Quantitative trading - страница 13

 

Уолл-стрит: быстрые торговцы


Уолл-стрит: быстрые торговцы

Многие люди не знают, что большинство сделок с акциями в Соединенных Штатах больше не совершаются людьми, а скорее компьютерами-роботами. Эти суперкомпьютеры способны покупать и продавать тысячи различных ценных бумаг в мгновение ока. Высокочастотная торговля, как известно, стала преобладать на Уолл-стрит в последние годы и сыграла свою роль в крахе мини-рынка прошлой весной, когда промышленный индекс Доу-Джонса упал на 600 пунктов всего за 15 минут.

Комиссия по ценным бумагам и биржам и члены Конгресса начали поднимать сложные вопросы о полезности, потенциальных опасностях и подозрениях в манипулировании рынком посредством компьютерной торговли. Переход от трейдеров-людей к машинам изменил ландшафт Нью-Йоркской фондовой биржи, которая когда-то была центром финансового мира. Сейчас на бирже происходит менее 30% торгов, а остальная часть проводится через электронные платформы и альтернативные торговые системы.

Появились две электронные фондовые биржи, BATS и Direct Edge, принадлежащие крупным банкам и фирмам, занимающимся высокочастотным трейдингом, и торгуют более миллиарда акций в день с поразительной скоростью. Такой практикой занимаются фирмы высокочастотного трейдинга, такие как Tradeworks, которыми управляет Манодж Наранг и команда математиков и ученых, называемых квантами (количественными аналитиками). Они совершают сделки за доли секунды, стремясь получить прибыль в копейки или меньше за сделку. Эти фирмы полагаются на сложные математические алгоритмы, запрограммированные в их компьютерах, для анализа данных в реальном времени и принятия решений за доли секунды.

Одним из ключевых аспектов высокочастотной торговли является то, что компьютеры не понимают, какие компании торгуются. Они не знают стоимости компаний, их менеджмента или любых других качественных факторов. Торговые решения основаны исключительно на количественных факторах, вероятности и статистическом анализе. Этот подход позволяет использовать мимолетные возможности на рынке, но игнорирует фундаментальные факторы.

Высокочастотные трейдеры вкладывают значительные средства в суперкомпьютеры и инфраструктуру, чтобы получить преимущество в скорости. Чем ближе их компьютеры расположены к серверам биржи, тем быстрее они получают важную рыночную информацию. Даже несколько миллисекунд преимущества могут привести к значительной прибыли. Критики утверждают, что высокочастотные трейдеры используют это преимущество, чтобы опережать заказы, манипулировать акциями и извлекать деньги с рынка, не добавляя реальной ценности.

В то время как сторонники утверждают, что высокочастотная торговля увеличивает ликвидность рынка, снижает транзакционные издержки и сужает спреды по акциям, критики считают, что это подрывает справедливость и прозрачность. Высокоскоростной характер торговли и сложность алгоритмов затрудняют контроль и обеспечение равных условий для регулирующих органов. «Внезапный крах» 2010 года, когда индекс Доу-Джонса упал на 600 пунктов за считанные минуты, выявил потенциальные риски, связанные с высокочастотной торговлей и отсутствием контроля.

Регуляторы и законодатели начали предлагать реформы для решения проблем, связанных с высокочастотной торговлей. Комиссия по ценным бумагам и биржам рассматривает меры по отслеживанию и выявлению высокочастотных сделок, и были введены автоматические выключатели для остановки торговли в случаях крайней волатильности цен. Однако необходимы дальнейшие изменения, чтобы восстановить уверенность в честности рынка и обеспечить прозрачность для рядовых инвесторов, которые считают, что система настроена против них.

В последние годы высокочастотные трейдеры расширили свою деятельность на валютные и товарные рынки, что еще больше усиливает обеспокоенность по поводу их влияния на финансовые рынки. Эволюция технологий опережает способность регулирующих органов идти в ногу со временем, и растет призыв к реформам, обеспечивающим баланс между инновациями и целостностью рынка.

 

Mathematical Modeling and Computation in Finance: With Exercises and Python and MATLAB Computer Codes

«Математическое моделирование и вычисления в финансах: с упражнениями и компьютерными кодами Python и MATLAB» , CW Oosterlee и LA Grzelak, World Scientific Publishing, 2019.

«Математическое моделирование и вычисления в финансах: с упражнениями и компьютерными кодами Python и MATLAB» — бесценная книга, в которой исследуется пересечение математики, финансов и компьютерных наук. Написанный экспертами в этой области, он представляет собой исчерпывающее руководство по пониманию и реализации математических моделей в финансах с использованием популярных языков программирования, таких как Python и MATLAB.

Книга начинается с ознакомления читателей с фундаментальными концепциями математического моделирования в финансах, включая теорию вероятностей, стохастическое исчисление и методы оптимизации. Он подчеркивает практические аспекты моделирования и вычислений, подчеркивая важность численных методов и моделирования в решении реальных финансовых проблем.

Одной из выдающихся особенностей этой книги является включение в нее многочисленных упражнений и компьютерных кодов на Python и MATLAB. Эти упражнения позволяют читателям активно взаимодействовать с материалом, закреплять понимание концепций и развивать навыки программирования. Выполняя упражнения и применяя предоставленные коды, читатели могут получить практический опыт применения математических моделей для финансирования и улучшить свои навыки использования этих языков программирования для финансового анализа.

Книга охватывает широкий круг тем, имеющих отношение к финансам, таких как ценообразование опционов, оптимизация портфеля, управление рисками и распределение активов. Он углубляется в сложные темы, такие как моделирование волатильности, моделирование процентных ставок и моделирование кредитного риска, предоставляя читателям всестороннее понимание математических методов, используемых в финансовом моделировании.

Авторы находят баланс между теоретической строгостью и практическим применением на протяжении всей книги. Они предоставляют четкие объяснения основных математических концепций и алгоритмов, сопровождаемые примерами из реальной жизни и конкретными случаями. Этот подход позволяет читателям понять теоретические основы, а также получить представление о том, как эти модели можно применять для решения практических финансовых проблем.

Кроме того, в книге освещаются преимущества и ограничения различных подходов к моделированию, вооружая читателей навыками критического мышления, необходимыми для принятия обоснованных решений при выборе и реализации моделей в реальных сценариях.

«Математическое моделирование и вычисления в финансах: с упражнениями и компьютерными кодами Python и MATLAB» — отличный ресурс для студентов, исследователей и практиков в области финансов, которые хотят углубить свое понимание математического моделирования и вычислительных методов. Сочетание теоретических объяснений, практических упражнений и готовых к использованию компьютерных кодов делает ее важным компаньоном для всех, кто интересуется применением математических методов для решения финансовых проблем.

https://github.com/LechGrzelak/Computational-Finance-Course

 

Этот курс «Вычислительные финансы» основан на книге: «Математическое моделирование и вычисления в финансах: с упражнениями и компьютерными кодами Python и MATLAB».


Вычислительные финансы: Лекция 1/14 (Введение и обзор классов активов)

Эта всеобъемлющая лекция служит введением в увлекательные области вычислительных финансов и финансового инжиниринга, охватывая широкий круг тем, необходимых для понимания современных финансов. Лектор подчеркивает важность теоретических моделей математических и вычислительных финансов, которые используются для создания практических моделей ценообразования деривативов при различных сценариях.

В курсе по вычислительным финансам студенты будут углубляться в различные темы, которые имеют решающее значение для понимания и применения практических финансовых методов. Курс под руководством инструктора Лета Лага будет посвящен внедрению эффективных методов программирования с использованием Python для моделирования и оценки опционов. Эта комплексная программа предназначена для лиц, интересующихся финансами, количественными финансами и финансовой инженерией. Он будет охватывать такие важные понятия, как подразумеваемая волатильность, стратегии хеджирования и увлекательное царство экзотических деривативов.

Вычислительные финансы - это междисциплинарная область, расположенная между математическими финансами и численными методами. Его основная цель состоит в том, чтобы разработать методы, которые могут быть непосредственно применены к экономическому анализу, сочетая навыки программирования с теоретическими моделями. Финансовая инженерия, с другой стороны, включает междисциплинарный подход, который использует финансовую теорию, инженерные методы, математические инструменты и методы программирования. Финансовые инженеры играют решающую роль в создании практических моделей, основанных на математических и вычислительных финансах, которые можно использовать для оценки деривативов и эффективного управления сложными финансовыми контрактами. Эти модели должны быть теоретически обоснованными и адаптируемыми к различным сценариям.

Курс прольет свет на различные классы активов, которыми торгуют в области вычислительных финансов, включая акции, опционы, процентные ставки, иностранную валюту, кредитные рынки, товары, энергию и криптовалюты. Криптовалюты, в частности, предлагают доступ к различным классам активов и могут использоваться для целей хеджирования. Каждый класс активов имеет свои уникальные контракты, используемые для контроля рисков и стратегий хеджирования. Внебиржевой рынок (OTC) с его многочисленными контрагентами представляет дополнительные сложности, которые необходимо понимать.

Лектор исследует роль криптовалют в финансах, подчеркивая их разнообразные особенности и необходимость конкретных методологий, моделей и предположений для ценообразования. Кроме того, будут изучены рыночные доли различных классов активов, таких как процентные ставки, форекс, акции, товары и свопы кредитного дефолта (CDS). Хотя опционы составляют относительно небольшую часть финансового мира, они предлагают отличный взгляд на финансовый и вычислительный анализ.

Тема опционов и спекуляций будет подробно обсуждаться, подчеркивая, как опционы представляют собой альтернативу покупке акций, позволяя людям спекулировать на будущем направлении акций с относительно небольшими капиталовложениями. Однако у опционов есть срок погашения, и они могут обесцениться, если цена акций останется неизменной, что делает выбор времени решающим фактором в спекуляциях. Курс предоставит введение в финансовые рынки, классы активов и роль финансовых инженеров в навигации по этим сложным ландшафтам. Акции, как самый популярный класс активов, будут подробно изучены, с акцентом на концепцию собственности и влияние на стоимость акций результатов деятельности компании и будущих ожиданий.

Лекция прольет свет на стохастическую природу поведения акций на рынке, на которую влияют такие факторы, как спрос и предложение, конкуренты и деятельность компании. Ожидаемая стоимость акции может отличаться от ее фактической стоимости, что приводит к волатильности. Волатильность является ключевым элементом моделирования и оценки опционов, поскольку она определяет будущие колебания цен на акции. Кроме того, в лекции будут проводиться различия между двумя типами инвесторов: теми, кто заинтересован в получении дивидендов, и теми, кто ищет возможности роста.

Будет введена концепция дивидендов и инвестирования дивидендов с акцентом на то, что дивиденды обеспечивают стабильные и надежные инвестиции, поскольку компании регулярно распределяют выплаты акционерам. Однако выплаты дивидендов могут варьироваться, а высокая доходность дивидендов может указывать на повышенный риск инвестиций компании. Лекция кратко затронет процентные ставки и денежные рынки, признавая, что эти темы будут более подробно освещены в последующем курсе.

Будут обсуждаться инфляция и ее влияние на процентные ставки, объясняя, как центральные банки контролируют инфляцию, корректируя процентные ставки. В лекции будут рассмотрены краткосрочные выгоды и долгосрочные последствия снижения процентных ставок, а также альтернативные стратегии, такие как современная денежная теория или покупка активов центральными банками. Кроме того, будет объяснена роль неопределенности среди участников рынка в определении процентных ставок и скрытого налогового воздействия инфляции на граждан. Лекция завершится углублением в тему управления рисками в кредитовании. Лектор расскажет о потенциальных рисках, с которыми сталкиваются кредиторы, таких как банкротство заемщиков или невыплата кредитов. Чтобы снизить эти риски, кредиторы часто взимают надбавку за риск, чтобы обеспечить адекватную компенсацию любых потенциальных убытков.

Двигаясь вперед, спикер переключит внимание на процентные ставки и их значение в финансах. Они объяснят, как процентные ставки влияют на различные финансовые инструменты, включая сберегательные счета, ипотечные кредиты и кредиты. Будет введена концепция сложных процентов, подчеркивающая, что одна единица валюты сегодня стоит больше, чем та же единица в будущем из-за таких факторов, как инфляция. Будут рассмотрены два основных метода расчета процентных ставок, простой и сложный, с подробным объяснением их различий и практическими примерами.

Затем спикер углубится в сложные процентные ставки, особенно для инвестиций со сроком погашения в один год. Они объяснят математическое моделирование сложных ставок с использованием экспоненциальной функции, где одна единица валюты умножается на e, возведенное в степень процентной ставки. Кроме того, докладчик расскажет, как это математическое представление согласуется с дифференциальными уравнениями, управляющими сберегательными счетами, что приводит к определению коэффициента умножения, используемого для дисконтирования будущих денежных потоков. Однако выступающий заметит, что в действительности процентные ставки не являются постоянными, а меняются со временем, о чем свидетельствуют различные инструменты, такие как сроки и цены на такие валюты, как евро и доллар США.

Будут обсуждаться графики, представляющие процентные ставки и рыночную ликвидность для еврозоны и доллара. Примечательно, что текущее состояние еврозоны показывает отрицательную доходность по всем срокам погашения до 30 лет, что означает, что инвестирование в государственные облигации в еврозоне может привести к потере денег. Спикер предположит, что физические лица могут предпочесть обменять евро на доллары и инвестировать в облигации США, поскольку они предлагают более высокую доходность. Тем не менее, такой подход сопряжен с рисками, в том числе с потенциальными потерями из-за колебаний обменного курса. Спикер подчеркнет, что процентные ставки зависят от времени и подвержены динамике рынка.

Лектор расскажет о концепции покупки облигаций, подчеркнув, что покупатели облигаций часто платят больше, чем реальная стоимость облигации. Следовательно, стоимость денег, вложенных в облигации, может со временем обесцениться, а инфляция может подорвать стоимость инвестиций. Будут упомянуты основные покупатели облигаций, такие как пенсионные фонды и центральные банки, что подчеркнет их значительную роль на рынке облигаций. Кроме того, лектор коснется концепции волатильности, которая измеряет изменение финансовых цен во времени. Волатильность рассчитывается с использованием статистических показателей, таких как дисперсия, и дает представление о тенденции рынка или ценной бумаги к колебаниям, внося неопределенность и риск.

Затем курс переключит свое внимание на доходность активов и волатильность, два важнейших понятия в вычислительных финансах. Доходность активов относится к прибылям или убыткам ценной бумаги в течение определенного периода времени, а волатильность измеряет дисперсию этих доходов. Высокая волатильность рынка указывает на значительные колебания цен в течение короткого промежутка времени, что приводит к повышенной неопределенности и риску. Будет введен индекс VIX, инструмент, измеряющий неопределенность рынка. Он использует опционы «вне денег» или «пут» и обычно используется инвесторами для защиты своего капитала в случае снижения рыночной стоимости. Будет подчеркнута важность определения времени и прогнозирования времени воздействия, поскольку на практике они могут быть сложными.

Инструктор расскажет о тонкостях анализа волатильности различных индексов, в том числе индекса VIX. Они признают трудности математического моделирования волатильности из-за рыночных обстоятельств и колебаний. Кроме того, будут введены европейские опционы, которые служат фундаментальными строительными блоками для ценообразования деривативов на основе волатильности. Лектор проведет четкое различие между опционами колл и опционами пут, объяснив, что опционы колл дают владельцу право купить актив по заранее установленной цене и в установленную дату, а опционы пут дают владельцу право продать актив по заранее установленной цене. и дата, по существу выступая в качестве страховки.

Создав основу для опционов, лектор представит обзор опционов в различных классах активов. Они будут подчеркивать два ключевых типа опционов: колл-опционы и пут-опционы. В случае колл-опциона покупатель имеет право продать базовый актив продавцу с определенной датой погашения и ценой исполнения. Это означает, что по истечении срока продавец обязан купить акции по цене исполнения, если покупатель решит исполнить опцион. С другой стороны, пут-опцион предоставляет покупателю право продать базовый актив продавцу с определенной датой погашения и страйк-ценой. По истечении срока продавец должен купить акции по указанной цене исполнения, если покупатель реализует опцион.

Чтобы проиллюстрировать потенциальную доходность опционов, лектор представляет два графических изображения — одно для колл-опционов, другое для пут-опционов. Эти графики отображают потенциальную прибыль или убыток в зависимости от стоимости базовой акции. Изучая графики, зрители могут понять, как изменения стоимости акций могут повлиять на прибыльность опционов.

На протяжении всего курса инструктор будет изучать дополнительные сложные темы, связанные с вычислительными финансами, включая моделирование деривативов, эффективное программирование и использование Python для моделирования и оценки опционов. Они будут программировать в прямом эфире во время сеансов и анализировать результаты совместно со зрителями, предоставляя практический опыт и практические идеи.

Курс специально разработан для людей, интересующихся финансами, количественными финансами и финансовой инженерией. Он направлен на преодоление разрыва между математическими финансами и численными методами, предлагая междисциплинарные знания и навыки, необходимые для решения реальных финансовых проблем. Также будут рассмотрены концепции подразумеваемой волатильности, стратегий хеджирования и экзотических деривативов, что обеспечит всестороннее понимание вычислительных финансов и их приложений в финансовой индустрии.

К концу курса участники получат прочную основу в области вычислительных финансов, финансового инжиниринга и практического применения численных методов. Они будут оснащены инструментами и знаниями для разработки и внедрения моделей ценообразования деривативов, управления рисками и анализа финансовых данных. Этот курс служит трамплином для тех, кто хочет сделать карьеру в области финансов, количественного анализа или финансового инжиниринга, позволяя им принимать обоснованные решения и вносить свой вклад в постоянно развивающуюся область вычислительных финансов.

  • 00:00:00 Курс будет охватывать различные темы, связанные с вычислительными финансами, включая моделирование деривативов, эффективную реализацию программирования и использование Python для моделирования и оценки опционов. Инструктор курса, Лет Лаг, будет программировать в прямом эфире и анализировать результаты вместе со зрителями. Курс предназначен для тех, кто интересуется финансами, количественными финансами и финансовой инженерией, а также охватывает концепции подразумеваемой волатильности и хеджирования. Курс завершится обсуждением экзотических деривативов.

  • 00:05:00 В этом разделе основное внимание уделяется вычислительным финансам, представляющим собой отрасль прикладной информатики, которая занимается практическими финансовыми проблемами и уделяет особое внимание практическим численным методам. Эта область является междисциплинарной, между математическими финансами и численными методами. Цель вычислительных финансов состоит в том, чтобы разработать методы, которые могут быть непосредственно применены к экономическому анализу, и это включает в себя использование программирования и теоретических моделей. Другим обсуждаемым аспектом является финансовая инженерия, которая представляет собой междисциплинарную область, в которой применяются финансовая теория, инженерные методы, математические инструменты и практика программирования. Финансовая инженерия и вычислительные финансы связаны, и финансовые инженеры разрабатывают практичные, работоспособные, быстрые и эффективные модели, которые могут использоваться финансовыми учреждениями для оценки производных инструментов и реализации стратегий хеджирования.

  • 00:10:00 В этом разделе обсуждается роль финансовой инженерии в разработке моделей сложных финансовых контрактов. Финансовые инженеры используют теоретические модели из математических и вычислительных финансов для создания практических моделей, которые можно использовать для оценки деривативов и других сложных контрактов. Модели должны быть теоретически правильными и работать в широком диапазоне сценариев. Финансовый инжиниринг определяется потребностями клиентов и требует междисциплинарного набора навыков, включая количественное моделирование и программирование. В лекции также объясняются основные классы финансовых активов, в том числе биржи акций и опционов, которые финансовые инженеры оценивают с помощью своих моделей и инструментов.

  • 00:15:00 В этом разделе спикер обсуждает различные классы активов, которыми торгуют в вычислительных финансах. Есть акции, опционы, процентные ставки, иностранная валюта, кредитный рынок, товары, энергия и криптовалюты. В случае с криптовалютами существует множество различных типов в зависимости от их особенностей, и их также можно рассматривать как рынок опционов. Докладчик касается различных контрактов в каждом классе активов, используемых для хеджирования и контроля рисков. Кроме того, спикер отмечает, что некоторые рынки, такие как внебиржевой рынок, рассчитаны на риск-профиль клиентов и включают несколько контрагентов.

  • 00:20:00 В этом разделе спикер обсуждает роль криптовалют в финансах и объясняет, как они предназначены для предоставления доступа к различным классам активов. Криптовалюты можно использовать для хеджирования рисков, а некоторые также обеспечивают доступ к акциям, золоту, серебру и нефти. Различные криптовалюты обладают уникальными характеристиками, требующими различных методологий, моделей и допущений для ценообразования. Затем спикер переходит к обсуждению доли рынка различных классов активов, таких как процентные ставки, форекс, акции, товары и CDS. Хотя опционы составляют крошечную часть финансового мира, они по-прежнему важны и предлагают уникальный взгляд на финансовый и вычислительный анализ.

  • 00:25:00 В этом разделе обсуждается тема опционов и спекуляций. Опционы могут быть более дешевой альтернативой покупке акций, позволяя делать ставки на будущее направление акций с небольшими капиталовложениями. Однако у опционов есть срок погашения, и они теряют свою стоимость, если в течение этого времени с ценой акций ничего не происходит, что делает выбор времени серьезной проблемой в спекуляциях. Лекция знакомит с концепцией финансовых рынков, классов активов и ролью финансового инженера. Также исследуется первый и самый популярный класс активов, акции или акции, в том числе то, как покупка акций означает стать владельцем компании и как стоимость акций зависит от результатов деятельности компании и ожиданий будущих платежей.

  • 00:30:00 В этом разделе спикер обсуждает поведение акций на рынке, которое носит стохастический характер и зависит от различных факторов, таких как спрос и предложение, конкуренты и результаты деятельности компании. Это означает, что ожидаемая стоимость акции может отличаться от ее фактической стоимости, что приводит к волатильности. Волатильность является важным элементом моделирования и оценки опционов, поскольку она определяет колебания цены акции в будущем. Кроме того, владелец акций теоретически владеет частью компании и может получать дивиденды или извлекать выгоду из роста акций. Есть два типа инвесторов: те, кто заинтересован в доходах от дивидендов, и те, кто ищет возможности роста.

  • 00:35:00 В этом разделе видео обсуждается понятие дивидендов и дивидендного инвестирования. Инвестирование дивидендов привлекательно для тех, кто хочет стабильных и надежных инвестиций, так как каждый квартал или раз в полгода компания будет производить выплаты акционерам. Однако дивиденды могут варьироваться от года к году, и высокие выплаты дивидендов могут указывать на больший риск инвестиций компании. Видео также кратко затрагивает процентные ставки и денежные рынки, отмечая, что процентные ставки представляют собой процент от принципа, но эта тема будет рассмотрена в последующем курсе.

