Quantitative trading - страница 14

[MetaQuotes]

Вычислительные финансы: Лекция 9/14 (Моделирование Монте-Карло)

Вычислительные финансы: Лекция 9/14 (Моделирование Монте-Карло)

Лекция охватывает несколько тем, связанных с моделированием методом Монте-Карло и интеграцией в вычислительные финансы, и дает представление о различных подходах и методах.

Лектор начинает с введения задач интегрирования и демонстрации того, как вычислять интегралы с использованием выборки Монте-Карло. Они объясняют два подхода: классический подход к интеграции и интеграция на основе ожидаемого значения. С помощью демонстраций программирования на Python лектор показывает, как анализировать и повышать эффективность моделирования. Они обсуждают влияние гладкости на сходимость и различные типы сходимости.

Кроме того, лекция охватывает два важных метода дискретизации, а именно Эйлера и Мильштейна, и объясняет, как контролировать ошибку на основе временного шага в моделировании. Лектор акцентирует внимание на принципах и истории моделирования Монте-Карло, которое используется в различных областях уже почти 90 лет. Он приобрел популярность среди физиков в 1930-х годах, особенно во время Манхэттенского проекта.

Обсуждается важность расчета ожидаемой стоимости будущих выплат в вычислительных финансах. Это включает в себя интегрирование по реальной оси с использованием плотности запаса с учетом постоянных или зависящих от времени процентных ставок. Интеграция по методу Монте-Карло, связанная с выборкой и теорией вероятностей, представлена как метод, дающий разные результаты при каждом моделировании. В лекции подчеркивается его применение к многомерным задачам и возможность контролировать дисперсию распределения ошибок путем настройки параметров моделирования. Лектор также обсуждает методы улучшения выборки и моделирования с помощью Монте-Карло.

Объясняется конкретный метод оценки интегралов с использованием моделирования Монте-Карло. Этот метод включает точки выборки, равномерно расположенные в прямоугольной области, и подсчет доли выборок под кривой для оценки интеграла. Хотя этот подход обычно не используется в финансах, он может быть полезен для многомерных задач. Лектор подчеркивает важность понимания интегрированной функции для эффективного охвата интересующей области.

В лекции также рассматриваются ограничения и проблемы моделирования Монте-Карло в финансах. Хотя он дает приблизительные оценки, результаты могут быть очень неточными, особенно для сложных симуляций. Лектор объясняет, что ожидаемая ошибка в симуляциях методом Монте-Карло уменьшается на квадратный корень из числа симуляций, что приводит к увеличению вычислительной мощности. В лекции далее исследуется взаимосвязь между интегральным и ожидаемым подходами, демонстрируя пример того, как они связаны. В финансах метод ожиданий обычно считается более эффективным и точным, чем традиционное моделирование Монте-Карло.

Лекция посвящена закону больших чисел и его связи с независимыми случайными величинами. Обсуждаются оценка дисперсии и вычисление математического ожидания для определения среднего значения. Представлено сравнение между «наивным подходом» и подходом ожидания, причем последний оказывается значительно более точным даже при меньшем количестве выборок. Лектор демонстрирует код для выполнения этой симуляции, подчеркивая необходимость указания двух точек подхода к интеграции функции.

Обсуждаются различные примеры стохастических интегралов, встречающихся в финансах, с акцентом на суммирование броуновского движения по временным шагам, суммирование броуновского движения по приращениям и умножение броуновского движения на приращения. Представлен более конкретный случай, когда функция g(t) интегрируется от 0 до T с функцией g(s)dW(s). В лекции объясняется, как разделить диапазон интегрирования на более мелкие подынтервалы и использовать моделирование методом Монте-Карло для аппроксимации интеграла. Подчеркивается важность размера выборки и диапазона значений для получения точных результатов.

Докладчик объясняет, как численно решить детерминированный интеграл с помощью процесса разбиения и аппроксимации. Они вводят интеграл Ито и объясняют вычисление функции GT в начале интервала с выбором интеграла на левой границе. Используя пример с функцией GT от T в квадрате, лектор демонстрирует, как получить математическое ожидание и дисперсию с помощью свойства изометрии Ито. Предоставляется код Python для имитации вычислений, а также объясняются необходимые шаги.

Обсуждается генерация броуновского движения и его использование при построении процесса и определении интеграла. В лекции рассматривается процесс создания распределения и его использования для построения процесса броуновского движения. Демонстрируется влияние удаления условия масштабирования на распределение и дисперсию. Лектор также объясняет прием решения интегралов, связанных с броуновским движением, с применением леммы Ито. Наконец, в лекции показано, как рассматривать функцию x в квадрате для вычисления интеграла.

Обсуждается применение леммы Ито для получения динамики функции, равной tw в квадрате t. Применяя лемму Ито к х в квадрате, лекция раскрывает член, который вычисляется путем интегрирования, что приводит к распределению в квадрате пи вместо нормального распределения. Спикер подчеркивает важность опыта в угадывании того, какой тип функции применить для достижения желаемого результата. Код модифицирован для переключения между интегралами, и для улучшения результата предлагается увеличить количество выборок.

Обсуждаются моделирование методом Монте-Карло, численные процедуры и значение генераторов случайных чисел хорошего качества. В лекции объясняется лемма Ито и предлагается эвристический подход к пониманию того, почему dwt dwt равно нулю. Замечено, что уменьшение размера сетки приводит к более быстрой сходимости дисперсии по сравнению с ожидаемой. Проводится эксперимент, чтобы продемонстрировать, что математическое ожидание стремится к нулю медленнее, в то время как дисперсия приближается к нулю. Докладчик дает интуитивное представление о том, почему dwt dwt равно нулю, признавая при этом, что теоретическое доказательство этой взаимосвязи довольно сложное.

В лекции рассматривается сходимость двух похожих функций, g1 и g2, и исследуются их математические ожидания при выборке из броуновского движения. Эти функции имеют пределы 0, когда x приближается к минус бесконечности, и 1, когда x приближается к плюс бесконечности. Лектор вычисляет ошибку для увеличения количества смоделированных образцов и представляет график сравнения ошибки с количеством образцов. Первая функция с негладкой кривой и широким диапазоном колебаний контрастирует со второй функцией, которая имеет плавную кривую и быстрее сходится.

Конвергенция подчеркивается как решающий фактор при использовании моделирования Монте-Карло в финансах. В лекции объясняется разница между слабой и сильной конвергенцией, причем сильная конвергенция более мощная, чем слабая. Ошибки сходимости могут возникать при работе с негладкими функциями и платежами цифрового типа, что приводит к существенно отличающимся результатам оценки. Понимание различий и последствий обоих типов конвергенции имеет решающее значение для обеспечения точного финансового моделирования и оценок.

В лекции обсуждается слабая и сильная сходимость в контексте моделирования методом Монте-Карло и алгоритмов ценообразования. В то время как слабая сходимость соответствует моментам на уровне ожидания, сильная сходимость необходима для точных выплат, зависящих от пути. Полный алгоритм ценообразования Монте-Карло включает определение сетки от настоящего времени до даты платежа по контракту, уравнение ценообразования и стохастический драйвер для актива. Моделирование по методу Монте-Карло необходимо, когда оценка в закрытой форме невозможна из-за сложности складского процесса. Сетка обычно равномерно распределена, но в некоторых случаях могут использоваться альтернативные стратегии.

Профессор подчеркивает точность и временные ограничения моделирования методом Монте-Карло. Отмечается, что увеличение количества шагов по времени повышает точность, но также увеличивает время моделирования. Усовершенствованные методы или решения в закрытой форме, которые допускают более крупные шаги Монте-Карло, могут быть полезны для достижения как точности, так и скорости. Затем лекция переходит к определению сетки, актива и выплаты для опциона европейского типа. Окончательное состояние опции зависит от сроков наблюдений. В лекции объясняется, как рассчитать цену опциона, взяв ожидание под мерой очереди и дисконтировав его, а также вычислив стандартную ошибку для измерения изменчивости полученных результатов.

Концепция стандартной ошибки обсуждается в контексте моделирования методом Монте-Карло. В лекции объясняется, что математическое ожидание можно рассчитать, используя усиленный закон больших чисел, а дисперсию среднего можно рассчитать, предполагая, что выборки взяты независимо. Стандартную ошибку, которая измеряет изменчивость ожидания при заданном количестве путей, можно определить, разделив дисперсию на квадратный корень из числа путей. По мере увеличения числа выборок ошибка уменьшается. Как правило, увеличение количества выборок в четыре раза уменьшает ошибку в два раза. Классический метод моделирования стохастических дифференциальных уравнений — дискретизация по Эйлеру, которая проста, но имеет свои ограничения.

Лектор обсуждает использование стохастических дифференциальных уравнений и дискретизации Эйлера в моделировании методом Монте-Карло. Процесс включает в себя определение сетки, выполнение моделирования и измерение разницы между точным решением и моделированием через абсолютную ошибку. Важно убедиться, что случайность переменных как в точной, так и в дискретной версиях одинакова, чтобы обеспечить сопоставимость. В лекции также подчеркивается важность векторизации в симуляциях методом Монте-Карло, поскольку она более эффективна, чем использование двойных циклов для каждого временного шага и пути. Однако важно отметить, что хотя этот подход упрощает процесс, он имеет ограничения с точки зрения точности и скорости.

Точное решение для броуновского движения с членом дрейфа и членом изменчивости (r и сигма) исследуется с использованием броуновского движения, сгенерированного в точном представлении, и того же движения, которое используется в приближении. В лекции сравниваются абсолютная ошибка и средняя ошибка при слабой сходимости, подчеркивая, что слабой сходимости достаточно для оценки европейского типа выплат, но может быть недостаточно для выплат, зависящих от пути. Показаны графики, иллюстрирующие сгенерированные пути для дискретизации Эйлера по сравнению с точным решением, где для некоторых путей можно наблюдать различия между ними. Лекция завершается сравнением сильных и слабых ошибок.

Спикер обсуждает реализацию симуляций Монте-Карло с использованием кода. Они объясняют, что для количественной оценки ошибки необходимо использовать меру ошибки, как обсуждалось ранее в лекции. Код генерирует пути и сравнивает точные значения с приближением, используя многоцветную симуляцию. Выходными данными являются временные траектории для акций и точные значения. Докладчик подчеркивает важность создания одних и тех же броуновских движений как для аппроксимации, так и для точного решения, чтобы сравнивать их на уровне погрешности. Чтобы измерить слабые и сильные ошибки сходимости, они определяют диапазон количества шагов и выполняют моделирование методом Монте-Карло для каждого шага. Код генерирует два типа ошибок: слабая ошибка и сильная ошибка.

Лектор обсуждает процесс моделирования, связанный с методом Монте-Карло, и то, как он может занимать много времени, поскольку моделирование необходимо повторять много раз. Результаты показаны в виде графиков слабой и сильной сходимости, где ошибка слабой сходимости представлена медленно растущей синей линией, а ошибка сильной сходимости соответствует квадратному корню из формы дельта-Т, что подтверждает анализ. Лектор объясняет, что погрешность можно значительно уменьшить с помощью метода дискретизации Мильштейна, который выводит дополнительные члены, применяя разложение Тейлора. Хотя для получения окончательной формулы требуется больше работы, схема Мильштейна требует производной члена волатильности, которая не всегда доступна аналитически.

Докладчик объясняет использование моделирования Монте-Карло в вычислительных финансах, особенно в геометрическом броуновском движении. Они демонстрируют, как вычислить член волатильности в смысле распределения и сравнить его со схемой Эйлера. Хотя симуляция Монте-Карло имеет более высокую скорость сходимости, чем метод Эйлера, получение производной в моделях, включающих несколько измерений, может быть сложным, поскольку требует дополнительных вычислительных вычислений. Кроме того, спикер сравнивает абсолютную ошибку в слабом и сильном смысле между двумя схемами, подчеркивая, что сильная ошибка Монте-Карло линейна по дельте t, а слабая ошибка Эйлера имеет тот же порядок. Наконец, они предоставляют кодовую реализацию симуляции Монте-Карло для генерации траекторий в геометрическом броуновском движении и анализа его сильной сходимости.

Докладчик обсуждает влияние различных методов дискретизации на сходимость на примере движения Блэка-Шоулза или геометрического броуновского движения. Анализ схем Эйлера и Мильштейна служит иллюстрацией влияния различных методов дискретизации. Докладчик сравнивает ошибки между схемами Мильштейна и Эйлера, показывая, что ошибка схемы Мильштейна намного меньше, чем у Эйлера, хотя она не всегда может быть применима. Преимущество различных схем может быть неочевидным при взгляде на окончательные результаты, но, учитывая вычислительные затраты на моделирование, время становится решающим. Следовательно, использование больших временных шагов было бы необходимо, если мы хотим выполнить быстрое моделирование Монте-Карло.

Затем лектор переходит к обсуждению роли генераторов случайных чисел (ГСЧ) в моделировании методом Монте-Карло. Они подчеркивают важность использования ГСЧ хорошего качества для обеспечения точных и надежных результатов. Лектор упоминает, что генераторы псевдослучайных чисел (ГПСЧ) обычно используются в симуляциях, и объясняет, как они генерируют последовательности чисел, приближенные к случайным. Они также подчеркивают необходимость воспроизводимости при моделировании за счет использования фиксированного начального значения для ГСЧ. Затем лектор обсуждает концепцию противоположных вариаций, которая представляет собой метод уменьшения дисперсии, используемый в симуляциях методом Монте-Карло. Идея противоположных переменных состоит в том, чтобы генерировать пары случайных переменных, оказывающих противоположное влияние на интересующую величину. Взяв среднее значение результатов, полученных из исходных переменных и их противоположных аналогов, можно уменьшить дисперсию оценки. Этот метод особенно полезен при работе с симметричными распределениями.

Затем лекция знакомит с концепцией управляющих вариаций как еще одним методом уменьшения дисперсии. Контрольные переменные включают в себя введение известной функции в процесс моделирования, которая коррелирует с интересующей величиной. Вычитая оценку, полученную по известной функции, из оценки, полученной по целевой функции, можно уменьшить дисперсию оценки. Лектор приводит примеры, иллюстрирующие, как контрольные переменные можно применять на практике. Помимо методов уменьшения дисперсии, лектор обсуждает концепцию стратифицированной выборки. Стратифицированная выборка включает в себя разделение пространства выборки на страты и выборку из каждой страты отдельно. Этот подход гарантирует, что каждая страта представлена в выборке, что приводит к более точным оценкам. В лекции объясняется процедура реализации стратифицированной выборки и подчеркиваются ее преимущества перед простой случайной выборкой.

Наконец, лектор исследует концепцию выборки по важности. Выборка по важности — это метод, используемый для оценки вероятности редких событий путем присвоения более высоких вероятностей выборкам, которые с большей вероятностью приведут к желаемому событию. В лекции объясняется, как выборка по важности может повысить эффективность моделирования Монте-Карло для оценки редких событий. Лектор приводит примеры и обсуждает важность выбора подходящего распределения выборки для получения точных результатов.

Лекция охватывает ряд тем, связанных с моделированием Монте-Карло, включая проблемы интеграции, вычисление интегралов с использованием выборки Монте-Карло, демонстрацию программирования, анализ сходимости, методы дискретизации, принципы и историю моделирования Монте-Карло, применение в вычислительных финансах, уменьшение дисперсии. методы и выборка по важности. Лектор дает представление о теории и практической реализации моделирования Монте-Карло и подчеркивает их актуальность в различных областях.

• 00:00:00 В этом разделе, посвященном моделированию методом Монте-Карло, лектор затрагивает несколько тем, в том числе проблемы интеграции и способы вычисления интегралов с использованием выборки Монте-Карло. В них представлены два разных подхода: классический подход к интеграции и интеграция на основе ожидаемой ценности. Лекция также включает в себя демонстрацию программирования на Python и способы анализа и повышения эффективности моделирования. Лектор обсуждает влияние гладкости на сходимость и различные типы сходимости. Они также вводят два важных метода дискретизации, Эйлера и Мильштейна, и показывают, как управлять ошибкой в зависимости от временного шага в моделировании. Наконец, они обсуждают принципы и историю моделирования Монте-Карло, которое существует уже почти 90 лет и было популяризировано физиками в 30-х годах, особенно в рамках Манхэттенского проекта.
  
  
• 00:05:00 В этом разделе лектор обсуждает важность расчета ожидаемой стоимости будущего выигрыша в вычислительных финансах. Это включает в себя использование интеграла по действительной оси с плотностью запаса, предполагая постоянные или зависящие от времени процентные ставки. Метод интегрирования Монте-Карло связан с выборкой и теорией вероятностей, и результат, получаемый в результате моделирования, будет каждый раз меняться. Этот метод можно использовать для задач высокой размерности, и он может контролировать дисперсию распределения ошибок, выбирая определенные настройки при моделировании. В лекции также обсуждаются методы улучшения выборки и моделирования методом Монте-Карло.
  
  
• 00:10:00 В этом разделе лектор объясняет, как выполнить моделирование методом Монте-Карло для оценки интеграла. Метод включает выборку точек равномерно в прямоугольной области и подсчет количества точек, находящихся под кривой, из общего числа выборок. Умножая долю выборок под кривой на площадь прямоугольника, можно получить оценку интеграла. Хотя этот подход обычно не используется в финансах, он может быть полезен для многомерных задач. Лектор отмечает, что дополнительные сведения об интегрируемой функции могут быть полезны для обеспечения того, чтобы моделирование эффективно охватывало интересующую область.
  
  
• 00:15:00 В этом разделе лекции профессор обсуждает метод моделирования Монте-Карло и то, как его можно использовать для оценки интегралов. Он объясняет, что, хотя моделирование Монте-Карло может дать приблизительную оценку, результаты могут быть очень неточными, особенно в финансах, где требуется очень сложное моделирование. Ожидаемая ошибка в симуляциях методом Монте-Карло уменьшается на квадратный корень из числа симуляций, которые могут потребовать значительных вычислительных ресурсов. Профессор также обсуждает взаимосвязь между интегральным и ожидаемым подходами и приводит пример того, как они связаны. В целом, метод ожиданий считается более эффективным и точным в финансах по сравнению с моделированием Монте-Карло.
  
  
• 00:20:00 В этом разделе лектор обсуждает закон больших чисел и его связь с независимыми случайными величинами. Они выделяют оценку дисперсии и расчет ожидания, как для расчета среднего значения. Затем показано сравнение между «наивным подходом» и подходом ожидания, причем последний значительно точнее даже при меньшем количестве выборок. Лектор продолжает показывать код для выполнения этой симуляции, подчеркивая необходимость указать две точки для этого подхода для интеграции функции.
  
  
• 00:25:00 В этом разделе лектор обсуждает различные примеры стохастических интегралов, встречающихся в финансах. Первый пример включает суммирование броуновского движения по временным шагам, а второй — суммирование броуновского движения по приращениям. В третьем примере броуновское движение умножается на приращения. Затем лектор переходит к более конкретному случаю, когда функция g(t) интегрируется от 0 до T с функцией g(s)dW(s). Метод включает в себя разделение диапазона интегрирования на меньшие подинтервалы и использование моделирования Монте-Карло для аппроксимации значения интеграла. В лекции подчеркивается важность размера выборки и диапазона значений для получения точных результатов.
  
  
• 00:30:00 В этом разделе докладчик обсуждает, как численно решить детерминированный интеграл с помощью процесса разбиения и аппроксимации. Они вводят интеграл Ито и поясняют, что функция GT вычисляется в начале интервала, а интеграл всегда выбирается на левой границе. Докладчик использует пример с функцией GT от T в квадрате и демонстрирует, как получить математическое ожидание и дисперсию с помощью свойства изометрии Ито. Они предоставляют код Python для имитации вычислений и объясняют необходимые шаги.
  
  
• 00:35:00 В этом разделе лекции спикер обсуждает, как создать броуновское движение и использовать его для построения процесса и определения интеграла. Они генерируют распределение и используют его для построения процесса, а затем показывают влияние удаления условия масштабирования на распределение и дисперсию. Спикер также объясняет прием для решения интегралов, связанных с броуновским движением: применение леммы Ито. Наконец, они показывают, как рассматривать функцию x в квадрате для вычисления интеграла.
  
  
• 00:40:00 В этом разделе докладчик обсуждает применение леммы Этоса для получения динамики функции, равной tw в квадрате t. Применяя лемму Ито к х в квадрате, говорящий получает член, который вычисляется путем интегрирования, что приводит к распределению в квадрате пи вместо нормального распределения. Спикер подчеркивает необходимость опыта в угадывании того, какой тип функции применить, чтобы получить желаемый результат. Код модифицирован для переключения между интегралами, и для улучшения результата предлагается увеличить количество выборок.
  
  
• 00:45:00 В этом разделе спикер обсуждает моделирование методом Монте-Карло, числовые процедуры и важность генераторов случайных чисел хорошего качества. Далее они объясняют лемму Ито и углубляются в эвристический подход, чтобы понять, почему dwt dwt равно нулю. При уменьшении размера сетки дисперсия сходится намного быстрее, чем ожидание, и это можно наблюдать в эксперименте, где ожидание стремится к нулю намного медленнее, а дисперсия почти равна нулю. Докладчик дает интуитивное представление о том, почему dwt dwt равно нулю, и в заключение говорит, что теоретическое доказательство этого довольно сложное.
  
  
• 00:50:00 В этом разделе спикер обсуждает сходимость двух подобных функций, g1 и g2, и исследует их ожидания при выборке из броуновского движения. Функции имеют пределы 0 для x, стремящегося к минус бесконечности, и 1 для x, стремящегося к плюс бесконечности. Динамик вычисляет ошибку для увеличения количества смоделированных выборок и показывает график, сравнивающий ошибку с количеством выборок. Первая функция имеет негладкую кривую и колеблется в широком диапазоне, а вторая функция имеет плавную кривую и сходится быстрее.
  
  
• 00:55:00 В этом разделе спикер обсуждает важность учета конвергенции при использовании моделирования Монте-Карло в финансах. Обсуждаемые два типа конвергенции — это слабая и сильная конвергенция, причем сильная конвергенция более мощная, чем слабая. Докладчик поясняет, что при работе с негладкими функциями и цифровым типом выплат возможны ошибки сходимости, что может привести к существенному различию результатов оценки. Понимание различий и последствий обоих типов конвергенции имеет решающее значение для обеспечения точного финансового моделирования и оценок.
  
  
• 01:00:00 В этом разделе видео лектор обсуждает слабую и сильную сходимость в контексте симуляций Монте-Карло и алгоритмов ценообразования. В то время как слабая сходимость соответствует моментам на уровне ожидания, сильная сходимость необходима для точных выплат, зависящих от пути. Полный алгоритм ценообразования Монте-Карло включает определение сетки от сегодняшнего дня до даты платежа по контракту, уравнение ценообразования и стохастический драйвер для актива. Моделирование по методу Монте-Карло необходимо, когда оценка в закрытой форме невозможна из-за сложности складского процесса. Сетка обычно имеет равные интервалы, но в некоторых случаях это может быть не так.
  
  
• 01:05:00 В этом разделе лекции профессор обсуждает точность и временные ограничения моделирования методом Монте-Карло, отмечая, что увеличение количества шагов по времени повышает точность, но также увеличивает время, затрачиваемое на моделирование. Усовершенствованные методы или решения в закрытой форме, которые допускают большие шаги Монте-Карло, могут быть выгодны как для точности, так и для времени. Затем профессор переходит к определению сетки, активов и выплат для варианта европейского типа и объясняет, что конечное состояние зависит от времени наблюдений. Затем берется ожидание под мерой очереди и дисконтируется для определения цены опциона со стандартной ошибкой, рассчитанной для измерения изменчивости полученных результатов.
  
  
• 01:10:00 В этом разделе понятие стандартной ошибки обсуждается в контексте моделирования методом Монте-Карло. Математическое ожидание можно рассчитать, используя усиленный закон больших чисел, а дисперсию среднего можно рассчитать, предполагая, что выборки взяты независимо. Стандартную ошибку, которая измеряет изменчивость ожидания при заданном количестве путей, можно определить, разделив дисперсию на квадратный корень из числа путей. По мере увеличения количества выборок ошибка уменьшается; как правило, увеличение числа выборок в четыре раза уменьшает ошибку в два раза. Классический метод моделирования стохастических дифференциальных уравнений — дискретизация по Эйлеру, которая проста, но имеет ограничения.
  
