Quantitative trading - страница 16

[MetaQuotes]

Курс финансовой инженерии: Лекция 8/14, часть 2/4 (Ипотека и предоплата)

Курс финансовой инженерии: Лекция 8/14, часть 2/4 (Ипотека и предоплата)

В дополнение к темам, рассмотренным до сих пор, лекция дополнительно исследует концепцию аннуитетных ипотечных кредитов и их основные характеристики. Аннуитетная ипотека — это тип ипотеки, при котором непогашенное понятие постепенно уменьшается с течением времени из-за регулярных выплат. Ежемесячные платежи по аннуитетным ипотечным кредитам состоят из двух компонентов: процентных платежей и договорных графиков погашения, обозначенных буквой «q». Эти выплаты структурированы таким образом, что непогашенная номинальная сумма уменьшается с каждым платежом до тех пор, пока окончательный платеж не покроет оставшийся баланс.

Инструктор объясняет, что аннуитетные ипотечные платежи имеют фиксированные платежи в течение всего срока действия договора, что обеспечивает баланс между процентной ставкой и основной частью. Результатом этого баланса является постоянная сумма на каждую дату платежа. По мере того, как непогашенная номинальная сумма уменьшается, как погашение, так и процентные платежи следуют противоположным тенденциям. Проценты, начисляемые на оставшуюся условную часть, со временем уменьшаются. Чтобы рассчитать правильную сумму взноса, дисконтированные будущие денежные потоки по ипотеке должны быть равны стоимости непогашенной условной суммы. Любые внесенные предоплаты должны соответствующим образом корректировать постоянную сумму платежа.

Лекция углубляется в расчет постоянных платежей или аннуитетов. Стоимость аннуитета определяется путем суммирования всех будущих денежных потоков, дисконтированных до сегодняшнего дня. Используя формулу геометрических сумм, можно получить аналитическое выражение для ренты. Однако при внесении предоплаты постоянная сумма платежа изменится, что потребует перерасчета. Лектор также объясняет, как рассчитать процентные платежи и основные платежи, а также как скорректировать непогашенную условную сумму после внесения предоплаты.

Кроме того, лектор подчеркивает понятие времени и его влияние на ипотеку, погашение и предоплату. По мере погашения и досрочного погашения непогашенная номинальная сумма ипотечного кредита уменьшается, что приводит к соответствующему уменьшению ежемесячных платежей. Ставку досрочного погашения можно рассматривать как переформулировку платежа по процентной ставке, и она включена в компонент процентной ставки. Когда заемщик решает внести предоплату в рассрочку, график оставшихся платежей корректируется, чтобы отразить обновленную условную сумму непогашенной задолженности. Графики представлены, чтобы проиллюстрировать влияние различных уровней предоплаты на постоянно уменьшающуюся условную сумму с учетом сценариев с нулевой и 12-процентной ставкой предоплаты. В лекции делается вывод о том, что более высокие ставки предоплаты могут препятствовать сокращению непогашенной условной суммы.

В лекции также рассматривается структура аннуитетных ипотечных кредитов и механизм их погашения. Аннуитетная ипотека состоит из фиксированных ежемесячных платежей, которые включают как погашение, так и процентную ставку. Эти фиксированные платежи обеспечивают сбалансированную структуру погашения в течение всего срока действия ипотеки. Лектор исследует влияние предоплаты на ежемесячные платежи и объясняет, как необходимо пересчитывать постоянную сумму платежа (с) при осуществлении предоплаты. Кроме того, номинальная сумма ипотечного кредита постепенно уменьшается до тех пор, пока не останется непогашенной условной суммы. К концу ипотечного периода все платежи достигают нуля, что способствует плавному переходу при наличии ставок досрочного погашения. Лектор предоставляет код Python для графика погашения и объясняет его значение.

Кроме того, в лекции обсуждаются этапы расчета новой условной суммы после погашения или досрочного погашения ипотечного кредита. Этот процесс является итеративным и учитывает предыдущие условные ставки, ставки погашения, предоплаты и процентные платежи в течение срока действия контракта. Если предоплата зависит от времени или является стохастической, в расчеты необходимо внести коррективы. Кроме того, в лекции подчеркивается, что предоплата снижает ежемесячные расходы, а нулевая ставка предоплаты приводит к постоянным платежам в течение всего срока действия ипотеки. Объясняется, что если предоплата происходит только на конкретную дату, то рассрочка останется неизменной до этой даты, после чего все будет пересчитано.

Затем лектор переходит к объяснению того, как оцениваются ставки досрочного погашения ипотечных кредитов с точки зрения управления портфелем. Ставка досрочного погашения, представленная коэффициентом лямбда, является решающим фактором в управлении портфелем, поскольку она влияет на производительность и риск портфеля. Оценка ставки досрочного погашения включает рассмотрение исторических данных и анализ различных факторов, влияющих на решение заемщика досрочно погасить ипотечный кредит. Эти факторы могут включать процентные ставки, финансовые цели отдельных лиц и рыночные условия. В лекции исследуется, как объемы, наблюдаемые на рынке, влияют на ставку досрочного погашения, и обсуждаются методы ее оценки на основе портфеля ипотечных кредитов.

Далее в лекции рассматривается концепция поощрения за рефинансирование и его связь с моделями досрочного погашения ипотечных кредитов. Заемщики с большей вероятностью досрочно погасят свою ипотеку, если они наблюдают более низкую процентную ставку по сравнению со ставкой их текущей ипотеки. Этот стимул рефинансирования является ключевым фактором в любой модели досрочного погашения и тесно связан с рыночными ставками. Кроме того, на ставки по ипотечным кредитам могут влиять тип ипотечного кредита, срок его погашения и залог, связанный с ним. Лектор подчеркивает, что привлекательность залога влияет на процентную ставку, предлагаемую банками. Другие факторы, которые могут повлиять на ставки досрочного погашения, включают возраст ипотеки, месяц в году, налоговые соображения и выгорание.

В лекции рассматриваются факторы, влияющие на ставки предоплаты, с учетом как рыночной ситуации, так и индивидуальных профилей клиентов. Процентная ставка определяется как наиболее существенный фактор, влияющий на ставки досрочного погашения. Определение стимула досрочного погашения включает в себя оценку объемов, наблюдаемых на рынке. В лекции говорится, что наиболее разумным ориентиром для оценки ипотечного кредита является ставка свопа, которую банки используют для определения ставки по ипотечному кредиту для новых клиентов. Фактор риска ликвидности определяет дополнительный спред по ипотечной ставке. Досрочные платежи рассматриваются банками как затраты, поскольку они уменьшают позицию хеджирования, а определение ставки по ипотеке требует оценки связанных рисков и прибыли.

Затем акцент смещается на стимулирующую функцию досрочного погашения ипотечного кредита. Ставка свопа зависит от сумм досрочного погашения, которые напрямую связаны с начальной ставкой по ипотеке с фиксированной ставкой и ставкой, связанной с рефинансированием. Коэффициент риска ликвидности и маржа прибыли банка также влияют на определение новой ставки по ипотеке. Однако в лекции признается, что люди не всегда ведут себя логично или рационально, решая досрочно погасить ипотеку. Например, люди могут выбрать предоплату, когда это не обязательно оптимально, например, когда они получают дополнительные деньги. Функция стимулирования определяется как разница между текущей ставкой по ипотеке и новой ставкой по ипотеке и используется для оценки целесообразности рефинансирования или досрочного погашения ипотеки.

Преподаватель подчеркивает важность понимания формы функции стимулирования в различных рыночных условиях. График, представляющий функцию поощрения, имеет точки излома и сигмовидную форму, которая отражает как функцию поощрения, так и нерациональное поведение заемщиков. В лекции подчеркивается важность учета мелких деталей при реализации стимулирующих функций, поскольку даже небольшие вариации могут иметь решающее значение.

Лекция завершается обсуждением спикером концепции предоплаты по ипотечным кредитам. Когда ставка свопа уменьшается или достигает нуля, стимул к досрочному погашению уменьшается. В случаях, когда своповые ставки становятся отрицательными, стимул может достигать максимального уровня. Далее исследуется форма графика функции стимулов, при этом особое внимание уделяется разнице между старой ипотечной ставкой и значениями свопа. Подчеркивается, что хотя форма в целом уменьшается, важно обращать внимание на мелкие детали при реализации стимулирующих функций.

Лекция дает всестороннее представление о аннуитетных ипотечных кредитах, механизмах их погашения, расчете постоянных платежей, влиянии досрочного погашения, оценке ставок досрочного погашения, стимулах рефинансирования и факторах, влияющих на поведение досрочного погашения. Принимая во внимание эти аспекты, люди могут принимать обоснованные решения в отношении своих ипотечных кредитов и понимать динамику ипотечного рынка.

• 00:00:00 В этом разделе видео обсуждается понятие аннуитетной ипотеки. Аннуитетная ипотека — это тип ипотеки, при котором непогашенное понятие либо равно нулю, либо уменьшается во времени из-за погашения. Ежемесячные платежи по аннуитетным ипотечным кредитам состоят из двух элементов: процентных платежей и договорных графиков погашения, обозначаемых q. В случае с аннуитетной ипотекой выплаты по графику уменьшают условную сумму до такой степени, что окончательный платеж покрывает последнюю непогашенную сумму. Кроме того, исследуются детерминанты досрочного погашения, которые являются факторами, влияющими на решение клиента о досрочном погашении или получении сокращения непогашенного понятия ипотечного кредита до запланированного срока.
  
  
• 00:05:00 В этом разделе курса «Финансовая инженерия» инструктор обсуждает аннуитетные ипотечные кредиты и их основные характеристики. Аннуитетные ипотечные кредиты имеют фиксированные платежи в течение всего срока действия договора, что уравновешивает процентную ставку и основную часть, гарантируя постоянство суммы в каждую дату платежа. Как погашение, так и процентные платежи следуют противоположным тенденциям, поскольку понятие постепенно уменьшается, в результате чего процентные начисления на понятие будут уменьшаться. Чтобы рассчитать правильную сумму взноса, дисконтированные будущие денежные потоки по ипотеке должны быть равны стоимости непогашенной условной суммы, а любые предоплаты должны корректировать постоянную сумму.
  
  
• 00:10:00 В этом разделе лекции инструктор обсуждает расчет постоянных платежей или аннуитетов. Стоимость этого аннуитета равна сумме всех будущих денежных потоков, дисконтированных до сегодняшнего дня. Используя формулу геометрических сумм, можно найти аналитическое выражение для ренты. Если будут внесены предоплаты, это изменит постоянную сумму платежа, поэтому необходимо рассчитывать новую. Инструктор также объясняет, как рассчитать платежи по процентной ставке и основному долгу, а также как скорректировать условную задолженность после предоплаты.
  
  
• 00:15:00 В этом разделе курса «Финансовая инженерия» лектор обсуждает понятие времени и влияние погашения и предоплаты на ипотеку. Непогашенная номинальная ипотека уменьшается с погашением и досрочным погашением, и ежемесячные платежи также уменьшаются соответственно. Ставка досрочного погашения может быть интерпретирована как переформулировка процентной ставки и включена в состав процентной ставки. Когда залогодержатель решает внести предоплату, оставшийся график платежей перебалансируется в соответствии с обновленным понятием непогашенной задолженности. Лектор представляет графики, показывающие влияние различных уровней предоплаты на постоянную условную часть для сценариев с нулевой и 12-процентной ставками предоплаты, и делает вывод, что более высокие ставки предоплаты могут ухудшить сокращение непогашенной условной суммы.
  
  
• 00:20:00 В этом разделе лектор обсуждает структуру аннуитетной ипотеки и механизм ее погашения. Ипотека состоит из фиксированных ежемесячных платежей, которые включают в себя компоненты погашения и процентной ставки. Эти фиксированные платежи позволяют иметь сбалансированную структуру погашения в течение всего срока действия ипотеки. Лектор также исследует влияние предоплаты на ежемесячные платежи и пересчитывает постоянный размер c при внесении предоплаты. Кроме того, условная сумма ипотеки уменьшается до тех пор, пока не останется непогашенной номинальной суммы. В конечном итоге к концу ипотечного периода все платежи достигают нуля, и происходит плавный переход ставок досрочного погашения. Лектор предоставляет код на Python для графика погашения и объясняет значение кода.
  
  
• 00:25:00 В этом разделе лекции обсуждаются этапы расчета новой условной суммы после погашения и досрочного погашения ипотечного кредита. Новое условное значение рассчитывается с использованием предыдущих номинальных ставок, ставок погашения и досрочного погашения, а также процентных платежей. Процесс является итеративным и продолжается в течение всего срока действия контракта. Если предоплата зависит от времени или является стохастической, в расчеты необходимо внести коррективы. Кроме того, предоплата снижает ежемесячные расходы, тогда как нулевая ставка предоплаты приводит к постоянным платежам в течение всего срока действия ипотеки. В лекции объясняется, что если предоплата происходит только на заданную дату, рассрочка останется неизменной до даты предоплаты, после чего все будет пересчитано.
  
  
• 00:30:00 В этом разделе лектор объясняет, как оцениваются ставки досрочного погашения ипотечных кредитов с точки зрения управления портфелем. Ставка досрочного погашения, представленная коэффициентом лямбда, является ключевым элементом в этом процессе, поскольку она влияет на производительность и риск портфеля. Ставка досрочного погашения оценивается исторически на основе поведения людей и различных факторов, которые могут повлиять на стремление человека досрочно погасить свою ипотеку, таких как процентные ставки и лица, стремящиеся к финансовой независимости. Лектор также обсуждает, как объемы, наблюдаемые на рынке, влияют на ставку досрочного погашения и как ее можно оценить по портфелю ипотечных кредитов.
  
  
• 00:35:00 В этом разделе обсуждается концепция стимула рефинансирования и его связь с моделями досрочного погашения ипотечных кредитов. Когда заемщики наблюдают более низкую процентную ставку, чем ставка по ипотечному кредиту, они с большей вероятностью внесут предоплату. Это связано с основным фактором любой модели досрочного погашения, стимулом рефинансирования и его связью с рыночными ставками. Кроме того, на ставки по ипотеке могут влиять несколько других факторов, таких как тип ипотеки, срок погашения ипотеки и залог по ипотеке. Чем привлекательнее залог по ипотеке банка, тем ниже процентная ставка, которую они предложат. Другие факторы, которые могут повлиять на ставки досрочного погашения, включают срок ипотеки, месяц в году, налоговые причины и выгорание.
  
  
• 00:40:00 В этом разделе лектор обсуждает факторы, влияющие на ставки досрочного погашения ипотеки, в том числе ситуацию на рынке и индивидуальные профили клиентов. Стимул процентной ставки является наиболее значительным фактором, влияющим на ставки досрочного погашения, и подходящее определение стимула досрочного погашения включает определение наблюдаемых на рынке объемов. Все согласны с тем, что наиболее разумным ориентиром для цены ипотечного кредита является ставка своп, которую банки используют для определения ставки по ипотечному кредиту для новых клиентов, а фактор риска ликвидности определяет дополнительный спред для ставки по ипотечному кредиту. Досрочные платежи считаются затратами для банков, поскольку они уменьшают позицию хеджирования, и при определении ставки по ипотеке возникают связанные с этим риски и прибыль.
  
  
• 00:45:00 В этом разделе основное внимание уделяется стимулирующей функции досрочного погашения ипотеки. Ставка свопа будет зависеть от суммы досрочного погашения, которая напрямую связана с начальной ипотечной ставкой с фиксированной ставкой, а также ставкой, связанной с рефинансированием ипотеки. Коэффициент риска ликвидности и маржа прибыли банка дополнительно определяют новую ставку по ипотеке. Люди не всегда ведут себя логично и рационально, и они могут вносить предоплату, когда это не оптимально, например, когда у них появляются лишние деньги. Функция стимулирования определяется как разница между текущей ставкой по ипотеке и новой ставкой по ипотеке, и именно эта функция используется для определения целесообразности рефинансирования или досрочного погашения ипотеки.
  
  
• 00:50:00 В этом разделе лекции инструктор обсуждает рациональное поведение и стимулы досрочного погашения ипотечных кредитов на основе ставок своп и ипотечных ставок. Он объясняет, что граф, изображающий предоплату, имеет точки останова и сигмовидную форму, представляющую функцию стимулирования и нерациональное поведение клиентов. Он подчеркивает важность понимания формы функции стимулирования в различных рыночных условиях, в зависимости от того, является ли стимул производным от ставок или разницы между старыми и новыми ипотечными кредитами. Преподаватель также предоставляет код для визуализации функции поощрения и определения ставок предоплаты.
  
  
• 00:55:00 В этом разделе лекции по финансовой инженерии обсуждается концепция предоплаты по ипотечным кредитам. Спикер отмечает, что по мере снижения или достижения нуля ставки своп снижается стимул к досрочному погашению, а если ставки своп становятся отрицательными, то стимул может достигать своего максимального размера. Также обсуждается форма графика для функций стимулирования с акцентом на разницу между старой стоимостью ипотечного кредита и свопа. Подчеркивается, что хотя форма в основном убывающая, важно иметь в виду, что это разностная функция и что мелкие детали имеют решающее значение при реализации стимулирующих функций.

[MetaQuotes]

Курс финансовой инженерии: Лекция 8/14, часть 3/4 (Ипотека и предоплата)

Курс финансовой инженерии: Лекция 8/14, часть 3/4 (Ипотека и предоплата)

В сегодняшней лекции мы стремимся установить прочную связь между льготами по рефинансированию, предоплатой и различными видами ипотечных кредитов. Мы начнем с изучения концепции постоянной ставки платежа и ее связи с ипотечными кредитами как с амортизационными свопами без неопределенности. Опираясь на эту основу, мы вводим концепцию индексного амортизируемого свопа, который учитывает готовность клиентов внести предоплату или рефинансировать в зависимости от рыночных условий. Это также приводит к тому, что мы связываем стимулы рефинансирования и базовую ставку свопа в ценообразовании деривативов, особенно применяемых к ипотечному портфелю, который амортизируется с течением времени.

Чтобы лучше понять вовлеченную динамику, мы исследуем как детерминированные, так и стохастические функции графиков амортизации. В то время как в более простых случаях достаточно детерминированной функции, более сложный сценарий вводит стохастичность, в первую очередь обусловленную ставкой свопа. Эта стохастичность улавливает иррациональное поведение клиентов, что важно учитывать при наблюдении за рыночными ставками и включении их в ценообразование амортизирующего свопа. Однако ценообразование стохастического понятия сопряжено с трудностями, и стандартного подхода может оказаться недостаточно, что потребует привлечения продвинутых контрагентов для создания таких деривативов.

Мы изучаем влияние стохастических факторов, таких как ставка свопа и волатильность, на ценообразование по ипотечным кредитам и риск досрочного погашения. Применение леммы Ито становится необходимым для выяснения того, соответствуют ли наблюдаемые величины свойствам мартингала, особенно когда наблюдаемый фактор является функцией Libor. Следует отметить, что риск досрочного погашения существует только в ипотечных кредитах с фиксированной процентной ставкой, поскольку в ипотечных кредитах с плавающей процентной ставкой отсутствует стимул для досрочного погашения. Понимая принципы индексных амортизирующих свопов, мы можем эффективно управлять риском досрочного погашения и снижать процентный риск.

