Commercio quantitativo - pagina 14
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Finanza computazionale: Lezione 9/14 (Simulazione Monte Carlo)
Finanza computazionale: Lezione 9/14 (Simulazione Monte Carlo)
La conferenza copre diversi argomenti relativi alla simulazione Monte Carlo e all'integrazione nella finanza computazionale, fornendo approfondimenti su diversi approcci e tecniche.
Il docente inizia introducendo problemi di integrazione e dimostrando come calcolare gli integrali utilizzando il campionamento Monte Carlo. Spiegano due approcci: l'approccio classico per l'integrazione e l'integrazione basata sul valore atteso. Attraverso dimostrazioni di programmazione in Python, il docente mostra come analizzare e rendere più efficienti le simulazioni. Discutono l'impatto dell'uniformità sulla convergenza e sui diversi tipi di convergenza.
Inoltre, la lezione copre due importanti tecniche di discretizzazione, vale a dire Eulero e Milstein, e spiega come controllare l'errore in base al passo temporale nella simulazione. Il docente sottolinea i principi e la storia della simulazione Monte Carlo, utilizzata in vari campi da quasi 90 anni. Ha guadagnato popolarità tra i fisici negli anni '30, specialmente durante il Progetto Manhattan.
Viene discussa l'importanza di calcolare il valore atteso di un payoff futuro nella finanza computazionale. Ciò comporta l'integrazione sull'asse reale utilizzando la densità dello stock, considerando tassi di interesse costanti o dipendenti dal tempo. L'integrazione Monte Carlo, associata al campionamento e alla teoria della probabilità, viene introdotta come una tecnica che fornisce risultati variabili a ogni simulazione. La lezione sottolinea la sua applicazione a problemi altamente dimensionali e la capacità di controllare la varianza della distribuzione degli errori regolando le impostazioni nella simulazione. Il docente discute anche i metodi per migliorare il campionamento e la simulazione con Monte Carlo.
Viene spiegato un metodo specifico per la stima degli integrali mediante la simulazione Monte Carlo. Questo metodo prevede il campionamento uniforme dei punti in un'area rettangolare e il conteggio della proporzione di campioni sotto la curva per stimare l'integrale. Sebbene non sia comunemente usato in finanza, questo approccio può essere utile per problemi ad alta dimensione. Il docente sottolinea l'importanza di comprendere la funzione che viene integrata per catturare in modo efficiente l'area di interesse.
La conferenza approfondisce anche i limiti e le sfide della simulazione Monte Carlo in finanza. Sebbene fornisca stime approssimative, i risultati possono essere altamente imprecisi, in particolare per simulazioni complesse. Il docente spiega che l'errore atteso nelle simulazioni Monte Carlo diminuisce della radice quadrata del numero di simulazioni, portando all'intensità computazionale. La conferenza esplora ulteriormente la relazione tra l'approccio integrale e quello delle aspettative, mostrando un esempio di come sono collegati. In finanza, l'approccio delle aspettative è generalmente considerato più efficiente e accurato rispetto alla tradizionale simulazione Monte Carlo.
La lezione copre la legge dei grandi numeri e la sua relazione con variabili casuali indipendenti. Vengono discussi la stima della varianza e il calcolo dell'aspettativa per determinare la media. Viene presentato un confronto tra "l'approccio ingenuo" e l'approccio basato sulle aspettative, con quest'ultimo che si dimostra significativamente più accurato anche con meno campioni. Il docente mostra il codice per eseguire questa simulazione, sottolineando la necessità di specificare due punti per l'approccio per integrare la funzione.
Vengono discussi diversi esempi di integrali stocastici incontrati in finanza, evidenziando la sommatoria del moto browniano su passi temporali, la sommatoria del moto browniano su incrementi e la moltiplicazione del moto browniano per incrementi. Viene presentato un caso più concreto, in cui una funzione g(t) è integrata da 0 a T con una funzione g(s)dW(s). La lezione spiega come dividere l'intervallo di integrazione in sottointervalli più piccoli e utilizzare la simulazione Monte Carlo per approssimare l'integrale. L'importanza della dimensione del campione e dell'intervallo di valori è sottolineata per ottenere risultati accurati.
Il relatore spiega come risolvere numericamente un integrale deterministico attraverso un processo di partizione e approssimazione. Introducono l'integrale di Ito e spiegano la valutazione della funzione GT all'inizio dell'intervallo, con l'integrale scelto al bordo sinistro. Utilizzando un esempio con una funzione GT di T al quadrato, il docente dimostra come ottenere l'aspettativa e la varianza con la proprietà di isometria di Ito. Viene fornito codice Python per simulare il calcolo e vengono spiegati i passaggi coinvolti.
Vengono discussi la generazione del moto browniano e il suo utilizzo nella costruzione di un processo e nella definizione di un integrale. La lezione illustra il processo di generazione di una distribuzione e il suo utilizzo per costruire il processo di moto browniano. Viene dimostrato l'impatto della rimozione della condizione di ridimensionamento sulla distribuzione e sulla varianza. Il docente spiega anche un trucco per risolvere gli integrali che coinvolgono il moto browniano applicando il Lemma di Ito. Infine, la lezione mostra come considerare la funzione x al quadrato per calcolare l'integrale.
Viene discussa l'applicazione del Lemma di Ito per ottenere la dinamica di una funzione pari a tw^2t. Applicando il Lemma di Ito a x^2, la lezione rivela un termine che viene calcolato attraverso l'integrazione, risultando in una distribuzione pi^2 invece di una distribuzione normale. Il relatore sottolinea l'importanza dell'esperienza nell'indovinare quale tipo di funzione applicare per ottenere il risultato desiderato. Il codice viene modificato per passare da un integrale all'altro e si suggerisce di aumentare il numero di campioni per migliorare il risultato.
Vengono discusse le simulazioni Monte Carlo, le routine numeriche e il significato di generatori di numeri casuali di buona qualità. La conferenza spiega il Lemma di Ito e offre un approccio euristico per capire perché dwt dwt è uguale a zero. Si osserva che la riduzione della dimensione della griglia porta a una convergenza più rapida della varianza rispetto all'aspettativa. Viene condotto un esperimento per dimostrare che l'aspettativa va a zero a un ritmo più lento mentre la varianza si avvicina quasi allo zero. Il relatore fornisce un'intuizione sul motivo per cui dwt dwt è uguale a zero, pur riconoscendo che la prova teorica di questa relazione è piuttosto complicata.
La conferenza approfondisce la convergenza di due funzioni simili, g1 e g2, e indaga le loro aspettative quando campionate da un moto browniano. Queste funzioni hanno limiti di 0 quando x si avvicina a meno infinito e 1 quando x si avvicina a più infinito. Il docente calcola l'errore per un numero crescente di campioni simulati e presenta un grafico che confronta l'errore con il numero di campioni. La prima funzione, con una curva non uniforme e un ampio intervallo di oscillazione, è in contrasto con la seconda funzione, che ha una curva uniforme e converge più velocemente.
La convergenza è evidenziata come una considerazione cruciale quando si utilizza la simulazione Monte Carlo nella finanza. La conferenza spiega la differenza tra convergenza debole e forte, dove la convergenza forte è più potente di quella debole. Gli errori possono verificarsi nella convergenza quando si ha a che fare con funzioni non fluide e payoff di tipo digitale, portando a risultati di valutazione sostanzialmente diversi. Comprendere le differenze e le implicazioni di entrambi i tipi di convergenza è fondamentale per garantire simulazioni e valutazioni finanziarie accurate.
La lezione discute la convergenza debole e forte nel contesto delle simulazioni Monte Carlo e degli algoritmi di prezzo. Mentre la convergenza debole corrisponde ai momenti a livello di aspettativa, è necessaria una forte convergenza per accurati payoff dipendenti dal percorso. Un algoritmo di prezzo Monte Carlo completo comporta la definizione di una griglia dal momento presente alla data di pagamento del contratto, un'equazione di prezzo e un driver stocastico per l'asset. Le simulazioni Monte Carlo sono necessarie quando le valutazioni in forma chiusa non sono possibili a causa della complessità del processo di stock. La griglia è tipicamente equidistante, ma in alcuni casi possono essere impiegate strategie alternative.
Il professore sottolinea l'accuratezza e i vincoli temporali della simulazione Monte Carlo. Si noti che mentre l'aumento del numero di passi temporali migliora la precisione, aumenta anche il tempo di simulazione. Tecniche avanzate o soluzioni a forma chiusa che consentono passaggi Monte Carlo più grandi possono essere utili per ottenere sia precisione che velocità. La conferenza procede quindi a definire le griglie, l'asset e il payoff per un'opzione di tipo europeo. Lo stato finale dell'opzione dipende dalla tempistica delle osservazioni. La lezione spiega come calcolare il prezzo dell'opzione prendendo l'aspettativa sotto la misura della coda e scontandola, calcolando anche l'errore standard per misurare la variabilità dei risultati ottenuti.
Il concetto di errore standard è discusso nel contesto della simulazione Monte Carlo. La conferenza spiega che l'aspettativa può essere calcolata utilizzando la legge forte dei grandi numeri e la varianza della media può essere calcolata assumendo che i campioni siano estratti indipendentemente. L'errore standard, che misura la variabilità dell'aspettativa dato un certo numero di cammini, può essere determinato dividendo la varianza per la radice quadrata del numero di cammini. All'aumentare del numero di campioni, l'errore diminuisce. In genere, l'aumento del numero di campioni di un fattore quattro ridurrà l'errore di un fattore due. Un metodo classico per simulare equazioni differenziali stocastiche è attraverso la discretizzazione di Eulero, che è semplice ma ha i suoi limiti.
Il docente discute l'uso delle equazioni differenziali stocastiche e la discretizzazione di Eulero nelle simulazioni Monte Carlo. Il processo prevede la definizione di una griglia, l'esecuzione di una simulazione e la misurazione della differenza tra la soluzione esatta e la simulazione attraverso l'errore assoluto. È essenziale garantire che la casualità delle variabili sia nella versione esatta che in quella discretizzata sia la stessa per garantire la comparabilità. La conferenza sottolinea inoltre l'importanza della vettorizzazione nelle simulazioni Monte Carlo, in quanto è più efficiente rispetto all'utilizzo di doppi loop per ogni passo temporale e percorso. Tuttavia, è importante notare che mentre questo approccio semplifica il processo, presenta limitazioni in termini di precisione e velocità.
Viene esaminata la soluzione esatta per il moto browniano con un termine di deriva e un termine di volatilità (r e sigma), utilizzando il moto browniano generato nella rappresentazione esatta e lo stesso moto utilizzato nell'approssimazione. La conferenza confronta l'errore assoluto e l'errore medio nella convergenza debole, evidenziando che la convergenza debole è sufficiente per valutare un payoff di tipo europeo, ma potrebbe non essere sufficiente per i payoff dipendenti dal percorso. Vengono mostrati grafici per illustrare i percorsi generati per la discretizzazione di Eulero rispetto alla soluzione esatta, dove si possono osservare differenze tra i due per alcuni percorsi. La conferenza si conclude con un confronto tra errori forti e deboli.
Il relatore discute l'implementazione delle simulazioni Monte Carlo utilizzando il codice. Spiegano che per quantificare l'errore è necessario utilizzare una misura dell'errore, come discusso in precedenza nella lezione. Il codice genera percorsi e confronta i valori esatti con l'approssimazione utilizzando la simulazione multicolore. Gli output sono percorsi temporali per lo stock e i valori esatti. Il relatore sottolinea l'importanza di generare gli stessi moti browniani sia per l'approssimazione che per la soluzione esatta per confrontarli a livello di errore. Per misurare gli errori di convergenza debole e forte, definiscono un intervallo del numero di passi ed eseguono simulazioni Monte Carlo per ogni passo. Il codice genera due tipi di errori: errore debole e errore forte.
Il docente discute il processo di simulazione coinvolto nel metodo Monte Carlo e come può richiedere molto tempo perché la simulazione deve essere ripetuta molte volte. I risultati sono mostrati attraverso grafici di convergenza debole e forte, dove l'errore di convergenza debole è rappresentato dalla linea blu a crescita lenta, mentre l'errore di convergenza forte segue una radice quadrata della forma delta T, confermando l'analisi. Il docente spiega che l'errore può essere notevolmente ridotto attraverso la tecnica di discretizzazione di Milstein, che deriva termini aggiuntivi applicando l'espansione di Taylor. Sebbene richieda più lavoro per arrivare alla formula finale, lo schema di Milstein richiede la derivata del termine di volatilità, che non è sempre disponibile analiticamente.
