Quantitative trading - страница 13
Вы упускаете торговые возможности:
- Бесплатные приложения для трейдинга
- 8 000+ сигналов для копирования
- Экономические новости для анализа финансовых рынков
Регистрация
Вход
Вы принимаете политику сайта и условия использования
Если у вас нет учетной записи, зарегистрируйтесь
Уолл-стрит: быстрые торговцы
Уолл-стрит: быстрые торговцы
Многие люди не знают, что большинство сделок с акциями в Соединенных Штатах больше не совершаются людьми, а скорее компьютерами-роботами. Эти суперкомпьютеры способны покупать и продавать тысячи различных ценных бумаг в мгновение ока. Высокочастотная торговля, как известно, стала преобладать на Уолл-стрит в последние годы и сыграла свою роль в крахе мини-рынка прошлой весной, когда промышленный индекс Доу-Джонса упал на 600 пунктов всего за 15 минут.
Комиссия по ценным бумагам и биржам и члены Конгресса начали поднимать сложные вопросы о полезности, потенциальных опасностях и подозрениях в манипулировании рынком посредством компьютерной торговли. Переход от трейдеров-людей к машинам изменил ландшафт Нью-Йоркской фондовой биржи, которая когда-то была центром финансового мира. Сейчас на бирже происходит менее 30% торгов, а остальная часть проводится через электронные платформы и альтернативные торговые системы.
Появились две электронные фондовые биржи, BATS и Direct Edge, принадлежащие крупным банкам и фирмам, занимающимся высокочастотным трейдингом, и торгуют более миллиарда акций в день с поразительной скоростью. Такой практикой занимаются фирмы высокочастотного трейдинга, такие как Tradeworks, которыми управляет Манодж Наранг и команда математиков и ученых, называемых квантами (количественными аналитиками). Они совершают сделки за доли секунды, стремясь получить прибыль в копейки или меньше за сделку. Эти фирмы полагаются на сложные математические алгоритмы, запрограммированные в их компьютерах, для анализа данных в реальном времени и принятия решений за доли секунды.
Одним из ключевых аспектов высокочастотной торговли является то, что компьютеры не понимают, какие компании торгуются. Они не знают стоимости компаний, их менеджмента или любых других качественных факторов. Торговые решения основаны исключительно на количественных факторах, вероятности и статистическом анализе. Этот подход позволяет использовать мимолетные возможности на рынке, но игнорирует фундаментальные факторы.
Высокочастотные трейдеры вкладывают значительные средства в суперкомпьютеры и инфраструктуру, чтобы получить преимущество в скорости. Чем ближе их компьютеры расположены к серверам биржи, тем быстрее они получают важную рыночную информацию. Даже несколько миллисекунд преимущества могут привести к значительной прибыли. Критики утверждают, что высокочастотные трейдеры используют это преимущество, чтобы опережать заказы, манипулировать акциями и извлекать деньги с рынка, не добавляя реальной ценности.
В то время как сторонники утверждают, что высокочастотная торговля увеличивает ликвидность рынка, снижает транзакционные издержки и сужает спреды по акциям, критики считают, что это подрывает справедливость и прозрачность. Высокоскоростной характер торговли и сложность алгоритмов затрудняют контроль и обеспечение равных условий для регулирующих органов. «Внезапный крах» 2010 года, когда индекс Доу-Джонса упал на 600 пунктов за считанные минуты, выявил потенциальные риски, связанные с высокочастотной торговлей и отсутствием контроля.
Регуляторы и законодатели начали предлагать реформы для решения проблем, связанных с высокочастотной торговлей. Комиссия по ценным бумагам и биржам рассматривает меры по отслеживанию и выявлению высокочастотных сделок, и были введены автоматические выключатели для остановки торговли в случаях крайней волатильности цен. Однако необходимы дальнейшие изменения, чтобы восстановить уверенность в честности рынка и обеспечить прозрачность для рядовых инвесторов, которые считают, что система настроена против них.
В последние годы высокочастотные трейдеры расширили свою деятельность на валютные и товарные рынки, что еще больше усиливает обеспокоенность по поводу их влияния на финансовые рынки. Эволюция технологий опережает способность регулирующих органов идти в ногу со временем, и растет призыв к реформам, обеспечивающим баланс между инновациями и целостностью рынка.
«Математическое моделирование и вычисления в финансах: с упражнениями и компьютерными кодами Python и MATLAB» , CW Oosterlee и LA Grzelak, World Scientific Publishing, 2019.
«Математическое моделирование и вычисления в финансах: с упражнениями и компьютерными кодами Python и MATLAB» — бесценная книга, в которой исследуется пересечение математики, финансов и компьютерных наук. Написанный экспертами в этой области, он представляет собой исчерпывающее руководство по пониманию и реализации математических моделей в финансах с использованием популярных языков программирования, таких как Python и MATLAB.
Книга начинается с ознакомления читателей с фундаментальными концепциями математического моделирования в финансах, включая теорию вероятностей, стохастическое исчисление и методы оптимизации. Он подчеркивает практические аспекты моделирования и вычислений, подчеркивая важность численных методов и моделирования в решении реальных финансовых проблем.
Одной из выдающихся особенностей этой книги является включение в нее многочисленных упражнений и компьютерных кодов на Python и MATLAB. Эти упражнения позволяют читателям активно взаимодействовать с материалом, закреплять понимание концепций и развивать навыки программирования. Выполняя упражнения и применяя предоставленные коды, читатели могут получить практический опыт применения математических моделей для финансирования и улучшить свои навыки использования этих языков программирования для финансового анализа.
Книга охватывает широкий круг тем, имеющих отношение к финансам, таких как ценообразование опционов, оптимизация портфеля, управление рисками и распределение активов. Он углубляется в сложные темы, такие как моделирование волатильности, моделирование процентных ставок и моделирование кредитного риска, предоставляя читателям всестороннее понимание математических методов, используемых в финансовом моделировании.
Авторы находят баланс между теоретической строгостью и практическим применением на протяжении всей книги. Они предоставляют четкие объяснения основных математических концепций и алгоритмов, сопровождаемые примерами из реальной жизни и конкретными случаями. Этот подход позволяет читателям понять теоретические основы, а также получить представление о том, как эти модели можно применять для решения практических финансовых проблем.
Кроме того, в книге освещаются преимущества и ограничения различных подходов к моделированию, вооружая читателей навыками критического мышления, необходимыми для принятия обоснованных решений при выборе и реализации моделей в реальных сценариях.
«Математическое моделирование и вычисления в финансах: с упражнениями и компьютерными кодами Python и MATLAB» — отличный ресурс для студентов, исследователей и практиков в области финансов, которые хотят углубить свое понимание математического моделирования и вычислительных методов. Сочетание теоретических объяснений, практических упражнений и готовых к использованию компьютерных кодов делает ее важным компаньоном для всех, кто интересуется применением математических методов для решения финансовых проблем.
https://github.com/LechGrzelak/Computational-Finance-Course
Этот курс «Вычислительные финансы» основан на книге: «Математическое моделирование и вычисления в финансах: с упражнениями и компьютерными кодами Python и MATLAB».
Вычислительные финансы: Лекция 1/14 (Введение и обзор классов активов)
Эта всеобъемлющая лекция служит введением в увлекательные области вычислительных финансов и финансового инжиниринга, охватывая широкий круг тем, необходимых для понимания современных финансов. Лектор подчеркивает важность теоретических моделей математических и вычислительных финансов, которые используются для создания практических моделей ценообразования деривативов при различных сценариях.
В курсе по вычислительным финансам студенты будут углубляться в различные темы, которые имеют решающее значение для понимания и применения практических финансовых методов. Курс под руководством инструктора Лета Лага будет посвящен внедрению эффективных методов программирования с использованием Python для моделирования и оценки опционов. Эта комплексная программа предназначена для лиц, интересующихся финансами, количественными финансами и финансовой инженерией. Он будет охватывать такие важные понятия, как подразумеваемая волатильность, стратегии хеджирования и увлекательное царство экзотических деривативов.Вычислительные финансы - это междисциплинарная область, расположенная между математическими финансами и численными методами. Его основная цель состоит в том, чтобы разработать методы, которые могут быть непосредственно применены к экономическому анализу, сочетая навыки программирования с теоретическими моделями. Финансовая инженерия, с другой стороны, включает междисциплинарный подход, который использует финансовую теорию, инженерные методы, математические инструменты и методы программирования. Финансовые инженеры играют решающую роль в создании практических моделей, основанных на математических и вычислительных финансах, которые можно использовать для оценки деривативов и эффективного управления сложными финансовыми контрактами. Эти модели должны быть теоретически обоснованными и адаптируемыми к различным сценариям.
Курс прольет свет на различные классы активов, которыми торгуют в области вычислительных финансов, включая акции, опционы, процентные ставки, иностранную валюту, кредитные рынки, товары, энергию и криптовалюты. Криптовалюты, в частности, предлагают доступ к различным классам активов и могут использоваться для целей хеджирования. Каждый класс активов имеет свои уникальные контракты, используемые для контроля рисков и стратегий хеджирования. Внебиржевой рынок (OTC) с его многочисленными контрагентами представляет дополнительные сложности, которые необходимо понимать.
Лектор исследует роль криптовалют в финансах, подчеркивая их разнообразные особенности и необходимость конкретных методологий, моделей и предположений для ценообразования. Кроме того, будут изучены рыночные доли различных классов активов, таких как процентные ставки, форекс, акции, товары и свопы кредитного дефолта (CDS). Хотя опционы составляют относительно небольшую часть финансового мира, они предлагают отличный взгляд на финансовый и вычислительный анализ.
Тема опционов и спекуляций будет подробно обсуждаться, подчеркивая, как опционы представляют собой альтернативу покупке акций, позволяя людям спекулировать на будущем направлении акций с относительно небольшими капиталовложениями. Однако у опционов есть срок погашения, и они могут обесцениться, если цена акций останется неизменной, что делает выбор времени решающим фактором в спекуляциях. Курс предоставит введение в финансовые рынки, классы активов и роль финансовых инженеров в навигации по этим сложным ландшафтам. Акции, как самый популярный класс активов, будут подробно изучены, с акцентом на концепцию собственности и влияние на стоимость акций результатов деятельности компании и будущих ожиданий.