Расширяя наши знания, мы вводим понятие индексного амортизирующего свопа — внебиржевого процентного свопа, который сочетает в себе простой ванильный своп с частичным поглощением. Этот экзотический производный инструмент, обычно предназначенный для искушенных инвесторов из-за его больших номиналов, обычно не включается в оценки XVA. Тем не менее, изучение ценообразования на ипотечные кредиты и их связи с поведением досрочного погашения, стимулами рефинансирования и наблюдениями за рынком имеет большое значение. Схемы детерминированной амортизации служат широко используемыми инструментами, облегчая их обработку и интеграцию в структуру индексного амортизационного свопа, который по своей сути несет встроенную опциональность.

Теперь наше внимание смещается на моделирование понятия индексного амортизационного свопа, который инкапсулирует возможность стохастической амортизации через сложную функцию, привязанную к типу ипотечного кредита. Ставка досрочного погашения, в свою очередь, становится функцией, зависящей от ставки свопа, в то время как стимул к рефинансированию зависит от исторических оценок, полученных на основе различных факторов, таких как возраст, доход, богатство и налоги. Оценка коэффициентов, используемых в этих моделях предоплаты, требует исторических данных и детального анализа. Поскольку портфель клиентов каждого банка различается, определение этих коэффициентов становится обширным исследованием, уникальным для каждого учреждения.

В лекции спикер также обсуждает оценку коэффициентов, используемых в моделях досрочного погашения ипотеки, подчеркивая, что они не определяются рынком, а основаны исключительно на исторических оценках поведения. Кроме того, определяется концепция индексного амортизирующего свопа, подчеркивая использование им стимулов рефинансирования и ставок досрочного погашения, которые определяются на основе исторических данных для установления условной стоимости ипотечного кредита. Оценивая эти ожидания, можно установить общую стоимость ипотечного портфеля и внести необходимые коррективы в соответствии с рыночными условиями.

Инструктор далее останавливается на сложностях, связанных с декомпозицией условных единиц, объясняя, что они не могут быть далее разделены, поскольку они зависят от ставки свопа, которая, в свою очередь, не является независимой от ставки свопа Libor. Хотя допущение независимости возможно, делать это без тщательного изучения влияния корреляции не рекомендуется. Вместо этого рекомендуется использовать моделирование методом Монте-Карло. Весь этот процесс включает в себя несколько шагов, включая установление цены свопа, оценку функции рефинансирования, построение функции на основе типа ипотечного кредита и корректировку условных единиц. Предстоящий блок лекции будет посвящен моделированию северного узла, что дает представление о том, как условные единицы ведут себя с течением времени в зависимости от типа ипотеки. Крайне важно подходить к этому процессу с тщательным вниманием к деталям и тщательным рассмотрением каждого вовлеченного шага.

Таким образом, сегодняшняя лекция подчеркнула взаимосвязь между льготами по рефинансированию, предоплатой и различными типами ипотечных кредитов. Мы рассмотрели концепцию амортизационных свопов, как с учетом неопределенности, так и без нее, и ввели индексный амортизационный своп, который включает поведение досрочного погашения, определяемое рынком. Связывая стимулы рефинансирования, базовые ставки свопа и цены на деривативы, мы можем эффективно управлять амортизацией ипотечного портфеля с течением времени.

Стохастические факторы, такие как ставка свопа и волатильность, играют важную роль в ценообразовании и оценке риска досрочного погашения. Использование леммы Ито становится необходимым для точной оценки мартингальных свойств наблюдаемых величин. Также важно различать ипотечные кредиты с фиксированной и плавающей процентной ставкой при рассмотрении риска досрочного погашения.

Мы углубились в тонкости индексного амортизирующего свопа, экзотического дериватива, который сочетает в себе простой ванильный своп с частичным поглощением. Хотя он обычно предназначен для опытных инвесторов, он предлагает ценную информацию о ценах на ипотеку, поведении досрочного погашения и наблюдениях за рынком. Схемы детерминированной амортизации хорошо сочетаются с этим типом свопа, упрощая его обработку и добавляя встроенные опции.

В лекции особое внимание уделялось моделированию понятия индексного амортизационного свопа с учетом стохастической амортизации и сложной функции, связанной с типом ипотеки. Оценка коэффициентов для моделей досрочного погашения требует исторических данных и детального анализа, который варьируется в зависимости от банков в зависимости от их уникальных клиентских портфелей.

Кроме того, мы обсудили проблемы, связанные с декомпозицией условных единиц, и важность понимания корреляции между ставками своп и ставками Libor. Использование моделирования методом Монте-Карло рекомендуется для ценообразования деривативов со стохастическими понятиями, предлагая комплексный подход к управлению сложностью процесса.

Эта лекция пролила свет на связь между льготами по рефинансированию, предоплатой и различными типами ипотечных кредитов. Включая наблюдения за рынком, исторические данные и передовые методы моделирования, мы можем эффективно управлять риском досрочного погашения и ориентироваться в сложностях ценообразования ипотечных портфелей.

• 00:00:00 В этом разделе лекции цель состоит в том, чтобы связать концепции льгот по рефинансированию, предоплаты и различных видов ипотечных кредитов. Первый шаг включает рассмотрение постоянной ставки платежа и привязку ипотечных кредитов к амортизационному свопу без неопределенности. Затем вводится понятие индексного амортизирующего свопа, которое включает готовность клиентов досрочно погасить или рефинансировать в зависимости от рыночных обстоятельств. Затем мы связываем стимулы рефинансирования и базовую ставку свопа с ценообразованием деривативов, которое применяется к ипотечному портфелю, который амортизируется с течением времени. Амортизация может быть детерминированной функцией, но в более сложном случае она становится стохастической функцией ставки свопа, что и является конечной целью сегодняшней лекции. Наконец, различные типы ипотечных кредитов определяются с точки зрения их графиков платежей и графиков погашения, что позволяет нам построить функцию, связывающую пулевые и аннуитетные ипотечные кредиты.
  
  
• 00:05:00 В этом разделе лекции обсуждается взаимосвязь между условной и датой платежа как для однократной, так и для аннуитетной ипотеки. Вводится понятие права досрочного погашения и функция мультипликатора, называемая psi, и показывается, что условное значение может быть представлено общей формулировкой для обоих типов ипотечных кредитов. Затем лекция переходит к перспективе банка, владеющего портфелем ипотечных кредитов, и тому, как его можно хеджировать с помощью амортизационного свопа. Подчеркивается важность наращенных периодов и ставок досрочного погашения, а также отмечается, что стохастичность может усложнить дело. Лекция завершается концепцией постоянной ставки предоплаты и тем, как она может упростить расчет ожиданий.
  
  
• 00:10:00 В этом разделе лекции инструктор обсуждает, как установить ставку погашения для ипотечных кредитов и сложность создания зависящей от времени функции для предоплаты. Ставку предоплаты проще оценить как константу, используя исторические данные о клиентах, но разработка точной процедуры для функции, зависящей от времени, требует более полных данных. Обсуждается ценообразование амортизирующих свопов и объясняется, что из-за ставок досрочного погашения это понятие будет угасать, и оно может быть нелинейным. Ценовое выражение для амортизирующего свопа демонстрируется с использованием продолжающегося ожидания и изменения мер от элементов суммирования до форвардной меры ti. Важно отметить, что отмена условий не так элегантна, как в случае обычного процентного свопа, поскольку элементы будут умножаться на разные коэффициенты. Наконец, инструктор объясняет, как включить ставку предоплаты и ставку свопа в лямбда-функцию и сигмовидную функцию соответственно.
  
  
• 00:15:00 В этом разделе лекции основное внимание уделяется установлению четкой связи между рыночным моделированием и влиянием предоплаты на ипотечный портфель. Вводя стохастичность, спикер указывает, что клиенты могут вести себя иррационально, и этот элемент встраивается путем наблюдения за определенными рыночными ставками, которые включены в цену амортизирующего свопа. Чтобы смягчить проблему ценообразования стохастического понятия, спикер показывает, как индексный амортизирующий своп может быть представлен как функция свопционов, и объясняет, что этого можно достичь путем сопоставления опциональности с ценообразованием европейских опционов. Однако освещена проблема стохастического ценообразования и показано, что стандартный подход не может быть использован, что приводит к необходимости продвинутых контрагентов для создания такого рода деривативов.
  
  
• 00:20:00 В этом разделе спикер обсуждает, как стохастические факторы в ипотечных кредитах, такие как ставка свопа и волатильность, могут влиять на ценообразование и риск досрочного погашения. Важно использовать лемму Ито, чтобы проверить, является ли наблюдаемая величина мартингалом или нет, особенно в тех случаях, когда наблюдаемый фактор является функцией Libor, иначе член дрейфа может быть пропущен. Также отмечается, что риск досрочного погашения существует только в ипотечных кредитах с фиксированной процентной ставкой, поскольку в ипотечных кредитах с плавающей процентной ставкой нет никаких стимулов. В заключение докладчик подчеркивает важность принципов, лежащих в основе индексных амортизирующих свопов, для управления риском досрочного погашения и снижения процентного риска.
  
  
• 00:25:00 В этом разделе лектор обсуждает индексный амортизирующий своп, который представляет собой внебиржевой процентный своп, сочетающий в себе простой ванильный своп с частичным поглощением. Этот экзотический производный инструмент включает в себя крупные номиналы и требует создания финансового учреждения, что делает его обычно предназначенным для искушенных инвесторов. Ипотечные кредиты обычно не включаются в оценки XVA, но стоит изучить концепцию ценообразования по ипотечным кредитам и связь досрочного погашения со стимулами рефинансирования и наблюдениями за рынком. Детерминированные схемы амортизации для амортизирующих свопов являются широко торгуемыми инструментами, что упрощает их обработку. Понятие ипотечного портфеля является амортизируемым, что делает его естественным образом подходящим для индексного амортизирующего свопа, который имеет те же встроенные возможности.
  
  
• 00:30:00 В этом разделе лекции вводится понятие индексного амортизирующего свопа, понятие которого основано на ставке досрочного погашения, которая является функцией ставки свопа, и стимула рефинансирования, исторически определяемого на основе поведения клиента. Ставка досрочного погашения будет сама определяться как функция ставки свопа, и цель состоит в том, чтобы оценить изменение амортизации индекса. Задача заключается в моделировании понятия индексного амортизационного свопа, воплощающего возможность стохастической амортизации через задействованную функцию типа ипотеки, с исторической оценкой рефинансирующего стимула, являющегося функцией различных факторов.
  
  
• 00:35:00 В этом разделе основное внимание уделяется основному фактору стимулов рефинансирования и тому, как определить индексный амортизирующий своп. Предполагается, что ставка досрочного погашения является функцией только стимула рефинансирования, который зависит от наблюдаемой величины, т. е. ставки свопа. Ставка предоплаты зависит от готовности клиента внести предоплату, на которую влияют такие факторы, как возраст, доход, богатство и налоги. Стимулы рефинансирования предполагаются либо полностью рациональными, либо, что более реалистично, сигмовидной функцией с оценочными коэффициентами. Оценка этих коэффициентов будет варьироваться в зависимости от банка в зависимости от их портфеля клиентов, что делает его обширным исследованием.
  
  
• 00:40:00 В этом разделе спикер обсуждает коэффициенты, используемые в моделях досрочного погашения ипотеки, и то, как они оцениваются с использованием исторических данных. Он подчеркивает, что эти коэффициенты не зависят от рынка и основаны только на исторических оценках поведения. Кроме того, спикер объясняет стимулы рефинансирования и то, как они влияют на ставки досрочного погашения. Он определяет индекс амортизационного свопа и то, как он использует стимулы рефинансирования и ставки досрочного погашения на основе исторических данных для определения условной стоимости ипотечного кредита. Спикер делает вывод, что, оценив эти ожидания, можно определить общую стоимость ипотечного портфеля и скорректировать ее в соответствии с рыночными условиями.
  
  
• 00:45:00 В этом разделе инструктор объясняет, что, хотя ожидание можно разделить, условные значения нельзя далее разложить, поскольку они зависят от скорости обмена, которая не является независимой от скорости обмена библиотеки. Хотя мы могли бы предположить независимость, это не рекомендуется, если только не были проведены тщательные исследования, чтобы понять влияние корреляции. Вместо этого рекомендуется моделирование методом Монте-Карло. Весь этот процесс требует нескольких шагов, включая оценку ставки свопа, оценку функции рефинансирования, построение функции в зависимости от типа ипотеки и корректировку условных единиц. В следующем блоке инструктор смоделирует северный узел, который покажет, как условные единицы ведут себя во времени в зависимости от типа ипотеки. В целом, это достаточно сложный процесс, требующий тщательного рассмотрения и внимания к деталям.

[MetaQuotes]

Курс финансовой инженерии: Лекция 8/14, часть 4/4 (Ипотека и предоплата)

Курс финансовой инженерии: Лекция 8/14, часть 4/4 (Ипотека и предоплата)

В лекции ценообразование ипотечных кредитов занимает центральное место, и инструктор демонстрирует эксперимент Python, который объединяет знания о ценообразовании аннуитетов и ипотечных кредитов, включая стимулы рефинансирования, для имитации стохастичности в условных значениях. Лекция охватывает различные аспекты, такие как свопы, модели ценообразования и связанные с ними риски, включая варианты конвейера, с которыми сталкиваются банки.

Значительная часть лекции посвящена поведению условного профиля для ипотечных кредитов и аннуитетных ипотечных кредитов и способам их моделирования. Подчеркнуто, что случайность моделируемых путей оказывает существенное влияние на условный профиль. Показано, что предоплата оказывает значительное влияние на условную стоимость, особенно для ипотечных кредитов, в то время как аннуитетные ипотечные кредиты подвержены сравнительно меньшему влиянию. Лектор представляет коды Python, расширенные таким образом, чтобы постоянная ставка предоплаты зависела от времени, требуя таких входных данных, как кривая облигаций с нулевым купоном, ставка свопа и стохастические траектории на каждом временном шаге.

Докладчик подробно рассматривает ставку досрочного погашения ипотечных кредитов и ее влияние на непогашенную условную и стимулирующую функцию, которая зависит от рыночных факторов, таких как ставка свопа. Представлены два профиля платежей по ипотечным кредитам, маркированный и аннуитетный, и объяснено их индексирование по времени и досрочному погашению. В лекции представлены две функции стимулирования, сигмовидная и логистическая, и подчеркивается, что кривая доходности, используемая для моделирования рынка, фиксирована на уровне пяти процентов. Пути Монте-Карло, сгенерированные для частей процентной ставки, служат основой для оценки функций стимулирования.

Преподаватель далее обсуждает моделирование ставок своп с учетом точки зрения клиента и его непогашенной ипотеки. Они определяют функцию стимулирования на основе ипотечного кредита клиента и повторяют временные шаги для создания условных графиков. Функция стимулирования оценивается для профиля ипотечного кредита на каждом временном шаге, и эта информация сохраняется в метриках, что приводит к стохастическому понятию, которое зависит от функции стимулирования, стохастических процентных ставок и типа ипотечного кредита. Лекция включает в себя графические результаты, демонстрирующие варианты с предоплатой и без нее.

Лектор подчеркивает значение функций стимулирования и стохастичности в контексте ипотеки и предоплаты. Показаны различные примеры условных профилей, иллюстрирующие их поведение при различных сценариях, включая рациональное и иррациональное поведение с использованием сигмовидной функции. Обсуждается влияние возрастающей неопределенности и волатильности, подчеркивая роль функции стимулирования в подверженности риску и необходимость покупки или продажи индексных амортизирующих свопов или свопов. Показано, что количество шагов в моделировании влияет на профиль понятия, и выделены практические корректировки.

Подробно рассматривается аннуитетная ипотека в рациональной среде с графиком, показывающим, как работают стимулы досрочного погашения и как клиенты определяют свой максимальный досрочный платеж. Могут существовать такие ограничения, как юридические ограничения или штрафы, влияющие на выбор клиента. Сравнение пулевой ипотеки и аннуитетной ипотеки показывает, что неопределенность сильно зависит от графика, при этом сокращение условного значения приводит к меньшей неопределенности. Объясняется разложение сложного портфеля заказов на линейную и нелинейную части, при этом финансовый инжиниринг предлагает возможность финансирования без обязательного обращения к индексным амортизирующим свопам.

Расчет платежей и номинальная стоимость ипотеки поясняются на упрощенном случае двухпериодной ипотеки. Условное значение делится на две части: n-up и разница между n-up и n-low. Последняя часть касается досрочного погашения ипотечного кредита и положительна только в том случае, если страйк превышает LK, подобно нелинейному эффекту колл-опциона. Расчет второго платежа включает суммирование двух платежей, причем первый платеж является детерминированным, а второй платеж дисконтируется на основе возможных результатов n-up и n-low.

В лекции переопределяется индексный амортизационный своп как комбинация детерминированного амортизационного свопа и нелинейного флэта. Лектор подчеркивает, что покупка ипотечного кредита может рассматриваться как открытие длинной позиции по свопу, при этом предоплата уменьшает понятие ипотечного кредита, что сродни опциону на заключение свопа. Состав индексного амортизирующего свопа может быть оптимизирован для воспроизведения его профиля риска, а передовые экзотические производные инструменты, подобные этому, могут быть хеджированы или воспроизведены с использованием упрощенных ликвидных инструментов, доступных на рынке. В лекции последовательно подчеркиваются риски досрочного погашения и их влияние на понятие ипотечного портфеля.

Еще одна тема, обсуждаемая в видео, - это дополнительный риск, связанный с европейской ипотекой или голландской ипотекой, в частности, связанный со способностью клиента выбирать фиксированную ставку по ипотеке. В лекции выделяются две критические даты: t0, котировочный день, и t1, время, когда клиент подписывает договор с банком. Риск для банка заключается в том, что клиент может выбрать более низкую ставку, что приведет к существенным убыткам. Этот риск называется риском трубопровода, и очень важно эффективно управлять им, чтобы защитить прибыль банка.

Дискуссия вращается вокруг риска ценообразования для ипотечных кредитов и предоплат. Хеджирование риска конвейера создает проблемы, поскольку требует использования свопов, что требует постоянного пересчета значений и связанных профилей. Этот процесс не является одноразовым для одного клиента; это относится к каждому отдельному клиенту. Кроме того, риски накапливаются в портфеле, что требует объединения ипотечных кредитов в более крупный портфель, который необходимо состарить. Лекция завершается тем, что основное внимание уделяется риску конвейера ценообразования, включая возможность для клиентов выбирать ставку на дату котировки или дату расчета, в зависимости от того, какая ставка меньше.

Лектор объясняет разложение индекса амортизационного свопа на линейное произведение и оставшуюся часть свопа. Эта стратегия декомпозиции распространена в финансах при работе со структурами, предполагающими необязательность. Чтобы справиться с сопутствующим риском, формула Блэка представлена как простой подход, требующий только волатильности для замены этих конфигураций. В лекции подчеркивается важность учета поведения и стимулов клиентов, а также ценообразования в нейтральном к риску мире при работе с ипотечными кредитами.

Кроме того, спикер сравнивает пулевую ипотеку и аннуитетную ипотеку, подчеркивая, что аннуитетная ипотека предполагает регулярные выплаты с течением времени, а не единовременную выплату в конце контракта. В лекции исследуются факторы, которые приводят к досрочным платежам клиентов, такие как стимулы рефинансирования, и представлены численные эксперименты по условному моделированию, основанному на рыночных и стимулирующих функциях ипотечных кредитов. Обсуждение также охватывает риски, связанные с переходом от индексного амортизирующего свопа к стохастической предоплате и опционам.

