Comercio Cuantitativo - página 13
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Wall Street: los corredores de velocidad
Wall Street: los corredores de velocidad
Mucha gente no sabe que la mayoría de las transacciones bursátiles en los Estados Unidos ya no son ejecutadas por seres humanos sino por computadoras robóticas. Estas supercomputadoras son capaces de comprar y vender miles de valores diferentes en un abrir y cerrar de ojos. El comercio de alta frecuencia, como se le conoce, se ha vuelto predominante en Wall Street en los últimos años y desempeñó un papel en la mini caída del mercado la primavera pasada cuando el Promedio Industrial Dow Jones se desplomó 600 puntos en solo 15 minutos.
La Comisión de Bolsa y Valores y los miembros del Congreso han comenzado a plantear preguntas difíciles sobre la utilidad, los peligros potenciales y las sospechas de la manipulación del mercado a través del comercio informático. El cambio de comerciantes humanos a máquinas ha transformado el paisaje de la Bolsa de Valores de Nueva York, que alguna vez fue el centro del mundo financiero. Ahora, menos del 30% de la negociación se realiza en el parqué, y el resto se realiza a través de plataformas electrónicas y sistemas de negociación alternativos.
Han surgido dos bolsas de valores electrónicas, BATS y Direct Edge, propiedad de grandes bancos y firmas comerciales de alta frecuencia, que negocian más de mil millones de acciones por día a velocidades asombrosas. Empresas comerciales de alta frecuencia como Tradeworks, dirigida por Manoj Narang y un equipo de matemáticos y científicos llamados quants (analistas cuantitativos), se dedican a esta práctica. Ejecutan operaciones por fracciones de segundo, con el objetivo de obtener una ganancia de un centavo o menos por operación. Estas empresas confían en algoritmos matemáticos complejos programados en sus computadoras para analizar datos en tiempo real y tomar decisiones en una fracción de segundo.
Un aspecto clave del comercio de alta frecuencia es que las computadoras no tienen conocimiento de las empresas que se comercializan. Desconocen el valor de las empresas, su gestión o cualquier otro factor cualitativo. Las decisiones comerciales se basan puramente en factores cuantitativos, probabilidad y análisis estadístico. Este enfoque permite capturar oportunidades fugaces en el mercado pero ignora factores fundamentales.
Los comerciantes de alta frecuencia invierten mucho en supercomputadoras e infraestructura para obtener una ventaja de velocidad. Cuanto más cerca estén sus computadoras de los servidores de la bolsa de valores, más rápido recibirán la información crítica del mercado. Incluso unos pocos milisegundos de ventaja pueden resultar en ganancias significativas. Los críticos argumentan que los comerciantes de alta frecuencia explotan esta ventaja para ejecutar órdenes anticipadas, manipular acciones y extraer dinero del mercado sin agregar ningún valor real.
Si bien los defensores afirman que el comercio de alta frecuencia aumenta la liquidez del mercado, reduce los costos de transacción y ajusta los diferenciales de acciones, los críticos creen que socava la equidad y la transparencia. La naturaleza de alta velocidad del comercio y la complejidad de los algoritmos dificultan que los reguladores controlen y garanticen la igualdad de condiciones. El "desplome repentino" de 2010, cuando el Dow Jones cayó 600 puntos en cuestión de minutos, expuso los riesgos potenciales asociados con el comercio de alta frecuencia y la falta de control.
Los reguladores y legisladores han comenzado a proponer reformas para abordar las preocupaciones relacionadas con el comercio de alta frecuencia. La Comisión de Bolsa y Valores está considerando medidas para rastrear e identificar operaciones de alta frecuencia, y se han implementado interruptores automáticos para detener las operaciones en casos de extrema volatilidad de precios. Sin embargo, se necesitan más cambios para restaurar la confianza en la integridad del mercado y brindar transparencia a los inversionistas promedio que sienten que el sistema está manipulado en su contra.
En los últimos años, los comerciantes de alta frecuencia han ampliado sus actividades a los mercados de divisas y materias primas, lo que genera aún más preocupación sobre su impacto en los mercados financieros. La evolución de la tecnología ha superado la capacidad de los reguladores para mantenerse al día, y existe una demanda creciente de reformas que logren un equilibrio entre la innovación y la integridad del mercado.
"Modelado matemático y computación en finanzas: con ejercicios y códigos de computadora Python y MATLAB" , por CW Oosterlee y LA Grzelak, World Scientific Publishing, 2019.
"Modelado matemático y computación en finanzas: con ejercicios y códigos de computadora Python y MATLAB" es un libro invaluable que explora la intersección de las matemáticas, las finanzas y la informática. Escrito por expertos en el campo, proporciona una guía completa para comprender e implementar modelos matemáticos en finanzas utilizando lenguajes de programación populares como Python y MATLAB.
El libro comienza presentando a los lectores los conceptos fundamentales de los modelos matemáticos en finanzas, incluida la teoría de la probabilidad, el cálculo estocástico y las técnicas de optimización. Enfatiza los aspectos prácticos del modelado y la computación, destacando la importancia de los métodos numéricos y la simulación para resolver problemas financieros del mundo real.
Una de las características sobresalientes de este libro es la inclusión de numerosos ejercicios y códigos de computadora en Python y MATLAB. Estos ejercicios permiten a los lectores participar activamente con el material, reforzar su comprensión de los conceptos y desarrollar sus habilidades de programación. Al trabajar en los ejercicios e implementar los códigos proporcionados, los lectores pueden obtener experiencia práctica en la aplicación de modelos matemáticos para financiar y mejorar su competencia en el uso de estos lenguajes de programación para el análisis financiero.
El libro cubre una amplia gama de temas relevantes para las finanzas, como la valoración de opciones, la optimización de carteras, la gestión de riesgos y la asignación de activos. Profundiza en temas avanzados como el modelado de volatilidad, el modelado de tasas de interés y el modelado de riesgo crediticio, brindando a los lectores una comprensión integral de las técnicas matemáticas utilizadas en el modelado financiero.
Los autores logran un equilibrio entre el rigor teórico y la aplicación práctica a lo largo del libro. Proporcionan explicaciones claras de los conceptos y algoritmos matemáticos subyacentes, acompañadas de ejemplos del mundo real y estudios de casos. Este enfoque permite a los lectores comprender los fundamentos teóricos y, al mismo tiempo, obtener información sobre cómo se pueden aplicar estos modelos para resolver problemas financieros prácticos.
Además, el libro destaca las ventajas y limitaciones de los diferentes enfoques de modelado, equipando a los lectores con las habilidades de pensamiento crítico necesarias para tomar decisiones informadas al elegir e implementar modelos en escenarios del mundo real.
"Modelado matemático y computación en finanzas: con ejercicios y códigos de computadora Python y MATLAB" es un excelente recurso para estudiantes, investigadores y profesionales en el campo de las finanzas que buscan profundizar su comprensión del modelado matemático y los métodos computacionales. Su combinación de explicaciones teóricas, ejercicios prácticos y códigos de computadora listos para usar lo convierte en un compañero esencial para cualquier persona interesada en aplicar técnicas matemáticas para resolver problemas financieros.
https://github.com/LechGrzelak/Computational-Finance-Course
Este curso Computational Finance se basa en el libro: "Modelado matemático y computación en finanzas: con ejercicios y códigos de computadora Python y MATLAB"
Finanzas computacionales: Conferencia 1/14 (Introducción y descripción general de las clases de activos)
Esta conferencia integral sirve como una introducción a los campos fascinantes de las finanzas computacionales y la ingeniería financiera, y cubre una amplia gama de temas esenciales para comprender las finanzas modernas. El disertante enfatiza la importancia de los modelos teóricos de las finanzas matemáticas y computacionales, que se utilizan para crear modelos prácticos para la valoración de derivados en diversos escenarios.
En el curso de finanzas computacionales, los estudiantes profundizarán en varios temas que son cruciales para comprender y aplicar métodos financieros prácticos. Dirigido por el instructor, Leth Lag, el curso enfatizará la implementación de técnicas de programación eficientes usando Python para simulación y fijación de precios de opciones. Este programa integral está diseñado para personas interesadas en finanzas, finanzas cuantitativas e ingeniería financiera. Cubrirá conceptos esenciales como volatilidades implícitas, estrategias de cobertura y el fascinante reino de los derivados exóticos.Las finanzas computacionales son un campo interdisciplinario situado entre las finanzas matemáticas y los métodos numéricos. Su objetivo principal es desarrollar técnicas que puedan aplicarse directamente al análisis económico, combinando habilidades de programación con modelos teóricos. La ingeniería financiera, por otro lado, abarca un enfoque multidisciplinario que emplea teoría financiera, métodos de ingeniería, herramientas matemáticas y prácticas de programación. Los ingenieros financieros desempeñan un papel fundamental en la creación de modelos prácticos basados en finanzas matemáticas y computacionales, que se pueden utilizar para cotizar derivados y manejar contratos financieros complejos de manera eficiente. Estos modelos deben ser teóricamente sólidos y adaptables a diversos escenarios.
El curso arrojará luz sobre las diferentes clases de activos negociados en finanzas computacionales, incluidas acciones, opciones, tasas de interés, divisas, mercados crediticios, materias primas, energía y criptomonedas. Las criptomonedas, en particular, ofrecen exposición a varias clases de activos y pueden emplearse con fines de cobertura. Cada clase de activo tiene sus contratos únicos que se utilizan para el control de riesgos y las estrategias de cobertura. El mercado extrabursátil (OTC), con sus múltiples contrapartes, presenta complejidades adicionales que deben entenderse.
El disertante explorará el papel de las criptomonedas en las finanzas, enfatizando sus diversas características y la necesidad de metodologías, modelos y supuestos específicos para la fijación de precios. Además, se examinarán las cuotas de mercado de diferentes clases de activos, como tipos de interés, divisas, acciones, materias primas y swaps de incumplimiento crediticio (CDS). Si bien las opciones representan una porción relativamente pequeña del mundo financiero, ofrecen una perspectiva distinta sobre el análisis financiero y computacional.
El tema de las opciones y la especulación se discutirá a fondo, destacando cómo las opciones brindan una alternativa a la compra de acciones al permitir que las personas especulen sobre la dirección futura de una acción con una inversión de capital relativamente pequeña. Sin embargo, las opciones tienen una fecha de vencimiento y pueden perder valor si el precio de las acciones permanece sin cambios, lo que hace que el tiempo sea un factor crucial en la especulación. El curso proporcionará una introducción a los mercados financieros, las clases de activos y el papel de los ingenieros financieros en la navegación por estos paisajes complejos. Las acciones, como la clase de activo más popular, se explorarán en detalle, enfatizando el concepto de propiedad y cómo el desempeño de la empresa y las expectativas futuras influyen en el valor de las acciones.
