Quantitativer Handel - Seite 35
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Optionsauszahlungen und Gewinne und Verluste (Berechnungen für CFA®- und FRM®-Prüfungen)
Optionsauszahlungen und Gewinne und Verluste (Berechnungen für CFA®- und FRM®-Prüfungen)
Hallo zusammen, heute werden wir uns mit dem Konzept der Optionskapseln befassen und die Unterschiede zwischen Optionsauszahlung und Options-GuV untersuchen. Wir werden die unterschiedlichen Profile der Optionsauszahlungen untersuchen und die damit verbundenen Formeln verstehen.
Beginnen wir mit den vier grundlegenden Options-Auszahlungsprofilen. Wir haben zwei Arten von Optionen: Call-Optionen und Put-Optionen. Bei Call-Optionen können wir entweder eine Long-Position oder eine Short-Position einnehmen. Ebenso können wir bei Put-Optionen entweder Long- oder Short-Positionen eingehen.
Um zu verstehen, was es bedeutet, Long- oder Short-Positionen einzugehen, klären wir zunächst das Konzept der Call- und Put-Optionen. In diesem Zusammenhang sollten wir Optionen immer aus der Long-Perspektive betrachten und die Formeln für Short-Positionen einfach mit -1 multiplizieren. Diese Konvention ist nützlich, da Optionen Derivate sind, bei denen eine Seite ein Recht hat und die andere Seite eine Verpflichtung trägt. Im Gegensatz zu Futures- oder Forward-Kontrakten, bei denen beide Seiten Verpflichtungen haben, liegt der eigentliche Vorteil von Optionen bei der Partei, die das Recht hält, also auf der langen Seite.
Für die Formeln, die sich auf Positionen oder Verpflichtungen beziehen, berücksichtigen wir auch die Long-Perspektive und verfolgen den umgekehrten Ansatz. Dadurch vermeiden wir Verwirrung und sorgen für ein klares Verständnis der Thematik.
Lassen Sie uns nun die vier grundlegenden Optionsstrategien untersuchen. Wenn wir eine Long-Call-Position haben, bedeutet das, dass wir das Recht erworben haben, den Basiswert zu kaufen. Ebenso weist eine Long-Put-Position auf den Kauf des Rechts hin, den Basiswert zu verkaufen. Andererseits bedeutet eine Short-Call-Position, dass wir das Recht an jemand anderen verkauft haben und dadurch eine Verpflichtung zum Verkauf des Basiswerts eingehen. Ebenso bedeutet eine Short-Put-Position die Verpflichtung, den Basiswert zu kaufen.
Denken Sie immer daran, aus der langfristigen Perspektive zu denken. Die Long-Positionen halten die Rechte, während die Short-Positionen die Verpflichtungen beinhalten. Dieser Ansatz hilft uns, die vier grundlegenden Optionsrisiken zu verstehen.
Lassen Sie uns nun die Optionsprämie besprechen. Die Optionsprämie, auch Optionspreis genannt, bezieht sich auf den Vorabbetrag, der erforderlich ist, um das Recht zum Kauf oder Verkauf des Basiswerts zu erwerben.
Lassen Sie uns nun zwischen Optionsauszahlung und Options-Gewinn- und Verlustrechnung unterscheiden, da die beiden Begriffe aufgrund ihrer ähnlichen Verwendung in Termin- und Terminkontrakten häufig verwechselt werden. Unter Payoff versteht man den Umsatz oder Zufluss aus einer Option, ohne Berücksichtigung der damit verbundenen Kosten. Im Gegensatz dazu berücksichtigt die Gewinn- und Verlustrechnung sowohl Umsatz als auch Kosten, da sie den Gewinn oder Verlust berechnet, indem sie die Kosten vom Umsatz abzieht.
Konzentrieren wir uns nun auf die Optionsauszahlungen und die verschiedenen damit verbundenen Formeln. Lassen Sie uns zunächst die Auszahlung langer Anrufe untersuchen. Visuell können Sie das Auszahlungsdiagramm daran erkennen, dass der größte Teil davon auf der x-Achse liegt, was darauf hindeutet, dass die Long-Position keinen Verlust erlitten hat. Allerdings entsteht zu Beginn ein leichter Verlust durch die gezahlte Optionsprämie. Die Formel für die Long-Call-Auszahlung lautet max(ST – X, 0), wobei ST den Vermögenspreis bei Verfall und X den Ausübungspreis darstellt.
Für die kurzfristige Auszahlung können wir eine einfache Regel anwenden: Der Gewinn der einen Partei ist der Verlust der anderen. Um die Auszahlung für kurze Anrufe zu berechnen, multiplizieren Sie daher die Auszahlungsformel für lange Anrufe mit -1.
Wenn wir uns der Long-Put-Auszahlung zuwenden, lautet die Formel max(X – ST, 0). Eine Put-Option wird wertvoll, wenn der Preis des Basiswerts sinkt. In ähnlicher Weise multiplizieren Sie für die Short-Put-Auszahlung die Long-Put-Auszahlungsformel mit -1.
Denken Sie daran, dass wir uns in den obigen Berechnungen ausschließlich auf den Umsatzaspekt konzentriert haben und die damit verbundenen Kosten außer Acht gelassen haben. Um die Kosten zu berücksichtigen, erweitern wir die Formeln zur Berechnung der Options-Gewinn- und Verlustrechnung. Die Formeln für die Options-Gewinn- und Verlustrechnung beinhalten eine Anpassung der Optionsprämie.
Für Long-Call- und Short-Call-Gewinn- und Verlustrechnungen subtrahieren Sie die Call-Optionsprämie (CT) von den jeweiligen Auszahlungsformeln.
Umgekehrt addieren Sie für Long-Put- und Short-Put-Gewinn- und Verlustrechnungen die Put-Optionsprämie (PT) zu den jeweiligen Auszahlungsformeln. Die Formeln für die Options-Gewinn- und Verlustrechnung lauten wie folgt:
Long Call G&L: max(ST - X, 0) - CT Short Call G&L: -max(ST - X, 0) + CT
Long Put Gewinn- und Verlustrechnung: max(X - ST, 0) - PT Short Put Gewinn- und Verlustrechnung: -max(X - ST, 0) + PT
Durch die Einbeziehung der Optionsprämie können wir den Gewinn oder Verlust einer Optionsposition ermitteln und dabei sowohl den Umsatz als auch die damit verbundenen Kosten berücksichtigen.
Es ist wichtig zu beachten, dass Optionsauszahlungen und Gewinn- und Verlustberechnungen vom Ablauf des Optionsvertrags ausgehen. Bei Ablauf werden Auszahlung und Gewinn/Verlust auf der Grundlage des Endpreises des zugrunde liegenden Vermögenswerts realisiert.
Darüber hinaus gehen die bereitgestellten Formeln von Optionen im europäischen Stil aus, bei denen die Ausübung nur bei Ablauf erfolgen kann. Bei Optionen im amerikanischen Stil, die eine frühzeitige Ausübung ermöglichen, können die Berechnungen komplexer sein und zusätzliche Faktoren wie den Zeitwert der Option und potenzielle Möglichkeiten einer frühzeitigen Ausübung berücksichtigen.
Das Verständnis der Optionsauszahlungen und Gewinne und Verluste ist entscheidend für die Bewertung der potenziellen Ergebnisse und Risiken, die mit verschiedenen Optionsstrategien verbunden sind. Diese Berechnungen helfen Händlern und Anlegern, die Rentabilität und Effektivität ihrer Optionspositionen einzuschätzen.
Anleihenbewertung (Berechnungen für CFA®- und FRM®-Prüfungen)
Anleihenbewertung (Berechnungen für CFA®- und FRM®-Prüfungen)
Grüße an alle! Beginnen wir unsere Diskussion, indem wir uns mit dem Konzept der Anleihebewertung befassen. Heute konzentrieren wir uns auf die Bedeutung der Unterscheidung zwischen Kupon und Rendite und darauf, wie sie miteinander in Beziehung stehen und sich letztendlich auf die Preisdynamik auswirken.