Ближе к концу лекции студентам предлагаются упражнения для имитации понятий и ценовых договоров об ипотеке. Акцент смещается на концепцию выпуклости и ее влияние на ожидания в финансах. Перед учащимися ставится задача определить сторону функции, которая дает равенство по сравнению с библиотекой с мартингальной мерой платежа, используя аналитические или численные методы. Лекция знакомит с концепцией коллекции выпуклости и исследует ее влияние на ожидания. Студентам также предлагается модифицировать код, чтобы гарантировать, что предоплата будет производиться лишь несколько раз в течение срока действия ипотечного контракта, что еще больше улучшит их навыки программирования на Python.

В целом, лекция дает всестороннее представление об ипотечном ценообразовании, охватывая различные сложности, такие как риски досрочного погашения, функции стимулирования, стохастичность, риск трубопровода и декомпозицию индексных амортизирующих свопов. Он дает студентам необходимые знания и практические навыки для анализа и моделирования ипотечных портфелей с учетом рыночных факторов и поведения клиентов.

• 00:00:00 В этом разделе лекции по финансовой инженерии основное внимание уделяется ценообразованию на ипотечные кредиты. Лекция представляет собой эксперимент Python, который сочетает в себе знания о ценообразовании аннуитетов и ипотечных кредитов, включая стимулы рефинансирования, для имитации стохастичности условных значений. С помощью процесса с коротким курсом демонстрируется моделирование свопов и моделей ценообразования. В лекции также рассматривается риск, связанный с вариантами воронки, что является еще одним источником риска для банков. В этом разделе также обсуждается важность индексных амортизирующих свопов для свопов, особенно при хеджировании ипотечных портфелей. В целом, лекция дает всестороннее представление об ипотечном ценообразовании и его различных сложностях.
  
  
• 00:05:00 В этом разделе лектор обсуждает поведение условного профиля для ипотечных кредитов и аннуитетных ипотечных кредитов, а также способы моделирования этих путей. Замечено, что случайность смоделированных путей сильно влияет на условный профиль. Стохастичность ипотечных кредитов вступает в игру, поскольку предоплата значительно больше влияет на условную стоимость для пулевого опциона, и это влияние будет намного меньше в случае аннуитетного типа ипотеки. Лектор также представляет коды Python, которые расширены, чтобы сделать постоянную ставку предоплаты зависящей от времени. Необходимыми входными данными являются кривая облигаций с нулевым купоном, ставка свопа и стохастические траектории в каждый момент времени t.
  
  
• 00:10:00 В этом разделе лекции спикер обсуждает ставку досрочного погашения по ипотечным кредитам и ее влияние на непогашенную условную и стимулирующую функцию, которая зависит от рыночных факторов, таких как ставка свопа. Докладчик представляет два профиля платежей по ипотечным кредитам: пулевой и аннуитетный, оба из которых имеют дополнительную индексацию по времени и досрочному погашению. Код, используемый для моделирования, представлен двумя функциями стимулирования: сигмовидной и логистической. Докладчик объясняет, что кривая доходности, используемая для моделирования рынка, зафиксирована на уровне пяти процентов и что траектории Монте-Карло, сгенерированные для частей процентной ставки, служат основой для оценки функций стимулирования.
  
  
• 00:15:00 В этом разделе курса «Финансовая инженерия» инструктор обсуждает, как они моделируют значение ставки свопа, чтобы предположить, что их клиент будет смотреть на своп с постоянным сроком погашения, который всегда будет основываться на третьем году. курс обмена. Они также настраивают функцию, чтобы убедиться, что в ней нет нулей. Клиент обычно смотрит на своп, соответствующий его непогашенной ипотеке, которая может быть на более короткий период, а затем инструктор определяет функцию стимулирования на основе непогашенной ипотеки клиента. Затем инструктор повторяет не временные шаги, чтобы создать условные графики и оценить функцию стимулирования для ипотечного профиля на каждом временном шаге. Они хранят эту информацию в своих метриках, что создает стохастическое понятие в зависимости от функции стимулирования, стохастических процентных ставок и типа используемой ипотеки. Они отображают результаты, показывая варианты с предоплатой и без нее.
  
  
• 00:20:00 В этом разделе лекции преподаватель обсуждает функции стимулирования и стохастичность в контексте ипотеки и предоплаты. Они показывают примеры условных профилей и то, как они ведут себя в различных сценариях, таких как рациональное поведение и иррациональное поведение с использованием сигмовидной функции. Также обсуждается влияние возрастающей неопределенности и волатильности, и подчеркивается важность функции стимулирования, поскольку она влияет на подверженность риску и необходимость покупки или продажи индексных амортизирующих свопов или свопов. Преподаватель также объясняет, как количество шагов в моделировании влияет на профиль понятия, и корректировки, которые необходимо внести для практического применения.
  
  
• 00:25:00 В этом разделе лектор обсуждает аннуитет в рациональной постановке с графиком, показывающим, как работают стимулы предоплаты и как клиенты определяют свою максимальную предоплату, которая может быть ограничена законом или штрафами. Сравнение пулевой ипотеки и аннуитета показывает, что неопределенность сильно зависит от графика, при этом уменьшение условного значения приводит к меньшей неопределенности. Обсуждается декомпозиция сложного портфеля заказов на линейную часть и нелинейную часть с возможностью финансирования посредством финансового инжиниринга, что указывает на то, что нет необходимости обязательно переходить на индексный амортизирующий своп и покупать без рецепта.
  
  
• 00:30:00 В этом разделе лекции спикер обсуждает расчет платежей и условную стоимость ипотеки в упрощенном случае двухпериодной ипотеки. Условная стоимость залога делится на две части - n-up и разницу между n-up и n low. Последняя часть обрабатывает досрочное погашение ипотеки и является положительной только в том случае, если страйк превышает LK. Этот нелинейный эффект аналогичен опциону колл. Расчет второго платежа требует суммирования двух платежей, причем первый платеж является детерминированным, а второй платеж дисконтируется на основе возможных результатов n-up и n low.
  
  
• 00:35:00 В этом разделе лекции спикер переопределяет индексный амортизационный своп как комбинацию детерминированного амортизационного свопа и нелинейного флэта. Они объясняют, что покупка ипотечного кредита может рассматриваться как открытие длинной позиции по свопу, и что предоплата уменьшает понятие ипотечного кредита, что эквивалентно опциону на заключение свопа. Докладчик отмечает, что составление индексного амортизирующего свопа может быть выполнено за счет оптимизации, чтобы воспроизвести его профиль риска, и что передовые экзотические деривативы, подобные этому, могут быть хеджированы или воспроизведены с помощью упрощенных ликвидных инструментов, доступных на рынке. В целом лекция посвящена рискам досрочного погашения и их влиянию на понятие ипотечного портфеля.
  
  
• 00:40:00 В этом разделе видео обсуждается дополнительный тип риска, связанный с ипотекой, в частности европейской ипотекой или голландской ипотекой, который связан с возможностью клиента выбрать ставку или фиксированную ставку ипотеки. . Здесь есть две важные даты: t0 — котировочный день и t1 — время, когда клиент подпишет договор с банком. Клиент должен выбирать между курсами на эти две даты, и риск для банка заключается в том, что клиент может выбрать более низкий курс, что может привести к значительным потерям для банка. Это называется риском конвейера и представляет собой существенный риск, которым необходимо правильно управлять. В противном случае прибыль банка будет поглощена.
  
  
• 00:45:00 В этом разделе лекции по финансовой инженерии дискуссия сосредоточена на том, как оценивать риски трубопровода для ипотечных кредитов и предоплат. Основная проблема в хеджировании рисков конвейера заключается в том, что он хеджируется с помощью свопов, а это означает, что процесс является непрерывным и требует постоянного пересчета значений и связанных профилей. Этот процесс не происходит только один раз для одного клиента; вместо этого это происходит для каждого клиента. Кроме того, риски накапливаются в портфеле, а это означает, что ипотечные кредиты должны быть объединены в большой портфель, и этот портфель должен быть выдержан. Обсуждение завершается акцентом на том, как оценивать риск трубопровода, включая возможность выбора клиентом ставки на дату котировки или на дату расчета, в зависимости от того, какая ставка меньше.
  
  
• 00:50:00 В этом разделе лектор обсуждает разложение индексного амортизирующего свопа на линейное произведение и оставшуюся часть свопа. Это обычная стратегия в финансах для структур, предполагающих необязательность. Самый простой способ справиться с сопутствующим риском — использовать формулу Блэка, которая требует только волатильности для замены этих конфигураций. Лектор объясняет, что при работе с ипотекой необходимо учитывать поведение клиентов и их стимулы, помимо ценообразования в нейтральном к риску мире. На этом понимании лекция об ипотеке заканчивается.
  
  
• 00:55:00 В этом разделе лекции об ипотеке и досрочном погашении спикер обсуждает разницу между пулевой ипотекой и аннуитетной ипотекой, при этом аннуитетная ипотека предполагает регулярные выплаты в течение времени, а не единовременный платеж в конце контракта. Докладчик также рассматривает определенные факторы, которые приводят к досрочным платежам клиентов, в том числе стимулы рефинансирования, а также численные эксперименты по условному моделированию в зависимости от рынка ипотечного кредита и функций стимулирования. Кроме того, в этом разделе рассматривается конвейерный риск, связанный с переходом от индексного амортизирующего свопа к росту стохастической предоплаты и опционов. Наконец, лекция включает в себя упражнения для студентов, связанные с моделированием условного и ценообразования контракта.
  
  
• 01:00:00 В этом разделе курса финансовой инженерии основное внимание уделяется концепции выпуклости и ее влиянию на ожидания в финансах. Поставленная задача состоит в том, чтобы определить, какая сторона функции дает равенство по сравнению с библиотекой с мартингальной мерой платежа, используя либо аналитические, либо численные методы. Вводится понятие выпуклой коллекции и исследуется ее влияние на ожидания. Последняя задача включает в себя модификацию кода, чтобы гарантировать, что предоплата происходит только несколько раз в течение срока действия ипотечного договора. Эти упражнения предназначены для того, чтобы дать представление о ценообразовании на ипотечные кредиты, ввести в последующие лекции по выпуклости, а также для дальнейшего развития навыков программирования на Python.

[MetaQuotes]

Курс финансовой инженерии: Лекция 9/14, часть 1/2 (Гибридные модели и стохастические процентные ставки)

Курс финансовой инженерии: Лекция 9/14, часть 1/2 (Гибридные модели и стохастические процентные ставки)

В лекции основное внимание уделяется гибридным моделям и их значению в портфелях финансовых учреждений. Эти модели используются для моделирования будущих сценариев для различных классов активов, включая процентные свопы, валютные контракты и акции. Лектор начинает с обсуждения важности использования гибридных моделей для расчетов xVA (корректировка стоимости) и VaR (стоимость под риском). Они представляют гибридную модель Блэка-Шоулза, которая устанавливает связь между акциями и процентными ставками и может быть легко распространена на ценообразование на рынке Форекс. Эта модель служит основой для дальнейшего обсуждения моделей стохастической волатильности.

Лекция разделена на блоки, второй блок посвящен стохастическим моделям волатильности. Обсуждается модель Хестона-Халла-Уайта, которая включает включение стохастической волатильности в структуру гибридной модели. Лектор представляет обзор динамики модели и освещает ее применение при моделировании потенциальной будущей стоимости портфелей. Цель состоит в том, чтобы оценить риски и оценить стоимость портфелей, которые охватывают несколько классов активов, таких как процентные ставки, акции, иностранная валюта, товары, кредит и инфляция. Спикер подчеркивает взаимосвязь между различными классами активов и необходимость учитывать их взаимозависимость.

В лекции также делается акцент на калибровке многомерных стохастических дифференциальных уравнений (СДУ) по рыночным котировкам, особенно для моделирования коррелированных процессов для различных классов активов. Гибридные модели особенно полезны для гибридных выплат и изначально были популярны для оценки экзотических деривативов. Однако из-за соображений стоимости и нормативных ограничений они обнаружили большую эффективность в структуре xVA и hVAR (гибридная стоимость в условиях риска). Концепция эффекта взаимозачета, которая учитывает взаимозаменяемые значения различных классов активов из-за их корреляции, выделяется как важный фактор при оценке портфеля и расчете риска.

В то время как гибридные модели предлагают преимущества при оценке опционов и потенциальных рисков в будущем, в лекции признаются проблемы, связанные с этими моделями. Преподаватель предлагает максимально упростить модели, чтобы облегчить быструю оценку, поскольку скорость имеет решающее значение при ценообразовании производных продуктов. Необходима калибровка по рыночным данным и учет корреляций между различными стохастическими дифференциальными уравнениями. Некоторые приближения могут быть необходимы при работе с ненулевыми корреляциями. Лекция предлагает моделирование методом Монте-Карло или уравнения в частных производных (УЧП) в качестве методов оценки гибридных моделей.

Обсуждаются ограничения использования PDE для оценки портфелей с активами из разных классов из-за высокой размерности. Лекция выступает за использование симуляций Монте-Карло, которые обеспечивают более практичный подход. Эффективная оценка и калибровка подчеркнуты как критически важные для оценки портфеля, поскольку обычно требуются тысячи оценок. Лектор упоминает расширение модели Блэка-Шоулза с помощью модели Халла-Уайта для процентных ставок, подчеркивая роль стохастичности и зависимости от времени в гибридных моделях. В остальном механика модели остается аналогичной стандартной модели Блэка-Шоулза.

Лектор также углубляется в концепцию изменения меры с нейтральной по отношению к риску на форвардную Т-меру, чтобы использовать преимущества гибридных моделей при работе со стохастическим дисконтированием. Они обсуждают расчет ожиданий для европейских типов выплат на основе времени и основных переменных с использованием интегральных форм и производных Радона-Никодима от преобразований меры. Объясняется динамика акций и дисконтных акций, подчеркивая необходимость того, чтобы они были процессами мартингейла. Для упрощения процесса введено понятие форвардной цены акций.

Приводятся дополнительные пояснения по выводу стохастического дифференциального уравнения (SDE) для форвардной цены акций и важности выполнения логарифмических преобразований, чтобы сделать его линейным по переменным состояния. Лектор применяет лемму Ито к форвардной цене акции SDE и обращается к преобразованию показателей, необходимому для этого процесса. Результирующее бездрейфовое СДУ характеризуется двумя отдельными броуновскими движениями, соответствующими фондовой и процентной ставкам, с корреляцией между ними. Факторизация двух броуновских движений обсуждается с точки зрения их свойств распределения.

Динамика форвардных акций исследуется в лекции с использованием гибридной модели с двумя стохастическими дифференциальными уравнениями. Подчеркивается, что волатильность форвардных акций больше не является постоянной, а зависит от волатильности процентных ставок. Спикер обсуждает расчет подразумеваемой волатильности в контексте стохастических процентных ставок. Они предлагают использовать цены для определения подразумеваемой волатильности и подчеркивают важность переключения между нейтральными к риску и Т-форвардными мерами, чтобы исключить стохастическое дисконтирование из выплат. В этом разделе подчеркиваются сложности, связанные с работой со стохастическими процентными ставками в финансовой инженерии.

В лекции представлена стохастическая модель процентной ставки с одномерным процессом и зависящей от времени функцией волатильности, напоминающая уравнение Блэка-Шоулза без учета процентных ставок. Компонент дисконтирования учитывается вне ожидания, и процесс ценообразования для европейских опционов включает только постоянное значение интеграла функции, зависящей от времени. Докладчик также представляет затратный метод ценообразования, используя сходство модели Блэка-Шоулза, и дает представление о том, как в рамках этого подхода обрабатывается стохастическое дисконтирование.

В следующем сегменте спикер обсуждает процесс интегрирования, необходимый для получения выражения для константы «с», и его значение в ценообразовании со стохастической процентной ставкой. Они объясняют, что модель Блэка-Шоулза со стохастической процентной ставкой может представлять европейские цены опционов как модифицированное уравнение Блэка-Шоулза со скорректированной волатильностью. Однако отмечается, что даже двумерное стохастическое дифференциальное уравнение для процентной ставки не влияет на подразумеваемую волатильность опционов на акции. Включение процентных ставок приводит только к волатильности акций, зависящей от времени, без дополнительной стохастичности, что приводит к неизменной волатильности при различных ценах исполнения. Спикер проводит эксперимент, иллюстрирующий влияние различных параметров на временную структуру подразумеваемой волатильности.

В лекции также рассматривается использование форвардных значений в калибровке подразумеваемой волатильности цены опциона с использованием фактических данных. Обсуждается влияние скорости возврата к среднему (лямбда) на временную структуру подразумеваемой волатильности акций, а также волатильность процентных ставок. Докладчик подчеркивает, что фиксация одного из этих параметров может привести к аналогичной форме подразумеваемой волатильности, что упрощает процесс калибровки. Кроме того, рассматривается влияние корреляции на подразумеваемую волатильность, когда положительное или отрицательное значение общей дисперсии sigma_f соответственно влияет на подразумеваемую волатильность.

В лекции подчеркивается важность гибридных моделей в портфелях финансовых учреждений, особенно для расчетов xVA и VaR. В нем исследуется динамика и сложности стохастических моделей волатильности, обсуждается калибровка многомерных стохастических дифференциальных уравнений и освещаются корреляции между различными классами активов. Лекция также охватывает применение преобразований показателей, получение SDE форвардных цен на акции, а также проблемы и соображения, связанные со стохастическими процентными ставками. Также рассматривается калибровка подразумеваемой волатильности и влияние различных параметров на временную структуру подразумеваемой волатильности.

• 00:00:00 В этом разделе лекции курса «Финансовая инженерия» основное внимание уделяется гибридным моделям и их важности в портфелях финансовых учреждений. Гибридные модели используются для имитации будущих сценариев для различных классов активов, таких как процентные свопы, валютные контракты и акции. В первом блоке лекции обсуждается необходимость использования гибридных моделей для вычислений xva и var и вводится гибридная модель Блэка-Шоулза, которая связывает акции и процентные ставки и может быть легко расширена для ценообразования на рынке Форекс. Во втором блоке рассматриваются модели стохастической волатильности с обсуждением модели Хестона-Халла-Уайта и завершается подведением итогов и домашними заданиями. Конечная цель курса — научиться моделировать xva и hvar.
  
  
• 00:05:00 В этом разделе докладчик обсуждает два подхода к моделированию стоимости портфеля: моделирование Монте-Карло и историческое моделирование. Эти методы используются для определения потенциальной будущей стоимости портфелей и важны при работе с несколькими классами активов, такими как процентная ставка, акции, иностранная валюта, товары, кредит и инфляция. Спикер подчеркивает, что разные классы активов взаимосвязаны, и изменения в одном могут повлиять на другой. Таким образом, важно иметь возможность смоделировать потенциальную будущую реализацию этих классов активов, чтобы оценить риски и стоимость портфеля.
  
  
• 00:10:00 В этом разделе основное внимание уделяется моделированию коррелированных процессов для различных классов активов и калибровке многомерных стохастических дифференциальных уравнений (СДУ) по рыночным котировкам. Гибридные модели, которые включают в себя несколько классов активов, могут использоваться для гибридных выплат, и изначально они были популярны для оценки экзотических деривативов. Однако из-за высокой стоимости и нормативных ограничений более эффективно использовать гибриды в рамках xVA и hVAR. Эффект взаимозачета считается важным при оценке портфеля и расчете риска, поскольку корреляции между различными классами активов могут влиять на стоимость портфеля и компенсацию каждого актива.
  