La conferencia arrojará luz sobre la naturaleza estocástica del comportamiento de las acciones en el mercado, influenciado por factores como la oferta y la demanda, los competidores y el desempeño de la empresa. El valor esperado de una acción puede diferir de su valor real, lo que genera volatilidad. La volatilidad es un elemento crucial en el modelado y fijación de precios de las opciones, ya que determina las futuras fluctuaciones en los precios de las acciones. Además, la conferencia distinguirá entre dos tipos de inversores: los interesados en la rentabilidad de los dividendos y los que buscan oportunidades de crecimiento.
Se presentará el concepto de dividendos e inversión de dividendos, enfatizando cómo los dividendos proporcionan una inversión constante y segura a medida que las empresas distribuyen los pagos a los accionistas con regularidad. Sin embargo, los pagos de dividendos pueden variar, y los altos rendimientos de dividendos pueden indicar un mayor riesgo en las inversiones de una empresa. La conferencia abordará brevemente las tasas de interés y los mercados monetarios, reconociendo que estos temas se cubrirán más extensamente en un curso de seguimiento.
Se discutirá la inflación y su impacto en las tasas de interés, aclarando cómo los bancos centrales controlan la inflación ajustando las tasas de interés. La conferencia explorará los beneficios a corto plazo y las implicaciones a largo plazo de la reducción de las tasas de interés, así como estrategias alternativas como la teoría monetaria moderna o la compra de activos por parte de los bancos centrales. Además, se explicará el papel de la incertidumbre entre los participantes del mercado en la determinación de las tasas de interés y el efecto fiscal oculto de la inflación sobre los ciudadanos. La conferencia concluirá profundizando en el tema de la gestión de riesgos en los préstamos. El disertante destacará los riesgos potenciales que enfrentan los prestamistas, como que los prestatarios quiebren o no paguen los préstamos. Para mitigar estos riesgos, los prestamistas a menudo cobran una prima de riesgo para garantizar que sean compensados adecuadamente por cualquier pérdida potencial.
En el futuro, el orador cambiará el enfoque a las tasas de interés y su importancia en las finanzas. Explicarán cómo las tasas de interés afectan varios instrumentos financieros, incluidas las cuentas de ahorro, las hipotecas y los préstamos. Se introducirá el concepto de interés compuesto, enfatizando la noción de que una unidad monetaria hoy vale más que la misma unidad en el futuro debido a factores como la inflación. Se discutirán los dos métodos principales de cálculo de tasas de interés, simple y compuesto, con una explicación detallada de sus diferencias y ejemplos prácticos.
Luego, el orador profundizará en las tasas de interés compuestas, particularmente para inversiones con un vencimiento de un año. Explicarán el modelado matemático de las tasas compuestas utilizando la función exponencial, donde una unidad monetaria se multiplica por e elevado a la potencia de la tasa de interés. Además, el disertante describirá cómo esta representación matemática se alinea con las ecuaciones diferenciales que rigen las cuentas de ahorro, lo que conduce a la determinación del factor de multiplicación utilizado para descontar los flujos de efectivo futuros. Sin embargo, el disertante notará que, en realidad, las tasas de interés no son constantes sino que varían con el tiempo, como lo demuestran diferentes instrumentos como los plazos y los precios de monedas como el euro y el dólar estadounidense.
Se discutirán los gráficos que representan las tasas de interés y la liquidez del mercado para la Eurozona y el dólar. En particular, el estado actual de la Eurozona revela rendimientos negativos en todos los vencimientos hasta 30 años, lo que implica que invertir en bonos del gobierno dentro de la Eurozona podría resultar en una pérdida de dinero. El orador sugerirá que las personas pueden preferir cambiar euros por dólares e invertir en bonos estadounidenses, ya que ofrecen mayores rendimientos. Sin embargo, este enfoque conlleva riesgos, incluidas pérdidas potenciales debido a las fluctuaciones del tipo de cambio. El orador enfatizará que las tasas de interés dependen del tiempo y están sujetas a la dinámica del mercado.
El disertante arrojará luz sobre el concepto de compra de bonos, destacando que los compradores de bonos a menudo pagan más que el valor real del bono. En consecuencia, el valor del dinero invertido en bonos puede depreciarse con el tiempo y la inflación puede erosionar el valor de la inversión. Se mencionarán los principales compradores de bonos, como los fondos de pensiones y los bancos centrales, lo que subraya su importante papel en el mercado de bonos. Además, el disertante tocará el concepto de volatilidad, que mide la variación de los precios financieros a lo largo del tiempo. La volatilidad se calcula utilizando medidas estadísticas como la varianza y proporciona información sobre la tendencia de un mercado o valor a fluctuar, introduciendo incertidumbre y riesgo.
Luego, el curso cambiará su atención a los rendimientos de los activos y la volatilidad, dos conceptos cruciales en las finanzas computacionales. Los rendimientos de activos se refieren a las ganancias o pérdidas de un valor dentro de un período de tiempo específico, mientras que la volatilidad mide la variación de estos rendimientos. Un mercado altamente volátil indica cambios de precios significativos en un período corto, lo que genera una mayor incertidumbre y riesgo. Se introducirá el índice VIX, un instrumento que mide la incertidumbre del mercado. Utiliza opciones out-of-the-money o de venta y los inversores suelen emplearlo para proteger su capital en caso de caída del valor de mercado. Se enfatizará la importancia de cronometrar y predecir los tiempos de exposición, ya que pueden ser un desafío en la práctica.
El instructor discutirá las complejidades del análisis de la volatilidad de varios índices, incluido el índice VIX. Reconocerán las dificultades para modelar matemáticamente la volatilidad debido a las circunstancias y fluctuaciones del mercado. Además, se introducirán opciones europeas, que sirven como elementos fundamentales para la fijación de precios de derivados basados en la volatilidad. El disertante proporcionará una distinción clara entre las opciones de compra y las opciones de venta, explicando que las opciones de compra otorgan al titular el derecho a comprar un activo a un precio y una fecha predeterminados, mientras que las opciones de venta otorgan al titular el derecho a vender un activo a un precio predeterminado. y fecha, actuando esencialmente como seguro.
Una vez establecida la base de las opciones, el disertante presentará una descripción general de las opciones dentro de las diferentes clases de activos. Harán hincapié en los dos tipos clave de opciones: opciones de compra y opciones de venta. En el caso de una opción de compra, el comprador tiene derecho a vender el activo subyacente al suscriptor en una fecha de vencimiento y un precio de ejercicio específicos. Esto significa que al vencimiento, el suscriptor está obligado a comprar las acciones al precio de ejercicio si el comprador decide ejercer la opción. Por otro lado, una opción de venta otorga al comprador el derecho de vender el activo subyacente al emisor en una fecha de vencimiento y un precio de ejercicio específicos. Al vencimiento, el suscriptor debe comprar las acciones al precio de ejercicio especificado si el comprador ejerce la opción.
Para ilustrar la rentabilidad potencial de las opciones, el disertante presenta dos representaciones gráficas: una para las opciones de compra y otra para las opciones de venta. Estos gráficos representan la ganancia o pérdida potencial basada en el valor de la acción subyacente. Al examinar los gráficos, los espectadores pueden obtener información sobre cómo los cambios en el valor de las acciones pueden afectar la rentabilidad de las opciones.
A lo largo del curso, el instructor explorará temas avanzados adicionales relacionados con las finanzas computacionales, incluido el modelado de derivados, la implementación de programación eficiente y el uso de Python para simulación y fijación de precios de opciones. Programarán en vivo durante las sesiones y analizarán los resultados en colaboración con los espectadores, brindando experiencia práctica y conocimientos prácticos.
El curso está diseñado específicamente para personas interesadas en finanzas, finanzas cuantitativas e ingeniería financiera. Su objetivo es cerrar la brecha entre las finanzas matemáticas y los métodos numéricos, ofreciendo conocimientos y habilidades interdisciplinarios necesarios para abordar los problemas financieros del mundo real. También se cubrirán los conceptos de volatilidades implícitas, estrategias de cobertura y derivados exóticos, proporcionando una comprensión integral de las finanzas computacionales y sus aplicaciones en la industria financiera.
Al final del curso, los participantes habrán obtenido una base sólida en finanzas computacionales, ingeniería financiera y la aplicación práctica de métodos numéricos. Estarán equipados con las herramientas y el conocimiento para desarrollar e implementar modelos para la fijación de precios de derivados, la gestión de riesgos y el análisis de datos financieros. Este curso sirve como un trampolín para aquellos que buscan seguir carreras en finanzas, análisis cuantitativo o ingeniería financiera, lo que les permite tomar decisiones informadas y contribuir al campo en constante evolución de las finanzas computacionales.
Finanzas Computacionales: Conferencia 2/14 (Acciones, Opciones y Estocástica)
Finanzas Computacionales: Conferencia 2/14 (Acciones, Opciones y Estocástica)
El instructor comienza brindando una descripción general del curso, enfatizando la importancia de comprender la confianza comercial, la cobertura y la necesidad de modelos matemáticos en finanzas. Profundizan en el tema del precio de las opciones de venta y explican el concepto de cobertura. También se cubren los procesos estocásticos y el modelado de precios de activos, con la introducción del lema de Ito como herramienta para resolver ecuaciones diferenciales estocásticas.
Para ilustrar la aplicación práctica de estos conceptos, el instructor presenta un ejemplo de una estrategia de capacitación en la que un inversionista busca proteger su inversión de una posible disminución del valor de las acciones. Sugieren comprar un seguro en forma de opciones de venta para garantizar una cantidad mínima de dinero en el peor de los casos.
Pasando al comercio de opciones, el disertante se enfoca en el uso de opciones de venta para protegerse contra movimientos a la baja en los precios de las acciones. Sin embargo, señalan que comprar opciones de venta puede ser costoso, particularmente cuando la volatilidad de las acciones es alta, como lo ejemplifica Tesla. Para reducir los costos de las opciones, se puede disminuir el precio de ejercicio, pero esto significa aceptar un precio más bajo para las acciones. El disertante proporciona una captura de pantalla de Reuters que muestra diferentes tipos de opciones disponibles en el mercado, clasificadas por vencimiento y precio de ejercicio. También explican la relación entre el precio de ejercicio y los precios de las opciones de compra y venta.
La volatilidad implícita se introduce como una medida de la incertidumbre del mercado. El disertante explica que los precios de ejercicio más bajos están asociados con una mayor volatilidad implícita. También se introduce Delta, que mide la dependencia del valor de una opción con respecto al activo subyacente. Luego, el video profundiza en el concepto de cobertura y cómo se puede establecer una relación para lograr una cartera libre de riesgo, aunque potencialmente limitando las ganancias si la acción no aumenta de valor. Se analiza la cobertura con opciones, destacando su idoneidad para inversiones a corto plazo, pero señalando su costo potencial durante períodos de alta volatilidad.
El comercio de opciones se explora más a fondo como un medio de cobertura y reducción de riesgos. El disertante sugiere que las opciones suelen ser más deseables para inversiones a corto plazo con un vencimiento definido, ya que pueden ser costosas para inversiones a largo plazo. Se introduce el concepto de cobertura con llamadas, enfatizando cómo la venta de opciones puede ayudar a reducir el riesgo para los inversores que tienen una gran cartera de acciones. Sin embargo, se recomienda precaución contra la venta de demasiadas llamadas, ya que puede restringir el potencial alcista y siempre conlleva un cierto grado de riesgo.
