Commercio quantitativo - pagina 18

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In che modo il conto deposito è collegato a un'obbligazione zero coupon?

In che modo il conto deposito è collegato a un'obbligazione zero coupon?

Benvenuti alla sessione di domande e risposte di oggi sulla finanza computazionale. In questa sessione discuteremo la domanda numero due, che si basa sul materiale trattato nella lezione numero uno. Per una comprensione dettagliata, consiglio di rivisitare la lezione numero uno. La domanda di oggi si concentra sulla relazione tra un conto di risparmio in denaro e un'obbligazione zero coupon, in particolare nel contesto dei tassi di interesse.

Per iniziare, definiamo un conto di risparmio di denaro. Il valore temporale del denaro afferma che se oggi abbiamo un euro e siamo interessati al suo valore futuro, considerando un tasso di interesse semplice, l'importo che riceveremo in un anno sarà un euro moltiplicato per (1 + tasso di interesse). Questo tasso di interesse è espresso in percentuale. Questo è un calcolo semplice nel caso di tassi di interesse deterministici.

Tuttavia, quando introduciamo i tassi di interesse stocastici, la relazione diventa più complessa e interessante. In questi casi, la differenza tra la gestione di un conto deposito e un'obbligazione zero coupon diventa cruciale. Definiamo il conto deposito e l'obbligazione zero coupon per capire più chiaramente la differenza.

Il conto di risparmio monetario (MSA) al tempo T è definito come il valore iniziale (che può essere considerato come uno per semplicità) moltiplicato per e^(RT), dove R rappresenta il tasso di interesse. Puoi trovare derivazioni dettagliate dell'MSA nella lezione numero uno. Nel caso di tassi di interesse stocastici, l'MSA può essere espresso come M(T) = M(0) * e^(∫[0 to T] R(s) ds), dove R(s) rappresenta il tasso di interesse stocastico ei conti integrali per l'integrazione della quantità stocastica.

Ora discutiamo la definizione di un'obbligazione zero coupon. Un'obbligazione zero coupon è un contratto che paga un euro in un momento futuro T. Il problema del prezzo associato a un'obbligazione zero coupon è determinare il suo valore oggi. In altre parole, vogliamo trovare il valore attuale del pagamento futuro. Questo è un problema fondamentale nella finanza computazionale, poiché oggi ci concentriamo sempre sulla determinazione del valore dei contratti per stabilire il loro fair value.

Nel caso dei tassi di interesse stocastici, il teorema fondamentale del prezzo afferma che il valore di un contratto con un pagamento futuro al tempo T, scontato ad oggi sotto la misura neutrale al rischio, può essere espresso come un'aspettativa. Nello specifico, è l'aspettativa dell'integrale dei tassi di interesse. Questo può essere visto come un'estensione del concetto di MSA, dove l'aspettativa e il segno negativo lo differenziano dal MSA. Quindi, l'obbligazione zero coupon può essere espressa come un'aspettativa di -∫[0 to T] R(s) ds.

Riassumendo, la relazione tra il conto risparmio e l'obbligazione zero coupon può essere descritta come segue: M(T) = valore iniziale * e^(∫[0 to T] R(s) ds) per il MSA, mentre l'obbligazione zero coupon è definita come l'aspettativa di -∫[0 to T] R(s) ds. Nei casi deterministici, la relazione è più semplice, con l'obbligazione zero coupon pari a 1 / M(T), dove M(T) è il valore MSA al tempo T.

Comprendere questa relazione è essenziale nella finanza computazionale, soprattutto quando si ha a che fare con i tassi di interesse stocastici. Svolge un ruolo cruciale nell'ingegneria finanziaria e nei problemi di determinazione dei prezzi. Il concetto di cambio di misura, come spiegato in questo corso, è un potente strumento che semplifica i payoff complessi e spesso ci consente di trovare equazioni di prezzo analitiche. Se sei interessato a questo argomento, ti consiglio di esplorare il corso di ingegneria finanziaria disponibile su questo canale.

Spero che questa spiegazione chiarisca le differenze tra il conto di risparmio in denaro e l'obbligazione zero coupon. La distinzione principale risiede nel termine di aspettativa, che diventa significativo quando si tratta di tassi di interesse stocastici. In assenza di tassi di interesse stocastici, la relazione tra il conto di risparmio in denaro e l'obbligazione zero coupon è più semplice. In tali casi, se abbiamo un tasso di interesse costante, l'espressione per l'obbligazione zero coupon sarebbe semplicemente 1 / M(T), dove M(T) rappresenta il valore del conto di risparmio in denaro al tempo T.

