Commercio quantitativo - pagina 13

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Wall Street: gli speed trader

Wall Street: gli speed trader

Molte persone non sanno che la maggior parte delle operazioni azionarie negli Stati Uniti non sono più eseguite da esseri umani ma piuttosto da computer robotici. Questi supercomputer sono in grado di acquistare e vendere migliaia di titoli diversi in un batter d'occhio. Il trading ad alta frequenza, come è noto, è diventato prevalente a Wall Street negli ultimi anni e ha avuto un ruolo nel crollo del mini mercato la scorsa primavera, quando il Dow Jones Industrial Average è crollato di 600 punti in soli 15 minuti.

La Securities and Exchange Commission ei membri del Congresso hanno iniziato a sollevare dure domande sull'utilità, sui potenziali pericoli e sui sospetti della manipolazione del mercato attraverso il commercio elettronico. Il passaggio dai trader umani alle macchine ha trasformato il panorama della Borsa di New York, che un tempo era il centro del mondo finanziario. Ora, meno del 30% delle negoziazioni avviene in borsa, mentre il resto viene condotto attraverso piattaforme elettroniche e sistemi di negoziazione alternativi.

Sono emerse due borse valori elettroniche, BATS e Direct Edge, di proprietà di grandi banche e società di trading ad alta frequenza, che scambiano oltre un miliardo di azioni al giorno a velocità sorprendenti. Società di trading ad alta frequenza come Tradeworks, gestite da Manoj Narang e da un team di matematici e scienziati chiamati quant (analisti quantitativi), si impegnano in questa pratica. Eseguono operazioni per frazioni di secondo, con l'obiettivo di realizzare un profitto di un centesimo o meno per operazione. Queste aziende si affidano a complessi algoritmi matematici programmati nei loro computer per analizzare i dati in tempo reale e prendere decisioni in una frazione di secondo.

Un aspetto chiave del trading ad alta frequenza è che i computer non hanno alcuna comprensione delle società scambiate. Non conoscono il valore delle società, la loro gestione o altri fattori qualitativi. Le decisioni di trading si basano esclusivamente su fattori quantitativi, probabilità e analisi statistiche. Questo approccio consente di cogliere opportunità fugaci nel mercato, ma ignora i fattori fondamentali.

I trader ad alta frequenza investono molto in supercomputer e infrastrutture per ottenere un vantaggio in termini di velocità. Più i loro computer si trovano vicino ai server della borsa, più rapidamente ricevono informazioni critiche sul mercato. Anche pochi millisecondi di vantaggio possono portare a profitti significativi. I critici sostengono che i trader ad alta frequenza sfruttano questo vantaggio per eseguire ordini in anticipo, manipolare azioni ed estrarre denaro dal mercato senza aggiungere alcun valore reale.

Mentre i sostenitori affermano che il trading ad alta frequenza aumenta la liquidità del mercato, riduce i costi di transazione e restringe gli spread azionari, i critici ritengono che ciò comprometta l'equità e la trasparenza. La natura ad alta velocità del trading e la complessità degli algoritmi rendono difficile per le autorità di regolamentazione monitorare e garantire condizioni di parità. Il "flash crash" del 2010, quando il Dow Jones è precipitato di 600 punti in pochi minuti, ha messo in luce i potenziali rischi associati al trading ad alta frequenza e alla mancanza di controllo.

Le autorità di regolamentazione e i legislatori hanno iniziato a proporre riforme per affrontare le preoccupazioni relative al trading ad alta frequenza. La Securities and Exchange Commission sta prendendo in considerazione misure per tracciare e identificare le negoziazioni ad alta frequenza e sono stati implementati interruttori automatici per interrompere le negoziazioni in caso di estrema volatilità dei prezzi. Tuttavia, sono necessarie ulteriori modifiche per ripristinare la fiducia nell'integrità del mercato e fornire trasparenza agli investitori medi che ritengono che il sistema sia truccato contro di loro.

Negli ultimi anni, i trader ad alta frequenza hanno ampliato le loro attività nei mercati valutari e delle materie prime, sollevando ulteriori preoccupazioni circa il loro impatto sui mercati finanziari. L'evoluzione della tecnologia ha superato la capacità delle autorità di regolamentazione di tenere il passo e c'è una crescente richiesta di riforme che trovino un equilibrio tra innovazione e integrità del mercato.

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"Mathematical Modeling and Computation in Finance: With Exercises and Python and MATLAB Computer Codes" , di CW Oosterlee e LA Grzelak, World Scientific Publishing, 2019.

"Mathematical Modeling and Computation in Finance: With Exercises and Python and MATLAB Computer Codes" è un libro dal valore inestimabile che esplora l'intersezione tra matematica, finanza e informatica. Scritto da esperti del settore, fornisce una guida completa alla comprensione e all'implementazione di modelli matematici in finanza utilizzando linguaggi di programmazione popolari come Python e MATLAB.

Il libro inizia introducendo i lettori ai concetti fondamentali della modellazione matematica in finanza, tra cui la teoria della probabilità, il calcolo stocastico e le tecniche di ottimizzazione. Sottolinea gli aspetti pratici della modellazione e del calcolo, evidenziando l'importanza dei metodi numerici e della simulazione nella risoluzione dei problemi finanziari del mondo reale.

Una delle caratteristiche distintive di questo libro è l'inclusione di numerosi esercizi e codici informatici in Python e MATLAB. Questi esercizi consentono ai lettori di interagire attivamente con il materiale, rafforzare la loro comprensione dei concetti e sviluppare le loro capacità di programmazione. Lavorando attraverso gli esercizi e implementando i codici forniti, i lettori possono acquisire esperienza pratica nell'applicazione di modelli matematici per finanziare e migliorare la loro competenza nell'uso di questi linguaggi di programmazione per l'analisi finanziaria.

Il libro copre una vasta gamma di argomenti rilevanti per la finanza, come il prezzo delle opzioni, l'ottimizzazione del portafoglio, la gestione del rischio e l'asset allocation. Approfondisce argomenti avanzati come la modellazione della volatilità, la modellazione dei tassi di interesse e la modellazione del rischio di credito, fornendo ai lettori una comprensione completa delle tecniche matematiche utilizzate nella modellazione finanziaria.

Gli autori trovano un equilibrio tra rigore teorico e applicazione pratica in tutto il libro. Forniscono spiegazioni chiare dei concetti e degli algoritmi matematici sottostanti, accompagnati da esempi reali e casi di studio. Questo approccio consente ai lettori di cogliere le basi teoriche e allo stesso tempo di acquisire informazioni su come questi modelli possono essere applicati per risolvere problemi finanziari pratici.

Inoltre, il libro evidenzia i vantaggi e i limiti dei diversi approcci di modellazione, fornendo ai lettori le capacità di pensiero critico necessarie per prendere decisioni informate nella scelta e nell'implementazione di modelli in scenari del mondo reale.

"Modellazione matematica e calcolo nella finanza: con esercizi e codici informatici Python e MATLAB" è una risorsa eccellente per studenti, ricercatori e professionisti nel campo della finanza che desiderano approfondire la loro comprensione della modellazione matematica e dei metodi computazionali. La sua combinazione di spiegazioni teoriche, esercizi pratici e codici informatici pronti all'uso lo rende un compagno essenziale per chiunque sia interessato ad applicare tecniche matematiche per risolvere problemi finanziari.

https://github.com/LechGrzelak/Computational-Finance-Course

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Questo corso Computational Finance è basato sul libro: "Mathematical Modeling and Computation in Finance: With Exercises and Python and MATLAB Computer Codes"

Finanza computazionale: Lezione 1/14 (Introduzione e panoramica delle classi di attività)

Questa conferenza completa funge da introduzione agli affascinanti campi della finanza computazionale e dell'ingegneria finanziaria, coprendo una vasta gamma di argomenti essenziali per comprendere la finanza moderna. Il docente sottolinea l'importanza dei modelli teorici della finanza matematica e computazionale, che vengono utilizzati per creare modelli pratici per la determinazione del prezzo dei derivati in vari scenari.

Nel corso di finanza computazionale, gli studenti approfondiranno vari argomenti cruciali per comprendere e applicare metodi finanziari pratici. Condotto dall'istruttore, Leth Lag, il corso enfatizzerà l'implementazione di tecniche di programmazione efficienti utilizzando Python per la simulazione e il prezzo delle opzioni. Questo programma completo è progettato per le persone interessate alla finanza, alla finanza quantitativa e all'ingegneria finanziaria. Tratterà concetti essenziali come volatilità implicite, strategie di copertura e l'affascinante regno dei derivati esotici.

La finanza computazionale è un campo interdisciplinare situato tra la finanza matematica e i metodi numerici. Il suo obiettivo primario è quello di sviluppare tecniche che possano essere applicate direttamente all'analisi economica, combinando competenze di programmazione con modelli teorici. L'ingegneria finanziaria, d'altra parte, comprende un approccio multidisciplinare che impiega teoria finanziaria, metodi ingegneristici, strumenti matematici e pratiche di programmazione. Gli ingegneri finanziari svolgono un ruolo fondamentale nella creazione di modelli pratici basati sulla finanza matematica e computazionale, che possono essere utilizzati per valutare i derivati e gestire in modo efficiente contratti finanziari complessi. Questi modelli devono essere teoricamente validi e adattabili a diversi scenari.

Il corso farà luce su diverse classi di attività negoziate nella finanza computazionale, tra cui azioni, opzioni, tassi di interesse, cambi, mercati del credito, materie prime, energia e criptovalute. Le criptovalute, in particolare, offrono esposizione a varie classi di attività e possono essere impiegate a scopo di copertura. Ogni classe di attività ha i suoi contratti unici utilizzati per il controllo del rischio e le strategie di copertura. Il mercato Over-the-Counter (OTC), con le sue molteplici controparti, presenta ulteriori complessità che devono essere comprese.

Il docente esplorerà il ruolo delle criptovalute nella finanza, sottolineando le loro diverse caratteristiche e la necessità di metodologie, modelli e ipotesi specifici per i prezzi. Inoltre, verranno esaminate le quote di mercato di diverse classi di attività, come tassi di interesse, forex, azioni, materie prime e credit default swap (CDS). Sebbene le opzioni rappresentino una porzione relativamente piccola del mondo finanziario, offrono una prospettiva distinta sull'analisi finanziaria e computazionale.

Il tema delle opzioni e della speculazione sarà ampiamente discusso, evidenziando come le opzioni forniscano un'alternativa all'acquisto di azioni, consentendo agli individui di speculare sulla direzione futura di un titolo con un investimento di capitale relativamente piccolo. Tuttavia, le opzioni hanno una data di scadenza e possono perdere valore se il prezzo delle azioni rimane invariato, rendendo la tempistica un fattore cruciale nella speculazione. Il corso fornirà un'introduzione ai mercati finanziari, alle classi di attività e al ruolo degli ingegneri finanziari nella navigazione in questi paesaggi complessi. Le azioni, in quanto asset class più popolari, saranno esplorate in dettaglio, sottolineando il concetto di proprietà e come il valore delle azioni è influenzato dalla performance aziendale e dalle aspettative future.

La conferenza farà luce sulla natura stocastica del comportamento azionario nel mercato, influenzato da fattori quali domanda e offerta, concorrenti e performance aziendale. Il valore atteso di un'azione può differire dal suo valore effettivo, determinando volatilità. La volatilità è un elemento cruciale nella modellazione e nelle opzioni di prezzo in quanto determina le fluttuazioni future dei prezzi delle azioni. Inoltre, la conferenza distinguerà tra due tipi di investitori: quelli interessati ai rendimenti dei dividendi e quelli alla ricerca di opportunità di crescita.

Verrà introdotto il concetto di dividendi e dividend investing, sottolineando come i dividendi forniscano un investimento costante e certo in quanto le società distribuiscono regolarmente i pagamenti agli azionisti. Tuttavia, i pagamenti dei dividendi possono variare e rendimenti da dividendi elevati possono indicare un aumento del rischio negli investimenti di una società. La conferenza toccherà brevemente i tassi di interesse ei mercati monetari, riconoscendo che questi argomenti saranno trattati più ampiamente in un corso di follow-up.

Verranno discussi l'inflazione e il suo impatto sui tassi di interesse, spiegando come le banche centrali controllano l'inflazione aggiustando i tassi di interesse. La conferenza esplorerà i vantaggi a breve termine e le implicazioni a lungo termine dell'abbassamento dei tassi di interesse, nonché strategie alternative come la moderna teoria monetaria o gli acquisti di attività da parte delle banche centrali. Inoltre, verrà spiegato il ruolo dell'incertezza tra i partecipanti al mercato nella determinazione dei tassi di interesse e l'effetto fiscale nascosto dell'inflazione sui cittadini. La lezione si concluderà approfondendo il tema della gestione del rischio nel credito. Il docente evidenzierà i potenziali rischi affrontati dagli istituti di credito, come i mutuatari che vanno in bancarotta o sono inadempienti sui prestiti. Per mitigare questi rischi, gli istituti di credito spesso addebitano un premio di rischio per garantire che siano adeguatamente compensati per eventuali perdite potenziali.

Andando avanti, l'oratore sposterà l'attenzione sui tassi di interesse e sul loro significato in finanza. Spiegheranno come i tassi di interesse influenzano vari strumenti finanziari, inclusi conti di risparmio, mutui e prestiti. Verrà introdotto il concetto di interesse composto, sottolineando l'idea che un'unità di valuta oggi vale più della stessa unità in futuro a causa di fattori come l'inflazione. Verranno discussi i due principali metodi di calcolo dei tassi di interesse, semplice e composto, con una dettagliata spiegazione delle loro differenze ed esempi pratici.

Il relatore approfondirà quindi i tassi di interesse composti, in particolare per gli investimenti con scadenza a un anno. Spiegheranno la modellazione matematica dei tassi composti utilizzando la funzione esponenziale, in cui un'unità di valuta viene moltiplicata per e elevata alla potenza del tasso di interesse. Inoltre, il relatore descriverà come questa rappresentazione matematica si allinei con le equazioni differenziali che governano i conti di risparmio, portando alla determinazione del fattore di moltiplicazione utilizzato per scontare i flussi di cassa futuri. Tuttavia, il relatore noterà che in realtà i tassi di interesse non sono costanti ma variano nel tempo, come evidenziato da diversi strumenti come scadenze e prezzi per valute come l'euro e il dollaro USA.

Verranno discussi i grafici che rappresentano i tassi di interesse e la liquidità del mercato per l'Eurozona e il dollaro. In particolare, lo stato attuale dell'Eurozona rivela rendimenti negativi su tutte le scadenze fino a 30 anni, il che implica che l'investimento in titoli di stato all'interno dell'Eurozona potrebbe comportare una perdita di denaro. Il relatore suggerirà che gli individui potrebbero preferire scambiare euro con dollari e investire in obbligazioni statunitensi, in quanto offrono rendimenti più elevati. Tuttavia, questo approccio comporta dei rischi, comprese potenziali perdite dovute alle fluttuazioni dei tassi di cambio. Il relatore sottolineerà che i tassi di interesse dipendono dal tempo e sono soggetti alle dinamiche di mercato.

Il docente farà luce sul concetto di acquisto di obbligazioni, sottolineando che gli acquirenti di obbligazioni spesso pagano più del valore effettivo dell'obbligazione. Di conseguenza, il valore del denaro investito in obbligazioni può deprezzarsi nel tempo e l'inflazione può erodere il valore dell'investimento. Verranno menzionati i principali acquirenti di obbligazioni, come i fondi pensione e le banche centrali, sottolineando il loro ruolo significativo nel mercato obbligazionario. Inoltre, il docente toccherà il concetto di volatilità, che misura la variazione dei prezzi finanziari nel tempo. La volatilità viene calcolata utilizzando misure statistiche come la varianza e fornisce informazioni sulla tendenza di un mercato o di un titolo a fluttuare, introducendo incertezza e rischio.

Il corso sposterà quindi la sua attenzione sui rendimenti degli asset e sulla volatilità, due concetti cruciali nella finanza computazionale. I rendimenti delle attività si riferiscono ai guadagni o alle perdite di un titolo in un determinato periodo di tempo, mentre la volatilità misura la varianza di questi rendimenti. Un mercato altamente volatile indica oscillazioni di prezzo significative in un breve lasso di tempo, con conseguente aumento dell'incertezza e del rischio. Sarà introdotto l'indice VIX, uno strumento che misura l'incertezza del mercato. Utilizza opzioni out-of-the-money o put ed è comunemente impiegato dagli investitori per proteggere il proprio capitale in caso di calo del valore di mercato. Verrà sottolineata l'importanza della tempistica e della previsione dei tempi di esposizione, in quanto possono essere difficili nella pratica.

L'istruttore discuterà le complessità dell'analisi della volatilità di vari indici, incluso l'indice VIX. Riconosceranno le difficoltà nel modellare matematicamente la volatilità a causa delle circostanze e delle fluttuazioni del mercato. Inoltre, verranno introdotte le opzioni europee, che fungono da elementi costitutivi fondamentali per il prezzo dei derivati basato sulla volatilità. Il docente fornirà una chiara distinzione tra opzioni call e opzioni put, spiegando che le opzioni call conferiscono al detentore il diritto di acquistare un'attività a un prezzo e una data prestabiliti, mentre le opzioni put danno al detentore il diritto di vendere un'attività a un prezzo prestabilito e la data, essenzialmente fungendo da assicurazione.

Una volta stabilite le basi delle opzioni, il docente presenterà una panoramica delle opzioni all'interno di diverse classi di attività. Sottolineeranno i due tipi chiave di opzioni: opzioni call e opzioni put. Nel caso di un'opzione call, l'acquirente ha il diritto di vendere l'attività sottostante al venditore a una data di scadenza e prezzo di esercizio specificati. Ciò significa che alla scadenza, il venditore è obbligato ad acquistare il titolo al prezzo di esercizio se l'acquirente sceglie di esercitare l'opzione. D'altra parte, un'opzione put garantisce all'acquirente il diritto di vendere l'attività sottostante al venditore a una data di scadenza e prezzo di esercizio specificati. Alla scadenza, il venditore deve acquistare il titolo al prezzo di esercizio specificato se l'acquirente esercita l'opzione.

Per illustrare la potenziale redditività delle opzioni, il docente presenta due rappresentazioni grafiche: una per le opzioni call e un'altra per le opzioni put. Questi grafici descrivono il potenziale profitto o perdita in base al valore del titolo sottostante. Esaminando i grafici, gli spettatori possono ottenere informazioni su come i cambiamenti nel valore del titolo possono influenzare la redditività delle opzioni.

Durante il corso, l'istruttore esplorerà ulteriori argomenti avanzati relativi alla finanza computazionale, tra cui la modellazione di derivati, l'implementazione efficiente della programmazione e l'uso di Python per la simulazione e il prezzo delle opzioni. Programmeranno dal vivo durante le sessioni e analizzeranno i risultati in collaborazione con gli spettatori, fornendo esperienze pratiche e approfondimenti pratici.

Il corso è specificamente progettato per le persone interessate alla finanza, alla finanza quantitativa e all'ingegneria finanziaria. Mira a colmare il divario tra finanza matematica e metodi numerici, offrendo conoscenze e competenze interdisciplinari necessarie per affrontare i problemi finanziari del mondo reale. Saranno trattati anche i concetti di volatilità implicite, strategie di copertura e derivati esotici, fornendo una comprensione completa della finanza computazionale e delle sue applicazioni nel settore finanziario.

Alla fine del corso, i partecipanti avranno acquisito una solida base di finanza computazionale, ingegneria finanziaria e applicazione pratica dei metodi numerici. Saranno dotati degli strumenti e delle conoscenze per sviluppare e implementare modelli per la determinazione del prezzo dei derivati, la gestione dei rischi e l'analisi dei dati finanziari. Questo corso funge da trampolino di lancio per coloro che cercano di intraprendere una carriera nella finanza, nell'analisi quantitativa o nell'ingegneria finanziaria, consentendo loro di prendere decisioni informate e contribuire al campo in continua evoluzione della finanza computazionale.

• 00:00:00 Il corso tratterà vari argomenti relativi alla finanza computazionale, tra cui la modellazione di derivati, l'implementazione efficiente della programmazione e l'uso di Python per la simulazione e il prezzo delle opzioni. L'istruttore del corso, Leth Lag, programmerà in diretta e analizzerà i risultati insieme agli spettatori. Il corso è progettato per coloro che sono interessati alla finanza, alla finanza quantitativa e all'ingegneria finanziaria e coprirà anche i concetti di volatilità implicite e copertura. Il corso si concluderà con una discussione sui derivati esotici.
  
  
• 00:05:00 In questa sezione, l'attenzione è rivolta alla finanza computazionale, che è un ramo dell'informatica applicata che si occupa di problemi finanziari pratici e sottolinea metodi numerici pratici. Questo campo è interdisciplinare, tra finanza matematica e metodi numerici. L'obiettivo della finanza computazionale è quello di sviluppare tecniche che possono essere applicate direttamente all'analisi economica, e questo comporta l'utilizzo di programmazione e modelli teorici. Un altro aspetto discusso è l'ingegneria finanziaria, che è un campo multidisciplinare che applica teoria finanziaria, metodi ingegneristici, strumenti matematici e pratica di programmazione. L'ingegneria finanziaria e la finanza computazionale sono correlate e gli ingegneri finanziari sviluppano modelli che sono pratici, realizzabili, veloci ed efficienti e possono essere utilizzati dalle istituzioni finanziarie per valutare i derivati e implementare strategie di copertura.
  
  
• 00:10:00 In questa sezione viene discusso il ruolo dell'ingegneria finanziaria nello sviluppo di modelli per contratti finanziari complessi. Gli ingegneri finanziari utilizzano modelli teorici della finanza matematica e computazionale per creare modelli pratici che possono essere utilizzati per valutare derivati e altri contratti complicati. I modelli devono essere teoricamente corretti e funzionare in un'ampia gamma di scenari. L'ingegneria finanziaria è guidata dalle esigenze di un cliente e richiede competenze multidisciplinari, tra cui la modellazione quantitativa e la programmazione. La conferenza spiega anche le principali classi di attività in finanza, comprese le azioni e gli scambi di opzioni, che gli ingegneri finanziari valutano utilizzando i loro modelli e strumenti.
  
  
• 00:15:00 In questa sezione, il relatore discute le varie classi di attività negoziate nella finanza computazionale. Ci sono azioni, opzioni, tassi di interesse, cambi, mercato del credito, materie prime, energia e criptovalute. Nel caso delle criptovalute, ne esistono di molti tipi diversi a seconda delle loro caratteristiche e possono essere considerate anche un mercato di opzioni. L'oratore tocca diversi contratti all'interno di ciascuna classe di attività utilizzati per coprire e controllare il rischio. Inoltre, il relatore osserva che alcuni mercati, come il mercato OTC, sono progettati per il profilo di rischio dei clienti e coinvolgono più controparti.
  
  
• 00:20:00 In questa sezione, il relatore discute il ruolo delle criptovalute nella finanza e spiega come sono progettate per offrire esposizione a diverse asset class. Le criptovalute possono essere utilizzate per coprire i rischi e alcune forniscono anche esposizione a azioni, oro, argento e petrolio. Diverse criptovalute hanno caratteristiche uniche, che richiedono diverse metodologie, modelli e ipotesi per la determinazione del prezzo. Il relatore passa quindi a discutere la quota di mercato di diverse classi di attività, come tassi di interesse, forex, azioni, materie prime e CDS. Sebbene le opzioni siano una piccola parte del mondo finanziario, sono comunque importanti e offrono una prospettiva unica sull'analisi finanziaria e computazionale.
  
  
• 00:25:00 In questa sezione viene discusso il tema delle opzioni e della speculazione. Le opzioni possono essere un'alternativa più economica all'acquisto di azioni, consentendo di scommettere sulla direzione futura di un'azione con un piccolo investimento di capitale. Tuttavia, le opzioni hanno una data di scadenza e perdono valore se non accade nulla al prezzo delle azioni durante quel periodo, rendendo la tempistica una sfida significativa nella speculazione. La conferenza introduce il concetto di mercati finanziari, asset class e il ruolo di un ingegnere finanziario. Viene anche esplorata la prima e più popolare classe di attività, azioni o titoli azionari, compreso il modo in cui acquistare un titolo significa diventare proprietario dell'azienda e come il valore di un titolo dipende dalle prestazioni dell'azienda e dalle aspettative di pagamenti futuri.
  
  
• 00:30:00 In questa sezione, il relatore discute il comportamento delle azioni nel mercato, che è stocastico e influenzato da vari fattori come domanda e offerta, concorrenti e performance aziendale. Ciò significa che il valore atteso di un'azione può differire dal suo valore effettivo, con conseguente volatilità. La volatilità è un elemento importante nella modellazione e nelle opzioni di prezzo, in quanto determina le fluttuazioni del prezzo di un titolo in futuro. Inoltre, il proprietario di un titolo possiede teoricamente una parte della società e può ricevere dividendi o trarre benefici dalla crescita del titolo. Esistono due tipi di investitori: quelli interessati ai rendimenti dei dividendi e quelli alla ricerca di opportunità di crescita.
  