  
• 01:15:00 В этом разделе лектор обсуждает использование стохастических дифференциальных уравнений и дискретизации Эйлера в симуляциях методом Монте-Карло. Процесс включает в себя определение сетки, выполнение моделирования и измерение разницы между точным решением и моделированием через абсолютную ошибку. Важно обеспечить одинаковую случайность переменных как в точной, так и в дискретной версиях, чтобы обеспечить сопоставимость. В лекции также делается акцент на векторизации в симуляциях методом Монте-Карло, поскольку она более эффективна, чем использование двойных циклов для временного шага и путей. В целом, хотя этот подход упрощает процесс, он имеет ограничения по точности и скорости.
  
  
• 01:20:00 В этом разделе исследуется точное решение для движения границы с r и сигмой с использованием броуновского движения, сгенерированного в точном представлении, и того же движения, которое используется в аппроксимации. Сравниваются абсолютная ошибка и средняя ошибка при слабой сходимости, и объясняется, что, хотя слабой сходимости достаточно для оценки европейского типа выигрыша, этого недостаточно для выигрыша, зависящего от пути. На графиках показаны сгенерированные пути для дискретизации Эйлера по сравнению с точным решением, где для некоторых путей видны различия между ними, а также сравнение сильных и слабых ошибок.
  
  
• 01:25:00 В этом разделе спикер обсуждает реализацию моделирования методом Монте-Карло с использованием кода. Они объясняют, что для количественной оценки ошибки необходимо использовать меру ошибки, которую они обсуждали ранее на слайдах. Код генерирует пути и сравнивает точное с приблизительным, используя многоцветную симуляцию. Выходными данными являются временные траектории запасов и точные значения. Докладчик подчеркивает важность генерации одних и тех же броуновских движений как для аппроксимации, так и для точного сравнения их на уровне погрешности. Чтобы измерить слабые и сильные ошибки сходимости, они определяют диапазон количества шагов и выполняют моделирование методом Монте-Карло для каждого шага. Код генерирует два типа ошибок: слабая ошибка и сильная ошибка.
  
  
• 01:30:00 В этом разделе лектор обсуждает процесс моделирования, связанный с методом Монте-Карло, и то, как он может занимать много времени, поскольку моделирование необходимо повторять много раз. Результаты показаны на графиках слабой и сильной сходимости, где слабая ошибка сходимости представлена медленно растущей синей линией, а сильная ошибка сходимости соответствует квадратному корню из формы дельта Т, что подтверждает анализ. Лектор объясняет, что погрешность можно значительно уменьшить с помощью метода дискретизации Мильштейна, который выводит дополнительные члены, применяя разложение Тейлора. Хотя для получения окончательной формулы требуется больше работы, схема Мильштейна требует производной члена волатильности, которая не всегда доступна аналитически.
  
  
• 01:35:00 В этом разделе спикер объясняет использование моделирования Монте-Карло в вычислительных финансах, в частности, в геометрическом броуновском движении. Они демонстрируют, как вычислить член волатильности в смысле распределения и сравнить его со схемой Эйлера. Хотя симуляция Монте-Карло имеет более высокую скорость сходимости, чем эйлеровская, может быть сложно вывести производную в моделях, включающих несколько измерений, поскольку это требует дополнительных вычислительных вычислений. Кроме того, спикер сравнивает абсолютную ошибку в слабом и сильном смысле между двумя схемами, подчеркивая, что сильная ошибка Монте-Карло линейна по дельте t, а слабая ошибка Эйлера имеет тот же порядок. Наконец, они предоставляют кодовую реализацию симуляции Монте-Карло для генерации траекторий в геометрическом броуновском движении и анализа его сильной сходимости.
  
  
• 01:40:00 В этом разделе спикер обсуждает влияние различных методов дискретизации на сходимость на примере Блэка-Шоулза или геометрического броуновского движения. Анализ схем Эйлера и Мильштейна служит иллюстрацией влияния различных методов дискретизации. Докладчик сравнивает ошибки между схемами Мильштейна и Эйлера, показывая, что ошибка схемы Мильштейна намного меньше, чем у Эйлера, хотя она не всегда может быть применима. Преимущество различных схем можно не увидеть, взглянув на окончательные результаты, но время также важно при рассмотрении вычислительных затрат на моделирование. Следовательно, использование больших временных шагов было бы необходимо, если мы хотим выполнить быстрое моделирование Монте-Карло.

[MetaQuotes]

Вычислительные финансы: лекция 10/14 (Моделирование методом Монте-Карло модели Хестона)

Вычислительные финансы: лекция 10/14 (Моделирование методом Монте-Карло модели Хестона)

Лекция посвящена использованию моделирования Монте-Карло для оценки деривативов, особенно европейских опционов, с использованием сложной модели Хестона. Он начинается с разминки, когда европейские и цифровые опционы оцениваются с использованием Монте-Карло и простой модели Блэка-Шоулза. Обсуждается моделирование процесса Кокса-Ингерсолла-Росса (CIR), который моделирует дисперсию в модели Хестона, подчеркивая необходимость точной выборки из этого распределения. Лектор демонстрирует точное моделирование модели CIR, подчеркивая ее преимущества в создании точных выборок.

Далее лектор знакомит с концепцией почти точного моделирования, которое позволяет использовать более крупные временные шаги и более высокую точность по сравнению с дискретизацией Эйлера. Модель Хестона моделируется с использованием обеих схем Эйлера и Мильштейна, и результаты сравниваются. Отмечено, что слабая сходимость важна для выплат европейского типа, тогда как сильная сходимость важна для выплат, зависящих от пути. Корректировка количества шагов или путей необходима в зависимости от типа вознаграждения и желаемого качества результатов с учетом ограничений времени вычислений в реальных приложениях.

Обсуждается вычислительное время, необходимое для вычислений, и представлено сравнение кодов между схемами дискретизации Эйлера и Мильштейна. Лектор дает советы по оптимизации кода для производственных сред, подчеркивая, что сохранение полных путей может не потребоваться для оценки окупаемости, для которой требуется только окончательная стоимость запасов. В лекции также приводится точное решение в виде упрощенной реализации модели Блэка-Шоулза.

Объясняется ценообразование цифровых опционов или опционов «наличными или ничего» с использованием моделирования Монте-Карло, подчеркивая различия в расчете выплат по сравнению с европейскими опционами. Диагностика и результаты представлены для сравнения подходов для обоих типов вариантов. В лекции признаются ограничения симуляций Монте-Карло для опционов с зависимыми от терминала выплатами, где отсутствует сильная сходимость. Подчеркивается общий характер кода, что делает его применимым к другим моделям, таким как модель Хестона.

В лекции рассматриваются условия, необходимые для хорошего поведения модели Хестона, и обсуждается, как методы дискретизации могут повлиять на эти условия. Влияние изменения параметра волатильности на поведение модели демонстрируется с помощью графиков, подчеркивая, что процесс не должен становиться отрицательным. Также подчеркиваются ограничения эйлеровой дискретизации при соблюдении этих условий. Обсуждается вероятность отрицательных реализаций в следующей итерации модели Хестона с моделированием методом Монте-Карло. Вероятность отрицательной реализации рассчитывается на основе взаимосвязи между определенными параметрами, и подчеркивается важность согласования путей Монте-Карло с моделью, чтобы избежать значительных различий в ценах. Обсуждаются два подхода к обработке отрицательных значений при моделировании модели Хестона: усечение и отражающая схема Эйлера. Сравниваются плюсы и минусы каждого подхода, и упоминается влияние меньших временных шагов на снижение систематической ошибки, хотя и при более высоких вычислительных затратах.

В лекции рассматривается использование точного моделирования для процесса CIR в модели Хестона, что позволяет осуществлять выборку непосредственно из нецентрального распределения хи-квадрат. Этот подход позволяет избежать необходимости в небольших временных шагах и позволяет производить выборку в определенные интересующие моменты времени. Описывается вычислительный код для моделирования, подчеркивая его простоту и оптимальность для генерации образцов. Лекция посвящена интеграции процесса модели Хестона как для значений X, так и для значений дисперсии, подчеркивая упрощение, достигнутое за счет замены. Подчеркивается важность правильного упорядочения процессов в многомерном моделировании, а также рекомендуется использовать большие временные шаги для упрощения интеграции. В лекции рассматривается важность моделирования с большим временным шагом для ценообразования на определенные даты с целью сокращения времени вычислений при сохранении качества. Рекомендуется точное моделирование с использованием выборки из нецентрального распределения хи-квадрат без введения дополнительных приближений. В лекции также обсуждается влияние дельты t на точность моделирования и предлагается исследовать ее влияние на результаты.

Обсуждается концепция ошибки в вычислительных финансах, а в лекции представлен численный эксперимент, в котором анализируется производительность почти точного моделирования модели Хестона. В лекции объясняется, что за счет упрощения интегралов и использования почти точного моделирования процесса CIR моделирование становится детерминированным, а не стохастическим. Лектор проводит численный эксперимент, чтобы оценить эффективность этой упрощенной схемы при моделировании модели Хестона.

В лекции далее исследуется компромисс между вычислительными усилиями и небольшой ошибкой, возникающей в рамках вычислительных финансов. Лектор подчеркивает необходимость калибровки модели под рыночные данные, так как условие Феллера для процессов волатильности на практике часто не выполняется. В лекции отмечается, что коэффициенты корреляции для модели Хестона обычно сильно отрицательны, возможно, из-за соображений численной схемы.

Лектор обсуждает использование моделирования Монте-Карло для ценообразования экзотических деривативов и подчеркивает важность калибровки модели для ликвидных инструментов. Точность ценообразования обеспечивается путем моделирования путей Монте-Карло с использованием параметров, полученных в результате калибровки модели, и с учетом инструментов хеджирования, связанных с деривативом. Лектор подчеркивает превосходство почти точного моделирования над эйлеровой дискретизацией даже при меньшем количестве временных шагов и объясняет, что основной источник эйлеровой ошибки заключается в проблематичной дискретизации дисперсионного процесса при экстремальных параметрах или нарушениях условия Феллера.

Точность эйлеровой дискретизации в модели Хестона исследуется посредством экспериментов с различными вариантами, включая опционы «глубоко в деньгах», «вне денег» и «при деньгах». В лекции представлен код, использованный в эксперименте, с акцентом на эйлерову дискретизацию и почти точное моделирование, которое включает выборку CIR и моделирование процесса заготовки бревен с использованием параметра нецентральности.

Лектор обсуждает настройки и конфигурации моделирования для оценки европейских опционов с использованием как эйлеровой дискретизации, так и почти точного моделирования. Точное моделирование процесса CIR, корреляция броуновских движений и экспоненциальное преобразование являются неотъемлемыми частями моделирования. Демонстрируется ценообразование опционов с использованием общей функции, демонстрирующее влияние таких переменных, как цена исполнения и временной шаг, на точность моделирования. Лекция завершается подчеркиванием того, что почти точное моделирование обеспечивает высокую точность с меньшим количеством временных шагов по сравнению со схемой Эйлера.

В лекции подробно рассматривается использование симуляции Монте-Карло для ценообразования деривативов в модели Хестона. В нем исследуется моделирование процесса CIR, обсуждаются проблемы и ловушки, а также сравниваются различные схемы дискретизации. В лекции подчеркиваются преимущества почти точного моделирования, подчеркивается важность калибровки и точности модели, а также приводятся практические идеи и примеры кода для реализации моделирования методом Монте-Карло в вычислительных финансах.

• 00:00:00 В этом разделе лекции о вычислительных финансах основное внимание уделяется использованию моделирования Монте-Карло для оценки деривативов, таких как европейские опционы, с использованием модели Хестона, которая является сложной моделью в отрасли. Лекция начинается с разминки, во время которой оценивание европейских и цифровых опционов проводится с использованием метода Монте-Карло и простой модели Блэка-Шоулза. Обсуждается моделирование процесса CIR, поскольку это динамика дисперсии модели Хестона, которая является важным компонентом моделирования. Выделены подводные камни в моделировании и продемонстрировано точное моделирование модели CIR, что полезно для точной выборки из распределения. Введено почти точное моделирование, которое допускает большие временные шаги, чем у Эйлера, и более высокую точность, и это используется для моделирования модели Хестона с использованием дискретизации Эйлера, а результаты сравниваются с дискретизацией Мильштейна.
  
  
• 00:05:00 В этом разделе лектор обсуждает моделирование методом Монте-Карло модели Хестона для выплат по европейским колл-опционам и цифровым колл-опционам. Они начинают с начального запаса в пять, сигмы в тридцать процентов, процентной ставки в шесть процентов и срока погашения в один. Они сравнивают результаты разного количества путей, используя схемы Эйлера и Мильштейна, и обнаруживают, что для выплат европейского типа важен слабый порядок сходимости, а для частично зависимых выплат важна сильная сходимость. Они предупреждают, что в зависимости от типа вознаграждения необходимо корректировать количество шагов или путей для получения более качественных результатов, учитывая требуемое вычислительное время, особенно в производственной среде, где время имеет существенное значение.
  
  
• 00:10:00 В этом разделе лекции о моделировании методом Монте-Карло модели Хестона докладчик обсуждает время вычислений, необходимое для оценок, и приводит сравнение кодов между схемами дискретизации Эйлера и Мильштейна. Код включает в себя генерацию путей и оценку выплат с файлами для европейских колл-опционов и опционов пут. Докладчик отмечает, что код можно сделать более эффективным для производственных сред и что хранение полных путей не требуется для оценки окупаемости, для которой требуется только последняя стоимость запаса. Точное решение предоставляется как простая реализация модели Блэка-Шоулза.
  
  
• 00:15:00 В этом разделе спикер объясняет, как рассчитать стоимость цифрового опциона или наличными или ничего, используя тот же подход, что и европейский опцион. Единственная разница заключается в расчете выплаты, когда они смотрят только на стоимость акций в момент погашения, а для варианта вывода они рассчитывают вероятность того, что акции будут больше, чем K. Они проводят различные диагностики и выходные данные, которые показывают сходства и ошибки. между подходами как для европейских, так и для цифровых вариантов. Спикер также говорит о недостатках использования симуляций Монте-Карло для опционов, выигрыш которых зависит только от конечной оплаты, так как сильной сходимости нет. Наконец, выступающий отмечает, что код является общим, а это означает, что тот же подход можно использовать для других моделей, таких как модель Хестона.
  
  
• 00:20:00 В этом разделе спикер обсуждает условия, которые должны быть выполнены в модели Хестона, чтобы пути вели себя хорошо, и то, как методы дискретизации могут быть не в состоянии поддерживать эти условия. Докладчик поясняет, что если волатильность значительно меньше по сравнению со скоростью возврата к среднему, умноженной на долгосрочное среднее, то траектории процесса ведут себя хорошо. Однако если это условие не выполняется, то пути процесса могут достигать нуля и возвращаться обратно, что делает его особым процессом. Затем спикер демонстрирует влияние изменений параметра волатильности с помощью графиков и объясняет, почему этот процесс не может стать отрицательным. В заключение докладчик упомянул, что если применить эйлерову дискретизацию, модель может оказаться не в состоянии поддерживать эти условия, и пути могут вести себя по-разному.
  
  
• 00:25:00 В этом разделе лекции профессор обсуждает вероятность негативных реализаций в следующей итерации при использовании модели Хестона с моделированием Монте-Карло. Вероятность отрицательных реализаций рассчитывается путем предположения, что предыдущая метка времени имела положительный VI, и путем нахождения вероятности того, что VI+1 будет отрицательным. Вероятность реализации этого сценария зависит от соотношения между TAPA, V BAR и GAMMA. Если гамма очень велика, а каппа, умноженная на V bar, очень мала, вероятность отрицательной реализации возрастает и может привести к комплексным числам, что приведет к сбою моделирования. Профессор подчеркивает важность отказа от переопределения модели и обеспечения того, чтобы пути Монте-Карло согласовывались с моделью, чтобы избежать существенных различий в ценообразовании деривативов.
  
  
• 00:30:00 В этом разделе лектор обсуждает два возможных подхода к решению проблемы отрицательных значений в моделировании модели Хестона. Первый подход — это усечение, когда отрицательные значения принудительно равны нулю, но это вносит смещение, которое может значительно отличаться от реальной модели. Второй подход — это отражающая схема Эйлера, в которой отрицательные значения зеркально отражены в их абсолютных значениях, но это также переопределяет процесс и может привести к систематической ошибке. Лектор сравнивает две схемы и отмечает, что погрешность можно уменьшить за счет меньших временных шагов, но это требует больших вычислительных затрат.
  
  
• 00:35:00 В этом разделе лектор обсуждает два подхода, использованных для моделирования методом Монте-Карло модели Хестона: принцип усечения и отражения. Оба подхода дают смещения, которые можно сравнивать только друг с другом, а не с точным решением. Однако без точного решения для сравнения смещений можно использовать эталон с чрезвычайно большим количеством временных шагов. Лектор также отмечает важность фиксации случайного начального числа для обоих подходов, чтобы обеспечить одинаковую случайность для обоих путей. Наконец, лектор предупреждает о небольшой опечатке в коде, касающейся сброса маунтов, и советует студентам установить фиксированное значение дельты t и сравнить его с эталоном с большим количеством временных шагов.
  
  
• 00:40:00 В этом разделе лекции спикер обсуждает моделирование процесса CIR с использованием точного моделирования вместо того, чтобы полагаться на схемы Эйлера или среднего состояния. Зная, что процесс CIR следует нецентральному распределению хи-квадрат, можно брать образцы непосредственно из этого распределения, используя быстрые библиотеки, доступные в популярных языках программирования, таких как Python, MATLAB или C++. Преимущество выборки непосредственно из нецентрального распределения хи-квадрат состоит в том, что нет необходимости рассматривать небольшие временные шаги, поскольку можно производить выборку непосредственно из интересующего нас момента времени. Кроме того, презентация включает обсуждение процесса моделирования распределения, включая влияние индексов и степеней свободы на параметры.
  
  
• 00:45:00 В этом разделе спикер рассказывает о симуляции Монте-Карло модели Хестона. Чтобы выполнить точную выборочную симуляцию CIR, пользователи должны определить параметр, вычислить определенные параметры в определенных точках и получить v, взяв вектор всех путей. Вычислительный код, используемый для моделирования, прост, поскольку он включает в себя создание выборки, оценку функции и выполнение предыдущего временного шага. Кроме того, нет никаких условных проверок или требований для работы моделирования, а выборка из точного распределения означает, что моделирование не зависит от задействованных временных шагов, что делает его оптимальным методом для создания выборок.
  
  
• 00:50:00 В этом разделе лекции основное внимание уделяется точному моделированию модели Хестона с использованием нецентрального распределения рекордов для улучшения сходимости. Модель Хестона имеет процесс дисперсии, который также финансирует процесс CIR, и точная выборка из процесса CIR важна для облегчения этого улучшения сходимости. Первым шагом является выполнение логарифмического преобразования для сходимости симуляции Монте-Карло. Затем стохастические дифференциальные уравнения выражаются в терминах независимых броуновских эмоций с использованием разложения Холецкого для получения точной выборки из нецентрального распределения высоких квадратов. Это важный шаг для привязки его к процессу CIR и точного моделирования модели Хестона.
  
  
• 00:55:00 В этом разделе лекции спикер объясняет важность упорядочения процессов при моделировании многомерных задач и демонстрирует, как интегрировать процесс модели Хестона как для значений X, так и для значений дисперсии. Корреляция между X и дисперсией такая же, что позволяет подставить выражение из процесса дисперсии в процесс для X. Эта замена упрощает уравнение и позволяет моделировать весь процесс. Спикер советует использовать большие временные шаги для более легкой интеграции процесса.
  
  
• 01:00:00 В этом разделе основное внимание уделяется выполнению моделирования с большими временными шагами, которое имеет решающее значение для ценообразования опционов на определенные даты. Мы хотим свести к минимуму время, необходимое для моделирования, уменьшив количество моделируемых путей между точками наблюдения, сохраняя при этом качество. Рекомендуется точное моделирование с использованием выборки из метода центральных высоких квадратов кредита без дополнительных приближений. Моделирование модели Хестона основано на значении выборок в момент времени t, аппроксимированном значением в начале этого интервала. Аппроксимация вводит новый термин, дельта t, который необходимо исследовать, чтобы определить приемлемый уровень влияния на точность моделирования.
  
  
• 01:05:00 В этом разделе обсуждается концепция ошибки в вычислительных финансах с надеждой, что вычислительные усилия компенсируют небольшую ошибку, внесенную в структуру. Интегралы упрощены, так что выражение для x_i+1, почти точное моделирование модели Хестона, может быть получено при точном моделировании процесса CIR. Путем замораживания значений vt в момент времени t_i процесс дисперсии предопределяется, и моделирование больше не является стохастическим. С помощью этой упрощенной схемы проводится численный эксперимент для анализа производительности почти точного моделирования модели Хестона.
  
  
• 01:10:00 В этом разделе лектор обсуждает концепцию почти точного моделирования и преимущества моделирования с большим временным шагом. Они объясняют, что выполнение больших временных шагов сокращает время, необходимое для вычислений, но вносит ошибку. Лекция также включает в себя эксперимент, анализирующий ошибку, возникающую при изменении размера временного шага, цен исполнения и других параметров модели Хестона. Лектор также упоминает, что условие Феллера, предельное условие для процессов волатильности, почти всегда не выполняется на практике, и подчеркивает важность калибровки модели по рыночным данным. Наконец, в лекции отмечается, что коэффициенты корреляции для модели Хестона на практике обычно сильно отрицательны, что может быть связано с численной схемой.
  
  
• 01:15:00 В этом разделе лектор обсуждает использование моделирования Монте-Карло для оценки экзотических деривативов и важность калибровки модели для наиболее ликвидных инструментов, поскольку маловероятно, что модель будет откалибрована для экзотических инструментов, которые не т торгуется в больших количествах. Параметры, полученные в результате калибровки модели, можно использовать для моделирования траекторий Монте-Карло и определения цены экзотического производного инструмента, чтобы гарантировать точность ценообразования и учет инструментов хеджирования, используемых для производного инструмента, во время калибровки. Лектор также объясняет, чем почти точное моделирование лучше, чем дискретизация Эйлера, даже с меньшим количеством временных шагов, и что ошибка Эйлера в основном вызвана проблематичной дискретизацией процесса дисперсии для экстремальных параметров или когда условие Феллера не выполняется.
  
  
• 01:20:00 В этом разделе точность эйлеровой дискретизации модели Хестона исследуется с помощью опционов «глубоко в деньгах», «вне денег» и «при деньгах» с результаты показывают улучшение точности при переходе от опционов «вне денег» к опционам «глубоко в деньгах». Также обсуждается код, использованный для эксперимента, с акцентом на эйлерову дискретизацию и почти точное моделирование, которое включает выборку cir и моделирование процесса запаса для процесса запаса бревен с использованием параметра нецентральности.
  
  
• 01:25:00 В этом разделе лектор обсуждает настройки и конфигурации моделирования для оценки европейских опционов с использованием как Эйлера, так и почти точного моделирования. Моделирование включает точное моделирование процесса CIR с корреляцией броуновских движений с последующим экспоненциальным преобразованием. Затем лектор демонстрирует ценообразование опционов, используя общую функцию, указывая вектор дельты t для временных шагов дискретизации и выполняя точное моделирование метода COS. Анализ показывает, что почти точное моделирование отличается высокой точностью и требует меньшего количества шагов по времени по сравнению со схемой Эйлера. Кроме того, изменение переменных, таких как цена исполнения и временной шаг, может значительно повлиять на точность моделирования.
  
  
• 01:30:00 В этом разделе спикер сравнивает производительность дискретизации Эйлера и почти точное моделирование методом Монте-Карло модели Хестона. При увеличении количества путей разница между двумя подходами становится более заметной. Результаты показывают, что почти точное моделирование превосходит дискретизацию Эйлера и действительно является почти точным. Аппроксимация интеграла не является ключом к получению высококачественных результатов, и эксперимент показывает, что если бы у нас был Эйлер, нам потребовалось бы много временных шагов между ними, в то время как для почти точного моделирования потребовалось бы всего несколько шагов между ними для достижения высокого качества. точность без слишком большого количества временных шагов в моделировании, что делает его очень полезным при моделировании модели Хестона с помощью Монте-Карло.

[MetaQuotes]

Вычислительные финансы: лекция 11/14 (Хеджирование и греки Монте-Карло)

Вычислительные финансы: лекция 11/14 (Хеджирование и греки Монте-Карло)

В лекции подчеркивается, что концепция хеджирования не менее важна, чем ценообразование деривативов в финансах. Лектор углубляется в различные расчеты чувствительности, чтобы определить влияние цены дериватива на конкретные параметры и как провести эксперимент по хеджированию. Охвачено несколько ключевых тем, в том числе принципы хеджирования в модели Блэка-Шоулза, моделирование прибылей и убытков, динамическое хеджирование и влияние скачков. Лектор подчеркивает, что концепция хеджирования определяет стоимость дериватива, а цена хеджирования определяет его общую стоимость.