Tuttavia, quando vengono introdotti i tassi di interesse stocastici, il termine di aspettativa diventa cruciale. L'integrazione dei tassi di interesse stocastici nel calcolo delle obbligazioni zero coupon tiene conto dell'incertezza e della variabilità dei tassi di interesse nel tempo. Ciò aggiunge complessità alla relazione tra i due strumenti finanziari.

Comprendere le dinamiche e la relazione tra il conto di risparmio in denaro e l'obbligazione zero coupon è essenziale nel campo della finanza computazionale. Ci consente di analizzare e valutare i valori di vari contratti finanziari e determinare i loro prezzi equi. Il concetto di cambio di misura, trattato in questo corso, fornisce un potente framework per semplificare i payoff complessi e derivare equazioni di prezzo.

In conclusione, il conto risparmio e l'obbligazione zero coupon sono strettamente correlati, ma differiscono per la loro formulazione matematica. Il conto di risparmio in denaro rappresenta un valore composto di un importo principale nel tempo, mentre l'obbligazione zero coupon calcola il valore attuale di un pagamento futuro attraverso un'aspettativa di tassi di interesse integrati. Questa distinzione diventa più significativa e intrigante quando si tratta di tassi di interesse stocastici. Comprendendo questa relazione, i professionisti finanziari possono prendere decisioni informate e navigare efficacemente nel mondo della finanza computazionale.

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Quali sono le sfide nel calcolo delle volatilità implicite?

Quali sono le sfide nel calcolo delle volatilità implicite?

Benvenuti alle domande e risposte basate sul corso di finanza computazionale. Oggi approfondiremo la domanda numero tre, che riguarda le sfide nel calcolo delle volatilità implicite, in particolare nel contesto del modello Heston.

Quando si parla di volatilità implicite, in genere si fa riferimento alle volatilità implicite di Black-Scholes, salvo diversa indicazione. Pertanto, per il modello di Heston, se ci viene chiesto come derivare la volatilità implicita, non possiamo semplicemente invertire la formula di Heston solo per la media a lungo termine o la varianza iniziale. La volatilità implicita nel modello di Heston richiede un processo in due fasi: calcolare i prezzi in base al modello di Heston e quindi utilizzare questi prezzi nella formula di Black-Scholes per l'inversione per trovare il sigma corrispondente.

Il modello Heston introduce più parametri per la varianza, che aggiunge complessità al calcolo. A differenza del modello di Black-Scholes, dove abbiamo un singolo parametro, i molteplici parametri del modello di Heston ci impediscono di reinvertire per ottenere un unico set di parametri.

Le volatilità implicite sono strumenti preziosi per confrontare il comportamento e le prestazioni di diversi titoli, in quanto consentono confronti relativi che considerano il valore corrente del titolo. La volatilità implicita incorpora l'incertezza, che aiuta a valutare il rischio e l'incertezza associati alle valutazioni delle opzioni.

Il concetto di volatilità implicita esiste da molti anni ed è diventato evidente che il modello di Black-Scholes non era adatto per le opzioni di prezzo a causa del suo unico parametro. In pratica, opzioni diverse con strike e scadenze variabili spesso presentano volatilità implicite diverse. Questa discrepanza suggerisce che un'ipotesi di volatilità costante non è appropriata per prezzare tutte le opzioni contemporaneamente. Pertanto, la sfida sta nel trovare le volatilità implicite che allineano i prezzi del modello con i prezzi osservati nel mercato.

Il calcolo delle volatilità implicite comporta l'inversione della formula di Black-Scholes, operazione non banale. Diverse routine numeriche, come il metodo di Newton o il metodo di Brent, sono comunemente utilizzate per questo scopo. Questi metodi mirano a trovare la volatilità implicita sconosciuta risolvendo un'equazione che equipara il prezzo di Black-Scholes dal modello al prezzo di mercato dell'opzione.

Il calcolo efficiente delle volatilità implicite è fondamentale, specialmente nel trading ad alta frequenza o quando si calibrano i modelli ai dati di mercato. La velocità di calcolo può avere un impatto significativo sulle strategie di trading o sull'efficacia della calibrazione del modello. Pertanto, lo sviluppo di routine numeriche rapide e accurate per i calcoli della volatilità implicita è di grande importanza.

La sfida si intensifica quando si tratta di opzioni out-of-the-money, dove la superficie delle opzioni call diventa estremamente piatta. In tali casi, gli algoritmi di ricerca iterativi possono avere difficoltà a convergere o possono richiedere un gran numero di iterazioni per trovare il punto ottimale a causa della mancanza di gradienti accurati. Pertanto, la determinazione di un'ipotesi iniziale adeguata diventa cruciale per garantire l'efficienza e l'efficacia del calcolo.