  
• 00:35:00 In questa sezione del video viene discusso il concetto di dividendi e di investimento in dividendi. L'investimento in dividendi è attraente per coloro che desiderano un investimento costante e certo, poiché ogni trimestre o semestrale una società pagherà gli azionisti. Tuttavia, i dividendi possono variare di anno in anno e pagamenti di dividendi elevati possono indicare un rischio maggiore negli investimenti di una società. Il video tocca anche brevemente i tassi di interesse e i mercati monetari, osservando che i tassi di interesse sono una percentuale del principio, ma questo argomento sarà trattato in un corso di follow-up.
  
  
• 00:40:00 In questa sezione, il docente discute l'inflazione e l'impatto dei tassi di interesse sull'economia. Quando l'economia va bene e la circolazione monetaria aumenta, c'è un rischio di inflazione, che può essere controllato dalle banche attraverso un aumento dei tassi di interesse. Tuttavia, l'abbassamento dei tassi di interesse può fornire una spinta a breve termine all'economia, ma questa non è una soluzione a lungo termine. Le banche centrali possono utilizzare la moderna teoria monetaria o l'acquisto di attività sul mercato come alternativa. Inoltre, il docente spiega in che modo i tassi di interesse sono influenzati dall'incertezza degli operatori di mercato riguardo alla ricezione di denaro dalle banche e in che modo l'inflazione può agire come una tassa nascosta per i cittadini. Infine, il docente parla della gestione del rischio nei prestiti e suggerisce che un mutuatario può fallire o essere inadempiente sui prestiti, il che porta a un premio di rischio per garantire che il prestatore sia risarcito per qualsiasi perdita.
  
  
• 00:45:00 In questa sezione, il relatore discute i tassi di interesse e la loro importanza nella finanza. Spiegano come i tassi di interesse influenzano conti di risparmio, mutui e prestiti. Il relatore discute come modellare i tassi di interesse e che il concetto più semplice è che un euro oggi vale più di un euro tra un anno a causa di fattori come l'inflazione. I due modi principali per comporre e calcolare i tassi di interesse sono semplici e composti, con interessi composti che si verificano per tutta la durata dell'investimento. Il relatore definisce questi termini e fornisce esempi per illustrarli.
  
  
• 00:50:00 In questa sezione, il relatore discute il concetto di tassi di interesse composti per una scadenza di un anno. Il tasso composto è calcolato come un euro per e elevato alla potenza di r. L'oratore spiega come questo è modellato matematicamente descrivendo un'equazione differenziale che descrive i conti di risparmio. La soluzione dell'equazione differenziale fornisce il fattore di moltiplicazione, che viene utilizzato per scontare i flussi di cassa futuri. Tuttavia, il relatore osserva che in realtà i tassi di interesse non sono costanti ma dipendenti dal tempo, il che è illustrato da vari strumenti come scadenze e prezzi per l'Europa e il dollaro USA.
  
  
• 00:55:00 In questa sezione del video, il relatore discute i grafici che rappresentano i tassi di interesse e la liquidità del mercato per l'Eurozona e il dollaro. I grafici mostrano che attualmente tutti i rendimenti per Euro fino a 30 anni sono negativi, il che significa che investire in titoli di stato in Europa comporterebbe una perdita di denaro. L'oratore suggerisce che le persone preferirebbero scambiare euro con dollari e investire in obbligazioni statunitensi in quanto forniscono rendimenti più elevati. Tuttavia, vi è un rischio in quanto il tasso di cambio potrebbe diminuire, deteriorando i profitti potenziali. L'oratore osserva inoltre che i tassi di interesse dipendono dal tempo e non sono costanti.

• 01:00:00 In questa sezione, il docente discute il concetto di acquisto di obbligazioni. Gli acquirenti di obbligazioni pagano più del valore dell'obbligazione e, di conseguenza, il valore del denaro si deteriorerà nel tempo e potrebbe esserci anche inflazione, causando una perdita di investimento. I fondi pensione e le banche centrali sono i principali acquirenti di obbligazioni. Il docente tocca anche il concetto di volatilità, che è una misura della variazione dei prezzi finanziari nel tempo ed è calcolata utilizzando la varianza della misura statistica della tendenza di un mercato o di un titolo a salire o scendere in un periodo di tempo.
  
  
• 01:05:00 In questa sezione, apprendiamo i rendimenti degli asset e la volatilità, due concetti importanti nella finanza computazionale. I rendimenti delle attività sono i guadagni o le perdite di un titolo in un periodo di tempo specifico e la volatilità misura la varianza di questi rendimenti. Un mercato altamente volatile significa che i prezzi possono oscillare drasticamente in un breve lasso di tempo, il che può portare a incertezza e rischio. L'indice VIX è un esempio di strumento di mercato che misura l'incertezza ed è costruito utilizzando opzioni out of the money o put. Viene spesso utilizzato dagli investitori per proteggere il proprio capitale in caso di calo del valore di mercato. Tuttavia, il tempismo è fondamentale quando lo si utilizza, poiché i tempi di esposizione possono essere molto brevi e difficili da prevedere.
  
  
• 01:10:00 L'istruttore discute la volatilità di vari indici, incluso l'indice VIX, e come può essere difficile da analizzare matematicamente a causa delle circostanze e delle fluttuazioni del mercato. Introduce quindi le opzioni europee, che sono un elemento fondamentale del prezzo dei derivati sulla volatilità, con una corrispondenza biunivoca tra prezzo dell'opzione e volatilità. L'istruttore spiega le differenze tra le opzioni call e put, con un'opzione call che dà al detentore il diritto di acquistare un'attività a una data futura a un prezzo prestabilito, mentre un'opzione put dà al detentore il diritto di vendere un'attività a una data futura per un prezzo stabilito, fungendo essenzialmente da assicurazione.
  
  
• 01:15:00 In questa sezione, il docente presenta una panoramica delle opzioni all'interno delle classi di attività e identifica due tipi chiave di opzioni: opzioni call e opzioni put. Nel caso di un'opzione call, l'acquirente può vendere al venditore a una data di scadenza e prezzo di esercizio specificati, il che significa che alla scadenza il venditore è obbligato a vendere azioni al prezzo di esercizio. Al contrario, per un'opzione put, l'acquirente può vendere al venditore, cosa che avviene di nuovo alla scadenza, ma questa volta il venditore deve acquistare azioni al prezzo di esercizio specificato. Il docente presenta poi due grafici, uno per entrambe le tipologie di opzioni, evidenziandone il potenziale guadagno in funzione del valore del titolo.

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Finanza computazionale: lezione 2/14 (azioni, opzioni e stocastici)

Finanza computazionale: lezione 2/14 (azioni, opzioni e stocastici)

L'istruttore inizia fornendo una panoramica del corso, sottolineando l'importanza di comprendere la fiducia nel trading, la copertura e la necessità di modelli matematici in finanza. Approfondiscono il tema del prezzo delle opzioni put e spiegano il concetto di copertura. Vengono trattati anche i processi stocastici e la modellazione dei prezzi delle attività, con l'introduzione del lemma di Ito come strumento per risolvere equazioni differenziali stocastiche.

Per illustrare l'applicazione pratica di questi concetti, l'istruttore presenta un esempio di una strategia di formazione in cui un investitore cerca di proteggere il proprio investimento da una potenziale diminuzione del valore delle azioni. Suggeriscono di acquistare un'assicurazione sotto forma di opzioni put per garantire un importo minimo di denaro nello scenario peggiore.

Passando al trading di opzioni, il docente si concentra sull'uso delle opzioni put per proteggersi dai movimenti al ribasso dei prezzi delle azioni. Tuttavia, notano che l'acquisto di opzioni put può essere costoso, in particolare quando la volatilità del titolo è elevata, come esemplificato da Tesla. Per ridurre i costi delle opzioni, si può diminuire il prezzo di esercizio, ma questo significa accettare un prezzo inferiore per l'azione. Il docente fornisce uno screenshot di Reuters che mostra diversi tipi di opzioni disponibili sul mercato, classificate per scadenza e prezzo di esercizio. Spiegano anche la relazione tra prezzo di esercizio e prezzi delle opzioni call e put.

La volatilità implicita viene introdotta come misura dell'incertezza del mercato. Il docente spiega che i prezzi di esercizio più bassi sono associati a una maggiore volatilità implicita. Viene introdotto anche il delta, che misura la dipendenza del valore di un'opzione dall'attività sottostante. Il video approfondisce quindi il concetto di copertura e come stabilire un rapporto per ottenere un portafoglio privo di rischio, anche se potenzialmente limitando i guadagni se il titolo non aumenta di valore. Viene discussa la copertura con opzioni, evidenziandone l'idoneità per investimenti a breve termine, ma rilevandone il potenziale costo nei periodi di elevata volatilità.

Il trading di opzioni è ulteriormente esplorato come mezzo di copertura e riduzione del rischio. Il docente suggerisce che le opzioni sono in genere più desiderabili per gli investimenti a breve termine con una scadenza definita, in quanto possono essere costose per gli investimenti a lungo termine. Viene introdotto il concetto di copertura con call, sottolineando come la vendita di opzioni possa aiutare a ridurre il rischio per gli investitori che detengono un ampio portafoglio di azioni. Tuttavia, si sconsiglia di vendere troppe call, in quanto può limitare il potenziale rialzo e comporta sempre un certo grado di rischio.

Il video approfondisce quindi le materie prime, spiegando che sono materie prime utilizzate come copertura contro l'inflazione a causa dei loro modelli di prezzo imprevedibili ma spesso stagionali. Il trading di materie prime viene condotto principalmente nel mercato dei futures, dove vengono stipulati accordi per acquistare o vendere materie prime in una data futura. Viene evidenziata la distinzione tra i mercati dell'elettricità e altri prodotti di base, con l'elettricità che pone sfide uniche a causa della sua incapacità di essere completamente immagazzinata e del suo impatto sulla prevedibilità e sul valore dei derivati.

Il docente procede a discutere il commercio di valuta come classe di attività, comunemente indicato come il mercato dei cambi. A differenza del tradizionale acquisto o vendita di un particolare tasso di cambio, gli individui scambiano somme di denaro tra valute. Il docente sottolinea il ruolo del dollaro USA come valuta base e valuta di riserva. Toccano anche la manipolazione dei tassi di cambio da parte delle banche centrali per rafforzare o indebolire le valute. Inoltre, viene menzionata una piccola applicazione di derivati su cambi per la copertura dei rischi valutari nelle attività internazionali.

Il relatore spiega come le banche e le istituzioni finanziarie possono acquistare o vendere assicurazioni contro le fluttuazioni dei tassi di cambio per gestire le incertezze degli investimenti. Investire in paesi diversi può introdurre incertezze a causa dei diversi punti di forza delle valute e delle politiche monetarie, portando a rendimenti incerti. La finanza computazionale svolge un ruolo cruciale nella gestione e nel calcolo dei rischi associati a tali investimenti modellando le incertezze e considerando vari fattori. Il relatore osserva inoltre che i bitcoin possono essere considerati tassi di cambio e discute la loro natura ibrida come merce regolamentata con valore determinato attraverso lo scambio contro il dollaro USA. La volatilità dei bitcoin rende difficile prevedere il loro valore futuro.

Inoltre, il relatore esplora il concetto di prezzo neutrale al rischio, che è un principio fondamentale nel prezzo delle opzioni. Il prezzo neutrale al rischio presuppone che in un mercato perfettamente efficiente, il rendimento atteso di un'opzione dovrebbe essere uguale al tasso privo di rischio. Questo approccio semplifica il processo di determinazione del prezzo considerando le probabilità di risultati diversi sulla base di una misura neutrale al rischio, in cui il rendimento atteso dell'opzione viene scontato al tasso privo di rischio.

Il relatore introduce quindi il modello Black-Scholes-Merton (BSM), che è un modello matematico ampiamente utilizzato per le opzioni di prezzo. Il modello BSM incorpora vari fattori come il prezzo corrente delle azioni, il prezzo di esercizio, il tempo alla scadenza, il tasso di interesse privo di rischio e la volatilità dell'attività sottostante. Presuppone che l'asset sottostante segua il moto browniano geometrico e che il mercato sia efficiente.

Il relatore spiega i componenti chiave del modello BSM, inclusa la formula per calcolare il valore di un'opzione call o put europea. Sottolineano l'importanza della volatilità nel prezzo delle opzioni, poiché una maggiore volatilità aumenta il valore di un'opzione a causa del potenziale di maggiori fluttuazioni di prezzo. L'oratore menziona anche il ruolo della volatilità implicita, che è l'aspettativa del mercato della volatilità futura implicita nei prezzi delle opzioni.

Successivamente, la lezione approfondisce il concetto di delta hedging, che è una strategia utilizzata per minimizzare il rischio mantenendo una posizione neutrale nell'asset sottostante. Delta misura la sensibilità del prezzo di un'opzione alle variazioni del prezzo dell'asset sottostante. Regolando il numero di azioni detenute nell'asset sottostante, un investitore può creare un portafoglio neutrale rispetto al delta che è meno influenzato dai movimenti dei prezzi.

Il relatore spiega il processo di copertura delta utilizzando il modello BSM e dimostra come può ridurre efficacemente il rischio. Discutono il concetto di copertura dinamica, in cui la copertura viene continuamente regolata al variare del prezzo dell'attività sottostante. Ciò garantisce che il portafoglio rimanga neutrale rispetto al delta e riduce al minimo l'esposizione alle fluttuazioni del mercato.

Oltre alla copertura delta, la lezione tratta altre tecniche di gestione del rischio come la copertura gamma e la copertura vega. Gamma misura il tasso di variazione del delta, mentre vega misura la sensibilità del prezzo di un'opzione alle variazioni della volatilità implicita. Queste tecniche consentono agli investitori di gestire e adeguare le proprie posizioni in base alle mutevoli condizioni e ai rischi del mercato.

Verso la fine della conferenza, il relatore evidenzia i limiti e le ipotesi del modello BSM. Riconoscono che i mercati del mondo reale possono deviare dalle ipotesi del modello, come la presenza di costi di transazione, vincoli di liquidità e l'impatto delle frizioni di mercato. Il relatore incoraggia un approccio prudente e sottolinea l'importanza di comprendere i limiti e le incertezze associate ai modelli di prezzo delle opzioni.

Nel complesso, la lezione fornisce una panoramica completa della fiducia nel trading, delle strategie di copertura, dei modelli di determinazione del prezzo delle opzioni e delle tecniche di gestione del rischio. Fornisce agli studenti le conoscenze e gli strumenti essenziali per navigare nel complesso mondo dei mercati finanziari e prendere decisioni informate nelle attività di trading e di investimento.

• 00:00:00 In questa sezione, l'istruttore spiega i temi della fiducia nel trading, della copertura e della necessità di modelli che verranno appresi durante il corso. Entrano nei dettagli su come valutare le opzioni put e sul concetto di copertura. L'istruttore copre anche i processi stocastici e come modellare i prezzi delle attività. Introducono il lemma di Ito e come può essere utilizzato per risolvere equazioni differenziali stocastiche. Infine, l'istruttore fornisce un esempio di una strategia di formazione in cui un investitore vorrebbe proteggere il proprio investimento da una potenziale diminuzione del valore di un'azione. Per fare ciò, possono acquistare un'assicurazione per assicurarsi di avere almeno una certa somma di denaro nella peggiore delle ipotesi.
  
  
• 00:05:00 In questa sezione, il docente discute l'uso delle opzioni put per proteggersi dai movimenti al ribasso del prezzo di un'azione. Tuttavia, l'acquisto di un'opzione put può essere costoso, soprattutto quando la volatilità del titolo è elevata, come nel caso di Tesla. Per rendere l'opzione più economica, si può diminuire il prezzo di esercizio, sebbene ciò significhi accettare un prezzo inferiore per l'azione. Il docente mostra quindi uno screenshot di Reuters, che mostra i diversi tipi di opzioni disponibili sul mercato, classificati per scadenza e prezzo di esercizio, e spiega la relazione tra prezzo di esercizio e prezzi delle opzioni call e put.
  
  
• 00:10:00 In questa sezione viene introdotto il concetto di volatilità implicita, descrivendola come una misura dell'incertezza del mercato. Più basso è lo strike, maggiore è la volatilità implicita e il delta viene introdotto anche come misura di quanto il valore di un'opzione dipenda dall'asset sottostante. Il video spiega quindi come funziona la copertura e come esiste un rapporto che non si traduce in alcun movimento nel valore di un portafoglio, fornendo risultati istantanei privi di rischio, ma che può anche limitare i potenziali guadagni se il titolo non aumenta di valore. Viene quindi discussa la copertura con le opzioni, e viene spiegato che è adatta a coloro che non intendono mantenere le proprie azioni per lungo tempo, anche se può essere costosa quando la volatilità è elevata.
  
  
• 00:15:00 In questa sezione, il docente discute il trading di opzioni come forma di copertura e riduzione del rischio. Spiegano che le opzioni sono generalmente desiderabili solo per investimenti a breve termine con una scadenza definita e che utilizzarle per investimenti a lungo termine può essere costoso. Il docente parla anche del concetto di copertura con le chiamate e di come la vendita di opzioni può essere un modo per ridurre il rischio per gli investitori che detengono un ampio portafoglio di azioni. Tuttavia, avvertono che la vendita di troppe call può ridurre il potenziale rialzo del possesso di azioni e che il trading di opzioni comporta sempre un certo grado di rischio.
  
  
• 00:20:00 In questa sezione, il video esplora le materie prime, che sono materie prime come metalli preziosi, petrolio e prodotti alimentari che vengono spesso utilizzate come copertura contro l'inflazione perché i loro prezzi sono imprevedibili ma spesso mostrano effetti stagionali. Il trading di materie prime viene effettuato principalmente nel mercato futuro in cui vengono stipulati accordi per acquistare o vendere la merce in un momento futuro. La differenza tra i mercati dell'elettricità e altri prodotti di base è che l'elettricità non può essere immagazzinata completamente, il che rende difficile il mercato, soprattutto se la prevedibilità e l'aumento di un derivato dipendono dall'elettricità. I mercati dell'energia per i prodotti di base spesso riguardano specificamente il commercio e la fornitura di energia e sono regolamentati dalle autorità nazionali internazionali per proteggere i diritti dei consumatori ed evitare oligopoli.
  
  
• 00:25:00 In questa sezione, il docente discute la classe di attività delle valute, altrimenti nota come mercato dei cambi. È unico in quanto gli individui non possono acquistare o vendere un particolare tasso di cambio. Invece, scambiano somme di denaro da una valuta all'altra. Il dollaro è considerato la valuta di base ed è una valuta di riserva. Il mercato dei cambi è tra i mercati più manipolati al mondo a causa dell'accesso delle banche centrali alle riserve. Possono influenzare o manipolare i tassi di cambio per rafforzare o indebolire una valuta. Il docente parla anche di una piccola applicazione nei mercati FX, in cui un derivato può essere utilizzato per proteggersi dai rischi valutari quando si fanno affari all'estero.
  
  
• 00:30:00 In questa sezione, il relatore discute di come le banche e altri istituti finanziari possono acquistare o vendere assicurazioni contro le fluttuazioni dei tassi di cambio per far fronte alle incertezze sugli investimenti. Quando si investe all'estero, paesi diversi possono avere punti di forza diversi nelle loro valute e politiche monetarie che potrebbero portare a rendimenti incerti. La finanza computazionale si concentra sulla gestione e il calcolo dei rischi coinvolti in questi tipi di investimenti modellando queste incertezze e tenendo conto di numerosi fattori. Il relatore osserva inoltre che i bitcoin possono essere considerati tassi di cambio, ed è un interessante prodotto ibrido poiché è regolamentato come merce, ma la sua qualità è determinata dal suo scambio con il dollaro USA. Inoltre, c'è volatilità nel prezzo dei bitcoin, rendendo difficile prevederne il valore in futuro.
  
  
• 00:35:00 In questa sezione, il relatore discute l'uso delle opzioni put per proteggere i profitti sugli investimenti in Bitcoin. Il valore di un'opzione put dipende da quanto è lontano lo strike dal valore corrente di Bitcoin, con uno strike più alto che si traduce in un prezzo più alto per l'opzione. Tuttavia, giocare in questo mercato richiede una notevole quantità di capitale a causa della notevole quantità di denaro necessaria per pagare l'assicurazione. La volatilità di Bitcoin si aggiunge anche all'incertezza e al costo dell'investimento in opzioni. Il relatore fornisce anche una breve storia delle opzioni e spiega che le opzioni con periodi di scadenza più lunghi tendono ad essere più costose delle attività sottostanti a causa del costo dell'assicurazione.
  
  
• 00:40:00 In questa sezione del video, l'oratore introduce e spiega diversi tipi di opzioni, tra cui opzioni europee, americane, Bermuda ed esotiche/dipendenti dal percorso. Le opzioni europee possono essere esercitate solo alla data di scadenza/scadenza, mentre le opzioni americane possono essere esercitate in qualsiasi giorno di negoziazione, rendendole più costose. Le opzioni sulle Bermuda hanno date di esercizio specifiche mentre le opzioni esotiche/dipendenti dal percorso sono personalizzate e poco liquide. L'oratore discute quindi vari termini relativi alle opzioni, come scadenza, prezzo di esercizio, portafoglio, scrittore e ingegneria finanziaria. L'obiettivo principale della serie di conferenze è sulla determinazione del prezzo delle opzioni in modo accurato e sulla riduzione al minimo dei rischi ad esse associati. Il relatore semplifica anche la discussione con un grafico e sottolinea l'importanza di comprendere i principali fattori che determinano il prezzo delle opzioni.
  
  
• 00:45:00 In questa sezione, il professore discute il prezzo e il confronto delle opzioni su azioni utilizzando modelli statistici e analisi di regressione. L'attenzione si concentra sulla prospettiva di un venditore di un'opzione che vorrebbe coprire la propria posizione per vendere un'opzione e allo stesso tempo proteggersi dal rischio che il titolo salga o scenda. Con la copertura di un portafoglio, un venditore può vendere un'opzione e ricevere un valore, VC0, e un valore delta, che deve essere abbinato attraverso l'acquisto o la vendita di una certa quantità di azioni per coprirsi da qualsiasi potenziale esposizione. Chi scrive deve considerare due scenari quando decide sul delta, se il titolo sale o scende, per minimizzare il rischio e massimizzare il profitto.
  
  
• 00:50:00 In questa sezione della conferenza, il professore spiega come costruire un portafoglio in modo che non sia influenzato dalle fluttuazioni del mercato. Per raggiungere questo obiettivo, il valore del portafoglio non dovrebbe cambiare indipendentemente dal fatto che il titolo salga o scenda. Il professore usa un semplice esercizio per determinare il delta, che è la differenza tra stock up e stock down. Una volta calcolato, può essere sostituito per determinare il valore dell'opzione, che risulta essere inferiore al prezzo del volume. Ciò significa che l'analisi statistica utilizzata per prevedere il titolo non ha nulla a che fare con il valore di un'opzione, che dipende dal titolo. La differenza nei valori delle opzioni è risultata essere più importante della probabilità, che può essere correlata alla maggiore volatilità del titolo che fa salire il prezzo.
  
  
• 00:55:00 In questa sezione vengono discussi i fattori che determinano il prezzo di un'opzione, incluso lo stato attuale del titolo, la scadenza e la volatilità. Anche i tassi di interesse giocano un ruolo nel determinare il valore di un'opzione. Un tempo di scadenza più lungo e una maggiore volatilità aumentano la possibilità che un'opzione sia in the money, mentre la parità di output afferma che esiste una relazione tra call e put. Passando dall'uno all'altro, è possibile valutare numericamente quale sia più vantaggioso. Non è necessario fare alcuna ipotesi riguardo allo stock quando si utilizza la parità di output e, se la relazione non è valida, esiste l'arbitraggio.
  
  
• 01:00:00 In questa sezione, il docente discute il concetto di arbitraggio e presenta una strategia che prevede l'utilizzo di informazioni su call e put per identificare se esiste un arbitraggio nel mercato. Viene inoltre sottolineata l'importanza di modellare il comportamento casuale nel mercato azionario e vengono introdotti i due modelli comuni, il moto browniano geometrico e aritmetico. Il docente sottolinea come quest'ultimo consenta alle azioni di diventare negative, il che non è auspicabile. Inoltre, viene discusso il concetto di ritorno sull'investimento e viene eseguito un piccolo esperimento utilizzando i dati di mercato di cinque anni per misurare i rendimenti percentuali. Viene mostrato che i rendimenti oscillano intorno allo zero con salti occasionali verso l'alto o verso il basso.
  
  
• 01:05:00 In questa sezione, il video discute l'uso dei rendimenti raccolti per stimare la densità dei rendimenti nel tempo, che ha una media pari a zero e una deviazione standard dell'uno percento. La funzione di distribuzione cumulativa empirica viene confrontata con una distribuzione normale, mostrando che la prima ha una coda più grossa e non va a zero così velocemente come quella ottenuta dalla distribuzione empirica. Il video introduce quindi il processo Wiener, noto anche come moto browniano, come pratica comune per modellare il rumore allo scopo di modellare la casualità in uno stock. Il processo di Wiener ha molte proprietà desiderabili, inclusi rendimenti nulli al tempo t0, incrementi stazionari indipendenti, una distribuzione normale con media zero e varianza t, e un cammino continuo senza salti. Il video discute anche i due componenti principali della modellazione delle azioni: il tempo e la volatilità, che guidano il prezzo e sono quadrati nel modello.
  