Luego, el video profundiza en los productos básicos y explica que son materias primas que se utilizan como cobertura contra la inflación debido a sus patrones de precios impredecibles pero a menudo estacionales. El comercio de productos básicos se lleva a cabo principalmente en el mercado de futuros, donde se realizan acuerdos para comprar o vender productos básicos en una fecha futura. Se destaca la distinción entre los mercados de electricidad y otros productos básicos, ya que la electricidad plantea desafíos únicos debido a su incapacidad para almacenarse por completo y su impacto en la previsibilidad y el valor de los derivados.
El disertante procede a discutir el comercio de divisas como una clase de activo, comúnmente conocido como el mercado de divisas. A diferencia de la compra o venta tradicional de un tipo de cambio en particular, las personas intercambian cantidades de dinero entre monedas. El disertante enfatiza el papel del dólar estadounidense como moneda base y moneda de reserva. También abordan la manipulación de los tipos de cambio por parte de los bancos centrales para fortalecer o debilitar las monedas. Adicionalmente, se menciona una pequeña aplicación de derivados de tipo de cambio para la cobertura de riesgos cambiarios en negocios internacionales.
El orador explica cómo los bancos y las instituciones financieras pueden comprar o vender seguros contra las fluctuaciones de los tipos de cambio para gestionar las incertidumbres de inversión. Invertir en diferentes países puede generar incertidumbres debido a las diferentes fortalezas de las monedas y políticas monetarias, lo que genera rendimientos inciertos. Las finanzas computacionales juegan un papel crucial en la gestión y el cálculo de los riesgos asociados con tales inversiones al modelar las incertidumbres y considerar varios factores. El orador señala además que los bitcoins pueden considerarse tipos de cambio de divisas y analiza su naturaleza híbrida como un producto regulado con un valor determinado a través del cambio frente al dólar estadounidense. La volatilidad de los bitcoins hace que su valor futuro sea difícil de predecir.
Además, el orador explora el concepto de fijación de precios neutral al riesgo, que es un principio fundamental en la fijación de precios de opciones. La fijación de precios neutral al riesgo supone que en un mercado perfectamente eficiente, el rendimiento esperado de una opción debe ser igual a la tasa libre de riesgo. Este enfoque simplifica el proceso de fijación de precios al considerar las probabilidades de diferentes resultados en función de una medida neutral al riesgo, donde el rendimiento esperado de la opción se descuenta a la tasa libre de riesgo.
Luego, el orador presenta el modelo Black-Scholes-Merton (BSM), que es un modelo matemático ampliamente utilizado para las opciones de precios. El modelo BSM incorpora varios factores, como el precio actual de las acciones, el precio de ejercicio, el tiempo hasta el vencimiento, la tasa de interés libre de riesgo y la volatilidad del activo subyacente. Asume que el activo subyacente sigue el movimiento browniano geométrico y que el mercado es eficiente.
El ponente explica los componentes clave del modelo BSM, incluida la fórmula para calcular el valor de una opción europea de compra o venta. Hacen hincapié en la importancia de la volatilidad en el precio de las opciones, ya que una mayor volatilidad aumenta el valor de una opción debido al potencial de mayores fluctuaciones de precios. El orador también menciona el papel de la volatilidad implícita, que es la expectativa del mercado de la futura volatilidad implícita en los precios de las opciones.
A continuación, la conferencia profundiza en el concepto de cobertura delta, que es una estrategia utilizada para minimizar el riesgo manteniendo una posición neutral en el activo subyacente. Delta mide la sensibilidad del precio de una opción a los cambios en el precio del activo subyacente. Al ajustar la cantidad de acciones mantenidas en el activo subyacente, un inversor puede crear una cartera neutral delta que se vea menos afectada por los movimientos de precios.
El orador explica el proceso de cobertura delta utilizando el modelo BSM y demuestra cómo puede reducir el riesgo de manera efectiva. Discuten el concepto de cobertura dinámica, donde la cobertura se ajusta continuamente a medida que cambia el precio del activo subyacente. Esto garantiza que la cartera se mantenga neutral a delta y minimiza la exposición a las fluctuaciones del mercado.
Además de la cobertura delta, la conferencia cubre otras técnicas de gestión de riesgos, como la cobertura gamma y la cobertura vega. Gamma mide la tasa de cambio de delta, mientras que vega mide la sensibilidad del precio de una opción a cambios en la volatilidad implícita. Estas técnicas permiten a los inversores administrar y ajustar sus posiciones en función de las condiciones y riesgos cambiantes del mercado.
Hacia el final de la conferencia, el orador destaca las limitaciones y suposiciones del modelo BSM. Reconocen que los mercados del mundo real pueden desviarse de los supuestos del modelo, como la presencia de costos de transacción, restricciones de liquidez y el impacto de las fricciones del mercado. El orador alienta un enfoque cauteloso y enfatiza la importancia de comprender las limitaciones e incertidumbres asociadas con los modelos de valoración de opciones.
En general, la conferencia proporciona una descripción general completa de la confianza comercial, las estrategias de cobertura, los modelos de valoración de opciones y las técnicas de gestión de riesgos. Equipa a los alumnos con conocimientos y herramientas esenciales para navegar en el complejo mundo de los mercados financieros y tomar decisiones informadas en actividades comerciales y de inversión.
Finanzas computacionales: Conferencia 3/14 (Precio de opciones y simulación en Python)
Finanzas computacionales: Conferencia 3/14 (Precio de opciones y simulación en Python)
En la lección, el instructor profundiza en la simulación de trayectoria de existencias en Python y explora el modelo de Black-Scholes para las opciones de precios. Analizan dos enfoques para derivar el precio sin arbitraje de las opciones, a saber, la cobertura y las martingalas. El orador demuestra cómo programar martingalas y simularlas, destacando la conexión entre las ecuaciones diferenciales parciales (PDEs) y la simulación Monte Carlo en el marco de precios.
Utilizando el método de discretización de Euler, el ponente explica cómo simular y generar gráficos de procesos estocásticos. Comienzan con un proceso simple y emplean el lema de Ito para cambiar de S a X, el logaritmo de S. Luego, el disertante presenta el método de discretización de Euler y demuestra su implementación en Python. Este método consiste en discretizar la función continua y simular los incrementos tanto para la deriva como para el movimiento browniano, lo que da como resultado gráficos de trayectorias simuladas.
Desde una perspectiva computacional, el disertante analiza la simulación de caminos para los modelos de valoración de opciones. En lugar de simular cada ruta individualmente, explican la eficiencia de realizar la división de tiempo y construir una matriz donde cada fila representa una ruta específica. El número de filas corresponde al número de caminos, mientras que el número de columnas corresponde al número de pasos de tiempo. El disertante explica la implementación del proceso de discretización usando la variable aleatoria normal estándar y enfatiza la importancia de la estandarización para una mejor convergencia.
La conferencia también cubre la simulación de trayectorias para el movimiento browniano geométrico usando Python. El orador ilustra cómo arreglar una semilla aleatoria para simulaciones estables y presenta el modelo Black-Scholes, que involucra una ecuación diferencial estocástica con deriva y parámetros como mu y sigma para modelar los precios de los activos. El orador enfatiza que el modelo Black-Scholes todavía se usa ampliamente en la industria financiera, particularmente para fijar precios de opciones sobre acciones. Discuten los conceptos de medida del mundo real y medida neutral al riesgo, que ayudan a fijar el precio de las opciones en función de las diferentes probabilidades de resultado.
Además, la conferencia explora la valoración de opciones y la simulación en Python. El ponente distingue entre la medida del mundo real, estimada en base a datos históricos sin asumir condiciones de arbitraje o libres de riesgo, y la medida neutral al riesgo, que requiere ciertas condiciones para mantenerse. Presentan una estrategia comercial que implica la negociación continua de una acción y el ajuste de la posición de la opción para capturar el movimiento de la acción subyacente. El orador explica la dinámica de la cartera usando el lema de Ito y deriva la naturaleza estocástica de los valores de las opciones a través de este método.
El ponente también profundiza en las técnicas para construir una cartera de cobertura que sea independiente del movimiento browniano. Discuten la elección de un delta que anule los términos que involucran el movimiento browniano, asegurando una cartera delta neutral. El ponente destaca la importancia de que la cartera rinda el mismo rendimiento que una cuenta de ahorro y presenta el concepto de cuentas de establecimiento de dinero.
Además, la conferencia aborda la derivación de ecuaciones diferenciales parciales (EDP) para la valoración de opciones utilizando el modelo Black-Scholes. El PDE resultante es un derivado de segundo orden con condiciones límite que determinan el valor razonable de una opción. El orador enfatiza que el precio de la opción del modelo Black-Scholes no depende significativamente del parámetro de deriva mu, que se puede obtener de la calibración o de los datos históricos. Sin embargo, los costos de transacción para la cobertura no se consideran en este modelo.
La conferencia cubre varios conceptos importantes dentro del modelo Black-Scholes y el precio de las opciones. Discute el supuesto de que no hay oportunidades de arbitraje, lo que lleva a un escenario libre de riesgo para la aplicación del modelo. El orador explica el concepto de cobertura delta y cómo elimina el mayor componente aleatorio de una cartera. Además, el orador presenta gamma como una medida del comportamiento de delta y enfatiza que todos los parámetros del modelo pueden cubrirse. Finalmente, la conferencia explora los factores determinantes del valor de una opción, como el tiempo, el ejercicio, la volatilidad y los parámetros relacionados con el mercado.
En la conferencia, el orador explora más a fondo el modelo Black-Scholes y su aplicación en la valoración de opciones. Discuten los supuestos y las limitaciones del modelo, incluido el supuesto de volatilidad constante y la ausencia de costos de transacción. A pesar de estas limitaciones, el modelo Black-Scholes sigue siendo ampliamente utilizado en la industria financiera debido a su simplicidad y eficacia en la fijación de precios de opciones europeas de compra y venta.
El disertante introduce el concepto de volatilidad implícita, que es la expectativa del mercado de volatilidad futura derivada de los precios actuales de las opciones. La volatilidad implícita es un parámetro crucial en el modelo Black-Scholes, ya que afecta el precio de las opciones. El orador explica cómo se puede obtener la volatilidad implícita de los datos de mercado utilizando el modelo y analiza su importancia en las estrategias de negociación de opciones.
La conferencia profundiza en varias estrategias de negociación de opciones, como la cobertura delta y la negociación gamma. La cobertura delta implica ajustar continuamente la composición de la cartera para mantener una posición neutral en relación con los cambios en el precio del activo subyacente. El comercio gamma se centra en explotar los cambios en gamma, que mide cómo cambia delta con respecto al precio del activo subyacente. Estas estrategias tienen como objetivo gestionar el riesgo y maximizar la rentabilidad en el comercio de opciones.
