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Wall Street: gli speed trader
Wall Street: gli speed trader
Molte persone non sanno che la maggior parte delle operazioni azionarie negli Stati Uniti non sono più eseguite da esseri umani ma piuttosto da computer robotici. Questi supercomputer sono in grado di acquistare e vendere migliaia di titoli diversi in un batter d'occhio. Il trading ad alta frequenza, come è noto, è diventato prevalente a Wall Street negli ultimi anni e ha avuto un ruolo nel crollo del mini mercato la scorsa primavera, quando il Dow Jones Industrial Average è crollato di 600 punti in soli 15 minuti.
La Securities and Exchange Commission ei membri del Congresso hanno iniziato a sollevare dure domande sull'utilità, sui potenziali pericoli e sui sospetti della manipolazione del mercato attraverso il commercio elettronico. Il passaggio dai trader umani alle macchine ha trasformato il panorama della Borsa di New York, che un tempo era il centro del mondo finanziario. Ora, meno del 30% delle negoziazioni avviene in borsa, mentre il resto viene condotto attraverso piattaforme elettroniche e sistemi di negoziazione alternativi.
Sono emerse due borse valori elettroniche, BATS e Direct Edge, di proprietà di grandi banche e società di trading ad alta frequenza, che scambiano oltre un miliardo di azioni al giorno a velocità sorprendenti. Società di trading ad alta frequenza come Tradeworks, gestite da Manoj Narang e da un team di matematici e scienziati chiamati quant (analisti quantitativi), si impegnano in questa pratica. Eseguono operazioni per frazioni di secondo, con l'obiettivo di realizzare un profitto di un centesimo o meno per operazione. Queste aziende si affidano a complessi algoritmi matematici programmati nei loro computer per analizzare i dati in tempo reale e prendere decisioni in una frazione di secondo.
Un aspetto chiave del trading ad alta frequenza è che i computer non hanno alcuna comprensione delle società scambiate. Non conoscono il valore delle società, la loro gestione o altri fattori qualitativi. Le decisioni di trading si basano esclusivamente su fattori quantitativi, probabilità e analisi statistiche. Questo approccio consente di cogliere opportunità fugaci nel mercato, ma ignora i fattori fondamentali.
I trader ad alta frequenza investono molto in supercomputer e infrastrutture per ottenere un vantaggio in termini di velocità. Più i loro computer si trovano vicino ai server della borsa, più rapidamente ricevono informazioni critiche sul mercato. Anche pochi millisecondi di vantaggio possono portare a profitti significativi. I critici sostengono che i trader ad alta frequenza sfruttano questo vantaggio per eseguire ordini in anticipo, manipolare azioni ed estrarre denaro dal mercato senza aggiungere alcun valore reale.
Mentre i sostenitori affermano che il trading ad alta frequenza aumenta la liquidità del mercato, riduce i costi di transazione e restringe gli spread azionari, i critici ritengono che ciò comprometta l'equità e la trasparenza. La natura ad alta velocità del trading e la complessità degli algoritmi rendono difficile per le autorità di regolamentazione monitorare e garantire condizioni di parità. Il "flash crash" del 2010, quando il Dow Jones è precipitato di 600 punti in pochi minuti, ha messo in luce i potenziali rischi associati al trading ad alta frequenza e alla mancanza di controllo.
Le autorità di regolamentazione e i legislatori hanno iniziato a proporre riforme per affrontare le preoccupazioni relative al trading ad alta frequenza. La Securities and Exchange Commission sta prendendo in considerazione misure per tracciare e identificare le negoziazioni ad alta frequenza e sono stati implementati interruttori automatici per interrompere le negoziazioni in caso di estrema volatilità dei prezzi. Tuttavia, sono necessarie ulteriori modifiche per ripristinare la fiducia nell'integrità del mercato e fornire trasparenza agli investitori medi che ritengono che il sistema sia truccato contro di loro.
Negli ultimi anni, i trader ad alta frequenza hanno ampliato le loro attività nei mercati valutari e delle materie prime, sollevando ulteriori preoccupazioni circa il loro impatto sui mercati finanziari. L'evoluzione della tecnologia ha superato la capacità delle autorità di regolamentazione di tenere il passo e c'è una crescente richiesta di riforme che trovino un equilibrio tra innovazione e integrità del mercato.
"Mathematical Modeling and Computation in Finance: With Exercises and Python and MATLAB Computer Codes" , di CW Oosterlee e LA Grzelak, World Scientific Publishing, 2019.
"Mathematical Modeling and Computation in Finance: With Exercises and Python and MATLAB Computer Codes" è un libro dal valore inestimabile che esplora l'intersezione tra matematica, finanza e informatica. Scritto da esperti del settore, fornisce una guida completa alla comprensione e all'implementazione di modelli matematici in finanza utilizzando linguaggi di programmazione popolari come Python e MATLAB.
Il libro inizia introducendo i lettori ai concetti fondamentali della modellazione matematica in finanza, tra cui la teoria della probabilità, il calcolo stocastico e le tecniche di ottimizzazione. Sottolinea gli aspetti pratici della modellazione e del calcolo, evidenziando l'importanza dei metodi numerici e della simulazione nella risoluzione dei problemi finanziari del mondo reale.
Una delle caratteristiche distintive di questo libro è l'inclusione di numerosi esercizi e codici informatici in Python e MATLAB. Questi esercizi consentono ai lettori di interagire attivamente con il materiale, rafforzare la loro comprensione dei concetti e sviluppare le loro capacità di programmazione. Lavorando attraverso gli esercizi e implementando i codici forniti, i lettori possono acquisire esperienza pratica nell'applicazione di modelli matematici per finanziare e migliorare la loro competenza nell'uso di questi linguaggi di programmazione per l'analisi finanziaria.
Il libro copre una vasta gamma di argomenti rilevanti per la finanza, come il prezzo delle opzioni, l'ottimizzazione del portafoglio, la gestione del rischio e l'asset allocation. Approfondisce argomenti avanzati come la modellazione della volatilità, la modellazione dei tassi di interesse e la modellazione del rischio di credito, fornendo ai lettori una comprensione completa delle tecniche matematiche utilizzate nella modellazione finanziaria.
Gli autori trovano un equilibrio tra rigore teorico e applicazione pratica in tutto il libro. Forniscono spiegazioni chiare dei concetti e degli algoritmi matematici sottostanti, accompagnati da esempi reali e casi di studio. Questo approccio consente ai lettori di cogliere le basi teoriche e allo stesso tempo di acquisire informazioni su come questi modelli possono essere applicati per risolvere problemi finanziari pratici.
Inoltre, il libro evidenzia i vantaggi e i limiti dei diversi approcci di modellazione, fornendo ai lettori le capacità di pensiero critico necessarie per prendere decisioni informate nella scelta e nell'implementazione di modelli in scenari del mondo reale.
"Modellazione matematica e calcolo nella finanza: con esercizi e codici informatici Python e MATLAB" è una risorsa eccellente per studenti, ricercatori e professionisti nel campo della finanza che desiderano approfondire la loro comprensione della modellazione matematica e dei metodi computazionali. La sua combinazione di spiegazioni teoriche, esercizi pratici e codici informatici pronti all'uso lo rende un compagno essenziale per chiunque sia interessato ad applicare tecniche matematiche per risolvere problemi finanziari.
https://github.com/LechGrzelak/Computational-Finance-Course
Questo corso Computational Finance è basato sul libro: "Mathematical Modeling and Computation in Finance: With Exercises and Python and MATLAB Computer Codes"
Finanza computazionale: Lezione 1/14 (Introduzione e panoramica delle classi di attività)
Questa conferenza completa funge da introduzione agli affascinanti campi della finanza computazionale e dell'ingegneria finanziaria, coprendo una vasta gamma di argomenti essenziali per comprendere la finanza moderna. Il docente sottolinea l'importanza dei modelli teorici della finanza matematica e computazionale, che vengono utilizzati per creare modelli pratici per la determinazione del prezzo dei derivati in vari scenari.
Nel corso di finanza computazionale, gli studenti approfondiranno vari argomenti cruciali per comprendere e applicare metodi finanziari pratici. Condotto dall'istruttore, Leth Lag, il corso enfatizzerà l'implementazione di tecniche di programmazione efficienti utilizzando Python per la simulazione e il prezzo delle opzioni. Questo programma completo è progettato per le persone interessate alla finanza, alla finanza quantitativa e all'ingegneria finanziaria. Tratterà concetti essenziali come volatilità implicite, strategie di copertura e l'affascinante regno dei derivati esotici.La finanza computazionale è un campo interdisciplinare situato tra la finanza matematica e i metodi numerici. Il suo obiettivo primario è quello di sviluppare tecniche che possano essere applicate direttamente all'analisi economica, combinando competenze di programmazione con modelli teorici. L'ingegneria finanziaria, d'altra parte, comprende un approccio multidisciplinare che impiega teoria finanziaria, metodi ingegneristici, strumenti matematici e pratiche di programmazione. Gli ingegneri finanziari svolgono un ruolo fondamentale nella creazione di modelli pratici basati sulla finanza matematica e computazionale, che possono essere utilizzati per valutare i derivati e gestire in modo efficiente contratti finanziari complessi. Questi modelli devono essere teoricamente validi e adattabili a diversi scenari.
Il corso farà luce su diverse classi di attività negoziate nella finanza computazionale, tra cui azioni, opzioni, tassi di interesse, cambi, mercati del credito, materie prime, energia e criptovalute. Le criptovalute, in particolare, offrono esposizione a varie classi di attività e possono essere impiegate a scopo di copertura. Ogni classe di attività ha i suoi contratti unici utilizzati per il controllo del rischio e le strategie di copertura. Il mercato Over-the-Counter (OTC), con le sue molteplici controparti, presenta ulteriori complessità che devono essere comprese.
Il docente esplorerà il ruolo delle criptovalute nella finanza, sottolineando le loro diverse caratteristiche e la necessità di metodologie, modelli e ipotesi specifici per i prezzi. Inoltre, verranno esaminate le quote di mercato di diverse classi di attività, come tassi di interesse, forex, azioni, materie prime e credit default swap (CDS). Sebbene le opzioni rappresentino una porzione relativamente piccola del mondo finanziario, offrono una prospettiva distinta sull'analisi finanziaria e computazionale.
Il tema delle opzioni e della speculazione sarà ampiamente discusso, evidenziando come le opzioni forniscano un'alternativa all'acquisto di azioni, consentendo agli individui di speculare sulla direzione futura di un titolo con un investimento di capitale relativamente piccolo. Tuttavia, le opzioni hanno una data di scadenza e possono perdere valore se il prezzo delle azioni rimane invariato, rendendo la tempistica un fattore cruciale nella speculazione. Il corso fornirà un'introduzione ai mercati finanziari, alle classi di attività e al ruolo degli ingegneri finanziari nella navigazione in questi paesaggi complessi. Le azioni, in quanto asset class più popolari, saranno esplorate in dettaglio, sottolineando il concetto di proprietà e come il valore delle azioni è influenzato dalla performance aziendale e dalle aspettative future.
La conferenza farà luce sulla natura stocastica del comportamento azionario nel mercato, influenzato da fattori quali domanda e offerta, concorrenti e performance aziendale. Il valore atteso di un'azione può differire dal suo valore effettivo, determinando volatilità. La volatilità è un elemento cruciale nella modellazione e nelle opzioni di prezzo in quanto determina le fluttuazioni future dei prezzi delle azioni. Inoltre, la conferenza distinguerà tra due tipi di investitori: quelli interessati ai rendimenti dei dividendi e quelli alla ricerca di opportunità di crescita.