  
• 00:15:00 В этом разделе лекции по финансовой инженерии основное внимание уделяется гибридным моделям и тому, как они соотносятся с различными классами активов. Гибридные модели можно использовать для оценки колл-опционов и потенциальных будущих рисков, но рыночная практика заключается в том, чтобы сделать их как можно более простыми, чтобы облегчить быструю оценку. С этими моделями может быть трудно иметь дело, поскольку они требуют калибровки по рыночным данным и сильной зависимости от доступности быстрых цен на опционы европейского типа. Корреляции между различными стохастическими дифференциальными уравнениями необходимо учитывать при использовании гибридных моделей, и может потребоваться сделать некоторые приближения, если корреляция отлична от нуля. Модели можно оценить с помощью моделирования методом Монте-Карло или PDE.
  
  
• 00:20:00 В этом разделе инструктор обсуждает ограничения использования PDE для оценки портфелей с активами из разных классов из-за высокой размерности и советует вместо этого использовать моделирование методом Монте-Карло. Он подчеркивает важность скорости ценообразования деривативов и рекомендует калибровать гибридные европейские инструменты из-за их ликвидности. Преподаватель упоминает, что высокоэффективная оценка и калибровка имеют решающее значение для оценки портфеля, которая требует тысяч оценок. Далее он говорит о расширении модели Блэка-Шоулза целыми белыми процентными ставками и подчеркивает, что стохастичность и зависимость от времени играют важную роль в гибридных моделях. Остальная механика модели остается такой же, как и у стандартной модели Блэка-Шоулза.
  
  
• 00:25:00 В этом разделе лекции профессор обсуждает случай Блэка-Шоулза, который является экспоненциальным и нормально распределенным, и вводит гибридные модели и стохастические процентные ставки. Они объясняют, что для расчетов XVA или VAR волатильность и ожидаемое время обычно считаются зависящими от времени, и важно точно откалибровать процентные ставки, что будет обсуждаться в последующем курсе. Затем они объясняют динамику модели и то, как выполнение логарифмического преобразования может сделать ее линейной по переменным состояния. В заключение они обсуждают функцию валюты и то, как одни и те же технологии и методологии могут использоваться для гибридных моделей со сходством.
  
  
• 00:30:00 В этом разделе инструктор объясняет, как можно использовать характеристические функции для оценки европейских опционов и как для этого можно использовать быстрое преобразование Фурье. Аффинные модели имеют функции валюты с функциями точности, которые не находятся в закрытой форме. Они могут быть решены с помощью уравнения типа повторной обработки со специальными матрицами. Например, модель Блэка Шоулза для европейских опционов может быть решена аналитически. Однако некоторые гибридные модели не могут быть решены аналитически и требуют численного решения. Стохастическое дисконтирование следует обрабатывать с помощью производной Радона-Никодима.
  
  
• 00:35:00 В этом разделе лектор объясняет концепцию изменения меры с нейтральной к риску на форвардную меру T, чтобы извлечь выгоду из прекращения гибридных моделей при работе со стохастическим дисконтированием. Они определяют ожидание выплаты европейского типа на основе времени t и базового значения s, которые можно обменять и записать в интегральной форме со случайными производными Никодема от преобразования меры. Они также обсуждают динамику акций и дисконтированных акций, которые должны быть мартингейловыми, и вводят определение форвардной цены акций для упрощения процесса.
  
  
• 00:40:00 В этом разделе лектор обсуждает вывод стохастического дифференциального уравнения (СДУ) для форвардной цены акций. Он определяет форвардную цену акции как эту величину, которая не подвержена дрейфу, и показывает, насколько она равна стоимости акции при определенных условиях. Лектор также выполняет лемму Ито о форвардной цене акции SDE и выполняет необходимое преобразование меры для процесса. В конечном итоге он получает СДУ без дрейфа, но с двумя отдельными броуновскими движениями, соответствующими фондовой и процентной ставкам, которые коррелируют друг с другом. Затем лектор проводит факторизацию двух броуновских движений и объясняет, что это можно сделать только в смысле распределения.
  
  
• 00:45:00 В этом разделе лекции спикер объясняет динамику форвардной акции, используя гибридную модель с двумя стохастическими дифференциальными уравнениями. Они отмечают, что волатильность форвардных акций больше не является постоянной, но на нее влияет волатильность процентной ставки. Затем докладчик обсуждает расчет подразумеваемой волатильности в контексте стохастических процентных ставок. Они предлагают использовать цены для нахождения подразумеваемой волатильности и переключаться между показателями от нейтрального к риску к t-форвардному показателю, чтобы пренебречь стохастическим дисконтированием от выплат. В целом, в этом разделе освещаются сложности работы со стохастическими процентными ставками в финансовой инженерии.
  
  
• 00:50:00 В этом разделе спикер объясняет стохастическую модель процентной ставки с одномерным процессом и зависящей от времени функцией волатильности, которая напоминает уравнение Блэка-Шоулза без процентных ставок. Дисконтная часть берется за пределы ожидания, и процесс ценообразования для европейских опционов предполагает только постоянное значение интеграла функции, зависящей от времени. Докладчик также представляет метод затрат для ценообразования с использованием сродства модели Блэка-Шоулза и подробно описывает, как стохастическое дисконтирование обрабатывается в методе затрат.
  
  
• 00:55:00 В этом разделе лекции докладчик обсуждает интегрирование, связанное с получением выражения для константы c, и то, как его можно использовать в ценообразовании со стохастической процентной ставкой. В частности, модель Блэка-Шоулза со стохастической процентной ставкой может представить европейские цены опционов просто как уравнение Блэка-Шоулза с надлежащим образом скорректированной волатильностью. Однако спикер отмечает, что даже двумерное стохастическое дифференциальное уравнение для процентной ставки не влияет на подразумеваемую волатильность опционов на акции. Это связано с тем, что отображение с включением процентных ставок приводит только к зависящей от времени волатильности акций без какой-либо дополнительной стохастичности, что приводит к неизменной волатильности для каждого страйка. Затем спикер представляет эксперимент с различными параметрами и их влияние на подразумеваемую волатильность на волатильность временной структуры.
  
  
• 01:00:00 В этом разделе лекции спикер объясняет использование форвардного значения цены опциона в процессе калибровки подразумеваемой волатильности с использованием фактических данных. Обсуждается влияние скорости возврата к среднему (лямбда) на временную структуру подразумеваемой волатильности акций, а также волатильность процентных ставок. Спикер отмечает, что фиксация одного из этих параметров может привести к получению похожей формы подразумеваемой волатильности, что упростит процесс калибровки. Также рассматривается влияние корреляции на полезность имплантата, при этом положительное или отрицательное значение общей дисперсии сигмы f соответственно влияет на полезность имплантата.

[MetaQuotes]

Курс финансовой инженерии: Лекция 9/14, часть 2/2 (Гибридные модели и стохастические процентные ставки)

Курс финансовой инженерии: Лекция 9/14, часть 2/2 (Гибридные модели и стохастические процентные ставки)

В этой лекции основное внимание уделяется продвинутым гибридным моделям, в частности, гибридным моделям стохастической волатильности, таким как полностью белые модели Шоулза-Блэка, Хестона и Шобеля-Зоо. Лектор демонстрирует влияние различных коэффициентов корреляции на гибридную доходность корзины, состоящей из акции и облигации. Также обсуждаются эффективные методы моделирования для этих гибридных моделей с использованием моделирования Монте-Карло.

В лекции рассматривается полностью белая модель Shobel-Zoo, которая расширяет модель Блэка-Шоулза, вводя нормально распределенный процесс для волатильности. Однако у него есть ограничения из-за его структурной модели. Лектор обсуждает недостатки и ограничения модели Шобеля-Жу по сравнению с моделью Хестона. Структура волатильности модели Шобеля-Жу менее гибкая, что приводит к более ограниченному диапазону перекосов и улыбок подразумеваемой волатильности по сравнению с моделью Хестона.

Другой обсуждаемой моделью является модель Шварца-Чжао, которая вводит дополнительный процесс для сигма-квадрата и расширяет набор переменных состояния. Однако аналитическое решение характеристической функции становится дорогостоящим в вычислительном отношении из-за сложной системы уравнений Риккати. Лектор показывает формы подразумеваемой волатильности и асимметрии для разных параметров и сравнивает их с моделью Хестона.

Исследуется влияние корреляций на ценообразование гибридных выплат. Проводится эксперимент для оценки стоимости дериватива для различных корреляций между изменениями акций и процентных ставок. Подчеркивается важность калибровки корреляций с рыночными данными перед калибровкой других параметров модели. В лекции кратко упоминаются более продвинутые методы дискретизации для гибридных моделей, которые будут обсуждаться позже.

Лекция посвящена расширению гибкости и калибровке модели Хестона с помощью стохастических процентных ставок. Введение дополнительного измерения для процентных ставок создает проблемы с метриками мгновенной ковариации. Аппроксимации используются для нахождения функции соединителя и решения проблемы корреляции. Подчеркивается важность сохранения корреляции между акциями и процентными ставками для оценки характеристической функции и калибровки модели по рыночным данным.

Методы аппроксимации, такие как дельта-метод и разложение в ряд Тейлора, обсуждаются для упрощения оценки дисперсии и характеристических функций. Лектор предоставляет формулы и методы для аппроксимации дисперсии и обсуждает ограничения этих аппроксимаций.

Объясняется зависящая от времени функция волатильности акций и отображение функции во времени, а также метод дискретизации Эйлера для моделирования. Лектор упоминает, что позже они будут сравнивать оценки симуляции с перебором методом Монте-Карло и преобразованием Фурье. Также рассматривается итерационный шаг метода дискретизации Эйлера для аппроксимации интеграла.

В лекции рассматривается проблема достижимости нуля путями волатильности в модели CIR и приводятся исправления для дискретизации Эйлера. Подчеркивается важность сохранения максимально возможной независимости дисперсий гибридных моделей для получения лучших результатов моделирования. Обсуждается процесс для x(t), включая его корреляционную матрицу и разложение Холецкого, подчеркивая необходимость сохранения независимости от дисперсии.

Обсуждаются проблемы работы с неположительно определенными матрицами в финансовом инжиниринге и подчеркивается важность корректировки корреляций для удовлетворения условия для положительных членов под квадратным корнем. В лекции также рассматриваются общие формы дискретизации и важные этапы моделирования стохастических процентных ставок.

Лектор знакомит с приемом и представлением для почти точного моделирования модели Хестона, применимого также и к модели Хестона-Халла-Уайта. Объясняется упрощение, достигнутое за счет особых случаев процесса дисперсии и вычисления интегралов с использованием дискретизации Эйлера и нецентральных распределений хи-квадрат. Обсуждается концепция почти точного моделирования, подчеркивая важность процесса дисперсии в определении точности. Лектор подчеркивает необходимость использования целого вектора выборок для v life и устанавливает порядок моделирования: сначала выборка процесса дисперсии, за которой следует короткая скорость.

Лектор представляет обзор моделирования, выполненного на модели Хестона для Уайта, и сравнивает его с другими методами. Сравниваются дискретизация Эйлера, почти точное моделирование и метод COS (метод ценообразования опционов на основе характеристических функций). Результаты показывают, что все методы дают хорошие результаты. Лектор делится кодом для моделирования, включая конфигурацию модели Хестона для Уайта и трехмерную дискретизацию гибридной модели с использованием метода Эйлера. Вносятся коррективы, чтобы гарантировать, что реализации для дисперсии ограничены и минимизированы от нуля. Также обсуждается метод COS для модели Хестона для Уайта, выводится и кодируется аппроксимация характеристической функции.

Акцент смещается на сравнение различных методов для гибридных моделей и стохастических процентных ставок. Результаты моделирования Монте-Карло показывают хорошую точность с 10 000 выборок, но для повышения точности рекомендуется большее количество путей Монте-Карло. Рассмотрены различные гибридные модели, такие как модели Блэка-Шоулза, Хестона и Шульца-Цукки. Лекция также затрагивает применение гибридных моделей в ценообразовании различных классов активов в рамках одной оценки и их использование в расчетах xVA. Студентам даются два упражнения: одно на продвинутые модели, такие как Heston CIR, и другое на разработку симуляции Монте-Карло.

В заключительной части лекции спикер обсуждает разработку симуляции Монте-Карло с использованием белой модели для стохастических процентных ставок. Предлагается вывести соответствующие обыкновенные дифференциальные уравнения для более быстрого моделирования методом Монте-Карло, допускающего более крупные шаги. Этот подход будет сравниваться с методом дискретизации Эйлера. Спикер завершает лекцию и выражает надежду на присутствие студентов на следующем занятии.

В этой лекции рассматриваются различные передовые гибридные модели, их ограничения, методы калибровки, влияние корреляций на ценообразование, методы аппроксимации, методы моделирования и сравнения различных методов. Основное внимание уделяется пониманию тонкостей этих моделей и их практического применения в финансовой инженерии.

• 00:00:00 В этом разделе курса финансовой инженерии основное внимание уделяется продвинутым гибридным моделям, в частности, гибридным моделям стохастической волатильности, таким как полностью белые модели Шоулза-Блэка, Хестона и Шобеля-Зоо. Лектор показывает влияние различных коэффициентов корреляции на гибридный доход корзины, состоящей из акций и облигаций, и как выполнить эффективное моделирование этих гибридных моделей с использованием моделирования Монте-Карло. В лекции также обсуждается полностью белая модель Shobel-Zoo, которая расширяет модель Блэка-Шоулза, вводя нормально распределенный процесс для волатильности, но имеет ограничения из-за своей структурной модели. Лекция завершается кратким изложением обсуждаемых моделей и домашними заданиями.
  
  
• 00:05:00 В этом разделе лекции обсуждаются ограничения и ограничения модели Шобеля-Жу в сравнении с моделью Хестона. Структура волатильности модели Шобеля-Жу менее гибкая, а это означает, что она не может реализовать все формы перекоса и улыбки подразумеваемой волатильности, которые можно получить с помощью модели Хестона. Это связано с тем, что квадрат и произведение летучих частей броуновских движений имеют квадратичный характер, что не относится непосредственно к тонким процессам. Однако эту проблему можно решить, введя дополнительный процесс для dvt, который обрабатывает сигма-квадрат t, что делает систему стохастических дифференциальных уравнений расширенной. Это вводит ограничение на гибкость для получения улыбок и перекосов подразумеваемой волатильности, делая диапазон улыбок и перекосов гораздо более ограниченным, чем в модели Хестона.
  
  
• 00:10:00 В этом разделе лектор обсуждает модель Шварца-Жао, которая вводит дополнительный процесс для сигма в квадрате и расширяет набор переменных состояния этого квадратичного класса процессов. Однако из-за сложной системы уравнений Риккати характеристическая функция не может быть решена аналитически и должна быть рассчитана численно, что может быть дорогостоящим. Лектор также показывает формы подразумеваемой волатильности и асимметрии для различных параметров и сравнивает их с моделью Хестона. Расширение модели не оказывает существенного влияния на динамику улыбок и перекосов, а некоторые параметры можно исправить во время калибровки для экономии времени. Лектор также предоставляет коды Python для реализации модели Шварца-Чжао и выполнения численного интегрирования.
  
  
• 00:15:00 В этом разделе спикер обсуждает эксперимент, в котором выбирается набор параметров и один за другим они меняются, чтобы наблюдать влияние на подразумеваемую волатильность. Оценивается стохастический метод, который корректируется с учетом стохастических процентных ставок, и рассматривается подразумеваемая волатильность для Black76. Также исследуется доходность облигации с нулевым купоном и обсуждается гибридная выплата, которая зависит от двух классов активов. Спикер подчеркивает, что, хотя выплата является гибридной, она по-прежнему остается европейской и простой, а ее дисперсия в основном обусловлена корреляцией между доходностью двух классов активов.
  
  
• 00:20:00 В этом разделе лекции спикер обсуждает влияние корреляций на ценообразование гибридных выплат. Докладчик показывает эксперимент, в котором значение производной оценивается для трех различных корреляций между изменениями акций и процентных ставок. Результаты этого эксперимента показывают, что в зависимости от весового коэффициента влияние на цену может быть значительным. Спикер объясняет, что корреляции играют важную роль в ценообразовании гибридных выплат и что крайне важно откалибровать корреляции с рыночными данными, прежде чем калибровать остальные параметры модели. Докладчик также кратко упоминает о более продвинутых дискретизациях для гибридных моделей, которые будут обсуждаться далее в лекции.
  
  
• 00:25:00 В этом разделе лекции основное внимание уделяется расширению гибкости и калибровке модели Хестона с помощью стохастических процентных ставок. Модель Хестона представляет собой стохастическую модель волатильности с процессом дисперсии, определяемым процессом извлечения квадратного корня, и может быть дополнена полномасштабной короткой моделью процентных ставок. Однако введение дополнительного измерения создает проблему с метриками мгновенной ковариации.
  и попытка расширить модель с помощью новой переменной не увенчалась успехом. Вместо этого подход заключается в использовании аппроксимаций для нахождения функции соединителя C для решения проблемы корреляции между акциями и процентными ставками. Исторически сложилось так, что корреляция между краткосрочными процентными ставками и фондовым рынком не является сильной, но она меняется в зависимости от экономических обстоятельств и рынка в целом.
  
  
• 00:30:00 В этом разделе лекции обсуждаются ограничения гибридных моделей, которые не являются по-настоящему гибридными, когда у них нет корреляций. Это упрощает модель до модели Хестона с некоррелированными стохастическими процентными ставками. В лекции подчеркивается важность сохранения этой корреляции для оценки характеристической функции и калибровки модели по рыночным данным. В лекции также упоминается аппроксимация величины, определяющей стоимость европейских опционов, что позволяет вводить менее важные аппроксимации. Затем в лекции представлен простой подход к отображению квадратного корня из процесса дисперсии в его ожидания и ограничение, заключающееся в том, что это ожидание может быть вычислительно затратным для вычисления в каждый момент времени.
  
  
• 00:35:00 В этом разделе лектор обсуждает подход к аппроксимации функции с помощью дельта-метода, который включает в себя разложение функции вокруг ее математического ожидания с помощью ряда Тейлора. Этот метод полезен при вычислении дисперсии функции, которая может быть аппроксимирована дисперсией эквивалентного выражения. Лектор предлагает формулу для аппроксимации дисперсии квадратного корня из дисперсии в непрерывном стохастическом процессе и демонстрирует, как это можно упростить, используя решения в закрытой форме для ожидания и дисперсии процесса CIR. Подставив это приближение в мгновенную ковариационную матрицу, можно аналитически оценить характеристическую функцию. Однако обсуждаются ограничения этого приближения, поскольку член под квадратным корнем иногда может стать отрицательным.
  
  
• 00:40:00 В этом разделе видео спикер обсуждает зависящую от времени функцию волатильности акций и отображение функции во времени, а также метод дискретизации Эйлера моделирования. Спикер также упоминает, что позже они будут сравнивать оценки симуляции с перебором методом Монте-Карло и преобразованием Фурье. Цель состоит в том, чтобы сосредоточиться на гибридных моделях моделей Блэка-Шоулза, Шоу, Зоу и Хестона-Холлоуэя, а также сравнить их аппроксимации и количественно определить ошибку с использованием этих аппроксимаций. Видео также охватывает итерационный шаг метода дискретизации Эйлера для аппроксимации интеграла всего интервала между моментами времени t_i и t_i+1.
  