  
• 01:10:00 In questa sezione, il docente spiega la definizione di processo stocastico e il suo utilizzo nella modellazione dei prezzi e dei rendimenti delle azioni. Un processo stocastico è una variabile casuale con due parametri: tempo e spazio probabilistico. Il docente fornisce una definizione formale di un processo stocastico come una raccolta di variabili casuali definite in due dimensioni. Discutono anche del processo Geometric Brownian Motion, che viene utilizzato per simulare i prezzi delle azioni. Il processo consiste in un termine di deriva e un termine di volatilità e può essere discretizzato per modellare i prezzi delle azioni in ogni fase temporale. Il docente sottolinea l'importanza di tenere conto della componente temporale nella modellazione dei prezzi e dei rendimenti delle azioni.
  
  
• 01:15:00 In questa sezione del video, il docente discute le equazioni differenziali stocastiche e la forma integrale. Proseguono descrivendo il modello di Samelson, che è un processo della forma del moto browniano geometrico. Questo modello si adatta abbastanza bene ai dati reali per le azioni e gli indici se calibrato in base alle realizzazioni storiche del percorso. Tuttavia, non è adatto per la calibrazione in base alle opzioni e le discrepanze nei dati reali sembrano avere una probabilità maggiore di grandi rialzi e ribassi rispetto a quanto previsto dal modello. Ciò è dovuto alla natura gaussiana del modello, in cui gli eventi estremi non possono verificarsi e la maggior parte delle informazioni si trova all'interno di intervalli di tre sigma.
  
  
• 01:20:00 In questa sezione, il relatore discute vari modelli utilizzati per le opzioni con un'enfasi sul ruolo della volatilità come driver principale in questi modelli. I modelli utilizzati per le opzioni sono determinati dalla volatilità e, nell'affrontare problemi come la mancanza di adattamento nelle code, possibili soluzioni alternative includono l'inclusione di salti o volatilità stocastica. Il relatore introduce anche tre processi, il moto browniano aritmetico, il moto browniano geometrico e il processo di Ornstein-Uhlenbeck, con particolare attenzione alle loro caratteristiche e differenze. Mentre il moto browniano aritmetico è semplice, i rendimenti azionari possono essere negativi, rendendo preferibile il moto browniano geometrico perché i valori del processo rimangono sempre positivi. Infine, il processo di Ornstein-Uhlenbeck è rappresentato da una versione del tachimetro con una media a lungo termine e un parametro che rappresenta la velocità alla quale i percorsi oscilleranno intorno a tale media.
  
  
• 01:25:00 In questa sezione, il docente discute le differenze tra i vari processi stocastici utilizzati in diverse classi di attività, come il moto browniano geometrico comunemente utilizzato per le azioni poiché le azioni non possono essere negative e in genere registrano una crescita esponenziale. La conferenza introduce anche il Lemma di Ito, uno strumento in finanza utilizzato per trovare la soluzione a una particolare equazione differenziale stocastica. Il lemma insegna qual è la dinamica di un processo, data una funzione del processo, e il docente spiega come ciò permetta di risolvere a mano molte equazioni differenziali. L'elemento principale da ricordare nell'affrontare il Lemma di Ito è la tavola di Ito.
  
  
• 01:30:00 In questa sezione, il relatore discute l'uso della tabella Ethos per trovare l'equazione differenziale stocastica per un dato processo. Il lemma di Ito è un potente strumento per trovare la dinamica di un processo, dato un secondo processo in una funzione che si vorrebbe applicare, e può essere facilmente applicato se si memorizza la tabella. Il relatore fornisce un esempio di un processo standard che utilizza il moto browniano geometrico e la funzione logaritmica per trovare la dinamica e, attraverso l'applicazione della tabella, nell'equazione rimane solo un elemento, che viene utilizzato per trovare la soluzione finale.
  
  
• 01:35:00 In questa sezione, il relatore discute la soluzione per un processo di stock in termini di moto browniano e logaritmo di un processo di stock. Il logaritmo di un processo stock ha una distribuzione gaussiana con una parte costante e una parte di moto browniano aritmetico. La funzione di densità per il logaritmo di un processo stock risulta essere una distribuzione log-normale con media e varianza determinate dai parametri del processo. Il relatore spiega quindi come i diversi parametri influiscono sulla distribuzione log-normale del processo, come i cambiamenti nella volatilità che si traducono in una distribuzione più ampia.
  
  
• 01:40:00 In questa sezione, l'oratore discute l'impatto di mu sulla varianza di un processo e l'effetto risultante sulla distribuzione del processo. Un mu più alto porta a una distribuzione dalla coda più grassa e aumenta la volatilità del processo. L'oratore mostra quindi un processo normale simulato e un processo normale logaritmico, in cui quest'ultimo ha una densità asimmetrica e una coda più grossa verso l'alto. Ciò riflette le scorte guidate dal movimento geometrico dei confini e dalla loro forma esponenziale di densità.

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Finanza computazionale: Lezione 3/14 (Option Pricing and Simulation in Python)

Finanza computazionale: Lezione 3/14 (Option Pricing and Simulation in Python)

Nella lezione, l'istruttore approfondisce la simulazione del percorso delle azioni in Python ed esplora il modello Black-Scholes per le opzioni di prezzo. Discutono due approcci per derivare il prezzo senza arbitraggio per le opzioni, vale a dire la copertura e le martingale. Il relatore dimostra come programmare le martingale e simularle, evidenziando la connessione tra le equazioni alle derivate parziali (PDE) e la simulazione Monte Carlo nel quadro dei prezzi.

Utilizzando il metodo di discretizzazione di Eulero, il relatore spiega come simulare e generare grafici di processi stocastici. Iniziano con un processo semplice e utilizzano il lemma di Ito per passare da S a X, il logaritmo di S. Il docente introduce quindi il metodo di discretizzazione di Eulero e ne dimostra l'implementazione in Python. Questo metodo prevede la discretizzazione della funzione continua e la simulazione degli incrementi sia per la deriva che per il moto browniano, ottenendo grafici di percorsi simulati.

Dal punto di vista computazionale, il relatore discute la simulazione dei percorsi per i modelli di prezzo delle opzioni. Invece di simulare ogni percorso individualmente, spiegano l'efficienza dell'esecuzione del time slicing e della costruzione di una matrice in cui ogni riga rappresenta un percorso specifico. Il numero di righe corrisponde al numero di percorsi, mentre il numero di colonne corrisponde al numero di passaggi temporali. Il relatore spiega l'implementazione del processo di discretizzazione utilizzando la variabile casuale normale standard e sottolinea l'importanza della standardizzazione per una migliore convergenza.

La lezione copre anche la simulazione di percorsi per il moto browniano geometrico usando Python. Il relatore illustra come fissare un seme casuale per simulazioni stabili e introduce il modello di Black-Scholes, che prevede un'equazione differenziale stocastica con deriva e parametri come mu e sigma per modellare i prezzi delle attività. Il relatore sottolinea che il modello Black-Scholes è ancora ampiamente utilizzato nel settore finanziario, in particolare per le opzioni di prezzo sulle azioni. Discutono i concetti di misura del mondo reale e misura neutrale al rischio, che aiutano a valutare le opzioni in base a diverse probabilità di risultato.

Inoltre, la lezione esplora il prezzo delle opzioni e la simulazione in Python. Il relatore distingue tra la misura del mondo reale, stimata sulla base di dati storici senza assumere condizioni di arbitraggio o prive di rischio, e la misura neutrale al rischio, che richiede determinate condizioni per essere rispettata. Presentano una strategia di trading che prevede la negoziazione continua di un titolo e l'adeguamento della posizione dell'opzione per catturare il movimento del titolo sottostante. Il relatore spiega la dinamica del portafoglio utilizzando il lemma di Ito e deriva la natura stocastica dei valori delle opzioni attraverso questo metodo.

Il relatore approfondisce anche le tecniche per la costruzione di un portafoglio di copertura indipendente dal moto browniano. Discutono della scelta di un delta che annulli i termini che coinvolgono il moto browniano, garantendo un portafoglio delta-neutro. Il relatore sottolinea l'importanza del portafoglio che produce lo stesso rendimento di un conto di risparmio e introduce il concetto di conti di impostazione del denaro.

Inoltre, la lezione affronta la derivazione di equazioni alle derivate parziali (PDE) per la valutazione delle opzioni utilizzando il modello di Black-Scholes. La PDE risultante è una derivata di secondo ordine con condizioni al contorno che determinano il fair value di un'opzione. Il relatore sottolinea che il prezzo delle opzioni del modello Black-Scholes non dipende in modo significativo dal parametro di deriva mu, che può essere ottenuto dalla calibrazione o dai dati storici. Tuttavia, in questo modello non sono considerati i costi di transazione per la copertura.

La conferenza copre vari concetti importanti all'interno del modello di Black-Scholes e del prezzo delle opzioni. Discute l'ipotesi di nessuna opportunità di arbitraggio, portando a uno scenario privo di rischio per l'applicazione del modello. Il relatore spiega il concetto di copertura delta e come elimina la più grande componente casuale di un portafoglio. Inoltre, il relatore introduce la gamma come misura del comportamento del delta e sottolinea che ogni parametro nel modello può essere coperto. Infine, la conferenza esplora i fattori determinanti del valore di un'opzione, come tempo, strike, volatilità e parametri relativi al mercato.

Nella conferenza, il relatore esplora ulteriormente il modello di Black-Scholes e la sua applicazione nel prezzo delle opzioni. Discutono le ipotesi e le limitazioni del modello, inclusa l'ipotesi di volatilità costante e l'assenza di costi di transazione. Nonostante queste limitazioni, il modello di Black-Scholes rimane ampiamente utilizzato nel settore finanziario grazie alla sua semplicità ed efficacia nella determinazione del prezzo delle opzioni call e put europee.

Il relatore introduce il concetto di volatilità implicita, che è l'aspettativa del mercato della volatilità futura derivata dai prezzi correnti delle opzioni. La volatilità implicita è un parametro cruciale nel modello Black-Scholes in quanto influisce sul prezzo delle opzioni. Il relatore spiega come è possibile ottenere la volatilità implicita dai dati di mercato utilizzando il modello e discute il suo significato nelle strategie di trading di opzioni.

La conferenza approfondisce varie strategie di trading di opzioni, come la copertura delta e il gamma trading. La copertura delta comporta l'adeguamento continuo della composizione del portafoglio per mantenere una posizione neutra in relazione alle variazioni del prezzo dell'attività sottostante. Il gamma trading si concentra sullo sfruttamento dei cambiamenti nella gamma, che misura come cambia il delta rispetto al prezzo dell'asset sottostante. Queste strategie mirano a gestire il rischio e massimizzare la redditività nel trading di opzioni.

Il relatore tocca anche altri importanti fattori che influenzano i prezzi delle opzioni, tra cui il decadimento temporale (theta), i tassi di interesse (rho) e il rendimento da dividendi. Spiegano in che modo questi fattori influiscono sul prezzo delle opzioni e in che modo i trader possono utilizzarli per prendere decisioni informate.

Durante la lezione, la programmazione Python viene utilizzata per dimostrare l'implementazione di vari modelli di prezzo delle opzioni e strategie di trading. Il relatore fornisce esempi di codice e spiega come utilizzare librerie e funzioni per eseguire calcoli e simulazioni.

In sintesi, la conferenza fornisce una panoramica completa del prezzo delle opzioni e della simulazione utilizzando il modello di Black-Scholes e concetti correlati. Sottolinea l'applicazione pratica di questi concetti nella programmazione Python, rendendola una risorsa preziosa per le persone interessate alla finanza quantitativa e al trading di opzioni.

• 00:00:00 In questa sezione della lezione, l'istruttore discute la simulazione del percorso delle azioni in Python e il modello di Black-Scholes per la determinazione del prezzo. Spiega i due modi per ricavare il prezzo senza arbitraggio per le opzioni, attraverso la copertura e le martingale, e dimostra come programmare le martingale e simularle. Discute anche la relazione tra le equazioni alle derivate parziali (PDE) e la simulazione Monte Carlo in un quadro di prezzi e come distinguere diverse misure in un'equazione differenziale stocastica. La conferenza si conclude con una dimostrazione del modello di Black-Scholes e una dimostrazione di come eseguire il pricing utilizzando Python.
  
  
• 00:05:00 In questa sezione, il relatore discute come simulare e generare grafici di processi stocastici utilizzando il metodo di discretizzazione di Eulero. Iniziano con un semplice processo della lezione precedente e usano il lemma di Ito per passare da S a X, il logaritmo di S. Quindi spiegano il metodo di discretizzazione di Eulero e come implementarlo usando Python. Il metodo prevede la discretizzazione della funzione continua e la simulazione degli incrementi sia per la deriva che per il moto browniano. Il codice mostrato nel video viene utilizzato per generare i grafici dei percorsi simulati.
  
  
• 00:10:00 In questa sezione, il relatore discute la prospettiva computazionale della simulazione dei percorsi per un modello di prezzo delle opzioni. Invece di simulare ogni percorso individualmente, è efficiente dal punto di vista computazionale eseguire il time slicing e costruire una matrice in cui ogni riga corrisponde a un particolare percorso. Il numero di righe è determinato dal numero di percorsi e il numero di colonne è determinato dal numero di passaggi temporali. Il relatore spiega l'implementazione della discretizzazione del processo utilizzando la variabile casuale normale standard e come la standardizzazione aiuta a raggiungere una migliore convergenza.
  
  
• 00:15:00 In questa sezione, il relatore spiega come simulare i percorsi di un moto browniano geometrico usando Python, incluso come fissare un seme casuale per simulazioni stabili. Introducono anche il modello Black-Scholes, che include un'equazione differenziale stocastica con una deriva e parametri come mu e sigma, per modellare il prezzo di un asset come un'azione. Notano che questo modello è ancora comunemente utilizzato nel settore finanziario e spiegano come può essere utilizzato per valutare le opzioni sul titolo. Il relatore discute anche il concetto di misura del mondo reale e misura neutrale al rischio, che aiutano a valutare le opzioni in base alle probabilità di risultati diversi.
  
  
• 00:20:00 In questa sezione, la lezione discute il prezzo delle opzioni e la simulazione in Python. La misura del mondo reale è spiegata come i parametri stimati sulla base di dati storici, senza assumere nulla sull'arbitraggio o sull'assenza di rischio, mentre la misura neutrale al rischio richiede condizioni arbitrarie da tenere. Viene presentata una strategia in cui si detiene un'opzione e si commercia continuamente in un'azione per detenere alcune azioni, acquistando o vendendo un'opzione per catturare il movimento dell'azione sottostante. Il portafoglio viene costantemente ribilanciato ogni giorno per adeguarsi al suo valore e proteggersi da eventuali fluttuazioni del titolo sottostante. Il Lemma di Ito viene applicato per trovare la dinamica del portafoglio e il valore di un'opzione viene derivato come stocastico attraverso questo metodo.
  
  
• 00:25:00 In questa sezione della conferenza, il relatore discute la sostituzione della dinamica con stock per applicare il lemma di Ito e gestire un termine quadrato. Proseguono poi spiegando come costruire un portafoglio di copertura che non dipenda dal moto browniano, che si ottiene scegliendo un delta per il quale tutti i termini attorno al moto browniano saranno uguali a zero. L'oratore discute anche di come questo portafoglio debba dare lo stesso rendimento di mettere tutto il denaro su un conto di risparmio, e spiegano la rappresentazione del denaro tramite conti di impostazione del denaro.
  
  
• 00:30:00 In questa sezione, il docente spiega come derivare un'equazione alle derivate parziali (PDE) per valutare le opzioni utilizzando il modello di Black-Scholes. La PDE risultante è una derivata di secondo ordine con condizioni al contorno che possono essere utilizzate per determinare il fair value di un'opzione. È interessante notare che il modello non dipende dal parametro mu, il che significa che le derive ottenute dalla calibrazione o dai dati storici non hanno un impatto significativo sul prezzo delle opzioni in un quadro neutrale al rischio. Tuttavia, è essenziale notare che i costi di transazione per la copertura non sono considerati in questo modello.
  
  
• 00:35:00 In questa sezione, il relatore discute diversi concetti importanti nel modello di Black-Scholes e nel prezzo delle opzioni. Il primo è l'ipotesi che non ci siano possibilità di arbitraggio, il che significa che il modello è applicato in uno scenario privo di rischio. L'oratore spiega anche la copertura delta e come elimina la più grande componente casuale di un portafoglio. Inoltre, il relatore introduce l'importanza della gamma, che misura come si comporta il delta e come ogni parametro nel modello può essere protetto. Infine, il relatore discute i fattori determinanti del valore di un'opzione, inclusi tempo, strike, volatilità e parametri relativi al mercato. Uno dei risultati più significativi del modello di Black-Scholes è che l'equazione del prezzo non dipende da mu, che non è una componente molto importante nel prezzo delle opzioni.
  
  
• 00:40:00 In questa sezione, il relatore discute il prezzo delle opzioni e la simulazione in Python. Analizzano un grafico che mostra diverse opzioni put e call per SMP con un valore attuale di 38 cento, scadenze variabili e la volatilità implicita ottenuta dalla volatilità implicita e delta di Black-Scholes. Spiegano che il modello di Black-Scholes, nonostante i suoi limiti e presupposti, è considerato lo standard di mercato per il prezzo delle opzioni. L'oratore introduce quindi le martingale, che offrono un modo alternativo per determinare il fair value di un'opzione. Spiegano il concetto di filtrazione e le tre condizioni affinché un processo stocastico possa essere considerato una martingala. Notano che la terza condizione è la più importante e che le martingale sono un metodo utile per BD ad alta dimensione.
  
  
• 00:45:00 In questa sezione del video viene discusso il concetto di martingala e il suo rapporto con l'equità e l'arbitraggio nullo. Le condizioni per verificare se il moto browniano è una martingala sono spiegate e dimostrate mediante esempi. Vengono inoltre toccate l'indipendenza degli incrementi del moto browniano e la proprietà delle aspettative lineari. Viene introdotto l'esempio relativo alla distribuzione normale logaritmica e viene spiegata la condizione principale che deve essere verificata per determinare se si tratta di una martingala.
  
  
• 00:50:00 In questa sezione, il docente discute l'uso del metodo di filtrazione per calcolare l'aspettativa di e wt-s e conferma che il processo indicato nella riga precedente soddisfa la condizione marginale ed è una martingala. La conclusione principale di questa sezione è che un processo integrale stocastico è una martingala, e ogni volta che un processo definito è un integrale senza deriva, xt è sempre una martingala rispetto alla filtrazione. Il processo senza deriva può anche essere rappresentato in forma differenziale come dxt = dt * dw t.
  
  
• 00:55:00 In questa sezione, il docente discute se il prezzo di un'azione è o meno una martingala. Le azioni in genere non sono martingale perché sarebbe un cattivo investimento se ti aspetti la stessa quantità di denaro che hai investito in futuro. Tuttavia, se consideri un processo di stock scontato e sconti i flussi di cassa futuri a oggi, ti aspetteresti che il valore dell'azienda sia uguale al valore che vedi oggi. Il docente applica il lemma di Ito e scopre la dinamica di s su m per vedere se questo termine è una martingala. L'applicazione del teorema del processo integrale stocastico può determinare le condizioni in cui ciò vale. La prima derivata parziale rispetto allo stock è uno su m, e la seconda derivata è zero, quindi questo termine è una martingala.
  
  
• 01:00:00 In questa sezione, il relatore discute su come passare da una misura all'altra per trasformare la dinamica dal processo di stock scontato alla martingala sotto la misura Q, che è la misura di interesse. Il relatore mostra come cambiare l'aspettativa dalla misura P misurabile alla misura Q e spiega che una volta che abbiamo il processo e la misura, possiamo derivare la trasformazione della misura. Applicando la condizione che il processo di stock scontato dovrebbe essere una martingala in misura Q, l'oratore annulla i termini principali e deriva la trasformazione della misura per passare da una misura all'altra.
  
  
• 01:05:00 In questa sezione della lezione, l'istruttore discute il punto di partenza per le equazioni dei prezzi che implicano un'aspettativa sotto misura neutrale al rischio di un futuro payoff scontato fino ad oggi. Ciò costituisce il prezzo di mercato di un derivato e l'equazione per la dinamica di questa espressione coinvolge il prezzo di mercato del rischio, che indica la relazione tra la crescita attesa di un titolo rispetto al tasso di interesse, scalato per la volatilità. L'istruttore dimostra come utilizzare il lemma di Itô per trovare la dinamica di questa espressione e, dopo la semplificazione, l'equazione risultante è la stessa dell'espressione per PDE nell'equazione di Black-Scholes.
  
  
• 01:10:00 In questa sezione, il relatore spiega che quando si calcola un'aspettativa sotto una misura neutrale al rischio, non è consentito considerare un processo che non è sotto la misura neutrale al rischio. Ciò significa che il processo utilizzato per l'aspettativa dovrebbe avere r per scontarlo. Pertanto, nel processo utilizzato per l'aspettativa, la deriva deve sempre essere modificata da m a r. L'oratore utilizza il codice Python per dimostrare come verificare se un'azione è una martingala o meno e introduce un valore azionario scontato utilizzando il denaro risparmiato nei conti. Aumentano anche il numero di percorsi per la simulazione per migliorare la precisione, ma mettono in guardia dal tracciare tutti i percorsi per motivi di prestazioni.
  
  
• 01:15:00 In questa sezione, il relatore discute la connessione tra la simulazione Monte Carlo e le equazioni alle derivate parziali (PDE) per il prezzo delle opzioni. Il relatore presenta una PDE generica e sottolinea che la PDE non dipende da μ ma dal tasso di interesse, r. Per mettere in relazione il prezzo con la simulazione Monte Carlo alla risoluzione di questa PDE, il relatore introduce la formula di Feynman-Kac, che stabilisce il legame tra PDE e processi stocastici e offre un metodo per risolvere determinate PDE simulando percorsi casuali di un processo stocastico. Viene discussa anche la condizione finale e il relatore osserva che lo sconto è tipicamente associato al prezzo.
  
  
• 01:20:00 In questa sezione, il relatore spiega come calcolare oggi il valore di un derivato scontando il pagamento futuro atteso e come utilizzare il tasso privo di rischio per scontare i flussi di cassa futuri. Il relatore discute anche il processo stocastico e come metterlo in relazione con l'equazione alle derivate parziali (PDE) per il valore della derivata. Applicando il lemma di Itô al processo, semplificando i termini e integrando entrambi i membri dell'equazione differenziale stocastica, il relatore mostra che l'aspettativa dell'integrale è zero, e questo aiuta a dimostrare la relazione tra la PDE e il valore della derivata.
  
  
• 01:25:00 In questa sezione, il docente spiega il calcolo stocastico e il suo utilizzo nel prezzo delle opzioni. Mostra come l'aspettativa di un integrale stocastico che coinvolga il moto browniano sia sempre zero, il che porta il valore di un'opzione oggi ad essere uguale all'aspettativa del payoff di un processo alla scadenza. Il docente dimostra come risolvere equazioni alle derivate parziali con condizioni terminali utilizzando il calcolo stocastico e mostra come la soluzione di un SDE può essere ottenuta calcolando il secondo momento della variabile e applicandolo all'equazione del prezzo. Infine, spiega che il valore futuro scontato del payoff è sempre correlato alla soluzione per l'equazione del prezzo e che la deriva del processo è sempre uguale alla deriva della misura neutrale al rischio.
  
  
• 01:30:00 In questa sezione, il docente spiega due approcci principali al prezzo delle opzioni: l'approccio PDE e l'approccio della probabilità neutrale al rischio. L'approccio neutrale al rischio comporta la modifica della misura di probabilità dalla vera probabilità statistica alla probabilità neutrale al rischio, che è particolarmente importante quando si ha a che fare con le martingale. Il docente discute anche le differenze tra le misure e quando scegliere quale, con la probabilità neutrale al rischio che è la probabilità di un evento futuro o afferma che entrambe le parti commerciali nel mercato sono d'accordo. Questo aiuta a stimare le probabilità associate a un particolare evento e a misurarne il prezzo.
  
  
• 01:35:00 In questa sezione, il relatore spiega il concetto di probabilità neutrale al rischio, che è la probabilità misurata dal mercato che viene utilizzata per prezzare gli strumenti finanziari. La probabilità neutrale al rischio non è una statistica o una previsione storica, ma piuttosto riflette la convinzione comune del mercato riguardo alla probabilità che un evento si verifichi. Il relatore mostra come simulare simulazioni Monte Carlo utilizzando la misura Q o la misura P. La misura Q è la misura neutrale al rischio ed è determinata una volta stabilito il prezzo di un contratto, che ci dice la probabilità neutrale al rischio assegnata al particolare evento. Il relatore sottolinea l'importanza di utilizzare questa misura di probabilità per evitare l'arbitraggio e spiega come stimare i parametri necessari per le simulazioni dai dati di mercato e dai dati storici.
  