El orador también se refiere a otros factores importantes que influyen en los precios de las opciones, incluido el decaimiento del tiempo (theta), las tasas de interés (rho) y el rendimiento de los dividendos. Explican cómo estos factores afectan el precio de las opciones y cómo los comerciantes pueden usarlos para tomar decisiones informadas.
A lo largo de la conferencia, se utiliza la programación de Python para demostrar la implementación de varios modelos de precios de opciones y estrategias comerciales. El orador proporciona ejemplos de código y explica cómo utilizar bibliotecas y funciones para realizar cálculos y simulaciones.
En resumen, la conferencia proporciona una descripción general completa de la valoración y simulación de opciones utilizando el modelo Black-Scholes y conceptos relacionados. Hace hincapié en la aplicación práctica de estos conceptos en la programación de Python, lo que lo convierte en un recurso valioso para las personas interesadas en las finanzas cuantitativas y el comercio de opciones.
Finanzas computacionales: Conferencia 4/14 (Volatilidad implícita)
Finanzas computacionales: Conferencia 4/14 (Volatilidad implícita)
En esta completa lección sobre finanzas computacionales, el concepto de volatilidad implícita ocupa un lugar central, arrojando luz sobre su importancia en los cálculos de precios de opciones. Si bien el modelo de Black-Scholes sirve como base para calcular la volatilidad implícita, se enfatizan debidamente sus limitaciones e ineficiencias. La conferencia profundiza en varias metodologías para calcular la volatilidad implícita, en particular los procesos iterativos como el método de Newton-Raphson. Además, el disertante explora los desafíos asociados con el modelado de precios de opciones y destaca el papel de las volatilidades implícitas para reflejar las expectativas del mercado. A lo largo de la conferencia, la importancia crucial de comprender la volatilidad en el precio de las opciones y construir carteras de cobertura efectivas sigue siendo un tema central.
La conferencia amplía su exploración centrándose en la relación entre los precios de las opciones y la volatilidad implícita, con un énfasis específico en las opciones de compra y venta de dinero líquido fuera del dinero. Examina diferentes tipos de sesgo de volatilidad implícita, que abarca parámetros de volatilidad dependientes del tiempo y la influencia de la dependencia del tiempo en la sonrisa de volatilidad implícita. Además, la conferencia profundiza en las limitaciones del modelo Black-Scholes y los enfoques alternativos para manejar los modelos de volatilidad, incluidos los modelos de volatilidad local, los modelos de salto y los modelos de volatilidad estocástica. También se aclara el impacto del vencimiento de la opción en la volatilidad, con opciones de vencimiento más corto que exhiben una distribución más concentrada alrededor del nivel de dinero en comparación con vencimientos más largos, donde el efecto de sonrisa se vuelve menos pronunciado.
El profesor comienza resumiendo los conceptos clave cubiertos en las secciones anteriores, específicamente relacionados con la valoración de opciones y el modelado de volatilidad. Se introduce la volatilidad implícita, destacando su cálculo a partir de datos de mercado y su papel en la medición de la incertidumbre. El algoritmo para calcular la volatilidad implícita se analiza en detalle. Además, se abordan las limitaciones y eficiencias del modelo Black-Scholes, junto con extensiones como la incorporación de parámetros de volatilidad dependientes del tiempo y la generación de superficies de volatilidad implícita. La conferencia también aborda las desventajas de confiar únicamente en el modelo Black-Scholes e introduce modelos alternativos como la volatilidad local y la volatilidad estocástica. Se hace hincapié en la necesidad de especificar un modelo apropiado para la fijación de precios de los derechos contingentes y la importancia de construir una cartera de cobertura que consiste en opciones y acciones para llegar a una ecuación diferencial parcial (PDE) de fijación de precios.
El disertante procede a explorar la utilización de las expectativas en la resolución de ecuaciones diferenciales parciales, específicamente cuando se trata de una tasa de interés determinista y la necesidad de tomar las expectativas bajo la medida neutral al riesgo. Se presenta la ecuación de precios para las opciones europeas de compra y venta, basándose en una función de distribución acumulativa normal (CDF) de stock inicial evaluada en los puntos d1, que depende de los parámetros del modelo, junto con un exponente que involucra la tasa de interés durante el tiempo hasta el vencimiento. La conferencia explica que esta fórmula se puede implementar fácilmente en Excel.
A continuación, el disertante profundiza en los parámetros necesarios para el modelo Black-Scholes, que sirve como herramienta para estimar los precios de las opciones. Estos parámetros abarcan el tiempo hasta el vencimiento, el ejercicio, la tasa de interés, el valor actual de las acciones y el parámetro de volatilidad, sigma, que debe estimarse utilizando los precios de mercado. El disertante enfatiza la correspondencia uno a uno entre el precio de la opción y la volatilidad, destacando que un aumento en la volatilidad implica un aumento correspondiente en el precio de la opción, y viceversa. Luego se discute el concepto de volatilidad implícita, enfatizando su cálculo en base al precio medio y su significado dentro del modelo Black-Scholes.
La conferencia profundiza aún más en la obtención de la volatilidad implícita a partir de modelos con múltiples parámetros. Cabe señalar que, independientemente del modelo elegido, debe pasar la prueba del modelo Black-Scholes. Sin embargo, usar el modelo Black-Scholes para cotizar todas las opciones simultáneamente se vuelve poco práctico debido a las diferentes volatilidades implícitas para cada ejercicio. La conferencia también señala que las volatilidades implícitas tienden a aumentar con vencimientos de opciones más largos, lo que significa una mayor incertidumbre. Se proporciona un ejemplo para demostrar el cálculo de la volatilidad implícita utilizando datos de mercado y una opción de compra estándar sobre 100 acciones.
El disertante desarrolla más el concepto de volatilidad implícita. Los datos históricos de una opción se utilizan para estimar su volatilidad mediante la ecuación de Black-Scholes. Sin embargo, el disertante destaca que si bien esta estimación proporciona un precio determinado para la opción, el mercado puede haberla tasado de manera diferente debido a su naturaleza prospectiva, en contraste con la estimación histórica retrospectiva. A pesar de esta discrepancia, la relación entre las dos volatilidades aún se utiliza con fines de inversión, aunque el disertante recomienda precaución contra la confianza puramente especulativa en esta relación. Luego, la conferencia procede a explicar cómo calcular la volatilidad implícita usando la ecuación de Black-Scholes dado el precio de mercado y otras especificaciones de una opción. Sin embargo, el disertante reconoce que el concepto de volatilidad implícita es intrínsecamente erróneo ya que no existe un valor correcto definitivo, y el modelo utilizado es una aproximación en lugar de una representación real del precio de la opción.
El disertante procede a explicar el proceso de encontrar la volatilidad implícita empleando el método de Newton-Raphson, un enfoque iterativo. Este método implica configurar una función basada en la ecuación de Black-Scholes y el precio de mercado para resolver sigma, la volatilidad implícita. El disertante destaca el uso de una expansión en serie de Taylor para calcular la diferencia entre la solución exacta y la iteración, con el objetivo de encontrar una función donde la volatilidad implícita de Black-Scholes coincida con la volatilidad implícita del mercado. La capacidad de calcular la volatilidad implícita rápidamente en milisegundos es crucial para que los creadores de mercado identifiquen oportunidades de arbitraje y generen ganancias.
Se introduce el concepto del proceso iterativo para calcular la volatilidad implícita utilizando el método de Newton-Raphson. El proceso implica múltiples iteraciones hasta que la función g se acerca a cero, y cada nuevo paso se estima en función del anterior. El disertante enfatiza la importancia de la conjetura inicial para la convergencia del método de Newton-Raphson. Las opciones extremas fuera del dinero o las opciones cercanas a cero pueden presentar desafíos a medida que la función se vuelve plana, lo que da como resultado un pequeño gradiente que dificulta la convergencia. Para superar este problema, los profesionales suelen definir una cuadrícula de conjeturas iniciales. El algoritmo aproxima la función utilizando su línea tangente y calcula la intersección x, con gradientes más pronunciados que conducen a una convergencia más rápida.
Además, el profesor explica la implementación del algoritmo de Newton-Raphson para el cálculo de la volatilidad implícita de una opción. El algoritmo se basa en el modelo Black-Scholes, con parámetros de entrada que incluyen el precio de mercado, el ejercicio, el tiempo hasta el vencimiento, la tasa de interés, el volumen inicial de acciones y el parámetro de volatilidad inicial. Se analiza la convergencia del algoritmo y se determina un umbral de error. El código se demuestra utilizando Python, con los métodos y definiciones necesarios preparados de antemano, aprovechando las bibliotecas NumPy y SciPy.
La conferencia profundiza en el cálculo de la volatilidad implícita, enfatizando las entradas requeridas para este cálculo, como el valor de la opción y la derivada del precio de compra con respecto al parámetro de volatilidad, conocido como Vega. El núcleo del código involucra el proceso paso a paso de calcular la volatilidad implícita, con el disertante brindando explicaciones sobre los diversos parámetros involucrados y su significado. La conferencia concluye con una breve demostración del proceso iterativo empleado para calcular la volatilidad implícita.
El ponente también aborda el tema del error en el cálculo de la volatilidad implícita y cómo se determina por las diferencias entre iteraciones. El gráfico de salida muestra la volatilidad implícita obtenida para un precio de compra, ejercicio, vencimiento y otros parámetros. El orador ilustra cómo varía la convergencia con diferentes conjeturas iniciales de volatilidad, subrayando la importancia de este proceso en la calibración de la industria. La conjetura inicial debe estar cerca de la volatilidad implícita real para que el modelo converja con éxito. Los profesionales de la industria generalmente intentan diferentes volatilidades iniciales hasta que se logra una convergencia adecuada y se elige ese valor de volatilidad particular.
la conferencia profundiza en la interpretación de las volatilidades implícitas. Las volatilidades implícitas pueden proporcionar información sobre las expectativas y el sentimiento del mercado. Cuando la volatilidad implícita es alta, sugiere que los participantes del mercado anticipan fluctuaciones de precios significativas, lo que puede indicar incertidumbre o riesgo percibido en el activo subyacente. Por el contrario, las bajas volatilidades implícitas indican expectativas de precios relativamente estables.
La conferencia enfatiza que las volatilidades implícitas no son una medida de la volatilidad futura, sino un reflejo de los precios del mercado. Las volatilidades implícitas están influenciadas por varios factores, como la dinámica de la oferta y la demanda, el sentimiento del mercado y el apetito por el riesgo de los participantes del mercado. Por lo tanto, es crucial interpretar las volatilidades implícitas en el contexto de otros indicadores de mercado y análisis fundamental.
El ponente también destaca el concepto de superficies de volatilidad implícita o sonrisas de volatilidad. Las superficies de volatilidad implícita representan la relación entre las volatilidades implícitas y los diferentes precios de ejercicio y vencimientos. En determinadas condiciones de mercado, las volatilidades implícitas de las opciones fuera del dinero pueden ser superiores o inferiores a las de las opciones at-the-money. Esta curvatura en la superficie de volatilidad implícita se conoce como la sonrisa de volatilidad o la mueca. La conferencia explica que la sonrisa de volatilidad indica la percepción de los participantes del mercado sobre la probabilidad de movimientos extremos de precios, como grandes riesgos a la baja o eventos positivos inesperados.