Verrà introdotto il concetto di dividendi e dividend investing, sottolineando come i dividendi forniscano un investimento costante e certo in quanto le società distribuiscono regolarmente i pagamenti agli azionisti. Tuttavia, i pagamenti dei dividendi possono variare e rendimenti da dividendi elevati possono indicare un aumento del rischio negli investimenti di una società. La conferenza toccherà brevemente i tassi di interesse ei mercati monetari, riconoscendo che questi argomenti saranno trattati più ampiamente in un corso di follow-up.
Verranno discussi l'inflazione e il suo impatto sui tassi di interesse, spiegando come le banche centrali controllano l'inflazione aggiustando i tassi di interesse. La conferenza esplorerà i vantaggi a breve termine e le implicazioni a lungo termine dell'abbassamento dei tassi di interesse, nonché strategie alternative come la moderna teoria monetaria o gli acquisti di attività da parte delle banche centrali. Inoltre, verrà spiegato il ruolo dell'incertezza tra i partecipanti al mercato nella determinazione dei tassi di interesse e l'effetto fiscale nascosto dell'inflazione sui cittadini. La lezione si concluderà approfondendo il tema della gestione del rischio nel credito. Il docente evidenzierà i potenziali rischi affrontati dagli istituti di credito, come i mutuatari che vanno in bancarotta o sono inadempienti sui prestiti. Per mitigare questi rischi, gli istituti di credito spesso addebitano un premio di rischio per garantire che siano adeguatamente compensati per eventuali perdite potenziali.
Andando avanti, l'oratore sposterà l'attenzione sui tassi di interesse e sul loro significato in finanza. Spiegheranno come i tassi di interesse influenzano vari strumenti finanziari, inclusi conti di risparmio, mutui e prestiti. Verrà introdotto il concetto di interesse composto, sottolineando l'idea che un'unità di valuta oggi vale più della stessa unità in futuro a causa di fattori come l'inflazione. Verranno discussi i due principali metodi di calcolo dei tassi di interesse, semplice e composto, con una dettagliata spiegazione delle loro differenze ed esempi pratici.
Il relatore approfondirà quindi i tassi di interesse composti, in particolare per gli investimenti con scadenza a un anno. Spiegheranno la modellazione matematica dei tassi composti utilizzando la funzione esponenziale, in cui un'unità di valuta viene moltiplicata per e elevata alla potenza del tasso di interesse. Inoltre, il relatore descriverà come questa rappresentazione matematica si allinei con le equazioni differenziali che governano i conti di risparmio, portando alla determinazione del fattore di moltiplicazione utilizzato per scontare i flussi di cassa futuri. Tuttavia, il relatore noterà che in realtà i tassi di interesse non sono costanti ma variano nel tempo, come evidenziato da diversi strumenti come scadenze e prezzi per valute come l'euro e il dollaro USA.
Verranno discussi i grafici che rappresentano i tassi di interesse e la liquidità del mercato per l'Eurozona e il dollaro. In particolare, lo stato attuale dell'Eurozona rivela rendimenti negativi su tutte le scadenze fino a 30 anni, il che implica che l'investimento in titoli di stato all'interno dell'Eurozona potrebbe comportare una perdita di denaro. Il relatore suggerirà che gli individui potrebbero preferire scambiare euro con dollari e investire in obbligazioni statunitensi, in quanto offrono rendimenti più elevati. Tuttavia, questo approccio comporta dei rischi, comprese potenziali perdite dovute alle fluttuazioni dei tassi di cambio. Il relatore sottolineerà che i tassi di interesse dipendono dal tempo e sono soggetti alle dinamiche di mercato.
Il docente farà luce sul concetto di acquisto di obbligazioni, sottolineando che gli acquirenti di obbligazioni spesso pagano più del valore effettivo dell'obbligazione. Di conseguenza, il valore del denaro investito in obbligazioni può deprezzarsi nel tempo e l'inflazione può erodere il valore dell'investimento. Verranno menzionati i principali acquirenti di obbligazioni, come i fondi pensione e le banche centrali, sottolineando il loro ruolo significativo nel mercato obbligazionario. Inoltre, il docente toccherà il concetto di volatilità, che misura la variazione dei prezzi finanziari nel tempo. La volatilità viene calcolata utilizzando misure statistiche come la varianza e fornisce informazioni sulla tendenza di un mercato o di un titolo a fluttuare, introducendo incertezza e rischio.
Il corso sposterà quindi la sua attenzione sui rendimenti degli asset e sulla volatilità, due concetti cruciali nella finanza computazionale. I rendimenti delle attività si riferiscono ai guadagni o alle perdite di un titolo in un determinato periodo di tempo, mentre la volatilità misura la varianza di questi rendimenti. Un mercato altamente volatile indica oscillazioni di prezzo significative in un breve lasso di tempo, con conseguente aumento dell'incertezza e del rischio. Sarà introdotto l'indice VIX, uno strumento che misura l'incertezza del mercato. Utilizza opzioni out-of-the-money o put ed è comunemente impiegato dagli investitori per proteggere il proprio capitale in caso di calo del valore di mercato. Verrà sottolineata l'importanza della tempistica e della previsione dei tempi di esposizione, in quanto possono essere difficili nella pratica.
L'istruttore discuterà le complessità dell'analisi della volatilità di vari indici, incluso l'indice VIX. Riconosceranno le difficoltà nel modellare matematicamente la volatilità a causa delle circostanze e delle fluttuazioni del mercato. Inoltre, verranno introdotte le opzioni europee, che fungono da elementi costitutivi fondamentali per il prezzo dei derivati basato sulla volatilità. Il docente fornirà una chiara distinzione tra opzioni call e opzioni put, spiegando che le opzioni call conferiscono al detentore il diritto di acquistare un'attività a un prezzo e una data prestabiliti, mentre le opzioni put danno al detentore il diritto di vendere un'attività a un prezzo prestabilito e la data, essenzialmente fungendo da assicurazione.
Una volta stabilite le basi delle opzioni, il docente presenterà una panoramica delle opzioni all'interno di diverse classi di attività. Sottolineeranno i due tipi chiave di opzioni: opzioni call e opzioni put. Nel caso di un'opzione call, l'acquirente ha il diritto di vendere l'attività sottostante al venditore a una data di scadenza e prezzo di esercizio specificati. Ciò significa che alla scadenza, il venditore è obbligato ad acquistare il titolo al prezzo di esercizio se l'acquirente sceglie di esercitare l'opzione. D'altra parte, un'opzione put garantisce all'acquirente il diritto di vendere l'attività sottostante al venditore a una data di scadenza e prezzo di esercizio specificati. Alla scadenza, il venditore deve acquistare il titolo al prezzo di esercizio specificato se l'acquirente esercita l'opzione.
Per illustrare la potenziale redditività delle opzioni, il docente presenta due rappresentazioni grafiche: una per le opzioni call e un'altra per le opzioni put. Questi grafici descrivono il potenziale profitto o perdita in base al valore del titolo sottostante. Esaminando i grafici, gli spettatori possono ottenere informazioni su come i cambiamenti nel valore del titolo possono influenzare la redditività delle opzioni.
Durante il corso, l'istruttore esplorerà ulteriori argomenti avanzati relativi alla finanza computazionale, tra cui la modellazione di derivati, l'implementazione efficiente della programmazione e l'uso di Python per la simulazione e il prezzo delle opzioni. Programmeranno dal vivo durante le sessioni e analizzeranno i risultati in collaborazione con gli spettatori, fornendo esperienze pratiche e approfondimenti pratici.
Il corso è specificamente progettato per le persone interessate alla finanza, alla finanza quantitativa e all'ingegneria finanziaria. Mira a colmare il divario tra finanza matematica e metodi numerici, offrendo conoscenze e competenze interdisciplinari necessarie per affrontare i problemi finanziari del mondo reale. Saranno trattati anche i concetti di volatilità implicite, strategie di copertura e derivati esotici, fornendo una comprensione completa della finanza computazionale e delle sue applicazioni nel settore finanziario.
Alla fine del corso, i partecipanti avranno acquisito una solida base di finanza computazionale, ingegneria finanziaria e applicazione pratica dei metodi numerici. Saranno dotati degli strumenti e delle conoscenze per sviluppare e implementare modelli per la determinazione del prezzo dei derivati, la gestione dei rischi e l'analisi dei dati finanziari. Questo corso funge da trampolino di lancio per coloro che cercano di intraprendere una carriera nella finanza, nell'analisi quantitativa o nell'ingegneria finanziaria, consentendo loro di prendere decisioni informate e contribuire al campo in continua evoluzione della finanza computazionale.
Finanza computazionale: lezione 2/14 (azioni, opzioni e stocastici)
Finanza computazionale: lezione 2/14 (azioni, opzioni e stocastici)
L'istruttore inizia fornendo una panoramica del corso, sottolineando l'importanza di comprendere la fiducia nel trading, la copertura e la necessità di modelli matematici in finanza. Approfondiscono il tema del prezzo delle opzioni put e spiegano il concetto di copertura. Vengono trattati anche i processi stocastici e la modellazione dei prezzi delle attività, con l'introduzione del lemma di Ito come strumento per risolvere equazioni differenziali stocastiche.
Per illustrare l'applicazione pratica di questi concetti, l'istruttore presenta un esempio di una strategia di formazione in cui un investitore cerca di proteggere il proprio investimento da una potenziale diminuzione del valore delle azioni. Suggeriscono di acquistare un'assicurazione sotto forma di opzioni put per garantire un importo minimo di denaro nello scenario peggiore.
Passando al trading di opzioni, il docente si concentra sull'uso delle opzioni put per proteggersi dai movimenti al ribasso dei prezzi delle azioni. Tuttavia, notano che l'acquisto di opzioni put può essere costoso, in particolare quando la volatilità del titolo è elevata, come esemplificato da Tesla. Per ridurre i costi delle opzioni, si può diminuire il prezzo di esercizio, ma questo significa accettare un prezzo inferiore per l'azione. Il docente fornisce uno screenshot di Reuters che mostra diversi tipi di opzioni disponibili sul mercato, classificate per scadenza e prezzo di esercizio. Spiegano anche la relazione tra prezzo di esercizio e prezzi delle opzioni call e put.
La volatilità implicita viene introdotta come misura dell'incertezza del mercato. Il docente spiega che i prezzi di esercizio più bassi sono associati a una maggiore volatilità implicita. Viene introdotto anche il delta, che misura la dipendenza del valore di un'opzione dall'attività sottostante. Il video approfondisce quindi il concetto di copertura e come stabilire un rapporto per ottenere un portafoglio privo di rischio, anche se potenzialmente limitando i guadagni se il titolo non aumenta di valore. Viene discussa la copertura con opzioni, evidenziandone l'idoneità per investimenti a breve termine, ma rilevandone il potenziale costo nei periodi di elevata volatilità.
Il trading di opzioni è ulteriormente esplorato come mezzo di copertura e riduzione del rischio. Il docente suggerisce che le opzioni sono in genere più desiderabili per gli investimenti a breve termine con una scadenza definita, in quanto possono essere costose per gli investimenti a lungo termine. Viene introdotto il concetto di copertura con call, sottolineando come la vendita di opzioni possa aiutare a ridurre il rischio per gli investitori che detengono un ampio portafoglio di azioni. Tuttavia, si sconsiglia di vendere troppe call, in quanto può limitare il potenziale rialzo e comporta sempre un certo grado di rischio.
