Comercio Cuantitativo - página 15
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Curso de ingeniería financiera: Conferencia 3/14, parte 1/2, (El marco HJM)
Curso de ingeniería financiera: Conferencia 3/14, parte 1/2, (El marco HJM)
El orador profundiza en el tema de las condiciones libres de arbitraje en los modelos de tasas de interés, centrándose específicamente en el marco Heat, Jarrow y Morton (HJM). Establecen la agenda de la conferencia y aclaran la distinción entre modelos de equilibrio y modelos de estructura temporal. Mientras enfatiza el poder y la importancia de los modelos de estructura temporal, que generan curvas de rendimiento sin necesidad de calibración, el orador explica la derivación de condiciones libres de arbitraje dentro del marco HJM. El próximo bloque incluirá simulaciones de Monte Carlo para dos modelos, Julie y Hull-White, junto con una tarea proporcionada. Vale la pena señalar que el marco HJM sirve como un marco genérico y libre de arbitraje para todos los modelos de tasas de interés.
Más adelante, se introduce el concepto de tasas cortas y tasas de interés, enfatizando que las tasas cortas están asociadas con períodos de tiempo infinitesimales. El primer modelo de tasa corta, el proceso de Ornstein-Uhlenbeck (OU), se analiza como un ejemplo de un modelo endógeno que requiere calibración a la curva de rendimiento, lo que puede resultar en grados de libertad limitados y mala calibración. Por otro lado, los modelos exógenos toman la curva de rendimiento como entrada, evitando el problema de la calibración. La conferencia también brinda información sobre el desarrollo de habilidades de modelado y el dominio de la programación para el modelado de tasas de interés.
Se explora el marco HJM, centrándose en la transformación de modelos endógenos en modelos exógenos. Esta transformación asegura que, independientemente de los parámetros del modelo elegido, la curva de rendimiento siga siendo la misma. El conferenciante destaca el poder excepcional del marco AJM, que proporciona un camino claro desde los modelos de equilibrio hasta los modelos de estructura temporal. La conferencia menciona que existen numerosos modelos en la literatura, y se discuten dos populares. Uno de esos modelos es el modelo de tasa corta de Vasicek, que ha enfrentado críticas por su limitación para acomodar tasas de interés negativas.
Se aborda el tema de las tasas de interés negativas y el orador explica cómo los ingenieros financieros abordan este problema empleando el proceso Cox-Ingersoll-Ross (CIR), que no permite las tasas negativas pero permite que las tasas lleguen a cero. Para cambiar este proceso, se introduce un parámetro que permite que la distribución se mueva de cero a valores negativos, generalmente alrededor del dos o tres por ciento. También se analiza la importancia de ajustarse a la curva de rendimiento y los desafíos de la calibración. El disertante enfatiza que si no se puede ajustar la curva de rendimiento, no tiene sentido intentar ajustar otros aspectos del modelo. Se proporcionan ejemplos de simulación para ilustrar el impacto de la variación de parámetros, como la velocidad de reversión a la media y el coeficiente de volatilidad.
Se analiza el impacto del coeficiente de volatilidad en las trayectorias de diferentes modelos, incluidos los modelos HJM y CIR. Los coeficientes de volatilidad más grandes dan como resultado mayores picos en las trayectorias y una mayor incertidumbre, mientras que los coeficientes más pequeños conducen a distribuciones más estrechas. El ponente también explica cómo la reversión a la media y los tipos de interés afectan al comportamiento de estos modelos. El código de Python se utiliza para simular rutas utilizando la discretización y la estandarización de Euler, mientras se imponen condiciones para evitar que las rutas se vuelvan negativas.
El presentador brinda una discusión en profundidad del marco HJM (Heath-Jarrow-Morton), que sirve como un marco global que abarca todos los modelos de tasas de interés. La dinámica de las tasas a plazo instantáneas, que representan tasas sobre períodos futuros desde la perspectiva actual, se modelan dentro del marco HJM. El marco AJM se presenta como una base fundamental para los modelos de tasas de interés debido a su relación explícita entre la volatilidad de las tasas instantáneas a plazo y la deriva libre de arbitraje, asegurando que el modelo esté siempre libre de arbitraje. El marco se explora en el contexto de los modelos de mercado de tasa corta y LIBOR, que son casos especiales del marco AJM.
Se discute la relación entre la libertad de arbitraje y la deriva, particularmente en relación con la volatilidad de las tasas instantáneas a plazo. Ajustar la volatilidad permite cambiar entre diferentes modelos. Si bien el marco HJM se adapta a diferentes estructuras de volatilidad, la obtención de expresiones analíticas para tasas cortas o modelos de mercado LIBOR es un desafío. Sin embargo, para ciertos casos, el marco HJM proporciona expresiones analíticas para bonos de cupón cero basadas en la volatilidad especificada. Este marco juega un papel crucial en la transición de modelos de equilibrio a modelos de estructura temporal, ya que permite el uso de rendimientos observables como entrada para el modelo. Se hace una comparación con otros modelos, como los modelos de tasa corta bajo el marco HJM, que se asemejan a los Ferrari en términos de calibración rápida pero carecen de flexibilidad en la calibración e implementación para múltiples instrumentos de mercado. El objetivo principal de un modelo de tasa corta para tasas de interés es garantizar la precisión de la curva de rendimiento y los bonos de cupón cero.
El disertante analiza las limitaciones de varios modelos de estructura de términos empleados en la ingeniería financiera. Si bien el marco HJM ofrece más flexibilidad para calibrar la curva de rendimiento, su simplicidad con solo dos parámetros dificulta la calibración de opciones exóticas complejas evaluadas durante períodos prolongados. El modelo de mercado con volatilidad estocástica, a pesar de sus altos costos de mantenimiento y desafíos de calibración, se considera ideal para precios exóticos y volatilidad. El disertante procede a definir tasas forward instantáneas usando bonos cupón cero e ilustra cómo construir una tasa forward durante un período específico usando una estrategia de refinanciamiento, extrayendo así una tasa efectiva.
El ponente profundiza en el concepto de una estrategia de refinanciación libre de arbitraje y explica cómo implicar tasas a partir de cero componentes. Introducen una forma funcional para la tasa a plazo e imponen una estructura que asegura que tome una forma exponencial con una tasa de devengo. Al tomar el logaritmo de la expresión y multiplicarlo por un signo negativo, identifican la tasa que satisface la ecuación tanto para la tasa a corto plazo como para la tasa a plazo. La tasa forward instantánea se define como f dt, y el orador enfatiza que siempre es con respecto al vencimiento.
A continuación, la lección introduce la noción de tasa forward instantánea, definida como la derivada del logaritmo del bono cupón cero con respecto al vencimiento. Esto sirve como un bloque de construcción fundamental dentro del marco HJM, ya que todas las cantidades se expresan en términos de tasas de interés instantáneas. Se destaca la importancia de diferenciar entre bonos cupón cero y cuentas de ahorro de dinero, siendo el primero un valor determinista y la segunda una cantidad estocástica. La dinámica de la tasa forward instantánea es un punto focal dentro del marco HJM, con el objetivo de comprender y modelar la dinámica de las tasas de interés.
El profesor procede a describir la dinámica de la tasa directa instantánea bajo la medida p y el objetivo de determinar la dinámica al cambiar la medida de p a q. El marco HJM engloba la dinámica de la tasa forward instantánea, la cuenta de ahorro de dinero (integral de la tasa corta) y la relación de bonos cupón cero. Para definir la dinámica de la tasa de avance instantánea bajo la medida q, las cantidades específicas deben funcionar como martingalas. Se explica la relación entre la tasa corta y la tasa forward instantánea, enfatizando la interdependencia entre las diferentes tasas instantáneas y las conexiones entre varios parámetros.
Continuando con la conferencia, el disertante enfatiza la importancia de comprender la relación entre la libertad de arbitraje y la deriva en los modelos de tasa de interés, particularmente en términos de la volatilidad de la tasa de interés instantánea. Al ajustar la volatilidad, uno puede cambiar entre diferentes modelos dentro del marco HJM. Este marco permite varias estructuras de volatilidad, aunque obtener expresiones analíticas para tasas cortas o un modelo de mercado LIBOR puede ser un desafío. Sin embargo, en algunos casos, el marco HJM proporciona expresiones analíticas para bonos de cupón cero basadas en la volatilidad especificada.
El ponente destaca que el marco HJM es un marco genérico y libre de arbitraje para todos los modelos de tipos de interés. Ofrece un camino claro desde los modelos de equilibrio hacia los modelos de estructura temporal, lo que lo convierte en una herramienta poderosa en el campo. Hay numerosos modelos disponibles en la literatura, pero dos populares se discuten en detalle.
Primero, se examina el modelo de tasa corta de Vasicek. El conferenciante reconoce que este modelo ha enfrentado críticas por no permitir tasas de interés negativas. Para abordar este problema, algunos ingenieros financieros adoptan el proceso Cox-Ingersoll-Ross (CIR), que no permite tasas negativas pero permite que las tasas alcancen un nivel de cero. Sin embargo, el disertante menciona que es posible introducir un parámetro de cambio en el proceso CIR, cambiando efectivamente la distribución de cero a un valor negativo, como un dos o tres por ciento negativo. Se enfatiza como un aspecto crítico el ajuste del modelo a la curva de rendimiento y se discute el tema de la calibración. El disertante afirma que si la curva de rendimiento no se puede ajustar con precisión, no tiene sentido ajustar ningún otro parámetro.
A continuación, el orador presenta simulaciones Monte Carlo para dos modelos: Julie y Hull-White. El objetivo de las simulaciones es proporcionar ejemplos prácticos e ilustrar el impacto de diversos parámetros, como la velocidad de reversión a la media y el coeficiente de volatilidad, en las trayectorias del modelo. El código de Python, que utiliza la discretización y la estandarización de Euler, se utiliza para simular estas rutas. Se imponen condiciones para restringir que los caminos se vuelvan negativos.
La conferencia pasa a discutir el impacto del coeficiente de volatilidad en las trayectorias de varios modelos, incluidos los modelos HJM y CIR. Los coeficientes de volatilidad más grandes dan como resultado picos más significativos en las trayectorias y una mayor incertidumbre, mientras que los coeficientes más pequeños conducen a distribuciones más estrechas. También se explica la influencia de la reversión a la media y de las tasas de interés en el comportamiento de estos modelos.
El disertante concluye resumiendo los puntos clave cubiertos, reiterando el poder y la importancia de los modelos de estructura de términos dentro del marco HJM. Se enfatiza la capacidad de autogenerar curvas de rendimiento sin necesidad de calibrar la curva de rendimiento. Finalmente, se proporciona una tarea para el hogar, que alienta a los estudiantes a explorar más y aplicar los conceptos y técnicas discutidos en la lección.
La conferencia proporciona una exploración en profundidad de las condiciones libres de arbitraje en los modelos de tasas de interés, específicamente dentro del marco HJM. Cubre las diferencias entre los modelos de equilibrio y los modelos de estructura temporal, la derivación de condiciones libres de arbitraje y ejemplos prácticos a través de simulaciones de Monte Carlo. La importancia de ajustarse a la curva de rendimiento, los desafíos de calibración y el impacto de los parámetros variables se analizan a fondo, lo que brinda a los estudiantes información valiosa sobre el modelado de tasas de interés y las habilidades de programación.