  
• 00:45:00 В этом разделе лекции о гибридных моделях и стохастических процентных ставках лектор обсуждает проблему достижимости нуля траекториями волатильности в CIR-модели, если не выполняется условие пера. Это приводит к проблемам с эйлеровой дискретизацией, но есть решения этой проблемы, которые будут рассмотрены в следующей части лекции о почти точном моделировании. Затем лектор рекомендует сохранять дисперсии гибридных моделей как можно более независимыми, чтобы упростить модель и получить лучшие результаты при моделировании. Наконец, обсуждается процесс для x(t) с его корреляционной матрицей и разложением Холецкого. Рекомендуется оставить x последним процессом, чтобы сохранить независимость от дисперсии и гарантировать, что квадратный корень из единицы минус корреляционные члены не будет отрицательным.
  
  
• 00:50:00 В этом разделе лектор обсуждает проблемы работы с неположительно определенной матрицей в финансовой инженерии. Если матрица не является положительно определенной, можно использовать численные методы, чтобы сделать ее положительно определенной, но это означает, что предполагаемые корреляции не оцениваются должным образом. Поэтому важно скорректировать корреляции, чтобы удовлетворить условию, что член под квадратом должен быть положительным. Далее в лекции обсуждаются общие формы дискретизации и важные шаги, о которых необходимо позаботиться. Подход к моделированию стохастических процентных ставок не сложен, поскольку он включает только интеграл по нормальному процессу, а сложная часть — это та, которая развивается. Лекция завершается обсуждением того, насколько критична калибровка модели, и если нет быстрой аппроксимации для ценообразования, модель не будет использоваться.
  
  
• 00:55:00 В этом разделе лектор обсуждает прием и представление для почти точного моделирования модели Хестона, которые также можно применить к модели Хестона-Халла-Уайта. Выбирая специальные случаи для процесса дисперсии и используя представление, можно взять все элементы в левой части и получить красивое выражение для сложного интеграла через известные значения. Это позволяет вычислить два интеграла, соответствующие броуновскому движению, и аппроксимировать два интеграла путем оценки эйлеровой дискретизации. Остальные члены состоят из постоянных коэффициентов, выраженных в параметрах модели, и выборки нецентральных распределений с высоким квадратом.
  
  
• 01:00:00 В этом разделе лекции основное внимание уделяется концепции почти точного моделирования, которое концентрируется на процессе дисперсии как ключевом процессе для определения точности. Цель состоит в том, чтобы достичь удовлетворительных результатов с помощью моделирования с несколькими временными шагами, которые по-прежнему выгодны с точки зрения точности по сравнению с другими вариантами дискретизации. Для упрощения представления используется выборка из двух независимых стандартных нормалей, а за процессом короткой скорости следует эйлерова дискретизация. Подчеркнута необходимость использования целого вектора выборок для v жизни, и установлен порядок моделирования: сначала выборка процесса дисперсии, а затем короткая скорость.
  
  
• 01:05:00 В этом разделе лектор дает обзор моделирования, выполненного на модели Хестона для Уайта, и сравнивает его с другими методами. Моделирование включает в себя сравнение дискретизации Эйлера, почти точное моделирование и метод COS (метод ценообразования опционов на основе характеристических функций). Результаты показывают, что все методы дают хорошие результаты. Затем лектор предоставляет код для моделирования, включая конфигурацию модели Хестона для Уайта и трехмерную дискретизацию гибридной модели с использованием метода Эйлера, с корректировками, чтобы убедиться, что реализации для дисперсии ограничены и минимизированы с нуля. . Наконец, обсуждается метод COS для модели Хестона для Уайта, а также выводится и кодируется аппроксимация характеристической функции.
  
  
• 01:10:00 В этом разделе лекции основное внимание уделяется сравнению различных методов для гибридных моделей и стохастических процентных ставок. Результаты моделирования Монте-Карло показывают хорошую точность при использовании 10 000 выборок, хотя для большей точности рекомендуется большее количество путей Монте-Карло. В лекции рассматриваются различные гибридные модели, в том числе модели Блэка-Шоулза, Хестона и Шульца-Цукки. В лекции также обсуждается использование гибридных моделей для оценки различных классов активов в рамках одной оценки вознаграждения и применение моделей в расчетах xVA. Студентам даются два упражнения: одно по продвинутым моделям, таким как Heston cir, а другое по разработке симуляции Монте-Карло.
  
  
• 01:15:00 В этом разделе спикер обсуждает разработку симуляции Монте-Карло с использованием белой модели для стохастических процентных ставок. Он рекомендует вывести соответствующие обыкновенные дифференциальные уравнения, чтобы ускорить моделирование методом Монте-Карло, допускающее более крупные шаги. Это будет сравниваться с дискретизацией Эйлера. Спикер завершает лекцию и с нетерпением ждет встречи со своими студентами на следующей неделе.

[MetaQuotes]

Курс финансовой инженерии: Лекция 10/14, часть 1/3 (Иностранная валюта (FX) и инфляция)

Курс финансовой инженерии: Лекция 10/14, часть 1/3 (Иностранная валюта (FX) и инфляция)

Преподаватель углубляется в сферу финансового инжиниринга, уделяя особое внимание двум важнейшим классам активов: иностранной валюте и инфляции. Он обеспечивает всестороннее понимание процесса моделирования для каждого класса активов и демонстрирует, как можно соответствующим образом оценивать опционы. Кроме того, инструктор углубляется во включение стохастической волатильности и стохастических процентных ставок при оценке этих активов.

Лекция начинается с изучения истории иностранной валюты, подчеркивая ее значительный рост в последние годы, связанный с глобализацией. Преподаватель обсуждает влияние золотого стандарта, который ограничивал частную собственность на валюту, и то, как Бреттон-Вудская система установила текущую структуру нескольких валют, обеспеченных золотом. Завершается лекция домашним заданием на закрепление пройденного материала.

Кроме того, видео раскрывает исторический аспект валют и роль золота в них. В частности, в нем описывается переход, который произошел в 1971 году, когда Соединенные Штаты перестали использовать золото в качестве стандарта для определения стоимости своей валюты. Этот ключевой сдвиг привел к нынешней всемирной системе, в которой валюты обмениваются на основе их относительной силы, а не обеспечены золотом.

Оценка рисков — еще одна важная тема, затронутая в видео. В нем рассматриваются различные риски, с которыми могут столкнуться инвесторы при работе с облигациями, иностранной валютой и инфляцией. Лекция разъясняет запутанные отношения и сложности, связанные с этими факторами риска. Также подробно обсуждается определение валютных курсов через динамику спроса и предложения. В видео показано, как центральные банки манипулируют этими ставками за счет использования резервов. Кроме того, он развеивает представление о том, что золото является инвестицией, и разъясняет, что владение золотом не является необходимостью для инвесторов.

В центре внимания находятся концепции финансового инжиниринга, а видео демонстрирует воспроизведение форвардного контракта на валютном рынке. Приведен пример, иллюстрирующий инициирование форвардного валютного контракта и определение обменного курса между исходной валютой и новой валютой. Также исследуется применение финансового инжиниринга в ценообразовании форвардных валютных контрактов. Видео демонстрирует расчет форвардной ставки, которая получается путем умножения спотовой ставки на эффектную ставку.

Лекция также углубляется в концепцию финансовой инженерии, исследуя ее применение в ценообразовании активов и пассивов. Показана эквивалентность двух подходов к ценообразованию, что позволяет рассчитывать форвардный курс с использованием этих подходов.

Управление подверженностью иностранной валюте и инфляции с помощью деривативов является важным аспектом финансового инжиниринга. В лекции освещается определение форвардного курса, который зависит от обменного курса, по которому страна будет обменивать свою валюту на другую. Кроме того, базовый спред корректируется с учетом разницы спроса и предложения различных валют.

Объясняются тонкости валютного обмена (FX) и инфляции, при этом в лекции подчеркивается, что в зависимости от конкретного типа контракта валютного свопа применяются разные правила.

Подробно обсуждается оценка валютного контракта с учетом влияния валютных курсов и дисконтирования. Инструктор демонстрирует процесс расчета, включая использование форвардного валютного контракта для той же цели.

Наконец, лекция исследует, как иностранная валюта (FX) и инфляция влияют на свопы. Он углубляется в расчет стоимости свопа в национальной и иностранной валютах с учетом колебаний обменного курса.

• 00:00:00 В этой лекции инструктор обсуждает два важных класса финансовых инструментов: валютный курс и инфляцию. Он объясняет процесс моделирования для каждого из них и демонстрирует, как оценивать варианты для обоих вариантов. Наконец, он обсуждает, как включить стохастическую волатильность и стохастическую процентную ставку в оценки.
  
  
• 00:05:00 В этой лекции профессор рассказывает об истории иностранной валюты, обсуждая, как она значительно выросла за последние годы из-за глобализации. Далее он обсуждает, как золотой стандарт ограничивал частную собственность на валюту и как Бреттон-Вудс установил нынешнюю систему множественных валют, обеспеченных золотом. Он завершает лекцию обсуждением некоторых домашних заданий.
  
  
• 00:10:00 В этом видео обсуждается история валют и роль в них золота. Это объясняет, как, начиная с 1971 года, Соединенные Штаты перестали использовать золото в качестве эталона для измерения стоимости своей валюты. Это привело к всемирной системе, в которой валюты обмениваются на основе их относительной силы, а не обеспечены золотом.
  
  
• 00:15:00 В видео обсуждаются различные риски, с которыми может столкнуться инвестор при инвестировании в облигации, иностранную валюту и инфляцию. Он также обсуждает сложности этих отношений.
  
  
• 00:20:00 В видео обсуждается, как валютные курсы определяются спросом и предложением и как центральные банки используют резервы для манипулирования этими курсами. В лекции также обсуждается, почему золото не является инвестицией и что инвесторам не обязательно иметь золото в своем портфеле.
  
  
• 00:25:00 В видео обсуждаются концепции финансового инжиниринга и демонстрируется, как можно воспроизвести форвардный валютный контракт. В видео показан пример того, как будет инициирован форвардный контракт FX и как будет определяться обменный курс между исходной валютой и новой валютой.
  
  
• 00:30:00 В видео обсуждается, как финансовый инжиниринг можно использовать для определения цены форвардных валютных контрактов. Показанный пример демонстрирует, как рассчитать форвардный курс, который равен спотовому курсу, умноженному на эффектный курс.
  
  
• 00:35:00 В этой лекции профессор обсуждает концепцию финансовой инженерии и то, как ее можно использовать для оценки активов и пассивов. Он демонстрирует эквивалентность двух подходов к оценке этих активов и обязательств и показывает, как эти подходы можно использовать для расчета форвардной ставки.
  
  
• 00:40:00 Финансовая инженерия включает в себя использование деривативов для управления валютным риском и инфляцией. Форвардный курс определяется курсом, по которому страна будет обменивать свою валюту на другую валюту, в то время как базовый спред корректируется с учетом разницы спроса и предложения для разных валют.
  
  
• 00:45:00 В этом видео объясняется, как работает обмен иностранной валюты (FX) и инфляция. В зависимости от типа исполняемого контракта валютного свопа применяются разные правила.
  
  
• 00:50:00 В этой лекции профессор обсуждает способы оценки валютного контракта, в том числе с учетом влияния валютных курсов и дисконтирования. Он также показывает, как сделать тот же расчет, используя форвардный контракт FX.
  
  
• 00:55:00 В этой лекции автор объясняет, как иностранная валюта (FX) и инфляция влияют на свопы. Он объясняет, как рассчитать стоимость свопа в национальной и иностранной валюте и как учитывать изменения обменного курса.

[MetaQuotes]

Курс финансовой инженерии: Лекция 10/14, часть 2/3 (Иностранная валюта (FX) и инфляция)

Курс финансовой инженерии: Лекция 10/14, часть 2/3 (Иностранная валюта (FX) и инфляция)

В центре внимания инструктора находятся варианты ценообразования, связанные с обменом иностранной валюты или альтернативными вариантами, используя структуру Блэка-Шоулза в качестве отправной точки. В лекции подробно рассказывается о выводе дифференциальных уравнений для внутренних нейтральных к риску мер и их влиянии на динамику стохастических дифференциальных уравнений. Чтобы проиллюстрировать эти концепции, проводятся эксперименты Python, сравнивающие модель Западного коридора в двух валютах с использованием как моделирования Монте-Карло, так и преобразования Фурье с методом COS. В этом разделе также рассматривается динамика процесса обмена иностранной валюты и установление мартингейлов как рыночных величин и их соответствующей стоимости.

Двигаясь вперед, лекция посвящена динамике иностранной валюты (FX) и инфляции. Он начинается с определения общего процесса воздействия, а затем сосредотачивается на ценообразовании, переходя к нейтральным к риску внутренним показателям для FX. В лекции объясняется использование высокой функции для управления сберегательными счетами в иностранной валюте, которые впоследствии обмениваются на внутренние суммы и дисконтируются с использованием сберегательного счета в национальной валюте. Применяя лемму Этоса и упрощая уравнение, лекция приходит к выводу, что динамика валютных курсов и инфляции не представляет заметной доходности по этому показателю. Тем не менее, ценные идеи предоставляются, которые могут быть эффективно применены.

Важной темой, затронутой спикером, является процесс преобразования меры из E в Q, создающий новый процесс, используемый для оценки цены опциона. Производный процесс представляет собой процесс FX с нейтральной по отношению к риску мерой информации о внутренних рисках, гарантируя, что при обмене сберегательных счетов в иностранной валюте на местную валюту количество будет отмечено. Это позволяет оценивать европейские опционы с использованием уравнений Блэка-Шоулза, с единственными отличиями, заключающимися в дисконтировании опционов в рамках нейтральной к риску меры и включении дрейфового члена rd-rf. Модель валютного рынка является расширением стандартной логарифмически-нормальной модели, и европейские опционы могут оцениваться с использованием той же методологии изменения показателей и определения мартингейлов.

Расширяя возможности валютного рынка, лекция фокусируется на дополнении модели Блэка-Шоулза стохастической волатильностью и стохастическими процентными ставками. Хотя в предыдущих лекциях обсуждались детерминированные процентные ставки, введение стохастичности становится необходимым для расчетов XVA и моделирования VAR. Кроме того, подчеркивается корреляция между различными стохастическими факторами, подчеркивая потенциальные ловушки, связанные с опорой исключительно на детерминированные процентные ставки. Сложность валютного рынка возникает из-за его неторгуемого характера и необходимости обменивать активы по разным столбцам для обеспечения соблюдения условий мартингейла. Кроме того, мир эффектов вводит дополнительный член в стохастические дифференциальные уравнения, который требует тщательного анализа и калибровки для рынка.

Докладчик углубляется в калибровку различных классов активов, включая акции небольших компаний и процентные продукты, один из крупнейших классов активов в мире. Отмечается, что попытка откалибровать все параметры одновременно может быть сложной задачей, что приводит к рекомендации откалибровать отдельные параметры и включить их в динамику запасов. В лекции также рассматривается оценка европейских опционов с помощью преобразования Фурье с обсуждением используемых приближений. Кроме того, рассматривается важность определения мер по процентным ставкам на внешнем рынке и преобразования их в нейтральную к риску меру на внутренних рынках.

Обсуждаются аффинные модели для облигаций с нулевым купоном и бинарных сберегательных счетов с акцентом на их динамику и калибровку опционов, ограничений и таблиц. Предлагается использование стохастических дифференциальных уравнений для построения моделей эффектов и использования калиброванных параметров для каждого отдельного процесса. В лекции рассматриваются сложности ценообразования деривативов с замысловатыми дрейфующими терминами, подчеркивая правильность обращения с этим дополнительным термином. Основным фактором ценообразования опционов является волатильность, соответствующая процессу FX, при этом доходность более высокого порядка влияет на волатильность процентной ставки.

Докладчик подчеркивает значение волатильности в иностранной валюте, в частности, из-за нелинейного характера процесса, в том числе наличия квадратного корня из термина. Обсуждаются проблемы, связанные с обработкой дрейфа и необходимостью использования стохастической процентной ставки. Объяснены два стохастических дифференциальных уравнения, соответствующие зарубежному нулевому купону и паре с отечественными мерами, с акцентом на требование, чтобы они были мартингальными при определенных условиях. Подчеркивается важность корреляции между иностранными рынками и валютой, подчеркивая, что ее нельзя считать равной нулю. Наконец, спикер выводит уравнение ценообразования для европейских опционов на валютном рынке, включающее все обсуждаемые концепции.

Профессор вводит выплату европейского колл-опциона с максимальной стоимостью yt минус k, включающую процесс дисконтирования с использованием сберегательного счета внутренних денег. Чтобы рассмотреть стохастические процентные ставки, первым шагом является переход от потока показателей к t-форвардному показателю, связанному с капиталом погашения облигации t. Поскольку динамика FX не показывает дрейфа, профессору нужно только включить в диаметр волатильность. Применяя к этой величине лемму Этоса, профессор включает в динамику три различных элемента, в том числе обсуждавшиеся ранее нулевые компоненты и динамику yt в процессе FX.

Двигаясь вперед, спикер углубляется в динамику форвардных и дисперсионных процессов валютного рынка в модели короткой ставки, где параметр волатильности остается постоянным. Однако вклад FX в волатильность зависит от времени и непостоянен, что приводит к уменьшению размерности с четырех до двух. Докладчик также упоминает дополнительную квантовую поправку, возникающую при переключении мер с нейтральных к риску на внутреннюю t-форвардную меру, что создает проблемы при использовании малых временных шагов. Раздел завершается обсуждением численных экспериментов и приближений, используемых для характеристической функции.

Докладчик подчеркивает важность тщательного выбора параметров модели, поскольку они существенно влияют на решения о ценообразовании и хеджировании. Обсуждается модель Хестона и определяется характеристическая функция, позволяющая оценивать и рассчитывать волатильность воздействия валютных курсов. Проведено сравнение между симуляцией Монте-Карло и аппроксимацией Фурье, включающей 20 различных прогонов Монте-Карло с 1000 путями за прогон. Результаты демонстрируют соответствие между ценообразованием опционов Монте-Карло и приближением Фурье с удовлетворительными различиями для калибровки по рыночным данным подразумеваемой волатильности. Однако отмечается, что качество результатов может варьироваться в зависимости от заданных параметров модели.

Профессор переходит к обсуждению кода Python для метода COS и анализирует его точность. Код включает в себя спецификации для 500 терминов расширения и включает в себя различные параметры и конфигурации моделей для внутреннего и внешнего рынков, а также комплексные наборы показателей. Профессор подчеркивает важность случайных выборок в моделировании методом Монте-Карло и предлагает изменить случайные начальные значения для улучшения результатов. Выполняется моделирование Монте-Карло с несколькими прогонами, оценивая цены опционов с использованием метода оценки выплат. Рассчитывается среднее значение всех запусков, а также ожидание и стандартное отклонение, что позволяет отслеживать ошибки, возникающие из-за изменений в случайном начальном числе.

Наконец, лектор подчеркивает важность точного выбора параметров модели, поскольку это сильно влияет на решения о ценообразовании и хеджировании. Определена характеристическая функция для модели Хестона, позволяющая оценивать и рассчитывать волатильность валютного воздействия. Проведено сравнение между симуляцией Монте-Карло и аппроксимацией Фурье, включающей 20 прогонов Монте-Карло с 1000 путями на прогон. Результаты демонстрируют удовлетворительное соответствие между ценообразованием опционов Монте-Карло и приближением Фурье, обеспечивая калибровку по рыночным данным о подразумеваемой волатильности. Однако докладчик подчеркивает влияние заданных параметров модели на качество результата.