Чтобы обеспечить всестороннее понимание, лектор начинает с объяснения концепции хеджирования в финансовой отрасли. Финансовые учреждения получают доход, применяя дополнительный спред к стоимости экзотического производного инструмента. Чтобы снизить риск, создается портфель, который воспроизводит производный инструмент. Этот портфель состоит из стоимости дериватива со знаком плюс и минус дельта, что соответствует чувствительности портфеля к акции. Выбор подходящей дельты имеет решающее значение, поскольку он определяет количество акций, которые необходимо купить или продать, чтобы соответствовать используемой модели. Лектор демонстрирует эксперимент, в котором дельта постоянно корректируется на протяжении всего срока действия контракта, в результате чего средняя потеря прибыли равна нулю.

В лекции рассматривается концепция дельта-хеджирования и проводится различие между динамическим и статическим хеджированием. Дельта-хеджирование используется для хеджирования факторов риска в портфеле, при этом стоимость дублирующего портфеля определяет дельту хеджирования. Динамическое хеджирование предполагает частые корректировки дельты, в то время как статическое хеджирование влечет за собой покупку или продажу деривативов только в начале или через определенные промежутки времени в течение деривативного контракта. В видео также обсуждается чувствительность хеджирования к количеству стохастических дифференциальных уравнений в модели ценообразования и то, как частота хеджирования влияет на потенциальные прибыли и убытки.

Вводя концепцию счета прибылей и убытков (P&L), лекция объясняет его роль в отслеживании прибылей или убытков при продаже деривативов и их хеджировании. На счет прибылей и убытков влияет первоначальная выручка, полученная от продажи опциона, и значение дельты h, которое со временем растет в зависимости от процентных ставок по сбережениям или займам. Цель состоит в том, чтобы получить отчет о прибылях и убытках, который уравновешивается в момент погашения дериватива, указывая справедливую стоимость, взимаемую в соответствии с моделью Блэка-Шоулза. Однако, если модель выбрана неправильно, дополнительный спред, добавленный к справедливой стоимости, может не покрыть всех затрат на хеджирование, что приведет к убытку. Таким образом, важно использовать реалистичную и надежную модель ценообразования альтернативных деривативов.

Лекция посвящена повторяющемуся процессу хеджирования и расчета прибыли и убытков (P&L) в конце периода погашения. Этот процесс включает в себя вычисление дельты опциона в моменты времени t0 и t1, а затем определение разницы между ними для определения количества акций, которые нужно купить или продать. Лектор подчеркивает важность понимания того, что продается и собирается, поскольку продажа опциона по существу включает в себя продажу волатильности и сбор премий. В конце процесса стоимость проданного опциона определяется на основе стоимости акций при погашении, а прибыль и убытки оцениваются с использованием начальной премии, стоимости при погашении и количества акций, купленных или проданных на протяжении итеративного процесса. .

Лектор смещает акцент на хеджирование в вычислительных финансах как средство снижения изменчивости и чувствительности в отношении стоимости акций. В лекции разъясняется, как хеджирование помогает свести к минимуму убытки, и вводится концепция распределения фортепиано в моделировании пути Монте-Карло, подчеркивая, что ожидание прибыли и убытков должно в среднем равняться нулю. Прибыль, полученная от продажи экзотического производного инструмента и его хеджирования, возникает из-за дополнительного спреда, взимаемого с клиента, поскольку ожидаемые прибыли и убытки равны нулю.

Чтобы преодолеть проблемы, связанные с неизвестной плотностью в продвинутых моделях, таких как модель преобразования Фурье, для расчета чувствительности используются альтернативные методы. Одним из таких подходов является исчисление Маллявена, которое обеспечивает математическую основу для вычисления производных случайных величин по параметрам в стохастических процессах.

Исчисление Маллявена вводит понятие производной Маллявена, которое расширяет понятие классических производных до случайных величин, управляемых случайными процессами. Эта производная позволяет рассчитать чувствительность для сложных моделей, где традиционные методы могут быть неприменимы. Используя производную Маллявена, специалисты-практики могут получить чувствительность по отношению к различным параметрам модели преобразования Фурье. Этот подход обеспечивает более точное ценообразование и управление рисками, поскольку он фиксирует сложные зависимости и динамику, присутствующие в модели. Однако важно отметить, что использование исчисления Маллявена требует передовых математических методов и глубокого понимания стохастического анализа. Это специализированная область, которую обычно изучают эксперты в области количественных и математических финансов.

Таким образом, при работе с моделями, включающими неизвестные плотности, такими как модель преобразования Фурье, исчисление Маллявена предоставляет мощный инструмент для расчета чувствительности. Такой подход позволяет проводить оценку рисков и точную оценку деривативов в сложных финансовых сценариях.

• 00:00:00 В этом разделе концепция хеджирования представлена как столь же важная, как и ценообразование деривативов. Лекция посвящена различным расчетам чувствительности для определения влияния цены дериватива на конкретный параметр и тому, как проводить эксперимент по хеджированию. Лекция охватывает такие темы, как принципы хеджирования в модели Блэка-Шоулза, моделирование прибылей и убытков, динамическое хеджирование и влияние скачков. В лекции подчеркивается, что концепция хеджирования определяет стоимость дериватива и что цена хеджирования определяет стоимость дериватива.
  
  
• 00:05:00 В этом разделе лектор объясняет концепцию хеджирования в финансах. Финансовые учреждения зарабатывают деньги на дополнительном спреде, добавленном к стоимости экзотического дериватива. Для хеджирования риска строится портфель, воспроизводящий дериватив, состоящий из стоимости дериватива со знаком плюс и минус дельта, что соответствует чувствительности портфеля к акции. Выбор правильной дельты важен, поскольку она определяет, сколько акций нужно купить или продать, чтобы иметь позицию, основанную на используемой модели. Лектор показывает эксперимент, в котором дельта постоянно корректируется в течение срока действия контракта, в результате чего убыток в среднем равен нулю.
  
  
• 00:10:00 В этом разделе лекции рассматривается концепция дельта-хеджирования и два типа хеджирования: динамическое и статическое. Дельта-хеджирование используется для хеджирования факторов риска в портфеле. Стоимость дублирующего портфеля определяет дельту хеджирования. Динамическое хеджирование предполагает частую корректировку дельты, в то время как статическое хеджирование покупает или продает деривативы только в начале или несколько раз в течение деривативного контракта. В видео также обсуждается чувствительность хеджирования к количеству стохастических дифференциальных уравнений в модели ценообразования и то, как частота хеджирования влияет на потенциальные прибыли и убытки.
  
  
• 00:15:00 В этом разделе лекции о вычислительных финансах вводится понятие счета прибылей и убытков (P&L), которое используется для отслеживания суммы денег, полученной или потерянной при продаже деривативов и их хеджировании. Счет прибылей и убытков зависит от первоначальной суммы денег, полученной от продажи опциона, и значения дельты h, которое со временем растет в зависимости от процентных ставок по сбережениям или займам. Цель состоит в том, чтобы иметь нулевой счет прибылей и убытков по истечении срока действия дериватива, что указывает на то, что справедливая стоимость была начислена на основе модели Блэка-Шоулза. Если модель выбрана неправильно, дополнительный спред, добавленный к справедливой стоимости, может не покрыть всех затрат на хеджирование, что приведет к убытку. Важно иметь реалистичную и хорошую модель ценообразования альтернативных деривативов.
  
  
• 00:20:00 В этом разделе лекции обсуждается итеративный процесс хеджирования и определения прибыли и убытков (P&L) в конце срока погашения. Процесс включает в себя вычисление дельты опциона в моменты времени t0 и t1 и нахождение разницы между ними, чтобы определить, сколько акций нужно купить или продать. В этом разделе также подчеркивается важность учета того, что продается и собирается, поскольку продавец опциона, по сути, продает волатильность и собирает премии. В конце процесса стоимость проданного опциона определяется на основе стоимости акций на момент погашения, а прибыль и убытки оцениваются на основе первоначальной премии, стоимости на момент погашения и количества акций, купленных или проданных на протяжении всего периода. итерационный процесс.
  
  
• 00:25:00 В этом разделе лектор фокусируется на идее хеджирования в вычислительных финансах как способе снижения изменчивости и чувствительности стоимости акций. В лекции объясняется, как хеджирование помогает сократить убытки, и объясняется концепция распределения фортепиано в моделировании путей Монте-Карло, указывая на то, что математическое ожидание apl должно быть равно нулю. Далее в лекции объясняется, что прибыль, полученная от продажи экзотического производного инструмента и его хеджирования, происходит от дополнительного спреда, взимаемого с клиента, поскольку ожидаемый pl равен нулю. Лекция завершается демонстрацией того, что математическое ожидание pl при погашении равно нулю.
  
  
• 00:30:00 В этом разделе спикер обсуждает процедуру хеджирования и взятие математического ожидания, чтобы определить, равно ли оно нулю при заданной фильтрации t0. Оратор продолжает объяснять, что ожидание акции, дисконтированной до сегодняшнего дня, всегда равно первоначальной акции, а выражение ожидаемой будущей выплаты, дисконтированной до сегодняшнего дня, равно стоимости дериватива. Кроме того, выступающий показывает, что общую прибыль и убыток для дериватива можно рассчитать, используя счета pl, выполняя надлежащее хеджирование, рекурсивно оценивая окупаемость и учитывая ожидания, которые могут быть отрицательными или положительными.
  
  
• 00:35:00 В этом разделе спикер обсуждает влияние частоты хеджирования на вероятностное распределение прибыли и убытков (P/L) при хеджировании. Дисперсия распределения P/L зависит от частоты хеджирования. Предположение модели Блэка-Шоулза состоит в том, что хеджирование происходит непрерывно, в каждый момент времени, чего практически невозможно добиться на практике. В результате в эксперименте исследуется влияние частоты хеджирования на неопределенность прибылей и убытков. Итеративный процесс расчета прибылей и убытков приводит к распределению прибылей и убытков, показанному на графике, при этом результаты показывают, что увеличение частоты хеджирования приводит к меньшей неопределенности в отношении прибылей и убытков. Обладая этими знаниями, спикер переходит к изучению того, как Дельта — фактор чувствительности опционов — меняется со временем в моделировании Монте-Карло.
  
  
• 00:40:00 В этом разделе профессор обсуждает поведение дельты, когда базовая акция удаляется от цены исполнения, и как на это влияет волатильность и время. Согласно модели Блэка-Шоулза, когда акция выходит из денег, вероятность того, что она окажется в деньгах, меньше. Этот эффект становится более значительным с течением времени, и дельта стремится к нулю быстрее, когда акции падают и приближаются к сроку погашения. Профессор также упоминает о влиянии скачков на хеджирование дельты и о том, что реальность сильно отличается от модели Блэка-Шоулза. Лекция включает в себя эксперимент и реализацию дельта-хеджирования с векторами для нескольких путей.
  
  
• 00:45:00 В этом разделе лекции спикер обсуждает код для хеджирования и греков Монте-Карло. Код учитывает три аргумента: t, k и s0. Значение s0 изменяется с течением времени, что делает его стохастическим, поэтому код должен включать векторы. Программа перебирает все временные шаги и вычисляет дельту и PNL, которые растут со скоростью r dt. На последнем шаге вычитается выплата, которая зависит от того, находится ли опцион в деньгах или вне денег, и продается хедж. Гистограмма PNL показывает различные распределения в зависимости от частоты хеджирования.
  
  
• 00:50:00 В этом разделе лектор обсуждает влияние увеличения частоты на распределение прибыли и убытков в эксперименте по хеджированию. Результаты показывают, что по мере увеличения частоты хеджирования распределение становится более узким и менее рискованным. Кроме того, в лекции исследуются эффекты изменения динамики модели путем добавления процесса скачкообразной диффузии. Результаты показывают, что скачки на рынке напрямую влияют на дельту и цены опционов и могут происходить в разных направлениях. Лектор подчеркивает, что этот эксперимент подчеркивает важность учета различных рыночных сценариев при хеджировании.
  
  
• 00:55:00 В этом разделе процесс скачка Пуассона рассматривается в диффузионной модели, а моделирование включает поправки на дрейф. Эксперимент изменяет только динамику акций, но чувствительность для дельты по-прежнему основана на модели Блэка-Шоулза, обеспечивая согласованность между значениями, сгенерированными моделью, и параметрами хеджирования. Однако на рисунках показано больше проигрышных путей, чем выигрышных, что может быть связано с распределением скачков и влиянием логарифмических скачков на распределение прибылей и убытков. Увеличение количества временных шагов с 200 до 5000 показывает, что распределение становится немного уже, но эффект убыточных сделок остается проблематичным.
  
  
• 01:00:00 В этом разделе лектор обсуждает недостатки использования скачкообразных моделей в финансах, в частности в хеджировании. Недостатком является то, что эффект скачка создает отрицательный PNL, что затрудняет поиск хеджирования для снижения риска, поэтому модели, подобные модели Хестона, предпочтительны. Один из способов уменьшить эффект скачка — застраховаться другим опционом с другим страйком. Недостатком является то, что для этого может потребоваться покупка семи различных деривативов с разным составом, что делает его дорогим с точки зрения ценообразования и хеджирования. Лектор также обсуждает Vega, то есть чувствительность стоимости дериватива к волатильности — ключевой греческий термин в хеджировании. Наконец, лектор объясняет, почему дельта-хеджирование хорошо работает в моделях Блэка-Шоулза и как его можно улучшить.
  
  
• 01:05:00 В этом разделе спикер обсуждает концепции дельта- и вега-хеджирования на практике. При практическом хеджировании коэффициент волатильности акций будет другим, а это означает, что потребуется выполнять дельта-хеджирование, а также вега-хеджирование. Хеджирование Vega осуществляется для хеджирования неопределенности, связанной с изменениями волатильности. Таким образом, портфель контрактов на деривативы необходимо хеджировать для веги путем покупки или продажи опционов, соответствующих чувствительности дериватива к волатильности. Трейдеры должны убедиться, что их портфель не превышает предела дельты и веги, и объединение различных сделок вместе для создания портфеля сделок было бы полезно при рассмотрении дельты, веги и других греков, таких как гамма, для хеджирования на уровне портфеля. .
  
  
• 01:10:00 В этом разделе лекции обсуждается концепция хеджирования и использование деривативов для снижения риска в портфеле. Приведенный пример включает портфель акций и деривативов с дельтой 50 и вега 200. Цель состоит в том, чтобы снизить риск с помощью колл-опционов и покупки или продажи акций. В лекции объясняется, что лучше всего начать с хеджирования веги, потому что это также повлияет на дельту. При продаже 20 колл-опционов вега портфеля уменьшается до нуля, а дельта уменьшается до 36. Чтобы хеджировать оставшуюся дельту, продается 36 акций, в результате чего получается портфель с нулевыми вега и дельта.
  
  
• 01:15:00 В этом разделе лекции основное внимание уделяется хеджированию с помощью гаммы, которая является производной от дельты. Высокая гамма означает, что дельта будет сильно меняться, поэтому портфель необходимо чаще перебалансировать, чтобы поддерживать низкую дельту. Акции не могут использоваться для добавления гаммы для хеджирования, вместо этого должны использоваться опционы или другие производные инструменты, чувствительные к значениям второго порядка, таким как гамма или вега. Чувствительности в моделях Блэка-Шоулза представлены в закрытой форме, однако для моделей, для которых недоступны решения в закрытой форме, требуется моделирование методом Монте-Карло. Два подхода к получению приблизительной чувствительности - это конечная разность, которая составляет порядок O (дельта-дельта-тета), и центральная разность, которая представляет собой порядок квадрата дельта-тета.
  
  
• 01:20:00 В этом разделе спикер обсуждает расчет чувствительности стоимости по отношению к определенным параметрам с использованием конечных разностей, уделяя особое внимание результатам экспериментов с дельта- и вега-хеджами. Докладчик показывает, что центральная разность является более точной, чем прямая разность, особенно для небольших размеров толчков при расчете чувствительности. Кроме того, они вводят понятие попутной чувствительности, которая представляет собой чувствительность значения производной к параметру, и обсуждают основной элемент этого подхода, обмен операторами дифференцирования и ожидания. Докладчик подчеркивает, что, хотя этот подход особенно точен для выплат в европейском стиле, когда у нас есть некоторые знания о стохастическом процессе, используемом для ценообразования, существуют альтернативы, которые могут улучшить сходимость и обеспечить лучшие результаты по сравнению с вычислениями конечных разностей.
  
  
• 01:25:00 В этом разделе лекции основное внимание уделяется чувствительности оценки методом Монте-Карло по отношению к изменениям параметров. Если производная производной по параметру известна, она может улучшить результаты за счет включения знания о выигрыше. В лекции приводится пример европейского колл-опциона, в котором модель Блэка-Шоулза используется в качестве драйвера акции. Модель имеет два параметра, сигма и s0, которые можно рассчитать относительно дельта и вега. С помощью функции индикатора мы можем рассчитать производную по акции. Получив производную от выигрыша и производную от акций по двум параметрам, мы можем вычислить математическое ожидание.
  
  
• 01:30:00 В этом разделе видео обсуждается полезность чувствительности пути в вычислительных финансах. Путем моделирования путей можно рассчитать ожидание и чувствительность к st0 и c, ведущих к пути дельта и вега. Анализируя результаты численного эксперимента, показано, что увеличение количества путей не приводит к улучшению качества результатов сверх определенной точки. Видео также включает эксперимент с кодом Python, в котором количество путей изменяется, а ожидание пути дельта и вега рассчитывается на основе одного и того же начального числа. Основные выводы из этого раздела заключаются в том, что чувствительность путей может быть полезной, не требует повторных запусков, как методы конечных разностей, и проста в использовании, поскольку они основаны на предварительно сгенерированных путях.
  
  
• 01:35:00 В этом разделе лектор обсуждает, как рассчитать чувствительность, используя более сложную модель, модель Хестона, и как она сравнивается с моделью Блэка-Шоулза. Модель Хестона имеет стохастическое решение, которое требует нескольких параметров для управления процессом волатильности, что делает расчет чувствительности с использованием концепции Веги более сложным по сравнению с моделью Блэка-Шоулза. Тем не менее, метод расчета чувствительности остается прежним, используя чувствительность пути для получения хороших результатов без дополнительных усилий или вычислений. Лектор также рекомендует сравнивать расчеты конечных разностей и аналитической чувствительности для обеспечения точности. Наконец, вводится метод отношения правдоподобия как метод расчета чувствительности путем замены интегрирования на расчет производной.
  
  
• 01:40:00 В этом разделе профессор обсуждает метод отношения правдоподобия для вычисления греков. Метод включает в себя отношение плотностей и подстановку их производных в выражение отношения правдоподобия. Таким образом можно рассчитать значение производной, равное частной производной логарифма плотности актива. Это называется отношением правдоподобия, потому что это отношение плотностей. Профессор подчеркивает, что этот метод, хотя и полезен, может быть не таким практичным, как путевой метод, поскольку он требует вычисления функции выигрыша. Тем не менее, это все же полезно иметь в виду, так как это может быть более эффективным для моделей, в которых логарифм плотности задается в закрытой форме.
  
  
• 01:45:00 В этом разделе спикер объясняет трудности расчета чувствительности к параметрам для модели преобразования Фурье из-за неизвестной плотности. Это значительно усложняет получение даже для дельты по сравнению с путевым подходом. Метод отношения правдоподобия не будет работать хорошо, потому что нам нужно знать что-то о плотности при работе с более сложными процессами.

[MetaQuotes]

Вычислительные финансы: лекция 12/14 (варианты прямого старта и модель Бейтса)

Вычислительные финансы: лекция 12/14 (варианты прямого старта и модель Бейтса)

Лекция посвящена тонкостям опционов с форвардным стартом, которые представляют собой тип европейского опциона с отложенной датой начала, часто называемого опционами на производительность. Эти опционы более сложны, чем стандартные европейские опционы, и в лекции представлен обзор определения их выигрыша и преимуществ по сравнению с европейскими опционами.

Методы ценообразования для опционов с опережением более сложны, и лекция посвящена использованию характеристических функций. В нем исследуются два типа вариантов форвардного старта: один с использованием модели Блэка-Шоулза и более сложное ценообразование в соответствии с моделью Хестона. Также рассматриваются реализация на Python и цена продукта, зависящая от волатильности. В лекции подчеркивается важность европейских опционов как строительных блоков, их калибровка и взаимосвязь с экзотическими опционами. В нем затрагивается модель Бейтса, которая расширяет модель Хестона за счет включения скачков Мертона, и подчеркивается использование параметров хеджирования для обеспечения точной калибровки моделей. Видео объясняет, как неизвестная начальная стоимость акций в опционах на форвардный старт определяется в будущем (t1), и знакомит с концепцией фильтрации по отношению к этим опционам. В лекции также рассматривается, как варианты форвардного запуска могут служить строительными блоками для других деривативов, и представлена стратегия снижения затрат на деривативы. Кроме того, профессор рассказывает о построении опции клика, желаемой производной структуре и ее отношении к европейским вызовам и вариантам запуска вперед. В лекции подчеркивается важность определения дат платежа при расчете коэффициентов дисконтирования для ценообразования. Он также демонстрирует, как отношение двух акций может быть переформулировано как показатель степени логарифма отношения.

Обсуждаются различные методы ценообразования для вариантов форвардного старта, в том числе моделирование Монте-Карло и аналитические решения, такие как модель Блэка-Шоулза. Объясняется необходимость нахождения форвардной характеристической функции, позволяющей оценить варианты форвардного старта для любой модели в конкретном классе процессов. В лекции демонстрируется ценообразование форвардного стартового опциона с использованием характеристической функции и математического ожидания логарифма IU двух акций. Исследуется условие большего сигма-поля при определении характеристической функции, позволяющее вывести показатель степени с минус-логарифмом за пределы ожидаемого. Также используются дисконтированные характеристические функции от T2 до T1.

В лекции рассматривается функция форвардной валюты, которая представляет будущие ожидания и выражается как ожидание нейтральной к риску меры. Это объясняет, что детерминированные процентные ставки не приводят к разнице между функциями дисконтированной и недисконтированной валюты. Однако стохастические процентные ставки вносят сложность. Описан процесс получения характеристической функции прямого пуска, включающий дополнительное математическое ожидание, а также важность предоставления аналитических решений внешнего математического ожидания для практического использования. Затем функция прямой стартовой характеристики применяется к моделям Блэка-Шоулза и Хестона.

Далее лекция посвящена функции валюты форвардного старта для модели Блэка-Шоулза. В нем отмечается, что ценообразование должно зависеть только от производительности с течением времени, а не от начальной стоимости акций, что упрощает решение по сравнению с функцией дисконтированной валюты. Наличие части дисперсии в нескольких измерениях требует решения внутреннего ожидания. Показано точное представление модели Блэка-Шоулза, подтверждающее, что распределение отношения двух акций не зависит от начальной стоимости акций. Распределение упрощается до геометрического броуновского движения, охватывающего приращение от p1 до t2.

Объясняется ценообразование форвардных стартовых опционов по модели Блэка-Шоулза, подчеркивая использование геометрического броуновского движения для отношения двух акций в разное время. Ценовое решение для колл-опционов и пут-опционов для форвардных стартовых опционов очень похоже на европейское колл- и пут-опционы, с небольшими отличиями в корректировке исполнения и времени дисконтирования. В лекции подчеркивается важность использования подразумеваемой волатильности Блэка-Шоулза при расчете цен, даже при использовании других моделей, поскольку это соответствует рыночным стандартам. Это также подчеркивает рекомендацию лектора учитывать два параметра для вариантов прямого старта и напоминает зрителям, что в рамках этой модели цены Блэка-Шоулза известны аналитически.

Двигаясь дальше, спикер углубляется в модель хлопот, которая увеличивает сложность характеристической функции для вариантов прямого старта за счет введения второго стохастического процесса, представляющего дисперсию. Однако выступающий объясняет, что это второе измерение не является необходимым для ценообразования опционов, поскольку основное внимание уделяется исключительно предельному распределению для процесса запасов. После упрощения и замены характеристической функции получается выражение для форвардной валютной функции. Докладчик предлагает вернуться к слайдам модели Hassle для более подробной информации о функциях, задействованных в выражении.

Лекция продолжается обсуждением производящей функции момента для процесса Кокса-Ингерсолла-Росса (CIR) и представляет выражение в закрытой форме для прямой характеристической функции в модели Хестона. Лектор отмечает, что наличие производящей функции момента в замкнутом виде позволяет ускорить расчет. Путем подстановки функции генерации момента в форвардную валютную функцию получается выражение в закрытой форме для форвардной характеристической функции. Наконец, выступающий представляет численный эксперимент по форвардным стартовым ценам с использованием модели Хестона и производных выражений.