Curso de ingeniería financiera: Conferencia 3/14, parte 2/2, (El marco HJM)
Curso de ingeniería financiera: Conferencia 3/14, parte 2/2, (El marco HJM)
En la conferencia, la atención se centra en el marco HJM y sus supuestos para el modelado de tasas de interés. El disertante comienza discutiendo las condiciones libres de arbitraje en el marco HJM, que son cruciales para cualquier modelo de tasa de interés dentro de este marco. Estas condiciones aseguran que todo activo descontado con la cuenta de ahorro de dinero se comporte como una martingala. Aplicando la fórmula de Itō a los bonos cupón cero y la cuenta de ahorro de dinero, se obtiene la dinámica del activo dividido por la cuenta de ahorro de dinero, lo que lleva al famoso lema de HJM sobre las condiciones libres de arbitraje para las tasas instantáneas a plazo.
A continuación, el disertante explora cómo se determina la deriva de las tasas de interés forward instantáneas dentro del marco HJM. La volatilidad del tipo de cambio a plazo instantáneo juega un papel clave en la definición de la deriva si uno quiere estar en el mundo neutral al riesgo y libre de arbitraje. El disertante explica que para modelar tasas cortas o tasas forward instantáneas, es fundamental especificar la volatilidad para la tasa forward instantánea. Una vez que se define esto, se conoce la dinámica de la tasa de cambio instantánea, lo que garantiza un entorno libre de arbitraje. La conferencia también cubre el cálculo de la dinámica de la tasa corta, que involucra la curva de vencimiento, una función determinista constante y una integral con respecto a la derivada parcial de la volatilidad.
La conferencia profundiza en los aspectos prácticos del marco HJM. El disertante analiza cómo se pueden generar diferentes modelos de tasas cortas especificando la volatilidad dentro del marco. Una volatilidad constante se presenta como la forma más simple, lo que permite el cálculo de la función alfa bajo la condición HJM. La dinámica de la tasa a corto plazo se puede derivar luego sustituyendo el sigma y el alfa especificados en el marco, utilizando la curva de bonos de cupón cero como entrada. Se enfatiza la importancia de la curva de rendimiento, que se estima a partir de instrumentos de mercado, como un componente clave en la fijación de precios de derivados de tasa de interés.
Se presta especial atención al modelo Uli, que pertenece a la clase de procesos afines y ofrece parámetros de deriva y sigma dependientes del tiempo. El profesor explica cómo este modelo permite el cálculo de bonos cupón cero de forma exponencial sin necesidad de simulaciones de Monte Carlo anidadas, ahorrando así potencia de cálculo. Se expresa explícitamente la relación entre las tasas cortas y las funciones deterministas conocidas en b, y se menciona el uso potencial del algoritmo de Longstaff Schwarz para estimar expectativas.
La conferencia también destaca la importancia de representar modelos de una manera elegante y compuesta por cero. El marco HJM es reconocido como una poderosa herramienta para lograr este objetivo. Se lleva a cabo un experimento de Python para demostrar cómo se pueden usar rutas simuladas para calcular bonos de cupón cero, comparándolos con los rendimientos de entrada. Se enfatiza que el marco HJM asegura que las trayectorias simuladas siempre produzcan los mismos bonos de cupón cero que los incorporados en la entrada de rendimiento.
Los métodos de simulación de Monte Carlo dentro del marco HJM se analizan como un medio para generar curvas de rendimiento. El disertante presenta un enfoque que implica especificar una curva de rendimiento, estimar la curva de componente cero y calcular los parámetros theta y sigma. Luego se realizan simulaciones de Monte Carlo y los factores de descuento resultantes se utilizan para trazar las curvas de bonos de cupón cero del modelo y el mercado. El disertante muestra la flexibilidad del enfoque en el manejo de cambios en los valores de los parámetros y destaca la combinación perfecta entre los rendimientos de entrada y salida.
También se aborda la calibración de modelos dentro del marco HJM, centrándose en la ventaja de calibrar los productos relevantes sin necesidad de calibrar por separado la curva de rendimiento. Se discuten las dificultades que a menudo se encuentran en la calibración de la curva de rendimiento, destacando los beneficios del marco HJM en este sentido. Se explica la derivación del modelo de volatilidad constante en modelos de tasa corta utilizando los supuestos HJM, mostrando una forma simplificada de la dinámica de tasa corta que facilita la evaluación del modelo.
La lección concluye con un resumen de los puntos principales cubiertos y con tres ejercicios para que los estudiantes apliquen los conceptos y cálculos aprendidos. Los ejercicios involucran el cálculo de la dinámica de Ito,
Curso de ingeniería financiera: Conferencia 4/14, parte 1/2, (Dinámica de la curva de rendimiento bajo tasa corta)
Curso de ingeniería financiera: Conferencia 4/14, parte 1/2, (Dinámica de la curva de rendimiento bajo tasa corta)
El presentador ofrece una conferencia informativa sobre los modelos de tasa corta y su conexión con la dinámica de la curva de rendimiento. Comienzan introduciendo el concepto de modelos de tasa corta y discutiendo su relevancia. Para mejorar la comprensión, amplían la discusión de un modelo blanco frío de un solo factor a un modelo multifactor más completo, realizando varias simulaciones en el camino.
A continuación se presenta una introducción completa a las curvas de rendimiento, con una exploración de las diferentes formas de la curva de rendimiento y su relación con la dinámica de las tasas a corto plazo. El presentador establece una conexión entre estos conceptos y experimentos reales de mercado, arrojando luz sobre sus aplicaciones prácticas. Mientras explora las limitaciones del modelo de un solo factor, el presentador también presenta posibles soluciones, incluida la construcción y simulación de un modelo de dos factores.
En el segmento subsiguiente, el instructor se enfoca en los procesos de reversión a la media y demuestra cómo generar caminos para estos procesos. Presentan un gráfico en 3D que muestra la distribución de las tasas de interés a lo largo del tiempo. Al presentar una transformación llamada "yt", el instructor explica cómo este proceso extrae la parte de reversión a la media del modelo blanco completo. Aplicando el lema de Ito a yt y sustituyendo la dinámica por todo el modelo blanco, derivan la solución para la distribución del modelo blanco.
La dinámica de yt toma el centro del escenario a medida que el disertante destaca la independencia de su componente estocástico, eliminando efectivamente la dependencia de rt e yt. Proceden a encontrar la solución para el proceso rt a través de la integración. La solución para todo el modelo de tasa abarca una constante de escala, una función de deriva dependiente del tiempo, un componente de volatilidad con un exponente y un coeficiente de caída. La naturaleza determinista de la expresión facilita la integración de funciones dependientes del tiempo, y la integral resultante se distribuye normalmente. En consecuencia, rt sigue una distribución normal con expectativa y varianza, donde la expectativa a largo plazo converge a la función theta t. También se analiza brevemente la clase de procesos de difusión afines.
Pasando a los procesos de difusión de saltos, el ponente profundiza en las características propias del modelo Hull-White y de los modelos de tipos de interés. Destacan que el modelo de Hull-White pertenece a la clase de procesos de difusión de salto afín, lo que permite derivar la función característica para este proceso y expresiones analíticas para bonos cupón cero. Se explica en detalle la derivación de la función característica y la aplicación de la descomposición del modelo de Hull-White. Los parámetros dependientes del tiempo se identifican como factores significativos que impactan las funciones del modelo, con la posibilidad de llevarlos fuera de la expectativa.
El profesor procede a discutir la solución del modelo y destaca la importancia del teorema de Dupey-Duffy-Singleton. Explican que la solución toma la forma de una ecuación tipo Riccati, y el teorema facilita la derivación de las funciones A y B. La importancia de este teorema radica en expresar la expectativa condicional únicamente en términos de dependencia en el punto específico de las trayectorias Rt, por lo tanto mejorar la simulación. Esta característica resulta particularmente valiosa para las evaluaciones de cartera que requieren múltiples simulaciones de Monte Carlo anidadas. Además, la naturaleza de forma cerrada y la facilidad de implementación de las funciones A y B las convierten en modelos altamente adoptados en la industria, lo que evita la necesidad de una recalibración costosa mientras se calibra de manera efectiva para la dinámica de la curva de rendimiento.
El instructor enfatiza una poderosa expresión que permite la evaluación de bonos de cupón cero sin recurrir a simulaciones anidadas de Monte Carlo. Esta expresión elimina la necesidad de simulaciones adicionales, mejorando significativamente la eficiencia de los intercambios de precios con vencimientos a largo plazo. Las funciones A y B, que dependen de la madurez, juegan un papel fundamental en este proceso y pueden evaluarse directamente. El disertante proporciona relaciones de forma cerrada entre los bonos de cupón cero y las funciones A y B, que involucran una función theta, volatilidad y una versión de velocímetro mínimo. Además, demuestran dos enfoques para evaluar los bonos cupón cero del modelo: usar la expresión analítica o evitar integraciones.
Continuando con la conferencia, el instructor explica cómo calcular bonos de cupón cero dentro del modelo blanco completo, empleando un método más rápido y eficiente que la simulación de Monte Carlo anidada. Presentan la expresión del bono cupón cero en función de las variables ayb, así como la tasa forward instantánea más corta, r0. Este método resulta ventajoso en términos de velocidad y eficiencia en comparación con el enfoque de simulación de Monte Carlo anidado anterior. También se enfatiza la importancia de la curva de rendimiento para determinar los valores presentes de los flujos de efectivo futuros. La curva de rendimiento sirve como una herramienta crucial para mapear cotizaciones de instrumentos líquidos en una curva unificada, con diferentes vencimientos de bonos de cupón cero que se utilizan para construir tasas a plazo. El objetivo principal de la curva de rendimiento es proporcionar una expectativa de tasas futuras bajo varios escenarios.
La conferencia explora aún más la importancia de seleccionar los instrumentos más líquidos al construir una curva de rendimiento. Estos instrumentos se eligen debido a su uso frecuente en la cobertura y fijación de precios de derivados exóticos. Se analiza la interpolación de puntos en la curva de rendimiento, ya que puede tener un impacto sustancial en la curva de descuento general utilizada en los cálculos. Además, la curva de rendimiento se considera un indicador adelantado de la dirección económica de un país y puede verse influida por las políticas monetarias de los bancos centrales. Se explica el mapeo de los bonos de cupón cero al rendimiento, con los rendimientos típicamente expresados como tasas efectivas en unidades de años. Se observa que la curva de rendimiento refleja no solo las expectativas de tasa de interés sino también las actitudes de riesgo de los inversionistas y su preferencia por bonos con diferentes vencimientos.
Continuando con la conferencia, el disertante explica la mecánica de las curvas de rendimiento y su dependencia de la demanda de bonos a corto plazo. Las curvas de rendimiento están representadas por un conjunto de nodos, cada uno asociado con un par correspondiente. Estos pares se utilizan para definir puntos de columna en la curva, y la propia curva es una función que asigna un conjunto de tasas cero a números reales. La determinación de los puntos de la columna involucra instrumentos de calibración, y el método de interpolación entre estos puntos puede variar según las convenciones del mercado o las preferencias individuales de los comerciantes. Esta interpolación es necesaria para obtener valores de enlace entre los puntos de la columna vertebral. El mapeo de bonos de cupón cero a la curva de rendimiento y la construcción de la curva de rendimiento también se analizan en detalle.
