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Corso di Ingegneria Finanziaria: Lezione 7/14, parte 2/2, (Swaption e tassi di interesse negativi)
Corso di Ingegneria Finanziaria: Lezione 7/14, parte 2/2, (Swaption e tassi di interesse negativi)
La lezione video approfondisce le complessità della determinazione del prezzo delle swaption in un contesto di tassi di interesse negativi. Il docente introduce l'algoritmo proposto da Farshid Jamshidian nel 1989, che facilita la trasformazione del problema del calcolo del massimo di una somma in una somma di massimi specifici, date determinate condizioni. Un requisito cruciale per questo approccio è che la funzione psi_k(x) deve essere monotona crescente o decrescente per ottenere calcoli accurati. La lezione si conclude assegnando i compiti e fornendo un esercizio Python che si concentra sulle tecniche di calcolo numerico.
L'oratore sottolinea l'importanza di determinare il valore di x_star, che corrisponde alla massima sommatoria di psi pari a zero. Trovare questo valore consente la sostituzione della dimensione della sommatoria, k, nell'equazione. Il relatore esplora quindi come questa condizione, insieme all'uso di funzioni crescenti monotone, consenta l'eliminazione del massimo dalla parte più esterna a quella più interna dell'equazione. Inoltre, viene presentato un esercizio che prevede il calcolo dell'aspettativa di un massimo utilizzando sia la forza bruta che le tecniche di sequenza di giunzione di James.
Il relatore procede a condividere un esercizio personale che prevede la valutazione della somma di tutti i termini psi_i per i che vanno da 0 a 14. Tocca anche l'uso della simulazione Monte Carlo per la determinazione del prezzo, impiegando il trucco Jump Diffusion per determinare il valore x ottimale , che influenza in modo significativo il risultato della sommatoria. L'oratore ripete tutti i termini per ogni colpo per identificare il massimo e successivamente applica il trucco jamshidiano prendendo l'aspettativa del massimo e sommando i valori massimi. Tuttavia, è importante riconoscere alcune limitazioni associate a questa tecnica, come la sua inapplicabilità a fattori ad alta dimensione e la necessità di un'attenta considerazione delle ipotesi sottostanti.
Successivamente, la lezione approfondisce l'equazione dei prezzi per le soluzioni che utilizzano l'intero modello bianco. Ciò comporta la definizione di un'obbligazione zero coupon all'interno dell'intero framework del modello bianco, con funzioni esplicite A e B espresse in termini di parametri del modello. Il relatore spiega come la funzione Theta possa essere rappresentata in termini di obbligazioni zero coupon, che possono poi essere sostituite da tassi forward. Il punto chiave è che, rispetto all'equazione di Black-Scholes utilizzata per valutare le swaption nell'ambito della misura della rendita, è più vantaggioso passare alla misura associata all'attualizzazione, che richiede la simulazione di un processo a tasso breve. Utilizzando il trucco jamshidiano, diventa possibile ricercare R_star e ottenere una sommatoria composta da due componenti: una relativa all'ottimizzazione e l'altra relativa ai titoli zero coupon con pesi specifici.
La conferenza prosegue discutendo il prezzo delle swaption utilizzando il trucco di Jamshidian, mostrando come questo approccio faciliti il calcolo della volatilità implicita. Il prezzo di una swaption può essere espresso come una somma ponderata di opzioni su obbligazioni a cedola zero, dove i pesi c_k rappresentano le proporzioni delle opzioni e le opzioni su obbligazioni a cedola zero sono opzioni put rettificate. Il prezzo di queste opzioni obbligazionarie zero coupon segue un processo semplice basato su materiale trattato in precedenza. L'implementazione di questo approccio è relativamente semplice in quanto comporta l'analisi di funzioni monotone durante il calcolo della volatilità implicita o il prezzo delle swaption.
Andando avanti, il docente spiega la sequenza degli eventi economici che hanno portato a tassi di interesse negativi, evidenziando la distinzione tra tassi di interesse reali e nominali. Discutono di come la mancanza di fiducia e gli eventi deflazionistici possano avere un impatto sull'attività di trading e sull'economia in generale. Il docente riconosce gli interventi effettuati dalle banche centrali per stimolare l'offerta monetaria e riconquistare la fiducia durante la Grande Recessione, compreso l'abbassamento dei tassi di interesse per incoraggiare gli investimenti e l'attività economica. Tuttavia, riconoscono anche i potenziali svantaggi e l'ingiustizia associati alla situazione, in particolare in termini di potere d'acquisto se l'inflazione supera i tassi nominali.
La conferenza approfondisce l'uso dei tassi di interesse negativi come misura non convenzionale per incentivare gli investitori a prendere in prestito denaro e investire nel mercato. L'obiettivo è quello di stimolare l'economia incoraggiando le principali istituzioni finanziarie ad acquistare beni o impegnarsi in attività di mercato. Il concetto di tassi di interesse negativi può funzionare efficacemente quando non è presente inflazione. Tuttavia, se l'inflazione si verifica e supera le aspettative delle banche centrali, potrebbe essere necessario aumentare i tassi per compensare. Ciò può rappresentare un rischio per le società e gli investitori con debiti a basso tasso, portando potenzialmente al fallimento. Questi sviluppi evidenziano l'esistenza sia di lunghi cicli economici che si estendono fino a 100 anni sia di cicli più brevi della durata di circa 10 anni. Il docente tocca anche il concetto di inflazione e sottolinea l'importanza di comprendere come funziona il mercato dell'inflazione per essere preparati a qualsiasi fenomeno correlato all'inflazione.
Inoltre, l'istruttore approfondisce la questione dei tassi di interesse negativi, che sono diventati più diffusi nell'attuale contesto economico. Un confronto dei tassi europei tra il 2008 e il 2017 dimostra che gli investimenti a breve termine ora producono tassi negativi, fornendo pochi incentivi al risparmio. L'istruttore discute anche le sfide poste dai tassi di interesse negativi quando si tratta di calcolare le volatilità e gestire le obbligazioni a tasso variabile. Di conseguenza, c'è bisogno di modelli nuovi e alternativi per affrontare questi problemi in modo efficace. Inoltre, l'istruttore afferma che le banche spesso tentano di mitigare le conseguenze negative dei tassi di interesse negativi incorporando massimi o rinunciando ai pagamenti delle cedole per i clienti.
La lezione video procede esplorando le strategie per gestire i tassi di interesse negativi e determinare la volatilità implicita per le opzioni di prezzo. Questo è fondamentale perché, in uno scenario in cui i tassi di interesse diventano negativi, le attività di trading per i derivati possono interrompersi. Quando si utilizza il modello tradizionale di Black-Scholes per calcolare le volatilità implicite, l'output può essere "NaN" (non un numero). Un approccio per affrontare questa sfida consiste nell'utilizzare le volatilità implicite spostate. Ciò comporta l'incorporazione di un ulteriore parametro di spostamento nel modello Black-Scholes per tenere conto del tasso di interesse negativo massimo. Tuttavia, è importante monitorare attentamente questo parametro di spostamento. Se si avvicina al forward negativo, il problema si ripresenta.
Il relatore discute ulteriormente l'uso della variante shifted del LIBOR per la determinazione del prezzo delle swaption, evidenziando come risolve il problema dei tassi di interesse negativi. Introducendo un parametro di spostamento aggiuntivo, anche se lo strike considerato è negativo, non influisce sull'esito del prezzo. Questo perché il modello spostato garantisce che i tassi rimangano al di sopra dell'intervallo negativo, data la natura log-normale del modello. Inoltre, è fondamentale associare il parametro shift alla scadenza e al tenore dell'attività sottostante. Per illustrare questi concetti, il relatore fornisce rappresentazioni visive della distribuzione log-normale e mette in mostra i prezzi delle opzioni in base a diversi parametri di spostamento.
Ampliando la nozione di spostamento all'interno della formula di Black-Scholes, la conferenza approfondisce l'impatto dei parametri di spostamento sulle volatilità e sulle forme di distribuzione. Viene presentata un'implementazione del codice per la determinazione del prezzo, utilizzando sia la simulazione Monte Carlo che le espressioni analitiche. La simulazione prevede la generazione di percorsi per il moto browniano geometrico spostato (GBM) e il calcolo del prezzo medio. Il codice regola anche i punti iniziali, genera densità per il modello locale con uno spostamento per theta e traccia densità log-normali per diversi parametri di spostamento. Viene sottolineata l'importanza di mantenere il parametro di spostamento il più vicino possibile allo zero, poiché parametri di spostamento più elevati possono influenzare in modo significativo la distribuzione e la volatilità.
Il professore sottolinea l'aspetto cruciale della contabilizzazione accurata dei parametri di spostamento durante la determinazione del prezzo delle swaption, sottolineando che anche un piccolo errore può portare a significativi errori di determinazione del prezzo. La conferenza consolida i concetti trattati, tra cui il prezzo di caplet e floor, swap su tassi di interesse, prezzo di swaption utilizzando il modello Black, tassi di interesse negativi e l'applicazione del trucco di Jamshidian nel prezzo di swaption secondo il modello Hull-White. Per concludere, il docente assegna i compiti agli studenti, incoraggiandoli ad applicare i concetti appresi a lezione per il calcolo delle volatilità implicite e delle opzioni di prezzo.
Nella sezione finale del video, l'oratore discute come valutare un'opzione sotto il modello dell'intera linea combinando insieme due blocchi. L'obiettivo è confrontare i risultati con la simulazione Monte Carlo per garantire che il codice sia privo di bug ed errori. La lezione si conclude con l'istruttore che incoraggia gli studenti a godersi i compiti e ad approfondire gli argomenti trattati.
La lezione video fornisce un'esplorazione completa dei tassi di interesse negativi, delle swaption sui prezzi e dell'applicazione di varie tecniche e modelli matematici. Sottolinea l'importanza di comprendere concetti come il trucco di Jamshidian, le volatilità implicite spostate e l'influenza dei parametri di spostamento sui prezzi e sulle forme di distribuzione. Fornendo agli studenti questi strumenti e approfondimenti, la lezione li prepara a navigare nelle complessità del mondo finanziario, prendere decisioni informate e valutare accuratamente opzioni e swaption in condizioni di mercato difficili.
Corso di Ingegneria Finanziaria: Lezione 8/14, parte 1/4, (Mutui e Anticipi)
Corso di Ingegneria Finanziaria: Lezione 8/14, parte 1/4, (Mutui e Anticipi)
Nella conferenza, il concetto di determinazione del prezzo dei mutui è ampiamente discusso, evidenziando la natura complessa di questo compito dal punto di vista dell'ingegneria finanziaria. La sfida principale consiste nella gestione dei rischi associati ai pagamenti anticipati dei clienti e ai pagamenti aggiuntivi effettuati oltre alle normali rate mensili. Due tipi di mutui sono specificamente focalizzati su: mutui bullet e mutui annuali.
