Comercio Cuantitativo - página 36
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Hipótesis Nula y Alternativa (Cálculos para Exámenes CFA® y FRM®)
Hipótesis Nula y Alternativa (Cálculos para Exámenes CFA® y FRM®)
Hoy discutiremos el concepto de cápsulas conceptuales, centrándonos específicamente en el tema de las hipótesis nulas y alternativas. Este es un aspecto importante de la prueba de hipótesis, que encontrará en su CFA Nivel 1 y Nivel 2, así como en su plan de estudios FRM. Formular las hipótesis nula y alternativa es el primer paso en el proceso de prueba de hipótesis, y es crucial hacerlo bien, ya que sienta las bases para toda la prueba.
Profundicemos en lo que debe hacer en este paso inicial. Lo primero a considerar son las categorías de hipótesis. Tenemos dos tipos de hipótesis a tratar: la hipótesis nula (H0) y la hipótesis alternativa (Ha). La hipótesis nula representa la hipótesis que se está probando, según el conocimiento actual sobre el parámetro de la población. Por otro lado, la hipótesis alternativa presenta una visión o creencia alternativa sobre el parámetro poblacional. En algunos textos, la hipótesis alternativa se puede denotar como H1b, pero comúnmente se representa como Ha o simplemente como H1.
Para formular estas hipótesis, es fundamental seguir tres principios básicos. Estos principios se aplican a cualquier prueba de hipótesis que realice, ya sea una prueba t, una prueba z o incluso la prueba Durbin-Watson en su plan de estudios de Nivel 2. Al comprender y aplicar estos principios, puede crear hipótesis nula y alternativa de manera precisa y consistente.
El primer principio es que las hipótesis nula y alternativa deben ser mutuamente excluyentes. Esto significa que no debe haber superposición o resultados comunes entre las dos hipótesis. Si un resultado está presente en la hipótesis nula, no puede estarlo en la hipótesis alternativa y viceversa.
El segundo principio es que las hipótesis deben ser colectivamente exhaustivas. Esto implica que no hay otros resultados posibles además de los representados en las hipótesis nula y alternativa. Por ejemplo, si está probando si la media es igual a 5, la hipótesis alternativa establecería que la media no es igual a 5. En este caso, la media solo puede ser igual a 5 o no igual a 5, sin dejar otras posibilidades.
El tercer y crucial principio es que la hipótesis nula debe incluir un signo igual. Esta regla es de suma importancia en la prueba de hipótesis, ya que ayuda a evitar errores al crear las hipótesis nula y alternativa. El signo igual puede abarcar no solo la igualdad estricta sino también las desigualdades como mayor o igual que y menor o igual que.
Ahora, exploremos los dos tipos de pruebas que puede encontrar: pruebas de dos colas y pruebas de una cola. En una prueba de dos colas, se consideran ambos lados de la distribución. Por ejemplo, si está probando si la media es igual a 10 o no es igual a 10, está examinando las posibilidades de que la media sea mayor que 10 y menor que 10. En este caso, la prueba se conoce como dos -prueba de cola.
En una prueba de dos colas, el nivel de significación, a menudo establecido en el 5 %, se divide por igual entre ambos lados de la distribución. Esto significa que cada lado recibe el 2,5 % del nivel de significancia, dejando el 95 % en el medio, ya que el área total bajo la curva debe sumar el 100 %.
Por otro lado, una prueba de una cola se enfoca en un lado específico de la distribución, ya sea el lado izquierdo o el lado derecho. Esta prueba se utiliza cuando se desea probar la posibilidad de un cambio en una sola dirección sin tener en cuenta la otra dirección. Por ejemplo, si está probando si la media es menor que 10, le interesa el lado izquierdo de la distribución. Por el contrario, si está probando si la media es mayor que 10, se está enfocando en el lado derecho de la distribución.
Una vez que haya formulado las hipótesis nula y alternativa, puede continuar con los siguientes pasos de la prueba de hipótesis. Estos pasos suelen implicar la recopilación de datos, la realización de análisis estadísticos y la obtención de conclusiones basadas en los resultados.
Para resumir, aquí están los puntos clave discutidos hasta ahora:
La prueba de hipótesis es una parte importante del análisis estadístico y se utiliza para hacer inferencias sobre parámetros de población basados en datos de muestra.
Los dos tipos de hipótesis involucradas en la prueba de hipótesis son la hipótesis nula (H0) y la hipótesis alternativa (Ha o H1).
La hipótesis nula representa el conocimiento o suposición actual sobre el parámetro de población que se está probando, mientras que la hipótesis alternativa representa una creencia diferente u opuesta.
Los tres principios básicos para formular hipótesis son:
a. Mutuamente excluyentes: las hipótesis nula y alternativa deben estar separadas y no pueden tener resultados comunes. Representan diferentes posibilidades.
b. Colectivamente exhaustiva: las hipótesis nula y alternativa deben cubrir todos los resultados posibles. No debe haber otras opciones además de las establecidas en las hipótesis.
C. Signo igual en la hipótesis nula: La hipótesis nula siempre debe incluir un signo igual (por ejemplo, igual a, menor o igual que, o mayor o igual que). Esto asegura que la hipótesis nula represente un valor o condición específica.
Las pruebas de hipótesis se pueden categorizar como pruebas de dos colas o pruebas de una cola:
a. Las pruebas de dos colas consideran ambos lados de la distribución y prueban si un parámetro no es igual a un valor específico.
b. Las pruebas de una cola se enfocan en un lado específico de la distribución y prueban si un parámetro es mayor o menor que un valor específico.
Es crucial elegir el tipo de prueba apropiado en función de la pregunta de investigación y la direccionalidad del efecto que se investiga.
Una vez que se formulan las hipótesis, los siguientes pasos implican la recopilación de datos, el análisis estadístico (p. ej., el cálculo de las estadísticas de prueba y los valores p) y la interpretación de los resultados para aceptar o rechazar la hipótesis nula.
Recuerde que la prueba de hipótesis es un proceso estructurado que lo ayuda a sacar conclusiones significativas basadas en evidencia. Al seguir los principios y lineamientos discutidos, puede garantizar la validez y precisión de sus procedimientos de prueba de hipótesis.
VPN vs. TIR (cálculos para exámenes CFA®)
VPN vs. TIR (cálculos para exámenes CFA®)
¡Hola y bienvenidos a Concept Capsules! Hoy, exploraremos los temas del Valor Presente Neto (VAN) y la Tasa Interna de Retorno (TIR). Estas técnicas son cruciales en el presupuesto de capital y se cubren ampliamente en los planes de estudio de CFA y FRM.
El VAN y la TIR se utilizan para comparar los flujos de caja que se producen en diferentes momentos y ayudan a determinar el mejor proyecto a emprender. También ayudan en la secuenciación de proyectos en función del capital disponible. NPV evalúa la rentabilidad de un proyecto considerando los flujos de efectivo después de impuestos. Implica descontar los flujos de efectivo a un período de tiempo común, generalmente el período de tiempo cero, donde se toma la decisión de ejecutar el proyecto.
Para calcular el VAN, restamos la salida de efectivo inicial (inversión) del valor presente de las entradas de efectivo. Las entradas y salidas de efectivo se llevan al período de tiempo cero para la comparación. Si el VAN resultante es positivo, el proyecto se considera rentable y debe aceptarse. Si es negativo, el proyecto destruye valor y debe ser rechazado. Un VAN de cero significa que el proyecto no agrega ni destruye el valor de la empresa, lo que lo hace indiferente. Sin embargo, en la práctica, los proyectos con un VAN de cero generalmente no se llevan a cabo.