El orador destaca el papel crucial de la interpolación en el cálculo de los valores de los bonos y enfatiza su impacto en el rendimiento de la cobertura. La elección del método de interpolación influye significativamente en las sensibilidades y los riesgos asociados con las curvas de rendimiento. Además, la construcción de la curva de rendimiento tiene un profundo impacto en las estrategias de cobertura. La conferencia profundiza en las convenciones relacionadas con la denominación de las curvas de rendimiento y los rendimientos, con ejemplos específicos, como un rendimiento del cinco por ciento durante cinco años relacionado con bonos de cupón cero y puntos centrales en la curva de rendimiento. La sesión concluye presagiando el siguiente segmento, que explorará la construcción de la curva de rendimiento con mayor profundidad, abordando la sensibilidad de los instrumentos, el impacto de las diferentes técnicas de interpolación y la influencia de la interpolación en el rendimiento de la cobertura.
En la parte posterior de la conferencia, el orador enfatiza la importancia de calcular con precisión los rendimientos y destaca la necesidad de emplear la expresión completa en lugar de confiar únicamente en la expectativa de un solo término. Esto se debe al hecho de que las funciones integral y exponente no poseen expectativas equivalentes. Se introduce la dinámica de la curva de rendimiento y se exploran varias formas de curvas de rendimiento, incluida la curva de rendimiento normal, que indica una economía sana. El orador explica además cómo los bancos centrales utilizan la flexibilización cuantitativa para reducir las tasas a corto plazo, lo que en consecuencia afecta la forma de la curva de rendimiento.
El instructor analiza las diferentes formas de las curvas de rendimiento, incluida la curva plana y la curva de rendimiento invertida. Este último se asocia típicamente con crisis de mercado o crisis inminentes. Representa una transición de una curva normal a una curva invertida y puede resultar en que los bancos duden en otorgar más préstamos, lo que lleva a un estímulo limitado de la economía en general. La conferencia muestra un gráfico del Tesoro de EE. UU. que muestra la dinámica de la curva de rendimiento a lo largo del tiempo, lo que brinda información sobre las tendencias económicas futuras. También se cubre el desplazamiento paralelo de las curvas de rendimiento y su impacto en las posiciones en el ámbito de la tasa de interés.
Cambiando el enfoque a la dinámica de la curva de rendimiento con tasas cortas, el disertante presenta una demostración en video que muestra la dinámica de la curva de rendimiento. En el video, la línea azul representa la tasa efectiva de los fondos federales, que puede considerarse una tasa corta ya que refleja las tasas a un día. La línea verde corresponde al rendimiento implícito en el mercado, representando las expectativas del mercado. El video ilustra varias crisis, como la crisis financiera de 2008, donde la curva de rendimiento se aplanó e invirtió, lo que llevó a los inversores a pasar del mercado de valores a los bonos del Tesoro.
El disertante proporciona un enlace al video, alentando a los espectadores a explorar la dinámica de la curva de rendimiento por sí mismos. Comprender la relación entre las tasas cortas y los movimientos de la curva de rendimiento es esencial para una gestión de riesgos eficaz. Al simular tasas cortas y construir curvas de rendimiento para cada ruta utilizando fórmulas que incorporan bonos de cupón cero, se puede obtener información sobre la dinámica y el comportamiento de las curvas de rendimiento.
Sobre la base de esta comprensión, la siguiente parte de la conferencia profundizará en la dinámica de la curva de rendimiento más realista derivada de las tasas cortas. Esta exploración tiene como objetivo proporcionar una comprensión integral de la interacción entre las tasas cortas y las curvas de rendimiento, lo que permite una mejor evaluación y gestión del riesgo en los mercados financieros.
Curso de ingeniería financiera: Conferencia 4/14, parte 2/2, (Dinámica de la curva de rendimiento bajo tasa corta)
Curso de ingeniería financiera: Conferencia 4/14, parte 2/2, (Dinámica de la curva de rendimiento bajo tasa corta)
El instructor se sumerge en el tema de la simulación de modelos de tasas cortas y su aplicación para medir la dinámica de las curvas de rendimiento. Las curvas de rendimiento representan las expectativas del mercado sobre rendimientos futuros y están influenciadas por las percepciones y expectativas del mercado. Para analizar estas dinámicas, el instructor presenta un experimento que consiste en observar la tasa compuesta continuamente para cada realización de la tasa corta y generar curvas de rendimiento para cada escenario. Esta simulación ayuda a evaluar el realismo del modelo de tasa corta y la función impulsora theta t. En este experimento se utilizan datos reales del mercado para mejorar la precisión.
El ponente destaca la utilidad de las simulaciones de tipos de interés cortos para el análisis de riesgos. Al generar curvas de rendimiento para diferentes escenarios, es posible evaluar el valor presente de una cartera que comprende productos de tasa de interés. Para demostrar esto, el disertante simula múltiples caminos para tasas cortas y calcula los bonos cupón cero para cada camino. Curiosamente, la conferencia señala que las curvas de rendimiento generadas utilizando el modelo completamente blanco exhiben un cambio paralelo, lo que no es realista en la práctica. La conferencia concluye mostrando el código Python utilizado para generar las curvas de rendimiento.
Continuando con la discusión, se enfatiza la importancia de tener un continuo en los bonos cupón cero para el cálculo de la función theta. La conferencia enfatiza la importancia de la interpolación, particularmente la interpolación sobre la tasa misma en lugar del exponente, para asegurar la estabilidad numérica. Se exploran varias opciones de interpolación y el número de puntos para el cálculo de enlace. Además, la conferencia profundiza en la simulación y generación de bonos cupón cero y rendimientos, subrayando la importancia de implementar estos procesos de manera consistente y sólida. Finalmente, la conferencia presenta la curva de rendimiento generada a partir de los datos del mercado y las trayectorias de Monte Carlo simuladas del modelo mundial, que revelan una tasa saludable pero notablemente baja.
La conferencia procede a abordar las limitaciones del modelo completamente blanco. Si bien el modelo permite calibrar toda la curva de rendimiento, se queda corto al calibrar toda la curva a plazo, lo cual es una limitación común en la mayoría de los modelos de tasas cortas. Para superar esta limitación, el disertante presenta el modelo de mercado laboral, que es muy adecuado para abordar la calibración de la curva de avance y la curva de rendimiento. Además, el modelo completamente blanco encuentra problemas con componentes cero perfectamente correlacionados, lo que reduce aún más su eficacia.
Más adelante, se discuten las limitaciones del modelo Hull-White de un solo factor. Estas limitaciones incluyen una alta correlación entre los bonos con vencimientos cercanos pero una menor correlación para los bonos con vencimientos distantes, lo que hace imposible calibrar el modelo para la estructura temporal completa de diferentes tasas de interés. El modelo también se considera inadecuado para fines de gestión de riesgos, ya que supone una correlación de uno entre los bonos cupón cero y la dinámica de tipos a corto plazo. Para abordar estos problemas, se introduce una extensión del modelo Hull-White de dos factores. Sin embargo, esta extensión se usa principalmente para la gestión de riesgos y el análisis de escenarios en lugar de la fijación de precios. Se explica la dinámica del modelo de dos factores, donde el primer factor representa el nivel de la curva de rendimiento y el segundo factor representa la asimetría de la curva de rendimiento.
El disertante procede a discutir el modelo Hull-White de dos factores de Gauss, que es una variación del modelo de un solo factor. Se presenta una comparación entre los dos modelos, enfatizando que los significados de los parámetros pueden diferir al cambiar entre ellos. La conferencia destaca las ventajas del modelo Hull-White de dos factores gaussiano en términos de procesos de simulación y su implementación eficiente en simulaciones de Monte Carlo. La conferencia explora la función integral del modelo y su aplicación en la fijación de precios de bonos de cupón cero.
Luego se explica la simulación de curvas de rendimiento para realizaciones dadas utilizando el modelo de dos factores blanco completo. El bono cupón cero para este modelo tiene una forma analítica cerrada e involucra un sistema de proceso gaussiano. Simular el modelo de dos factores gaussiano implica simular dos procesos de reversión a la media que corresponden a la estructura temporal, empleando expresiones para volatilidades y coeficientes de correlación. La lección diferencia entre los procesos X e Y, donde X representa el nivel de la curva de rendimiento e Y representa la inclinación o sesgo de la curva. La correlación entre los dos movimientos brownianos asociados con estos procesos es negativa, lo que indica un efecto de rigidez en la curva.
La conferencia también profundiza en la correlación entre enlaces al aplicar la misma técnica al modelo de dos factores. A diferencia del modelo de un solo factor, la correlación entre los rendimientos correspondientes no es igual a uno en el modelo de dos factores. Este hallazgo confirma que agregar un factor adicional al modelo conduce a una forma de volatilidad implícita más realista, particularmente cuando los límites de precios. Sin embargo, es importante tener en cuenta que aumentar la cantidad de factores en el modelo agrega complejidad y dificultades de calibración. A pesar de esto, el modelo de dos factores genera consistentemente la misma curva de rendimiento, lo que lo convierte en un marco AJM (modelo conjunto libre de arbitraje).
La conferencia analiza más a fondo las limitaciones de incorporar más factores en el modelo gaussiano. Se explica que incluso con una gran cantidad de parámetros, la flexibilidad en términos de volatilidades implícitas sigue siendo limitada debido a la ausencia de volatilidad estocástica. Luego, la conferencia procede a simular caminos para el modelo de dos factores, examinando los rendimientos de la curva de rendimiento implícitos en todo el modelo blanco de dos factores con coeficientes de correlación adicionales. Los rendimientos resultantes exhiben no solo un cambio paralelo sino que también reflejan el impacto de las correlaciones y la dinámica. Esta característica resulta valiosa para fines de gestión de riesgos. El disertante concluye esta sección compartiendo el código de Python utilizado para la simulación.
Al enfatizar la importancia de elegir las técnicas de interpolación apropiadas al modelar las curvas de rendimiento, el disertante destaca que la selección del método de interpolación puede influir significativamente en los resultados. Las próximas conferencias cubrirán temas como la reconstrucción del rendimiento, el impacto de las diferentes interpolaciones, las trampas comunes que se deben evitar y los métodos para garantizar una interpolación realista. Además, la conferencia introduce el concepto de una grilla para bonos cupón cero. Se realiza una comparación entre los bonos cupón cero generados en el mercado y los calculados mediante el modelo de Hull-White. Se realiza una simulación de Monte Carlo, generando curvas de rendimiento para los modelos de un factor y de dos factores durante un período de diez años. La conferencia concluye con una comparación de los cálculos de rendimiento obtenidos de estos dos modelos.
A continuación, la conferencia se centra en presentar los resultados de la simulación para el modelo de dos factores de la dinámica de la curva de rendimiento. Estos resultados se comparan con los del modelo de un factor, así como con los resultados analíticos derivados del mercado. Se hace evidente que el modelo de dos factores proporciona una representación más realista y completa de la dinámica de la curva de rendimiento. Si bien la volatilidad general en el modelo de dos factores es mayor debido al factor de volatilidad adicional, no altera significativamente el panorama general. La conclusión clave es que la incorporación de un factor adicional en el modelo gaussiano de dos factores conduce a una representación mucho más realista de la dinámica del rendimiento en la simulación de Monte Carlo. Finalmente, el disertante resume los principales aprendizajes de la conferencia, incluida la resolución del modelo Hull-White y la relación de los bonos cupón cero con la función característica, y presenta brevemente la construcción de la curva de rendimiento y sus limitaciones.
