[Archivo] Matemáticas puras, física, química, etc.: problemas de entrenamiento cerebral no relacionados con el comercio de ninguna manera - página 125
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Prueba en el caso no trivial - por una figura entendemos una parte del plano limitada por una línea cerrada (sin auto-intersecciones).
Supongamos que la figura X tiene centro de simetría O, es decir, que para cada punto de la figura se cumple la condición del problema. Supongamos que hay al menos otro centro de simetría O', no coincidente con O. Dibuja la línea O'. Obviamente, interseca la frontera en un número finito y par de puntos (al menos en dos). Elige uno de esos puntos A entre los que están en el mismo lado de O' tal que la distancia de A a O sea máxima (1). Sea B también un punto de la figura simétrico a A con respecto a O.
Obsérvese que todo punto de la recta O' que esté a mayor distancia de O que A no pertenece a la figura X según (1). (2)
Sea B' un punto simétrico a B respecto a O', entonces por definición de simetría B' pertenece a X. Sin embargo, OA=OB<O'B=O'B'= OB'-OB'<OB', entonces se deduce de (2) que el punto B' no pertenece a X. Obtenemos una contradicción, lo que demuestra que la suposición sobre el segundo centro de simetría es incorrecta. El teorema está demostrado.
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¡Bien hecho, alsu!
Al principio fui por el otro camino (encontré una imagen de una CA relativa a otra y empecé a probar que tenía una tercera CA), pero luego encontré la solución que describes.
En principio podemos considerar el caso de una figura infinita (tira o algo similar), ahí resulta que los centros de simetría se pueden generar un número infinito (por el método de la "excavadora andante") :) Pero creo que una cifra finita es realmente suficiente.
Нашел монетку написано: HALF PENNY это сколько будет в %% от GBP? :)
¡Sí, se me olvidó decirlo! ¡La moneda es de 1958, eso es importante!
Y tengo una solución muy clara a un problema geométrico, por si alguien lo recuerda ("Hay dos círculos y un punto. Construye un segmento cuyos extremos estén en las circunferencias dadas y cuyo centro esté en el punto dado"). Aquí está hace media hora.
Yurixx, y es muy característico que la propia construcción determine cuándo existe la solución del problema. Es decir, escribir las restricciones en la condición del problema es casi lo mismo que resolverlo.
Pista: la solución se me ocurrió justo después de ver la solución de alsu.
Tienes un extraño centro de simetría.
Si por centro de simetría entendemos el punto alrededor del cual una rotación de 180 grados da lugar a una coincidencia exacta, entonces es difícil encontrar 2 centros. Pero infinidad de ellos son bienvenidos.
Tomemos las gráficas de las funciones F1(x) = cos(x)+1 y F2(x) = cos(x)-1 en el plano. La parte del plano entre estas gráficas es nuestra figura. Sus centros de simetría son todos los puntos x divisibles por pi.