Il relatore spiega l'uso della simulazione Monte Carlo nella finanza computazionale, in particolare nel moto browniano geometrico. Dimostrano come calcolare il termine di volatilità nel senso della distribuzione e confrontarlo con lo schema di Eulero. Sebbene la simulazione Monte Carlo abbia un tasso di convergenza più rapido rispetto al metodo di Eulero, può essere difficile derivare la derivata in modelli che coinvolgono più dimensioni, poiché richiede calcoli computazionali aggiuntivi. Inoltre, il relatore confronta l'errore assoluto nei sensi debole e forte tra i due schemi, evidenziando che l'errore forte di Montecarlo è lineare in delta t, mentre l'errore debole di Eulero è dello stesso ordine. Infine, forniscono un'implementazione in codice della simulazione Monte Carlo per la generazione di percorsi nel moto browniano geometrico e l'analisi della sua forte convergenza.
Il relatore discute l'impatto di diverse tecniche di discretizzazione sulla convergenza usando l'esempio del moto di Black-Scholes o moto browniano geometrico. L'analisi degli schemi di Eulero e Milstein serve come illustrazione dell'impatto delle diverse tecniche di discretizzazione. L'oratore confronta gli errori tra gli schemi di Milstein ed Eulero, mostrando che l'errore dello schema di Milstein è molto inferiore a quello di Eulero, anche se potrebbe non essere sempre applicabile. Il vantaggio di diversi schemi potrebbe non essere evidente guardando i risultati finali, ma considerando il costo computazionale della simulazione, il tempo diventa cruciale. Pertanto, l'utilizzo di grandi passi temporali sarebbe essenziale se vogliamo eseguire simulazioni veloci di Monte Carlo.
Il docente procede quindi a discutere il ruolo dei generatori di numeri casuali (RNG) nelle simulazioni Monte Carlo. Sottolineano l'importanza di utilizzare RNG di buona qualità per garantire risultati accurati e affidabili. Il docente menziona che i generatori di numeri pseudo-casuali (PRNG) sono comunemente usati nelle simulazioni e spiega come generano sequenze di numeri che si avvicinano alla casualità. Sottolineano inoltre la necessità di riproducibilità nelle simulazioni utilizzando un valore seme fisso per l'RNG. Successivamente, il docente discute il concetto di variate antitetiche, che è una tecnica di riduzione della varianza utilizzata nelle simulazioni Monte Carlo. L'idea alla base delle variabili antitetiche è quella di generare coppie di variabili casuali che hanno effetti opposti sulla quantità di interesse. Facendo la media dei risultati ottenuti dalle variate originali e dalle loro controparti antitetiche, la varianza della stima può essere ridotta. Questa tecnica è particolarmente utile quando si ha a che fare con distribuzioni simmetriche.
La conferenza introduce quindi il concetto di variabili di controllo come un'altra tecnica di riduzione della varianza. Le variabili di controllo comportano l'introduzione di una funzione nota nel processo di simulazione correlata alla quantità di interesse. Sottraendo la stima ottenuta dalla funzione nota dalla stima ottenuta dalla funzione target, la varianza della stima può essere ridotta. Il docente fornisce esempi per illustrare come le variabili di controllo possono essere applicate nella pratica. Oltre alle tecniche di riduzione della varianza, il docente discute il concetto di campionamento stratificato. Il campionamento stratificato comporta la divisione dello spazio campionario in strati e il campionamento da ogni strato separatamente. Questo approccio garantisce che ogni strato sia rappresentato nel campione, portando a stime più accurate. La lezione spiega la procedura per implementare il campionamento stratificato e ne evidenzia i vantaggi rispetto al semplice campionamento casuale.
Infine, il docente esplora il concetto di campionamento per importanza. Il campionamento dell'importanza è una tecnica utilizzata per stimare la probabilità di eventi rari assegnando probabilità più elevate ai campioni che hanno maggiori probabilità di produrre l'evento desiderato. La conferenza spiega come il campionamento dell'importanza può migliorare l'efficienza delle simulazioni Monte Carlo per la stima di eventi rari. Il docente fornisce esempi e discute l'importanza di scegliere una distribuzione di campionamento appropriata per ottenere risultati accurati.
La conferenza copre una vasta gamma di argomenti relativi alle simulazioni Monte Carlo, inclusi problemi di integrazione, calcolo di integrali utilizzando il campionamento Monte Carlo, dimostrazioni di programmazione, analisi della convergenza, tecniche di discretizzazione, principi e storia della simulazione Monte Carlo, applicazione nella finanza computazionale, riduzione della varianza tecniche e campionamento dell'importanza. Il docente fornisce approfondimenti sulla teoria e l'implementazione pratica delle simulazioni Monte Carlo e ne evidenzia la rilevanza in vari campi.
Finanza computazionale: lezione 10/14 (Simulazione Monte Carlo del modello Heston)
Finanza computazionale: lezione 10/14 (Simulazione Monte Carlo del modello Heston)
La lezione si concentra sull'utilizzo della simulazione Monte Carlo per la determinazione del prezzo dei derivati, in particolare delle opzioni europee, utilizzando l'impegnativo modello di Heston. Inizia con un esercizio di riscaldamento in cui le opzioni europee e digitali vengono quotate utilizzando Monte Carlo e il semplice modello di Black-Scholes. Viene discussa la simulazione del processo di Cox-Ingersoll-Ross (CIR), che modella la varianza nel modello di Heston, sottolineando la necessità di un campionamento accurato da questa distribuzione. Il docente dimostra l'esatta simulazione del modello CIR, evidenziandone i vantaggi nella generazione di campioni accurati.
Successivamente, il docente introduce il concetto di simulazione quasi esatta, che consente passi temporali più ampi e maggiore accuratezza rispetto alla discretizzazione di Eulero. Il modello di Heston viene simulato utilizzando entrambi gli schemi di Eulero e Milstein ei risultati vengono confrontati. Si noti che la debole convergenza è importante per i payoff di tipo europeo, mentre la forte convergenza è importante per i payoff dipendenti dal percorso. La regolazione del numero di passaggi o percorsi è necessaria a seconda del tipo di payoff e della qualità desiderata dei risultati, considerando i vincoli di tempo computazionale nelle applicazioni del mondo reale.
Viene discusso il tempo di calcolo richiesto per le valutazioni e viene presentato un confronto di codici tra gli schemi di discretizzazione di Eulero e Milstein. Il docente consiglia sull'ottimizzazione del codice per gli ambienti di produzione, sottolineando che l'archiviazione di interi percorsi potrebbe non essere necessaria per la valutazione del payoff che richiede solo il valore dello stock finale. La lezione fornisce anche la soluzione esatta come implementazione semplificata del modello Black-Scholes.
Viene spiegato il prezzo delle opzioni digitali o cash-or-nothing utilizzando la simulazione Monte Carlo, evidenziando le differenze nel calcolo del payoff rispetto alle opzioni europee. Diagnostica e risultati sono presentati per confrontare gli approcci per entrambi i tipi di opzioni. La lezione riconosce i limiti delle simulazioni Monte Carlo per le opzioni con payoff dipendenti dal terminale, dove non è presente una forte convergenza. Viene sottolineata la natura generica del codice, rendendolo applicabile ad altri modelli come il modello Heston.
La conferenza approfondisce le condizioni richieste affinché il modello di Heston si comporti bene e discute come le tecniche di discretizzazione possono influenzare queste condizioni. L'impatto delle variazioni del parametro di volatilità sul comportamento del modello è dimostrato attraverso grafici, sottolineando che il processo non dovrebbe diventare negativo. Vengono anche evidenziati i limiti della discretizzazione di Eulero nel mantenere queste condizioni. Viene discussa la probabilità di realizzazioni negative nella successiva iterazione del modello di Heston con simulazione Monte Carlo. La probabilità di realizzazioni negative viene calcolata in base alla relazione tra determinati parametri e viene sottolineata l'importanza di allineare i percorsi Monte Carlo con il modello per evitare significative differenze di prezzo. Vengono discussi due approcci per la gestione dei valori negativi nella simulazione del modello di Heston: il troncamento e lo schema di Eulero riflettente. Vengono confrontati i pro ei contro di ciascun approccio e viene menzionato l'impatto di passaggi temporali più piccoli sulla riduzione del bias, sebbene a un costo computazionale più elevato.
La lezione esplora l'uso della simulazione esatta per il processo CIR nel modello Heston, consentendo il campionamento direttamente dalla distribuzione chi-quadrato non centrale. Questo approccio evita la necessità di piccoli passaggi temporali e consente il campionamento in momenti specifici di interesse. Viene descritto il codice di calcolo per la simulazione, sottolineandone la semplicità e l'ottimalità per la generazione dei campioni. La lezione approfondisce l'integrazione del processo del modello di Heston sia per i valori X che per la varianza, evidenziando la semplificazione ottenuta attraverso la sostituzione. Viene sottolineata l'importanza di un corretto ordinamento dei processi nelle simulazioni multidimensionali, insieme alla raccomandazione di utilizzare passi temporali ampi per una più facile integrazione. La conferenza affronta l'importanza delle simulazioni di grandi intervalli temporali per le opzioni di prezzo in date specifiche, con l'obiettivo di ridurre i tempi di calcolo mantenendo la qualità. Si consigliano simulazioni esatte utilizzando il campionamento dalla distribuzione chi-quadrato non centrale, senza introdurre ulteriori approssimazioni. La conferenza discute anche l'impatto del delta t sull'accuratezza della simulazione e suggerisce di indagare la sua influenza sui risultati.
Viene discusso il concetto di errore nella finanza computazionale, con la lezione che presenta un esperimento numerico che analizza le prestazioni della simulazione quasi esatta del modello di Heston. La conferenza spiega che semplificando gli integrali e utilizzando la simulazione quasi esatta del processo CIR, la simulazione diventa deterministica piuttosto che stocastica. Il docente conduce un esperimento numerico per valutare le prestazioni di questo schema semplificato nella simulazione del modello di Heston.
La conferenza esplora ulteriormente il trade-off tra lo sforzo computazionale e il piccolo errore introdotto nel quadro della finanza computazionale. Il docente sottolinea la necessità di calibrare il modello ai dati di mercato, poiché la condizione di Feller per i processi di volatilità spesso non è soddisfatta nella pratica. La lezione rileva che i coefficienti di correlazione per il modello di Heston sono tipicamente fortemente negativi, potenzialmente a causa di considerazioni sullo schema numerico.
Il docente discute l'uso della simulazione Monte Carlo per il pricing di derivati esotici e sottolinea l'importanza di calibrare il modello su strumenti liquidi. L'accuratezza del pricing è assicurata simulando i percorsi Monte Carlo utilizzando i parametri ottenuti dalla calibrazione del modello e considerando gli strumenti di copertura relativi al derivato. Il docente sottolinea la superiorità della simulazione quasi esatta sulla discretizzazione di Eulero, anche con meno passi temporali, e spiega che la principale fonte di errore di Eulero risiede nella discretizzazione problematica del processo di varianza sotto parametri estremi o violazioni della condizione di Feller.
L'accuratezza della discretizzazione di Eulero nel modello di Heston viene esplorata attraverso esperimenti con diverse opzioni, comprese le opzioni deep in-the-money, out-of-the-money e at-the-money. La lezione presenta il codice utilizzato nell'esperimento, concentrandosi sulla discretizzazione di Eulero e sulla simulazione quasi esatta, che prevede il campionamento CIR e la simulazione del processo log stock utilizzando il parametro di non centralità.
Il docente discute le impostazioni e le configurazioni per le simulazioni per valutare le opzioni europee utilizzando sia la discretizzazione di Eulero che la simulazione quasi esatta. La simulazione esatta del processo CIR, la correlazione dei moti browniani e la trasformazione esponenziale sono parti integranti della simulazione. Viene dimostrato il prezzo delle opzioni utilizzando una funzione generica, mostrando l'impatto di variabili come il prezzo di esercizio e l'intervallo temporale sull'accuratezza delle simulazioni. La conferenza si conclude evidenziando che la simulazione quasi esatta raggiunge un'elevata accuratezza con meno passi temporali rispetto allo schema di Eulero.
La lezione copre ampiamente l'uso della simulazione Monte Carlo per la determinazione del prezzo dei derivati nel modello di Heston. Esplora la simulazione del processo CIR, discute le sfide e le insidie e confronta diversi schemi di discretizzazione. La conferenza sottolinea i vantaggi della simulazione quasi esatta, evidenzia l'importanza della calibrazione e dell'accuratezza del modello e fornisce approfondimenti pratici ed esempi di codice per l'implementazione delle simulazioni Monte Carlo nella finanza computazionale.
Finanza computazionale: Lezione 11/14 (Hedging e Greche Monte Carlo)
Finanza computazionale: Lezione 11/14 (Hedging e Greche Monte Carlo)
Nella conferenza, il concetto di copertura è sottolineato come altrettanto importante per la determinazione del prezzo dei derivati in finanza. Il docente approfondisce vari calcoli di sensibilità per determinare l'impatto del prezzo di un derivato su parametri specifici e come condurre un esperimento di copertura. Vengono trattati diversi argomenti chiave, inclusi i principi di copertura nel modello Black-Scholes, la simulazione di profitti e perdite, la copertura dinamica e l'influenza dei salti. Il docente sottolinea che il concetto di copertura determina il valore di un derivato e il prezzo della copertura ne determina il valore complessivo.