Затем спикер переключает внимание на варианты прямого запуска и модель Бейтса. Они объясняют, как процесс дисперсии представлен dvt, и обсуждают параметры волатильности и дисперсии. Спикер проводит два эксперимента, чтобы проследить влияние подразумеваемой волатильности на параметры и влияние временной дистанции в вариантах форвардного старта. Эксперименты показывают, что хотя форма подразумеваемой волатильности остается неизменной, уровни различаются. По мере увеличения временного расстояния волатильность сходится к квадратному корню из долгосрочной дисперсии. Докладчик объясняет логику опционов с более коротким сроком погашения, имеющих более концентрированную плотность вокруг t1 и t2. Дополнительные эксперименты с использованием кода проводятся для сравнения подразумеваемой волатильности.

Продолжая, лектор обращается к реализации форвардной характеристической функции и стоимостным методам ценообразования вариантов форвардного старта. Прямая характеристическая функция определяется с использованием лямбда-выражений и различных параметров, включая модель Хестона и функцию создания момента для процесса CIR. Метод затрат для ценообразования опционов с форвардным стартом аналогичен методу ценообразования европейских опционов, но включает поправки на обработку двух разных периодов времени. Лектор делится уловкой, позволяющей получить хорошее начальное предположение для алгоритма Ньютона-Рафсона при расчете форвардной подразумеваемой волатильности, который включает определение сетки волатильности и интерполяцию рыночной цены.

Лекция продолжается объяснением процесса расчета форвардной подразумеваемой волатильности с использованием метода Ньютона-Рафсона. Обсуждается разница между ценой опциона из модели и рыночной ценой, и лектор демонстрирует, как применить функцию оптимизации SciPy для расчета метода Ньютона-Рафсона и получения оптимальной волатильности, также известной как подразумеваемая волатильность. Раздел подтверждает, что долгосрочное среднее значение и начальная дисперсия одинаковы, а уровень подразумеваемой волатильности и входной форвардной волатильности совпадают. Также вводится модель Бейтса, расширение модели Хестона, которое включает дополнительные скачки, обусловленные независимой случайной величиной j, которая следует распределению Пуассона.

В лекции подчеркивается разница между моделью Хестона и моделью Бейтса. В то время как модель Хестона подходит для калибровки на улыбку и перекос для опционов на акции с более длительным сроком погашения, она борется с опционами с более коротким сроком погашения, например, со сроком действия в течение недели или двух. Модель Бейтса решает эту проблему, вводя независимые скачки, что позволяет лучше калибровать краткосрочные варианты. Хотя модель Бейтса включает множество параметров, ее несложно расширить моделью Хестона. Логарифмическое преобразование необходимо для получения характеристической функции для модели Бейтса, и отмечается, что модель все еще может быть хорошо откалибрована даже при добавлении скачков.

Затем докладчик обсуждает модификацию модели Бейтса, уделяя особое внимание стохастической интенсивности. Докладчик высказывает мнение, что делать стохастическую интенсивность не нужно, так как это внесет ненужную сложность без исследования текущих параметров. Вместо этого интенсивность в модели остается линейной по переменным состояния и определяется как постоянный дрейф. Докладчик анализирует структуру диффузии аффинных скачков и включает в книгу детали выводов. Единственное различие между характеристической функцией для моделей Хестона и Бейтса заключается в термине «а» модели Бейтса. Кроме того, два поправочных члена содержат всю информацию о скачках. Представлены численные результаты, обеспечивающие анализ влияния интенсивности, изменчивости скачков и mu j, который представляет собой распределение j.

Обсуждается расширение модели Хестона до модели Бейтса. Модель Бейтса используется для калибровки модели по всей рыночной информации, что дает преимущество по сравнению с другими моделями. Код для этой модели прост и обеспечивает дополнительную гибкость, особенно для опционов с коротким сроком погашения, когда калибровка всей рыночной информации имеет решающее значение. В лекции также рассматривается ценообразование более интересных деривативов, таких как своп дисперсии, с использованием знаний, полученных при ценообразовании опционов форвардного старта или опционов производительности.

Докладчик представляет тип дериватива, называемый свопом на отклонение, который позволяет инвесторам делать ставки на будущую волатильность актива. Выплата дисперсионного свопа определяется как сумма квадратов логарифмических показателей доходности акций за заданную сетку дат, деленная на предыдущую доходность акций. Лектор отмечает, что необычная формулировка этого выигрыша становится более понятной, если связать его со стохастическим дифференциальным уравнением. При оценке этого производного инструмента стоимость свопа в начале будет равна нулю, если страйк равен постоянному математическому ожиданию. Более того, спикер поясняет, что большинство свопов торгуются по номиналу, а это означает, что стоимость контракта равна нулю, когда два контрагента договариваются о покупке или продаже.

Затем в лекции обсуждается зависящая от времени структура модели Бейтса и то, как она связывает интеграл по зависящей от времени волатильности с поведением производной во времени. Выплата определяется как квадрат логарифмической производительности, что эквивалентно интегралу волатильности. Докладчик объясняет, как найти третье значение контракта, используя математическое ожидание квадрата сигмы v и стохастические дифференциальные уравнения. Кроме того, вводится масштабный коэффициент 252 рабочих дня как существенный фактор в финансах.

Наконец, спикер рассказывает о справедливой стоимости свопа на отклонение, который представляет собой производный контракт, позволяющий инвесторам делать ставки на будущую волатильность актива. Справедливая стоимость свопа может быть выражена как масштабный коэффициент, соответствующий периодам от нуля до срока погашения контракта, плюс элемент, соответствующий процентным ставкам, за вычетом ожидаемого значения q log st, деленного на st0. Оценить это ожидание можно с помощью моделирования Монте-Карло или аналитического распределения запасов. Интересно отметить, что даже несмотря на то, что результаты всех небольших интервалов складываются, это эквивалентно отношению или логарифму стоимости акции в конце, деленной на первоначальную стоимость.

Лекция охватывает широкий круг тем, связанных с вариантами прямого старта, вариантами производительности, моделью Хестона, моделью Бейтса и свопами дисперсии. Он дает представление о методах ценообразования, реализации в Python и значении этих концепций в производных финансовых инструментах.

• 00:00:00 В этом разделе лекция посвящена вариантам прямого старта, которые немного сложнее, чем европейские варианты. Это тип европейского опциона, который начинается не сразу, а в будущем, и называется опционом на исполнение. В лекции рассказывается о введении опционов форвардного старта, включая определение их окупаемости и преимуществ по сравнению со стандартными европейскими опционами. Методы ценообразования для опций форвардного старта более сложны, и лекция охватывает характерные функции. В лекции также рассматриваются два типа опционов форвардного старта: один с использованием моделей Блэка-Шоулза и более сложное ценообразование опционов форвардного старта по модели Хестона. Лекция заканчивается реализацией на Python и ценообразованием продукта, зависящим от волатильности. Обсуждается важность европейских вариантов как строительных блоков, их калибровка и связь с экзотическими вариантами. В лекции также упоминается модель Бейтса, аналогичная модели Хестона, но с дополнительными скачками Мертона, а также использование параметров хеджирования для обеспечения хорошей калибровки моделей.
  
  
• 00:05:00 В этом разделе видео обсуждаются опционы с форвардным запуском, которые считаются европейскими типами опционов, но с датой начала в будущем. Начальная стоимость акций в форвардных опционах неизвестна и будет определена в момент времени t1, в отличие от европейских опционов, где начальная стоимость акций известна в момент времени t0. Концепция фильтрации также обсуждается в отношении опционов на форвардный старт и того, как они зависят не от сегодняшней стоимости базовой акции, а скорее от результатов за определенный период времени. В видео также объясняется, как можно использовать варианты форвардного запуска в качестве строительных блоков для других деривативов, и предлагается один пример стратегии по снижению стоимости дериватива.
  
  
• 00:10:00 В этом разделе лекции профессор объясняет конструкцию элемента для опциона клика, который является производным, который нравится инвесторам из-за желаемой структуры. Он также определяет выигрыш опциона клика и показывает взаимосвязь между европейскими коллами и опционами форвардного старта. Далее профессор объясняет важность определения дат платежа при расчете коэффициента дисконтирования для ценообразования. Кроме того, он показывает, как отношение двух акций можно переформулировать как показатель степени логарифма отношения.
  
  
• 00:15:00 В этом разделе спикер обсуждает различные способы прогнозирования вариантов старта, включая моделирование по методу Монте-Карло и аналитические решения, такие как модель Блэка-Шоулза. Докладчик объясняет необходимость поиска прямой характеристической функции, которая позволяет оценить варианты мощности пуска для любой модели в тонком классе процессов. Затем они демонстрируют ценообразование форвардного стартового опциона, используя характеристическую функцию и ожидание логарифма IU двух акций. Докладчик также объясняет, как происходит обусловливание в большем сигма-поле при определении характеристической функции, что позволяет вывести экспоненту с минус-логарифмом за пределы ожидаемого. Наконец, говорящий использует дисконтированные характеристические функции от T2 до T1 при их выводе.
  
  
• 00:20:00 В этом разделе спикер обсуждает функцию форвардной валюты, которая относится к будущим ожиданиям и может быть представлена как ожидание по нейтральной к риску мере. Они объясняют, что при работе с детерминированными процентными ставками нет разницы между дисконтированной и недисконтированной функцией валюты. Однако все становится сложнее, когда вводятся стохастические процентные ставки. Докладчик отмечает, что процесс получения характеристической функции прямого старта включает в себя расчет дополнительного ожидаемого значения, что имеет решающее значение для ценообразования опционов. Они также отмечают, что важно, чтобы процессы, используемые в ценообразовании, допускали аналитические решения для внешних ожиданий, чтобы сделать процесс возможным для практического использования. Затем докладчик продолжает обсуждение того, как можно применить характеристическую функцию прямого пуска к моделям Шоулза и Хестона Блэка.
  
  
• 00:25:00 В этом разделе основное внимание уделяется функции начальной валюты для модели Блэка-Шоулза. Ценообразование должно зависеть только от производительности с течением времени, а не от начальной стоимости акций, что означает, что решение намного проще, чем исходная функция дисконтированной валюты. В случае нескольких измерений часть дисперсии все еще существует, поэтому необходимо решить некоторые внутренние ожидания. В этом разделе показано точное представление модели Блэка-Шоулза, подтверждающее, что распределение отношения двух акций не зависит от начальной стоимости акций. Поскольку распределение напоминает логарифмически нормальное, его можно упростить до геометрического броуновского движения с приращением от p1 до t2.
  
  
• 00:30:00 В этом разделе спикер обсуждает ценообразование вариантов старта вперед по модели Блэка-Шоулза. Он объясняет, что, поскольку они имеют дело с геометрическим броуновским движением, соотношение двух акций в разное время также является геометрическим броуновским движением. Ценовое решение для опционов колл и пут для форвардных стартовых опционов напоминает решение, используемое для европейских колл и пут, но с небольшими отличиями в корректировке страйка и времени, используемом для дисконтирования. Спикер подчеркивает важность использования подразумеваемой волатильности Блэка-Шоулза при расчете цен, даже при использовании других моделей, поскольку это рыночный стандарт. Он рекомендует помнить об этих двух параметрах для вариантов старта вперед и напоминает зрителям, что в рамках этой модели цены Блэка-Шоулза известны аналитически.
  
  
• 00:35:00 В этом разделе спикер обсудил модель хлопот и то, как она увеличивает сложность характеристической функции для варианта прямого старта за счет введения второго стохастического процесса, представляющего дисперсию. Докладчик объяснил, что это второе измерение не требуется при ценообразовании опционов, поскольку основное внимание уделяется только предельному распределению для процесса запасов. После упрощения и замены символьной функции было получено выражение для форвардной валютной функции. Докладчик порекомендовал вернуться к слайдам модели Hassle для более подробной информации о функциях, задействованных в выражении.
  
  
• 00:40:00 В этом разделе докладчик обсуждает производящую функцию момента для процесса CIR и выражение в закрытой форме для прямой характеристической функции в модели Хестона. Докладчик отмечает, что производящая функция момента задана в закрытом виде, что выгодно, так как позволяет ускорить расчет. Подставляя функцию генерации момента в функцию форвардной валюты, говорящий получает выражение в закрытой форме для характеристической функции форварда. Наконец, выступающий представляет численный эксперимент по форвардным стартовым ценам с использованием модели Хестона и производных выражений.
  
  
• 00:45:00 В этом разделе спикер обсуждает варианты прямого старта и модель Бейтса. Они объясняют, как процесс дисперсии задается как dvt и как параметры используются для волатильности и дисперсии. Спикер проводит два эксперимента, чтобы наблюдать влияние подразумеваемой волатильности на параметры и влияние временной дистанции в вариантах форвардного старта. Первый эксперимент включает фиксированный интервал времени, а второй имеет фиксированную начальную точку, которая увеличивает длину интервала. Эксперименты показывают одинаковую форму подразумеваемой волатильности, но с разными уровнями, и по мере увеличения расстояния волатильность сходится к квадратному корню из долгосрочной дисперсии. Объясняется логика более короткого срока погашения, имеющего более концентрированную плотность вокруг t1 и t2, и докладчик проводит дополнительные эксперименты, используя код для сравнения подразумеваемой волатильности.
  
  
• 00:50:00 В этом разделе лектор обсуждает реализацию форвардной характеристической функции и стоимостные методы для ценообразования вариантов форвардного старта. Прямая характеристическая функция определяется с использованием лямбда-выражений и различных параметров, таких как модели Hastel и функция генерации момента для процесса CIR. Метод затрат для ценообразования опционов с форвардным стартом аналогичен методу затрат для ценообразования европейских опционов с добавленной поправкой на обработку двух разных моментов времени. Лектор также предлагает прием для получения хорошего начального предположения для алгоритма Ньютона-Рафсона для расчета форвардной подразумеваемой волатильности, который включает в себя определение сетки волатильностей и интерполяцию рыночной цены.
  
  
• 00:55:00 В этом разделе лектор обсуждает процесс расчета форвардной подразумеваемой волатильности по методу Ньютона-Рафсона. Лекция показывает разницу между ценой опциона из модели и рыночной ценой и использует оптимизацию SciPy для расчета Ньютона-Рафсона, примененного для получения оптимальной волатильности, которая будет подразумеваемой волатильностью. Раздел также подтверждает, что долгосрочное среднее значение и начальная дисперсия одинаковы, а уровень подразумеваемой волатильности и входной форвардной волатильности одинаковый. Кроме того, в этом разделе обсуждается модель Бейтса, расширение модели Хестона, и подчеркивается дополнительный эффект скачка, обусловленный независимой случайной величиной j, которая задается распределением Пуассона.
  
  
• 01:00:00 В этом разделе обсуждается разница между моделью Хестона и моделью Бейтса. В то время как модель Хестона подходит для калибровки, чтобы улыбаться и наклоняться для опционов на акции с более длительным сроком погашения, она с трудом справляется с опционами с более коротким сроком погашения, например, со сроком погашения через неделю или две. Модель Бейтса решает эту проблему, добавляя в процесс независимые переходы, что позволяет лучше калибровать краткосрочные варианты. Хотя модель имеет много параметров, ее нетрудно расширить из модели Хестона. Логарифмическое преобразование необходимо для получения характеристической функции для модели Бейтса, и отмечается, что модель по-прежнему способна хорошо калиброваться даже с добавлением скачков.
  
  
• 01:05:00 В этом разделе спикер обсуждает модификацию модели Бейтса, в частности стохастическую интенсивность. Докладчик не считает необходимым делать интенсивность стохастической, так как это внесет ненужную сложность без исследования текущих параметров. Интенсивность в модели линейна по переменным состояния и определяется как постоянный дрейф. Проанализирована структура диффузии аффинных скачков, и детали ее выводов включены в книгу. Единственная разница между характеристической функцией для моделей Хестона и Бейтса заключается в члене «а» модели Бейтса, в то время как два поправочных члена включают всю информацию о скачках. Представлены численные результаты с анализом влияния интенсивности, изменчивости скачков и mu j, который представляет собой распределение j.
  
  
• 01:10:00 В этом разделе лектор обсуждает расширение модели Хестона до модели Бейтса, которая используется для калибровки модели на всю рыночную информацию, обеспечивая преимущество по сравнению с другими моделями. Код для этой модели прост и обеспечивает дополнительную гибкость, особенно в случае опционов с коротким сроком погашения, где крайне важна калибровка всей рыночной информации. В лекции также рассматривается ценообразование гораздо более интересных деривативов, таких как своп дисперсии, с использованием знаний, полученных при ценообразовании опционов форвардного старта или опционов производительности.
  
  
• 01:15:00 В этом разделе лектор обсуждает тип дериватива, называемый дисперсионным свопом, который определяется как сумма квадратов логарифмов динамики акций за заданную сетку дат, деленная на предыдущую динамику акций. Лектор отмечает, что необычная формулировка этого выигрыша становится более понятной, если связать его со стохастическим дифференциальным уравнением. При оценке этого дериватива стоимость свопа в начале будет равна нулю, если страйк равен ожиданию, которое является константой. Кроме того, лектор объясняет, что большинство свопов торгуются по номинальной стоимости, а это означает, что стоимость контракта равна нулю, когда две контрагенты договариваются о покупке или продаже.
  
  
• 01:20:00 В этом разделе видео спикер обсуждает зависящую от времени основу для модели Бейтса и то, как она связывает интеграл по зависящей от времени волатильности с производительностью производной во времени. Выплата определяется как логарифм производительности в квадрате, что эквивалентно интегралу волатильности. Спикер также объясняет, как найти третье значение контракта, используя математическое ожидание квадрата сигмы v и стохастические дифференциальные уравнения. Кроме того, вводится масштабный коэффициент 252 рабочих дня как существенный фактор в финансах.
  
  
• 01:25:00 В этом разделе спикер обсуждает справедливую стоимость свопа на отклонение, который представляет собой производный контракт, позволяющий инвесторам делать ставки на будущую волатильность актива. Справедливая стоимость свопа может быть выражена как масштабный коэффициент, соответствующий периодам от нуля до срока погашения контракта, плюс элемент, соответствующий процентным ставкам, за вычетом ожидаемого значения q log st, деленного на st0. Чтобы оценить это ожидание, можно использовать симуляцию Монте-Карло или аналитическое распределение акций, и интересно отметить, что даже если мы суммируем результаты всех малых интервалов, это эквивалентно отношению или логарифму значения запас в конце делится на первоначальную стоимость.

[MetaQuotes]

Вычислительные финансы: Лекция 13/14 (Экзотические деривативы)

Вычислительные финансы: Лекция 13/14 (Экзотические деривативы)

Лекция посвящена ценообразованию экзотических деривативов и распространению моделей ценообразования на случаи, зависящие от траектории. Основная мотивация расширения структуры выплат заключается в том, чтобы предлагать клиентам более низкие цены, сохраняя при этом подверженность колебаниям фондового рынка. Использование цифровых функций и барьеров рассматривается как средство снижения затрат на деривативы при сохранении желаемого воздействия. В лекции рассматриваются различные типы выплат, в том числе бинарные и цифровые опционы, барьерные опционы и азиатские опционы, исследуется их влияние на цены деривативов. Кроме того, в лекции обсуждается ценообразование опционов с несколькими активами и возможные расширения модели для работы с корзинами из сотен акций.

Обсуждается процедура ценообразования финансовых продуктов, начиная со спецификации продукта и факторов риска, необходимых для моделирования и ценообразования с использованием стохастических дифференциальных уравнений, таких как модель Блэка-Шоулза, модели скачков и стохастической волатильности. В зависимости от сложности продукта для точного ценообразования может быть достаточно одномерной или двумерной системы уравнений. Процесс также включает в себя калибровку и хеджирование, когда выбирается оптимальный набор параметров для определения цены продукта и минимизации затрат на хеджирование, что обеспечивает среду без арбитража.

Определены различные типы опционов, с акцентом на европейские опционы, американские опционы и опционы на Бермудских островах. Европейские опционы считаются основными строительными блоками для экзотических деривативов, но они могут быть трудными по времени и сопряжены со значительным риском. Американские опционы предлагают большую гибкость, позволяя исполнять их в любое время, в то время как опционы на Бермудских островах допускают исполнение только в определенные даты.

Вводятся экзотические деривативы и опционы, зависящие от пути, которые зависят от всей истории акции, а не только от предельного распределения в определенный момент времени. Показано, что корректировка платежной функции с использованием двоичных и цифровых величин значительно снижает значения производных. Лекция охватывает различные типы экзотических деривативов, в том числе активы или ничего, деньги или ничего, акции или ничего, составные опционы и опционы выбора. Эти варианты включают ограничение контракта каким-либо образом, например, с максимальными, минимальными или другими ограничениями для контроля затрат. Также обсуждается популярность экзотических деривативов в прошлом, особенно во времена высоких процентных ставок.

Объясняется стратегия получения высокой прибыли с помощью экзотического дериватива. Стратегия включает в себя размещение большей части инвестиций на безопасный счет с гарантированным доходом и ценой потенциальной выплаты по опциону. Хотя эта стратегия в настоящее время не популярна, в прошлом она была эффективной. Лекция также включает примеры кода для оценки контрактов и снижения их стоимости путем установки верхних пределов потенциального роста запасов. В лекции рассказывается о том, как небольшая корректировка в структуре выплат может значительно снизить оценку, сделав деривативы более привлекательными для клиентов. Вводя барьеры и зависимость от пути, затраты могут быть снижены. Обсуждаются различные барьерные опционы, такие как опционы вверх и вниз, вниз и вниз, вверх и внутрь, вниз и внутрь, а также их влияние на ценообразование деривативов на основе исторического поведения акций.

Исследуется концепция ретроспективных опционов, где максимальная или минимальная стоимость акции в течение срока ее действия определяет выплату при погашении. Опционы Lookback включают зависимость от траектории и могут обеспечить положительные выплаты, даже если акции на момент погашения ниже, чем страйк. В лекции объясняется реализация ретроспективных опций с использованием моделирования методом Монте-Карло и дифференциальных уравнений в частных производных (УЧП), при этом особое внимание уделяется специальным граничным условиям для барьерных опций и их распространению на другие экзотические производные.

Подробно обсуждаются барьерные варианты, подчеркивая их привлекательность для клиентов-контрагентов и их использование на кросс-валютном рынке. В лекции объясняются конфигурации и выигрыши барьерных опционов, включая опционы «вне», «вниз» и «вверх». Лектор подчеркивает, что барьерные опционы могут зависеть от времени, что усложняет договор. Моделирование методом Монте-Карло и УЧП представлены как вычислительные методы для ценообразования барьерных опционов.

В лекции опционы вверх-вниз сравниваются со стандартными европейскими опционами, при этом отмечается значительное снижение стоимости опционов вверх-вниз из-за их выплаты, запускаемой барьером. Вводится концепция барьерных опционов вверх-вниз, где выплата происходит только в том случае, если акции не превышают определенного уровня в течение срока их действия. Лекция демонстрирует влияние барьера на цену дериватива с помощью упражнения по программированию, показывая, что цена опциона с барьером вверх и вниз эквивалентна цене цифрового опциона с аналогичной структурой выплаты.

Затем лектор переходит к объяснению реализации барьера вверх-вниз с использованием моделирования Монте-Карло. В отличие от выигрыша цифрового опциона, который зависит только от стоимости акции в момент погашения, барьер вверх-вниз также учитывает историю поведения акции на протяжении всего срока действия дериватива. Определена функция, определяющая, достигнут ли барьер, используя логическую матрицу и логическое условие. Результирующий «вектор попадания» представляет собой двоичный вектор, который указывает, был ли достигнут барьер для каждого пути. Лектор демонстрирует, как изменение значения барьера влияет на вектор попадания, подчеркивая, что выигрыш равен нулю, если барьер пройден, и единице, если он не пройден.

Концепция введения барьера в деривативных контрактах объясняется как способ снизить их стоимость, предоставляя более доступный вариант для клиентов, стремящихся получить доступ к конкретному активу. Наличие барьера оказывает существенное влияние на стоимость дериватива, что может привести к убыткам, если запас не превысит установленный уровень. Однако за счет введения барьеров цены на деривативы могут быть снижены примерно на 30%, что сделает их более привлекательными для инвесторов. Тем не менее прерывистые деривативы с барьерами могут создавать проблемы с точки зрения затрат на хеджирование, которые могут возрасти до бесконечности. Чтобы смягчить эту проблему, лектор предлагает воспроизвести выигрыш, используя альтернативные методы для снижения затрат.