Un mutuo proiettile prevede che i clienti paghino solo il tasso di interesse e il nozionale residuo alla fine del contratto, mentre un mutuo vitalizio comporta una riduzione graduale del nozionale fino a quando non rimane alcun nozionale residuo alla conclusione del contratto. Nella lezione vengono affrontati anche i pagamenti anticipati, i rischi della pipeline e l'inclusione del comportamento e degli incentivi delle persone nella determinazione dei prezzi dei contratti finanziari.
Si sottolinea che i rischi relativi ai pagamenti anticipati sono ridotti al minimo per i mutui a tasso variabile poiché i clienti non hanno un incentivo ottimale a effettuare pagamenti anticipati. Il tasso di rimborso anticipato costante è discusso in relazione alla gestione del portafoglio. La valutazione del profilo di rimborso di un portafoglio ipotecario richiede di considerare i rischi di rimborso anticipato in base al profilo di rimborso complessivo piuttosto che ai singoli clienti.
La conferenza approfondisce l'indice di ammortamento swap e come può essere utilizzato per far fronte ai rischi di rimborso anticipato all'interno del portafoglio. Inoltre, viene esplorato l'aspetto comportamentale dei pagamenti anticipati, tenendo conto degli incentivi al rifinanziamento e del processo decisionale razionale o irrazionale degli individui quando decidono di stanziare fondi extra per il loro mutuo.
Vengono inoltre evidenziati i rischi affrontati da banche e altri istituti finanziari, in particolare per quanto riguarda i flussi di cassa dei mutui e l'incertezza che li circonda. Ciò include la possibilità di inadempienze dei clienti e la necessità per le banche di rivendere case, a volte in perdita. La conferenza sottolinea l'importanza della determinazione dei prezzi e della gestione del rischio nell'emissione di mutui, affrontando in particolare il rischio di pipeline e il rischio di rimborso anticipato. Il rischio di pipeline sorge a causa del ritardo temporale tra l'accettazione di un mutuo e la firma del contratto, che lascia spazio a variazioni dei tassi di interesse durante tale periodo.
I rischi associati ai mutui, come il rischio di pipeline e il rischio di rimborso anticipato, sono ulteriormente elaborati. Il rischio pipeline si riferisce al rischio che un cliente possa optare per un tasso di interesse inferiore, che si verifica quando un cliente ha la possibilità di eseguire un contratto a un tasso inferiore. D'altra parte, il rischio di pagamento anticipato riguarda il desiderio di un cliente di modificare il contratto e il rischio associato di pagamenti anticipati. Gli istituti finanziari che stipulano contratti con i clienti si trovano ad affrontare posizioni non tratteggiate che introducono ulteriori rischi nel prezzo dei derivati. I mutui possiedono un'opzione incorporata che consente al mutuo di estinguere il proprio mutuo più rapidamente rispetto al programma concordato, con conseguente rischio di rimborso anticipato. La conferenza evidenzia che è logico per un mutuo dare la priorità al pagamento del mutuo piuttosto che mantenere i risparmi in un conto con tassi di interesse negativi o nulli.
Mentre la valutazione dei mutui nell'ambito della misura neutrale al rischio è importante, la conferenza sottolinea che gli incentivi dei consumatori a sottoscrivere o rimborsare anticipatamente i mutui potrebbero non essere guidati esclusivamente dalle circostanze del mercato. Fattori come l'età o la libertà finanziaria possono influenzare l'incentivo a pagare anticipatamente i mutui ed evitare pagamenti mensili. La conferenza esplora la connessione tra la determinazione del prezzo nell'ambito della misura neutrale al rischio e gli aspetti comportamentali coinvolti nella determinazione del prezzo dei pagamenti anticipati. Inoltre approfondisce due tipi di piani di ammortamento: mutui vitalizi e mutui proiettile, che assicurano che i mutuatari rimborsino alla fine la somma iniziale presa in prestito per l'acquisto della casa insieme a importi aggiuntivi che rappresentano i costi del prestito.
Il video spiega la relazione tra mutui, rimborsi anticipati e rischi a cui sono esposte le istituzioni finanziarie. I rimborsi anticipati effettuati dai mutuatari, che superano i pagamenti programmati, impongono alla banca di adeguare la copertura, con conseguenti costi aggiuntivi. Grandi pagamenti anticipati possono anche ridurre il flusso di cassa in entrata della banca e la durata del contratto. Tuttavia, un numero significativo di pagamenti anticipati improvvisi genera un rischio di rimborso anticipato che deve essere analizzato e mitigato. Per gestire questi rischi, le banche creano portafogli ipotecari e utilizzano swap per compensare pagamenti a tasso fisso.
Il docente discute i rischi ei profitti associati a mutui e pagamenti anticipati. I mutui sono prezzati a livello di portafoglio, con coperture costituite da nozionali significativamente maggiori. La redditività per una banca in un mutuo dipende da fattori quali l'importo nozionale, la durata del prestito e il tasso di interesse. I pagamenti anticipati, tuttavia, rappresentano una potenziale perdita per la banca. Altri rischi associati ai mutui includono il rischio di pipeline, il rischio fiscale, il rischio di insolvenza e il rischio di un crollo del mercato immobiliare. La conferenza sottolinea che il piano di ammortamento scelto per un mutuo può influire sull'ammontare degli interessi maturati.
Il docente fornisce un'esplorazione dettagliata dei diversi tipi di mutui e dei relativi piani di ammortamento. Uno di questi tipi è il mutuo proiettile, che prevede un unico pagamento forfettario alla fine della durata del mutuo. Sebbene ciò semplifichi gli obblighi di pagamento per tutta la durata, comporta il rischio di un pagamento sostanziale dovuto alla fine. Il docente suggerisce che un mutuo proiettile può essere adatto a persone che hanno opportunità di investimento alternative, come un conto di risparmio con un tasso di interesse più elevato rispetto al mutuo. La lezione offre anche una panoramica dei pagamenti mensili e dei periodi di maturazione, fornendo una comprensione completa delle strutture di pagamento dei mutui.
I tassi di rimborso anticipato costanti associati ai mutui sono discussi in dettaglio. Questi tassi rappresentano importi fissi che i proprietari di case scelgono di pagare anticipatamente per i loro mutui. Il tasso di rimborso anticipato è generalmente stimato sulla base di un ampio portafoglio di mutui e influisce sul valore nozionale durante il periodo di ammortamento. Sono menzionati anche i vincoli legali sugli importi del pagamento anticipato. Il docente calcola l'importo totale degli interessi pagati su un mutuo utilizzando un tasso di rimborso anticipato e sottolinea l'importanza di considerare i pagamenti anticipati nel prezzo del mutuo. Vengono presentati esperimenti ed esercizi numerici per illustrare i concetti e vengono utilizzati un grafico e un codice Python per analizzare in modo efficace i flussi di cassa e i programmi di ammortamento.
La conferenza sottolinea l'impatto dei tassi di rimborso anticipato sull'ammortamento di un mutuo nel tempo. Viene fornito un esempio per un mutuo a tasso fisso di 10 anni al tasso di interesse del 3%, che la banca deve coprire con uno swap. L'esperimento mette a confronto scenari con e senza rimborsi anticipati, dimostrando come i rimborsi anticipati diminuiscano gradualmente nel tempo man mano che diminuisce il nozionale in essere. I risultati evidenziano che i pagamenti anticipati possono ridurre significativamente l'importo degli interessi pagati, ma alla fine è comunque richiesto un pagamento forfettario consistente. Il docente rileva inoltre che, in pratica, i mutui possono essere abbinati a conti di risparmio o derivati che offrono rendimenti più elevati, riducendo al minimo anche la tassazione sul nozionale residuo.
Inoltre, la lezione approfondisce la costruzione di un piano di ammortamento per un mutuo proiettile utilizzando il codice Python. Il codice consente il calcolo dei programmi di pagamento in base a determinati tassi di interesse e tassi di pagamento anticipato. Fornisce una matrice che delinea i pagamenti richiesti per tutta la durata del mutuo. I tassi di rimborso anticipato possono essere espressi in percentuale, rendendolo conveniente per l'analisi di un ampio portafoglio di mutui. Il programma di pagamento viene influenzato quando vengono introdotti i pagamenti anticipati, mostrando la flessibilità e l'utilità del codice Python per l'analisi delle strutture di pagamento.
L'oratore spiega le colonne di una matrice di pagamento del mutuo. Il tempo è rappresentato nella prima colonna, seguito dalla nozione eccezionale nella seconda colonna. Pagamento anticipato, rimborso e preventivo nozionale sono definiti nelle colonne successive. La colonna del rimborso anticipato indica la frazione del nozionale che verrà prepagata ed è determinata dal tasso di rimborso anticipato costante (CPR). Rimborso, nella quarta colonna, indica la riduzione della nozione residua ogni mese con pagamenti regolari. La quinta colonna rappresenta il pagamento degli interessi, mentre l'ultima colonna visualizza le rate mensili richieste. Il docente mostra il modello utilizzando un esempio di mutuo bullet di 30 anni senza pagamento anticipato.
In sintesi, la conferenza fornisce un'ampia esplorazione dei prezzi dei mutui, dei rischi di rimborso anticipato e del loro impatto sulle istituzioni finanziarie. Copre vari tipi di mutui, compresi i mutui bullet e i mutui annuali, e sottolinea l'importanza di considerare il comportamento e gli incentivi del cliente nella determinazione del prezzo del mutuo. La conferenza approfondisce i rischi affrontati dalle istituzioni finanziarie, come il rischio di pipeline e il rischio di rimborso anticipato, e discute le strategie per mitigare questi rischi attraverso la gestione del portafoglio e l'uso di derivati finanziari come gli swap. La conferenza evidenzia anche l'incertezza che circonda i flussi di cassa dei mutui, compresa la possibilità di insolvenze dei clienti e la necessità per le banche di rivendere case in perdita potenziale.
Inoltre, la conferenza riconosce che la determinazione del prezzo dei mutui esclusivamente in base a una misura neutrale al rischio potrebbe non catturare l'intera gamma di incentivi e comportamenti dei consumatori. Fattori come l'età, la libertà finanziaria e le preferenze personali possono influenzare in modo significativo le decisioni dei clienti di rimborsare anticipatamente o rifinanziare i loro mutui. Pertanto, la conferenza sottolinea l'importanza di integrare gli aspetti comportamentali nei modelli di pricing dei mutui, considerando le motivazioni e il processo decisionale razionale/irrazionale dei mutuatari.
Il docente esplora il concetto di tassi di rimborso anticipato costanti e la loro relazione con la gestione del portafoglio. Invece di analizzare i rischi di rimborso anticipato a livello di singolo cliente, la conferenza sottolinea la necessità di valutare il profilo di rimborso complessivo di un portafoglio di mutui. Considerando il comportamento di rimborso anticipato aggregato, le banche possono gestire meglio i rischi associati e utilizzare strumenti come index amortizing swap per compensare e coprire efficacemente i rischi di rimborso anticipato.