Per fornire una comprensione completa, il docente inizia spiegando il concetto di copertura nel settore finanziario. Le istituzioni finanziarie generano reddito applicando uno spread aggiuntivo oltre al valore di un derivato esotico. Per mitigare il rischio viene costruito un portafoglio che replica il derivato. Questo portafoglio è costituito dal valore del derivato con un segno più e un delta meno, che corrisponde alla sensibilità del portafoglio al titolo. La selezione di un delta appropriato è fondamentale in quanto determina il numero di azioni che devono essere acquistate o vendute per allinearsi al modello utilizzato. Il docente dimostra un esperimento in cui il delta viene aggiustato continuamente per tutta la durata del contratto, determinando una perdita di profitto media pari a zero.
La conferenza copre il concetto di copertura delta e distingue tra copertura dinamica e statica. La copertura delta viene impiegata per coprire i fattori di rischio in un portafoglio, con il valore del portafoglio replicante che determina il delta della copertura. La copertura dinamica comporta frequenti aggiustamenti del delta, mentre la copertura statica comporta l'acquisto o la vendita di derivati solo all'inizio oa intervalli specifici durante il contratto derivato. Il video discute anche la sensibilità delle coperture al numero di equazioni differenziali stocastiche nel modello di prezzo e in che modo la frequenza della copertura influisce sui potenziali profitti e perdite.
Introducendo il concetto di conto profitti e perdite (P&L), la conferenza spiega il suo ruolo nel tracciare i guadagni o le perdite durante la vendita di derivati e la loro copertura. Il conto economico è influenzato dai proventi iniziali ottenuti dalla vendita di un'opzione e dal valore delta h, che cresce nel tempo in base ai tassi di interesse da risparmio o prestito. L'obiettivo è quello di ottenere un conto economico che si pareggi alla scadenza del derivato, indicando un fair value addebitato secondo il modello di Black-Scholes. Tuttavia, se il modello non viene scelto in modo appropriato, l'extra spread aggiunto al fair value potrebbe non coprire tutti i costi di copertura, determinando una perdita. Pertanto, è essenziale utilizzare un modello realistico e robusto per la determinazione del prezzo dei derivati alternativi.
La lezione approfondisce il processo iterativo di copertura e il calcolo di profitti e perdite (P&L) alla fine del periodo di scadenza. Questo processo comporta il calcolo del delta di un'opzione all'istante t0 e all'istante t1, determinando quindi la differenza tra di essi per accertare il numero di azioni da acquistare o vendere. Il docente sottolinea l'importanza di comprendere ciò che viene venduto e raccolto, poiché la vendita di un'opzione comporta essenzialmente la vendita della volatilità e la riscossione dei premi. Al termine del processo, il valore dell'opzione venduta viene determinato in base al valore delle azioni alla scadenza e il P&L viene valutato utilizzando il premio iniziale, il valore alla scadenza e la quantità di azioni acquistate o vendute durante il processo iterativo .
Il docente sposta l'attenzione verso la copertura nella finanza computazionale come mezzo per ridurre la variabilità e la sensibilità riguardo al valore delle azioni. La conferenza chiarisce come la copertura aiuta a minimizzare le perdite e introduce il concetto di distribuzione del piano nelle simulazioni del percorso Monte Carlo, evidenziando che l'aspettativa di un P&L dovrebbe essere in media pari a zero. Il profitto derivante dalla vendita di un derivato esotico e dalla sua copertura deriva dallo spread aggiuntivo addebitato al cliente poiché il P&L atteso è pari a zero.
Per superare le sfide poste dalla densità sconosciuta in modelli avanzati come il modello della Trasformata di Fourier, vengono impiegati metodi alternativi per il calcolo delle sensibilità. Uno di questi approcci è il calcolo di Malliavin, che fornisce un quadro matematico per il calcolo delle derivate di variabili casuali rispetto ai parametri nei processi stocastici.
Il calcolo di Malliavin introduce il concetto di derivata di Malliavin, che estende la nozione di derivate classiche a variabili casuali guidate da processi stocastici. Questa derivata consente il calcolo delle sensibilità per modelli complessi in cui i metodi tradizionali potrebbero non essere applicabili. Sfruttando il derivato di Malliavin, i professionisti possono ottenere sensibilità rispetto a vari parametri nel modello di trasformata di Fourier. Questo approccio consente una determinazione dei prezzi e una gestione del rischio più accurate, in quanto cattura le complesse dipendenze e dinamiche presenti nel modello. Tuttavia, è importante notare che l'utilizzo del calcolo di Malliavin richiede tecniche matematiche avanzate e una profonda comprensione dell'analisi stocastica. È un campo specializzato che viene tipicamente esplorato da esperti di finanza quantitativa e finanza matematica.
In sintesi, quando si ha a che fare con modelli che coinvolgono densità sconosciute, come il modello della Trasformata di Fourier, il calcolo di Malliavin fornisce un potente strumento per il calcolo delle sensibilità. Questo approccio consente la valutazione dei rischi e la valutazione accurata dei derivati in scenari finanziari complessi.
Finanza computazionale: lezione 12/14 (Opzioni di avvio in avanti e modello di Bates)
Finanza computazionale: lezione 12/14 (Opzioni di avvio in avanti e modello di Bates)
La conferenza approfondisce la complessità delle forward start option, che sono un tipo di opzione europea con una data di inizio posticipata, spesso indicate come opzioni di performance. Queste opzioni sono più complesse delle opzioni europee standard e la conferenza fornisce una panoramica della loro definizione di payoff e dei vantaggi rispetto alle opzioni europee.
Le tecniche di determinazione del prezzo per le opzioni forward start sono più complesse e la lezione si concentra sull'uso delle funzioni caratteristiche. Esplora due tipi di opzioni di avvio in avanti: una utilizzando il modello Black-Scholes e il prezzo più impegnativo secondo il modello Heston. Vengono trattati anche l'implementazione in Python e il prezzo di un prodotto dipendente dalle volatilità. La conferenza sottolinea l'importanza delle opzioni europee come elementi costitutivi e la loro calibrazione e relazione con le opzioni esotiche. Tocca il modello Bates, che estende il modello Heston incorporando i salti di Merton, ed evidenzia l'uso di parametri di copertura per garantire modelli ben calibrati. Il video spiega come il valore iniziale sconosciuto delle azioni nelle opzioni forward start viene determinato in un momento futuro (t1) e introduce il concetto di filtraggio in relazione a queste opzioni. La conferenza esplora anche come le opzioni forward start possono servire come elementi costitutivi per altri derivati, presentando una strategia per ridurre i costi dei derivati. Inoltre, il professore copre la costruzione di un'opzione clic, una struttura derivata desiderata, e la sua relazione con le call europee e le opzioni forward start. La conferenza sottolinea l'importanza di identificare le date di pagamento quando si calcolano i fattori di sconto per la determinazione del prezzo. Mostra anche come il rapporto tra due azioni può essere riformulato come esponente di un logaritmo del rapporto.
Vengono discussi vari metodi di determinazione del prezzo per le opzioni di avvio anticipato, tra cui la simulazione Monte Carlo e soluzioni analitiche come il modello Black-Scholes. Viene spiegata la necessità di trovare la funzione caratteristica forward, che consente di prezzare le opzioni di avvio forward per qualsiasi modello in una classe specifica di processi. La lezione dimostra il prezzo di un'opzione forward start utilizzando la funzione caratteristica e l'aspettativa di un logaritmo IU di due azioni. Viene esplorato il condizionamento su un campo sigma più ampio durante la determinazione della funzione caratteristica, consentendo di portare l'esponente con il registro meno al di fuori delle aspettative. Vengono anche utilizzate le funzioni caratteristiche scontate da T2 a T1.
La conferenza approfondisce la funzione di valuta a termine, che rappresenta le aspettative future ed è espressa come aspettativa sulla misura neutrale al rischio. Spiega che i tassi di interesse deterministici non comportano alcuna differenza tra le funzioni valutarie scontate e non scontate. Tuttavia, i tassi di interesse stocastici introducono complessità. Viene delineato il processo di derivazione della funzione caratteristica di partenza in avanti, che comporta un valore atteso aggiuntivo, insieme all'importanza di consentire soluzioni analitiche all'aspettativa esterna per l'uso pratico. La funzione caratteristica di partenza in avanti viene quindi applicata ai modelli Black-Scholes e Heston.
Inoltre, la lezione si concentra sulla funzione di valuta forward start per il modello Black-Scholes. Rileva che il prezzo dovrebbe dipendere solo dall'andamento nel tempo e non dal valore iniziale dello stock, semplificando la soluzione rispetto alla funzione valuta scontata. La presenza della parte di varianza in più dimensioni richiede la soluzione di un'aspettativa interna. Viene mostrata una rappresentazione esatta del modello di Black-Scholes, a conferma che la distribuzione del rapporto tra due azioni è indipendente dal valore iniziale delle azioni. La distribuzione è semplificata in un moto browniano geometrico, comprendente un incremento da p1 fino a t2.
Viene spiegato il prezzo delle opzioni forward start secondo il modello Black-Scholes, evidenziando l'uso del moto browniano geometrico per il rapporto tra due azioni in momenti diversi. La soluzione di prezzo per le opzioni call e put per le opzioni forward start è molto simile a quella delle call e put europee, con lievi differenze nell'adeguamento dello strike e nei tempi di attualizzazione. La conferenza sottolinea l'importanza di utilizzare le volatilità implicite di Black-Scholes nel calcolo dei prezzi, anche quando si utilizzano altri modelli, poiché si allinea agli standard di mercato. Sottolinea inoltre la raccomandazione del docente di considerare i due parametri per le opzioni di avvio anticipato e ricorda agli spettatori che i prezzi di Black-Scholes sono noti analiticamente in base a questo modello.
Andando avanti, il relatore approfondisce il modello Hassle, che aumenta la complessità della funzione caratteristica per le opzioni di avvio in avanti introducendo un secondo processo stocastico che rappresenta la varianza. Tuttavia, il relatore spiega che questa seconda dimensione non è necessaria per le opzioni di prezzo poiché l'attenzione è rivolta esclusivamente alla distribuzione marginale per il processo di stock. Dopo la semplificazione e la sostituzione della funzione caratteristica, si ottiene l'espressione per la funzione di valuta a termine. Il relatore suggerisce di rivedere le diapositive sul modello Hassle per maggiori dettagli sulle funzioni coinvolte nell'espressione.
La lezione procede con la discussione della funzione generatrice dei momenti per un processo di Cox-Ingersoll-Ross (CIR) e presenta l'espressione in forma chiusa per la funzione caratteristica forward nel modello di Heston. Il docente osserva che avere la funzione di generazione dei momenti in forma chiusa consente un calcolo più rapido. Sostituendo la funzione di generazione del momento nella funzione di valuta a termine, viene derivata un'espressione in forma chiusa per la funzione caratteristica a termine. Infine, il relatore introduce un esperimento numerico per valutare le opzioni di avvio in avanti utilizzando il modello di Heston e le espressioni derivate.
Successivamente, l'oratore sposta l'attenzione sulle opzioni di avvio in avanti e sul modello Bates. Spiegano come il processo di varianza è rappresentato da dvt e discutono i parametri di volatilità e varianza. Il relatore conduce due esperimenti per osservare l'impatto delle volatilità implicite sui parametri e l'effetto della distanza temporale nelle opzioni di avvio in avanti. Gli esperimenti dimostrano che sebbene la forma della volatilità implicita rimanga la stessa, i livelli differiscono. All'aumentare della distanza temporale, la volatilità converge alla radice quadrata della varianza a lungo termine. Il relatore spiega la logica alla base delle opzioni con scadenze più brevi che hanno una densità più concentrata attorno a t1 e t2. Ulteriori esperimenti utilizzando un codice vengono eseguiti per confrontare le volatilità implicite.
Proseguendo, il docente affronta l'implementazione della funzione caratteristica forward e dei metodi di costo per la determinazione del prezzo delle opzioni forward start. La funzione caratteristica forward viene definita utilizzando espressioni lambda e vari parametri, tra cui il modello di Heston e la funzione di generazione del momento per il processo CIR. Il metodo di costo per la determinazione del prezzo delle opzioni con partenza anticipata è simile a quello per la determinazione del prezzo delle opzioni europee, ma include aggiustamenti per la gestione di due tempi diversi. Il docente condivide un trucco per ottenere una buona ipotesi iniziale per l'algoritmo di Newton-Raphson durante il calcolo delle volatilità implicite in avanti, che comporta la definizione di una griglia di volatilità e l'interpolazione del prezzo di mercato.