Видео знакомит с концепцией воспроизведения цифровой функции опциона путем стратегической покупки и продажи колл-опционов с разными ценами исполнения. По мере того, как цены исполнения приближаются друг к другу, итоговая выплата становится более похожей на цифровой опцион. Тем не менее, лектор признает трудности с точным воспроизведением прерывистости вариантов из-за изменений дельта- и гамма-чувствительности. Хотя для хеджирования можно использовать приблизительные значения, очень важно взимать премии, чтобы компенсировать потенциальные убытки от хеджирования, вызванные цифровым характером опциона. В видео подчеркивается концепция снижения затрат на деривативы за счет введения цифровых ограничений или изменения структуры выплат.

Затем лекция переходит к обсуждению азиатских опционов как средства снижения волатильности и неопределенности, связанных с базовым активом, и, как следствие, снижения цены деривативов. Азиатские опционы основаны на среднем поведении колеблющейся акции, которое имеет тенденцию быть более плавным, чем сама акция, что снижает связанную с этим неопределенность. Лектор исследует различные варианты азиатских опционов, доступных на рынке, включая фиксированные и плавающие страйк-коллы и путы. Опционы с плавающим страйком, в частности, популярны в торговле сырьевыми товарами из-за их способности уменьшать неопределенность и снижать риски, связанные с определенным уровнем базового актива.

Далее спикер объясняет различные методы расчета среднего значения для акции, подчеркивая его важность в торговле. Вводятся два типа средних, арифметическая и геометрическая, причем средняя геометрическая предпочтительнее для математического анализа из-за ее аналитического выражения. На практике часто используются суммирования, что требует применения методов аппроксимации, таких как моделирование методом Монте-Карло или УЧП. В лекции также рассматривается концепция непрерывного среднего, которая отличается от среднего арифметического своим интегральным представлением, добавляя дополнительное измерение к проблеме ценообразования и усложняя ее решение.

Затем акцент смещается на ценообразование азиатских опционов, что влечет за собой уход от одномерной проблемы и вовлечение многомерных соображений. Азиатские опционы вводят две независимые переменные: цену акции и интеграл от акции. Выплата опциона зависит от наблюдаемого интеграла или пути от нуля до погашения, при этом платеж производится в момент погашения. В лекции признается, что ценообразование экзотических деривативных контрактов с количеством, зависящим от конечной части, может быть сложной задачей, требующей более продвинутых методов. Тем не менее, дельта-хеджирование по-прежнему эффективно для достижения надлежащих коэффициентов хеджирования, несмотря на сложности, связанные с азиатскими опционами. Лектор обсуждает использование моделирования Монте-Карло для оценки азиатских опционов, подчеркивая его гибкость в решении многомерных задач. Моделируя несколько путей изменения цены акции и вычисляя среднюю выплату, моделирование методом Монте-Карло может дать оценку цены опциона. В лекции также упоминаются потенциальные проблемы моделирования методом Монте-Карло, такие как проблемы сходимости и необходимость наличия достаточного количества путей для получения точных результатов.

Затем лектор переходит к обсуждению другого типа экзотического опциона, известного как барьерный опцион со скидкой. Этот вариант имеет структуру, аналогичную ранее рассмотренному варианту с барьером, но с дополнительным возвратом платежа в случае преодоления барьера. Наличие скидки компенсирует держателю опциона, если барьер нарушен, уменьшая потенциальные убытки. В лекции объясняется, что выплата рибейта снижает стоимость опциона, делая его более привлекательным для инвесторов.

Чтобы оценить барьерные опционы со скидками, лектор вводит понятие обратного нокаутного опциона, который является обратным нокаутному опциону. Опция обратного выбивания дает скидку, если барьер не сбит. Ценой опциона с обратным выбыванием и вычитанием платежа со скидкой можно определить цену опциона с барьером со скидкой. В видео представлен пример реализации этой методологии ценообразования с использованием моделирования методом Монте-Карло.

На протяжении всей лекции подчеркивается важность понимания и эффективного ценообразования экзотических деривативных контрактов. Экзотические опционы обеспечивают гибкость и индивидуальные решения для инвесторов, но их ценообразование и управление рисками требуют сложных моделей и методов. В завершение лекции подчеркивается необходимость дальнейших исследований и разработок в этой области, а также важность сотрудничества между академическими кругами и промышленностью для улучшения методологий ценообразования деривативов и удовлетворения меняющихся потребностей участников рынка.

• 00:00:00 В этом разделе основное внимание уделяется ценообразованию экзотических деривативов и распространению моделей ценообразования на случаи, зависящие от пути. Потребность в продлении выплаты возникает, когда клиенты хотят получить более низкие цены на дериватив, но при этом хотят сохранить тот же риск колебаний фондового рынка. Исследуется использование цифровых функций и барьеров, что позволяет снизить стоимость дериватива, сохраняя при этом желаемые функции. Затем в лекции рассматриваются различные типы выплат, такие как бинарные и цифровые опционы, барьерные опционы и азиатские опционы, а также то, как они влияют на цену дериватива. Наконец, обсуждаются варианты с несколькими активами, включая потенциальное расширение моделей для работы с корзинами из сотен акций.
  
  
• 00:05:00 В этом разделе лекции об экзотических деривативах в вычислительных финансах основное внимание уделяется процедуре ценообразования для финансовых продуктов. Он начинается со спецификации продукта и факторов риска, необходимых для моделирования и ценообразования с использованием нескольких стохастических дифференциальных уравнений, таких как модель Блэка-Шоулза, модели скачков и стохастической волатильности. В зависимости от сложности продукта одно- или двухмерная система уравнений может быть достаточной для точного описания или оценки производной. Этот процесс также включает в себя калибровку и хеджирование, когда выбирается оптимальный набор параметров для оценки продукта и его использования для хеджирования. Затраты на хеджирование не должны превышать стоимость дериватива, продаваемого клиенту, чтобы обеспечить мир без арбитража.
  
  
• 00:10:00 В этом разделе спикер обсуждает определения различных опций. Охватываются четыре основные категории опционов, в том числе европейские опционы, допускающие исполнение только в один момент времени, американские опционы, допускающие исполнение в любое время, и бермудские опционы, допускающие исполнение в определенные даты. Далее спикер объясняет, что европейские опционы являются наиболее популярными и являются фундаментальными строительными блоками для всех видов экзотических деривативов. Однако их сложно рассчитать по времени, и они могут быть очень рискованными. Спикер отмечает, что американские опционы могут быть исполнены в любое время, тогда как бермудские опционы допускают исполнение только в определенные даты.
  
  
• 00:15:00 В этом разделе мы узнаем об экзотических деривативах и зависимых от пути опционах, которые представляют собой контракты, зависящие от всей истории акции. Вместо того, чтобы интересоваться только предельным распределением в данный момент времени, эти контракты основаны на прошлой зависимости, и каждый путь будет определять стоимость контракта. Один из способов снизить стоимость дериватива — использовать бинарные и цифровые опционы, которые представляют собой опционы с прерывистой выплатой по истечении срока действия. Используя эти методы для корректировки функции выигрыша, можно значительно снизить значение производной. Эта простая корректировка устраняет вероятность экстремальных результатов, что в конечном итоге приводит к снижению цен на эти контракты.
  
  
• 00:20:00 В этом разделе видео обсуждаются различные виды экзотических деривативов, в том числе активы или ничего, деньги или ничего, акции или ничего и составные опционы. Составные опционы позволяют выбрать стоимость опциона при погашении с другим сроком погашения, в то время как опционы выбора позволяют инвесторам выбирать между опционом пут или колл. В видео подчеркивается, что эти типы опционов включают в себя некоторые ограничения контракта, например, с максимальными, минимальными или другими ограничениями для контроля стоимости. В видео также упоминается популярность экзотических деривативов в прошлом, особенно во времена высоких процентных ставок.
  
  
• 00:25:00 В этом разделе спикер объясняет стратегию получения высокой прибыли с помощью экзотического дериватива, который потерял популярность. Стратегия предполагает размещение 95% инвестиций на безопасном счете с гарантированным общим доходом и ценой потенциальной выплаты по опциону. Хотя в настоящее время эта стратегия не популярна, в прошлом она была очень эффективной. Затем спикер продолжает объяснять код для оценки контрактов и снижения стоимости контракта путем установки верхнего предела потенциального роста запасов. В демонстрации используется общая функция выплаты, которую можно изменять на лету, чтобы продемонстрировать ее влияние на ценообразование.
  
  
• 00:30:00 В этом разделе лектор обсуждает, как небольшая корректировка выплаты может значительно снизить оценку, сделав ее более привлекательной для клиента. Вводя ограничение на более высокий потенциал, значение отдачи может уменьшиться более чем в три раза, несмотря на снижение потенциальной прибыли для клиента. Кроме того, он говорит о том, как можно добиться снижения издержек цены дериватива, сделав его барьерно-зависимым путем введения некоторой зависимости от пути. Контракт по существу выплачивается только в том случае, если запас за все время существования не достиг предела или условия, либо он истекает как ноль. Существуют различные возможности, такие как колл вверх и вниз, колл вниз и вниз, колл вверх и вход, колл вниз и вход или опционы пут, и он объясняет, как полагаться на историю акций с течением времени. t0 до погашения определяет окончательную стоимость выплаты.
  
  
• 00:35:00 В этом разделе основное внимание уделяется экзотическим деривативам, в частности, ретроспективному варианту. Этот вариант включает в себя максимум акций в течение всего срока действия, при этом выплата по истечении срока является максимальной стоимостью, наблюдаемой в прошлом. Эта структура включает в себя зависимость от траектории, что позволяет получать положительную выплату, даже если акции на момент погашения ниже, чем страйк. Точно так же минимальная стоимость акции может быть использована для опциона пут. Опцию ретроспективного анализа относительно легко реализовать в методе Монте-Карло, а для барьерных опций можно использовать дифференциальные уравнения в частных производных со специальными граничными условиями. Введение барьеров и окон для пересечения барьеров также может быть включено в другие экзотические производные, такие как нокауты и нокауты.
  
  
• 00:40:00 В этом разделе спикер обсуждает барьерные варианты и их привлекательность для клиентов-контрагентов. Эти контракты могут быть привлекательными, но они должны опираться на ликвидные базовые активы, чтобы избежать спредов спроса и предложения. Барьерные опционы обычно используются на кросс-валютном рынке и могут рассматриваться как спекулятивные. Докладчик объясняет различные конфигурации и выигрыши опций барьера, включая варианты выхода, входа, опускания и подъема. Они упоминают, что барьер может зависеть от времени, что усложняет договор. Расчет Монте-Карло относительно прост, в то время как УЧП требуют корректировки граничных условий.
  
  
• 00:45:00 В этом разделе лекции обсуждаются экзотические деривативы, такие как опционы вверх и вниз, и чем они отличаются от стандартных европейских опционов. Опционы вверх и вниз имеют выигрыш только в том случае, если срабатывает барьер, а это означает, что их стоимость значительно ниже по сравнению с европейскими опционами. Лекция также знакомит с концепцией опционов с барьером вверх и вниз, когда выигрыш происходит только в том случае, если акции не превышают определенного уровня в течение срока их действия. Влияние барьера на цену дериватива также исследуется с помощью упражнения по программированию, при этом стоимость барьера вверх и вниз эквивалентна цене цифровой оценки отдачи.
  
  
• 00:50:00 В этом разделе лектор обсуждает реализацию барьера вверх-вниз с использованием моделирования Монте-Карло. В отличие от цифрового вознаграждения, которое зависит только от стоимости акций в момент погашения, барьер «вверх-вниз» также учитывает историю поведения акций в течение срока действия дериватива. Функция для определения того, был ли достигнут барьер, определяется с помощью булевой матрицы и логического условия. Результирующий вектор попадания представляет собой нулевой и единичный вектор, который определяет, был ли достигнут барьер для каждого пути. Лектор демонстрирует, как изменение значения барьера влияет на результирующий вектор попадания, и подчеркивает, что выигрыш равен нулю, если барьер пройден, и единице, если он не пройден.
  
  
• 00:55:00 В этом разделе концепция барьерного опциона была исследована как способ снижения стоимости деривативов, предоставляя более дешевую альтернативу для клиентов, имеющих некоторую подверженность определенному активу. Наличие барьера оказывало значительное влияние на стоимость дериватива, приводя к потенциальным убыткам, если запас не превышал определенного уровня. Введение барьера снизило стоимость деривативов примерно на 30%, что сделало их более привлекательными для инвесторов. Однако в случае прерывистых деривативов затраты на хеджирование могут возрасти до бесконечности, что создаст проблемы для клиента. Одним из возможных решений этой проблемы является воспроизвести выплату с помощью немного другого метода для снижения затрат.
  
  
• 01:00:00 В этом разделе видео представляет идею воспроизведения цифровой функции опциона путем продажи и покупки опционов колл с разными страйками. По мере того, как забастовки приближаются друг к другу, выигрыш становится все более цифровым. Тем не менее, есть некоторые трудности в воспроизведении прерывистости вариантов из-за изменений дельта- и гамма-чувствительности. В видео отмечается, что, хотя для хеджирования можно использовать приблизительные значения, важно взимать надбавки, чтобы компенсировать потенциальные потери от хеджирования из-за цифровых технологий. Также обсуждается концепция снижения стоимости деривативов за счет введения цифровых ограничений или изменения структуры отдачи.
  
  
• 01:05:00 В этом разделе лектор объясняет, как снизить волатильность и неопределенность, связанные с базовым активом, что снижает цену дериватива за счет введения азиатских опционов, опционов в среднем. Он объясняет, что средняя кривая колеблющейся акции более плавная, чем сама акция, что снижает связанную с ней неопределенность. Лектор также обсуждает различные возможные варианты азиатских опционов, доступных на рынке, включая коллы и путы с фиксированным и плавающим страйком, при этом опционы с плавающим страйком популярны в торговле сырьевыми товарами из-за их снижения неопределенности и рисков, связанных с конкретным уровнем базового актива. объект.
  
  
• 01:10:00 В этом разделе спикер объясняет различные способы расчета среднего значения для акции, что является важным аспектом, который следует учитывать при торговле. Двумя типами среднего являются среднее арифметическое и среднее геометрическое, причем последнее предпочтительнее для математического анализа из-за его аналитического выражения. Однако на практике чаще всего продукты представляют собой суммирование, для которого требуются методы приближения, такие как Монте-Карло или УЧП. Кроме того, спикер углубляется в концепцию непрерывного среднего и в то, как оно отличается от среднего арифметического из-за его интегрального представления. Интегральное представление добавляет дополнительное измерение к проблеме ценообразования и усложняет ее решение.
  
  
• 01:15:00 В этом разделе лекции основное внимание уделяется ценообразованию азиатских опционов, которое отходит от одномерной проблемы ценообразования и включает многомерную проблему, поскольку в ней участвуют две независимые переменные: цена акции и интеграл запаса. Выплата опциона зависит от интеграла или пути, наблюдаемого от нуля до T, где выплата производится в конце срока. Зависимые величины заключительной части экзотических деривативных контрактов могут быть записаны в форме, но, к сожалению, система уравнений несовершенна, а это означает, что для определения цены и оценки опциона необходимы более продвинутые методы. Однако, несмотря на неопределенность, дельта-хеджирования по-прежнему достаточно для получения надлежащих коэффициентов хеджирования.
  
  
• 01:20:00 В этом разделе обсуждается динамика портфеля, включающего производный азиатский опцион. Портфель включает два измерения для акций и опционного контракта, а это означает, что необходимо использовать PDE с двумя измерениями. Динамика портфеля включает общую функцию акции и производную от производной азиатского опциона. Хеджирование азиатских опционов предполагает выбор дельты, соответствующей производному инструменту. PDE для ценообразования азиатского опциона оказывается более сложным, чем для европейского опциона, из-за дополнительного измерения, о котором необходимо позаботиться. Также показан код для реализации азиатских опционов и расчета эффекта неопределенности пониженной волатильности.
  
  
• 01:25:00 В этом разделе лектор обсуждает дисперсию акций при погашении и то, как она влияет на ценообразование. Более низкая волатильность приводит к более низкой цене, а увеличение волатильности приводит к более высокой цене. В лекции также рассматриваются опционы корзины и то, как они представляют собой совокупность акций, имеющих положительную или отрицательную корреляцию. Опционы на корзину становятся все более популярными и могут помочь снизить инвестиционные риски в портфелях, а корреляция между различными базовыми акциями может еще больше снизить риск и привести к большему количеству потенциальных инвестиций.
  
  
• 01:30:00 В этом разделе лекции об экзотических деривативах профессор обсуждает опционы корзины и их варианты. Эти опционы включают в себя набор акций, которые инвестор хочет включить в свою корзину, с опционами на покупку наиболее прибыльного актива или опционами на обмен, основанными на разнице между двумя базовыми акциями. Цель этих опционов — работать лучше, чем основной индекс, чтобы привлечь инвесторов. Однако оценка этих высокоразмерных производных очень сложна и часто требует численных методов, поскольку они не могут быть решены аналитически. Наличие дивидендов также усложняет динамику акций. Профессор подчеркивает, что многомерные PDE требуют много времени и сложны для решения, особенно для корзин, состоящих из сотен базовых акций.
  
  
• 01:35:00 В этом разделе лектор обсуждает проблемы, возникающие при решении многомерной задачи, связанной с опционами на несколько активов. Эти проблемы возникают по мере увеличения измерений, что приводит к проклятию размерности. Методы Монте-Карло являются популярным подходом к решению таких сложных задач. В случаях, когда необходимо откалибровать корреляции, это можно сделать с использованием исторических данных или с использованием различных производных, таких как экзотические производные. Кроме того, лектор также отмечает, что с помощью PD можно улучшить свой подход с помощью численных методов, таких как адаптивные сетки и распараллеливание. Однако, если размерность слишком велика, ни один из этих методов не может быть использован, и Монте-Карло будет лучшим подходом для решения такого типа задач.

[MetaQuotes]

Вычислительные финансы: лекция 14/14 (краткое содержание курса)

Вычислительные финансы: лекция 14/14 (краткое содержание курса)

Серия статей о вычислительных финансах завершилась подробным изложением важных тем, затронутых в каждой лекции. Курс охватывал широкий круг тем, включая стохастические дифференциальные уравнения, предполагаемую волатильность, скачкообразную диффузию, аффинный класс диффузионных процессов, стохастические модели волатильности и преобразования Фурье для оценки опционов. Он также углубился в числовые методы, такие как моделирование методом Монте-Карло и различные стратегии хеджирования.

В более поздних лекциях акцент был смещен на варианты форвардного старта и экзотические деривативы, где знания, полученные в ходе курса, применялись для структурирования этих сложных финансовых продуктов. Начальные лекции представляли собой введение в курс и обсуждали фундаментальные принципы финансового инжиниринга, различные рынки и классы активов. Вторая лекция посвящена различным типам опционов и стратегиям хеджирования с акцентом на товары, валюты и криптовалюты.

Ценообразование опционов колл и пут и его связь с хеджированием были центральной темой на протяжении всего курса. Лектор подчеркнул, что цена стратегии хеджирования всегда должна быть эквивалентна цене дериватива, чтобы избежать арбитражных возможностей. Были обсуждены математические аспекты моделирования различных классов активов, включая цены на активы и измерение случайности. Стохастические процессы, стохастические дифференциальные уравнения и лемма Ито были отмечены как жизненно важные инструменты для оценки финансовых инструментов. Также были продемонстрированы симуляции Python, демонстрирующие, как стохастические дифференциальные уравнения могут имитировать реальное поведение движения акций для целей ценообразования. Были рассмотрены преимущества и недостатки модели Блэка-Шоулза, подчеркнута необходимость комплексного подхода для обеспечения согласованности в управлении портфелем и стратегиях хеджирования.

Мартингейлы неоднократно подчеркивались как важная концепция в ценообразовании опционов, и другие важные темы, затронутые в курсе, включали модель Блэка-Шоулза, подразумеваемую волатильность, сходимость алгоритма Ньютона-Рафсона и ограничения зависящей от времени волатильности. Было изучено практическое применение кода Python для проверки того, является ли моделируемый процесс мартингейлом, и влияние мер на дрейф. Курс дал глубокое понимание ценообразования простых европейских опционов, продемонстрировав, как можно использовать различные модели и меры для расчета их цен.

Обсуждались ограничения модели Блэка-Шоулза, особенно в отношении включения в модель скачков. Хотя скачки могут улучшить калибровку поверхностей подразумеваемой волатильности и привести к перекосу, они также усложняют и снижают эффективность хеджирования. Стохастические модели волатильности, такие как модель Хестона, были введены для повышения гибкости модели при калибровке и ценообразовании экзотических опционов. Кроме того, в качестве решения была представлена техника быстрого ценообразования. В лекции также были изложены условия, которым должны удовлетворять модели или стохастические дифференциальные уравнения, чтобы их можно было использовать в аффинных моделях в преобразованиях Фурье.

Были обсуждены две важные модели ценообразования акций и акций: аффинный класс диффузионных процессов и модель стохастической волатильности, в частности модель Хестона. Аффинный класс диффузионных процессов позволяет быстро калибровать европейские опционы, в то время как модель Хестона предлагает гибкость в калибровке всей поверхности подразумеваемой волатильности европейских опционов. В лекции были рассмотрены влияние и преимущества корреляции в моделях, оценка PDE и использование преобразований Фурье для оценки, когда модель принадлежит к аффинному классу процессов. Понимание и использование этих моделей были отмечены как ценные навыки в вычислительных финансах.

Ценообразование европейских опционов с акцентом на колл-опционы и пут-опционы было центральной темой другой лекции. Подчеркивались использование характеристической функции и способность решать системы комплекснозначных ОДУ, а также важность численных методов для получения решений. Особое внимание уделялось сочетанию хорошей модели с эффективной калибровкой и оценкой для практического применения и признания в отрасли. Были обсуждены преимущества cos-метода преобразования Фурье для ценообразования, а также его реализация в Vital. Также были рекомендованы эффективная калибровка и использование моделирования методом Монте-Карло для ценообразования.

Выборка методом Монте-Карло при оценке экзотических деривативов подробно рассматривалась в другой лекции. Были решены проблемы, связанные с многочисленными измерениями, сложностью модели и вычислительными затратами при точном ценообразовании. Моделирование методом Монте-Карло было представлено как альтернативный подход к ценообразованию с упором на уменьшение ошибок и повышение точности. В лекции были рассмотрены различные аспекты выборки методом Монте-Карло, включая интегрирование, стохастическое интегрирование и методы калибровки, такие как схемы Эйлера и Мильштейна. Оценка гладкости платежных функций и понимание слабых и сильных конвертеров были отмечены как важные для обеспечения точного ценообразования.

В лекции, посвященной модели Хестона, обсуждались ее гибкость в калибровке, моделирование поверхности подразумеваемой волатильности и эффективное моделирование методом Монте-Карло. Лекция также коснулась почти точного моделирования модели Хестона, что связано с точным моделированием процесса Кокса-Ингерсолла-Росса (CIR) для процесса дисперсии. Хотя методы дискретизации Эйлера и Мильштейна могут столкнуться с проблемами в процессе CIR, существуют эффективные способы выполнения моделирования. В лекции подчеркивалась важность использования реалистичной модели для моделирования, особенно когда речь идет о дельта-хеджировании и учете рыночных скачков.

Концепция хеджирования в финансах была подробно рассмотрена в отдельном видео. Хеджирование включает снижение подверженности риску и потенциальных убытков за счет управления портфелем и активного поддержания контракта после того, как он был продан. В видео подчеркивается важность хеджирования, которое выходит за рамки ценообразования и включает в себя непрерывное управление рисками до момента погашения контракта. Обсуждались дельта-хеджирование и влияние рыночных скачков, при этом подчеркивалась важность использования реалистичной модели для точного моделирования.

Ограничения дельта-хеджирования были рассмотрены в другой лекции, где подчеркивалась необходимость рассмотрения других типов хеджирования, таких как гамма- и вега-хеджирование, для более сложных деривативов. Были рассмотрены расчеты чувствительности и методы повышения их эффективности, включая конечную разность, чувствительность по траектории и коэффициенты правдоподобия. В лекции также были рассмотрены вопросы ценообразования опционов на форвардный старт и проблемы, связанные с ценообразованием опционов с неопределенными начальными запасами. Стоимость опциона была получена с использованием характеристических функций, а лекция завершилась обсуждением подразумеваемой волатильности и ее реализации в Python.