Inoltre, la conferenza approfondisce i rischi affrontati dalle istituzioni finanziarie a causa di mutui e pagamenti anticipati. Quando i mutuatari effettuano rimborsi anticipati significativi, è necessario adeguare la strategia di copertura della banca, con conseguenti costi aggiuntivi e potenziali interruzioni del flusso di cassa e della durata del contratto. L'improvviso rimborso anticipato di un numero significativo di clienti crea un rischio di rimborso anticipato, che deve essere attentamente analizzato e coperto per mitigarne l'impatto sul portafoglio della banca. Il docente sottolinea che le banche creano portafogli ipotecari e utilizzano swap per compensare pagamenti a tasso fisso, riducendo così i rischi.
La conferenza si conclude con una discussione sulla valutazione dei titoli ipotecari, osservando che essa dipende da quantità osservabili sul mercato. Sebbene questo aspetto sia brevemente accennato, la lezione implica che un'esplorazione più approfondita di queste grandezze sarà trattata nelle parti successive del corso.
La conferenza fornisce una comprensione completa dei prezzi dei mutui, dei rischi di pagamento anticipato e delle loro implicazioni per le istituzioni finanziarie. Affronta vari tipi di mutui, aspetti comportamentali, tecniche di gestione del portafoglio e strategie di mitigazione del rischio. Considerando le complesse dinamiche dei flussi di cassa dei mutui, dei pagamenti anticipati e del comportamento dei clienti, la conferenza fornisce agli spettatori le conoscenze e gli strumenti necessari per affrontare le sfide della determinazione dei prezzi e della gestione efficace dei portafogli di mutui.
Corso di Ingegneria Finanziaria: Lezione 8/14, parte 2/4, (Mutui e Anticipi)
Corso di Ingegneria Finanziaria: Lezione 8/14, parte 2/4, (Mutui e Anticipi)
Oltre agli argomenti fin qui trattati, la lezione approfondisce il concetto di mutuo vitalizio e le sue caratteristiche essenziali. Un mutuo di rendita è un tipo di mutuo in cui la nozione residua diminuisce gradualmente nel tempo a causa di rimborsi regolari. Le rate mensili dei mutui di rendita sono costituite da due componenti: rate di interessi e piani di ammortamento contrattuali indicati con "q." Questi rimborsi sono strutturati in modo tale che il nozionale in essere venga ridotto ad ogni pagamento fino a quando il pagamento finale copre il saldo rimanente.
Il docente spiega che i mutui vitalizi hanno rate fisse per tutta la durata del contratto, garantendo un equilibrio tra il tasso di interesse e le quote capitale. Questo saldo si traduce in una somma costante in ogni data di pagamento. Al diminuire del nozionale in essere, sia i rimborsi che i pagamenti dei tassi di interesse seguono andamenti opposti. L'interesse capitalizzato sul nozionale residuo diminuisce nel tempo. Per calcolare l'importo corretto della rata, i flussi di cassa futuri attualizzati del mutuo devono essere pari al valore del nozionale residuo. Eventuali pagamenti anticipati effettuati dovrebbero adeguare di conseguenza l'importo del pagamento costante.
La lezione approfondisce il calcolo dei pagamenti costanti o rendite. Il valore di una rendita è determinato sommando tutti i flussi di cassa futuri attualizzati. Utilizzando la formula per le somme geometriche, si può derivare un'espressione analitica per la rendita. Tuttavia, se vengono effettuati pagamenti anticipati, l'importo del pagamento costante cambierà, rendendo necessario un ricalcolo. Il docente spiega anche come calcolare i pagamenti degli interessi e del capitale, nonché come adeguare il nozionale in essere dopo aver effettuato i pagamenti anticipati.
Inoltre, il docente sottolinea la nozione di tempo e il suo impatto su mutui, rimborsi e pagamenti anticipati. Man mano che vengono effettuati rimborsi e pagamenti anticipati, il nozionale in essere di un mutuo diminuisce, portando a una corrispondente diminuzione delle rate mensili. Il tasso di rimborso anticipato può essere visto come una riformulazione del pagamento del tasso di interesse ed è incluso nella componente del tasso di interesse. Quando un mutuatario decide di rimborsare anticipatamente una rata, il programma di pagamento rimanente viene adeguato per riflettere il nozionale residuo aggiornato. I grafici vengono presentati per illustrare l'impatto dei diversi livelli di rimborso anticipato sul nozionale in costante riduzione, considerando scenari con tassi di rimborso anticipato pari allo zero percento e al 12 percento. La lezione conclude che tassi di rimborso anticipato più elevati possono ostacolare la riduzione del nozionale in essere.
La conferenza approfondisce anche la struttura dei mutui vitalizi e il loro meccanismo di rimborso. Un'ipoteca di rendita è costituita da pagamenti mensili fissi che comprendono sia il rimborso che le componenti del tasso di interesse. Questi pagamenti fissi garantiscono una struttura di rimborso equilibrata per tutta la durata del mutuo. Il docente esplora l'impatto dei pagamenti anticipati sui pagamenti mensili e spiega come l'importo del pagamento costante (c) deve essere ricalcolato quando vengono effettuati i pagamenti anticipati. Inoltre, l'importo nozionale del mutuo diminuisce gradualmente fino a quando non rimane più nozionale residuo. Entro la fine del periodo del mutuo, tutti i pagamenti raggiungono lo zero, facilitando una transizione graduale in presenza di tassi di rimborso anticipato. Il docente fornisce il codice Python per il programma di rimborso e ne spiega il significato.
Inoltre, la conferenza discute i passaggi coinvolti nel calcolo del nuovo nozionale dopo che un mutuo ha avuto luogo un rimborso o un pagamento anticipato. Questo processo è iterativo e considera il nozionale, il rimborso, i tassi di rimborso anticipato e i pagamenti dei tassi di interesse precedenti per tutta la durata del contratto. Se il pagamento anticipato dipende dal tempo o è stocastico, è necessario apportare modifiche ai calcoli. Inoltre, la conferenza evidenzia che i rimborsi anticipati riducono i costi mensili, mentre un tasso di rimborso anticipato pari a zero porta a rate costanti per tutta la durata del mutuo. Viene spiegato che se il pagamento anticipato avviene solo in una data specifica, le rate rimarranno costanti fino a quella data, dopodiché verrà ricalcolato il tutto.
Il docente passa quindi a spiegare come vengono stimati i tassi di rimborso anticipato per i mutui dal punto di vista della gestione del portafoglio. Il tasso di rimborso anticipato, rappresentato dal coefficiente lambda, è un fattore cruciale nella gestione del portafoglio in quanto influisce sulla performance e sul rischio del portafoglio. La stima del tasso di rimborso anticipato comporta la considerazione dei dati storici e l'analisi di vari fattori che influenzano la decisione di un mutuatario di rimborsare anticipatamente il proprio mutuo. Questi fattori possono includere tassi di interesse, obiettivi finanziari individuali e condizioni di mercato. La conferenza esplora l'impatto delle quantità osservabili sul mercato sul tasso di rimborso anticipato e discute i metodi per stimarlo sulla base di un portafoglio di mutui.
Successivamente, la conferenza approfondisce il concetto di incentivo al rifinanziamento e la sua relazione con i modelli di pagamento anticipato per i mutui. I mutuatari hanno maggiori probabilità di estinguere anticipatamente il loro mutuo quando osservano un tasso di interesse inferiore rispetto al tasso del loro mutuo attuale. Questo incentivo al rifinanziamento è un fattore chiave in qualsiasi modello di pagamento anticipato ed è strettamente legato ai tassi di mercato. Inoltre, il tipo di mutuo, la sua scadenza e la garanzia ad esso associata possono influire sui tassi ipotecari. Il docente sottolinea che l'attrattiva delle garanzie collaterali influenza il tasso di interesse offerto dalle banche. Altri fattori che possono influire sui tassi di rimborso anticipato includono l'età del mutuo, il mese dell'anno, le considerazioni fiscali e il burnout.
La conferenza discute i fattori che influenzano i tassi di rimborso anticipato, considerando sia la situazione del mercato che i profili dei singoli clienti. L'incentivo del tasso di interesse è identificato come il fattore più significativo che influenza i tassi di rimborso anticipato. La determinazione dell'incentivo al pagamento anticipato comporta la valutazione di quantità osservabili sul mercato. La conferenza suggerisce che il parametro di riferimento più ragionevole per la determinazione del prezzo di un mutuo è un tasso swap, che le banche utilizzano per ricavare il tasso ipotecario per i nuovi clienti. Il fattore rischio liquidità determina uno spread aggiuntivo per il tasso ipotecario. I rimborsi anticipati sono visti come un costo per le banche in quanto riducono la posizione di copertura e la determinazione del tasso ipotecario comporta la valutazione dei rischi e dei profitti associati.
L'attenzione si sposta quindi sulla funzione incentivante delle rate anticipate dei mutui. Il tasso swap dipende dagli importi del rimborso anticipato, che sono direttamente correlati al tasso ipotecario iniziale di un mutuo a tasso fisso e al tasso associato al rifinanziamento. Il coefficiente di rischio di liquidità e il margine di profitto della banca contribuiscono ulteriormente alla determinazione del nuovo tasso ipotecario. Tuttavia, la conferenza riconosce che le persone non sempre si comportano in modo logico o razionale quando decidono di estinguere anticipatamente il mutuo. Ad esempio, le persone possono scegliere di pagare in anticipo quando non è necessariamente ottimale, ad esempio quando ottengono denaro extra. La funzione di incentivazione è definita come la differenza tra il tasso ipotecario attuale e il nuovo tasso ipotecario e viene utilizzata per valutare se ha senso rifinanziare o estinguere anticipatamente un mutuo.
L'istruttore sottolinea l'importanza di comprendere la forma della funzione di incentivo in diverse circostanze di mercato. Il grafico che rappresenta la funzione di incentivo presenta punti di interruzione e una forma sigmoidale, che riflette sia la funzione di incentivo che il comportamento non razionale dei mutuatari. La conferenza sottolinea l'importanza di considerare i piccoli dettagli quando si implementano le funzioni di incentivazione, poiché anche variazioni minime possono avere un impatto cruciale.
La conferenza si conclude con il relatore che discute il concetto di estinzione anticipata sui mutui. Man mano che il tasso swap diminuisce o raggiunge lo zero, l'incentivo al pagamento anticipato diminuisce. Nei casi in cui i tassi swap diventino negativi, l'incentivo può raggiungere il suo livello massimo. Viene ulteriormente esplorata la forma del grafico della funzione di incentivazione, con particolare attenzione alla differenza tra il vecchio tasso ipotecario ei valori swap. Si sottolinea che sebbene la forma sia generalmente decrescente, è fondamentale prestare attenzione ai piccoli dettagli nell'implementazione delle funzioni incentivanti.