La lezione procede con una spiegazione del processo di calcolo delle volatilità implicite forward utilizzando il metodo Newton-Raphson. Viene discussa la differenza tra il prezzo dell'opzione dal modello e il prezzo di mercato e il docente dimostra come applicare la funzione di ottimizzazione di SciPy per calcolare il metodo Newton-Raphson e ottenere la volatilità ottimale, nota anche come volatilità implicita. La sezione conferma che la media a lungo termine e la varianza iniziale sono le stesse e che il livello delle volatilità implicite e della volatilità degli input forward è allineato. Viene inoltre introdotto il modello Bates, un'estensione del modello Heston che incorpora salti aggiuntivi guidati da una variabile casuale indipendente j, che segue una distribuzione di Poisson.
La conferenza evidenzia la differenza tra il modello di Heston e il modello di Bates. Mentre il modello Heston è adatto per calibrare lo smile and skew per le opzioni azionarie con scadenze più lunghe, fatica con le opzioni con scadenze più brevi, come quelle che scadono entro una o due settimane. Il modello Bates affronta questo problema introducendo salti indipendenti, consentendo una migliore calibrazione delle opzioni a breve termine. Sebbene il modello Bates coinvolga molti parametri, non è difficile estenderlo dal modello Heston. La trasformazione logaritmica è necessaria per derivare la funzione caratteristica per il modello Bates, e si nota che il modello può ancora essere ben calibrato anche con l'aggiunta di salti.
Il relatore discute poi la modifica del modello Bates, concentrandosi in particolare sull'intensità stocastica. Il relatore esprime la propria opinione secondo cui non è necessario rendere l'intensità stocastica in quanto introdurrebbe una complessità non necessaria senza esplorare i parametri correnti. Invece, l'intensità nel modello è mantenuta lineare nelle variabili di stato e definita come deriva costante. Il relatore analizza il quadro di diffusione del salto affine e include i dettagli delle derivazioni nel libro. L'unica differenza tra la funzione caratteristica per i modelli Heston e Bates risiede nel termine "a" del modello Bates. Inoltre, due termini di correzione contengono tutte le informazioni sui salti. Vengono presentati i risultati numerici, che forniscono un'analisi dell'impatto dell'intensità, della volatilità dei salti e di mu j, che rappresenta la distribuzione di j.
Viene discussa l'estensione del modello di Heston al modello di Bates. Il modello Bates viene utilizzato per calibrare il modello a tutte le informazioni di mercato, fornendo un vantaggio rispetto ad altri modelli. Il codice per questo modello è semplice e fornisce ulteriore flessibilità, in particolare per le opzioni a breve scadenza in cui la calibrazione a tutte le informazioni di mercato è fondamentale. La lezione copre anche il prezzo di derivati più interessanti, come il variance swap, utilizzando le conoscenze acquisite dal prezzo delle opzioni forward start o delle opzioni di performance.
Il relatore introduce un tipo di derivato chiamato variance swap, che consente agli investitori di scommettere sulla futura volatilità di un asset. Il payoff di uno swap di varianza è definito come la somma delle performance azionarie logaritmiche al quadrato su una data griglia di date, divisa per la precedente performance azionaria. Il docente osserva che l'insolita formulazione di questo payoff diventa più chiara se collegata a un'equazione differenziale stocastica. Quando si valuta questo derivato, il valore dello swap all'inizio sarà zero se lo strike è uguale all'aspettativa costante. Inoltre, il relatore spiega che la maggior parte degli swap sono scambiati alla pari, il che significa che il valore del contratto è zero quando due controparti si accordano per comprare o vendere.
La conferenza discute poi la struttura dipendente dal tempo per il modello Bates e come collega l'integrale sulla volatilità dipendente dal tempo alla performance di un derivato nel tempo. Il payoff è definito come la performance logaritmica al quadrato, che è equivalente all'integrale della volatilità. Il relatore spiega come trovare il terzo valore di un contratto utilizzando il valore atteso di sigma v al quadrato e le equazioni differenziali stocastiche. Inoltre, il coefficiente di scala di 252 giorni lavorativi viene introdotto come fattore essenziale nella finanza.
Infine, il relatore copre il fair value di un variance swap, che è un contratto derivato che consente agli investitori di scommettere sulla volatilità futura di un asset. Il fair value dello swap può essere espresso come coefficiente di scala corrispondente ai periodi da zero alla scadenza del contratto, più un elemento corrispondente ai tassi di interesse, meno il valore atteso di q log st diviso st0. La valutazione di questa aspettativa può essere effettuata attraverso la simulazione Monte Carlo o una distribuzione analitica delle scorte. È interessante notare che anche se le prestazioni di tutti i piccoli intervalli sono composte, è equivalente al rapporto o logaritmo del valore di un'azione alla fine diviso per il valore iniziale.
La conferenza copre una vasta gamma di argomenti relativi alle opzioni di avvio in avanti, alle opzioni di performance, al modello Heston, al modello Bates e agli scambi di varianza. Fornisce approfondimenti sulle tecniche di determinazione dei prezzi, sull'implementazione in Python e sul significato di questi concetti nei derivati finanziari.
Finanza computazionale: lezione 13/14 (Derivati esotici)
Finanza computazionale: lezione 13/14 (Derivati esotici)
La conferenza si concentra sulla determinazione del prezzo di derivati esotici e sull'estensione dei modelli di determinazione del prezzo a casi dipendenti dal percorso. La motivazione principale per estendere la struttura del payoff è offrire ai clienti prezzi più convenienti pur fornendo un'esposizione alle fluttuazioni del mercato azionario. L'uso di funzionalità e barriere digitali viene esplorato come mezzo per ridurre i costi dei derivati pur mantenendo l'esposizione desiderata. La conferenza approfondisce vari tipi di payoff, inclusi binari e digitali, opzioni barriera e opzioni asiatiche, esaminando il loro impatto sui prezzi dei derivati. Inoltre, la conferenza discute il prezzo delle opzioni multi-asset e le potenziali estensioni del modello per gestire panieri di centinaia di azioni.
Viene discussa la procedura di determinazione del prezzo per i prodotti finanziari, a partire dalle specifiche del prodotto e dai fattori di rischio richiesti per la modellazione e la determinazione del prezzo utilizzando equazioni differenziali stocastiche, come il modello di Black-Scholes, salti e modelli di volatilità stocastica. A seconda della complessità del prodotto, un sistema di equazioni a una o due dimensioni può essere sufficiente per un prezzo accurato. Il processo prevede anche la calibrazione e la copertura, in cui viene scelto un set ottimale di parametri per prezzare il prodotto e ridurre al minimo i costi di copertura, garantendo un ambiente privo di arbitraggio.
Vengono definiti diversi tipi di opzioni, con particolare attenzione alle opzioni europee, alle opzioni americane e alle opzioni delle Bermuda. Le opzioni europee sono considerate elementi fondamentali per i derivati esotici, ma possono essere difficili da programmare e comportare un rischio significativo. Le opzioni americane offrono maggiore flessibilità, consentendo l'esercizio in qualsiasi momento, mentre le opzioni Bermuda consentono l'esercizio solo in date specificate.
Vengono introdotti derivati esotici e opzioni dipendenti dal percorso, che dipendono dall'intera storia di un titolo piuttosto che solo dalla distribuzione marginale in un momento specifico. È stato dimostrato che la regolazione della funzione di payoff utilizzando binari e digitali riduce significativamente i valori derivati. La conferenza copre vari tipi di derivati esotici, tra cui asset o niente, contanti o niente, azioni o niente, opzioni composte e opzioni di selezione. Queste opzioni comportano la limitazione del contratto in qualche modo, ad esempio con massimi, minimi o altre restrizioni, per controllare i costi. Viene anche discussa la popolarità dei derivati esotici in passato, in particolare durante i periodi di alti tassi di interesse.
Viene spiegata una strategia per generare profitti elevati attraverso un derivato esotico. La strategia prevede l'allocazione della maggior parte dell'investimento su un conto sicuro con un rendimento garantito e la determinazione del prezzo di un potenziale pagamento dell'opzione. Sebbene questa strategia non sia attualmente popolare, è stata efficace in passato. La conferenza include anche esempi di codice per valutare i contratti e ridurne il valore fissando limiti massimi sulla potenziale crescita delle azioni. La conferenza evidenzia come un piccolo aggiustamento nella struttura dei payoff possa ridurre significativamente le valutazioni, rendendo i derivati più attraenti per i clienti. Introducendo barriere e dipendenza dal percorso, i costi possono essere ridotti. Vengono discusse varie opzioni di barriera, come le opzioni up-and-out, down-and-out, up-and-in, down-and-in e il loro impatto sul prezzo dei derivati in base al comportamento storico del titolo.
Viene esplorato il concetto di opzioni lookback, in cui il valore massimo o minimo di un'azione nel corso della sua vita determina il payoff alla scadenza. Le opzioni lookback incorporano la dipendenza dal percorso e possono fornire pagamenti positivi anche se il titolo è inferiore alla scadenza rispetto allo strike. La conferenza spiega l'implementazione delle opzioni lookback utilizzando la simulazione Monte Carlo e le equazioni alle derivate parziali (PDE), sottolineando le condizioni al contorno speciali per le opzioni barriera e la loro estensione ad altre derivate esotiche.
Le opzioni barriera sono discusse in dettaglio, evidenziando il loro fascino per i clienti della controparte e il loro utilizzo nel mercato delle valute incrociate. La lezione spiega le configurazioni e i payoff delle opzioni barriera, comprese le opzioni out, in, down e up. Il docente sottolinea che le opzioni barriera possono dipendere dal tempo, aggiungendo complessità al contratto. La simulazione Monte Carlo e le PDE sono presentate come metodi computazionali per la determinazione del prezzo delle opzioni barriera.
La conferenza confronta le opzioni up-and-out con le opzioni europee standard, rilevando la significativa riduzione di valore delle opzioni up-and-out a causa del loro payoff attivato dalla barriera. Viene introdotto il concetto di opzioni di barriera up-and-out, in cui il payoff si verifica solo se lo stock non supera un certo livello durante la sua vita. La conferenza dimostra l'impatto di una barriera sul prezzo di un derivato attraverso un esercizio di programmazione, dimostrando che il prezzo di un'opzione barriera up-and-out è equivalente al prezzo di un'opzione digitale con una struttura di payoff simile.
Il docente procede quindi a spiegare l'implementazione di una barriera verticale utilizzando la simulazione Monte Carlo. A differenza del payoff di un'opzione digitale, che dipende solo dal valore del titolo alla scadenza, una barriera up-and-out considera anche la storia del comportamento del titolo per tutta la durata del derivato. Viene definita una funzione per determinare se la barriera è stata raggiunta, utilizzando una matrice booleana e una condizione logica. Il "vettore colpito" risultante è un vettore binario che indica se la barriera è stata colpita per ogni percorso. Il docente dimostra come la modifica del valore della barriera influisca sul vettore hit, sottolineando che il payoff è zero se la barriera viene raggiunta e uno se non viene raggiunta.
Il concetto di introdurre una barriera nei contratti derivati è spiegato come un modo per ridurne il valore, fornendo un'opzione più conveniente per i clienti che cercano esposizione a un'attività specifica. La presenza di una barriera ha un impatto significativo sul valore del derivato, portando potenzialmente a perdite se lo stock non supera il livello specificato. Tuttavia, incorporando barriere, i prezzi dei derivati possono essere ridotti di circa il 30%, rendendoli più attraenti per gli investitori. Tuttavia, i derivati discontinui con barriere possono presentare sfide in termini di costi di copertura, che potrebbero aumentare all'infinito. Per mitigare questo problema, il docente suggerisce di replicare il payoff utilizzando metodi alternativi per ridurre i costi.
Il video introduce il concetto di replicare la caratteristica digitale di un'opzione acquistando e vendendo strategicamente opzioni call con diversi prezzi di esercizio. Man mano che i prezzi di esercizio si avvicinano, il payoff risultante diventa più simile a un'opzione digitale. Tuttavia, il docente riconosce le difficoltà nel replicare con precisione la discontinuità delle opzioni a causa dei cambiamenti nelle sensibilità delta e gamma. Mentre le approssimazioni possono essere utilizzate per la copertura, è fondamentale addebitare i premi per compensare le potenziali perdite di copertura causate dalla natura digitale dell'opzione. Il video sottolinea il concetto di riduzione dei costi dei derivati introducendo limitazioni digitali o alterando la struttura del payoff.
