광장이 있습니다. 우리는 9개의 직선으로 그것을 가로지르며, 각 직선은 3:2의 비율로 면적을 나눕니다. 적어도 세 개가 한 점에서 교차함을 증명하십시오.
반박하기 쉬운 것 같습니다. 구성 알고리즘을 다음과 같이 정의해 보겠습니다. 면적을 3:2의 비율로 나누는 수직선을 그리고 "하단" 좌표와 "상단" 좌표를 x0 = 0.4*a로 둡니다. 여기서 a는 정사각형의 한 변입니다. 이제 밑면의 x0-dx 점을 통해 또 다른 "허용된" 직선을 그립니다. 상단에서 x0 + dx 점에 떨어지고 높이의 절반에서 첫 번째 점과 정확히 교차한다는 것을 이해하기 쉽습니다. . 그러한 선의 수는 무한할 수 있으며 모두 한 점, 특히 (0.4 * a, 0.5 * a)에서 교차합니다. 그러나 우리는 논박 중이므로 이 집합에서 두 줄만 취할 수 있습니다. 대칭적인 방식으로 우리는 3개의 그러한 집합을 더 얻을 수 있습니다. 즉, 6개의 선과 3개의 교차점: (0.6*a, 0.5*a), (0.6*a, 0.5*a), (0.5*a, 0.4*a) , (0.5*а, 0.6*а).
이제 우리는 절정에 이르렀습니다. 4개의 점에서 쌍으로 교차하는 8개의 직선이 있습니다. 그리고 우리는 적어도 하나의 "허용"을 더 그릴 필요가 있지만 이러한 점에 속하지 않습니다. 이를 위해 "사다리꼴-사다리꼴" 분할 옵션이 유일한 옵션이 아니라 4개의 "삼각형-오각형" 옵션이 더 있음을 기억합니다. 이렇게 합시다: 사각형의 대각선을 그리고 영역의 비율이 원하는 영역과 같아질 때까지 평행하게 사각형에서 멀어지기 시작합니다. 작은 삼각형(이등변 및 직사각형)의 면적은 (k*a)*(k*a)/2 = 0.4*a*a가 됩니다. 우리는 k를 찾고 솔직히 손을 문지르면 0.8의 제곱근과 같다는 것을 알 수 있습니다. 우리 기쁨의 이유는 이해할 수 있습니다. 점 (k * a, 0)과 (0, k * a)를 통과하는 직선의 방정식은 y \u003d sqrt (0.8) * a - x와 같습니다. 덕분에 멋진 루트 이 아홉 번째 줄은 이전에 발견된 4개의 특이점을 어떤 식으로든 통과할 수 없습니다.
PS 어, 너무 불공평해서 사다리꼴에만 해당됩니다. :). 어쨌든 이제 이 제한은 필수 사항임이 분명합니다. 그리고 두 개의 사다리꼴의 경우 - 예, 네 세트만 있습니다. 각 세트에 대해 모든 선은 "중앙"점을 통과하므로 모든 9번째 선은 이전에 그려진 두 개 이상의 교차점에 해당합니다.
그리고 반대편에서 가시면
사각형에서 점을 선택하십시오.
2/3 법칙에 따라 이 지점에서 교차하는 두 개의 선을 그립니다.
질문 - 2/3를 관찰하면서 이 점을 통해 세 번째 선을 그릴 수 있습니까?
손으로 - 아니
말
가능하고 무한하다
그래, 아홉 번째는 항상 이 지점에 있을거야
x를 증명하는 것이 얼마나 아름다운지
정사각형에 두 개의 중간 선(정사각형의 반대쪽 중간점을 연결하는 선)을 그립니다. 정중선의 길이를 사용하여 사다리꼴의 면적을 계산하는 방법을 기억하십시오.
정사각형에 두 개의 중간 선(정사각형의 반대쪽 중간점을 연결하는 선)을 그립니다. 정중선의 길이를 사용하여 사다리꼴의 면적을 계산하는 방법을 기억하십시오.
그래 난 이해해 광장을 통해 그냥 게으름그런데 정확히 두 개의 사다리꼴로 나누는 제한은 필요하지 않습니다. 추론을 약간 복잡하게 만들 뿐 대답은 동일합니다. 그러나 지금은 특히 사다리꼴에 대한 문제를 해결하고 있습니다.
PS 사다리꼴의 면적 S = 1/2 * h * m, 여기서 h는 높이, m은 정중선의 길이입니다. 삼각형의 경우 동일하므로 삼각형은 사다리꼴의 특별한 경우입니다.
광장이 있습니다. 우리는 9개의 직선으로 그것을 가로지르며, 각 직선은 3:2의 비율로 면적을 나눕니다. 적어도 세 개가 한 점에서 교차함을 증명하십시오.