Además, la conferencia cubre el concepto de estructuras temporales de volatilidad implícita. Las estructuras temporales de volatilidad implícita representan la relación entre las volatilidades implícitas y los diferentes vencimientos para una opción específica. El disertante explica que las estructuras de términos de volatilidad implícita pueden exhibir diferentes formas, como pendiente ascendente (contango), descendente (backwardation) o curvas planas. Estas estructuras de plazos pueden proporcionar información sobre las expectativas del mercado con respecto a la volatilidad futura en diferentes horizontes de tiempo.
Además, la conferencia profundiza en las limitaciones y desafíos asociados con las volatilidades implícitas. Enfatiza que las volatilidades implícitas se derivan de los precios de las opciones, que están influenciados por varios factores y suposiciones, incluidas las tasas de interés, los rendimientos de dividendos y la hipótesis del mercado eficiente. Por lo tanto, es posible que las volatilidades implícitas no siempre reflejen con precisión la verdadera volatilidad subyacente.
Además, la conferencia analiza el concepto de volatilidad histórica y su comparación con la volatilidad implícita. La volatilidad histórica se calcula en función de los movimientos de precios anteriores del activo subyacente, mientras que la volatilidad implícita se deriva de los precios de las opciones. El disertante señala que la volatilidad histórica es retrospectiva y es posible que no capture completamente las expectativas futuras del mercado, mientras que la volatilidad implícita incorpora información prospectiva integrada en los precios de las opciones.
Por último, la conferencia concluye con un resumen de los puntos clave tratados. Enfatiza la importancia de comprender la volatilidad implícita, sus métodos de cálculo y su interpretación en el contexto de la valoración de opciones y las expectativas del mercado. El disertante anima a seguir explorando e investigando en esta área, dada su importancia en los mercados financieros y en la toma de decisiones de inversión.
donde el impacto de la volatilidad varía para diferentes longitudes de opciones. El video también muestra cómo calcular la volatilidad implícita y generar trayectorias con volatilidad dependiente del tiempo y cómo afecta la ecuación de volatilidad implícita de Black-Scholes. El video también muestra un ejemplo de ajuste de diferentes niveles de volatilidad para dos opciones con diferentes vencimientos.
Finanzas computacionales: Conferencia 5/14 (Procesos de salto)
Finanzas computacionales: Conferencia 5/14 (Procesos de salto)
La conferencia avanza para explorar formas de mejorar el modelo de Black-Scholes mediante la incorporación de saltos en el proceso de stock, pasando de un modelo difusivo a un modelo de salto-difusión. El instructor comienza explicando la inclusión de saltos en el proceso de stock y brinda una definición de saltos. Luego demuestran una implementación simple de un proceso de salto en Python, enfatizando la necesidad de manejar los saltos en un proceso estocástico para acciones mientras se asegura que el modelo permanezca bajo la medida q.
Además, la conferencia profundiza en las implicaciones de introducir saltos en la fijación de precios y cómo afecta la PDE (ecuación diferencial parcial) de fijación de precios, introduciendo términos integrales adicionales. La discusión se extiende al impacto de diferentes distribuciones de salto en las formas de volatilidad implícita y la utilización de conceptos tales como expectativas iteradas de expectativa, la propiedad de la torre de la expectativa y funciones características para procesos de salto cuando se trata de expectativas complejas.
El disertante enfatiza la practicidad de los procesos de salto en la tarificación de opciones y calibración de modelos, destacando su realismo y capacidad para acomodar colas pesadas, así como controlar la curtosis y asimetría de bloqueo y densidad de giro. Al incorporar un proceso de salto, se puede lograr un mejor ajuste a la sonrisa de volatilidad implícita o al sesgo de volatilidad implícita, lo que hace que los procesos de salto sean una alternativa más favorable al modelo de Black-Scholes.
Cambiando de enfoque, la conferencia introduce el concepto de procesos de salto representados por un proceso de conteo, que no están correlacionados con el movimiento browniano. Estos procesos se modelan utilizando un proceso de Poisson aleatorio, caracterizado por un valor cero inicial e incrementos independientes que siguen una distribución de Poisson. La tasa del proceso de Poisson determina el número promedio de saltos en un período de tiempo específico. La lección explica cómo calcular el número promedio de saltos dentro de un intervalo dado para procesos de salto usando notación y expectativas.
En finanzas computacionales, el disertante analiza la simulación de procesos de salto, señalando que la magnitud del salto no puede explotar y esbozando los supuestos técnicos asociados con ella. El proceso implica definir matrices y parámetros para simular incrementos independientes utilizando una distribución de Poisson para cada incremento del proceso de salto. La conferencia también cubre la utilización del proceso de Poisson en el lema Ethos para extender la dinámica de los procesos de salto para la cotización de acciones. Dentro del contexto de las finanzas computacionales, la conferencia introduce y explica el concepto de procesos de salto. Define el término "t-menos" como el tiempo justo antes de que ocurra un salto en un proceso y explora la dinámica del proceso a través del lema Ethos y el cálculo de derivadas con respecto al tiempo. Se discute la relación entre el tamaño del salto y el ajuste resultante en la función "g", enfatizando la relevancia práctica de estos conceptos en el modelado de procesos estocásticos. La conferencia también destaca la importancia de considerar la independencia de los procesos de salto y los procesos de difusión al modelar el comportamiento del mercado de valores.
Para derivar la dinámica de una función "g" en un modelo que incorpore procesos de salto y difusión, la lección se enfoca en el comportamiento de alta complejidad de difusión y la aplicación del lema de Ito. El lema de Ito se usa para manejar términos cruzados, como dxpt al cuadrado, en el contexto de una mayor complejidad del modelo. Una vez que se combinan todos los elementos, incluidos la deriva, la difusión y los saltos, la dinámica de "g" se puede derivar utilizando el lema de Ito. También se aborda la extensión de la mesa de Ito, enfatizando las diferencias entre un proceso de Poisson y un movimiento browniano. La conferencia concluye delineando el proceso de derivación de la dinámica para una función "g" que incorpora procesos de salto y difusión.
Avanzando, la lección describe el proceso de obtención de la dinámica de una acción con salto y movimiento browniano bajo la medida Q. Este proceso implica definir una nueva variable y determinar su dinámica, asegurando que la expectativa de la dinámica sea cero. Se supone que el componente de salto es independiente de todos los demás procesos, lo que da como resultado una expresión que incluye términos de deriva, volatilidad y expectativa de J menos uno. Luego, esta expresión se sustituye en la ecuación por la medida Q, asegurando que la dinámica de ST sobre la cuenta de ahorro de dinero es una martingala.
El instructor procede a discutir cómo derivar un modelo con difusión y saltos, brindando un ejemplo para ilustrar las rutas de un modelo con dos componentes: difusiva y de salto. La parte difusiva representa un comportamiento continuo, mientras que el elemento de salto introduce discontinuidad, lo que permite la representación de patrones de salto observados en ciertas acciones. El instructor también cubre los parámetros para el salto y el parámetro de volatilidad para el movimiento browniano, junto con los valores iniciales para las acciones y las tasas de interés. Para mejorar aún más la comprensión, el instructor demuestra cómo programar la simulación y trazar las rutas resultantes.
Luego, la lección pasa a explicar la expectativa de ea la potencia de j, que se calcula analíticamente como la expectativa de una distribución logarítmica normal. Se realiza la simulación de incrementos de Poisson impulsados por c por pi por dt, donde z representa incrementos para una distribución normal y j representa la magnitud del salto. La dinámica del proceso de difusión de salto involucra tanto ecuaciones diferenciales parciales como ecuaciones diferenciales integrales, donde la parte integral representa la expectativa de tamaños de salto. La ecuación de precios se puede derivar mediante la construcción de carteras o mediante el enfoque de función característica, y los parámetros deben calibrarse utilizando los precios de las opciones en el mercado.
En el contexto de la construcción de carteras, la conferencia describe el proceso de construcción de una cartera que comprende una opción vendida y una cobertura con una acción subyacente. Al asegurarse de que la dinámica de la cartera aumente al mismo ritmo que la cuenta de ahorro de dinero, se puede derivar una ecuación diferencial de precios. Para lograr la dinámica deseada, la acción dividida por el dinero de la cuenta de ahorro debe ser una martingala. Luego, la clase deriva la condición para mu, demostrando que una vez que se establece la dinámica, se puede derivar la dinámica de v. Esta información luego se usa para calcular las expectativas y derivar la dinámica de v.
El disertante explora más a fondo la ecuación de una derivada de primer orden con respecto al tiempo, que también es de primer orden con respecto a x e incluye una expectativa de valor de un contrato en el tiempo t con un salto. Esto conduce a un término integral debido a la presencia de una expectativa, lo que da como resultado una ecuación diferencial integral parcial (PID) que es más difícil de resolver que las PDE puras. La solución consiste en encontrar la expresión analítica del valor esperado, que a veces se puede expresar en términos de series infinitas. También se analiza la importancia de las condiciones de contorno y la transformación de los PID en transformaciones logarítmicas para mejorar la convergencia.
Continuando con la discusión sobre los procesos de salto, la conferencia se enfoca en la transformación de los procesos de salto en el caso de PID y PID bajo la opción de lujo. La conferencia presenta dos enfoques comunes para especificar la magnitud del salto, a saber, el modelo de comerciantes clásico y el exponencial doble no simétrico. Si bien la calibración del modelo se vuelve más complicada con la adición de sigma j y mu j, la practicidad y la aceptación de la industria a menudo favorecen los modelos con menos parámetros. La conferencia también reconoce que a medida que la dinámica de los procesos de salto se vuelve más compleja, lograr la convergencia se convierte en un desafío y requiere técnicas avanzadas como el espacio de Fourier o soluciones analíticas para la calibración de parámetros.
Luego, la conferencia procede a explicar el proceso de fijación de precios utilizando la simulación de Monte Carlo para procesos de difusión de salto. La fijación de precios implica calcular la expectativa del pago futuro descontando su valor presente. Si bien los métodos como los PID y la simulación Monte Carlo funcionan bien en términos de complejidad computacional para las simulaciones, es posible que no sean ideales para la fijación de precios y la calibración de modelos debido al aumento significativo en la cantidad de parámetros cuando se introducen saltos. La conferencia también profundiza en la interpretación de la distribución de los saltos y los parámetros de intensidad y su impacto en la sonrisa y el sesgo de la volatilidad implícita. Se lleva a cabo un experimento de simulación, variando parámetros mientras se mantienen otros fijos para observar los efectos resultantes en saltos y sesgos.
Para analizar los efectos de la volatilidad y la intensidad de los saltos en la forma de la sonrisa y el nivel de la volatilidad implícita, el disertante analiza sus relaciones. Aumentar la volatilidad de un salto conduce a un mayor nivel de volatilidad, mientras que la intensidad de los saltos también afecta el nivel y la forma de la sonrisa de volatilidad implícita. Esta información es crucial para comprender el comportamiento de los precios de las opciones y calibrar los modelos con los datos del mercado real.