Лекция прольет свет на стохастическую природу поведения акций на рынке, на которую влияют такие факторы, как спрос и предложение, конкуренты и деятельность компании. Ожидаемая стоимость акции может отличаться от ее фактической стоимости, что приводит к волатильности. Волатильность является ключевым элементом моделирования и оценки опционов, поскольку она определяет будущие колебания цен на акции. Кроме того, в лекции будут проводиться различия между двумя типами инвесторов: теми, кто заинтересован в получении дивидендов, и теми, кто ищет возможности роста.
Будет введена концепция дивидендов и инвестирования дивидендов с акцентом на то, что дивиденды обеспечивают стабильные и надежные инвестиции, поскольку компании регулярно распределяют выплаты акционерам. Однако выплаты дивидендов могут варьироваться, а высокая доходность дивидендов может указывать на повышенный риск инвестиций компании. Лекция кратко затронет процентные ставки и денежные рынки, признавая, что эти темы будут более подробно освещены в последующем курсе.
Будут обсуждаться инфляция и ее влияние на процентные ставки, объясняя, как центральные банки контролируют инфляцию, корректируя процентные ставки. В лекции будут рассмотрены краткосрочные выгоды и долгосрочные последствия снижения процентных ставок, а также альтернативные стратегии, такие как современная денежная теория или покупка активов центральными банками. Кроме того, будет объяснена роль неопределенности среди участников рынка в определении процентных ставок и скрытого налогового воздействия инфляции на граждан. Лекция завершится углублением в тему управления рисками в кредитовании. Лектор расскажет о потенциальных рисках, с которыми сталкиваются кредиторы, таких как банкротство заемщиков или невыплата кредитов. Чтобы снизить эти риски, кредиторы часто взимают надбавку за риск, чтобы обеспечить адекватную компенсацию любых потенциальных убытков.
Двигаясь вперед, спикер переключит внимание на процентные ставки и их значение в финансах. Они объяснят, как процентные ставки влияют на различные финансовые инструменты, включая сберегательные счета, ипотечные кредиты и кредиты. Будет введена концепция сложных процентов, подчеркивающая, что одна единица валюты сегодня стоит больше, чем та же единица в будущем из-за таких факторов, как инфляция. Будут рассмотрены два основных метода расчета процентных ставок, простой и сложный, с подробным объяснением их различий и практическими примерами.
Затем спикер углубится в сложные процентные ставки, особенно для инвестиций со сроком погашения в один год. Они объяснят математическое моделирование сложных ставок с использованием экспоненциальной функции, где одна единица валюты умножается на e, возведенное в степень процентной ставки. Кроме того, докладчик расскажет, как это математическое представление согласуется с дифференциальными уравнениями, управляющими сберегательными счетами, что приводит к определению коэффициента умножения, используемого для дисконтирования будущих денежных потоков. Однако выступающий заметит, что в действительности процентные ставки не являются постоянными, а меняются со временем, о чем свидетельствуют различные инструменты, такие как сроки и цены на такие валюты, как евро и доллар США.
Будут обсуждаться графики, представляющие процентные ставки и рыночную ликвидность для еврозоны и доллара. Примечательно, что текущее состояние еврозоны показывает отрицательную доходность по всем срокам погашения до 30 лет, что означает, что инвестирование в государственные облигации в еврозоне может привести к потере денег. Спикер предположит, что физические лица могут предпочесть обменять евро на доллары и инвестировать в облигации США, поскольку они предлагают более высокую доходность. Тем не менее, такой подход сопряжен с рисками, в том числе с потенциальными потерями из-за колебаний обменного курса. Спикер подчеркнет, что процентные ставки зависят от времени и подвержены динамике рынка.
Лектор расскажет о концепции покупки облигаций, подчеркнув, что покупатели облигаций часто платят больше, чем реальная стоимость облигации. Следовательно, стоимость денег, вложенных в облигации, может со временем обесцениться, а инфляция может подорвать стоимость инвестиций. Будут упомянуты основные покупатели облигаций, такие как пенсионные фонды и центральные банки, что подчеркнет их значительную роль на рынке облигаций. Кроме того, лектор коснется концепции волатильности, которая измеряет изменение финансовых цен во времени. Волатильность рассчитывается с использованием статистических показателей, таких как дисперсия, и дает представление о тенденции рынка или ценной бумаги к колебаниям, внося неопределенность и риск.
Затем курс переключит свое внимание на доходность активов и волатильность, два важнейших понятия в вычислительных финансах. Доходность активов относится к прибылям или убыткам ценной бумаги в течение определенного периода времени, а волатильность измеряет дисперсию этих доходов. Высокая волатильность рынка указывает на значительные колебания цен в течение короткого промежутка времени, что приводит к повышенной неопределенности и риску. Будет введен индекс VIX, инструмент, измеряющий неопределенность рынка. Он использует опционы «вне денег» или «пут» и обычно используется инвесторами для защиты своего капитала в случае снижения рыночной стоимости. Будет подчеркнута важность определения времени и прогнозирования времени воздействия, поскольку на практике они могут быть сложными.
Инструктор расскажет о тонкостях анализа волатильности различных индексов, в том числе индекса VIX. Они признают трудности математического моделирования волатильности из-за рыночных обстоятельств и колебаний. Кроме того, будут введены европейские опционы, которые служат фундаментальными строительными блоками для ценообразования деривативов на основе волатильности. Лектор проведет четкое различие между опционами колл и опционами пут, объяснив, что опционы колл дают владельцу право купить актив по заранее установленной цене и в установленную дату, а опционы пут дают владельцу право продать актив по заранее установленной цене. и дата, по существу выступая в качестве страховки.
Создав основу для опционов, лектор представит обзор опционов в различных классах активов. Они будут подчеркивать два ключевых типа опционов: колл-опционы и пут-опционы. В случае колл-опциона покупатель имеет право продать базовый актив продавцу с определенной датой погашения и ценой исполнения. Это означает, что по истечении срока продавец обязан купить акции по цене исполнения, если покупатель решит исполнить опцион. С другой стороны, пут-опцион предоставляет покупателю право продать базовый актив продавцу с определенной датой погашения и страйк-ценой. По истечении срока продавец должен купить акции по указанной цене исполнения, если покупатель реализует опцион.
Чтобы проиллюстрировать потенциальную доходность опционов, лектор представляет два графических изображения — одно для колл-опционов, другое для пут-опционов. Эти графики отображают потенциальную прибыль или убыток в зависимости от стоимости базовой акции. Изучая графики, зрители могут понять, как изменения стоимости акций могут повлиять на прибыльность опционов.
На протяжении всего курса инструктор будет изучать дополнительные сложные темы, связанные с вычислительными финансами, включая моделирование деривативов, эффективное программирование и использование Python для моделирования и оценки опционов. Они будут программировать в прямом эфире во время сеансов и анализировать результаты совместно со зрителями, предоставляя практический опыт и практические идеи.
Курс специально разработан для людей, интересующихся финансами, количественными финансами и финансовой инженерией. Он направлен на преодоление разрыва между математическими финансами и численными методами, предлагая междисциплинарные знания и навыки, необходимые для решения реальных финансовых проблем. Также будут рассмотрены концепции подразумеваемой волатильности, стратегий хеджирования и экзотических деривативов, что обеспечит всестороннее понимание вычислительных финансов и их приложений в финансовой индустрии.
К концу курса участники получат прочную основу в области вычислительных финансов, финансового инжиниринга и практического применения численных методов. Они будут оснащены инструментами и знаниями для разработки и внедрения моделей ценообразования деривативов, управления рисками и анализа финансовых данных. Этот курс служит трамплином для тех, кто хочет сделать карьеру в области финансов, количественного анализа или финансового инжиниринга, позволяя им принимать обоснованные решения и вносить свой вклад в постоянно развивающуюся область вычислительных финансов.
Вычислительные финансы: Лекция 2/14 (Акции, опционы и стохастика)
Вычислительные финансы: Лекция 2/14 (Акции, опционы и стохастика)
Преподаватель начинает с обзора курса, подчеркивая важность понимания торговой уверенности, хеджирования и необходимости математических моделей в финансах. Они углубляются в тему ценообразования опционов пут и объясняют концепцию хеджирования. Также рассматриваются стохастические процессы и моделирование цен на активы с введением леммы Ито как инструмента для решения стохастических дифференциальных уравнений.
Чтобы проиллюстрировать практическое применение этих концепций, инструктор представляет пример стратегии обучения, в которой инвестор стремится защитить свои инвестиции от потенциального снижения стоимости акций. Они предлагают купить страховку в виде пут-опционов, чтобы обеспечить минимальную сумму денег в худшем случае.
Переходя к торговле опционами, лектор сосредоточится на использовании опционов пут для защиты от снижения цен на акции. Однако они отмечают, что покупка опционов пут может быть дорогостоящей, особенно когда волатильность акций высока, примером чего является Tesla. Чтобы снизить стоимость опциона, можно уменьшить цену исполнения, но это означает принятие более низкой цены акции. Лектор предоставляет скриншот из Reuters, демонстрирующий различные типы опционов, доступных на рынке, с разбивкой по срокам погашения и цене исполнения. Они также объясняют взаимосвязь между ценой исполнения и ценой опциона для опционов колл и пут.
Подразумеваемая волатильность вводится как мера неопределенности рынка. Лектор объясняет, что более низкие цены исполнения связаны с более высокой подразумеваемой волатильностью. Также введена дельта, которая измеряет зависимость стоимости опциона от базового актива. Затем в видео рассматривается концепция хеджирования и то, как можно установить коэффициент для создания безрискового портфеля, хотя и потенциально ограничивающий прибыль, если стоимость акций не увеличивается. Обсуждается хеджирование с помощью опционов, подчеркивая его пригодность для краткосрочных инвестиций, но отмечая его потенциальную дороговизну в периоды высокой волатильности.
Торговля опционами рассматривается как средство хеджирования и снижения рисков. Лектор предполагает, что опционы, как правило, более желательны для краткосрочных инвестиций с определенным сроком погашения, поскольку они могут быть дорогостоящими для долгосрочных инвестиций. Представлена концепция хеджирования колл-опционами, подчеркивающая, как продажа опционов может помочь снизить риск для инвесторов, владеющих большим портфелем акций. Тем не менее, рекомендуется проявлять осторожность против продажи слишком большого количества коллов, поскольку это может ограничить потенциал роста и всегда сопряжено с определенной степенью риска.