La conferenza passa quindi a discutere le opzioni asiatiche come mezzo per ridurre la volatilità e l'incertezza associate a un'attività sottostante, abbassando di conseguenza il prezzo dei derivati. Le opzioni asiatiche si basano sul comportamento medio di un titolo fluttuante, che tende ad essere più fluido del titolo stesso, riducendo l'incertezza associata. Il docente esplora le diverse varianti delle opzioni asiatiche disponibili sul mercato, comprese le chiamate e le put strike fisse e mobili. Le opzioni strike fluttuanti, in particolare, sono popolari nel trading di materie prime grazie alla loro capacità di ridurre l'incertezza e mitigare i rischi associati a uno specifico livello di attività sottostante.
Il relatore spiega inoltre i vari metodi di calcolo della media per un titolo, evidenziandone l'importanza nel trading. Vengono introdotti due tipi di medie, aritmetiche e geometriche, con la media geometrica preferita per l'analisi matematica per la sua espressione analitica. In pratica, vengono spesso utilizzate le sommatorie, che richiedono tecniche di approssimazione come la simulazione Monte Carlo o le PDE. La lezione approfondisce anche il concetto di media continua, che differisce dalla media aritmetica per la sua rappresentazione integrale, aggiungendo un'ulteriore dimensione al problema del prezzo e rendendolo più complesso da risolvere.
L'attenzione si sposta quindi sulla determinazione del prezzo delle opzioni asiatiche, il che comporta l'allontanamento da un problema unidimensionale e implica considerazioni di dimensione superiore. Le opzioni asiatiche introducono due variabili indipendenti: il prezzo dell'azione e l'integrale dell'azione. Il payoff dell'opzione dipende dall'integrale osservato o dal percorso da zero alla scadenza, con il pagamento effettuato alla scadenza. La conferenza riconosce che la determinazione del prezzo di contratti derivati esotici con quantità dipendenti dalla parte finale può essere impegnativa, poiché richiede tecniche più avanzate. Tuttavia, la copertura delta è ancora efficace nel raggiungere coefficienti di copertura adeguati nonostante le complessità introdotte dalle opzioni asiatiche. Il docente discute l'uso della simulazione Monte Carlo per valutare le opzioni asiatiche, evidenziando la sua flessibilità nella gestione di problemi ad alta dimensione. Simulando percorsi multipli del prezzo delle azioni e calcolando il payoff medio, la simulazione Monte Carlo può fornire una stima del prezzo dell'opzione. La conferenza menziona anche le potenziali sfide della simulazione Monte Carlo, come i problemi di convergenza e la necessità di un numero sufficiente di percorsi per ottenere risultati accurati.
Il docente passa quindi a discutere un altro tipo di opzione esotica nota come opzione barriera con sconto. Questa opzione ha una struttura simile all'opzione barriera discussa in precedenza, ma con un rimborso aggiuntivo se la barriera viene raggiunta. La presenza del rimborso compensa il detentore dell'opzione in caso di superamento della barriera, mitigando le potenziali perdite. La conferenza spiega che il pagamento del rimborso riduce il costo dell'opzione, rendendola più attraente per gli investitori.
Per valutare le opzioni barriera con sconti, il docente introduce il concetto di opzione knock-out inversa, che è l'inverso di un'opzione knock-out. L'opzione knock-out inversa paga uno sconto se la barriera non viene raggiunta. Determinando il prezzo dell'opzione knock-out inversa e sottraendo il pagamento del rimborso, è possibile determinare il prezzo dell'opzione barriera con rimborso. Il video fornisce un esempio di implementazione di questa metodologia di determinazione del prezzo utilizzando la simulazione Monte Carlo.
Nel corso della lezione viene sottolineata l'importanza di comprendere e valutare efficacemente i contratti derivati esotici. Le opzioni esotiche offrono flessibilità e soluzioni personalizzate per gli investitori, ma i loro prezzi e la gestione del rischio richiedono modelli e tecniche sofisticati. La conferenza si conclude evidenziando la necessità di ulteriori ricerche e sviluppi in questo campo, nonché l'importanza della collaborazione tra il mondo accademico e l'industria per migliorare le metodologie di determinazione dei prezzi dei derivati e soddisfare le esigenze in continua evoluzione dei partecipanti al mercato.
Computational Finance: Lezione 14/14 (Riassunto del Corso)
Computational Finance: Lezione 14/14 (Riassunto del Corso)
La serie sulla finanza computazionale si è conclusa con un riepilogo completo degli argomenti importanti trattati in ogni lezione. Il corso ha abbracciato una vasta gamma di argomenti, tra cui equazioni differenziali stocastiche, volatilità implicite, diffusioni salti, processi di diffusione di classi affini, modelli di volatilità stocastica e trasformazioni di Fourier per il prezzo delle opzioni. Ha anche approfondito tecniche numeriche come le simulazioni Monte Carlo e varie strategie di copertura.
Nelle lezioni successive, l'attenzione si è spostata verso forward start option e derivati esotici, dove le conoscenze acquisite durante il corso sono state applicate per strutturare questi complessi prodotti finanziari. Le lezioni iniziali hanno fornito un'introduzione al corso e discusso i principi fondamentali dell'ingegneria finanziaria, diversi mercati e asset class. La seconda lezione ha riguardato specificamente vari tipi di opzioni e strategie di copertura, con particolare attenzione a materie prime, valute e criptovalute.
Il prezzo delle opzioni call e put e la sua relazione con la copertura è stato un tema centrale durante tutto il corso. Il docente ha sottolineato che il prezzo di una strategia di copertura dovrebbe sempre essere equivalente al prezzo di un derivato per evitare opportunità di arbitraggio. Sono stati discussi gli aspetti matematici della modellazione di diverse classi di attività, compresi i prezzi delle attività e la misurazione della casualità. I processi stocastici, le equazioni differenziali stocastiche e il lemma di Itô sono stati evidenziati come strumenti vitali per la determinazione del prezzo degli strumenti finanziari. Sono state anche dimostrate simulazioni Python, mostrando come le equazioni differenziali stocastiche possono simulare il comportamento reale dei movimenti delle azioni ai fini della determinazione dei prezzi. Sono stati affrontati i vantaggi e gli svantaggi del modello Black-Scholes, sottolineando la necessità di una prospettiva olistica per garantire coerenza nella gestione del portafoglio e nelle strategie di copertura.
Le martingale sono state ripetutamente sottolineate come un concetto critico nel prezzo delle opzioni e altri importanti argomenti trattati nel corso includevano il modello Black-Scholes, la volatilità implicita, la convergenza dell'algoritmo di Newton-Raphson e le limitazioni della volatilità dipendente dal tempo. Sono state esplorate l'applicazione pratica della codifica Python per verificare se un processo simulato è una martingala e l'impatto delle misure sulla deriva. Il corso ha fornito una visione approfondita del prezzo di semplici opzioni europee, mostrando come diversi modelli e misure possono essere impiegati per calcolare i loro prezzi.
Sono stati discussi i limiti del modello di Black-Scholes, in particolare in relazione all'incorporazione dei salti nel modello. Mentre i salti possono migliorare la calibrazione delle superfici di volatilità implicita e generare skew, introducono anche complessità e riducono l'efficienza della copertura. Sono stati introdotti modelli di volatilità stocastica, come il modello Heston, per migliorare la flessibilità del modello nella calibrazione e nella determinazione del prezzo delle opzioni esotiche. Inoltre, come soluzione è stata presentata una tecnica di determinazione rapida dei prezzi. La conferenza ha anche delineato le condizioni che i modelli o le equazioni differenziali stocastiche devono soddisfare per essere utilizzati all'interno dei modelli affini nelle trasformazioni di Fourier.
Sono stati discussi due importanti modelli per la determinazione del prezzo di azioni e azioni: la classe affine dei processi di diffusione e il modello di volatilità stocastica, in particolare il modello di Heston. La classe affine dei processi di diffusione consente una rapida calibrazione delle opzioni europee, mentre il modello Heston offre flessibilità nella calibrazione dell'intera superficie delle volatilità implicite dalle opzioni europee. La lezione ha riguardato gli impatti ei vantaggi della correlazione nei modelli, la determinazione del prezzo PDE e l'uso delle trasformazioni di Fourier per la determinazione del prezzo quando un modello appartiene alla classe di processi affini. La comprensione e l'utilizzo di questi modelli sono stati evidenziati come abilità preziose nella finanza computazionale.
Il prezzo delle opzioni europee, con particolare attenzione alle opzioni call e put, è stato al centro di un'altra conferenza. Sono stati enfatizzati l'uso di una funzione caratteristica e la capacità di risolvere sistemi di ODE a valori complessi, insieme all'importanza delle tecniche numeriche per ottenere soluzioni. Il bilanciamento di un buon modello con una calibrazione e una valutazione efficienti è stato sottolineato per le applicazioni pratiche e l'accettazione da parte del settore. Sono stati discussi i vantaggi del metodo cos della trasformata di Fourier per la determinazione del prezzo, insieme alla sua implementazione in Vital. Sono stati inoltre raccomandati una calibrazione efficiente e l'utilizzo di simulazioni Monte Carlo per la determinazione dei prezzi.
Il campionamento Monte Carlo nella determinazione del prezzo di derivati esotici è stato ampiamente esplorato in un'altra conferenza. Sono state affrontate le sfide poste dalle dimensioni multiple, dalla complessità del modello e dai costi computazionali nella determinazione dei prezzi accurati. La simulazione Monte Carlo è stata presentata come un approccio di prezzo alternativo, con particolare attenzione alla riduzione degli errori e al miglioramento della precisione. La conferenza ha coperto vari aspetti del campionamento Monte Carlo, tra cui integrazione, integrazione stocastica e metodi di calibrazione come gli schemi di Eulero e Milstein. La valutazione della fluidità delle funzioni di payoff e la comprensione dei convertitori deboli e forti sono state evidenziate come cruciali per garantire prezzi accurati.
La conferenza dedicata al modello di Heston ha discusso la sua flessibilità nella calibrazione, la modellazione della superficie di volatilità implicita e l'efficiente simulazione Monte Carlo. La lezione ha anche toccato la simulazione quasi esatta del modello di Heston, che è correlata alla simulazione esatta del processo di Cox Ingersoll Ross (CIR) per il processo di varianza. Sebbene i metodi di discretizzazione di Eulero e Milstein possano incontrare problemi con il processo CIR, esistono modi efficienti per eseguire la simulazione. La conferenza ha sottolineato l'importanza di considerare un modello realistico per la simulazione, in particolare quando si ha a che fare con la copertura delta e la contabilizzazione dei salti di mercato.
Il concetto di copertura in finanza è stato approfondito in un video separato. La copertura comporta la riduzione dell'esposizione al rischio e alle potenziali perdite gestendo un portafoglio e mantenendo attivamente il contratto dopo che è stato negoziato. Il video ha sottolineato l'importanza della copertura, che va oltre il pricing e comprende la gestione continua del rischio fino alla scadenza del contratto. Sono stati discussi la copertura del delta e l'impatto dei balzi del mercato, sottolineando l'importanza di impiegare un modello realistico per una simulazione accurata.
I limiti della copertura delta sono stati affrontati in un'altra conferenza, evidenziando la necessità di considerare altri tipi di copertura, come copertura gamma e vega, per derivati più complessi. Sono stati trattati il calcolo delle sensibilità ei metodi per migliorarne l'efficienza, comprese le differenze finite, le sensibilità di percorso ei quozienti di verosimiglianza. La conferenza ha anche approfondito il prezzo delle opzioni forward start e le sfide associate alle opzioni di prezzo con scorte iniziali incerte. Il valore dell'opzione è stato derivato utilizzando funzioni caratteristiche e la conferenza si è conclusa con una discussione sulle volatilità implicite e sulla loro implementazione in Python.
La conferenza sui salti aggiuntivi nei modelli finanziari, in particolare il modello Heston, ha esplorato il loro impatto sulla calibrazione dei parametri e sulle strategie di copertura. Sono stati discussi anche gli swap di varianza ei prodotti delle volatilità, concentrandosi sulla relazione tra la strana rappresentazione, i contratti di scambio di varianza e le aspettative condizionali utilizzando le dinamiche di Black-Scholes. Inoltre, la conferenza ha approfondito la strutturazione dei prodotti utilizzando varie tecniche come opzioni binarie e digitali, opzioni dipendenti dal percorso, opzioni barriera e opzioni asiatiche. Ha anche toccato il prezzo dei contratti che coinvolgono più asset. Questa lezione è servita come sintesi delle conoscenze acquisite durante il corso, fornendo una base per affrontare derivati più avanzati in futuro.
Nella parte finale, il relatore si è congratulato con gli spettatori per aver completato con successo tutte le 14 lezioni e aver acquisito conoscenze in finanza computazionale, ingegneria finanziaria e prezzi dei derivati. Gli spettatori sono stati incoraggiati ad applicare la loro nuova esperienza in contesti pratici oa prendere in considerazione ulteriori corsi per ampliare le loro conoscenze. Il relatore ha augurato loro una carriera di successo nella finanza, fiducioso che fossero ben preparati per i loro impegni futuri.