Il video approfondisce quindi le materie prime, spiegando che sono materie prime utilizzate come copertura contro l'inflazione a causa dei loro modelli di prezzo imprevedibili ma spesso stagionali. Il trading di materie prime viene condotto principalmente nel mercato dei futures, dove vengono stipulati accordi per acquistare o vendere materie prime in una data futura. Viene evidenziata la distinzione tra i mercati dell'elettricità e altri prodotti di base, con l'elettricità che pone sfide uniche a causa della sua incapacità di essere completamente immagazzinata e del suo impatto sulla prevedibilità e sul valore dei derivati.
Il docente procede a discutere il commercio di valuta come classe di attività, comunemente indicato come il mercato dei cambi. A differenza del tradizionale acquisto o vendita di un particolare tasso di cambio, gli individui scambiano somme di denaro tra valute. Il docente sottolinea il ruolo del dollaro USA come valuta base e valuta di riserva. Toccano anche la manipolazione dei tassi di cambio da parte delle banche centrali per rafforzare o indebolire le valute. Inoltre, viene menzionata una piccola applicazione di derivati su cambi per la copertura dei rischi valutari nelle attività internazionali.
Il relatore spiega come le banche e le istituzioni finanziarie possono acquistare o vendere assicurazioni contro le fluttuazioni dei tassi di cambio per gestire le incertezze degli investimenti. Investire in paesi diversi può introdurre incertezze a causa dei diversi punti di forza delle valute e delle politiche monetarie, portando a rendimenti incerti. La finanza computazionale svolge un ruolo cruciale nella gestione e nel calcolo dei rischi associati a tali investimenti modellando le incertezze e considerando vari fattori. Il relatore osserva inoltre che i bitcoin possono essere considerati tassi di cambio e discute la loro natura ibrida come merce regolamentata con valore determinato attraverso lo scambio contro il dollaro USA. La volatilità dei bitcoin rende difficile prevedere il loro valore futuro.
Inoltre, il relatore esplora il concetto di prezzo neutrale al rischio, che è un principio fondamentale nel prezzo delle opzioni. Il prezzo neutrale al rischio presuppone che in un mercato perfettamente efficiente, il rendimento atteso di un'opzione dovrebbe essere uguale al tasso privo di rischio. Questo approccio semplifica il processo di determinazione del prezzo considerando le probabilità di risultati diversi sulla base di una misura neutrale al rischio, in cui il rendimento atteso dell'opzione viene scontato al tasso privo di rischio.
Il relatore introduce quindi il modello Black-Scholes-Merton (BSM), che è un modello matematico ampiamente utilizzato per le opzioni di prezzo. Il modello BSM incorpora vari fattori come il prezzo corrente delle azioni, il prezzo di esercizio, il tempo alla scadenza, il tasso di interesse privo di rischio e la volatilità dell'attività sottostante. Presuppone che l'asset sottostante segua il moto browniano geometrico e che il mercato sia efficiente.
Il relatore spiega i componenti chiave del modello BSM, inclusa la formula per calcolare il valore di un'opzione call o put europea. Sottolineano l'importanza della volatilità nel prezzo delle opzioni, poiché una maggiore volatilità aumenta il valore di un'opzione a causa del potenziale di maggiori fluttuazioni di prezzo. L'oratore menziona anche il ruolo della volatilità implicita, che è l'aspettativa del mercato della volatilità futura implicita nei prezzi delle opzioni.
Successivamente, la lezione approfondisce il concetto di delta hedging, che è una strategia utilizzata per minimizzare il rischio mantenendo una posizione neutrale nell'asset sottostante. Delta misura la sensibilità del prezzo di un'opzione alle variazioni del prezzo dell'asset sottostante. Regolando il numero di azioni detenute nell'asset sottostante, un investitore può creare un portafoglio neutrale rispetto al delta che è meno influenzato dai movimenti dei prezzi.
Il relatore spiega il processo di copertura delta utilizzando il modello BSM e dimostra come può ridurre efficacemente il rischio. Discutono il concetto di copertura dinamica, in cui la copertura viene continuamente regolata al variare del prezzo dell'attività sottostante. Ciò garantisce che il portafoglio rimanga neutrale rispetto al delta e riduce al minimo l'esposizione alle fluttuazioni del mercato.
Oltre alla copertura delta, la lezione tratta altre tecniche di gestione del rischio come la copertura gamma e la copertura vega. Gamma misura il tasso di variazione del delta, mentre vega misura la sensibilità del prezzo di un'opzione alle variazioni della volatilità implicita. Queste tecniche consentono agli investitori di gestire e adeguare le proprie posizioni in base alle mutevoli condizioni e ai rischi del mercato.
Verso la fine della conferenza, il relatore evidenzia i limiti e le ipotesi del modello BSM. Riconoscono che i mercati del mondo reale possono deviare dalle ipotesi del modello, come la presenza di costi di transazione, vincoli di liquidità e l'impatto delle frizioni di mercato. Il relatore incoraggia un approccio prudente e sottolinea l'importanza di comprendere i limiti e le incertezze associate ai modelli di prezzo delle opzioni.
Nel complesso, la lezione fornisce una panoramica completa della fiducia nel trading, delle strategie di copertura, dei modelli di determinazione del prezzo delle opzioni e delle tecniche di gestione del rischio. Fornisce agli studenti le conoscenze e gli strumenti essenziali per navigare nel complesso mondo dei mercati finanziari e prendere decisioni informate nelle attività di trading e di investimento.
Finanza computazionale: Lezione 3/14 (Option Pricing and Simulation in Python)
Finanza computazionale: Lezione 3/14 (Option Pricing and Simulation in Python)
Nella lezione, l'istruttore approfondisce la simulazione del percorso delle azioni in Python ed esplora il modello Black-Scholes per le opzioni di prezzo. Discutono due approcci per derivare il prezzo senza arbitraggio per le opzioni, vale a dire la copertura e le martingale. Il relatore dimostra come programmare le martingale e simularle, evidenziando la connessione tra le equazioni alle derivate parziali (PDE) e la simulazione Monte Carlo nel quadro dei prezzi.
Utilizzando il metodo di discretizzazione di Eulero, il relatore spiega come simulare e generare grafici di processi stocastici. Iniziano con un processo semplice e utilizzano il lemma di Ito per passare da S a X, il logaritmo di S. Il docente introduce quindi il metodo di discretizzazione di Eulero e ne dimostra l'implementazione in Python. Questo metodo prevede la discretizzazione della funzione continua e la simulazione degli incrementi sia per la deriva che per il moto browniano, ottenendo grafici di percorsi simulati.
Dal punto di vista computazionale, il relatore discute la simulazione dei percorsi per i modelli di prezzo delle opzioni. Invece di simulare ogni percorso individualmente, spiegano l'efficienza dell'esecuzione del time slicing e della costruzione di una matrice in cui ogni riga rappresenta un percorso specifico. Il numero di righe corrisponde al numero di percorsi, mentre il numero di colonne corrisponde al numero di passaggi temporali. Il relatore spiega l'implementazione del processo di discretizzazione utilizzando la variabile casuale normale standard e sottolinea l'importanza della standardizzazione per una migliore convergenza.
La lezione copre anche la simulazione di percorsi per il moto browniano geometrico usando Python. Il relatore illustra come fissare un seme casuale per simulazioni stabili e introduce il modello di Black-Scholes, che prevede un'equazione differenziale stocastica con deriva e parametri come mu e sigma per modellare i prezzi delle attività. Il relatore sottolinea che il modello Black-Scholes è ancora ampiamente utilizzato nel settore finanziario, in particolare per le opzioni di prezzo sulle azioni. Discutono i concetti di misura del mondo reale e misura neutrale al rischio, che aiutano a valutare le opzioni in base a diverse probabilità di risultato.
Inoltre, la lezione esplora il prezzo delle opzioni e la simulazione in Python. Il relatore distingue tra la misura del mondo reale, stimata sulla base di dati storici senza assumere condizioni di arbitraggio o prive di rischio, e la misura neutrale al rischio, che richiede determinate condizioni per essere rispettata. Presentano una strategia di trading che prevede la negoziazione continua di un titolo e l'adeguamento della posizione dell'opzione per catturare il movimento del titolo sottostante. Il relatore spiega la dinamica del portafoglio utilizzando il lemma di Ito e deriva la natura stocastica dei valori delle opzioni attraverso questo metodo.
Il relatore approfondisce anche le tecniche per la costruzione di un portafoglio di copertura indipendente dal moto browniano. Discutono della scelta di un delta che annulli i termini che coinvolgono il moto browniano, garantendo un portafoglio delta-neutro. Il relatore sottolinea l'importanza del portafoglio che produce lo stesso rendimento di un conto di risparmio e introduce il concetto di conti di impostazione del denaro.
Inoltre, la lezione affronta la derivazione di equazioni alle derivate parziali (PDE) per la valutazione delle opzioni utilizzando il modello di Black-Scholes. La PDE risultante è una derivata di secondo ordine con condizioni al contorno che determinano il fair value di un'opzione. Il relatore sottolinea che il prezzo delle opzioni del modello Black-Scholes non dipende in modo significativo dal parametro di deriva mu, che può essere ottenuto dalla calibrazione o dai dati storici. Tuttavia, in questo modello non sono considerati i costi di transazione per la copertura.
La conferenza copre vari concetti importanti all'interno del modello di Black-Scholes e del prezzo delle opzioni. Discute l'ipotesi di nessuna opportunità di arbitraggio, portando a uno scenario privo di rischio per l'applicazione del modello. Il relatore spiega il concetto di copertura delta e come elimina la più grande componente casuale di un portafoglio. Inoltre, il relatore introduce la gamma come misura del comportamento del delta e sottolinea che ogni parametro nel modello può essere coperto. Infine, la conferenza esplora i fattori determinanti del valore di un'opzione, come tempo, strike, volatilità e parametri relativi al mercato.
Nella conferenza, il relatore esplora ulteriormente il modello di Black-Scholes e la sua applicazione nel prezzo delle opzioni. Discutono le ipotesi e le limitazioni del modello, inclusa l'ipotesi di volatilità costante e l'assenza di costi di transazione. Nonostante queste limitazioni, il modello di Black-Scholes rimane ampiamente utilizzato nel settore finanziario grazie alla sua semplicità ed efficacia nella determinazione del prezzo delle opzioni call e put europee.
Il relatore introduce il concetto di volatilità implicita, che è l'aspettativa del mercato della volatilità futura derivata dai prezzi correnti delle opzioni. La volatilità implicita è un parametro cruciale nel modello Black-Scholes in quanto influisce sul prezzo delle opzioni. Il relatore spiega come è possibile ottenere la volatilità implicita dai dati di mercato utilizzando il modello e discute il suo significato nelle strategie di trading di opzioni.
La conferenza approfondisce varie strategie di trading di opzioni, come la copertura delta e il gamma trading. La copertura delta comporta l'adeguamento continuo della composizione del portafoglio per mantenere una posizione neutra in relazione alle variazioni del prezzo dell'attività sottostante. Il gamma trading si concentra sullo sfruttamento dei cambiamenti nella gamma, che misura come cambia il delta rispetto al prezzo dell'asset sottostante. Queste strategie mirano a gestire il rischio e massimizzare la redditività nel trading di opzioni.
Il relatore tocca anche altri importanti fattori che influenzano i prezzi delle opzioni, tra cui il decadimento temporale (theta), i tassi di interesse (rho) e il rendimento da dividendi. Spiegano in che modo questi fattori influiscono sul prezzo delle opzioni e in che modo i trader possono utilizzarli per prendere decisioni informate.