Затем в видео рассматриваются товары, объясняя, что они являются сырьем, используемым в качестве страховки от инфляции из-за их непредсказуемых, но часто сезонных ценовых моделей. Торговля сырьевыми товарами в основном ведется на фьючерсном рынке, где заключаются сделки на покупку или продажу товаров в будущем. Подчеркивается различие между рынками электроэнергии и другими товарами, при этом электроэнергия создает уникальные проблемы из-за невозможности ее полного хранения и ее влияния на предсказуемость и стоимость производных финансовых инструментов.
Лектор переходит к обсуждению торговли валютой как класса активов, обычно называемого валютным рынком. В отличие от традиционной покупки или продажи по определенному обменному курсу, люди обменивают денежные суммы между валютами. Лектор подчеркивает роль доллара США как базовой валюты и резервной валюты. Они также касаются манипулирования обменными курсами центральными банками с целью укрепления или ослабления валют. Кроме того, упоминается небольшое применение валютных деривативов для хеджирования валютных рисков в международном бизнесе.
Спикер объясняет, как банки и финансовые учреждения могут покупать или продавать страховки от колебаний обменных курсов, чтобы управлять инвестиционной неопределенностью. Инвестирование в разные страны может привести к неопределенности из-за разной силы валюты и денежно-кредитной политики, что приведет к неопределенной доходности. Вычислительные финансы играют решающую роль в управлении и расчете рисков, связанных с такими инвестициями, путем моделирования неопределенностей и учета различных факторов. Далее спикер отмечает, что биткойны можно рассматривать как валютные курсы, и обсуждает их гибридный характер как регулируемого товара, стоимость которого определяется путем обмена по отношению к доллару США. Волатильность биткойнов затрудняет прогнозирование их будущей стоимости.
Кроме того, спикер исследует концепцию нейтрального к риску ценообразования, которая является фундаментальным принципом ценообразования опционов. Нейтральное к риску ценообразование предполагает, что на совершенно эффективном рынке ожидаемая доходность опциона должна быть равна безрисковой ставке. Этот подход упрощает процесс ценообразования за счет учета вероятностей различных результатов на основе нейтральной к риску меры, когда ожидаемая доходность опциона дисконтируется по безрисковой ставке.
Затем докладчик представляет модель Блэка-Шоулза-Мертона (BSM), которая является широко используемой математической моделью для ценообразования опционов. Модель BSM включает в себя различные факторы, такие как текущая цена акции, цена исполнения, время до экспирации, безрисковая процентная ставка и волатильность базового актива. Он предполагает, что базовый актив следует геометрическому броуновскому движению и что рынок эффективен.
Докладчик объясняет ключевые компоненты модели BSM, в том числе формулу расчета стоимости европейского колл-опциона или пут-опциона. Они подчеркивают важность волатильности при оценке опционов, поскольку более высокая волатильность увеличивает стоимость опциона из-за возможности более значительных колебаний цен. Спикер также упоминает роль подразумеваемой волатильности, которая представляет собой рыночное ожидание будущей волатильности, подразумеваемой ценами опционов.
Далее в лекции рассматривается концепция дельта-хеджирования, которая представляет собой стратегию, используемую для минимизации риска путем сохранения нейтральной позиции по базовому активу. Дельта измеряет чувствительность цены опциона к изменению цены базового актива. Регулируя количество акций, принадлежащих базовому активу, инвестор может создать дельта-нейтральный портфель, на который меньше влияют колебания цен.
Докладчик объясняет процесс дельта-хеджирования с использованием модели BSM и демонстрирует, как он может эффективно снизить риск. Они обсуждают концепцию динамического хеджирования, когда хеджирование постоянно корректируется по мере изменения цены базового актива. Это гарантирует, что портфель останется дельта-нейтральным, и сведет к минимуму подверженность рыночным колебаниям.
Помимо дельта-хеджирования, в лекции рассматриваются другие методы управления рисками, такие как гамма-хеджирование и вега-хеджирование. Гамма измеряет скорость изменения дельты, а вега измеряет чувствительность цены опциона к изменениям подразумеваемой волатильности. Эти методы позволяют инвесторам управлять своими позициями и корректировать их в зависимости от меняющихся рыночных условий и рисков.
Ближе к концу лекции спикер подчеркивает ограничения и допущения модели BSM. Они признают, что реальные рынки могут отклоняться от допущений модели, таких как наличие транзакционных издержек, ограничения ликвидности и влияние рыночных трений. Докладчик призывает к осторожному подходу и подчеркивает важность понимания ограничений и неопределенностей, связанных с моделями ценообразования опционов.
В целом, лекция представляет собой всесторонний обзор торговой уверенности, стратегий хеджирования, моделей ценообразования опционов и методов управления рисками. Он дает учащимся необходимые знания и инструменты для навигации в сложном мире финансовых рынков и принятия обоснованных решений в торговой и инвестиционной деятельности.
Вычислительные финансы: Лекция 3/14 (Оценка опционов и моделирование в Python)
Вычислительные финансы: Лекция 3/14 (Оценка опционов и моделирование в Python)
В лекции инструктор углубляется в моделирование движения акций в Python и исследует модель Блэка-Шоулза для вариантов ценообразования. Они обсуждают два подхода к получению безарбитражной цены опционов, а именно хеджирование и мартингейл. Докладчик демонстрирует, как программировать мартингалы и моделировать их, подчеркивая связь между дифференциальными уравнениями в частных производных (УЧП) и моделированием Монте-Карло в рамках ценообразования.
Используя метод дискретизации Эйлера, спикер объясняет, как моделировать и строить графики случайных процессов. Они начинают с простого процесса и используют лемму Ито для перехода от S к X, логарифму S. Затем лектор знакомит с методом дискретизации Эйлера и демонстрирует его реализацию в Python. Этот метод включает в себя дискретизацию непрерывной функции и моделирование приращений как для дрейфа, так и для броуновского движения, в результате чего получаются графики смоделированных траекторий.
С вычислительной точки зрения докладчик обсуждает моделирование путей для моделей ценообразования опционов. Вместо того, чтобы моделировать каждый путь по отдельности, они объясняют эффективность выполнения квантования времени и построения матрицы, в которой каждая строка представляет определенный путь. Количество строк соответствует количеству путей, а количество столбцов соответствует количеству временных шагов. Докладчик объясняет реализацию процесса дискретизации с использованием стандартной нормальной случайной величины и подчеркивает важность стандартизации для лучшей сходимости.
Лекция также посвящена моделированию траекторий геометрического броуновского движения с помощью Python. Докладчик показывает, как исправить случайное начальное число для стабильного моделирования, и представляет модель Блэка-Шоулза, которая включает стохастическое дифференциальное уравнение с дрейфом и такими параметрами, как мю и сигма, для моделирования цен на активы. Спикер подчеркивает, что модель Блэка-Шоулза по-прежнему широко используется в финансовой индустрии, в частности, для оценки опционов на акции. Они обсуждают концепции реальной меры и нейтральной к риску меры, которые помогают в ценообразовании на основе различных вероятностей результата.
Кроме того, лекция посвящена ценообразованию опционов и моделированию в Python. Докладчик проводит различие между реальной мерой, оцениваемой на основе исторических данных без допущения арбитражных или безрисковых условий, и мерой с нейтральным риском, которая требует выполнения определенных условий. Они представляют собой торговую стратегию, включающую непрерывную торговлю акциями и корректировку позиции опциона с учетом движения базовой акции. Докладчик объясняет динамику портфеля с помощью леммы Ито и выводит стохастическую природу стоимости опционов с помощью этого метода.
Спикер также углубляется в методы построения портфеля хеджирования, который не зависит от броуновского движения. Они обсуждают выбор дельты, которая сводит на нет условия, связанные с броуновским движением, обеспечивая дельта-нейтральный портфель. Докладчик подчеркивает важность того, чтобы портфель приносил такой же доход, как и сберегательный счет, и вводит концепцию счетов с денежными настройками.
Кроме того, в лекции рассматривается вывод дифференциальных уравнений в частных производных (УЧП) для оценки опционов с использованием модели Блэка-Шоулза. Полученное PDE представляет собой производную второго порядка с граничными условиями, определяющими справедливую стоимость опциона. Докладчик подчеркивает, что цена опциона по модели Блэка-Шоулза существенно не зависит от параметра дрейфа mu, который можно получить из калибровочных или исторических данных. Однако в этой модели не учитываются трансакционные издержки на хеджирование.
В лекции рассматриваются различные важные концепции модели Блэка-Шоулза и ценообразования опционов. В нем обсуждается предположение об отсутствии арбитражных возможностей, что приводит к безрисковому сценарию применения модели. Докладчик объясняет концепцию дельта-хеджирования и то, как оно устраняет самую большую случайную составляющую портфеля. Кроме того, спикер представляет гамму как меру поведения дельты и подчеркивает, что каждый параметр в модели можно хеджировать. Наконец, в лекции рассматриваются факторы, определяющие стоимость опциона, такие как время, страйк, волатильность и рыночные параметры.
В лекции спикер более подробно исследует модель Блэка-Шоулза и ее применение в ценообразовании опционов. Они обсуждают допущения и ограничения модели, в том числе допущение о постоянной волатильности и отсутствии транзакционных издержек. Несмотря на эти ограничения, модель Блэка-Шоулза по-прежнему широко используется в финансовой индустрии из-за ее простоты и эффективности при оценке европейских опционов колл и пут.
Докладчик вводит понятие подразумеваемой волатильности, которая представляет собой рыночное ожидание будущей волатильности, основанное на текущих ценах опционов. Подразумеваемая волатильность является ключевым параметром в модели Блэка-Шоулза, поскольку она влияет на цену опционов. Докладчик объясняет, как можно получить подразумеваемую волатильность из рыночных данных с помощью модели, и обсуждает ее значение в стратегиях торговли опционами.
В лекции рассматриваются различные стратегии торговли опционами, такие как дельта-хеджирование и гамма-торговля. Дельта-хеджирование предполагает постоянную корректировку состава портфеля для поддержания нейтральной позиции по отношению к изменениям цены базового актива. Гамма-торговля фокусируется на использовании изменений гаммы, которая измеряет, как изменяется дельта по отношению к цене базового актива. Эти стратегии направлены на управление рисками и максимизацию прибыльности в торговле опционами.