  
• 01:40:00 In questa sezione della lezione, viene discusso il concetto di deriva in relazione al prezzo delle opzioni e alla simulazione in Python. La simulazione prevede il calcolo del rapporto tra lo stock in qualsiasi momento e il denaro risparmiato nei conti, che è una martingala sotto la misura neutrale al rischio. Il codice è tracciato e mostra che sotto la misura B, il rapporto non è una martingala. La seconda parte della lezione prevede l'applicazione del famoso modello di Black-Scholes per trovare il prezzo dell'opzione sotto il moto browniano geometrico e derivare la formula di Black-Scholes utilizzando una trasformazione logaritmica e integrando la funzione. L'aspettativa è calcolata sotto la misura neutrale al rischio e il valore del derivato è ottenuto utilizzando la formula di Feynman-Kac.
  
  
• 01:45:00 In questa sezione, il video spiega il processo di utilizzo della funzione di generazione cumulativa per calcolare il prezzo dell'opzione. Implica la trasformazione dell'integrale del prezzo dell'opzione originale in una versione della funzione di generazione cumulativa. La trasformazione fornisce una distribuzione normale più facile da gestire rispetto a una distribuzione log-normale. Dopo la sostituzione, ci ritroviamo con il teorema del prezzo di Black-Scholes, una famosa formula per il prezzo delle opzioni call europee.

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Finanza computazionale: lezione 4/14 (volatilità implicita)

Finanza computazionale: lezione 4/14 (volatilità implicita)

In questa conferenza completa sulla finanza computazionale, il concetto di volatilità implicita è al centro dell'attenzione, facendo luce sul suo significato nei calcoli dei prezzi delle opzioni. Sebbene il modello di Black-Scholes serva da base per il calcolo della volatilità implicita, i suoi limiti e le sue inefficienze sono debitamente sottolineati. La conferenza approfondisce varie metodologie per il calcolo della volatilità implicita, in particolare processi iterativi come il metodo Newton-Raphson. Inoltre, il docente esplora le sfide associate alla modellazione dei prezzi delle opzioni e sottolinea il ruolo delle volatilità implicite nel riflettere le aspettative del mercato. Durante tutta la conferenza, l'importanza cruciale di comprendere la volatilità nel prezzo delle opzioni e costruire portafogli di copertura efficaci rimane un tema centrale.

La conferenza estende la sua esplorazione concentrandosi sulla relazione tra i prezzi delle opzioni e la volatilità implicita, con un'enfasi specifica sulle put e call liquide out-of-the-money. Esamina diversi tipi di skew di volatilità implicita, comprendendo i parametri di volatilità dipendenti dal tempo e l'influenza della dipendenza dal tempo sullo smile di volatilità implicita. Inoltre, la conferenza approfondisce i limiti del modello Black-Scholes e gli approcci alternativi alla gestione dei modelli di volatilità, inclusi modelli di volatilità locale, modelli di salto e modelli di volatilità stocastica. Viene inoltre chiarito l'impatto della scadenza delle opzioni sulla volatilità, con le opzioni con scadenze più brevi che mostrano una distribuzione più concentrata attorno al livello monetario rispetto alle scadenze più lunghe, dove l'effetto smile diventa meno pronunciato.

Il professore inizia riassumendo i concetti chiave trattati nelle sezioni precedenti, in particolare relativi al prezzo delle opzioni e ai modelli di volatilità. Viene introdotta la volatilità implicita, evidenziando il suo calcolo dai dati di mercato e il suo ruolo nella misurazione dell'incertezza. L'algoritmo per il calcolo della volatilità implicita è discusso in dettaglio. Inoltre, vengono affrontati i limiti e le efficienze del modello di Black-Scholes, insieme ad estensioni come l'incorporazione di parametri di volatilità dipendenti dal tempo e la generazione di superfici di volatilità implicita. La conferenza tocca anche gli svantaggi di affidarsi esclusivamente al modello Black-Scholes e introduce modelli alternativi come la volatilità locale e la volatilità stocastica. L'accento è posto sulla necessità di specificare un modello appropriato per la determinazione del prezzo dei sinistri potenziali e l'importanza di costruire un portafoglio di copertura costituito da opzioni e azioni per arrivare a un'equazione differenziale parziale del prezzo (PDE).

Il relatore procede esplorando l'utilizzo delle aspettative nella risoluzione di equazioni alle derivate parziali, in particolare quando si tratta di un tasso di interesse deterministico e della necessità di prendere le aspettative sotto la misura neutrale al rischio. Viene presentata l'equazione del prezzo per le opzioni call e put europee, basandosi su una funzione di distribuzione cumulativa normale (CDF) dello stock iniziale valutata ai punti d1, che dipende dai parametri del modello, insieme a un esponente che coinvolge il tasso di interesse nel tempo fino alla scadenza. La conferenza spiega che questa formula può essere facilmente implementata in Excel.

Successivamente, il docente elabora i parametri richiesti per il modello Black-Scholes, che funge da strumento per stimare i prezzi delle opzioni. Questi parametri comprendono tempo alla scadenza, strike, tasso di interesse, valore corrente delle azioni e il parametro di volatilità, sigma, che deve essere stimato utilizzando i prezzi di mercato. Il docente sottolinea la corrispondenza biunivoca tra prezzo dell'opzione e volatilità, evidenziando che un aumento della volatilità implica un corrispondente aumento del prezzo dell'opzione, e viceversa. Viene poi discusso il concetto di volatilità implicita, sottolineando il suo calcolo basato sul prezzo medio e il suo significato all'interno del modello Black-Scholes.

La lezione approfondisce ulteriormente l'ottenimento della volatilità implicita da modelli con più parametri. Si noti che indipendentemente dal modello scelto, deve superare il test del modello Black-Scholes. Tuttavia, l'utilizzo del modello Black-Scholes per prezzare tutte le opzioni contemporaneamente diventa impraticabile a causa delle diverse volatilità implicite per ogni strike. La conferenza sottolinea inoltre che le volatilità implicite tendono ad aumentare con scadenze più lunghe delle opzioni, il che significa maggiore incertezza. Viene fornito un esempio per dimostrare il calcolo della volatilità implicita utilizzando i dati di mercato e un'opzione call standard su 100 azioni.

Il concetto di volatilità implicita è ulteriormente esposto dal docente. I dati storici su un'opzione vengono utilizzati per stimare la sua volatilità utilizzando l'equazione di Black-Scholes. Tuttavia, il docente sottolinea che mentre questa stima fornisce un certo prezzo per l'opzione, il mercato potrebbe averlo valutato in modo diverso a causa della sua natura lungimirante, in contrasto con la stima storica retrospettiva. Nonostante questa discrepanza, la relazione tra le due volatilità è ancora utilizzata a fini di investimento, sebbene il docente raccomandi cautela contro un affidamento puramente speculativo su questa relazione. La lezione prosegue poi spiegando come calcolare la volatilità implicita utilizzando l'equazione di Black-Scholes dato il prezzo di mercato e altre specifiche di un'opzione. Tuttavia, il docente riconosce che il concetto di volatilità implicita è intrinsecamente errato in quanto non esiste un valore corretto definitivo e il modello utilizzato è un'approssimazione piuttosto che una rappresentazione fedele del prezzo delle opzioni.

Il docente procede spiegando il processo di ricerca della volatilità implicita utilizzando il metodo Newton-Raphson, un approccio iterativo. Questo metodo prevede l'impostazione di una funzione basata sull'equazione di Black-Scholes e sul prezzo di mercato per risolvere il sigma, la volatilità implicita. Il docente evidenzia l'uso di un'espansione in serie di Taylor per calcolare la differenza tra la soluzione esatta e l'iterazione, con l'obiettivo di trovare una funzione in cui la volatilità implicita di Black-Scholes corrisponda alla volatilità implicita del mercato. La capacità di calcolare rapidamente la volatilità implicita in millisecondi è fondamentale per i market maker per identificare opportunità di arbitraggio e generare profitti.

Viene introdotto il concetto di processo iterativo per il calcolo della volatilità implicita utilizzando il metodo Newton-Raphson. Il processo comporta più iterazioni fino a quando la funzione g si avvicina allo zero, con ogni nuovo passaggio stimato in base a quello precedente. Il docente sottolinea il significato dell'ipotesi iniziale per la convergenza del metodo Newton-Raphson. Le opzioni out-of-the-money estreme o le opzioni vicine allo zero possono presentare problemi quando la funzione diventa piatta, determinando un piccolo gradiente che ostacola la convergenza. Per superare questo problema, i professionisti in genere definiscono una griglia di ipotesi iniziali. L'algoritmo approssima la funzione utilizzando la sua linea tangente e calcola l'intercetta x, con gradienti più ripidi che portano a una convergenza più rapida.

Inoltre, il docente illustra l'implementazione dell'algoritmo di Newton-Raphson per il calcolo della volatilità implicita di un'opzione. L'algoritmo si basa sul modello di Black-Scholes, con parametri di input che includono il prezzo di mercato, lo strike, il tempo alla scadenza, il tasso di interesse, il volume iniziale delle azioni e il parametro di volatilità iniziale. Viene analizzata la convergenza dell'algoritmo e viene determinata una soglia di errore. Il codice viene dimostrato utilizzando Python, con i metodi e le definizioni necessari preparati in anticipo, sfruttando le librerie NumPy e SciPy.

La lezione approfondisce il calcolo della volatilità implicita, sottolineando gli input necessari per questo calcolo, come il valore dell'opzione e la derivata del prezzo della call rispetto al parametro di volatilità, noto come Vega. Il nucleo del codice prevede il processo graduale di calcolo della volatilità implicita, con il docente che fornisce spiegazioni sui vari parametri coinvolti e sul loro significato. La conferenza si conclude con una breve dimostrazione del processo iterativo impiegato per calcolare la volatilità implicita.

Il relatore affronta anche l'argomento dell'errore nel calcolo della volatilità implicita e come è determinata dalle differenze tra le iterazioni. Il grafico di output mostra la volatilità implicita ottenuta per un prezzo call, strike, scadenza e altri parametri. Il relatore illustra come la convergenza varia con diverse ipotesi iniziali di volatilità, sottolineando l'importanza di questo processo nella calibrazione del settore. L'ipotesi iniziale deve essere vicina all'effettiva volatilità implicita affinché il modello converga correttamente. I professionisti del settore in genere tentano diverse volatilità iniziali fino a quando non viene raggiunta una convergenza adeguata e viene scelto quel particolare valore di volatilità.

la conferenza approfondisce l'interpretazione delle volatilità implicite. Le volatilità implicite possono fornire informazioni sulle aspettative e sul sentiment del mercato. Quando la volatilità implicita è elevata, suggerisce che i partecipanti al mercato prevedono fluttuazioni significative dei prezzi, che possono indicare incertezza o rischio percepito nell'attività sottostante. Al contrario, volatilità implicite basse indicano aspettative di prezzi relativamente stabili.

La conferenza sottolinea che le volatilità implicite non sono una misura della volatilità futura, ma piuttosto un riflesso dei prezzi di mercato. Le volatilità implicite sono influenzate da vari fattori come le dinamiche della domanda e dell'offerta, il sentimento del mercato e la propensione al rischio dei partecipanti al mercato. Pertanto, è fondamentale interpretare le volatilità implicite nel contesto di altri indicatori di mercato e dell'analisi fondamentale.

Il docente evidenzia anche il concetto di superficie di volatilità implicita o sorrisi di volatilità. Le superfici di volatilità implicita rappresentano la relazione tra volatilità implicite e diversi prezzi di esercizio e scadenze. In determinate condizioni di mercato, le volatilità implicite delle opzioni out-of-the-money possono essere superiori o inferiori a quelle delle opzioni at-the-money. Questa curvatura nella superficie della volatilità implicita è nota come sorriso o sorrisetto della volatilità. La lezione spiega che il volatility smile indica la percezione da parte degli operatori di mercato della probabilità di movimenti di prezzo estremi, come grandi rischi al ribasso o eventi positivi inaspettati.

Inoltre, la lezione copre il concetto di strutture a termine di volatilità implicita. Le strutture a termine della volatilità implicita descrivono la relazione tra le volatilità implicite e le diverse scadenze per un'opzione specifica. Il docente spiega che le strutture termiche di volatilità implicita possono presentare forme diverse, come curve ascendenti (contango), inclinate discendenti (backwardation) o curve piatte. Queste strutture a termine possono fornire informazioni sulle aspettative del mercato in merito alla volatilità futura su diversi orizzonti temporali.

Inoltre, la conferenza approfondisce i limiti e le sfide associate alle volatilità implicite. Sottolinea che le volatilità implicite derivano dai prezzi delle opzioni, che sono influenzati da vari fattori e ipotesi, inclusi i tassi di interesse, i rendimenti dei dividendi e l'ipotesi di mercato efficiente. Pertanto, le volatilità implicite potrebbero non riflettere sempre accuratamente la reale volatilità sottostante.

Inoltre, la conferenza discute il concetto di volatilità storica e il suo confronto con la volatilità implicita. La volatilità storica è calcolata sulla base dei movimenti di prezzo passati dell'asset sottostante, mentre la volatilità implicita è derivata dai prezzi delle opzioni. Il docente osserva che la volatilità storica è retrospettiva e potrebbe non catturare completamente le aspettative future del mercato, mentre la volatilità implicita incorpora informazioni lungimiranti incorporate nei prezzi delle opzioni.

Infine, la conferenza si conclude con una sintesi dei punti chiave trattati. Sottolinea l'importanza di comprendere la volatilità implicita, i suoi metodi di calcolo e la sua interpretazione nel contesto del prezzo delle opzioni e delle aspettative di mercato. Il docente incoraggia ulteriori esplorazioni e ricerche in questo settore, data la sua importanza nei mercati finanziari e nel processo decisionale di investimento.

• 00:00:00 In questa sezione della lezione, il professore inizia riassumendo ciò che è stato appreso finora sul prezzo delle opzioni e sulla modellazione della volatilità. Spiega il concetto di volatilità implicita e come viene calcolata dal mercato, nonché la sua importanza nella misurazione dell'incertezza. Viene discusso anche l'algoritmo per il calcolo della volatilità implicita. Inoltre, vengono trattate le limitazioni e le efficienze del modello di Black-Scholes, insieme ad estensioni del modello come l'introduzione di un parametro di volatilità dipendente dal tempo e la generazione di superfici di volatilità implicita. Infine, vengono menzionati i limiti al ribasso del modello Black-Scholes e modelli alternativi come la volatilità locale e la volatilità stocastica. La conferenza sottolinea la necessità di specificare un modello che possa essere utilizzato per valutare i crediti contingenti e l'importanza di costruire un portafoglio di copertura costituito da un'opzione e azioni per arrivare a una PDE di prezzo.
  
  
• 00:05:00 In questa sezione, il relatore discute l'uso delle aspettative nella risoluzione di equazioni alle derivate parziali, in particolare nel caso di un tasso di interesse deterministico e la necessità di prendere l'aspettativa sotto la misura neutra del polso. Il processo utilizzato nell'attesa deve essere sotto la misura Q dell'omicidio, che è scontata sotto la misura P. È dimostrato che l'equazione del prezzo per le opzioni call e put europee si basa su un cdf normale dello stock iniziale valutato ai punti d1, che è una funzione dei parametri del modello, e un esponente del tasso di interesse nel tempo fino alla scadenza. La formula può essere facilmente implementata in Excel.
  
  
• 00:10:00 In questa sezione, il relatore spiega i parametri richiesti per il modello Black-Scholes, utilizzato per stimare i prezzi delle opzioni. Questi parametri includono tempo alla scadenza, strike, tasso di interesse, valore corrente delle azioni e il parametro di volatilità, sigma, che deve essere stimato utilizzando i prezzi di mercato. Il relatore sottolinea che esiste una corrispondenza biunivoca tra prezzo dell'opzione e volatilità e che un aumento della volatilità implica un aumento del prezzo dell'opzione e viceversa. La conferenza discute poi la volatilità implicita, che viene calcolata in base al prezzo medio ed è un elemento importante nel modello Black-Scholes.
  
  
• 00:15:00 In questa sezione, il docente discute come ottenere la volatilità implicita da un modello che ha molti parametri. Osserva che indipendentemente dal modello scelto, deve sempre superare il modello Black-Scholes. Tuttavia, il modello di Black-Scholes non può essere utilizzato per prezzare tutte le opzioni contemporaneamente perché la volatilità dell'impianto per ogni strike è diversa. Il docente sottolinea inoltre che più lunga è la scadenza di un'opzione, maggiori diventano le volatilità implicite, rendendole più incerte. Infine, la conferenza fornisce un esempio di come calcolare la volatilità dell'impianto dai dati di mercato e un'opzione call standard su 100 azioni.
  
  
• 00:20:00 In questa sezione, il docente discute il concetto di volatilità implicita. Inizia utilizzando i dati storici su un'opzione per stimarne la volatilità utilizzando l'equazione di Black-Scholes. Nota poi che mentre questo dà un certo prezzo per l'opzione, il mercato potrebbe valutarlo in modo diverso a causa del fatto che il mercato è lungimirante, mentre la stima storica è retrospettiva. Spiega che le persone usano ancora la relazione tra le due volatilità per scopi di investimento, ma mette in guardia contro questo essere puramente speculativo. Infine, spiega come utilizzare l'equazione di Black-Scholes per calcolare la volatilità implicita di un'opzione dato il suo prezzo di mercato e altre specifiche. Tuttavia, osserva che il concetto di volatilità implicita è intrinsecamente errato in quanto non c'è modo di conoscere il numero corretto e il modello utilizzato non è il modello reale per il prezzo delle opzioni.
  
  
• 00:25:00 In questa sezione, il docente spiega il processo per trovare la volatilità implicita calcolando l'inverso del modello di prezzo delle opzioni utilizzando l'approccio di Newton-Raphson. Ciò comporta l'impostazione di una funzione per l'equazione di Black-Scholes e il prezzo di mercato per trovare sigma, che è la volatilità implicita. Per fare ciò, usano un'espansione in serie di Taylor per calcolare la differenza tra la soluzione esatta e l'iterazione, con l'obiettivo di trovare una funzione in cui la volatilità implicita di Black-Scholes è uguale alla volatilità implicita del mercato. I market maker si affidano al calcolo rapido della volatilità implicita in millisecondi per identificare le opportunità di arbitraggio e realizzare un profitto.
  
  
• 00:30:00 In questa sezione viene introdotto il concetto di processo iterativo per calcolare la volatilità implicita utilizzando il metodo Newton-Raphson. Il processo prevede il calcolo di un'iterazione più volte fino a quando la funzione g è abbastanza vicina a zero, con ogni nuovo passaggio stimato su quello precedente. Tuttavia, l'ipotesi iniziale è un fattore cruciale per la convergenza del metodo di Newton-Raphson. Se il valore dell'opzione è estremamente out of the money o troppo vicino allo zero, la funzione diventa molto piatta e il gradiente diventa troppo piccolo per convergere. Le persone di solito definiscono una griglia per le ipotesi iniziali per superare il problema dell'ipotesi iniziale. L'algoritmo approssima la funzione mediante la sua linea tangente e calcola l'intercetta x nella linea standard, e più ripido è il gradiente più veloce è la convergenza.
  
  
• 00:35:00 In questa sezione della conferenza, il relatore spiega l'implementazione dell'algoritmo di Newton-Raphson per il calcolo della volatilità implicita di un'opzione. La funzione da ottimizzare è il modello di Black-Scholes, i cui parametri di input sono il prezzo di mercato, lo strike, il tempo alla scadenza, il tasso di interesse, il volume iniziale delle azioni e il parametro di volatilità iniziale. L'algoritmo si basa su due valutazioni: la funzione target e la sua prima derivata, nota come Vega. Viene analizzata la convergenza dell'algoritmo e viene derivato un livello di errore. Il codice è implementato in Python, con i metodi e le definizioni necessari preparati in anticipo, e si basa sulle librerie NumPy e SciPy.
  
  
• 00:40:00 In questa sezione, il docente spiega il processo di calcolo della volatilità implicita. Gli input richiesti per questo calcolo includono il valore dell'opzione e la derivata del prezzo della call rispetto al parametro di volatilità. Viene anche discusso il parametro Vega, che è la sensibilità del valore dell'opzione al parametro della volatilità. Il nucleo del codice prevede il calcolo della volatilità implicita e il docente segue il processo passo dopo passo. Spiegano anche i vari parametri coinvolti nel calcolo e il loro significato. La conferenza si conclude con una breve dimostrazione del processo iterativo utilizzato per calcolare la volatilità implicita.
  
  
• 00:45:00 In questa sezione, l'oratore discute l'errore nel calcolo della volatilità implicita e come viene determinata dalla differenza tra le iterazioni. Il grafico di output mostra la volatilità implicita che è stata trovata per un prezzo call, lo strike, la scadenza e altri parametri. Il relatore mostra anche come cambia la convergenza con diverse ipotesi iniziali per la volatilità e come questo processo sia importante nella calibrazione del settore. L'ipotesi iniziale deve essere vicina alla reale volatilità implicita o il modello non convergerà. I professionisti del settore provano diverse volatilità iniziali fino a quando il modello ha successo e viene scelta quella volatilità.
  
  
• 00:50:00 In questa sezione, il docente discute l'uso delle volatilità implicite nel calcolo dei prezzi delle opzioni. Notano che il problema sta nel fatto che la volatilità iniziale è vicina allo zero, il che rende inefficace la ricerca del gradiente. La conferenza esamina anche come le volatilità implicite possono indicare quali tipi di forme il mercato si aspetterà e come calcolare se i prezzi delle opzioni sono corretti. Il docente conclude affermando che si dovrebbe sempre usare strike uguale a zero mentre si controllano i prezzi delle opzioni.
  
  
• 00:55:00 In questa sezione, apprendiamo le sfide della modellizzazione dei prezzi delle opzioni e come la flessibilità del modello Black-Scholes sia limitata quando si adattano due volatilità implicite con un solo parametro, specialmente quando le volatilità implicite non sono più costanti. Tuttavia, il modello Black-Scholes viene ancora utilizzato quando è abbastanza buono da adattare una singola opzione con un particolare strike, in quanto può essere calibrato sul prezzo indicato sul mercato. Apprendiamo anche che quando si tracciano le volatilità implicite rispetto a una serie di strike, ci sono in genere tre diverse forme che possono essere osservate, con quella più comune che è il sorriso di volatilità implicita, dove il punto più basso del sorriso può trovarsi in una regione intorno il punto più basso, ma non significa che sia necessariamente la volatilità implicita.
  
  
• 01:00:00 In questa sezione della lezione viene discussa la relazione tra i prezzi delle opzioni e la volatilità implicita, con particolare attenzione alle put e call out-of-the-money più liquide. La conferenza spiega come i prezzi delle opzioni aumentano man mano che si spostano ulteriormente out-of-the-money e, di conseguenza, aumenta anche la differenza tra il prezzo di mercato e il prezzo del modello (volatilità implicita). La conferenza copre anche diversi tipi di inclinazione della volatilità implicita, inclusa quella in cui la volatilità implicita aumenta leggermente man mano che ti allontani dall'opzione at-the-money. La conferenza si conclude con una discussione su come migliorare l'equazione di Black-Scholes utilizzando parametri di volatilità dipendenti dal tempo.
  
  
• 01:05:00 In questa sezione, il video discute l'impatto della dipendenza dal tempo sulla volatilità implicita e come influisce sulla generazione del sorriso di volatilità implicita. Non è possibile generare lo smile di volatilità implicita con volatilità dipendente dal tempo per diversi strike, ma è possibile avere una struttura a termine di volatilità implicita
  dove l'impatto sulla volatilità varia a seconda della durata delle opzioni. Il video mostra anche come calcolare la volatilità implicita e generare percorsi con volatilità dipendente dal tempo e come influisce sull'equazione della volatilità implicita di Black-Scholes. Il video mostra anche un esempio di adattamento di diversi livelli di volatilità per due opzioni con scadenze diverse.
  
  
• 01:10:00 In questa sezione, il relatore spiega come cambia la volatilità implicita in base a diversi strike e scadenze utilizzando grafici. Introducono il concetto di superficie di volatilità implicita, che è un elemento importante nella discussione delle volatilità e dei modelli di volatilità stocastica. Discutono quindi della relazione tra la scadenza di un'opzione e la sua volatilità, spiegando che le opzioni a breve scadenza hanno una distribuzione più concentrata attorno al livello monetario, mentre le scadenze più lunghe si diffondono nel tempo e l'effetto sorriso diventa meno pronunciato. Infine, sottolineano che per scadenze più lunghe, la distribuzione dell'opzione diventa molto più ampia, il che significa maggiore incertezza.
  
  
• 01:15:00 In questa sezione, il video discute le diverse forme di volatilità implicita, che variano in base alla scadenza del contratto e ad altri fattori. Il modello Black-Scholes è limitato perché può calibrare solo su un punto della griglia, quindi qualsiasi volatilità al di fuori del livello monetario sarà piatta. Sebbene il modello Black-Scholes non sia l'ideale per payoff o contratti più complicati, è comunque importante in quanto fornisce informazioni sul prezzo dei derivati, sulla costruzione di portafogli replicanti, sulla copertura e sulla simulazione dei movimenti di mercato. Nonostante i suoi limiti, il modello di Black-Scholes è un modello fondamentale in finanza.
  