Zunächst ist es wichtig, den Unterschied zwischen Wert und Preis zu verstehen. Häufig stoßen wir auf Texte, in denen die Notwendigkeit erwähnt wird, den Preis einer Anleihe festzulegen. In Wirklichkeit bewerten wir jedoch die Anleihe. Technisch gesehen bezieht sich der Preis auf den Marktpreis, der von der Konsensmeinung der Marktteilnehmer abhängt. Sie wird von Angebots- und Nachfragefaktoren beeinflusst und bleibt für alle Personen zu einem bestimmten Zeitpunkt gleich. Beispielsweise sind Aktienkurse an der Börse beobachtbar, während Anleihekurse an der Anleihebörse erhältlich sind. Wenn wir eine Bewertung vornehmen, ist es daher angemessener, sie als Bewertungsprozess und nicht als Preisfestsetzung zu bezeichnen.
Die Bewertung ist nicht nur für Anleihen, sondern für jeden Vermögenswert ein eher subjektiver Prozess, da sie verschiedene Annahmen erfordert. Diese Annahmen können von Person zu Person variieren und zu unterschiedlichen Bewertungen führen. Beispielsweise könnte ein Analyst eine Aktie oder Anleihe für überbewertet halten, während ein anderer Analyst dieselbe Anleihe möglicherweise für unterbewertet hält. Es ist wichtig zu erkennen, dass diese Unterschiede auf die Verwendung unterschiedlicher Annahmen in ihren Analysen zurückzuführen sind. Tatsächlich ist es die Existenz unterschiedlicher Meinungen und Perspektiven, die das Funktionieren eines Marktes erleichtert.
Folglich bezieht sich der Wert auf den wahrgenommenen Wert eines bestimmten Vermögenswerts und kann von Person zu Person aufgrund ihrer individuellen Annahmen unterschiedlich sein. Wenn wir also den Wert einer Sache berechnen, beteiligen wir uns am Bewertungsprozess. Es ist wichtig zu bedenken, dass es bei diesem Prozess um die Anwendung subjektiver Annahmen und nicht um die Festlegung eines Marktpreises geht.
Schauen wir uns nun die Methode genauer an, die üblicherweise zur Bewertung von Finanzanlagen, einschließlich Anleihen, verwendet wird: der Discounted-Cashflow-Ansatz (DCF), der das Konzept des Zeitwerts des Geldes beinhaltet. Um unser Gedächtnis aufzufrischen, betrachten wir eine Zeitleiste von Null bis Unendlich. Zukünftige Werte (FV) zu unterschiedlichen Zeitpunkten, wie FV1, FV2 und FV3, müssen auf den Zeitraum Null abgezinst werden, um den Gegenwartswert (PV) zu berechnen. Durch die Summierung dieser Barwerte können wir den aktuellen Wert des Vermögenswerts ermitteln. Dieses Prinzip gilt auch für die Bewertung von Anleihen.
Bei der Anleihenbewertung diskontieren wir die zukünftigen Cashflows, die aus regelmäßigen Kuponzahlungen (C1, C2 und C3 bei einer dreijährigen Anleihe) und der Schlusszahlung, dem Nennwert, bestehen. Alle Kuponzahlungen werden unter Verwendung der Rendite (Y), die die Rendite bis zur Fälligkeit oder ein anderes Renditemaß sein kann, auf den Zeitraum Null abgezinst. Zu der Summe dieser Barwerte wird schließlich der Nennwert addiert, um den aktuellen Wert der Anleihe zu ermitteln.
Eine häufige Gefahr bei der Anleihenanalyse ist die Verwechslung zwischen Kupon (C) und Rendite (Y). Um den Unterschied intuitiv zu verstehen, betrachten wir ein Beispiel, bei dem der Kupon 12 % und die Rendite 8 % beträgt. In diesem Szenario bietet der Emittent eine höhere Rendite (12 %) als der Anleger aufgrund des damit verbundenen Risikos verlangt (8 %). Infolgedessen wird die Anleihe mit einem Aufschlag gehandelt, was bedeutet, dass ihr Preis über dem Nennwert liegt. Liegt der Kupon dagegen unter der Rendite, wie in unserem Beispiel 6 %, entschädigt der Emittent das Risiko nicht ausreichend und Anleger verlangen einen Abschlag auf den Anleihepreis. Folglich wird die Anleihe mit einem Abschlag gehandelt. Wenn der Kupon der Rendite entspricht, wird die Anleihe zum Nennwert gehandelt, da die Rendite des Emittenten mit der vom Anleger geforderten Rendite übereinstimmt.
Der Kupon ist der feste Zinssatz, den der Anleiheemittent den Anleihegläubigern regelmäßig (normalerweise jährlich oder halbjährlich) auf der Grundlage des Nennwerts oder Nennwerts der Anleihe zahlt. Dieser Kuponsatz wird zum Zeitpunkt der Emission festgelegt und bleibt während der gesamten Laufzeit der Anleihe konstant.Andererseits stellt die Rendite die effektive Rendite dar, die ein Anleger erzielt, wenn er die Anleihe bis zur Fälligkeit hält. Die Rendite berücksichtigt den aktuellen Marktpreis der Anleihe, die erhaltenen Kuponzahlungen und die verbleibende Zeit bis zur Fälligkeit. Es spiegelt die Erwartungen und Faktoren des Marktes in verschiedenen Variablen wider, darunter die vorherrschenden Zinssätze, das Kreditrisiko und andere Marktbedingungen.
Die Beziehung zwischen der Kuponrate und der Rendite ist umgekehrt proportional. Wenn der Kupon der Anleihe höher ist als die vorherrschende Rendite, spricht man von einem höheren Kupon als der Rendite der Anleihe. In diesem Fall gilt die Anleihe als attraktiver für Anleger, da sie im Vergleich zum Marktpreis der Anleihe eine höhere Zinszahlung erhalten. Infolgedessen wird der Preis der Anleihe tendenziell mit einem Aufschlag gehandelt, was bedeutet, dass der Preis über ihrem Nennwert liegt.
Wenn umgekehrt der Kupon der Anleihe niedriger ist als die vorherrschende Rendite, spricht man von einem niedrigeren Kupon als der Rendite der Anleihe. In dieser Situation erhalten Anleger im Verhältnis zum Marktpreis der Anleihe weniger Zinsen, was die Anleihe weniger attraktiv macht. Folglich wird der Preis der Anleihe tendenziell mit einem Abschlag gehandelt, was bedeutet, dass der Preis unter ihrem Nennwert liegt.
Wenn der Kupon der Anleihe der aktuellen Rendite entspricht, wird die Anleihe zum Nennwert gehandelt. Das bedeutet, dass der Preis der Anleihe ihrem Nennwert entspricht. In diesem Fall entspricht der Kuponsatz der vom Markt geforderten Rendite und die Anleihe gilt als angemessen bewertet.
Es ist wichtig zu beachten, dass das Verhältnis zwischen Kupon und Rendite ein entscheidender Faktor bei der Bestimmung des Preises einer Anleihe auf dem Sekundärmarkt ist. Wenn sich die Marktzinsen ändern, wirkt sich dies auf die vorherrschende Rendite aus, die sich wiederum auf den Preis der Anleihe auswirkt. Steigt die vorherrschende Rendite über den Kupon der Anleihe, sinkt der Preis der Anleihe und umgekehrt.
Der Kuponsatz stellt die feste Zinszahlung einer Anleihe dar, während die Rendite die effektive Rendite darstellt, die ein Anleger erzielen wird. Das Verhältnis zwischen Kuponsatz und Rendite beeinflusst die Preisdynamik einer Anleihe, wobei höhere Kuponsätze im Verhältnis zur Rendite zu Prämien führen und niedrigere Kuponsätze im Verhältnis zur Rendite zu Abschlägen führen.
Entmystifizierung von Forward Rate Agreements (Berechnungen für CFA®- und FRM®-Prüfungen)
Entmystifizierung von Forward Rate Agreements (Berechnungen für CFA®- und FRM®-Prüfungen)
Hallo, heute befassen wir uns mit dem Konzept der Forward Rate Agreements, auch bekannt als FRAs oder Frog Contracts. Bei diesen Vereinbarungen handelt es sich um eine Variante traditioneller Terminkontrakte. Während Menschen im Allgemeinen mit traditionellen Terminkontrakten vertraut sind, die physische oder finanzielle Vermögenswerte wie Rohstoffe, Aktien oder Anleihen beinhalten, führen FRAs ein einzigartiges Element ein: Der zugrunde liegende Vermögenswert ist ein Zinssatz. Das Verständnis von FRAs kann jedoch aufgrund ihrer unterschiedlichen Notation und Formel, die sich von denen traditioneller Terminkontrakte unterscheiden, etwas verwirrend sein.