Vale la pena notare che le volatilità implicite sono principalmente associate alla volatilità implicita di Black-Scholes. Tuttavia, è possibile avere volatilità implicite basate su altri modelli, come il moto browniano aritmetico o distribuzioni log-normali spostate. In tali casi è indispensabile dichiarare esplicitamente il modello utilizzato per i calcoli.

In conclusione, il calcolo delle volatilità implicite pone sfide legate alla velocità, specialmente quando si ha a che fare con opzioni out-of-the-money. Routine numeriche efficienti e un'attenta considerazione delle ipotesi iniziali sono necessarie per calcoli accurati e veloci. Le volatilità implicite svolgono un ruolo fondamentale nella determinazione del prezzo delle opzioni, nella valutazione del rischio e nella calibrazione del modello, rendendo il loro calcolo e la loro comprensione cruciali nella finanza computazionale.

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Puoi valutare le opzioni usando il moto browniano aritmetico?

Puoi valutare le opzioni usando il moto browniano aritmetico?

Benvenuti alla sessione di domande e risposte del corso di finanza computazionale!

La domanda di oggi è la numero quattro, che si concentra sulle opzioni di prezzo utilizzando il moto browniano aritmetico. Questa domanda si basa sui materiali discussi nella Lezione Numero Due.

Il moto browniano aritmetico è un processo leggermente diverso rispetto al moto browniano geometrico, che abbiamo visto prima. Quando si tratta di opzioni di prezzo, come l'utilizzo del modello Black-Scholes, la differenza principale risiede nella volatilità e nella deriva. In questa versione semplificata del modello, il termine di volatilità e il derivato vengono rettificati.

In uno scenario di mercato, consideriamo uno specifico prezzo di esercizio (K) e scadenza (T). Osserviamo un prezzo di opzione (C1). Sulla base delle nostre conoscenze, possiamo facilmente trovare la volatilità implicita per il moto browniano geometrico. Allo stesso modo, in questo caso, possiamo trovare una volatilità implicita (Sigma tilde) che corrisponde perfettamente al prezzo dell'opzione osservato sul mercato. Tuttavia, è importante notare che i due modelli non sono equivalenti. La differenza tra loro diventa evidente quando esaminiamo le sensibilità, conosciute anche come i Greci.

Il moto browniano aritmetico presuppone che le realizzazioni delle azioni possano diventare negative, il che non è realistico. Al contrario, il moto browniano geometrico presuppone solo percorsi stock positivi. Questa differenza richiede l'adeguamento della nostra strategia di copertura per tenere conto dei realizzi azionari negativi, rendendo meno realistica l'ipotesi del moto browniano aritmetico.

Sebbene il confronto dei prezzi delle opzioni possa fornire alcuni spunti, non è sempre il criterio migliore per determinare se un modello è abbastanza buono. Inoltre, i modelli di movimento browniano sia geometrico che aritmetico non sono in grado di calibrare la volatilità implicita smile o skew. Tuttavia, in questo caso specifico, in cui consideriamo un mercato con una sola opzione particolare, possiamo facilmente confrontare i due modelli e determinare quale sia il più adatto.

Analoghe considerazioni possono essere fatte per il processo OU, dove il parametro di volatilità (Sigma) è fisso. Tuttavia, il processo OU deve affrontare problemi aggiuntivi, come la deriva, che non è ben definita nella misura neutrale al rischio in termini di uno stock diviso per conti di risparmio di denaro. Pertanto, non è un processo praticabile per le opzioni di prezzo.

Per fornire esempi visivi, ho preparato alcuni percorsi di realizzazione per le tre equazioni differenziali stocastiche: moto browniano geometrico, moto browniano aritmetico e processo OU. Nelle simulazioni viene utilizzato lo stesso moto browniano, con il risultato di forme e schemi simili tra i percorsi.

In sintesi, sebbene sia possibile valutare le opzioni utilizzando il moto browniano aritmetico, potrebbe non essere sempre l'approccio più sensato. L'adeguatezza di un modello dipende dal fatto che le ipotesi sottostanti e le dinamiche dell'asset riflettano le proprietà fisiche del mercato. Questo è l'elemento chiave da considerare.

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Qual è la differenza tra un processo stocastico e una variabile casuale?

Qual è la differenza tra un processo stocastico e una variabile casuale?

Benvenuti alla sessione di domande e risposte del corso di finanza computazionale!

La domanda di oggi è la numero cinque, che si concentra sulla differenza tra un processo stocastico e una variabile casuale. Questa domanda si basa sui materiali discussi nella Lezione Numero Due.