반박하기 쉬운 것 같습니다. 구성 알고리즘을 다음과 같이 정의해 보겠습니다. 면적을 3:2의 비율로 나누는 수직선을 그리고 "하단" 좌표와 "상단" 좌표를 x0 = 0.4*a로 둡니다. 여기서 a는 정사각형의 한 변입니다. 이제 밑면의 x0-dx 점을 통해 또 다른 "허용된" 직선을 그립니다. 상단에서 x0 + dx 점에 떨어지고 높이의 절반에서 첫 번째 점과 정확히 교차한다는 것을 이해하기 쉽습니다. . 그러한 선의 수는 무한할 수 있으며 모두 한 점, 특히 (0.4 * a, 0.5 * a)에서 교차합니다. 그러나 우리는 논박 중이므로 이 집합에서 두 줄만 취할 수 있습니다. 대칭적인 방식으로 우리는 3개의 그러한 집합을 더 얻을 수 있습니다. 즉, 6개의 선과 3개의 교차점: (0.6*a, 0.5*a), (0.6*a, 0.5*a), (0.5*a, 0.4*a) , (0.5*а, 0.6*а).
이제 우리는 절정에 이르렀습니다. 4개의 점에서 쌍으로 교차하는 8개의 직선이 있습니다. 그리고 우리는 적어도 하나의 "허용"을 더 그릴 필요가 있지만 이러한 점에 속하지 않습니다. 이를 위해 "사다리꼴-사다리꼴" 분할 옵션이 유일한 옵션이 아니라 4개의 "삼각형-오각형" 옵션이 더 있음을 기억합니다. 이렇게 합시다: 사각형의 대각선을 그리고 영역의 비율이 원하는 영역과 같아질 때까지 평행하게 사각형에서 멀어지기 시작합니다. 작은 삼각형(이등변 및 직사각형)의 면적은 (k*a)*(k*a)/2 = 0.4*a*a가 됩니다. 우리는 k를 찾고 솔직히 손을 문지르면 0.8의 제곱근과 같다는 것을 알 수 있습니다. 우리 기쁨의 이유는 이해할 수 있습니다. 점 (k * a, 0)과 (0, k * a)를 통과하는 직선의 방정식은 y \u003d sqrt (0.8) * a - x와 같습니다. 덕분에 멋진 루트 이 아홉 번째 줄은 이전에 발견된 4개의 특이점을 어떤 식으로든 통과할 수 없습니다.
PS 어, 너무 불공평해서 사다리꼴에만 해당됩니다. :). 어쨌든 이제 이 제한은 필수 사항임이 분명합니다. 그리고 두 개의 사다리꼴의 경우 - 예, 네 세트만 있습니다. 각 세트에 대해 모든 선은 "중앙"점을 통과하므로 모든 9번째 선은 이전에 그려진 두 개 이상의 교차점에 해당합니다.
당신은 무언가를 엉망으로 만들었습니다. k = 2/sqrt(5) - 그런데 일반적으로 1보다 작습니다. :)
그리고 오각형이 있는 삼각형의 경우는 두 개의 사다리꼴과 다르지 않습니다.
당신은 문제를 해결했고 운율로 약간 망쳤습니다.
추신: 저도 틀렸습니다. 삼각형과 오각형의 경우는 다릅니다. 거기에서 4 포인트도 얻은 것 같습니다. 다른 것뿐입니다. (1/sqrt(5), 1/sqrt(5)), (1 - 1/sqrt(5), 1/sqrt(5)), (1/sqrt(5), 1 - 1/sqrt(5)와 같이 ) )), (1 - 1/sqrt(5), 1 - 1/sqrt(5)). 아님?
PPS 예, 이 경우 항공편이 종료되었습니다. 글쎄, 알았어.
당신은 무언가를 엉망으로 만들었습니다. k = 2/sqrt(5) - 그런데 일반적으로 1보다 작습니다. :)
그리고 오각형이 있는 삼각형의 경우는 두 개의 사다리꼴과 다르지 않습니다.
당신은 문제를 해결했고 운율로 약간 망쳤습니다.
팬케이크, 8이 아니라 0.8. 산술이 아닌 문법으로 :)
PS 그리고 당신의 불명예는 어떻게 나왔습니까? k = 2/sqrt(5) :)
PPS 헛되이 신경쓰이는 분들이 없으시도록 결정을 수정하겠습니다.
0.8의 루트처럼. 그건 같은거야.
0.8의 루트처럼. 그건 같은거야.
:)
추신 따라서 너무 늦기 전에 이 주제를 폐기해야 합니다.
추신: 저도 틀렸습니다. 삼각형과 오각형의 경우는 다릅니다. 거기에서 4 포인트를 얻은 것 같습니다. 다른 것뿐입니다. 아님?
아니요, 이 트릭이 작동하지 않는 것 같습니다. 비대칭 삼각형이 증분으로 나타납니다.