Corso di Ingegneria Finanziaria: Lezione 1/14, (Introduzione e Panoramica del Corso)
Corso di Ingegneria Finanziaria: Lezione 1/14, (Introduzione e Panoramica del Corso)
L'istruttore inizia introducendo il corso di ingegneria finanziaria, evidenziandone gli obiettivi e le principali aree di interesse. Il corso mira ad approfondire i tassi di interesse e molteplici classi di attività come il cambio e l'inflazione. L'obiettivo finale è che gli studenti costruiscano un portafoglio multi-asset composto da prodotti lineari e acquisiscano competenza nell'esecuzione di calcoli xva e valore a rischio. È necessaria una conoscenza preliminare delle equazioni differenziali stocastiche, della simulazione numerica e dei metodi numerici per impegnarsi pienamente con il materiale del corso.
Viene delineata la struttura del corso, composta da 14 lezioni frontali accompagnate da compiti a casa alla fine di ogni sessione. Il linguaggio di programmazione utilizzato durante il corso è Python, che consente l'implementazione pratica e l'applicazione dei concetti discussi.
Il relatore sottolinea la natura pratica del corso di finanza computazionale. Sebbene le conoscenze teoriche siano coperte, c'è una forte enfasi sull'efficienza dell'implementazione e sulla fornitura di esempi di codice Python per ogni lezione. I materiali del corso sono autonomi, sebbene siano basati sul libro "A Book of Mathematical Modeling and Computation in Finance". La lezione fornisce anche una panoramica della roadmap del corso, dando agli studenti una chiara comprensione degli argomenti che saranno trattati in ciascuna delle 14 lezioni.
La prima lezione è incentrata sulla fornitura di una panoramica dell'intero corso e sull'evidenziazione dell'importanza dei concetti trattati nel raggiungimento dell'obiettivo finale di eseguire calcoli xva e var.
Il docente procede a fornire un'ampia panoramica degli argomenti che saranno trattati durante il corso di Ingegneria Finanziaria. Questi includono vari modelli come modelli a due fattori completamente bianchi e completamente bianchi, misure, filtrazioni e modelli stocastici. La determinazione del prezzo dei prodotti sui tassi di interesse, compresi i prodotti lineari e non lineari come le swaption, è un obiettivo chiave. La lezione copre la costruzione della curva dei rendimenti, la costruzione multi-curva, i punti della spina dorsale e la selezione dei metodi di interpolazione utilizzando i codici Python. Altri argomenti trattati includono tassi di interesse negativi, opzioni, mutui e rimborsi anticipati, valuta estera, inflazione, simulazione Monte Carlo per multi-asset, modelli di mercato, aggiustamenti di convessità, calcoli dell'esposizione e misure di aggiustamento del valore come cva, bcva e fva.
La gestione del rischio diventa un punto focale man mano che il corso procede e la lezione 13 è dedicata alla misurazione del rischio utilizzando la codifica e l'analisi dei dati storici. La lezione 14 funge da riepilogo di tutto ciò che è stato appreso durante il corso.
La seconda lezione si concentra sui filtraggi e sulle modifiche alle misure, comprese le aspettative condizionali e la simulazione in Python. Gli studenti si impegneranno in esercizi pratici per simulare aspettative condizionali ed esplorare i vantaggi e la semplificazione dei problemi di determinazione del prezzo utilizzando le modifiche alle misure.
Nelle lezioni successive, l'istruttore fornisce una panoramica del framework del modello Hijack, dei modelli di equilibrio rispetto alla struttura a termine e delle dinamiche della curva dei rendimenti. Le lezioni riguardano i tassi brevi e la simulazione di modelli attraverso simulazioni Monte Carlo in Python. Viene discusso il confronto tra modelli a un fattore ea due fattori, con un'esplorazione delle estensioni multifattoriali. Viene condotto un esperimento video per analizzare l'indice S&P, il tasso a breve implicito dalla Fed e le dinamiche della curva dei rendimenti.
La simulazione delle curve dei rendimenti viene esplorata per osservare l'evoluzione dei tassi di interesse nel tempo e confrontarli con modelli stocastici. Gli argomenti trattati includono l'affinità di un modello fulbright, la simulazione esatta, la costruzione e il prezzo dei prodotti a tasso di interesse e il calcolo dei flussi di cassa incerti negli esempi di swap.
La lezione sulla costruzione di una curva dei rendimenti copre la relazione tra curve dei rendimenti e swap su tassi di interesse, accordi su tassi a termine e prezzi dei derivati. Vengono spiegate le diverse forme della curva dei rendimenti e la loro rilevanza per le situazioni di mercato. Vengono discussi i calcoli delle volatilità implicite e dei punti della spina dorsale, insieme alle routine di interpolazione e all'estensione delle singole curve dei rendimenti agli approcci multi-curva. Vengono enfatizzati gli aspetti pratici della costruzione di curve dei rendimenti utilizzando esperimenti Python e collegandoli agli strumenti di mercato.
Il docente esplora argomenti relativi all'ingegneria finanziaria, incluso il prezzo delle swaption secondo il modello Black-Scholes e le opzioni che utilizzano il modello full white o qualsiasi modello a tasso corto. Vengono spiegati il trucco del Jamshidian e gli esperimenti di Python. La conferenza copre anche concetti come i tassi di interesse negativi, le volatilità implicite spostate log-normali spostate e l'impatto dei parametri di spostamento sulle forme di volatilità implicita. Inoltre, la conferenza approfondisce il rimborso anticipato dei mutui e il suo effetto sulla posizione e la copertura dal punto di vista di una banca.
Vengono introdotti i mutui bullet e vengono spiegati i flussi di cassa associati e le determinanti del pagamento anticipato. La conferenza evidenzia l'impatto dei pagamenti anticipati sui portafogli ipotecari e collega l'incentivo al rifinanziamento a dati osservabili sul mercato. Inoltre, viene discusso il rischio di pipeline e la sua gestione da parte delle istituzioni finanziarie.
Il corso passa alla modellazione simultanea di più asset class, che consente la simulazione di potenziali rischi futuri che possono influire sul portafoglio. Vengono esaminate le correlazioni tra diverse classi di attività e viene sottolineata l'importanza dei modelli ibridi ai fini della gestione del rischio, anche se potrebbe esserci un calo di interesse per i derivati esotici.
Vengono esplorati modelli ibridi per la determinazione del prezzo degli aggiustamenti di valutazione (XVA) e del valore a rischio, insieme ad estensioni che coinvolgono la volatilità stocastica. La lezione tratta modelli ibridi adatti a un ambiente XVA, comprese le dinamiche azionarie e i tassi di interesse stocastici. I modelli di volatilità stocastica, come il modello Heston, sono discussi nel secondo blocco, affrontando come incorporare i tassi di interesse stocastici che sono correlati con il processo azionario. La conferenza approfondisce anche i cambi e l'inflazione, discutendo la storia e lo sviluppo di valute fluttuanti, contratti FX a termine, swap su valute incrociate e opzioni FX. Viene inoltre esaminato l'impatto dei cambiamenti di misura sulle dinamiche di processo, con l'obiettivo finale di prezzare i contratti definiti in diverse attività in varie classi di attività e calcolare le esposizioni e le misure di rischio.
L'istruttore copre argomenti aggiuntivi relativi all'ingegneria finanziaria, incluso l'elemento di correzione quantistica presente nella volatilità stocastica e il prezzo delle opzioni FX con tassi di interesse stocastici. Viene esplorato il concetto di inflazione, tracciandone l'evoluzione da definizioni basate sulla moneta a definizioni basate sui beni. Vengono discussi modelli di mercato come il modello di mercato LIBOR e gli aggiustamenti di convessità, fornendo una prospettiva storica sullo sviluppo dei tassi di interesse e la motivazione alla base di modelli di mercato come il modello di mercato LIBOR all'interno del quadro HJM. La conferenza approfondisce anche i modelli di mercato LIBOR log-normale, la volatilità stocastica e le dinamiche smile e skew nel modello di mercato LIBOR.
Vengono affrontate varie tecniche utilizzate nella determinazione del prezzo dei prodotti finanziari, con particolare attenzione alla determinazione del prezzo neutrale al rischio e al modello di Black-Scholes. Il docente mette in guardia contro l'uso improprio di tecniche rischiose, come la tecnica del congelamento, e sottolinea l'importanza della correzione della convessità nei quadri di prezzo. Gli studenti impareranno come riconoscere la necessità di una correzione della convessità e come incorporare i movimenti dei tassi di interesse o il sorriso e l'inclinazione del mercato nei problemi di prezzo. La sezione si conclude coprendo le simulazioni XVA, inclusi CVA, BCVA, VA e FVA, e il calcolo delle esposizioni previste, delle potenziali esposizioni future e dei controlli di integrità utilizzando le simulazioni Python.
L'istruttore rivisita gli argomenti trattati nel corso di ingegneria finanziaria, inclusi i derivati dei prezzi, l'importanza della scoperta dei prezzi, gli aspetti pratici delle attribuzioni commerciali e le misure di gestione del rischio come il valore a rischio e il deficit atteso. L'attenzione rimane sulle applicazioni pratiche, come la costruzione di un portafoglio di swap su tassi di interesse e l'utilizzo della conoscenza della costruzione della curva dei rendimenti per stimare il VAR e il deficit atteso attraverso i risultati della simulazione. La conferenza affronta anche le sfide relative ai dati mancanti, all'arbitraggio e alla riclassificazione nel calcolo VAR utilizzando la simulazione Monte Carlo.
Nella lezione finale, il docente discute i test retrospettivi e il test del motore VAR. Pur riconoscendo che il corso si estenderà oltre le 14 settimane iniziali, l'istruttore esprime fiducia nel percorso di apprendimento completo e piacevole. Le lezioni registrate guideranno gli studenti verso il vertice della comprensione degli aggiustamenti di valutazione (XVA) e del calcolo del valore a rischio.
Corso di ingegneria finanziaria: Lezione 2/14, parte 1/3, (Comprensione di filtri e misure)
Corso di ingegneria finanziaria: Lezione 2/14, parte 1/3, (Comprensione di filtri e misure)
Nella lezione, l'istruttore approfondisce il modello di Black-Scholes con salti stocastici, mostrandone l'applicazione nel prezzo dei derivati. L'incorporazione di aspettative condizionali è evidenziata come mezzo per migliorare l'accuratezza del modello. Inoltre, viene esplorato il concetto di numerazione e cambio di misura, dimostrando come lo spostamento tra diverse numerazioni possa migliorare i risultati dei prezzi. Questa sezione sottolinea l'importanza del filtraggio, delle aspettative e dei cambiamenti di misura, in particolare nell'ambito dei tassi di interesse.
Espandendo l'argomento, il professore sottolinea il ruolo centrale di misure, filtri e aspettative nella determinazione dei prezzi. Illustrano come le misure, come le scorte, possano essere efficacemente impiegate nei processi di determinazione dei prezzi, mentre le modifiche alle misure aiutano a ridurre la complessità dei problemi di determinazione dei prezzi. La lezione approfondisce ulteriormente la nozione di misura forward, comunemente associata all'attualizzazione stocastica. Le filtrazioni sono chiarite come principi fondamentali per comprendere tempo, profili di esposizione e profili di rischio. Inoltre, viene introdotta la definizione di un processo stocastico e l'importanza della filtrazione nell'interpretazione dei dati di mercato e nell'anticipazione delle realizzazioni future.
Andando avanti, il concetto di filtrazioni e misure viene esaminato a fondo. Le filtrazioni possono riguardare il presente o estendersi nel futuro, rendendo necessaria una chiara distinzione quando si tratta di processi stocastici. Il passato rappresenta una traiettoria singolare della storia di un titolo, mentre la stocasticità del futuro può essere modellata attraverso simulazioni e equazioni differenziali stocastiche. Sebbene il corso si concentri prevalentemente sui filtraggi fino al presente (t0), in seguito approfondisce lo sfruttamento dei filtraggi futuri per una maggiore efficienza computazionale. Diventa possibile simulare scenari futuri e sviluppare risultati diversi. Tuttavia, data l'intrinseca incertezza, determinare lo scenario più realistico resta una sfida. La stima della distribuzione dei risultati implica l'utilizzo di dati storici e tecniche di calibrazione associate alla misura p.
La conferenza approfondisce quindi le misure e le filtrazioni, evidenziando i ruoli distinti della misura Q nella determinazione dei prezzi e nella gestione del rischio e della misura P principalmente nella gestione del rischio. Quando vengono impiegate entrambe le misure, la generazione di scenari futuri per i profili di rischio diventa imperativa a causa della non unicità dell'adeguatezza di entrambe le metriche. Inoltre, con il passare del tempo, l'accumulazione di conoscenze storiche porta a filtri più ampi. Tuttavia, è anche essenziale mantenere una comprensione della misurabilità e riconoscere l'incertezza per le quantità stocastiche in tempi futuri specifici.