  • 00:40:00 В этом разделе лектор обсуждает инфляцию и влияние процентных ставок на экономику. Когда дела в экономике идут хорошо и денежное обращение увеличивается, возникает риск инфляции, которую банки могут контролировать за счет повышения процентных ставок. Однако снижение процентных ставок может дать краткосрочный импульс экономике, но это не решение в долгосрочной перспективе. В качестве альтернативы центральные банки могут использовать современную денежную теорию или покупать активы на рынке. Кроме того, лектор объясняет, как на процентные ставки влияет неуверенность участников рынка в получении денег от банков и как инфляция может действовать как скрытый налог на граждан. Наконец, лектор рассказывает об управлении рисками в кредитовании и предполагает, что заемщик может обанкротиться или не выплатить кредит, что приводит к премии за риск, чтобы гарантировать, что кредитор получит компенсацию за любые убытки.

  • 00:45:00 В этом разделе спикер обсуждает процентные ставки и их значение в финансах. Они объясняют, как процентные ставки влияют на сберегательные счета, ипотечные кредиты и кредиты. Докладчик обсуждает, как можно смоделировать процентные ставки, и что простейшая концепция состоит в том, что один евро сегодня стоит больше, чем один евро через год из-за таких факторов, как инфляция. Два основных способа начисления процентов и расчета процентных ставок — простые и составные, при этом начисление сложных процентов происходит в течение срока действия инвестиции. Спикер дает определения этим терминам и приводит примеры, иллюстрирующие их.

  • 00:50:00 В этом разделе спикер обсуждает концепцию сложных процентных ставок для срока погашения в один год. Сложная ставка рассчитывается как один евро, умноженный на e в степени r. Докладчик объясняет, как это моделируется математически, описывая дифференциальное уравнение, описывающее сберегательные счета. Решение дифференциального уравнения дает коэффициент умножения, который используется для дисконтирования будущих денежных потоков. Однако спикер отмечает, что на самом деле процентные ставки не постоянны, а зависят от времени, что иллюстрируется различными инструментами, такими как сроки и цены для Европы и доллара США.

  • 00:55:00 В этом разделе видео спикер обсуждает графики процентных ставок и рыночной ликвидности для еврозоны и доллара. Графики показывают, что в настоящее время все доходности по евро до 30 лет отрицательные, а это означает, что инвестирование в государственные облигации в Европе приведет к потере денег. Спикер предполагает, что люди предпочли бы обменять евро на доллары и инвестировать в облигации США, поскольку они обеспечивают более высокую доходность. Однако существует риск, связанный с тем, что обменный курс может снизиться, что приведет к уменьшению потенциальной прибыли. Спикер также отмечает, что процентные ставки зависят от времени и не являются постоянными.
  • 01:00:00 В этом разделе лектор обсуждает концепцию покупки облигаций. Покупатели облигаций платят больше, чем стоит облигация, и в результате стоимость денег со временем будет снижаться, а также может возникнуть инфляция, что приведет к потере инвестиций. Пенсионные фонды и центральные банки являются основными покупателями облигаций. Лектор также затрагивает концепцию волатильности, которая является мерой изменения финансовых цен во времени и рассчитывается с использованием дисперсии статистической меры тенденции рынка или ценной бумаги к росту или падению в течение определенного периода времени.

  • 01:05:00 В этом разделе мы узнаем о доходности активов и волатильности, двух важных понятиях вычислительных финансов. Доходность активов — это прибыль или убыток ценной бумаги за определенный период времени, а волатильность измеряет дисперсию этих доходов. Высокая волатильность рынка означает, что цены могут резко колебаться за короткий промежуток времени, что может привести к неопределенности и риску. Индекс VIX является примером рыночного инструмента, который измеряет неопределенность и строится с использованием опционов «вне денег» или опционов «пут». Он часто используется инвесторами для защиты своего капитала в случае падения рыночной стоимости. Однако время имеет решающее значение при его использовании, поскольку время воздействия может быть очень коротким и его трудно предсказать.

  • 01:10:00 Преподаватель обсуждает волатильность различных индексов, в том числе индекса VIX, и трудности математического анализа из-за рыночных обстоятельств и колебаний. Затем он представляет европейские опционы, которые являются фундаментальным строительным блоком ценообразования деривативов на основе волатильности, с прямым соответствием между ценой опциона и волатильностью. Инструктор объясняет разницу между опционами колл и пут: опцион колл дает держателю право купить актив в будущем по установленной цене, а опцион пут дает владельцу право продать актив в будущем. по установленной цене, по существу выступая в качестве страховки.

  • 01:15:00 В этом разделе лектор представляет обзор опционов в классах активов и выделяет два основных типа опционов: колл-опционы и пут-опционы. В случае колл-опциона покупатель может продать его продавцу по указанной дате погашения и цене исполнения, что означает, что по истечении срока продавец обязан продать акции по цене исполнения. Напротив, для опциона пут покупатель может продать его продавцу, что опять-таки делается при наступлении срока погашения, но на этот раз продавец должен купить акции по указанной цене исполнения. Затем лектор представляет два графика, по одному для обоих типов опционов, выделяя их потенциальную прибыль в зависимости от стоимости акции.
 

Вычислительные финансы: Лекция 2/14 (Акции, опционы и стохастика)


Вычислительные финансы: Лекция 2/14 (Акции, опционы и стохастика)

Преподаватель начинает с обзора курса, подчеркивая важность понимания торговой уверенности, хеджирования и необходимости математических моделей в финансах. Они углубляются в тему ценообразования опционов пут и объясняют концепцию хеджирования. Также рассматриваются стохастические процессы и моделирование цен на активы с введением леммы Ито как инструмента для решения стохастических дифференциальных уравнений.

Чтобы проиллюстрировать практическое применение этих концепций, инструктор представляет пример стратегии обучения, в которой инвестор стремится защитить свои инвестиции от потенциального снижения стоимости акций. Они предлагают купить страховку в виде пут-опционов, чтобы обеспечить минимальную сумму денег в худшем случае.

Переходя к торговле опционами, лектор сосредоточится на использовании опционов пут для защиты от снижения цен на акции. Однако они отмечают, что покупка опционов пут может быть дорогостоящей, особенно когда волатильность акций высока, примером чего является Tesla. Чтобы снизить стоимость опциона, можно уменьшить цену исполнения, но это означает принятие более низкой цены акции. Лектор предоставляет скриншот из Reuters, демонстрирующий различные типы опционов, доступных на рынке, с разбивкой по срокам погашения и цене исполнения. Они также объясняют взаимосвязь между ценой исполнения и ценой опциона для опционов колл и пут.

Подразумеваемая волатильность вводится как мера неопределенности рынка. Лектор объясняет, что более низкие цены исполнения связаны с более высокой подразумеваемой волатильностью. Также введена дельта, которая измеряет зависимость стоимости опциона от базового актива. Затем в видео рассматривается концепция хеджирования и то, как можно установить коэффициент для создания безрискового портфеля, хотя и потенциально ограничивающий прибыль, если стоимость акций не увеличивается. Обсуждается хеджирование с помощью опционов, подчеркивая его пригодность для краткосрочных инвестиций, но отмечая его потенциальную дороговизну в периоды высокой волатильности.

Торговля опционами рассматривается как средство хеджирования и снижения рисков. Лектор предполагает, что опционы, как правило, более желательны для краткосрочных инвестиций с определенным сроком погашения, поскольку они могут быть дорогостоящими для долгосрочных инвестиций. Представлена концепция хеджирования колл-опционами, подчеркивающая, как продажа опционов может помочь снизить риск для инвесторов, владеющих большим портфелем акций. Тем не менее, рекомендуется проявлять осторожность против продажи слишком большого количества коллов, поскольку это может ограничить потенциал роста и всегда сопряжено с определенной степенью риска.

Затем в видео рассматриваются товары, объясняя, что они являются сырьем, используемым в качестве страховки от инфляции из-за их непредсказуемых, но часто сезонных ценовых моделей. Торговля сырьевыми товарами в основном ведется на фьючерсном рынке, где заключаются сделки на покупку или продажу товаров в будущем. Подчеркивается различие между рынками электроэнергии и другими товарами, при этом электроэнергия создает уникальные проблемы из-за невозможности ее полного хранения и ее влияния на предсказуемость и стоимость производных финансовых инструментов.

Лектор переходит к обсуждению торговли валютой как класса активов, обычно называемого валютным рынком. В отличие от традиционной покупки или продажи по определенному обменному курсу, люди обменивают денежные суммы между валютами. Лектор подчеркивает роль доллара США как базовой валюты и резервной валюты. Они также касаются манипулирования обменными курсами центральными банками с целью укрепления или ослабления валют. Кроме того, упоминается небольшое применение валютных деривативов для хеджирования валютных рисков в международном бизнесе.

Спикер объясняет, как банки и финансовые учреждения могут покупать или продавать страховки от колебаний обменных курсов, чтобы управлять инвестиционной неопределенностью. Инвестирование в разные страны может привести к неопределенности из-за разной силы валюты и денежно-кредитной политики, что приведет к неопределенной доходности. Вычислительные финансы играют решающую роль в управлении и расчете рисков, связанных с такими инвестициями, путем моделирования неопределенностей и учета различных факторов. Далее спикер отмечает, что биткойны можно рассматривать как валютные курсы, и обсуждает их гибридный характер как регулируемого товара, стоимость которого определяется путем обмена по отношению к доллару США. Волатильность биткойнов затрудняет прогнозирование их будущей стоимости.

Кроме того, спикер исследует концепцию нейтрального к риску ценообразования, которая является фундаментальным принципом ценообразования опционов. Нейтральное к риску ценообразование предполагает, что на совершенно эффективном рынке ожидаемая доходность опциона должна быть равна безрисковой ставке. Этот подход упрощает процесс ценообразования за счет учета вероятностей различных результатов на основе нейтральной к риску меры, когда ожидаемая доходность опциона дисконтируется по безрисковой ставке.

Затем докладчик представляет модель Блэка-Шоулза-Мертона (BSM), которая является широко используемой математической моделью для ценообразования опционов. Модель BSM включает в себя различные факторы, такие как текущая цена акции, цена исполнения, время до экспирации, безрисковая процентная ставка и волатильность базового актива. Он предполагает, что базовый актив следует геометрическому броуновскому движению и что рынок эффективен.

Докладчик объясняет ключевые компоненты модели BSM, в том числе формулу расчета стоимости европейского колл-опциона или пут-опциона. Они подчеркивают важность волатильности при оценке опционов, поскольку более высокая волатильность увеличивает стоимость опциона из-за возможности более значительных колебаний цен. Спикер также упоминает роль подразумеваемой волатильности, которая представляет собой рыночное ожидание будущей волатильности, подразумеваемой ценами опционов.

Далее в лекции рассматривается концепция дельта-хеджирования, которая представляет собой стратегию, используемую для минимизации риска путем сохранения нейтральной позиции по базовому активу. Дельта измеряет чувствительность цены опциона к изменению цены базового актива. Регулируя количество акций, принадлежащих базовому активу, инвестор может создать дельта-нейтральный портфель, на который меньше влияют колебания цен.

Докладчик объясняет процесс дельта-хеджирования с использованием модели BSM и демонстрирует, как он может эффективно снизить риск. Они обсуждают концепцию динамического хеджирования, когда хеджирование постоянно корректируется по мере изменения цены базового актива. Это гарантирует, что портфель останется дельта-нейтральным, и сведет к минимуму подверженность рыночным колебаниям.

Помимо дельта-хеджирования, в лекции рассматриваются другие методы управления рисками, такие как гамма-хеджирование и вега-хеджирование. Гамма измеряет скорость изменения дельты, а вега измеряет чувствительность цены опциона к изменениям подразумеваемой волатильности. Эти методы позволяют инвесторам управлять своими позициями и корректировать их в зависимости от меняющихся рыночных условий и рисков.

Ближе к концу лекции спикер подчеркивает ограничения и допущения модели BSM. Они признают, что реальные рынки могут отклоняться от допущений модели, таких как наличие транзакционных издержек, ограничения ликвидности и влияние рыночных трений. Докладчик призывает к осторожному подходу и подчеркивает важность понимания ограничений и неопределенностей, связанных с моделями ценообразования опционов.

В целом, лекция представляет собой всесторонний обзор торговой уверенности, стратегий хеджирования, моделей ценообразования опционов и методов управления рисками. Он дает учащимся необходимые знания и инструменты для навигации в сложном мире финансовых рынков и принятия обоснованных решений в торговой и инвестиционной деятельности.

  • 00:00:00 В этом разделе инструктор объясняет темы уверенности в торговле, хеджирования и необходимости моделей, которые будут изучены в ходе курса. Они подробно описывают, как оценивать опционы пут и концепцию хеджирования. Преподаватель также рассказывает о стохастических процессах и о том, как моделировать цены на активы. Они вводят лемму Ито и то, как ее можно использовать для решения стохастических дифференциальных уравнений. Наконец, инструктор приводит пример стратегии обучения, когда инвестор хотел бы защитить свои инвестиции от потенциального снижения стоимости акций. Для этого они могут купить страховку, чтобы гарантировать, что у них есть хотя бы определенная сумма денег в худшем случае.

  • 00:05:00 В этом разделе лектор обсуждает использование опционов пут для защиты от нисходящего движения цены акции. Однако покупка опциона пут может быть дорогостоящей, особенно когда волатильность акций высока, как в случае с Tesla. Чтобы удешевить опцион, можно уменьшить цену исполнения, хотя это означает принятие более низкой цены акции. Затем лектор показывает скриншот из Reuters, на котором показаны различные типы опционов, доступных на рынке, с разбивкой по срокам погашения и цене исполнения, а также объясняется взаимосвязь между ценой исполнения и ценой опциона колл и пут.

  • 00:10:00 В этом разделе вводится понятие подразумеваемой волатильности, описывающей ее как меру неопределенности на рынке. Чем ниже страйк, тем выше подразумеваемая волатильность, и дельта также вводится как мера того, насколько стоимость опциона зависит от базового актива. Затем в видео объясняется, как работает хеджирование и как существует коэффициент, который не приводит к изменению стоимости портфеля, обеспечивая мгновенные безрисковые результаты, но также может ограничивать потенциальную прибыль, если стоимость акций не увеличивается. Затем обсуждается хеджирование с помощью опционов и объясняется, что оно подходит для тех, кто не планирует хранить свои акции в течение длительного времени, хотя при высокой волатильности это может быть дорого.

  • 00:15:00 В этом разделе лектор обсуждает торговлю опционами как форму хеджирования и снижения рисков. Они объясняют, что опционы обычно желательны только для краткосрочных инвестиций с определенным сроком погашения и что их использование для долгосрочных инвестиций может быть дорогостоящим. Лектор также рассказывает о концепции хеджирования с помощью коллов и о том, как продажа опционов может снизить риск для инвесторов, владеющих большим портфелем акций. Тем не менее, они предупреждают, что продажа слишком большого количества коллов может снизить потенциал роста владения акциями, и что торговля опционами всегда сопряжена с определенным риском.

  • 00:20:00 В этом разделе видео рассказывается о сырьевых товарах, таких как драгоценные металлы, нефть и продукты питания, которые часто используются в качестве страховки от инфляции, поскольку их цены непредсказуемы, но часто имеют сезонный эффект. Торговля товарами в основном осуществляется на рынке фьючерсов, где заключаются сделки по покупке или продаже товара в будущем. Разница между рынками электроэнергии и других товаров заключается в том, что электроэнергию нельзя полностью хранить, что затрудняет работу рынка, особенно если от электроэнергии зависит предсказуемость и рост дериватива. Энергетические рынки для товаров часто связаны непосредственно с торговлей и поставками энергии и регулируются национальными международными органами для защиты прав потребителей и предотвращения олигополии.

  • 00:25:00 В этом разделе лектор обсуждает класс активов валют, иначе известный как валютный рынок. Он уникален тем, что люди не могут покупать или продавать по определенному обменному курсу. Вместо этого они обменивают суммы денег из одной валюты в другую. Доллар считается базовой валютой и является резервной валютой. Валютный рынок является одним из самых манипулируемых рынков в мире из-за доступа центральных банков к резервам. Они могут влиять или манипулировать обменными курсами, чтобы укрепить или ослабить валюту. Лектор также рассказывает о небольшом приложении на валютных рынках, где дериватив можно использовать для хеджирования валютных рисков при ведении бизнеса за границей.

  • 00:30:00 В этом разделе спикер обсуждает, как банки и другие финансовые учреждения могут покупать или продавать страховки от колебаний обменных курсов, чтобы справиться с инвестиционной неопределенностью. При инвестировании за границей разные страны могут иметь разную силу своих валют и денежно-кредитной политики, что может привести к неопределенной доходности. Вычислительные финансы ориентированы на управление и расчет рисков, связанных с этими типами инвестиций, путем моделирования этих неопределенностей и учета множества факторов. Спикер также отмечает, что биткойны можно считать валютными курсами, и это интересный гибридный продукт, поскольку он регулируется как товар, но его качество определяется путем его обмена по отношению к доллару США. Кроме того, цены на биткойны изменчивы, что затрудняет прогнозирование их стоимости в будущем.

  • 00:35:00 В этом разделе спикер обсуждает использование опционов пут для защиты прибыли от инвестиций в биткойн. Стоимость опциона пут зависит от того, насколько далеко страйк от текущей стоимости биткойна, при этом более высокий страйк приводит к более высокой цене опциона. Однако игра на этом рынке требует значительного капитала из-за значительной суммы денег, необходимой для оплаты страховки. Волатильность Биткойна также увеличивает неопределенность и стоимость инвестиций в опционы. Спикер также приводит краткую историю опционов и объясняет, что опционы с более длительным сроком погашения, как правило, стоят дороже, чем базовые активы, из-за стоимости страхования.

  • 00:40:00 В этом разделе видео спикер представляет и объясняет различные типы опций, включая европейские, американские, бермудские и экзотические/зависящие от пути варианты. Европейские опционы могут быть исполнены только в дату истечения/погашения, в то время как американские опционы могут быть исполнены в любой торговый день, что делает их более дорогими. Опционы Бермудских островов имеют конкретные даты исполнения, в то время как экзотические опционы / опционы, зависящие от пути, настраиваются и не очень ликвидны. Затем спикер обсуждает различные термины, связанные с опционами, такие как срок погашения, цена исполнения, портфель, автор и финансовый инжиниринг. Основное внимание в серии лекций уделяется точному ценообразованию опционов и минимизации связанных с ними рисков. Докладчик также упрощает обсуждение с помощью графика и подчеркивает важность понимания основных факторов, влияющих на ценообразование опционов.

  • 00:45:00 В этом разделе профессор обсуждает ценообразование и сравнение опционов на акции с использованием статистических моделей и регрессионного анализа. Основное внимание уделяется точке зрения продавца опциона, который хотел бы хеджировать свою позицию, чтобы продать опцион, и в то же время защитить себя от риска роста или падения акций. Хеджируя портфель, продавец может продать опцион и получить стоимость, VC0 и значение дельты, которое должно быть сопоставлено посредством покупки или продажи определенного количества акций для хеджирования любого потенциального риска. Автор должен рассмотреть два сценария при выборе дельты, независимо от того, идет ли акция вверх или вниз, чтобы минимизировать риск и максимизировать прибыль.

  • 00:50:00 В этом разделе лекции профессор объясняет, как построить портфель таким образом, чтобы на него не влияли колебания рынка. Чтобы достичь этого, стоимость портфеля не должна меняться независимо от того, идет ли акция вверх или вниз. Профессор использует простое упражнение для определения дельты, которая представляет собой разницу между акциями вверх и вниз. Как только это будет рассчитано, его можно заменить, чтобы определить стоимость опциона, которая окажется меньше цены объема. Это означает, что статистический анализ, используемый для прогнозирования акций, не имеет ничего общего со стоимостью опциона, которая зависит от акций. Было обнаружено, что разница в стоимости опционов важнее, чем вероятность, которая может быть связана с более высокой волатильностью акции, которая приводит к росту цены.

  • 00:55:00 В этом разделе обсуждаются факторы, определяющие цену опциона, включая текущее состояние акции, срок погашения и волатильность. Процентные ставки также играют роль в определении стоимости опциона. Более длительное время до экспирации и более высокая волатильность увеличивают вероятность того, что опцион будет в деньгах, в то время как выходной паритет указывает на наличие связи между коллами и путами. Переключаясь между ними, можно численно оценить, что более выгодно. При использовании паритета выпуска нет необходимости делать какие-либо предположения относительно запасов, и если соотношение не выполняется, существует арбитраж.

  • 01:00:00 В этом разделе лектор обсуждает концепцию арбитража и представляет стратегию, которая включает использование информации о коллах и путах, чтобы определить, существует ли арбитраж на рынке. Также подчеркивается важность моделирования случайного поведения на фондовом рынке, и вводятся две распространенные модели: геометрическое и арифметическое броуновское движение. Лектор подчеркивает, как последнее позволяет запасам становиться отрицательными, что нежелательно. Кроме того, обсуждается концепция рентабельности инвестиций и проводится небольшой эксперимент с использованием рыночных данных за пять лет для измерения процентной доходности. Показано, что доходность колеблется вокруг нуля со случайными скачками вверх или вниз.

  • 01:05:00 В этом разделе видео обсуждается использование собранных доходов для оценки плотности доходов во времени, среднее значение которой равно нулю, а стандартное отклонение равно одному проценту. Эмпирическая кумулятивная функция распределения сравнивается с нормальным распределением, показывая, что первая имеет более толстый хвост и не стремится к нулю так быстро, как функция, полученная из эмпирического распределения. Затем в видео представлен процесс Винера, также известный как броуновское движение, как обычная практика моделирования шума с целью моделирования случайности в акции. Винеровский процесс обладает многими желаемыми свойствами, в том числе нулевым возвратом в момент времени t0, стационарными независимыми приращениями, нормальным распределением с нулевым средним значением и дисперсией t, а также непрерывным путем без скачков. В видео также обсуждаются два основных компонента моделирования акций: время и волатильность, которые влияют на цену и находятся в модели в квадрате.

  • 01:10:00 В этом разделе лектор объясняет определение стохастического процесса и его использование в моделировании цен и доходности акций. Стохастический процесс — это случайная величина с двумя параметрами — временем и вероятностным пространством. Лектор дает формальное определение случайного процесса как набора случайных величин, заданных в двух измерениях. Они также обсуждают процесс геометрического броуновского движения, который используется для моделирования цен на акции. Процесс состоит из члена дрейфа и члена волатильности, и его можно дискретизировать для моделирования цен акций на каждом временном шаге. Лектор подчеркивает важность учета временной составляющей при моделировании цен и доходности акций.