TIR, por otro lado, elimina la necesidad de una tasa de descuento predeterminada. Es la tasa de descuento la que hace que el VAN sea igual a cero. En otras palabras, la TIR iguala el valor actual de las entradas de efectivo con el valor actual de las salidas de efectivo. La regla de decisión para la TIR se basa en una tasa de retorno requerida o tasa crítica. Si la TIR supera la tasa crítica, se acepta el proyecto; de lo contrario, se rechaza.
Exploremos un ejemplo para entender cómo calcular el VAN y la TIR usando la calculadora BA2 Plus. Considere la Compañía A, que planea invertir $100 millones en un proyecto de expansión de capital. Se espera que el proyecto genere flujos de efectivo después de impuestos de $20 millones por año durante los primeros tres años y $33 millones en el último año. La tasa de rendimiento requerida es del 8%. Necesitamos calcular el VAN y la TIR y decidir si se debe emprender el proyecto.
Para comenzar, creamos una línea de tiempo con la salida de efectivo de $100 millones en el período de tiempo cero y las entradas de efectivo de $20 millones para cada uno de los primeros tres años y $33 millones para el cuarto año. Luego descontamos cada entrada de efectivo al período de tiempo cero utilizando la tasa de descuento del 8%. Sumando los valores actuales de las entradas de efectivo y restando la salida de efectivo inicial, se obtiene el VAN. En este caso, el VAN se calcula en -$24,2 millones.
Para calcular la TIR, establecemos la ecuación que iguala el VAN a cero, usando una tasa de descuento desconocida (TIR). Sin embargo, resolver manualmente esta ecuación puede llevar mucho tiempo. Afortunadamente, podemos usar la calculadora BA2 Plus para calcular la TIR directamente ingresando los flujos de efectivo y encontrando la función TIR.
En conclusión, el VAN de -$24,2 millones y la TIR deben determinarse utilizando la calculadora BA2 Plus. La comparación de la TIR con la tasa de rendimiento requerida guiará la decisión de emprender el proyecto.
Factores que afectan los valores de las opciones (cálculos para los exámenes CFA® y FRM®)
Factores que afectan los valores de las opciones (cálculos para los exámenes CFA® y FRM®)
Profundicemos en el tema de las cápsulas conceptuales y exploremos los factores que influyen en los valores de las opciones. Este tema es relevante en los tres niveles del plan de estudios CFA, así como en el programa FRM. Antes de profundizar en los factores, recapitulemos las notaciones de opciones y los perfiles básicos de pago de opciones.
Hay seis factores que afectan el valor de una opción, que se alinean con los conceptos cubiertos en la teoría de opciones. Repasemos las notaciones. El precio actual de las acciones se denota como "S". El precio de ejercicio o precio de ejercicio está representado por "X" o "K". Se puede utilizar cualquier notación. El tiempo hasta el vencimiento de la opción se denota como "T", que indica cuánto tiempo queda hasta que la opción alcance el vencimiento. "R" representa la tasa libre de riesgo a corto plazo durante el período de valoración. Por último, "D" representa el valor actual de los dividendos o cualquier otro beneficio asociado con la acción o el activo subyacente.
Ahora, recapitulemos brevemente la definición de opciones y sus diversos perfiles de pago. Las opciones se diferencian de los contratos a plazo o futuros porque otorgan al comprador un derecho en lugar de una obligación. Los compradores de opciones pueden optar por ejercer o no sus derechos, en función de lo que les resulte más rentable. Hay dos tipos de opciones: opciones de compra y opciones de venta. Las opciones de compra otorgan el derecho a comprar el activo subyacente, mientras que las opciones de venta otorgan el derecho a vender el activo subyacente. Es importante señalar que estas perspectivas son desde la posición larga, mientras que la posición corta invierte estas acciones. Por ejemplo, una llamada corta representa la obligación de vender el activo subyacente.
Las cuatro posiciones de pago de opciones son call larga, call corta, put larga y put corta. Una llamada larga representa el derecho a comprar el activo subyacente, que normalmente se usa cuando se espera que suba el precio del activo. Por el contrario, una llamada corta representa la obligación de vender el activo subyacente. Para una opción de venta larga, el tenedor tiene derecho a vender el activo subyacente, que generalmente se usa cuando se espera que el precio del activo disminuya. Un put corto representa la obligación de comprar el activo subyacente.
Para calcular el valor de estas opciones, podemos usar fórmulas. La fórmula para una llamada larga es el máximo de 0 y la diferencia entre el precio de la acción (ST) y el precio de ejercicio (K). Para una llamada corta, la fórmula es el valor negativo de una llamada larga. La fórmula para una opción put larga es el máximo de 0 y la diferencia entre el precio de ejercicio (K) y el precio de la acción (ST). Por último, una put corta es el valor negativo de una put larga.
Es importante distinguir entre opciones americanas y opciones europeas. Las opciones americanas brindan más flexibilidad, lo que permite al titular ejercer la opción en cualquier momento hasta el vencimiento. Por otro lado, las opciones europeas son más rígidas y solo se pueden ejercer al vencimiento. Sin embargo, las opciones europeas aún se pueden negociar antes del vencimiento, y el ejercicio solo es posible el último día. En nuestro análisis, consideramos principalmente el impacto en las opciones europeas, ya que las opciones estadounidenses tienden a ser más caras debido a la flexibilidad adicional que ofrecen.
Pasando al tema principal de los factores que afectan los valores de las opciones, examinemos la tabla provista. La tabla muestra las variables y su impacto en los valores de compra y venta. Nos centraremos en analizar el impacto de un aumento de estos factores.
Primero, consideremos el precio de las acciones (S). Si el precio de las acciones aumenta, los valores de las llamadas también aumentarán. Esto se debe a que la diferencia entre el precio de las acciones y el precio de ejercicio se amplía, lo que lleva a valores de opciones de compra más altos. Por el contrario, un aumento en el precio de las acciones disminuirá los valores de venta, ya que el signo negativo asociado con el precio de las acciones en la fórmula de la opción de venta reduce la diferencia entre el precio de ejercicio y el precio de las acciones.
A continuación, exploremos el impacto de un aumento en el precio de ejercicio (K). Un aumento en el precio de ejercicio (K) tiene una relación inversa con los valores de llamada. Cuando el precio de ejercicio aumenta, la diferencia entre el precio de las acciones y el precio de ejercicio se reduce, lo que da como resultado valores de opciones de compra más bajos. Por otro lado, un aumento en el precio de ejercicio conduce a un aumento en los valores de venta. A medida que aumenta el precio de ejercicio, el diferencial entre el precio de ejercicio y el precio de las acciones se amplía, lo que genera valores de opción de venta más altos.
Pasando al tiempo de vencimiento (T), un aumento en este factor tiene un impacto positivo tanto en los valores de compra como de venta. Con más tiempo hasta el vencimiento, existe una mayor probabilidad de que el precio de la acción subyacente se mueva a favor del titular de la opción. Este mayor potencial para el movimiento de precios conduce a valores de opción más altos.