Докладчик также затрагивает другие важные факторы, влияющие на цены опционов, в том числе временной распад (тета), процентные ставки (ро) и дивидендную доходность. Они объясняют, как эти факторы влияют на цену опционов и как трейдеры могут использовать их для принятия обоснованных решений.
На протяжении всей лекции программирование на Python используется для демонстрации реализации различных моделей ценообразования опционов и торговых стратегий. Докладчик приводит примеры кода и объясняет, как использовать библиотеки и функции для выполнения расчетов и моделирования.
Таким образом, лекция представляет собой всесторонний обзор ценообразования и моделирования опционов с использованием модели Блэка-Шоулза и связанных с ней концепций. В нем подчеркивается практическое применение этих концепций в программировании на Python, что делает его ценным ресурсом для людей, заинтересованных в количественных финансах и торговле опционами.
Вычислительные финансы: Лекция 4/14 (Подразумеваемая волатильность)
Вычислительные финансы: Лекция 4/14 (Подразумеваемая волатильность)
В этой всеобъемлющей лекции по вычислительным финансам концепция подразумеваемой волатильности занимает центральное место, проливая свет на ее значение в расчетах цены опционов. Хотя модель Блэка-Шоулза служит основой для расчета подразумеваемой волатильности, должным образом подчеркиваются ее ограничения и неэффективность. В лекции рассматриваются различные методологии расчета подразумеваемой волатильности, в частности итерационные процессы, такие как метод Ньютона-Рафсона. Кроме того, лектор исследует проблемы, связанные с моделированием цен опционов, и подчеркивает роль подразумеваемой волатильности в отражении рыночных ожиданий. На протяжении всей лекции центральной темой остается решающее значение понимания волатильности в ценообразовании опционов и построения эффективных портфелей хеджирования.
Лекция расширяет свое исследование, сосредотачиваясь на взаимосвязи между ценами опционов и подразумеваемой волатильностью, с особым акцентом на ликвидные опционы пут и колл. Он исследует различные типы перекоса подразумеваемой волатильности, включая параметры волатильности, зависящие от времени, и влияние зависимости от времени на улыбку подразумеваемой волатильности. Кроме того, в лекции рассматриваются ограничения модели Блэка-Шоулза и альтернативные подходы к работе с моделями волатильности, включая модели локальной волатильности, модели скачков и модели стохастической волатильности. Также выясняется влияние срока погашения опциона на волатильность: опционы с более коротким сроком погашения демонстрируют более концентрированное распределение вокруг денежного уровня по сравнению с опционами с более длительным сроком погашения, где эффект улыбки становится менее выраженным.
Профессор начинает с краткого изложения ключевых понятий, рассмотренных в предыдущих разделах, особенно касающихся ценообразования опционов и моделирования волатильности. Вводится подразумеваемая волатильность, подчеркивая ее расчет на основе рыночных данных и ее роль в измерении неопределенности. Подробно обсуждается алгоритм вычисления подразумеваемой волатильности. Кроме того, рассматриваются ограничения и эффективность модели Блэка-Шоулза, а также расширения, такие как включение параметров волатильности, зависящих от времени, и создание поверхностей подразумеваемой волатильности. Лекция также затрагивает недостатки использования исключительно модели Блэка-Шоулза и знакомит с альтернативными моделями, такими как локальная волатильность и стохастическая волатильность. Особое внимание уделяется необходимости определения подходящей модели для оценки условных требований и важности построения портфеля хеджирования, состоящего из опционов и акций, для получения дифференциального уравнения в частных производных (УЧП).
Докладчик переходит к исследованию использования ожиданий при решении дифференциальных уравнений в частных производных, в частности, при работе с детерминированной процентной ставкой и необходимости учета ожиданий в рамках нейтральной к риску меры. Уравнение ценообразования для европейских опционов колл и пут представлено на основе функции нормального кумулятивного распределения (CDF) начальных запасов, оцениваемой в точках d1, которая зависит от параметров модели, а также показателя степени, включающего процентную ставку в течение времени до погашения. В лекции объясняется, что эту формулу можно легко реализовать в Excel.
Затем лектор уточняет параметры, необходимые для модели Блэка-Шоулза, которая служит инструментом для оценки цен опционов. Эти параметры включают время до погашения, страйк, процентную ставку, текущую стоимость акций и параметр волатильности, сигма, который необходимо оценивать с использованием рыночных цен. Лектор подчеркивает взаимно однозначное соответствие между ценой опциона и волатильностью, подчеркивая, что увеличение волатильности влечет за собой соответствующее увеличение цены опциона, и наоборот. Затем обсуждается концепция подразумеваемой волатильности, подчеркивая ее расчет на основе средней цены и ее значение в рамках модели Блэка-Шоулза.
Далее лекция посвящена получению подразумеваемой волатильности из моделей с несколькими параметрами. Отмечается, что вне зависимости от выбранной модели она должна пройти тест модели Блэка-Шоулза. Однако использование модели Блэка-Шоулза для одновременной оценки всех опционов становится непрактичным из-за разной подразумеваемой волатильности для каждого страйка. В лекции также отмечается, что подразумеваемая волатильность имеет тенденцию к увеличению с увеличением срока погашения опциона, что означает большую неопределенность. Приведен пример, демонстрирующий вычисление подразумеваемой волатильности с использованием рыночных данных и стандартного колл-опциона на 100 акций.
Концепция подразумеваемой волатильности далее разъясняется лектором. Исторические данные по опциону используются для оценки его волатильности с помощью уравнения Блэка-Шоулза. Тем не менее, лектор подчеркивает, что, хотя эта оценка дает определенную цену опциона, рынок мог оценить ее по-разному из-за ее прогнозного характера, в отличие от ретроспективной исторической оценки. Несмотря на это несоответствие, взаимосвязь между двумя волатильностями по-прежнему используется в инвестиционных целях, хотя лектор советует предостеречь от чисто спекулятивной зависимости от этой взаимосвязи. Затем в лекции объясняется, как рассчитать подразумеваемую волатильность с помощью уравнения Блэка-Шоулза, учитывая рыночную цену и другие характеристики опциона. Тем не менее, лектор признает, что концепция подразумеваемой волатильности по своей сути ошибочна, поскольку не существует окончательного правильного значения, а используемая модель является приближенным, а не истинным представлением цены опциона.
Лектор переходит к объяснению процесса нахождения подразумеваемой волатильности, используя метод Ньютона-Рафсона, итеративный подход. Этот метод включает настройку функции, основанной на уравнении Блэка-Шоулза и рыночной цене, для решения сигмы, подразумеваемой волатильности. Лектор рассказывает об использовании разложения в ряд Тейлора для расчета разницы между точным решением и итерацией с целью найти функцию, при которой подразумеваемая волатильность Блэка-Шоулза соответствует подразумеваемой волатильности рынка. Способность быстро вычислять подразумеваемую волатильность за миллисекунды имеет решающее значение для маркет-мейкеров для выявления возможностей арбитража и получения прибыли.
Вводится понятие итеративного процесса вычисления подразумеваемой волатильности с использованием метода Ньютона-Рафсона. Процесс включает в себя несколько итераций, пока функция g не приблизится к нулю, при этом каждый новый шаг оценивается на основе предыдущего. Лектор подчеркивает важность начального предположения для сходимости метода Ньютона-Рафсона. Экстремальные опционы без денег или опционы, близкие к нулю, могут создавать проблемы, поскольку функция становится плоской, что приводит к небольшому градиенту, препятствующему сходимости. Чтобы решить эту проблему, специалисты-практики обычно определяют сетку первоначальных предположений. Алгоритм аппроксимирует функцию, используя ее касательную, и вычисляет точку пересечения по оси x, при этом более крутые градиенты приводят к более быстрой сходимости.
Кроме того, лектор объясняет реализацию алгоритма Ньютона-Рафсона для расчета подразумеваемой волатильности опциона. Алгоритм основан на модели Блэка-Шоулза с входными параметрами, включая рыночную цену, страйк, время до погашения, процентную ставку, начальный объем акций и начальный параметр волатильности. Анализируется сходимость алгоритма и определяется порог погрешности. Код демонстрируется с использованием Python с заранее подготовленными необходимыми методами и определениями с использованием библиотек NumPy и SciPy.
В лекции подробно рассматривается расчет подразумеваемой волатильности с акцентом на исходные данные, необходимые для этого расчета, такие как стоимость опциона и производная цены колл по отношению к параметру волатильности, известному как Vega. Ядро кода включает в себя пошаговый процесс вычисления подразумеваемой волатильности, при этом лектор дает объяснения различных задействованных параметров и их значения. Лекция завершается краткой демонстрацией итеративного процесса, используемого для вычисления подразумеваемой волатильности.
Спикер также затрагивает тему ошибки при расчете подразумеваемой волатильности и того, как она определяется различиями между итерациями. Выходной график демонстрирует подразумеваемую волатильность, полученную для цены колл, страйка, срока погашения и других параметров. Докладчик иллюстрирует, как конвергенция варьируется в зависимости от различных первоначальных предположений о волатильности, подчеркивая важность этого процесса в отраслевой калибровке. Начальное предположение должно быть близко к фактической подразумеваемой волатильности, чтобы модель успешно сходилась. Практики отрасли обычно пробуют различные начальные значения волатильности до тех пор, пока не будет достигнута подходящая конвергенция и не будет выбрано это конкретное значение волатильности.
лекция углубляется в интерпретацию подразумеваемой волатильности. Подразумеваемая волатильность может дать представление об ожиданиях и настроениях рынка. Когда подразумеваемая волатильность высока, это говорит о том, что участники рынка ожидают значительных колебаний цен, что может указывать на неопределенность или предполагаемый риск в отношении базового актива. И наоборот, низкая подразумеваемая волатильность указывает на ожидания относительно стабильных цен.
В лекции подчеркивается, что подразумеваемая волатильность — это не мера будущей волатильности, а скорее отражение рыночного ценообразования. На подразумеваемую волатильность влияют различные факторы, такие как динамика спроса и предложения, настроения участников рынка и склонность участников рынка к риску. Поэтому очень важно интерпретировать подразумеваемую волатильность в контексте других рыночных индикаторов и фундаментального анализа.