Durante la lezione, la programmazione Python viene utilizzata per dimostrare l'implementazione di vari modelli di prezzo delle opzioni e strategie di trading. Il relatore fornisce esempi di codice e spiega come utilizzare librerie e funzioni per eseguire calcoli e simulazioni.
In sintesi, la conferenza fornisce una panoramica completa del prezzo delle opzioni e della simulazione utilizzando il modello di Black-Scholes e concetti correlati. Sottolinea l'applicazione pratica di questi concetti nella programmazione Python, rendendola una risorsa preziosa per le persone interessate alla finanza quantitativa e al trading di opzioni.
Finanza computazionale: lezione 4/14 (volatilità implicita)
Finanza computazionale: lezione 4/14 (volatilità implicita)
In questa conferenza completa sulla finanza computazionale, il concetto di volatilità implicita è al centro dell'attenzione, facendo luce sul suo significato nei calcoli dei prezzi delle opzioni. Sebbene il modello di Black-Scholes serva da base per il calcolo della volatilità implicita, i suoi limiti e le sue inefficienze sono debitamente sottolineati. La conferenza approfondisce varie metodologie per il calcolo della volatilità implicita, in particolare processi iterativi come il metodo Newton-Raphson. Inoltre, il docente esplora le sfide associate alla modellazione dei prezzi delle opzioni e sottolinea il ruolo delle volatilità implicite nel riflettere le aspettative del mercato. Durante tutta la conferenza, l'importanza cruciale di comprendere la volatilità nel prezzo delle opzioni e costruire portafogli di copertura efficaci rimane un tema centrale.
La conferenza estende la sua esplorazione concentrandosi sulla relazione tra i prezzi delle opzioni e la volatilità implicita, con un'enfasi specifica sulle put e call liquide out-of-the-money. Esamina diversi tipi di skew di volatilità implicita, comprendendo i parametri di volatilità dipendenti dal tempo e l'influenza della dipendenza dal tempo sullo smile di volatilità implicita. Inoltre, la conferenza approfondisce i limiti del modello Black-Scholes e gli approcci alternativi alla gestione dei modelli di volatilità, inclusi modelli di volatilità locale, modelli di salto e modelli di volatilità stocastica. Viene inoltre chiarito l'impatto della scadenza delle opzioni sulla volatilità, con le opzioni con scadenze più brevi che mostrano una distribuzione più concentrata attorno al livello monetario rispetto alle scadenze più lunghe, dove l'effetto smile diventa meno pronunciato.
Il professore inizia riassumendo i concetti chiave trattati nelle sezioni precedenti, in particolare relativi al prezzo delle opzioni e ai modelli di volatilità. Viene introdotta la volatilità implicita, evidenziando il suo calcolo dai dati di mercato e il suo ruolo nella misurazione dell'incertezza. L'algoritmo per il calcolo della volatilità implicita è discusso in dettaglio. Inoltre, vengono affrontati i limiti e le efficienze del modello di Black-Scholes, insieme ad estensioni come l'incorporazione di parametri di volatilità dipendenti dal tempo e la generazione di superfici di volatilità implicita. La conferenza tocca anche gli svantaggi di affidarsi esclusivamente al modello Black-Scholes e introduce modelli alternativi come la volatilità locale e la volatilità stocastica. L'accento è posto sulla necessità di specificare un modello appropriato per la determinazione del prezzo dei sinistri potenziali e l'importanza di costruire un portafoglio di copertura costituito da opzioni e azioni per arrivare a un'equazione differenziale parziale del prezzo (PDE).
Il relatore procede esplorando l'utilizzo delle aspettative nella risoluzione di equazioni alle derivate parziali, in particolare quando si tratta di un tasso di interesse deterministico e della necessità di prendere le aspettative sotto la misura neutrale al rischio. Viene presentata l'equazione del prezzo per le opzioni call e put europee, basandosi su una funzione di distribuzione cumulativa normale (CDF) dello stock iniziale valutata ai punti d1, che dipende dai parametri del modello, insieme a un esponente che coinvolge il tasso di interesse nel tempo fino alla scadenza. La conferenza spiega che questa formula può essere facilmente implementata in Excel.
Successivamente, il docente elabora i parametri richiesti per il modello Black-Scholes, che funge da strumento per stimare i prezzi delle opzioni. Questi parametri comprendono tempo alla scadenza, strike, tasso di interesse, valore corrente delle azioni e il parametro di volatilità, sigma, che deve essere stimato utilizzando i prezzi di mercato. Il docente sottolinea la corrispondenza biunivoca tra prezzo dell'opzione e volatilità, evidenziando che un aumento della volatilità implica un corrispondente aumento del prezzo dell'opzione, e viceversa. Viene poi discusso il concetto di volatilità implicita, sottolineando il suo calcolo basato sul prezzo medio e il suo significato all'interno del modello Black-Scholes.
La lezione approfondisce ulteriormente l'ottenimento della volatilità implicita da modelli con più parametri. Si noti che indipendentemente dal modello scelto, deve superare il test del modello Black-Scholes. Tuttavia, l'utilizzo del modello Black-Scholes per prezzare tutte le opzioni contemporaneamente diventa impraticabile a causa delle diverse volatilità implicite per ogni strike. La conferenza sottolinea inoltre che le volatilità implicite tendono ad aumentare con scadenze più lunghe delle opzioni, il che significa maggiore incertezza. Viene fornito un esempio per dimostrare il calcolo della volatilità implicita utilizzando i dati di mercato e un'opzione call standard su 100 azioni.
Il concetto di volatilità implicita è ulteriormente esposto dal docente. I dati storici su un'opzione vengono utilizzati per stimare la sua volatilità utilizzando l'equazione di Black-Scholes. Tuttavia, il docente sottolinea che mentre questa stima fornisce un certo prezzo per l'opzione, il mercato potrebbe averlo valutato in modo diverso a causa della sua natura lungimirante, in contrasto con la stima storica retrospettiva. Nonostante questa discrepanza, la relazione tra le due volatilità è ancora utilizzata a fini di investimento, sebbene il docente raccomandi cautela contro un affidamento puramente speculativo su questa relazione. La lezione prosegue poi spiegando come calcolare la volatilità implicita utilizzando l'equazione di Black-Scholes dato il prezzo di mercato e altre specifiche di un'opzione. Tuttavia, il docente riconosce che il concetto di volatilità implicita è intrinsecamente errato in quanto non esiste un valore corretto definitivo e il modello utilizzato è un'approssimazione piuttosto che una rappresentazione fedele del prezzo delle opzioni.
Il docente procede spiegando il processo di ricerca della volatilità implicita utilizzando il metodo Newton-Raphson, un approccio iterativo. Questo metodo prevede l'impostazione di una funzione basata sull'equazione di Black-Scholes e sul prezzo di mercato per risolvere il sigma, la volatilità implicita. Il docente evidenzia l'uso di un'espansione in serie di Taylor per calcolare la differenza tra la soluzione esatta e l'iterazione, con l'obiettivo di trovare una funzione in cui la volatilità implicita di Black-Scholes corrisponda alla volatilità implicita del mercato. La capacità di calcolare rapidamente la volatilità implicita in millisecondi è fondamentale per i market maker per identificare opportunità di arbitraggio e generare profitti.
Viene introdotto il concetto di processo iterativo per il calcolo della volatilità implicita utilizzando il metodo Newton-Raphson. Il processo comporta più iterazioni fino a quando la funzione g si avvicina allo zero, con ogni nuovo passaggio stimato in base a quello precedente. Il docente sottolinea il significato dell'ipotesi iniziale per la convergenza del metodo Newton-Raphson. Le opzioni out-of-the-money estreme o le opzioni vicine allo zero possono presentare problemi quando la funzione diventa piatta, determinando un piccolo gradiente che ostacola la convergenza. Per superare questo problema, i professionisti in genere definiscono una griglia di ipotesi iniziali. L'algoritmo approssima la funzione utilizzando la sua linea tangente e calcola l'intercetta x, con gradienti più ripidi che portano a una convergenza più rapida.
Inoltre, il docente illustra l'implementazione dell'algoritmo di Newton-Raphson per il calcolo della volatilità implicita di un'opzione. L'algoritmo si basa sul modello di Black-Scholes, con parametri di input che includono il prezzo di mercato, lo strike, il tempo alla scadenza, il tasso di interesse, il volume iniziale delle azioni e il parametro di volatilità iniziale. Viene analizzata la convergenza dell'algoritmo e viene determinata una soglia di errore. Il codice viene dimostrato utilizzando Python, con i metodi e le definizioni necessari preparati in anticipo, sfruttando le librerie NumPy e SciPy.
La lezione approfondisce il calcolo della volatilità implicita, sottolineando gli input necessari per questo calcolo, come il valore dell'opzione e la derivata del prezzo della call rispetto al parametro di volatilità, noto come Vega. Il nucleo del codice prevede il processo graduale di calcolo della volatilità implicita, con il docente che fornisce spiegazioni sui vari parametri coinvolti e sul loro significato. La conferenza si conclude con una breve dimostrazione del processo iterativo impiegato per calcolare la volatilità implicita.
Il relatore affronta anche l'argomento dell'errore nel calcolo della volatilità implicita e come è determinata dalle differenze tra le iterazioni. Il grafico di output mostra la volatilità implicita ottenuta per un prezzo call, strike, scadenza e altri parametri. Il relatore illustra come la convergenza varia con diverse ipotesi iniziali di volatilità, sottolineando l'importanza di questo processo nella calibrazione del settore. L'ipotesi iniziale deve essere vicina all'effettiva volatilità implicita affinché il modello converga correttamente. I professionisti del settore in genere tentano diverse volatilità iniziali fino a quando non viene raggiunta una convergenza adeguata e viene scelto quel particolare valore di volatilità.
la conferenza approfondisce l'interpretazione delle volatilità implicite. Le volatilità implicite possono fornire informazioni sulle aspettative e sul sentiment del mercato. Quando la volatilità implicita è elevata, suggerisce che i partecipanti al mercato prevedono fluttuazioni significative dei prezzi, che possono indicare incertezza o rischio percepito nell'attività sottostante. Al contrario, volatilità implicite basse indicano aspettative di prezzi relativamente stabili.
La conferenza sottolinea che le volatilità implicite non sono una misura della volatilità futura, ma piuttosto un riflesso dei prezzi di mercato. Le volatilità implicite sono influenzate da vari fattori come le dinamiche della domanda e dell'offerta, il sentimento del mercato e la propensione al rischio dei partecipanti al mercato. Pertanto, è fondamentale interpretare le volatilità implicite nel contesto di altri indicatori di mercato e dell'analisi fondamentale.
Il docente evidenzia anche il concetto di superficie di volatilità implicita o sorrisi di volatilità. Le superfici di volatilità implicita rappresentano la relazione tra volatilità implicite e diversi prezzi di esercizio e scadenze. In determinate condizioni di mercato, le volatilità implicite delle opzioni out-of-the-money possono essere superiori o inferiori a quelle delle opzioni at-the-money. Questa curvatura nella superficie della volatilità implicita è nota come sorriso o sorrisetto della volatilità. La lezione spiega che il volatility smile indica la percezione da parte degli operatori di mercato della probabilità di movimenti di prezzo estremi, come grandi rischi al ribasso o eventi positivi inaspettati.
Inoltre, la lezione copre il concetto di strutture a termine di volatilità implicita. Le strutture a termine della volatilità implicita descrivono la relazione tra le volatilità implicite e le diverse scadenze per un'opzione specifica. Il docente spiega che le strutture termiche di volatilità implicita possono presentare forme diverse, come curve ascendenti (contango), inclinate discendenti (backwardation) o curve piatte. Queste strutture a termine possono fornire informazioni sulle aspettative del mercato in merito alla volatilità futura su diversi orizzonti temporali.