В лекции о дополнительных скачках в финансовых моделях, в частности модели Хестона, рассматривалось их влияние на калибровку параметров и стратегии хеджирования. Обсуждались также свопы дисперсии и продукты волатильности, при этом основное внимание уделялось взаимосвязи между странным представлением, контрактами своп дисперсии и условными ожиданиями с использованием динамики Блэка-Шоулза. Кроме того, лекция была посвящена структурированию продуктов с использованием различных методов, таких как бинарные и цифровые опционы, опционы, зависящие от пути, барьерные опционы и азиатские опционы. Он также коснулся ценообразования контрактов, включающих несколько активов. Эта лекция послужила обобщением знаний, полученных в ходе курса, и заложила основу для работы с более сложными деривативами в будущем.

В заключительной части спикер поздравил зрителей с успешным прохождением всех 14 лекций и приобретением знаний в области вычислительных финансов, финансового инжиниринга и ценообразования деривативов. Зрителям было предложено применить свои новообретенные знания на практике или подумать о дополнительных курсах для расширения своих знаний. Спикер пожелал им успешной карьеры в сфере финансов, выразив уверенность в том, что они хорошо подготовлены к своим будущим начинаниям.

• 00:00:00 В этом разделе спикер резюмирует всю серию о вычислительных финансах, выделяя важные темы, затронутые в каждой лекции. Серия охватывала широкий спектр тем вычислительных финансов, таких как стохастические дифференциальные уравнения, подразумеваемая волатильность, скачкообразная диффузия, аффинный класс диффузионных процессов, стохастические модели волатильности и преобразования Фурье для оценки опционов. Докладчик также обсудил численные методы, такие как моделирование методом Монте-Карло и стратегии хеджирования. На последних лекциях были рассмотрены варианты прямого старта и экзотические производные, где спикер применил знания, полученные в ходе курса, для структурирования этих продуктов. Первые две лекции представляли собой введение в курс и обсуждали принципы финансового инжиниринга, различные рынки и классы активов. Во второй лекции докладчик рассказал о различных типах опционов и стратегиях хеджирования, уделив особое внимание товарам, валютам и криптовалютам.
  
  
• 00:05:00 В этом разделе лекции основное внимание уделяется тому, как выполнять ценообразование опционов колл и пут и как это связано с хеджированием. Главный вывод заключается в том, что цена стратегии хеджирования всегда должна быть эквивалентна цене дериватива, в противном случае существует возможность арбитража. Затем лекция переходит к математике моделирования различных классов активов, описанию цен активов и случайности, а также тому, как эту случайность можно измерить. Подчеркивается важность стохастических процессов, стохастических дифференциальных уравнений и леммы Ито в ценообразовании финансовых инструментов. В лекции также рассказывается о моделировании в Python и о том, как стохастические дифференциальные уравнения используются для имитации реального поведения движения акций и как это можно использовать для ценообразования. Обсуждаются преимущества и недостатки модели Блэка-Шоулза и подчеркивается, что при ценообразовании деривативов необходимо иметь в виду более широкую картину, чтобы обеспечить согласованность портфеля и стратегий хеджирования.
  
  
• 00:10:00 В этом разделе видео лектор выделяет некоторые из ключевых понятий, рассматриваемых в курсе по вычислительным финансам. Одним из наиболее важных инструментов, используемых при оценке опционов, является концепция мартингейла, которая неоднократно подчеркивалась на протяжении всего курса. Другие важные темы, которые были затронуты, включают модель Блэка-Шоулза, подразумеваемую волатильность, сходимость алгоритмов Ньютона-Рафсона и ограничения использования зависящей от времени волатильности. В лекциях также рассказывалось, как кодирование на Python можно использовать для проверки того, является ли смоделированный процесс мартингейлом, и как меры могут повлиять на дрейф. В целом, этот курс дал глубокое понимание ценообразования простых европейских опционов и того, как можно использовать различные модели и меры для расчета их цен.
  
  
• 00:15:00 В этом разделе видео обсуждаются ограничения модели Блэка-Шоулза, особенно в отношении того, как можно включить в модель прыжки. Включение скачков может улучшить калибровку поверхности подразумеваемой волатильности и создать перекос. Однако это также увеличивает сложность модели и снижает эффективность хеджирования. По этим причинам модели стохастической волатильности вводятся как способ повышения гибкости модели для лучшей обработки калибровки и ценообразования экзотических опционов, а в качестве решения обсуждается метод быстрой оценки. Кроме того, описываются условия, которым должны удовлетворять модели или стохастические дифференциальные уравнения, чтобы их можно было использовать в аффинных моделях в рамках преобразования Фурье.
  
  
• 00:20:00 В этом разделе лектор обсуждает две важные модели ценообразования акций и акций. Первая модель представляет собой аффинный класс диффузионных процессов, который позволяет быстро калибровать параметры европейского типа. Вторая модель — это модель стохастической волатильности, в частности модель Хестона, которая является достаточно гибкой, чтобы откалибровать всю поверхность подразумеваемой волатильности опционов европейского типа. В лекции также рассматриваются влияние и преимущества корреляции моделей, оценка PDE и способы ее получения, а также использование преобразований Фурье для оценки, когда модель принадлежит к аффинному классу процессов. В целом, лекция посвящена важности и преимуществам понимания и использования этих двух моделей в вычислительных финансах.
  
  
• 00:25:00 В этом разделе лекции основное внимание уделяется ценообразованию для опционов европейского типа, при этом основной упор делается на коллы и путы. Обсуждается использование характеристической функции и подчеркивается важность решения системы ОДУ комплексных значений, а также необходимость численных методов для получения решений. Подчеркивается, что крайне важно найти баланс между наличием хорошей модели и возможностью ее эффективной калибровки и оценки, поскольку это необходимо для практического применения и принятия в отрасли. Обсуждаются преимущества использования cos-метода преобразования Фурье для ценообразования и демонстрируется реализация в Vital. Эффективная калибровка также имеет решающее значение, поэтому для ценообразования предлагается использовать моделирование методом Монте-Карло.
  
  
• 00:30:00 В этом разделе основное внимание уделяется различным аспектам выборки методом Монте-Карло при оценке экзотических деривативов. Несколько измерений, сложность модели и вычислительные затраты могут сделать точное ценообразование трудоемким. Моделирование Монте-Карло часто используется в качестве альтернативного подхода к ценообразованию, который требует сосредоточения внимания на том, как уменьшить ошибку и повысить точность. Лекция охватывает различные аспекты выборки методом Монте-Карло, включая интеграцию, стохастическую интеграцию и методы калибровки, такие как схемы Эйлера и Мильштейна. Оценка гладкости платежных функций также влияет на конвергенцию, и понимание слабых и сильных преобразователей важно для обеспечения точного ценообразования.
  
  
• 00:35:00 В этом разделе видео обсуждается гибкость модели Хестона при калибровке, поверхность нестабильности имплантата и эффективное моделирование методом Монте-Карло. Лекция также затрагивает почти точное моделирование модели Хестона, которое связано с точным моделированием процесса Кокса-Ингерсолла-Росса (CIR) для процесса дисперсии. Хотя дискретизация Эйлера и Мильштейна может иметь проблемы с процессом CIR, существуют эффективные способы выполнения моделирования CIR. В лекции поднимается важность состояния отказа в отношении процесса CIR, но это не касается представления условной выборки, поскольку известно точное распределение.
  
  
• 00:40:00 В этом разделе видео обсуждается концепция хеджирования в финансах, которая включает снижение подверженности риску и потенциальных убытков за счет поддержания портфеля и заботы о контракте после того, как он был продан. Видео объясняет важность хеджирования, которое имеет место после совершения сделки и должно продолжаться до момента погашения контракта. В видео подчеркивается, что хеджирование важнее, чем просто ценообразование, и каждый день модель должна хорошо работать для целей хеджирования. В видео также обсуждается концепция дельта-хеджирования и влияние скачков на рынке, подчеркивая важность использования реалистичной модели для моделирования.
  
  
• 00:45:00 В этом разделе лектор обсуждает ограничения дельта-хеджирования и важность рассмотрения других видов хеджирования, таких как гамма- и вега-хеджирование для более сложных деривативов. Лекция также охватывает расчет чувствительности и способы повышения их эффективности, например, с помощью конечной разности, чувствительности по траектории и коэффициентов правдоподобия. Кроме того, лекция посвящена ценообразованию форвардных опционов и сложности, связанной с ценообразованием опционов с неопределенными начальными запасами. Для получения стоимости опциона использовалась характеристическая функция, а завершается лекция обсуждением подразумеваемой волатильности и ее реализации в Python.
  
  
• 00:50:00 В этом разделе лекции рассказывается о включении дополнительных скачков в динамику финансовых моделей, в частности модели Хестона, и как это влияет на калибровку параметров и хеджирование. В лекции также рассматриваются свопы дисперсии и произведение волатильности с акцентом на взаимосвязь между странным представлением, контрактом свопа дисперсии и условными ожиданиями с использованием динамики Блэка-Шоулза. Кроме того, в лекции обсуждается структурирование продуктов с использованием различных методов, таких как бинарные и цифровые опционы, опционы, зависящие от пути, барьерные опционы и азиатские опционы, а также ценообразование контрактов, включающих несколько активов. В конечном счете, лекция служит обобщением знаний, полученных в ходе курса, и обеспечивает основу для более продвинутых производных в будущем.
  
  
• 00:55:00 В этом разделе спикер поздравляет зрителей с прохождением всех 14 лекций и получением знаний о вычислительных финансах, финансовой инженерии и ценообразовании деривативов. Спикер предполагает, что это достижение подготавливает зрителей к работе в индустрии или продолжению курсов, чтобы получить больше знаний. Спикер желает зрителям успешной карьеры в сфере финансов.

[MetaQuotes]

Курс финансовой инженерии: Лекция 1/14 (Введение и обзор курса)

Курс финансовой инженерии: Лекция 1/14 (Введение и обзор курса)

Преподаватель начинает с введения в курс финансового инжиниринга, выделяя его цели и основные направления. Курс направлен на изучение процентных ставок и нескольких классов активов, таких как иностранная валюта и инфляция. Конечная цель состоит в том, чтобы учащиеся построили портфель с несколькими активами, состоящий из линейных продуктов, и приобрели навыки выполнения вычислений xva и стоимости с учетом риска. Предварительное знание стохастических дифференциальных уравнений, численного моделирования и численных методов необходимо для полного изучения материала курса.

Изложена структура курса, состоящая из 14 лекций, сопровождаемых домашними заданиями в конце каждого занятия. Языком программирования, используемым на протяжении всего курса, является Python, что обеспечивает практическую реализацию и применение обсуждаемых концепций.

Спикер подчеркивает практический характер курса по вычислительным финансам. В то время как теоретические знания рассматриваются, особое внимание уделяется эффективности реализации и предоставлению примеров кода Python для каждой лекции. Материалы курса самодостаточны, хотя они основаны на книге «Книга математического моделирования и вычислений в финансах». В лекции также представлен обзор дорожной карты курса, что дает студентам четкое представление о темах, которые будут затронуты в каждой из 14 лекций.

Первая лекция посвящена обзору всего курса и подчеркиванию важности рассматриваемых концепций для достижения конечной цели выполнения вычислений xva и var.

Лектор переходит к подробному обзору тем, которые будут затронуты на протяжении всего курса «Финансовая инженерия». К ним относятся различные модели, такие как полностью белые и полностью белые двухфакторные модели, меры, фильтрация и стохастические модели. Ценообразование продуктов с процентной ставкой, включая линейные и нелинейные продукты, такие как свопционы, является ключевым направлением. Лекция охватывает построение кривой доходности, построение нескольких кривых, точки стержня и выбор методов интерполяции с использованием кодов Python. Другие затронутые темы включают отрицательные процентные ставки, опционы, ипотечные кредиты и предоплаты, иностранную валюту, инфляцию, моделирование методом Монте-Карло для нескольких активов, рыночные модели, корректировки выпуклости, расчеты риска и меры корректировки стоимости, такие как cva, bcva и fva.

Управление рисками становится центральной темой по ходу курса, а лекция 13 посвящена измерению рисков с помощью кодирования и анализа исторических данных. Лекция 14 служит кратким изложением всего, чему вы научились на протяжении всего курса.

Вторая лекция посвящена фильтрации и измерениям изменений, включая условные ожидания и моделирование в Python. Студенты будут участвовать в практических упражнениях, чтобы смоделировать условные ожидания и изучить преимущества и упрощение проблем ценообразования с использованием изменений показателей.

В последующих лекциях инструктор представляет обзор модели Hijack Model, моделей равновесия и временной структуры, а также динамики кривой доходности. Лекции охватывают короткие курсы и моделирование моделей с помощью моделирования Монте-Карло в Python. Обсуждается сравнение однофакторной и двухфакторной моделей с изучением многофакторных расширений. Видеоэксперимент проводится для анализа индекса S&P, короткой ставки, подразумеваемой ФРС, и динамики кривой доходности.

Моделирование кривых доходности исследуется для наблюдения за изменением процентных ставок во времени и сравнения их со стохастическими моделями. Рассматриваемые темы включают сходство модели Фулбрайта, точное моделирование, построение и ценообразование продуктов процентной ставки, а также расчет неопределенных денежных потоков в примерах свопов.

Лекция по построению кривой доходности посвящена взаимосвязи между кривыми доходности и процентными свопами, соглашениями о форвардных процентных ставках и ценообразованием деривативов. Объясняются различные формы кривой доходности и их соответствие рыночным ситуациям. Обсуждаются расчеты подразумеваемой волатильности и точки хребта, а также процедуры интерполяции и расширение одиночных кривых доходности до подходов с несколькими кривыми. Особое внимание уделяется практическим аспектам построения кривых доходности с использованием экспериментов Python и их связи с рыночными инструментами.

Лектор исследует темы, связанные с финансовым инжинирингом, в том числе ценообразование свопов по модели Блэка-Шоулза и опционов с использованием полностью белой или любой модели с короткой ставкой. Объясняется трюк Джамшидиана и эксперименты с Питоном. В лекции также рассматриваются такие понятия, как отрицательные процентные ставки, смещенная логарифмически нормальная подразумеваемая волатильность и влияние параметров сдвига на формы подразумеваемой волатильности. Кроме того, лекция посвящена досрочному погашению ипотеки и ее влиянию на позицию и хеджирование с точки зрения банка.

Вводятся пулевые ипотечные кредиты, объясняются связанные с ними денежные потоки и факторы досрочного погашения. В лекции рассказывается о влиянии предоплаты на ипотечные портфели и связывается стимул рефинансирования с наблюдаемыми рынком. Кроме того, обсуждаются риски трубопроводов и управление ими финансовыми учреждениями.

Курс переходит к одновременному моделированию нескольких классов активов, что позволяет моделировать потенциальные будущие риски, которые могут повлиять на портфель. Изучаются корреляции между различными классами активов и подчеркивается важность гибридных моделей для целей управления рисками, даже несмотря на то, что интерес к экзотическим деривативам может снижаться.

Исследуются гибридные модели корректировки ценообразования (XVA) и стоимости, подверженной риску, а также расширения, включающие стохастическую волатильность. В лекции рассматриваются гибридные модели, подходящие для среды XVA, включая динамику акций и стохастические процентные ставки. Стохастические модели волатильности, такие как модель Хестона, обсуждаются во втором блоке, посвященном тому, как включить стохастические процентные ставки, которые коррелируют с биржевым процессом. Лекция также посвящена иностранной валюте и инфляции, обсуждению истории и развития плавающих валют, форвардных валютных контрактов, кросс-валютных свопов и валютных опционов. Также исследуется влияние изменений показателей на динамику процесса, что в конечном итоге направлено на определение цены контрактов, определенных для различных активов в различных классах активов, и расчет подверженности риску и меры риска.

Преподаватель охватывает дополнительные темы, связанные с финансовой инженерией, в том числе элемент квантовой коррекции, присутствующий в стохастической волатильности, и ценообразование опционов FX со стохастическими процентными ставками. Исследуется понятие инфляции, прослеживается ее эволюция от определения, основанного на деньгах, к определениям, основанным на товарах. Обсуждаются рыночные модели, такие как рыночная модель LIBOR и корректировки выпуклости, с предоставлением исторической перспективы развития процентных ставок и мотивации рыночных моделей, таких как рыночная модель LIBOR, в рамках HJM. В лекции также рассматриваются логарифмически нормальные рыночные модели LIBOR, стохастическая волатильность и динамика улыбки и перекоса в рыночной модели LIBOR.

Рассмотрены различные методы, используемые при ценообразовании финансовых продуктов, с акцентом на нейтральное к риску ценообразование и модель Блэка-Шоулза. Лектор предостерегает от неправильного использования рискованных методов, таких как метод замораживания, и подчеркивает важность коррекции выпуклости в рамках ценообразования. Учащиеся узнают, как распознать необходимость коррекции выпуклости и как учитывать изменения процентных ставок или улыбку рынка и искажения в проблемах ценообразования. Раздел завершается описанием моделирования XVA, включая CVA, BCVA, VA и FVA, а также расчетом ожидаемого воздействия, потенциального будущего воздействия и проверки работоспособности с использованием моделирования Python.

Преподаватель повторно рассматривает темы, затронутые в курсе финансового инжиниринга, включая ценообразование деривативов, важность определения цены, практические аспекты торговой атрибуции и меры управления рисками, такие как стоимость, подверженная риску, и ожидаемый дефицит. Основное внимание по-прежнему уделяется практическим приложениям, таким как создание портфеля процентных свопов и использование знаний о построении кривой доходности для оценки VAR и ожидаемого дефицита по результатам моделирования. В лекции также рассматриваются проблемы, связанные с отсутствующими данными, арбитражем и переоценкой в расчетах VAR с использованием моделирования Монте-Карло.

В заключительной лекции лектор обсуждает бэк-тестирование и тестирование движка VAR. Признавая, что курс продлится дольше первых 14 недель, инструктор выражает уверенность в том, что процесс обучения будет всесторонним и приятным. Записанные лекции помогут студентам достичь вершины понимания корректировок оценки (XVA) и расчета стоимости, подверженной риску.

• 00:00:00 В этом разделе видео инструктор представляет курс по финансовому инжинирингу и описывает его основные цели, в том числе сосредоточение внимания на процентных ставках и нескольких классах активов, таких как иностранная валюта и инфляция. Цель курса состоит в том, чтобы студенты построили портфель с несколькими активами, состоящий из линейных продуктов, и выполнили вычисления xva и стоимости с учетом риска. Требуется предварительное знание стохастических дифференциальных уравнений, численного моделирования и численных методов. Учебная нагрузка состоит из 14 лекций с домашними заданиями в конце каждой лекции, а используемый язык программирования — Python.
  
  
• 00:05:00 В этом разделе спикер представляет курс по вычислительным финансам, подчеркивая его акцент на практической реализации и построении портфеля с использованием расчетов стоимости под риском и xva. Курс также охватывает теоретические знания, эффективность реализации и предоставляет код Python для каждой лекции. Спикер поясняет, что материалы курса самодостаточны, хотя он основан на книге «Книга математического моделирования и вычислений в финансах». Обсуждается дорожная карта курса с обзором тем, которые будут затронуты в 14 лекциях. В центре внимания первой лекции находится обзор курса и его значение для достижения конечной цели вычислений xva и var.
  
  
• 00:10:00 В этом разделе лектор дает обзор тем, которые будут затронуты в курсе финансового инжиниринга. Курс будет охватывать различные модели, такие как полностью белые и полностью белые двухфакторные модели, меры, фильтрации и стохастические модели. Они сосредоточатся на ценообразовании продуктов с процентной ставкой, таких как линейные и нелинейные продукты, включая свопционы. Курс подробно расскажет о построении кривой доходности, о том, как построить кривую доходности, построить несколько кривых, точки стержня и как выбрать интерполяцию с использованием кодов Python. Лекция переходит к таким темам, как отрицательные процентные ставки, опционы, ипотека и предоплата, иностранная валюта, инфляция, механизм Монте-Карло для нескольких активов, рыночные модели, корректировка выпуклости, расчеты подверженности риску и меры корректировки стоимости, такие как cva, bcva. , и фва.
  
  
• 00:15:00 В этом разделе курса основное внимание уделяется управлению рисками и тому, как измерять риски и управлять ими с точки зрения риск-менеджера. В лекции 13 будет рассказано об измерении рисков с помощью кодирования и анализа исторических данных, а в лекции 14 будет обобщено все, что было изучено в ходе курса. Вторая лекция будет посвящена концепции фильтрации и измерения изменений, включая условные ожидания и моделирование в Python. Лекция также будет включать в себя практические упражнения о том, как моделировать условные ожидания и как использовать изменения показателей, чтобы получить выгоду и упростить проблемы ценообразования.
  
  
• 00:20:00 В этом разделе инструктор описывает темы, которые будут затронуты в нескольких предстоящих лекциях. Лекция разделена на два блока, первый блок посвящен обсуждению истории и предположений модели Hijack, а также тому, как она соотносится с моделями равновесия и временной структуры. Второй блок исследует динамику кривой доходности и короткие ставки, моделируя модели с помощью моделирования Монте-Карло в Python. Двухфакторные модели сравниваются с однофакторной моделью, выдвигая на первый план возможные расширения для многофакторных. Кроме того, проводится видеоэксперимент, чтобы посмотреть на индекс S&P, короткую ставку, подразумеваемую ФРС, и динамику кривой доходности.
  
  
• 00:25:00 В этом разделе видео инструктор обсуждает моделирование кривых доходности и то, как его можно использовать для наблюдения за изменением процентных ставок во времени, что можно сравнить со стохастическими моделями. Лекция разделена на две части: первая часть посвящена сродству модели Фулбрайта и точному моделированию, а вторая часть посвящена построению и ценообразованию продуктов с различными процентными ставками на рынке. Преподаватель также подчеркивает важность понимания того, как оценивать процентные продукты, поскольку они служат строительными блоками для построения кривой доходности с конечной целью моделирования многоцветных путей Монте-Карло для модели и калибровки этой модели для рынков опционов. Своп используется в качестве примера, чтобы проиллюстрировать, насколько неопределенна последовательность денежных потоков от обмена фиксированными и плавающими ставками и как ее можно рассчитать.
  
  
• 00:30:00 В этом разделе видео инструктор обсуждает строительные блоки кривой доходности и то, как они соотносятся с процентными свопами, форвардными торговыми соглашениями и ценообразованием деривативов. Он объясняет возможные формы кривой доходности и их отношение к рыночным ситуациям, а также концепцию подразумеваемой волатильности и расчет точек хребта для построения кривой доходности. Преподаватель также подчеркивает важность процедур интерполяции для кривых доходности и обсуждает расширение одной кривой доходности до подхода с несколькими кривыми. В этом разделе особое внимание уделяется практическим аспектам построения кривой доходности с использованием экспериментов Python и их связи с рыночными инструментами.
  
  
• 00:35:00 В этом разделе курса лектор обсуждает различные темы, связанные с финансовой инженерией. Первый блок охватывает ценообразование свопов по модели Блэка-Шоулза, а второй блок охватывает варианты ценообразования с использованием модели полной широкой или любой короткой ставки. В этом разделе также объясняется знаменитый трюк Джамшидиана и эксперименты с Python. Особое внимание уделяется концепции отрицательных процентных ставок, смещенной логарифмически нормальной сдвинутой подразумеваемой волатильности и влиянию параметра сдвига на формы подразумеваемой волатильности. Кроме того, лекция посвящена досрочным выплатам по ипотечным кредитам и их влиянию на позицию и хеджирование с точки зрения банка.
  
  
• 00:40:00 В этом разделе видео лектор знакомит с концепцией пулевой ипотеки и объясняет связанные с ней денежные потоки и факторы досрочного погашения. Они также обсуждают влияние досрочного погашения на ипотечный портфель и связывают стимул к рефинансированию с наблюдаемыми рыночными факторами. В лекции также рассматриваются риски трубопровода и управление ими финансовыми учреждениями. В дальнейшем лектор рассказывает об одновременном моделировании нескольких классов активов, что обеспечивает основу для моделирования возможных сценариев будущих рисков, которые могут повлиять на портфель. Корреляции между различными классами активов будут важны, и гибридные модели по-прежнему будут полезны для целей управления рисками, несмотря на снижение интереса к экзотическим деривативам.
  