Лектор также освещает концепцию поверхностей подразумеваемой волатильности или улыбок волатильности. Поверхности подразумеваемой волатильности представляют собой взаимосвязь между подразумеваемой волатильностью и различными ценами исполнения и сроками погашения. В определенных рыночных условиях подразумеваемая волатильность опционов «вне денег» может быть выше или ниже, чем у опционов «при деньгах». Эта кривизна поверхности подразумеваемой волатильности известна как улыбка или ухмылка волатильности. В лекции объясняется, что улыбка волатильности указывает на восприятие участниками рынка вероятности экстремальных ценовых движений, таких как большие риски снижения или неожиданные положительные события.
Кроме того, в лекции рассматривается концепция временных структур подразумеваемой волатильности. Временные структуры подразумеваемой волатильности отражают взаимосвязь между подразумеваемой волатильностью и различными сроками погашения для конкретного опциона. Лектор объясняет, что временные структуры подразумеваемой волатильности могут иметь различную форму, например восходящую (контанго), нисходящую (бэквардацию) или плоскую кривую. Эти временные структуры могут дать представление об ожиданиях рынка относительно будущей волатильности на разных временных горизонтах.
Кроме того, в лекции рассматриваются ограничения и проблемы, связанные с подразумеваемой волатильностью. В нем подчеркивается, что подразумеваемая волатильность выводится из цен опционов, на которые влияют различные факторы и допущения, включая процентные ставки, дивидендную доходность и гипотезу эффективного рынка. Следовательно, подразумеваемая волатильность не всегда может точно отражать истинную базовую волатильность.
Кроме того, в лекции обсуждается концепция исторической волатильности и ее сравнение с подразумеваемой волатильностью. Историческая волатильность рассчитывается на основе прошлых изменений цены базового актива, а подразумеваемая волатильность выводится из цен опционов. Лектор отмечает, что историческая волатильность является ретроспективной и может не полностью отражать будущие рыночные ожидания, в то время как подразумеваемая волатильность включает прогнозную информацию, встроенную в цены опционов.
Наконец, лекция завершается кратким изложением ключевых моментов. В нем подчеркивается важность понимания подразумеваемой волатильности, методов ее расчета и интерпретации в контексте ценообразования опционов и рыночных ожиданий. Лектор призывает к дальнейшим исследованиям и исследованиям в этой области, учитывая ее важность для финансовых рынков и принятия инвестиционных решений.
где влияние волатильности варьируется для разной длины опционов. В видео также показано, как вычислять подразумеваемую волатильность и генерировать пути с зависящей от времени волатильностью, а также как это влияет на уравнение подразумеваемой волатильности Блэка-Шоулза. В видео также показан пример подбора разных уровней волатильности для двух опционов с разным сроком погашения.
Вычислительные финансы: Лекция 5/14 (Процессы перехода)
Вычислительные финансы: Лекция 5/14 (Процессы перехода)
В ходе лекции исследуются способы улучшения модели Блэка-Шоулза за счет включения скачков в биржевой процесс, перехода от диффузионной модели к модели скачкообразного распространения. Инструктор начинает с объяснения включения прыжков в процесс запаса и дает определение прыжков. Затем они демонстрируют простую реализацию процесса скачка в Python, подчеркивая необходимость обрабатывать скачки в стохастическом процессе для акций, обеспечивая при этом, чтобы модель оставалась под мерой q.
Кроме того, в лекции рассматриваются последствия введения скачков в ценообразовании и то, как они влияют на УЧП (уравнение с частными производными) ценообразования, а также вводятся дополнительные интегральные члены. Обсуждение распространяется на влияние различных распределений скачков на формы подразумеваемой волатильности и использование таких концепций, как итерированные ожидания ожидания, свойство ожидания башни и характеристические функции для процессов скачка при работе со сложными ожиданиями.
Лектор подчеркивает практичность прыжковых процессов в вариантах ценообразования и калибровки моделей, подчеркивая их реалистичность и способность приспосабливаться к тяжелым хвостам, а также контролировать эксцесс и асимметрию плотности блокировки и поворота. Путем включения процесса скачка может быть достигнуто лучшее соответствие улыбке подразумеваемой волатильности или перекосу подразумеваемой волатильности, что делает процессы скачка более благоприятной альтернативой модели Блэка-Шоулза.
Смещая акцент, лекция вводит понятие скачкообразных процессов, представленных счетным процессом, которые не коррелируют с броуновским движением. Эти процессы моделируются с использованием случайного процесса Пуассона, характеризующегося начальным нулевым значением и независимыми приращениями, следующими за распределением Пуассона. Скорость процесса Пуассона определяет среднее количество скачков за заданный период времени. В лекции объясняется, как рассчитать среднее количество скачков в заданном интервале для скачкообразных процессов с использованием обозначений и ожиданий.
В вычислительных финансах лектор обсуждает моделирование процессов скачка, отмечая, что величина скачка не может взрываться, и излагает связанные с этим технические предположения. Процесс включает в себя определение матриц и параметров для моделирования независимых приращений с использованием распределения Пуассона для каждого приращения процесса перехода. В лекции также рассматривается использование процесса Пуассона в лемме Этоса для расширения динамики процессов скачка цен на акции. В контексте вычислительных финансов лекция вводит и объясняет концепцию скачкообразных процессов. Он определяет термин «t-минус» как время непосредственно перед тем, как в процессе происходит скачок, и исследует динамику процесса с помощью леммы Этоса и вычисления производных по времени. Обсуждается взаимосвязь между размером скачка и результирующей корректировкой функции «g», подчеркивая практическую значимость этих концепций при моделировании стохастических процессов. В лекции также подчеркивается важность учета независимости скачкообразных и диффузионных процессов при моделировании поведения фондового рынка.
Чтобы вывести динамику функции «g» в модели, включающей как скачкообразные, так и диффузионные процессы, в лекции основное внимание уделяется поведению высокой диффузионной сложности и применению леммы Ито. Лемма Ито используется для обработки перекрестных членов, таких как dxpt в квадрате, в контексте повышенной сложности модели. Как только все элементы, включая дрейф, диффузию и скачки, объединены, динамика «g» может быть получена с использованием леммы Ито. Также затрагивается расширение таблицы Ито, подчеркивая различия между пуассоновским процессом и броуновским движением. Лекция завершается описанием процесса получения динамики функции "g", которая включает в себя как скачкообразный, так и диффузионный процессы.
В дальнейшем лекция описывает процесс получения динамики акции со скачком и броуновским движением по мере Q. Этот процесс включает в себя определение новой переменной и определение ее динамики, гарантируя, что ожидание динамики равно нулю. Предполагается, что компонент скачка не зависит от всех других процессов, что приводит к выражению, включающему члены для дрейфа, волатильности и математического ожидания J минус один. Затем это выражение подставляется в уравнение для меры Q, гарантируя, что динамика ST по сберегательному счету является мартингейлом.
Преподаватель переходит к обсуждению того, как получить модель с диффузией и скачками, предоставляя пример, иллюстрирующий траектории модели с двумя компонентами: диффузией и скачком. Диффузная часть представляет непрерывное поведение, в то время как скачкообразный элемент вносит дискретность, позволяя представить модели скачков, наблюдаемые в определенных акциях. Инструктор также рассказывает о параметрах скачка и параметре волатильности для броуновского движения, а также о начальных значениях акций и процентных ставок. Чтобы еще больше углубить понимание, инструктор демонстрирует, как программировать симуляцию и строить полученные пути.
Затем лекция переходит к объяснению математического ожидания e в степени j, которое аналитически рассчитывается как математическое ожидание логарифмически нормального распределения. Выполняется моделирование приращений Пуассона, определяемых c, умноженное на pi, умноженное на dt, где z представляет приращения для нормального распределения, а j представляет величину скачка. Динамика процесса диффузии скачка включает как уравнения в частных производных, так и интегро-дифференциальные уравнения, где интегральная часть представляет собой математическое ожидание размеров скачка. Уравнение ценообразования может быть получено с помощью построения портфеля или с помощью подхода характеристической функции, а параметры должны быть откалиброваны с использованием цен опционов на рынке.
В контексте построения портфеля лекция описывает процесс построения портфеля, состоящего из проданного опциона и хеджирования базовой акцией. Убедившись, что динамика портфеля увеличивается с той же скоростью, что и сберегательный счет, можно вывести дифференциальное уравнение ценообразования. Для достижения нужной динамики акции, деленные на накопительный счет, должны быть мартингейловыми. Затем в лекции выводится условие для mu, демонстрируя, что, как только динамика установлена, можно вывести динамику v. Затем эта информация используется для расчета ожиданий и получения динамики v.
Далее лектор исследует уравнение для производной первого порядка по времени, которое также является первым порядком по x и включает математическое ожидание стоимости контракта в момент времени t со скачком. Это приводит к интегральному члену из-за наличия ожидания, что приводит к интегро-дифференциальному уравнению в частных производных (PID), которое сложнее решить, чем чисто PDE. Решение включает в себя нахождение аналитического выражения для ожидаемого значения, которое иногда может быть выражено в терминах бесконечного ряда. Также обсуждаются важность граничных условий и преобразования PID в логарифмические преобразования для улучшения сходимости.
Продолжая обсуждение скачкообразных процессов, лекция посвящена трансформации скачкообразных процессов в случае ПИД и ПИД в варианте «люкс». В лекции представлены два распространенных подхода к определению величины скачка, а именно классическая модель торговцев и несимметричная двойная экспонента. Хотя калибровка модели усложняется с добавлением сигма j и mu j, практичность и признание в отрасли часто отдают предпочтение моделям с меньшим количеством параметров. В лекции также признается, что по мере того, как динамика процессов скачков становится все более сложной, достижение сходимости становится сложной задачей, что требует передовых методов, таких как пространство Фурье или аналитические решения для калибровки параметров.
Затем лекция переходит к объяснению процесса ценообразования с использованием моделирования Монте-Карло для процессов скачкообразной диффузии. Ценообразование включает в себя расчет ожидаемого будущего вознаграждения путем дисконтирования его текущей стоимости. Хотя такие методы, как PID и моделирование методом Монте-Карло, хорошо работают с точки зрения вычислительной сложности для моделирования, они могут быть не идеальными для ценообразования и калибровки модели из-за значительного увеличения числа параметров при введении скачков. В лекции также рассматривается интерпретация распределения скачков и параметров интенсивности и их влияние на подразумеваемую волатильность. Проводится эксперимент по моделированию, варьируя параметры, оставляя другие фиксированными, чтобы наблюдать результирующие эффекты скачков и перекоса.