El impacto de la tasa libre de riesgo (R) en los valores de las opciones es algo intuitivo. Un aumento en la tasa libre de riesgo aumentará el valor presente de los flujos de efectivo futuros asociados con la opción. Esto conduce a valores de compra más altos y valores de venta más bajos.
Los dividendos (D) también tienen un impacto en los valores de las opciones. Para las opciones de compra, un aumento en los dividendos reduce el valor presente de los flujos de efectivo futuros asociados con las acciones, lo que lleva a valores de opción de compra más bajos. Por el contrario, para las opciones de venta, un aumento en los dividendos aumenta el valor presente de los flujos de efectivo futuros asociados con las acciones, lo que resulta en valores de opción de venta más altos.
Por último, la volatilidad de la acción subyacente (σ) tiene un impacto positivo tanto en los valores de compra como de venta. Una mayor volatilidad aumenta el potencial de mayores movimientos de precios, lo que aumenta la probabilidad de que la opción termine en el dinero. Como resultado, los valores de las opciones de compra y venta aumentan con una mayor volatilidad de las acciones.
Es importante tener en cuenta que el impacto de estos factores en los valores de las opciones puede variar según otros factores y las condiciones del mercado. Los modelos de valoración de opciones, como el modelo Black-Scholes, tienen en cuenta estos factores y proporcionan un marco más completo para valorar opciones.
Comprender los factores que influyen en los valores de las opciones es crucial para la fijación de precios de opciones, la gestión de riesgos y el desarrollo de estrategias de inversión que involucren opciones.
Otro factor importante que afecta los valores de las opciones es el precio del activo subyacente (S). Para las opciones de compra, a medida que aumenta el precio del activo subyacente, la opción se vuelve más valiosa porque el tenedor de la opción tiene derecho a comprar el activo a un precio de ejercicio más bajo y luego venderlo al precio de mercado más alto. Este potencial de ganancias conduce a valores de opciones de compra más altos. Por otro lado, para las opciones de venta, a medida que aumenta el precio del activo subyacente, la opción se vuelve menos valiosa porque el tenedor de la opción tiene derecho a vender el activo a un precio de ejercicio más bajo mientras que el precio de mercado es más alto. Este potencial de pérdida da como resultado valores de opción de venta más bajos.
La volatilidad implícita (IV) es otro factor crítico que influye en los valores de las opciones. La volatilidad implícita es la expectativa del mercado de volatilidad futura y se deriva de los precios actuales de las opciones. A medida que aumenta la volatilidad implícita, los valores de las opciones tienden a aumentar porque existe una mayor probabilidad de mayores oscilaciones de precios en el activo subyacente. El aumento de la volatilidad aumenta la probabilidad de que la opción termine en el dinero, lo que lleva a valores de opción más altos. Por el contrario, cuando la volatilidad implícita disminuye, los valores de las opciones tienden a disminuir.
La dinámica de la oferta y la demanda del mercado también puede afectar los valores de las opciones. Si hay una gran demanda de opciones, sus precios pueden aumentar debido a una mayor presión de compra. Por el contrario, si hay poca demanda de opciones, sus precios pueden disminuir. Las condiciones del mercado, el sentimiento de los inversores y las tendencias generales del mercado pueden influir en la dinámica de la oferta y la demanda, afectando los valores de las opciones.
Vale la pena señalar que los factores discutidos aquí se usan comúnmente en modelos de valoración de opciones, como el modelo Black-Scholes, que proporciona un marco teórico para valorar opciones. Sin embargo, los precios reales de las opciones pueden desviarse de las predicciones del modelo debido a las ineficiencias del mercado, los costos de transacción, la liquidez y otros factores.
Comprender los factores que influyen en los valores de las opciones es crucial para los comerciantes e inversores de opciones. Al considerar estos factores y analizar las condiciones del mercado, las personas pueden tomar decisiones más informadas con respecto a las estrategias de negociación de opciones, la gestión de riesgos y la construcción de carteras.
Índices del mercado de valores (cálculos para los exámenes CFA®)
Índices del mercado de valores (cálculos para los exámenes CFA®)
¡Hola y bienvenido! Hoy profundizaremos en el concepto de índices bursátiles y exploraremos los diferentes métodos para ponderarlos, centrándonos específicamente en los índices bursátiles. Los índices de acciones son ampliamente reconocidos y se ven comúnmente en las noticias, pero es importante tener en cuenta que los índices no son exclusivos de los mercados de acciones. Hay índices disponibles para renta fija, fondos de cobertura, divisas y muchos otros mercados.
Un índice es esencialmente una representación de un mercado en particular. Sirve como una herramienta para que los inversores realicen un seguimiento del rendimiento y el riesgo del mercado. Además, los fondos cotizados en bolsa (ETF) a menudo usan estos índices como puntos de referencia. Hay dos versiones principales de un índice: el índice de rentabilidad del precio y el índice de rentabilidad total.
El índice de rendimiento de precios rastrea solo los precios de los valores constituyentes. Calcula la diferencia entre el valor final y el valor inicial del índice, dividido por el nivel de precio original del índice. Esencialmente, el índice de rentabilidad del precio es similar al concepto de rentabilidad del período de tenencia.
Por otro lado, el índice de rendimiento total no solo rastrea los cambios de precios, sino que también considera cualquier ingreso o distribución asociada con los valores constituyentes. Esto incluye dividendos o reinversión de intereses. Para calcular el índice de rendimiento total, la diferencia de precios se combina con el rendimiento de los ingresos. Se puede usar la fórmula mencionada anteriormente o utilizar la función de cambio de porcentaje disponible en calculadoras como la BA II Plus o la HP 12C.
Pasando a los distintos tipos de índices de acciones, comencemos con el más simple: el índice ponderado por precio. En este método, se suma el precio de cada valor constituyente y se calcula el promedio. La suposición es que se compra una unidad de cada valor. Este tipo de índice se usa comúnmente en ejemplos como el Promedio Industrial Dow Jones y el Nikkei. Aunque es fácil de calcular, hay inconvenientes. Cada vez que hay una división o consolidación de acciones, el nivel del índice necesita un ajuste para garantizar que no se vea afectado por los cambios de precios.
Otro tipo es el índice de ponderación igual, también conocido como índice no ponderado. En este método, se invierten cantidades iguales de dinero en cada valor, independientemente del número de unidades. Esto conduce a acciones fraccionarias en muchos casos. El índice de ponderación equitativa se calcula tomando el rendimiento promedio aritmético de las acciones del índice. Los ejemplos de índices de igual ponderación incluyen el promedio compuesto de la línea de valor y el índice de acciones ordinarias del Financial Times.
El tercer tipo que analizaremos es el índice ponderado por capitalización de mercado, también conocido como método ponderado por valor. El peso de cada valor constituyente está determinado por su capitalización de mercado. La capitalización de mercado se calcula multiplicando el precio de la acción por el número total de acciones en circulación. El peso asignado a cada valor se calcula dividiendo su capitalización de mercado por la capitalización de mercado total de todos los valores. Este método refleja el valor total del índice. Un ejemplo de índice ponderado por capitalización de mercado es el S&P 500.
Para ilustrar estos conceptos, consideremos ejemplos numéricos para cada tipo de índice. Calcularemos los niveles del índice y los rendimientos en función de los precios, el número de acciones y las capitalizaciones de mercado determinados.