Un processo stocastico è essenzialmente una raccolta di variabili casuali che sono parametrizzate rispetto al tempo. Formalmente, possiamo rappresentare un processo stocastico come X(t), dove abbiamo due argomenti: tempo (t) e Omega (Ω), che corrisponde allo spazio di probabilità. Al contrario, una variabile casuale è un concetto più semplice che non ha questa dipendenza dal tempo. Ad esempio, se stiamo lanciando una moneta e considerando i risultati di "croce" o "testa", è una variabile casuale. Tuttavia, se introduciamo il tempo nell'equazione e consideriamo le occorrenze di "croce" o "teste" nel tempo, diventa un processo stocastico.

Sia nell'industria che nel mondo accademico, spesso trascuriamo il secondo argomento (Omega) quando discutiamo di processi stocastici. Invece, ci riferiamo al processo come X(t) piuttosto che dX(t, Ω), che fornirebbe una definizione completa di un processo stocastico.

È anche importante capire come interpretare i percorsi Monte Carlo simulati e la loro connessione con il tempo e l'Omega. Se tracciamo i valori del processo X(t) nel tempo, possiamo osservare molteplici percorsi Monte Carlo. Ogni percorso rappresenta una possibile realizzazione del processo. Se fissiamo un tempo specifico, diciamo t*, e osserviamo la distribuzione di tutte le realizzazioni in quel punto, stiamo considerando risultati diversi (Omega) in un dato momento. D'altra parte, possiamo fissare una realizzazione specifica (Omega) e osservare come il processo si evolve nel tempo, risultando in un unico percorso. Pertanto, abbiamo due dimensioni da considerare: fissare il tempo per analizzare le distribuzioni dei risultati o fissare una realizzazione per osservare il comportamento del processo nel tempo.

In sintesi, un processo stocastico è una raccolta di variabili casuali che sono parametrizzate rispetto al tempo. Rappresenta l'evoluzione di un sistema nel tempo ed è osservabile attraverso percorsi Montecarlo. Una variabile casuale, invece, è un concetto più semplice che non dipende dal tempo. Comprendere questa distinzione è fondamentale quando si studia la finanza computazionale.

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Quali sono i vantaggi e gli svantaggi dell'utilizzo di ABM/GBM per la modellazione di un processo di magazzino?

Quali sono i vantaggi e gli svantaggi dell'utilizzo di ABM/GBM per la modellazione di un processo di magazzino?

Benvenuti alla sessione di domande e risposte sulla finanza computazionale!

La domanda di oggi è la numero sei, che esplora i vantaggi e gli svantaggi dell'utilizzo del moto browniano aritmetico o del moto browniano geometrico per modellare un processo grezzo. Questa domanda si basa sulla domanda numero due ed è simile a quella discussa in una sessione precedente in cui è stato utilizzato il moto browniano aritmetico per le opzioni di prezzo.

La differenza tra questi due processi è relativamente piccola, principalmente per quanto riguarda se consideriamo un asset che consente valori sia positivi che negativi o ci concentriamo solo su asset positivi come le azioni. Oggi approfondiremo gli aspetti che ci aiutano a determinare se il moto browniano aritmetico o il moto browniano geometrico è adatto per valutare un particolare derivato in vari scenari.

Consideriamo un caso in cui abbiamo un derivato esotico che dobbiamo valutare. Questa derivata è complessa e può comportare caratteristiche di callability. Per valutare se il moto browniano aritmetico o geometrico è adeguato per la determinazione del prezzo, dobbiamo esaminare alcuni fattori.

La prima domanda da porsi è se il mercato dei derivati esotici in questa asset class sia ricco. Se sono disponibili altri derivati esotici, suggerisce che dovremmo prendere in considerazione un modello che consenta la calibrazione a questi prezzi di mercato. Possiamo quindi estrapolare il prezzo al derivato di interesse. Tuttavia, se il mercato non è ricco, significa che possiamo prezzare il derivato esotico, ma non ci sono ulteriori derivati esotici disponibili per la calibrazione.

In quest'ultimo caso, passiamo al passaggio successivo e controlliamo se ci sono opzioni disponibili per questo mercato. Se esiste un mercato delle opzioni, dovremmo prima calibrare il nostro modello su queste opzioni, tipicamente strumenti liquidi. Questa calibrazione aiuta a determinare i parametri del modello. Una volta che abbiamo i parametri del modello calibrato, possiamo usarli per valutare il derivato esotico.