La conferenza fornisce una comprensione completa dei mutui di rendita, dei loro meccanismi di rimborso, del calcolo dei pagamenti costanti, dell'impatto dei pagamenti anticipati, della stima dei tassi di rimborso anticipato, degli incentivi di rifinanziamento e dei fattori che influenzano il comportamento di pagamento anticipato. Considerando questi aspetti, gli individui possono prendere decisioni informate in merito ai propri mutui e comprendere le dinamiche del mercato dei mutui.
Corso di Ingegneria Finanziaria: Lezione 8/14, parte 3/4, (Mutui e Anticipi)
Corso di Ingegneria Finanziaria: Lezione 8/14, parte 3/4, (Mutui e Anticipi)
Nella conferenza di oggi, miriamo a stabilire una forte connessione tra incentivi al rifinanziamento, rimborsi anticipati e vari tipi di mutui. Iniziamo esaminando il concetto di tasso di pagamento costante e la sua relazione con i mutui come swap ammortizzanti senza incertezza. Basandoci su questa base, introduciamo il concetto di index amortizing swap, che incorpora la disponibilità dei clienti a pagare anticipatamente o rifinanziare in base alle condizioni di mercato. Questo ci porta ulteriormente a collegare gli incentivi al rifinanziamento e il tasso swap di riferimento nel prezzo dei derivati, specificamente applicato a un portafoglio di mutui che si ammortizza nel tempo.
Per comprendere meglio le dinamiche coinvolte, esploriamo le funzioni deterministiche e stocastiche dei piani di ammortamento. Mentre una funzione deterministica è sufficiente nei casi più semplici, lo scenario più avanzato introduce la stocasticità, guidata principalmente dal tasso di swap. Questa stocasticità cattura il comportamento irrazionale dei clienti, che è importante considerare quando si osservano i tassi di mercato e li si incorpora nel prezzo di uno swap ammortizzante. Tuttavia, la determinazione del prezzo di una nozione stocastica pone delle sfide e un approccio standard potrebbe non essere sufficiente, richiedendo il coinvolgimento di controparti avanzate per creare tali derivati.
Approfondiamo l'impatto dei fattori stocastici, come il tasso swap e la volatilità, sul prezzo dei mutui e sul rischio di rimborso anticipato. L'utilizzo del lemma di Ito diventa essenziale per accertare se le quantità osservate aderiscono alle proprietà della martingala, in particolare quando il fattore osservato è una funzione del Libor. È interessante notare che il rischio di rimborso anticipato esiste solo nei mutui a tasso fisso, poiché i mutui a tasso variabile non hanno l'incentivo per il rimborso anticipato. Comprendendo i principi alla base degli index amortizing swap, possiamo gestire efficacemente il rischio di rimborso anticipato e ridurre il rischio di tasso di interesse.
Espandendo le nostre conoscenze, introduciamo il concetto di index amortizing swap, uno swap su tassi di interesse over-the-counter che combina uno swap semplice con un assorbimento parziale. Tipicamente progettato per investitori sofisticati a causa dei suoi grandi nozionali, questo derivato esotico non è comunemente incluso nelle valutazioni XVA. Tuttavia, esplorare il prezzo dei mutui e la loro connessione con il comportamento di rimborso anticipato, gli incentivi al rifinanziamento e le osservazioni di mercato ha un valore significativo. Gli schemi di ammortamento deterministico fungono da strumenti comunemente scambiati, facilitando la loro elaborazione e integrazione nel quadro di uno swap di ammortamento dell'indice, che intrinsecamente comporta l'opzionalità incorporata.
Il nostro focus si sposta ora sulla modellazione del nozionale di un index amortizing swap, che incapsula la possibilità di ammortamento stocastico attraverso una complessa funzione legata al tipo di mutuo. Il tasso di rimborso anticipato, a sua volta, diventa una funzione dipendente dal tasso swap, mentre l'incentivo al rifinanziamento si basa su stime storiche derivate da vari fattori come l'età, il reddito, la ricchezza e le tasse. La stima dei coefficienti coinvolti in questi modelli di rimborso anticipato richiede dati storici e un'analisi dettagliata. Poiché il portafoglio di clienti di ciascuna banca è diverso, la determinazione di questi coefficienti diventa uno studio approfondito unico per ciascuna istituzione.
Nella conferenza, il relatore discute anche la stima dei coefficienti utilizzati nei modelli di estinzione anticipata dei mutui, sottolineando che non sono guidati dal mercato ma basati esclusivamente su stime di comportamento storico. Inoltre, viene definito il concetto di index amortizing swap, evidenziando il suo utilizzo di incentivi al rifinanziamento e tassi di rimborso anticipato, determinati sulla base di dati storici, per stabilire i valori nozionali dei mutui. Valutando queste aspettative è possibile accertare il valore complessivo di un portafoglio mutui e apportare i necessari aggiustamenti in base alle condizioni di mercato.
L'istruttore approfondisce ulteriormente le complessità coinvolte nella scomposizione dei nozionali, spiegando che non possono essere ulteriormente suddivisi in quanto dipendono dal tasso swap, che, a sua volta, non è indipendente dal tasso swap Libor. Sebbene sia possibile presumere l'indipendenza, non è consigliabile senza un attento studio dell'impatto della correlazione. Invece, è consigliabile utilizzare la simulazione Monte Carlo. L'intero processo comporta diversi passaggi, tra cui la determinazione del prezzo di un tasso swap, la stima della funzione di rifinanziamento, la costruzione di una funzione basata sul tipo di mutuo e l'adeguamento dei nozionali. Il prossimo blocco della conferenza si concentrerà sulla simulazione del nodo nord, che fornisce approfondimenti su come si comportano i nozionali nel tempo in base al tipo di mutuo. È fondamentale affrontare questo processo con meticolosa attenzione ai dettagli e un'attenta considerazione di ogni fase coinvolta.
In sintesi, la conferenza di oggi ha sottolineato l'interazione tra incentivi al rifinanziamento, rimborsi anticipati e diversi tipi di mutui. Abbiamo esplorato il concetto di swap ammortizzati, sia con che senza incertezza, e introdotto l'indice ammortizzante swap, che incorpora un comportamento di rimborso anticipato orientato al mercato. Collegando gli incentivi al rifinanziamento, i tassi swap di riferimento e il prezzo dei derivati, possiamo gestire efficacemente l'ammortamento di un portafoglio ipotecario nel tempo.
Fattori stocastici come il tasso swap e la volatilità svolgono un ruolo significativo nella determinazione del prezzo e nella valutazione del rischio di rimborso anticipato. L'uso del lemma di Ito diventa essenziale per valutare accuratamente le proprietà martingala delle grandezze osservate. È inoltre importante distinguere tra ipoteche a tasso fisso e variabile quando si considera il rischio di rimborso anticipato.
Abbiamo approfondito le complessità dell'index amortizing swap, un derivato esotico che combina un semplice swap vanilla con un assorbimento parziale. Anche se in genere progettato per investitori sofisticati, offre preziose informazioni sui prezzi dei mutui, sul comportamento dei pagamenti anticipati e sulle osservazioni di mercato. Gli schemi di ammortamento deterministico si allineano bene con questo tipo di swap, semplificandone l'elaborazione e incorporando l'opzionalità incorporata.
La lezione ha posto l'accento sulla modellazione del nozionale di un index amortizing swap, considerando l'ammortamento stocastico e la complessa funzione legata alla tipologia di mutuo. La stima dei coefficienti per i modelli di rimborso anticipato richiede dati storici e analisi dettagliate, che variano tra le banche in base ai loro portafogli clienti unici.
Inoltre, abbiamo discusso le sfide associate alla decomposizione dei nozionali e l'importanza di comprendere la correlazione tra tassi swap e tassi Libor. L'utilizzo della simulazione Monte Carlo è consigliato per la determinazione del prezzo dei derivati con nozioni stocastiche, offrendo un approccio completo per gestire la complessità del processo.
Questa conferenza ha fatto luce sulla connessione tra incentivi al rifinanziamento, pagamenti anticipati e vari tipi di mutuo. Incorporando osservazioni di mercato, dati storici e tecniche di modellazione avanzate, siamo in grado di gestire efficacemente il rischio di rimborso anticipato e navigare tra le complessità della determinazione del prezzo dei portafogli ipotecari.
Corso di Ingegneria Finanziaria: Lezione 8/14, parte 4/4, (Mutui e Anticipi)
Corso di Ingegneria Finanziaria: Lezione 8/14, parte 4/4, (Mutui e Anticipi)
Nella lezione, il prezzo dei mutui è al centro dell'attenzione e l'istruttore dimostra un esperimento Python che combina la conoscenza dei prezzi delle rendite e dei mutui, inclusi gli incentivi al rifinanziamento, per simulare la stocasticità nei valori nozionali. La conferenza copre vari aspetti come gli swap, i modelli di prezzo e i rischi associati, comprese le opzioni di pipeline, che le banche devono affrontare.
Una parte significativa della lezione si concentra sul comportamento del profilo nozionale per i mutui bullet e annuali e su come possono essere simulati. Si evidenzia che la casualità dei percorsi simulati ha una sostanziale influenza sul profilo nozionale. È dimostrato che i rimborsi anticipati hanno un impatto significativo sul valore nozionale, in particolare per i mutui bullet, mentre i mutui annuali sono relativamente meno colpiti. Il docente presenta i codici Python che vengono estesi per rendere il tasso di pagamento anticipato costante dipendente dal tempo, richiedendo input come la curva obbligazionaria zero coupon, il tasso di swap e i percorsi stocastici in ogni fase temporale.
Il relatore approfondisce il tasso di rimborso anticipato per i mutui e la sua influenza sull'eccezionale funzione nozionale e di incentivazione, che dipende da fattori di mercato come il tasso swap. Vengono presentati due profili di pagamento del mutuo, bullet e annualità, e viene spiegata la loro indicizzazione in base al tempo e al comportamento di pagamento anticipato. La conferenza introduce due funzioni di incentivazione, sigmoidee e logistica, e sottolinea che la curva dei rendimenti utilizzata per la simulazione del mercato è fissata al cinque percento. I percorsi Monte Carlo generati per le parti di tasso di interesse servono come base per valutare le funzioni di incentivazione.
L'istruttore discute ulteriormente la simulazione dei tassi swap, considerando la prospettiva del cliente e il suo mutuo in essere. Definiscono la funzione di incentivazione in base al mutuo del cliente e ripetono le fasi temporali per creare programmi teorici. La funzione di incentivo viene valutata per il profilo del mutuo in ogni fase temporale e queste informazioni vengono memorizzate in metriche, risultando in un nozionale stocastico che dipende dalla funzione di incentivo, dai tassi di interesse stocastici e dal tipo di mutuo. La conferenza include risultati tracciati, mostrando i percorsi con e senza opzioni di pagamento anticipato.