Il docente procede a discutere filtrazioni e misure nel contesto dell'ingegneria finanziaria. In particolare, sottolineano che la misurabilità non implica costanza; piuttosto, denota una quantità stocastica. I filtri chiariscono l'estensione della conoscenza disponibile in ogni dato momento, espandendosi man mano che ci si sposta ulteriormente nel tempo a causa della conoscenza accumulata. Mentre i filtri e le modifiche alle misure possono essere strumenti potenti nella modellazione finanziaria, il loro utilizzo inappropriato può causare problemi significativi. Pertanto, è fondamentale capire come utilizzare efficacemente questi strumenti e navigare nel tempo per evitare errori di modellazione. La sezione si conclude con una panoramica del processo di calibrazione nella modellazione finanziaria, che può essere dedotta da dati storici o strumenti di mercato.
Viene introdotto il concetto di processi adattati, riferito a processi che si basano esclusivamente sulle informazioni disponibili fino a un dato momento, senza considerare le realizzazioni future. Esempi di processi adattati comprendono il moto browniano e la determinazione del valore massimo di un processo entro un periodo di tempo specifico. Al contrario, i processi non adattati si basano su realizzazioni future. La conferenza introduce anche la proprietà della torre, un potente strumento di determinazione del prezzo, che stabilisce una relazione tra campi sigma, filtrazioni e aspettative.
L'aspettativa condizionale è discussa come un potente strumento nell'ingegneria finanziaria, in particolare quando si tratta di funzioni che coinvolgono due variabili. La proprietà della torre dell'aspettativa viene utilizzata per condizionare le aspettative e calcolare le aspettative esterne e interne nidificate. Questa proprietà trova applicazione nelle simulazioni, consentendo il calcolo analitico di alcuni componenti del problema che possono essere applicati ai modelli di prezzo delle opzioni blockchain, in particolare utilizzando equazioni differenziali stocastiche e filtri specifici. Viene esplorata la definizione di aspettativa condizionale, incorporando un'equazione integrale.
Il docente sottolinea l'importanza delle aspettative condizionali e delle filtrazioni nell'ingegneria finanziaria. Sottolineano che se una variabile casuale può essere condizionata e la sua risposta è nota analiticamente, l'aspettativa esterna può essere calcolata campionando per l'aspettativa interna. Tuttavia, in finanza, è raro possedere una conoscenza analitica delle densità condizionali o delle densità bidimensionali. Il docente sottolinea l'importanza di utilizzare correttamente le aspettative condizionali nella codifica, in quanto rimangono quantità stocastiche dal punto di vista del presente. Inoltre, discutono i vantaggi dell'incorporazione di una soluzione analitica per una parte del modello in un contesto di simulazione, in quanto può portare a una migliore convergenza. Per illustrare questi concetti, il docente fornisce un esempio di calcolo dell'aspettativa esterna di un moto browniano.
Andando avanti, il docente approfondisce l'aspettativa di un momento futuro, evidenziandone la complessità rispetto ai casi in cui l'aspettativa è al tempo zero. Spiegano che questo scenario richiede percorsi multipli e simulazioni Monte Carlo nidificate per ogni percorso, coinvolgendo sottosimulazioni per aspettative condizionali. Questa complessità nasce dalla proprietà degli incrementi indipendenti, in cui il moto browniano può sempre essere espresso come la differenza tra i suoi valori in due tempi diversi, t e s.
Spostando l'attenzione sulle simulazioni Monte Carlo, il relatore discute la costruzione del moto browniano per simulare il valore dell'opzione di un'azione. Esplorano due tipi di martingale e introducono il metodo Monte Carlo nidificato per calcolare l'aspettativa condizionale di un'opzione su azioni. La simulazione comporta la generazione di un percorso fino al tempo s e l'esecuzione di sottosimulazioni per ciascun percorso per valutare l'aspettativa in quel momento. Questo processo comporta il calcolo dell'aspettativa condizionale di una specifica realizzazione al tempo s per ogni percorso. L'errore viene quindi misurato come la differenza tra l'aspettativa condizionale e il valore del percorso al tempo s. La standardizzazione del moto browniano garantisce che sia costruito utilizzando incrementi indipendenti, facilitando l'applicazione delle proprietà desiderate all'interno di una simulazione Monte Carlo.
Infine, il relatore sottolinea che mentre la simulazione del moto browniano può sembrare semplice ed economica, l'incorporazione di un'aspettativa condizionale richiede un approccio Monte Carlo nidificato, che prevede l'esecuzione di più simulazioni del moto browniano per ciascun percorso. Di conseguenza, questo processo può richiedere molto tempo.
In conclusione, la conferenza copre ampiamente argomenti relativi a misure, filtrazioni, aspettative condizionali e simulazioni Monte Carlo nell'ingegneria finanziaria. L'importanza di questi concetti nella determinazione del prezzo dei derivati, nella gestione del rischio e nella calibrazione del modello è sottolineata ovunque. Comprendendo i principi alla base di questi strumenti e tecniche, i professionisti finanziari possono migliorare la loro precisione di modellazione e affrontare efficacemente complessi problemi di determinazione dei prezzi.
Corso di ingegneria finanziaria: Lezione 2/14, parte 2/3, (Comprensione di filtri e misure)
Corso di ingegneria finanziaria: Lezione 2/14, parte 2/3, (Comprensione di filtri e misure)
Benvenuti a tutti alla sessione post-pausa. Oggi continueremo con il secondo blocco della Lezione 2 del corso di Ingegneria Finanziaria. In questo blocco, approfondiremo i prezzi e i tassi di interesse di XVA, concentrandoci su concetti avanzati.
In precedenza, abbiamo discusso il concetto di filtraggio e aspettative condizionali, insieme a un esercizio e una simulazione in Python. Ora esploreremo ulteriori aspettative che sono più avanzate rispetto agli esperimenti che abbiamo condotto in precedenza. In particolare, ci concentreremo sul prezzo delle opzioni e sugli strumenti di leva dall'aspettativa condizionale per migliorare la convergenza nelle simulazioni Monte Carlo. Inoltre, ti introdurrò al concetto di numerario e alla sua utilità nel prezzo dei derivati.
In questo blocco, non solo utilizzeremo il concetto di numerario, ma anche il teorema di Girsanov per trasformare la dinamica del modello di Black-Scholes dalla misura neutrale al rischio (misura P) alla misura Q. Questa trasformazione comporta la modifica del processo sottostante al moto browniano geometrico. È importante notare che la misura P è associata alle osservazioni storiche, mentre la misura Q è tipicamente collegata al prezzo dei derivati.
Passando al terzo blocco, ci concentreremo sui cambiamenti dettagliati delle misure. Dimostrerò molteplici vantaggi e trucchi per utilizzare le modifiche alle misure per ridurre le dimensioni e ottenere vantaggi significativi. Tuttavia, per ora, concentriamoci sui seguenti quattro elementi della lezione di oggi e godiamoci la sessione.
In primo luogo, utilizzeremo la nostra conoscenza dell'aspettativa condizionale e del filtraggio per affrontare i prezzi delle opzioni reali. In particolare, prenderemo in considerazione un'opzione europea ed esploreremo come le aspettative condizionate possono aiutare a determinarne il prezzo. Lavoreremo con un'equazione differenziale stocastica più complessa, simile al modello di Black-Scholes ma con volatilità stocastica. Mentre Black-Scholes assume una volatilità costante (sigma), generalizzeremo il modello per includere la volatilità dipendente dal tempo e quella stocastica.
Sfruttando la proprietà della torre delle aspettative, possiamo risolvere questo problema e migliorare le nostre simulazioni Monte Carlo. Invece di simulare direttamente i percorsi e campionare casualmente la volatilità stocastica (j), possiamo ottenere una migliore convergenza utilizzando le aspettative condizionali. Condizionando la realizzazione di j, possiamo applicare la formula del prezzo di Black-Scholes per ogni j. Questo approccio riduce significativamente l'incertezza e i problemi correlati alle simulazioni Monte Carlo.
Nella prossima sezione, introdurrò una rappresentazione esatta per la determinazione del prezzo delle opzioni europee basata sulle aspettative condizionate e sulla formula di Black-Scholes. Ciò comporterà aspettative interne ed esterne, in cui l'aspettativa interna condiziona una specifica realizzazione di j e applica la formula di Black-Scholes. L'aspettativa esterna richiede il campionamento da j e l'utilizzo della formula di Black-Scholes per ciascun campione.
Per quantificare l'impatto dell'applicazione della proprietà della torre per le aspettative nelle simulazioni Monte Carlo, confronteremo due approcci. Il primo approccio è una simulazione Monte Carlo a forza bruta, in cui campioniamo direttamente l'aspettativa senza utilizzare le informazioni del modello Black-Scholes. Il secondo approccio incorpora le aspettative condizionali e la formula di Black-Scholes. Confrontando convergenza e stabilità, possiamo osservare il significativo guadagno ottenuto attraverso l'approccio dell'aspettativa condizionale.
Spero che troverai utili queste informazioni. Se sei interessato a esplorare ulteriormente gli aspetti pratici delle aspettative condizionali, ti consiglio di fare riferimento al Capitolo 3 (Volatilità stocastica) e al Capitolo 12 (Prezzo dei tablet) nel libro. Procediamo ora alla dimostrazione pratica di questo approccio utilizzando il codice Python.
Dopo aver generato i campioni Monte Carlo per il titolo e la volatilità, passiamo alla parte successiva del codice, che prevede il calcolo dei payoff delle opzioni per ciascun campione. In questo caso, consideriamo un'opzione call europea con un prezzo di esercizio di 18. Possiamo calcolare il payoff dell'opzione utilizzando la seguente equazione:
payoff = np.maximum(stock_samples[-1] - strike, 0)
Successivamente, calcoliamo l'aspettativa condizionale utilizzando la formula di Black-Scholes. Per ogni campione della volatilità, calcoliamo il prezzo dell'opzione utilizzando il modello Black-Scholes con il corrispondente valore di volatilità:
volatility_samples = np.exp(j_samples / 2)
d1 = (np.log(stock_samples[0] / strike) + (0.5 * (volatility_samples ** 2)) * scadenza) / (volatility_samples * np.sqrt(scadenza))
d2 = d1 - (volatility_samples * np.sqrt(scadenza))
conditional_expectation = np.mean(np.exp(-r * scadenza) * (stock_samples[0] * norm.cdf(d1) - strike * norm.cdf(d2)))
Infine, calcoliamo il prezzo complessivo dell'opzione prendendo la media delle aspettative condizionali su tutti i campioni di volatilità:
prezzo_opzione = np.mean(aspettativa_condizionale)
Utilizzando l'approccio dell'aspettativa condizionale, sfruttiamo le informazioni del modello Black-Scholes per migliorare la convergenza della simulazione Monte Carlo. Ciò porta a prezzi delle opzioni più accurati e riduce il numero di percorsi Monte Carlo necessari per una convergenza soddisfacente.
È importante notare che il codice qui fornito è un esempio semplificato per illustrare il concetto. In pratica, potrebbero esserci ulteriori considerazioni e perfezionamenti per tenere conto di fattori come la volatilità stocastica, le fasi temporali e altre ipotesi del modello.
Nel complesso, l'applicazione di aspettative condizionali nel prezzo delle opzioni può migliorare l'efficienza e l'accuratezza delle simulazioni Monte Carlo, in particolare quando si tratta di modelli complessi che si discostano dalle ipotesi del framework Black-Scholes.
Ora spostiamo la nostra attenzione sull'argomento dei cambiamenti di misura nell'ingegneria finanziaria. Quando si ha a che fare con la dinamica dei sistemi, a volte è possibile semplificare la complessità del problema dei prezzi attraverso opportune trasformazioni di misura. Questo è particolarmente rilevante nel mondo dei tassi di interesse, dove ci sono più sottostanti con frequenze diverse. Per stabilire un quadro coerente, ci affidiamo a trasformazioni di misure che portano i processi stocastici da diverse misure in una misura sottostante.
Nel campo della finanza matematica, i numerari svolgono un ruolo significativo come entità negoziabili utilizzate per esprimere i prezzi di tutte le attività negoziabili. Un numerario è l'unità in cui sono espressi i valori delle attività, come mele, obbligazioni, azioni o conti di risparmio. Esprimendo i prezzi in termini di numerario, stabiliamo un quadro coerente per il trasferimento di beni e servizi tra diverse controparti.
In passato, le attività erano spesso espresse in termini di oro o altri numerari. La scelta di un numerario adeguato può semplificare e migliorare notevolmente la complessità dei problemi di ingegneria finanziaria. Lavorare con le martingale, che sono processi senza deriva, è particolarmente vantaggioso in finanza in quanto sono più facili da gestire rispetto ai processi con deriva.