  
• 01:20:00 In questa sezione, l'oratore parla dei limiti del modello Black-Scholes nella realtà. Sottolinea che sebbene la copertura richieda il ribilanciamento continuo di un portafoglio per ottenere lo stesso tasso di rendimento dell'investimento in un conto di risparmio, ciò non è pratico in quanto l'acquisto e la vendita di azioni centinaia di volte al giorno sarebbe molto costoso a causa dei costi di transazione. Di conseguenza, la copertura avviene con una frequenza molto minore, a seconda del comportamento del mercato, e i costi di transazione e le coperture meno frequenti non vengono presi in considerazione nel modello Black-Scholes. Inoltre, studi empirici di serie temporali finanziarie hanno rivelato che l'ipotesi di normalità dei prezzi delle attività non può catturare code pesanti. Ciò significa che la probabilità assegnata agli eventi estremi è molto bassa, e questo non è ben catturato dalla distribuzione log-normale del modello Black-Scholes.
  
  
• 01:25:00 In questa sezione della lezione, l'istruttore spiega i diversi approcci alla gestione dei modelli di volatilità. Il primo approccio discute i modelli di volatilità locale, che è una semplice estensione del modello attuale. La funzione del modello di volatilità locale è chiamata funzione di volatilità locale ed è costruita utilizzando i dati di mercato. Il secondo approccio, che sarà discusso nella prossima lezione, è un modello di salti, che consente la generazione di effetti smile e skew. Il terzo approccio prevede la volatilità stocastica, un'estensione avanzata della volatilità locale, utilizzando un'equazione differenziale stocastica per guidare la volatilità.

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Finanza computazionale: lezione 5/14 (Jump Processes)

Finanza computazionale: lezione 5/14 (Jump Processes)

La conferenza procede esplorando i modi per migliorare il modello di Black-Scholes incorporando i salti nel processo di stock, passando da un modello diffusivo a un modello di diffusione del salto. L'istruttore inizia spiegando l'inclusione dei salti nel processo stock e fornendo una definizione di salti. Quindi dimostrano una semplice implementazione di un processo di salto in Python, sottolineando la necessità di gestire i salti in un processo stocastico per le azioni, garantendo al contempo che il modello rimanga sotto la misura q.

Inoltre, la conferenza approfondisce le implicazioni dell'introduzione di salti nei prezzi e come influisce sulla PDE (Partial Differential Equation) dei prezzi, introducendo ulteriori termini integrali. La discussione si estende all'impatto delle diverse distribuzioni di salti sulle forme di volatilità implicita e all'utilizzo di concetti come le aspettative iterate dell'aspettativa, la proprietà della torre dell'aspettativa e le funzioni caratteristiche per i processi di salto quando si tratta di aspettative complesse.

Il docente sottolinea la praticità dei processi di salto nelle opzioni di prezzo e nella calibrazione dei modelli, evidenziandone il realismo e la capacità di accogliere code pesanti, nonché di controllare la curtosi e l'asimmetria della densità di blocco e rotazione. Incorporando un processo di salto, è possibile ottenere un migliore adattamento al sorriso di volatilità implicita o allo skew di volatilità implicita, rendendo i processi di salto un'alternativa più favorevole al modello di Black-Scholes.

Spostando l'attenzione, la conferenza introduce il concetto di processi di salto rappresentati da un processo di conteggio, che non sono correlati al moto browniano. Questi processi sono modellati utilizzando un processo di Poisson casuale, caratterizzato da un valore zero iniziale e incrementi indipendenti che seguono una distribuzione di Poisson. La velocità del processo di Poisson determina il numero medio di salti in un periodo di tempo specificato. La lezione spiega come calcolare il numero medio di salti all'interno di un dato intervallo per i processi di salto utilizzando la notazione e le aspettative.

In finanza computazionale, il docente discute la simulazione dei processi di salto, osservando che la grandezza del salto non può esplodere e delineando le ipotesi tecniche ad essa associate. Il processo prevede la definizione di matrici e parametri per la simulazione di incrementi indipendenti utilizzando una distribuzione di Poisson per ogni incremento del processo di salto. La lezione copre anche l'utilizzo del processo di Poisson nel lemma di Ethos per estendere le dinamiche dei processi di salto per il prezzo delle azioni. Nel contesto della finanza computazionale, la lezione introduce e spiega il concetto di processi di salto. Definisce il termine "t-minus" come il tempo appena prima che si verifichi un salto in un processo ed esplora la dinamica del processo attraverso il lemma di Ethos e il calcolo delle derivate rispetto al tempo. Viene discussa la relazione tra la dimensione del salto e l'aggiustamento risultante nella funzione "g", sottolineando la rilevanza pratica di questi concetti nella modellizzazione dei processi stocastici. La lezione sottolinea anche l'importanza di considerare l'indipendenza dei processi di salto e dei processi diffusivi quando si modella il comportamento del mercato azionario.

Per derivare la dinamica di una funzione "g" in un modello che incorpora sia processi di salto che di diffusione, la lezione si concentra sul comportamento di alta complessità di diffusione e sull'applicazione del lemma di Ito. Il lemma di Ito viene utilizzato per gestire termini incrociati, come dxpt al quadrato, nel contesto di una maggiore complessità del modello. Una volta combinati tutti gli elementi, inclusi deriva, diffusione e salti, la dinamica di "g" può essere derivata usando il lemma di Ito. Si accenna anche all'estensione della tavola di Ito, sottolineando le differenze tra un processo di Poisson e un moto browniano. La lezione si conclude delineando il processo di derivazione della dinamica per una funzione "g" che incorpora sia processi di salto che di diffusione.

Andando avanti, la lezione descrive il processo per ottenere la dinamica di uno stock con salto e moto browniano sotto la misura Q. Questo processo comporta la definizione di una nuova variabile e la determinazione della sua dinamica, assicurando che l'aspettativa della dinamica sia zero. Si presume che la componente di salto sia indipendente da tutti gli altri processi, risultando in un'espressione che include termini per deriva, volatilità e aspettativa di J meno uno. Questa espressione viene quindi sostituita nell'equazione per la misura Q, assicurando che la dinamica di ST sul conto di risparmio sia una martingala.

L'istruttore procede a discutere come derivare un modello con diffusione e salti, fornendo un esempio per illustrare i percorsi di un modello con due componenti: diffusivo e salto. La parte diffusiva rappresenta il comportamento continuo, mentre l'elemento di salto introduce la discontinuità, consentendo la rappresentazione dei modelli di salto osservati in alcuni stock. L'istruttore copre anche i parametri per il salto e il parametro di volatilità per il moto browniano, insieme ai valori iniziali per le azioni e i tassi di interesse. Per migliorare ulteriormente la comprensione, l'istruttore dimostra come programmare la simulazione e tracciare i percorsi risultanti.

La lezione passa poi a spiegare l'aspettativa di e alla potenza di j, che è analiticamente calcolata come l'aspettativa di una distribuzione log-normale. Viene eseguita la simulazione degli incrementi di Poisson guidati da c volte pi volte dt, con z che rappresenta gli incrementi per una distribuzione normale e j che rappresenta l'ampiezza del salto. La dinamica del processo di diffusione del salto coinvolge sia equazioni alle derivate parziali che equazioni alle derivate integrali, dove la parte integrale rappresenta l'aspettativa delle dimensioni del salto. L'equazione del prezzo può essere derivata attraverso la costruzione del portafoglio o attraverso l'approccio della funzione caratteristica, ei parametri devono essere calibrati utilizzando i prezzi delle opzioni sul mercato.

Nel contesto della costruzione del portafoglio, la lezione descrive il processo di costruzione di un portafoglio comprendente un'opzione venduta e una copertura con un'azione sottostante. Garantendo che le dinamiche del portafoglio aumentino allo stesso tasso del conto di risparmio in denaro, è possibile derivare un'equazione differenziale di prezzo. Per ottenere la dinamica desiderata, lo stock diviso per il conto di risparmio deve essere una martingala. La lezione poi deriva la condizione per mu, dimostrando che una volta stabilita la dinamica, si può derivare la dinamica di v. Queste informazioni vengono quindi utilizzate per calcolare le aspettative e derivare le dinamiche di v.

Il docente esplora ulteriormente l'equazione per una derivata di primo ordine rispetto al tempo, che è anch'essa di primo ordine rispetto a x e include un'aspettativa per un valore di un contratto al tempo t con un salto. Ciò porta a un termine integrale a causa della presenza di un'aspettativa, risultando in un'equazione differenziale integrale parziale (PID) che è più difficile da risolvere rispetto alle PDE pure. La soluzione consiste nel trovare l'espressione analitica per il valore atteso, che a volte può essere espresso in termini di serie infinite. Vengono inoltre discusse l'importanza delle condizioni al contorno e la trasformazione dei PID in trasformazioni logaritmiche per una migliore convergenza.

Continuando la discussione sui processi di salto, la lezione si concentra sulla trasformazione dei processi di salto nel caso di PID e PID sotto l'opzione deluxe. La lezione presenta due approcci comuni per specificare l'ampiezza del salto, vale a dire il classico modello dei mercanti e il doppio esponenziale non simmetrico. Mentre la calibrazione del modello diventa più complicata con l'aggiunta di sigma j e mu j, la praticità e l'accettazione da parte del settore spesso favoriscono modelli con meno parametri. La conferenza riconosce anche che, man mano che le dinamiche dei processi di salto diventano più complesse, raggiungere la convergenza diventa impegnativo, richiedendo tecniche avanzate come lo spazio di Fourier o soluzioni analitiche per la calibrazione dei parametri.

La lezione procede quindi a spiegare il processo di determinazione del prezzo utilizzando la simulazione Monte Carlo per i processi di diffusione del salto. La determinazione del prezzo implica il calcolo dell'aspettativa del guadagno futuro scontando il suo valore attuale. Sebbene metodi come i PID e la simulazione Monte Carlo funzionino bene in termini di complessità computazionale per le simulazioni, potrebbero non essere ideali per la determinazione dei prezzi e la calibrazione del modello a causa del significativo aumento del numero di parametri quando vengono introdotti i salti. La conferenza approfondisce anche l'interpretazione della distribuzione dei salti e dei parametri di intensità e il loro impatto sulla volatilità implicita smile e skew. Viene condotto un esperimento di simulazione, variando i parametri mantenendo fissi gli altri per osservare gli effetti risultanti su salti e inclinazione.

Per analizzare gli effetti della volatilità e dell'intensità dei salti sulla forma del sorriso e del livello di volatilità implicita, il docente discute le loro relazioni. L'aumento della volatilità di un salto porta a un livello più elevato di volatilità, mentre l'intensità dei salti influisce anche sul livello e sulla forma del sorriso di volatilità implicita. Queste informazioni sono fondamentali per comprendere il comportamento dei prezzi delle opzioni e calibrare i modelli in base ai dati del mercato reale.

La conferenza introduce poi il concetto di Tower Property e la sua applicazione nella semplificazione dei problemi in finanza. Condizionando un percorso da un processo per calcolare l'aspettativa o il prezzo di un altro processo, è possibile semplificare i problemi con più dimensioni nelle equazioni differenziali stocastiche. La proprietà della torre può anche essere applicata a problemi nelle equazioni di Black-Scholes con parametri di volatilità e processi contabili, che spesso diventano somme quando si tratta di integrali di salto. Il docente sottolinea la necessità di formulare ipotesi sui parametri in queste applicazioni.

Successivamente, il docente discute l'uso delle tecniche di Fourier per risolvere equazioni di prezzo nella finanza computazionale. Le tecniche di Fourier si basano sulla funzione caratteristica, che può essere trovata in forma analitica per alcuni casi particolari. Il docente illustra un esempio utilizzando il modello di Merton e spiega come trovare la funzione caratteristica per questa equazione. Separando i termini di aspettativa che coinvolgono parti indipendenti, il docente mostra come esprimere la sommatoria in termini di aspettative, consentendo la determinazione della funzione caratteristica. Il vantaggio dell'utilizzo delle tecniche di Fourier è la loro capacità di consentire calcoli rapidi dei prezzi, che sono cruciali per la calibrazione del modello e la valutazione in tempo reale.

Successivamente, il docente discute l'uso delle tecniche di Fourier per risolvere equazioni di prezzo nella finanza computazionale. Le tecniche di Fourier si basano sulla funzione caratteristica, che può essere trovata in forma analitica per alcuni casi particolari. Il docente illustra un esempio utilizzando il modello di Merton e spiega come trovare la funzione caratteristica per questa equazione. Separando i termini di aspettativa che coinvolgono parti indipendenti, il docente mostra come esprimere la sommatoria in termini di aspettative, consentendo la determinazione della funzione caratteristica. Il vantaggio dell'utilizzo delle tecniche di Fourier è la loro capacità di consentire calcoli rapidi dei prezzi, che sono cruciali per la calibrazione del modello e la valutazione in tempo reale.

Durante la lezione, l'istruttore sottolinea l'importanza di comprendere e incorporare i processi di salto nei modelli di finanza computazionale. Includendo i salti, i modelli possono catturare meglio il comportamento dei prezzi delle azioni nel mondo reale e fornire risultati di determinazione e calibrazione più accurati. La conferenza evidenzia anche le sfide associate ai processi di salto, come la complessità della risoluzione di equazioni differenziali integrali e la necessità di un'attenta calibrazione dei parametri. Tuttavia, con le tecniche e le metodologie appropriate, i processi jump possono migliorare significativamente l'accuratezza e il realismo dei modelli di finanza computazionale.

• 00:00:00 In questa sezione, il docente spiega come migliorare il modello di Black-Scholes includendo i salti nello stock process e passando da un modello diffusivo a un modello di diffusione a salti. La discussione inizia con come includere i salti nel processo di stock e la definizione di salti. Il docente mostra anche come eseguire una semplice implementazione di un processo di salto in Python e come gestire i salti in un processo stocastico per le azioni per garantire che il modello sia ancora sotto la misura q. L'inclusione dei salti nel prezzo introduce ulteriori termini integrali, che saranno presenti nel prezzo pde. La conferenza discute anche l'impatto di diverse distribuzioni di salto su diverse forme di volatilità implicita e come utilizzare le aspettative iterate dell'aspettativa, la proprietà della torre dell'aspettativa e le funzioni caratteristiche per i processi di salto quando si ha a che fare con aspettative complicate. Infine, la lezione illustra come utilizzare la trasformazione di Fourier per invertire la funzione caratteristica per la calibrazione dei modelli di diffusione del salto che hanno più parametri.
  
  
• 00:05:00 In questa sezione, il docente discute l'estensione del modello ai salti. Il comportamento di un titolo, come KLM, non può essere spiegato da un moto browniano geometrico perché rivelano modelli di salto. Questi balzi sono osservati nel mercato e potrebbero essere dovuti a eventi di mercato imprevisti o pagamenti di dividendi, ma spesso sono correlati a fattori come conflitti politici o problemi di consegna delle materie prime. Per adattarsi meglio al comportamento di un titolo e a più strike per il prezzo delle opzioni, è necessario un processo che includa questo fenomeno di salto. Uno di questi processi è un modello basato su Lévy con diffusione del salto, che include un moto browniano e una parte del salto che può spiegare i modelli di salto esibiti da alcuni titoli.
  
  
• 00:10:00 In questa sezione, il docente discute l'utilità dei processi di salto nelle opzioni di prezzo e nella calibrazione dei modelli. Spiega come i salti siano realistici quando si valutano le opzioni e come consentono una migliore calibrazione includendo code pesanti. Inoltre, i processi di salto possono aiutare a controllare la curtosi e l'asimmetria della densità di blocco e virata. Costruendo un processo che include un salto, dimostra come può facilitare un migliore adattamento al sorriso di volatilità implicita o all'asimmetria di volatilità implicita. Nel complesso, i processi di salto sono un'alternativa superiore al modello di Black-Scholes.
  
  
• 00:15:00 In questa sezione viene introdotto il secondo processo stocastico nella finanza computazionale, che è un processo di salto rappresentato da un processo di conteggio. Il processo di salto non è correlato al moto browniano ed è modellato con un processo di Poisson casuale. Il processo di Poisson ha inizialmente valore zero e incrementi indipendenti con una probabilità data dalla distribuzione di Poisson. La velocità del processo di Poisson rappresenta la quantità media di salti in un periodo di tempo specificato. La probabilità che si verifichi un salto durante un piccolo intervallo di tempo viene quindi calcolata utilizzando il processo di Poisson e un piccolo odt. Viene anche discussa la probabilità che si verifichino salti zero.
  
  
• 00:20:00 In questa sezione, il docente spiega come calcolare il numero medio di salti in un dato intervallo per i processi di salto. Il calcolo comporta la sostituzione della differenza tra il numero di salti nel punto s più dt e x-ps utilizzando una breve notazione di dxp. L'aspettativa di un evento è calcolata dal valore atteso moltiplicato per la probabilità dell'evento. Inoltre, viene introdotta una definizione di processo di Poisson compensato, in cui il valore atteso del processo è zero. Infine, la conferenza afferma che in genere non esiste alcuna correlazione tra l'entità del salto di una variabile casuale e il processo, rendendo difficile valutare l'entità di un salto e definire quando è avvenuto.
  
  
• 00:25:00 In questa sezione, il docente discute i processi di salto nella finanza computazionale. La grandezza del salto non può esplodere e ci sono ipotesi tecniche al riguardo. La simulazione dei percorsi e delle realizzazioni del processo comporta la definizione di matrici e parametri per una distribuzione di Poisson, che viene utilizzata per simulare incrementi indipendenti per ogni incremento del processo di salto. La lezione copre anche come utilizzare il processo di Poisson nel lemma di Ethos per estendere le sue dinamiche per il prezzo delle azioni.
  
  
• 00:30:00 In questa sezione viene introdotto e spiegato il concetto di processo di salto nel contesto della finanza computazionale. Il termine "t-minus" è definito come un tempo appena prima che avvenga un salto in un processo, e la dinamica del processo viene esplorata attraverso l'ethos lemma e il calcolo delle derivate rispetto al tempo. Viene discussa la relazione tra la dimensione del salto e l'aggiustamento risultante nella funzione g, e viene evidenziata la rilevanza pratica di questi concetti nella modellizzazione dei processi stocastici. Inoltre, viene sottolineata l'importanza di considerare l'indipendenza dei processi di salto e dei processi diffusivi quando si modella il comportamento del mercato azionario.
  
  
• 00:35:00 In questa sezione della lezione, l'obiettivo è derivare la dinamica di una funzione g in un modello che ha sia processi di salto che di diffusione. Il relatore inizia spiegando che quando la complessità del modello aumenta a causa dell'elevata diffusione, la derivazione delle soluzioni può diventare significativamente più difficile. Il relatore introduce quindi il lemma di Ito per discutere come esso sia applicato in questo contesto, in particolare quando si tratta di termini incrociati come dxpt al quadrato. Il relatore spiega poi che una volta messi insieme tutti gli elementi (deriva, diffusione e salti), la dinamica di g può essere derivata usando il lemma di Ito. Viene anche toccata l'estensione della tavola di Ito, con il relatore che spiega che diventa evidente la differenza tra un processo di Poisson e un moto browniano. Infine, il relatore delinea il processo di derivazione della dinamica per una funzione g che incorpora sia processi di salto che di diffusione.
  
  
• 00:40:00 In questa sezione, il relatore descrive il processo per arrivare alla dinamica di uno stock con salto e moto browniano sotto la misura Q. Il processo prevede la definizione di una nuova variabile e la determinazione della sua dinamica e la garanzia che l'aspettativa della dinamica sia zero. Si presume che la componente di salto sia indipendente da tutti gli altri processi e l'espressione risultante include termini per deriva e volatilità insieme all'aspettativa di J meno uno. Il passaggio finale prevede la sostituzione di questo processo nell'equazione per la misura Q e la garanzia che la dinamica di ST sul conto di risparmio sia una martingala.
  
  
• 00:45:00 In questa sezione della lezione, l'istruttore spiega come derivare un modello con diffusione e salti e fornisce un esempio di come sarebbero i percorsi di un modello con due componenti di componenti diffusive e salti. Il processo ha una parte diffusiva, che si comporta in modo continuo, e un elemento di salto, che lo rende discontinuo. L'istruttore discute anche i parametri per il salto e il parametro di volatilità per il moto browniano, nonché i valori iniziali per le azioni e i tassi di interesse. Infine, l'istruttore mostra come programmare la simulazione e tracciare i percorsi.
  
  
• 00:50:00 In questa sezione della lezione di finanza computazionale, il relatore spiega l'aspettativa di e alla potenza j, che è calcolata analiticamente come l'aspettativa di una distribuzione log-normale. Quindi simulano gli incrementi di Poisson guidati da c pi volte dt, con z come incrementi per una distribuzione normale e j come grandezza del salto. La dinamica del processo di diffusione del salto coinvolge sia equazioni alle derivate parziali che equazioni alle derivate integrali, con la parte integrale che rappresenta l'aspettativa delle dimensioni del salto. L'equazione del prezzo può essere derivata attraverso la costruzione del portafoglio o attraverso l'approccio della funzione caratteristica, con i parametri che devono essere calibrati utilizzando i prezzi delle opzioni sul mercato.
  
  
• 00:55:00 In questa sezione, la lezione descrive il processo di costruzione di un portafoglio costituito da un'opzione che viene venduta e una copertura con azioni sottostanti. Garantendo che le dinamiche del portafoglio aumentino allo stesso tasso del conto di risparmio, è possibile derivare un'equazione differenziale di prezzo. La conferenza spiega che per ottenere la dinamica delle informazioni sullo stock e sul rischio, lo stock diviso per il conto di risparmio in denaro deve essere una martingala. La lezione quindi deriva la condizione per mu, mostrando che una volta stabilite le dinamiche, si può derivare la dinamica di v. Queste informazioni vengono quindi utilizzate per calcolare le aspettative e derivare le dinamiche di v.
  
  
• 01:00:00 In questa sezione, il relatore discute l'equazione per una derivata di primo ordine rispetto al tempo, cioè di primo ordine rispetto a x, e include un'aspettativa per un valore di un contratto al tempo t con un salto. Ciò porta a un termine intero a causa della presenza di un'aspettativa che diventa un'equazione differenziale integrale parziale (PID) poiché include un termine intero. L'oratore spiega che a causa di ciò, i PID possono essere più difficili da risolvere rispetto ai PDE. La soluzione consiste nel trovare l'espressione analitica per il valore atteso, che a volte può essere espresso in termini di serie infinite. Il relatore discute anche l'importanza delle condizioni al contorno e la trasformazione dei PID in trasformazioni logaritmiche per una migliore convergenza.
  
  
• 01:05:00 In questa sezione, il relatore discute la trasformazione dei processi jump nel caso di pid e pid sotto l'opzione deluxe. Il relatore osserva che la specifica dell'ampiezza del salto j è a discrezione dell'utente, ma delinea due approcci comuni: il modello classico dei commercianti e il doppio esponenziale non simmetrico. Mentre la calibrazione del modello diventa più complicata con l'aggiunta di sigma j e mu j, tipicamente, avere meno parametri è più pratico e accettabile nel settore. Il relatore osserva che se le dinamiche dei processi di salto sono troppo complicate, il raggiungimento della convergenza diventa problematico e sono necessarie tecniche avanzate, come lo spazio di Fourier o anche soluzioni analitiche, per calibrare tali parametri.
  
  
• 01:10:00 In questa sezione, il relatore discute come eseguire la determinazione del prezzo utilizzando la simulazione Monte Carlo per un processo di diffusione a salti, che comporta il calcolo dell'aspettativa del payoff futuro scontando il suo valore oggi. Sebbene metodi come PID e Monte Carlo si comportino bene in termini di complessità computazionale per le simulazioni, potrebbero non essere ideali per la determinazione dei prezzi e la calibrazione del modello poiché l'introduzione dei salti aumenta significativamente il numero di parametri. Il relatore spiega anche come interpretare la distribuzione dei salti e dei parametri di intensità e il loro impatto sulla volatilità implicita smile e skew. Inoltre, l'oratore conduce un esperimento di simulazione per variare i parametri mantenendo gli altri fissi per osservare i cambiamenti negli effetti di salto e inclinazione.
  
  
• 01:15:00 In questa sezione, il docente discute gli effetti della volatilità e dell'intensità dei salti sulla forma del sorriso e del livello della volatilità implicita. L'aumento della volatilità di un salto porta a un livello più elevato di volatilità, mentre l'intensità dei salti influisce anche sul livello e sulla forma del sorriso di volatilità implicita. La lezione passa quindi a discutere la proprietà della torre per le aspettative e come può essere utilizzata per gestire salti e integrali. La proprietà tower per le aspettative consente la semplificazione e una più facile gestione delle espressioni delle aspettative, rendendola uno strumento utile nel calcolo delle aspettative che coinvolgono i salti.
  
  
• 01:20:00 In questa sezione, il docente discute la proprietà della torre e la applica per semplificare i problemi finanziari. Condizionando un percorso da un processo per calcolare l'aspettativa o il prezzo di un altro processo, è possibile semplificare i problemi con più dimensioni nelle equazioni differenziali stocastiche. La proprietà della torre può anche essere applicata a problemi nelle equazioni di Black-Scholes con parametri di volatilità e processi contabili, che spesso diventano somme quando si tratta di integrali di salto. Il docente sottolinea che è necessario formulare ipotesi sui parametri in queste applicazioni.
  