Um das Verstehen und Auswendiglernen von FRAs zu vereinfachen, konzentrieren wir uns auf die Zeitleiste, anstatt uns ausschließlich auf Formeln zu verlassen. Wenn Sie das Zeitachsenkonzept verstehen, können Sie FRA-bezogene Probleme lösen, ohne sich komplexe Formeln merken zu müssen. Lassen Sie uns diesen Ansatz untersuchen.
Bevor wir fortfahren, lassen Sie uns noch einmal kurz zusammenfassen, was ein Forward-Rate-Agreement ist. Ähnlich wie herkömmliche Terminkontrakte handelt es sich bei FRAs um außerbörsliche (OTC) Derivate, d. h. es handelt sich um privat ausgehandelte Verträge und nicht um börsengehandelte Instrumente. Folglich bergen FRAs ein Kreditrisiko.
Der Hauptzweck eines FRA besteht darin, den zukünftigen Wert einer Transaktion zu sichern. Im Gegensatz zu herkömmlichen Termingeschäften mit physischen oder finanziellen Vermögenswerten beinhalten FRAs die Festlegung eines festen Zinssatzes für einen Kredit, der in der Zukunft ausgeführt werden soll. Der Kreditnehmer und der Kreditgeber vereinbaren vorab die Festlegung des Zinssatzes für den Kredit. Der Kreditnehmer rechnet mit dem künftigen Kreditbedarf und möchte sich einen günstigen Zinssatz sichern, da er befürchtet, dass die Zinsen steigen könnten. Umgekehrt möchte der Kreditgeber in Zukunft Geld verleihen und ist besorgt über mögliche Zinssenkungen.
Bei einem FRA wird der feste Zinssatz gegen einen variablen Zinssatz getauscht. Der Kreditnehmer bzw. die Partei, die eine Long-Position eingeht, zahlt den festen Zinssatz und erhält den variablen Zinssatz. Umgekehrt zahlt der Kreditgeber oder die Partei, die Leerverkäufe tätigt, den variablen Zinssatz und erhält den festen Zinssatz. Es ist wichtig zu beachten, dass der Fokus in erster Linie auf dem festen Zinssatz liegt, während der variable Zinssatz zur Berechnung der Auszahlung bzw. des Gewinns und Verlusts der Position verwendet wird.
In der Terminologie von FRAs gibt es eine Abgrenzung zu regulären Terminkontrakten. Bei traditionellen Terminkontrakten gibt es eine Long-Partei (Käufer) und eine Short-Partei (Verkäufer), basierend auf dem zugrunde liegenden Vermögenswert, der gekauft oder verkauft wird. Bei FRAs wird jedoch kein physischer oder finanzieller Vermögenswert gekauft oder verkauft, was die Interpretation von Long und Short verwirrend macht. Um diese Verwirrung zu überwinden, müssen wir Long mit dem Kauf von Geld und Short mit dem Verkauf von Geld assoziieren.
Unter Berücksichtigung dieser Zuordnung nimmt der Kreditnehmer den Kredit, der die Long-Position darstellt, auf und zahlt den festen Zinssatz, während er den variablen Zinssatz erhält. Umgekehrt stellt der Kreditgeber den Kredit bereit, der die Short-Position darstellt, und erhält den festen Zinssatz, während er den variablen Zinssatz zahlt. Es ist wichtig zu verstehen, dass die Positionen immer gegensätzlich sind: Wenn eine Partei einen Festbetrag zahlt, erhält die andere einen Festbetrag und umgekehrt.
Kommen wir nun zur Namenskonvention von FRAs, die für dieses Derivat einzigartig ist. FRAs werden als „X mal Y“ bezeichnet, wobei X und Y Monate sind. Ein „1 by 4“-FRA bedeutet beispielsweise eine Vereinbarung über einen einmonatigen Kredit, der heute beginnt und in vier Monaten endet. Für Berechnungen ist es jedoch notwendig, diese Monate in Tage umzurechnen. Um dies zu erreichen, notieren Sie X und Y nebeneinander, fügen Sie eine 0 voran und schließen Sie sie in eine Zeitleiste ein. Diese Zeitleiste stellt visuell die Dauer des FRA dar.
Bei einem „1 x 4“-FRA würde die Zeitleiste beispielsweise als „0-1-4“ erscheinen. In dieser Darstellung bezeichnet 0 das FRA-Initiierungsdatum, 1 das FRA-Enddatum und 4 die theoretische Leihfrist. Es ist jedoch wichtig zu beachten, dass das Darlehen
Bei einem Forward Rate Agreement (FRA) müssen wir nun zwei wichtige Daten berücksichtigen: das Abwicklungsdatum und das Fälligkeitsdatum. Das Abrechnungsdatum ist das Datum, an dem der FRA initiiert wird, und das Fälligkeitsdatum ist das Datum, an dem das theoretische Darlehen beginnt.
Im Beispiel eines 2 x 3 FRA liegt der Abwicklungstermin im Zeitraum 0, was bedeutet, dass er sofort eingeleitet wird. Das Fälligkeitsdatum liegt im Zeitraum 2, was bedeutet, dass das theoretische Darlehen in zwei Monaten beginnt.
Konzentrieren wir uns nun auf die Begriffe „long“ und „short“ im Zusammenhang mit FRAs. Bei herkömmlichen Terminkontrakten repräsentiert die Long-Position den Käufer oder Inhaber des Basiswerts, während die Short-Position den Verkäufer repräsentiert. Bei FRAs ist die Interpretation jedoch etwas anders, da kein physischer oder finanzieller Vermögenswert gekauft oder verkauft wird.
Bei einem FRA bezieht sich die Long-Position auf die Partei, die Geld leihen möchte, und die Short-Position auf die Partei, die Geld leihen möchte. Die Long-Position ist der Kreditnehmer, während die Short-Position der Kreditgeber ist. Es ist wichtig, diese Unterscheidung zu verstehen, um zu bestimmen, wer feste und variable Zinssätze zahlt und erhält.
Im Beispiel eines 2 x 3 FRA ist der Kreditnehmer die Long-Position und der Kreditgeber die Short-Position. Der Kreditnehmer verpflichtet sich, einen festen Zinssatz zu zahlen, während der Kreditgeber sich bereit erklärt, den festen Zinssatz zu erhalten. Andererseits erhält der Kreditnehmer den variablen Zinssatz, während der Kreditgeber den variablen Zinssatz zahlt.
Der feste Zinssatz wird bei Beginn des FRA im Voraus festgelegt und vereinbart, während der variable Zinssatz auf einem Referenzzinssatz wie dem LIBOR basiert und bei Fälligkeit des FRA festgelegt wird.
Zusammenfassend lässt sich sagen, dass bei einem 2x3-FRA das Abrechnungsdatum im Zeitraum 0 liegt, das Fälligkeitsdatum im Zeitraum 2 liegt und der Kreditnehmer (Long) den festen Zinssatz zahlt und den variablen Zinssatz erhält, während der Kreditgeber (Short) erhält den festen Zinssatz und zahlt den variablen Zinssatz.
Wenn Sie den Zeitplan und die Rolle der Long- und Short-Positionen verstehen, können Sie sich in der Komplexität von FRAs zurechtfinden, ohne sich ausschließlich auf das Auswendiglernen von Formeln verlassen zu müssen. Durch die Visualisierung der Zeitachse und die korrekte Interpretation der Namenskonvention können Sie die wichtigsten Aspekte und Konzepte von Forward Rate Agreements erfassen.
Beta und CAPM (Berechnungen für CFA®- und FRM®-Prüfungen)
Beta und CAPM (Berechnungen für CFA®- und FRM®-Prüfungen)
Hallo, heute werden wir das Konzept von Beta und das Capital Asset Pricing Model (CAPM) besprechen. Beta, auch Betakoeffizient oder Betakoeffizient genannt, ist ein Maß für das systematische Risiko. Das systematische Risiko ist der Teil des Gesamtrisikos, der nicht durch Diversifizierung beseitigt werden kann. Mit anderen Worten handelt es sich um das Risiko, das dem gesamten Markt innewohnt und nicht durch die Aufnahme weiterer Wertpapiere in ein Portfolio vermieden werden kann.
Es ist wichtig zu beachten, dass Beta nicht dasselbe ist wie Korrelation, obwohl es von der Korrelation abhängt. Beta stellt das Verhältnis zwischen der Rendite eines Vermögenswerts und der Rendite des Gesamtmarktes dar. Schauen wir uns nun genauer an, wie Beta berechnet wird.