Se non ci sono call e put disponibili sul mercato, incontriamo uno scenario in cui non ci sono strumenti di mercato da utilizzare. In tali casi, ad esempio, un mercato senza volatilità implicite per call e put, possiamo considerare che il modello di Black-Scholes o il moto browniano geometrico è adatto per prezzare il derivato esotico. Tuttavia, in questa situazione, è essenziale notare che la calibrazione del parametro Sigma dovrebbe essere sufficiente. Si potrebbe obiettare che se mancano strumenti di copertura, come call sottostanti e opzioni put, per un derivato con caratteristiche avanzate come la callability, potrebbe non essere consigliabile negoziare quel derivato. Tuttavia, da una prospettiva puramente teorica, il moto browniano geometrico può essere utilizzato in tali scenari con informazioni di mercato limitate.

È fondamentale capire che se ci sono più strumenti disponibili sul mercato, come altri derivati esotici o call e put, il prezzo del derivato esotico utilizzando il movimento browniano geometrico non è adatto. Il modello non può calibrare sufficientemente bene la volatilità implicita smile e skew con un solo parametro libero.

In sintesi, la scelta di un modello di pricing si basa sempre sul tipo di derivato che intendiamo quotare. Occorre considerare la disponibilità di strumenti di mercato per giudicare l'adeguatezza di un modello. Se sono disponibili strumenti di mercato, modelli come il moto browniano geometrico oi semplici modelli di Black-Scholes non sono adatti. Tuttavia, per la determinazione del prezzo delle volatilità implicite, è ancora applicabile il moto browniano geometrico. Ma per valutare derivati esotici e asset più complessi, non è la scelta preferita.

In termini di vantaggi e svantaggi, i vantaggi di questi modelli sono minimi. Consentono una rappresentazione fisica che considera se il mercato consente attività positive o negative. Tuttavia, hanno gradi di libertà limitati per la calibrazione del modello, il che li rende inadatti per la determinazione del prezzo di derivati esotici.

Spero che questa spiegazione chiarisca i vantaggi e gli svantaggi dell'utilizzo del moto browniano aritmetico o del moto browniano geometrico per la modellazione dei processi azionari e la determinazione del prezzo dei derivati. Arrivederci alla prossima! Arrivederci.

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Quali controlli di integrità è possibile eseguire per un processo di stock simulato?

Quali controlli di integrità è possibile eseguire per un processo di stock simulato?

Benvenuti alla sessione di domande e risposte basata sul corso di finanza computazionale.

La domanda di oggi è la numero sette, che si concentra sui controlli di integrità che possono essere eseguiti per un processo stocastico simulato. Questa domanda si riferisce ad esercizi pratici che coinvolgono la simulazione di un'equazione differenziale stocastica discretizzata ai fini della determinazione del prezzo. È essenziale eseguire alcuni controlli per garantire che l'implementazione sia corretta e acquisire fiducia nella validità dei risultati.

Per rispondere a questa domanda, esaminiamo diversi passaggi e controlli che possono essere eseguiti. In primo luogo, è importante considerare la particolare classe di attività simulata. Ad esempio, se simuliamo un processo di stock, un semplice controllo consiste nel valutare se lo stock scontato segue la proprietà Martingale. L'aspettativa del titolo a scadenza, attualizzata ad oggi, dovrebbe essere pari al valore iniziale del titolo. In realtà, potrebbe esserci una leggera differenza, che dovrebbe diminuire all'aumentare del numero di percorsi di simulazione o al diminuire delle dimensioni della griglia. Il monitoraggio e la riduzione al minimo di questa differenza possono contribuire a migliorare l'accuratezza della simulazione.

Un altro aspetto da verificare è se il derivato oggetto di quotazione può essere semplificato. Ad esempio, se viene scelta un'opzione call con un prezzo di esercizio pari a zero, si riduce sostanzialmente al primo controllo sopra menzionato. La verifica della corretta implementazione del payoff del derivato è fondamentale.

La stabilità è un'altra considerazione importante. Si tratta di valutare l'impatto dell'aumento del numero di percorsi Monte Carlo e la stabilità dei risultati quando si cambiano i semi casuali. Se le simulazioni con semi diversi producono prezzi significativamente diversi, ciò indica una potenziale instabilità nel modello. Potrebbero essere necessari aggiustamenti come la correzione della deriva o i termini di correzione Martingale per garantire la stabilità.

Inoltre, è utile osservare come variano i risultati quando si modifica la dimensione del passo di discretizzazione degli intervalli di tempo. Questo aiuta a valutare la sensibilità della simulazione a diverse risoluzioni temporali.

Un controllo critico è se il processo simulato può prezzare gli strumenti di mercato. Se i parametri del modello sono calibrati su strumenti di mercato come le opzioni, è essenziale confrontare i prezzi del modello con i prezzi di mercato. Se i prezzi differiscono in modo significativo, suggerisce che il modello non sta funzionando bene e potrebbe richiedere aggiustamenti o calibrazione aggiuntiva.