Inoltre, la conferenza approfondisce i limiti e le sfide associate alle volatilità implicite. Sottolinea che le volatilità implicite derivano dai prezzi delle opzioni, che sono influenzati da vari fattori e ipotesi, inclusi i tassi di interesse, i rendimenti dei dividendi e l'ipotesi di mercato efficiente. Pertanto, le volatilità implicite potrebbero non riflettere sempre accuratamente la reale volatilità sottostante.
Inoltre, la conferenza discute il concetto di volatilità storica e il suo confronto con la volatilità implicita. La volatilità storica è calcolata sulla base dei movimenti di prezzo passati dell'asset sottostante, mentre la volatilità implicita è derivata dai prezzi delle opzioni. Il docente osserva che la volatilità storica è retrospettiva e potrebbe non catturare completamente le aspettative future del mercato, mentre la volatilità implicita incorpora informazioni lungimiranti incorporate nei prezzi delle opzioni.
Infine, la conferenza si conclude con una sintesi dei punti chiave trattati. Sottolinea l'importanza di comprendere la volatilità implicita, i suoi metodi di calcolo e la sua interpretazione nel contesto del prezzo delle opzioni e delle aspettative di mercato. Il docente incoraggia ulteriori esplorazioni e ricerche in questo settore, data la sua importanza nei mercati finanziari e nel processo decisionale di investimento.
dove l'impatto sulla volatilità varia a seconda della durata delle opzioni. Il video mostra anche come calcolare la volatilità implicita e generare percorsi con volatilità dipendente dal tempo e come influisce sull'equazione della volatilità implicita di Black-Scholes. Il video mostra anche un esempio di adattamento di diversi livelli di volatilità per due opzioni con scadenze diverse.
Finanza computazionale: lezione 5/14 (Jump Processes)
Finanza computazionale: lezione 5/14 (Jump Processes)
La conferenza procede esplorando i modi per migliorare il modello di Black-Scholes incorporando i salti nel processo di stock, passando da un modello diffusivo a un modello di diffusione del salto. L'istruttore inizia spiegando l'inclusione dei salti nel processo stock e fornendo una definizione di salti. Quindi dimostrano una semplice implementazione di un processo di salto in Python, sottolineando la necessità di gestire i salti in un processo stocastico per le azioni, garantendo al contempo che il modello rimanga sotto la misura q.
Inoltre, la conferenza approfondisce le implicazioni dell'introduzione di salti nei prezzi e come influisce sulla PDE (Partial Differential Equation) dei prezzi, introducendo ulteriori termini integrali. La discussione si estende all'impatto delle diverse distribuzioni di salti sulle forme di volatilità implicita e all'utilizzo di concetti come le aspettative iterate dell'aspettativa, la proprietà della torre dell'aspettativa e le funzioni caratteristiche per i processi di salto quando si tratta di aspettative complesse.
Il docente sottolinea la praticità dei processi di salto nelle opzioni di prezzo e nella calibrazione dei modelli, evidenziandone il realismo e la capacità di accogliere code pesanti, nonché di controllare la curtosi e l'asimmetria della densità di blocco e rotazione. Incorporando un processo di salto, è possibile ottenere un migliore adattamento al sorriso di volatilità implicita o allo skew di volatilità implicita, rendendo i processi di salto un'alternativa più favorevole al modello di Black-Scholes.
Spostando l'attenzione, la conferenza introduce il concetto di processi di salto rappresentati da un processo di conteggio, che non sono correlati al moto browniano. Questi processi sono modellati utilizzando un processo di Poisson casuale, caratterizzato da un valore zero iniziale e incrementi indipendenti che seguono una distribuzione di Poisson. La velocità del processo di Poisson determina il numero medio di salti in un periodo di tempo specificato. La lezione spiega come calcolare il numero medio di salti all'interno di un dato intervallo per i processi di salto utilizzando la notazione e le aspettative.
In finanza computazionale, il docente discute la simulazione dei processi di salto, osservando che la grandezza del salto non può esplodere e delineando le ipotesi tecniche ad essa associate. Il processo prevede la definizione di matrici e parametri per la simulazione di incrementi indipendenti utilizzando una distribuzione di Poisson per ogni incremento del processo di salto. La lezione copre anche l'utilizzo del processo di Poisson nel lemma di Ethos per estendere le dinamiche dei processi di salto per il prezzo delle azioni. Nel contesto della finanza computazionale, la lezione introduce e spiega il concetto di processi di salto. Definisce il termine "t-minus" come il tempo appena prima che si verifichi un salto in un processo ed esplora la dinamica del processo attraverso il lemma di Ethos e il calcolo delle derivate rispetto al tempo. Viene discussa la relazione tra la dimensione del salto e l'aggiustamento risultante nella funzione "g", sottolineando la rilevanza pratica di questi concetti nella modellizzazione dei processi stocastici. La lezione sottolinea anche l'importanza di considerare l'indipendenza dei processi di salto e dei processi diffusivi quando si modella il comportamento del mercato azionario.
Per derivare la dinamica di una funzione "g" in un modello che incorpora sia processi di salto che di diffusione, la lezione si concentra sul comportamento di alta complessità di diffusione e sull'applicazione del lemma di Ito. Il lemma di Ito viene utilizzato per gestire termini incrociati, come dxpt al quadrato, nel contesto di una maggiore complessità del modello. Una volta combinati tutti gli elementi, inclusi deriva, diffusione e salti, la dinamica di "g" può essere derivata usando il lemma di Ito. Si accenna anche all'estensione della tavola di Ito, sottolineando le differenze tra un processo di Poisson e un moto browniano. La lezione si conclude delineando il processo di derivazione della dinamica per una funzione "g" che incorpora sia processi di salto che di diffusione.
Andando avanti, la lezione descrive il processo per ottenere la dinamica di uno stock con salto e moto browniano sotto la misura Q. Questo processo comporta la definizione di una nuova variabile e la determinazione della sua dinamica, assicurando che l'aspettativa della dinamica sia zero. Si presume che la componente di salto sia indipendente da tutti gli altri processi, risultando in un'espressione che include termini per deriva, volatilità e aspettativa di J meno uno. Questa espressione viene quindi sostituita nell'equazione per la misura Q, assicurando che la dinamica di ST sul conto di risparmio sia una martingala.
L'istruttore procede a discutere come derivare un modello con diffusione e salti, fornendo un esempio per illustrare i percorsi di un modello con due componenti: diffusivo e salto. La parte diffusiva rappresenta il comportamento continuo, mentre l'elemento di salto introduce la discontinuità, consentendo la rappresentazione dei modelli di salto osservati in alcuni stock. L'istruttore copre anche i parametri per il salto e il parametro di volatilità per il moto browniano, insieme ai valori iniziali per le azioni e i tassi di interesse. Per migliorare ulteriormente la comprensione, l'istruttore dimostra come programmare la simulazione e tracciare i percorsi risultanti.
La lezione passa poi a spiegare l'aspettativa di e alla potenza di j, che è analiticamente calcolata come l'aspettativa di una distribuzione log-normale. Viene eseguita la simulazione degli incrementi di Poisson guidati da c volte pi volte dt, con z che rappresenta gli incrementi per una distribuzione normale e j che rappresenta l'ampiezza del salto. La dinamica del processo di diffusione del salto coinvolge sia equazioni alle derivate parziali che equazioni alle derivate integrali, dove la parte integrale rappresenta l'aspettativa delle dimensioni del salto. L'equazione del prezzo può essere derivata attraverso la costruzione del portafoglio o attraverso l'approccio della funzione caratteristica, ei parametri devono essere calibrati utilizzando i prezzi delle opzioni sul mercato.
Nel contesto della costruzione del portafoglio, la lezione descrive il processo di costruzione di un portafoglio comprendente un'opzione venduta e una copertura con un'azione sottostante. Garantendo che le dinamiche del portafoglio aumentino allo stesso tasso del conto di risparmio in denaro, è possibile derivare un'equazione differenziale di prezzo. Per ottenere la dinamica desiderata, lo stock diviso per il conto di risparmio deve essere una martingala. La lezione poi deriva la condizione per mu, dimostrando che una volta stabilita la dinamica, si può derivare la dinamica di v. Queste informazioni vengono quindi utilizzate per calcolare le aspettative e derivare le dinamiche di v.
Il docente esplora ulteriormente l'equazione per una derivata di primo ordine rispetto al tempo, che è anch'essa di primo ordine rispetto a x e include un'aspettativa per un valore di un contratto al tempo t con un salto. Ciò porta a un termine integrale a causa della presenza di un'aspettativa, risultando in un'equazione differenziale integrale parziale (PID) che è più difficile da risolvere rispetto alle PDE pure. La soluzione consiste nel trovare l'espressione analitica per il valore atteso, che a volte può essere espresso in termini di serie infinite. Vengono inoltre discusse l'importanza delle condizioni al contorno e la trasformazione dei PID in trasformazioni logaritmiche per una migliore convergenza.
Continuando la discussione sui processi di salto, la lezione si concentra sulla trasformazione dei processi di salto nel caso di PID e PID sotto l'opzione deluxe. La lezione presenta due approcci comuni per specificare l'ampiezza del salto, vale a dire il classico modello dei mercanti e il doppio esponenziale non simmetrico. Mentre la calibrazione del modello diventa più complicata con l'aggiunta di sigma j e mu j, la praticità e l'accettazione da parte del settore spesso favoriscono modelli con meno parametri. La conferenza riconosce anche che, man mano che le dinamiche dei processi di salto diventano più complesse, raggiungere la convergenza diventa impegnativo, richiedendo tecniche avanzate come lo spazio di Fourier o soluzioni analitiche per la calibrazione dei parametri.
La lezione procede quindi a spiegare il processo di determinazione del prezzo utilizzando la simulazione Monte Carlo per i processi di diffusione del salto. La determinazione del prezzo implica il calcolo dell'aspettativa del guadagno futuro scontando il suo valore attuale. Sebbene metodi come i PID e la simulazione Monte Carlo funzionino bene in termini di complessità computazionale per le simulazioni, potrebbero non essere ideali per la determinazione dei prezzi e la calibrazione del modello a causa del significativo aumento del numero di parametri quando vengono introdotti i salti. La conferenza approfondisce anche l'interpretazione della distribuzione dei salti e dei parametri di intensità e il loro impatto sulla volatilità implicita smile e skew. Viene condotto un esperimento di simulazione, variando i parametri mantenendo fissi gli altri per osservare gli effetti risultanti su salti e inclinazione.
Per analizzare gli effetti della volatilità e dell'intensità dei salti sulla forma del sorriso e del livello di volatilità implicita, il docente discute le loro relazioni. L'aumento della volatilità di un salto porta a un livello più elevato di volatilità, mentre l'intensità dei salti influisce anche sul livello e sulla forma del sorriso di volatilità implicita. Queste informazioni sono fondamentali per comprendere il comportamento dei prezzi delle opzioni e calibrare i modelli in base ai dati del mercato reale.
La conferenza introduce poi il concetto di Tower Property e la sua applicazione nella semplificazione dei problemi in finanza. Condizionando un percorso da un processo per calcolare l'aspettativa o il prezzo di un altro processo, è possibile semplificare i problemi con più dimensioni nelle equazioni differenziali stocastiche. La proprietà della torre può anche essere applicata a problemi nelle equazioni di Black-Scholes con parametri di volatilità e processi contabili, che spesso diventano somme quando si tratta di integrali di salto. Il docente sottolinea la necessità di formulare ipotesi sui parametri in queste applicazioni.
