[Archivo] Matemáticas puras, física, química, etc.: problemas de entrenamiento cerebral no relacionados con el comercio de ninguna manera - página 305
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Не факт.
Тут надо за что-то зацепиться. Одна зацепка есть, но что с ней делать, не знаю пока.
La pista:
S=S1+S2;S=S3+S4;
S=S5+S6;
S=T1+T2+T3+T4+K1+K2+K3;
S1=K1+K3+T1+T4;
S2=K2+T2+T3;
S3=K1+K2+T2+T4;
S4=K3+T1+T3;
S5=K2+K3+T3+T4;
S6=K1+T1+T2; donde
S - superficie total
S1-S6 - zonas formadas por la sección S en dos partes
T1-T4 - áreas de triángulos
K1-K3 - áreas de cuadriláteros,
faltan las ecuaciones geométricas.
2 Richie:
Si demostramos que el punto V es el punto medio de CC', entonces lo demostramos todo: el triángulo AC'C quedará entonces dividido por el segmento AV en partes iguales. Como los triángulos sombreados dentro de AC'C son iguales, entonces ambos cuadriláteros son iguales. Los otros triángulos parciales ABA' y BCB' pueden considerarse de la misma manera.
Hay pistas. Por ejemplo, que AUVB' es un trapecio. El paralelismo de sus lados AU y VB' se demuestra fácilmente a partir de la homotecia de los triángulos correspondientes - AUW y B'WV. Pero no veo dónde aplicar este hecho.
Y la homotecia de AUW y B'WV se deduce de la equiaxialidad de los triángulos sombreados y de la aplicación de la fórmula del área del triángulo a través de los lados y del seno del ángulo entre ellos.
P.D. La solución sorprende por su brevedad (probablemente, casi todos los alumnos de octavo grado pueden resolver el problema en su mente):
Pero hay algún indicio de la proporción áurea. Sospechaba...
AUW y B'WV. Pero dónde aplicar este hecho, no veo dónde.
He intentado aplicarlo para calcular las longitudes de VB y UA, ya que conocemos las áreas de los triángulos - 1 cm2. El lado WV es fácil de encontrar. Si el triángulo UWV es equilátero, es decir, sus ángulos son 60g, conocemos todos los ángulos y es fácil calcular el trapecio. Si conocemos VB y UA, que rompen los 4 ángulos en triángulos, entonces obtenemos el área del triángulo mayor ABC y utilizamos esta área para calcular las áreas de los 4 ángulos.
Sí, la respuesta es hermosa :))
¿Por qué un equilátero?
>> ¿Por qué es equilátero?
Sí, no es un hecho. Es más fácil así. Esto es lo que escribí arriba: Si ABC y UWV son equiláteros y los triángulos laterales son iguales (la condición del problema), entonces estos triángulos laterales serán similares, aunque puedo estar equivocado.
En general, me parece mucho más fácil resolver este problema en el ordenador haciendo un sistema :))
¿De dónde sale (Root(5)+1)?
1. Basta, por ejemplo, con demostrar que los triángulos AC'C y B'BC son iguales. Bueno y hacer para los similares.
2. ¿Cómo hacerlo? Sus alturas se relacionan como AC'/AB y sus bases como AC/B'C. En otras palabras, ambas relaciones muestran cómo los puntos C' y B' dividen los lados del triángulo original. Si demostramos que estas relaciones son inversas entre sí, entonces lo primero será lo siguiente.
P.D. He encontrado una solución en Internet, pero no la he mirado. Sólo hay que asegurarse de que no se utilicen las propiedades del triángulo original. No es equilátero, ni isósceles, etc. Pero el problema se resuelve correctamente. Dejémoslo de lado por ahora.
Siguiente:
Encuentra cuatro triángulos rectos equiláteros cuyos lados sean números naturales.
Espero que todos recuerden las fórmulas de los triples pitagóricos enteros (2pq, pp-qq, pp+qq).
Еще одна зацепочка:
1. Достаточно, например, доказать, что треуги AC'C и B'BC равновелики. Ну и сделать для аналогичных.
2. Как это сделать? Высоты их соотносятся как AC'/AB, а основания - как AC/B'C. Другими словами, оба отношения показывают, как точками C' и B' делятся стороны исходного треуга. Если мы докажем, что эти отношения обратны друг другу, то отсюда будет вытекать первое.
P.S. Нашел в сети решение, но не смотрел. Просто убедился, что никакие свойства первоначального треуга не используются. Он не равносторонний, не равнобедренный и т.п. Но задачка решается вполне корректно. Отложим пока.
Me senté durante dos horas, encontré todas las relaciones de aspecto, expresé el área del cuadrilátero requerido a través de los lados de los triángulos pequeños (es igual a 1 sq.cm*2*WB'/UB'), pero todavía no tengo una solución final. Venga, poned la solución, o se me romperá el cerebro:(
Encuentra cuatro triángulos rectos equiláteros cuyos lados sean números naturales.
Espero que todos recuerden las fórmulas de los triples pitagóricos enteros (2pq, pp-qq, pp+qq).
es decir, el problema se reduce a encontrar cuatro pares de números p,q para los que pppq-pqq es invariante.
Сидел два часа, нашел все отношения сторон, выразил площадь требуемого четырехугольника через стороны маленьких треугов (она равна 1кв.см*2*WB'/UB'), но окончательно нихрена так и не получилось. Давай, выкладывай решение, а то моск сломается:(
Vaya, no he conseguido nada, aparte de los comentarios que he publicado aquí. Puede haber una bonita propiedad trapezoidal involucrada. Este es el enlace: http://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=55137.
Parece que hay un problema con los enlaces. OK, aquí vamos: http://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=55137
es decir, el problema se reduce a encontrar cuatro pares de números p,q para los que pppq-pqq es invariante.
Pues parece que sí. pq(p-q)(p+q) = inv.
http://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=55137.
Hay una pequeña confusión con los índices en la solución.
Debería haberme sentado una hora más, estaba cerca:) Pero la dificultad del problema es claramente para alumnos de octavo grado, pero no por debajo del nivel de la Olimpiada regional.