Die Formel für Beta lautet wie folgt: Beta = Kovarianz (Vermögenswert, Markt) / Varianz (Markt). In dieser Formel bezieht sich „Vermögenswert“ auf die Aktie oder den Vermögenswert, für den wir das Beta berechnen, und „Markt“ steht für einen beliebten Marktindex wie den S&P 500, der oft als Proxy für den Markt verwendet wird.
Um die Formel zu vereinfachen, können wir den Kovarianzterm durch Korrelation ersetzen. Kovarianz ist gleich der Korrelation multipliziert mit den Standardabweichungen des Vermögenswerts und des Marktes. Durch Ersetzen der Kovarianz durch Korrelation ergibt sich die Formel für Beta: Beta = Korrelation (Vermögenswert, Markt) * (Standardabweichung (Vermögenswert) / Standardabweichung (Markt)).
Lassen Sie uns nun besprechen, wie die Beta zu interpretieren ist. Beta sollte als Multiplikator und nicht als Korrelation verstanden werden. Wenn das Beta eines Vermögenswerts 2 beträgt, bedeutet dies, dass der Wert des Vermögenswerts um das Doppelte dieses Betrags oder 20 % steigt, wenn der zugrunde liegende Aktienindex um 10 % steigt. Wenn das Beta 1,5 beträgt, steigt der Wert des Vermögenswerts um 50 % mehr als der des zugrunde liegenden Index. Ein negatives Beta, z. B. -2, bedeutet, dass sich der Wert des Vermögenswerts in die entgegengesetzte Richtung des Marktes bewegen wird, jedoch mit doppeltem Ausmaß.
Ein Beta von Null bedeutet, dass keine Beziehung zwischen dem Vermögenswert und dem Markt besteht. Der Wert des Vermögenswerts wird durch Marktveränderungen nicht beeinflusst. Ein Beta von eins deutet darauf hin, dass sich der Vermögenswert synchron mit dem Markt bewegt. Dies ist häufig bei ETFs zu beobachten, die bestimmte Marktindizes wie den S&P 500 abbilden.
Betrachten wir nun das Capital Asset Pricing Model (CAPM), das eine einfache Beziehung zwischen der erwarteten Rendite eines Vermögenswerts und seinem Beta herstellt. Allerdings basiert CAPM auf bestimmten Annahmen, die in der Realität möglicherweise nicht zutreffen. Zu diesen Annahmen gehören das Fehlen von Transaktionskosten und Steuern, unbegrenzt teilbare Vermögenswerte, unbegrenzte Leerverkäufe, marktfähige Vermögenswerte und die Tatsache, dass Anleger Preisnehmer sind.
Darüber hinaus geht CAPM davon aus, dass die Nutzenfunktionen der Anleger ausschließlich auf der erwarteten Rendite und dem erwarteten Risiko basieren, und berücksichtigt einen einzigen Zeitraum für die Analyse von Renditen und Risiken. Obwohl diese Annahmen unrealistisch sind, dient CAPM als Ausgangspunkt für fortgeschrittenere Multifaktormodelle, die auf seinen Grundlagen aufbauen.
Die CAPM-Formel ist ein wichtiger Bestandteil von Finanzprüfungen und wird aufgrund ihrer Bedeutung oft als eine der „4-Uhr-Formeln“ bezeichnet. Die Formel für die erwartete Rendite mithilfe von CAPM lautet: Erwartete Rendite = risikofreier Zinssatz + Beta * (Marktrendite – risikofreier Zinssatz). Diese Formel berechnet die erwartete Rendite eines Vermögenswerts, indem der risikofreie Zinssatz zum Produkt aus Beta und der Marktrisikoprämie (der Differenz zwischen der Marktrendite und dem risikofreien Zinssatz) addiert wird.
Zusammenfassend lässt sich sagen, dass Beta das systematische Risiko misst und CAPM einen Rahmen zur Bestimmung der erwarteten Rendite eines Vermögenswerts basierend auf seinem Beta bietet. Während CAPM auf bestimmten Annahmen beruht, dient es als Grundlage für komplexere Modelle. Das Verständnis von Beta und CAPM ist für die Analyse der Risiko- und Ertragseigenschaften von Vermögenswerten im Finanzbereich von entscheidender Bedeutung.
Portfoliorendite und Varianz (Berechnungen für CFA®- und FRM®-Prüfungen)
Portfoliorendite und Varianz (Berechnungen für CFA®- und FRM®-Prüfungen)
Lassen Sie uns näher auf das Thema Portfoliorendite und -varianz eingehen, mit besonderem Fokus auf das Konzept der Portfoliokapseln. Das Verständnis der Portfoliorendite ist relativ einfach, während die Portfoliovarianz aufgrund ihrer komplexen Formel eine größere Herausforderung darstellen kann. Um die Berechnung zu vereinfachen und das Auswendiglernen zu erleichtern, werden wir einen hilfreichen Trick ausprobieren. Wenn wir die Funktionsweise von Portfoliorendite und -varianz verstehen, können wir die Formel leichter verstehen.
Beginnen wir zunächst mit dem Konzept der erwarteten Portfoliorendite, bei der es sich im Wesentlichen um einen gewichteten Durchschnitt handelt. Das heißt, wenn wir mehrere Vermögenswerte oder Aktien in einem Portfolio kombiniert haben, berechnen wir die erwartete Rendite, indem wir das Gewicht jeder Aktie mit ihrer jeweiligen Rendite multiplizieren. Das Gewicht einer Aktie stellt den Anteil des Wertes dieser Aktie am gesamten Portfolio dar. Wenn Ihr Portfolio beispielsweise 100.000 US-Dollar wert ist und Sie Aktien A im Wert von 40.000 US-Dollar halten, beträgt die Gewichtung von Aktie A 40 %. Die Formel für die erwartete Portfoliorendite lautet:
Erwartete Rendite des Portfolios (ERp) = Σ (wi * ri)
Hier repräsentiert wi das Gewicht jeder Aktie und ri die Rendite jeder Aktie. Durch Summieren der Produkte aus Gewichtung und Rendite für jede Aktie erhalten wir die erwartete Rendite des Portfolios.
Kommen wir nun zum komplexeren Aspekt der Portfoliovarianz und Standardabweichung. Die Portfolio-Standardabweichung kann nicht einfach durch Addition der einzelnen Standardabweichungen der zugrunde liegenden Wertpapiere oder durch Bildung eines gewichteten Durchschnitts ihrer Standardabweichungen berechnet werden. Bei der Berechnung muss die Korrelation zwischen den Vermögenswerten berücksichtigt werden, was die Formel komplexer macht. Je mehr Vermögenswerte sich in einem Portfolio befinden, desto mehr paarweise Korrelationen gibt es, wodurch die Formel immer komplexer wird. Bei Prüfungen wie dem CFO oder dem FRM konzentrieren sich die Fragen jedoch typischerweise auf zwei oder drei Asset-Fälle, da es übermäßig kompliziert wird, darüber hinauszugehen.
Die Portfolio-Standardabweichung besteht aus zwei Schlüsselkomponenten: der Varianz der zugrunde liegenden Vermögenswerte und der Kovarianz jedes Paars zugrunde liegender Vermögenswerte. Wenn wir ein Portfolio mit zwei Vermögenswerten (Vermögenswert A und Vermögenswert B) betrachten, müssen wir die paarweise Kovarianz oder Korrelation zwischen diesen Vermögenswerten berechnen. Für drei Vermögenswerte würden wir die paarweise Kovarianz oder Korrelation für alle drei Vermögenswerte benötigen. Die Formel für die Portfoliovarianz lautet wie folgt:
Portfolio-Varianz = (wx^2 * σx^2) + (wy^2 * σy^2) + (2 * wx * σx * wy * σy * ρxy)
Hier stellen wx und wy die Gewichtungen von Asset A bzw. Asset B dar. σx und σy stellen die Standardabweichungen von Asset A bzw. Asset B dar. Schließlich stellt ρxy die Korrelation zwischen Vermögenswert A und Vermögenswert B dar. Die Portfolio-Standardabweichung wird durch Ziehen der Quadratwurzel der Portfolio-Varianz ermittelt.