Il docente sottolinea il significato delle funzioni di incentivazione e della stocasticità nell'ambito dei mutui e dei pagamenti anticipati. Vengono mostrati vari esempi di profili nozionali, che illustrano il loro comportamento in diversi scenari, incluso il comportamento razionale e irrazionale utilizzando la funzione sigmoidea. Viene discusso l'impatto dell'aumento dell'incertezza e della volatilità, sottolineando il ruolo della funzione di incentivazione nell'esposizione al rischio e la necessità di acquistare o vendere swap o swoption che ammortizzano l'indice. Viene mostrato che il numero di passaggi nella simulazione ha un impatto sul profilo della nozione e vengono evidenziati gli aggiustamenti pratici.
Viene svolto un approfondimento sui mutui di rendita in ambito razionale, con un grafico che illustra come funzionano gli incentivi all'estinzione anticipata e come i clienti determinano l'estinzione anticipata massima. Possono esistere limitazioni come restrizioni legali o sanzioni, che influenzano le scelte del cliente. Un confronto tra mutui bullet e mutui annuali rivela che l'incertezza dipende fortemente dal programma, con una riduzione del nozionale che porta a una minore incertezza. Viene spiegata la scomposizione di un complesso portafoglio di ordini in parti lineari e non lineari, con l'ingegneria finanziaria che offre la possibilità di finanziare senza necessariamente ricorrere a index amortizing swap.
Il calcolo dei pagamenti e il valore nozionale di un mutuo sono spiegati utilizzando un caso semplificato di un mutuo a due periodi. Il valore nozionale è suddiviso in due parti: n-up e la differenza tra n-up e n-low. L'ultima parte gestisce il rimborso anticipato del mutuo ed è positiva solo se lo strike è maggiore di LK, simile all'effetto non lineare di un'opzione call. Il calcolo per il secondo pagamento comporta una somma di due pagamenti, con il primo pagamento deterministico e il secondo pagamento scontato in base ai possibili risultati di n-up e n-low.
La lezione ridefinisce l'index amortizing swap come una combinazione di uno swap deterministico amortizing e un floorlet non lineare. Il docente sottolinea che l'acquisto di un mutuo può essere visto come entrare in una posizione lunga in uno swap, con rimborsi anticipati che riducono la nozione del mutuo, che è simile a un'opzione per entrare in uno swap. La composizione di un index amortizing swap può essere ottimizzata per replicarne il profilo di rischio, e derivati esotici avanzati come questo possono essere coperti o replicati utilizzando strumenti liquidi semplificati disponibili sul mercato. La conferenza sottolinea costantemente i rischi di rimborso anticipato e il loro impatto sulla nozione di portafoglio ipotecario.
Altro argomento trattato nel video è il rischio aggiuntivo associato ai mutui europei o ai mutui olandesi, in particolare legato alla possibilità del cliente di scegliere il tasso fisso del mutuo. La conferenza evidenzia due date critiche: t0, il giorno della quotazione, e t1, l'ora in cui il cliente firma un contratto con la banca. Il rischio per la banca è che il cliente scelga il tasso più basso, con conseguenti perdite sostanziali. Questo rischio è indicato come rischio pipeline ed è fondamentale gestirlo in modo efficace per proteggere i profitti della banca.
La discussione ruota attorno alla determinazione del prezzo del rischio di pipeline per mutui e rimborsi anticipati. La copertura del rischio della pipeline pone delle sfide in quanto richiede l'uso di swaption, che richiedono un ricalcolo continuo dei valori e dei profili associati. Questo processo non si verifica una sola volta per un singolo cliente; si applica a ogni singolo cliente. Inoltre, i rischi vengono accumulati in un portafoglio, rendendo necessario raggruppare i mutui in un portafoglio più ampio che deve essere invecchiato. La conferenza si conclude concentrandosi sulla determinazione del prezzo del rischio di pipeline, incorporando la possibilità per i clienti di scegliere il tasso alla data di quotazione o alla data di regolamento, a seconda di quale tasso è inferiore.
Il docente spiega la scomposizione dell'index amortizing swap in un prodotto lineare e la restante parte swaption. Questa strategia di decomposizione è comune in finanza quando si tratta di strutture che implicano l'opzionalità. Per gestire il rischio associato, la formula di Black viene introdotta come approccio diretto, richiedendo solo volatilità per la swaption di tali configurazioni. La conferenza sottolinea l'importanza di considerare il comportamento e gli incentivi del cliente, insieme ai prezzi nel mondo neutrale al rischio quando si lavora con i mutui.
Inoltre, il relatore confronta mutui bullet e mutui vitalizi, sottolineando che i mutui vitalizi prevedono rimborsi regolari nel tempo invece di un pagamento forfettario alla fine del contratto. La conferenza esplora i fattori che portano ai pagamenti anticipati dei clienti, come gli incentivi al rifinanziamento, e presenta esperimenti numerici sulla simulazione nozionale basata sulle funzioni di mercato e di incentivazione dei mutui. La discussione copre anche i rischi associati alla transizione da uno swap con ammortamento dell'indice al pagamento anticipato stocastico e alle opzioni.
Verso la fine del corso sono previste esercitazioni per simulare nozionali e prezzi contratti di mutuo. L'attenzione si sposta sul concetto di convessità e sul suo impatto sulle aspettative in ambito finanziario. Gli studenti hanno il compito di determinare il lato di una funzione che produce uguaglianza rispetto a una biblioteca con una misura di pagamento martingala, utilizzando metodi analitici o numerici. La conferenza introduce il concetto di raccolta di convessità ed esplora i suoi effetti sulle aspettative. Gli studenti sono inoltre incoraggiati a modificare il codice per garantire che i pagamenti anticipati avvengano solo poche volte durante la durata del contratto di mutuo, sviluppando ulteriormente le loro capacità di programmazione in Python.
Nel complesso, la conferenza fornisce una comprensione completa dei prezzi dei mutui, coprendo varie complessità come i rischi di rimborso anticipato, le funzioni di incentivazione, la stocasticità, il rischio di pipeline e la scomposizione degli index amortizing swap. Fornisce agli studenti le conoscenze e le abilità pratiche necessarie per analizzare e simulare portafogli ipotecari tenendo conto dei fattori di mercato e del comportamento dei clienti.
Corso di Ingegneria Finanziaria: Lezione 9/14, parte 1/2, (Modelli ibridi e tassi di interesse stocastici)
Corso di Ingegneria Finanziaria: Lezione 9/14, parte 1/2, (Modelli ibridi e tassi di interesse stocastici)
Nella conferenza, l'attenzione è rivolta ai modelli ibridi e al loro significato all'interno dei portafogli delle istituzioni finanziarie. Questi modelli vengono utilizzati per simulare scenari futuri per varie classi di attività, inclusi swap su tassi di interesse, contratti di cambio e azioni. Il docente inizia discutendo l'importanza di utilizzare modelli ibridi per i calcoli xVA (aggiustamenti di valutazione) e VaR (valore a rischio). Introducono il modello ibrido Black-Scholes, che stabilisce una connessione tra azioni e tassi di interesse e può essere facilmente esteso ai prezzi forex. Questo modello funge da base per ulteriori discussioni sui modelli di volatilità stocastica.
La lezione è divisa in blocchi, con il secondo blocco incentrato sui modelli di volatilità stocastica. Viene discusso il modello Heston-Hull-White, che prevede l'incorporazione della volatilità stocastica nel quadro del modello ibrido. Il docente fornisce una panoramica delle dinamiche del modello e ne evidenzia l'applicazione nella simulazione dei potenziali valori futuri dei portafogli. L'obiettivo è valutare i rischi e valutare il valore dei portafogli che comprendono più classi di attività, come tassi di interesse, azioni, cambi, materie prime, credito e inflazione. Il relatore sottolinea la correlazione tra diverse asset class e la necessità di tenere conto delle loro interdipendenze.
La lezione sottolinea anche la calibrazione delle equazioni differenziali stocastiche multidimensionali (SDE) alle quotazioni di mercato, in particolare per la simulazione di processi correlati da diverse classi di attività. I modelli ibridi sono particolarmente utili per i payoff ibridi e inizialmente erano popolari per la determinazione del prezzo di derivati esotici. Tuttavia, a causa di considerazioni sui costi e restrizioni normative, hanno trovato maggiore efficienza nel framework xVA e hVAR (valore ibrido a rischio). Il concetto di effetto di compensazione, che considera i valori di compensazione delle diverse classi di attività a causa delle loro correlazioni, è evidenziato come un fattore importante nella valutazione del portafoglio e nel calcolo dell'esposizione.
Sebbene i modelli ibridi offrano vantaggi nella valutazione delle opzioni call e delle potenziali esposizioni future, la conferenza riconosce le sfide associate a questi modelli. L'istruttore suggerisce di mantenere i modelli il più semplici possibile per facilitare valutazioni rapide, poiché la velocità è fondamentale nella determinazione del prezzo dei prodotti derivati. La calibrazione ai dati di mercato e la considerazione delle correlazioni tra diverse equazioni differenziali stocastiche sono essenziali. Alcune approssimazioni possono essere necessarie quando si ha a che fare con correlazioni diverse da zero. La conferenza suggerisce simulazioni Monte Carlo o equazioni alle derivate parziali (PDE) come metodi per valutare i modelli ibridi.
I limiti dell'utilizzo delle PDE per la valutazione di portafogli con attività di classi diverse sono discussi a causa dell'elevata dimensionalità coinvolta. La conferenza sostiene l'uso delle simulazioni Monte Carlo, che forniscono un approccio più pratico. La valutazione e la calibrazione efficienti sono evidenziate come cruciali per la valutazione del portafoglio, poiché in genere sono necessarie migliaia di valutazioni. Il docente menziona l'estensione del modello Black-Scholes con Hull-White per i tassi di interesse, sottolineando il ruolo della stocasticità e della dipendenza dal tempo nei modelli ibridi. Le restanti meccaniche del modello rimangono simili al modello standard di Black-Scholes.
Il docente approfondisce anche il concetto di cambiamento della misura da neutrale al rischio alla misura T forward per sfruttare i vantaggi dei modelli ibridi nell'affrontare l'attualizzazione stocastica. Discutono il calcolo delle aspettative per i tipi di payoff europei basati sul tempo e sulle variabili sottostanti, utilizzando forme integrali e le derivate di Radon-Nikodym dalle trasformazioni delle misure. Vengono spiegate le dinamiche delle scorte e delle scorte scontate, sottolineando la necessità che siano processi martingala. Viene introdotto il concetto di prezzo delle azioni a termine per semplificare il processo.