  • 01:15:00 В этом разделе видео лектор обсуждает стохастические дифференциальные уравнения и интегральную форму. Далее они описывают модель Самельсона, которая представляет собой процесс в форме геометрического броуновского движения. Эта модель достаточно хорошо согласуется с реальными данными для акций и индексов при калибровке с учетом исторических реализаций. Однако он не подходит для калибровки по вариантам, и расхождения в реальных данных, по-видимому, имеют большую вероятность значительного роста и падения, чем предсказывает модель. Это связано с гауссовым характером модели, в которой экстремальные события не могут происходить, а большая часть информации находится в пределах трех сигма-интервалов.

  • 01:20:00 В этом разделе спикер обсуждает различные модели, используемые для опционов, с акцентом на роль волатильности как основного драйвера в этих моделях. Модели, используемые для опционов, определяются волатильностью, и при решении таких проблем, как несоответствие хвостов, возможные альтернативные решения включают в себя включение скачков или стохастической волатильности. Докладчик также представляет три процесса: арифметическое броуновское движение, геометрическое броуновское движение и процесс Орнштейна-Уленбека, уделяя особое внимание их особенностям и различиям. Хотя арифметическое броуновское движение простое, доходность акций может быть отрицательной, что делает геометрическое броуновское движение предпочтительным, поскольку значения процесса всегда остаются положительными. Наконец, процесс Орнштейна-Уленбека представлен версией спидометра с долгосрочным средним значением и параметром, представляющим скорость, с которой пути будут колебаться вокруг этого среднего значения.

  • 01:25:00 В этом разделе лектор обсуждает различия между различными стохастическими процессами, используемыми в разных классах активов, например, геометрическое броуновское движение, обычно используемое для акций, поскольку акции не могут быть отрицательными и обычно испытывают экспоненциальный рост. Лекция также знакомит с леммой Ито, инструментом в финансах, используемым для поиска решения конкретного стохастического дифференциального уравнения. Лемма учит, что такое динамика процесса при заданной функции процесса, а лектор объясняет, как это позволяет решать многие дифференциальные уравнения вручную. Главный элемент, который следует помнить при работе с леммой Ито, — это таблица Ито.

  • 01:30:00 В этом разделе спикер обсуждает использование таблицы Ethos для нахождения стохастического дифференциального уравнения для данного процесса. Лемма Ито — мощный инструмент для нахождения динамики процесса, учитывая второй процесс в функции, которую хотелось бы применить, и ее можно легко применить, если запомнить таблицу. Докладчик приводит пример биржевого процесса с использованием геометрического броуновского движения и логарифмической функции для нахождения динамики, а благодаря применению таблицы в уравнении остается только один элемент, который используется для нахождения окончательного решения.

  • 01:35:00 В этом разделе спикер обсуждает решение процесса акции в терминах броуновского движения и логарифма процесса акции. Логарифм стокового процесса имеет гауссово распределение с постоянной частью и арифметической частью броуновского движения. Установлено, что функция плотности логарифма биржевого процесса представляет собой логарифмически нормальное распределение со средним значением и дисперсией, определяемыми параметрами процесса. Затем выступающий объясняет, как различные параметры влияют на логарифмически нормальное распределение процесса, например, изменения волатильности, приводящие к более широкому распределению.

  • 01:40:00 В этом разделе спикер обсуждает влияние мю на дисперсию процесса и результирующее влияние на распределение процесса. Более высокое мю приводит к более толстым хвостам распределения и увеличивает изменчивость процесса. Затем динамик показывает смоделированный нормальный процесс и логарифмический нормальный процесс, в котором последний имеет асимметричную плотность и более толстый хвост вверх. Это отражает акции, движимые геометрическим движением границ и их экспоненциальной формой плотности.
 

Вычислительные финансы: Лекция 3/14 (Оценка опционов и моделирование в Python)



Вычислительные финансы: Лекция 3/14 (Оценка опционов и моделирование в Python)

В лекции инструктор углубляется в моделирование движения акций в Python и исследует модель Блэка-Шоулза для вариантов ценообразования. Они обсуждают два подхода к получению безарбитражной цены опционов, а именно хеджирование и мартингейл. Докладчик демонстрирует, как программировать мартингалы и моделировать их, подчеркивая связь между дифференциальными уравнениями в частных производных (УЧП) и моделированием Монте-Карло в рамках ценообразования.

Используя метод дискретизации Эйлера, спикер объясняет, как моделировать и строить графики случайных процессов. Они начинают с простого процесса и используют лемму Ито для перехода от S к X, логарифму S. Затем лектор знакомит с методом дискретизации Эйлера и демонстрирует его реализацию в Python. Этот метод включает в себя дискретизацию непрерывной функции и моделирование приращений как для дрейфа, так и для броуновского движения, в результате чего получаются графики смоделированных траекторий.

С вычислительной точки зрения докладчик обсуждает моделирование путей для моделей ценообразования опционов. Вместо того, чтобы моделировать каждый путь по отдельности, они объясняют эффективность выполнения квантования времени и построения матрицы, в которой каждая строка представляет определенный путь. Количество строк соответствует количеству путей, а количество столбцов соответствует количеству временных шагов. Докладчик объясняет реализацию процесса дискретизации с использованием стандартной нормальной случайной величины и подчеркивает важность стандартизации для лучшей сходимости.

Лекция также посвящена моделированию траекторий геометрического броуновского движения с помощью Python. Докладчик показывает, как исправить случайное начальное число для стабильного моделирования, и представляет модель Блэка-Шоулза, которая включает стохастическое дифференциальное уравнение с дрейфом и такими параметрами, как мю и сигма, для моделирования цен на активы. Спикер подчеркивает, что модель Блэка-Шоулза по-прежнему широко используется в финансовой индустрии, в частности, для оценки опционов на акции. Они обсуждают концепции реальной меры и нейтральной к риску меры, которые помогают в ценообразовании на основе различных вероятностей результата.

Кроме того, лекция посвящена ценообразованию опционов и моделированию в Python. Докладчик проводит различие между реальной мерой, оцениваемой на основе исторических данных без допущения арбитражных или безрисковых условий, и мерой с нейтральным риском, которая требует выполнения определенных условий. Они представляют собой торговую стратегию, включающую непрерывную торговлю акциями и корректировку позиции опциона с учетом движения базовой акции. Докладчик объясняет динамику портфеля с помощью леммы Ито и выводит стохастическую природу стоимости опционов с помощью этого метода.

Спикер также углубляется в методы построения портфеля хеджирования, который не зависит от броуновского движения. Они обсуждают выбор дельты, которая сводит на нет условия, связанные с броуновским движением, обеспечивая дельта-нейтральный портфель. Докладчик подчеркивает важность того, чтобы портфель приносил такой же доход, как и сберегательный счет, и вводит концепцию счетов с денежными настройками.

Кроме того, в лекции рассматривается вывод дифференциальных уравнений в частных производных (УЧП) для оценки опционов с использованием модели Блэка-Шоулза. Полученное PDE представляет собой производную второго порядка с граничными условиями, определяющими справедливую стоимость опциона. Докладчик подчеркивает, что цена опциона по модели Блэка-Шоулза существенно не зависит от параметра дрейфа mu, который можно получить из калибровочных или исторических данных. Однако в этой модели не учитываются трансакционные издержки на хеджирование.

В лекции рассматриваются различные важные концепции модели Блэка-Шоулза и ценообразования опционов. В нем обсуждается предположение об отсутствии арбитражных возможностей, что приводит к безрисковому сценарию применения модели. Докладчик объясняет концепцию дельта-хеджирования и то, как оно устраняет самую большую случайную составляющую портфеля. Кроме того, спикер представляет гамму как меру поведения дельты и подчеркивает, что каждый параметр в модели можно хеджировать. Наконец, в лекции рассматриваются факторы, определяющие стоимость опциона, такие как время, страйк, волатильность и рыночные параметры.

В лекции спикер более подробно исследует модель Блэка-Шоулза и ее применение в ценообразовании опционов. Они обсуждают допущения и ограничения модели, в том числе допущение о постоянной волатильности и отсутствии транзакционных издержек. Несмотря на эти ограничения, модель Блэка-Шоулза по-прежнему широко используется в финансовой индустрии из-за ее простоты и эффективности при оценке европейских опционов колл и пут.

Докладчик вводит понятие подразумеваемой волатильности, которая представляет собой рыночное ожидание будущей волатильности, основанное на текущих ценах опционов. Подразумеваемая волатильность является ключевым параметром в модели Блэка-Шоулза, поскольку она влияет на цену опционов. Докладчик объясняет, как можно получить подразумеваемую волатильность из рыночных данных с помощью модели, и обсуждает ее значение в стратегиях торговли опционами.

В лекции рассматриваются различные стратегии торговли опционами, такие как дельта-хеджирование и гамма-торговля. Дельта-хеджирование предполагает постоянную корректировку состава портфеля для поддержания нейтральной позиции по отношению к изменениям цены базового актива. Гамма-торговля фокусируется на использовании изменений гаммы, которая измеряет, как изменяется дельта по отношению к цене базового актива. Эти стратегии направлены на управление рисками и максимизацию прибыльности в торговле опционами.

Докладчик также затрагивает другие важные факторы, влияющие на цены опционов, в том числе временной распад (тета), процентные ставки (ро) и дивидендную доходность. Они объясняют, как эти факторы влияют на цену опционов и как трейдеры могут использовать их для принятия обоснованных решений.

На протяжении всей лекции программирование на Python используется для демонстрации реализации различных моделей ценообразования опционов и торговых стратегий. Докладчик приводит примеры кода и объясняет, как использовать библиотеки и функции для выполнения расчетов и моделирования.

Таким образом, лекция представляет собой всесторонний обзор ценообразования и моделирования опционов с использованием модели Блэка-Шоулза и связанных с ней концепций. В нем подчеркивается практическое применение этих концепций в программировании на Python, что делает его ценным ресурсом для людей, заинтересованных в количественных финансах и торговле опционами.

  • 00:00:00 В этом разделе лекции инструктор обсуждает моделирование движения акций в Python и модель Блэка-Шоулза для ценообразования. Он объясняет два способа получения безарбитражной цены опционов с помощью хеджирования и мартингейлов, а также демонстрирует, как программировать мартингейлы и моделировать их. Он также обсуждает взаимосвязь между дифференциальными уравнениями в частных производных (УЧП) и моделированием Монте-Карло в системе ценообразования и как различать различные меры в стохастическом дифференциальном уравнении. Лекция завершается доказательством модели Блэка-Шоулза и демонстрацией того, как выполнять ценообразование с помощью Python.

  • 00:05:00 В этом разделе спикер обсуждает, как моделировать и строить графики случайных процессов с помощью метода дискретизации Эйлера. Они начинают с простого процесса из предыдущей лекции и используют лемму Ито для перехода от S к X, логарифму S. Затем они объясняют метод дискретизации Эйлера и то, как его реализовать с помощью Python. Метод включает дискретизацию непрерывной функции и моделирование приращений как для дрейфа, так и для броуновского движения. Код, показанный в видео, используется для создания графиков смоделированных путей.

  • 00:10:00 В этом разделе спикер обсуждает вычислительную перспективу моделирования путей для модели ценообразования опционов. Вместо того, чтобы моделировать каждый путь по отдельности, с вычислительной точки зрения эффективно выполнять квантование времени и строить матрицу, в которой каждая строка соответствует определенному пути. Количество строк определяется количеством путей, а количество столбцов определяется количеством временных шагов. Докладчик объясняет реализацию дискретизации процесса с использованием стандартной нормальной случайной величины и то, как стандартизация помогает добиться лучшей сходимости.

  • 00:15:00 В этом разделе спикер объясняет, как моделировать пути геометрического броуновского движения с помощью Python, в том числе как исправить случайное начальное число для стабильного моделирования. Они также вводят модель Блэка-Шоулза, которая включает стохастическое дифференциальное уравнение с дрейфом и параметры, такие как мю и сигма, для моделирования цены актива, такого как акция. Они отмечают, что эта модель все еще широко используется в финансовой индустрии, и объясняют, как ее можно использовать для оценки опционов на акции. Спикер также обсуждает концепцию реальной оценки и нейтральной к риску меры, которые помогают оценивать варианты на основе вероятностей различных результатов.

  • 00:20:00 В этом разделе лекции обсуждается ценообразование опционов и моделирование в Python. Мера реального мира объясняется как параметры, оцениваемые на основе исторических данных, без каких-либо предположений об арбитраже или отсутствии риска, в то время как мера нейтрального риска требует соблюдения произвольных условий. Представлена стратегия, в которой человек держит один опцион и постоянно торгует акциями, чтобы удерживать несколько акций, покупая или продавая опцион, чтобы поймать движение базовой акции. Портфель последовательно ребалансируется каждый день, чтобы соответствовать его стоимости и хеджировать любые колебания базовых акций. Лемма Ито применяется для определения динамики портфеля, и с помощью этого метода стоимость опциона выводится как стохастическая.

  • 00:25:00 В этом разделе лекции спикер обсуждает замену запаса динамикой, чтобы применить лемму Ито и обработать квадратный член. Затем они объясняют, как построить хеджирующий портфель, не зависящий от броуновского движения, что достигается путем выбора дельты, для которой все члены вокруг броуновского движения будут равны нулю. Спикер также обсуждает, как этот портфель должен давать такую же доходность, как размещение всех денег на сберегательном счете, и объясняет представление денег через счета денежных настроек.

  • 00:30:00 В этом разделе лектор объясняет, как вывести уравнение в частных производных (УЧП) для оценки опционов с использованием модели Блэка-Шоулза. Полученное PDE представляет собой производную второго порядка с граничными условиями, которую можно использовать для определения справедливой стоимости опциона. Интересно, что модель не зависит от параметра mu, а это означает, что дрейфы, полученные в результате калибровки или исторических данных, не оказывают существенного влияния на ценообразование опционов в нейтральной к риску структуре. Однако важно отметить, что в этой модели не учитываются трансакционные издержки на хеджирование.

  • 00:35:00 В этом разделе спикер обсуждает несколько важных концепций модели Блэка-Шоулза и ценообразования опционов. Во-первых, предполагается, что возможности арбитража отсутствуют, что означает, что модель применяется в безрисковом сценарии. Докладчик также объясняет дельта-хеджирование и то, как оно устраняет крупнейший случайный компонент портфеля. Кроме того, спикер рассказывает о важности гаммы, которая измеряет поведение дельты и то, как можно хеджировать каждый параметр в модели. Наконец, спикер обсуждает факторы, определяющие стоимость опциона, включая время, страйк, волатильность и рыночные параметры. Одним из наиболее важных открытий модели Блэка-Шоулза является то, что уравнение ценообразования не зависит от мю, которое не является очень важным компонентом в ценообразовании опционов.

  • 00:40:00 В этом разделе спикер обсуждает ценообразование опционов и моделирование в Python. Они анализируют график, отображающий различные опционы пут и колл для SMP с текущей стоимостью 38 сотен, различными сроками погашения и подразумеваемой волатильностью, полученной из подразумеваемой волатильности и дельты Блэка-Шоулза. Они объясняют, что модель Блэка-Шоулза, несмотря на ее ограничения и допущения, считается рыночным стандартом для оценки опционов. Затем спикер представляет мартингейлы, которые предлагают альтернативный способ определения справедливой стоимости опциона. Они объясняют концепцию фильтрации и три условия, при которых стохастический процесс считается мартингалом. Они отмечают, что третье условие является наиболее важным и что мартингалы являются полезным методом для многомерных BD.

  • 00:45:00 В этом разделе видео обсуждается понятие мартингейла и его связь с честностью и нулевым арбитражем. Объясняются и демонстрируются на примерах условия проверки того, является ли броуновское движение мартингальным. Затрагиваются также независимость приращений броуновского движения и свойство линейных ожиданий. Вводится пример, включающий логарифмически нормальное распределение, и объясняется основное условие, которое необходимо проверить, чтобы определить, является ли это мартингейлом.

  • 00:50:00 В этом разделе лектор обсуждает использование метода фильтрации для вычисления математического ожидания e wt-s и подтверждает, что процесс, указанный в предыдущей строке, удовлетворяет маргинальному условию и является мартингалом. Главный вывод из этого раздела состоит в том, что стохастический интегральный процесс является мартингалом, и всякий раз, когда определяемый процесс является интегралом без дрейфа, xt всегда является мартингалом по отношению к фильтрации. Процесс без дрейфа также можно представить в дифференциальной форме как dxt = dt * dw t.

  • 00:55:00 В этом разделе лектор обсуждает, является ли цена акции мартингейлом. Акции, как правило, не являются мартингейлами, потому что было бы плохой инвестицией, если вы ожидаете в будущем ту же сумму денег, что и вложили. Однако, если вы рассматриваете процесс дисконтирования акций и дисконтируете будущие денежные потоки до сегодняшнего дня, вы ожидаете, что стоимость компании будет равна стоимости, которую вы видите сегодня. Лектор применяет лемму Ито и выясняет динамику s над m, чтобы увидеть, является ли этот термин мартингалом. Применение теоремы о стохастическом интегральном процессе может определить условия, при которых это выполняется. Первая частная производная по акции равна единице по m, а вторая производная равна нулю, поэтому этот член является мартингалом.

  • 01:00:00 В этом разделе спикер обсуждает, как переключаться между мерами, чтобы преобразовать динамику процесса дисконтированных акций в мартингейл по мере Q, которая является мерой интереса. Докладчик показывает, как переключить ожидание с измеримой меры P на меру Q, и объясняет, что когда у нас есть процесс и мера, мы можем получить преобразование меры. Выполняя условие, согласно которому процесс дисконтированных запасов должен быть мартингейлом в мере Q, говорящий отменяет ведущие члены и получает преобразование меры для переключения между мерами.

  • 01:05:00 В этом разделе лекции преподаватель обсуждает отправную точку для уравнений ценообразования, которые включают в себя ожидание при нейтральной к риску мере дисконтированного будущего выигрыша до сегодняшнего дня. Это формирует рыночную цену дериватива, и уравнение динамики этого выражения включает рыночную цену риска, которая говорит об отношении между ожидаемым ростом акции по сравнению с процентной ставкой, масштабированной с учетом волатильности. Преподаватель демонстрирует, как использовать лемму Ито, чтобы найти динамику для этого выражения, и после упрощения полученное уравнение совпадает с выражением для УЧП в уравнении Блэка-Шоулза.

  • 01:10:00 В этом разделе спикер объясняет, что при расчете ожидания по нейтральной к риску мере нельзя рассматривать процесс, который не находится под нейтральной к риску мерой. Это означает, что процесс, используемый для ожидания, должен иметь r для его дисконтирования. Следовательно, в процессе, используемом для ожидания, дрейф всегда должен быть изменен с m на r. Докладчик использует код Python, чтобы продемонстрировать, как проверить, является ли акция мартингейлом или нет, и вводит дисконтную стоимость акции, используя деньги, сохраненные на счетах. Они также увеличивают количество путей для моделирования, чтобы повысить точность, но предостерегают от построения всех путей по соображениям производительности.

  • 01:15:00 В этом разделе докладчик обсуждает связь между моделированием методом Монте-Карло и уравнениями в частных производных (УЧП) для оценки опционов. Докладчик представляет общий УЧП и подчеркивает, что УЧП зависит не от μ, а от процентной ставки r. Чтобы связать ценообразование с помощью моделирования Монте-Карло с решением этого УЧП, докладчик вводит формулу Фейнмана-Каца, которая устанавливает связь между УЧП и случайными процессами и предлагает метод решения некоторых УЧП путем моделирования случайных путей стохастического процесса. Также обсуждается финальное условие, и спикер отмечает, что дисконтирование обычно связано с ценообразованием.

  • 01:20:00 В этом разделе спикер объясняет, как рассчитать стоимость дериватива сегодня путем дисконтирования ожидаемых будущих платежей и как безрисковая ставка используется для дисконтирования будущих денежных потоков. Докладчик также обсуждает стохастический процесс и то, как связать его с уравнением в частных производных (УЧП) для значения производной. Применяя лемму Ито к процессу, упрощая условия и интегрируя обе части стохастического дифференциального уравнения, докладчик показывает, что математическое ожидание интеграла равно нулю, и это помогает доказать связь между УЧП и значением производной.

  • 01:25:00 В этом разделе лектор объясняет стохастическое исчисление и его использование в оценке опционов. Он показывает, как математическое ожидание стохастического интеграла, включающего броуновское движение, всегда равно нулю, что приводит к тому, что стоимость опциона сегодня равна ожидаемой выплате процесса по истечении срока. Лектор демонстрирует, как решать уравнения в частных производных с терминальными условиями, используя стохастическое исчисление, и показывает, как можно получить решение СДУ, вычислив второй момент переменной и применив его к уравнению ценообразования. Наконец, он объясняет, что дисконтированная будущая стоимость выигрыша всегда связана с решением уравнения ценообразования и что дрейф процесса всегда равен дрейфу нейтральной к риску меры.

  • 01:30:00 В этом разделе лектор объясняет два основных подхода к оценке опционов: подход PDE и вероятностный подход с нейтральным риском. Нейтральный к риску подход предполагает изменение меры вероятности с истинной статистической вероятности на нейтральную к риску вероятность, что особенно важно при работе с мартингейлами. Лектор также обсуждает различия между мерами и то, когда выбирать какую из них, при этом нейтральная к риску вероятность представляет собой вероятность будущего события или состояния, с которым согласны обе торговые стороны на рынке. Это помогает оценить вероятности, связанные с конкретным событием, и измерить его цену.

  • 01:35:00 В этом разделе спикер объясняет концепцию нейтральной к риску вероятности, которая представляет собой вероятность, измеряемую рынком и используемую для оценки финансовых инструментов. Вероятность, нейтральная к риску, не является исторической статистикой или прогнозом, а скорее отражает общее убеждение рынка в отношении вероятности того, что событие произойдет. Докладчик показывает, как имитировать симуляции Монте-Карло, используя меру Q или меру P. Показатель Q является нейтральным к риску показателем, и он определяется после установления цены контракта, что говорит нам о нейтральной к риску вероятности, приписываемой конкретному событию. Докладчик подчеркивает важность использования этой меры вероятности, чтобы избежать арбитража, и объясняет, как оценить параметры, необходимые для моделирования, на основе рыночных и исторических данных.