Questi sono alcuni dei controlli di integrità di base che possono essere eseguiti per i processi stocastici simulati. Vale la pena notare che i controlli specifici possono variare a seconda del tipo di contratto di prezzo considerato. Ad esempio, per le opzioni con date di esercizio, è importante garantire che si riducano a payoff di tipo europeo come scenario di base.

L'esecuzione di questi controlli consente di convalidare la simulazione e identificare potenziali problemi o bug nell'implementazione.

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Qual è la formula di Feynman-Kac?

Qual è la formula di Feynman-Kac?

Benvenuti alla sessione di domande e risposte serie sulla finanza computazionale.

La domanda di oggi è la numero otto della Lezione numero tre, che si concentra sulla formula di Feynman-Katz e sulla sua applicazione. La formula di Feynman-Katz stabilisce una connessione cruciale tra equazioni alle derivate parziali (PDE) e processi stocastici, fornendo un metodo per risolvere specifiche PDE attraverso la simulazione di cammini casuali. Questo potente macchinario ci consente di risolvere problemi complessi combinando PDE con processi stocastici.

La formula stessa si riferisce a una forma particolare di un'equazione alle derivate parziali. Considera una PDE con un termine di derivata temporale (dt), un termine di derivata (μ), un termine di derivata di primo ordine (dX), un termine di volatilità (σ²/2) e un termine di derivata di secondo ordine (d²X). La PDE include anche una condizione terminale, dove il valore V assume una funzione deterministica ETA(X) all'istante T. Qui, X rappresenta una variabile di stato.

Il teorema di Feynman-Katz afferma che la soluzione di questa PDE può essere espressa come l'aspettativa della funzione deterministica ETA valutata all'istante T, considerandola in funzione di un processo stocastico. Il processo stocastico, indicato con X(t), può essere definito come segue: dX(t) = μ dt + σ dW(t), dove dW(t) rappresenta un processo di Wiener (moto browniano). Il termine di deriva μ e il termine di volatilità σ² sono determinati dai coefficienti della PDE.

Se abbiamo una PDE nella forma di dt + μ dX + (σ²/2) d²X = 0, insieme a una condizione terminale, possiamo esprimere la soluzione come l'aspettativa della condizione terminale valutata in X(t), lo stocastico processo al tempo T.

Consideriamo un semplice esempio in cui la PDE include solo il termine derivato di secondo ordine e una condizione terminale. Applicando il teorema di Feynman-Katz, sappiamo che la soluzione sarà l'aspettativa della funzione ETA, che in questo caso è x². Pertanto, la soluzione può essere scritta come l'aspettativa di X(t)², dove X(t) è un moto browniano scalato con qualche stato iniziale. Il calcolo dell'aspettativa produce Sigma²(Tt) + X².

La formula Feynman-Katz è un potente strumento in finanza, in particolare nelle opzioni di prezzo. Ad esempio, nell'equazione di Black-Scholes, iniziamo con un portafoglio replicante, che porta a una PDE di prezzo. Seguendo la stessa strategia, la pricing PDE può essere elegantemente correlata alla simulazione dell'aspettativa del payoff terminale basata sul processo stocastico. Questa connessione tra l'aspettativa e la PDE fornisce un quadro completo per il prezzo delle opzioni, in cui possiamo replicare il portafoglio, derivare la PDE del prezzo e quindi simulare l'aspettativa attraverso percorsi Monte Carlo o processi stocastici simulati.

Comprendere e utilizzare la formula Feynman-Katz è essenziale in varie applicazioni finanziarie. Offre un potente metodo per risolvere le PDE e fornisce un chiaro legame tra i processi stocastici e le equazioni alle derivate parziali.

Grazie e alla prossima!

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Qual è la struttura a termine della volatilità implicita?

Qual è la struttura a termine della volatilità implicita?

Benvenuti alla sessione di domande e risposte basata sulle lezioni di finanza computazionale.

La domanda di oggi è la numero nove, che è collegata al materiale trattato nella Lezione numero quattro. La domanda è: "Qual è la struttura a termine della volatilità implicita?" Questa domanda sorge spesso quando si discute dell'impatto della volatilità dipendente dal tempo sul modello di Black-Scholes e se può generare volatilità implicita smile o skew. Sfortunatamente, la risposta comune che afferma che una volatilità dipendente dal tempo può produrre smile o skew non è corretta. Esploriamo la struttura a termine della volatilità implicita e la sua connessione con il modello di Black-Scholes.