  
• 01:25:00 In questa sezione, il docente discute l'uso delle tecniche di Fourier per risolvere equazioni di prezzo nella finanza computazionale. Le tecniche di Fourier si basano sulla funzione caratteristica che può essere trovata in forma analitica per alcuni casi particolari. Il docente illustra un esempio utilizzando il modello di Merton e spiega come trovare la funzione caratteristica per questa equazione. Separando i termini di aspettativa che coinvolgono parti indipendenti, il docente mostra come esprimere la sommatoria in termini di aspettative e quindi trovare la funzione caratteristica. Il vantaggio dell'utilizzo delle tecniche di Fourier è che consentono calcoli di prezzo estremamente rapidi, che sono cruciali per la calibrazione del modello e la valutazione in tempo reale.
  
  
• 01:30:00 In questa sezione, il docente discute una formula che collega il processo di salto a una trasformata di Fourier. Utilizzando l'aspettativa condizionale, il docente semplifica la formula in una funzione caratteristica che coinvolge l'aspettativa di esponenti. La nuova espressione ricorda da vicino la definizione di un esponente. Un'ulteriore semplificazione si traduce in un'espressione compatta della funzione caratteristica, che sarà utilizzata nella valutazione delle tecniche di Fourier.

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Finanza computazionale: lezione 6/14 (Processi di diffusione del salto affine)

Finanza computazionale: lezione 6/14 (Processi di diffusione del salto affine)

Il docente fornisce approfondimenti sulla selezione dei modelli di pricing all'interno delle istituzioni finanziarie, concentrandosi sulla distinzione tra front office e back office. Il front office gestisce le attività di negoziazione e avvia le negoziazioni, che vengono poi trasferite al back office per la manutenzione delle negoziazioni e la contabilità. Il docente sottolinea la necessità di considerare vari fattori, tra cui la calibrazione, la valutazione del rischio, l'accuratezza dei prezzi e l'efficienza computazionale quando si sceglie un modello di prezzo. Inoltre, il concetto di funzioni caratteristiche e processi di diffusione del salto affine viene introdotto come classi di modelli che consentono un'efficiente valutazione dei prezzi. Questi modelli sono in grado di calcolare rapidamente i prezzi, rendendoli adatti al trading in tempo reale. La lezione approfondisce anche argomenti come la derivazione della funzione valutaria, l'estensione del framework attraverso l'incorporazione del salto e il flusso di lavoro della determinazione dei prezzi e della modellazione negli istituti finanziari.

L'importanza di comprendere i processi di salto e il loro impatto sull'accuratezza dei prezzi è evidenziata durante la lezione, insieme alle sfide coinvolte nella risoluzione di equazioni differenziali integrali e nella calibrazione dei parametri del modello. Sfruttando tecniche e metodologie appropriate, i modelli di finanza computazionale possono essere migliorati per riflettere meglio il comportamento dei prezzi delle azioni nel mondo reale e migliorare i risultati di pricing e calibrazione.

Inoltre, il relatore sottolinea il ruolo del front office nelle istituzioni finanziarie, in particolare nella progettazione e nel prezzo dei prodotti finanziari per i clienti. Il front office è responsabile della selezione dei modelli di prezzo appropriati per questi prodotti e di garantire che le negoziazioni siano prenotate correttamente. La collaborazione con il back office è fondamentale per validare e implementare i modelli scelti, garantendone l'adeguatezza ai rischi e alle operazioni dell'istituto. L'obiettivo principale del front office è trovare un equilibrio tra la fornitura di prezzi competitivi ai clienti e la gestione dei rischi entro limiti accettabili, garantendo al contempo un flusso costante di profitti.

Il relatore delinea i passaggi essenziali coinvolti in un pricing di successo, a partire dalla specificazione del prodotto finanziario e dalla formulazione di equazioni differenziali stocastiche per catturare i fattori di rischio sottostanti. Questi fattori di rischio svolgono un ruolo fondamentale nella determinazione del modello di prezzo e nel successivo calcolo dei prezzi. La corretta specificazione e modellazione di questi fattori di rischio è fondamentale per una determinazione accurata dei prezzi e una gestione del rischio.

Durante la lezione vengono discussi diversi metodi di determinazione del prezzo, comprese soluzioni esatte e semi-esatti, nonché tecniche numeriche come la simulazione Monte Carlo. Il relatore sottolinea l'importanza della calibrazione del modello, in cui i parametri del modello di prezzo vengono adattati per corrispondere alle osservazioni di mercato. Le tecniche di Fourier vengono introdotte come alternativa più rapida per la calibrazione del modello, consentendo un calcolo efficiente dei parametri del modello.

La conferenza mette a confronto anche due approcci popolari per la determinazione dei prezzi nella finanza computazionale: la simulazione Monte Carlo e le equazioni alle derivate parziali (PDE). La simulazione Monte Carlo è ampiamente utilizzata per problemi di quotazione ad alta dimensione, ma può essere limitata in termini di accuratezza e soggetta a errori di campionamento. Le PDE, d'altra parte, offrono vantaggi come la capacità di calcolare sensibilità come delta, gamma e vega a basso costo e uniformità nelle soluzioni. Il relatore afferma che i metodi basati su Fourier saranno trattati nelle lezioni future in quanto offrono approcci di prezzo più rapidi e più adatti per prodotti finanziari semplici.

Il concetto di funzioni caratteristiche viene introdotto come uno strumento chiave per colmare il divario tra i modelli con funzioni di densità di probabilità analitiche note e quelli senza. Utilizzando le funzioni caratteristiche, diventa possibile derivare la funzione di densità di probabilità di un titolo, che è essenziale per la determinazione del prezzo e la valutazione del rischio.

Nel corso della lezione viene sottolineata l'importanza della calibrazione. Gli strumenti liquidi vengono utilizzati come riferimento per la calibrazione e i loro parametri vengono quindi applicati per valutare accuratamente i prodotti derivati più complessi. Il docente sottolinea la necessità di migliorare e perfezionare continuamente i modelli e le tecniche di determinazione dei prezzi per adattarsi alle condizioni di mercato in evoluzione e ottenere risultati di determinazione dei prezzi affidabili.

In sintesi, la conferenza fornisce approfondimenti sul processo di scelta dei modelli di prezzo nelle istituzioni finanziarie, concentrandosi sul ruolo del front office, sulla calibrazione del modello e su considerazioni di rischio, efficienza e accuratezza. Introduce inoltre varie tecniche come la simulazione Monte Carlo, PDE e metodi basati su Fourier per la determinazione del prezzo e la calibrazione del modello. Viene discusso il concetto di funzioni caratteristiche e il loro significato nel derivare funzioni di densità di probabilità, insieme alle sfide e all'importanza del perfezionamento del modello e dell'adattamento alle condizioni del mondo reale.

• 00:00:00 In questa sezione, il docente discute come scegliere un modello di prezzo nel contesto delle istituzioni finanziarie. Spiega che il front office è tipicamente associato alle attività di negoziazione, mentre il back office si concentra sul mantenimento delle negoziazioni e sulla contabilità. Quando un cliente desidera acquistare un derivato, la negoziazione avviene nel front office e poi viene trasferita al back office. Il docente sottolinea inoltre l'importanza di considerare diversi aspetti, come la calibrazione, i rischi, il prezzo e l'efficienza, nella scelta di un modello di prezzo. Inoltre, introduce il concetto di funzioni caratteristiche e processi di diffusione del salto affine, che sono classi di modelli che consentono la valutazione efficiente dei prezzi in modo rapido. La lezione copre anche come derivare la funzione di valuta per il modello a blocchi e come estendere il framework aggiungendo salti.
  
  
• 00:05:00 In questa sezione, il relatore discute il flusso di lavoro del front office di un istituto finanziario, che si occupa principalmente della progettazione e del prezzo dei prodotti finanziari per i clienti. Il front office decide il modello da utilizzare per la determinazione del prezzo del prodotto e prenota il commercio. Si coordina inoltre con il back-office per la validazione e l'implementazione dei modelli utilizzati, assicurandosi che siano adeguati ai rischi e alle operazioni dell'ente. Il front office mira a bilanciare la preferenza di offrire prezzi migliori ai clienti mantenendo i rischi entro limiti accettabili e profitti che scorrono continuamente. Il relatore delinea i passaggi necessari, inclusa la specificazione del prodotto finanziario e le equazioni differenziali stocastiche per i fattori di rischio coinvolti, per una determinazione del prezzo di successo.
  
  
• 00:10:00 In questa sezione della conferenza, il relatore discute il processo di determinazione del prezzo e modellazione dei prodotti finanziari. Il processo prevede la specifica dei fattori di rischio, la scelta dei modelli adatti alle dimensioni, la definizione del prezzo del modello, la calibrazione del modello e l'esecuzione del pricing. L'ultimo passaggio prevede la vendita del prodotto e la copertura. Il relatore spiega anche i diversi metodi di determinazione del prezzo e ha evidenziato soluzioni esatte e semi-esatte, nonché metodi numerici come la simulazione Monte Carlo. Il focus della conferenza è sul quarto punto della calibrazione del modello, in cui il relatore parla dell'uso delle tecniche di Fourier per una calibrazione più rapida.
  
  
• 00:15:00 In questa sezione, il relatore discute diversi approcci per la determinazione dei prezzi nella finanza computazionale, in particolare la simulazione Monte Carlo e le PDE. La simulazione Monte Carlo è un approccio popolare, specialmente per problemi di prezzo ad alta dimensione poiché le PDE possono essere difficili da risolvere e discretizzare in più dimensioni. Tuttavia, la tecnica è limitata a due dimensioni ed è associata a rumore casuale e potenziali errori di campionamento. Le PDE, d'altra parte, hanno il vantaggio di poter calcolare sensibilità come delta, gamma e vega a basso costo e sono sempre fluide. Il relatore spiega che nelle lezioni future si concentreranno sui metodi basati su Fourier, che sono più veloci e più adatti a prodotti semplici. Spiega anche come viene eseguita la calibrazione sulla base di strumenti liquidi e come questi parametri vengono quindi utilizzati per la determinazione del prezzo di prodotti derivati più complicati.
  
  
• 00:20:00 In questa sezione, l'istruttore discute l'uso del campionamento Monte Carlo per la determinazione del prezzo dei derivati finanziari e i potenziali problemi con l'errore di campionamento e gli effetti di casualità. Menzionano anche l'uso di metodi alternativi come le tecniche di Fourier per la calibrazione e la ricerca della funzione di densità di probabilità di un titolo. Il concetto di funzione caratteristica viene introdotto per aiutare a colmare il divario tra i modelli per i quali la funzione di densità di probabilità è nota analiticamente e quelli per i quali non lo è. L'obiettivo è infine trovare un modo per passare dalla funzione caratteristica alla funzione di densità di probabilità del titolo.
  
  
• 00:25:00 In questa sezione, il docente discute l'uso delle trasformazioni di Fourier per il recupero della densità, che è particolarmente utile nella determinazione del prezzo delle opzioni di tipo europeo. Il metodo di trasformazione di Fourier è computazionalmente efficiente e non limitato ai modelli basati su gaussiano, quindi può essere utilizzato per qualsiasi variabile casuale che abbia una funzione caratteristica. Il processo di recupero della densità comporta la relazione tra i percorsi del processo stocastico e la densità osservata in un dato tempo t. Il docente mostra diversi grafici e discute l'importanza della frequenza dei segnali e la relazione tra la varianza di un processo e il numero di rotazioni.
  
  
• 00:30:00 In questa sezione, il relatore discute gli aspetti tecnici della trasformata di Fourier e la sua importanza nell'analisi del segnale. Spiegano come la trasformata di Fourier può trasformare una funzione di valuta in una rappresentazione nel dominio della frequenza e definire una funzione caratteristica come aspettativa di un esponente di i. La densità è derivata dalla CDF prendendo la sua derivata, e la funzione caratteristica può essere usata per trovare il momento k-esimo di una variabile. Infine, evidenziano le proprietà utili della trasformata di Fourier, inclusa la relazione tra la derivata di una funzione caratteristica e il momento k-esimo.
  
  
• 00:35:00 In questa sezione, il relatore spiega la relazione tra una variabile X definita come logaritmo di Y e la funzione caratteristica del log Y di U. Prendendo un logaritmo, X viene trasformata e l'equazione si semplifica in un integrale da Da 0 a infinito, dove una funzione di correzione del logaritmo di una variabile può calcolare ogni momento di un titolo. Questo metodo è più semplice fintanto che il modello preso in considerazione non prevede azioni negative, che sono considerate rare. L'oratore menziona anche che questo è utile per calcolare analiticamente i momenti di Black-Scholes. L'altoparlante introduce anche la funzione caratteristica per il modello Black-Scholes.
  
  
• 00:40:00 In questa sezione, il docente spiega come eseguire una trasformazione logaritmica su una variabile azionaria nella finanza computazionale. Convertendo la variabile, l'equazione alle derivate parziali (PDE) risultante diventa più semplice da risolvere. Il docente fornisce la PDE aggiornata dopo la trasformazione e spiega come trovare la soluzione usando il teorema di Duffie-Pan-Singleton. Ulteriori dettagli sulle condizioni esatte per la soluzione saranno discussi in seguito.
  
  
• 00:45:00 In questa sezione, il relatore discute come risolvere l'equazione alle derivate parziali per la funzione caratteristica utilizzando il metodo Duffy-Pan-Singleton. Per trovare la soluzione, le derivate della trasformazione da u a x devono essere calcolate e sostituite nella PDE. Quindi, utilizzando le condizioni al contorno, l'oratore trova soluzioni per le equazioni differenziali ordinarie per a e b, che vengono poi sostituite nell'espressione per la funzione caratteristica per arrivare al risultato finale. Questo metodo viene utilizzato per trovare la funzione caratteristica per il modello di Black-Scholes, che è un caso banale con una soluzione analitica nota.
  
  
• 00:50:00 In questa sezione, il relatore spiega il processo di derivazione delle funzioni connesse e la ricerca dei valori di a e b nei processi di diffusione a salti affini. Le funzioni correttive richiedono di verificare se la soluzione può essere applicata alla data PDE, seguita dalla determinazione del numero di ODE da risolvere per trovare a e b. Nel modello Black-Scholes, la funzione caratteristica dipende dal logaritmo iniziale del valore delle azioni. Esiste la classe di modelli che possono essere considerati Processi di Diffusione Affine tali che la funzione caratteristica ha la forma di e^(a+bx). Il relatore discute anche le condizioni richieste affinché un sistema di equazioni differenziali stocastiche soddisfi la data forma della funzione caratteristica, inclusa la necessità che la struttura della volatilità sia rappresentata come una matrice dipendente dal numero di x e dai moti browniani.
  
  
• 00:55:00 In questa sezione, il docente spiega le condizioni per i processi di diffusione del salto affine. Il numero di moti browniani corrisponde tipicamente al numero di variabili di stato nel modello, ma non ci sono requisiti rigorosi. Le tre condizioni per questi processi sono la deriva che può dipendere solo linearmente da X, una condizione sui tassi di interesse e una condizione sulla struttura della volatilità. La condizione più cruciale e difficile è la struttura della volatilità; le matrici ottenute dopo moltiplicazione o elevazione al quadrato della volatilità devono essere solo lineari in X. Questa condizione non è soddisfatta dal modello di Black-Scholes, ma può essere trasformata sotto trasformazione logaritmica per soddisfare la condizione.
  
  
• 01:00:00 In questa parte della lezione il professore discute il concetto di funzione caratteristica nel contesto di un sistema di equazioni differenziali e lo applica al modello di Black-Scholes. La funzione caratteristica è definita come una funzione di valuta scontata con una condizione al contorno e un filtro. Può essere risolto utilizzando una soluzione per il corrispondente sistema di ODE di tipo Riccati. Il professore fornisce un esempio di come utilizzare questo approccio per risolvere la funzione caratteristica nel caso del modello di Black-Scholes.
  
  
• 01:05:00 In questa sezione, l'attenzione si concentra sulla funzione caratteristica per i processi di diffusione del salto affine. Osservando l'equazione per la funzione caratteristica scontata, si nota che questo termine può essere portato fuori in quanto è costante. Questa sezione esamina anche le condizioni per la diffusione fine e la risoluzione delle equazioni differenziali ordinarie per A e B. È importante scegliere parametri che possono essere risolti analiticamente per evitare calcoli che richiedono tempo. La sezione discute anche del lavoro con più di una dimensione e fornisce un esempio di modellazione di due ceppi con processi di moto browniano geometrico non correlato.
  
  
• 01:10:00 In questa sezione, il docente discute il calcolo delle funzioni caratteristiche per un'impostazione di diffusione a salto affine bidimensionale. Il docente spiega che il sistema di equazioni differenziali stocastiche include un termine aggiuntivo, j, e un processo di Poisson multidimensionale, il che significa che i salti sono ora inclusi nel quadro della diffusione del salto affine. Il docente spiega inoltre che la condizione terminale per la funzione caratteristica include una condizione al contorno dove a è un termine costante senza alcuna dipendenza da x, e b1 e b2 corrispondono rispettivamente a x1 e x2. Infine, è data l'equazione per la funzione caratteristica 2d, dove abbiamo a, iu1 e iu2, che sono esplicitamente noti.
  
  
• 01:15:00 In questa sezione, la discussione si concentra sull'indipendenza tra la diffusione e le parti saltellanti nel modello Affine Jump Diffusion Processes, dove l'ampiezza del salto è indipendente e l'intensità della struttura non dipende da j. Le condizioni per questo quadro sono derive lineari, volatilità al quadrato o metriche di covarianza del tasso di interesse e lo stesso per l'intensità, il che significa che psi, l'intensità per un processo di Poisson, non può dipendere in altro modo che linearmente dai valori di stato. Infine, la sezione si conclude con una discussione sulle difficoltà di utilizzare i salti nei modelli a causa dell'aumento della volatilità e delle fluttuazioni, il che rende più complicate la calibrazione e la copertura.
  
  
• 01:20:00 In questa sezione, il relatore discute le dimensioni delle funzioni di previsione di input e output per i processi di diffusione del salto affine. La funzione di previsione dell'output è tipicamente unidimensionale, rappresenta la distribuzione marginale per log of stock e dipende dalle caratteristiche di u, inclusi varianza e salti. La dimensione della funzione di previsione degli input è correlata al numero di equazioni differenziali stocastiche. Il relatore dimostra quindi il processo per un modello di diffusione a salto affine derivando l'equazione differenziale stocastica e l'equazione differenziale integrale parziale. Scoprono che il modello non è affine a causa del termine quadrato, ma dopo aver eseguito una trasformazione logaritmica, rimangono con un'equazione differenziale di base con una sola variabile casuale indipendente, j. Quindi calcolano le derivate per ottenere la soluzione per la funzione caratteristica, che è un prodotto della funzione caratteristica di j e della funzione di x.
  
  
• 01:25:00 In questa sezione, il docente discute la derivazione dell'equazione differenziale per i processi di diffusione a salto affine. Questo viene fatto prendendo i termini per x, ponendoli a zero, e raccogliendo tutti gli altri termini per metterli dalla derivata di a. La soluzione per a viene quindi derivata ed è la stessa trovata senza utilizzare ipotesi di diffusione affine. Tuttavia, sono inclusi alcuni parametri costanti, come a0 e l0 che sono lato p, indicando che l'intensità per i salti è costante e non dipendente dallo stato.

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Finanza computazionale: lezione 7/14 (Modelli di volatilità stocastica)

Finanza computazionale: lezione 7/14 (Modelli di volatilità stocastica)

Nella lezione, approfondiamo il concetto di modelli di volatilità stocastica come alternativa ai modelli di Black-Scholes, che possono avere i loro limiti. Il relatore sottolinea che i modelli di volatilità stocastica appartengono alla classe dei modelli di diffusione affine, che richiedono tecniche avanzate per ottenere in modo efficiente prezzi e volatilità implicite. Viene spiegata la motivazione alla base dell'incorporazione della volatilità stocastica e viene introdotto il modello di volatilità stocastica bidimensionale di Heston.

Un aspetto importante trattato è la calibrazione dei modelli sull'intera superficie di volatilità implicita piuttosto che su un singolo punto. Ciò è particolarmente cruciale quando si ha a che fare con payoff dipendenti dal percorso e dipendenza dalla direzione dei colpi. I professionisti in genere calibrano i modelli su strumenti liquidi come call e put e quindi estrapolano i prezzi dei derivati esotici. I modelli di volatilità stocastica sono popolari sul mercato in quanto consentono la calibrazione dell'intera superficie di volatilità, nonostante i loro limiti intrinseci.

La lezione sottolinea anche l'importanza delle superfici di volatilità nel mercato azionario e la necessità di modelli appropriati. Se la superficie della volatilità mostra un sorriso ripido, sono spesso preferiti i modelli che incorporano salti o volatilità stocastica. Vengono discusse diverse misure utilizzate per le opzioni di prezzo, tra cui la misura P e la misura neutrale al rischio. Si noti che mentre rendere i tassi di interesse dipendenti dal tempo non migliora i sorrisi o l'inclinazione, l'introduzione di volatilità stocastica o locale può aiutare nella calibrazione. Viene introdotto anche il modello Hassel, che utilizza processi di radice quadrata di ritorno alla media per modellare la volatilità.

La conferenza esplora in dettaglio il concetto di modelli di volatilità stocastica. Inizialmente, vengono utilizzati un processo normale e un moto browniano per definire un'equazione differenziale stocastica, ma è riconosciuto che questo approccio non riesce a catturare accuratamente la volatilità, soprattutto perché può diventare negativa. I vantaggi del processo Box Inverse, noto anche come processo CIR, sono spiegati in quanto presenta code spesse e rimane non negativo, rendendolo un modello adatto per la volatilità. Viene introdotto il modello di Heston, con la sua struttura di volatilità stocastica, e si mostra che la varianza (VT) segue una distribuzione chi-quadro non centrale. Si chiarisce che questa distribuzione è una distribuzione di transizione, e la condizione di Feller è menzionata come una condizione tecnica critica da verificare durante la calibrazione del modello.

Vengono discusse le condizioni per i modelli di volatilità stocastica per evitare che i percorsi raggiungano lo zero, indicati come condizione di Feller. La condizione è soddisfatta quando due volte il prodotto del parametro kappa e la media a lungo termine è maggiore o uguale a gamma al quadrato, la volatilità al quadrato. Quando la condizione non è soddisfatta, i percorsi possono raggiungere lo zero e rimbalzare indietro, portando a una condizione al contorno raggiungibile. Vengono spiegate le proprietà delle distribuzioni chi quadrato non centrali e la loro relazione con i processi CIR. Sono forniti percorsi di varianza e grafici di densità per illustrare gli effetti del soddisfacimento o del non soddisfacimento della condizione di Feller.

Viene sottolineata l'importanza delle distribuzioni fat-tailed nei modelli di volatilità stocastica, poiché spesso vengono osservate dopo aver calibrato i modelli in base ai dati di mercato. Si noti che se la condizione di Feller di un modello non è soddisfatta, i percorsi Monte Carlo possono raggiungere lo zero e rimanere a zero. Viene spiegata l'inclusione della correlazione nei modelli tramite il moto browniano e si menziona che i salti sono generalmente considerati indipendenti. La conferenza si conclude con un grafico che illustra l'impatto della condizione di Feller sulla densità.

La lezione si concentra sulla correlazione e la varianza nel moto browniano. Il relatore spiega che quando si tratta di moti browniani correlati, una certa relazione deve valere, e lo stesso vale per gli incrementi. La tecnica della decomposizione di Cholesky viene introdotta come mezzo per correlare due moti browniani utilizzando una matrice definita positiva e la moltiplicazione di due matrici triangolari inferiori. Questo metodo è utile per formulare i due processi discussi più avanti nella lezione.

Viene discussa la costruzione della moltiplicazione di matrici triangolari inferiori con moti browniani indipendenti, risultando in un vettore contenente una combinazione di processi indipendenti e correlati.

Inoltre, il docente spiega che la funzione caratteristica del modello Heston fornisce preziose informazioni su prezzi efficienti e veloci. Derivando la funzione caratteristica, diventa evidente che tutti i termini coinvolti sono espliciti, eliminando la necessità di complessi calcoli analitici o numerici per risolvere le equazioni differenziali ordinarie. Questa semplicità è considerata uno dei vantaggi significativi del modello Heston, rendendolo uno strumento pratico e potente per la determinazione del prezzo dei derivati.

Il relatore sottolinea che comprendere le caratteristiche e le implicazioni di ciascun parametro nel modello Heston è fondamentale per gestire efficacemente i rischi associati alla volatilità. Parametri come kappa, la media a lungo termine, la volatilità, la correlazione e il valore iniziale del processo di varianza hanno tutti impatti distinti sulla dinamica della volatilità e sulla superficie della volatilità implicita. Calibrando questi parametri in base al mercato e analizzando i loro effetti, i professionisti possono ottenere preziose informazioni su sorrisi e distorsioni di volatilità implicita, consentendo una determinazione dei prezzi e una gestione del rischio più accurate.