Vengono fornite ulteriori spiegazioni sulla derivazione dell'equazione differenziale stocastica del prezzo delle azioni a termine (SDE) e sull'importanza di eseguire trasformazioni logaritmiche per renderla lineare nelle variabili di stato. Il docente applica il lemma di Ito al prezzo azionario a termine SDE e affronta la trasformazione della misura richiesta per il processo. L'SDE senza deriva risultante presenta due movimenti browniani separati, corrispondenti alle azioni e ai tassi di interesse, con correlazione tra di loro. La fattorizzazione dei due moti browniani è discussa in termini delle loro proprietà distributive.
La dinamica del forward stock viene esplorata nella lezione utilizzando un modello ibrido con due equazioni differenziali stocastiche. Si sottolinea che la volatilità del titolo a termine non è più costante ma influenzata dalla volatilità dei tassi di interesse. Il relatore discute il calcolo delle volatilità implicite nel contesto dei tassi di interesse stocastici. Suggeriscono di utilizzare i prezzi per determinare le volatilità implicite e sottolineano l'importanza di passare da misure neutrali al rischio a misure T-forward per escludere l'attualizzazione stocastica dai guadagni. Questa sezione sottolinea le complessità legate al lavoro con i tassi di interesse stocastici nell'ingegneria finanziaria.
La conferenza introduce un modello di tasso di interesse stocastico con un processo unidimensionale e una funzione di volatilità dipendente dal tempo che ricorda l'equazione di Black-Scholes senza tassi di interesse. La componente di attualizzazione è fattorizzata al di fuori dell'aspettativa e il processo di determinazione del prezzo per le opzioni europee coinvolge solo il valore costante dell'integrale della funzione dipendente dal tempo. Il relatore presenta anche il metodo del costo per la determinazione del prezzo, sfruttando l'affinità del modello Black-Scholes, e fornisce approfondimenti su come viene gestita l'attualizzazione stocastica all'interno di questo approccio.
Nel segmento successivo, l'oratore discute il processo di integrazione richiesto per ottenere l'espressione per la costante "c" e la sua rilevanza nella determinazione del prezzo con un tasso di interesse stocastico. Spiegano che il modello di Black-Scholes con un tasso di interesse stocastico può rappresentare i prezzi delle opzioni europee come un'equazione di Black-Scholes modificata con volatilità corretta. Tuttavia, si noti che anche con un'equazione differenziale stocastica bidimensionale per il tasso di interesse, non vi è alcun impatto sulla volatilità implicita per le stock option. L'inclusione dei tassi di interesse si traduce solo in una volatilità dipendente dal tempo per le azioni, senza ulteriore stocasticità, portando a una volatilità piatta tra diversi prezzi di esercizio. Il relatore conduce un esperimento per illustrare l'influenza di diversi parametri sulla struttura a termine della volatilità implicita.
La lezione approfondisce ulteriormente l'utilizzo dei valori forward nella calibrazione della volatilità implicita del prezzo dell'opzione utilizzando dati reali. Viene discusso l'impatto della velocità di mean reversion (lambda) sulla struttura a termine della volatilità implicita delle azioni, insieme alla volatilità dei tassi di interesse. Il relatore sottolinea che la fissazione di uno di questi parametri può comportare una forma simile di volatilità implicite, semplificando il processo di calibrazione. Inoltre, viene affrontato l'effetto della correlazione sulle volatilità implicite, in cui la positività o la negatività della varianza complessiva di sigma_f influisce di conseguenza sulle volatilità implicite.
La conferenza sottolinea l'importanza dei modelli ibridi nei portafogli delle istituzioni finanziarie, in particolare per i calcoli xVA e VaR. Esplora le dinamiche e le complessità dei modelli di volatilità stocastica, discute la calibrazione di equazioni differenziali stocastiche multidimensionali ed evidenzia le correlazioni tra diverse classi di attività. La lezione copre anche l'applicazione delle trasformazioni di misure, la derivazione di SDE del prezzo azionario a termine e le sfide e le considerazioni relative ai tassi di interesse stocastici. Vengono affrontati anche la calibrazione delle volatilità implicite e l'impatto di vari parametri sulla struttura a termine della volatilità implicita.
Corso di Ingegneria Finanziaria: Lezione 9/14, parte 2/2, (Modelli ibridi e tassi di interesse stocastici)
Corso di Ingegneria Finanziaria: Lezione 9/14, parte 2/2, (Modelli ibridi e tassi di interesse stocastici)
In questa conferenza, l'attenzione è rivolta ai modelli ibridi avanzati, in particolare ai modelli ibridi a volatilità stocastica come i modelli full white di Scholes-Black, Heston e Shobel-Zoo. Il docente dimostra l'impatto di diversi coefficienti di correlazione sul payoff ibrido di un paniere costituito da azioni e obbligazioni. Vengono anche discusse tecniche di simulazione efficienti per questi modelli ibridi che utilizzano la simulazione Monte Carlo.
La conferenza approfondisce il modello full white di Shobel-Zoo, che estende il modello di Black-Scholes introducendo un processo normalmente distribuito per la volatilità. Tuttavia, ha dei limiti dovuti al suo modello strutturale. Il docente discute i vincoli e le limitazioni del modello Schobel-Zhu rispetto al modello Heston. La struttura della volatilità del modello Schobel-Zhu è meno flessibile, risultando in una gamma più limitata di skew e sorrisi di volatilità implicita rispetto al modello Heston.
Un altro modello discusso è il modello Shwartz-Zhao, che introduce un processo aggiuntivo per sigma al quadrato ed estende l'insieme delle variabili di stato. Tuttavia, la risoluzione analitica della funzione caratteristica diventa computazionalmente costosa a causa del complesso insieme di equazioni di Riccati coinvolte. Il docente mostra le forme delle volatilità e delle inclinazioni implicite per diversi parametri e le confronta con il modello di Heston.
Viene esplorato l'impatto delle correlazioni sul prezzo dei payoff ibridi. Viene condotto un esperimento per valutare il valore del derivato per diverse correlazioni tra i movimenti delle azioni e dei tassi di interesse. Viene sottolineata l'importanza di calibrare le correlazioni ai dati di mercato prima di calibrare altri parametri del modello. La lezione menziona brevemente metodi di discretizzazione più avanzati per modelli ibridi che verranno discussi in seguito.
La lezione si concentra sull'estensione della flessibilità e della calibrazione del modello di Heston con tassi di interesse stocastici. L'introduzione di una dimensione aggiuntiva per i tassi di interesse crea sfide con metriche di covarianza istantanee. Le approssimazioni vengono utilizzate per trovare la funzione connettore e risolvere il problema di correlazione. Viene evidenziata l'importanza di mantenere la correlazione tra azioni e tassi di interesse per valutare la funzione caratteristica e calibrare il modello ai dati di mercato.
Vengono discussi metodi di approssimazione, come il metodo delta e l'espansione in serie di Taylor, per semplificare la valutazione della varianza e delle funzioni caratteristiche. Il docente fornisce formule e tecniche per approssimare le varianze e discute i limiti di queste approssimazioni.
Vengono spiegate la funzione dipendente dal tempo della volatilità delle azioni e la mappatura della funzione nel tempo, insieme al metodo di simulazione della discretizzazione di Eulero. Il docente afferma che in seguito confronteranno le stime della simulazione con la forza bruta Monte Carlo e la trasformazione di Fourier. Viene inoltre trattata la fase iterativa del metodo di discretizzazione di Eulero per l'approssimazione dell'integrale.
La conferenza affronta la questione della raggiungibilità zero dai percorsi di volatilità nel modello CIR e fornisce correzioni per la discretizzazione di Eulero. Viene sottolineata l'importanza di mantenere le varianze dei modelli ibridi il più indipendenti possibile per ottenere migliori risultati di simulazione. Viene discusso il processo per x(t), inclusa la sua matrice di correlazione e la decomposizione di Cholesky, evidenziando la necessità di mantenere l'indipendenza dalla varianza.
Vengono discusse le sfide nel trattare con matrici definite non positive nell'ingegneria finanziaria e viene sottolineata l'importanza di aggiustare le correlazioni per soddisfare la condizione per i termini positivi sotto la radice quadrata. La conferenza copre anche la forma generica di discretizzazione e passaggi importanti per modellare i tassi di interesse stocastici.
Il docente introduce il trucco e la rappresentazione per una simulazione quasi esatta del modello di Heston, applicabile anche al modello di Heston-Hull-White. Viene spiegata la semplificazione ottenuta attraverso casi speciali per il processo di varianza e la valutazione degli integrali utilizzando la discretizzazione di Eulero e le distribuzioni chi-quadrato non centrali. Viene discusso il concetto di simulazione quasi esatta, sottolineando l'importanza del processo di varianza nel determinare l'accuratezza. Il docente evidenzia la necessità di utilizzare un intero vettore di campioni per v life e stabilisce l'ordine di simulazione come primo campionamento del processo di varianza, seguito dal tasso breve.
Il docente fornisce una panoramica di una simulazione eseguita sul modello Heston for White e la confronta con altri metodi. Vengono confrontati la discretizzazione di Eulero, la simulazione quasi esatta e il metodo COS (Characteristic Function-Based Option Pricing Method). I risultati dimostrano che tutti i metodi danno buoni risultati. Il docente condivide il codice per la simulazione, inclusa la configurazione per il modello Heston for White e la discretizzazione tridimensionale del modello ibrido utilizzando il metodo di Eulero. Vengono apportate rettifiche per garantire che le realizzazioni per la varianza siano limitate e ridotte da zero. Viene anche discusso il metodo COS per il modello Heston for White e viene derivata e codificata l'approssimazione per la funzione caratteristica.
L'attenzione si sposta sul confronto di diversi metodi per modelli ibridi e tassi di interesse stocastici. I risultati della simulazione Monte Carlo mostrano una buona precisione con 10.000 campioni, ma si consiglia un numero maggiore di percorsi Monte Carlo per una maggiore precisione. Sono coperti vari modelli ibridi come i modelli Black-Scholes, Heston e Schulz-Zucchi. La conferenza tocca anche l'applicazione di modelli ibridi nella determinazione del prezzo di diverse classi di attività all'interno di una singola valutazione e il loro utilizzo nei calcoli xVA. Agli studenti vengono assegnati due esercizi, uno su modelli avanzati come Heston CIR e l'altro sullo sviluppo di una simulazione Monte Carlo.
Nella parte finale della lezione, il relatore discute lo sviluppo di una simulazione Monte Carlo utilizzando un modello bianco per tassi di interesse stocastici. Si suggerisce di derivare le corrispondenti equazioni differenziali ordinarie per ottenere simulazioni Monte Carlo più veloci che consentano passaggi più ampi. Questo approccio sarà confrontato con il metodo di discretizzazione di Eulero. Il relatore conclude la lezione ed esprime anticipazione per la presenza degli studenti nella sessione successiva.