Al concluir la conferencia, se discuten las limitaciones del modelo Cool White. Estas limitaciones giran principalmente en torno a las correlaciones entre bonos con diferentes vencimientos y la incapacidad del modelo para calibrar una amplia gama de instrumentos en el mercado debido a su conjunto de parámetros limitado. Para abordar estos problemas, la conferencia sugiere extender el modelo a un marco de dos factores, lo que permite relajar el supuesto de correlación perfecta entre los bonos de cupón cero. La conferencia concluye asignando dos ejercicios como tarea: uno que involucra expectativas bajo la medida t directa y el otro que utiliza transformadas de Laplace para demostrar ciertas expectativas.
A lo largo de la conferencia, se hace evidente la importancia de comprender y seleccionar modelos apropiados para el análisis de riesgo y la dinámica de la curva de rendimiento. Si bien el modelo Hull-White y sus variaciones ofrecen información y herramientas valiosas, es esencial reconocer sus limitaciones y explorar modelos alternativos para abordar desafíos específicos.
Uno de esos modelos alternativos presentado en la conferencia es el modelo del mercado laboral, que proporciona una solución a la limitación del modelo Hull-White para calibrar toda la curva de avance. El modelo del mercado laboral permite una calibración más completa tanto de la curva de futuros como de la curva de rendimiento, lo que lo convierte en una opción adecuada para ciertas aplicaciones de gestión de riesgos.
Además, la conferencia destaca la importancia de las técnicas de interpolación en el modelado de la curva de rendimiento. Elegir el método de interpolación correcto es crucial para capturar con precisión el comportamiento y la forma de la curva de rendimiento. El disertante enfatiza que la interpolación no es solo un detalle técnico sino un arte que requiere una cuidadosa consideración y comprensión de la dinámica subyacente. Para ilustrar el impacto de la interpolación, la conferencia ofrece una comparación entre las curvas de rendimiento generadas a partir de datos de mercado y las calculadas utilizando el modelo Hull-White. El disertante demuestra cómo las diferentes opciones de interpolación pueden dar como resultado diferentes formas y valores de la curva de rendimiento. Este análisis subraya la importancia de seleccionar un método de interpolación que se alinee con las características deseadas y el realismo de la curva de rendimiento.
A medida que avanza la conferencia, surge el tema de la simulación de curvas de rendimiento para diferentes escenarios. Las simulaciones de Monte Carlo demuestran ser una herramienta valiosa para generar curvas de rendimiento y evaluar los riesgos potenciales asociados con los productos de tasa de interés. Al simular múltiples caminos para tasas cortas y calcular los bonos de cupón cero para cada camino, los analistas pueden evaluar el valor presente de una cartera de productos de tasa de interés bajo diferentes escenarios de mercado.
La conferencia concluye con una demostración del código Python utilizado para generar curvas de rendimiento. El código muestra la implementación práctica de los conceptos discutidos a lo largo de la lección, ofreciendo a los alumnos una experiencia práctica y reforzando su comprensión del tema.
En resumen, la conferencia proporciona una exploración en profundidad de los modelos de tasas cortas, la dinámica de la curva de rendimiento y sus implicaciones para el análisis de riesgo. Discute las limitaciones del modelo Hull-White e introduce modelos alternativos como el modelo del mercado laboral y el modelo Hull-White de dos factores de Gauss. Se enfatiza la importancia de seleccionar técnicas de interpolación apropiadas y realizar simulaciones de Monte Carlo. A través de ejemplos y demostraciones prácticas, la conferencia brinda a los alumnos el conocimiento y las herramientas necesarias para modelar y analizar las curvas de rendimiento de manera efectiva en diversos contextos financieros.
Curso de ingeniería financiera: Conferencia 5/14, parte 1/2, (Productos de tasa de interés)
Curso de ingeniería financiera: Conferencia 5/14, parte 1/2, (Productos de tasa de interés)
La conferencia comienza presentando varios productos de tasa de interés, como swaps de tasa de interés, acuerdos de tasa de interés a plazo y notas de tasa flotante. Estos productos se basan en volatilidades como Floorlets y Coplas para la fijación de precios. El disertante enfatiza que la tasa LIBOR forward sirve como un componente fundamental en todos los contratos de tasa de interés.
Se analizan los productos lineales y no lineales, y la conferencia profundiza en el concepto de la tasa LIBOR a futuro compuesta simple, que se usa ampliamente en diferentes productos de tasa de interés, incluidos swaps y derivados. Esta tasa a plazo ayuda a establecer expectativas con respecto al período de la tasa de interés. Es importante tener en cuenta que hasta la fecha de reinicio, la tasa de interés sigue siendo una variable aleatoria estocástica, pero después de la fecha de reinicio, se vuelve fija sin ninguna incertidumbre.
El disertante explora el intercambio de tasas a plazo entre dos contrapartes, lo que lleva a acuerdos de tasa a plazo. Los flujos de efectivo en estos acuerdos se dividen por uno más tau veces la tasa LIBOR para fines de descuento. La tasa LIBOR a plazo se define durante un período específico, y su definición puede estar relacionada con los bonos cupón cero. Fijar el precio del acuerdo implica el uso de una medida neutral al riesgo y el descuento, con una tasa fija y un período de acumulación jugando un papel clave.
Se explica el concepto de activos negociables bajo la medida neutral al riesgo, incluyendo la cuenta de ahorro de dinero, siendo martingalas. El disertante demuestra que el valor de un forward se puede representar como la diferencia entre dos bonos y enfatiza que los forwards se negocian a valor cero, lo que implica que la tasa fija debe ser igual a esa cantidad. La conferencia también cubre las notas de tasa flotante, que son productos de tasa de interés muy negociados. Inicialmente, los pagos de dichos contratos se fijan en cero y luego se ajustan para tener en cuenta la conveniencia de no tener que pagar nada al inicio del contrato.
La conferencia se centra en las notas de tasa flotante (FRN), que se definen en función de las tasas LIBOR e involucran cupones como fracciones del nocional multiplicado por los períodos de acumulación. Dado que la tasa LIBOR es estocástica, el FRN recibe una tasa flotante. El valor del contrato se determina sumando todos los pagos, que se descuentan individualmente al valor presente utilizando las expectativas en la medida neutral al riesgo. La medida para FRN cambia a la medida a plazo de TK, y determinar las expectativas requiere encontrar la distribución conjunta entre la tasa vacía y LIBOR, lo cual es crucial para los cálculos de pago.
La conferencia comienza presentando varios productos de tasa de interés, como swaps de tasa de interés, acuerdos de tasa de interés a plazo y notas de tasa flotante. Estos productos se basan en volatilidades como Floorlets y Coplas para la fijación de precios. El disertante enfatiza que la tasa LIBOR forward sirve como un componente fundamental en todos los contratos de tasa de interés.
Se analizan los productos lineales y no lineales, y la conferencia profundiza en el concepto de la tasa LIBOR a futuro compuesta simple, que se usa ampliamente en diferentes productos de tasa de interés, incluidos swaps y derivados. Esta tasa a plazo ayuda a establecer expectativas con respecto al período de la tasa de interés. Es importante tener en cuenta que hasta la fecha de reinicio, la tasa de interés sigue siendo una variable aleatoria estocástica, pero después de la fecha de reinicio, se vuelve fija sin ninguna incertidumbre.
El disertante explora el intercambio de tasas a plazo entre dos contrapartes, lo que lleva a acuerdos de tasa a plazo. Los flujos de efectivo en estos acuerdos se dividen por uno más tau veces la tasa LIBOR para fines de descuento. La tasa LIBOR a plazo se define durante un período específico, y su definición puede estar relacionada con los bonos cupón cero. Fijar el precio del acuerdo implica el uso de una medida neutral al riesgo y el descuento, con una tasa fija y un período de acumulación jugando un papel clave.
Se explica el concepto de activos negociables bajo la medida neutral al riesgo, incluyendo la cuenta de ahorro de dinero, siendo martingalas. El disertante demuestra que el valor de un forward se puede representar como la diferencia entre dos bonos y enfatiza que los forwards se negocian a valor cero, lo que implica que la tasa fija debe ser igual a esa cantidad. La conferencia también cubre las notas de tasa flotante, que son productos de tasa de interés muy negociados. Inicialmente, los pagos de dichos contratos se fijan en cero y luego se ajustan para tener en cuenta la conveniencia de no tener que pagar nada al inicio del contrato.
La conferencia se centra en las notas de tasa flotante (FRN), que se definen en función de las tasas LIBOR e involucran cupones como fracciones del nocional multiplicado por los períodos de acumulación. Dado que la tasa LIBOR es estocástica, el FRN recibe una tasa flotante. El valor del contrato se determina sumando todos los pagos, que se descuentan individualmente al valor presente utilizando las expectativas en la medida neutral al riesgo. La medida para FRN cambia a la medida a plazo de TK, y determinar las expectativas requiere encontrar la distribución conjunta entre la tasa vacía y LIBOR, lo cual es crucial para los cálculos de pago.
La conferencia aborda el desajuste entre las fechas de pago y las fechas de medición y destaca la necesidad de una evaluación correcta. La medida corresponde al numerador en un cronograma de pago, y cualquier corrección o ajuste es necesario si no se alinea correctamente. El Libor con un pago en el momento tk bajo la medida tk forward es una martingala, lo que permite fijar el precio de las notas de tasa flotante. La ecuación de precios implica tomar la expectativa de la tasa Libor durante un período determinado, y el contrato se denomina swap, donde una parte recibe el pago mientras que la otra paga según tasas fijas.
Los contratos de swap se analizan en detalle, lo que implica el intercambio de flujos de efectivo durante un período específico. Los swaps se utilizan comúnmente para cubrir riesgos en el mercado hipotecario. Hay dos opciones: pagador de swap, donde un individuo paga una tasa fija y recibe una tasa flotante, y receptor de swap, donde una persona recibe una tasa fija y paga una tasa flotante. El monto nocional puede ser determinista, estocástico o decreciente en el tiempo, y la frecuencia de pago puede variar. La parte fija permanece constante, mientras que la parte flotante conlleva incertidumbre relacionada con la dinámica de la tasa LIBOR.
La conferencia enfatiza la importancia de la cobertura en ingeniería financiera, particularmente en contratos con pagos estocásticos. La cobertura es crucial para compensar pérdidas potenciales debido a fluctuaciones en los activos subyacentes cuando una institución financiera tiene obligaciones de recibir pagos a tasa fija o variable.
El disertante continúa explicando cómo se puede calcular el valor de un contrato swap utilizando la suma de los períodos de acumulación de bonos cupón cero y estableciendo una relación lineal entre la tasa Libor y el ejercicio. Este cálculo proporciona información sobre el valor de un swap y destaca el papel de los bonos cupón cero en la cobertura.
La conferencia enfatiza además que el valor de un swap depende del primer y último pago del bono y puede cubrirse efectivamente con el primer y último bono cupón cero. El factor de anualidad es un componente crucial cuando se trata de swaps, ya que actúa como un activo negociable. Los swaps de tipos de interés se consideran instrumentos perfectos que permiten a dos partes cubrir sus exposiciones específicas, y los bancos pueden utilizarlos para cubrir préstamos de particulares, lo que da como resultado nociones de valor significativamente grandes.
