[Archives] Mathématiques pures, physique, chimie, etc. : problèmes d'entraînement cérébral sans rapport avec le commerce. - page 289
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Richie, il semble que tu aies ton propre programme sur Vasik pour des calculs d'une précision folle, tu t'en es vanté une fois. Essayez de calculer un nombre dont le carré correspond à ce que demande le problème.
Je me suis beaucoup amusé pendant ma quatrième année à l'université. Nous avions un bon professeur d'informatique, diplômé de l'université d'État de Moscou, qui avait l'habitude de poser des problèmes aussi intéressants. Ensuite, tous ces modules ne m'ont pas été utiles, et ont été éliminés par manque d'utilisation, ainsi que de nombreux cahiers. Maintenant la précision de plus de 5 caractères n'est pas utilisée.
En général, vos tâches sont intéressantes. Je ne sais même pas comment l'aborder :)
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Quand j'aurai beaucoup de temps libre, j'essaierai de rétablir ce que je faisais autrefois. Je me souviens que j'avais du mal avec ces zéros à l'époque.
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Eh bien, le numéro : 3,16...................e+99
C'est évident. Combien de signes y a-t-il dans l'ellipse, qui sait ? Bien sûr, ce n'est pas une preuve.
OK, écoutons ceux qui tentent de le résoudre...
Considérons la différence entre deux carrés adjacents, n^2 et (n+1)^2. C'est 2*n+1.
Maintenant, regardez notre nombre à 199 chiffres. Si elle doit être le carré d'un certain nombre k, alors k < 3,2*10^99. Par conséquent, la différence entre les carrés adjacents d'entiers autour de k ne peut jamais être supérieure à 2*3,2*10^99 + 1 < 6,4*10^99 + 1 < 10^100 -1.
D'autre part, les 100 chiffres attribués aux 99 d'origine sont en tout cas un nombre non inférieur à 0, mais non supérieur à 10^100-1. C'est-à-dire qu'il y a forcément une sorte de carré placé dans cette fourchette. C'est tout.
ОК, вот решение задачки про 99 девяток.
Рассмотрим разность между двумя соседними квадратами, n^2 и (n+1)^2. Она равна 2*n+1.
Теперь - про наше 199-разрядное число. Если оно и должно быть квадратом некоторого числа k, то k < 3.2*10^99. Следовательно, разница между соседними квадратами целых в районе k никак не может быть больше 2*3.2*10^99 + 1 < 6.4*10^99.
С другой стороны, 100 цифр, приписанных к исходным 99, в любом случае составляют число не меньше 0, но не больше 10^100-1. Т.е. в этом диапазоне обязательно разместится некий квадрат. Всё.
Super. Bravo !
J'ai déjà vu un tel raisonnement quelque part, mais il m'a été utile maintenant (je ne me souviens que du début, lié à la construction du nombre alpha). Je pense que c'est apparu dans la théorie des nombres transcendants.
Preuve.
Soit alpha = (sqrt(2))^sqrt(2). Alors, évidemment, alpha^sqrt(2) = 2. Nous ne savons pas ce qu'est le numéro alpha du monstre, alors raisonnons.
Supposons qu'alpha soit irrationnel. Alors la dernière égalité résout le problème.
Maintenant, supposons que alpha est rationnel. De toute évidence, il n'est pas égal à 1. Alors il existe un n naturel tel que alpha^(1/n) est irrationnel. Donc, (alpha^(1/n))^(n*sqrt(2)) = alpha^sqrt(2) = 2. Nous avons à nouveau trouvé une paire d'irrationnels satisfaisant le problème : alpha^(1/n) et n*sqrt(2). Prouvé.
P.S. La preuve est "pas vraiment constructive". Ceux qui souhaitent construire un exemple explicite, essayez vous-même. À propos, un nombre plus simple, alpha = 2^sqrt(2), convient également pour la preuve.
1) Nombre maximal de dés lancés = 25 (nombre de nombres premiers compris entre 1 et 89 + 1).
// nombre minimum de dés pour obtenir le nombre maximum = 15
2) Moyenne des sommes finales = 7,449704470311508 ;
Comment j'ai résolu le deuxième point. Très simple - j'ai fait un script dans mql5. :) :)
J'ai trouvé un algorithme très brillant, car il est simple. La simplicité réside dans le fait que vous n'avez pas à construire un arbre de décision, tout est résolu en une seule fois.
Le script et un fichier texte avec les résultats dans la remorque. Si vous avez des questions sur l'algorithme, posez-les, j'y répondrai.
Доказать, что существуют иррациональные a, b такие, что a^b рационально. 20_
Где-то такое чудесное рассуждение видел, но вот сейчас пригодилось (помню только начало, связанное с конструированием числа alpha). Кажись, встретилось мне в теории трансцендентных чисел.
Доказательство.
Пусть alpha = (sqrt(2))^sqrt(2). Тогда, очевидно, alpha^sqrt(2) = 2. Мы не знаем, что это за уродец такой, число alpha, поэтому давайте рассуждать.
Допустим, что alpha иррационально. Тогда последнее равенство решает задачу.
Теперь допустим, что alpha рационально. Очевидно, оно не равно 1. Тогда существует такое натуральное n, что alpha^(1/n) - иррационально. Следовательно, (alpha^(1/n))^(n*sqrt(2)) = alpha^sqrt(2) = 2. Мы снова нашли пару иррациональных, удовлетворяющих задаче: alpha^(1/n) и n*sqrt(2). Доказано.
P.S. Доказательство "не совсем конструктивно". Желающие построить явный пример - попробуйте сами. Кстати, число попроще, alpha = 2^sqrt(2), тоже подходит для доказательства.
Bien joué. En lisant attentivement, j'en ai trouvé une plus simple. Je reproduis l'ensemble (je copie le début du tableau, j'ajoute le mien en vert) :
Preuve.
Soit alpha = (sqrt(2))^sqrt(2). Alors, évidemment, alpha^sqrt(2) = 2. Nous ne savons pas ce qu'est le numéro alpha du monstre, alors raisonnons.
Supposons qu'alpha soit irrationnel. Alors la dernière égalité résout le problème.
Maintenant, supposons que alpha est rationnel. La solution est donc alpha = (sqrt(2))^sqrt(2) ;
C'est tout. :))
Теперь допустим, что alpha рационально. Тогда решением является alpha = (sqrt(2))^sqrt(2);
Oh, oui, oui :) Bon sang, parfois je ne vois pas l'évidence.
Et il y a quelque chose de suspect avec votre script. Voyons voir.