  • 01:40:00 В этом разделе лекции концепция дрейфа обсуждается в связи с ценообразованием опционов и моделированием в Python. Моделирование включает в себя расчет отношения между акциями в любой момент времени и деньгами, хранящимися на счетах, что представляет собой мартингейл при нейтральном к риску показателе. Код построен и показывает, что по показателю B отношение не является мартингейлом. Вторая часть лекции включает в себя применение известной модели Блэка-Шоулза для нахождения цены опциона при геометрическом броуновском движении и вывод формулы Блэка-Шоулза с использованием логарифмического преобразования и интегрирования функции. Математическое ожидание рассчитывается по нейтральной к риску мере, а значение производной получается по формуле Фейнмана-Каца.

  • 01:45:00 В этом разделе видео объясняется процесс использования функции генерации кумулянта для расчета цены опциона. Он включает в себя преобразование исходного интеграла ценообразования опционов в версию функции, производящей кумулянт. Преобразование обеспечивает нормальное распределение, с которым проще работать, чем с логарифмически нормальным распределением. После подстановки мы получаем теорему ценообразования Блэка-Шоулза, известную формулу для оценки европейских колл-опционов.
 

Вычислительные финансы: Лекция 4/14 (Подразумеваемая волатильность)



Вычислительные финансы: Лекция 4/14 (Подразумеваемая волатильность)

В этой всеобъемлющей лекции по вычислительным финансам концепция подразумеваемой волатильности занимает центральное место, проливая свет на ее значение в расчетах цены опционов. Хотя модель Блэка-Шоулза служит основой для расчета подразумеваемой волатильности, должным образом подчеркиваются ее ограничения и неэффективность. В лекции рассматриваются различные методологии расчета подразумеваемой волатильности, в частности итерационные процессы, такие как метод Ньютона-Рафсона. Кроме того, лектор исследует проблемы, связанные с моделированием цен опционов, и подчеркивает роль подразумеваемой волатильности в отражении рыночных ожиданий. На протяжении всей лекции центральной темой остается решающее значение понимания волатильности в ценообразовании опционов и построения эффективных портфелей хеджирования.

Лекция расширяет свое исследование, сосредотачиваясь на взаимосвязи между ценами опционов и подразумеваемой волатильностью, с особым акцентом на ликвидные опционы пут и колл. Он исследует различные типы перекоса подразумеваемой волатильности, включая параметры волатильности, зависящие от времени, и влияние зависимости от времени на улыбку подразумеваемой волатильности. Кроме того, в лекции рассматриваются ограничения модели Блэка-Шоулза и альтернативные подходы к работе с моделями волатильности, включая модели локальной волатильности, модели скачков и модели стохастической волатильности. Также выясняется влияние срока погашения опциона на волатильность: опционы с более коротким сроком погашения демонстрируют более концентрированное распределение вокруг денежного уровня по сравнению с опционами с более длительным сроком погашения, где эффект улыбки становится менее выраженным.

Профессор начинает с краткого изложения ключевых понятий, рассмотренных в предыдущих разделах, особенно касающихся ценообразования опционов и моделирования волатильности. Вводится подразумеваемая волатильность, подчеркивая ее расчет на основе рыночных данных и ее роль в измерении неопределенности. Подробно обсуждается алгоритм вычисления подразумеваемой волатильности. Кроме того, рассматриваются ограничения и эффективность модели Блэка-Шоулза, а также расширения, такие как включение параметров волатильности, зависящих от времени, и создание поверхностей подразумеваемой волатильности. Лекция также затрагивает недостатки использования исключительно модели Блэка-Шоулза и знакомит с альтернативными моделями, такими как локальная волатильность и стохастическая волатильность. Особое внимание уделяется необходимости определения подходящей модели для оценки условных требований и важности построения портфеля хеджирования, состоящего из опционов и акций, для получения дифференциального уравнения в частных производных (УЧП).

Докладчик переходит к исследованию использования ожиданий при решении дифференциальных уравнений в частных производных, в частности, при работе с детерминированной процентной ставкой и необходимости учета ожиданий в рамках нейтральной к риску меры. Уравнение ценообразования для европейских опционов колл и пут представлено на основе функции нормального кумулятивного распределения (CDF) начальных запасов, оцениваемой в точках d1, которая зависит от параметров модели, а также показателя степени, включающего процентную ставку в течение времени до погашения. В лекции объясняется, что эту формулу можно легко реализовать в Excel.

Затем лектор уточняет параметры, необходимые для модели Блэка-Шоулза, которая служит инструментом для оценки цен опционов. Эти параметры включают время до погашения, страйк, процентную ставку, текущую стоимость акций и параметр волатильности, сигма, который необходимо оценивать с использованием рыночных цен. Лектор подчеркивает взаимно однозначное соответствие между ценой опциона и волатильностью, подчеркивая, что увеличение волатильности влечет за собой соответствующее увеличение цены опциона, и наоборот. Затем обсуждается концепция подразумеваемой волатильности, подчеркивая ее расчет на основе средней цены и ее значение в рамках модели Блэка-Шоулза.

Далее лекция посвящена получению подразумеваемой волатильности из моделей с несколькими параметрами. Отмечается, что вне зависимости от выбранной модели она должна пройти тест модели Блэка-Шоулза. Однако использование модели Блэка-Шоулза для одновременной оценки всех опционов становится непрактичным из-за разной подразумеваемой волатильности для каждого страйка. В лекции также отмечается, что подразумеваемая волатильность имеет тенденцию к увеличению с увеличением срока погашения опциона, что означает большую неопределенность. Приведен пример, демонстрирующий вычисление подразумеваемой волатильности с использованием рыночных данных и стандартного колл-опциона на 100 акций.

Концепция подразумеваемой волатильности далее разъясняется лектором. Исторические данные по опциону используются для оценки его волатильности с помощью уравнения Блэка-Шоулза. Тем не менее, лектор подчеркивает, что, хотя эта оценка дает определенную цену опциона, рынок мог оценить ее по-разному из-за ее прогнозного характера, в отличие от ретроспективной исторической оценки. Несмотря на это несоответствие, взаимосвязь между двумя волатильностями по-прежнему используется в инвестиционных целях, хотя лектор советует предостеречь от чисто спекулятивной зависимости от этой взаимосвязи. Затем в лекции объясняется, как рассчитать подразумеваемую волатильность с помощью уравнения Блэка-Шоулза, учитывая рыночную цену и другие характеристики опциона. Тем не менее, лектор признает, что концепция подразумеваемой волатильности по своей сути ошибочна, поскольку не существует окончательного правильного значения, а используемая модель является приближенным, а не истинным представлением цены опциона.

Лектор переходит к объяснению процесса нахождения подразумеваемой волатильности, используя метод Ньютона-Рафсона, итеративный подход. Этот метод включает настройку функции, основанной на уравнении Блэка-Шоулза и рыночной цене, для решения сигмы, подразумеваемой волатильности. Лектор рассказывает об использовании разложения в ряд Тейлора для расчета разницы между точным решением и итерацией с целью найти функцию, при которой подразумеваемая волатильность Блэка-Шоулза соответствует подразумеваемой волатильности рынка. Способность быстро вычислять подразумеваемую волатильность за миллисекунды имеет решающее значение для маркет-мейкеров для выявления возможностей арбитража и получения прибыли.

Вводится понятие итеративного процесса вычисления подразумеваемой волатильности с использованием метода Ньютона-Рафсона. Процесс включает в себя несколько итераций, пока функция g не приблизится к нулю, при этом каждый новый шаг оценивается на основе предыдущего. Лектор подчеркивает важность начального предположения для сходимости метода Ньютона-Рафсона. Экстремальные опционы без денег или опционы, близкие к нулю, могут создавать проблемы, поскольку функция становится плоской, что приводит к небольшому градиенту, препятствующему сходимости. Чтобы решить эту проблему, специалисты-практики обычно определяют сетку первоначальных предположений. Алгоритм аппроксимирует функцию, используя ее касательную, и вычисляет точку пересечения по оси x, при этом более крутые градиенты приводят к более быстрой сходимости.

Кроме того, лектор объясняет реализацию алгоритма Ньютона-Рафсона для расчета подразумеваемой волатильности опциона. Алгоритм основан на модели Блэка-Шоулза с входными параметрами, включая рыночную цену, страйк, время до погашения, процентную ставку, начальный объем акций и начальный параметр волатильности. Анализируется сходимость алгоритма и определяется порог погрешности. Код демонстрируется с использованием Python с заранее подготовленными необходимыми методами и определениями с использованием библиотек NumPy и SciPy.

В лекции подробно рассматривается расчет подразумеваемой волатильности с акцентом на исходные данные, необходимые для этого расчета, такие как стоимость опциона и производная цены колл по отношению к параметру волатильности, известному как Vega. Ядро кода включает в себя пошаговый процесс вычисления подразумеваемой волатильности, при этом лектор дает объяснения различных задействованных параметров и их значения. Лекция завершается краткой демонстрацией итеративного процесса, используемого для вычисления подразумеваемой волатильности.

Спикер также затрагивает тему ошибки при расчете подразумеваемой волатильности и того, как она определяется различиями между итерациями. Выходной график демонстрирует подразумеваемую волатильность, полученную для цены колл, страйка, срока погашения и других параметров. Докладчик иллюстрирует, как конвергенция варьируется в зависимости от различных первоначальных предположений о волатильности, подчеркивая важность этого процесса в отраслевой калибровке. Начальное предположение должно быть близко к фактической подразумеваемой волатильности, чтобы модель успешно сходилась. Практики отрасли обычно пробуют различные начальные значения волатильности до тех пор, пока не будет достигнута подходящая конвергенция и не будет выбрано это конкретное значение волатильности.

лекция углубляется в интерпретацию подразумеваемой волатильности. Подразумеваемая волатильность может дать представление об ожиданиях и настроениях рынка. Когда подразумеваемая волатильность высока, это говорит о том, что участники рынка ожидают значительных колебаний цен, что может указывать на неопределенность или предполагаемый риск в отношении базового актива. И наоборот, низкая подразумеваемая волатильность указывает на ожидания относительно стабильных цен.

В лекции подчеркивается, что подразумеваемая волатильность — это не мера будущей волатильности, а скорее отражение рыночного ценообразования. На подразумеваемую волатильность влияют различные факторы, такие как динамика спроса и предложения, настроения участников рынка и склонность участников рынка к риску. Поэтому очень важно интерпретировать подразумеваемую волатильность в контексте других рыночных индикаторов и фундаментального анализа.

Лектор также освещает концепцию поверхностей подразумеваемой волатильности или улыбок волатильности. Поверхности подразумеваемой волатильности представляют собой взаимосвязь между подразумеваемой волатильностью и различными ценами исполнения и сроками погашения. В определенных рыночных условиях подразумеваемая волатильность опционов «вне денег» может быть выше или ниже, чем у опционов «при деньгах». Эта кривизна поверхности подразумеваемой волатильности известна как улыбка или ухмылка волатильности. В лекции объясняется, что улыбка волатильности указывает на восприятие участниками рынка вероятности экстремальных ценовых движений, таких как большие риски снижения или неожиданные положительные события.

Кроме того, в лекции рассматривается концепция временных структур подразумеваемой волатильности. Временные структуры подразумеваемой волатильности отражают взаимосвязь между подразумеваемой волатильностью и различными сроками погашения для конкретного опциона. Лектор объясняет, что временные структуры подразумеваемой волатильности могут иметь различную форму, например восходящую (контанго), нисходящую (бэквардацию) или плоскую кривую. Эти временные структуры могут дать представление об ожиданиях рынка относительно будущей волатильности на разных временных горизонтах.

Кроме того, в лекции рассматриваются ограничения и проблемы, связанные с подразумеваемой волатильностью. В нем подчеркивается, что подразумеваемая волатильность выводится из цен опционов, на которые влияют различные факторы и допущения, включая процентные ставки, дивидендную доходность и гипотезу эффективного рынка. Следовательно, подразумеваемая волатильность не всегда может точно отражать истинную базовую волатильность.

Кроме того, в лекции обсуждается концепция исторической волатильности и ее сравнение с подразумеваемой волатильностью. Историческая волатильность рассчитывается на основе прошлых изменений цены базового актива, а подразумеваемая волатильность выводится из цен опционов. Лектор отмечает, что историческая волатильность является ретроспективной и может не полностью отражать будущие рыночные ожидания, в то время как подразумеваемая волатильность включает прогнозную информацию, встроенную в цены опционов.

Наконец, лекция завершается кратким изложением ключевых моментов. В нем подчеркивается важность понимания подразумеваемой волатильности, методов ее расчета и интерпретации в контексте ценообразования опционов и рыночных ожиданий. Лектор призывает к дальнейшим исследованиям и исследованиям в этой области, учитывая ее важность для финансовых рынков и принятия инвестиционных решений.

  • 00:00:00 В этом разделе лекции профессор начинает с обобщения того, что уже известно о ценообразовании опционов и моделировании волатильности. Он объясняет концепцию подразумеваемой волатильности и то, как она рассчитывается на основе рынка, а также ее важность для измерения неопределенности. Также обсуждается алгоритм вычисления подразумеваемой волатильности. Кроме того, рассматриваются ограничения и эффективность модели Блэка-Шоулза, а также расширения модели, такие как введение параметра волатильности, зависящего от времени, и создание поверхностей подразумеваемой волатильности. Наконец, упоминаются недостатки модели Блэка-Шоулза и альтернативных моделей, таких как локальная волатильность и стохастическая волатильность. В лекции подчеркивается необходимость специфицировать модель, которую можно использовать для оценки условных требований, а также важность построения портфеля хеджирования, состоящего из опциона и акций, для получения PDE ценообразования.

  • 00:05:00 В этом разделе спикер обсуждает использование математических ожиданий при решении дифференциальных уравнений в частных производных, в частности, в случае детерминированной процентной ставки и необходимости принимать математическое ожидание под нейтральной мерой запястья. Процесс, используемый в ожидании, должен соответствовать показателю Q убийства, который не учитывается при показателе P. Уравнение ценообразования для европейских колл-опционов и пут-опционов, как показано, основано на первоначальном нормальном cdf запаса, оцененном в точках d1, который является функцией параметров модели и показателем степени процентной ставки в зависимости от времени до погашения. Формула может быть легко реализована в Excel.

  • 00:10:00 В этом разделе спикер объясняет параметры, необходимые для модели Блэка-Шоулза, которая используется для оценки цен опционов. Эти параметры включают время до погашения, страйк, процентную ставку, текущую стоимость акций и параметр волатильности, сигма, который необходимо оценивать с использованием рыночных цен. Спикер подчеркивает, что между ценой опциона и волатильностью существует однозначное соответствие, и что увеличение волатильности влечет за собой увеличение цены опциона и наоборот. Затем в лекции обсуждается подразумеваемая волатильность, которая рассчитывается на основе средней цены и является важным элементом модели Блэка-Шоулза.

  • 00:15:00 В этом разделе лектор обсуждает, как получить подразумеваемую волатильность из модели, имеющей множество параметров. Он отмечает, что независимо от выбранной модели она всегда должна соответствовать модели Блэка-Шоулза. Однако модель Блэка-Шоулза не может быть использована для оценки всех опционов одновременно, потому что волатильность имплантата для каждого страйка различна. Лектор также отмечает, что чем дольше срок погашения опциона, тем выше становится подразумеваемая волатильность, что делает ее более неопределенной. Наконец, в лекции приводится пример того, как рассчитать волатильность имплантата на основе рыночных данных и стандартного колл-опциона на 100 акций.

  • 00:20:00 В этом разделе лектор обсуждает понятие подразумеваемой волатильности. Он начинает с использования исторических данных по опциону для оценки его волатильности с помощью уравнения Блэка-Шоулза. Затем он отмечает, что, хотя это дает определенную цену опциона, рынок может оценивать его по-разному из-за того, что рынок ориентирован на будущее, тогда как историческая оценка ориентирована на прошлое. Он объясняет, что люди до сих пор используют взаимосвязь между двумя волатильностями в инвестиционных целях, но предостерегает от того, чтобы это было чисто спекулятивным. Наконец, он объясняет, как использовать уравнение Блэка-Шоулза для расчета подразумеваемой волатильности опциона с учетом его рыночной цены и других характеристик. Однако он отмечает, что концепция подразумеваемой волатильности по своей сути ошибочна, поскольку невозможно узнать правильное число, а используемая модель не является реальной моделью для ценообразования опционов.

  • 00:25:00 В этом разделе лектор объясняет процесс нахождения подразумеваемой волатильности путем расчета обратной модели ценообразования опционов с использованием подхода Ньютона-Рафсона. Это включает в себя настройку функции для уравнения Блэка-Шоулза и рыночной цены, чтобы найти сигму, которая является подразумеваемой волатильностью. Для этого они используют разложение в ряд Тейлора, чтобы вычислить разницу между точным решением и итерацией, с целью найти функцию, в которой подразумеваемая волатильность Блэка-Шоулза равна подразумеваемой рыночной волатильности. Маркет-мейкеры полагаются на быстрое вычисление подразумеваемой волатильности за миллисекунды, чтобы определить арбитражные возможности и получить прибыль.

  • 00:30:00 В этом разделе представлена концепция итеративного процесса вычисления подразумеваемой волатильности с использованием метода Ньютона-Рафсона. Процесс включает в себя многократное вычисление итерации, пока функция g не станет достаточно близкой к нулю, при этом каждый новый шаг оценивается на основе предыдущего. Однако первоначальная догадка является решающим фактором сходимости метода Ньютона-Рафсона. Если значение опциона находится слишком далеко от денег или слишком близко к нулю, функция становится очень плоской, а градиент становится слишком малым для сходимости. Люди обычно определяют сетку для начальных предположений, чтобы решить проблему начальных предположений. Алгоритм аппроксимирует функцию по касательной и вычисляет точку пересечения по оси x на стандартной линии, а более крутой градиент ускоряет сходимость.

  • 00:35:00 В этом разделе лекции спикер объясняет реализацию алгоритма Ньютона-Рафсона для расчета подразумеваемой волатильности опциона. Оптимизируемой функцией является модель Блэка-Шоулза, в которой входными параметрами являются рыночная цена, страйк, время до погашения, процентная ставка, начальный объем акций и начальный параметр волатильности. Алгоритм опирается на две оценки: целевую функцию и ее первую производную, известную как Вега. Анализируется сходимость алгоритма и выводится уровень ошибок. Код реализован на Python с заранее подготовленными необходимыми методами и определениями и опирается на библиотеки NumPy и SciPy.

  • 00:40:00 В этом разделе лектор объясняет процесс вычисления подразумеваемой волатильности. Входные данные, необходимые для этого расчета, включают стоимость опциона и производную цены опциона по отношению к параметру волатильности. Также обсуждается параметр Vega, который представляет собой чувствительность стоимости опциона к параметру волатильности. Ядро кода включает в себя вычисление подразумеваемой волатильности, и лектор шаг за шагом проходит через этот процесс. Они также объясняют различные параметры, участвующие в вычислении, и их значение. Лекция завершается краткой демонстрацией итеративного процесса, используемого для вычисления подразумеваемой волатильности.

  • 00:45:00 В этом разделе спикер обсуждает ошибку расчета подразумеваемой волатильности и то, как она определяется разницей между итерациями. Выходной график показывает подразумеваемую волатильность, которая была обнаружена для цены колл, страйка, срока погашения и других параметров. Докладчик также показывает, как конвергенция меняется при различных начальных допущениях волатильности и как этот процесс важен для отраслевой калибровки. Начальное предположение должно быть близко к реальной подразумеваемой волатильности, иначе модель не сойдется. Практики отрасли пробуют различные начальные волатильности, пока модель не окажется успешной и не будет выбрана эта волатильность.

  • 00:50:00 В этом разделе лектор обсуждает использование подразумеваемой волатильности при расчете цен опционов. Они отмечают, что проблема заключается в том, что начальная волатильность близка к нулю, что делает градиентный поиск неэффективным. В лекции также рассматривается, как подразумеваемая волатильность может указать, какие формы ожидают рынок, и как рассчитать, правильны ли цены опционов. В заключение лектор утверждает, что при проверке цен опционов всегда следует использовать страйк, равный нулю.

  • 00:55:00 В этом разделе мы узнаем о проблемах моделирования цен опционов и о том, как ограничивается гибкость модели Блэка-Шоулза при сопоставлении двух подразумеваемых волатильностей только с одним параметром, особенно когда подразумеваемые волатильности больше не являются постоянными. Тем не менее, модель Блэка-Шоулза по-прежнему используется, когда она достаточно хороша, чтобы соответствовать одному опциону с одним конкретным страйком, поскольку ее можно откалибровать по цене, указанной на рынке. Мы также узнаем, что при построении графика подразумеваемой волатильности в зависимости от набора страйков обычно можно наблюдать три различные формы, наиболее распространенной из которых является улыбка подразумеваемой волатильности, где самая нижняя точка улыбки может быть расположена в области вокруг самая низкая точка, но это не означает, что это обязательно подразумеваемая волатильность.

  • 01:00:00 В этом разделе лекции обсуждается взаимосвязь между ценами опционов и подразумеваемой волатильностью с акцентом на наиболее ликвидные опционы пут и колл. В лекции объясняется, как растут цены опционов по мере того, как они продолжают двигаться вне денег, и в результате также увеличивается разница между рыночной ценой и ценой модели (подразумеваемая волатильность). В лекции также рассматриваются различные типы перекоса подразумеваемой волатильности, в том числе тот, при котором подразумеваемая волатильность немного увеличивается по мере удаления от опциона «при деньгах». Лекция заканчивается обсуждением того, как улучшить уравнение Блэка-Шоулза, используя параметры волатильности, зависящие от времени.

  • 01:05:00 В этом разделе видео обсуждается влияние временной зависимости на подразумеваемую волатильность и то, как она влияет на формирование улыбки подразумеваемой волатильности. Невозможно сгенерировать улыбку подразумеваемой волатильности с зависящей от времени волатильностью для разных страйков, но можно иметь временную структуру подразумеваемой волатильности.
    где влияние волатильности варьируется для разной длины опционов. В видео также показано, как вычислять подразумеваемую волатильность и генерировать пути с зависящей от времени волатильностью, а также как это влияет на уравнение подразумеваемой волатильности Блэка-Шоулза. В видео также показан пример подбора разных уровней волатильности для двух опционов с разным сроком погашения.

  • 01:10:00 В этом разделе спикер с помощью графиков объясняет, как изменяется подразумеваемая волатильность в зависимости от различных страйков и сроков погашения. Они вводят понятие поверхности подразумеваемой волатильности, которая является важным элементом при обсуждении волатильности и моделей стохастической волатильности. Затем они обсуждают взаимосвязь между сроком погашения опциона и его волатильностью, объясняя, что опционы с коротким сроком погашения имеют более концентрированное распределение вокруг денежного уровня, в то время как более длительные сроки погашения со временем рассеиваются, и эффект улыбки становится менее выраженным. Наконец, они отмечают, что при более длительных сроках погашения распределение опциона становится намного шире, что означает большую неопределенность.