La conferencia cambia su enfoque específicamente a los swaps de tasas de interés, señalando que a menudo se consideran a nivel de cartera, y el valor inicial generalmente se establece en cero, lo que permite un trato gratuito. La tasa swap, que es el precio de ejercicio que hace que el valor swap sea igual a cero, se puede expresar como una suma ponderada de las tasas Libor. Los swaps de tipos de interés básicos pueden cotizarse sin hacer suposiciones subyacentes del modelo utilizando instrumentos de tipos de interés disponibles en el mercado y asignándolos a una curva de rendimiento. La construcción de una curva de rendimiento basada en instrumentos de mercado se discutirá más a fondo en una próxima conferencia.
El disertante profundiza en los diferentes tipos de nocionales en un swap, que pueden ser dependientes del tiempo, determinados por instrumentos de mercado o aleatorios. Adicionalmente, se explican las condiciones necesarias para una martingala, que incluyen el uso de activos negociados o combinaciones lineales de los mismos. Se destaca que si se emplea una fórmula no lineal, como el cuadrado de un activo, la relación entre la medida y el activo no puede considerarse una martingala. La aplicación del lema de Ito a la Libor al cuadrado demuestra que L al cuadrado no es una martingala bajo la medida directa de D debido a la presencia de un efecto de deriva.
La conferencia avanza para explicar cómo evaluar un swap utilizando una curva de rendimiento y el modelo de Hulument. Se proporciona una especificación de la curva de rendimiento y se generan swaps para diferentes ejercicios usando este modelo. El valor de un intercambio cambia linealmente con la huelga, y la tasa de intercambio se determina utilizando el algoritmo de Newton-Raphson. La conferencia concluye señalando que si el swap a la par es igual a 0,03808, entonces el valor del swap es cercano a cero, lo que indica que se ha encontrado el ejercicio para el cual el valor del swap es cero.
Esta sección de la conferencia brinda una descripción completa de los productos de tasa de interés, con un enfoque en los swaps de tasa de interés. Cubre varios temas, incluido el precio de los swaps, las estrategias de cobertura, el papel de los bonos de cupón cero y la evaluación de los swaps utilizando curvas de rendimiento. Al comprender estos conceptos, los estudiantes obtienen información valiosa sobre la ingeniería financiera y el cálculo de los valores de los contratos de intercambio.
Curso de ingeniería financiera: Conferencia 5/14, parte 2/2, (Productos de tasa de interés)
Curso de ingeniería financiera: Conferencia 5/14, parte 2/2, (Productos de tasa de interés)
En esta conferencia, la atención se centra en la fijación de precios de los derivados que implican volatilidad. El disertante comienza cubriendo el concepto de cambio de medida para las tasas de interés, particularmente en el contexto del modelo Hull-White. Obtienen la derivada de Rhodom/Nichodemus y aplican el teorema de Girsanov para calcular los cambios de medida. Esta comprensión de los cambios de medida es crucial en las opciones de precios de los productos de tasa de interés.
A continuación, la conferencia explora la dinámica de los bonos cupón cero bajo diferentes medidas utilizando el marco AJM. El orador discute cómo estas dinámicas se relacionan con el precio de las opciones sobre estos bonos. Destacan la sustitución de la tasa forward instantánea por la integral y dz en la expresión de la dinámica de un bono cupón cero, proporcionando una expresión final derivada. La conferencia también profundiza en la dinámica de los bonos cupón cero bajo el modelo Hull-White y la medida T-forward. Se enfatiza la importancia de cambiar la medida, particularmente en el descuento estocástico, para evitar cálculos complejos.
El orador presenta la derivada de Kirizanov, Loefler y Radon-Nikodym como herramientas para cambiar entre diferentes medidas. Explican cómo encontrar la dinámica del bono y la cuenta de ahorro de dinero aplicando el lema de Ito a la derivada de Radon-Nikodym. Esto conduce al teorema de Girsanov, que establece la relación entre la medida T-forward y la medida neutral al riesgo y destaca la deriva adicional al cambiar entre medidas. Al sustituir el movimiento browniano bajo la medida neutral al riesgo con la medida T-forward, se deriva la dinámica del modelo Hull-White.
Luego, la conferencia presenta un modelo de tasa corta de medida representado por lambda y una función theta que depende de la madurez. Definen mu theta con dos argumentos, t pequeña y mt mayúscula, y aplican el teorema de Girsanov para cambiar la medida de la medida neutral al riesgo a la medida T-forward. El enfoque cambia a las opciones de fijación de precios en bonos de cupón cero, lo que requiere un cambio de medida de la medida neutral al riesgo a la medida de cero a plazo. El disertante analiza la dinámica del bono cupón cero y su distribución bajo la medida T-forward, brindando una expresión para el bono y ajustando el ejercicio a una función dependiente del tiempo constante. También discuten la distribución del proceso r bajo esta medida.
En el futuro, la conferencia explica cómo la distribución de r bajo la medida T-forward se puede resolver utilizando el modelo Black-Scholes con parámetros ajustados. Cambiar la medida permite la fijación de precios analíticos de bonos de cupón cero utilizando funciones de distribución acumulativa normales y soluciones de forma cerrada. El orador realiza un experimento para fijar el precio de un bono de cupón cero y compara la expresión analítica con una simulación de Monte Carlo utilizando la discretización estándar de Euler. Se proporciona el código para la simulación y se analiza el cálculo de los precios de las opciones para diferentes ejercicios.
La conferencia enfatiza la fijación de precios de opciones de tipo europeo sobre bonos cupón cero, destacando su importancia ya que están estrechamente vinculadas a la fijación de precios de opciones sobre una tasa LIBOR a plazo. Se explican dos enfoques para fijar el precio de estas opciones: uno basado en el modelo full light y el otro mediante la imposición directa de un proceso de distribución o estocástico en la tasa LIBOR. Se proporciona la fórmula para fijar el precio de las opciones de compra europeas o coplas, y se explica el método para cambiar la medida de la medida neutral al riesgo a la medida T-forward. El enfoque permanece en las opciones de compra, con una mención de que una opción de venta o piso se dará como ejercicio de tarea.
Además, se analizan la dinámica y los precios de las tasas LIBOR. La conferencia reconoce que la tasa LIBOR es una martingala bajo la medida dada, lo que permite la suposición de una dinámica sin deriva. Sin embargo, el uso de una distribución logarítmica normal para representar las tasas LIBOR plantea desafíos, como la posibilidad de tasas negativas, especialmente en la fijación de precios de derivados exóticos. Se considera necesaria la calibración con los datos del mercado, en particular utilizando tasas máximas y mínimas, y el límite máximo de la tasa de interés se describe como un medio para brindar seguro a un tenedor con un préstamo a tasa variable.
La conferencia continúa discutiendo el precio de las cápsulas, que se pueden descomponer en contratos básicos conocidos como coplas. El orador señala que la fijación de precios de las cápsulas utilizando una distribución logarítmica normal plantea problemas debido al potencial de tasas de interés negativas. Para abordar esto, se introduce un parámetro de cambio para imponer en la distribución. Luego se explica el precio de una caplet utilizando un modelo subyacente, que está estrechamente relacionado con el precio de una opción sobre un bono de cupón cero. Al sustituir la definición de una tasa LIBOR en términos de componentes cero, la ecuación de precios se simplifica, lo que resulta en el precio de una opción de compra sobre un bono de cupón cero con un precio de ejercicio ligeramente diferente. La conferencia concluye con una breve presentación del código de precios, que implica una curva de rendimiento simplificada.
Además, el disertante profundiza en la fijación de precios de las opciones de venta sobre bonos cupón cero, también conocidas como "pares", y enfatiza la importancia de ajustar no solo el precio de ejercicio sino también el nocional a la hora de fijar precios. Reconocen la estrecha coincidencia entre la simulación de Monte Carlo y la fijación de precios teórica para opciones sobre bonos de cupón cero y curvas de rendimiento. Sin embargo, destacan la importancia de los parámetros del modelo de mercado, como la reversión a la media y la volatilidad, en la configuración de las superficies de volatilidad implícita. Señalan que si bien estos parámetros pueden tener un impacto limitado en el modelo Hull-White, no pueden generar una sonrisa de volatilidad implícita, solo sesgo. Finalmente, el ponente resume los dos bloques principales tratados en la conferencia, que incluyen productos de tasa de interés simple y la valoración de opciones simples en el contexto del modelo Hull-White.
Hacia el final de la conferencia, el instructor informa a los estudiantes que el curso se centrará únicamente en pagos de tipo europeo, mientras que los derivados más exóticos se abordarán en un curso posterior. Se asigna la tarea, incluida la fijación del precio de una opción con piso y la fórmula de Black para una nueva variante de la distribución logarítmica normal desplazada. Se instruye a los estudiantes para que comparen los resultados obtenidos de la fórmula de Black con sus resultados numéricos e introduzcan un cambio a la ecuación diferencial estocástica logarítmica normal para reflejar los ajustes necesarios.
La conferencia proporciona una exploración profunda de los derivados de precios que implican volatilidad, centrándose específicamente en la dinámica y el precio de los bonos de cupón cero, las opciones sobre estos bonos y las tasas LIBOR. El concepto de cambios de medida, el uso de derivados de Radon-Nikodym y la aplicación del teorema de Girsanov están cubiertos para facilitar estos cálculos de precios. La conferencia enfatiza la importancia de ajustar las medidas, los precios de ejercicio y los valores nocionales al mismo tiempo que destaca el impacto de los parámetros del modelo de mercado en las superficies de volatilidad implícita.
Curso de Ingeniería Financiera: Conferencia 6/14, parte 1/3, (Construcción de Curva de Rendimiento y Curvas Múltiples)
Curso de Ingeniería Financiera: Conferencia 6/14, parte 1/3, (Construcción de Curva de Rendimiento y Curvas Múltiples)
Continuando con el tema de las curvas de rendimiento, la conferencia enfatiza la importancia de construir una curva de rendimiento precisa, que sirve como un componente vital en la valoración de derivados de tasa de interés y análisis financieros. El instructor explica que las curvas de rendimiento son fundamentales para descontar flujos de caja futuros, determinar valores presentes de pagos y valuar empresas, entre otras aplicaciones. La construcción de una curva de rendimiento generalmente se basa en instrumentos líquidos, que introducen menos incertidumbre en el proceso de valoración. Desde una perspectiva matemática, las curvas de rendimiento mapean las cotizaciones de mercado de estos instrumentos líquidos.
Continuando, el instructor brinda más información sobre la naturaleza de las curvas de rendimiento. Explican que las curvas de rendimiento conectan varios instrumentos de mercado en el mundo de las tasas de interés y representan expectativas de tasas futuras. Si bien la curva de rendimiento puede parecer estocástica cuando se observa día a día, su precio es determinista desde la perspectiva actual en función de las expectativas. La construcción de una curva de rendimiento implica seleccionar un conjunto discreto de instrumentos líquidos e interpolar para conectar los puntos de la columna vertebral. El instructor enfatiza la importancia de elegir instrumentos de calidad similar y señala que la cantidad de instrumentos puede cambiar con el tiempo. Destacan que la curva de rendimiento no solo sirve como una herramienta matemática, sino que también ofrece información económica valiosa, actuando como un barómetro de las condiciones actuales del mercado.
La conferencia profundiza en la construcción e interpretación de las curvas de rendimiento. El instructor analiza cómo las curvas de rendimiento reflejan la asignación de dinero en el mercado, si se invierte en acciones o bonos, y si se prefieren los bonos, ya sea a largo o corto plazo. Las curvas de rendimiento brindan información sobre las expectativas de los inversores sobre las tasas de interés futuras y sus actitudes hacia el riesgo. Sin embargo, el instructor advierte que las curvas de rendimiento tienen limitaciones para pronosticar con precisión el futuro debido a factores como las intervenciones de los bancos centrales y las inversiones externas. Por lo tanto, construir meticulosamente una curva de rendimiento y considerar los cambios que ocurren durante muchos años es crucial para garantizar su precisión.