Для анализа влияния волатильности и интенсивности скачков на форму улыбки и уровня подразумеваемой волатильности лектор обсуждает их взаимосвязь. Увеличение волатильности скачка приводит к более высокому уровню волатильности, при этом интенсивность скачков также влияет на уровень и форму улыбки подразумеваемой волатильности. Эта информация имеет решающее значение для понимания поведения цен опционов и калибровки моделей в соответствии с реальными рыночными данными.
Затем лекция знакомит с концепцией Tower Property и ее применением для упрощения задач в финансах. Обусловливая путь от одного процесса для вычисления ожидания или цены другого процесса, можно упростить многомерные задачи в стохастических дифференциальных уравнениях. Свойство Башни также может быть применено к задачам в уравнениях Блэка-Шоулза с параметрами волатильности и учетными процессами, которые часто становятся суммированием при работе с интегралами скачков. Лектор подчеркивает необходимость делать предположения относительно параметров в этих приложениях.
Далее лектор обсуждает использование методов Фурье для решения уравнений ценообразования в вычислительных финансах. Методы Фурье опираются на характеристическую функцию, которую можно найти в аналитической форме для некоторых частных случаев. Лектор приводит пример с использованием модели Мертона и объясняет, как найти характеристическую функцию для этого уравнения. Разделяя термины ожидания, включающие независимые части, лектор демонстрирует, как выразить суммирование в терминах ожидания, что позволяет определить характеристическую функцию. Преимуществом использования методов Фурье является их способность обеспечивать быстрые расчеты ценообразования, которые имеют решающее значение для калибровки модели и оценки в реальном времени.
Далее лектор обсуждает использование методов Фурье для решения уравнений ценообразования в вычислительных финансах. Методы Фурье опираются на характеристическую функцию, которую можно найти в аналитической форме для некоторых частных случаев. Лектор приводит пример с использованием модели Мертона и объясняет, как найти характеристическую функцию для этого уравнения. Разделяя термины ожидания, включающие независимые части, лектор демонстрирует, как выразить суммирование в терминах ожидания, что позволяет определить характеристическую функцию. Преимуществом использования методов Фурье является их способность обеспечивать быстрые расчеты ценообразования, которые имеют решающее значение для калибровки модели и оценки в реальном времени.
На протяжении всей лекции инструктор подчеркивает важность понимания и включения процессов перехода в вычислительные финансовые модели. Включая скачки, модели могут лучше отражать поведение реальных цен на акции и обеспечивать более точные результаты ценообразования и калибровки. В лекции также освещаются проблемы, связанные со скачкообразными процессами, такие как сложность решения интегро-дифференциальных уравнений и необходимость тщательной калибровки параметров. Однако при использовании соответствующих методов и методологий процессы скачка могут значительно повысить точность и реалистичность вычислительных финансовых моделей.
Вычислительные финансы: Лекция 6/14 (Процессы диффузии аффинных скачков)
Вычислительные финансы: Лекция 6/14 (Процессы диффузии аффинных скачков)
Лектор дает представление о выборе моделей ценообразования в финансовых учреждениях, уделяя особое внимание различиям между фронт-офисом и бэк-офисом. Фронт-офис занимается торговой деятельностью и инициирует сделки, которые затем передаются в бэк-офис для обслуживания сделок и учета. Лектор подчеркивает необходимость учитывать различные факторы, включая калибровку, оценку рисков, точность ценообразования и вычислительную эффективность при выборе модели ценообразования. Кроме того, концепция характеристических функций и процессов диффузии аффинных скачков вводится как классы моделей, которые позволяют проводить эффективную оценку ценообразования. Эти модели способны быстро рассчитывать цены, что делает их подходящими для торговли в реальном времени. В лекции также рассматриваются такие темы, как вывод функции валюты, расширение фреймворка за счет включения прыжков, а также рабочий процесс ценообразования и моделирования в финансовых учреждениях.
На протяжении всей лекции подчеркивается важность понимания процессов скачка и их влияния на точность ценообразования, а также проблемы, связанные с решением интегро-дифференциальных уравнений и калибровкой параметров модели. Используя соответствующие методы и методологии, вычислительные финансовые модели могут быть улучшены, чтобы лучше отражать реальное поведение цен на акции и улучшать результаты ценообразования и калибровки.
Кроме того, спикер подчеркивает роль фронт-офиса в финансовых учреждениях, особенно в разработке и ценообразовании финансовых продуктов для клиентов. Фронт-офис отвечает за выбор соответствующих моделей ценообразования для этих продуктов и обеспечение правильного бронирования сделок. Сотрудничество с бэк-офисом имеет решающее значение для проверки и внедрения выбранных моделей, обеспечивая их соответствие рискам и сделкам учреждения. Основная задача фронт-офиса — найти баланс между предоставлением клиентам конкурентоспособных цен и управлением рисками в приемлемых пределах, обеспечивая при этом стабильный поток прибыли.
Докладчик описывает основные шаги, необходимые для успешного ценообразования, начиная со спецификации финансового продукта и формулирования стохастических дифференциальных уравнений для выявления основных факторов риска. Эти факторы риска играют решающую роль в определении модели ценообразования и последующем расчете цен. Надлежащая спецификация и моделирование этих факторов риска имеют решающее значение для точного ценообразования и управления рисками.
В ходе лекции обсуждаются различные методы ценообразования, в том числе точные и полуточные решения, а также численные методы, такие как моделирование методом Монте-Карло. Докладчик подчеркивает важность калибровки модели, когда параметры модели ценообразования корректируются в соответствии с рыночными наблюдениями. Методы Фурье представлены как более быстрая альтернатива калибровке модели, позволяющая эффективно вычислять параметры модели.
В лекции также сравниваются два популярных подхода к ценообразованию в вычислительных финансах: моделирование Монте-Карло и уравнения в частных производных (УЧП). Моделирование методом Монте-Карло широко используется для многомерных задач ценообразования, но оно может иметь ограниченную точность и подвержено ошибкам выборки. PDE, с другой стороны, предлагают такие преимущества, как возможность расчета чувствительности, такой как дельта, гамма и вега, при низкой стоимости и плавности решений. Докладчик упоминает, что методы на основе Фурье будут рассмотрены в следующих лекциях, поскольку они предлагают более быстрые и более подходящие подходы к ценообразованию для простых финансовых продуктов.
Понятие характеристических функций вводится как ключевой инструмент для преодоления разрыва между моделями с известными аналитическими функциями плотности вероятности и моделями без них. Используя характеристические функции, становится возможным вывести функцию плотности вероятности запаса, которая необходима для ценообразования и оценки риска.
На протяжении всей лекции подчеркивается важность калибровки. Жидкие инструменты используются в качестве эталонов для калибровки, а их параметры затем применяются для точной оценки более сложных производных продуктов. Лектор подчеркивает необходимость постоянного улучшения и уточнения моделей и методов ценообразования, чтобы адаптироваться к меняющимся рыночным условиям и добиваться надежных результатов ценообразования.
Таким образом, лекция дает представление о процессе выбора моделей ценообразования в финансовых учреждениях, уделяя особое внимание роли фронт-офиса, калибровке модели и соображениям риска, эффективности и точности. В нем также представлены различные методы, такие как моделирование Монте-Карло, УЧП и методы на основе Фурье для ценообразования и калибровки моделей. Обсуждается концепция характеристических функций и их значение для получения функций плотности вероятности, а также проблемы и важность уточнения модели и ее адаптации к реальным условиям.
Вычислительные финансы: Лекция 7/14 (Модели стохастической волатильности)
Вычислительные финансы: Лекция 7/14 (Модели стохастической волатильности)
В лекции мы углубимся в концепцию моделей стохастической волатильности как альтернативы моделям Блэка-Шоулза, которые могут иметь свои ограничения. Докладчик подчеркивает, что стохастические модели волатильности относятся к классу моделей аффинной диффузии, которые требуют передовых методов для эффективного получения цен и подразумеваемой волатильности. Объясняется мотивация включения стохастической волатильности, и вводится двумерная модель стохастической волатильности Хестона.
Одним из важных затронутых аспектов является калибровка моделей по всей поверхности подразумеваемой волатильности, а не только по одной точке. Это особенно важно, когда речь идет о выплатах, зависящих от пути, и зависимости от направления удара. Практики обычно калибруют модели по ликвидным инструментам, таким как коллы и путы, а затем экстраполируют на цены экзотических деривативов. Стохастические модели волатильности популярны на рынке, поскольку они позволяют калибровать всю поверхность волатильности, несмотря на присущие им ограничения.
В лекции также подчеркивается значение поверхностей волатильности на фондовом рынке и необходимость соответствующих моделей. Если поверхность волатильности демонстрирует крутую улыбку, часто предпочтительны модели, включающие скачки или стохастическую волатильность. Обсуждаются различные меры, используемые для ценообразования, в том числе P-мера и нейтральная к риску мера. Отмечается, что, хотя зависимость процентных ставок от времени не улучшает улыбки или перекоса, введение стохастической или локальной волатильности может помочь в калибровке. Также представлена модель Хасселя, в которой для моделирования волатильности используются процессы обращения к среднему квадратному корню.
В лекции подробно рассматривается концепция стохастических моделей волатильности. Первоначально для определения стохастического дифференциального уравнения использовались нормальный процесс и броуновское движение, но признано, что этот подход не может точно отразить волатильность, тем более что она может стать отрицательной. Преимущества обратного процесса Box, также известного как процесс CIR, объясняются тем, что он демонстрирует толстые хвосты и остается неотрицательным, что делает его подходящей моделью для волатильности. Представлена модель Хестона с ее стохастической структурой волатильности, и показано, что дисперсия (VT) подчиняется нецентральному распределению хи-квадрат. Уточняется, что данное распределение является переходным, а условие Феллера упоминается как критическое техническое условие, подлежащее проверке при калибровке модели.
Обсуждаются условия для моделей стохастической волатильности, чтобы избежать попадания траекторий в ноль, называемые условием Феллера. Условие выполняется, когда удвоенное произведение параметра каппа и долгосрочного среднего больше или равно гамма-квадрату, квадрату волатильности. Когда условие не выполняется, пути могут достигать нуля и возвращаться назад, что приводит к достижимому граничному условию. Объясняются свойства нецентральных распределений хи-квадрат и их связь с процессами CIR. Пути отклонения и графики плотности представлены для иллюстрации влияния выполнения или невыполнения условия Феллера.