Questa lezione copre vari modelli ibridi avanzati, i loro limiti, le tecniche di calibrazione, l'impatto delle correlazioni sui prezzi, i metodi di approssimazione, le tecniche di simulazione e i confronti tra diversi metodi. L'obiettivo è comprendere le complessità di questi modelli e le loro applicazioni pratiche nell'ingegneria finanziaria.
e un tentativo di estendere il modello utilizzando una nuova variabile non ha successo. Invece, l'approccio consiste nell'utilizzare approssimazioni per trovare la funzione connettore C per risolvere il problema della correlazione tra azioni e tassi di interesse. Storicamente, la correlazione tra i tassi di interesse a breve termine e il mercato azionario non è forte, ma varia a seconda delle circostanze economiche e del mercato in generale.
Corso di Ingegneria Finanziaria: Lezione 10/14, parte 1/3, (Foreign Exchange (FX) and Inflation)
Corso di Ingegneria Finanziaria: Lezione 10/14, parte 1/3, (Foreign Exchange (FX) and Inflation)
L'istruttore approfondisce il regno dell'ingegneria finanziaria, concentrandosi su due classi di attività cruciali: cambio e inflazione. Fornisce una comprensione completa del processo di modellazione per ciascuna classe di attività e dimostra come le opzioni possono essere prezzate di conseguenza. Inoltre, l'istruttore approfondisce l'inclusione della volatilità stocastica e dei tassi di interesse stocastici nella valutazione di questi asset.
La conferenza inizia esplorando la storia dei cambi, evidenziando la sua significativa crescita negli ultimi anni attribuita alla globalizzazione. L'istruttore discute l'impatto del gold standard, che limitava la proprietà privata della valuta, e come il sistema di Bretton Woods ha stabilito l'attuale quadro di più valute sostenute dall'oro. La lezione si conclude con l'assegnazione di compiti a casa per rafforzare il materiale trattato.
Inoltre, il video approfondisce l'aspetto storico delle valute e il ruolo dell'oro al loro interno. In particolare, delinea la transizione avvenuta nel 1971, quando gli Stati Uniti cessarono di utilizzare l'oro come standard per determinare il valore della propria valuta. Questo cambiamento fondamentale ha portato all'attuale sistema mondiale in cui le valute vengono scambiate in base alla loro forza relativa piuttosto che essere sostenute dall'oro.
La valutazione del rischio è un altro argomento significativo affrontato nel video. Esplora i vari rischi che gli investitori possono incontrare quando si occupano di obbligazioni, cambi e inflazione. La conferenza chiarisce le intricate relazioni e le complessità associate a questi fattori di rischio. Anche la determinazione dei tassi di cambio attraverso le dinamiche della domanda e dell'offerta è ampiamente discussa. Il video sottolinea come le banche centrali manipolano questi tassi attraverso l'utilizzo delle riserve. Inoltre, dissipa l'idea che l'oro sia un investimento e chiarisce che possedere oro non è una necessità per gli investitori.
I concetti di ingegneria finanziaria sono sotto i riflettori, con il video che mostra la replica di un contratto FX a termine. Viene fornito un esempio per illustrare l'avvio di un contratto FX a termine e come viene determinato il tasso di cambio tra le valute originali e la nuova valuta. Viene inoltre esaminata l'applicazione dell'ingegneria finanziaria nella determinazione del prezzo dei contratti di cambio a termine. Il video mostra il calcolo del tasso forward, che si ottiene moltiplicando il tasso spot per il tasso effetto.
La conferenza approfondisce ulteriormente il concetto di ingegneria finanziaria, esplorando la sua applicazione nella determinazione del prezzo di attività e passività. Viene dimostrata l'equivalenza di due approcci di determinazione del prezzo, consentendo il calcolo di un tasso a termine utilizzando questi approcci.
La gestione dell'esposizione alle valute estere e all'inflazione attraverso i derivati è un aspetto significativo dell'ingegneria finanziaria. La conferenza mette in evidenza la determinazione di un tasso a termine, che dipende dal tasso di cambio al quale un paese scambierà la sua valuta con un altro. Inoltre, lo spread di base si adatta alla differenza tra domanda e offerta di varie valute.
Vengono spiegate le complessità del cambio estero (FX) e dell'inflazione, con la conferenza che sottolinea che si applicano regole diverse a seconda del tipo specifico di contratto di scambio FX che viene eseguito.
La valutazione di un contratto in valuta estera tenendo conto degli effetti dei tassi di cambio e dell'attualizzazione è discussa in modo approfondito. L'istruttore dimostra il processo di calcolo, incluso l'utilizzo di un contratto FX a termine per lo stesso scopo.
Infine, la conferenza esplora l'impatto del cambio (FX) e dell'inflazione sugli swap. Approfondisce il calcolo del valore dello swap in valute nazionali ed estere tenendo conto delle fluttuazioni dei tassi di cambio.
Corso di Ingegneria Finanziaria: Lezione 10/14, parte 2/3, (Foreign Exchange (FX) and Inflation)
Corso di Ingegneria Finanziaria: Lezione 10/14, parte 2/3, (Foreign Exchange (FX) and Inflation)
L'obiettivo dell'istruttore è sulle opzioni di prezzo relative al cambio o alle opzioni off, utilizzando il framework Black-Scholes come punto di partenza. La conferenza copre ampiamente la derivazione di equazioni differenziali per misure domestiche neutrali al rischio e il loro impatto sulla dinamica delle equazioni differenziali stocastiche. Per illustrare questi concetti, vengono condotti esperimenti Python, confrontando il modello del corridoio occidentale in due valute utilizzando sia la simulazione Monte Carlo che la trasformazione di Fourier con il metodo COS. La sezione approfondisce anche le dinamiche del processo di cambio e l'istituzione di martingale come quantità di mercato e il loro valore corrispondente.
Andando avanti, la conferenza affronta le dinamiche del cambio estero (FX) e dell'inflazione. Inizia definendo un processo di effetti generici e poi si concentra sulla determinazione del prezzo, passando alla misura domestica neutrale al rischio per FX. La lezione spiega l'utilizzo della funzione alta per gestire i conti di risparmio in denaro estero, che vengono successivamente convertiti in importi nazionali e scontati utilizzando il conto di risparmio in denaro nazionale. Applicando il lemma di Ethos e semplificando l'equazione, la conferenza conclude che le dinamiche di FX e inflazione non rappresentano un rendimento marcato sotto questa misura. Tuttavia, vengono fornite preziose informazioni che possono essere applicate in modo efficace.
Un argomento significativo trattato dal relatore è il processo di trasformazione della misura da E a Q, creando un nuovo processo utilizzato per la valutazione del prezzo delle opzioni. Il processo derivato rappresenta il processo FX sotto la misura neutrale al rischio delle informazioni sul rischio domestico, assicurando che quando i conti di risparmio in denaro estero vengono scambiati con valuta locale, la quantità sia contrassegnata. Ciò consente la determinazione del prezzo delle opzioni europee utilizzando le equazioni di Black-Scholes, con le uniche differenze che sono l'attualizzazione delle opzioni sotto la misura neutrale al rischio e l'inclusione del termine di deriva rd-rf. Il modello di mercato FX è un'estensione di un modello log-normale standard e le opzioni europee possono essere prezzate utilizzando la stessa metodologia di modifica delle misure e identificazione delle martingale.
Espandendosi sul mercato dei cambi, la conferenza si concentra sull'aumento del modello Black-Scholes con volatilità stocastica e tassi di interesse stocastici. Mentre le lezioni precedenti hanno discusso i tassi di interesse deterministici, l'introduzione della stocasticità diventa essenziale per i calcoli XVA e le simulazioni VAR. Inoltre, viene sottolineata la correlazione tra diversi fattori stocastici, evidenziando le potenziali insidie di affidarsi esclusivamente a tassi di interesse deterministici. La complessità del mercato dei cambi deriva dalla sua natura non negoziabile e dalla necessità di scambiare attività su diverse colonne per far rispettare le condizioni della martingala. Inoltre, il mondo degli effetti introduce un ulteriore termine nelle equazioni differenziali stocastiche che richiede un'attenta analisi e calibrazione al mercato.
Il relatore approfondisce la calibrazione di varie classi di attività, comprese le azioni di piccole società e prodotti sui tassi di interesse, una delle più grandi classi di attività a livello globale. Si noti che il tentativo di calibrare tutti i parametri contemporaneamente può essere impegnativo, portando alla raccomandazione di calibrare i singoli parametri e incorporarli nelle dinamiche del titolo. La conferenza esplora anche la valutazione delle opzioni europee attraverso la trasformazione di Fourier, discutendo le approssimazioni utilizzate. Inoltre, viene affrontata l'importanza di definire misure per i tassi di interesse nel mercato estero e trasformarle nella misura neutrale al rischio nei mercati domestici.
Vengono discussi modelli affini per obbligazioni zero coupon e conti di risparmio binari, con particolare attenzione alle loro dinamiche e alla calibrazione di opzioni, limiti e tablet. Viene proposto l'uso di equazioni differenziali stocastiche per derivare modelli per gli effetti e sfruttare parametri calibrati per ogni singolo processo. La conferenza approfondisce le complessità della determinazione del prezzo dei derivati con intricati termini di deriva, sottolineando l'accurata gestione di questo termine aggiuntivo. Il driver principale del prezzo delle opzioni è la volatilità corrispondente al processo FX, con rendimenti di ordine superiore che influenzano la volatilità dei tassi di interesse.
L'importanza della volatilità nel cambio estero è sottolineata dall'oratore, in particolare a causa della natura non lineare del processo, inclusa la presenza della radice quadrata di un termine. Vengono discusse le sfide associate alla gestione della deriva e la necessità di impiegare un tasso di interesse stocastico. Vengono spiegate due equazioni differenziali stocastiche corrispondenti allo zero coupon estero e alla coppia con misure domestiche, sottolineando il requisito per loro di essere martingale in condizioni specifiche. Viene evidenziata l'importanza della correlazione tra mercati esteri e FX, sottolineando che non può essere assunta pari a zero. Infine, il relatore deriva l'equazione dei prezzi per le opzioni europee per FX, incorporando tutti i concetti discussi.
Il professore introduce il payoff di un'opzione call europea con un valore massimo di yt meno k, che prevede un processo di attualizzazione con il conto di risparmio domestico. Per affrontare i tassi di interesse stocastici, il primo passo è passare da una misura di flusso alla misura t-forward associata al capitale di scadenza dell'obbligazione t. Poiché le dinamiche di FX non mostrano alcuna deriva, il professore deve solo incorporare le volatilità nel diametro. Applicando il lemma di Ethos a questa quantità, il professore include tre diversi elementi nella dinamica, incluse le componenti zero precedentemente discusse e la dinamica di yt nel processo FX.
Andando avanti, il relatore approfondisce le dinamiche dei processi FX forward e varianza nel modello a tasso breve, dove il parametro di volatilità rimane costante. Tuttavia, il contributo alla volatilità del FX è dipendente dal tempo e non costante, determinando una riduzione della dimensionalità da quattro a due. Il relatore menziona anche l'ulteriore correzione quantistica che si verifica quando si passa da misure neutrali al rischio a misure t-forward domestiche, che pone sfide quando si utilizzano piccoli passi temporali. La sezione si conclude con una discussione sugli esperimenti numerici e sulle approssimazioni impiegate per la funzione caratteristica.