La estructura temporal de las tasas de interés también se explica en relación con las curvas de rendimiento. El instructor destaca que las curvas de rendimiento representan la relación temporal entre rendimientos de diferentes vencimientos y dependen de la economía local. Mencionan que la curva de bonos del Tesoro de EE. UU. tiene una importancia significativa como indicador económico mundial debido a la posición de EE. UU. como una de las economías más grandes y al uso del dólar como moneda de reserva. Los bonos del gobierno, como los bonos del Tesoro de EE. UU., generalmente se consideran libres de incumplimiento cuando se emiten en la moneda local, mientras que los bonos emitidos en monedas extranjeras conllevan un mayor riesgo de incumplimiento. El concepto de prima de riesgo también se analiza como un factor que influye en el rendimiento o las tasas de interés.
La conferencia explora varias formas de curvas de rendimiento y sus implicaciones para la economía. Una forma normal estándar indica que los rendimientos a largo plazo son significativamente más altos que los rendimientos a corto plazo, lo que refleja una situación económica normal. Por el contrario, una curva de rendimiento invertida, donde los rendimientos a largo plazo disminuyen mientras que los rendimientos a corto plazo se mantienen estables, puede significar un escenario poco saludable que puede crear desafíos para los bancos y las pensiones. El instructor brinda ejemplos de diferentes formas de curvas de rendimiento y explica cómo pueden afectar el mercado.
Se discute el impacto de la inflación en los rendimientos, destacando que un aumento en las expectativas de inflación conduce a mayores rendimientos ya que los inversionistas requieren una compensación por el rendimiento real negativo de sus inversiones. La conferencia también cubre los conceptos de empinamiento y aplanamiento de la curva de rendimiento debido a cambios en la economía. El diferencial entre un swap de vencimiento constante a 10 años y un swap a 2 años puede indicar la dirección de una curva pronunciada, mientras que la inversión de la curva de rendimiento significa una curva aplanada. Se utilizan ejemplos gráficos para demostrar cómo estas diferentes curvas y diferenciales han influido en la economía en el pasado.
La conferencia introduce el concepto de control de rendimiento y su influencia en las tasas de interés. El control de rendimiento se refiere a la capacidad del banco central para influir en la curva de rendimiento ajustando las tasas de interés para lograr objetivos relacionados con la inflación y el empleo. Los bancos centrales pueden comprar o vender bonos para influir en la demanda y estimular la economía. Sin embargo, estas acciones también conllevan riesgos y limitaciones, especialmente si aumentan las presiones inflacionarias. El instructor explica que la curva de rendimiento se define matemáticamente mediante puntos spline y los factores de descuento correspondientes, que representan las expectativas de tasas cortas.
A continuación, el instructor profundiza en la construcción de la curva de rendimiento y las multicurvas en ingeniería financiera. Explican que la curva se construye combinando puntos espinales obtenidos del mercado con una rutina de interpolación. Se deben cumplir varios requisitos para una curva de rendimiento bien construida, incluida la fijación de precios de la curva utilizando los instrumentos seleccionados, asegurando tasas a plazo continuas y empleando un método de interpolación local para una cobertura precisa. La construcción de la curva también implica definir un problema de optimización y determinar el vector de bonos cupón cero como puntos de columna a diferentes vencimientos.
El profesor proporciona una explicación paso a paso de cómo construir una curva de rendimiento y multicurvas. El proceso consiste en encontrar un vector de Valor Presente de un contrato (PVI) que depende de todos los puntos de la columna vertebral de la curva. El objetivo es garantizar que la cotización del mercado coincida con el precio de la curva para todos los instrumentos utilizados en la construcción de la curva. Para resolver este problema, se emplea una técnica de optimización utilizando la norma L. El profesor ilustra cómo resolver el problema en casos unidimensionales utilizando el algoritmo de Newton-Raphson, que minimiza la diferencia absoluta para llegar a una solución óptima. A continuación, el disertante analiza el proceso de iteración utilizado para encontrar la sigma óptima para un modelo de Black-Scholes. Explica los criterios de parada del modelo y los requisitos para lograr la convergencia. El orador enfatiza la interdependencia de los puntos de la columna vertebral en la curva y destaca la necesidad de iterar para múltiples golpes para construir una sonrisa o sesgo de volatilidad implícita. También se explica la construcción de las técnicas de interpolación y optimización requeridas para este proceso, incluyendo la construcción de un jacobiano.
El orador enfatiza la importancia de la interpolación en la construcción de varias curvas, particularmente la curva de rendimiento y la sonrisa de volatilidad implícita. Señalan que, si bien la interpolación en las curvas de rendimiento es relativamente sencilla debido a las condiciones de continuidad y diferenciabilidad, seleccionar el método de interpolación apropiado es aún más crítico para la sonrisa de volatilidad implícita, ya que una elección incorrecta puede introducir un arbitraje de precios significativo. El orador destaca que la interpolación juega un papel crucial en todos los casos, y es necesaria una cuidadosa atención a los detalles al elegir la rutina de interpolación adecuada.
La conferencia proporciona una cobertura completa de la construcción e interpretación de las curvas de rendimiento. Destaca su importancia en la valoración de derivados de tipos de interés y la comprensión de la dinámica del mercado. La conferencia también explora la formulación matemática, el impacto de diferentes formas de curvas en la economía y el papel del control de rendimiento. Además, profundiza en la construcción de curvas de rendimiento y multicurvas, discutiendo técnicas de optimización, opciones de interpolación y sus implicaciones en la ingeniería financiera.
Curso de ingeniería financiera: Conferencia 6/14, parte 2/3, (Construcción de la curva de rendimiento y curvas múltiples)
Curso de ingeniería financiera: Conferencia 6/14, parte 2/3, (Construcción de la curva de rendimiento y curvas múltiples)
En la conferencia, el ponente profundiza en los aspectos prácticos de la construcción de un algoritmo para la construcción de la curva de rendimiento. Destacan la importancia de la calibración de la curva y analizan el código Python utilizado para construir la curva de rendimiento utilizando instrumentos de mercado como los swaps. También se explora el impacto de diferentes métodos de interpolación en la cobertura. El disertante explica la rutina de iteración para construir una curva de rendimiento, que implica cálculos algebraicos con vectores y matrices. Demuestran cómo optimizar la curva estableciendo la siguiente iteración en cero.
Continuando, el instructor explica el proceso de encontrar puntos de columna óptimos para construir una matriz. Este proceso implica ajustar iterativamente los factores de descuento del vector (dfs) hasta lograr la convergencia. Los ajustes se basan en una matriz jacobiana, y la inversa del jacobiano determina el ajuste por el delta de los dfs. La conferencia enfatiza la importancia de especificar cuadrículas (pares de ti y factores de descuento) para construir la curva antes de encontrar enlaces cero óptimos. Se proporciona un ejemplo práctico de construcción de una curva de rendimiento para un swap de tasas de interés a dos y cinco años, que destaca el desafío de resolver un sistema con más incógnitas que ecuaciones.
Se discuten los desafíos de construir una curva de rendimiento utilizando pagos swap para puntos de columna debido a un sistema indeterminado. La solución es considerar solo el pago final como el punto central e interpolar los puntos intermedios. Se enfatiza que el número de instrumentos debe ser igual al número de puntos de la columna vertebral para evitar confusiones. Se explica el proceso de construcción de una curva de rendimiento utilizando un acuerdo de tasa a plazo y un swap, con énfasis en la implementación numérica.
La conferencia enfatiza la importancia de construir una curva de rendimiento y el impacto de las cotizaciones del mercado, que normalmente son cero. Se discute la definición de la tasa LIDOR, así como la expresión del Valor Presente de un contrato (PV1) en términos de la tasa LIDOR. El PV1 depende únicamente del factor de descuento (df1), que se puede calcular utilizando el primer conjunto de ecuaciones. El segundo conjunto de ecuaciones implica el swap con dos fechas de pago. La lección explica el uso de una matriz triangular inferior y una inversión eficiente para la construcción de curvas cuando solo se usan swaps.
Se explora el proceso de construcción de una curva de rendimiento utilizando datos de mercado del Departamento del Tesoro de EE. UU. Las cotizaciones de las tasas LIBOR y los swaps con diferentes vencimientos se utilizan para construir la curva de rendimiento. La conferencia presenta la función Newton-Raphson multidimensional utilizada para calibrar la curva y enfatiza la importancia de seleccionar el método de interpolación correcto. También se introduce la función para evaluar un instrumento de intercambio en un vector de puntos de columna.
La conferencia se centra en la construcción de curvas de rendimiento y multicurvas. El proceso comienza con la definición de un swap y luego continúa con la construcción de una curva de rendimiento utilizando una variedad de instrumentos y vencimientos. Se emplea un método de Newton multivariado para optimizar la curva de rendimiento durante el proceso de construcción. Se enfatiza la importancia de elegir un valor de tolerancia y se destaca el desafío de la optimización con una tolerancia de 10 a la potencia de 10. La conferencia concluye enfatizando la rápida convergencia lograda con este método de optimización.
Se explica la evaluación de instrumentos utilizando puntos de columna y métodos de interpolación. La curva de rendimiento se construye utilizando puntos de columna y un método de interpolación, seguido de la evaluación de cada canje en función de los bonos cupón cero en función del estado actual del punto de columna. Un jacobiano, que representa la sensibilidad de cada valor actual (PV) individual a todos los puntos de columna, se calcula numéricamente realizando una descarga en cada punto de columna individual y evaluando todos los intercambios. La conferencia destaca la función compacta y eficiente para calcular el jacobiano.
La conferencia analiza el proceso de construcción de la curva de rendimiento y las curvas múltiples utilizando el método de iteración de Newton-Raphson, la matriz jacobiana y el conjunto de herramientas de álgebra lineal numpy. Después de construir la curva de rendimiento, los swaps se evalúan antes de construir la curva. La conferencia enfatiza la necesidad de establecer un límite en la cantidad de evaluaciones para evitar sobrecargar el código de Python y sugiere incorporar protecciones para evitar este problema. Además, la lección demuestra cómo calcular el valor actual (PV) de los swaps utilizando tanto la curva de rendimiento inicial como la curva de rendimiento calibrada obtenida del proceso de iteración que involucra los puntos de la columna vertebral.
El profesor explora aún más la rutina de optimización y la calibración de la curva de rendimiento para los swaps de tasas de interés. Cabe señalar que la calibración de la curva de rendimiento mediante swaps arroja resultados muy precisos, incluso cuando se encuentran valores por debajo de cero. La conferencia también destaca áreas de mejora, como el empleo de cálculos analíticos para sensibilidades derivadas para mejorar la eficiencia y precisión computacional.
El concepto de "cobertura" se introduce como enfoque para la sección siguiente. Se analiza el impacto de diferentes rutinas de interpolación en los resultados de cobertura y se exploran varios métodos de interpolación. El profesor recomienda consultar la literatura existente para explorar opciones adicionales de interpolación. La conferencia concluye enfatizando la importancia de realizar pruebas en condiciones pequeñas y considerando los efectos de las rutinas de interpolación en la curva de rendimiento.