Подчеркивается значение распределений с толстыми хвостами в стохастических моделях волатильности, поскольку они часто наблюдаются после калибровки моделей по рыночным данным. Отмечается, что если условие Феллера модели не выполняется, траектории Монте-Карло могут достигать нуля и оставаться равными нулю. Объясняется включение корреляции в модели через броуновское движение и упоминается, что скачки обычно считаются независимыми. Лекция завершается графиком, показывающим влияние условия Феллера на плотность.
Лекция посвящена корреляции и дисперсии в броуновском движении. Докладчик объясняет, что при работе с коррелированными броуновскими движениями должно соблюдаться определенное соотношение, и то же самое относится к приращениям. Вводится метод разложения Холецкого как средство сопоставления двух броуновских движений с использованием положительно определенной матрицы и умножения двух нижних треугольных матриц. Этот метод помогает сформулировать два процесса, обсуждаемых далее в лекции.
Обсуждается конструкция умножения нижних треугольных матриц с независимыми броуновскими движениями, в результате чего получается вектор, содержащий комбинацию независимых и коррелированных процессов.
Кроме того, лектор объясняет, что характерная функция модели Хестона дает ценную информацию об эффективном и быстром ценообразовании. При выводе характеристической функции становится очевидным, что все задействованные члены являются явными, что устраняет необходимость в сложных аналитических или численных вычислениях для решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Эта простота считается одним из значительных преимуществ модели Хестона, что делает ее практичным и мощным инструментом для ценообразования деривативов.
Спикер подчеркивает, что понимание характеристик и последствий каждого параметра в модели Хестона имеет решающее значение для эффективного управления рисками, связанными с волатильностью. Такие параметры, как каппа, долгосрочное среднее значение, волатильность, корреляция и начальное значение процесса дисперсии, оказывают определенное влияние на динамику волатильности и подразумеваемую поверхность волатильности. Сопоставляя эти параметры с рынком и анализируя их влияние, специалисты-практики могут получить ценную информацию об улыбках и перекосах подразумеваемой волатильности, что позволяет более точно определять цены и управлять рисками.
В лекции подчеркивается важность калибровки моделей стохастической волатильности для всей поверхности подразумеваемой волатильности, а не только для одной точки. Выплаты, зависящие от траектории, и зависимости от направления удара требуют комплексного подхода к калибровке, чтобы охватить всю сложность рыночных данных. Как правило, специалисты-практики калибруют модели на ликвидные инструменты, такие как коллы и путы, а затем экстраполируют цены на экзотические деривативы. Хотя модели стохастической волатильности позволяют проводить калибровку по всей поверхности волатильности, признается, что процесс калибровки не идеален и имеет свои ограничения.
Чтобы еще больше углубить понимание моделей стохастической волатильности, лектор углубляется в концепцию распределений с толстыми хвостами, которые часто наблюдаются при калибровке моделей по рыночным данным. Докладчик объясняет, что если условие Феллера модели не выполняется, траектории Монте-Карло могут достичь нуля и остаться на нуле, что повлияет на точность модели. Кроме того, обсуждается включение скачков и независимое рассмотрение корреляций в моделях стохастической волатильности. Лекция дает представление о том, как эти элементы влияют на динамику волатильности и ценообразование.
Лекция завершается сравнением модели Хестона с моделью Блэка-Шоулза. В то время как модель Хестона предлагает большую гибкость и стохастичность при моделировании волатильности, модель Блэка-Шоулза остается ориентиром для ценообразования деривативов. Понимание последствий различных изменений параметров для улыбок и перекосов подразумеваемой волатильности важно для практиков, чтобы выбрать подходящую модель для своих конкретных потребностей. Благодаря всесторонней калибровке и анализу модели стохастической волатильности, такие как модель Хестона, могут дать ценную информацию о ценообразовании и управлении рисками на финансовых рынках.
Помимо обсуждения модели Хестона, лекция посвящена важности корреляции и дисперсии в броуновском движении. Докладчик объясняет, что при работе с коррелированными броуновскими движениями должны выполняться определенные отношения и условия, включая использование разложения Холецкого. Этот метод позволяет коррелировать два броуновских движения с помощью положительно определенной матрицы и умножения двух нижних треугольных матриц. В лекции подчеркивается, что этот метод необходим для формулирования процессов в многомерных случаях и достижения желаемой корреляционной структуры.
Кроме того, лектор фокусируется на построении и представлении независимых и коррелированных броуновских движений в стохастических моделях волатильности. Хотя разложение Холецкого является полезным инструментом для корреляции броуновских движений, в лекции отмечается, что для практических целей оно не всегда необходимо. Вместо этого можно применить лемму Ито для эффективного включения коррелированных броуновских движений. В лекции приведены примеры построения портфелей акций с коррелированными броуновскими движениями и показано, как применять лемму Ито для определения динамики многомерных функций, включающих множество переменных.
В лекции также рассматривается уравнение ценообразования в частных производных (УЧП) для модели Хестона с использованием мартингального подхода. Этот подход включает в себя обеспечение того, чтобы определенная величина, называемая пи, которая представляет собой отношение волатильности к долгосрочному среднему значению, была мартингейлом. Применяя лемму Этоса, лекция выводит уравнение для мартингала, которое включает производные и процесс дисперсии. PDE ценообразования позволяет определять справедливые цены для деривативных контрактов и использовать нейтральную к риску меру в ценообразовании.
Кроме того, спикер обсуждает влияние различных параметров на форму подразумеваемой волатильности в моделях стохастической волатильности. Показано, что такие параметры, как гамма, корреляция и скорость возврата к среднему (каппа), влияют на кривизну, асимметрию и временную структуру подразумеваемой волатильности. Понимание влияния этих параметров помогает точно откалибровать модели и уловить желаемую динамику волатильности.
На протяжении всей лекции докладчик подчеркивает важность калибровки модели, особенно для всей поверхности подразумеваемой волатильности. Калибровка на жидкие инструменты и экстраполяция на экзотические производные — обычная практика среди практиков. Стохастические модели волатильности, в том числе модель Хестона, обеспечивают гибкость для калибровки всей поверхности волатильности, что позволяет повысить точность ценообразования и управления рисками. Однако признается, что калибровка модели не лишена ограничений и что тонкие различия между моделями, такими как модели Хестона и Блэка-Шоулза, должны быть тщательно изучены, чтобы обеспечить надлежащее ценообразование и оценку рисков.
Лекция представляет собой всесторонний обзор моделей стохастической волатильности, уделяя особое внимание модели Хестона, значениям ее параметров, методам калибровки и роли корреляции и дисперсии в броуновском движении. Понимая и эффективно применяя эти концепции, специалисты-практики могут повысить свою способность оценивать деривативы, управлять рисками и ориентироваться в сложностях финансовых рынков.
Вычислительные финансы: Лекция 8/14 (Преобразование Фурье для оценки опционов)
Вычислительные финансы: Лекция 8/14 (Преобразование Фурье для оценки опционов)
Во время лекции о преобразовании Фурье для оценки опционов инструктор углубляется в применение этого метода и различные аспекты. Они начинают с объяснения того, что преобразование Фурье используется для расчета плотности и эффективного определения цены для моделей, подпадающих под класс моделей тонкой диффузии. Этот метод включает в себя вычисление интеграла по действительной оси, что может быть дорогостоящим в вычислительном отношении. Однако, используя лемму об обращении, инструктор объясняет, как можно уменьшить область определения «u», что позволяет вычислить действительную часть интеграла. Этот подход помогает минимизировать вычислительную нагрузку, связанную с дорогостоящими вычислениями.
Далее лектор обсуждает усовершенствование этого представления с помощью быстрого преобразования Фурье (БПФ), которое значительно повышает эффективность реализации. Используя свойства БПФ, вычислительная нагрузка снижается, что делает оценку опционов более эффективной и быстрой. Сессия завершается сравнением метода преобразования Фурье и стоимостного метода, что дает представление о соответствующих деталях их реализации.
Двигаясь вперед, лектор углубляется в первый шаг в поиске быстрого способа расчета плотности с использованием преобразования Фурье. Этот шаг включает в себя деление домена на две части и выделение действительной части, что является операцией, не требующей больших вычислительных затрат. Кроме того, лектор исследует деление комплексных чисел и важность сопряжения, поскольку это способствует более эффективному вычислению характеристической функции. Также обсуждается построение сетки для получения плотности для каждого значения «x», подчеркивая важность выбора соответствующих доменов и определения границ.
Лекция продолжается объяснением расчета плотности «x» с использованием интеграла преобразования Фурье и сетки, состоящей из «n» узлов. Преподаватель подчеркивает необходимость выполнения расчетов плотности для нескольких значений «x» одновременно. После того, как сетки определены, вводится новый интеграл, включающий функцию, называемую «гамма», и трапециевидное интегрирование используется для аппроксимации дискретного интеграла. Чтобы проиллюстрировать этот процесс, лектор приводит пример выполнения трапециевидного интегрирования для функции с равноотстоящей сеткой.
Затем докладчик углубляется в процесс настройки параметров, чтобы определить сетку для преобразования Фурье. Эти параметры охватывают количество точек сетки, максимальное значение «u» и соотношение между дельтой «x» и дельтой «u». Как только эти параметры установлены, интегралы и суммы могут быть заменены, что позволяет вывести функцию для каждого значения «x». Лекция включает уравнение, включающее трапециевидное интегрирование и характеристические функции, вычисляемые в граничных узлах трапеции.
Подробно обсуждаются представление интеграла и важность использования быстрого преобразования Фурье (БПФ) в оценке опционов. Докладчик объясняет, что, определив функцию, подходящую для ввода в БПФ, специалисты-практики могут воспользоваться преимуществами быстрой оценки и возможностей реализации, уже присутствующих в большинстве библиотек. Лектор переходит к объяснению шагов, связанных с вычислением этого преобразования, и того, как его можно использовать для вычисления интегралов. В целом лекция подчеркивает значение БПФ в вычислительных финансах и его полезность при оценке опционов.