Um uns an diese Formel zu erinnern, können wir eine Parallele zu einer bekannten algebraischen Formel ziehen: (a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab. Wenn wir die Terme in dieser algebraischen Formel mit den Termen in der Portfolio-Varianzformel gleichsetzen, können wir einige Ähnlichkeiten erkennen. Beispielsweise können wx und σx mit a gleichgesetzt werden, und wy und σy können mit b gleichgesetzt werden. Der Korrelationsterm ρxy ist ein zusätzlicher Begriff, der nicht übersehen werden sollte, da er für die Bestimmung des Diversifikationsgrads im Portfolio von entscheidender Bedeutung ist.
Es ist wichtig zu beachten, dass die Korrelation zwischen -1 und +1 liegt. Eine höhere positive Korrelation impliziert eine größere Portfoliovarianz, wie durch den positiven Term in der Formel angezeigt. Andererseits bedeutet eine negativere Korrelation größere Diversifizierungsvorteile, da sie die Portfoliovarianz verringert. Darüber hinaus kombiniert der Term der paarweisen Kovarianz (σxy) die letzten drei Terme der Formel. Wenn Sie anstelle dieser drei direkt die Kovarianz erhalten.
Wenn Sie statt der Korrelation direkt die Kovarianz erhalten, können Sie stattdessen die Kovarianz in der Formel verwenden. Die Formel würde dann so aussehen:
Portfolio-Varianz = (wx^2 * σx^2) + (wy^2 * σy^2) + (2 * wx * wy * σxy)
Hier stellt σxy die Kovarianz zwischen Asset A und Asset B dar.
Um die Berechnung noch weiter zu vereinfachen, können Sie eine „Portfolio-Kapsel“ erstellen, die alle notwendigen Informationen für die Portfolio-Varianz-Berechnung enthält. Diese Kapsel enthält die Gewichte, Standardabweichungen und Korrelationen (oder Kovarianzen) der Vermögenswerte im Portfolio. Durch die strukturierte Organisation dieser Informationen können Sie die Werte einfach in die Formel einfügen und die Portfoliovarianz berechnen.
Hier ist ein Beispiel dafür, wie Sie eine Portfoliokapsel für ein Portfolio mit zwei Vermögenswerten erstellen können:
Vermögenswert A:
Vermögenswert B:
Mit dieser Kapsel können Sie die Werte in die Portfolio-Varianzformel einsetzen und das Ergebnis berechnen. Denken Sie daran, die Quadratwurzel der Portfolio-Varianz zu ziehen, um die Portfolio-Standardabweichung zu erhalten.
Mit diesem Ansatz können Sie den Berechnungsprozess rationalisieren und die erforderlichen Informationen effektiv organisieren. Es ist wichtig zu beachten, dass dieser vereinfachte Ansatz für Portfolios mit zwei oder drei Vermögenswerten anwendbar ist. Bei Portfolios mit einer größeren Anzahl an Vermögenswerten wird die Formel komplexer und es kann erforderlich sein, für die Berechnung Matrixalgebra oder spezielle Software zu verwenden.
Zeitpläne – Ihre besten Freunde (Berechnungen für CFA®- und FRM®-Prüfungen)
Zeitpläne – Ihre besten Freunde (Berechnungen für CFA®- und FRM®-Prüfungen)
Hallo! Lassen Sie uns tiefer in das Konzept der Zeitleiste und seine Anwendungen in verschiedenen Finanzbereichen eintauchen. Die Zeitleiste ist ein grundlegendes Konzept, das in vielen Fächern im Finanzbereich präsent ist, einschließlich der CFA- und FRM-Lehrpläne. Dies ist wichtig, da die meisten Bewertungen im Finanzwesen auf der Zeitachse und dem Konzept der diskontierten Cashflows basieren. Wenn Sie den Zeitplan richtig verstehen, können Sie ihn auf verschiedene Themen und Finanzberechnungen anwenden.
Ein Vorteil der Verwendung der Zeitleiste besteht darin, dass die Terminologie zwar von Fach zu Fach unterschiedlich sein kann, das zugrunde liegende mathematische Konzept jedoch dasselbe bleibt. Unabhängig davon, ob es sich um den Barwert und den zukünftigen Wert des Zeitwerts des Geldes oder um den Terminpreis und den Kassapreis bei Derivaten handelt, bleibt das Konzept der Aufzinsung und Diskontierung konsistent. Diese Konsistenz im mathematischen Konzept ermöglicht Ihnen eine universelle Anwendung der Zeitleiste.
Aufgrund seiner Vielseitigkeit und weit verbreiteten Verwendung wird die Zeitleiste oft als „bester Freund“ im Finanzwesen bezeichnet. Es dient zur Veranschaulichung der Höhe und des Zeitpunkts der Cashflows in jedem Investitionsprojekt. Bei der Erstellung der Zeitleiste ist es wichtig, die Zeitintervalle äquidistant aufzuteilen. Wenn Sie beispielsweise Jahre verwenden, sollten die Intervalle ein Jahr, zwei Jahre, drei Jahre usw. sein. Wenn Sie halbjährliche Zeiträume verwenden, sollten die Intervalle sechs Monate, zwölf Monate, achtzehn Monate usw. betragen. Die äquidistanten Zeiträume ermöglichen konsistente Berechnungen und Analysen.
Es gibt zahlreiche Anwendungen der Zeitachse im Finanzwesen, und einige der wichtigsten umfassen quantitative Methoden, Kapitalbudgetierung, Aktienbewertung, Bewertung festverzinslicher Wertpapiere sowie Preisgestaltung und Bewertung von Derivaten. Diese Anwendungen umfassen eine Reihe von Finanzkonzepten und -berechnungen, und der Zeitplan spielt bei jedem von ihnen eine entscheidende Rolle.
Bei quantitativen Methoden wird die Zeitachse zur Berechnung des Zeitwerts des Geldes verwendet. Dazu gehört die Bestimmung zukünftiger Werte, Barwerte, Renten und ewiger Renten sowie die Lösung von Problemen im Zusammenhang mit der Altersvorsorge oder der Hypothekenzahlung. Mit der Zeitleiste können Sie Cashflows genau aufzinsen und diskontieren und verschiedene finanzielle Probleme lösen.
Bei der Kapitalbudgetierung wird der Zeitplan zur Bewertung von Investitionsprojekten anhand von Konzepten wie dem Kapitalwert (NPV) und dem internen Zinsfuß (IRR) genutzt. Der Kapitalwert hilft bei der Bestimmung des Werts eines Projekts, indem er den Barwert der Mittelzuflüsse mit dem anfänglichen Mittelabfluss vergleicht. Wenn der Kapitalwert positiv ist, gilt das Projekt als realisierbar. Der IRR ist der Abzinsungssatz, der den Kapitalwert auf Null setzt und bei der Projektauswahl und -sequenzierung hilft.
Bei der Eigenkapitalbewertung wird der Zeitplan zur Abzinsung erwarteter Cashflows wie Dividenden verwendet, wobei verschiedene Modelle wie das Dividendendiskontmodell, das Free-Cashflow-Modell (FCFE oder FCFF) oder das Residualeinkommensmodell zum Einsatz kommen. Indem diese Cashflows auf der Zeitachse platziert und auf die Gegenwart abgezinst werden, kann der fundamentale Wert bzw. der innere Wert der Aktie geschätzt werden. Dieser Bewertungsansatz hilft festzustellen, ob eine Aktie am Markt über- oder unterbewertet ist.
Die Anleihenbewertung, die auf verschiedene Arten von Anleihen anwendbar ist, hängt auch vom Zeitplan ab. Unabhängig vom konkreten Anleihentyp beinhaltet der Bewertungsprozess die Diskontierung der zukünftigen Cashflows der Anleihe, typischerweise in Form von Kupons und Kapitalzahlungen, unter Verwendung eines angemessenen Abzinsungssatzes auf die Gegenwart. Der Zeitplan hilft bei der Bestimmung des beizulegenden Zeitwerts der Anleihe und der Beurteilung ihrer Attraktivität am Markt.
Dies sind nur einige Beispiele für die Anwendungen der Zeitleiste im Finanzwesen. Es ist wichtig zu beachten, dass der Zeitplan bei bewertungsbezogenen Aufgaben in verschiedenen Finanzbereichen allgegenwärtig ist. Durch das Verständnis und die effektive Nutzung des Zeitrahmens können Finanzexperten fundierte Entscheidungen treffen und genaue Berechnungen durchführen.