Luego, la conferencia presenta el concepto de propiedad de la torre y su aplicación para simplificar problemas en finanzas. Al condicionar una ruta desde un proceso para calcular la expectativa o el precio de otro proceso, se pueden simplificar los problemas con múltiples dimensiones en las ecuaciones diferenciales estocásticas. La propiedad de la torre también se puede aplicar a problemas en las ecuaciones de Black-Scholes con parámetros de volatilidad y procesos contables, que a menudo se convierten en sumas cuando se trata de integrales de salto. El disertante enfatiza la necesidad de hacer suposiciones con respecto a los parámetros en estas aplicaciones.
A continuación, el disertante analiza el uso de técnicas de Fourier para resolver ecuaciones de precios en finanzas computacionales. Las técnicas de Fourier se basan en la función característica, que se puede encontrar en forma analítica para algunos casos especiales. El disertante recorre un ejemplo usando el modelo de Merton y explica cómo encontrar la función característica para esta ecuación. Al separar términos de expectativa que involucran partes independientes, el disertante demuestra cómo expresar la sumatoria en términos de expectativas, lo que permite la determinación de la función característica. La ventaja de usar las técnicas de Fourier es su capacidad para permitir cálculos de precios rápidos, que son cruciales para la calibración del modelo y la evaluación en tiempo real.
A continuación, el disertante analiza el uso de técnicas de Fourier para resolver ecuaciones de precios en finanzas computacionales. Las técnicas de Fourier se basan en la función característica, que se puede encontrar en forma analítica para algunos casos especiales. El disertante recorre un ejemplo usando el modelo de Merton y explica cómo encontrar la función característica para esta ecuación. Al separar términos de expectativa que involucran partes independientes, el disertante demuestra cómo expresar la sumatoria en términos de expectativas, lo que permite la determinación de la función característica. La ventaja de usar las técnicas de Fourier es su capacidad para permitir cálculos de precios rápidos, que son cruciales para la calibración del modelo y la evaluación en tiempo real.
A lo largo de la conferencia, el instructor enfatiza la importancia de comprender e incorporar los procesos de salto en los modelos financieros computacionales. Al incluir saltos, los modelos pueden capturar mejor el comportamiento de los precios de las acciones en el mundo real y proporcionar resultados de calibración y fijación de precios más precisos. La conferencia también destaca los desafíos asociados con los procesos de salto, como la complejidad de resolver ecuaciones diferenciales integrales y la necesidad de una calibración cuidadosa de los parámetros. Sin embargo, con las técnicas y metodologías apropiadas, los procesos de salto pueden mejorar significativamente la precisión y el realismo de los modelos financieros computacionales.
Finanzas computacionales: Conferencia 6/14 (Procesos de difusión de salto afín)
Finanzas computacionales: Conferencia 6/14 (Procesos de difusión de salto afín)
El disertante brinda información sobre la selección de modelos de fijación de precios dentro de las instituciones financieras, centrándose en la distinción entre el front office y el back office. La oficina principal maneja las actividades comerciales e inicia operaciones, que luego se transfieren a la oficina administrativa para el mantenimiento comercial y la contabilidad. El disertante enfatiza la necesidad de considerar varios factores, incluida la calibración, la evaluación de riesgos, la precisión de los precios y la eficiencia computacional al elegir un modelo de precios. Además, el concepto de funciones características y los procesos de difusión de saltos afines se introducen como clases modelo que permiten una evaluación de precios eficiente. Estos modelos son capaces de realizar cálculos de precios rápidos, lo que los hace adecuados para el comercio en tiempo real. La conferencia también profundiza en temas como la derivación de funciones monetarias, la extensión del marco a través de la incorporación de saltos y el flujo de trabajo de fijación de precios y modelado en instituciones financieras.
La importancia de comprender los procesos de salto y su impacto en la precisión de la fijación de precios se destaca a lo largo de la conferencia, junto con los desafíos que implica resolver ecuaciones diferenciales integrales y calibrar los parámetros del modelo. Al aprovechar las técnicas y metodologías apropiadas, los modelos financieros computacionales se pueden mejorar para reflejar mejor el comportamiento del precio de las acciones en el mundo real y mejorar los resultados de calibración y fijación de precios.
Además, el orador enfatiza el papel del front office en las instituciones financieras, particularmente en el diseño y fijación de precios de productos financieros para los clientes. La oficina principal es responsable de seleccionar los modelos de precios apropiados para estos productos y garantizar que las transacciones se registren correctamente. La colaboración con el back office es crucial para validar e implementar los modelos elegidos, asegurando su adecuación a los riesgos y operaciones de la institución. El objetivo principal de la oficina principal es lograr un equilibrio entre brindar precios competitivos a los clientes y administrar los riesgos dentro de límites aceptables, al tiempo que se asegura un flujo constante de ganancias.
El orador describe los pasos esenciales involucrados en la fijación de precios exitosa, comenzando con la especificación del producto financiero y la formulación de ecuaciones diferenciales estocásticas para capturar los factores de riesgo subyacentes. Estos factores de riesgo juegan un papel crítico en la determinación del modelo de precios y el posterior cálculo de precios. La especificación y el modelado adecuados de estos factores de riesgo son cruciales para una gestión de riesgos y una fijación de precios precisas.
Durante la conferencia, se discuten diferentes métodos de fijación de precios, incluidas soluciones exactas y semiexactas, así como técnicas numéricas como la simulación Monte Carlo. El orador destaca la importancia de la calibración del modelo, donde los parámetros del modelo de precios se ajustan para que coincidan con las observaciones del mercado. Las técnicas de Fourier se introducen como una alternativa más rápida para la calibración del modelo, lo que permite el cálculo eficiente de los parámetros del modelo.
La conferencia también compara dos enfoques populares para la fijación de precios en las finanzas computacionales: la simulación de Monte Carlo y las ecuaciones diferenciales parciales (PDEs). La simulación de Monte Carlo se usa ampliamente para problemas de fijación de precios de alta dimensión, pero puede tener una precisión limitada y ser propensa a errores de muestreo. Las PDE, por otro lado, ofrecen ventajas como la capacidad de calcular sensibilidades como delta, gamma y vega a un bajo costo y suavidad en las soluciones. El orador menciona que los métodos basados en Fourier se tratarán en conferencias futuras, ya que ofrecen enfoques de fijación de precios más rápidos y adecuados para productos financieros simples.
El concepto de funciones características se presenta como una herramienta clave para cerrar la brecha entre los modelos con funciones analíticas de densidad de probabilidad conocidas y aquellos que no las tienen. Mediante el uso de funciones características, es posible derivar la función de densidad de probabilidad de un stock, que es esencial para la evaluación de precios y riesgos.
A lo largo de la conferencia, se enfatiza la importancia de la calibración. Los instrumentos líquidos se utilizan como referencias para la calibración, y luego sus parámetros se aplican para cotizar con precisión productos derivados más complejos. El disertante destaca la necesidad de mejorar y refinar continuamente los modelos y técnicas de fijación de precios para adaptarse a las condiciones cambiantes del mercado y lograr resultados de fijación de precios confiables.
En resumen, la conferencia brinda información sobre el proceso de elección de modelos de fijación de precios en instituciones financieras, centrándose en el papel de la oficina principal, la calibración del modelo y las consideraciones de riesgo, eficiencia y precisión. También presenta varias técnicas, como la simulación Monte Carlo, PDE y métodos basados en Fourier para la fijación de precios y la calibración de modelos. Se analiza el concepto de funciones características y su importancia en la derivación de funciones de densidad de probabilidad, junto con los desafíos y la importancia del refinamiento del modelo y la adaptación a las condiciones del mundo real.
Finanzas computacionales: Conferencia 7/14 (Modelos de volatilidad estocástica)
Finanzas computacionales: Conferencia 7/14 (Modelos de volatilidad estocástica)
En la conferencia, profundizamos en el concepto de modelos de volatilidad estocástica como una alternativa a los modelos Black-Scholes, que pueden tener sus limitaciones. El disertante enfatiza que los modelos de volatilidad estocástica pertenecen a la clase de modelos de difusión afín, los cuales requieren de técnicas avanzadas para obtener de manera eficiente precios y volatilidades implícitas. Se explica la motivación detrás de la incorporación de la volatilidad estocástica y se presenta el modelo de volatilidad estocástica bidimensional de Heston.
Un aspecto importante cubierto es la calibración de los modelos para toda la superficie de volatilidad implícita en lugar de solo un punto. Esto es particularmente crucial cuando se trata de pagos dependientes de la ruta y dependencia de la dirección del ataque. Los profesionales suelen calibrar los modelos para instrumentos líquidos, como opciones de compra y venta, y luego los extrapolan a los precios de derivados exóticos. Los modelos de volatilidad estocástica son populares en el mercado ya que permiten la calibración de toda la superficie de volatilidad, a pesar de sus limitaciones inherentes.
La conferencia también destaca la importancia de las superficies de volatilidad en el mercado de valores y la necesidad de modelos apropiados. Si la superficie de volatilidad muestra una sonrisa pronunciada, a menudo se prefieren los modelos que incorporan saltos o volatilidad estocástica. Se analizan diferentes medidas utilizadas para las opciones de precio, incluida la medida P y la medida neutral al riesgo. Se observa que si bien hacer que las tasas de interés dependan del tiempo no mejora las sonrisas ni el sesgo, la introducción de volatilidad estocástica o local puede ayudar en la calibración. También se presenta el modelo de Hassel, que utiliza procesos de raíces cuadradas que revierten la media para modelar la volatilidad.
La conferencia explora el concepto de modelos de volatilidad estocástica en detalle. Inicialmente, se utiliza un proceso normal y un movimiento browniano para definir una ecuación diferencial estocástica, pero se reconoce que este enfoque no captura con precisión la volatilidad, especialmente porque puede volverse negativa. Los beneficios del proceso Box Inverse, también conocido como proceso CIR, se explican ya que exhibe colas gruesas y permanece no negativo, lo que lo convierte en un modelo adecuado para la volatilidad. Se presenta el modelo de Heston, con su estructura de volatilidad estocástica, y se muestra que la varianza (VT) sigue una distribución de chi-cuadrado no central. Se aclara que esta distribución es una distribución de transición, y la condición de Feller se menciona como una condición técnica crítica a verificar durante la calibración del modelo.
Se analizan las condiciones de los modelos de volatilidad estocástica para evitar que las trayectorias lleguen a cero, denominadas condición de Feller. La condición se cumple cuando dos veces el producto del parámetro kappa y la media a largo plazo es mayor o igual a gamma al cuadrado, la volatilidad al cuadrado. Cuando no se cumple la condición, las rutas pueden llegar a cero y recuperarse, lo que conduce a una condición límite alcanzable. Se explican las propiedades de las distribuciones chi-cuadrado no centrales y su relación con los procesos CIR. Se proporcionan trayectorias de varianza y gráficos de densidad para ilustrar los efectos de satisfacer o no satisfacer la condición de Feller.