  • 01:15:00 В этом разделе видео обсуждаются различные формы подразумеваемой волатильности, которые зависят от срока действия контракта и других факторов. Модель Блэка-Шоулза ограничена, поскольку она может калиброваться только в одной точке сетки, поэтому любая волатильность за пределами денежного уровня будет неизменной. Хотя модель Блэка-Шоулза не идеальна для более сложных выплат или контрактов, она все же важна, поскольку дает представление о ценообразовании деривативов, построении дублирующих портфелей, хеджировании и моделировании рыночных движений. Несмотря на свои ограничения, модель Блэка-Шоулза является фундаментальной моделью в финансах.

  • 01:20:00 В этом разделе спикер говорит об ограничениях модели Блэка-Шоулза в реальности. Он подчеркивает, что, хотя хеджирование требует постоянной перебалансировки портфеля, чтобы обеспечить такую же норму прибыли, как инвестирование в сберегательный счет, это нецелесообразно, поскольку покупка и продажа акций сотни раз в день будет очень дорогой из-за транзакционных издержек. В результате хеджирование происходит гораздо реже, в зависимости от поведения рынка, а транзакционные издержки и менее частые хеджирования не учитываются в модели Блэка-Шоулза. Кроме того, эмпирические исследования финансовых временных рядов показали, что предположение о нормальности цен активов не может уловить тяжелые хвосты. Это означает, что вероятность, приписываемая экстремальным событиям, очень низка, и это плохо отражается логарифмически нормальным распределением модели Блэка-Шоулза.

  • 01:25:00 В этом разделе лекции инструктор объясняет различные подходы к работе с моделями волатильности. В первом подходе обсуждаются модели локальной волатильности, которые являются простым расширением реальной модели. Функция модели локальной волатильности называется функцией локальной волатильности и строится с использованием рыночных данных. Второй подход, о котором пойдет речь в следующей лекции, — это модель прыжков, позволяющая генерировать эффекты улыбки и перекоса. Третий подход включает стохастическую волатильность, расширенное расширение локальной волатильности, использующее стохастическое дифференциальное уравнение для управления волатильностью.
 

Вычислительные финансы: Лекция 5/14 (Процессы перехода)



Вычислительные финансы: Лекция 5/14 (Процессы перехода)

В ходе лекции исследуются способы улучшения модели Блэка-Шоулза за счет включения скачков в биржевой процесс, перехода от диффузионной модели к модели скачкообразного распространения. Инструктор начинает с объяснения включения прыжков в процесс запаса и дает определение прыжков. Затем они демонстрируют простую реализацию процесса скачка в Python, подчеркивая необходимость обрабатывать скачки в стохастическом процессе для акций, обеспечивая при этом, чтобы модель оставалась под мерой q.

Кроме того, в лекции рассматриваются последствия введения скачков в ценообразовании и то, как они влияют на УЧП (уравнение с частными производными) ценообразования, а также вводятся дополнительные интегральные члены. Обсуждение распространяется на влияние различных распределений скачков на формы подразумеваемой волатильности и использование таких концепций, как итерированные ожидания ожидания, свойство ожидания башни и характеристические функции для процессов скачка при работе со сложными ожиданиями.

Лектор подчеркивает практичность прыжковых процессов в вариантах ценообразования и калибровки моделей, подчеркивая их реалистичность и способность приспосабливаться к тяжелым хвостам, а также контролировать эксцесс и асимметрию плотности блокировки и поворота. Путем включения процесса скачка может быть достигнуто лучшее соответствие улыбке подразумеваемой волатильности или перекосу подразумеваемой волатильности, что делает процессы скачка более благоприятной альтернативой модели Блэка-Шоулза.

Смещая акцент, лекция вводит понятие скачкообразных процессов, представленных счетным процессом, которые не коррелируют с броуновским движением. Эти процессы моделируются с использованием случайного процесса Пуассона, характеризующегося начальным нулевым значением и независимыми приращениями, следующими за распределением Пуассона. Скорость процесса Пуассона определяет среднее количество скачков за заданный период времени. В лекции объясняется, как рассчитать среднее количество скачков в заданном интервале для скачкообразных процессов с использованием обозначений и ожиданий.

В вычислительных финансах лектор обсуждает моделирование процессов скачка, отмечая, что величина скачка не может взрываться, и излагает связанные с этим технические предположения. Процесс включает в себя определение матриц и параметров для моделирования независимых приращений с использованием распределения Пуассона для каждого приращения процесса перехода. В лекции также рассматривается использование процесса Пуассона в лемме Этоса для расширения динамики процессов скачка цен на акции. В контексте вычислительных финансов лекция вводит и объясняет концепцию скачкообразных процессов. Он определяет термин «t-минус» как время непосредственно перед тем, как в процессе происходит скачок, и исследует динамику процесса с помощью леммы Этоса и вычисления производных по времени. Обсуждается взаимосвязь между размером скачка и результирующей корректировкой функции «g», подчеркивая практическую значимость этих концепций при моделировании стохастических процессов. В лекции также подчеркивается важность учета независимости скачкообразных и диффузионных процессов при моделировании поведения фондового рынка.

Чтобы вывести динамику функции «g» в модели, включающей как скачкообразные, так и диффузионные процессы, в лекции основное внимание уделяется поведению высокой диффузионной сложности и применению леммы Ито. Лемма Ито используется для обработки перекрестных членов, таких как dxpt в квадрате, в контексте повышенной сложности модели. Как только все элементы, включая дрейф, диффузию и скачки, объединены, динамика «g» может быть получена с использованием леммы Ито. Также затрагивается расширение таблицы Ито, подчеркивая различия между пуассоновским процессом и броуновским движением. Лекция завершается описанием процесса получения динамики функции "g", которая включает в себя как скачкообразный, так и диффузионный процессы.

В дальнейшем лекция описывает процесс получения динамики акции со скачком и броуновским движением по мере Q. Этот процесс включает в себя определение новой переменной и определение ее динамики, гарантируя, что ожидание динамики равно нулю. Предполагается, что компонент скачка не зависит от всех других процессов, что приводит к выражению, включающему члены для дрейфа, волатильности и математического ожидания J минус один. Затем это выражение подставляется в уравнение для меры Q, гарантируя, что динамика ST по сберегательному счету является мартингейлом.

Преподаватель переходит к обсуждению того, как получить модель с диффузией и скачками, предоставляя пример, иллюстрирующий траектории модели с двумя компонентами: диффузией и скачком. Диффузная часть представляет непрерывное поведение, в то время как скачкообразный элемент вносит дискретность, позволяя представить модели скачков, наблюдаемые в определенных акциях. Инструктор также рассказывает о параметрах скачка и параметре волатильности для броуновского движения, а также о начальных значениях акций и процентных ставок. Чтобы еще больше углубить понимание, инструктор демонстрирует, как программировать симуляцию и строить полученные пути.

Затем лекция переходит к объяснению математического ожидания e в степени j, которое аналитически рассчитывается как математическое ожидание логарифмически нормального распределения. Выполняется моделирование приращений Пуассона, определяемых c, умноженное на pi, умноженное на dt, где z представляет приращения для нормального распределения, а j представляет величину скачка. Динамика процесса диффузии скачка включает как уравнения в частных производных, так и интегро-дифференциальные уравнения, где интегральная часть представляет собой математическое ожидание размеров скачка. Уравнение ценообразования может быть получено с помощью построения портфеля или с помощью подхода характеристической функции, а параметры должны быть откалиброваны с использованием цен опционов на рынке.

В контексте построения портфеля лекция описывает процесс построения портфеля, состоящего из проданного опциона и хеджирования базовой акцией. Убедившись, что динамика портфеля увеличивается с той же скоростью, что и сберегательный счет, можно вывести дифференциальное уравнение ценообразования. Для достижения нужной динамики акции, деленные на накопительный счет, должны быть мартингейловыми. Затем в лекции выводится условие для mu, демонстрируя, что, как только динамика установлена, можно вывести динамику v. Затем эта информация используется для расчета ожиданий и получения динамики v.

Далее лектор исследует уравнение для производной первого порядка по времени, которое также является первым порядком по x и включает математическое ожидание стоимости контракта в момент времени t со скачком. Это приводит к интегральному члену из-за наличия ожидания, что приводит к интегро-дифференциальному уравнению в частных производных (PID), которое сложнее решить, чем чисто PDE. Решение включает в себя нахождение аналитического выражения для ожидаемого значения, которое иногда может быть выражено в терминах бесконечного ряда. Также обсуждаются важность граничных условий и преобразования PID в логарифмические преобразования для улучшения сходимости.

Продолжая обсуждение скачкообразных процессов, лекция посвящена трансформации скачкообразных процессов в случае ПИД и ПИД в варианте «люкс». В лекции представлены два распространенных подхода к определению величины скачка, а именно классическая модель торговцев и несимметричная двойная экспонента. Хотя калибровка модели усложняется с добавлением сигма j и mu j, практичность и признание в отрасли часто отдают предпочтение моделям с меньшим количеством параметров. В лекции также признается, что по мере того, как динамика процессов скачков становится все более сложной, достижение сходимости становится сложной задачей, что требует передовых методов, таких как пространство Фурье или аналитические решения для калибровки параметров.

Затем лекция переходит к объяснению процесса ценообразования с использованием моделирования Монте-Карло для процессов скачкообразной диффузии. Ценообразование включает в себя расчет ожидаемого будущего вознаграждения путем дисконтирования его текущей стоимости. Хотя такие методы, как PID и моделирование методом Монте-Карло, хорошо работают с точки зрения вычислительной сложности для моделирования, они могут быть не идеальными для ценообразования и калибровки модели из-за значительного увеличения числа параметров при введении скачков. В лекции также рассматривается интерпретация распределения скачков и параметров интенсивности и их влияние на подразумеваемую волатильность. Проводится эксперимент по моделированию, варьируя параметры, оставляя другие фиксированными, чтобы наблюдать результирующие эффекты скачков и перекоса.

Для анализа влияния волатильности и интенсивности скачков на форму улыбки и уровня подразумеваемой волатильности лектор обсуждает их взаимосвязь. Увеличение волатильности скачка приводит к более высокому уровню волатильности, при этом интенсивность скачков также влияет на уровень и форму улыбки подразумеваемой волатильности. Эта информация имеет решающее значение для понимания поведения цен опционов и калибровки моделей в соответствии с реальными рыночными данными.

Затем лекция знакомит с концепцией Tower Property и ее применением для упрощения задач в финансах. Обусловливая путь от одного процесса для вычисления ожидания или цены другого процесса, можно упростить многомерные задачи в стохастических дифференциальных уравнениях. Свойство Башни также может быть применено к задачам в уравнениях Блэка-Шоулза с параметрами волатильности и учетными процессами, которые часто становятся суммированием при работе с интегралами скачков. Лектор подчеркивает необходимость делать предположения относительно параметров в этих приложениях.

Далее лектор обсуждает использование методов Фурье для решения уравнений ценообразования в вычислительных финансах. Методы Фурье опираются на характеристическую функцию, которую можно найти в аналитической форме для некоторых частных случаев. Лектор приводит пример с использованием модели Мертона и объясняет, как найти характеристическую функцию для этого уравнения. Разделяя термины ожидания, включающие независимые части, лектор демонстрирует, как выразить суммирование в терминах ожидания, что позволяет определить характеристическую функцию. Преимуществом использования методов Фурье является их способность обеспечивать быстрые расчеты ценообразования, которые имеют решающее значение для калибровки модели и оценки в реальном времени.

Далее лектор обсуждает использование методов Фурье для решения уравнений ценообразования в вычислительных финансах. Методы Фурье опираются на характеристическую функцию, которую можно найти в аналитической форме для некоторых частных случаев. Лектор приводит пример с использованием модели Мертона и объясняет, как найти характеристическую функцию для этого уравнения. Разделяя термины ожидания, включающие независимые части, лектор демонстрирует, как выразить суммирование в терминах ожидания, что позволяет определить характеристическую функцию. Преимуществом использования методов Фурье является их способность обеспечивать быстрые расчеты ценообразования, которые имеют решающее значение для калибровки модели и оценки в реальном времени.

На протяжении всей лекции инструктор подчеркивает важность понимания и включения процессов перехода в вычислительные финансовые модели. Включая скачки, модели могут лучше отражать поведение реальных цен на акции и обеспечивать более точные результаты ценообразования и калибровки. В лекции также освещаются проблемы, связанные со скачкообразными процессами, такие как сложность решения интегро-дифференциальных уравнений и необходимость тщательной калибровки параметров. Однако при использовании соответствующих методов и методологий процессы скачка могут значительно повысить точность и реалистичность вычислительных финансовых моделей.

  • 00:00:00 В этом разделе лектор объясняет, как улучшить модель Блэка-Шоулза, включив в процесс запаса скачки и перейдя от диффузионной модели к скачко-диффузионной модели. Обсуждение начинается с того, как включить скачки в процесс запасов и с определения скачков. Лектор также показывает, как выполнить простую реализацию процесса скачка в Python и как справляться со скачками в стохастическом процессе для акций, чтобы гарантировать, что модель все еще находится под мерой q. Включение скачков в ценообразование вводит дополнительные интегральные условия, которые будут присутствовать в ценообразовании pde. В лекции также обсуждается влияние различных распределений скачков на различные формы подразумеваемой волатильности и то, как использовать итерированные ожидания ожидания, свойство ожидания башни и характеристические функции для процессов скачка при работе со сложными ожиданиями. Наконец, в лекции рассказывается, как использовать преобразование Фурье для обращения характеристической функции для калибровки моделей скачкообразной диффузии, которые имеют несколько параметров.

  • 00:05:00 В этом разделе лектор обсуждает расширение модели на прыжки. Поведение акций, таких как KLM, не может быть объяснено геометрическим броуновским движением, потому что они показывают модели скачков. Эти скачки наблюдаются на рынке и могут быть связаны с неожиданными рыночными событиями или выплатой дивидендов, но часто они связаны с такими факторами, как политические конфликты или проблемы с доставкой товаров. Для лучшего соответствия поведения акции и множественных страйков ценообразованию опционов необходим процесс, включающий явление скачка. Одним из таких процессов является основанная на Леви модель со скачкообразной диффузией, которая включает броуновское движение и скачкообразную часть, которая может объяснить модели скачков, демонстрируемые некоторыми акциями.

  • 00:10:00 В этом разделе лектор обсуждает полезность процессов перехода в ценообразовании и калибровке моделей. Он объясняет, насколько реалистичны скачки при ценообразовании опционов и как они позволяют лучше калибровать, включая тяжелые хвосты. Кроме того, процессы прыжка могут помочь контролировать эксцесс и асимметрию плотности блокировки и поворота. Создавая процесс, включающий скачок, он демонстрирует, как он может способствовать лучшему соответствию улыбке подразумеваемой волатильности или перекосу подразумеваемой волатильности. В целом, скачкообразные процессы являются превосходной альтернативой модели Блэка-Шоулза.

  • 00:15:00 В этом разделе представлен второй стохастический процесс в вычислительных финансах, который представляет собой скачкообразный процесс, представленный процессом подсчета. Процесс скачка не коррелирует с броуновским движением и моделируется случайным процессом Пуассона. Процесс Пуассона изначально имеет нулевое значение и независимые приращения с вероятностью, заданной распределением Пуассона. Скорость процесса Пуассона представляет собой среднее количество скачков за определенный период времени. Затем с помощью пуассоновского процесса и малого o dt вычисляется вероятность скачка, происходящего в течение небольшого интервала времени. Обсуждается также вероятность появления нулевых скачков.

  • 00:20:00 В этом разделе лектор объясняет, как рассчитать среднее количество скачков в заданном интервале для скачкообразных процессов. Расчет включает замену разницы между количеством прыжков в точке s плюс dt и x-ps с использованием краткого обозначения dxp. Ожидание события рассчитывается как ожидаемое значение, умноженное на вероятность события. Кроме того, вводится определение компенсированного пуассоновского процесса, где математическое ожидание процесса равно нулю. Наконец, в лекции упоминается, что обычно нет корреляции между величиной скачка случайной величины и процессом, что затрудняет оценку величины скачка и определение того, когда он произошел.

  • 00:25:00 В этом разделе лектор обсуждает скачкообразные процессы в вычислительных финансах. Величина скачка не может взорваться, и на этот счет есть технические предположения. Моделирование путей и реализаций процесса включает определение матриц и параметров для распределения Пуассона, которое используется для моделирования независимых приращений для каждого приращения процесса скачка. В лекции также рассказывается, как использовать процесс Пуассона в лемме об Этосе, чтобы расширить его динамику для ценообразования акций.

  • 00:30:00 В этом разделе вводится и объясняется концепция процесса перехода в контексте вычислительных финансов. Термин «t-минус» определяется как время непосредственно перед тем, как в процессе происходит скачок, а динамика процесса исследуется с помощью этос леммы и вычисления производных по времени. Обсуждается взаимосвязь между размером скачка и результирующей корректировкой функции g, а также подчеркивается практическая значимость этих концепций в моделировании стохастических процессов. Кроме того, подчеркивается важность учета независимости скачкообразных и диффузионных процессов при моделировании поведения фондового рынка.

  • 00:35:00 В этом разделе лекции основное внимание уделяется выводу динамики функции g в модели, имеющей как скачкообразный, так и диффузионный процессы. Докладчик начинает с объяснения, что когда сложность модели увеличивается из-за высокой диффузии, вывод решений может значительно усложниться. Затем докладчик представляет лемму Ито, чтобы обсудить, как она применяется в данном контексте, особенно при работе с перекрестными терминами, такими как dxpt в квадрате. Затем спикер объясняет, что, когда все элементы (дрейф, диффузия и скачки) собраны вместе, динамика g может быть получена с использованием леммы Ито. Также затрагивается расширение таблицы Ито, при этом спикер объясняет, что становится очевидной разница между пуассоновским процессом и броуновским движением. Наконец, оратор описывает процесс получения динамики функции g, который включает в себя как скачкообразный, так и диффузионный процессы.

  • 00:40:00 В этом разделе спикер описывает процесс получения динамики акции со скачком и броуновским движением по мере Q. Процесс включает в себя определение новой переменной и определение ее динамики, а также обеспечение того, чтобы ожидание динамики было равно нулю. Предполагается, что компонент скачка не зависит от всех других процессов, а результирующее выражение включает члены для дрейфа и волатильности, а также ожидание J минус один. Последний шаг включает в себя подстановку этого процесса в уравнение для показателя Q и обеспечение того, чтобы динамика ST по денежному сберегательному счету представляла собой мартингейл.

  • 00:45:00 В этом разделе лекции инструктор объясняет, как построить модель с диффузией и скачками, и приводит пример того, как будут выглядеть траектории модели с двумя компонентами диффузионных составляющих и скачков. Процесс имеет диффузионную часть, которая протекает непрерывно, и скачкообразную часть, делающую его прерывистым. Инструктор также обсуждает параметры скачка и параметр волатильности для броуновского движения, а также начальные значения для акций и процентных ставок. Наконец, инструктор показывает, как запрограммировать симуляцию и проложить пути.

  • 00:50:00 В этом разделе лекции по вычислительным финансам спикер объясняет математическое ожидание e в степени j, которое вычисляется аналитически как математическое ожидание логарифмически нормального распределения. Затем они моделируют приращения Пуассона, обусловленные c pi, умноженными на dt, где z — приращение для нормального распределения, а j — величина скачка. Динамика процесса диффузии скачка включает как уравнения в частных производных, так и интегро-дифференциальные уравнения, причем интегральная часть представляет собой математическое ожидание размеров скачка. Уравнение ценообразования может быть получено с помощью построения портфеля или с помощью подхода характеристической функции, при этом параметры необходимо откалибровать с использованием цен опционов на рынке.

  • 00:55:00 В этом разделе лекции описывается процесс построения портфеля, состоящего из продаваемого опциона и хеджирования базовыми акциями. Убедившись, что динамика портфеля увеличивается с той же скоростью, что и сберегательный счет, можно вывести дифференциальное уравнение ценообразования. В лекции объясняется, что для достижения динамики акций и информации о рисках, акции, деленные на денежный сберегательный счет, должны быть мартингейлом. Затем в лекции выводится условие для mu, показывая, что, как только динамика установлена, можно вывести динамику v. Затем эта информация используется для расчета ожиданий и получения динамики v.

  • 01:00:00 В этом разделе докладчик обсуждает уравнение для производной первого порядка по времени, которое является первым порядком по x и включает математическое ожидание стоимости контракта в момент времени t с Прыгать. Это приводит к интегральному члену из-за наличия ожидания, которое становится интегральным дифференциальным уравнением в частных производных (PID), поскольку оно включает интегральный член. Спикер объясняет, что из-за этого PID может быть сложнее решить, чем PDE. Решение включает в себя нахождение аналитического выражения для ожидаемого значения, которое иногда может быть выражено в терминах бесконечного ряда. Докладчик также обсуждает важность граничных условий и преобразования PID в логарифмические преобразования для лучшей сходимости.

  • 01:05:00 В этом разделе спикер обсуждает трансформацию процессов перехода в случае pid и pid под делюксовый вариант. Докладчик отмечает, что спецификация величины скачка j зависит от пользователя, но выделяет два общих подхода: классическую модель торговцев и несимметричную двойную экспоненту. Хотя калибровка модели усложняется с добавлением сигма j и mu j, как правило, использование меньшего количества параметров является более практичным и приемлемым в отрасли. Докладчик отмечает, что если динамика скачкообразных процессов слишком сложна, то достижение сходимости становится проблематичным, и для калибровки этих параметров требуются передовые методы, такие как пространство Фурье или даже аналитические решения.

  • 01:10:00 В этом разделе спикер обсуждает, как выполнить ценообразование с использованием моделирования Монте-Карло для процесса скачкообразной диффузии, который включает в себя вычисление ожидаемого будущего выигрыша путем дисконтирования его стоимости сегодня. Хотя такие методы, как PID и Монте-Карло, хорошо работают с точки зрения вычислительной сложности для моделирования, они могут быть не идеальными для ценообразования и калибровки модели, поскольку введение скачков значительно увеличивает количество параметров. Докладчик также объясняет, как интерпретировать распределение скачков и параметров интенсивности, а также их влияние на подразумеваемую волатильность. Кроме того, спикер проводит эксперимент по моделированию, чтобы варьировать параметры, оставляя другие фиксированными, чтобы наблюдать за изменениями в эффектах скачка и перекоса.