Per comprendere la volatilità implicita, dobbiamo sapere come viene calcolata e il suo significato nel contesto del modello Black-Scholes. Nel framework standard di Black-Scholes, dato il prezzo di mercato di un'opzione call, miriamo a trovare la volatilità implicita (Sigma_imp) che rende zero la differenza tra il prezzo di mercato e il prezzo di Black-Scholes. Questa volatilità implicita è derivata invertendo l'equazione dei prezzi di Black-Scholes.

Quando si confrontano i prezzi delle opzioni ottenuti dal modello con quelli osservati sul mercato, è difficile determinare la presenza di volatilità implicita o skew basata esclusivamente sui prezzi. Invece, dovremmo concentrarci sulle volatilità implicite. Osservando le volatilità implicite, osserviamo che i prezzi delle opzioni di mercato diminuiscono all'aumentare dei prezzi di esercizio (k), che è previsto. Tuttavia, il comportamento delle volatilità implicite può variare in modo significativo. In alcuni casi, possono essere piatti, mentre in altri possono mostrare inclinazione. È fondamentale esaminare le volatilità implicite piuttosto che i prezzi per valutare accuratamente la presenza di volatility smile o skew.

Le volatilità implicite possono assumere varie forme, tra cui il sorriso, l'inclinazione o persino la forma di una mazza da hockey, a seconda delle condizioni di mercato. Diversi tipi di mercati presentano diversi modelli di volatilità implicita e, di conseguenza, sono necessari diversi modelli e procedure di calibrazione per corrispondere a tali modelli.

Ora, discutiamo la struttura a termine della volatilità implicita. Nella struttura a termine, ci concentriamo sulla variazione della scadenza dell'opzione mantenendo fisso il prezzo di esercizio. Se introduciamo la volatilità dipendente dal tempo nel modello di Black-Scholes (sostituendo una costante Sigma con sigma(T)), troviamo che la struttura a termine della volatilità implicita non genera smile o skew. Invece, dimostra come le volatilità implicite cambiano nel tempo per le opzioni at-the-money. La struttura a termine descrive l'evoluzione delle volatilità implicite al variare delle scadenze delle opzioni. In un grafico 3D, osserviamo che per le opzioni at-the-money, la volatilità implicita rimane costante fintanto che la scadenza è la stessa (superficie piana). Tuttavia, variando la scadenza dell'opzione, le volatilità implicite cambiano, illustrando la struttura a termine della volatilità implicita.

È essenziale notare che l'introduzione della volatilità dipendente dal tempo nel modello Black-Scholes non genera volatilità implicita smile o skew. Il modello manca ancora di smile o skew, ma consente la calibrazione delle opzioni at-the-money in termini di volatilità implicite nel tempo. Nel mio libro e nella conferenza numero quattro, troverai materiali su come rappresentare i prezzi delle opzioni (sia call che put) utilizzando volatilità dipendenti dal tempo comprimendo la dipendenza dal tempo in una costante Sigma, nota come stella Sigma. Ciò consente di riutilizzare la struttura dei prezzi di Black-Scholes considerando la struttura dei termini associata alle opzioni at-the-money.

In conclusione, la volatilità dipendente dal tempo nel modello di Black-Scholes non genera smile o skew di volatilità implicita. Influisce esclusivamente sulle volatilità implicite associate alla struttura a termine delle opzioni at-the-money. Per valutare la presenza di smile o skew, esaminare sempre le volatilità implicite piuttosto che i prezzi delle opzioni.

Spero che questa spiegazione chiarisca il concetto. Arrivederci alla prossima. Ciao e grazie!

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Quali sono le carenze del modello Black-Scholes? Perché si usa ancora il modello Black-Scholes?

Quali sono le carenze del modello Black-Scholes? Perché si utilizza ancora il modello BS?

Benvenuti alla sessione di domande e risposte basata sul corso di finanza computazionale.

La domanda di oggi è la numero 10, che è collegata alla conferenza numero quattro. La domanda è: "Quali sono le carenze del modello Black-Scholes e perché è ancora utilizzato?"

Il modello di Black-Scholes, come discusso in questo corso, è un modello fondamentale per la determinazione del prezzo dei derivati. Assume una singola equazione differenziale stocastica (SDE) con moto browniano geometrico per rappresentare il prezzo delle azioni. Questo semplice processo viene quindi utilizzato per valutare le opzioni. Tuttavia, abbiamo appreso che le ipotesi del modello non sono adeguate alle attuali condizioni di mercato.

Uno dei principali svantaggi del modello Black-Scholes è la sua dipendenza da un singolo parametro, Sigma, che rappresenta la volatilità. Questo singolo parametro non è sufficiente per catturare la complessità dei sorrisi e delle inclinazioni di volatilità implicita osservati nel mercato. Anche l'assunzione del modello di tassi di interesse costanti è irrealistica, sebbene i tassi di interesse abbiano un impatto minimo sul prezzo delle opzioni rispetto alla volatilità.

