrazione di un modello di prezzo è un processo iterativo. Dopo la calibrazione iniziale, è essenziale eseguire un'analisi approfondita dei risultati e valutare la qualità dell'adattamento. Questa analisi può comportare l'esame degli errori residui, dei modelli smile/skew di volatilità implicita e altri strumenti diagnostici. Se la calibrazione non soddisfa i criteri desiderati, sono necessarie ulteriori regolazioni e iterazioni.
Inoltre, quando si calibra un modello, è essenziale considerare la robustezza dei risultati della calibrazione. La robustezza si riferisce alla stabilità dei parametri calibrati in diverse condizioni di mercato. È fondamentale verificare se i parametri calibrati producono risultati coerenti e ragionevoli per una gamma di scenari e strumenti di mercato.
In sintesi, quando si calibra un modello di prezzo per derivati esotici, è importante:
Questi principi forniscono una base per la calibrazione dei modelli di prezzo per i derivati esotici, ma è importante ricordare che il processo di calibrazione dipende fortemente dal modello specifico e dal contesto di mercato.
Quali sono le opzioni di Scelta Risorse?
Quali sono le opzioni di Scelta Risorse?
Benvenuti alla domanda finale di questa serie basata sui materiali discussi nella lezione numero 13 del corso di Finanza computazionale. In questa domanda, esploreremo le opzioni di Chooser e il loro significato nell'ingegneria finanziaria.
Un'opzione Chooser è un tipo di derivato esotico che offre al detentore la flessibilità di scegliere tra un'opzione call e un'opzione put in un momento futuro predeterminato. Consente all'investitore di ritardare la decisione se acquistare un'opzione call o put fino a una data specifica, nota come tempo t0, che è nel futuro. Questo tempo aggiuntivo prima di effettuare la scelta aggiunge valore e flessibilità all'opzione.
Per comprendere meglio le opzioni di Chooser, ricapitoliamo alcuni altri tipi di derivati esotici discussi brevemente durante la lezione. In primo luogo, abbiamo l'opzione binaria, nota anche come opzione cash-or-nothing. Le opzioni binarie hanno diverse varianti, ma in genere comportano funzioni di indicatore basate sul prezzo delle azioni alla scadenza. Se il prezzo dell'azione supera un prezzo di esercizio predeterminato (K) alla scadenza, l'opzione paga un importo fisso (Q). L'aspettativa della funzione indicatore è equivalente alla probabilità che il prezzo dell'azione superi il prezzo di esercizio alla scadenza.
Successivamente, abbiamo le opzioni composte, che sono opzioni su opzioni. Un'opzione composta fornisce al titolare il diritto di stipulare un'altra opzione in un momento futuro. Nel caso di un'opzione call composta, il detentore ha la possibilità di acquistare un'opzione call su un'attività sottostante entro un periodo specificato (dal tempo t0 al tempo capitale T). L'opzione interna rappresenta l'opzione call durante questo periodo, mentre l'opzione esterna copre l'intero intervallo. Le opzioni composte introducono ulteriori livelli di facoltatività e sono comunemente utilizzate in scenari finanziari complessi.
Ora, approfondiamo l'opzione Chooser. Analogamente alle opzioni composte, un'opzione Chooser ha due periodi di tempo distinti. Al tempo t0 (che è nel futuro), l'investitore ha la possibilità di decidere se acquistare un'opzione call o un'opzione put. La decisione si basa sul comportamento previsto del titolo sottostante. Se si prevede che il titolo avrà un buon rendimento, l'opzione call sarà probabilmente più preziosa. Al contrario, se si prevede che il titolo diminuirà, l'opzione put potrebbe essere più interessante. Il valore dell'opzione Chooser risiede nella flessibilità di scegliere tra queste due opzioni in un secondo momento.
È importante notare che il tempo t0 nell'opzione Chooser è un tempo futuro, non il giorno presente, per consentire un processo decisionale significativo. Se t0 fosse impostato sul presente, l'opzione Chooser diventerebbe un esercizio banale. L'opzione Chooser offre l'opportunità di stipulare un contratto per un periodo futuro e può anche essere negoziata sul mercato se il titolo sottostante ha guadagnato un valore significativo in quel momento.
Le opzioni di selezione possono essere viste come un tipo di opzione reale, in cui le opzioni su opzioni sono utilizzate in derivati finanziari. Offrono agli investitori una maggiore flessibilità e adattabilità alle condizioni di mercato, rendendoli adatti a varie strategie di investimento e finalità di gestione del rischio.