En conclusión, los índices de renta variable sirven como herramientas esenciales para que los inversores realicen un seguimiento del rendimiento y el riesgo de varios mercados. Comprender los diferentes métodos de ponderación, como los índices ponderados por precio, ponderados por igual y ponderados por capitalización de mercado, permite a los inversores tomar decisiones informadas en función de sus preferencias y objetivos de inversión.
Modelo de descuento de dividendos (cálculos para exámenes CFA®)
Modelo de descuento de dividendos (cálculos para exámenes CFA®)
¡Hola y bienvenidos a Concept Capsules! El tema de discusión de hoy es el modelo de descuento de dividendos (DDM). Esta discusión se centrará principalmente en los conceptos básicos de DDM desde una perspectiva de nivel 1 de CFA, pero también puede servir como introducción para el capítulo de DDM de nivel 2 de CFA.
El modelo de descuento de dividendos es un método de valoración utilizado para evaluar el valor de una acción. En este método, pronosticamos los dividendos futuros y el valor de salida, y luego descontamos estos flujos de efectivo al tiempo presente, que es el período de tiempo cero. El DDM se puede utilizar para valorar tanto las acciones preferentes como las acciones ordinarias, siendo las acciones ordinarias la versión más riesgosa.
Cuando valoramos acciones preferentes usando DDM, las tratamos como una perpetuidad. Las acciones preferentes pagan un dividendo fijo indefinidamente, similar a una perpetuidad. La fórmula para valorar las acciones preferentes se deriva de la fórmula de perpetuidad, donde el dividendo (flujo de caja) se divide por el costo de las acciones preferentes (tasa de descuento). Es importante tener en cuenta que la tasa de descuento para las acciones preferentes debe ser menor que la utilizada para las acciones ordinarias. Si hay categorías especiales de acciones preferentes, como participaciones preferentes o convertibles preferentes, las tasas de dividendos y de descuento deben ajustarse en consecuencia.
Consideremos un ejemplo simple para calcular el valor de una acción preferente. Supongamos que la tasa de descuento (k) es del 10% y el dividendo (c) es 5. Aplicando la fórmula de la perpetuidad, obtenemos el valor de las acciones preferentes como 50.
Pasando a la valoración del capital común, se vuelve más desafiante porque el tamaño y el momento de los flujos de efectivo futuros son inciertos. Además, necesitamos estimar la tasa de rendimiento requerida, para lo cual se utilizan comúnmente modelos como el Modelo de fijación de precios de activos de capital (CAPM). Comenzaremos con un modelo de período de tenencia de un año y luego lo extenderemos a varios años.
En el modelo de período de tenencia de un año, suponemos que el inversionista venderá las acciones al final del primer año. Necesitamos saber el dividendo recibido durante ese año y estimar el valor de salida de fin de año. Usando la fórmula CAPM, calculamos la tasa de rendimiento requerida. Los flujos de efectivo se descuentan hasta el período de tiempo cero para determinar el valor de las acciones.
Este modelo se puede extender fácilmente a varios años incorporando los respectivos dividendos y valores de salida para cada año. No necesitamos memorizar nuevas fórmulas; simplemente ajustamos el período de tiempo. Por ejemplo, un período de tenencia de dos años implicaría descontar los flujos de efectivo de dos años.
Apliquemos este concepto a una pregunta con un período de espera de tres años. Se espera que los dividendos anuales para los próximos tres años sean de 1 euro, 1,5 euros y 2 euros. El precio de la acción al cabo de tres años se estima en 20 euros. Con una tasa de rendimiento requerida del 10%, podemos calcular el valor de las acciones descontando los flujos de efectivo al período de tiempo cero. El valor resultante es de 18,67 euros.
Por último, consideramos el escenario de períodos de tenencia infinitos, asumiendo un crecimiento constante de los dividendos a una tasa de "g" para siempre. En este caso, la fórmula se simplifica a D0 * (1 + g) / (ke - g), donde D0 es el dividendo en el período de tiempo cero, ke es el costo del capital y g es la tasa de crecimiento constante. Es crucial prestar atención a los subíndices y hacer coincidir correctamente los períodos de tiempo para la estimación y valoración de dividendos.
Si la tasa de crecimiento se vuelve constante después de un cierto número de años, podemos usar el modelo de crecimiento de Gordon (GGM) a partir de ese momento. Sin embargo, es importante recordar que el valor de la acción se determina en un momento anterior al año para el cual se toma el dividendo en el numerador. Esto significa que debemos usar el.
Para ilustrar la aplicación del modelo de crecimiento de Gordon (GGM), consideremos un ejemplo. Suponga que se espera que una empresa pague un dividendo de $2 por acción el próximo año. Se espera que el dividendo crezca a una tasa constante de 5% anual indefinidamente. La tasa de rendimiento requerida (ke) es del 10%.
Usando la fórmula GGM, podemos calcular el valor de la acción:
Valor = D1 / (ke - g)
donde D1 es el dividendo esperado en el período de tiempo 1, ke es la tasa de rendimiento requerida y g es la tasa de crecimiento constante.
Sustituyendo los valores en la fórmula, tenemos:
Valor = $2 / (0.10 - 0.05) = $40
Entonces, según GGM, el valor de las acciones es de $40.
Es importante tener en cuenta que el modelo de crecimiento de Gordon asume una tasa de crecimiento constante, lo que puede no ser cierto en todos los casos. Es más adecuado para empresas maduras con tasas de crecimiento de dividendos estables y predecibles.
El modelo de descuento de dividendos (DDM) es una herramienta útil para valorar acciones, pero tiene sus limitaciones. Se basa en varios supuestos, como tasas de crecimiento de dividendos constantes y la precisión de las estimaciones de flujo de efectivo futuro. Las condiciones del mercado y otros factores también pueden influir en los precios de las acciones, lo que dificulta predecir los dividendos futuros y los valores de salida con precisión.
Además, DDM se aplica principalmente a empresas que pagan dividendos. Para las empresas que no pagan dividendos o tienen patrones de dividendos inconsistentes, los métodos de valoración alternativos como el análisis de flujo de efectivo descontado (DCF) pueden ser más apropiados.
En general, el modelo de descuento de dividendos proporciona un marco para estimar el valor de las acciones en función de los dividendos esperados y los flujos de efectivo futuros. Es un concepto esencial para analistas financieros e inversores que buscan determinar el valor intrínseco de las acciones de una empresa.
Modelo de precios de opciones binomiales (cálculos para exámenes CFA® y FRM®)
Modelo de precios de opciones binomiales (cálculos para exámenes CFA® y FRM®)
Profundicemos en el concepto del método de fijación de precios de opciones binomiales. Hoy, exploraremos este tema, que está cubierto tanto en el CFA como en el currículo de finanzas. Es uno de los dos métodos utilizados para calcular el valor de una opción, siendo el otro el modelo Black-Scholes.
El método binomial asume que el precio subyacente de la opción solo puede estar en dos estados dentro de un intervalo de tiempo determinado. Es por eso que se llama binomial, ya que considera solo dos estados posibles en cualquier nodo. Comenzamos con el precio actual de las acciones, indicado como S0. A partir de ahí, consideramos dos estados diferentes de la naturaleza: el norte (S_u) y el sur (S_d). El precio de las acciones en el norte del estado se determina multiplicando el precio actual de las acciones (S0) por un factor denominado "u", con una probabilidad "p". Por el contrario, el precio de las acciones en el sur del estado se determina multiplicando el precio actual de las acciones (S0) por un factor denominado "d", con una probabilidad de (1-p).