La conferenza sottolinea l'importanza di calibrare i modelli di volatilità stocastica sull'intera superficie di volatilità implicita piuttosto che su un singolo punto. I payoff dipendenti dal percorso e le dipendenze dalla direzione degli strike richiedono un approccio di calibrazione completo per catturare l'intera complessità dei dati di mercato. In genere, i professionisti calibrano i modelli su strumenti liquidi come call e put e quindi estrapolano i prezzi dei derivati esotici. Sebbene i modelli di volatilità stocastica consentano la calibrazione sull'intera superficie di volatilità, è riconosciuto che il processo di calibrazione non è perfetto e ha i suoi limiti.

Per migliorare ulteriormente la comprensione dei modelli di volatilità stocastica, il docente approfondisce il concetto di distribuzioni dalla coda grassa, che si osservano spesso quando si calibrano i modelli ai dati di mercato. L'oratore spiega che se la condizione di abbattimento di un modello non è soddisfatta, i percorsi Monte Carlo possono raggiungere lo zero e rimanere a zero, influenzando la precisione del modello. Inoltre, vengono discussi l'inclusione dei salti e la considerazione indipendente delle correlazioni nei modelli di volatilità stocastica. La conferenza fornisce approfondimenti su come questi elementi influenzano le dinamiche di volatilità e i prezzi.

La conferenza si conclude confrontando il modello di Heston con il modello di Black-Scholes. Mentre il modello di Heston offre maggiore flessibilità e stocasticità nella modellazione della volatilità, il modello di Black-Scholes rimane un punto di riferimento per la determinazione del prezzo dei derivati. Comprendere le implicazioni delle diverse modifiche dei parametri su sorrisi e distorsioni di volatilità implicita è essenziale per i professionisti per scegliere il modello appropriato per le loro esigenze specifiche. Attraverso una calibrazione e un'analisi complete, i modelli di volatilità stocastica come quello di Heston possono fornire preziose informazioni sulla determinazione dei prezzi e sulla gestione del rischio nei mercati finanziari.

Oltre a discutere il modello di Heston, la conferenza affronta l'importanza della correlazione e della varianza nel moto browniano. L'oratore spiega che quando si ha a che fare con moti browniani correlati, alcune relazioni e condizioni devono essere vere, incluso l'uso della decomposizione di Cholesky. Questa tecnica consente la correlazione di due moti browniani utilizzando una matrice definita positiva e la moltiplicazione di due matrici triangolari inferiori. La lezione sottolinea che questo metodo è essenziale per formulare processi in casi multidimensionali e ottenere la struttura di correlazione desiderata.

Inoltre, il docente si sofferma sulla costruzione e rappresentazione di moti browniani indipendenti e correlati in modelli di volatilità stocastica. Sebbene la decomposizione di Cholesky sia uno strumento utile per correlare i moti browniani, la conferenza sottolinea che per scopi pratici non è sempre necessaria. Invece, il lemma di Ito può essere applicato per incorporare efficacemente moti browniani correlati. La conferenza fornisce esempi di costruzione di portafogli di azioni con moti browniani correlati e dimostra come applicare il lemma di Ito per determinare la dinamica di funzioni multidimensionali che coinvolgono più variabili.

La conferenza copre anche la determinazione del prezzo dell'equazione differenziale parziale (PDE) per il modello di Heston utilizzando un approccio martingala. Questo approccio implica garantire che una quantità specifica, chiamata pi greco, che rappresenta il rapporto di volatilità sulla media a lungo termine, sia una martingala. Applicando Ethos Lemma, la lezione deriva l'equazione per la martingala, che coinvolge le derivate e il processo di varianza. La PDE del prezzo consente la determinazione di prezzi equi per i contratti derivati e l'uso della misura neutrale al rischio nel prezzo.

Inoltre, il relatore discute l'impatto di diversi parametri sulla forma della volatilità implicita nei modelli di volatilità stocastica. È stato dimostrato che parametri come gamma, correlazione e velocità di ritorno alla media (kappa) influenzano la curvatura, l'asimmetria e la struttura a termine delle volatilità implicite. Comprendere gli effetti di questi parametri aiuta a calibrare accuratamente i modelli e a catturare le dinamiche di volatilità desiderate.

Durante la conferenza, il relatore sottolinea l'importanza della calibrazione del modello, in particolare per l'intera superficie di volatilità implicita. La calibrazione su strumenti liquidi e l'estrapolazione su derivati esotici è una pratica comune tra i professionisti. I modelli di volatilità stocastica, incluso il modello Heston, forniscono la flessibilità necessaria per calibrare l'intera superficie di volatilità, consentendo una migliore accuratezza nella determinazione dei prezzi e nella gestione del rischio. Tuttavia, è riconosciuto che la calibrazione del modello non è priva di limitazioni e che le sottili differenze tra i modelli, come i modelli Heston e Black-Scholes, dovrebbero essere attentamente esaminate per garantire prezzi e valutazione del rischio appropriati.

La conferenza fornisce una panoramica completa dei modelli di volatilità stocastica, concentrandosi sul modello di Heston, le sue implicazioni sui parametri, le tecniche di calibrazione e il ruolo della correlazione e della varianza nel moto browniano. Comprendendo e applicando efficacemente questi concetti, i professionisti possono migliorare la loro capacità di valutare i derivati, gestire i rischi e navigare nelle complessità dei mercati finanziari.

• 00:00:00 In questa sezione, apprendiamo i modelli di volatilità stocastica come alternativa ai modelli di Black-Scholes, che possono presentare carenze. L'inclusione dei salti può risolvere alcuni problemi, ma sono difficili da implementare e interpretare. I modelli di volatilità stocastica appartengono a una classe di modelli di diffusione affine che richiedono tecniche avanzate per ottenere prezzi e volatilità implicite in modo efficiente. La conferenza copre la motivazione per la volatilità stocastica e introduce il modello di volatilità stocastica bidimensionale di Heston. Copriamo anche come gestire le popolazioni, correlare i moti browniani, usare la correlazione, estendere il lemma di Ito a casi di dimensione superiore e valutare le PDE usando approcci martingala, Monte Carlo e trasformazioni di Fourier. La conferenza sottolinea l'importanza di comprendere il significato e l'impatto di ciascun parametro nella gestione dei rischi associati a una curvatura o inclinazione. Infine, confrontiamo il modello di Heston con il modello di Black-Scholes e deriviamo e utilizziamo la funzione caratteristica per il primo.
  
  
• 00:05:00 In questa sezione, il docente discute l'importanza di calibrare un modello sull'intera superficie di volatilità implicita anziché su un solo punto sulla superficie. Spiegano che se una vincita dipende dal percorso e dipende dalla direzione del colpo, la calibrazione solo su un punto sulla superficie non è sufficiente. La conferenza prosegue spiegando come i professionisti in genere calibrano i modelli su strumenti liquidi come call e put e quindi estrapolano il prezzo di derivati esotici. Il docente spiega anche che i modelli di volatilità stocastica sono popolari sul mercato in quanto consentono ai professionisti di calibrare l'intera superficie di volatilità, sebbene la calibrazione non sia perfetta e abbia i suoi limiti.
  
  
• 00:10:00 In questa sezione, il relatore discute l'uso di modelli di volatilità stocastica per la calibrazione alla superficie di volatilità del mercato azionario. Spiegano che se la superficie ha un ripido sorriso, potrebbe essere necessario un modello che includa i salti o un modello come la volatilità stocastica che modelli la volatilità come una variabile casuale. Il relatore spiega anche le diverse misure utilizzate per le opzioni di prezzo, tra cui la misura P e la misura neutrale al rischio. Avvertono che rendere i tassi di interesse dipendenti dal tempo non migliora i sorrisi o l'inclinazione, ma rendere la volatilità stocastica o locale può aiutare con la calibrazione. Infine, introducono il modello di Hassel, che utilizza processi di radice quadrata di ritorno alla media per modellare la volatilità.
  
  
• 00:15:00 In questa sezione della lezione viene discusso il concetto di modelli di volatilità stocastica. Viene spiegato l'uso di un processo normale e del moto browniano per definire un'equazione differenziale stocastica, ma non riesce a modellare accuratamente la volatilità poiché può diventare negativa. Vengono quindi evidenziati i vantaggi del processo Box Inverse, noto anche come processo CIR, in quanto ha code spesse e non è negativo, rendendolo un modello adatto per la volatilità. Viene introdotto il modello di Heston, con la sua struttura di volatilità stocastica, e si mostra che VT, la varianza per il modello di Heston, segue una distribuzione chi-quadro non centrale. Viene spiegato che si tratta di una distribuzione di transizione e la condizione dell'abbattitore è menzionata come un'importante condizione tecnica da verificare durante la calibrazione del modello.
  
  
• 00:20:00 In questa sezione, l'istruttore discute le condizioni affinché i modelli di volatilità stocastica abbiano percorsi che non raggiungono lo zero, nota anche come condizione di Fellouris. La condizione è soddisfatta quando due volte il prodotto del parametro kappa e la media a lungo termine è maggiore o uguale a gamma al quadrato, la volatilità al quadrato. Se la condizione non è soddisfatta, i percorsi possono raggiungere lo zero e rimbalzare indietro, che è nota come condizione al contorno raggiungibile. L'istruttore spiega anche le proprietà delle distribuzioni del chi quadrato non centrali e come si relazionano ai processi CIR. Infine, l'istruttore fornisce grafici di percorsi di varianza e densità per quando la condizione di Fellouris è soddisfatta e non soddisfatta.
  
  
• 00:25:00 In questa sezione, il relatore discute i modelli di volatilità stocastica e l'importanza delle distribuzioni a coda larga, che vengono spesso osservate dopo aver calibrato i modelli in base ai dati di mercato. L'oratore osserva che se la condizione del compagno di un modello non è soddisfatta, i percorsi Monte Carlo potrebbero raggiungere lo zero e rimanere a zero. Il relatore spiega quindi come la correlazione è inclusa nei modelli tramite il moto browniano e che i salti sono generalmente considerati indipendenti. La sezione si conclude con un grafico che mostra gli effetti della condizione di abbattimento sulla densità.
  
  
• 00:30:00 In questa sezione del video sui modelli di volatilità stocastica, il relatore discute la correlazione e la varianza nel moto browniano. Spiega che se si ha a che fare con moti browniani correlati, una certa relazione deve valere, e lo stesso vale per gli incrementi. Il relatore prosegue descrivendo la tecnica della decomposizione di Cholesky, che consente la correlazione di due moti browniani utilizzando una matrice definita positiva e la moltiplicazione di due matrici triangolari inferiori. Questo metodo sarà utilizzato per aiutare a formulare i due processi nella prossima discussione.
  
  
• 00:35:00 In questa sezione, il docente discute la costruzione della moltiplicazione di matrici triangolari inferiori con moti browniani indipendenti, che si traduce in un vettore contenente una combinazione di processi indipendenti e correlati. La lezione dimostra come determinare la correlazione tra due moti browniani semplificando la notazione e sostituendo le espressioni. Utilizzando questa derivazione, vengono conservate le stesse proprietà dei momenti e della correlazione, consentendo flessibilità nella scelta di un metodo di decomposizione adatto.
  
  
• 00:40:00 In questa sezione della conferenza, il relatore discute il passaggio dall'utilizzo di due moti browniani correlati all'utilizzo di due variabili indipendenti e come si può ottenere la correlazione utilizzando la decomposizione di Cholesky. Vengono inoltre spiegati i vantaggi di trattare i moti browniani indipendenti, con grafici di esempio forniti per mostrare le differenze nelle correlazioni negative, positive e zero. Il relatore fornisce anche un esempio di codice su come simulare queste correlazioni utilizzando la standardizzazione dei campioni e la generazione di percorsi. Viene inoltre evidenziato il processo di generazione del moto browniano, con la nuova realizzazione del moto browniano generata dalla precedente utilizzando un processo iterativo.
  
  
• 00:45:00 In questa sezione, il video illustra come simulare percorsi multicolori per il movimento lineare correlato e come gestire dimensioni superiori e matrici di correlazione definite non positive. La decomposizione di Cholesky viene utilizzata per elaborare moti browniani indipendenti con tempi di correlazione dt, che possono essere applicati per ogni dimensione. Tuttavia, se si incontra una matrice di correlazione definita non positiva, è necessario utilizzare determinati algoritmi per mappare la matrice su una matrice definita positiva. È anche importante specificare i limiti del coefficiente di correlazione per assicurarsi che rientri in un intervallo realistico di -1 e 1. Inoltre, il video menziona che in pratica, ogni processo in un caso multidimensionale può dipendere da tutti i movimenti browniani correlati , ma questo è un caso insolito.
  
  
• 00:50:00 In questa sezione, il docente introduce la decomposizione di Cholesky, che è uno strumento utile per affrontare la correlazione dei moti browniani e trasformare il sistema di equazioni da correlato a non correlato. Spiegano come rappresentare il sistema di equazioni differenziali in termini di moti browniani indipendenti utilizzando la correlazione e la decomposizione di Cholesky. Il docente discute anche la condizione tecnica per l'applicazione del lemma di Ethos ai processi vettoriali, ovvero che la funzione g deve essere sufficientemente differenziabile. Forniscono un esempio di equazione differenziale stocastica multidimensionale e come differenziare la funzione g con ciascun processo nel vettore per ottenere la dinamica del processo.
  
  
• 00:55:00 In questa sezione, il relatore discute la rappresentazione dei moti browniani indipendenti e correlati nei modelli di volatilità stocastica. Spiegano che per scopi pratici non è necessario fare una decomposizione di Cholesky e invece, il lemma di Ito può essere usato per applicare moti browniani correlati. Il relatore fornisce anche un esempio di costruzione di un portafoglio di due azioni con movimenti browniani correlati e valori sigma. Spiegano inoltre il processo di applicazione del lemma di Ito per trovare la dinamica di una funzione multidimensionale che coinvolge due o tre variabili.
  
  
• 01:00:00 In questa sezione della lezione, il relatore discute l'applicazione del Lemma di Ethos per derivare l'equazione alle derivate parziali dei prezzi (PDE) per il modello di Heston utilizzando un approccio a martingala. La PDE del prezzo richiede che il valore di un derivato, scontato al presente, sia uguale al suo valore futuro atteso, con il conto monetario guidato dall'equazione dei tassi di interesse e il processo di varianza variabile stocasticamente. Sebbene la derivazione di una PDE di prezzo per una variabile che non è osservabile o negoziabile possa essere piuttosto complicata, l'approccio martingala è considerato uno dei metodi più semplici per raggiungere questo obiettivo. La PDE dei prezzi è potente in quanto consente la derivazione del prezzo equo per un contratto e la misura neutrale al rischio.
  
  
• 01:05:00 In questa sezione, il relatore spiega l'approccio martingala alla determinazione del prezzo dei derivati nell'ambito del modello di volatilità stocastica. L'approccio prevede la definizione di una quantità come pi greco, che è il rapporto di v su m, quindi assicurando che questa quantità sia una martingala applicando il Lemma di Ethos. L'oratore ricava l'equazione per la martingala, che implica la derivata semplice, uno su m dv meno rv su m dt. L'economia è costituita da un bene, una volatilità che non è negoziabile e un conto di risparmio in denaro. Per ottenere la soluzione, l'oratore applica la serie di Taylor e gestisce i termini con Ito Calculus, che è semplice. Tuttavia, il calcolo del termine relativo al prodotto del processo di varianza e dello stock è più complicato. La soluzione finale prevede due moti browniani e un termine extra che dipende dalla correlazione tra la varianza e lo stock.
  
  
• 01:10:00 In questa sezione, il docente discute la flessibilità e la stocasticità del processo di varianza del modello di Heston rispetto al modello di Black-Scholes. Spiegano come il modello coinvolge più parametri, tra cui kappa, la media a lungo termine, la volatilità e la correlazione, e un altro parametro, il valore iniziale del processo di varianza. Notano inoltre che il più grande vantaggio del modello è che ciascuno di questi parametri ha un impatto individuale sulla volatilità, consentendo la calibrazione e l'impianto dello smart skew della volatilità. Il docente sottolinea che analizzeranno l'impatto delle diverse modifiche dei parametri sui sorrisi e sulle abilità di volatilità implicita.
  
  
• 01:15:00 In questa sezione, il docente spiega gli effetti di diversi parametri sulla forma della volatilità implicita nei modelli di volatilità stocastica. Il parametro gamma controlla la curvatura della volatilità implicita e il suo aumento porta a una forma più ripida. Le correlazioni influenzano l'asimmetria della volatilità implicita e le correlazioni negative portano a una forma del sorriso. La velocità di mean reversion (kappa) influisce sulla struttura a termine della volatilità implicita, con kappa più grande che causa una convergenza più rapida alla media a lungo termine. Mentre kappa ha qualche effetto sul livello e sulla forma della volatilità implicita, il suo impatto principale è sulla struttura a termine.
  
  
• 01:20:00 In questa sezione, il relatore discute l'impatto di diversi parametri sui modelli di volatilità stocastica, in particolare per il controllo della struttura a termine delle volatilità implicite. I parametri media a lungo termine e v0 hanno un effetto simile sul modello. V bar controlla il livello se viene data la scadenza e v0 controlla la struttura a termine delle volatilità implicite. Il confronto delle volatilità implicite istantanee con black-scholes può determinare se un modello di lapide o black-scholes è più appropriato. Inoltre, l'oratore utilizza i prezzi delle opzioni per illustrare le differenze tra i modelli Hastel e Black-Scholes. Il controllo dei sorrisi impliciti è tipicamente associato a code più grosse nei modelli Hastel, mentre i modelli Black-Scholes convergono molto più velocemente a zero.
  
  
• 01:25:00 da tenere a mente quando si calibrano i modelli di volatilità stocastica e si osserva l'impatto di diversi parametri sui prezzi. Mentre l'osservazione dei prezzi da sola non può determinare la forma della volatilità implicita, la calibrazione delle opzioni di volatilità implicita out of the money può fornire maggiori informazioni sull'accuratezza del modello. Le differenze tra un modello e il mercato possono avere un impatto significativo sulle volatilità implicite, specialmente nelle opzioni out of the money, quindi comprendere l'inclinazione e il sorriso della volatilità è fondamentale nella calibrazione del modello. Sottili differenze tra il modello di Heston e il modello di Black-Scholes richiedono l'esame di elementi diversi oltre ai prezzi delle opzioni, come code più pesanti e la forma della volatilità. Il coefficiente di correlazione è importante anche per collegare la volatilità con le azioni e il suo valore viene scelto in base ai prezzi di mercato delle opzioni, non ai dati storici.
  
  
• 01:30:00 In questa sezione, il relatore discute il modello di Heston e la sua superiorità rispetto al modello di Black Scholes nella determinazione del prezzo dei derivati. Tuttavia, sorge una sfida quando si cerca di determinare quale quantità nel mercato rappresenta l'effettiva volatilità stocastica. Per confermare se il modello di Heston è affine, il relatore controlla se le variabili di stato e la matrice di covarianza al quadrato sono lineari nel vettore di stato, che consiste di due variabili di stato, s_t e varianza_t. Il relatore spiega quindi che dopo aver eseguito la trasformazione logaritmica, devono verificare se tutti i termini sono lineari rispetto al vettore dello spazio degli stati. Nonostante la complessità del modello, l'esecuzione della trasformazione logaritmica non complica significativamente le derivazioni.
  
  
• 01:35:00 In questa sezione, l'oratore discute la matrice di covarianza istantanea e afferma che aiuta a verificare se il processo va bene o no. Inoltre, viene derivata una funzione caratteristica per il modello di Heston e viene indicata come una comoda scomposizione che è rilevante per una determinazione del prezzo efficiente e veloce. Il relatore riconosce che copre alcune pagine di derivazioni nel libro, ma sottolinea che tutti i termini sono espliciti e non sono necessari calcoli analitici o numerici per risolvere le ODE per la funzione caratteristica. Questo è visto come uno dei maggiori vantaggi del modello Heston.

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Finanza computazionale: Lezione 8/14 (Trasformazione di Fourier per il prezzo delle opzioni)

Finanza computazionale: Lezione 8/14 (Trasformazione di Fourier per il prezzo delle opzioni)

Durante la lezione sulla Trasformata di Fourier per il prezzo delle opzioni, l'istruttore approfondisce l'applicazione della tecnica e vari aspetti. Iniziano spiegando che la trasformata di Fourier viene utilizzata per calcolare la densità e le opzioni di prezzo efficienti per i modelli che rientrano nella classe dei modelli di diffusione fine. La tecnica prevede il calcolo di un integrale sull'asse reale, che può essere computazionalmente costoso. Tuttavia, utilizzando il lemma di inversione, l'istruttore chiarisce come il dominio per "u" può essere ridotto, consentendo il calcolo della parte reale dell'integrale. Questo approccio consente di ridurre al minimo l'onere computazionale associato a calcoli costosi.

Il docente discute ulteriormente il miglioramento di questa rappresentazione utilizzando la trasformazione veloce di Fourier (FFT), che migliora significativamente l'efficienza dell'implementazione. Sfruttando le proprietà di FFT, il carico di lavoro computazionale viene ridotto, rendendo il prezzo delle opzioni più efficiente e veloce. La sessione si conclude con un confronto tra il metodo della trasformazione di Fourier e il metodo del costo, fornendo approfondimenti sui rispettivi dettagli di implementazione.

Andando avanti, il docente approfondisce il primo passaggio per derivare un modo rapido per calcolare la densità utilizzando la trasformazione di Fourier. Questo passaggio comporta la divisione del dominio in due e l'estrazione della parte reale, che è un'operazione computazionalmente poco costosa. Inoltre, il docente esplora la divisione dei numeri complessi e l'importanza di prendere il coniugato, poiché facilita calcoli più efficienti della funzione caratteristica. Viene inoltre discussa la costruzione di una griglia per ottenere la densità per ogni valore "x", evidenziando l'importanza di selezionare domini appropriati e definire i confini.

La lezione procede con la spiegazione del calcolo della densità di "x" utilizzando un integrale di trasformazione di Fourier e una griglia composta da "n" punti della griglia. L'istruttore sottolinea la necessità di eseguire calcoli di densità per più valori "x" contemporaneamente. Una volta definite le griglie, viene introdotto un nuovo integrale che coinvolge una funzione denominata "gamma" e viene impiegata l'integrazione trapezoidale per approssimare l'integrale discreto. Per illustrare questo processo, il docente fornisce un esempio di esecuzione dell'integrazione trapezoidale per una funzione con una griglia equispaziata.

Il relatore approfondisce quindi il processo di configurazione dei parametri per definire la griglia per la trasformazione di Fourier. Questi parametri comprendono il numero di punti della griglia, il valore massimo di "u" e la relazione tra delta "x" e delta "u". Una volta stabiliti questi parametri, è possibile sostituire integrali e sommatorie, consentendo la derivazione di una funzione per ogni valore "x". La lezione include un'equazione che incorpora l'integrazione trapezoidale e funzioni caratteristiche valutate ai nodi al contorno del trapezio.

La rappresentazione dell'integrale e l'importanza dell'impiego della trasformazione rapida di Fourier (FFT) nel prezzo delle opzioni sono discusse in dettaglio. Il relatore spiega che definendo una funzione adatta per l'input in FFT, i professionisti possono sfruttare le capacità di rapida valutazione e implementazione già presenti nella maggior parte delle biblioteche. Il docente procede spiegando i passaggi coinvolti nel calcolo di questa trasformazione e come può essere utilizzata per calcolare gli integrali. Nel complesso, la conferenza sottolinea l'importanza della FFT nella finanza computazionale e la sua utilità nel prezzo delle opzioni.

Oltre agli argomenti sopra menzionati, la conferenza esplora vari aspetti relativi alla trasformazione di Fourier per il prezzo delle opzioni. Questi includono l'uso di tecniche di interpolazione per garantire calcoli accurati per un numero discreto di punti, la relazione tra la serie di Taylor e la funzione caratteristica, l'applicazione del metodo di espansione del coseno per funzioni pari e l'uso di domini troncati per approssimare la densità. La lezione affronta anche il recupero della densità, i risultati numerici ottenuti mediante l'espansione di Fourier e la rappresentazione dei prezzi sotto forma di matrici e vettori.

Durante la lezione, l'istruttore sottolinea l'implementazione pratica del metodo della trasformazione di Fourier, discute l'impatto di diversi parametri ed evidenzia i vantaggi ei limiti dell'approccio. Fornendo spiegazioni complete ed esperimenti numerici, la lezione fornisce agli studenti le conoscenze e gli strumenti necessari per applicare la trasformazione di Fourier per il prezzo delle opzioni in scenari reali.

Il docente procede a discutere il recupero della funzione di densità nella Trasformata di Fourier per il prezzo delle opzioni. Sottolineano l'importanza di selezionare un numero sufficientemente elevato di punti (indicati come "n") nella trasformazione per ottenere calcoli di densità ad alta precisione. Il docente introduce il numero complesso "i" per definire il dominio e il massimo, con "u_max" determinato dalla distribuzione. Inoltre, il docente spiega la necessità dell'interpolazione, in particolare utilizzando l'interpolazione cubica nei punti della griglia "x_i" per garantire un calcolo accurato della funzione di densità dell'output, anche per input che non giacciono sulla griglia.