Il relatore sottolinea l'importanza di selezionare attentamente i parametri del modello poiché incidono in modo significativo sulle decisioni di prezzo e copertura. Viene discusso il modello Heston e viene definita la funzione caratteristica, che consente la determinazione del prezzo e il calcolo delle volatilità dell'impatto FX. Viene effettuato un confronto tra la simulazione Monte Carlo e l'approssimazione di Fourier, coinvolgendo 20 diverse corse Monte Carlo con 1000 percorsi per corsa. I risultati dimostrano l'allineamento tra il prezzo delle opzioni Monte Carlo e l'approssimazione di Fourier, con differenze soddisfacenti per la calibrazione rispetto ai dati di mercato della volatilità implicita. Tuttavia, si noti che la qualità dei risultati può variare a seconda dei parametri del modello specificati.
Il professore procede a discutere il codice Python per il metodo COS e ne analizza l'accuratezza. Il codice comprende le specifiche per i termini di espansione 500 e incorpora diversi parametri e configurazioni del modello per i mercati nazionali ed esteri, nonché raccolte metriche complete. Il professore sottolinea l'importanza dei campioni casuali nelle simulazioni Monte Carlo e suggerisce di cambiare i semi casuali per migliorare i risultati. Viene eseguita una simulazione Monte Carlo con più esecuzioni, valutando i prezzi delle opzioni utilizzando il metodo di valutazione del payoff. Viene calcolata la media di tutte le esecuzioni, insieme all'aspettativa e alla deviazione standard, consentendo il monitoraggio degli errori derivanti dai cambiamenti nel seme casuale.
Infine, il docente sottolinea l'importanza di un'accurata selezione dei parametri del modello, poiché influenza notevolmente le decisioni di prezzo e copertura. Viene definita la funzione caratteristica per il modello Heston, che consente il prezzo e il calcolo delle volatilità dell'impatto FX. Viene condotto un confronto tra la simulazione Monte Carlo e l'approssimazione di Fourier, coinvolgendo 20 corse Monte Carlo con 1000 percorsi per corsa. I risultati dimostrano un allineamento soddisfacente tra il prezzo delle opzioni Monte Carlo e l'approssimazione di Fourier, fornendo una calibrazione ai dati di mercato della volatilità implicita. Tuttavia, il relatore sottolinea l'influenza dei parametri del modello specificato sulla qualità del risultato.
Corso di ingegneria finanziaria: lezione 10/14, parte 3/3, (Foreign Exchange (FX) and Inflation)
Corso di ingegneria finanziaria: lezione 10/14, parte 3/3, (Foreign Exchange (FX) and Inflation)
Il docente approfondisce il tema dell'inflazione, ripercorrendone lo sviluppo nell'ultimo secolo. Inizialmente, l'inflazione era associata alla politica monetaria e all'aumento dell'offerta di moneta, ma ora la sua definizione si è spostata per comprendere i cambiamenti nei livelli dei prezzi. Viene evidenziata l'importanza dei derivati sull'inflazione per la copertura dei rischi di inflazione, in particolare per banche e fondi pensione. Il prezzo di questi derivati è strettamente legato al prezzo del cambio, che si aggiunge alla loro importanza nel mercato finanziario. La sezione fornisce una breve panoramica dell'inflazione e della sua rilevanza nel settore finanziario.
Andando avanti, il docente esamina le variazioni nelle misure di inflazione utilizzate nei vari paesi, con un focus specifico sull'indice dei prezzi al consumo armonizzato europeo (HICP) e sull'indice dei prezzi al consumo negli Stati Uniti (CPI). Il confronto di queste misure non è sempre semplice, in quanto potrebbero non riflettere accuratamente gli effettivi aumenti dei prezzi. Tuttavia, sono ancora utilizzati per valutare i contratti derivati, con derivati spesso collegati ai valori dell'indice CPI. Per illustrare le tendenze storiche dell'inflazione negli Stati Uniti, il docente presenta un grafico che mostra la fluttuazione delle cifre dell'IPC nel tempo, utilizzando una data di riferimento dal 2000 al 2015.
Nella parte successiva della lezione, l'istruttore esplora la natura non lineare dell'inflazione e la sua evoluzione in periodi diversi. Viene presentato un grafico che evidenzia l'impatto dei crolli di mercato sulla deflazione ei potenziali effetti deflazionistici della globalizzazione. Il docente approfondisce anche i concetti di inflazione vischiosa e transitoria, spiegando le loro implicazioni per i prezzi e l'economia. Si sottolinea che, a causa della sua natura dinamica, l'inflazione non può essere facilmente descritta da semplici modelli economici. Vari fattori, come la demografia e l'economia globale, influenzano l'inflazione, rendendola un fenomeno complesso da analizzare. Inoltre, i cambiamenti nella composizione dei panieri di misurazione dei prezzi nel tempo possono influenzare in modo significativo i dati sull'inflazione.
Continuando la discussione, il docente spiega che confrontare l'inflazione nel tempo è difficile a causa delle mutevoli definizioni associate a diversi beni e servizi. La lezione fa anche luce sulla composizione degli elementi utilizzati nel calcolo dell'indice CPI e sulle tecniche utilizzate per regolare e appianare i risultati. Queste tecniche includono l'effetto edonico, che tiene conto dell'utilità di un prodotto quando si considerano gli aumenti di prezzo, e la sostituzione, in cui i consumatori passano a beni più economici per mitigare l'aumento dei prezzi.
Vengono quindi esaminati l'impatto dell'edilizia abitativa sull'inflazione e le relative misure. Negli Stati Uniti, i prezzi delle case non sono inclusi nell'IPC o nelle misure di inflazione perché l'alloggio è visto come un investimento di capitale. Tuttavia, le misure CPI incorporano un "impatto rifugio", che stima il costo della vita in una casa in affitto. La conferenza sottolinea che il paniere di prodotti utilizzati per i calcoli dell'inflazione cambia nel tempo, portando a dati sull'inflazione potenzialmente inaffidabili. Sebbene l'indice CPI sia considerato un indicatore ritardato dell'inflazione, funge da quantità osservabile sottostante per il prezzo dei derivati. I fondi pensione, le compagnie di assicurazione e le banche che si occupano di derivati dipendenti dall'inflazione sono i principali utilizzatori di prodotti di inflazione, poiché l'inflazione può influire in modo significativo sui loro pagamenti. Il tasso di inflazione di pareggio è determinato dallo spread tra obbligazioni legali e obbligazioni indicizzate all'inflazione.
Spostando l'attenzione, il docente spiega la distinzione tra strumenti nominali e reali in relazione all'inflazione. Gli strumenti nominali non tengono conto dell'inflazione e sono considerati prezzi nominali che non proteggono dalle forze inflazionistiche. Gli swap sull'inflazione ei contratti a termine sull'inflazione sono prodotti che espongono gli individui alla differenza tra l'economia reale e quella nominale. Il contratto di base discusso è uno swap sull'inflazione, in cui la performance è basata sull'indice CPI in un dato momento, scambiando le parti variabili e fisse. Il docente sottolinea l'importanza di considerare i ritardi nella modellazione dell'inflazione, poiché i dati sull'inflazione vengono pubblicati con un ritardo e si basano sui mesi passati.
La conferenza prosegue discutendo di come le materie prime possano fornire una migliore rappresentazione dell'inflazione rispetto ai dati sull'inflazione, poiché i prezzi delle materie prime sono immediatamente osservabili nei mercati giornalieri, mentre i dati sull'inflazione hanno un ritardo di alcuni mesi. L'inflazione a termine è definita come l'inflazione osservata in un determinato momento e se l'inflazione a termine è disponibile sul mercato e la curva dei rendimenti per le obbligazioni nominali zero coupon è nota, è possibile calcolare l'obbligazione zero coupon reale. La conferenza copre anche il prezzo degli swap sull'inflazione utilizzando metodologie simili a quelle su cambi e tassi d'interesse. Inoltre, il docente tocca le opzioni di prezzo utilizzando i processi di inflazione e la possibilità di definire ed estendere modelli ibridi per l'inflazione con tassi di interesse stocastici.
Espandendo le somiglianze e le differenze tra cambi e inflazione, il professore spiega la relazione tra tassi nominali e tassi reali. Il trasferimento di fondi tra economie nominali e reali crea un termine di connessione che influenza la misura neutrale al rischio. La conferenza approfondisce anche le opzioni derivate come le opzioni call ed esplora l'inflazione anno su anno, che misura l'andamento dell'inflazione in un determinato periodo di tempo. Inoltre, il professore esamina la distribuzione dell'inflazione nel caso log-normale e come questo rapporto è influenzato nel quadro Black-Scholes. La conferenza comprende vari processi relativi ai cambi e all'inflazione, comprese le misure neutrali al rischio, le opzioni derivate e l'andamento dell'inflazione nel tempo.
Il professore approfondisce ulteriormente la connessione tra inflazione e valuta estera nella determinazione dei prezzi dei prodotti di inflazione e degli swap su valute incrociate. La derivazione della funzione caratteristica per la distribuzione del logaritmo dei tassi di inflazione a termine viene spiegata utilizzando le trasformazioni di Fourier e le tecniche di determinazione del prezzo. Viene sottolineata l'importanza delle opzioni di prezzo in quanto aiutano a calibrare i parametri di volatilità rispetto agli strumenti di mercato, consentendo la valutazione delle esposizioni future del portafoglio e l'applicazione di misure di rischio come i calcoli del VAR.
Spostando l'attenzione sul mercato dei cambi (FX) e sull'inflazione, la conferenza copre la valutazione dei tassi di cambio, la determinazione del valore equo dei contratti FX e la derivazione del valore equo delle valute incrociate. Viene discusso il prezzo delle opzioni FX, estendendo la metodologia di prezzo per incorporare volatilità stocastica e tassi di interesse. Inoltre, la conferenza esplora la definizione di contratti a termine sull'inflazione e il prezzo degli swap sull'inflazione. La lezione si conclude presentando tre esercizi per gli studenti per applicare le loro conoscenze, inclusa la derivazione della funzione di domanda per l'inflazione anno su anno all'interno del quadro di Black-Scholes e l'utilizzo di simulazioni per trovare le aspettative di una funzione.
Infine, l'istruttore presenta un esercizio incentrato sull'equazione differenziale stocastica per il cambio estero. L'obiettivo dell'esercizio è semplificare l'equazione, fattorizzare i moti browniani per ottenere Sigma hat, e successivamente determinare i termini Sigma e Sigma Sigma hat. L'istruttore conclude la lezione salutando gli studenti ed esprimendo la speranza che abbiano apprezzato il corso e gli esercizi.