Entwicklung der Portfolio-Theorie – Von Efficient Frontier über CAL bis hin zu SML (für CFA®- und FRM®-Prüfungen)
Entwicklung der Portfolio-Theorie – Von Efficient Frontier über CAL bis hin zu SML (für CFA®- und FRM®-Prüfungen)
Heute werden wir das Konzept der Kapseln untersuchen und uns mit der Entwicklung der Portfoliotheorie befassen. Unser Fokus wird auf dem Verständnis der verschiedenen Phasen liegen, wie z. B. der Grenze der minimalen Varianz, der Effizienzgrenze, der Kapitalallokationslinie, der Kapitalmarktlinie und der Wertpapiermarktlinie. Anstatt uns nur auf Formeln zu konzentrieren, werden wir die Unterschiede zwischen diesen Phasen und deren Verlauf hervorheben, was letztendlich zur Formulierung des Capital Asset Pricing Model (CAPM) und der Wertpapiermarktlinie führt.
Beginnen wir mit der Grenze der minimalen Varianz. Stellen Sie sich vor, Sie verfügen über Informationen zu 20 verschiedenen Vermögenswerten, einschließlich deren Risiko- und Renditeprofilen. Mit diesen Daten können Sie verschiedene Portfolios erstellen, entweder manuell oder in einer Excel-Tabelle. Durch die Kombination dieser Portfolios können Sie die Grenze der minimalen Varianz bilden. Diese Grenze stellt den Bereich der Portfolios mit der minimalen Varianz dar und gibt den Punkt mit dem geringsten Risiko an. Dieser Punkt wird als globales Minimum-Varianz-Portfolio bezeichnet.
Wenn wir uns der Effizienzgrenze zuwenden, stellen wir alle Portfolios in einem Diagramm dar, wobei die erwartete Rendite des Portfolios auf der y-Achse und das Risiko (gemessen an der Standardabweichung des Portfolios) auf der x-Achse aufgetragen ist. Die Effizienzgrenze besteht aus Portfolios, die bei einem bestimmten Risikoniveau die maximale Rendite bieten oder bei einem bestimmten Renditeniveau das Risiko minimieren. Jedes Portfolio unterhalb der Effizienzgrenze gilt als ineffizient, da Sie bei gleichem Risiko immer ein Portfolio oberhalb der Grenze mit einer höheren Rendite auswählen können. Die Effizienzgrenze ist der obere Teil der Grenze der minimalen Varianz.
Als nächstes stellen wir die Capital Allocation Line (CAL) vor, die einen risikofreien Vermögenswert mit risikoreichen Vermögenswerten kombiniert. Der risikofreie Vermögenswert bietet eine garantierte Rendite ohne Risiko, dargestellt durch seine Position auf der y-Achse. Der CAL stellt die erwartete Rendite und Standardabweichung von Portfolios dar, die sowohl aus risikofreien Vermögenswerten als auch aus riskanten Vermögenswerten bestehen. Um das optimale Portfolio auf der CAL zu ermitteln, verwenden wir Indifferenzkurven. Diese Kurven spiegeln die Risiko-Rendite-Präferenzen eines Anlegers wider. Das optimale Portfolio liegt an dem Punkt, an dem die Indifferenzkurve den CAL tangiert.
Im weiteren Verlauf wandeln wir die CAL in die Capital Market Line (CML) um, indem wir davon ausgehen, dass alle Anleger die gleichen Präferenzen haben. Der CML ist eine Linie, die die risikofreie Rendite mit dem Marktportfolio verbindet. Es ist jedoch eine Herausforderung, einen echten Ersatz für das Marktportfolio zu finden, da Anleger über verschiedene Anlagen hinausgehen, die über Aktien oder Anleihen hinausgehen. Daher werden häufig beliebte Aktienindizes wie der S&P 500 als Proxy verwendet, auch wenn dies keine perfekte Darstellung ist.
Im Risikokontext unterscheiden wir zwischen systematischem Risiko und nichtsystematischem Risiko. Systematisches Risiko ist der Teil des Gesamtrisikos, der nicht beseitigt werden kann, beispielsweise makroökonomische Faktoren wie Inflation, Zinssätze und Wechselkurse. Nichtsystematische Risiken sind spezifisch für einzelne Unternehmen und können durch Diversifizierung gemindert werden. Die Theorie legt nahe, dass Anleger nur für die Übernahme systematischer Risiken entschädigt werden sollten, da nicht-systematische Risiken durch Diversifizierung vermieden werden können.
Um dies zu veranschaulichen: Mit zunehmender Anzahl von Wertpapieren in einem Portfolio bleibt das systematische Risiko konstant, während das nichtsystematische Risiko aufgrund von Diversifizierungsvorteilen abnimmt. Der Markt sollte Anleger nur dafür belohnen, dass sie das systematische Risiko tragen.
Zusammenfassend lässt sich sagen, dass das Verständnis der Entwicklung der Portfoliotheorie das Verständnis der verschiedenen Phasen erfordert, einschließlich der Grenze der minimalen Varianz, der Effizienzgrenze, der Kapitalallokationslinie, der Kapitalmarktlinie und der Wertpapiermarktlinie. Diese Konzepte helfen Anlegern, optimale Portfolios auf der Grundlage von Risiko- und Renditepräferenzen zu bestimmen und gleichzeitig systematische und nicht systematische Risiken zu berücksichtigen.
Hypothesentests (Berechnungen für CFA®- und FRM®-Prüfungen)
Hypothesentests (Berechnungen für CFA®- und FRM®-Prüfungen)
Heute werden wir uns mit dem Thema Hypothesentests befassen und uns dabei insbesondere auf das Konzept der Konzeptkapseln konzentrieren. Das Testen von Hypothesen ist ein grundlegender Bestandteil des CFA Level 1 Quants-Lehrplans sowie des CFA Level 2 Quants-Lehrplans und des FRM-Lehrplans. Für viele Studenten ist das Testen von Hypothesen eine Herausforderung, insbesondere auf der CFA-Stufe 1. Deshalb werden wir nach Möglichkeiten suchen, es leichter handhabbar zu machen.
Lassen Sie uns zunächst die Essenz des Hypothesentests begreifen. Eine Hypothese ist im Wesentlichen eine Meinung oder Behauptung, die noch nicht belegt wurde. Es handelt sich um eine Aussage, deren Gültigkeit überprüft werden muss. Betrachten Sie beispielsweise die Behauptung, dass die durchschnittliche Lebenserwartung von Männern kürzer ist als die von Frauen. Dies ist eine Aussage, der es an Beweisen mangelt und die bewiesen werden muss. Um solche Behauptungen zu untersuchen und zu bewerten, kommen Hypothesentests ins Spiel.
Eine Hypothese ist eine vermutete Aussage über ein Problem, eine Idee oder ein Merkmal einer Population. Um eine Hypothese zu testen, müssen Daten gesammelt und untersucht werden. Da die Untersuchung einer gesamten Population oft unpraktisch, zeitaufwändig und kostspielig ist, wird in der Regel eine repräsentative Stichprobe zur Untersuchung entnommen. Anhand der Erkenntnisse aus der Stichprobe lassen sich Rückschlüsse auf die Gesamtbevölkerung ziehen. Dies ist der Kern des Hypothesentests.
Lassen Sie uns nun die entscheidenden Schritte untersuchen, die beim Testen von Hypothesen erforderlich sind. Obwohl manche Schüler das Testen von Hypothesen aufgrund der Vielzahl an Formeln und der Komplexität von Null- und Alternativhypothesen als entmutigend empfinden, ist es wichtig, diese sechs Schritte der Reihe nach zu befolgen. Unabhängig von der konkreten zu testenden Hypothese oder der verwendeten Verteilung bleiben diese Schritte konsistent. Führen Sie diese Schritte also unabhängig vom Test oder der Frage einfach in der gleichen Reihenfolge aus, um zu einer Schlussfolgerung zu gelangen.
Es ist jedoch wichtig zu beachten, dass das Auswendiglernen von Formeln allein nicht ausreicht. Während es notwendig ist, sich die Formeln und Verteilungen zu merken, die für jeden Test gelten, ist das Verständnis und die Umsetzung dieser Schritte entscheidend, um aussagekräftige Schlussfolgerungen zu ziehen. Viele Schüler konzentrieren sich ausschließlich auf das Auswendiglernen und vergessen dabei, wie wichtig es ist, diese sechs Schritte zu befolgen, was sie häufig daran hindert, zu einem schlüssigen Ergebnis zu gelangen. Daher ist es wichtig, den Prozess gründlich zu verstehen und das Lösen von Hypothesentestfragen in der vorgeschriebenen Reihenfolge zu üben.