• 00:00:00 В этом разделе курса финансового инжиниринга основное внимание уделяется ценообразованию опционов на иностранную валюту или внебиржевых опционов, начиная с модели Блэка-Шоулза. В лекции также рассматривается важность вывода дифференциальных уравнений для внутренних мер, нейтральных к риску, и влияние на динамику стохастических дифференциальных уравнений. Лекция включает в себя эксперименты Python, в которых модель Западного коридора в двух валютах сравнивается с использованием Монте-Карло и преобразования Фурье с использованием метода COS. В этом разделе также рассматривается динамика процесса обмена иностранной валюты и то, как установить мартингейл как количество на рынке и его стоимость.
  
  
• 00:05:00 В этом разделе лекции преподаватель обсуждает динамику валютного курса (FX) и инфляции. Начав с определения процесса общих эффектов, лекция сосредоточится на ценообразовании и перейдет к нейтральным к риску внутренним показателям для FX. В лекции объясняется, что высокая функция используется для управления сберегательными счетами в иностранной валюте, которые затем обмениваются на внутренние суммы и дисконтируются со сберегательным счетом в национальной валюте. Применяя лемму Этоса и упрощая уравнение, в лекции делается вывод о том, что динамика валютных курсов и инфляции не является заметной доходностью в рамках этой меры, но дает понимание, которое можно применить.
  
  
• 00:10:00 В этом разделе лекции спикер обсуждает процесс переключения показателей с E на Q с помощью преобразования показателей для создания нового процесса, который используется для оценки цены опциона. Полученный процесс представляет собой процесс FX с нейтральной по отношению к риску мерой информации о внутренних рисках, которая гарантирует, что если кто-то обменивает сберегательные счета в иностранной валюте на местную валюту, количество будет отмечено. Это позволяет оценивать европейские опционы с использованием уравнений Блэка-Шоулза, с единственными отличиями, заключающимися в дисконтировании опционов по нейтральной к риску мере и добавлении дрейфового члена rd-rf. Модель валютного рынка становится расширением стандартной логарифмической нормы, и европейские опционы могут оцениваться с использованием того же механизма изменения показателей и поиска мартингейлов.
  
  
• 00:15:00 В этом разделе основное внимание уделяется расширению валютного рынка, управляемого моделью Блэка-Шоулза, с включением стохастической волатильности, а также стохастических процентных ставок. Хотя в предыдущих лекциях рассматривались детерминированные процентные ставки, необходимо сделать их стохастическими для расчетов XVA и моделирования VAR. Более того, корреляция между различными стохастическими факторами имеет решающее значение, и опора на детерминированные процентные ставки может оказаться ловушкой. Валютный рынок более сложен, так как он не является торгуемым и требует обмена активами из разных столбцов для наложения условий мартингейла. Кроме того, мир эффектов имеет дополнительный член в стохастических дифференциальных уравнениях, который нетривиален для решения, но может работать и обрабатываться при надлежащем анализе и калибровке для рынка.
  
  
• 00:20:00 В этом разделе спикер обсуждает калибровку различных классов активов, таких как акции небольшой компании, для продуктов с процентной ставкой, которые являются одним из крупнейших в мире классов активов. Они объясняют, почему мы не можем квалифицировать параметры вместе, и что калибровка может стать очень сложной при попытке откалибровать все параметры одновременно. Спикер обсуждает необходимость индивидуальной калибровки, а затем включения этих параметров в динамику акций. Они также обсуждают оценку опционов европейского типа с помощью преобразования Фурье и то, как эта структура аппроксимируется. Наконец, спикер затрагивает необходимость определения мер процентной ставки на внешнем рынке и того, как изменить их на нейтральную к риску меру на внутренних рынках.
  
  
• 00:25:00 В этом разделе лектор обсуждает аффинные модели, используемые для бескупонных облигаций и бинарных сберегательных счетов, с акцентом на динамику и процессы, используемые для калибровки опционов, кэпов и планшетов. Лектор также предлагает использовать стохастические дифференциальные уравнения для построения моделей эффектов и использования калиброванных параметров для каждого отдельного процесса. В лекции далее исследуется модель FX и сложность ценообразования деривативов со сложными условиями дрейфа, подчеркивая важность точного обращения с этим дополнительным термином. Основной движущей силой ценообразования опционов является волатильность, соответствующая процессу FX, при этом более высокая доходность приводит к волатильности процентных ставок.
  
  
• 00:30:00 В этом разделе спикер говорит о важности волатильности в иностранной валюте и о том, что этот процесс нелинейный, особенно из-за наличия квадратного корня из термина. Они также обсуждают трудности с обработкой дрейфа и способы его корректировки с помощью стохастической процентной ставки. Они объясняют, как два стохастических дифференциальных уравнения соответствуют иностранному нулевому купону и сочетаются с внутренними мерами и как они должны быть мартингалами в конкретных условиях. Они обсуждают важность корреляции между иностранными рынками и валютой и почему ее нельзя обнулить. Наконец, спикер выводит уравнение ценообразования для европейских опционов на FX.
  
  
• 00:35:00 В этом разделе профессор определяет выплату европейского колл-опциона с максимальным значением yt минус k, который включает в себя процесс дисконтирования с использованием внутреннего сберегательного счета. Чтобы иметь дело со стохастическими процентными ставками, первым шагом является переход от потока показателей к форвардному показателю t, связанному с капиталом погашения облигации t. Динамика fx не имеет дрейфа, поэтому профессору нужно только включить в диаметр волатильности. Профессор применяет лемму Этоса к этой величине, которая имеет три различных элемента, которые необходимо включить в динамику, включая нулевые компоненты из предыдущих и динамику y в процессе fx.
  
  
• 00:40:00 В этом разделе лекции спикер обсуждает динамику процесса валютного форварда и дисперсии в модели короткой ставки, которая имеет постоянный параметр волатильности. Однако вклад волатильности fx зависит от времени и непостоянен, что приводит к уменьшению размерности с четырех до двух. Спикер также упоминает дополнительную квантовую коррекцию, возникающую при переключении мер с нейтральных к риску на внутреннюю t-форвардную меру, которая не идеальна и не может быть обработана с малыми шагами по времени. Раздел завершается обсуждением численных экспериментов и приближений, использованных для характеристической функции.
  
  
• 00:45:00 В этом разделе спикер обсуждает выбор конфигурации, сделанный для эксперимента, в том числе выбор кривой доходности для облигаций с нулевым купоном на внутреннем и внешнем рынках. Они также говорят о важности выбора правильных параметров волатильности и средней скорости возврата для моделей коротких ставок. Спикер подчеркивает, что выбор правильных параметров имеет решающее значение для точности моделирования, и если они слишком велики, результаты могут не иметь смысла. Кроме того, спикер обсуждает параметры конфигурации для части моделирования FX, включая выбор правильной матрицы корреляции, которая обычно основана на исторических данных, за исключением корреляции между эффектами и волатильностью, которая калибруется с помощью модели. Наконец, спикер рассказывает о важности оценки страйпов для форекс и других рынков и о том, как варьирование параметров может помочь найти наиболее оптимальные варианты.
  
  
• 00:50:00 В этом разделе лектор обсуждает, как обрабатывать страйки на рынке опционов. Он объясняет, что удобнее описывать страйки не только в процентах от стоимости спота, но и формульным образом. Популярным методом обработки забастовок является использование формулы логарифма, которая оценивает забастовки на основе стохастического процесса для эффектов. Лектор демонстрирует, как промышленность предпочитает справляться с этими забастовками в зависимости от времени. Он также объясняет, что существуют различные соглашения о том, как в отрасли сообщаются о подразумеваемой волатильности, и обсуждает калибровку модели для службы волатильности. Наконец, он демонстрирует рисунок, описывающий движение распределения по прямой кривой эффектов.
  
  
• 00:55:00 В этом разделе лекции профессор обсуждает код Python для метода cos и анализирует его точность. Код включает спецификации для 500 терминов расширения и использует различные параметры и конфигурации моделей для внутреннего и внешнего рынков, а также полные метрики коллекций. Профессор также обсуждает важность случайных выборок в моделировании методом Монте-Карло и рекомендует изменить случайные начальные значения для получения лучших результатов. Они выполняют моделирование Монте-Карло с несколькими прогонами и оценивают цены опционов, используя метод оценки выплат. Они также берут среднее значение всех запусков и вычисляют математическое ожидание и стандартное отклонение, чтобы контролировать ошибку, возникающую из-за изменений в случайном начальном числе.
  
  
• 01:00:00 В этом разделе спикер подчеркивает важность тщательного выбора параметров модели, поскольку они могут существенно повлиять на решения о ценообразовании и хеджировании. Обсуждается модель Хестона и определяется характеристическая функция, которая позволяет оценивать и рассчитывать волатильность влияния валютных курсов. Затем выступающий сравнивает симуляцию Монте-Карло с приближением Фурье с 20 различными прогонами Монте-Карло и 1000 путями за прогон. Результаты показывают, что цена опциона Монте-Карло согласуется с приближением Фурье, и разница является удовлетворительной для калибровки по рыночным данным подразумеваемой волатильности. Однако качество может варьироваться в зависимости от заданных параметров модели.

[MetaQuotes]

Курс финансовой инженерии: лекция 10/14, часть 3/3 (Иностранная валюта (FX) и инфляция)

Курс финансовой инженерии: лекция 10/14, часть 3/3 (Иностранная валюта (FX) и инфляция)

Лектор углубляется в тему инфляции, прослеживая ее развитие за последнее столетие. Первоначально инфляция была связана с денежно-кредитной политикой и увеличением денежной массы, но теперь ее определение сместилось, чтобы охватить изменения уровня цен. Подчеркивается важность инфляционных деривативов для хеджирования инфляционных рисков, особенно для банков и пенсионных фондов. Ценообразование этих деривативов тесно связано с ценообразованием в иностранной валюте, что повышает их значимость на финансовом рынке. В этом разделе представлен краткий обзор инфляции и ее значимости для финансового сектора.

В дальнейшем лектор исследует различия в показателях инфляции, используемых в разных странах, уделяя особое внимание Европейскому согласованному индексу потребительских цен (HICP) и индексу потребительских цен США (CPI). Сравнивать эти показатели не всегда просто, поскольку они могут неточно отражать фактический рост цен. Тем не менее, они по-прежнему используются для определения цены контрактов на деривативы, причем деривативы часто привязаны к значениям индекса ИПЦ. Чтобы проиллюстрировать исторические тенденции инфляции в США, лектор представляет график, демонстрирующий колебания показателей ИПЦ с течением времени, используя базовую дату с 2000 по 2015 год.

В последующей части лекции инструктор исследует нелинейный характер инфляции и ее эволюцию в разные периоды. Представлен график, показывающий влияние рыночных крахов на дефляцию и потенциальные дефляционные эффекты глобализации. Лектор также углубляется в понятия липкой и преходящей инфляции, объясняя их влияние на цены и экономику. Подчеркивается, что в силу своей динамической природы инфляция не может быть легко описана простыми экономическими моделями. Различные факторы, такие как демография и глобальная экономика, влияют на инфляцию, что делает ее сложным явлением для анализа. Кроме того, изменения в составе корзин измерения цен с течением времени могут существенно повлиять на показатели инфляции.

Продолжая дискуссию, лектор объясняет, что сравнивать инфляцию во времени сложно из-за меняющихся определений, связанных с разными товарами и услугами. Лекция также проливает свет на состав элементов, используемых при расчете индекса ИПЦ, и методы, применяемые для корректировки и сглаживания результатов. Эти методы включают гедонистический эффект, учитывающий полезность продукта при рассмотрении роста цен, и замещение, когда потребители переключаются на более дешевые товары, чтобы смягчить рост цен.

Затем исследуется влияние жилищного строительства на инфляцию и инфляционные меры. В США цены на жилье не включаются в ИПЦ или показатели инфляции, потому что жилье рассматривается как капиталовложение. Однако показатели ИПЦ включают «влияние на жилье», которое оценивает стоимость жизни в арендованном доме. В лекции подчеркивается, что корзина продуктов, используемая для расчета инфляции, со временем меняется, что приводит к потенциально ненадежным цифрам инфляции. Хотя индекс потребительских цен считается запаздывающим индикатором инфляции, он служит базовой наблюдаемой величиной для ценообразования деривативов. Пенсионные фонды, страховые компании и банки, работающие с зависимыми от инфляции деривативами, являются основными пользователями инфляционных продуктов, поскольку инфляция может существенно повлиять на их платежи. Безубыточный уровень инфляции определяется спредом между легальными и привязанными к инфляции облигациями.

Смещая акцент, лектор объясняет разницу между номинальными и реальными инструментами по отношению к инфляции. Номинальные инструменты не учитывают инфляцию и считаются номинальными ценами, которые не защищают от инфляционных сил. Инфляционные свопы и инфляционные форварды — это продукты, которые показывают людям разницу между реальной и номинальной экономикой. Обсуждаемый базовый контракт представляет собой инфляционный своп, где производительность основана на индексе потребительских цен в данный момент времени, при этом плавающая и фиксированная части обмениваются. Лектор подчеркивает важность учета задержек при моделировании инфляции, так как данные по инфляции публикуются с задержкой и основаны на прошлых месяцах.

Далее в лекции обсуждается, как сырьевые товары могут лучше отражать инфляцию по сравнению с показателями инфляции, поскольку цены на сырьевые товары можно сразу же наблюдать на ежедневных рынках, в то время как показатели инфляции имеют отставание в несколько месяцев. Форвардная инфляция определяется как инфляция, наблюдаемая в определенное время, и если форвардная инфляция доступна на рынке и известна кривая доходности номинальных облигаций с нулевым купоном, можно рассчитать реальную облигацию с нулевым купоном. В лекции также рассматривается ценообразование инфляционных свопов с использованием тех же методологий, что и валютные и процентные свопы. Кроме того, лектор затрагивает варианты ценообразования с использованием инфляционных процессов и возможности определения и расширения гибридных моделей инфляции со стохастическими процентными ставками.

Раскрывая сходства и различия между иностранной валютой и инфляцией, профессор объясняет взаимосвязь между номинальным и реальным курсом. Перевод средств между номинальной и реальной экономикой создает условие связи, которое влияет на нейтральную к риску меру. В лекции также рассматриваются производные опционы, такие как колл-опционы, и исследуется годовая инфляция, которая измеряет показатели инфляции за определенный период времени. Кроме того, профессор исследует распределение инфляции в логарифмически нормальном случае и влияние на это соотношение модели Блэка-Шоулза. Лекция охватывает различные процессы, связанные с иностранной валютой и инфляцией, включая нейтральные к риску меры, производные опционы и динамику инфляции во времени.

Далее профессор останавливается на связи между инфляцией и иностранной валютой в ценообразовании продуктов инфляции и валютных свопов. Вывод характеристической функции распределения логарифма форвардных темпов инфляции объясняется с использованием преобразований Фурье и методов ценообразования. Подчеркивается важность вариантов ценообразования, поскольку они помогают откалибровать параметры волатильности для рыночных инструментов, позволяя оценивать будущие риски портфеля и применять меры риска, такие как расчеты VAR.

Смещая акцент на рынок иностранной валюты (FX) и инфляцию, лекция охватывает оценку валютных курсов, определение справедливой стоимости валютных контрактов и определение справедливой стоимости кросс-валюты. Обсуждаются варианты ценообразования FX, расширяя методологию ценообразования, чтобы включить стохастическую волатильность и процентные ставки. Кроме того, в лекции исследуется определение инфляционных форвардов и ценообразование инфляционных свопов. Лекция завершается представлением трех упражнений для студентов, чтобы они могли применить свои знания, включая получение вопросительной функции для годовой инфляции в рамках модели Блэка-Шоулза и использование моделирования для нахождения ожидаемых значений функции.

Наконец, инструктор представляет упражнение, основанное на стохастическом дифференциальном уравнении для иностранной валюты. Цель упражнения состоит в том, чтобы упростить уравнение, факторизовать броуновские движения, чтобы получить шляпу сигмы, а затем определить термины шляпы сигма и сигма-сигма. Преподаватель завершает лекцию, прощаясь со студентами и выражая надежду, что им понравился курс и упражнения.

• 00:00:00 В этом разделе лекции спикер обсуждает инфляцию и ее развитие за последние 100 лет. Определение инфляции со временем изменилось; первоначально это было связано с денежно-кредитной политикой и увеличением денежной массы, тогда как теперь оно связано с уровнем цен. Спикер рассказывает об инфляционных деривативах и их важности для хеджирования инфляционных рисков, особенно для банков и пенсионных фондов. Ценообразование инфляционных деривативов тесно связано с ценообразованием иностранной валюты. В целом в разделе представлен краткий обзор инфляции и ее значения на финансовом рынке.
  
  
• 00:05:00 В этом разделе лектор обсуждает различия в показателях инфляции, используемых в разных странах, уделяя особое внимание европейскому согласованному индексу потребительских цен (HICP) и индексу потребительских цен США (CPI). Эти показатели не всегда просто сравнивать, а это означает, что официальные данные по инфляции не всегда могут давать точную картину роста цен. Тем не менее, их по-прежнему можно использовать для определения цены контрактов на деривативы, при этом деривативы привязаны к значениям индекса потребительских цен. Затем лектор представляет график исторического развития инфляции в США, показывающий, как значения ИПЦ колебались с течением времени по сравнению с контрольной датой с 2000 по 2015 год.
  
  
• 00:10:00 В этом разделе лектор обсуждает инфляцию и то, как она не является линейной в росте, а меняется во времени. Он представляет график, на котором показаны показатели инфляции в разные периоды, подчеркивая дефляционное влияние, которое крах рынка может оказать на инфляцию, а также то, как глобализация может привести к дефляции. Он также объясняет разницу между липкой и преходящей инфляцией и то, как она может повлиять на цены и экономику. Лектор отмечает, что инфляция сложна и ее трудно описать простыми экономическими моделями из-за ее изменчивой природы и того, что на нее влияют различные факторы, такие как демография и мировая экономика. Он также предупреждает, что корзины, используемые для измерения цен, могут полностью отличаться от тех, которые использовались в прошлом, что также может повлиять на показатели инфляции.
  
  
• 00:15:00 В этом разделе инструктор обсуждает, как инфляцию трудно сравнивать во времени из-за изменения определения инфляции в зависимости от товаров и услуг, что делает политику удержания инфляции на определенном процентном уровне немного плавающей. политика. В лекции также объясняется состав элементов, используемых при расчете индекса ИПЦ, и то, как измеряется инфляция, включая методы корректировки и сглаживания результатов, такие как гедонистический эффект и замещение. Гедонический эффект вычитает полезность продукта из повышения цены, в то время как замещение предполагает, что потребители переключаются на более дешевые товары, чтобы избежать более высоких цен.
  