Un altro svantaggio del modello di Black-Scholes è che i rendimenti generati dal moto browniano geometrico non sono sufficientemente accodati. Ciò significa che gli eventi estremi con probabilità molto basse non sono adeguatamente considerati, rendendo il modello irrealistico.

Ora, perché il modello Black-Scholes è ancora utilizzato nonostante queste carenze? La risposta è multiforme. Sebbene il modello Black-Scholes non sia adatto per la determinazione del prezzo di derivati esotici, può comunque essere utilizzato per la determinazione del prezzo delle opzioni europee. Le opzioni europee sono più semplici e hanno mercati più liquidi, consentendo una copertura più semplice utilizzando le opzioni europee vanilla. Pertanto, se non sono disponibili altri strumenti di mercato, il modello di Black-Scholes può essere utilizzato per valutare i derivati esotici. Tuttavia, è importante notare che questo approccio è rischioso in quanto manca della capacità di coprire efficacemente i derivati esotici.

Inoltre, il modello Black-Scholes è ampiamente utilizzato nel calcolo delle volatilità implicite. Le volatilità implicite sono uno strumento essenziale per i trader di opzioni e sono derivate utilizzando la formula di Black-Scholes. Anche quando si utilizzano modelli più complessi come il modello Heston oi modelli con salti, le volatilità implicite associate a tali modelli vengono comunque calcolate utilizzando la formula di Black-Scholes. Le volatilità implicite sono preferite perché forniscono una misura della volatilità indipendente dal livello dell'asset, consentendo un confronto significativo del rischio tra diversi asset.

In questo corso, abbiamo esplorato varie alternative al modello di Black-Scholes, come i modelli di volatilità stocastica e i modelli di volatilità locale, che offrono miglioramenti rispetto al framework di Black-Scholes. Ti incoraggio a rivedere le lezioni se hai bisogno di una comprensione più approfondita di queste alternative.

Grazie mille e non vedo l'ora della nostra prossima sessione.

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Come appare la tabella di Ito se includiamo il processo di salto di Poisson?

Come appare la tabella di Ito se includiamo il processo di salto di Poisson?

Benvenuti alla sessione di domande e risposte sulla finanza computazionale. Oggi discuteremo la domanda numero 11, che si basa sui materiali trattati nella quinta lezione. La domanda è: come appare la tabella Ethos quando includiamo il processo di salto di Poisson?

Per cominciare, ricordiamo l'applicazione del lemma di Ethos ai processi che coinvolgono il moto browniano. Sappiamo che per trovare la dinamica di una funzione di un processo, dobbiamo applicare il lemma di Ethos, che implica uno sviluppo di Taylor. La tabella Ethos per il moto browniano include termini con dt, dw, dtdw e dwdw. Se abbiamo termini incrociati con dt moltiplicato per dw o dtdw, sono considerati zero a causa della simmetria. E dwdw è semplicemente dt.

Consideriamo ora il caso in cui abbiamo non solo il moto browniano ma anche un processo di Poisson incluso nella dinamica del processo. Il processo di salto di Poisson può essere rappresentato come una serie di salti che si verificano in ogni momento. Se discretizziamo il processo, possiamo avere salti multipli in un intervallo finito. Tuttavia, quando si considerano intervalli infinitamente piccoli, si verifica un solo salto. Introduciamo la notazione xt- e xt per rappresentare rispettivamente il limite sinistro e il valore del processo subito prima del salto.

Ora concentriamoci sulla funzione G(xt). Se applichiamo il lemma di Ethos a una funzione di un processo con un salto di Poisson, otteniamo un'espressione che include un termine di deriva, un termine di salto e l'incremento di G dovuto al salto. Il termine di deriva è simile a quello del lemma di Ethos per il moto browniano, ma senza la parte diffusiva. Il termine del salto dipende dal processo di Poisson e consiste nel prodotto della dimensione del salto e della funzione dell'indicatore per il verificarsi di un salto.

Per riassumere, la tabella Ethos per un processo di salto di Poisson include i termini della tabella Ethos per il moto browniano, nonché un termine aggiuntivo che deriva dal prodotto di due incrementi del processo di Poisson. Questo termine aggiuntivo è cruciale nell'applicazione del lemma di Ethos ai processi di salto.

È importante comprendere il lemma di Ethos e la sua applicazione ai processi di salto, in quanto è un potente strumento in finanza per analizzare la dinamica delle funzioni dei processi stocastici. Ulteriori dettagli su questo argomento possono essere trovati nella lezione cinque e nella letteratura pertinente. Sentiti libero di porre ulteriori domande. Arrivederci!