Warum ist die Normalverteilung nicht normal? - Seite 33
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Wir haben also eine beobachtbare Mischform.
Die Mischung ist recht harmonisch - wenn wir die Nicht-Stationarität des Prozesses, der diese Verteilung erzeugt, ignorieren. Das Wichtigste ist, dass sie stabil ist (ihr Integral ist der fraktalen Brownschen Bewegung sehr ähnlich, über die Peters in seinem Buch "Fractal Analysis of Financial Markets" schreibt). Was ist die Stabilität der Verteilung, ich hoffe, Sie erinnern sich?
Die Mischung ist recht harmonisch - wenn wir die Nicht-Stationarität des Prozesses, der diese Verteilung erzeugt, ignorieren. Das Wichtigste ist, dass sie stabil ist (ihr Integral ist der fraktalen Brownschen Bewegung sehr ähnlich, über die Peters in seinem Buch "Fractal Analysis of Financial Markets" schreibt). Ich hoffe, Sie erinnern sich, was Verteilungsstabilität ist?
Ich habe keine Ahnung von der formalen Definition von Nachhaltigkeit, also spucken Sie es aus! ;)
Über das Intuitive - die Harmonie und Stabilität dieses Fraktals finde ich sehr gut und verstehe es hoffentlich auch.
Grob gesagt ist die Robustheit gegeben, wenn die Verteilung der Summe zweier unabhängiger, gleichverteilter Werte nach dem Gesetz F (möglicherweise mit unterschiedlichen Parametern) ebenfalls die Verteilung F aufweist. Stabil ist normal (Erwartung und Varianz werden summiert), Cauchy, gleichmäßig und eine Reihe anderer.
Welche Art von Summe ist hier gemeint? Algebraisch? Das heißt, wir haben zwei Generatoren, die mit der gleichen Verteilung arbeiten (möglicherweise mit unterschiedlichen Parametern). Bei jedem Schritt wird jeweils ein Wert erzeugt: x und y. Dann ist die Summe eine Zufallsvariable z=x+y. Und?
Richtig, wir sprechen nicht über Prozesse, sondern über Verteilungen.
Grob gesagt ist Robustheit gegeben, wenn die Verteilung der Summe zweier unabhängiger gleichverteilter Größen (möglicherweise mit unterschiedlichen Parametern) dieselbe Verteilung wie F hat. Stabil ist normal (Erwartungswert und Varianz werden summiert), Cauchy, gleichförmig und eine Reihe von anderen.
Ich bin nicht aus heiterem Himmel überrascht. Ich dachte immer, dass nur normale Menschen diese Eigenschaft haben können, und dass dies ihr Wesen ist. Und alle anderen (mit Ausnahme der Gleichförmigkeit im Unendlichen) tendieren zur Normalität, wenn man sie zusammenzählt. Liegt kein Fehler vor? Sind Sie nicht zu streng?
Ich denke nicht, dass das zu viel ist.
Wenn Z = X + Y, dann ist pdf Z die Faltung von pdf X und pdf Y. Wenn du mit Cauchy üben willst, erinnere dich an deine Jugend.
Hier ist ein weiterer Blick auf die anderen Eigenschaften. Es wird ausdrücklich gesagt, dass es stabil ist. Aber die Definition von Stabilität in dem Link ist ganz anders, konstruiert... Aber auch dort können wir deutlich sehen, dass es ohnehin viele verschiedene stabile Verteilungen gibt.
Hier ist ein weiterer Blick auf die anderen Eigenschaften. Es wird ausdrücklich gesagt, dass sie stabil ist. Allerdings ist die Definition von Stabilität in dem Link sehr unterschiedlich, konstruiert... Aber auch dort kann man deutlich sehen, dass es ohnehin viele verschiedene stabile Verteilungen gibt.
Stabile Verteilungen gibt es nicht viele, es gibt eine. Die Normal-, Cauchy- und Levy-Verteilung sind die drei berühmten Spezialfälle der stabilen Verteilung, andere gibt es nicht - https://en.wikipedia.org/wiki/Stable_distribution
Im Englischen werden sie als "stable distributions" bezeichnet. Google zeigt eine Menge Links an. Am interessantesten ist diese http://fs2.american.edu/jpnolan/www/stable/stable.html
Ich bin schockiert. Nach dieser Logik erzeugen die ersten Differenzen aus einer Cauchy-Verteilung auch eine Cauchy-Verteilung. Die zweiten (Unterschiede zu den ersten Unterschieden) sind ebenfalls kuschelig. Die dritten sind auch gemütlich. Und so weiter.
Das ergibt für mich keinen Sinn. Ich habe immer gedacht, dass eine Eingangsverteilung mit einer derartigen aufeinanderfolgenden Entnahme von "Preisen" unweigerlich schnell zur Normalität zurückgehen wird. Soll ich mich betrinken gehen...? :) Nein. Ich werde es morgen überprüfen. Ich werde ein Skript schreiben und es überprüfen.
Ich bin schockiert. Nach dieser Logik erzeugen die ersten Differenzen aus einer Cauchy-Verteilung auch eine Cauchy-Verteilung. Die zweiten (Differenzen aus den ersten Differenzen) sind ebenfalls Cauchy. Die dritten sind auch gemütlich. Und so weiter.
Das ergibt für mich keinen Sinn. Ich habe immer gedacht, dass jede Eingangsverteilung unweigerlich schnell zu einer Normalverteilung wird, wenn man die "Preise" so konsequent nimmt.
Ja, da haben Sie sie, die angenehme Überraschung von Verteilungen mit fetten Schwänzen.
Und das Beste ist, dass sogar der Stichprobendurchschnitt von Cauchy nach genau demselben Cauchy verteilt ist.
Übrigens ist die Standardnormale gar nicht so hässlich, sondern weiß und flauschig: der s.c.a. des Stichprobenmittelwerts nimmt mit zunehmendem Stichprobenumfang ab.