Cuando lleguemos al nodo norte, podemos subir o bajar. Las probabilidades siguen siendo las mismas en todo el árbol, utilizando los mismos valores de p y (1-p). Por ejemplo, si la probabilidad de un movimiento hacia arriba es del 60 % y un movimiento hacia abajo es del 40 %, estas probabilidades permanecerán constantes en todo el árbol. Desde cada nodo, podemos calcular los precios de las acciones en el siguiente estado, como lo muestran las diferentes combinaciones de u y d.
En esta discusión, nos centraremos en el método de un período, lo que significa que solo estamos considerando un período por delante. Nos limitaremos a esta porción del árbol binomial. Para implementar el método binomial, primero determinamos los dos precios de acciones diferentes que son posibles. Posteriormente, calculamos el pago de la opción en ambos nodos, lo que nos permite obtener un valor esperado para ese período de tiempo. Una vez que tenemos el valor esperado para ese período de tiempo, aplicamos la fórmula de flujo de efectivo descontado (DCF) para descontarlo nuevamente al período de tiempo cero. Es importante tener en cuenta que, en este caso, usamos las probabilidades en la fórmula DCF, a diferencia de los cálculos DCF tradicionales en los que las probabilidades no están involucradas.
Ahora, pasemos al árbol binomial de opciones de compra. Después de determinar los factores del precio de las acciones, calculamos el tamaño y las probabilidades del movimiento hacia arriba y hacia abajo. Estos se denotarán como "u" y "d", respectivamente. A continuación, dibujamos el árbol binomial y calculamos el pago de la opción en todos los nodos. Esto implica determinar el máximo de cero o la diferencia entre el precio de la acción (st) y el precio de ejercicio (k). Luego multiplicamos los pagos por sus respectivas probabilidades y calculamos el valor esperado de la opción para todo el período. Finalmente, descontamos este valor esperado al período de tiempo cero para determinar el valor actual de la opción.
Para facilitar los cálculos, utilizamos varias notaciones y fórmulas. La probabilidad neutral al riesgo de un movimiento hacia arriba se denota como "pi_u", mientras que la probabilidad neutral al riesgo de un movimiento hacia abajo se denota como "pi_d". Estas probabilidades son complementarias, lo que significa que suman 100%. La tasa libre de riesgo está representada por "rf", y "u" y "d" son los tamaños del movimiento hacia arriba y hacia abajo, respectivamente. Además, "d" es igual a 1 dividido por "u". Para calcular las probabilidades de un movimiento hacia arriba y hacia abajo, usamos fórmulas que involucran la tasa libre de riesgo, "u" y "d".
Apliquemos estos conceptos a un ejemplo específico. Suponga que el precio actual de una acción es de $80, el tamaño del movimiento hacia arriba es 1.4, la tasa libre de riesgo es
Una vez que tengamos el pago esperado, debemos descontarlo al período de tiempo 0 para obtener el valor actual de la opción. Para ello, utilizamos la tasa libre de riesgo, que se da como 6%.
La fórmula para descontar el pago esperado es:
Valor de la opción actual = Pago esperado / (1 + Tasa libre de riesgo)
Sustituyendo los valores, tenemos:
Valor de opción actual = (32 * 0,504 + 0 * 0,496) / (1 + 0,06)
Simplificando la ecuación, obtenemos:
Valor de la opción actual = (16,128 + 0) / 1,06
Valor de la opción actual ≈ 15,23
Por lo tanto, el valor actual de la opción de compra es de aproximadamente $15,23.
Es importante tener en cuenta que este ejemplo demuestra la valoración de una opción de compra utilizando el método de fijación de precios de opciones binomiales para un vencimiento de un año. El proceso implica determinar los factores de subida y bajada, calcular las probabilidades, construir el árbol binomial, evaluar los pagos de las opciones en cada nodo, calcular el pago esperado y finalmente descontarlo al valor presente.
Tenga en cuenta que el método de fijación de precios de opciones binomiales asume un modelo simplificado de dos estados para los movimientos de precios del activo subyacente y es posible que no capture todas las dinámicas del mundo real. Además, este método se usa comúnmente para opciones de estilo europeo, que solo se pueden ejercer al vencimiento. Para las opciones de estilo americano, se necesitan consideraciones adicionales para determinar la estrategia de ejercicio óptima.
Espero que esta explicación lo ayude a comprender los pasos involucrados en el método de fijación de precios de opciones binomiales y cómo valorar una opción de compra utilizando este enfoque. ¡Déjame saber si tienes más preguntas!
Fundamentos de probabilidad (FRM Parte 1 2023 - Libro 2 - Capítulo 1)
En esta serie de videos, el profesor James Forjan brinda una cobertura completa de los capítulos incluidos en FRM Parte 2 - Libro 2 - Análisis cuantitativo. La serie profundiza en varios temas, incluidas las probabilidades, la prueba de hipótesis, las regresiones y las cópulas. El profesor Forjan explora cada concepto en detalle, ofreciendo ejemplos de preguntas relevantes que apuntan a mejorar la comprensión y el dominio de estos temas por parte del candidato. Al participar en esta serie de videos, los candidatos pueden fortalecer su comprensión del análisis cuantitativo y prepararse de manera efectiva para el examen FRM Parte 2.
Fundamentos de probabilidad (FRM Parte 1 2023 - Libro 2 - Capítulo 1)
El Capítulo 1 del Libro 2 de la serie de análisis cuantitativo se centra en los fundamentos de la probabilidad y su aplicación en la gestión del riesgo financiero. El capítulo tiene como objetivo ayudar a los administradores de riesgos financieros a identificar, cuantificar y administrar los riesgos de manera efectiva. Enfatiza la importancia de considerar probabilidades en estas tareas.
El capítulo comienza definiendo el riesgo como incertidumbre y variabilidad en los resultados, que pueden medirse en términos de probabilidades. Destaca la naturaleza cuantitativa del Libro 2 en comparación con el libro anterior y menciona el uso de calculadoras financieras y regulares a lo largo del capítulo.
Los objetivos de aprendizaje del capítulo implican describir, distinguir, definir y calcular varios conceptos relacionados con la probabilidad. Uno de esos conceptos son los eventos mutuamente excluyentes, ilustrados a través de un ejemplo de elección entre dos plomeros para un sistema de rociadores de un campo de golf. La noción de eventos mutuamente excluyentes es que seleccionar un evento excluye la ocurrencia del otro.
El capítulo también analiza eventos independientes, que se evalúan en función de sus méritos individuales y no influyen en la aceptación o rechazo de otros resultados. Se presenta un ejemplo que involucra el clima y los rendimientos del mercado de valores para demostrar eventos independientes y su posible relación.
Las probabilidades condicionales se introducen como probabilidades que dependen de la ocurrencia de otros eventos. Se hace una analogía con las experiencias personales, como la probabilidad de tener gemelos en función de varios factores como el trabajo, los niveles de ingresos y el matrimonio. En un contexto económico, la relación entre el PIB y las tasas de interés se utiliza como ejemplo de probabilidades condicionales.