En la conferencia, el disertante examina diferentes rutinas de interpolación empleadas en la construcción de curvas de rendimiento y su influencia en los resultados. Se destacan los inconvenientes de la interpolación directa, como la interpolación lineal simple, en particular cuando se utiliza una curva de rendimiento basada en un modelo. Se explica que el comportamiento de la estructura de plazo de la tasa corta puede volverse errático si se pasan por alto pequeños detalles en la interpolación, ya que la tasa forward instantánea depende del logaritmo de un bono cupón cero. Para superar estas limitaciones, un método sugerido es diferenciar los factores de descuento logarítmico.
La conferencia también explora la interpolación local y global, enfatizando la importancia de localizar el impacto de un choque o cambio en un punto de la columna vertebral para evitar afectar una gran cantidad de puntos en la curva. Además, el disertante destaca la importancia de seleccionar un método de interpolación que considere las características de los instrumentos en la curva y su impacto en su desempeño.
La construcción de curvas de rendimiento y multicurvas se analiza desde una perspectiva de ingeniería financiera. Se presenta un experimento de Python que demuestra una función desarrollada para calibrar una curva de rendimiento a través de pequeños ajustes. El experimento incluye la construcción de un conjunto de instrumentos como una función y la incorporación de interpolación cuadrática y cúbica. Además, el precio de un swap fuera del mercado y el análisis de sensibilidad del swap a todos los instrumentos de mercado utilizados en la construcción de la curva se demuestran a través de la diferenciación y la recalibración de la curva para cada instrumento impactado en el conjunto de la cartera.
El orador explica cómo construir una curva de rendimiento y múltiples curvas usando shock y delta. El proceso consiste en repetir todo el procedimiento para cada instrumento con tasa fija impactada y redefinir delta, que representa la derivada del swap con respecto a cada instrumento de mercado. Los valores delta se aproximan dividiendo el tamaño de la perturbación, reconstruyendo la curva y evaluando el impacto resultante. Con estos valores delta, es posible determinar el uso requerido de cada instrumento de mercado para la construcción de curvas, lo que permite una cobertura efectiva de futuros. Se emplea la interpolación lineal para ilustrar la cobertura de un swap de cuatro años usando instrumentos con vencimientos de tres y cinco años, alineándose con los resultados esperados. Finalmente, una comparación entre la interpolación lineal y cúbica revela que la interpolación cúbica es más costosa computacionalmente pero conduce a diferencias sustanciales en los resultados.
El disertante discute la construcción de curvas de rendimiento y multi-curvas dentro de un contexto de ingeniería financiera. Se hace una comparación entre la interpolación cúbica y la interpolación lineal, destacando que la interpolación cúbica es más avanzada pero también más lenta. Se aborda el impacto de la interpolación en la cobertura, señalando que si bien la interpolación cúbica puede dar como resultado una curva más suave, puede generar mayores gastos de cobertura debido a la sensibilidad a los productos con vencimientos mucho mayores que los de los swaps. El orador sugiere explorar la interpolación cuadrática como alternativa y enfatiza que no se debe pasar por alto el impacto de la interpolación en la cobertura.
Continuando con la conferencia, el orador profundiza en la construcción de curvas de rendimiento y multicurvas utilizando shock y delta. Este método implica recalibrar todo el proceso para cada instrumento con una tasa fija impactada. La delta, que representa la derivada del swap con respecto a cada instrumento de mercado, se redefine dividiendo el tamaño del shock y aproximando el impacto resultante sobre la curva. Al analizar los valores delta, es posible determinar la asignación adecuada de cada instrumento de mercado para la construcción de curvas, lo que permite una cobertura efectiva de futuros. El orador demuestra el uso de la interpolación lineal para ilustrar la cobertura de un swap de cuatro años utilizando instrumentos con vencimientos de tres y cinco años, alineados con los resultados esperados.
La conferencia enfatiza la importancia de elegir el método de interpolación correcto, ya que afecta significativamente la forma y el comportamiento de la curva de rendimiento. Si bien la interpolación cúbica puede ofrecer una curva más suave, a menudo incurre en mayores gastos de cobertura debido a su sensibilidad a los productos con vencimientos mucho mayores que los de los swaps. Por lo tanto, el disertante sugiere explorar la interpolación cuadrática como una alternativa que logra un equilibrio entre la precisión y la eficiencia computacional.
Además, la conferencia enfatiza la necesidad de considerar las características de los instrumentos utilizados en la construcción de la curva y su impacto en su desempeño. Diferentes instrumentos pueden requerir diferentes métodos de interpolación o ajustes para garantizar una gestión precisa de precios y riesgos. Es fundamental analizar cuidadosamente y comprender el comportamiento de los instrumentos en el contexto del proceso de construcción de la curva de rendimiento.
La conferencia concluye alentando una mayor investigación y exploración de las opciones de interpolación. Si bien la interpolación cúbica es más avanzada y ofrece una curva más suave, es posible que no siempre sea la opción óptima. Se alienta a los profesionales e investigadores financieros a profundizar en la literatura existente y estudiar varias rutinas de interpolación para identificar el enfoque más adecuado para sus necesidades específicas.
La construcción de curvas de rendimiento y multicurvas implica una combinación de técnicas matemáticas, métodos de calibración y rutinas de interpolación. Es un proceso complejo que requiere una consideración cuidadosa de varios factores, como las características del instrumento, la eficiencia computacional y las implicaciones de cobertura. Al emplear los métodos correctos y comprender los principios subyacentes, los profesionales financieros pueden construir curvas de rendimiento sólidas que reflejen con precisión las condiciones del mercado y respalden estrategias efectivas de gestión de riesgos.Curso de ingeniería financiera: Conferencia 6/14, parte 3/3, (Construcción de la curva de rendimiento y curvas múltiples)
Curso de ingeniería financiera: Conferencia 6/14, parte 3/3, (Construcción de la curva de rendimiento y curvas múltiples)
En la conferencia, se introduce el concepto de multicurvas, que incorpora las probabilidades de incumplimiento de las contrapartes al construir las curvas de rendimiento. Esta información adicional da cuenta de la frecuencia de los pagos y los riesgos de incumplimiento asociados. El ponente destaca que prestar dinero a una contraparte por un plazo más largo aumenta el riesgo en comparación con los préstamos a plazos más cortos. Las curvas múltiples surgieron como un desarrollo en las matemáticas financieras después de la crisis financiera de 2008-2009 y siguen siendo frecuentes en el mercado actual.
La conferencia incluye una implementación Python de múltiples curvas y asigna una tarea a los estudiantes, desafiándolos a mejorar el código existente mediante la incorporación de instrumentos adicionales para la calibración de curvas y aspectos de cobertura.
Se discute la construcción de curvas de rendimiento y multicurvas en ingeniería financiera, enfatizando el impacto de la frecuencia de pago en el tipo de curva y la gestión de riesgos. Una mayor frecuencia de pago reduce la pérdida potencial en caso de incumplimiento de la contraparte, lo que la convierte en una opción más segura. La motivación detrás de las curvas múltiples proviene de la crisis de 2007-2009, cuando los diferenciales de base entre diferentes plazos se volvieron significativos, lo que llevó a múltiples puntos de base de diferencia entre curvas de frecuencia variables.
El orador explica que los diferentes instrumentos exhiben primas de riesgo de crédito y liquidez variables, lo que influye en sus curvas de rendimiento. Antes de la crisis financiera, la fijación de precios se basaba en una única curva. Sin embargo, después de la crisis, se deben considerar primas de riesgo adicionales para diferentes estructuras de plazo. El orador ilustra el diferencial de la prima de riesgo entre diferentes plazos utilizando una ilustración de tipos de cambio instantáneos a plazo. El consenso del mercado es descontar los flujos de efectivo futuros en función de la tenencia de mayor frecuencia, y la opción óptima para descontar es una curva con el menor riesgo crediticio, generalmente asociada con un 10 de un día.
La conferencia profundiza en la inclusión de probabilidades de incumplimiento en la fijación de precios y el desarrollo de un marco para la fijación de precios de derivados dentro del contexto de múltiples curvas. Se analizan curvas como el índice medio a un día del euro y el tipo de interés a un día de la Reserva Federal de EE. UU. Los profesionales primero observaron el mercado y luego se desarrolló la teoría, lo que requirió la inclusión de probabilidades de incumplimiento en el marco de múltiples curvas. La definición de la biblioteca debe modificarse para incorporar la curva libre de riesgo y las probabilidades de incumplimiento de la contraparte. El orador destaca la necesidad de versiones extendidas de la tasa LIBOR y los cambios de medida para adaptarse a esta modificación. Al incorporar probabilidades de incumplimiento y verificar la existencia de la contraparte antes de ejecutar transacciones, los profesionales obtienen una mejor comprensión de la fijación de precios de derivados dentro del marco de múltiples curvas.
El concepto de probabilidad de incumplimiento se explica en el contexto de la valoración de derivados con riesgo de crédito. La probabilidad de incumplimiento representa el riesgo de que ocurra un incumplimiento durante un período específico y generalmente se deriva de instrumentos de mercado como swaps de incumplimiento crediticio. Cuando los instrumentos de mercado no están disponibles, los bancos y las instituciones financieras asignan una probabilidad de incumplimiento basada en la asociación de riesgo de la industria. La fijación de precios de los derivados con riesgo de crédito implica descontar todos los flujos de efectivo futuros y asumir la independencia entre las tasas de interés y la probabilidad de incumplimiento. El pago esperado luego se calcula utilizando una función indicadora de la probabilidad de incumplimiento.
La conferencia analiza cómo las probabilidades de incumplimiento y las tasas de mejora se relacionan con las probabilidades de supervivencia y las tasas de riesgo. Los swaps de incumplimiento crediticio (CDX) se introducen como derivados negociados que se utilizan para estimar la probabilidad de incumplimiento. Al examinar las cotizaciones de mercado de los CDX, se puede calcular la prima de riesgo, lo que brinda información sobre la probabilidad de incumplimiento. La curva de rendimiento de riesgo incorpora la probabilidad de incumplimiento y ajusta los bonos cupón cero utilizando ajustes de riesgo. En la práctica, D(t0, ti) normalmente se interpreta como un factor de descuento, lo que permite la construcción de una curva de rendimiento como un conjunto de factores de descuento de bonos de cupón cero.
El video explica el proceso de determinación de un precio justo para un pasivo no garantizado que considera las probabilidades de incumplimiento mediante la construcción de una curva correspondiente a un término específico sobre una curva de descuento. Demuestra el cálculo de bonos de cupón cero libres de riesgo y un bono de cupón cero con una prima de riesgo adicional, que representa el factor de ajuste de la curva. El video también cubre cómo se puede calcular el precio de un swap de tasa de interés en una configuración de múltiples curvas. Combina los conceptos de un pasivo riesgoso y la tasa del swap de índice nocturno, aproximando el precio calculando la expectativa del LIBOR a plazo bajo la medida de martingala correspondiente.
El disertante enfatiza la dependencia circular entre diferentes curvas y la construcción de curvas de rendimiento en la práctica. La curva de descuento generalmente se construye primero, seguida de la construcción de curvas de tres y seis meses basadas en la curva de descuento y cotizaciones de mercado adicionales. Sin embargo, surgen complicaciones cuando hay diferenciales involucrados, lo que requiere la calibración de todas las curvas simultáneamente en lugar de individualmente. Si bien puede ser más complejo, mantener la coherencia en la cobertura de otros riesgos permite utilizar la tasa de interés incorrecta en el modelo Black-Scholes para igualar la cotización del mercado.