В дополнение к вышеупомянутым темам лекция исследует различные аспекты, связанные с преобразованием Фурье для ценообразования опционов. К ним относятся использование методов интерполяции для обеспечения точных расчетов для дискретного числа точек, взаимосвязь между рядом Тейлора и характеристической функцией, применение метода косинусного разложения для четных функций и использование усеченных областей для аппроксимации плотности. Лекция также охватывает восстановление плотности, численные результаты, полученные с помощью разложения Фурье, и представление цены в виде матриц и векторов.
На протяжении всей лекции инструктор акцентирует внимание на практической реализации метода преобразования Фурье, обсуждает влияние различных параметров и выделяет преимущества и ограничения подхода. Предоставляя исчерпывающие объяснения и числовые эксперименты, лекция вооружает слушателей знаниями и инструментами, необходимыми для применения преобразования Фурье для оценки опционов в реальных сценариях.
Лектор переходит к обсуждению восстановления функции плотности в преобразовании Фурье для оценки опционов. Они подчеркивают важность выбора достаточно большого количества точек (обозначаемых как «n») при преобразовании для достижения высокой точности вычислений плотности. Лектор вводит комплексное число «i» для определения домена и максимума, а «u_max» определяется распределением. Кроме того, лектор объясняет необходимость интерполяции, в частности использования кубической интерполяции в точках сетки «x_i», чтобы обеспечить точное вычисление функции выходной плотности даже для входных данных, которые не лежат на сетке.
Докладчик далее исследует преимущества интерполяции и ее значение для ценообразования опционов с использованием преобразования Фурье. В то время как преобразование Фурье выгодно для больших сеток, интерполяция может быть предпочтительнее при работе с большими числами, поскольку она сравнительно менее затратна в вычислительном отношении, чем БПФ. Докладчик демонстрирует, как работает интерполяция, на примерах кода, подчеркивая, что путем настройки параметров становится возможным вычислить чувствительность и получить греки без дополнительных затрат. Эта особенность делает метод косинусного расширения идеальным для ценообразования более экзотических деривативов, таких как барьерные и бермудские опционы.
Кроме того, лектор обсуждает взаимосвязь между рядом Тейлора и характеристической функцией в вычислительных финансах. В лекции демонстрируется однозначное соответствие между рядом и характеристической функцией, позволяющее установить прямые отношения без дополнительных интегралов. Затем лектор описывает «метод косинуса» для оценки опционов, в котором используется разложение косинуса Фурье для представления четных функций около нуля. Этот метод включает в себя вычисление интегралов и коэффициентов, с важным примечанием, что первый член разложения всегда должен быть умножен наполовину.
В лекции более подробно рассматривается процесс изменения области интегрирования функции "g" для достижения конечного диапазона поддержки от "a" до "b". Докладчик объясняет важность формулы Эйлера для упрощения выражения и показывает, как замена «u» на «k pi, деленное на ba» приводит к более простому выражению, включающему плотность. Усеченная область обозначается символом шляпы, а конкретные значения параметров «а» и «b» выбираются исходя из решаемой задачи. Докладчик подчеркивает, что это метод аппроксимации и что выбор значений «а» и «б» связан с эвристическим выбором.
Кроме того, в лекции исследуется взаимосвязь между разложением Фурье и восстановлением плотности. Взяв действительные части обеих частей уравнения, лекция демонстрирует формулу Эйлера, позволяющую выразить интеграл плотности как действительную часть характеристической функции. Этот элегантный и быстрый метод облегчает нахождение соотношений между интегралами целевой функции и характеристической функции с помощью определения характеристической функции. Метод затрат направлен на обнаружение этих отношений для расчета коэффициентов расширения и восстановления плотности. Хотя метод вносит ошибки из-за бесконечного суммирования и области усечения, эти ошибки легко контролировать.
Затем лекция фокусируется на подведении итогов разложения косинуса Фурье, которое может обеспечить высокую точность даже при небольшом количестве членов. Численный эксперимент с использованием нормальной функции плотности вероятности (PDF) проводится для изучения генерации ошибок на основе количества терминов с включенным измерением времени. Эксперимент с кодом структурирован так, чтобы генерировать плотность с помощью косинусного метода, определяя ошибку как максимальную абсолютную разницу между плотностью, восстановленной с помощью косинусного метода, и точной нормальной PDF. Косинусному методу требуется всего несколько строк кода для восстановления плотности с использованием характеристической функции, которая лежит в основе метода.
Кроме того, спикер обсуждает численные результаты разложения Фурье, которое может быть эффективно выполнено с использованием матричной записи. Ошибка уменьшается по мере увеличения числа членов расширения, при этом ошибка составляет всего 10 ^ -17, достигаемая при 64 членах. Использование меньшего количества терминов может привести к колебаниям или ухудшению соответствия. Докладчик отмечает, что такие параметры, как домен и количество членов расширения, должны быть тщательно настроены, особенно для распределений с сильными хвостами. Кроме того, в лекции подчеркивается, что логарифмически нормальная плотность также может быть смоделирована с использованием нормальной характеристической функции.
Двигаясь вперед, лектор углубляется в логнормальный случай и объясняет, чем его плотность отличается от нормального распределения. Из-за логарифмически нормального распределения обычно требуется большее количество членов расширения. Лектор подчеркивает важность выбора подходящего количества терминов для конкретного типа дистрибутива и предметной области.
В лекции подчеркивается, что затратный метод особенно полезен для восстановления плотности и обычно используется для ценообразования деривативов, таких как опционы европейского типа, которые предусматривают платеж только при наступлении срока погашения. Лектор продолжает объяснять, как работает ценообразование, включая интеграцию произведения плотности и функции выигрыша в рамках нейтральной к риску меры.
По ходу лекции спикер обсуждает более экзотические варианты, где можно вывести функцию связности и использовать косинусы. Вводится термин «переходные плотности», относящийся к распределениям, описывающим переход от одной точки на оси времени к другой. Начальное значение дается через распределение случайной величины. В презентации далее исследуется усечение плотности, когда плотность ограничивается заданным интервалом. Объясняется метод квадратур Гаусса, который включает интегрирование суммы действительных частей характеристической функции, умноженной на некоторый показатель степени.
В лекции вводится понятие скорректированной цены бревенчатого актива, которая определяется как логарифм запаса в момент погашения, деленный на масштабный коэффициент. Представлено альтернативное представление выигрыша, и докладчик отмечает, что выбор «v» напрямую влияет на коэффициент «h_n». Этот подход можно использовать для оценки выплат за несколько страйков, предоставляя удобный метод для оценки опционов с различными ценами страйков одновременно.
Затем спикер углубляется в процесс вычисления интеграла функции выигрыша, умноженного на плотность, с использованием экспоненциальной и косинусной функций в преобразовании Фурье для оценки опционов. Предоставляется общая форма для двух задействованных интегралов, и для расчета различных выплат выбираются разные коэффициенты. Докладчик подчеркивает важность возможности реализации этой техники для нескольких страйков, что позволяет оценивать сразу все страйки, что экономит время и сокращает вычислительные затраты. Наконец, ценовое представление представлено в виде матрицы, умноженной на вектор.
Обсуждается формула реализации преобразования Фурье в оценке опционов, включая векторизацию элементов и матричные манипуляции. В лекции объясняется процесс использования «k» в качестве вектора и создания матрицы с «n_k» ударами. Вещественные части рассчитываются для обработки комплексных чисел. Характеристическая функция имеет большое значение, поскольку она не зависит от «x» и играет ключевую роль в достижении эффективных реализаций множественных ударов. Точность и сходимость реализации зависят от количества терминов, и показано выборочное сравнение.
Кроме того, спикер углубляется в код, используемый для метода преобразования Фурье в ценообразовании опционов, и объясняет различные вовлеченные переменные. Они вводят концепцию диапазона для коэффициентов «а» и «b», обычно сохраняемых на уровне 10 или 8 для моделей скачкообразной диффузии. Код включает лямбда-выражение для характеристической функции, которая представляет собой общую функцию, адаптируемую к различным моделям. Спикер подчеркивает важность измерения времени путем проведения нескольких итераций одного и того же эксперимента и расчета среднего времени. Наконец, они иллюстрируют метод затрат и то, как он использует диапазон интегрирования для допущения большой волатильности.
Лекция продолжается объяснением процесса определения страйков и расчета коэффициентов для метода преобразования Фурье при оценке опционов. Лектор подчеркивает, что, хотя настройка параметров модели может привести к лучшей сходимости и потребовать меньшего количества терминов для оценки, в целом безопасно придерживаться стандартных параметров модели. Они подробно описывают этапы определения матрицы и выполнения матричного умножения для получения дисконтированной страйк-цены, сравнивая полученную ошибку с ошибкой точного решения. В лекции подчеркивается, что ошибка зависит от количества терминов и выбранного диапазона ударов.
Затем докладчик представляет сравнение различных методов оценки опционов, включая метод быстрого преобразования Фурье (БПФ) и метод косинуса. Они объясняют, что метод БПФ больше подходит для большого количества узлов сетки, а метод косинуса более эффективен для меньшего числа узлов сетки. Лектор демонстрирует расчет цен опционов обоими методами и сравнивает результаты.
Кроме того, лекция охватывает применение методов на основе Фурье в других областях финансов, таких как управление рисками и оптимизация портфеля. Лектор объясняет, что методы, основанные на Фурье, можно использовать для оценки показателей риска, таких как Value-at-Risk (VaR) и Conditional Value-at-Risk (CVaR). Комбинируя методы Фурье с методами оптимизации, можно найти оптимальное распределение портфеля, которое минимизирует риск или максимизирует доходность.
Лекция завершается подведением итогов основных моментов, обсуждавшихся на протяжении всей презентации. Методы преобразования Фурье представляют собой мощный инструмент для оценки опционов и других финансовых приложений. Метод косинуса позволяет эффективно и точно оценивать опционы, используя характеристическую функцию и разложение Фурье. Выбор параметров, таких как количество терминов и домен, влияет на точность и сходимость метода. Кроме того, методы, основанные на Фурье, могут быть распространены на различные финансовые проблемы, помимо оценки опционов.
В целом, лекция представляет собой всесторонний обзор методов преобразования Фурье в ценообразовании опционов, охватывая такие темы, как восстановление плотности, интерполяция, метод cos, логарифмически-нормальные распределения, множественные страйки, вопросы реализации и сравнения с другими методами ценообразования. Объяснения лектора и примеры кода помогают проиллюстрировать практическое применение этих методов в финансах и подчеркнуть их преимущества с точки зрения точности и эффективности.