El capítulo explica cómo se pueden calcular las probabilidades condicionales usando el teorema de Bayes, llamado así por el estadístico inglés Thomas Bayes. El teorema de Bayes permite la predicción de una secuencia de eventos que conducen a un resultado conocido. Introduce el concepto de probabilidades posteriores, que son probabilidades revisadas basadas en nueva información.
El texto proporciona ejemplos del uso del teorema de Bayes para determinar la probabilidad de afiliación partidaria de un presidente en ejercicio con base en una reducción de impuestos promulgada recientemente o la probabilidad de certificación de un gerente con base en la generación de rendimientos excesivos.
El capítulo concluye con una tabla de resumen de las fórmulas discutidas, animando a los lectores a trabajar con ejemplos y memorizar los conceptos. Enfatiza la importancia de obtener más información para mejorar la precisión de las predicciones y la toma de decisiones.
Este capítulo sobre los fundamentos de la probabilidad en el análisis cuantitativo proporciona a los administradores de riesgos financieros las herramientas esenciales para comprender y administrar los riesgos. Combina principios matemáticos con principios de gestión de riesgos discutidos en el libro anterior, proporcionando un marco integral para una gestión de riesgos eficaz.
Variables aleatorias (FRM Parte 1 2023 - Libro 2 - Capítulo 2)
Variables aleatorias (FRM Parte 1 2023 - Libro 2 - Capítulo 2)
En la Parte 1, Libro 2 de análisis cuantitativo, hay un capítulo sobre variables aleatorias. El autor recuerda su experiencia a fines de la década de 1980 cuando estaban aprendiendo Lotus 1-2-3, que finalmente se convirtió en Excel. Recuerdan el generador de números aleatorios dentro del asistente de funciones y lo fascinante que era generar números aleatorios. Si bien estos valores se generaron aleatoriamente, el estudio de variables aleatorias en la gestión de riesgos y la investigación financiera proporciona una comprensión más profunda de los rendimientos de las acciones, los rendimientos de los bonos, los rendimientos de los valores derivados, los valores de la cartera, el valor en riesgo y el déficit esperado.
El propósito de estudiar este capítulo es establecer una base sólida en variables aleatorias, que luego se puede aplicar a la gestión de riesgos. Los objetivos de aprendizaje implican describir, explicar y caracterizar varios conceptos, como funciones de masa de probabilidad (PMF), funciones de distribución acumulativa (CDF), expectativas, momentos de una distribución y la distinción entre variables aleatorias discretas y continuas. Además, el capítulo cubre los cuantiles, que implican dividir una distribución en partes iguales, y toca brevemente las transformaciones lineales.
Una variable aleatoria se define como cualquier cantidad con valores futuros esperados inciertos. También se puede describir como una variable cuyos valores posibles son resultados de un fenómeno aleatorio. Por ejemplo, predecir los precios de las acciones o el valor de un swap de incumplimiento crediticio implica tratar con variables aleatorias. A estos resultados se les asignan probabilidades, que dependen del escenario específico. Por ejemplo, la probabilidad de que el precio de una acción suba o baje un dólar es significativamente más alta que si sube a un valor mucho más alto como 999 o cae a cero.
Para analizar las variables aleatorias de manera efectiva, es fundamental asignar probabilidades a los posibles resultados y definir los eventos como resultados específicos o conjuntos de resultados. Las variables aleatorias se pueden categorizar como discretas o continuas. Las variables aleatorias discretas tienen un conjunto contable de valores posibles, como lanzar un dado con resultados de 1 a 6. Las variables aleatorias continuas, por otro lado, pueden tomar cualquier valor dentro de un intervalo dado y, a menudo, se representan mediante curvas suaves, como la tiempo que se tarda en correr una maratón.
Las funciones de probabilidad proporcionan información sobre cómo se distribuye la probabilidad total entre los posibles valores de una variable aleatoria. Hay dos tipos de funciones de probabilidad: funciones de masa de probabilidad (PMF) para variables aleatorias discretas y funciones de densidad de probabilidad (PDF) para variables aleatorias continuas. Los PMF dan la probabilidad de que una variable aleatoria tome un valor específico, mientras que los PDF describen la probabilidad de que una variable aleatoria caiga dentro de un intervalo dado. Ambos tipos de funciones tienen propiedades que aseguran que las probabilidades oscilen entre 0 y 1, y que la suma de todas las probabilidades sea igual a 1.
Las funciones de distribución acumulativa (CDF) proporcionan la probabilidad de que una variable aleatoria sea menor o igual a un valor particular. Para variables aleatorias discretas, la CDF se puede visualizar como un gráfico en forma de escalera, mientras que para variables aleatorias continuas, aparece como una curva suave. Al integrar la PDF desde infinito negativo hasta un valor específico, se puede calcular la CDF.
Comprender las variables aleatorias y sus funciones asociadas es esencial para la gestión de riesgos y el análisis financiero. Estos conceptos proporcionan un marco para evaluar la probabilidad de diferentes resultados y tomar decisiones informadas.
La función de masa de probabilidad (PMF) y la función de densidad de probabilidad (PDF) nos brindan información importante sobre la distribución de variables aleatorias. El PMF se usa para variables aleatorias discretas, donde la función da la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor específico. Por otro lado, la PDF se usa para variables aleatorias continuas y da la probabilidad de que la variable aleatoria se encuentre dentro de cierto intervalo.
Consideremos el ejemplo de una variable aleatoria de Bernoulli, que es una variable aleatoria discreta simple que puede tomar solo dos valores, 0 o 1. Imaginemos que tenemos una variable aleatoria de Bernoulli que representa el resultado de un tiro libre en baloncesto. El PMF para esta variable mostraría la probabilidad de acertar o fallar el tiro. Si la probabilidad de acertar el tiro es 0,7, entonces el PMF asignaría una probabilidad de 0,7 al valor 1 (acertar el tiro) y una probabilidad de 0,3 al valor 0 (fallar el tiro). La suma de estas probabilidades siempre debe ser igual a 1.
Para variables aleatorias continuas, como el tiempo que lleva correr una maratón, usamos el PDF. La PDF describe la probabilidad de que la variable aleatoria caiga dentro de un intervalo específico. Tomando el ejemplo del tiempo de ejecución de un maratón, la PDF proporcionaría la probabilidad de completar el maratón en un intervalo de tiempo determinado. Para visualizar esto, podemos imaginar un gráfico donde el eje horizontal representa el tiempo de ejecución y el eje vertical representa la densidad de probabilidad. El área bajo la curva dentro de un intervalo específico representa la probabilidad de que la variable aleatoria caiga dentro de ese rango.
El PMF y PDF son herramientas importantes para comprender la distribución de variables aleatorias. Nos permiten asignar probabilidades a valores o intervalos específicos y brindan información sobre la probabilidad de diferentes resultados. Estos conceptos son fundamentales para la gestión de riesgos y la investigación financiera, ya que nos ayudan a analizar y cuantificar las incertidumbres en diversas variables financieras, como la rentabilidad de las acciones, la rentabilidad de los bonos y el valor de la cartera.
Variables aleatorias univariadas comunes (FRM Parte 1 2023 - Libro 2 - Capítulo 3)
Variables aleatorias univariadas comunes (FRM Parte 1 2023 - Libro 2 - Capítulo 3)
El texto es de la Parte 1, Libro 2 del análisis cuantitativo y se centra en el capítulo sobre variables aleatorias univariadas comunes. Personalmente, encuentro que este capítulo recuerda lo que aprendí en mis clases de economía matemática y econometría durante mi programa de doctorado. Exploremos los objetivos de aprendizaje y veamos cómo se aplican a nosotros.