  • 01:15:00 В этом разделе лектор обсуждает влияние волатильности и интенсивности скачков на форму улыбки и уровня подразумеваемой волатильности. Увеличение волатильности скачка приводит к более высокому уровню волатильности, при этом интенсивность скачков также влияет на уровень и форму улыбки подразумеваемой волатильности. Затем лекция переходит к обсуждению свойства башни для ожиданий и того, как его можно использовать для обработки скачков и интегралов. Свойство башни для ожиданий позволяет упростить и упростить обработку выражений ожиданий, что делает его полезным инструментом для вычисления ожиданий, включающих переходы.

  • 01:20:00 В этом разделе лектор обсуждает свойство башни и применяет его для упрощения задач в финансах. Обусловливая путь от одного процесса для вычисления ожидания или цены другого процесса, можно упростить многомерные задачи в стохастических дифференциальных уравнениях. Свойство Башни также может быть применено к задачам в уравнениях Блэка-Шоулза с параметрами волатильности и учетными процессами, которые часто становятся суммированием при работе с интегралами скачков. Лектор подчеркивает, что в этих приложениях необходимо делать предположения относительно параметров.

  • 01:25:00 В этом разделе лектор обсуждает использование методов Фурье для решения уравнений ценообразования в вычислительных финансах. Методы Фурье основаны на характеристической функции, которую можно найти в аналитической форме для некоторых частных случаев. Лектор приводит пример с использованием модели Мертона и объясняет, как найти характеристическую функцию для этого уравнения. Разделяя термины ожидания, включающие независимые части, лектор показывает, как выразить суммирование в терминах ожидания и, таким образом, найти характеристическую функцию. Преимущество использования методов Фурье заключается в том, что они позволяют очень быстро вычислять цены, что имеет решающее значение для калибровки модели и оценки в реальном времени.

  • 01:30:00 В этом разделе лектор обсуждает формулу, связывающую процесс перехода с преобразованием Фурье. Используя условное ожидание, лектор упрощает формулу до характеристической функции, которая включает в себя ожидание показателей. Новое выражение очень похоже на определение показателя степени. Дальнейшее упрощение приводит к компактному выражению характеристической функции, которое будет использоваться при оценке методов Фурье.
 

Вычислительные финансы: Лекция 6/14 (Процессы диффузии аффинных скачков)



Вычислительные финансы: Лекция 6/14 (Процессы диффузии аффинных скачков)

Лектор дает представление о выборе моделей ценообразования в финансовых учреждениях, уделяя особое внимание различиям между фронт-офисом и бэк-офисом. Фронт-офис занимается торговой деятельностью и инициирует сделки, которые затем передаются в бэк-офис для обслуживания сделок и учета. Лектор подчеркивает необходимость учитывать различные факторы, включая калибровку, оценку рисков, точность ценообразования и вычислительную эффективность при выборе модели ценообразования. Кроме того, концепция характеристических функций и процессов диффузии аффинных скачков вводится как классы моделей, которые позволяют проводить эффективную оценку ценообразования. Эти модели способны быстро рассчитывать цены, что делает их подходящими для торговли в реальном времени. В лекции также рассматриваются такие темы, как вывод функции валюты, расширение фреймворка за счет включения прыжков, а также рабочий процесс ценообразования и моделирования в финансовых учреждениях.

На протяжении всей лекции подчеркивается важность понимания процессов скачка и их влияния на точность ценообразования, а также проблемы, связанные с решением интегро-дифференциальных уравнений и калибровкой параметров модели. Используя соответствующие методы и методологии, вычислительные финансовые модели могут быть улучшены, чтобы лучше отражать реальное поведение цен на акции и улучшать результаты ценообразования и калибровки.

Кроме того, спикер подчеркивает роль фронт-офиса в финансовых учреждениях, особенно в разработке и ценообразовании финансовых продуктов для клиентов. Фронт-офис отвечает за выбор соответствующих моделей ценообразования для этих продуктов и обеспечение правильного бронирования сделок. Сотрудничество с бэк-офисом имеет решающее значение для проверки и внедрения выбранных моделей, обеспечивая их соответствие рискам и сделкам учреждения. Основная задача фронт-офиса — найти баланс между предоставлением клиентам конкурентоспособных цен и управлением рисками в приемлемых пределах, обеспечивая при этом стабильный поток прибыли.

Докладчик описывает основные шаги, необходимые для успешного ценообразования, начиная со спецификации финансового продукта и формулирования стохастических дифференциальных уравнений для выявления основных факторов риска. Эти факторы риска играют решающую роль в определении модели ценообразования и последующем расчете цен. Надлежащая спецификация и моделирование этих факторов риска имеют решающее значение для точного ценообразования и управления рисками.

В ходе лекции обсуждаются различные методы ценообразования, в том числе точные и полуточные решения, а также численные методы, такие как моделирование методом Монте-Карло. Докладчик подчеркивает важность калибровки модели, когда параметры модели ценообразования корректируются в соответствии с рыночными наблюдениями. Методы Фурье представлены как более быстрая альтернатива калибровке модели, позволяющая эффективно вычислять параметры модели.

В лекции также сравниваются два популярных подхода к ценообразованию в вычислительных финансах: моделирование Монте-Карло и уравнения в частных производных (УЧП). Моделирование методом Монте-Карло широко используется для многомерных задач ценообразования, но оно может иметь ограниченную точность и подвержено ошибкам выборки. PDE, с другой стороны, предлагают такие преимущества, как возможность расчета чувствительности, такой как дельта, гамма и вега, при низкой стоимости и плавности решений. Докладчик упоминает, что методы на основе Фурье будут рассмотрены в следующих лекциях, поскольку они предлагают более быстрые и более подходящие подходы к ценообразованию для простых финансовых продуктов.

Понятие характеристических функций вводится как ключевой инструмент для преодоления разрыва между моделями с известными аналитическими функциями плотности вероятности и моделями без них. Используя характеристические функции, становится возможным вывести функцию плотности вероятности запаса, которая необходима для ценообразования и оценки риска.

На протяжении всей лекции подчеркивается важность калибровки. Жидкие инструменты используются в качестве эталонов для калибровки, а их параметры затем применяются для точной оценки более сложных производных продуктов. Лектор подчеркивает необходимость постоянного улучшения и уточнения моделей и методов ценообразования, чтобы адаптироваться к меняющимся рыночным условиям и добиваться надежных результатов ценообразования.

Таким образом, лекция дает представление о процессе выбора моделей ценообразования в финансовых учреждениях, уделяя особое внимание роли фронт-офиса, калибровке модели и соображениям риска, эффективности и точности. В нем также представлены различные методы, такие как моделирование Монте-Карло, УЧП и методы на основе Фурье для ценообразования и калибровки моделей. Обсуждается концепция характеристических функций и их значение для получения функций плотности вероятности, а также проблемы и важность уточнения модели и ее адаптации к реальным условиям.

  • 00:00:00 В этом разделе лектор обсуждает, как выбрать модель ценообразования в разрезе финансовых учреждений. Он объясняет, что фронт-офис обычно связан с торговой деятельностью, а бэк-офис занимается ведением сделок и бухгалтерским учетом. Когда клиент хочет купить дериватив, сделка происходит во фронт-офисе, а затем она передается в бэк-офис. Лектор также подчеркивает важность учета различных аспектов, таких как калибровка, риски, ценообразование и эффективность, при выборе модели ценообразования. Кроме того, он вводит понятие характеристических функций и процессов аффинной скачкообразной диффузии, которые представляют собой классы моделей, позволяющих быстро и эффективно оценивать цены. В лекции также рассказывается, как получить функцию валюты для блочной модели и как расширить структуру, добавив переходы.

  • 00:05:00 В этом разделе спикер обсуждает рабочий процесс фронт-офиса финансового учреждения, который в основном занимается разработкой и ценообразованием финансовых продуктов для клиентов. Фронт-офис принимает решение о модели, которая будет использоваться для ценообразования продукта, и регистрирует сделку. Он также координирует свои действия с бэк-офисом для проверки и внедрения используемых моделей, обеспечивая их соответствие рискам и сделкам учреждения. Фронт-офис стремится сбалансировать предпочтение предложения клиентам более выгодных цен, сохраняя при этом риски в приемлемых пределах и непрерывный поток прибыли. Докладчик описывает необходимые шаги, включая спецификацию финансового продукта и стохастические дифференциальные уравнения для задействованных факторов риска, для успешного ценообразования.

  • 00:10:00 В этом разделе лекции спикер обсуждает процесс ценообразования и моделирования финансовых продуктов. Этот процесс включает в себя указание факторов риска, выбор моделей, подходящих для измерений, определение цены модели, калибровку модели и выполнение ценообразования. Последний шаг включает продажу продукта и хеджирование. Докладчик также объясняет различные методы ценообразования и выделяет точные и полуточные решения, а также численные методы, такие как моделирование методом Монте-Карло. В центре внимания лекции находится четвертый пункт калибровки модели, где спикер рассказывает об использовании методов Фурье для более быстрой калибровки.

  • 00:15:00 В этом разделе спикер обсуждает различные подходы к ценообразованию в вычислительных финансах, а именно моделирование методом Монте-Карло и УЧП. Моделирование методом Монте-Карло является популярным подходом, особенно для многомерных задач ценообразования, поскольку УЧП могут быть сложными для решения и дискретизации в нескольких измерениях. Однако этот метод ограничен двумя измерениями и связан со случайным шумом и потенциальными ошибками выборки. Преимущество PDE, с другой стороны, заключается в том, что они могут вычислять такие чувствительности, как дельта, гамма и вега, с низкими затратами и всегда гладко. Спикер поясняет, что в следующих лекциях речь пойдет о методах на основе Фурье, которые быстрее и больше подходят для простых продуктов. Он также объясняет, как выполняется калибровка на основе жидких инструментов и как эти параметры затем используются для ценообразования более сложных производных продуктов.

  • 00:20:00 В этом разделе инструктор обсуждает использование выборки Монте-Карло для ценообразования производных финансовых инструментов и потенциальные проблемы, связанные с ошибкой выборки и эффектами случайности. Они также упоминают использование альтернативных методов, таких как методы Фурье, для калибровки и нахождения функции плотности вероятности акции. Понятие характеристической функции вводится, чтобы помочь преодолеть разрыв между моделями, для которых функция плотности вероятности известна аналитически, и теми, для которых она не известна. Цель состоит в том, чтобы в конечном итоге найти способ перейти от характеристической функции к функции плотности вероятности акции.

  • 00:25:00 В этом разделе лектор обсуждает использование преобразований Фурье для восстановления плотности, что особенно полезно при ценообразовании опционов европейского типа. Метод преобразования Фурье эффективен в вычислительном отношении и не ограничивается моделями на основе Гаусса, поэтому его можно использовать для любой случайной величины, имеющей характеристическую функцию. Процесс восстановления плотности включает в себя связывание траекторий стохастического процесса с наблюдаемой плотностью в данный момент времени t. Лектор показывает несколько графиков и обсуждает важность частоты сигналов и взаимосвязь между дисперсией процесса и количеством оборотов.

  • 00:30:00 В этом разделе спикер обсуждает технические аспекты преобразования Фурье и его важность в анализе сигналов. Они объясняют, как преобразование Фурье может перевести денежную функцию в представление частотной области и определить характеристическую функцию как ожидание показателя степени i. Плотность получается из CDF путем взятия ее производной, а характеристическая функция может использоваться для нахождения k-го момента переменной. Наконец, они подчеркивают полезные свойства преобразования Фурье, включая связь между производной характеристической функции и k-м моментом.

  • 00:35:00 В этом разделе докладчик объясняет связь между переменной X, определяемой как логарифм Y, и характеристической функцией log Y от U. При логарифмировании X преобразуется, и уравнение упрощается до интеграла от от 0 до бесконечности, где корректирующая функция логарифма переменной может рассчитать каждый момент акции. Этот метод проще, если в рассматриваемой модели не используются отрицательные запасы, что считается редкостью. Докладчик также упоминает, что это полезно для аналитического расчета моментов Блэка-Шоулза. Докладчик также вводит характеристическую функцию для модели Блэка-Шоулза.

  • 00:40:00 В этом разделе лектор объясняет, как выполнить логарифмическое преобразование переменной запаса в вычислительных финансах. Путем преобразования переменной результирующее дифференциальное уравнение в частных производных (УЧП) становится проще для решения. Лектор предоставляет обновленное УЧП после преобразования и объясняет, как найти решение, используя теорему Даффи-Пэна-Синглтона. Дополнительные подробности о точных условиях решения обещают обсудить позже.

  • 00:45:00 В этом разделе спикер обсуждает, как решить уравнение в частных производных для характеристической функции с помощью метода Даффи-Пэна-Синглтона. Чтобы найти решение, необходимо вычислить производные преобразования от u к x и подставить их в УЧП. Затем, используя граничные условия, спикер находит решения обыкновенных дифференциальных уравнений для a и b, которые затем подставляются в выражение для характеристической функции, чтобы получить окончательный результат. Этот метод используется для нахождения характеристической функции для модели Блэка-Шоулза, что является тривиальным случаем с известным аналитическим решением.

  • 00:50:00 В этом разделе спикер объясняет процесс получения связанных функций и нахождения значений a и b в процессах диффузии с аффинными скачками. Корректирующие функции требуют проверки того, можно ли применить решение к заданному УЧП, с последующим определением количества ОДУ, которые нужно решить, чтобы найти a и b. В модели Блэка-Шоулза характеристическая функция зависит от начального логарифма стоимости акций. Класс моделей, которые можно рассматривать как процессы аффинной диффузии, существует так, что характеристическая функция имеет вид e^(a+bx). Докладчик также обсуждает условия, необходимые для того, чтобы система стохастических дифференциальных уравнений удовлетворяла заданному виду характеристической функции, в том числе необходимость представления структуры волатильности в виде матрицы, зависящей от числа х и броуновских движений.

  • 00:55:00 В этом разделе лектор объясняет условия диффузионных процессов с аффинными скачками. Количество броуновских движений обычно соответствует количеству переменных состояния в модели, но строгих требований нет. Тремя условиями для этих процессов являются дрейф, который может зависеть только линейно от X, условие процентных ставок и условие относительно структуры волатильности. Наиболее важным и сложным условием является структура волатильности; матрицы, полученные после умножения или возведения в квадрат волатильности, должны быть только линейными по X. Этому условию не удовлетворяет модель Блэка-Шоулза, но ее можно преобразовать с помощью логарифмического преобразования, чтобы удовлетворить условию.

  • 01:00:00 В этом разделе лекции профессор обсуждает понятие характеристической функции в контексте системы дифференциальных уравнений и применяет ее к модели Блэка-Шоулза. Характеристическая функция определяется как функция дисконтированной валюты с граничным условием и фильтрацией. Ее можно решить, используя решение для соответствующей системы ОДУ типа Риккати. Профессор приводит пример того, как использовать этот подход для решения характеристической функции в случае модели Блэка-Шоулза.

  • 01:05:00 В этом разделе основное внимание уделяется характеристической функции для процессов аффинной скачкообразной диффузии. Глядя на уравнение дисконтированной характеристической функции, можно заметить, что этот член может быть вынесен за его пределы, поскольку он постоянен. В этом разделе также рассматриваются условия тонкой диффузии и решение обыкновенных дифференциальных уравнений для A и B. Важно выбрать параметры, которые можно решить аналитически, чтобы избежать трудоемких вычислений. В разделе также обсуждается работа с более чем одним измерением и приводится пример моделирования двух акций с некоррелированными геометрическими процессами броуновского движения.

  • 01:10:00 В этом разделе лектор обсуждает расчет характеристических функций для 2-мерной настройки аффинной скачкообразной диффузии. Лектор объясняет, что система стохастических дифференциальных уравнений включает дополнительный член j и многомерный процесс Пуассона, а это означает, что скачки теперь включены в рамки аффинной диффузии скачков. Лектор также поясняет, что терминальное условие для характеристической функции включает в себя граничное условие, где а — постоянный член, не зависящий от х, а Ь1 и Ь2 соответствуют х1 и х2 соответственно. Наконец, дано уравнение для 2d характеристической функции, где мы имеем a, iu1 и iu2, которые известны явно.

  • 01:15:00 В этом разделе обсуждение сосредоточено на независимости между диффузионной и скачкообразной частями в модели диффузионных процессов аффинного скачка, где величина скачка независима, а интенсивность каркаса не зависит от j. Условиями для этой структуры являются линейные дрейфы, квадрат волатильности или ковариационная метрика процентной ставки и то же самое для интенсивности, что означает, что psi, интенсивность для пуассоновского процесса, не может зависеть иначе, чем линейно от значений состояния. Наконец, раздел заканчивается обсуждением трудностей использования скачков в моделях из-за повышенной волатильности и колебаний, что усложняет калибровку и хеджирование.

  • 01:20:00 В этом разделе спикер обсуждает размерность входных и выходных прогнозирующих функций для процессов аффинной скачкообразной диффузии. Функция прогнозирования выпуска обычно является одномерной, представляя предельное распределение для log запаса, и зависит от характеристик u, включая дисперсию и скачки. Размерность входной прогнозирующей функции связана с количеством стохастических дифференциальных уравнений. Затем докладчик демонстрирует процесс для модели аффинной скачкообразной диффузии, выводя стохастическое дифференциальное уравнение и интегро-дифференциальное уравнение в частных производных. Они обнаруживают, что модель не является аффинной из-за квадрата члена, но после выполнения логарифмического преобразования у них остается основное дифференциальное уравнение только с одной независимой случайной величиной j. Затем они вычисляют производные, чтобы получить решение для характеристической функции, которая является произведением характеристической функции j и функции x.

  • 01:25:00 В этом разделе лектор обсуждает вывод дифференциального уравнения для аффинных скачкообразных диффузионных процессов. Это можно сделать, взяв члены по x, установив их равными нулю и собрав все остальные члены, чтобы поставить производную от a. Затем выводится решение для a, которое совпадает с решением, найденным без использования предположений об аффинной диффузии. Однако включены некоторые постоянные параметры, такие как a0 и l0, которые являются стороной p, что указывает на то, что интенсивность скачков постоянна и не зависит от состояния.
 

Вычислительные финансы: Лекция 7/14 (Модели стохастической волатильности)



Вычислительные финансы: Лекция 7/14 (Модели стохастической волатильности)

В лекции мы углубимся в концепцию моделей стохастической волатильности как альтернативы моделям Блэка-Шоулза, которые могут иметь свои ограничения. Докладчик подчеркивает, что стохастические модели волатильности относятся к классу моделей аффинной диффузии, которые требуют передовых методов для эффективного получения цен и подразумеваемой волатильности. Объясняется мотивация включения стохастической волатильности, и вводится двумерная модель стохастической волатильности Хестона.

Одним из важных затронутых аспектов является калибровка моделей по всей поверхности подразумеваемой волатильности, а не только по одной точке. Это особенно важно, когда речь идет о выплатах, зависящих от пути, и зависимости от направления удара. Практики обычно калибруют модели по ликвидным инструментам, таким как коллы и путы, а затем экстраполируют на цены экзотических деривативов. Стохастические модели волатильности популярны на рынке, поскольку они позволяют калибровать всю поверхность волатильности, несмотря на присущие им ограничения.

В лекции также подчеркивается значение поверхностей волатильности на фондовом рынке и необходимость соответствующих моделей. Если поверхность волатильности демонстрирует крутую улыбку, часто предпочтительны модели, включающие скачки или стохастическую волатильность. Обсуждаются различные меры, используемые для ценообразования, в том числе P-мера и нейтральная к риску мера. Отмечается, что, хотя зависимость процентных ставок от времени не улучшает улыбки или перекоса, введение стохастической или локальной волатильности может помочь в калибровке. Также представлена модель Хасселя, в которой для моделирования волатильности используются процессы обращения к среднему квадратному корню.

В лекции подробно рассматривается концепция стохастических моделей волатильности. Первоначально для определения стохастического дифференциального уравнения использовались нормальный процесс и броуновское движение, но признано, что этот подход не может точно отразить волатильность, тем более что она может стать отрицательной. Преимущества обратного процесса Box, также известного как процесс CIR, объясняются тем, что он демонстрирует толстые хвосты и остается неотрицательным, что делает его подходящей моделью для волатильности. Представлена модель Хестона с ее стохастической структурой волатильности, и показано, что дисперсия (VT) подчиняется нецентральному распределению хи-квадрат. Уточняется, что данное распределение является переходным, а условие Феллера упоминается как критическое техническое условие, подлежащее проверке при калибровке модели.

Обсуждаются условия для моделей стохастической волатильности, чтобы избежать попадания траекторий в ноль, называемые условием Феллера. Условие выполняется, когда удвоенное произведение параметра каппа и долгосрочного среднего больше или равно гамма-квадрату, квадрату волатильности. Когда условие не выполняется, пути могут достигать нуля и возвращаться назад, что приводит к достижимому граничному условию. Объясняются свойства нецентральных распределений хи-квадрат и их связь с процессами CIR. Пути отклонения и графики плотности представлены для иллюстрации влияния выполнения или невыполнения условия Феллера.

Подчеркивается значение распределений с толстыми хвостами в стохастических моделях волатильности, поскольку они часто наблюдаются после калибровки моделей по рыночным данным. Отмечается, что если условие Феллера модели не выполняется, траектории Монте-Карло могут достигать нуля и оставаться равными нулю. Объясняется включение корреляции в модели через броуновское движение и упоминается, что скачки обычно считаются независимыми. Лекция завершается графиком, показывающим влияние условия Феллера на плотность.

Лекция посвящена корреляции и дисперсии в броуновском движении. Докладчик объясняет, что при работе с коррелированными броуновскими движениями должно соблюдаться определенное соотношение, и то же самое относится к приращениям. Вводится метод разложения Холецкого как средство сопоставления двух броуновских движений с использованием положительно определенной матрицы и умножения двух нижних треугольных матриц. Этот метод помогает сформулировать два процесса, обсуждаемых далее в лекции.

Обсуждается конструкция умножения нижних треугольных матриц с независимыми броуновскими движениями, в результате чего получается вектор, содержащий комбинацию независимых и коррелированных процессов.

Кроме того, лектор объясняет, что характерная функция модели Хестона дает ценную информацию об эффективном и быстром ценообразовании. При выводе характеристической функции становится очевидным, что все задействованные члены являются явными, что устраняет необходимость в сложных аналитических или численных вычислениях для решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Эта простота считается одним из значительных преимуществ модели Хестона, что делает ее практичным и мощным инструментом для ценообразования деривативов.