  
• 00:20:00 В этом разделе спикер обсуждает влияние жилья на инфляцию и показатели инфляции. В США цена на жилье не включается в ИПЦ или показатели инфляции, потому что жилье рассматривается как капиталовложение. Однако «воздействие жилья» включено в показатели ИПЦ, которые оценивают стоимость жизни в доме, если он был арендован. Корзина продуктов, используемая для расчетов инфляции, со временем меняется, что приводит к ненадежным цифрам инфляции. Хотя многие считают индекс потребительских цен запаздывающим индикатором инфляции, он используется в качестве базовой наблюдаемой величины для ценообразования деривативов. Моделирование инфляции сильно отличается от моделирования иностранной валюты, но оба имеют сильную корреляцию. Пенсионные фонды, страховые компании и банки, работающие с зависимыми от инфляции деривативами, являются основными клиентами инфляционных продуктов, поскольку инфляция может существенно повлиять на их платежи. Безубыточный уровень инфляции определяется спредом между легальными и привязанными к инфляции облигациями.
  
  
• 00:25:00 В этом разделе лектор объясняет разницу между номинальными и реальными инструментами и как они соотносятся с инфляцией. Номинальные инструменты не компенсируют инфляцию, поэтому цены на рынке считаются номинальными и не защищают от инфляционных сил. Инфляционные свопы и инфляционные форварды — это продукты, которые покажут кому-то разницу между реальной и номинальной экономикой. Базовым контрактом для этого является инфляционный своп, при котором производительность обменивается на основе индекса потребительских цен в данный момент времени, и мы обмениваем плавающую часть и фиксированную часть. Лектор предупреждает, что важно учитывать задержки при моделировании инфляции, потому что инфляция всегда публикуется с задержкой и всегда исходит из прошлого месяца.
  
  
• 00:30:00 В этом разделе видео объясняется, что просмотр товаров считается лучшим показателем инфляции, потому что цены на товары можно увидеть сразу же каждый день на рынках, в то время как данные об инфляции имеют задержку в несколько месяцев. Форвардная инфляция определяется как инфляция, наблюдаемая в определенное время, и если форвардная инфляция доступна на рынке и известна номинальная облигация с нулевым купоном из кривой доходности, то можно рассчитать реальную облигацию с нулевым купоном. В видео также обсуждается, как инфляционные свопы могут оцениваться с использованием той же методологии, что и валютные и процентные свопы. Наконец, лекция касается вариантов ценообразования с использованием процессов инфляции и того, как гибридные модели инфляции могут быть определены и дополнены стохастическими процентными ставками.
  
  
• 00:35:00 В этом разделе профессор обсуждает сходства и различия между иностранной валютой и инфляцией в отношении номинальных и реальных курсов. Профессор объясняет, как перевод средств между экономиками из номинальной в реальную экономику создает условие связи, которое влияет на нейтральную к риску меру. В лекции также рассматриваются производные опционы, такие как колл-опционы, и ежегодная инфляция, когда динамика инфляции зависит от периода времени. Кроме того, профессор изучает распределение инфляции в логарифмически нормальном случае и то, как на это соотношение влияет случай Блэка Шоулза. В целом, в лекции обсуждаются различные процессы, связанные с иностранной валютой и инфляцией, включая нейтральные к риску меры, производные опционы и инфляцию за определенный период времени.
  
  
• 00:40:00 В этом разделе курса финансового инжиниринга профессор обсуждает взаимосвязь между инфляцией и иностранной валютой в ценообразовании инфляционных продуктов и валютных свопов. Он объясняет, как получить характеристическую функцию для распределения логарифма форвардных темпов инфляции с помощью механизма ценообразования с использованием преобразований Фурье. Ценообразование опционов имеет решающее значение в этом процессе, поскольку оно помогает откалибровать параметры волатильности для рыночных инструментов, что в конечном итоге приводит к оценке будущих рисков для портфелей и применению таких мер, как расчет VAR.
  
  
• 00:45:00 В этом разделе видео основное внимание уделяется валютному рынку (FX) и инфляции. Лектор расскажет, как оценить валютные курсы, найти справедливую стоимость валютных контрактов и получить справедливую стоимость кросс-валюты. Они также обсуждают варианты ценообразования на валютном рынке, расширение ценообразования с помощью стохастической волатильности и процентных ставок, определение инфляционных форвардов и ценообразование инфляционных свопов. Лекция завершается тремя упражнениями, которые должны выполнить студенты, включая получение функции вопроса для годовой инфляции в случае Блэка-Шоулза-Уайта и нахождение ожиданий функции с помощью моделирования.
  
  
• 00:50:00 В этом разделе видео инструктор представляет упражнение по стохастическому дифференциальному уравнению для иностранной валюты. Цель упражнения состоит в том, чтобы упростить уравнение и разложить на множители броуновские движения, чтобы получить шляпу сигма, а затем найти термины шляпы сигма и сигма сигма. Преподаватель завершает лекцию, прощаясь и надеясь, что студентам понравился курс и упражнения.

[MetaQuotes]

Курс финансовой инженерии: Лекция 11/14, часть 1/2 (Рыночные модели и корректировка выпуклости)

Курс финансовой инженерии: Лекция 11/14, часть 1/2 (Рыночные модели и корректировка выпуклости)

В этой лекции основное внимание уделяется модели библиотечного рынка и ее расширениям, в частности стохастической волатильности. Модель библиотечного рынка направлена на объединение отдельных показателей ставок Libor в единую и непротиворечивую меру для оценки цен деривативов. После обзора истории и спецификаций модели спикер углубляется в вывод модели, исследуя популярные варианты, такие как логнормальная и стохастическая волатильность.

Второй затронутой темой является коррекция выпуклости, которая влечет за собой определение и моделирование этих корректировок. В лекции рассматриваются случаи возникновения поправок на выпуклость, способы их выявления и их значимость при оценке производных, включающих поправки на выпуклость.

Лектор подчеркивает важность рыночных моделей и корректировок выпуклости в области финансового инжиниринга. Рыночные модели предлагают эффективные решения различных сложных проблем, в частности, при ценообразовании экзотических деривативов со сложной структурой выплат. Однако такие модели могут быть громоздкими и дорогими. Тем не менее, рыночная модель Libor или рыночные модели в целом были разработаны с учетом таких сложностей, особенно при ценообразовании экзотических деривативов, зависящих от нескольких ставок Libor.

Кроме того, в лекции рассматривается разработка единого показателя для включения нескольких ставок Libor, что является важным условием для точного ценообразования. Используемый механизм основан на основных методах изменения и форвардной оценке, связанной с облигациями с нулевым купоном. Хотя в некоторых случаях возможны закрытые решения, сам механизм является сложным и многомерным.

Докладчик обсуждает основу для определения моделей процентных ставок, подчеркивая важность определения условий дрейфа и волатильности, чтобы обеспечить четкость модели и отсутствие арбитражных возможностей. Оценка сложных продуктов с фиксированным доходом, включая экзотические производные, требует продвинутых моделей из-за их зависимости от нескольких библиотек, что делает невозможным их разложение на независимые платежи. Чтобы решить эту проблему, вводится Модель рынка Libor, разработанная с практическим подходом для обеспечения соответствия рыночной практике и существующим методам ценообразования для обменов или опционов на библиотеки. Эта модель обеспечивает расширенную оценку и не требует арбитража, что делает ее незаменимой для ценообразования сложных продуктов с фиксированным доходом.

В лекции подчеркивается значение модели BGM (Brace Gatarek Musiela), которая произвела революцию в ценообразовании экзотических деривативов. Построенная на существующих рыночных основах, модель BGM представила дополнительные элементы, которые позволили ей получить широкое признание в качестве рыночной практики ценообразования деривативов, привязанных к множеству библиотек и сложных структур волатильности. Моделирование Монте-Карло часто используется для разделения процессов, вовлеченных в модель BGM, из-за проблем, возникающих при работе с несколькими ставками Libor при разных показателях. Целью модели является обеспечение безарбитражной динамики ставок Libor, позволяющей устанавливать цены на капсулы и соцветия аналогично рыночным правилам, установленным формулой Блэка-Шоулза. Хотя модель BGM упрощает этот фундаментальный блок, она предлагает дополнительные функции, облегчающие ценообразование экзотических деривативов.

Докладчик продолжает объяснять процесс получения библиотечных ставок, определяя форвардную нулевую облигацию как стратегию рефинансирования между временем t1 и временем d2. Необходимо принимать во внимание различные соображения, такие как даты сброса, задержка сброса и задержка оплаты, поскольку несоответствия между оплатой продукта и дисконтированием требуют корректировки выпуклости. Двигаясь вперед, лекция углубляется в спецификацию многомерной модели рынка Libor, начиная с определения необходимого количества ставок Libor.

В лекции исследуется структура стохастических дифференциальных уравнений для системы ставок Libor во времени. С течением времени размерность системы уменьшается, поскольку определенные ставки Libor фиксируются в определенных точках. Спикер подчеркивает важность корреляционной структуры между ставками Libor и ее параметризации для обеспечения положительно определенной корреляционной матрицы. В лекции также упоминается роль форвардной меры и облигаций с нулевым купоном в определении мартингейлов.

Торгуемые активы и облигации с нулевым купоном вводятся как мартингейлы. Ставка Libor, L(T) и TI-1 считаются мартингалами при определенных условиях. Функции σ(i) и σ(j) вводятся как драйверы броуновского движения, которые должны быть определены при согласованной мере. В лекции подчеркивается необходимость согласованности между мерой ожидания и мерой броуновского движения, используемой для оценки выражений. Модель рынка Libor, также известная как модель BGM, объединяет отдельные наборы в соответствии с рыночными практиками, полученными из моделей Блэка-Шоулза, и служит ключевым моментом в структуре модели.

В лекции рассматривается концепция модели рынка Libor, в которой используются множественные стохастические дифференциальные уравнения для объединения различных процессов в соответствии с последовательной форвардной мерой. Каждая ставка Libor по своей мере действует как мартингейл. Однако изменение показателей для каждой ставки Libor влияет на динамику и срок дрейфа. Важнейший элемент модели рынка Libor заключается в определении перехода дрейфа и его поведения при изменении показателей для каждой ставки Libor. Этот дрейфующий термин может быть сложным, и в лекции обсуждаются две распространенные возможности выбора терминальной или спотовой меры для оценки деривативов. Кроме того, в лекции исследуется взаимосвязь между моделью рынка Libor и другими моделями, такими как AJM (Андерсен-Джессап-Мертон), модель Брейса Гатарека Мусиелы и HJM (Хит-Джарроу-Мортон), давая представление об их взаимосвязях. Также исследуется использование полной широкой волатильности для мгновенной форвардной ставки в модели рынка Libor.

В лекции рассматривается взаимосвязь между мгновенной форвардной ставкой и ставкой Libor, подчеркивая их сильную корреляцию, особенно когда два времени приближаются друг к другу и присутствует текущий индекс. Подробно объясняется процесс изменения меры с i на j и нахождение члена дрейфа с помощью преобразований меры. В лекции подчеркивается важность понимания концепций, затронутых в предыдущих лекциях, для понимания множества инструментов и симуляций, необходимых в последних двух лекциях.

Преподаватель углубляется в преобразования показателей и динамику ставки Libor по различным показателям. Используя теорему Гирсанова и делая соответствующие замены, выводится уравнение, представляющее преобразование меры от i-1 к i или наоборот. Это уравнение служит основой для представления ставки LIBOR по различным показателям. В лекции подчеркивается важность выбора подходящей спотовой или конечной меры для точного ценообразования деривативов.

Далее в лекции объясняется процесс корректировки дрейфа для различных ставок Libor в рамках рыночной модели, чтобы обеспечить согласованность с окончательным показателем. Корректировка включает в себя накопление всех необходимых корректировок ставок Libor между первой и последней ставками до достижения конечной меры. Переход от одного показателя к другому может быть получен итеративно, и процесс корректировки дрейфа является центральным в модели рынка Libor. Однако возникает проблема с конечной мерой, где самый короткий период, ближайший к настоящему, становится более стохастическим, поскольку включает в себя все последующие процессы, которые могут показаться нелогичными. Тем не менее, модель рынка Libor в основном работает по спотовому показателю в качестве согласованного дефолта, если только конкретная выплата не указана в терминальном показателе.

Спикер обращается к некоторым проблемам модели библиотечного рынка, в частности, к отсутствию преемственности в отношении времени между указанной теноровой сеткой. Чтобы решить эту проблему, спикер представляет стратегию использования дискретного сберегательного счета с тремя дискретными ребалансировками для определения точечной меры для модели библиотечного рынка. Эта стратегия предполагает наблюдение за тем, как может накапливаться одна единица валюты, вложенная сегодня, при существующей тендерной структуре облигаций с нулевым купоном. Стратегия определена не в момент времени 0, а в момент времени 1, предполагающая покупку облигации в момент времени 1, получение накопленной суммы в момент погашения и реинвестирование ее во вторую облигацию в момент времени 2.

В лекции объясняется концепция компаундирования в рамках дискретной интервальной структуры, которая позволяет инвестировать в бескупонные облигации, реинвестируя полученные суммы в новые облигации. Произведение всех компонентов облигации с нулевым купоном определяет сумму, которую инвестор получит в указанное время. Накопленная сумма может непрерывно определяться путем дисконтирования от последней точки сетки до текущей точки. Лекция знакомит с концепцией меры спот-Либор, которая позволяет текущему числителю переключаться с меры ti на меру tm. Кроме того, понятие mt вводится как минимальное i, такое что ti больше, чем t, что устанавливает связь между t и следующей связью.

В дальнейшем выступающий объясняет процесс определения преобразования меры из меры M_t в меру M_t+1. Это достигается использованием производной Радона-Никодима. Лекция посвящена динамике лямбда и пси, которые определяют преобразование меры и взаимосвязь между броуновскими движениями при t и n. Наконец, спикер представляет окончательное представление модели библиотечного рынка, которое очень напоминает ранее обсуждавшиеся преобразования показателей в таких моделях, как модель рынка.

Далее лекция посвящена динамике модели рынка Libor, в частности ее применению в ценообразовании передовых и сложных экзотических продуктов в области процентных ставок. Модель представляет собой многомерную проблему со сложным дрейфом, который охватывает несколько ставок Libor, что усложняет ее реализацию. Тем не менее, модель служит ценным инструментом решения проблем. В лекции рассматриваются расширения модели для включения улыбок волатильности и обсуждается выбор стохастического процесса волатильности при максимально упрощенной динамике модели. Отмечается, что логнормальность модели существует только при предельной мере и предполагает суммирование различных независимых процессов, что указывает на то, что в общем случае она не является логнормальной.

В серии лекций о модели рынка Libor и ее расширениях, особенно стохастической волатильности, рассматриваются различные аспекты структуры модели. Он охватывает объединение отдельных ставок Libor в непротиворечивую меру, построение модели с использованием популярных вариантов, таких как логарифмически нормальная и стохастическая волатильность, а также концепцию поправок на выпуклость для ценообразования деривативов. В лекции подчеркивается важность понимания преобразований мер, динамики при различных мерах и выбора подходящих точечных или терминальных мер. Способность модели обрабатывать сложные продукты с фиксированным доходом, ее связь с другими рыночными моделями, а также ее динамика и проблемы тщательно исследуются. Понимая эти концепции и инструменты, финансовые инженеры могут эффективно оценивать экзотические деривативы и ориентироваться в тонкостях мира процентных ставок.

• 00:00:00 В этом разделе лекции курса «Финансовая инженерия» основное внимание уделяется первой теме модели библиотечного рынка и ее расширений, а именно стохастической волатильности. Модель библиотечного рынка направлена на то, чтобы объединить все отдельные показатели ставок Libor в один непротиворечивый показатель и оценить производную от цены. После обсуждения истории и спецификаций модели лекция посвящена построению модели, включая популярные варианты логнормальной и стохастической волатильности. Вторым предметом является коррекция выпуклости, которая включает в себя определение того, что представляют собой коррекции выпуклости, определение момента их возникновения, их моделирование и оценку производных, включающих корректировку выпуклости.
  
  
• 00:05:00 В этом разделе лектор обсуждает рыночные модели и корректировку выпуклости применительно к финансовому инжинирингу. Рыночные модели чрезвычайно эффективны и могут использоваться для решения множества серьезных проблем, но также могут быть проблематичными из-за их неуклюжего и дорогого характера. Однако рыночная модель или рыночные модели Libor предназначены для работы с очень сложными продвинутыми структурами выплат при ценообразовании экзотических деривативов. Также обсуждается разработка единой меры для включения нескольких ставок Libor в одну структуру, что необходимо для целей ценообразования. Механизм основан на методах основных изменений и форвардных мерах, связанных с облигациями с нулевым купоном. Хотя в некоторых случаях возможны решения закрытой формы, сам механизм является сложным и многомерным.
  
  
• 00:10:00 В этом разделе спикер обсуждает основу для определения моделей процентных ставок, которые включают в себя определение условий дрейфа и волатильности, чтобы гарантировать, что модель будет четко определенной и свободной от арбитража. Сложные продукты с фиксированным доходом, такие как экзотические деривативы, требуют передовых моделей для оценки, поскольку их доходность зависит от нескольких библиотек и не может быть разложена на независимые платежи. Докладчик представляет модель рынка Libor, которая разработана с практическим подходом, чтобы обеспечить ее соответствие рыночной практике и не нарушать текущую практику ценообразования для обменов или опционов на библиотеки. Эта модель позволяет проводить расширенную оценку и не требует арбитража, что делает ее полезной при ценообразовании сложных продуктов с фиксированным доходом.
  
  
• 00:15:00 В этом разделе лекции обсуждается важность модели BGM и то, как она учитывает ценообразование экзотических деривативов. Модель BGM была основана на существующих на рынке строительных блоках и добавляла к ней что-то дополнительное, что позволило принять ее в качестве рыночной практики для ценообразования экзотических деривативов, которые зависят от нескольких библиотек и сложных структур волатильности. Разделение процессов, вовлеченных в модель BGM, в основном выполняется с использованием метода Монте-Карло из-за проблемы размерности при работе с несколькими ставками libor при разных показателях. Концепция разработки новой модели заключается в том, чтобы обеспечить безарбитражную динамику ставок libor и упростить ценообразование на капсулы и соцветия аналогично рыночному соглашению, формуле Блэка-Шоулза. Модель BGM сводится к этому базовому фундаментальному блоку, в то же время предоставляя кое-что дополнительное к структуре, позволяющее оценивать экзотические деривативы.
  
  
• 00:20:00 В этом разделе лекции спикер обсуждает, как получить библиотечные ставки, определив форвардную нулевую облигацию как стратегию рефинансирования между временем t1 и временем d2. Даты сброса могут быть немного изменены, и необходимо учитывать дополнительные даты, такие как задержка сброса и задержка выплаты. Когда возникает несоответствие между оплатой продукта и скидкой, спикер объясняет, что необходимо внести поправки на выпуклость, чтобы учесть влияние. Затем докладчик переходит к обсуждению спецификации многомерной модели рынка libor, начиная с определения количества необходимых ставок libor.
  
  
• 00:25:00 В этом разделе лекции по финансовой инженерии спикер обсуждает структуру стохастических дифференциальных уравнений для системы ставок Libor во времени. С течением времени размерность системы уменьшается, поскольку некоторые ставки Libor становятся фиксированными в определенные моменты времени. Спикер объясняет, что структура корреляции между ставками Libor также важна и может быть параметризована для обеспечения положительной определенности матрицы корреляций. Форвардная мера и облигации с нулевым купоном также упоминаются в связи с определением мартингейлов.
  
  
• 00:30:00 В этом разделе лекции обсуждается понятие торгуемых активов и бескупонных облигаций как мартингейла. Если мы знаем, что Libor, L(T) и TI-1 являются мартингалом, то мы можем определить функции σ(i) и σ(j), которые становятся драйверами броуновского движения. Однако эти драйверы должны быть определены в рамках одной согласованной меры, и должна быть согласованность между мерой ожидания и мерой броуновского движения, используемой для оценки некоторого выражения. Это ключевой момент модели рынка Libor или модели BGM, которая объединяет отдельные наборы в соответствии с рыночными практиками ценообразования с использованием моделей Блэка-Шоулза.
  