El primer objetivo de aprendizaje es particularmente importante. Requiere que distingamos las propiedades clave entre diferentes distribuciones. Analizaremos varias distribuciones e identificaremos sus similitudes y diferencias. Hacia el final, también profundizaremos en el concepto de distribuciones mixtas.
Comencemos con la distribución uniforme. En esta distribución, todos los resultados posibles tienen la misma probabilidad en un rango dado. La gráfica de una distribución uniforme comienza desde 0 en el lado izquierdo y se extiende hasta X en el lado derecho. La variable aleatoria, denotada como X, puede tomar cualquier valor dentro de este rango. En particular, el valor mínimo se llama alfa y el valor máximo se llama beta. Es importante tener en cuenta que no hay valores entre 0 y alfa, o entre beta y el límite superior del rango. Un ejemplo clásico de una distribución uniforme es lanzar un dado justo de seis caras. Cada resultado, del 1 al 6, tiene la misma probabilidad de 1/6. Por lo tanto, los valores de alfa a beta son igualmente probables. El texto también proporciona las fórmulas de función de densidad de probabilidad, media y varianza para la distribución uniforme.
Otro ejemplo discutido es la cantidad de tiempo que un cliente pasa esperando ver a un administrador de cartera, que podría distribuirse uniformemente entre 0 y 15 minutos.
Continuando, nos encontramos con la distribución de Bernoulli, que es más intrigante. Implica asignar valores a dos posibilidades, que a menudo representan el éxito (1) y el fracaso (0). Si bien los ejemplos dados se refieren al éxito o fracaso de los bancos, estos valores pueden tener interpretaciones más amplias. El gráfico de la distribución de Bernoulli va de 0 a 1, ya que la probabilidad de que algo suceda debe ser del 100%. La probabilidad de éxito, denotada como P, es 0,7 en el ejemplo dado, lo que significa que siete de diez bancos tienen éxito y tres de diez fracasan. El texto presenta fórmulas para la media y desviación estándar de la distribución de Bernoulli.
Varios ejemplos ilustran la aplicación de la distribución de Bernoulli, como el éxito o el fracaso en un seguro de vida o una empresa que paga dividendos o nada con la misma probabilidad.
A continuación, nos encontramos con la distribución binomial, que encuentra utilidad en el análisis de renta fija y la valoración de opciones. Implica una secuencia de n ensayos de Bernoulli independientes e idénticos, cada uno con la misma probabilidad de éxito denotada como P. La fórmula para el número de éxitos en estos ensayos se explica utilizando la notación factorial. También se proporcionan la media y la desviación estándar de la distribución binomial. El texto presenta un ejemplo que calcula la probabilidad de que al menos nueve de cada diez bancos sobrevivan a una crisis de efectivo si la probabilidad de supervivencia es del 70%.
Luego se introduce la distribución de Poisson. Modela el número de eventos que ocurren en un intervalo de tiempo específico, asumiendo que la sincronización de los eventos es aleatoria e independiente. Se conoce el tiempo promedio entre eventos y la distribución se caracteriza por el parámetro lambda (λ). El texto proporciona la función de densidad de probabilidad y menciona que tanto la media como la varianza de la distribución de Poisson son iguales a λ. Los ejemplos de distribución de Poisson incluyen el número de clientes que llegan a un banco, los goles marcados por un equipo de fútbol y el número de reclamaciones recibidas por una compañía de seguros por semana o mes. Se presenta un problema de ejemplo, calculando la probabilidad de que una empresa de gestión de patrimonio reciba exactamente 30 clientes en un año, dada una media de 2 clientes por mes.
El texto revisa la distribución normal, también conocida como distribución gaussiana. Esta distribución se usa ampliamente en el análisis y modelado estadístico debido a sus muchas propiedades deseables. El gráfico de la distribución normal es simétrico y en forma de campana, con un pico en el valor medio. La media, denotada como μ, representa el centro de la distribución, mientras que la desviación estándar, denotada como σ, controla la propagación o dispersión de los datos. El texto proporciona la función de densidad de probabilidad y la función de distribución acumulativa para la distribución normal.
La distribución normal a menudo se aplica en finanzas y economía para modelar rendimientos de acciones, tasas de interés y otras variables económicas. También se utiliza en pruebas de hipótesis y estimación de intervalos de confianza. Se da un problema de ejemplo, calculando la probabilidad de que el retorno de una acción exceda un cierto valor de umbral.
Más adelante, el texto introduce la distribución exponencial, que modela el tiempo entre eventos en un proceso de Poisson. Se caracteriza por el parámetro λ, que representa la tasa de ocurrencia de eventos. La distribución exponencial se usa ampliamente en análisis de confiabilidad y teoría de colas. El texto proporciona la función de densidad de probabilidad y la función de distribución acumulativa para la distribución exponencial.
Se presenta un problema de ejemplo, calculando la probabilidad de que un cliente espere menos de cierto tiempo en la cola de un banco, dado el tiempo promedio de espera.
Finalmente, el texto introduce la distribución lognormal, que se deriva de la distribución normal tomando la exponencial de una variable aleatoria normalmente distribuida. La distribución logarítmica normal se usa comúnmente para modelar precios de acciones, rendimientos de activos y otras variables que exhiben asimetría positiva y heteroscedasticidad. El texto proporciona la función de densidad de probabilidad y la función de distribución acumulativa para la distribución lognormal.
Se da un problema de ejemplo, calculando la probabilidad de que el precio de una acción exceda un cierto valor en un momento futuro, dado el precio actual y la volatilidad.
Este capítulo sobre variables aleatorias univariadas comunes cubre varias distribuciones importantes utilizadas en el análisis cuantitativo. Comprender estas distribuciones y sus propiedades es esencial para analizar y modelar datos en finanzas, economía y otros campos. Al dominar estos conceptos, podemos tomar decisiones informadas y extraer información significativa de los datos.
Variables aleatorias multivariadas (FRM Parte 1 2023 - Libro 2 - Capítulo 4)
Variables aleatorias multivariadas (FRM Parte 1 2023 - Libro 2 - Capítulo 4)
En este capítulo sobre variables aleatorias multivariadas, exploramos el concepto de dependencia entre múltiples variables aleatorias. Sobre la base del capítulo anterior sobre variables aleatorias, profundizamos en la relación entre los precios de los bonos y el rendimiento al vencimiento, destacando el impacto potencial de factores adicionales en los precios de los bonos. Introducimos la noción de variables aleatorias multivariadas, ampliando nuestra comprensión de las funciones de masa de probabilidad y las funciones de densidad de probabilidad para analizar variables aleatorias discretas y continuas. Este capítulo tiene como objetivo ampliar nuestro conocimiento mediante la incorporación de dimensiones adicionales en nuestro análisis, mejorando en última instancia nuestra comprensión del análisis de cartera. Los temas clave tratados en este capítulo incluyen matrices de probabilidad, expectativas de funciones, covarianza, correlación, transformaciones, análisis de cartera, varianza, expectativas condicionales y variables aleatorias distribuidas de manera idéntica e independiente.