Спикер подчеркивает, что понимание характеристик и последствий каждого параметра в модели Хестона имеет решающее значение для эффективного управления рисками, связанными с волатильностью. Такие параметры, как каппа, долгосрочное среднее значение, волатильность, корреляция и начальное значение процесса дисперсии, оказывают определенное влияние на динамику волатильности и подразумеваемую поверхность волатильности. Сопоставляя эти параметры с рынком и анализируя их влияние, специалисты-практики могут получить ценную информацию об улыбках и перекосах подразумеваемой волатильности, что позволяет более точно определять цены и управлять рисками.

В лекции подчеркивается важность калибровки моделей стохастической волатильности для всей поверхности подразумеваемой волатильности, а не только для одной точки. Выплаты, зависящие от траектории, и зависимости от направления удара требуют комплексного подхода к калибровке, чтобы охватить всю сложность рыночных данных. Как правило, специалисты-практики калибруют модели на ликвидные инструменты, такие как коллы и путы, а затем экстраполируют цены на экзотические деривативы. Хотя модели стохастической волатильности позволяют проводить калибровку по всей поверхности волатильности, признается, что процесс калибровки не идеален и имеет свои ограничения.

Чтобы еще больше углубить понимание моделей стохастической волатильности, лектор углубляется в концепцию распределений с толстыми хвостами, которые часто наблюдаются при калибровке моделей по рыночным данным. Докладчик объясняет, что если условие Феллера модели не выполняется, траектории Монте-Карло могут достичь нуля и остаться на нуле, что повлияет на точность модели. Кроме того, обсуждается включение скачков и независимое рассмотрение корреляций в моделях стохастической волатильности. Лекция дает представление о том, как эти элементы влияют на динамику волатильности и ценообразование.

Лекция завершается сравнением модели Хестона с моделью Блэка-Шоулза. В то время как модель Хестона предлагает большую гибкость и стохастичность при моделировании волатильности, модель Блэка-Шоулза остается ориентиром для ценообразования деривативов. Понимание последствий различных изменений параметров для улыбок и перекосов подразумеваемой волатильности важно для практиков, чтобы выбрать подходящую модель для своих конкретных потребностей. Благодаря всесторонней калибровке и анализу модели стохастической волатильности, такие как модель Хестона, могут дать ценную информацию о ценообразовании и управлении рисками на финансовых рынках.

Помимо обсуждения модели Хестона, лекция посвящена важности корреляции и дисперсии в броуновском движении. Докладчик объясняет, что при работе с коррелированными броуновскими движениями должны выполняться определенные отношения и условия, включая использование разложения Холецкого. Этот метод позволяет коррелировать два броуновских движения с помощью положительно определенной матрицы и умножения двух нижних треугольных матриц. В лекции подчеркивается, что этот метод необходим для формулирования процессов в многомерных случаях и достижения желаемой корреляционной структуры.

Кроме того, лектор фокусируется на построении и представлении независимых и коррелированных броуновских движений в стохастических моделях волатильности. Хотя разложение Холецкого является полезным инструментом для корреляции броуновских движений, в лекции отмечается, что для практических целей оно не всегда необходимо. Вместо этого можно применить лемму Ито для эффективного включения коррелированных броуновских движений. В лекции приведены примеры построения портфелей акций с коррелированными броуновскими движениями и показано, как применять лемму Ито для определения динамики многомерных функций, включающих множество переменных.

В лекции также рассматривается уравнение ценообразования в частных производных (УЧП) для модели Хестона с использованием мартингального подхода. Этот подход включает в себя обеспечение того, чтобы определенная величина, называемая пи, которая представляет собой отношение волатильности к долгосрочному среднему значению, была мартингейлом. Применяя лемму Этоса, лекция выводит уравнение для мартингала, которое включает производные и процесс дисперсии. PDE ценообразования позволяет определять справедливые цены для деривативных контрактов и использовать нейтральную к риску меру в ценообразовании.

Кроме того, спикер обсуждает влияние различных параметров на форму подразумеваемой волатильности в моделях стохастической волатильности. Показано, что такие параметры, как гамма, корреляция и скорость возврата к среднему (каппа), влияют на кривизну, асимметрию и временную структуру подразумеваемой волатильности. Понимание влияния этих параметров помогает точно откалибровать модели и уловить желаемую динамику волатильности.

На протяжении всей лекции докладчик подчеркивает важность калибровки модели, особенно для всей поверхности подразумеваемой волатильности. Калибровка на жидкие инструменты и экстраполяция на экзотические производные — обычная практика среди практиков. Стохастические модели волатильности, в том числе модель Хестона, обеспечивают гибкость для калибровки всей поверхности волатильности, что позволяет повысить точность ценообразования и управления рисками. Однако признается, что калибровка модели не лишена ограничений и что тонкие различия между моделями, такими как модели Хестона и Блэка-Шоулза, должны быть тщательно изучены, чтобы обеспечить надлежащее ценообразование и оценку рисков.

Лекция представляет собой всесторонний обзор моделей стохастической волатильности, уделяя особое внимание модели Хестона, значениям ее параметров, методам калибровки и роли корреляции и дисперсии в броуновском движении. Понимая и эффективно применяя эти концепции, специалисты-практики могут повысить свою способность оценивать деривативы, управлять рисками и ориентироваться в сложностях финансовых рынков.

  • 00:00:00 В этом разделе мы узнаем о моделях стохастической волатильности как альтернативе моделям Блэка-Шоулза, которые могут иметь недостатки. Включение прыжков может решить некоторые проблемы, но их сложно реализовать и интерпретировать. Стохастические модели волатильности относятся к классу моделей аффинной диффузии, которые требуют передовых методов для эффективного получения цен и подразумеваемой волатильности. Лекция посвящена мотивам стохастической волатильности и знакомит с двумерной моделью стохастической волатильности Хестона. Мы также расскажем, как работать с популяциями, коррелировать броуновские движения, использовать корреляцию, распространять лемму Ито на многомерные случаи и оценивать УЧП с использованием мартингальных подходов, Монте-Карло и преобразований Фурье. В лекции подчеркивается важность понимания значения и влияния каждого параметра при управлении рисками, связанными с искривлением или перекосом. Наконец, мы сравниваем модель Хестона с моделью Блэка-Шоулза и получаем и используем характеристическую функцию для первой.

  • 00:05:00 В этом разделе лектор обсуждает важность калибровки модели для всей поверхности подразумеваемой волатильности, а не только для одной точки на поверхности. Они объясняют, что если выигрыш зависит от траектории и направления удара, калибровки только по одной точке на поверхности недостаточно. Далее в лекции объясняется, как практикующие специалисты обычно калибруют модели по ликвидным инструментам, таким как коллы и путы, а затем экстраполируют их на цены экзотических деривативов. Лектор также объясняет, что стохастические модели волатильности популярны на рынке, поскольку они позволяют практикам калибровать всю поверхность волатильности, хотя калибровка не идеальна и имеет свои ограничения.

  • 00:10:00 В этом разделе спикер обсуждает использование стохастических моделей волатильности для калибровки поверхности волатильности фондового рынка. Они объясняют, что если поверхность имеет крутую улыбку, может потребоваться модель, включающая скачки, или модель, подобная стохастической волатильности, которая моделирует волатильность как случайную величину. Докладчик также объясняет различные меры, используемые для ценообразования опционов, в том числе меру Р и нейтральную к риску меру. Они предупреждают, что зависимость процентных ставок от времени не улучшит улыбки или асимметрию, но создание стохастической или локальной волатильности может помочь с калибровкой. Наконец, они вводят модель Хасселя, которая использует процессы обращения квадратного корня к среднему для моделирования волатильности.

  • 00:15:00 В этом разделе лекции обсуждается концепция стохастических моделей волатильности. Объясняется использование нормального процесса и броуновского движения для определения стохастического дифференциального уравнения, но не удается точно смоделировать волатильность, поскольку она может стать отрицательной. Затем подчеркиваются преимущества обратного процесса Box, также известного как процесс CIR, поскольку он имеет толстые хвосты и является неотрицательным, что делает его подходящей моделью для волатильности. Вводится модель Хестона с ее стохастической структурой волатильности, и показано, что VT, дисперсия для модели Хестона, следует нецентральному распределению хи-квадрат. Поясняется, что это переходное распределение, а условие валки упоминается как важное техническое условие, которое необходимо проверить при калибровке модели.

  • 00:20:00 В этом разделе инструктор обсуждает условия, при которых модели стохастической волатильности имеют траектории, не достигающие нуля, также известные как условие Феллуриса. Условие выполняется, когда удвоенное произведение параметра каппа и долгосрочного среднего больше или равно гамма-квадрату, квадрату волатильности. Если условие не выполняется, пути могут достичь нуля и вернуться назад, что известно как достижимое граничное условие. Преподаватель также объясняет свойства нецентральных распределений хи-квадрат и то, как они связаны с процессами CIR. Наконец, инструктор предоставляет графики путей отклонения и плотности для случаев, когда условие Феллуриса выполняется и не выполняется.

  • 00:25:00 В этом разделе спикер обсуждает стохастические модели волатильности и важность распределений с толстыми хвостами, которые часто наблюдаются после калибровки моделей по рыночным данным. Докладчик отмечает, что если условие Феллера модели не выполняется, то пути Монте-Карло могут достичь нуля и остаться на нуле. Затем докладчик объясняет, как корреляция включается в модели через броуновское движение и что скачки обычно считаются независимыми. Раздел заканчивается графиком, показывающим влияние условия Феллера на плотность.

  • 00:30:00 В этом разделе видео о моделях стохастической волатильности спикер обсуждает корреляцию и дисперсию в броуновском движении. Он объясняет, что при работе с коррелированными броуновскими движениями должно соблюдаться определенное соотношение, и то же самое относится к приращениям. Далее спикер описывает технику разложения Холецкого, позволяющую связать два броуновских движения с помощью положительно определенной матрицы и умножения двух нижних треугольных матриц. Этот метод будет использоваться, чтобы помочь сформулировать два процесса в предстоящем обсуждении.

  • 00:35:00 В этом разделе лектор обсуждает построение умножения нижнетреугольных матриц с независимыми броуновскими движениями, в результате которого получается вектор, содержащий комбинацию независимых и коррелированных процессов. В лекции показано, как определить корреляцию между двумя броуновскими движениями, упростив обозначения и подставив выражения. При использовании этого вывода сохраняются те же свойства моментов и корреляции, что обеспечивает гибкость при выборе подходящего метода разложения.

  • 00:40:00 В этом разделе лекции ведущий обсуждает переход от использования двух коррелированных броуновских движений к использованию двух независимых переменных и то, как можно добиться корреляции с помощью разложения Холецкого. Также объясняются преимущества работы с независимыми броуновскими движениями с примерными графиками, показывающими различия в отрицательных, положительных и нулевых корреляциях. Докладчик также приводит пример кода для моделирования этих корреляций с помощью стандартизации выборок и генерации путей. Также выделен процесс генерации броуновского движения, при этом новая реализация броуновского движения генерируется из предыдущей с использованием итеративного процесса.

  • 00:45:00 В этом разделе видео обсуждается, как моделировать разноцветные пути для коррелированного линейного движения и как работать с более высокими измерениями и неположительно определенными корреляционными матрицами. Разложение Холецкого используется для расчета независимых броуновских движений с временем корреляции dt, которые можно применять для любого измерения. Однако, если вы столкнулись с неположительно определенной корреляционной матрицей, вам необходимо использовать определенные алгоритмы для преобразования матрицы в положительно определенную. Также важно указать границы для вашего коэффициента корреляции, чтобы убедиться, что он находится в реалистичном диапазоне от -1 до 1. Кроме того, в видео упоминается, что на практике каждый процесс в многомерном случае может зависеть от всех коррелированных броуновских движений. , но это нестандартный случай.

  • 00:50:00 В этом разделе лектор знакомит с разложением Холецкого, которое является полезным инструментом для работы с коррелирующими броуновскими движениями и преобразования системы уравнений из коррелированной в некоррелированную. Они объясняют, как представить систему дифференциальных уравнений в терминах независимых броуновских движений, используя корреляцию и разложение Холецкого. Лектор также обсуждает техническое условие применения леммы Этоса к векторным процессам, состоящее в том, что функция g должна быть достаточно дифференцируемой. Они дают пример многомерного стохастического дифференциального уравнения и того, как дифференцировать функцию g с каждым процессом в векторе, чтобы получить динамику процесса.

  • 00:55:00 В этом разделе спикер обсуждает представление независимых и коррелированных броуновских движений в стохастических моделях волатильности. Они объясняют, что для практических целей нет необходимости делать разложение Холецкого, и вместо этого можно использовать лемму Ито для применения коррелированных броуновских движений. Спикер также приводит пример построения портфеля из двух акций с коррелированными броуновскими движениями и значениями сигмы. Далее они объясняют процесс применения леммы Ито для нахождения динамики многомерной функции, включающей две или три переменные.

  • 01:00:00 В этом разделе лекции докладчик обсуждает применение леммы Этоса для вывода уравнения в частных производных (УЧП) ценообразования для модели Хестона с использованием мартингального подхода. PDE ценообразования требует, чтобы стоимость производного инструмента, приведенная к настоящему моменту, была равна его ожидаемой будущей стоимости, при этом денежный счет управляется уравнением для процентных ставок, а процесс дисперсии является стохастически переменным. Хотя получение PDE ценообразования для переменной, которая не является наблюдаемой или торгуемой, может быть весьма сложной задачей, подход мартингейла считается одним из более простых методов для достижения этого. PDE ценообразования эффективен в том смысле, что он позволяет получить справедливую цену контракта и нейтральную к риску меру.

  • 01:05:00 В этом разделе спикер объясняет подход мартингейла к ценообразованию деривативов в рамках модели стохастической волатильности. Подход включает в себя определение количества как pi, которое представляет собой отношение v к m, а затем обеспечение того, чтобы это количество было мартингалом, применяя лемму Этоса. Оратор выводит уравнение для мартингала, которое включает простую производную, единицу по m dv минус rv по m dt. Экономика состоит из актива, волатильности, которой нельзя торговать, и денежного сберегательного счета. Чтобы получить решение, спикер применяет ряд Тейлора и обрабатывает термины с помощью исчисления Ито, что очень просто. Однако вычисление члена, относящегося к произведению процесса дисперсии и запаса, является более сложным. Окончательное решение включает два броуновских движения и дополнительный член, который зависит от корреляции между дисперсией и запасом.

  • 01:10:00 В этом разделе лектор обсуждает гибкость модели Хестона и стохастичность процесса дисперсии по сравнению с моделью Блэка-Шоулза. Они объясняют, как модель включает несколько параметров, включая каппа, долгосрочное среднее значение, волатильность и корреляцию, а также еще один параметр — начальное значение процесса дисперсии. Они также отмечают, что самым большим преимуществом модели является то, что каждый из этих параметров оказывает индивидуальное влияние на волатильность, что позволяет проводить калибровку и внедрение интеллектуального перекоса волатильности. Лектор подчеркивает, что они будут анализировать влияние различных изменений параметров на улыбки и навыки подразумеваемой волатильности.

  • 01:15:00 В этом разделе лектор объясняет влияние различных параметров на форму подразумеваемой волатильности в моделях стохастической волатильности. Гамма-параметр контролирует кривизну подразумеваемой волатильности, и его увеличение приводит к закруглению формы. Корреляции влияют на асимметрию подразумеваемой волатильности, а отрицательные корреляции приводят к форме улыбки. Скорость возврата к среднему (каппа) влияет на временную структуру подразумеваемой волатильности, при этом большая каппа вызывает более быструю сходимость к долгосрочному среднему значению. Хотя каппа оказывает некоторое влияние на уровень и форму подразумеваемой волатильности, ее основное влияние оказывается на временную структуру.

  • 01:20:00 В этом разделе спикер обсуждает влияние различных параметров на модели стохастической волатильности, в частности, на управление временной структурой подразумеваемой волатильности. Аналогичное влияние на модель оказывают долгосрочное среднее значение и параметры v0. Бар V контролирует уровень, если указан срок погашения, а v0 управляет временной структурой подразумеваемой волатильности. Сравнение мгновенной подразумеваемой волатильности с моделью Блэка-Шоулза может определить, какая модель надгробия или модель Блэк-Шоулза более подходят. Кроме того, спикер использует цены опционов, чтобы проиллюстрировать различия между моделями Hastel и моделями Блэка-Шоулза. Контроль подразумеваемых улыбок обычно связан с более толстыми хвостами в моделях Hastel, в то время как модели Блэка-Шоулза гораздо быстрее сходятся к нулю.

  • 01:25:00 имейте это в виду при калибровке моделей стохастической волатильности и рассмотрении влияния различных параметров на цены. Хотя анализ подразумеваемой волатильности сам по себе не может определить форму подразумеваемой волатильности, калибровка вариантов подразумеваемой волатильности вне денег может дать более полное представление о точности модели. Различия между моделью и рынком могут иметь значительное влияние на подразумеваемую волатильность, особенно в опционах без денег, поэтому понимание перекоса и улыбки волатильности имеет решающее значение при калибровке модели. Тонкие различия между моделью Хестона и моделью Блэка-Шоулза требуют изучения различных элементов помимо цен опционов, таких как более тяжелые хвосты и форма волатильности. Коэффициент корреляции также важен для связи волатильности с акциями, и его значение выбирается на основе рыночных цен на опционы, а не исторических данных.

  • 01:30:00 В этом разделе спикер обсуждает модель Хестона и ее превосходство над моделью Блэка-Шоулза в ценообразовании деривативов. Однако при попытке определить, какое количество на рынке представляет реальную стохастическую волатильность, возникает проблема. Чтобы подтвердить, является ли модель Хестона аффинированной, спикер проверяет, являются ли переменные состояния и квадратичная ковариационная матрица линейными в векторе состояния, который состоит из двух переменных состояния, s_t и variance_t. Затем докладчик объясняет, что после выполнения логарифмического преобразования они должны проверить, являются ли все члены линейными относительно вектора пространства состояний. Несмотря на сложность модели, выполнение логарифмического преобразования не сильно усложняет выводы.

  • 01:35:00 В этом разделе спикер обсуждает мгновенную ковариационную матрицу и заявляет, что она помогает проверить, в порядке ли процесс. Кроме того, выводится характеристическая функция для модели Хестона, и она называется удобной декомпозицией, которая имеет отношение к эффективному и быстрому ценообразованию. Докладчик признает, что он охватывает несколько страниц выводов в книге, но подчеркивает, что все термины являются явными и что для решения ОДУ для характеристической функции не требуются аналитические или численные вычисления. Это рассматривается как одно из самых больших преимуществ модели Хестона.
 

Вычислительные финансы: Лекция 8/14 (Преобразование Фурье для оценки опционов)



Вычислительные финансы: Лекция 8/14 (Преобразование Фурье для оценки опционов)

Во время лекции о преобразовании Фурье для оценки опционов инструктор углубляется в применение этого метода и различные аспекты. Они начинают с объяснения того, что преобразование Фурье используется для расчета плотности и эффективного определения цены для моделей, подпадающих под класс моделей тонкой диффузии. Этот метод включает в себя вычисление интеграла по действительной оси, что может быть дорогостоящим в вычислительном отношении. Однако, используя лемму об обращении, инструктор объясняет, как можно уменьшить область определения «u», что позволяет вычислить действительную часть интеграла. Этот подход помогает минимизировать вычислительную нагрузку, связанную с дорогостоящими вычислениями.

Далее лектор обсуждает усовершенствование этого представления с помощью быстрого преобразования Фурье (БПФ), которое значительно повышает эффективность реализации. Используя свойства БПФ, вычислительная нагрузка снижается, что делает оценку опционов более эффективной и быстрой. Сессия завершается сравнением метода преобразования Фурье и стоимостного метода, что дает представление о соответствующих деталях их реализации.

Двигаясь вперед, лектор углубляется в первый шаг в поиске быстрого способа расчета плотности с использованием преобразования Фурье. Этот шаг включает в себя деление домена на две части и выделение действительной части, что является операцией, не требующей больших вычислительных затрат. Кроме того, лектор исследует деление комплексных чисел и важность сопряжения, поскольку это способствует более эффективному вычислению характеристической функции. Также обсуждается построение сетки для получения плотности для каждого значения «x», подчеркивая важность выбора соответствующих доменов и определения границ.

Лекция продолжается объяснением расчета плотности «x» с использованием интеграла преобразования Фурье и сетки, состоящей из «n» узлов. Преподаватель подчеркивает необходимость выполнения расчетов плотности для нескольких значений «x» одновременно. После того, как сетки определены, вводится новый интеграл, включающий функцию, называемую «гамма», и трапециевидное интегрирование используется для аппроксимации дискретного интеграла. Чтобы проиллюстрировать этот процесс, лектор приводит пример выполнения трапециевидного интегрирования для функции с равноотстоящей сеткой.

Затем докладчик углубляется в процесс настройки параметров, чтобы определить сетку для преобразования Фурье. Эти параметры охватывают количество точек сетки, максимальное значение «u» и соотношение между дельтой «x» и дельтой «u». Как только эти параметры установлены, интегралы и суммы могут быть заменены, что позволяет вывести функцию для каждого значения «x». Лекция включает уравнение, включающее трапециевидное интегрирование и характеристические функции, вычисляемые в граничных узлах трапеции.

Подробно обсуждаются представление интеграла и важность использования быстрого преобразования Фурье (БПФ) в оценке опционов. Докладчик объясняет, что, определив функцию, подходящую для ввода в БПФ, специалисты-практики могут воспользоваться преимуществами быстрой оценки и возможностей реализации, уже присутствующих в большинстве библиотек. Лектор переходит к объяснению шагов, связанных с вычислением этого преобразования, и того, как его можно использовать для вычисления интегралов. В целом лекция подчеркивает значение БПФ в вычислительных финансах и его полезность при оценке опционов.

В дополнение к вышеупомянутым темам лекция исследует различные аспекты, связанные с преобразованием Фурье для ценообразования опционов. К ним относятся использование методов интерполяции для обеспечения точных расчетов для дискретного числа точек, взаимосвязь между рядом Тейлора и характеристической функцией, применение метода косинусного разложения для четных функций и использование усеченных областей для аппроксимации плотности. Лекция также охватывает восстановление плотности, численные результаты, полученные с помощью разложения Фурье, и представление цены в виде матриц и векторов.

На протяжении всей лекции инструктор акцентирует внимание на практической реализации метода преобразования Фурье, обсуждает влияние различных параметров и выделяет преимущества и ограничения подхода. Предоставляя исчерпывающие объяснения и числовые эксперименты, лекция вооружает слушателей знаниями и инструментами, необходимыми для применения преобразования Фурье для оценки опционов в реальных сценариях.