  
• 00:35:00 В этом разделе лекции исследуется концепция модели рынка Libor. В этой модели используется несколько стохастических дифференциальных уравнений, чтобы свести воедино различные процессы в рамках одной последовательной прямой меры. Каждая Libor по своей мере является мартингейлом, но изменение мер вносит последствия для динамики соответствующей ставки Libor и срока дрейфа. Ключевым элементом модели рынка Libor является определение перехода дрейфа и его поведения при изменении соответствующих показателей для каждой ставки Libor. Этот термин дрейфа может быть довольно сложным, и в лекции будут обсуждаться две распространенные возможности выбора терминальной или спотовой меры для определения цены деривативов. Кроме того, обсуждается связь модели рынка Libor с AJM, моделью Brace Gatarek Musiela и HJM, а в лекции исследуется использование полной широкой волатильности для мгновенного форвардного курса в модели рынка Libor.
  
  
• 00:40:00 В этом разделе лекции спикер обсуждает взаимосвязь между мгновенным форвардным курсом и курсом Libor, которые тесно связаны, особенно в случаях, когда два времени приближаются друг к другу, и присутствует бегущий индекс . В лекции также подробно рассказывается об изменении меры с i на j и нахождении члена дрейфа на основе преобразований меры, что является ключевым элементом в преобразовании броуновских движений при различных мерах. В лекции подчеркивается важность понимания концепций предыдущих лекций, чтобы понять разнообразие инструментов и симуляций, необходимых в последних двух лекциях курса.
  
  
• 00:45:00 В этом разделе лекции профессор обсуждает преобразования мер и динамику библиотеки при различных мерах. Используя теорему Гирсанова и некоторые подстановки, профессор приходит к уравнению, показывающему преобразование меры от i-1 к i или наоборот. Затем профессор объясняет, как это уравнение можно использовать для представления ставки LIBOR при различных показателях. В лекции также подчеркивается важность выбора подходящей спотовой или конечной меры для ценообразования деривативов.
  
  
• 00:50:00 В этом разделе лекции курса «Финансовая инженерия» инструктор объясняет, как настроить дрейф для разных библиотек в модели рынка, чтобы он соответствовал конечному показателю. Он объясняет, что все библиотеки между первой и последней должны быть скорректированы, накапливаясь до этой конечной меры. Переход от одного показателя к другому может быть получен итеративно, и процесс корректировки дрейфа является сутью модели рынка Libor. Однако проблема, связанная с конечной мерой, заключается в том, что процесс для самого короткого периода, который ближе всего к сегодняшнему дню, оказывается более стохастическим, поскольку он включает все процессы, которые происходят после этой точки, что противоречит здравому смыслу. Тем не менее, модель рынка Libor работает по спотовому показателю как консенсус-дефолт, если только не указано, что выплата будет в терминальном показателе.
  
  
• 00:55:00 В этом разделе лекции спикер обсуждает проблемы с моделью библиотечного рынка, в частности отсутствие преемственности с точки зрения времени между заданной сеткой арендаторов. Таким образом, спикер объясняет стратегию использования дискретных трех дискретно ребалансируемых денежных сберегательных счетов для определения спотовой меры для модели библиотечного рынка. Это включает в себя наблюдение за тем, как сегодня можно аккумулировать инвестиции в одну единицу валюты при существующей тендерной структуре облигаций с нулевым купоном. Стратегия определяется не в t0, а в t1 и включает покупку облигации в t1, получение накопленной суммы по истечении срока и реинвестирование ее во вторую облигацию в t2.
  
  
• 01:00:00 В этом разделе объясняется концепция начисления сложных процентов в дискретно-интервальной структуре как способ инвестирования в облигации с нулевым купоном при реинвестировании полученных сумм в новые облигации. Произведение всех нулевых компонентов определяет сумму, которую инвестор получил бы в указанное время, а накопленную сумму можно определить непрерывно путем дисконтирования от последней точки сетки до текущей точки. Также вводится понятие меры спот-либор, которая позволяет текущему числителю переключаться с меры ti на меру tm. Кроме того, понятие mt вводится как минимум i, такой, что ti больше, чем t, чтобы связать t со следующей связью.
  
  
• 01:05:00 В этом разделе лекции докладчик проходит процесс определения преобразования меры из меры M_t в меру M_t+1. Это достигается с помощью производной Радона-Никодима. Спикер также объясняет динамику для лямбда и пси, которая будет определять преобразование меры и связь между броуновскими движениями при t и n. Наконец, спикер представляет окончательное представление модели библиотечного рынка, которое похоже на то, что было замечено ранее в меняющейся мере мер, таких как рыночный режим.
  
  
• 01:10:00 В этом разделе спикер обсуждает динамику модели рынка Libor, которая используется для продвинутых и сложных экзотических продуктов в мире процентных ставок. Модель включает в себя проблему высокой размерности со сложным дрейфом, включающим несколько Libor, что затрудняет ее реализацию. Тем не менее, модель решает проблемы, и спикер продолжает обсуждение расширений модели, включая улыбки волатильности, и как выбрать стохастический процесс волатильности, сохраняя при этом динамику модели как можно более упрощенной. Докладчик отмечает, что логнормальность модели существует только при предельной мере и что она включает суммирование различных автономных процессов, что делает ее не логнормальной в общем случае.

[MetaQuotes]

Курс финансовой инженерии: Лекция 11/14, часть 2/2 (Рыночные модели и корректировка выпуклости)

Курс финансовой инженерии: Лекция 11/14, часть 2/2 (Рыночные модели и корректировка выпуклости)

Серия лекций о модели рынка Libor и ее расширениях со стохастической волатильностью обеспечивает всестороннее понимание структуры модели и ее приложений в финансовой инженерии. Докладчик подчеркивает важность учета преобразований мер, динамики при различных мерах и выбора подходящих точечных или терминальных мер. Обсуждается логнормальное предположение в модели, а также его ограничения и проблемы обработки стохастической волатильности.

Одной из ключевых затронутых тем является концепция поправок на выпуклость, которые необходимы для учета задержек платежей или несоответствий в финансовых инструментах. Лектор объясняет проблемы, возникающие при включении динамики Libor в динамику дисперсии, и обсуждает возможные решения, такие как установление корреляции между Libor и волатильностью. Однако лектор предупреждает, что эти решения могут быть нереалистичными или плохо откалиброванными с учетом данных о подразумеваемой волатильности рынка.

Чтобы решить эти проблемы, лектор вводит концепцию модели стохастической волатильности смещенной диффузии, которая предлагает лучший подход к моделированию стохастической волатильности в модели рынка Libor. Используя процесс стохастической волатильности и метод смещения, модель может изменить распределение значений процесса, сохраняя при этом характеристики улыбки и перекоса. Лектор объясняет, как коэффициент смещения, контролируемый бета-функцией, определяет интерполяцию между начальными и технологическими значениями. Независимость процесса дисперсии достигается за счет предположения о нулевой корреляции между дисперсией и динамикой Libor.

В лекции также исследуется реализация и калибровка модели стохастической волатильности смещенной диффузии. Лектор демонстрирует, как связать динамику модели с представлением мастер-модели, что является частным случаем модели хлопот. Обсуждаются преимущества использования этой модели для калибровки, подчеркивая простоту калибровки каждой Libor по ее собственному показателю без дополнительных поправок на дрейф. Лектор также выделяет влияние бета и сигмы на форму подразумеваемой волатильности и объясняет, как передать модель в модель хлопот для ценообразования.

Кроме того, в лекции рассматривается вопрос корректировки выпуклости в модели рынка Libor. Лектор объясняет, как скорректировать начальное значение и волатильность процесса стохастической волатильности смещенной диффузии для учета выпуклости рынка. Вводится новая переменная, и к условиям вытеснения и Libor применяются постоянные поправки и корректировки. Результирующий процесс представляет собой процесс стохастической волатильности со смещенной диффузией, который включает в себя выпуклость рынка.

В серии лекций также затрагивается техника замораживания, которая используется для фиксации стохастичности переменных и упрощения моделей. Однако лектор предупреждает о возможных ловушках при использовании этой техники и подчеркивает важность точной калибровки модели по рыночным данным.

Чтобы закрепить обсуждаемые концепции, серия лекций завершается несколькими домашними заданиями. Эти задания включают в себя упражнения по расчету корректировок выпуклости, определению матриц корреляции и изучению различных спецификаций модели.

Серия лекций представляет собой подробное исследование модели рынка Libor, ее расширений со стохастической волатильностью, а также проблем и методов, связанных с внедрением и калибровкой модели для ценообразования и управления рисками в области процентных ставок.

• 00:00:00 В этом разделе лекции основное внимание уделяется модели библиотечного рынка и ее расширениям со стохастической волатильностью. Обсуждается логнормальное допущение в модели и показывается, что простой и наивный подход к обработке стохастической волатильности может привести к сложной системе среднеквадратичных отклонений. Представлена методика замораживания для аппроксимации модели, ее подводные камни и проблемы, с которыми можно столкнуться при попытке ее применения. Наконец, рассматриваются исправления и корректировки выпуклости, а также включение в расчеты ударной волатильности улыбки и перекоса. Три задания даны для дальнейшего изучения модели библиотечного рынка и корректировки выпуклости.
  
  
• 00:05:00 В этом разделе спикер обсуждает динамику процесса и вносит необходимые измеренные изменения в модель. Они предполагают, что библиотеки коррелированы, что, по их словам, является ключевым элементом, и что Libor коррелирует с дисперсией. Предполагая нулевую корреляцию, модель только улыбается. Затем они переопределяют модель в терминах независимых броуновских движений, так как это более удобно при выполнении измеренных преобразований. Наконец, они подставляют определение динамики в модель и демонстрируют динамику Libor и процесса дисперсии после подстановки.
  
  
• 00:10:00 В этом разделе спикер объясняет сложности использования рыночных моделей и корректировки выпуклости в финансовом инжиниринге. В частности, они обсуждают проблемы, возникающие при включении динамики libor в динамику дисперсии. Хотя существуют потенциальные решения, такие как установление корреляции между ставкой libor и волатильностью, эти решения могут быть нереалистичными или хорошо откалиброванными с учетом рыночных данных о подразумеваемой волатильности. В результате спикер предлагает использовать вытесненную диффузию как альтернативный вариант моделирования стохастической волатильности в модели рынка libor.
  
  
• 00:15:00 В этом разделе докладчик обсуждает модель стохастической волатильности со смещенной диффузией, которая лучше подходит для моделей рынка труда благодаря своей способности удовлетворять важным условиям модели. Модель включает использование процесса стохастической волатильности и метода смещения для изменения распределения значений процесса при сохранении улыбки и винта. Докладчик поясняет, что коэффициент смещения контролируется бета-функцией, которая определяет интерполяцию между начальными и технологическими значениями. Независимость процесса дисперсии достигается за счет предположения о нулевой корреляции между дисперсией и динамикой лампочки. Модель можно использовать для введения асимметрии и компенсации асимметрии, потерянной из-за предполагаемой нулевой корреляции.
  
  
• 00:20:00 В этом разделе спикер обсуждает, как связать динамику распространения дисплеев с представлением мастер-модели, что является частным случаем модели Hassle. Они объясняют преимущества использования этой модели для калибровки и то, как каждый Libor может быть откалиброван по собственной мере без каких-либо дополнительных поправок на дрейф, что упрощает оценку производных. Затем докладчик показывает влияние бета и сигмы на форму подразумеваемой волатильности и то, как введение процесса для улыбки может придать модели достаточную гибкость, чтобы ее можно было откалибровать для рыночных инструментов. Они также кратко обсуждают реализацию Python и то, как связать распространение дисплеев со стохастической волатильностью, чтобы передать модель в модель Hassle для ценообразования.
  
  
• 00:25:00 В этом разделе лекции спикер объясняет, как настроить начальное значение и волатильность процесса стохастической волатильности смещенной диффузии для учета выпуклости на рынке. Для этого они вводят новую переменную и выполняют постоянные корректировки смещений и библиотечных терминов. После применения постоянных поправок и поправок определяется форма нового процесса для v с новой поправкой или поправкой на отклонения, которые обрабатываются с помощью переменной eta-hat. Результирующий процесс представляет собой процесс стохастической волатильности со смещенной диффузией, который объясняет выпуклость рынка.
  
  
• 00:30:00 лекция посвящена рыночным моделям и корректировкам выпуклости, в частности модели Хестона, которая допускает как перекос улыбки, так и решение проблем с показателями в модели рынка Libor. В лекции также рассматривается техника замораживания — метод, используемый для фиксации стохастичности переменных и упрощения моделей. Хотя этот метод может быть полезен в некоторых сценариях, лектор подчеркивает, что им часто злоупотребляют, что может привести к неточным результатам, что в конечном итоге сделает модель бесполезной.
  
  
• 00:35:00 В этом разделе видео лектор обсуждает концепцию корректировки выпуклости и ее важность на рынках процентных ставок. Корректировка выпуклости требуется, когда возникают задержки платежей или несоответствия между датой платежа по контракту и соответствующим числителем. Лектор объясняет, что это может вызвать проблемы в ценообразовании, когда платеж не совпадает с датой платежа оцениваемого наблюдаемого актива. Однако этой проблемы можно избежать, используя полные модели Монте-Карло и моделируя динамику Libor. Лектор объясняет, что важно учитывать структуру контракта и рыночные сценарии, прежде чем использовать методы корректировки выпуклости, которые следует использовать только в случае крайней необходимости.
  
  
• 00:40:00 В этом разделе лектор объясняет проблемы, связанные с использованием кривой доходности, когда платежи по финансовому инструменту не выровнены. Если инструмент немного отличается от того, что имеется на рынке, необходимо оценить математическое ожидание, что часто связано с выпуклостью. Он иллюстрирует это примером, когда платеж в контракте отличается от того, что видно на рынке, поэтому ожидание нельзя рассчитать по кривой доходности. Лектор демонстрирует, как выразить ожидание в терминах наблюдаемых на рынке и переключить меру на форвардную меру. Оставшееся ожидание не является чем-то, что было замечено ранее, и здесь в игру вступят функции корректировки выпуклости или коррекция выпуклости. Он подчеркивает, что рыночные инструменты, такие как свопы, представлены в их естественной мере, которая не всегда совпадает с мерой, используемой для расчета матожидания.
  
  
• 00:45:00 В этом разделе основное внимание уделяется работе с терминами и ожиданиями по различным показателям, а также тому, как обрабатывать поправки на выпуклость. В отрывке поясняется, что переход от ti минус один к ti мере будет соответствовать дате платежа на ползунке. Однако это приводит к интересной комбинации, когда произведение ставки libor и облигации с нулевым купоном не является мартингейлом. Чтобы переформулировать проблему, в разделе предлагается добавить и вычесть libor, чтобы определить член коррекции выпуклости и, в конечном итоге, найти корректировку, необходимую для равенства в выражении для стоимости сделки в момент времени t, равный нулю.
  
  
• 00:50:00 В этом разделе инструктор обсуждает проблемы отказа от симуляций в финансовом моделировании и вместо этого использования простейших возможных блоков, в частности графиков доходности, при расчете стоимости сделки. Проблема с расчетом ставки libor, деленной на облигации с нулевым купоном, заключается в том, что это не мартингейл, что делает его проблематичным из-за квадратов в отношении облигаций с нулевым купоном. Что необходимо, так это найти математическое ожидание по t-форвардной мере, чтобы получить оценку стоимости сделки. Затем инструктор определяет динамику для libor и обсуждает решения для ожиданий выражения, которые будут зависеть от одного libor, что упрощает выполнение.
  
  
• 00:55:00 В этом разделе лекции обсуждается концепция коррекции выпуклости применительно к динамике рынка LIBOR и неизвестной переменной c. Отмечается, что выбор сигмы проблематичен, так как нет четкого указания на волатильность от данного ожидания. Простейшим выбором было бы взять волатильность на денежном уровне, но при этом упускается из виду влияние улыбки волатильности. Представлен эксперимент Python, чтобы проиллюстрировать влияние изменения сигмы на настройку выпуклости, подчеркнув, что оптимальная сигма для соответствия рынку составляет около 0,22. Чтобы извлечь правильную сигму из рынка, финансовым инженерам нужно будет изучить рыночные инструменты и использовать такие методы, как алгоритм Ньютона-Рафсона, для его калибровки.
  
  
• 01:00:00 В этом разделе спикер объясняет реализацию модели Халла-Уайта для генерации путей и расчета коррекции выпуклости. Модель рассчитывает облигации с нулевым купоном за определенный период и вычисляет математическое ожидание с превышением, дисконтируя эту библиотеку. Пути Монте-Карло генерируются до момента времени t1, после чего связи могут быть рассчитаны от t1 до любой точки в будущем. Докладчик подчеркивает важность проверки соответствия между кривыми доходности, полученными на рынке, и модельного моделирования, а также четкого понимания изменений показателей при работе с поправками на выпуклость. Спикер также упоминает альтернативный подход, при котором для оценки ожиданий можно учитывать подразумеваемую улыбку волатильности и перекос, что устраняет необходимость указывать конкретный параметр сигмы.
  
  
• 01:05:00 В этом разделе лекции обсуждается подход Брэндона Литценбергера как метод выражения ожидания переменной в терминах денежного выражения с последующим вычислением поправочного члена, включающего интеграцию полюсов входных данных подразумеваемых улыбка волатильности, основанная на улыбке подразумеваемой волатильности. Этот подход является мощным, потому что он позволяет рассчитывать все виды ожиданий и не зависит от наличия на рынке сигмы любого продукта. Тем не менее, он зависит от наличия поверхности подразумеваемой волатильности, поэтому предположение о некотором логарифмически нормальном распределении или другом типе распределения для либеро-динамики может быть более эффективным и простым, если поверхность подразумеваемой волатильности недоступна. На лекции также обсуждались две основные темы дня: модель либерального рынка и возможные расширения со стохастической волатильностью и коррекцией выпуклости.
  
  
• 01:10:00 В этом разделе лекции основное внимание уделяется вкладу внешних моделей модели в утечку между разными Libor, определенными в разных показателях, и созданию единой меры, которую можно использовать для оценки производных, зависящих от нескольких библиотек. Лекция посвящена динамике Libor по показателю P, t-форвардному показателю и различиям между терминальными и точечными показателями. Обсуждение также охватывает стохастическую волатильность, включая наивный подход к проблеме, добавление коррелированной относительности к динамике Libor и проблему сложной структуры волатильности. Лекция закончилась тем, что основное внимание было уделено поправкам на выпуклость, а также тому, как решить и указать модель для оценки нелинейных ожиданий. Домашние задания включают алгебраическое упражнение и расширение модели Хестона, где вместо одного драйвера волатильности у нас есть два.
  
  
• 01:15:00 В этом разделе видео инструктор задает три домашних задания, связанных с рыночными моделями и настройками выпуклости. Первая задача заключается в нахождении значений psi bar и начального процесса для двух заданных уравнений. Вторая проблема аналогична расчету поправки на выпуклость, но с введенным параметром сдвига для обработки отрицательных ставок на рынке. Третья проблема заключается в определении корреляционной матрицы для заданного набора процессов.