Introducción: El capítulo comienza enfatizando el concepto de variables aleatorias multivariadas, que dan cuenta de la dependencia entre dos o más variables aleatorias. Basándonos en el ejemplo de los precios de los bonos y el rendimiento al vencimiento, reconocemos las limitaciones de confiar únicamente en una sola variable para capturar las complejidades de varios riesgos. Reconocemos la necesidad de considerar factores adicionales como el comercio, los aranceles, los impuestos, las regulaciones gubernamentales y los gustos de los consumidores para obtener una comprensión más completa de los precios de los bonos. Al expandir nuestro análisis a variables aleatorias multivariadas, nuestro objetivo es explicar la interacción entre varios factores y su impacto en las variables que estudiamos.
Objetivos de aprendizaje: el capítulo describe los objetivos de aprendizaje que se alinean con los del capítulo anterior. Estos objetivos incluyen la comprensión de las matrices de probabilidad, la exploración de las expectativas de las funciones, el examen de las relaciones entre las variables aleatorias, el estudio de la covarianza y la correlación, el análisis de transformaciones, la incorporación del análisis de cartera, la exploración de la varianza, la investigación de las expectativas condicionales y la conclusión con una discusión sobre las variables aleatorias distribuidas de manera idéntica e independiente. . Estos objetivos se basan en nuestro conocimiento existente y lo extienden al ámbito del análisis multivariante.
Variables aleatorias multivariantes: las variables aleatorias multivariantes se introducen como variables que capturan la dependencia entre múltiples variables aleatorias. En contraste con el análisis de una sola variable, el análisis multivariante nos permite estudiar cómo estas variables impactan conjuntamente en la variable de interés. Consideramos escenarios donde múltiples variables aleatorias influyen simultáneamente en la variable que pretendemos estudiar. El capítulo proporciona ejemplos que ilustran cómo el análisis multivariante mejora nuestra comprensión de las relaciones complejas.
Distribuciones de probabilidad: el capítulo revisa las funciones de masa de probabilidad (PMF) y las funciones de densidad de probabilidad (PDF) presentadas en el capítulo anterior. Mientras que las variables aleatorias discretas están asociadas con PMF, las variables aleatorias continuas requieren PDF para representar sus distribuciones de probabilidad con precisión. También se discute el concepto de probabilidad acumulada, que nos permite determinar la probabilidad de que un componente sea menor o igual a un valor dado. Al utilizar estas herramientas, podemos evaluar la probabilidad de varios resultados en función de diferentes distribuciones, como normal, exponencial y uniforme.
Distribución de variables aleatorias discretas bivariadas: exploramos distribuciones de variables aleatorias discretas bivariadas, que representan las probabilidades conjuntas entre dos variables aleatorias. La visualización de esta distribución en forma tabular proporciona una comprensión más clara de la relación entre las variables. Al analizar las distribuciones condicional y marginal, obtenemos información sobre las probabilidades asociadas con resultados específicos. Este análisis nos ayuda a determinar la dependencia entre variables y evaluar sus impactos individuales y combinados.
Distribuciones condicionales y expectativas: las distribuciones condicionales se introducen como un medio para examinar la relación entre variables aleatorias cuando se conoce el valor de una variable. Al condicionar nuestro análisis al valor de una variable específica, podemos evaluar las expectativas condicionales de la otra variable. Este enfoque nos permite estimar el resultado esperado bajo condiciones específicas, arrojando luz sobre el impacto de diferentes factores en la variable de interés. Las expectativas condicionales se pueden calcular utilizando probabilidades marginales y las distribuciones de probabilidad condicional asociadas.
Medición de la relación entre variables aleatorias: el capítulo concluye destacando la importancia de medir la relación entre variables aleatorias. Exploramos varias medidas estadísticas como la covarianza y la correlación, que nos permiten cuantificar el grado de dependencia entre variables aleatorias.
La covarianza se presenta como una medida que evalúa cómo los cambios en una variable se corresponden con los cambios en otra variable. Captura la dirección de la relación (positiva o negativa) y la medida en que las variables se mueven juntas. El capítulo proporciona fórmulas para calcular la covarianza para variables aleatorias discretas y continuas.
La correlación, por otro lado, estandariza la covarianza al dividirla por el producto de las desviaciones estándar de las variables. Esta normalización permite una comparación de la fuerza de la relación entre variables en una escala de -1 a 1. La correlación positiva indica una relación directa, la correlación negativa indica una relación inversa y la correlación cercana a cero sugiere una relación débil o no lineal.
Transformaciones de variables aleatorias: el capítulo explora el concepto de transformar variables aleatorias para analizar mejor sus relaciones y distribuciones. Las transformaciones pueden involucrar operaciones matemáticas simples como suma, resta, multiplicación y división, o funciones más complejas. Al aplicar las transformaciones adecuadas, a menudo podemos simplificar el análisis y obtener información más profunda sobre el comportamiento de las variables.
Análisis de cartera: el capítulo presenta el análisis de cartera como una aplicación del análisis multivariado en finanzas. Exploramos cómo se puede analizar la relación entre diferentes clases de activos, representadas por sus rendimientos, utilizando técnicas multivariadas. Se destaca el concepto de diversificación, enfatizando cómo la combinación de activos con correlaciones bajas o negativas puede reducir el riesgo de la cartera. Se analizan varias medidas, como la varianza y la covarianza de la cartera, para evaluar el rendimiento de la cartera y optimizar la asignación de activos.
Matriz de varianza y covarianza: el capítulo profundiza en el concepto de varianza y lo extiende al entorno multivariado. La matriz de varianza-covarianza, también conocida como matriz de covarianza, proporciona una representación integral de las varianzas y covarianzas entre múltiples variables aleatorias. Sirve como una herramienta clave en el análisis de carteras y la gestión de riesgos, ya que permite calcular el riesgo de la cartera e identificar la asignación óptima de activos.
Expectativa condicional: la expectativa condicional se explora como un medio para estimar el valor esperado de una variable aleatoria dadas condiciones específicas. Este concepto nos permite incorporar información adicional o restricciones en nuestro análisis y refinar nuestras predicciones. El capítulo analiza las expectativas condicionales para variables aleatorias tanto discretas como continuas, enfatizando su utilidad en la toma de decisiones y problemas de predicción.
Variables aleatorias distribuidas de manera idéntica e independiente: el capítulo concluye con una discusión sobre variables aleatorias distribuidas de manera idéntica e independiente (iid). Cuando un conjunto de variables aleatorias sigue la misma distribución y son mutuamente independientes, se dice que son iid. Este concepto es importante en varios análisis y modelos estadísticos. El capítulo explora las propiedades e implicaciones de las variables aleatorias iid, enfatizando su relevancia en la teoría de la probabilidad y la inferencia estadística.
Resumen: El capítulo sobre análisis multivariante y dependencia de variables aleatorias amplía nuestra comprensión de la probabilidad y la estadística al considerar el comportamiento conjunto de múltiples variables. Al incorporar dimensiones adicionales en nuestro análisis, podemos capturar mejor las complejas relaciones y dependencias entre las variables. El capítulo cubre varios temas, incluyendo matrices de probabilidad, expectativas de funciones, covarianza, correlación, transformaciones, análisis de cartera, matriz de varianza-covarianza, expectativas condicionales y variables aleatorias iid. Estos conceptos nos brindan las herramientas para analizar datos multivariados, tomar decisiones informadas y obtener conocimientos más profundos sobre la dinámica subyacente de las variables aleatorias.