El video brinda orientación sobre la implementación de múltiples curvas en Python para la fijación de precios y la construcción de múltiples curvas de rendimiento. Se basa en códigos desarrollados previamente para curvas de rendimiento únicas y los amplía para manejar curvas múltiples. Se introduce una extensión de la definición de intercambio para facilitar la fijación de precios en el contexto de múltiples curvas. El video también enfatiza la importancia de realizar una verificación de cordura para garantizar la consistencia entre el nuevo swap de tasa de interés y una configuración de curva única. Esto se logra mediante el uso de dos instancias de la misma curva para verificar que producen el mismo valor.
El disertante discute la calibración de la curva de rendimiento e introduce cuatro swaps correspondientes a la nueva curva con conjeturas iniciales separadas del caso anterior. El objetivo sigue siendo igualar los precios de mercado con los precios modelo. La curva de descuento se basa en la curva de arranque y los swaps se definen como expresiones lambda de la curva a plazo. El ponente explica la búsqueda de bonos cupón cero o curvas de rendimiento para los swaps y la optimización de valores que hacen que el swap sea cero para la meta de rendimiento específica. La calibración de la curva se comprueba dos veces y se trazan los valores de los swaps. La verificación de cordura confirma la consistencia de la implementación del nuevo intercambio y, finalmente, se arranca la nueva curva.
El orador analiza los resultados del proceso de calibración y arranque, y señala que el precio vuelve a la par. Se trazan la curva de descuento y la curva de pronóstico, ilustrando la curva de distribución entre ellas. El ponente destaca que la curva forward es más baja debido a la cantidad limitada de instrumentos, lo que resulta en una falta de transición fluida entre diferentes vencimientos. El proceso de calibración es relativamente rápido y requiere iteraciones de optimización en comparación con el servidor para la curva de descuento. En conclusión, el orador resume los conceptos clave cubiertos en la conferencia, incluida la naturaleza dinámica de la curva de rendimiento, la formulación matemática, la formulación de problemas, los puntos de la columna vertebral, la rutina de optimización y ejemplos analíticos.
Por último, el ponente comenta la ampliación del código existente para el inicio de una curva y la inclusión de instrumentos adicionales. Se enfatiza la importancia práctica de desarrollar un marco de cobertura para comprender los impactos de las diferentes interpretaciones. El video explica la importancia de las curvas múltiples y su relación con las probabilidades de incumplimiento y el pronóstico. Concluye demostrando el código de Python para implementar y ampliar el marco existente para manejar curvas múltiples. Como tarea para el hogar, la audiencia tiene la tarea de extender el código existente para una nueva curva e incorporar una capa adicional de una curva a futuro basada en seis meses, tres meses e instrumentos de mercado disponibles.
El video explica cómo calcular el precio justo de un pasivo no garantizado que considera las probabilidades de incumplimiento. Esto implica construir una curva correspondiente a un término específico sobre una curva de descuento. El video demuestra el cálculo de bonos de cupón cero sin riesgo y un bono de cupón cero basado en una prima de riesgo adicional, que representa el factor de ajuste de la curva. Además, se analiza el precio de un swap de tasa de interés, combinando los conceptos de un pasivo riesgoso y la tasa del swap de índice nocturno. La aproximación de precios implica calcular la expectativa del LIBOR a plazo bajo la medida de martingala correspondiente.
Para finalizar, el disertante reitera la importancia de la construcción de curvas de rendimiento, multicurvas y sus implicaciones prácticas en la ingeniería financiera. La conferencia cubre varios aspectos, como la calibración de curvas, la cobertura, la probabilidad de incumplimiento, la fijación de precios de derivados con riesgo de crédito y la implementación de múltiples curvas en Python. Al ampliar el código existente e incorporar instrumentos adicionales, los estudiantes tienen el desafío de profundizar su comprensión de las curvas múltiples y adquirir experiencia práctica en aspectos de calibración de curvas y fijación de precios dentro de un marco de curvas múltiples.
Curso de Ingeniería Financiera: Conferencia 7/14, parte 1/2, (Permutas y Tasas de Interés Negativas)
Curso de Ingeniería Financiera: Conferencia 7/14, parte 1/2, (Permutas y Tasas de Interés Negativas)
La conferencia comienza con una revisión de temas anteriores, incluidos los swaps, las tasas de interés, la construcción de la curva de rendimiento y la fijación de precios de productos básicos. Luego avanza a temas más avanzados: fijación de precios de intercambio y fijación de precios con tasas de interés negativas. Se exploran swaps, que dependen de la volatilidad, junto con opciones en tasas de interés, como coplas y tasas de flujo.
El concepto de caplet se presenta como una opción europea que desempeña un papel en la calibración del modelo Hull-White. Las cápsulas se utilizan en modelos dependientes de la ruta y requieren calibración para los instrumentos del mercado. El disertante analiza el modelo Black-76 para la fijación de precios de caplets y distingue entre las ecuaciones de Black-Scholes y las ecuaciones de Black para las tasas de interés a plazo. La superficie de volatilidad implícita para las tasas de interés y los precios de derivados exóticos se menciona brevemente como un tema para un curso futuro.
La conferencia profundiza en la calibración de parámetros para el modelo blanco completo utilizando los precios de mercado de los acopladores. Las volatilidades implícitas que utilizan el modelo de Black se introducen y utilizan en el proceso de calibración. Se enfatiza la distinción entre la volatilidad implícita de Black y la volatilidad implícita del modelo. La conferencia cubre la fórmula para una biblioteca dependiente de dos bonos cero y su sustitución en el precio. Se define una nueva huelga para eliminar componentes constantes o dependientes del tiempo fuera de la expectativa, lo que permite la exploración de dinámicas o distribuciones bajo la medida TK.
El precio de las swaptions se analiza en relación con el precio de los bonos de cupón cero en un modelo de cupón cero. La diferencia radica en el momento de los pagos, con los bonos cupón cero pagando al principio y los swaptions al final. La conferencia introduce el concepto de condicionamiento en un campo de señal y utiliza la definición de una cuenta de servicio de dinero para resolver este problema. Conduce a una expresión para el precio de la swaption como la expectativa de la relación de dos cuentas de servicios monetarios bajo la medida a plazo.
La conferencia explora más a fondo la relación entre caplets, bonos y opciones sobre bonos de cupón cero. El modelo de Black-Scholes se utiliza para calcular las volatilidades implícitas, con calibración periódica de los parámetros del modelo. La conferencia enfatiza la importancia de elegir correctamente las fechas de simulación y las medidas y expectativas coincidentes en la valoración de opciones.
Se discute la generación de sonrisas de volatilidad implícita usando productos de tasa de interés y opciones de precios en bonos de cupón cero. El código se inspecciona para garantizar evaluaciones precisas, y se realiza una comparación entre los bonos de cupón cero de la curva de rendimiento del mercado y los derivados del modelo. Se cubre la fijación de precios de las opciones sobre bonos de cupón cero, incluidas las opciones de venta, y se realizan experimentos para analizar el impacto de la volatilidad y las versiones del modelo en la fijación de precios.
La conferencia presenta un proceso de iteración para encontrar la volatilidad implícita que satisfaga la restricción de igual valor de mercado y precio Black '76 para una opción. Se definen e interpolan cuadrículas de diferentes niveles de volatilidad como punto de partida para Newton-Raphson. Se analiza el impacto del parámetro de reversión a la media en las volatilidades implícitas, con una recomendación para corregirlo mientras se calibra el parámetro de volatilidad. Los parámetros dependientes del tiempo se enfatizan para las consideraciones XVA.
Se abordan las limitaciones de agregar volatilidad estocástica al modelo HJM en la fijación de precios de derivados, incluido el impacto en el sesgo de volatilidad implícita y los desafíos de calibración. La conferencia destaca la importancia del componente de anualidad en los swaps y la necesidad de tenerlo en cuenta al cambiar la medida. Comprender los swaps de tasas de interés y mejorar los modelos mientras se mantiene la eficiencia computacional es crucial debido a su prevalencia en las instituciones financieras.
La fijación de precios de los swaps se centra en, asumiendo una sola curva. El valor de un swap depende de dos pagos, el inicial y el final, y puede representarse como la diferencia de dos componentes cero con el strike multiplicado por la anualidad. Se explica la fijación de precios a la par, donde se elige la huelga para hacer que el valor sea cero, lo que da como resultado que no haya pagos en efectivo. La volatilidad es necesaria para la fijación de precios de derivados exóticos, lo que requiere calibración para instrumentos de mercado.
Se analiza el uso de swaptions en ingeniería financiera para medir la volatilidad del mercado. Los swaps son derivados europeos que otorgan al titular el derecho, pero no la obligación, de celebrar un swap en una fecha futura predeterminada. El precio de ejercicio de la permuta determina si el tenedor será pagador o receptor de la permuta. Al sustituir la definición del swap, se deriva la ecuación de valoración para swaptions, y el numerador de la ecuación se identifica como un candidato adecuado para un cambio de medida. Esto permite la cancelación del componente de anualidad y la simplificación de la ecuación.
El orador explica el uso de medidas de anualidad y el movimiento browniano geométrico para calcular los precios de swaption, asumiendo que las tasas de swap no pueden ser negativas. La medida de anualidad se considera una opción adecuada para la medición y, según esta medida, el canje debe ser una martingala. Se presenta la ecuación de Black-Scholes como modelo de fijación de precios para swaptions. Sin embargo, el orador reconoce que, en la práctica, los swaps pueden tener valores negativos, lo que puede plantear desafíos para la ecuación de precios. Mencionan que una solución a este problema se presentará más adelante en la conferencia. El objetivo final es determinar el precio bajo el modelo BlueWise, que se utilizará para la simulación en futuras conferencias.
El disertante analiza la formulación de un swap en términos de bonos cupón cero y cómo se puede redefinir como una suma única de bonos cupón cero con diferentes ponderaciones. Esta formulación resulta conveniente cuando se busca una solución para las opciones de fijación de precios bajo una dinámica completamente blanca. La conferencia cubre el proceso de cambiar la medida de una medida neutral al riesgo a una medida asociada con un bono de cupón cero, lo que ayuda a abordar el desafío de fijar el precio de un swap. El Jambchidian Flick se presenta como una técnica para intercambiar la expectativa del máximo de una suma con una suma de expectativas, un paso crucial para encontrar una solución de forma cerrada para las swapciones de precios. Este método ayuda a simplificar el proceso de fijación de precios y obtener resultados precisos.
La discusión del instructor destaca la importancia de comprender y cotizar de manera efectiva las swaptions, ya que brindan información valiosa sobre la volatilidad del mercado. La capacidad de evaluar y cotizar con precisión estos derivados contribuye a la toma de decisiones informada y la gestión de riesgos en los mercados financieros.
La conferencia cubre varios temas avanzados relacionados con la fijación de precios en el contexto de swaptions y tasas de interés negativas. Explora las complejidades de la calibración de modelos, la determinación de las volatilidades implícitas y la comprensión de los matices de los diferentes enfoques de fijación de precios. El disertante enfatiza la importancia de seleccionar cuidadosamente los parámetros, hacer coincidir las medidas y las expectativas, y considerar las limitaciones y desafíos asociados con la fijación de precios de derivados en entornos financieros complejos.