Successivamente, il docente discute l'uso delle tecniche di Fourier per risolvere equazioni di prezzo nella finanza computazionale. Le tecniche di Fourier si basano sulla funzione caratteristica, che può essere trovata in forma analitica per alcuni casi particolari. Il docente illustra un esempio utilizzando il modello di Merton e spiega come trovare la funzione caratteristica per questa equazione. Separando i termini di aspettativa che coinvolgono parti indipendenti, il docente mostra come esprimere la sommatoria in termini di aspettative, consentendo la determinazione della funzione caratteristica. Il vantaggio dell'utilizzo delle tecniche di Fourier è la loro capacità di consentire calcoli rapidi dei prezzi, che sono cruciali per la calibrazione del modello e la valutazione in tempo reale.
Successivamente, il docente discute l'uso delle tecniche di Fourier per risolvere equazioni di prezzo nella finanza computazionale. Le tecniche di Fourier si basano sulla funzione caratteristica, che può essere trovata in forma analitica per alcuni casi particolari. Il docente illustra un esempio utilizzando il modello di Merton e spiega come trovare la funzione caratteristica per questa equazione. Separando i termini di aspettativa che coinvolgono parti indipendenti, il docente mostra come esprimere la sommatoria in termini di aspettative, consentendo la determinazione della funzione caratteristica. Il vantaggio dell'utilizzo delle tecniche di Fourier è la loro capacità di consentire calcoli rapidi dei prezzi, che sono cruciali per la calibrazione del modello e la valutazione in tempo reale.
Durante la lezione, l'istruttore sottolinea l'importanza di comprendere e incorporare i processi di salto nei modelli di finanza computazionale. Includendo i salti, i modelli possono catturare meglio il comportamento dei prezzi delle azioni nel mondo reale e fornire risultati di determinazione e calibrazione più accurati. La conferenza evidenzia anche le sfide associate ai processi di salto, come la complessità della risoluzione di equazioni differenziali integrali e la necessità di un'attenta calibrazione dei parametri. Tuttavia, con le tecniche e le metodologie appropriate, i processi jump possono migliorare significativamente l'accuratezza e il realismo dei modelli di finanza computazionale.
Finanza computazionale: lezione 6/14 (Processi di diffusione del salto affine)
Finanza computazionale: lezione 6/14 (Processi di diffusione del salto affine)
Il docente fornisce approfondimenti sulla selezione dei modelli di pricing all'interno delle istituzioni finanziarie, concentrandosi sulla distinzione tra front office e back office. Il front office gestisce le attività di negoziazione e avvia le negoziazioni, che vengono poi trasferite al back office per la manutenzione delle negoziazioni e la contabilità. Il docente sottolinea la necessità di considerare vari fattori, tra cui la calibrazione, la valutazione del rischio, l'accuratezza dei prezzi e l'efficienza computazionale quando si sceglie un modello di prezzo. Inoltre, il concetto di funzioni caratteristiche e processi di diffusione del salto affine viene introdotto come classi di modelli che consentono un'efficiente valutazione dei prezzi. Questi modelli sono in grado di calcolare rapidamente i prezzi, rendendoli adatti al trading in tempo reale. La lezione approfondisce anche argomenti come la derivazione della funzione valutaria, l'estensione del framework attraverso l'incorporazione del salto e il flusso di lavoro della determinazione dei prezzi e della modellazione negli istituti finanziari.
L'importanza di comprendere i processi di salto e il loro impatto sull'accuratezza dei prezzi è evidenziata durante la lezione, insieme alle sfide coinvolte nella risoluzione di equazioni differenziali integrali e nella calibrazione dei parametri del modello. Sfruttando tecniche e metodologie appropriate, i modelli di finanza computazionale possono essere migliorati per riflettere meglio il comportamento dei prezzi delle azioni nel mondo reale e migliorare i risultati di pricing e calibrazione.
Inoltre, il relatore sottolinea il ruolo del front office nelle istituzioni finanziarie, in particolare nella progettazione e nel prezzo dei prodotti finanziari per i clienti. Il front office è responsabile della selezione dei modelli di prezzo appropriati per questi prodotti e di garantire che le negoziazioni siano prenotate correttamente. La collaborazione con il back office è fondamentale per validare e implementare i modelli scelti, garantendone l'adeguatezza ai rischi e alle operazioni dell'istituto. L'obiettivo principale del front office è trovare un equilibrio tra la fornitura di prezzi competitivi ai clienti e la gestione dei rischi entro limiti accettabili, garantendo al contempo un flusso costante di profitti.
Il relatore delinea i passaggi essenziali coinvolti in un pricing di successo, a partire dalla specificazione del prodotto finanziario e dalla formulazione di equazioni differenziali stocastiche per catturare i fattori di rischio sottostanti. Questi fattori di rischio svolgono un ruolo fondamentale nella determinazione del modello di prezzo e nel successivo calcolo dei prezzi. La corretta specificazione e modellazione di questi fattori di rischio è fondamentale per una determinazione accurata dei prezzi e una gestione del rischio.
Durante la lezione vengono discussi diversi metodi di determinazione del prezzo, comprese soluzioni esatte e semi-esatti, nonché tecniche numeriche come la simulazione Monte Carlo. Il relatore sottolinea l'importanza della calibrazione del modello, in cui i parametri del modello di prezzo vengono adattati per corrispondere alle osservazioni di mercato. Le tecniche di Fourier vengono introdotte come alternativa più rapida per la calibrazione del modello, consentendo un calcolo efficiente dei parametri del modello.
La conferenza mette a confronto anche due approcci popolari per la determinazione dei prezzi nella finanza computazionale: la simulazione Monte Carlo e le equazioni alle derivate parziali (PDE). La simulazione Monte Carlo è ampiamente utilizzata per problemi di quotazione ad alta dimensione, ma può essere limitata in termini di accuratezza e soggetta a errori di campionamento. Le PDE, d'altra parte, offrono vantaggi come la capacità di calcolare sensibilità come delta, gamma e vega a basso costo e uniformità nelle soluzioni. Il relatore afferma che i metodi basati su Fourier saranno trattati nelle lezioni future in quanto offrono approcci di prezzo più rapidi e più adatti per prodotti finanziari semplici.
Il concetto di funzioni caratteristiche viene introdotto come uno strumento chiave per colmare il divario tra i modelli con funzioni di densità di probabilità analitiche note e quelli senza. Utilizzando le funzioni caratteristiche, diventa possibile derivare la funzione di densità di probabilità di un titolo, che è essenziale per la determinazione del prezzo e la valutazione del rischio.
Nel corso della lezione viene sottolineata l'importanza della calibrazione. Gli strumenti liquidi vengono utilizzati come riferimento per la calibrazione e i loro parametri vengono quindi applicati per valutare accuratamente i prodotti derivati più complessi. Il docente sottolinea la necessità di migliorare e perfezionare continuamente i modelli e le tecniche di determinazione dei prezzi per adattarsi alle condizioni di mercato in evoluzione e ottenere risultati di determinazione dei prezzi affidabili.
In sintesi, la conferenza fornisce approfondimenti sul processo di scelta dei modelli di prezzo nelle istituzioni finanziarie, concentrandosi sul ruolo del front office, sulla calibrazione del modello e su considerazioni di rischio, efficienza e accuratezza. Introduce inoltre varie tecniche come la simulazione Monte Carlo, PDE e metodi basati su Fourier per la determinazione del prezzo e la calibrazione del modello. Viene discusso il concetto di funzioni caratteristiche e il loro significato nel derivare funzioni di densità di probabilità, insieme alle sfide e all'importanza del perfezionamento del modello e dell'adattamento alle condizioni del mondo reale.
Finanza computazionale: lezione 7/14 (Modelli di volatilità stocastica)
Finanza computazionale: lezione 7/14 (Modelli di volatilità stocastica)
Nella lezione, approfondiamo il concetto di modelli di volatilità stocastica come alternativa ai modelli di Black-Scholes, che possono avere i loro limiti. Il relatore sottolinea che i modelli di volatilità stocastica appartengono alla classe dei modelli di diffusione affine, che richiedono tecniche avanzate per ottenere in modo efficiente prezzi e volatilità implicite. Viene spiegata la motivazione alla base dell'incorporazione della volatilità stocastica e viene introdotto il modello di volatilità stocastica bidimensionale di Heston.
Un aspetto importante trattato è la calibrazione dei modelli sull'intera superficie di volatilità implicita piuttosto che su un singolo punto. Ciò è particolarmente cruciale quando si ha a che fare con payoff dipendenti dal percorso e dipendenza dalla direzione dei colpi. I professionisti in genere calibrano i modelli su strumenti liquidi come call e put e quindi estrapolano i prezzi dei derivati esotici. I modelli di volatilità stocastica sono popolari sul mercato in quanto consentono la calibrazione dell'intera superficie di volatilità, nonostante i loro limiti intrinseci.
La lezione sottolinea anche l'importanza delle superfici di volatilità nel mercato azionario e la necessità di modelli appropriati. Se la superficie della volatilità mostra un sorriso ripido, sono spesso preferiti i modelli che incorporano salti o volatilità stocastica. Vengono discusse diverse misure utilizzate per le opzioni di prezzo, tra cui la misura P e la misura neutrale al rischio. Si noti che mentre rendere i tassi di interesse dipendenti dal tempo non migliora i sorrisi o l'inclinazione, l'introduzione di volatilità stocastica o locale può aiutare nella calibrazione. Viene introdotto anche il modello Hassel, che utilizza processi di radice quadrata di ritorno alla media per modellare la volatilità.
La conferenza esplora in dettaglio il concetto di modelli di volatilità stocastica. Inizialmente, vengono utilizzati un processo normale e un moto browniano per definire un'equazione differenziale stocastica, ma è riconosciuto che questo approccio non riesce a catturare accuratamente la volatilità, soprattutto perché può diventare negativa. I vantaggi del processo Box Inverse, noto anche come processo CIR, sono spiegati in quanto presenta code spesse e rimane non negativo, rendendolo un modello adatto per la volatilità. Viene introdotto il modello di Heston, con la sua struttura di volatilità stocastica, e si mostra che la varianza (VT) segue una distribuzione chi-quadro non centrale. Si chiarisce che questa distribuzione è una distribuzione di transizione, e la condizione di Feller è menzionata come una condizione tecnica critica da verificare durante la calibrazione del modello.
Vengono discusse le condizioni per i modelli di volatilità stocastica per evitare che i percorsi raggiungano lo zero, indicati come condizione di Feller. La condizione è soddisfatta quando due volte il prodotto del parametro kappa e la media a lungo termine è maggiore o uguale a gamma al quadrato, la volatilità al quadrato. Quando la condizione non è soddisfatta, i percorsi possono raggiungere lo zero e rimbalzare indietro, portando a una condizione al contorno raggiungibile. Vengono spiegate le proprietà delle distribuzioni chi quadrato non centrali e la loro relazione con i processi CIR. Sono forniti percorsi di varianza e grafici di densità per illustrare gli effetti del soddisfacimento o del non soddisfacimento della condizione di Feller.
Viene sottolineata l'importanza delle distribuzioni fat-tailed nei modelli di volatilità stocastica, poiché spesso vengono osservate dopo aver calibrato i modelli in base ai dati di mercato. Si noti che se la condizione di Feller di un modello non è soddisfatta, i percorsi Monte Carlo possono raggiungere lo zero e rimanere a zero. Viene spiegata l'inclusione della correlazione nei modelli tramite il moto browniano e si menziona che i salti sono generalmente considerati indipendenti. La conferenza si conclude con un grafico che illustra l'impatto della condizione di Feller sulla densità.
