[Archives] Mathématiques pures, physique, chimie, etc. : problèmes d'entraînement cérébral sans rapport avec le commerce. - page 284
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Нету такой функции. Ну кроме y=0. Это моё заднее слово. :)
y=0 ne rentre pas dans lui-même quand on le fait tourner
Premièrement, il n'y a pas d'angle de 90 degrés dans le problème de l'Olympiade. Je ne connaissais pas le problème de "Quantum".
Deuxièmement, à en juger par la séquence des questions, la question a) est plus facile que la suivante. Il est donc possible de prouver quelque chose.
Troisièmement, une telle fonction existe - sinon il n'y aurait pas de problème d'Olympiade :) C'est juste l'inertie de la pensée qui se met en travers.
Eh bien, essayons de résoudre pour 90 degrés, peut-être que des idées apparaîtront.
y=0 не переходит в себя при повороте
Alors il n'y en a pas du tout.
preuve a)
Il est facile de vérifier que le point (a,b) passe toujours au point (-b,a) lorsqu'il est tourné de 90 degrés. Ainsi, lorsque le graphique de notre fonction subit une rotation, son point arbitraire (x,f(x)) se transforme en (-f(x),x). Mais selon les termes du problème, le nouveau graphe coïncide avec l'ancien, donc nous devons exiger
f(-f(x))=x (1)
pour tout x sur l'axe des nombres. Maintenant, si f(x0)=x0 est satisfaite pour un certain point x0, alors selon (1) nous devrions également satisfaire f(-x0)=x0 (2)
Notez que nous pouvons sans risque faire pivoter le graphique à nouveau du même angle, et il passera à nouveau dans lui-même, mais le point (-f(x),x) passera déjà dans (-x,-f(x)). Nous devons donc supposer que f(-x)=-f(x), avec lequel (2) ne concorde que si x0=0, ce qui était nécessaire pour prouver.
mais j'ai aussi du mal avec cet exemple : )))).
P.S. Au fait, si vous le faites tourner une fois de plus, la preuve est encore plus évidente, mais c'est du lyrisme.
Во-первых, в олимпиадной угла 90 градусов нет.
il y a aussi des fautes d'impression... la phrase "en tournant un angle" semble suspecte, habituellement dans la formulation des problèmes si vous voulez indiquer l'incertitude, utilisez la phrase comme "en tournant un certain angle" ou quelque chose comme ça... donc je vote quand même pour la faute de frappe.
Ainsi, le point a) est résolu pour le cas particulier. Le point fixe est x=0.
OK, regardons la solution. Je n'examinerai que le point a).
Oui, la solution a) suppose implicitement que l'angle est de 90 :
Bon, gardons l'intrigue pour le point b) ?
a) me croiser... :)
b) en veillant uniquement à se croiser
доказательство а)
нетрудно проверить, что точка (a,b) при повороте на 90 градусов всегда переходит в точку (-b,a). Тогда при повороте графика нашей функции произвольная его точка (x,f(x)) перейдет в (-f(x),x). Но по условию задачи новый график совпадает со старым, значит мы должны потребовать
f(-f(x))=x (1)
для любого x на числовой оси. Теперь, если для некой точки x0 выполняется f(x0)=x0, то согласно (1) должно выполняться и f(-x0)=x0 (2)
Заметим, что график мы можем спокойно вращать его еще раз на тот же угол, и он снова перейдет в себя, но при этом уже точка (-f(x),x) переходит в (-x,-f(x)). Значит мы обязаны принять, что f(-x)=-f(x), с чем (2) согласуется только в случае, если x0=0, что и требовалось доказать.
а вот с примером у меня тоже туговато:))))
Je pense que j'ai peut-être trouvé un exemple. Pour être plus exact, j'ai inventé une façon de le construire. Je vais essayer de le décrire (c'est trop compliqué à dessiner, j'étais sur le point d'aller me coucher).
La fonction est, bien sûr, discontinue. Donc :
Tracez une ligne y=x*1/2 (avec un angle de Pi/6) passant par l'origine. Et une autre : y=-x*2 (à un angle de -Pi/3).
Ce sont les vides. Vous devez en couper des morceaux. Nous le faisons à la condition qu'à la rotation, les pièces coïncident avec leurs "jumeaux".
Suivant. Tracez une ligne verticale à droite de l'ordonnée (par exemple x=1).
Prenez un compas, mettez un pied à l'origine, le second sur le point d'intersection de la ligne verticale tracée avec la première pièce (x=1, y=0,5) et tournez autour de O pour couper la deuxième pièce. // Cependant, il est préférable de faire une rotation de 360 - cela sera utile dans le futur, pour la construction de la direction négative.
(A x=0.5, y=-1)
À partir de ce point d'intersection, construisez une ligne verticale jusqu'à l'intersection avec la première pièce à nouveau (x=0,5, y=0,25)... et répétez la procédure une fois de plus. A la satisfaction, ou plutôt à l'infini.
On procède de la même manière dans le sens du zoom (dans l'ordre inverse, bien sûr).
Et maintenant, toute la construction est dupliquée dans la direction négative.
C'est tout. Le tableau est prêt. Il ne reste plus qu'à écrire la fonction qu'il représente.
пять баллов
Je suis moi-même comme ça ! :)