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Molto informativo.
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http://mathemlib.ru/mathenc/item/f00/s00/e0000653/index.shtml
VARIAZIONE DI UN FUNZIONALE
VARIAZIONE FUNZIONALE, la prima variazione, è una generalizzazione della nozione di differenziale di una funzione di una variabile, la parte lineare principale dell'incremento del funzionale lungo una certa direzione; è usata nella teoria dei problemi estremi per ottenere condizioni necessarie e sufficienti di un estremo. Questo è il significato del termine "V. f.", a partire dal lavoro di J. Lagrange [1] (1760). J. Lagrange considerava prevalentemente i funzionali del calcolo classico della forma:
(1)
Se sostituiamo la funzione data x0(t) con x0(t) + αh(t) e la sostituiamo nell'espressione per J(x), allora, supponendo la differenziabilità continua dell'integranda L, vale la seguente equazione
J(x0 + αh) = J(x0) + αJ1(x0)(h) + r(α), (2)
dove |r(α)| → 0 quando α → 0. La funzione h(t) è spesso chiamata la variazione della funzione x0(t) ed è talvolta indicata con δx(t). L'espressione J1(x0) (h), che è un funzionale rispetto alle variazioni di h, è chiamata la prima variazione del funzionale J(x) e viene indicata con δJ(x0, h). Applicata alla funzionale (1), l'espressione per la prima variazione è
(3)
dove
L'uguaglianza a zero della prima variazione per tutti gli h è una condizione necessaria dell'estremo del funzionale J(x). Per il funzionale (1) l'equazione di Eulero segue da questa condizione necessaria e dal lemma principale del calcolo delle variazioni (vedi lemma di Dubois-Reymond):
In modo analogo alla (2), si determinano anche variazioni di ordini superiori (vedi, per esempio, nell'articolo Seconda variazione di una funzionale).
La definizione generale della prima variazione nell'analisi dimensionale infinita fu data da B. Gateaux nel 1913 (vedi variazione di Gato). In sostanza, la definizione di Gateaux è identica a quella di Lagrange. La prima variazione di un funzionale è un funzionale omogeneo, ma non necessariamente lineare, V. f. sotto l'ulteriore assunzione di linearità e continuità (su h) dell'espressione δJ(x0, h) è solitamente chiamata derivata di Gato. I termini "variazione di Gato", "derivata di Gato", "differenziale di Gato" sono più comunemente usati rispetto a V. f.; il termine "V. f." è conservato solo per le funzioni nel classico calcolo delle variazioni (vedi [3]).
Vedi [1] Lagrange J., Essai d'une nouvelle méthode pour déterminer les maxima et les minimum des formules intégrales indefinies, Torino, 1762; [2] Gateaux R., 'Bull. Soc. Matematica. France", 1919, vol. 47, pp. 70-96; [3] Lavrent'ev M.A., Lusternik L.A., A course in calculus of variations, 2nd edition, M.-L., 1950.
В. M. M. Tikhomirov.
Fonti:
http://mathemlib.ru/mathenc/item/f00/s00/e0000879/index.shtml
SECONDA VARIAZIONE
La SECONDA VARIAZIONE è un caso speciale della variazione n-esima di un funzionale (vedi anche variazione di Gato), generalizzando la nozione di derivata seconda di una funzione di più variabili; è usata nel calcolo delle variazioni. Secondo la definizione generale di v. nel punto x0 della funzione f(x) definita nello spazio normalizzato X, c'è
Se la prima variazione è zero, la non negatività di V. v. è necessaria, e la stretta positività
δ2 f(x0, h) ≥ α ||h|||2, α > 0
sotto alcune ipotesi, è una condizione sufficiente per il minimo locale di f(x) a x0.
Nel più semplice problema (vettoriale) del calcolo variazionale classico il V. v. del funzionale
(considerato su funzioni vettoriali di classe C1 con valori limite fissi x(t0) = x0, x(t1) = x1) ha la forma:
(*)
dove 〈⋅, ⋅〉' denota il prodotto scalare standard in ℝn, e A(t), B(t), C(t) sono matrici con coefficienti rispettivamente (le derivate sono calcolate nei punti della curva x0(t)). È opportuno considerare il funzionale da h definito dalla formula (*) non solo nello spazio C1, ma anche nel più ampio spazio W12 delle funzioni vettoriali assolutamente continue con quadrato integrabile del modulo della derivata. In questo caso la non negatività e la stretta positività di V. v. sono formulate in termini di non negatività e stretta positività della matrice A(t) (condizione di Lejandre) e assenza di punti coniugati (condizione di Jacobi), che dà condizioni di minimo debole nel calcolo delle variazioni.
Per il calcolo delle variazioni in generale, V. v. è stato studiato per gli estremi che non forniscono necessariamente un minimo (ancora, però, -quando la condizione di Lejandre è soddisfatta, vedi [1]). Il risultato più importante è la coincidenza di Morse dell'indice V. v. e il numero di punti coniugati a t0 sull'intervallo (t0, t1) (vedi [2]).
Vedi [1] Morse M., The calculus of variations in tne large, N. Y., 1934; [2] Milnor J., Morse theory, translated from English, M., 1965.
В. M. Tikhomirov.
Fonti:
Oggi è iniziato un concorso a cui anch'io ho deciso di partecipare.
inizio 01.11.2018.
Finito il 30.11.2018.
Ho fissato un obiettivo:
Per aumentare il deposito iniziale di 100 volte.
E preferibilmente senza perdere i trade ;)Oggi è iniziato un concorso a cui anch'io ho deciso di partecipare.
inizio 01.11.2018.
Finito il 30.11.2018.
Ho fissato un obiettivo:
Per aumentare il deposito iniziale di 100 volte.
E preferibilmente senza perdere i trade ;)o puoi scommettere :-)
C'è qualche monitoraggio? Almeno un concorso impersonale di top 10 - farò il tifo per te...
o puoi scommettere :-)
Si'. Ok. Grazie.
Dovrò chiedere ai moderatori la posta in gioco.
Si'. Ok. Grazie.
Dovrai chiedere ai moderatori la posta in gioco.
sì, naturalmente sei il benvenuto...
basta chiedere - non essere come gli altri - se le cose non funzionano (e potrebbero non funzionare la maggior parte delle volte), affronta onestamente gli errori proprio qui in pubblico
ps/ o forse funzionerà
sì, naturalmente sei il benvenuto...
Ma per favore non essere come gli altri - se le cose non funzionano (e potrebbero non funzionare la maggior parte delle volte), affronta onestamente gli errori proprio qui in pubblico
ps/ o forse funzionerà
è un affare.
Darò rapporti giornalieri sui progressi.
Funzionerà?