  
• 00:45:00 В этом разделе видео спикер обсуждает использование гибридных моделей для ценообразования корректировок оценки и стоимости под риском, а также расширений со стохастической волатильностью. Первый блок охватывает гибридные модели, которые можно использовать для среды XVA, включая динамику акций и стохастические процентные ставки. Второй блок фокусируется на моделях стохастической волатильности, таких как модель Хестона, и на том, как включить стохастические процентные ставки, которые коррелируют с самим биржевым процессом. Лекция также посвящена иностранной валюте и инфляции, включая историю и развитие плавающих валют, форвардных валютных контрактов, кросс-валютных свопов и опционов на валюту. Концепция изменения меры играет роль в динамике процессов после обсуждения изменения меры. В конечном счете, цель состоит в том, чтобы иметь возможность оценивать контракты, определенные для разных активов в разных классах активов, и рассчитывать риски и меры риска.
  
  
• 00:50:00 В этом разделе курса финансового инжиниринга инструктор освещает такие темы, как элемент квантовой коррекции, присутствующий в стохастической волатильности, ценообразование валютных опционов со стохастическими процентными ставками и концепция инфляции. Лекция объяснит эволюцию определения инфляции от монетарной к товарной. В лекции также будут рассмотрены рыночные модели, такие как рыночная модель LIBOR и корректировки выпуклости. Инструктор расскажет об истории развития процентных ставок и объяснит мотивацию рыночных моделей, таких как рыночная модель LIBOR, с использованием структуры HJM. Также будут обсуждаться характеристики логнормальных моделей рынка LIBOR, стохастическая волатильность, а также улыбки и перекосы в модели рынка LIBOR.
  
  
• 00:55:00 В этом разделе курса «Финансовая инженерия» инструктор обсуждает различные методы, используемые при ценообразовании продуктов, включая ценообразование с нейтральным риском и модель Блэка-Шоулза. Он также предостерегает от злоупотребления рискованными методами, такими как метод замораживания, и подчеркивает важность коррекции выпуклости в рамках ценообразования. Курс рассказывает, как распознать необходимость коррекции выпуклости и как включить всю процентную ставку или улыбку и перекос, присутствующие на рынке, для решения проблемы. Раздел завершается обсуждением симуляций xva, включая cva, bca, va и fva, а также тем, как рассчитать ожидаемые риски, потенциальные будущие риски и проверки работоспособности с помощью симуляций Python.
  
  
• 01:00:00 В этом разделе инструктор описывает темы, которые будут затронуты в этом курсе финансовой инженерии, включая ценообразование деривативов и важность определения цены, практические аспекты торговых атрибуций и меры управления рисками, такие как стоимость под риском и ожидаемый дефицит. Акцент делается на практические приложения, включая создание портфеля процентных свопов и использование знаний о построении кривых доходности для оценки var и ожидаемого дефицита по результатам моделирования. Преподаватель также обсуждает проблемы с отсутствующими данными, арбитражем и повторной оценкой, связанные с вычислением переменной с помощью моделирования Монте-Карло.
  
  
• 01:05:00 В этом разделе лектор обсуждает заключительную лекцию курса, посвященную бэк-тестированию и тестированию VAR-движка. Он также упоминает, что курс займет более 14 недель, но он будет проведен в отличном стиле, включающем каждую лекцию в дополнительные знания для поддержки конечной цели, которая заключается в корректировке оценки XVA и расчете стоимости под риском. Курс уже записан, и лектор выражает уверенность, что они достигнут вершины горы в увлекательной поездке.

[MetaQuotes]

Курс финансовой инженерии: Лекция 2/14, часть 1/3 (Понимание фильтрации и мер)

Курс финансовой инженерии: Лекция 2/14, часть 1/3 (Понимание фильтрации и мер)

В лекции инструктор углубляется в модель Блэка-Шоулза со стохастическими скачками, демонстрируя ее применение в ценообразовании деривативов. Включение условных ожиданий подчеркивается как средство повышения точности модели. Кроме того, исследуется концепция численных значений и изменений показателей, демонстрируя, как переключение между различными численными значениями может улучшить результаты ценообразования. В этом разделе подчеркивается важность фильтрации, ожиданий и изменений показателей, особенно в сфере процентных ставок.

Развивая тему, профессор подчеркивает ключевую роль показателей, фильтрации и ожиданий в ценообразовании. Они иллюстрируют, как показатели, такие как запасы, могут эффективно использоваться в процессах ценообразования, а изменения показателей помогают уменьшить сложность проблем ценообразования. В лекции далее исследуется понятие форвардной меры, обычно связанной со стохастическим дисконтированием. Фильтрации разъясняются как фундаментальные принципы для понимания времени, профилей воздействия и профилей риска. Кроме того, вводится определение стохастического процесса и важность фильтрации при интерпретации рыночных данных и прогнозировании будущих реализаций.

Двигаясь вперед, концепция фильтрации и мер тщательно изучается. Фильтрации могут относиться к настоящему или простираться в будущее, что требует четкого разграничения при работе со случайными процессами. Прошлое представляет собой особую траекторию истории акции, тогда как стохастичность будущего можно смоделировать с помощью стохастических дифференциальных уравнений и симуляций. Хотя курс в основном фокусируется на фильтрации до настоящего времени (t0), позже он углубляется в использование будущих фильтров для повышения эффективности вычислений. Становится возможным моделировать будущие сценарии и разрабатывать различные результаты. Однако, учитывая присущую неопределенность, определение наиболее реалистичного сценария остается сложной задачей. Оценка распределения результатов включает использование исторических данных и методов калибровки, связанных с мерой p.

Затем лекция углубляется в измерения и фильтрацию, подчеркивая различные роли показателя Q в ценообразовании и управлении рисками, а показатель P — прежде всего в управлении рисками. Когда используются обе меры, создание будущих сценариев для профилей риска становится обязательным из-за неуникальности пригодности любой метрики. Кроме того, с течением времени накопление исторических знаний приводит к более широкой фильтрации. Однако важно также поддерживать понимание измеримости и признание неопределенности стохастических величин в определенные моменты времени в будущем.

Лектор переходит к обсуждению фильтров и мер в контексте финансового инжиниринга. Примечательно, что они подчеркивают, что измеримость не означает постоянства; скорее, это обозначает стохастическую величину. Фильтрации проясняют объем знаний, доступных в каждый данный момент времени, расширяясь по мере продвижения во времени из-за накопленных знаний. Хотя фильтрация и изменения показателей могут быть мощными инструментами в финансовом моделировании, их неправильное использование может привести к серьезным проблемам. Таким образом, крайне важно понять, как эффективно использовать эти инструменты и ориентироваться во времени, чтобы избежать ошибок моделирования. Раздел завершается обзором процесса калибровки в финансовом моделировании, который может быть сделан на основе исторических данных или рыночных инструментов.

Вводится понятие адаптированных процессов, относящихся к процессам, которые опираются исключительно на информацию, доступную до определенного момента, без учета будущих реализаций. Примеры адаптированных процессов включают броуновское движение и определение максимального значения процесса в течение определенного периода времени. И наоборот, неадаптированные процессы зависят от будущих реализаций. В лекции также рассказывается о свойстве башни, мощном инструменте ценообразования, который устанавливает взаимосвязь между сигма-полями, фильтрациями и ожиданиями.

Условное ожидание обсуждается как мощный инструмент в финансовой инженерии, особенно при работе с функциями, включающими две переменные. Свойство ожидания башни используется для формирования ожиданий и вычисления внешних и вложенных внутренних ожиданий. Это свойство находит применение в имитационном моделировании, позволяя проводить аналитические расчеты определенных компонентов задачи, которые могут быть применены к моделям ценообразования опционов на блокчейне, в частности, с использованием стохастических дифференциальных уравнений и специальных фильтров. Исследуется определение условного ожидания, включающее интегральное уравнение.

Лектор подчеркивает важность условных ожиданий и фильтров в финансовой инженерии. Они подчеркивают, что если случайную величину можно обусловить и ее ответ известен аналитически, внешнее ожидание можно рассчитать путем выборки внутреннего ожидания. Однако в финансах не принято обладать аналитическими знаниями об условных плотностях или двумерных плотностях. Лектор подчеркивает важность правильного использования условных ожиданий в кодировании, поскольку они остаются стохастическими величинами с точки зрения настоящего. Кроме того, они обсуждают преимущества включения аналитического решения для части модели в контекст моделирования, поскольку это может привести к улучшению сходимости. Чтобы проиллюстрировать эти понятия, лектор приводит пример вычисления внешнего математи- ческого ожидания броуновского движения.

Двигаясь вперед, лектор углубляется в ожидание будущего момента времени, подчеркивая его сложность по сравнению со случаями, когда ожидание приходится на нулевое время. Они объясняют, что этот сценарий требует нескольких путей и вложенных симуляций Монте-Карло для каждого пути, включающих вложенные симуляции для условных ожиданий. Эта сложность возникает из-за свойства независимых приращений, при котором броуновское движение всегда можно выразить как разность между его значениями в два разных момента времени t и s.

Сместив акцент на моделирование по методу Монте-Карло, докладчик обсуждает построение броуновского движения для моделирования стоимости опциона на акции. Они исследуют два типа мартингейлов и вводят вложенный метод Монте-Карло для расчета условного ожидания опциона на акции. Моделирование включает в себя создание одного пути до момента времени s и проведение подмоделирования для каждого пути для оценки ожидания в этот момент времени. Этот процесс влечет за собой вычисление условного ожидания конкретной реализации в момент времени s для каждого пути. Затем ошибка измеряется как разница между условным ожиданием и значением пути в момент времени s. Стандартизация броуновского движения гарантирует, что оно строится с использованием независимых приращений, что облегчает реализацию желаемых свойств в моделировании методом Монте-Карло.

Наконец, выступающий подчеркивает, что, хотя моделирование броуновского движения может показаться простым и экономичным, включение условного ожидания требует вложенного подхода Монте-Карло, который включает в себя выполнение нескольких симуляций броуновского движения для каждого пути. Следовательно, этот процесс может занять много времени.

В заключение, лекция широко охватывает темы, связанные с мерами, фильтрацией, условными ожиданиями и моделированием Монте-Карло в финансовой инженерии. Значение этих концепций в ценообразовании деривативов, управлении рисками и калибровке моделей подчеркивается повсюду. Понимая принципы, лежащие в основе этих инструментов и методов, финансовые специалисты могут повысить точность моделирования и эффективно решать сложные проблемы ценообразования.

• 00:00:00 Инструктор продемонстрирует использование модели Блэка-Шоулза со стохастическими скачками и то, как ее можно улучшить, включив условные ожидания. Также будет обсуждаться концепция числителей и изменений показателей, что включает в себя изменение показателей между разными числителями для достижения лучших результатов. В целом в этом разделе подчеркивается важность фильтрации, ожиданий и измерения изменений в ценообразовании деривативов, особенно в сфере процентных ставок.
  
  
• 00:05:00 В этом разделе курса финансовой инженерии профессор обсуждает важность измерений, фильтрации и ожиданий в ценообразовании. Он объясняет, как показатель, например запас, можно использовать в ценообразовании и как изменения показателя можно использовать для уменьшения размерности задач ценообразования. Также исследуется концепция форвардной меры, которая обычно ассоциируется со стохастическим дисконтированием. В этом разделе освещаются ключевые принципы фильтрации и их неотъемлемая часть для понимания времени, профилей воздействия и профилей рисков. Кроме того, вводится определение стохастического процесса и концепция фильтрации в понимании рыночных данных и будущих реализаций.
  
  
• 00:10:00 В этом разделе лекции обсуждается понятие фильтрации и меры. Фильтрации могут быть текущими или будущими, и важно различать их при работе со случайными процессами. Прошлое — это единственный путь в истории акций, а стохастичность будущего можно описать с помощью некоторых стохастических дифференциальных уравнений и моделирования. Курс в основном рассматривает фильтрацию до сегодняшнего дня (t0), но позже он обсуждает использование фильтрации в будущем для извлечения вычислительной эффективности. Можно смоделировать будущее и разработать сценарии, которые представляют множество возможных результатов. Однако невозможно узнать, какой сценарий наиболее реалистичен, поскольку всегда существует неопределенность. Распределение результатов можно оценить с использованием исторических данных и откалибровать с помощью регрессии или других методов, связанных с мерой p.
  
  
• 00:15:00 В этом разделе обсуждается понятие мер и фильтраций. Мера Q в основном связана с ценообразованием и управлением рисками, тогда как мера P в основном используется для управления рисками. Создание будущих сценариев для профиля риска имеет важное значение, когда используются обе меры, поскольку сложно определить уместность любой метрики, поскольку они не уникальны. Кроме того, увеличение времени приводит к большему количеству исторических знаний, что приводит к большей фильтрации по мере роста знаний. Однако измеримость также имеет решающее значение, и нам необходимо понимать неопределенность стохастических величин в определенные моменты времени в будущем.
  
  
• 00:20:00 В этом разделе лектор обсуждает понятие фильтрации и меры в финансовой инженерии. Важно отметить, что измеримое не означает постоянное, так как это все же стохастическая величина. Фильтрация сообщает вам, сколько знаний у вас есть в каждый момент времени, и по мере продвижения во времени фильтрация становится больше из-за накопленных знаний. Фильтрация и измерение изменений могут быть мощными инструментами в финансовом моделировании, но при неправильном использовании могут вызвать серьезные проблемы. Очень важно знать, как использовать эти инструменты и как путешествовать во времени, чтобы избежать ошибок в финансовом моделировании. Лектор заканчивает раздел описанием процесса калибровки в финансовом моделировании и того, как его можно вывести из исторических данных или рыночных инструментов.
  
  
• 00:25:00 В этом разделе обсуждается концепция адаптированных процессов, которая относится к идее о том, что процесс не смотрит в будущее, а вместо этого опирается только на информацию, известную до этого момента. Примеры адаптированных процессов включают броуновское движение и нахождение максимального значения процесса в течение определенного периода времени, в то время как примеры неадаптированных процессов включают те, которые полагаются на будущие реализации. Также вводится свойство башни, которое является мощным инструментом ценообразования, и оно включает связь между сигма-полем, фильтрациями и ожиданиями.
  
  
• 00:30:00 В этом разделе концепция условного ожидания обсуждается как мощный инструмент финансового инжиниринга, особенно при работе с функциями двух переменных. Свойство ожидания башни используется для формирования ожиданий и вычисления внешнего ожидания и вложенного внутреннего ожидания. Это свойство можно использовать в симуляциях, где части проблемы могут быть рассчитаны аналитически и применены к моделям ценообразования опционов на блокчейне, в частности, с использованием стохастических дифференциальных уравнений и специальных фильтров. Определение условного ожидания также исследуется с помощью интегрального уравнения.
  
  
• 00:35:00 В этом разделе лектор обсуждает концепцию условных ожиданий и фильтрации в финансовой инженерии. Они подчеркивают, что если случайную величину можно обусловить и ответ известен аналитически, внешнее ожидание можно рассчитать, выполнив выборку для внутреннего ожидания. Однако в финансах редко бывает известно условные плотности или двумерные плотности аналитически. Они также подчеркивают важность правильного использования условных ожиданий в кодах, поскольку с сегодняшней точки зрения они все еще являются стохастическими величинами. Кроме того, лектор рассказывает о преимуществах применения аналитического решения к части модели в смысле моделирования и о том, как это может привести к лучшей сходимости. Наконец, они дают пример вычисления внешнего ожидания броуновского движения.
  
  
• 00:40:00 В этом разделе лектор обсуждает ожидание будущего момента времени, которое намного сложнее, чем случай, когда ожидание происходит в нулевое время. Лектор объясняет, что для этого требуется несколько путей и вложенные симуляции Монте-Карло для каждого пути, что включает в себя выполнение подмоделирования для каждого пути и принятие условных ожиданий. Лектор также поясняет, что это связано с тем, что броуновское движение всегда можно записать как броуновское движение в момент времени t минус броуновское движение в момент времени s, используя свойство независимых приращений.
  
  
• 00:45:00 В этом разделе лекции спикер обсуждает моделирование методом Монте-Карло и построение броуновского движения для моделирования стоимости опциона на акции. Исследуются два типа мартингейлов, в том числе вложенный метод Монте-Карло для расчета условного ожидания опциона на акции. Спикер иллюстрирует симуляцию одного пути до момента времени s и подмоделирование для каждого пути, чтобы принять ожидание в это время. Ожидание — это условное ожидание конкретной реализации в момент времени s, которое повторяется для каждого пути. Ошибка рассчитывается как разница между условным ожиданием и путем в момент времени s. Стандартизация броуновского движения гарантирует, что оно построено из независимых приращений, что упрощает применение свойств в моделировании Монте-Карло.
  
  
• 00:50:00 В этом разделе видео спикер обсуждает симуляцию бегущего движения и подчеркивает, что, хотя это просто и дешево, если задействовано условное ожидание, для этого требуется вложенный многоцветный, который включает несколько симуляций броуновского движения. Это означает, что для каждого пути необходимо выполнить вложенное моделирование, которое может занять много времени.

[MetaQuotes]

Курс финансовой инженерии: Лекция 2/14, часть 3/3 (Понимание фильтрации и мер)

Курс финансовой инженерии: Лекция 2/14, часть 3/3 (Понимание фильтрации и мер)

Продолжая лекцию, инструктор углубляется в тему изменения показателей и их практического применения в финансах. Они начинаются с повторения теоремы Гиризанова и концепции меры запаса. Закладывая основу, инструктор готовит почву для изучения того, как изменения показателей могут эффективно уменьшить размерность финансовых моделей.

Лекция посвящена переходу от нейтрального к риску показателя к показателю сберегательного счета, движимому фондовым активом. Этот переход достигается за счет использования соотношения двух мер, и процесс объясняется простыми словами. Акцент делается на важности выражения выбранного актива в той же единице, что и другие активы в портфеле, что может быть достигнуто путем изменения показателей. Кроме того, лекция углубляется в обсуждение функции выигрыша, где математическое ожидание по связанному показателю выражается как интеграл от единицы, деленный на показатель. Этот результат предоставляет средства для поиска желаемого запроса. Лекция завершается демонстрацией метода подстановки, используемого для получения окончательного члена, что еще раз иллюстрирует практичность изменения меры.

Двигаясь вперед, спикер исследует упрощение выплаты и углубляется в динамику акций в соответствии с новой мерой. Значение t0 предоставляется как математическое ожидание при измерениях максимума st минус k 0, вводя новый мартингальный метод. Объясняется концепция мартингального подхода, подчеркивая важность деления всего на биржевой процесс для удовлетворения условий мартингейла. Выделен процесс дисконтирования с акцентом на его преимущества в упрощении динамики в рамках новой меры. Динамику можно вывести из соотношения mtst как мартингейла. Кроме того, спикер подчеркивает необходимость определения дисперсии и измеренного преобразования в соответствии с новым показателем, чтобы эффективно использовать преимущества мартингального подхода.

Продолжая лекцию, лектор объясняет, как та же процедура, что и для случая Блэка-Шоулза, может быть применена к немартингальным процессам. Следуя набору необходимых условий, можно использовать преобразования показателей для получения динамики нового процесса и определения ожиданий при новом показателе. Подчеркивается важность учета поправок на дрейф и волатильность, возникающих в результате этого преобразования, при реализации обоих процессов в соответствии с исходной и новой мерой. В конечном итоге вычисление упрощается до элегантного выражения, включающего один логарифмически нормальный процесс при новой мере.

Кроме того, лектор вводит двумерную систему стохастических дифференциальных уравнений, S1 и S2, а также величину выплаты, связанную со сберегательным счетом, которая выплачивается только в том случае, если S2 достигает определенного уровня. Чтобы рассчитать это сложное ожидание, необходимо совместное распределение между двумя акциями. Используется преобразование меры, использующее теорему Гирсанова, чтобы найти математическое ожидание в элегантной форме. Лектор объясняет процесс, выбирая S1 в качестве числителя и идентифицируя производную случайного числителя. В лекции также подчеркивается важность получения всех необходимых изменений меры и исследуется потенциальное влияние на отношения между броуновскими движениями в различных мерах. Лектор подчеркивает важность преобразования меры в элегантно и мощно ценообразование сложных финансовых инструментов.

Продолжая лекцию, спикер объясняет измеренное преобразование для случайного производного никотина и подчеркивает важность упрощения выплаты. Объясняется формула уравнения, а также соответствующая мера, которую необходимо найти для сокращения членов. Динамика денежно-сберегательной облигации и ее коэффициенты дрейфа и волатильности обсуждаются после применения этос-леммы. В этом преобразовании корреляционный элемент оказывается пренебрежимо мал. Спикер также подчеркивает важность отношений между S2 и S1 по отношению к таблице этоса.

Смещая акцент, спикер обсуждает динамику двух биржевых процессов при преобразовании меры S1, предполагающей замену новой меры.

При преобразовании меры S1 выступающий объясняет, что первый биржевой процесс по-прежнему следует логарифмически нормальному распределению, но с дополнительным членом в дрейфе. Точно так же второй процесс запаса демонстрирует дополнительный член из-за корреляции между двумя процессами. Докладчик подчеркивает важность упорядочивания переменных от простейших к наиболее сложным и рекомендует использовать разложение Холецкого как метод упрощения стохастических дифференциальных уравнений. Используя логнормальные свойства, можно эффективно решить вероятность оценки.

Расширяя тему лекции, лектор переходит к обсуждению облигаций с нулевым купоном, которые являются фундаментальными деривативами в области процентных ставок. Облигации с нулевым купоном имеют простую выплату — единое значение, полученное в момент погашения, — что делает их простыми для понимания и использования. Кроме того, они служат важными строительными блоками для ценообразования более сложных деривативов. Отмечается, что в некоторых случаях стоимость облигации в начале может быть больше единицы, что указывает на отрицательные процентные ставки. Отрицательные ставки могут быть результатом интервенций центрального банка, направленных на увеличение ликвидности, хотя их эффективность в стимулировании расходов остается предметом споров. Лектор подчеркивает, что облигации с нулевым купоном играют решающую роль в процессе изменения показателей в мире процентных ставок.

Кроме того, лектор углубляется в важность изменения показателя на форвардный показатель при рассмотрении облигаций с нулевым купоном. Используя фундаментальную теорему ценообразования и общее уравнение ценообразования, можно определить текущую стоимость облигации с нулевым купоном. Уравнение ценообразования включает ожидание дисконтированной выплаты, равной единице для облигации с нулевым купоном. Лектор подчеркивает, что процентные ставки являются стохастическими, и обсуждает, как стохастическую скидку можно исключить из уравнения, заменив меру на форвардную меру Т. Раздел завершается объяснением того, как можно смоделировать производный код рубля и как уравнение ценообразования переходит от нейтрального к риску показателя к форвардному показателю T.

Кроме того, профессор подчеркивает важность изменения показателей и уменьшения размерности моделей ценообразования в сфере финансов. Переходя к ценам в рамках форвардного показателя T и устраняя специфичность коэффициента дисконтирования, специалисты-практики могут использовать методы изменения показателей в качестве мощных инструментов в своих повседневных операциях. В лекции кратко излагаются понятия фильтрации и их связь с условными ожиданиями, подчеркивая, как эти инструменты могут упростить сложные проблемы в финансах.

Чтобы заинтересовать студентов и закрепить их понимание, преподаватель предлагает три упражнения. Первое упражнение включает в себя реализацию аналитического решения для оценки опционов пут, гарантируя, что код включает процентные ставки в Python. Второе упражнение расширяет ценообразование до опционов пут, предоставляя возможность оценить его эффективность. Наконец, учащимся предлагается сравнить аналитическое выражение с результатом моделирования методом Монте-Карло для выражения квадрата запаса на слайде 24. В этом упражнении подчеркиваются преимущества и существенные различия в применении преобразований показателей.

В лекции представлено всестороннее исследование изменений показателей и их применения в финансах. Он охватывает такие темы, как переключение мер, упрощение выплат, динамика при новых мерах, трансформация процессов, а также значение бескупонных облигаций и процентных ставок. Используя преобразование показателей, специалисты-практики могут улучшить свои модели ценообразования, упростить расчеты и получить ценную информацию о сложных финансовых инструментах.

• 00:00:00 В этом разделе инструктор продолжает тему изменений показателей и их применения в финансах. Он начинает с повторения теоремы Гиризанова и концепции меры запаса, а затем показывает, как можно использовать изменения меры для уменьшения размерности. Он также объясняет, как определить форвардный показатель и использовать изменения показателя для устранения стохастического дисконтирования в продуктах акций или процентных ставок. Затем инструктор представляет задачу, в которой изменение меры может помочь упростить задачу и получить элегантное решение. В целом, раздел дает полезную информацию о практическом применении изменений показателей в финансах.
  