In conclusione, un'opzione Chooser è un derivato esotico che garantisce all'investitore la scelta tra un'opzione call e un'opzione put in un tempo futuro predeterminato (t0). Questa flessibilità aggiunge valore e consente all'investitore di adattare la propria strategia di investimento in base alle aspettative del mercato. La presenza del periodo di tempo aggiuntivo (t0) distingue l'opzione Chooser da altri tipi di opzioni. Le opzioni composte, comprese le opzioni su opzioni, sono strettamente correlate alle opzioni Chooser e sono spesso utilizzate in opzioni reali e scenari finanziari complessi.
Introduzione al trading a media frequenza: trading in millisecondi
Introduzione al trading a media frequenza: trading in millisecondi
Il Dr. Ernest Chan, una figura di spicco nel trading quantitativo, fa luce sul significato del trading a media frequenza (MFT) e sul suo ruolo nella comprensione del flash crash del 2010. Secondo il Dr. Chan, il MFT è un aspetto critico del trading che tutti i trader dovrebbero essere a conoscenza, sottolineando l'importanza di selezionare le giuste sedi di negoziazione per inviare gli ordini. Sottolinea la necessità per i trader di familiarizzare con tipi di ordini complessi come gli ordini IOC e ISO, oltre a comprendere il funzionamento dei dark pool. I trader dovrebbero informarsi attivamente sulle pratiche di instradamento degli ordini dei loro broker e valutare se è in linea con i loro migliori interessi.
Per chiarire, il Dr. Chan definisce MFT come trading con una latenza da uno a 20 millisecondi, suggerendo che tutti i trader impegnati nel trading intraday rientrano in questa categoria. Pertanto, diventa essenziale per i trader cogliere le sfumature di tipi di ordini speciali, ottimizzare le loro strategie di esecuzione degli ordini e ridurre al minimo l'impatto dei loro ordini per evitare potenziali perdite di profitto. MFT opera nell'ambito del trading intraday, in cui i trader devono affrontare le sfide poste dai trader ad alta frequenza e la conseguente liquidità ridotta. In particolare, il mercato azionario statunitense ha assistito a un'impennata delle attività HFT dal 2010, richiedendo ai trader di comprendere la microstruttura del mercato e il suo impatto sui loro profitti di trading.
Le complessità del trading nel mercato azionario statunitense altamente liquido sono ulteriormente esplorate dal Dr. Chan. Vari tipi di ordini e metodi di instradamento possono influenzare in modo significativo la redditività di un trader. Inoltre, l'esecuzione di determinati ordini può inavvertitamente rivelare le proprie intenzioni ad altri, portando alla fuga di informazioni. Il dottor Chan evidenzia ulteriori sfide affrontate dai trader, tra cui flash crash, prelievi di liquidità e manipolazione illegale del mercato. Per illustrare l'impatto dell'attività HFT sulla liquidità, presenta un esempio sorprendente utilizzando uno screenshot di Interactive Brokers. Anche i titoli altamente liquidi come Apple mostrano solo 100 azioni di massima liquidità di mercato durante la giornata di negoziazione a causa degli sforzi dei market maker per evitare lo sfruttamento da parte degli HFT, con conseguente diminuzione della liquidità complessiva.
L'interazione tra HFT, market maker e liquidità del mercato è discussa in dettaglio. Il dottor Chan spiega che i market maker, a causa del gioco da parte degli HFT, si astengono dal piazzare ordini di grandi dimensioni in cima al portafoglio ordini, temendo una rapida esecuzione che potrebbe portare a perdite finanziarie. Inoltre, una parte significativa della liquidità rimane nascosta nei dark pool, rendendo difficile valutare se esiste liquidità sufficiente per eseguire strategie di trading in modo efficace. Il dottor Chan sottolinea che circa un terzo delle azioni statunitensi è scambiato in dark pool, complicando ulteriormente la valutazione della liquidità per i trader. La discussione tocca il ruolo del tipo di ordine ISO nei flash crash, in cui un ordine può rimanere in una sede mentre spazza via l'altro portafoglio ordini. I market maker, dopo aver rilevato la tossicità nel flusso degli ordini, possono far precipitare drasticamente i prezzi.
Il video tocca anche varie pratiche commerciali e questioni del settore, tra cui un caso che coinvolge un commerciante al dettaglio nel Regno Unito condannato per commercio illegale e il concetto di spoofing, che può portare a crolli del mercato azionario. L'oratore approfondisce i difetti e la potenziale manipolazione associati alle pozze oscure. Inoltre, viene sottolineata l'importanza dell'infrastruttura fisica, come la co-ubicazione, l'accesso diretto dell'agenzia e piattaforme di trading ad alte prestazioni, per ridurre la latenza e ottimizzare il trading ad alta frequenza.