Il relatore esplora ulteriormente i vantaggi dell'interpolazione e la sua rilevanza per il prezzo delle opzioni utilizzando la trasformazione di Fourier. Sebbene la trasformazione di Fourier sia vantaggiosa per griglie più grandi, l'interpolazione può essere preferita quando si ha a che fare con numeri più grandi, poiché è relativamente meno costosa dal punto di vista computazionale rispetto a FFT. Il relatore dimostra come funziona l'interpolazione attraverso esempi di codice, evidenziando che regolando i parametri diventa possibile calcolare le sensibilità e ottenere greche senza costi aggiuntivi. Questa caratteristica rende la tecnica di espansione del coseno ideale per la quotazione di derivati più esotici come le opzioni barriera e Bermuda.

Inoltre, il docente discute la relazione tra la serie di Taylor e la funzione caratteristica nella finanza computazionale. La conferenza mette in mostra la corrispondenza biunivoca tra la serie e la funzione caratteristica, consentendo relazioni dirette senza richiedere integrali aggiuntivi. Il docente descrive quindi il "metodo cos" per il prezzo delle opzioni, che impiega un'espansione del coseno di Fourier per rappresentare le funzioni pari intorno allo zero. Questo metodo comporta il calcolo di integrali e coefficienti, con la nota fondamentale che il primo termine dell'espansione dovrebbe essere sempre moltiplicato per metà.

La lezione approfondisce il processo di modifica del dominio di integrazione per la funzione "g" per ottenere un intervallo di supporto finito da "a" a "b". Il relatore spiega l'importanza della formula di Eulero nel semplificare l'espressione e mostra come la sostituzione di "u" con "k pi diviso per ba" porta a un'espressione più semplice che coinvolge la densità. Il dominio troncato è indicato da un simbolo di cappello e valori specifici per i parametri "a" e "b" vengono scelti in base al problema da risolvere. Il relatore sottolinea che questa è una tecnica di approssimazione e che le scelte euristiche sono coinvolte nella selezione dei valori di "a" e "b".

Inoltre, la conferenza esplora la relazione tra l'espansione di Fourier e il recupero della densità. Prendendo le parti reali di entrambi i membri dell'equazione, la lezione dimostra la formula di Eulero che permette di esprimere l'integrale della densità come parte reale della funzione caratteristica. Questo metodo elegante e veloce facilita la ricerca delle relazioni tra gli integrali della funzione obiettivo e la funzione caratteristica utilizzando la definizione della funzione caratteristica. Il metodo del costo mira a scoprire queste relazioni per calcolare i coefficienti di espansione e recuperare la densità. Sebbene il metodo introduca errori dalla sommatoria infinita e dal dominio di troncamento, questi errori sono facili da controllare.

La lezione si concentra quindi sulla sintesi dell'espansione del coseno di Fourier, che può raggiungere un'elevata precisione anche con un numero ridotto di termini. Viene condotto un esperimento numerico che coinvolge una normale funzione di densità di probabilità (PDF) per esaminare la generazione di errori in base al numero di termini, con misurazione del tempo inclusa. L'esperimento del codice è strutturato per generare densità utilizzando il metodo del coseno, definendo l'errore come la massima differenza assoluta tra la densità recuperata utilizzando il metodo del coseno e il PDF normale esatto. Il metodo del coseno richiede solo poche righe di codice per recuperare la densità utilizzando la funzione caratteristica, che è alla base del metodo.

Inoltre, il relatore discute i risultati numerici dell'espansione di Fourier, che può essere eseguita in modo efficiente utilizzando la notazione matriciale. L'errore diminuisce all'aumentare del numero di termini di espansione, con un errore di appena 10^-17 raggiunto con 64 termini. L'uso di un numero inferiore di termini può provocare oscillazioni o un adattamento più scarso. Il relatore osserva che parametri come il dominio e il numero di termini di espansione dovrebbero essere regolati con attenzione, specialmente per le distribuzioni con coda pesante. Inoltre, la conferenza evidenzia che la densità log-normale può anche essere modellata utilizzando la funzione caratteristica normale.

Andando avanti, il docente approfondisce il caso log-normale e spiega in che modo la sua densità differisce dalla distribuzione normale. A causa della distribuzione log-normale, in genere è richiesto un numero maggiore di termini di espansione. Il docente sottolinea l'importanza di scegliere un numero appropriato di termini per un tipo specifico di distribuzione e dominio.

La conferenza sottolinea che il metodo del costo è particolarmente utile per recuperare densità ed è comunemente impiegato per il pricing dei derivati, come le opzioni di tipo europeo che hanno un pagamento solo alla scadenza. Il docente procede spiegando come funziona il pricing, che implica l'integrazione del prodotto di una funzione di densità e payoff sotto la misura neutrale al rischio.

Man mano che la lezione procede, l'oratore discute opzioni più esotiche, in cui è possibile derivare una funzione di connettività e utilizzare i coseni. Viene introdotto il termine "densità di transizione", riferito alle distribuzioni che descrivono la transizione da un punto all'altro sull'asse del tempo. Il valore iniziale è dato in termini di distribuzione di una variabile casuale. La presentazione esplora ulteriormente il troncamento della densità, dove la densità è limitata a un intervallo specificato. Viene spiegato il metodo della quadratura gaussiana, che prevede l'integrazione di una sommatoria delle parti reali di una funzione caratteristica moltiplicata per un esponente.

La conferenza introduce il concetto di log asset price rettificato, che è definito come il logaritmo del titolo alla scadenza diviso per un coefficiente di scala. Viene presentata una rappresentazione alternativa del payoff e l'oratore nota che la scelta di "v" ha un impatto diretto sul coefficiente "h_n". Questo approccio può essere utilizzato per valutare i guadagni per più strike, fornendo un metodo conveniente per prezzare le opzioni a vari strike price contemporaneamente.

Successivamente, l'oratore approfondisce il processo di calcolo dell'integrale di una funzione di payoff moltiplicata per la densità utilizzando le funzioni esponenziale e coseno nella trasformazione di Fourier per il prezzo delle opzioni. Viene fornita una forma generica per i due integrali coinvolti e vengono selezionati diversi coefficienti per calcolare vari payoff. Il relatore sottolinea l'importanza di poter implementare questa tecnica per più strike, consentendo la determinazione del prezzo di tutti gli strike contemporaneamente, risparmiando tempo e riducendo le spese computazionali. Infine, la rappresentazione dei prezzi è presentata sotto forma di una matrice moltiplicata per un vettore.

Viene discussa la formula di implementazione per la trasformazione di Fourier nel prezzo delle opzioni, che coinvolge la vettorizzazione degli elementi e le manipolazioni della matrice. La lezione spiega il processo di prendere "k" come vettore e creare una matrice con "n_k" battute. Le parti reali sono calcolate per gestire numeri complessi. La funzione caratteristica è di grande importanza in quanto non dipende da "x" e svolge un ruolo chiave nel raggiungimento di implementazioni efficienti per colpi multipli. L'accuratezza e la convergenza dell'implementazione dipendono dal numero di termini e viene mostrato un confronto campione.

Inoltre, il relatore approfondisce il codice utilizzato per il metodo di trasformazione di Fourier nel prezzo delle opzioni e spiega le diverse variabili coinvolte. Introducono il concetto di un intervallo per i coefficienti "a" e "b", tipicamente mantenuto a 10 o 8 per i modelli di diffusione del salto. Il codice include un'espressione lambda per la funzione caratteristica, che è una funzione generica adattabile a diversi modelli. L'oratore sottolinea l'importanza della misurazione del tempo conducendo più iterazioni dello stesso esperimento e calcolando il tempo medio. Infine, illustrano il metodo del costo e come utilizza l'intervallo di integrazione per assumere una grande volatilità.

La lezione prosegue con una spiegazione del processo di definizione degli strike e calcolo dei coefficienti per il metodo della trasformata di Fourier per il prezzo delle opzioni. Il docente sottolinea che mentre l'ottimizzazione dei parametri del modello può portare a una migliore convergenza e richiedere meno termini per la valutazione, è generalmente sicuro attenersi ai parametri del modello standard. Descrivono in dettaglio le fasi di definizione di una matrice e di esecuzione della moltiplicazione di matrici per ottenere il prezzo di esercizio scontato, confrontando l'errore risultante con quello della soluzione esatta. La lezione evidenzia che l'errore dipende dal numero di termini e dall'intervallo di strike scelto.

Il relatore presenta quindi un confronto tra diversi metodi per il prezzo delle opzioni, tra cui il metodo Fast Fourier Transform (FFT) e il metodo Cosine. Spiegano che il metodo FFT è più adatto per un gran numero di punti della griglia, mentre il metodo del coseno è più efficiente per un numero minore di punti della griglia. Il docente dimostra il calcolo dei prezzi delle opzioni utilizzando entrambi i metodi e confronta i risultati.

Inoltre, la lezione copre l'applicazione dei metodi basati su Fourier in altre aree della finanza, come la gestione del rischio e l'ottimizzazione del portafoglio. Il docente spiega che i metodi basati su Fourier possono essere utilizzati per stimare misure di rischio come Value-at-Risk (VaR) e Conditional Value-at-Risk (CVaR). Combinando i metodi di Fourier con le tecniche di ottimizzazione, è possibile trovare allocazioni di portafoglio ottimali che minimizzino il rischio o massimizzino i rendimenti.

La conferenza si conclude riassumendo i punti principali discussi durante la presentazione. Le tecniche di trasformazione di Fourier forniscono un potente strumento per il prezzo delle opzioni e altre applicazioni finanziarie. Il metodo del coseno consente una determinazione del prezzo efficiente e accurata delle opzioni sfruttando la funzione caratteristica e l'espansione di Fourier. La scelta dei parametri, come il numero di termini e il dominio, influisce sull'accuratezza e sulla convergenza del metodo. Inoltre, i metodi basati su Fourier possono essere estesi a vari problemi finanziari oltre al prezzo delle opzioni.

Nel complesso, la conferenza fornisce una panoramica completa delle tecniche di trasformazione di Fourier nel prezzo delle opzioni, coprendo argomenti come il recupero della densità, l'interpolazione, il metodo cos, le distribuzioni log-normali, i colpi multipli, le considerazioni sull'implementazione e i confronti con altri metodi di prezzo. Le spiegazioni del docente e gli esempi di codice aiutano a illustrare l'applicazione pratica di queste tecniche in ambito finanziario e ne evidenziano i vantaggi in termini di accuratezza ed efficienza.

• 00:00:00 In questa sezione, apprendiamo la trasformazione di Fourier per il prezzo delle opzioni. La tecnica della Trasformata di Fourier viene utilizzata per calcolare la densità e le opzioni di prezzo efficiente per modelli che appartengono alla classe di un modello a diffusione fine. La tecnica prevede il calcolo di un integrale sull'asse reale, che può essere computazionalmente costoso. Tuttavia, utilizzando il lemma di inversione, possiamo ridurre il dominio per u e calcolare la parte reale dell'integrale, il che aiuta ad allontanarsi da calcoli costosi. Il blocco include una discussione sul miglioramento di questa rappresentazione utilizzando la trasformazione veloce di Fourier, rendendo l'implementazione molto più veloce ed efficiente. Infine, la sessione si conclude con un confronto tra il metodo della trasformazione di Fourier e il metodo del costo, insieme ai dettagli di implementazione di queste tecniche.
  
  
• 00:05:00 In questa sezione, il docente discute il primo passo per derivare un modo veloce di calcolare la densità per utilizzare la trasformazione veloce di Fourier per il prezzo delle opzioni. Il primo passaggio consiste nel dividere il dominio in due e prendere la parte reale, che è un'operazione economica. Inoltre, il docente discute la divisione di numeri complessi e l'assunzione del coniugato, che consente un calcolo più efficiente della funzione caratteristica. La lezione copre anche la costruzione di una griglia per ottenere la densità per ogni x, il che comporta la scelta di un certo dominio e la definizione dei confini.
  
  
• 00:10:00 In questa sezione della lezione, il professore spiega come calcolare la densità di x utilizzando un integrale di trasformazione di Fourier e una griglia di n punti della griglia. Chiariscono che il calcolo della densità deve essere eseguito per più x contemporaneamente. Una volta definite le griglie, definiscono un nuovo integrale da 0 a infinito di una funzione chiamata gamma e determinano l'integrazione trapezoidale dall'integrale discreto. Il professore fornisce un esempio per spiegare come eseguire l'integrazione trapezoidale per una funzione con una griglia equispaziata.
  
  
• 00:15:00 In questa sezione della conferenza, il relatore discute il processo di configurazione dei parametri per definire la griglia per la trasformazione di Fourier. Questi parametri includono il numero di punti della griglia, il valore massimo di u e una relazione tra delta x e delta u. Una volta definiti questi parametri, è possibile sostituire integrali e sommatorie e ottenere una funzione per ogni valore di x. L'oratore fornisce un'equazione che include un'integrazione trapezoidale e funzioni di carattere valutate nei nodi di confine del trapezio.
  
  
• 00:20:00 In questa sezione della conferenza, il relatore discute la rappresentazione dell'integrale e l'importanza dell'utilizzo della trasformazione veloce di Fourier (FFT) nel prezzo delle opzioni. Il relatore spiega che definendo una funzione che si adatta agli input per FFT, possiamo beneficiare della rapida valutazione e implementazione di FFT già disponibile nella maggior parte delle biblioteche. Il relatore prosegue poi spiegando i passaggi coinvolti nel calcolo di questa trasformazione e come può essere utilizzata per calcolare gli integrali. Nel complesso, la conferenza evidenzia la rilevanza della FFT nella finanza computazionale e la sua utilità per il prezzo delle opzioni.
  
  
• 00:25:00 In questa sezione, il docente discute la trasformazione di Fourier per il prezzo delle opzioni. Iniziano definendo la funzione caratteristica e la griglia che useremmo per la trasformazione di Fourier. Il docente rileva la necessità dell'interpolazione, poiché abbiamo un numero discreto di punti, ad esempio poche migliaia di punti, ma sono necessari milioni di punti per un funzionamento regolare. Notano che l'integrazione trapezoidale della funzione caratteristica aiuta a recuperare la densità, ma non è ancora vantaggiosa. Il docente spiega che è possibile ridurre il numero di valutazioni e operazioni richieste per la trasformata di Fourier discretizzata utilizzando la trasformata di Fourier veloce. Mostrano un grafico che confronta la riduzione delle operazioni all'aumentare della dimensionalità dei punti della griglia, dove la complessità ottenuta con la trasformazione veloce di Fourier è significativamente migliore.
  
  
• 00:30:00 In questa sezione, il docente spiega la Trasformazione di Fourier e il suo utilizzo nel prezzo delle opzioni. Si concentrano su un termine e definiscono la funzione correttiva della densità calcolata dalla funzione connettiva. Utilizzando la trasformazione veloce di Fourier, il docente sottolinea che il vantaggio maggiore è che i termini su entrambi i lati della diagonale nella matrice m sono in realtà gli stessi termini, e questo fatto può essere utilizzato per ridurre il numero di operazioni necessarie per il calcolo. Inoltre, la lezione approfondisce le proprietà della simmetria e somiglianza tra i termini nel contatore sul lato opposto della diagonale. La lezione fornisce una spiegazione dettagliata del termine di correzione che è essenziale per rappresentare il problema in zk.
  
  
• 00:35:00 In questa sezione, l'istruttore discute l'applicazione della Fast Fourier Transformation (FFT) nella finanza computazionale. L'algoritmo FFT aiuta a ridurre il numero di calcoli necessari utilizzando le proprietà di somiglianza dei termini nelle metriche. Tuttavia, per utilizzare FFT, la formulazione deve essere in una forma speciale che l'algoritmo possa digerire. L'istruttore sottolinea che diverse tecniche di integrazione numerica possono essere utilizzate per recuperare la densità, ma la formulazione deve essere tale da poter applicare la FFT. Infine, l'istruttore fornisce un esperimento che mostra la codifica di FFT per una distribuzione gaussiana e come diversi parametri influenzano il recupero della densità.
  
  
• 00:40:00 In questa sezione, il docente discute i dettagli riguardanti la funzione di densità di recupero nella Trasformata di Fourier per il prezzo delle opzioni. Il numero di punti utilizzati nella trasformazione è n, che deve essere sufficientemente grande da ottenere un'elevata densità di precisione. Il docente definisce i come un numero complesso utilizzato per definire il dominio e il massimo, con u max determinato dalla distribuzione. Il docente prosegue spiegando come gestire l'interpolazione, utilizzando un'interpolazione cubica alla griglia xi su punti fxi. Questa interpolazione è necessaria per garantire che la funzione di densità dell'output sia calcolata accuratamente anche per gli input che non sono nella griglia.
  
  
• 00:45:00 In questa sezione del video, il relatore discute i vantaggi dell'interpolazione e come si collega al prezzo delle opzioni utilizzando la trasformazione di Fourier. L'oratore afferma che mentre la trasformazione di Fourier è vantaggiosa per scatole di grandi dimensioni, l'interpolazione può essere preferita per numeri più grandi in quanto è relativamente più economica di FFT. Il relatore dimostra anche come funziona l'interpolazione tramite codice e spiega che modificando i parametri è possibile calcolare le sensibilità e ottenere greche senza costi aggiuntivi, rendendo la tecnica dell'espansione del coseno ideale per prezzare derivati più esotici come opzioni barriera e bermuda.
  
  
• 00:50:00 In questa sezione, il docente discute la relazione tra la serie di Taylor e la funzione caratteristica utilizzata nella finanza computazionale. La serie ha una corrispondenza biunivoca con la funzione caratteristica, consentendo relazioni dirette senza integrali aggiuntivi. Il docente prosegue poi descrivendo il metodo cos per il prezzo delle opzioni, che utilizza un'espansione del coseno di Fourier per rappresentare le funzioni pari intorno allo zero. Il metodo prevede il calcolo di integrali e coefficienti, ed è importante tenere presente che il primo termine dell'espansione deve essere sempre moltiplicato per metà.
  
  
• 00:55:00 In questa sezione, il relatore discute la necessità di modificare il dominio di integrazione per la funzione g per avere un intervallo di supporto finito da a a b. Spiegano l'importanza della formula di Eulero nel semplificare l'espressione e mostrano come la sostituzione di u con k pi diviso ba porta a un'espressione più semplice che coinvolge la densità. Il dominio troncato è indicato da un cappello e vengono scelti valori specifici per i parametri a e b a seconda del problema da risolvere. L'oratore sottolinea che questa è una tecnica di approssimazione e che ci sono scelte euristiche coinvolte nella selezione dei valori di a e b.
  
  
• 01:00:00 In questa sezione, la conferenza esplora la relazione tra l'espansione di Fourier e il recupero della densità. Prendendo le parti reali di entrambi i membri dell'equazione, la lezione mostra che abbiamo una formula di Eulero che ci permette di esprimere l'integrale della densità come parte reale della funzione caratteristica. Questo è un modo molto elegante e veloce per trovare la relazione tra gli integrali della funzione target e la funzione caratteristica utilizzando la definizione della funzione valuta. Il metodo del costo riguarda la ricerca di queste belle relazioni tra gli integrali della funzione obiettivo e la funzione caratteristica per calcolare i coefficienti di espansione e il recupero della densità. Il metodo introduce errori che derivano dalla sommatoria infinita e dal dominio di troncamento, ma questi errori sono facili da controllare.
  
  
• 01:05:00 In questa sezione della lezione sulla trasformazione di Fourier per il prezzo delle opzioni, l'attenzione è rivolta al riepilogo dell'espansione del coseno di Fourier. L'espansione può raggiungere un'elevata precisione anche per pochi termini presenti, come mostrato in un esperimento numerico che coinvolge un normale PDF, in cui la generazione dell'errore viene verificata in base al numero di termini e viene misurato il tempo. L'esperimento del codice è strutturato per generare densità utilizzando il metodo del coseno e definendo l'errore come la massima differenza assoluta di densità, che viene recuperata utilizzando il metodo del coseno e confrontata con il PDF normale esatto. Il metodo del coseno richiede solo poche righe di codice per recuperare la densità utilizzando la funzione caratteristica, che è il cuore del metodo.
  
  
• 01:10:00 In questa sezione, il relatore discute i risultati numerici dell'espansione di Fourier, che può essere eseguita in modo efficiente con la notazione matriciale. L'errore diminuisce all'aumentare del numero di termini di espansione, con un errore di 10^-17 ottenuto con 64 termini. Un numero inferiore di termini può provocare oscillazioni o un adattamento più scarso. Il relatore osserva che parametri come il dominio e il numero di termini di espansione dovrebbero essere regolati, specialmente per le distribuzioni con coda pesante. La densità normale logaritmica può anche essere modellata utilizzando la funzione caratteristica normale.
  
  
• 01:15:00 In questa sezione, il docente discute il caso log-normale e come la sua densità differisce dalla distribuzione normale. A causa della distribuzione log-normale, è necessario un numero maggiore di termini di espansione. Il docente incoraggia a mantenere il numero di termini per un tipo specifico di distribuzione e dominio. Il metodo del costo è potente per recuperare densità ed è utilizzato principalmente per il prezzo dei derivati, come le opzioni di tipo europeo che hanno un pagamento solo alla scadenza. Il docente spiega come funziona il pricing, che implica l'integrazione del prodotto di una funzione di densità e payoff sotto la misura neutrale al rischio.
  
  
• 01:20:00 In questa sezione, il video discute opzioni più esotiche, in cui è possibile derivare una funzione di connettività e utilizzare cosmetici. Il termine distribuzioni sono densità di transizione, il che significa che quando si calcola la densità di transizione da un punto sull'asse del tempo a un altro, il valore iniziale è dato in termini di distribuzione di una variabile casuale. La presentazione prosegue poi discutendo il troncamento della densità, in cui la densità viene troncata a un intervallo specificato, e il metodo della quadratura gaussiana, che comporta l'integrazione di una sommatoria di parti reali di una funzione caratteristica moltiplicata per un esponente. Il prezzo dell'asset logaritmico rettificato è definito come il logaritmo del titolo alla scadenza diviso per un coefficiente di scala e viene presentata una rappresentazione alternativa del payoff. Il video rileva che la scelta di v ha un impatto diretto sul coefficiente hn e che questo approccio può essere utilizzato per valutare i guadagni per più colpi.
  
  
• 01:25:00 In questa sezione, il relatore discute il processo di calcolo dell'integrale su una funzione payoff moltiplicata per la densità attraverso l'uso delle funzioni esponenziale e coseno nella trasformazione di Fourier per il prezzo delle opzioni. Il relatore prosegue spiegando una forma generica per due integrali coinvolti e come la selezione di diversi coefficienti consenta di calcolare vari payoff. Il relatore sottolinea l'importanza di poter implementare questa tecnica per più strike, consentendo di prezzare tutti gli strike contemporaneamente, risparmiando così tempo e riducendo le spese. Infine, il relatore spiega la rappresentazione dei prezzi sotto forma di una matrice moltiplicata per un vettore.
  
  
• 01:30:00 In questa sezione della lezione viene discussa la formula di implementazione della trasformazione di Fourier per il prezzo delle opzioni. Implica la vettorizzazione di elementi e manipolazioni di matrici. L'implementazione comporta l'assunzione di k come vettore e la creazione di una matrice con nk strike. La formula prevede il calcolo di parti reali per gestire i numeri complessi. La funzione caratteristica è di grande importanza in quanto non dipende da x e svolge un ruolo chiave nel raggiungimento di implementazioni efficienti per più colpi. L'accuratezza e la convergenza dell'implementazione dipendono dal numero di termini e viene mostrato un confronto campione.
  
  
• 01:35:00 In questa sezione, il relatore discute il codice utilizzato per il metodo della Trasformata di Fourier per il prezzo delle opzioni e spiega le diverse variabili coinvolte. Introducono il concetto di intervallo per i coefficienti aeb e spiegano come viene tipicamente mantenuto a 10 o 8 per i modelli di diffusione a salti. Il codice include anche un'espressione lambda per la funzione caratteristica, che è una funzione generica che può funzionare per diversi modelli. Il relatore sottolinea l'importanza di misurare il tempo conducendo più iterazioni dello stesso esperimento e prendendo il tempo medio per tutti loro. Infine, illustrano il metodo del costo e come utilizza l'intervallo di integrazione per assumere una grande volatilità.
  
  
• 01:40:00 In questa sezione, il relatore spiega il processo di definizione degli strike e di calcolo dei coefficienti per il metodo della trasformata di Fourier per il prezzo delle opzioni. Il relatore osserva che mentre la messa a punto dei parametri del modello può portare a una migliore convergenza e a un minor numero di termini necessari per la valutazione, è generalmente sicuro attenersi ai parametri del modello standard. Il relatore descrive quindi in dettaglio le fasi di definizione di una matrice e di esecuzione della moltiplicazione di matrici per ottenere il prezzo di esercizio scontato, con l'errore risultante confrontato con quello del metodo dei buchi neri. Inoltre, l'oratore dimostra come l'introduzione di colpi aggiuntivi possa portare a una funzione più fluida e rendere più facile la calibrazione del modello a colpi multipli.