Se enfatiza la importancia de las distribuciones de cola gruesa en los modelos de volatilidad estocástica, ya que a menudo se observan después de calibrar los modelos con los datos del mercado. Se observa que si la condición de Feller de un modelo no se cumple, las rutas de Monte Carlo pueden llegar a cero y permanecer en cero. Se explica la inclusión de la correlación en los modelos a través del movimiento browniano y se menciona que los saltos generalmente se consideran independientes. La conferencia concluye con un gráfico que representa el impacto de la condición de Feller en la densidad.
La conferencia se centra en la correlación y la varianza en el movimiento browniano. El orador explica que cuando se trata de movimientos brownianos correlacionados, cierta relación debe cumplirse, y lo mismo se aplica a los incrementos. La técnica de la descomposición de Cholesky se presenta como un medio para correlacionar dos movimientos brownianos utilizando una matriz definida positiva y la multiplicación de dos matrices triangulares inferiores. Este método es útil para formular los dos procesos discutidos más adelante en la lección.
Se analiza la construcción de la multiplicación de matrices triangulares inferiores con movimientos brownianos independientes, lo que da como resultado un vector que contiene una combinación de procesos independientes y correlacionados.
Además, el disertante explica que la función característica del modelo de Heston proporciona información valiosa sobre precios eficientes y rápidos. Al derivar la función característica, se hace evidente que todos los términos involucrados son explícitos, lo que elimina la necesidad de cálculos analíticos o numéricos complejos para resolver las ecuaciones diferenciales ordinarias. Esta simplicidad se considera una de las ventajas significativas del modelo de Heston, lo que lo convierte en una herramienta práctica y poderosa para la fijación de precios de derivados.
El disertante enfatiza que comprender las características e implicaciones de cada parámetro en el modelo de Heston es crucial para administrar de manera efectiva los riesgos asociados con la volatilidad. Parámetros como kappa, la media a largo plazo, la volatilidad, la correlación y el valor inicial del proceso de varianza tienen impactos distintos en la dinámica de la volatilidad y la superficie de volatilidad implícita. Al calibrar estos parámetros al mercado y analizar sus efectos, los profesionales pueden obtener información valiosa sobre las sonrisas y sesgos de la volatilidad implícita, lo que permite una gestión de riesgos y precios más precisos.
La conferencia destaca la importancia de calibrar los modelos de volatilidad estocástica para toda la superficie de volatilidad implícita en lugar de solo un punto. Los pagos dependientes de la ruta y las dependencias de la dirección del ataque requieren un enfoque de calibración integral para capturar toda la complejidad de los datos del mercado. Por lo general, los profesionales calibran los modelos para instrumentos líquidos, como opciones de compra y venta, y luego los extrapolan a precios de derivados exóticos. Si bien los modelos de volatilidad estocástica permiten la calibración de toda la superficie de volatilidad, se reconoce que el proceso de calibración no es perfecto y tiene sus limitaciones.
Para mejorar aún más la comprensión de los modelos de volatilidad estocástica, el disertante profundiza en el concepto de distribuciones de cola gruesa, que a menudo se observan al calibrar modelos con datos de mercado. El orador explica que si no se cumple la condición de talador de un modelo, las rutas de Monte Carlo pueden llegar a cero y permanecer en cero, lo que afecta la precisión del modelo. Adicionalmente, se discute la inclusión de saltos y la consideración independiente de correlaciones en modelos de volatilidad estocástica. La conferencia proporciona información sobre cómo estos elementos influyen en la dinámica de la volatilidad y la fijación de precios.
La conferencia concluye comparando el modelo de Heston con el modelo de Black-Scholes. Mientras que el modelo Heston ofrece una mayor flexibilidad y estocasticidad en el modelado de la volatilidad, el modelo Black-Scholes sigue siendo un punto de referencia para la fijación de precios de derivados. Comprender las implicaciones de los diferentes cambios de parámetros en las sonrisas y sesgos de la volatilidad implícita es esencial para que los profesionales elijan el modelo apropiado para sus necesidades específicas. A través de una calibración y un análisis exhaustivos, los modelos de volatilidad estocástica como el de Heston pueden proporcionar información valiosa sobre la fijación de precios y la gestión de riesgos en los mercados financieros.
Además de discutir el modelo de Heston, la conferencia aborda la importancia de la correlación y la varianza en el movimiento browniano. El orador explica que cuando se trata de movimientos brownianos correlacionados, ciertas relaciones y condiciones deben cumplirse, incluido el uso de la descomposición de Cholesky. Esta técnica permite la correlación de dos movimientos brownianos utilizando una matriz definida positiva y la multiplicación de dos matrices triangulares inferiores. La conferencia enfatiza que este método es esencial para formular procesos en casos multidimensionales y lograr la estructura de correlación deseada.
Además, el disertante se enfoca en la construcción y representación de movimientos brownianos independientes y correlacionados en modelos de volatilidad estocástica. Si bien la descomposición de Cholesky es una herramienta útil para correlacionar los movimientos brownianos, la conferencia señala que, para fines prácticos, no siempre es necesaria. En cambio, el lema de Ito se puede aplicar para incorporar movimientos brownianos correlacionados de manera efectiva. La conferencia proporciona ejemplos de construcción de carteras de acciones con movimientos brownianos correlacionados y demuestra cómo aplicar el lema de Ito para determinar la dinámica de funciones multidimensionales que involucran múltiples variables.
La conferencia también cubre la ecuación diferencial parcial (PDE) de precios para el modelo de Heston utilizando un enfoque de martingala. Este enfoque implica garantizar que una cantidad específica, llamada pi, que representa la relación de volatilidad sobre la media a largo plazo, sea una martingala. Al aplicar Ethos Lemma, la lección deriva la ecuación de la martingala, que involucra derivadas y el proceso de varianza. El PDE de fijación de precios permite la determinación de precios justos para los contratos de derivados y el uso de la medida neutral al riesgo en la fijación de precios.
Además, el disertante analiza el impacto de diferentes parámetros en la forma de la volatilidad implícita en los modelos de volatilidad estocástica. Se muestra que parámetros como gamma, correlación y la velocidad de reversión media (kappa) influyen en la curvatura, el sesgo y la estructura temporal de las volatilidades implícitas. Comprender los efectos de estos parámetros ayuda a calibrar con precisión los modelos y capturar la dinámica de volatilidad deseada.
A lo largo de la conferencia, el orador enfatiza la importancia de la calibración del modelo, particularmente para toda la superficie de volatilidad implícita. Calibrar a instrumentos líquidos y extrapolar a derivados exóticos es una práctica común entre los profesionales. Los modelos de volatilidad estocástica, incluido el modelo Heston, brindan la flexibilidad para calibrar toda la superficie de volatilidad, lo que permite una mayor precisión en la fijación de precios y la gestión de riesgos. Sin embargo, se reconoce que la calibración del modelo no está exenta de limitaciones y que las diferencias sutiles entre los modelos, como los modelos de Heston y Black-Scholes, deben examinarse cuidadosamente para garantizar una valoración de precios y una evaluación de riesgos adecuadas.
La conferencia proporciona una descripción general completa de los modelos de volatilidad estocástica, centrándose en el modelo de Heston, sus implicaciones para los parámetros, las técnicas de calibración y el papel de la correlación y la varianza en el movimiento browniano. Mediante la comprensión y la aplicación eficaz de estos conceptos, los profesionales pueden mejorar su capacidad para cotizar derivados, gestionar riesgos y navegar por las complejidades de los mercados financieros.
Finanzas computacionales: Conferencia 8/14 (Transformación de Fourier para el precio de opciones)
Finanzas computacionales: Conferencia 8/14 (Transformación de Fourier para el precio de opciones)
Durante la lección sobre la Transformada de Fourier para la valoración de opciones, el instructor profundiza en la aplicación de la técnica y en varios aspectos. Comienzan explicando que la Transformada de Fourier se utiliza para calcular la densidad y cotizar de manera eficiente las opciones para los modelos que pertenecen a la clase de modelos de difusión fina. La técnica consiste en calcular una integral sobre el eje real, lo que puede resultar costoso desde el punto de vista computacional. Sin embargo, al emplear el lema de inversión, el instructor aclara cómo se puede reducir el dominio de "u", lo que permite el cálculo de la parte real de la integral. Este enfoque ayuda a minimizar la carga computacional asociada con cálculos costosos.
El disertante analiza además la mejora de esta representación utilizando la transformación rápida de Fourier (FFT), que mejora significativamente la eficiencia de la implementación. Al aprovechar las propiedades de FFT, la carga de trabajo computacional se reduce, lo que hace que la fijación de precios de opciones sea más eficiente y rápida. La sesión concluye con una comparación entre el método de transformación de Fourier y el método de costos, brindando información sobre sus respectivos detalles de implementación.
Avanzando, el disertante profundiza en el primer paso para derivar una forma rápida de calcular la densidad utilizando la transformación de Fourier. Este paso implica dividir el dominio en dos y extraer la parte real, lo cual es una operación computacionalmente económica. Además, el disertante explora la división de números complejos y la importancia de tomar el conjugado, ya que facilita cálculos más eficientes de la función característica. También se analiza la construcción de una cuadrícula para obtener la densidad de cada valor "x", destacando la importancia de seleccionar dominios apropiados y definir límites.
La conferencia continúa con una explicación del cálculo de la densidad de "x" utilizando una integral de transformación de Fourier y una cuadrícula que comprende "n" puntos de cuadrícula. El instructor enfatiza la necesidad de realizar cálculos de densidad para múltiples valores de "x" simultáneamente. Una vez que se definen las cuadrículas, se introduce una nueva integral que involucra una función llamada "gamma" y se emplea la integración trapezoidal para aproximar la integral discreta. Para ilustrar este proceso, el disertante proporciona un ejemplo de cómo realizar una integración trapezoidal para una función con una cuadrícula igualmente espaciada.
Luego, el disertante profundiza en el proceso de configuración de parámetros para definir la cuadrícula para la transformación de Fourier. Estos parámetros abarcan el número de puntos de cuadrícula, el valor máximo de "u" y la relación entre delta "x" y delta "u". Una vez que se establecen estos parámetros, se pueden sustituir integrales y sumas, lo que permite derivar una función para cada valor de "x". La lección incluye una ecuación que incorpora integración trapezoidal y funciones características evaluadas en los nodos de contorno del trapezoide.
La representación de la integral y la importancia de emplear la transformación rápida de Fourier (FFT) en la valoración de opciones se analizan en detalle. El orador explica que al definir una función adecuada para la entrada en FFT, los profesionales pueden aprovechar las capacidades de evaluación e implementación rápidas que ya están presentes en la mayoría de las bibliotecas. El disertante procede a explicar los pasos involucrados en el cálculo de esta transformación y cómo se puede utilizar para calcular integrales. En general, la conferencia subraya la importancia de FFT en las finanzas computacionales y su utilidad en la valoración de opciones.