Лектор переходит к обсуждению восстановления функции плотности в преобразовании Фурье для оценки опционов. Они подчеркивают важность выбора достаточно большого количества точек (обозначаемых как «n») при преобразовании для достижения высокой точности вычислений плотности. Лектор вводит комплексное число «i» для определения домена и максимума, а «u_max» определяется распределением. Кроме того, лектор объясняет необходимость интерполяции, в частности использования кубической интерполяции в точках сетки «x_i», чтобы обеспечить точное вычисление функции выходной плотности даже для входных данных, которые не лежат на сетке.

Докладчик далее исследует преимущества интерполяции и ее значение для ценообразования опционов с использованием преобразования Фурье. В то время как преобразование Фурье выгодно для больших сеток, интерполяция может быть предпочтительнее при работе с большими числами, поскольку она сравнительно менее затратна в вычислительном отношении, чем БПФ. Докладчик демонстрирует, как работает интерполяция, на примерах кода, подчеркивая, что путем настройки параметров становится возможным вычислить чувствительность и получить греки без дополнительных затрат. Эта особенность делает метод косинусного расширения идеальным для ценообразования более экзотических деривативов, таких как барьерные и бермудские опционы.

Кроме того, лектор обсуждает взаимосвязь между рядом Тейлора и характеристической функцией в вычислительных финансах. В лекции демонстрируется однозначное соответствие между рядом и характеристической функцией, позволяющее установить прямые отношения без дополнительных интегралов. Затем лектор описывает «метод косинуса» для оценки опционов, в котором используется разложение косинуса Фурье для представления четных функций около нуля. Этот метод включает в себя вычисление интегралов и коэффициентов, с важным примечанием, что первый член разложения всегда должен быть умножен наполовину.

В лекции более подробно рассматривается процесс изменения области интегрирования функции "g" для достижения конечного диапазона поддержки от "a" до "b". Докладчик объясняет важность формулы Эйлера для упрощения выражения и показывает, как замена «u» на «k pi, деленное на ba» приводит к более простому выражению, включающему плотность. Усеченная область обозначается символом шляпы, а конкретные значения параметров «а» и «b» выбираются исходя из решаемой задачи. Докладчик подчеркивает, что это метод аппроксимации и что выбор значений «а» и «б» связан с эвристическим выбором.

Кроме того, в лекции исследуется взаимосвязь между разложением Фурье и восстановлением плотности. Взяв действительные части обеих частей уравнения, лекция демонстрирует формулу Эйлера, позволяющую выразить интеграл плотности как действительную часть характеристической функции. Этот элегантный и быстрый метод облегчает нахождение соотношений между интегралами целевой функции и характеристической функции с помощью определения характеристической функции. Метод затрат направлен на обнаружение этих отношений для расчета коэффициентов расширения и восстановления плотности. Хотя метод вносит ошибки из-за бесконечного суммирования и области усечения, эти ошибки легко контролировать.

Затем лекция фокусируется на подведении итогов разложения косинуса Фурье, которое может обеспечить высокую точность даже при небольшом количестве членов. Численный эксперимент с использованием нормальной функции плотности вероятности (PDF) проводится для изучения генерации ошибок на основе количества терминов с включенным измерением времени. Эксперимент с кодом структурирован так, чтобы генерировать плотность с помощью косинусного метода, определяя ошибку как максимальную абсолютную разницу между плотностью, восстановленной с помощью косинусного метода, и точной нормальной PDF. Косинусному методу требуется всего несколько строк кода для восстановления плотности с использованием характеристической функции, которая лежит в основе метода.

Кроме того, спикер обсуждает численные результаты разложения Фурье, которое может быть эффективно выполнено с использованием матричной записи. Ошибка уменьшается по мере увеличения числа членов расширения, при этом ошибка составляет всего 10 ^ -17, достигаемая при 64 членах. Использование меньшего количества терминов может привести к колебаниям или ухудшению соответствия. Докладчик отмечает, что такие параметры, как домен и количество членов расширения, должны быть тщательно настроены, особенно для распределений с сильными хвостами. Кроме того, в лекции подчеркивается, что логарифмически нормальная плотность также может быть смоделирована с использованием нормальной характеристической функции.

Двигаясь вперед, лектор углубляется в логнормальный случай и объясняет, чем его плотность отличается от нормального распределения. Из-за логарифмически нормального распределения обычно требуется большее количество членов расширения. Лектор подчеркивает важность выбора подходящего количества терминов для конкретного типа дистрибутива и предметной области.

В лекции подчеркивается, что затратный метод особенно полезен для восстановления плотности и обычно используется для ценообразования деривативов, таких как опционы европейского типа, которые предусматривают платеж только при наступлении срока погашения. Лектор продолжает объяснять, как работает ценообразование, включая интеграцию произведения плотности и функции выигрыша в рамках нейтральной к риску меры.

По ходу лекции спикер обсуждает более экзотические варианты, где можно вывести функцию связности и использовать косинусы. Вводится термин «переходные плотности», относящийся к распределениям, описывающим переход от одной точки на оси времени к другой. Начальное значение дается через распределение случайной величины. В презентации далее исследуется усечение плотности, когда плотность ограничивается заданным интервалом. Объясняется метод квадратур Гаусса, который включает интегрирование суммы действительных частей характеристической функции, умноженной на некоторый показатель степени.

В лекции вводится понятие скорректированной цены бревенчатого актива, которая определяется как логарифм запаса в момент погашения, деленный на масштабный коэффициент. Представлено альтернативное представление выигрыша, и докладчик отмечает, что выбор «v» напрямую влияет на коэффициент «h_n». Этот подход можно использовать для оценки выплат за несколько страйков, предоставляя удобный метод для оценки опционов с различными ценами страйков одновременно.

Затем спикер углубляется в процесс вычисления интеграла функции выигрыша, умноженного на плотность, с использованием экспоненциальной и косинусной функций в преобразовании Фурье для оценки опционов. Предоставляется общая форма для двух задействованных интегралов, и для расчета различных выплат выбираются разные коэффициенты. Докладчик подчеркивает важность возможности реализации этой техники для нескольких страйков, что позволяет оценивать сразу все страйки, что экономит время и сокращает вычислительные затраты. Наконец, ценовое представление представлено в виде матрицы, умноженной на вектор.

Обсуждается формула реализации преобразования Фурье в оценке опционов, включая векторизацию элементов и матричные манипуляции. В лекции объясняется процесс использования «k» в качестве вектора и создания матрицы с «n_k» ударами. Вещественные части рассчитываются для обработки комплексных чисел. Характеристическая функция имеет большое значение, поскольку она не зависит от «x» и играет ключевую роль в достижении эффективных реализаций множественных ударов. Точность и сходимость реализации зависят от количества терминов, и показано выборочное сравнение.

Кроме того, спикер углубляется в код, используемый для метода преобразования Фурье в ценообразовании опционов, и объясняет различные вовлеченные переменные. Они вводят концепцию диапазона для коэффициентов «а» и «b», обычно сохраняемых на уровне 10 или 8 для моделей скачкообразной диффузии. Код включает лямбда-выражение для характеристической функции, которая представляет собой общую функцию, адаптируемую к различным моделям. Спикер подчеркивает важность измерения времени путем проведения нескольких итераций одного и того же эксперимента и расчета среднего времени. Наконец, они иллюстрируют метод затрат и то, как он использует диапазон интегрирования для допущения большой волатильности.

Лекция продолжается объяснением процесса определения страйков и расчета коэффициентов для метода преобразования Фурье при оценке опционов. Лектор подчеркивает, что, хотя настройка параметров модели может привести к лучшей сходимости и потребовать меньшего количества терминов для оценки, в целом безопасно придерживаться стандартных параметров модели. Они подробно описывают этапы определения матрицы и выполнения матричного умножения для получения дисконтированной страйк-цены, сравнивая полученную ошибку с ошибкой точного решения. В лекции подчеркивается, что ошибка зависит от количества терминов и выбранного диапазона ударов.

Затем докладчик представляет сравнение различных методов оценки опционов, включая метод быстрого преобразования Фурье (БПФ) и метод косинуса. Они объясняют, что метод БПФ больше подходит для большого количества узлов сетки, а метод косинуса более эффективен для меньшего числа узлов сетки. Лектор демонстрирует расчет цен опционов обоими методами и сравнивает результаты.

Кроме того, лекция охватывает применение методов на основе Фурье в других областях финансов, таких как управление рисками и оптимизация портфеля. Лектор объясняет, что методы, основанные на Фурье, можно использовать для оценки показателей риска, таких как Value-at-Risk (VaR) и Conditional Value-at-Risk (CVaR). Комбинируя методы Фурье с методами оптимизации, можно найти оптимальное распределение портфеля, которое минимизирует риск или максимизирует доходность.

Лекция завершается подведением итогов основных моментов, обсуждавшихся на протяжении всей презентации. Методы преобразования Фурье представляют собой мощный инструмент для оценки опционов и других финансовых приложений. Метод косинуса позволяет эффективно и точно оценивать опционы, используя характеристическую функцию и разложение Фурье. Выбор параметров, таких как количество терминов и домен, влияет на точность и сходимость метода. Кроме того, методы, основанные на Фурье, могут быть распространены на различные финансовые проблемы, помимо оценки опционов.

В целом, лекция представляет собой всесторонний обзор методов преобразования Фурье в ценообразовании опционов, охватывая такие темы, как восстановление плотности, интерполяция, метод cos, логарифмически-нормальные распределения, множественные страйки, вопросы реализации и сравнения с другими методами ценообразования. Объяснения лектора и примеры кода помогают проиллюстрировать практическое применение этих методов в финансах и подчеркнуть их преимущества с точки зрения точности и эффективности.

  • 00:00:00 В этом разделе мы узнаем о преобразовании Фурье для оценки опционов. Техника преобразования Фурье используется для расчета плотности и эффективного ценообразования моделей, принадлежащих к классу модели тонкой диффузии. Этот метод включает в себя вычисление интеграла по действительной оси, что может быть дорогостоящим в вычислительном отношении. Однако, используя лемму об обращении, мы можем уменьшить область определения для u и вычислить действительную часть интеграла, что помогает отказаться от дорогостоящих вычислений. Блок включает в себя обсуждение улучшения этого представления с помощью быстрого преобразования Фурье, делающего реализацию намного быстрее и эффективнее. Наконец, занятие завершается сравнением метода преобразования Фурье и стоимостного метода, а также деталей реализации этих методов.

  • 00:05:00 В этом разделе лектор обсуждает первый шаг в получении быстрого способа расчета плотности для использования быстрого преобразования Фурье для оценки опционов. Первый шаг включает в себя разделение домена на две части и взятие реальной части, что является дешевой операцией. Дополнительно лектор обсуждает деление комплексных чисел и взятие сопряженных чисел, что позволяет более эффективно вычислять характеристическую функцию. В лекции также рассказывается о построении сетки для получения плотности для каждого x, что включает в себя выбор определенной области и определение границ.

  • 00:10:00 В этом разделе лекции профессор объясняет, как рассчитать плотность x, используя интеграл преобразования Фурье и сетку из n узлов сетки. Они поясняют, что расчет плотности необходимо выполнять для нескольких x одновременно. Как только сетки определены, они определяют новый интеграл от 0 до бесконечности функции с именем гамма и определяют трапециевидное интегрирование из дискретного интеграла. Профессор приводит пример, объясняющий, как выполнить трапециевидное интегрирование для функции с равноотстоящей сеткой.

  • 00:15:00 В этом разделе лекции спикер обсуждает процесс настройки параметров для определения сетки для преобразования Фурье. Эти параметры включают количество узлов сетки, максимальное значение u и соотношение между дельтой x и дельтой u. Как только эти параметры определены, интегралы и суммы могут быть заменены, и функция может быть получена для каждого значения x. Докладчик приводит уравнение, включающее трапецеидальное интегрирование и характерные функции, оцениваемые в граничных узлах трапеции.

  • 00:20:00 В этом разделе лекции спикер обсуждает представление интеграла и важность использования быстрого преобразования Фурье (БПФ) в ценообразовании опционов. Докладчик объясняет, что, определяя функцию, которая соответствует входным данным для БПФ, мы можем извлечь выгоду из быстрой оценки и реализации БПФ, уже доступного в большинстве библиотек. Затем докладчик объясняет шаги, связанные с вычислением этого преобразования, и то, как его можно использовать для вычисления интегралов. В целом лекция подчеркивает актуальность БПФ в вычислительных финансах и его полезность для оценки опционов.

  • 00:25:00 В этом разделе лектор обсуждает преобразование Фурье для оценки опционов. Они начинают с определения характеристической функции и сетки, которую мы будем использовать для преобразования Фурье. Лектор отмечает необходимость интерполяции, так как у нас дискретное количество точек, например, несколько тысяч точек, а для бесперебойной работы требуются миллионы точек. Они отмечают, что трапециевидное интегрирование характеристической функции помогает восстановить плотность, но все равно не приносит пользы. Лектор объясняет, что можно уменьшить количество оценок и операций, необходимых для дискретного преобразования Фурье, используя быстрое преобразование Фурье. На них показан график, на котором сравнивается сокращение операций при увеличении размерности узлов сетки, где сложность, достигаемая с помощью быстрого преобразования Фурье, значительно выше.

  • 00:30:00 В этом разделе лектор объясняет преобразование Фурье и его использование в ценообразовании опционов. Они фокусируются на одном члене и определяют корректирующую функцию плотности, вычисленную из функции связи. При использовании быстрого преобразования Фурье лектор подчеркивает, что самым большим преимуществом является то, что члены по обе стороны от диагонали в матрице m на самом деле являются одними и теми же членами, и этот факт может быть использован для уменьшения количества операций, необходимых для вычислений. Кроме того, лекция посвящена свойствам симметрии и подобия между членами счетчика на противоположной стороне диагонали. В лекции дается подробное объяснение поправочного члена, необходимого для представления задачи в zk.

  • 00:35:00 В этом разделе инструктор обсуждает применение быстрого преобразования Фурье (БПФ) в вычислительных финансах. Алгоритм БПФ помогает сократить количество необходимых вычислений, используя свойства сходства терминов в метриках. Однако для использования БПФ формулировка должна быть в специальной форме, которую алгоритм может переварить. Преподаватель подчеркивает, что для восстановления плотности можно использовать различные методы численного интегрирования, но формулировка должна быть такой, чтобы можно было применить БПФ. Наконец, инструктор проводит эксперимент, демонстрирующий кодирование БПФ для распределения Гаусса и то, как различные параметры влияют на восстановление плотности.

  • 00:40:00 В этом разделе лектор обсуждает детали, касающиеся функции плотности восстановления в преобразовании Фурье для ценообразования опционов. Количество точек, используемых при преобразовании, равно n, и оно должно быть достаточно большим для достижения высокой плотности точности. Лектор определяет i как комплексное число, используемое для определения домена и максимума, при этом u max определяется распределением. Лектор продолжает объяснять, как обрабатывать интерполяцию, используя кубическую интерполяцию в сетке xi по точкам fxi. Эта интерполяция необходима для обеспечения точного расчета функции выходной плотности даже для входных данных, не входящих в сетку.

  • 00:45:00 В этом разделе видео спикер обсуждает преимущества интерполяции и то, как она связана с ценообразованием опционов с использованием преобразования Фурье. Докладчик упоминает, что, хотя преобразование Фурье полезно для больших блоков, интерполяция может быть предпочтительнее для больших чисел, поскольку она сравнительно дешевле, чем БПФ. Докладчик также демонстрирует, как работает интерполяция с помощью кода, и объясняет, что, изменяя параметры, можно вычислить чувствительность и получить греки без дополнительных затрат, что делает метод расширения косинуса идеальным для оценки более экзотических деривативов, таких как барьерные и бермудские опционы.

  • 00:50:00 В этом разделе лектор обсуждает взаимосвязь между рядом Тейлора и характеристической функцией, используемой в вычислительных финансах. Ряд имеет взаимно однозначное соответствие с характеристической функцией, допуская прямые отношения без дополнительных интегралов. Затем лектор переходит к описанию метода cos для оценки опционов, который использует разложение косинуса Фурье для представления четных функций около нуля. Метод предполагает вычисление интегралов и коэффициентов, при этом важно иметь в виду, что первый член разложения всегда следует умножать наполовину.

  • 00:55:00 В этом разделе спикер обсуждает необходимость изменения области интегрирования для функции g, чтобы иметь конечный диапазон поддержки от a до b. Они объясняют важность формулы Эйлера для упрощения выражения и показывают, как замена u на k pi, деленное на ba, приводит к более простому выражению, включающему плотность. Усеченная область обозначается шапкой, а конкретные значения параметров a и b выбираются в зависимости от решаемой задачи. Докладчик подчеркивает, что это метод аппроксимации и что при выборе значений a и b существует эвристический выбор.

  • 01:00:00 В этом разделе лекции исследуется взаимосвязь между разложением Фурье и восстановлением плотности. Взяв действительные части обеих частей уравнения, лекция показывает, что у нас есть формула Эйлера, которая позволяет нам выразить интеграл плотности как действительную часть характеристической функции. Это очень элегантный и быстрый способ найти взаимосвязь между интегралами целевой функции и характеристической функции, используя определение валютной функции. Метод стоимости заключается в нахождении этих красивых соотношений между интегралами целевой функции и характеристической функции для расчета коэффициентов расширения и восстановления плотности. Метод вносит ошибки, возникающие из-за бесконечного суммирования и области усечения, но эти ошибки легко контролировать.

  • 01:05:00 В этом разделе лекции о преобразовании Фурье для оценки опционов основное внимание уделяется обобщению разложения косинуса Фурье. Расширение может обеспечить высокую точность даже для нескольких присутствующих терминов, как показано в численном эксперименте с обычным PDF, где генерация ошибки проверяется на основе количества терминов и измеряется время. Эксперимент с кодом структурирован для получения плотности с использованием метода косинуса и определения ошибки как максимальной абсолютной разности плотностей, которая восстанавливается с помощью метода косинуса и сравнивается с точным нормальным PDF. Косинусному методу требуется всего несколько строк кода для восстановления плотности с использованием характеристической функции, которая является сердцевиной метода.

  • 01:10:00 В этом разделе спикер обсуждает численные результаты разложения Фурье, которое можно эффективно выполнить с помощью матричной записи. Ошибка уменьшается по мере увеличения числа членов разложения, при этом ошибка 10 ^ -17 достигается при 64 членах. Меньшее количество терминов может привести к колебаниям или ухудшению соответствия. Докладчик отмечает, что такие параметры, как домен и количество членов разложения, должны быть настроены, особенно для распределений с сильными хвостами. Логарифмическая нормальная плотность также может быть смоделирована с использованием нормальной характеристической функции.

  • 01:15:00 В этом разделе лектор обсуждает логнормальный случай и то, как его плотность отличается от нормального распределения. Из-за логарифмически нормального распределения требуется большее количество членов разложения. Лектор рекомендует сохранять количество терминов для конкретного типа дистрибутива и домена. Метод затрат является мощным средством восстановления плотности и в основном используется для ценообразования деривативов, таких как опционы европейского типа, которые предусматривают выплату только при наступлении срока погашения. Лектор объясняет, как работает ценообразование, которое включает в себя интеграцию произведения плотности и функции выигрыша в рамках нейтральной к риску меры.

  • 01:20:00 В этом разделе видео обсуждаются более экзотические варианты, в которых можно вывести функцию связности и использовать косметику. Термин «распределение» представляет собой плотность перехода, что означает, что при расчете плотности перехода из одной точки на оси времени в другую начальное значение задается в терминах распределения случайной величины. Затем в презентации обсуждается усечение плотности, когда плотность усекается на заданном интервале, и метод квадратур Гаусса, который включает интегрирование суммы действительных частей характеристической функции, умноженной на некоторый показатель степени. Скорректированная цена бревенчатого актива определяется как логарифм запаса в момент погашения, деленный на масштабный коэффициент, и представлено альтернативное представление выплаты. В ролике отмечается, что выбор v напрямую влияет на коэффициент hn и что этот подход можно использовать для оценки выплат за множественные страйки.

  • 01:25:00 В этом разделе спикер обсуждает процесс вычисления интеграла от функции выигрыша, умноженной на плотность, посредством использования экспоненциальной и косинусной функций в преобразовании Фурье для ценообразования опционов. Оратор продолжает объяснять общую форму для двух задействованных интегралов и то, как выбор разных коэффициентов позволяет вычислять различные выплаты. Спикер подчеркивает важность возможности реализации этой техники для нескольких страйков, что позволяет оценивать сразу все страйки, экономя время и сокращая расходы. Наконец, спикер объясняет представление цены в виде матрицы, умноженной на вектор.

  • 01:30:00 В этом разделе лекции обсуждается формула реализации преобразования Фурье для оценки опционов. Он включает векторизацию элементов и матричные манипуляции. Реализация включает в себя принятие k в качестве вектора и создание матрицы с nk забастовками. Формула включает в себя вычисление действительных частей для обработки комплексных чисел. Характеристическая функция имеет большое значение, поскольку она не зависит от x, и она играет ключевую роль в достижении эффективных реализаций множественных ударов. Точность и сходимость реализации зависят от количества терминов, и показано выборочное сравнение.

  • 01:35:00 В этом разделе докладчик обсуждает код, используемый для метода преобразования Фурье для оценки опционов, и объясняет различные задействованные переменные. Они вводят понятие диапазона для коэффициентов a и b и объясняют, как они обычно поддерживаются на уровне 10 или 8 для моделей скачкообразной диффузии. Код также включает лямбда-выражение для характеристической функции, которая является универсальной функцией, которая может работать для разных моделей. Спикер подчеркивает важность измерения времени путем проведения нескольких итераций одного и того же эксперимента и получения среднего времени для всех из них. Наконец, они иллюстрируют метод затрат и то, как он использует диапазон интегрирования для допущения большой волатильности.

  • 01:40:00 В этом разделе спикер объясняет процесс определения страйков и расчета коэффициентов для метода преобразования Фурье при оценке опционов. Докладчик отмечает, что, хотя настройка параметров модели может привести к лучшей сходимости и меньшему количеству терминов, необходимых для оценки, обычно безопасно придерживаться стандартных параметров модели. Затем выступающий подробно описывает этапы определения матрицы и выполнения матричного умножения для получения дисконтированной цены исполнения, при этом полученная ошибка сравнивается с ошибкой метода черных дыр. Кроме того, спикер демонстрирует, как введение дополнительных ударов может привести к более плавной работе и упростить калибровку модели для нескольких ударов.