Schauen wir uns nun jeden Schritt im Detail an. Der erste Schritt besteht darin, sowohl die Null- als auch die Alternativhypothese aufzustellen. Dieser Schritt ist von entscheidender Bedeutung, da eine falsche Formulierung der Hypothesen zu einer falschen Schlussfolgerung führen kann. Obwohl wir diesen Schritt hier nicht ausführlich behandeln, ist es wichtig, sich daran zu erinnern, dass die Nullhypothese normalerweise ein Gleichheitszeichen enthält (z. B. gleich, größer oder gleich oder kleiner als oder gleich), während sich die Alternativhypothese darauf konzentriert der komplementäre Teil der Verteilung. Ziehen Sie im Zweifelsfall zusätzliche Ressourcen zu Rate oder schauen Sie sich separate Videos zu Null- und Alternativhypothesen an.
Der zweite Schritt umfasst die Ermittlung der geeigneten Teststatistik und ihrer Wahrscheinlichkeitsverteilung. Dieser Schritt variiert je nach durchgeführtem spezifischen Test. Wenn Sie beispielsweise einen Mittelwert testen, wird entweder die t-Verteilung oder die z-Verteilung verwendet. Beim Testen der Varianz wird die Chi-Quadrat-Verteilung verwendet. Jeder Test erfordert eine bestimmte Teststatistik und -verteilung. Daher ist es wichtig zu wissen, welche Formeln anzuwenden sind.
Geben Sie als Nächstes das Signifikanzniveau an, das normalerweise in der Frage selbst angegeben wird. Das häufigste Signifikanzniveau liegt bei 5 %, kann aber je nach Kontext auch 1 % oder 10 % betragen. Das Signifikanzniveau bestimmt den kritischen Wert, der im folgenden Schritt für die Entscheidungsregel verwendet wird.
Im vierten Schritt wird die Entscheidungsregel festgelegt, die angibt, ob die Nullhypothese abgelehnt werden soll oder nicht. In diesem Schritt werden die Bedingungen, unter denen die Nullhypothese abgelehnt wird oder nicht abgelehnt werden konnte, klar definiert. Die Entscheidungsregel sollte mit der Alternativhypothese und dem durchgeführten Test übereinstimmen.
Nun gehen wir zum letzten Schritt über, in dem wir eine Entscheidung auf Grundlage der Stichprobenergebnisse treffen. In diesem Schritt vergleichen wir unsere Teststatistik (7,96) mit dem kritischen Wert von 1,83.
Da unsere Teststatistik (7,96) größer als der kritische Wert (1,83) ist, lehnen wir die Nullhypothese ab. Dies bedeutet, dass wir über ausreichende Beweise verfügen, um zu dem Schluss zu kommen, dass die durchschnittliche Niederschlagsmenge gegenüber dem früheren Wert von 23 Zentimetern gestiegen ist.
Es ist wichtig zu beachten, dass unsere Entscheidung auf dem spezifischen gewählten Signifikanzniveau (5 %) basiert. Wenn das Signifikanzniveau anders wäre, würde sich auch der kritische Wert ändern, und unsere Entscheidung könnte anders ausfallen.
Zusammenfassend haben wir die sechs Schritte des Hypothesentests befolgt, um zu beurteilen, ob die durchschnittliche Niederschlagsmenge von 23 Zentimetern zugenommen hat. Wir formulierten die Null- und Alternativhypothese, identifizierten die geeignete Teststatistik (t-Test), spezifizierten das Signifikanzniveau (5 %), gaben die Entscheidungsregel an, berechneten die Teststatistik (7,96) und trafen eine Entscheidung auf der Grundlage der Stichprobenergebnisse , Ablehnung der Nullhypothese.
Denken Sie daran, dass dies nur ein Beispiel für das Testen von Hypothesen ist, insbesondere zum Testen eines einzelnen Mittelwerts. Die Schritte können je nach Art der zu testenden Hypothese variieren (z. B. Testen von Varianzen, Proportionen usw.), der allgemeine Prozess bleibt jedoch derselbe.
Wenn Sie diese Schritte verstehen und üben, können Sie jedes Hypothesentestproblem sicher angehen und auf der Grundlage der vorliegenden Daten aussagekräftige Schlussfolgerungen ziehen.
Null- und Alternativhypothesen (Berechnungen für CFA®- und FRM®-Prüfungen)
Null- und Alternativhypothesen (Berechnungen für CFA®- und FRM®-Prüfungen)
Heute werden wir das Konzept der Konzeptkapseln diskutieren und uns dabei insbesondere auf das Thema Null- und Alternativhypothesen konzentrieren. Dies ist ein wichtiger Aspekt des Hypothesentests, der Ihnen sowohl in Ihrem CFA Level 1 und Level 2 als auch in Ihrem FRM-Lehrplan begegnet. Die Formulierung der Null- und Alternativhypothese ist der erste Schritt im Hypothesentestprozess und es ist von entscheidender Bedeutung, sie richtig zu machen, da sie die Grundlage für den gesamten Test bildet.
Sehen wir uns an, was Sie in diesem ersten Schritt tun müssen. Zunächst sind die Kategorien der Hypothesen zu berücksichtigen. Wir müssen uns mit zwei Arten von Hypothesen befassen: der Nullhypothese (H0) und der Alternativhypothese (Ha). Die Nullhypothese stellt die getestete Hypothese dar, basierend auf dem aktuellen Wissen über den Populationsparameter. Andererseits stellt die Alternativhypothese eine alternative Sichtweise oder Überzeugung über den Bevölkerungsparameter dar. In einigen Texten wird die Alternativhypothese möglicherweise als H1b bezeichnet, üblicherweise wird sie jedoch als Ha oder einfach H1 dargestellt.
Um diese Hypothesen zu formulieren, ist es wichtig, drei Grundprinzipien zu befolgen. Diese Grundsätze gelten für jeden Hypothesentest, den Sie durchführen, unabhängig davon, ob es sich um einen T-Test, einen Z-Test oder sogar den Durbin-Watson-Test in Ihrem Level-2-Lehrplan handelt. Durch das Verständnis und die Anwendung dieser Prinzipien können Sie die Null- und Alternativhypothesen genau und konsistent erstellen.
Das erste Prinzip besteht darin, dass sich Null- und Alternativhypothese gegenseitig ausschließen müssen. Dies bedeutet, dass es keine Überschneidungen oder gemeinsamen Ergebnisse zwischen den beiden Hypothesen geben sollte. Wenn ein Ergebnis in der Nullhypothese vorhanden ist, kann es in der Alternativhypothese nicht vorhanden sein und umgekehrt.
Der zweite Grundsatz besteht darin, dass die Hypothesen insgesamt erschöpfend sein müssen. Dies impliziert, dass es außer den in der Null- und Alternativhypothese dargestellten Ergebnissen keine anderen möglichen Ergebnisse gibt. Wenn Sie beispielsweise testen, ob der Mittelwert gleich 5 ist, würde die Alternativhypothese besagen, dass der Mittelwert ungleich 5 ist. In diesem Fall kann der Mittelwert nur entweder gleich 5 oder ungleich 5 sein, sodass Nein übrig bleibt andere Möglichkeiten.
Das dritte und entscheidende Prinzip besteht darin, dass die Nullhypothese ein Gleichheitszeichen enthalten muss. Diese Regel ist beim Testen von Hypothesen von größter Bedeutung, da sie dabei hilft, Fehler bei der Erstellung der Null- und Alternativhypothesen zu vermeiden. Das Gleichheitszeichen kann nicht nur strikte Gleichheit umfassen, sondern auch Ungleichheiten wie größer oder gleich und kleiner oder gleich.
Lassen Sie uns nun die beiden Arten von Tests untersuchen, denen Sie begegnen können: zweiseitige Tests und einseitige Tests. Bei einem zweiseitigen Test werden beide Seiten der Verteilung berücksichtigt. Wenn Sie beispielsweise testen, ob der Mittelwert gleich 10 oder ungleich 10 ist, prüfen Sie sowohl die Möglichkeit, dass der Mittelwert größer als 10 als auch kleiner als 10 ist. In diesem Fall wird der Test als Zweiertest bezeichnet -Schwanztest.