Además de los temas antes mencionados, la conferencia explora varios aspectos relacionados con la transformación de Fourier para la valoración de opciones. Estos incluyen el uso de técnicas de interpolación para garantizar cálculos precisos para un número discreto de puntos, la relación entre la serie de Taylor y la función característica, la aplicación del método de expansión del coseno para funciones pares y el uso de dominios truncados para aproximar la densidad. La conferencia también cubre la recuperación de la densidad, los resultados numéricos obtenidos usando la expansión de Fourier y la representación de precios en forma de matrices y vectores.
A lo largo de la conferencia, el instructor enfatiza la implementación práctica del método de transformación de Fourier, analiza el impacto de diferentes parámetros y destaca las ventajas y limitaciones del enfoque. Al proporcionar explicaciones integrales y experimentos numéricos, la conferencia brinda a los alumnos el conocimiento y las herramientas necesarias para aplicar la transformación de Fourier para la valoración de opciones en escenarios del mundo real.
El disertante procede a discutir la recuperación de la función de densidad en la Transformación de Fourier para la valoración de opciones. Destacan la importancia de seleccionar un número suficientemente grande de puntos (indicados como "n") en la transformación para lograr cálculos de densidad de alta precisión. El disertante introduce el número complejo "i" para definir el dominio y el máximo, siendo "u_max" determinado por la distribución. Además, el disertante explica la necesidad de la interpolación, particularmente usando la interpolación cúbica en los puntos de la cuadrícula "x_i" para garantizar un cálculo preciso de la función de densidad de salida, incluso para las entradas que no se encuentran en la cuadrícula.
El orador explora más a fondo los beneficios de la interpolación y su relevancia para la fijación de precios de opciones utilizando la transformación de Fourier. Si bien la transformación de Fourier es ventajosa para cuadrículas más grandes, la interpolación puede ser preferible cuando se trata de números más grandes, ya que es comparativamente menos costosa desde el punto de vista computacional que la FFT. El ponente demuestra cómo funciona la interpolación a través de ejemplos de código, destacando que al ajustar los parámetros, es posible calcular sensibilidades y obtener griegos sin costo adicional. Esta característica hace que la técnica de expansión del coseno sea ideal para cotizar derivados más exóticos, como opciones de barrera y Bermudas.
Además, el disertante discute la relación entre la serie de Taylor y la función característica en finanzas computacionales. La conferencia muestra la correspondencia uno a uno entre la serie y la función característica, lo que permite relaciones directas sin requerir integrales adicionales. Luego, el disertante describe el "método cos" para la valoración de opciones, que emplea una expansión del coseno de Fourier para representar funciones pares alrededor de cero. Este método implica calcular integrales y coeficientes, con la nota crucial de que el primer término de la expansión siempre debe multiplicarse por la mitad.
La lección analiza más de cerca el proceso de cambiar el dominio de integración de la función "g" para lograr un rango de soporte finito de "a" a "b". El orador explica la importancia de la fórmula de Euler para simplificar la expresión y muestra cómo sustituir "u" por "k pi dividido por ba" conduce a una expresión más simple que involucra la densidad. El dominio truncado se indica con un símbolo de sombrero y los valores específicos para los parámetros "a" y "b" se eligen en función del problema que se está resolviendo. El orador enfatiza que esta es una técnica de aproximación y que las elecciones heurísticas están involucradas en la selección de los valores de "a" y "b".
Además, la conferencia explora la relación entre la expansión de Fourier y la recuperación de la densidad. Al tomar las partes reales de ambos lados de la ecuación, la lección demuestra la fórmula de Euler que permite expresar la integral de la densidad como una parte real de la función característica. Este método elegante y rápido facilita encontrar las relaciones entre las integrales de la función objetivo y la función característica utilizando la definición de la función característica. El método de costos tiene como objetivo descubrir estas relaciones para calcular los coeficientes de expansión y recuperar la densidad. Aunque el método introduce errores de suma infinita y dominio de truncamiento, estos errores son fáciles de controlar.
Luego, la conferencia se enfoca en resumir la expansión del coseno de Fourier, que puede lograr una alta precisión incluso con una pequeña cantidad de términos. Se lleva a cabo un experimento numérico que implica una función de densidad de probabilidad normal (PDF) para examinar la generación de errores en función del número de términos, incluida la medición del tiempo. El experimento de código está estructurado para generar densidad usando el método del coseno, definiendo el error como la máxima diferencia absoluta entre la densidad recuperada usando el método del coseno y la PDF normal exacta. El método del coseno requiere solo unas pocas líneas de código para recuperar la densidad utilizando la función característica, que se encuentra en el corazón del método.
Además, el orador analiza los resultados numéricos de la expansión de Fourier, que se puede realizar de manera eficiente utilizando la notación matricial. El error disminuye a medida que aumenta el número de términos de expansión, con un error tan bajo como 10^-17 logrado con 64 términos. El uso de un número menor de términos puede generar oscilaciones o un ajuste más deficiente. El orador señala que los parámetros como el dominio y el número de términos de expansión deben ajustarse cuidadosamente, especialmente para distribuciones con muchas colas. Además, la conferencia destaca que la densidad logarítmica normal también se puede modelar utilizando la función característica normal.
Más adelante, el disertante profundiza en el caso log-normal y explica cómo su densidad difiere de la distribución normal. Debido a la distribución logarítmica normal, normalmente se requiere una mayor cantidad de términos de expansión. El disertante enfatiza la importancia de elegir un número adecuado de términos para un tipo específico de distribución y dominio.
La conferencia enfatiza que el método del costo es particularmente útil para recuperar la densidad y se emplea comúnmente para la fijación de precios de derivados, como las opciones de tipo europeo que solo tienen un pago al vencimiento. El disertante procede a explicar cómo funciona la fijación de precios, involucrando la integración del producto de una función de densidad y pago bajo la medida neutral al riesgo.
A medida que avanza la conferencia, el orador discute opciones más exóticas, donde se puede derivar una función de conectividad y se pueden usar cosenos. Se introduce el término "densidades de transición", en referencia a las distribuciones que describen la transición de un punto a otro en el eje del tiempo. El valor inicial se da en términos de la distribución de una variable aleatoria. La presentación explora aún más el truncamiento de la densidad, donde la densidad se limita a un intervalo específico. Se explica el método de cuadratura gaussiana, que consiste en integrar una sumatoria de las partes reales de una función característica multiplicada por algún exponente.
La conferencia introduce el concepto de precio de activo de registro ajustado, que se define como el logaritmo de la acción al vencimiento dividido por un coeficiente de escala. Se presenta una representación alternativa del pago y el orador señala que la elección de "v" afecta directamente al coeficiente "h_n". Este enfoque se puede utilizar para evaluar los pagos de múltiples strikes, proporcionando un método conveniente para fijar precios de opciones a varios precios de strike simultáneamente.
A continuación, el ponente profundiza en el proceso de cálculo de la integral de una función de pago multiplicada por la densidad utilizando funciones exponenciales y coseno en la transformación de Fourier para la valoración de opciones. Se proporciona una forma genérica para las dos integrales involucradas y se seleccionan diferentes coeficientes para calcular varios pagos. El ponente destaca la importancia de poder implementar esta técnica para múltiples strikes, permitiendo tarificar todos los strikes a la vez, lo que ahorra tiempo y reduce gastos computacionales. Finalmente, la representación de precios se presenta en forma de una matriz multiplicada por un vector.
Se analiza la fórmula de implementación de la transformación de Fourier en la valoración de opciones, que implica la vectorización de elementos y manipulaciones de matrices. La lección explica el proceso de tomar "k" como un vector y crear una matriz con huelgas "n_k". Las partes reales se calculan para manejar números complejos. La función característica es de gran importancia ya que no depende de "x" y juega un papel clave en el logro de implementaciones eficientes para múltiples huelgas. La precisión y la convergencia de la implementación dependen del número de términos y se muestra una comparación de muestra.
Además, el ponente profundiza en el código utilizado para el método de transformación de Fourier en la valoración de opciones y explica las diferentes variables involucradas. Introducen el concepto de un rango para los coeficientes "a" y "b", que generalmente se mantiene en 10 u 8 para los modelos de difusión de salto. El código incluye una expresión lambda para la función característica, que es una función genérica adaptable a diferentes modelos. El orador enfatiza la importancia de medir el tiempo realizando múltiples iteraciones del mismo experimento y calculando el tiempo promedio. Finalmente, ilustran el método de costos y cómo utiliza el rango de integración para asumir una gran volatilidad.
La conferencia continúa con una explicación del proceso de definición de strikes y cálculo de coeficientes para el método de la transformada de Fourier para la fijación de precios de opciones. El disertante enfatiza que si bien ajustar los parámetros del modelo puede conducir a una mejor convergencia y requerir menos términos para la evaluación, generalmente es seguro ceñirse a los parámetros del modelo estándar. Detallan los pasos para definir una matriz y realizar la multiplicación de matrices para obtener el precio de ejercicio descontado, comparando el error resultante con el de la solución exacta. La conferencia destaca que el error depende del número de términos y del rango de strike elegido.
Luego, el orador presenta una comparación de diferentes métodos para la valoración de opciones, incluido el método de la Transformada Rápida de Fourier (FFT) y el método del Coseno. Explican que el método FFT es más adecuado para una gran cantidad de puntos de cuadrícula, mientras que el método Coseno es más eficiente para una cantidad menor de puntos de cuadrícula. El disertante demuestra el cálculo de precios de opciones utilizando ambos métodos y compara los resultados.
Además, la conferencia cubre la aplicación de métodos basados en Fourier en otras áreas de las finanzas, como la gestión de riesgos y la optimización de carteras. El disertante explica que los métodos basados en Fourier se pueden utilizar para estimar medidas de riesgo como el valor en riesgo (VaR) y el valor en riesgo condicional (CVaR). Al combinar los métodos de Fourier con técnicas de optimización, es posible encontrar asignaciones de cartera óptimas que minimicen el riesgo o maximicen los rendimientos.
La conferencia concluye resumiendo los puntos principales discutidos a lo largo de la presentación. Las técnicas de transformación de Fourier proporcionan una poderosa herramienta para la fijación de precios de opciones y otras aplicaciones financieras. El método del coseno permite una valoración eficiente y precisa de las opciones al aprovechar la función característica y la expansión de Fourier. La elección de parámetros, como el número de términos y el dominio, afecta la precisión y la convergencia del método. Además, los métodos basados en Fourier pueden extenderse a varios problemas financieros más allá de la fijación de precios de opciones.
En general, la conferencia proporciona una descripción general completa de las técnicas de transformación de Fourier en la valoración de opciones, que abarca temas como la recuperación de la densidad, la interpolación, el método cos, las distribuciones logarítmicas normales, múltiples strikes, consideraciones de implementación y comparaciones con otros métodos de valoración. Las explicaciones del disertante y los ejemplos de código ayudan a ilustrar la aplicación práctica de estas técnicas en finanzas y destacan sus beneficios en términos de precisión y eficiencia.