La lezione si concentra sulla correlazione e la varianza nel moto browniano. Il relatore spiega che quando si tratta di moti browniani correlati, una certa relazione deve valere, e lo stesso vale per gli incrementi. La tecnica della decomposizione di Cholesky viene introdotta come mezzo per correlare due moti browniani utilizzando una matrice definita positiva e la moltiplicazione di due matrici triangolari inferiori. Questo metodo è utile per formulare i due processi discussi più avanti nella lezione.
Viene discussa la costruzione della moltiplicazione di matrici triangolari inferiori con moti browniani indipendenti, risultando in un vettore contenente una combinazione di processi indipendenti e correlati.
Inoltre, il docente spiega che la funzione caratteristica del modello Heston fornisce preziose informazioni su prezzi efficienti e veloci. Derivando la funzione caratteristica, diventa evidente che tutti i termini coinvolti sono espliciti, eliminando la necessità di complessi calcoli analitici o numerici per risolvere le equazioni differenziali ordinarie. Questa semplicità è considerata uno dei vantaggi significativi del modello Heston, rendendolo uno strumento pratico e potente per la determinazione del prezzo dei derivati.
Il relatore sottolinea che comprendere le caratteristiche e le implicazioni di ciascun parametro nel modello Heston è fondamentale per gestire efficacemente i rischi associati alla volatilità. Parametri come kappa, la media a lungo termine, la volatilità, la correlazione e il valore iniziale del processo di varianza hanno tutti impatti distinti sulla dinamica della volatilità e sulla superficie della volatilità implicita. Calibrando questi parametri in base al mercato e analizzando i loro effetti, i professionisti possono ottenere preziose informazioni su sorrisi e distorsioni di volatilità implicita, consentendo una determinazione dei prezzi e una gestione del rischio più accurate.
La conferenza sottolinea l'importanza di calibrare i modelli di volatilità stocastica sull'intera superficie di volatilità implicita piuttosto che su un singolo punto. I payoff dipendenti dal percorso e le dipendenze dalla direzione degli strike richiedono un approccio di calibrazione completo per catturare l'intera complessità dei dati di mercato. In genere, i professionisti calibrano i modelli su strumenti liquidi come call e put e quindi estrapolano i prezzi dei derivati esotici. Sebbene i modelli di volatilità stocastica consentano la calibrazione sull'intera superficie di volatilità, è riconosciuto che il processo di calibrazione non è perfetto e ha i suoi limiti.
Per migliorare ulteriormente la comprensione dei modelli di volatilità stocastica, il docente approfondisce il concetto di distribuzioni dalla coda grassa, che si osservano spesso quando si calibrano i modelli ai dati di mercato. L'oratore spiega che se la condizione di abbattimento di un modello non è soddisfatta, i percorsi Monte Carlo possono raggiungere lo zero e rimanere a zero, influenzando la precisione del modello. Inoltre, vengono discussi l'inclusione dei salti e la considerazione indipendente delle correlazioni nei modelli di volatilità stocastica. La conferenza fornisce approfondimenti su come questi elementi influenzano le dinamiche di volatilità e i prezzi.
La conferenza si conclude confrontando il modello di Heston con il modello di Black-Scholes. Mentre il modello di Heston offre maggiore flessibilità e stocasticità nella modellazione della volatilità, il modello di Black-Scholes rimane un punto di riferimento per la determinazione del prezzo dei derivati. Comprendere le implicazioni delle diverse modifiche dei parametri su sorrisi e distorsioni di volatilità implicita è essenziale per i professionisti per scegliere il modello appropriato per le loro esigenze specifiche. Attraverso una calibrazione e un'analisi complete, i modelli di volatilità stocastica come quello di Heston possono fornire preziose informazioni sulla determinazione dei prezzi e sulla gestione del rischio nei mercati finanziari.
Oltre a discutere il modello di Heston, la conferenza affronta l'importanza della correlazione e della varianza nel moto browniano. L'oratore spiega che quando si ha a che fare con moti browniani correlati, alcune relazioni e condizioni devono essere vere, incluso l'uso della decomposizione di Cholesky. Questa tecnica consente la correlazione di due moti browniani utilizzando una matrice definita positiva e la moltiplicazione di due matrici triangolari inferiori. La lezione sottolinea che questo metodo è essenziale per formulare processi in casi multidimensionali e ottenere la struttura di correlazione desiderata.
Inoltre, il docente si sofferma sulla costruzione e rappresentazione di moti browniani indipendenti e correlati in modelli di volatilità stocastica. Sebbene la decomposizione di Cholesky sia uno strumento utile per correlare i moti browniani, la conferenza sottolinea che per scopi pratici non è sempre necessaria. Invece, il lemma di Ito può essere applicato per incorporare efficacemente moti browniani correlati. La conferenza fornisce esempi di costruzione di portafogli di azioni con moti browniani correlati e dimostra come applicare il lemma di Ito per determinare la dinamica di funzioni multidimensionali che coinvolgono più variabili.
La conferenza copre anche la determinazione del prezzo dell'equazione differenziale parziale (PDE) per il modello di Heston utilizzando un approccio martingala. Questo approccio implica garantire che una quantità specifica, chiamata pi greco, che rappresenta il rapporto di volatilità sulla media a lungo termine, sia una martingala. Applicando Ethos Lemma, la lezione deriva l'equazione per la martingala, che coinvolge le derivate e il processo di varianza. La PDE del prezzo consente la determinazione di prezzi equi per i contratti derivati e l'uso della misura neutrale al rischio nel prezzo.
Inoltre, il relatore discute l'impatto di diversi parametri sulla forma della volatilità implicita nei modelli di volatilità stocastica. È stato dimostrato che parametri come gamma, correlazione e velocità di ritorno alla media (kappa) influenzano la curvatura, l'asimmetria e la struttura a termine delle volatilità implicite. Comprendere gli effetti di questi parametri aiuta a calibrare accuratamente i modelli e a catturare le dinamiche di volatilità desiderate.
Durante la conferenza, il relatore sottolinea l'importanza della calibrazione del modello, in particolare per l'intera superficie di volatilità implicita. La calibrazione su strumenti liquidi e l'estrapolazione su derivati esotici è una pratica comune tra i professionisti. I modelli di volatilità stocastica, incluso il modello Heston, forniscono la flessibilità necessaria per calibrare l'intera superficie di volatilità, consentendo una migliore accuratezza nella determinazione dei prezzi e nella gestione del rischio. Tuttavia, è riconosciuto che la calibrazione del modello non è priva di limitazioni e che le sottili differenze tra i modelli, come i modelli Heston e Black-Scholes, dovrebbero essere attentamente esaminate per garantire prezzi e valutazione del rischio appropriati.
La conferenza fornisce una panoramica completa dei modelli di volatilità stocastica, concentrandosi sul modello di Heston, le sue implicazioni sui parametri, le tecniche di calibrazione e il ruolo della correlazione e della varianza nel moto browniano. Comprendendo e applicando efficacemente questi concetti, i professionisti possono migliorare la loro capacità di valutare i derivati, gestire i rischi e navigare nelle complessità dei mercati finanziari.
Finanza computazionale: Lezione 8/14 (Trasformazione di Fourier per il prezzo delle opzioni)
Finanza computazionale: Lezione 8/14 (Trasformazione di Fourier per il prezzo delle opzioni)
Durante la lezione sulla Trasformata di Fourier per il prezzo delle opzioni, l'istruttore approfondisce l'applicazione della tecnica e vari aspetti. Iniziano spiegando che la trasformata di Fourier viene utilizzata per calcolare la densità e le opzioni di prezzo efficienti per i modelli che rientrano nella classe dei modelli di diffusione fine. La tecnica prevede il calcolo di un integrale sull'asse reale, che può essere computazionalmente costoso. Tuttavia, utilizzando il lemma di inversione, l'istruttore chiarisce come il dominio per "u" può essere ridotto, consentendo il calcolo della parte reale dell'integrale. Questo approccio consente di ridurre al minimo l'onere computazionale associato a calcoli costosi.
Il docente discute ulteriormente il miglioramento di questa rappresentazione utilizzando la trasformazione veloce di Fourier (FFT), che migliora significativamente l'efficienza dell'implementazione. Sfruttando le proprietà di FFT, il carico di lavoro computazionale viene ridotto, rendendo il prezzo delle opzioni più efficiente e veloce. La sessione si conclude con un confronto tra il metodo della trasformazione di Fourier e il metodo del costo, fornendo approfondimenti sui rispettivi dettagli di implementazione.
Andando avanti, il docente approfondisce il primo passaggio per derivare un modo rapido per calcolare la densità utilizzando la trasformazione di Fourier. Questo passaggio comporta la divisione del dominio in due e l'estrazione della parte reale, che è un'operazione computazionalmente poco costosa. Inoltre, il docente esplora la divisione dei numeri complessi e l'importanza di prendere il coniugato, poiché facilita calcoli più efficienti della funzione caratteristica. Viene inoltre discussa la costruzione di una griglia per ottenere la densità per ogni valore "x", evidenziando l'importanza di selezionare domini appropriati e definire i confini.
La lezione procede con la spiegazione del calcolo della densità di "x" utilizzando un integrale di trasformazione di Fourier e una griglia composta da "n" punti della griglia. L'istruttore sottolinea la necessità di eseguire calcoli di densità per più valori "x" contemporaneamente. Una volta definite le griglie, viene introdotto un nuovo integrale che coinvolge una funzione denominata "gamma" e viene impiegata l'integrazione trapezoidale per approssimare l'integrale discreto. Per illustrare questo processo, il docente fornisce un esempio di esecuzione dell'integrazione trapezoidale per una funzione con una griglia equispaziata.
Il relatore approfondisce quindi il processo di configurazione dei parametri per definire la griglia per la trasformazione di Fourier. Questi parametri comprendono il numero di punti della griglia, il valore massimo di "u" e la relazione tra delta "x" e delta "u". Una volta stabiliti questi parametri, è possibile sostituire integrali e sommatorie, consentendo la derivazione di una funzione per ogni valore "x". La lezione include un'equazione che incorpora l'integrazione trapezoidale e funzioni caratteristiche valutate ai nodi al contorno del trapezio.
La rappresentazione dell'integrale e l'importanza dell'impiego della trasformazione rapida di Fourier (FFT) nel prezzo delle opzioni sono discusse in dettaglio. Il relatore spiega che definendo una funzione adatta per l'input in FFT, i professionisti possono sfruttare le capacità di rapida valutazione e implementazione già presenti nella maggior parte delle biblioteche. Il docente procede spiegando i passaggi coinvolti nel calcolo di questa trasformazione e come può essere utilizzata per calcolare gli integrali. Nel complesso, la conferenza sottolinea l'importanza della FFT nella finanza computazionale e la sua utilità nel prezzo delle opzioni.
Oltre agli argomenti sopra menzionati, la conferenza esplora vari aspetti relativi alla trasformazione di Fourier per il prezzo delle opzioni. Questi includono l'uso di tecniche di interpolazione per garantire calcoli accurati per un numero discreto di punti, la relazione tra la serie di Taylor e la funzione caratteristica, l'applicazione del metodo di espansione del coseno per funzioni pari e l'uso di domini troncati per approssimare la densità. La lezione affronta anche il recupero della densità, i risultati numerici ottenuti mediante l'espansione di Fourier e la rappresentazione dei prezzi sotto forma di matrici e vettori.