In un segmento separato, l'oratore sottolinea l'importanza del flusso degli ordini nel trading. Ogni operazione ha una direzione, che indica se si tratta di un ordine di acquisto o di vendita. Queste informazioni direzionali possono fungere da prezioso segnale di trading. Il dottor Chan chiarisce che la MFT non è limitata ai trader ad alta frequenza o a mercati specifici: è rilevante per tutti i trader, in quanto può prevenire perdite e presentare opportunità durante i flash crash. La sezione si conclude con un annuncio su un prossimo corso sul trading in millisecondi.
Il video passa alla discussione di un nuovo corso sulle strategie di trading algoritmico, che viene introdotto con un generoso codice coupon di sconto del 75% fornito agli spettatori. Il corso fa parte del percorso di apprendimento del corso Phi, offrendo un ulteriore sconto del 15% per i partecipanti interessati. L'oratore passa quindi a una sessione di domande e risposte, in cui il dottor Chan risponde a varie domande del pubblico.
Una domanda riguarda l'obbligo per i broker di indirizzare gli ordini al National Best Bid and Offer (NBBO) o direttamente allo scambio. Il dottor Chan spiega che i dark pool sono accessibili a chiunque e che i trader possono richiedere ai propri broker di indirizzare gli ordini a specifici dark pool. Chiarisce inoltre che la co-localizzazione in un data center, che consente una latenza ridotta, non è così costosa come si crede comunemente, rendendo possibile per i trader al dettaglio trarre vantaggio dal trading a bassa latenza.
Il dottor Chan approfondisce l'impatto dell'apprendimento automatico sulla MFT, affermando che mentre può essere utile nell'elaborazione dei dati per lo sviluppo di strategie di alto livello, potrebbe non fornire vantaggi significativi per le strategie di esecuzione. Distingue tra spoofing, che implica la manipolazione degli ordini, e il flusso degli ordini, che si concentra esclusivamente sulle negoziazioni eseguite e sulle corrispondenti direttive di acquisto o vendita.
La discussione tocca la misurazione del flusso degli ordini come indicatore e la creazione di dark pool. Il dottor Chan suggerisce che il modo più semplice per misurare il flusso degli ordini è accedere ai dati che includono la bandiera aggressiva per ogni operazione. Inoltre, spiega che i dark pool sono tipicamente stabiliti da grandi broker e market maker.
La sessione di domande e risposte continua con il Dr. Chan che risponde a varie domande del pubblico. Fornisce approfondimenti sull'identificazione di ordini limite falsi o non intenzionali durante l'analisi del flusso degli ordini, consiglia il libro "Algorithmic and High-Frequency Trading" di Irene Aldridge per le persone con un background in matematica e finanza e suggerisce di utilizzare dati a barre gratuiti o poco costosi o dati da più fornitori per il trading a bassa frequenza. Chiarisce inoltre che, sebbene ogni esecuzione avvenga in una specifica sede di negoziazione, i dati aggregati sulle negoziazioni comprendono negoziazioni di diverse borse.
Il video affronta inoltre le domande sull'analisi della forza dei segnali derivati dal flusso aggregato degli ordini e sull'accesso ai dark pool come trader al dettaglio. Viene sottolineata l'importanza di un'approfondita valutazione del segnale prima di prendere decisioni di trading basate sul flusso aggregato degli ordini. Inoltre, il relatore sottolinea la necessità di ottenere un feed completo del registro degli ordini dagli scambi per determinare con precisione l'impatto sul mercato.
Una domanda del pubblico solleva l'argomento della relazione tra flusso di ordini e volume e di come i dark pool influenzino questa relazione. Il dottor Chan chiarisce che il flusso degli ordini e il volume sono misure distinte, con il flusso degli ordini che porta un segno (positivo o negativo) mentre il volume no. Di conseguenza, l'aggregazione del flusso di ordini in un periodo specifico può produrre un numero sostanzialmente inferiore rispetto al volume corrispondente, poiché gli ordini con segni opposti si annullano a vicenda. Il relatore afferma che i dark pool non generano un flusso di ordini e che i dati sul volume non forniscono approfondimenti sull'attività dei dark pool.
Il video si conclude con una domanda riguardante la potenziale applicazione dell'apprendimento per rinforzo nella MFT. Il dottor Chan conferma che molte persone utilizzano già questa tecnica e sottolinea l'importanza di rimanere aggiornati sui progressi del settore.
Il video offre preziose informazioni sulla MFT, il suo impatto sul trading, le sfide affrontate dai trader e le strategie per ottimizzare le prestazioni del trading. La sessione di domande e risposte fornisce ulteriore chiarezza su vari aspetti, rispondendo alle domande del pubblico e ampliando gli argomenti discussi.