Bei einem zweiseitigen Test wird das Signifikanzniveau, das oft auf 5 % festgelegt wird, gleichmäßig auf beide Seiten der Verteilung aufgeteilt. Dies bedeutet, dass jede Seite 2,5 % des Signifikanzniveaus erhält und 95 % in der Mitte verbleiben, da die Gesamtfläche unter der Kurve 100 % ergeben muss.
Andererseits konzentriert sich ein einseitiger Test auf eine bestimmte Seite der Verteilung, entweder die linke oder die rechte Seite. Dieser Test wird verwendet, wenn Sie die Möglichkeit einer Änderung nur in eine Richtung testen und die andere Richtung außer Acht lassen möchten. Wenn Sie beispielsweise testen, ob der Mittelwert kleiner als 10 ist, interessiert Sie die linke Seite der Verteilung. Wenn Sie umgekehrt testen, ob der Mittelwert größer als 10 ist, konzentrieren Sie sich auf die rechte Seite der Verteilung.
Sobald Sie die Null- und Alternativhypothese formuliert haben, können Sie mit den nächsten Schritten des Hypothesentests fortfahren. Diese Schritte umfassen typischerweise das Sammeln von Daten, die Durchführung statistischer Analysen und das Ziehen von Schlussfolgerungen auf der Grundlage der Ergebnisse.
Zusammenfassend sind hier die wichtigsten Punkte aufgeführt, die bisher besprochen wurden:
Das Testen von Hypothesen ist ein wichtiger Teil der statistischen Analyse und wird verwendet, um auf der Grundlage von Stichprobendaten Rückschlüsse auf Populationsparameter zu ziehen.
Die beiden Arten von Hypothesen, die beim Hypothesentest involviert sind, sind die Nullhypothese (H0) und die Alternativhypothese (Ha oder H1).
Die Nullhypothese stellt das aktuelle Wissen oder die aktuelle Annahme über den getesteten Populationsparameter dar, während die Alternativhypothese eine andere oder gegensätzliche Annahme darstellt.
Die drei Grundprinzipien für die Formulierung von Hypothesen sind:
A. Sich gegenseitig ausschließend: Die Null- und Alternativhypothese müssen getrennt sein und dürfen keine gemeinsamen Ergebnisse haben. Sie stellen unterschiedliche Möglichkeiten dar.
B. Insgesamt erschöpfend: Die Null- und Alternativhypothese müssen alle möglichen Ergebnisse abdecken. Es sollte keine anderen Optionen als die in den Hypothesen genannten geben.
C. Gleichheitszeichen in der Nullhypothese: Die Nullhypothese sollte immer ein Gleichheitszeichen enthalten (z. B. gleich, kleiner oder gleich oder größer oder gleich). Dadurch wird sichergestellt, dass die Nullhypothese einen bestimmten Wert oder eine bestimmte Bedingung darstellt.
Hypothesentests können in zweiseitige oder einseitige Tests kategorisiert werden:
A. Zweiseitige Tests berücksichtigen beide Seiten der Verteilung und testen, ob ein Parameter nicht einem bestimmten Wert entspricht.
B. Einseitige Tests konzentrieren sich auf eine bestimmte Seite der Verteilung und testen, ob ein Parameter größer oder kleiner als ein bestimmter Wert ist.
Es ist von entscheidender Bedeutung, den geeigneten Testtyp basierend auf der Forschungsfrage und der Richtung des untersuchten Effekts auszuwählen.
Sobald die Hypothesen formuliert sind, umfassen die nächsten Schritte die Datenerfassung, die statistische Analyse (z. B. die Berechnung von Teststatistiken und p-Werten) und die Interpretation der Ergebnisse, um die Nullhypothese entweder zu akzeptieren oder abzulehnen.
Denken Sie daran, dass das Testen von Hypothesen ein strukturierter Prozess ist, der Ihnen hilft, aussagekräftige Schlussfolgerungen auf der Grundlage von Beweisen zu ziehen. Indem Sie die besprochenen Grundsätze und Richtlinien befolgen, können Sie die Gültigkeit und Genauigkeit Ihrer Hypothesentestverfahren sicherstellen.
NPV vs. IRR (Berechnungen für CFA®-Prüfungen)
NPV vs. IRR (Berechnungen für CFA®-Prüfungen)
Hallo und willkommen bei Concept Capsules! Heute beschäftigen wir uns mit den Themen Net Present Value (NPV) und Internal Rate of Return (IRR). Diese Techniken sind für die Kapitalbudgetierung von entscheidender Bedeutung und werden in den CFA- und FRM-Lehrplänen ausführlich behandelt.
NPV und IRR werden verwendet, um Cashflows zu vergleichen, die zu unterschiedlichen Zeitpunkten auftreten, und helfen bei der Bestimmung des besten Projekts. Sie helfen auch bei der Sequenzierung von Projekten auf der Grundlage des verfügbaren Kapitals. Der NPV bewertet die Rentabilität eines Projekts unter Berücksichtigung der Cashflows nach Steuern. Dabei werden Cashflows auf einen gemeinsamen Zeitraum abgezinst, in der Regel auf den Zeitraum Null, in dem die Entscheidung zur Durchführung des Projekts getroffen wird.
Um den Kapitalwert zu berechnen, subtrahieren wir den anfänglichen Mittelabfluss (Investition) vom Barwert der Mittelzuflüsse. Die Mittelzu- und -abflüsse werden zum Vergleich auf den Zeitraum Null gebracht. Ist der resultierende Kapitalwert positiv, gilt das Projekt als profitabel und sollte angenommen werden. Ist er negativ, vernichtet das Projekt seinen Wert und sollte abgelehnt werden. Ein Kapitalwert von Null bedeutet, dass das Projekt den Unternehmenswert weder steigert noch vernichtet, sodass es gleichgültig ist. In der Praxis werden jedoch Projekte mit einem Kapitalwert von Null in der Regel nicht weiterverfolgt.
Der IRR hingegen macht einen vorab festgelegten Abzinsungssatz überflüssig. Es ist der Abzinsungssatz, der den Kapitalwert gleich Null macht. Mit anderen Worten setzt der IRR den Barwert der Mittelzuflüsse mit dem Barwert der Mittelabflüsse gleich. Die Entscheidungsregel für den IRR basiert auf einer erforderlichen Rendite oder Hurdle Rate. Übersteigt der IRR die Hurdle Rate, wird das Projekt angenommen; andernfalls wird es abgelehnt.
Sehen wir uns ein Beispiel an, um zu verstehen, wie man Kapitalwert und IRR mit dem BA2 Plus-Rechner berechnet. Betrachten Sie Unternehmen A, das plant, 100 Millionen US-Dollar in ein Kapitalerweiterungsprojekt zu investieren. Es wird erwartet, dass das Projekt in den ersten drei Jahren einen Cashflow nach Steuern von 20 Millionen US-Dollar pro Jahr und im letzten Jahr von 33 Millionen US-Dollar generieren wird. Die erforderliche Rendite beträgt 8 %. Wir müssen den Kapitalwert und den IRR berechnen und entscheiden, ob das Projekt durchgeführt werden soll.
Zunächst erstellen wir eine Zeitleiste mit dem Mittelabfluss von 100 Millionen US-Dollar zum Zeitpunkt Null und den Mittelzuflüssen von 20 Millionen US-Dollar für jedes der ersten drei Jahre und 33 Millionen US-Dollar für das vierte Jahr. Anschließend diskontieren wir jeden Mittelzufluss mit dem Abzinsungssatz von 8 % auf den Zeitraum Null. Durch Summieren der Barwerte der Mittelzuflüsse und Subtrahieren des anfänglichen Mittelabflusses erhält man den Kapitalwert. In diesem Fall wird der Kapitalwert mit -24,2 Millionen US-Dollar berechnet.
Um den IRR zu berechnen, stellen wir die Gleichung auf, die den Kapitalwert mit Null gleichsetzt, unter Verwendung eines unbekannten Abzinsungssatzes (IRR). Das manuelle Lösen dieser Gleichung kann jedoch zeitaufwändig sein. Glücklicherweise können wir den BA2 Plus-Rechner verwenden, um den IRR direkt zu berechnen, indem wir die Cashflows eingeben und die IRR-Funktion ermitteln.
Zusammenfassend sollten der Kapitalwert von -24,2 Millionen US-Dollar und der IRR mithilfe des BA2 Plus-Rechners ermittelt werden. Der Vergleich des IRR mit der erforderlichen Rendite wird die Entscheidung für die Durchführung des Projekts leiten.