Durante la lezione, l'istruttore sottolinea l'implementazione pratica del metodo della trasformazione di Fourier, discute l'impatto di diversi parametri ed evidenzia i vantaggi ei limiti dell'approccio. Fornendo spiegazioni complete ed esperimenti numerici, la lezione fornisce agli studenti le conoscenze e gli strumenti necessari per applicare la trasformazione di Fourier per il prezzo delle opzioni in scenari reali.
Il docente procede a discutere il recupero della funzione di densità nella Trasformata di Fourier per il prezzo delle opzioni. Sottolineano l'importanza di selezionare un numero sufficientemente elevato di punti (indicati come "n") nella trasformazione per ottenere calcoli di densità ad alta precisione. Il docente introduce il numero complesso "i" per definire il dominio e il massimo, con "u_max" determinato dalla distribuzione. Inoltre, il docente spiega la necessità dell'interpolazione, in particolare utilizzando l'interpolazione cubica nei punti della griglia "x_i" per garantire un calcolo accurato della funzione di densità dell'output, anche per input che non giacciono sulla griglia.
Il relatore esplora ulteriormente i vantaggi dell'interpolazione e la sua rilevanza per il prezzo delle opzioni utilizzando la trasformazione di Fourier. Sebbene la trasformazione di Fourier sia vantaggiosa per griglie più grandi, l'interpolazione può essere preferita quando si ha a che fare con numeri più grandi, poiché è relativamente meno costosa dal punto di vista computazionale rispetto a FFT. Il relatore dimostra come funziona l'interpolazione attraverso esempi di codice, evidenziando che regolando i parametri diventa possibile calcolare le sensibilità e ottenere greche senza costi aggiuntivi. Questa caratteristica rende la tecnica di espansione del coseno ideale per la quotazione di derivati più esotici come le opzioni barriera e Bermuda.
Inoltre, il docente discute la relazione tra la serie di Taylor e la funzione caratteristica nella finanza computazionale. La conferenza mette in mostra la corrispondenza biunivoca tra la serie e la funzione caratteristica, consentendo relazioni dirette senza richiedere integrali aggiuntivi. Il docente descrive quindi il "metodo cos" per il prezzo delle opzioni, che impiega un'espansione del coseno di Fourier per rappresentare le funzioni pari intorno allo zero. Questo metodo comporta il calcolo di integrali e coefficienti, con la nota fondamentale che il primo termine dell'espansione dovrebbe essere sempre moltiplicato per metà.
La lezione approfondisce il processo di modifica del dominio di integrazione per la funzione "g" per ottenere un intervallo di supporto finito da "a" a "b". Il relatore spiega l'importanza della formula di Eulero nel semplificare l'espressione e mostra come la sostituzione di "u" con "k pi diviso per ba" porta a un'espressione più semplice che coinvolge la densità. Il dominio troncato è indicato da un simbolo di cappello e valori specifici per i parametri "a" e "b" vengono scelti in base al problema da risolvere. Il relatore sottolinea che questa è una tecnica di approssimazione e che le scelte euristiche sono coinvolte nella selezione dei valori di "a" e "b".
Inoltre, la conferenza esplora la relazione tra l'espansione di Fourier e il recupero della densità. Prendendo le parti reali di entrambi i membri dell'equazione, la lezione dimostra la formula di Eulero che permette di esprimere l'integrale della densità come parte reale della funzione caratteristica. Questo metodo elegante e veloce facilita la ricerca delle relazioni tra gli integrali della funzione obiettivo e la funzione caratteristica utilizzando la definizione della funzione caratteristica. Il metodo del costo mira a scoprire queste relazioni per calcolare i coefficienti di espansione e recuperare la densità. Sebbene il metodo introduca errori dalla sommatoria infinita e dal dominio di troncamento, questi errori sono facili da controllare.
La lezione si concentra quindi sulla sintesi dell'espansione del coseno di Fourier, che può raggiungere un'elevata precisione anche con un numero ridotto di termini. Viene condotto un esperimento numerico che coinvolge una normale funzione di densità di probabilità (PDF) per esaminare la generazione di errori in base al numero di termini, con misurazione del tempo inclusa. L'esperimento del codice è strutturato per generare densità utilizzando il metodo del coseno, definendo l'errore come la massima differenza assoluta tra la densità recuperata utilizzando il metodo del coseno e il PDF normale esatto. Il metodo del coseno richiede solo poche righe di codice per recuperare la densità utilizzando la funzione caratteristica, che è alla base del metodo.
Inoltre, il relatore discute i risultati numerici dell'espansione di Fourier, che può essere eseguita in modo efficiente utilizzando la notazione matriciale. L'errore diminuisce all'aumentare del numero di termini di espansione, con un errore di appena 10^-17 raggiunto con 64 termini. L'uso di un numero inferiore di termini può provocare oscillazioni o un adattamento più scarso. Il relatore osserva che parametri come il dominio e il numero di termini di espansione dovrebbero essere regolati con attenzione, specialmente per le distribuzioni con coda pesante. Inoltre, la conferenza evidenzia che la densità log-normale può anche essere modellata utilizzando la funzione caratteristica normale.
Andando avanti, il docente approfondisce il caso log-normale e spiega in che modo la sua densità differisce dalla distribuzione normale. A causa della distribuzione log-normale, in genere è richiesto un numero maggiore di termini di espansione. Il docente sottolinea l'importanza di scegliere un numero appropriato di termini per un tipo specifico di distribuzione e dominio.
La conferenza sottolinea che il metodo del costo è particolarmente utile per recuperare densità ed è comunemente impiegato per il pricing dei derivati, come le opzioni di tipo europeo che hanno un pagamento solo alla scadenza. Il docente procede spiegando come funziona il pricing, che implica l'integrazione del prodotto di una funzione di densità e payoff sotto la misura neutrale al rischio.
Man mano che la lezione procede, l'oratore discute opzioni più esotiche, in cui è possibile derivare una funzione di connettività e utilizzare i coseni. Viene introdotto il termine "densità di transizione", riferito alle distribuzioni che descrivono la transizione da un punto all'altro sull'asse del tempo. Il valore iniziale è dato in termini di distribuzione di una variabile casuale. La presentazione esplora ulteriormente il troncamento della densità, dove la densità è limitata a un intervallo specificato. Viene spiegato il metodo della quadratura gaussiana, che prevede l'integrazione di una sommatoria delle parti reali di una funzione caratteristica moltiplicata per un esponente.
La conferenza introduce il concetto di log asset price rettificato, che è definito come il logaritmo del titolo alla scadenza diviso per un coefficiente di scala. Viene presentata una rappresentazione alternativa del payoff e l'oratore nota che la scelta di "v" ha un impatto diretto sul coefficiente "h_n". Questo approccio può essere utilizzato per valutare i guadagni per più strike, fornendo un metodo conveniente per prezzare le opzioni a vari strike price contemporaneamente.
Successivamente, l'oratore approfondisce il processo di calcolo dell'integrale di una funzione di payoff moltiplicata per la densità utilizzando le funzioni esponenziale e coseno nella trasformazione di Fourier per il prezzo delle opzioni. Viene fornita una forma generica per i due integrali coinvolti e vengono selezionati diversi coefficienti per calcolare vari payoff. Il relatore sottolinea l'importanza di poter implementare questa tecnica per più strike, consentendo la determinazione del prezzo di tutti gli strike contemporaneamente, risparmiando tempo e riducendo le spese computazionali. Infine, la rappresentazione dei prezzi è presentata sotto forma di una matrice moltiplicata per un vettore.
Viene discussa la formula di implementazione per la trasformazione di Fourier nel prezzo delle opzioni, che coinvolge la vettorizzazione degli elementi e le manipolazioni della matrice. La lezione spiega il processo di prendere "k" come vettore e creare una matrice con "n_k" battute. Le parti reali sono calcolate per gestire numeri complessi. La funzione caratteristica è di grande importanza in quanto non dipende da "x" e svolge un ruolo chiave nel raggiungimento di implementazioni efficienti per colpi multipli. L'accuratezza e la convergenza dell'implementazione dipendono dal numero di termini e viene mostrato un confronto campione.
Inoltre, il relatore approfondisce il codice utilizzato per il metodo di trasformazione di Fourier nel prezzo delle opzioni e spiega le diverse variabili coinvolte. Introducono il concetto di un intervallo per i coefficienti "a" e "b", tipicamente mantenuto a 10 o 8 per i modelli di diffusione del salto. Il codice include un'espressione lambda per la funzione caratteristica, che è una funzione generica adattabile a diversi modelli. L'oratore sottolinea l'importanza della misurazione del tempo conducendo più iterazioni dello stesso esperimento e calcolando il tempo medio. Infine, illustrano il metodo del costo e come utilizza l'intervallo di integrazione per assumere una grande volatilità.
La lezione prosegue con una spiegazione del processo di definizione degli strike e calcolo dei coefficienti per il metodo della trasformata di Fourier per il prezzo delle opzioni. Il docente sottolinea che mentre l'ottimizzazione dei parametri del modello può portare a una migliore convergenza e richiedere meno termini per la valutazione, è generalmente sicuro attenersi ai parametri del modello standard. Descrivono in dettaglio le fasi di definizione di una matrice e di esecuzione della moltiplicazione di matrici per ottenere il prezzo di esercizio scontato, confrontando l'errore risultante con quello della soluzione esatta. La lezione evidenzia che l'errore dipende dal numero di termini e dall'intervallo di strike scelto.
Il relatore presenta quindi un confronto tra diversi metodi per il prezzo delle opzioni, tra cui il metodo Fast Fourier Transform (FFT) e il metodo Cosine. Spiegano che il metodo FFT è più adatto per un gran numero di punti della griglia, mentre il metodo del coseno è più efficiente per un numero minore di punti della griglia. Il docente dimostra il calcolo dei prezzi delle opzioni utilizzando entrambi i metodi e confronta i risultati.
Inoltre, la lezione copre l'applicazione dei metodi basati su Fourier in altre aree della finanza, come la gestione del rischio e l'ottimizzazione del portafoglio. Il docente spiega che i metodi basati su Fourier possono essere utilizzati per stimare misure di rischio come Value-at-Risk (VaR) e Conditional Value-at-Risk (CVaR). Combinando i metodi di Fourier con le tecniche di ottimizzazione, è possibile trovare allocazioni di portafoglio ottimali che minimizzino il rischio o massimizzino i rendimenti.
La conferenza si conclude riassumendo i punti principali discussi durante la presentazione. Le tecniche di trasformazione di Fourier forniscono un potente strumento per il prezzo delle opzioni e altre applicazioni finanziarie. Il metodo del coseno consente una determinazione del prezzo efficiente e accurata delle opzioni sfruttando la funzione caratteristica e l'espansione di Fourier. La scelta dei parametri, come il numero di termini e il dominio, influisce sull'accuratezza e sulla convergenza del metodo. Inoltre, i metodi basati su Fourier possono essere estesi a vari problemi finanziari oltre al prezzo delle opzioni.
Nel complesso, la conferenza fornisce una panoramica completa delle tecniche di trasformazione di Fourier nel prezzo delle opzioni, coprendo argomenti come il recupero della densità, l'interpolazione, il metodo cos, le distribuzioni log-normali, i colpi multipli, le considerazioni sull'implementazione e i confronti con altri metodi di prezzo. Le spiegazioni del docente e gli esempi di codice aiutano a illustrare l'applicazione pratica di queste tecniche in ambito finanziario e ne evidenziano i vantaggi in termini di accuratezza ed efficienza.