  
• 00:05:00 В этом разделе лекция посвящена переключению показателей с нейтральных к риску на показатели сберегательного счета, управляемые фондовым активом. Для этого используется соотношение двух показателей, а сам процесс объясняется простыми словами. В лекции подчеркивается важность выбора актива, который должен быть выражен в той же единице, что и все другие активы в портфеле, и то, как этого можно достичь путем переключения мер. Также обсуждается функция выигрыша, а математическое ожидание по ассоциированной мере записывается в виде интеграла по единице по m, а результат обеспечивает средства поиска запроса. Лекция завершается показом замены, используемой для получения конечного термина.
  
  
• 00:10:00 В этом разделе спикер обсуждает упрощение выплаты и вопрос динамики запаса по новой мере. Значение t0 задается как математическое ожидание при измерениях максимума st минус k 0, и вводится новый мартингальный метод. Подход мартингейла объясняет, что все должно быть разделено на биржевой процесс, чтобы претендовать на мартингейл. Спикер также выделяет процесс дисконтирования и отмечает, что это выгодно только в том случае, если приводит к упрощению динамики в соответствии с новой мерой. Динамику можно узнать из соотношения mtst как мартингейла. Наконец, спикер подчеркивает необходимость найти дисперсию и измеренное преобразование в соответствии с новой мерой, чтобы извлечь выгоду из мартингального подхода.
  
  
• 00:15:00 В этом разделе лектор объясняет, как применить ту же процедуру, что и для случая Блэка-Шоулза, к немартингальным процессам. Соблюдая ряд необходимых условий, можно использовать преобразование меры для получения динамики нового процесса и ожиданий от новой меры. Лектор подчеркивает важность учета поправок на дрейф и волатильность, возникающих в результате этого преобразования, при реализации обоих процессов по исходной и новой мере. Расчет в конечном итоге упрощается до элегантного выражения с одним логарифмически нормальным процессом при новой мере.
  
  
• 00:20:00 В этом разделе лектор представляет двумерную систему стохастических дифференциальных уравнений, S1 и S2, и значение выплаты, связанное со сберегательным счетом, который выплачивается только в том случае, если S2 достигает определенного уровня. Чтобы рассчитать это сложное ожидание, требуется совместное распределение между двумя акциями. Затем преобразование меры используется для нахождения математического ожидания с помощью теоремы Гирсанова в очень элегантной форме. Сначала в качестве числителя выбирается S1, а затем находится случайная производная числителя. В лекции обсуждается важность получения всех необходимых изменений меры и то, как можно повлиять на отношения между броуновскими движениями в разных мерах. Лектор элегантно и мощно подчеркивает важность трансформации меры в ценообразовании сложных финансовых инструментов.
  
  
• 00:25:00 В этом разделе лекции спикер объясняет измеренное преобразование для случайной производной никотина и важность упрощения выплаты. Выступающий объясняет формулу уравнения и соответствующую меру, которую необходимо найти, чтобы сократить члены. Они рассматривают динамику денежно-сберегательной облигации, ее дрейф и коэффициент волатильности после применения этос-леммы. Элемент корреляции не является существенным в этом преобразовании. Докладчик отмечает важность отношения между s2 и s1 по отношению к таблице этоса.
  
  
• 00:30:00 В этом разделе спикер рассматривает динамику двух фондовых процессов при преобразовании меры s1, которая предполагает замену новой меры. Первый биржевой процесс по-прежнему следует логарифмически нормальному распределению, но с добавленным членом в дрейфе. Точно так же второй процесс запаса имеет дополнительный член из-за корреляции между двумя процессами. Докладчик подчеркивает важность упорядочивания переменных от простейших к наиболее сложным и рекомендует использовать разложение Холецкого для упрощения стохастических дифференциальных уравнений. В конечном счете, используя логарифмически нормальные свойства, можно определить вероятность оценки.
  
  
• 00:35:00 В этом разделе курса «Финансовая инженерия» лектор обсуждает облигации с нулевым купоном, которые являются базовым, но мощным производным инструментом в мире процентных ставок. Выплата по облигации с нулевым купоном представляет собой единое значение, полученное в момент погашения, что делает этот инструмент простым для понимания и использования. Он также может быть фундаментальным строительным блоком для ценообразования более сложных деривативов. Лектор отмечает, что могут быть случаи, когда стоимость облигации больше единицы в начале, что указывает на отрицательные процентные ставки. Отрицательные ставки могут быть результатом интервенций центрального банка для увеличения ликвидности, но их эффективность в стимулировании расходов является предметом споров. Лектор дает понять, что облигации с нулевым купоном будут важным промежуточным звеном в процессе изменения показателей в мире процентных ставок.
  
  
• 00:40:00 В этом разделе лектор обсуждает облигации с нулевым купоном и важность изменения показателя на форвардный показатель. Используя фундаментальную теорему ценообразования и общее уравнение ценообразования, можно определить текущую стоимость облигации с нулевым купоном. Уравнение ценообразования включает ожидание дисконтированной выплаты, равной единице для облигации с нулевым купоном. Лектор подчеркивает, что процентные ставки являются стохастическими, и обсуждает, как стохастическую скидку можно удалить из уравнения, заменив меру на форвардную меру T. Раздел завершается тем, что лектор объясняет, как можно смоделировать производный код рубля и как уравнение ценообразования изменяется от нейтрального к риску показателя до форвардного показателя T.
  
  
• 00:45:00 В этом разделе лекции профессор обсуждает идею изменения показателей и уменьшения размерности, а также то, как ее можно применить к моделям ценообразования в финансах. Изменяя показатели, специалисты-практики могут работать с ценами в рамках t-форвардного показателя и устранять специфичность коэффициента дисконтирования. Это позволяет им использовать взвешенные опасные методы в качестве мощных инструментов в повседневных операциях. В лекции также кратко излагается концепция фильтрации и ее связь с условными ожиданиями, а также то, как эти инструменты можно использовать для упрощения сложных задач в финансах.
  
  
• 00:50:00 этого раздела, важность понимания фильтрации, условных ожиданий и измерения изменений в ценообразовании опционов с использованием условных скачков Блэка-Шоулза. В этом разделе рассказывалось, как выбрать числитель и как эти меры связаны с броуновским движением. Полезность изменений меры была продемонстрирована на таких примерах, как перенос стохастических дифференциальных уравнений, уменьшение размеров и преобразование производных. Были даны домашние задания, чтобы помочь учащимся развить навыки ценообразования деривативов и процентных ставок, такие как определение ожиданий, динамики и выполнение моделирования методом Монте-Карло.
  
  
• 00:55:00 В этом разделе лекции преподаватель предлагает студентам три упражнения. Первый требует реализации аналитического решения для оценки опционов на продажу и обеспечения его правильной работы путем включения процентной ставки в код Python, доступный в описании лекции. Второе упражнение состоит в том, чтобы распространить ту же цену на опционы пут и проверить ее эффективность. Наконец, учащиеся должны сравнить аналитическое выражение с результатом моделирования методом Монте-Карло для выражения квадрата запаса на слайде 24, что продемонстрирует преимущества и огромную разницу в применении измеренных преобразований.

[MetaQuotes]

Курс финансовой инженерии: Лекция 3/14, часть 1/2, (Структура HJM)

Курс финансовой инженерии: Лекция 3/14, часть 1/2, (Структура HJM)

Докладчик углубляется в тему безарбитражных условий в моделях процентных ставок, уделяя особое внимание структуре Хит, Джарроу и Мортон (HJM). Они определяют повестку лекции и разъясняют различие между моделями равновесия и моделями временной структуры. Подчеркивая силу и значимость моделей временной структуры, которые генерируют кривые доходности без калибровки, спикер объясняет вывод безарбитражных условий в рамках HJM. Предстоящий блок будет включать моделирование Монте-Карло для двух моделей, Джули и Халл-Уайт, а также домашнее задание. Стоит отметить, что структура HJM служит общей и свободной от арбитража основой для всех моделей процентных ставок.

В дальнейшем вводится понятие коротких ставок и процентных ставок, подчеркивая, что короткие ставки связаны с бесконечно малыми периодами времени. Первая краткосрочная модель, процесс Орнштейна-Уленбека (OU), обсуждается как пример эндогенной модели, которая требует калибровки по кривой доходности, что может привести к ограниченным степеням свободы и плохой калибровке. С другой стороны, экзогенные модели используют кривую доходности в качестве входных данных, избегая проблемы калибровки. Лекция также дает представление о развитии навыков моделирования и навыков программирования для моделирования процентных ставок.

Исследуется структура HJM с упором на преобразование эндогенных моделей в экзогенные модели. Это преобразование гарантирует, что независимо от выбранных параметров модели кривая доходности останется неизменной. Лектор подчеркивает исключительную мощь структуры AJM, которая обеспечивает четкий путь от моделей равновесия к моделям временной структуры. В лекции упоминается, что в литературе существует множество моделей, и обсуждаются две популярные из них. Одной из таких моделей является модель коротких ставок Васичека, которая подверглась критике за ее ограниченность в приспособлении к отрицательным процентным ставкам.

Рассматривается проблема отрицательных процентных ставок, и спикер объясняет, как финансовые инженеры решают эту проблему, используя процесс Кокса-Ингерсолла-Росса (CIR), который запрещает отрицательные ставки, но позволяет ставкам достигать нуля. Чтобы сдвинуть этот процесс, вводится параметр, позволяющий сдвигать распределение от нуля к отрицательным значениям, обычно около двух или трех процентов. Также обсуждаются важность подгонки к кривой доходности и проблемы калибровки. Лектор подчеркивает, что если кривая доходности не может быть подобрана, нет смысла пытаться подогнать другие аспекты модели. Приведены примеры моделирования, иллюстрирующие влияние различных параметров, таких как скорость возврата к среднему и коэффициент волатильности.

Обсуждается влияние коэффициента волатильности на траектории различных моделей, включая модели HJM и CIR. Более высокие коэффициенты волатильности приводят к большим скачкам на путях и увеличению неопределенности, тогда как меньшие коэффициенты приводят к более узким распределениям. Лектор также объясняет, как возврат к среднему и процентные ставки влияют на поведение этих моделей. Код Python используется для моделирования путей с использованием дискретизации и стандартизации Эйлера, при этом налагаются условия, предотвращающие превращение путей в отрицательные.

Докладчик подробно рассматривает структуру HJM (Хит-Джарроу-Мортон), которая служит глобальной основой, охватывающей все модели процентных ставок. Динамика мгновенных форвардных ставок, представляющих ставки в течение будущих периодов с сегодняшней точки зрения, моделируется в рамках HJM. Структура AJM представлена в качестве фундаментальной основы для моделей процентных ставок из-за ее явной взаимосвязи между волатильностью мгновенных форвардных ставок и дрейфом без арбитража, гарантируя, что модель всегда свободна от арбитража. Эта структура исследуется в контексте как моделей рынка с короткими ставками, так и модели рынка LIBOR, которые являются особыми случаями модели AJM.

Обсуждается взаимосвязь между отсутствием арбитража и дрейфом, особенно в отношении волатильности мгновенных форвардных ставок. Регулировка волатильности позволяет переключаться между различными моделями. В то время как структура HJM учитывает различные структуры волатильности, получение аналитических выражений для коротких ставок или рыночных моделей LIBOR является сложной задачей. Однако в некоторых случаях модель HJM предоставляет аналитические выражения для облигаций с нулевым купоном на основе указанной волатильности. Эта структура играет решающую роль в переходе от моделей равновесия к моделям временной структуры, поскольку она позволяет использовать наблюдаемые доходности в качестве входных данных для модели. Проводится сравнение с другими моделями, такими как модели коротких ставок в рамках HJM, которые уподобляются Ferrari с точки зрения быстрой калибровки, но им не хватает гибкости в калибровке и реализации для нескольких рыночных инструментов. Основная цель краткосрочной модели процентных ставок — обеспечить точность кривой доходности и облигаций с нулевым купоном.

Лектор обсуждает ограничения различных моделей временной структуры, используемых в финансовой инженерии. В то время как структура HJM предлагает большую гибкость в калибровке кривой доходности, ее простота всего с двумя параметрами затрудняет калибровку сложных экзотических опционов, оцениваемых в течение продолжительных периодов. Рыночная модель со стохастической волатильностью, несмотря на высокие затраты на обслуживание и проблемы с калибровкой, считается идеальной для ценообразования экзотики и волатильности. Лектор переходит к определению мгновенных форвардных ставок с использованием облигаций с нулевым купоном и показывает, как построить форвардную ставку за определенный период с использованием стратегии рефинансирования, таким образом извлекая эффективную ставку.

Докладчик углубляется в концепцию безарбитражной стратегии рефинансирования и объясняет, как подразумевать ставки из нулевых компонентов. Они вводят функциональную форму для форвардной ставки и вводят структуру, которая гарантирует, что она принимает экспоненциальную форму со скоростью начисления и умножения. Логарифмируя выражение и умножая его на отрицательный знак, они определяют ставку, которая удовлетворяет уравнению как для краткосрочной, так и для форвардной ставки. Мгновенная форвардная ставка определяется как f dt, и спикер подчеркивает, что она всегда зависит от срока погашения.

Далее в лекции вводится понятие мгновенной форвардной ставки, определяемой как производная от логарифма бескупонной облигации по отношению к сроку погашения. Это служит фундаментальным строительным блоком в рамках HJM, поскольку все величины выражаются в терминах мгновенных форвардных курсов. Подчеркивается важность проведения различия между облигациями с нулевым купоном и денежными сберегательными счетами, при этом первая является детерминированной величиной, а вторая — стохастической величиной. Динамика мгновенной форвардной ставки является ключевым моментом в структуре HJM, целью которой является понимание и моделирование динамики процентных ставок.

Профессор переходит к описанию динамики мгновенного форвардного курса при p-мере и задаче определения динамики при переключении меры с p на q. Структура HJM охватывает динамику мгновенной форвардной ставки, сберегательного счета (интеграл короткой ставки) и отношение нулевых купонных облигаций. Чтобы определить динамику мгновенного форвардного курса по q-мере, конкретные величины должны функционировать как мартингалы. Объясняется взаимосвязь между короткой ставкой и мгновенной форвардной ставкой, подчеркивая взаимозависимость между различными мгновенными ставками и связи между различными параметрами.

Продолжая лекцию, спикер подчеркивает важность понимания взаимосвязи между безарбитражностью и дрейфом в моделях процентных ставок, особенно с точки зрения волатильности мгновенной форвардной ставки. Регулируя волатильность, можно переключаться между различными моделями в рамках HJM. Эта структура допускает различные структуры волатильности, хотя получение аналитических выражений для коротких ставок или модели рынка LIBOR может оказаться сложной задачей. Однако в некоторых случаях модель HJM предоставляет аналитические выражения для облигаций с нулевым купоном на основе указанной волатильности.

Лектор подчеркивает, что структура HJM является общей и свободной от арбитража основой для всех моделей процентных ставок. Он предлагает четкий путь от моделей равновесия к моделям временной структуры, что делает его мощным инструментом в этой области. В литературе имеется множество моделей, но подробно обсуждаются две наиболее популярные из них.

Во-первых, исследуется модель краткосрочной ставки Васичека. Лектор признает, что эта модель подверглась критике за то, что не допускает отрицательных процентных ставок. Чтобы решить эту проблему, некоторые финансовые инженеры используют процесс Кокса-Ингерсолла-Росса (CIR), который не допускает отрицательных ставок, но позволяет ставкам достигать нулевого уровня. Однако лектор упоминает, что в процесс CIR можно ввести параметр сдвига, эффективно сдвигая распределение от нуля к отрицательному значению, например, к отрицательным двум или трем процентам. Подгонка модели под кривую доходности подчеркивается как критический аспект, и обсуждается вопрос калибровки. Лектор утверждает, что если кривая доходности не может быть точно подобрана, нет смысла подгонять какие-либо другие параметры.

Затем спикер представляет моделирование методом Монте-Карло для двух моделей: Джули и Халл-Уайт. Моделирование направлено на то, чтобы предоставить практические примеры и проиллюстрировать влияние различных параметров, таких как скорость возврата к среднему и коэффициент волатильности, на траектории модели. Код Python, использующий дискретизацию и стандартизацию Эйлера, используется для моделирования этих путей. Накладываются условия, чтобы пути не становились отрицательными.

Лекция переходит к обсуждению влияния коэффициента волатильности на траектории различных моделей, включая модели HJM и CIR. Более высокие коэффициенты волатильности приводят к более значительным скачкам в путях и увеличению неопределенности, тогда как меньшие коэффициенты приводят к более узким распределениям. Также объясняется влияние возврата к среднему и процентных ставок на поведение этих моделей.

В заключение лектор резюмирует рассмотренные ключевые моменты, повторяя силу и значение моделей терминологической структуры в рамках HJM. Особое внимание уделяется возможности самостоятельного построения кривых доходности без необходимости калибровки кривой доходности. Наконец, предоставляется домашнее задание, побуждающее студентов к дальнейшему изучению и применению концепций и методов, обсуждаемых в лекции.

Лекция представляет собой углубленное исследование безарбитражных условий в моделях процентных ставок, в частности, в рамках HJM. Он охватывает различия между моделями равновесия и моделями временной структуры, вывод безарбитражных условий и практические примеры с помощью моделирования методом Монте-Карло. Подробно обсуждаются важность подгонки к кривой доходности, проблемы калибровки и влияние различных параметров, что дает учащимся ценную информацию о моделировании процентных ставок и навыках программирования.

• 00:00:00 В этом разделе спикер обсуждает безарбитражные условия в моделях процентных ставок, особенно в контексте модели Хит, Джарроу и Мортона (HJM). Он излагает повестку дня лекции и объясняет разницу между моделями равновесия и моделями временной структуры. Докладчик подчеркивает силу и важность моделей временной структуры, которые самостоятельно генерируют кривые доходности и не требуют калибровки кривой доходности. Он также объясняет, как получить условия без арбитража в рамках HJM. В следующем блоке спикер проведет моделирование методом Монте-Карло для двух моделей, Джули и Халл-Уайт, и даст домашнее задание. Структура HJM — это общая, не содержащая арбитража структура для всех моделей процентных ставок.
  
  
• 00:05:00 В этом разделе лекции вводится понятие коротких ставок и процентных ставок с акцентом на то, что короткая ставка связана с бесконечно малым периодом времени. Короткие ставки являются стохастическими величинами, и первая модель коротких ставок, процессор OU, была разработана в 1977 году. Однако такие эндогенные модели, как эта, требуют калибровки по кривой доходности, что может привести к потере степеней свободы и плохой калибровке, в то время как экзогенные модели используют кривую доходности в качестве входных данных, избегая проблемы калибровки. Лекция также дает представление о том, как развивать навыки моделирования и программирования для моделирования процентных ставок.
  
  
• 00:10:00 В этом разделе обсуждается структура HJM, в которой эндогенные модели преобразуются в экзогенные модели. Это означает, что какие бы параметры модели ни были выбраны, кривая доходности всегда будет возвращаться без каких-либо различий. Также упоминается, что структура AJM чрезвычайно эффективна и обеспечивает четкий путь от равновесия к моделям временной структуры. В литературе доступно множество различных моделей, и обсуждаются две популярные из них, в том числе модель короткой ставки Васичека, которая подвергалась критике за то, что не допускает отрицательных процентных ставок.
  
  
• 00:15:00 В этом разделе лектор обсуждает проблему отрицательных процентных ставок и то, как некоторые финансовые инженеры решают эту проблему с помощью процесса принятия CIR, который не допускает отрицательных процентных ставок, но позволяет ставкам быть на уровне нуль. Он объясняет, что этот процесс можно зафиксировать, сдвинув его, и этот параметр сдвига может сдвинуть распределение с нуля на отрицательные два или три процента. Лектор также обсуждает важность подбора кривой доходности и проблему калибровки, заявляя, что если мы не можем подогнать кривую доходности, нет смысла подгонять что-то еще. Наконец, он приводит примеры моделирования влияния различных параметров, таких как скорость возврата к среднему и коэффициент волатильности.
  
  
• 00:20:00 В этом разделе инструктор обсуждает влияние коэффициента волатильности на пути различных моделей, таких как модели HJM и CIR. Он демонстрирует, как более высокие коэффициенты волатильности приводят к большим пикам на путях и большей неопределенности, в то время как меньшие коэффициенты приводят к более узкому распределению. Преподаватель также объясняет, как возврат к среднему и процентные ставки влияют на поведение этих моделей. В коде Python он использует эйлерову дискретизацию и стандартизацию для моделирования путей и накладывает условия, чтобы пути не становились отрицательными.
  
  
• 00:25:00 В этом разделе лекции YouTube по финансовому инжинирингу ведущий обсуждает структуру HJM (Хит-Джарроу-Мортон), которая обеспечивает глобальную основу для всех моделей процентных ставок. Докладчик объясняет, что структура моделирует динамику мгновенных форвардных курсов, которые являются курсами в течение будущего периода времени с сегодняшней точки зрения. Структура AJM представляет собой фундаментальную основу для моделей процентных ставок, поскольку она обеспечивает явную связь между волатильностью мгновенных форвардных ставок и безарбитражным дрейфом, гарантируя, что модель всегда будет безарбитражной. Эта структура обсуждается в контексте моделей рынка коротких ставок и LIBOR, которые являются особыми случаями концепции AJM.
  
  
• 00:30:00 В этом разделе взаимосвязь между свободой от арбитража и дрейфом обсуждается применительно к волатильности мгновенного форвардного курса, который можно изменять для переключения между разными моделями. Структура HJM допускает различные структуры волатильности, но получение аналитических выражений для коротких ставок или модели рынка LIBOR затруднено. Однако в некоторых случаях модель предоставляет аналитические выражения для облигаций с нулевым купоном, основанные на волатильности, заданной структурой HJM. Эта структура необходима для перехода от моделей равновесия к моделям временной структуры и позволяет использовать наблюдаемые доходности в качестве входных данных для модели. Это сравнивается с другими моделями, такими как модели коротких ставок в рамках HJM, которые можно считать похожими на Ferrari с точки зрения быстрой калибровки, но им не хватает гибкости в калибровке и реализации для нескольких рыночных инструментов. Фундаментальная цель краткосрочной модели процентных ставок состоит в том, чтобы гарантировать кривую доходности и облигации с нулевым купоном.
  
  
• 00:35:00 В этом разделе лектор обсуждает ограничения различных моделей временной структуры, используемых в финансовой инженерии. В то время как структура HJM предлагает большую гибкость в калибровке кривой доходности, ее простота двух параметров затрудняет калибровку для экзотики с несколькими калибрами, оцениваемой в течение нескольких лет. Он объясняет, что рыночная модель со стохастической волатильностью имеет высокие затраты на обслуживание и проблемы с калибровкой, но она идеально подходит для ценообразования экзотики и волатильности. Затем лектор определяет мгновенные форвардные ставки, используя облигации с нулевым купоном, и демонстрирует, как построить форвардную ставку в течение определенного периода времени с помощью стратегии рефинансирования, таким образом извлекая эффективную ставку.
  
  
• 00:40:00 В этом разделе спикер рассказывает о безарбитражной стратегии рефинансирования и о том, как вывести ставку из нулевых составляющих. Они определяют функциональную форму для форвардной ставки и налагают такую структуру, чтобы она имела экспоненциальную форму и имела некоторую скорость начисления и умножения. Логарифмируя выражение и умножая его на минус, они находят ставку, которая удовлетворяет уравнению для короткой ставки и форвардной ставки. Мгновенная форвардная ставка определяется как f dt, и ее дифференцируют по срокам погашения. Спикер подчеркивает важность помнить, что это всегда относится к зрелости.
  
  
• 00:45:00 В этом разделе лекции вводится понятие мгновенной форвардной ставки, которая определяется как производная от логарифма бескупонной облигации по срокам погашения. Это фундаментальный строительный блок для структуры HJM, поскольку все выражается в терминах мгновенных форвардных ставок. В лекции подчеркивается важность различия между облигациями с нулевым купоном и денежными сберегательными счетами, поскольку последние являются стохастической величиной, а первые — детерминированной величиной. Динамика мгновенной форвардной ставки сосредоточена в структуре HJM, где цель состоит в том, чтобы понять и смоделировать динамику процентных ставок.
  
  
• 00:50:00 В этом разделе лекции профессор описывает динамику мгновенного форвардного курса при p-мере и ставит задачу найти динамику этого процесса при изменении меры с p на q. Структура HJM состоит из динамики мгновенной форвардной ставки, счета сбережений денег, который является интегралом от короткой ставки, и отношения облигаций с нулевым купоном. Чтобы определить динамику мгновенного форвардного курса по показателю q, некоторые величины должны быть мартингальными. Профессор также объясняет взаимосвязь между короткой ставкой и мгновенной форвардной ставкой и подчеркивает зависимость между различными мгновенными ставками и взаимосвязь между различными параметрами.