Diverse misure sono associate a specifiche dinamiche di processi e asset negoziabili. I casi comuni includono la misura neutrale al rischio associata ai conti di risparmio di denaro, la misura T-forward associata alle obbligazioni zero coupon e la misura associata alle azioni come numerari. Le modifiche alle misure forniscono un modo per passare da una misura all'altra e trarre vantaggio dalle proprietà dei diversi processi. Il teorema di Girsanov è uno strumento cruciale per le trasformazioni di misura, permettendoci di passare da una misura all'altra in determinate condizioni.
Mentre gli aspetti teorici dei cambiamenti di misura possono essere complessi, questo corso si concentra sulle applicazioni pratiche e su come applicare la teoria a problemi reali. Il punto principale è capire come i cambiamenti di misura e le martingale possono essere utilizzati come strumenti per semplificare e risolvere efficacemente i problemi di ingegneria finanziaria.
È importante notare che le modifiche alle misure sono strumenti potenti che possono aiutarci a gestire i processi senza deriva, noti come martingale. Modificando opportunamente la misura, possiamo rimuovere la deriva da un processo e semplificare il problema in questione. Ciò è particolarmente utile quando si ha a che fare con tassi di interesse stocastici e dinamiche azionarie.
Tuttavia, vale la pena ricordare che le modifiche alle misure potrebbero non essere sempre fattibili o comportare problemi più semplici. A volte, anche dopo aver rimosso la deriva, la dinamica di alcune variabili, come la varianza, può rimanere complessa. Ciò nonostante,
in generale, rimuovere la deriva attraverso i cambiamenti di misura semplifica il problema.
Lavorare con le martingale è vantaggioso perché le equazioni differenziali stocastiche senza deriva sono più facili da gestire rispetto a quelle con deriva. Identificando numeratori appropriati ed eseguendo modifiche di misura, possiamo ridurre efficacemente la complessità e migliorare le nostre tecniche di simulazione.
Le modifiche alle misure ci consentono di passare da una misura all'altra e beneficiare delle proprietà delle martingale. Comprendere e applicare le modifiche alle misure è un'abilità preziosa che può semplificare notevolmente la determinazione del prezzo e l'analisi degli strumenti finanziari.
Ora, approfondiamo il concetto di cambio di misura e la loro applicazione pratica nella finanza matematica. La formula di trasformazione della misura che abbiamo discusso in precedenza può essere scritta come segue:
dQb/dQa = exp(-1/2 * ∫₀ᵗ yₛ² ds + ∫₀ᵗ yₛ dWₛ)
Questa formula ci permette di passare da una misura, Qa, a un'altra misura, Qb. Implica l'uso di un processo specifico chiamato "processo numerario" indicato con yₛ e il processo Wiener Wₛ.
Il teorema di Girsanov afferma che in determinate condizioni, come la condizione di integrabilità sul termine esponenziale, questa trasformazione di misura è valida. Applicando questa trasformazione, possiamo cambiare la misura da Qa a Qb e viceversa.
Nelle applicazioni pratiche, i cambiamenti di misura vengono utilizzati per semplificare e risolvere problemi del mondo reale nella finanza matematica. Ci permettono di trasformare le dinamiche dei processi stocastici e sfruttare le proprietà delle martingale.
Selezionando opportunamente i numeratori ed eseguendo i cambi di misura, possiamo rimuovere la deriva da un processo e semplificare il problema in questione. Questa semplificazione è particolarmente vantaggiosa quando si ha a che fare con modelli complessi che coinvolgono tassi di interesse stocastici e dinamiche azionarie.
È importante notare che le modifiche alle misure potrebbero non comportare sempre problemi più semplici. A volte, anche dopo aver rimosso la deriva, alcune variabili come la varianza possono ancora mostrare dinamiche complesse. Tuttavia, in generale, le modifiche alle misure forniscono un potente strumento per semplificare e risolvere i problemi di ingegneria finanziaria.
In questo corso, il nostro focus sarà sull'applicazione pratica dei cambiamenti di misura negli scenari del mondo reale. Esploreremo come estrarre i vantaggi dei cambi di misura e delle martingale per semplificare problemi complessi nella finanza matematica.
Per riassumere, i cambiamenti di misura giocano un ruolo cruciale nella finanza matematica, permettendoci di passare da una misura all'altra e sfruttare le proprietà delle martingale. Comprendendo e applicando le modifiche alle misure, possiamo semplificare la determinazione del prezzo e l'analisi degli strumenti finanziari, migliorare le nostre tecniche di simulazione e affrontare modelli complessi in modo più efficace.
Corso di ingegneria finanziaria: Lezione 2/14, parte 3/3, (Comprensione di filtri e misure)
Corso di ingegneria finanziaria: Lezione 2/14, parte 3/3, (Comprensione di filtri e misure)
Proseguendo con la lezione, il docente approfondisce il tema dei cambi di misura e le loro applicazioni pratiche in finanza. Iniziano fornendo un ripasso sul teorema di Girizanov e sul concetto di misura dello stock. Stabilendo una base, l'istruttore pone le basi per esplorare come i cambiamenti di misura possono ridurre efficacemente la dimensionalità nei modelli finanziari.
La conferenza si concentra sulla transizione da una misura neutrale al rischio a una misura del conto di risparmio guidato dall'asset azionario. Questa transizione si ottiene utilizzando il rapporto tra le due misure e il processo è spiegato in termini semplici. L'accento è posto sull'importanza di esprimere l'asset prescelto nella stessa unità di altri asset nel proprio portafoglio, che può essere realizzato attraverso modifiche di misura. Inoltre, la lezione approfondisce la discussione della funzione di payoff, in cui l'aspettativa sotto la misura associata è espressa come l'integrale su uno diviso per la misura. Questo risultato fornisce un mezzo per trovare la query desiderata. La conferenza si conclude mostrando il metodo di sostituzione utilizzato per ottenere il termine finale, illustrando ulteriormente la praticità dei cambi di misura.
Andando avanti, il relatore esplora la semplificazione del payoff e approfondisce le dinamiche del titolo con la nuova misura. Il valore di t0 è fornito come aspettativa nelle misurazioni del massimo st meno k 0, introducendo un nuovo metodo martingala. Viene chiarito il concetto dell'approccio martingala, sottolineando l'importanza di dividere tutto per il processo stock per soddisfare le condizioni per una martingala. Viene evidenziato il processo di attualizzazione, con enfasi sui suoi benefici nella semplificazione delle dinamiche previste dal nuovo provvedimento. La dinamica può essere derivata dal rapporto di mtst come martingala. Inoltre, il relatore sottolinea la necessità di determinare la varianza e la trasformazione misurata sotto la nuova misura per sfruttare efficacemente i vantaggi dell'approccio martingala.
Ampliando la lezione, il docente spiega come la stessa procedura utilizzata per il caso Black-Scholes possa essere applicata a processi non martingala. Seguendo una serie di condizioni necessarie, è possibile utilizzare le trasformazioni delle misure per ricavare la dinamica di un nuovo processo e determinare le aspettative in base a una nuova misura. L'importanza di tenere conto delle correzioni sulla deriva e sulla volatilità risultanti da questa trasformazione è sottolineata quando si implementano entrambi i processi nell'ambito della misura originale e della nuova misura. Alla fine, il calcolo si semplifica in un'espressione elegante che coinvolge un singolo processo log-normale sotto la nuova misura.
Inoltre, il docente introduce un sistema bidimensionale di equazioni differenziali stocastiche, S1 e S2, insieme a un valore di payoff associato a un conto di risparmio in denaro che paga solo se S2 raggiunge un certo livello. Per calcolare questa complessa aspettativa, diventa necessaria la distribuzione congiunta tra i due stock. Viene impiegata la trasformazione della misura, sfruttando il teorema di Girsanov per trovare l'aspettativa in una forma elegante. Il docente spiega il processo, con S1 scelto come numeratore e la derivata del numerario casuale identificata. La lezione sottolinea anche l'importanza di derivare tutti i cambiamenti di misura necessari ed esplora il potenziale impatto sulle relazioni tra i moti browniani in diverse misure. Il docente sottolinea l'importanza della trasformazione delle misure in strumenti finanziari complessi in modo elegante e potente.
Continuando con la lezione, il relatore chiarisce la trasformazione misurata per il derivato casuale della nicotina e sottolinea l'importanza di semplificare il payoff. Viene spiegata la formula per l'equazione, insieme alla misura corrispondente che deve essere trovata per annullare i termini. La dinamica dell'obbligazione di risparmio ei suoi coefficienti di deriva e volatilità sono discussi dopo l'applicazione del lemma dell'ethos. In questa trasformazione, l'elemento di correlazione risulta essere trascurabile. Il relatore sottolinea anche il significato della relazione tra S2 e S1 in relazione al tavolo ethos.
Spostando l'attenzione, il relatore discute le dinamiche di due processi stock nell'ambito della trasformazione della misura S1, che comporta la sostituzione di una nuova misura.
Sotto la trasformazione della misura S1, l'oratore spiega che il primo processo stock segue ancora una distribuzione log-normale ma con un termine aggiuntivo nella deriva. Allo stesso modo, il secondo processo di stock presenta un termine aggiuntivo dovuto alla correlazione tra i due processi. Il relatore sottolinea l'importanza di ordinare le variabili dalla più semplice alla più avanzata e raccomanda di utilizzare la decomposizione di Cholesky come tecnica per semplificare le equazioni differenziali stocastiche. Sfruttando le proprietà log-normali, la probabilità di valutazione può essere efficacemente risolta.
Espandendo l'ambito della lezione, il docente passa a discutere le obbligazioni zero coupon, che sono derivati fondamentali nel dominio dei tassi di interesse. Le obbligazioni zero coupon hanno un payoff semplice, un unico valore ricevuto al momento della scadenza, che le rende facili da comprendere e utilizzare. Inoltre, fungono da elementi costitutivi cruciali per la determinazione del prezzo di derivati più complessi. Si noti che in alcuni casi il valore di un'obbligazione all'inizio può essere maggiore di uno, indicando tassi di interesse negativi. I tassi negativi possono derivare da interventi della banca centrale volti ad aumentare la liquidità, anche se la loro efficacia nello stimolare la spesa rimane oggetto di dibattito. Il docente sottolinea che le obbligazioni zero coupon svolgono un ruolo cruciale nel processo di misurazione dei cambiamenti nel mondo dei tassi di interesse.
Inoltre, il docente approfondisce l'importanza di cambiare la misura in misura forward quando si considerano le obbligazioni zero coupon. Utilizzando il teorema fondamentale del prezzo e l'equazione generica del prezzo, è possibile derivare il valore corrente di un'obbligazione zero coupon. L'equazione del prezzo implica un'aspettativa di un payoff scontato, che equivale a uno per un'obbligazione zero coupon. Il docente sottolinea che i tassi di interesse sono stocastici e discute come eliminare lo sconto stocastico dall'equazione modificando la misura nella misura T forward. La sezione si conclude con una spiegazione di come è possibile modellare un derivato del codice rublo e di come l'equazione del prezzo si sposta dalla misura neutrale al rischio alla misura T forward.
Inoltre, il professore sottolinea l'importanza di modificare le misure e ridurre la dimensionalità nei modelli di prezzo all'interno della finanza. Passando ai prezzi sotto la misura T forward ed eliminando la specificità dal fattore sconto, i professionisti possono utilizzare le tecniche di cambio misura come potenti strumenti nelle loro operazioni quotidiane. La conferenza riassume il concetto di filtrazione e la loro relazione con le aspettative condizionali, sottolineando come questi strumenti possano semplificare problemi complessi in finanza.
Per coinvolgere gli studenti e rafforzare la loro comprensione, l'istruttore presenta tre esercizi. Il primo esercizio comporta l'implementazione di una soluzione analitica per il prezzo delle opzioni put, assicurando che il codice incorpori i tassi di interesse in Python. Il secondo esercizio estende il pricing alle opzioni put, offrendo l'opportunità di valutarne l'efficacia. Infine, gli studenti hanno il compito di confrontare l'espressione analitica con il risultato della simulazione Monte Carlo per l'espressione stock al quadrato della diapositiva 24. Questo esercizio evidenzia i vantaggi e le differenze sostanziali nell'applicazione delle trasformazioni di misura.
La conferenza fornisce un'esplorazione completa dei cambiamenti di misura e delle loro applicazioni in finanza. Copre argomenti come il passaggio di misure, la semplificazione dei payoff, le dinamiche sotto nuove misure, la trasformazione dei processi e l'importanza delle obbligazioni zero coupon e dei tassi di interesse. Sfruttando le trasformazioni delle misure, i professionisti possono migliorare i propri modelli di determinazione dei prezzi, semplificare i calcoli e ottenere informazioni preziose su strumenti finanziari complessi.