Algoritmik ticaret - sayfa 18

[MetaQuotes]

Para tasarruf hesabının sıfır kuponlu tahville ilişkisi nasıldır?

Para tasarruf hesabının sıfır kuponlu tahville ilişkisi nasıldır?

Hesaplamalı finans üzerine bugünkü soru-cevap oturumuna hoş geldiniz. Bu oturumda, bir numaralı derste işlenen malzemeye dayanan iki numaralı soruyu tartışacağız. Ayrıntılı bir anlayış için, bir numaralı dersi tekrar gözden geçirmenizi tavsiye ederim. Bugünün sorusu, özellikle faiz oranları bağlamında, para tasarruf hesabı ile sıfır kuponlu tahvil arasındaki ilişkiye odaklanıyor.

Başlamak için, bir tasarruf hesabı tanımlayalım. Paranın zaman değeri, bugün elimizde bir euro varsa ve basit bir faiz oranını düşünürsek gelecekteki değeriyle ilgileniyorsak, bir yılda alacağımız tutarın bir euro katı (1 + faiz oranı) olacağını belirtir. Bu faiz oranı yüzde olarak ifade edilir. Bu, deterministik faiz oranları durumunda basit bir hesaplamadır.

Ancak, stokastik faiz oranlarını getirdiğimizde, ilişki daha karmaşık ve ilginç hale geliyor. Bu gibi durumlarda, bir tasarruf hesabı ile sıfır kuponlu tahvil yönetimi arasındaki fark çok önemli hale gelir. Farkı daha net anlamak için tasarruf hesabını ve sıfır kuponlu tahvili tanımlayalım.

T zamanında para tasarruf hesabı (MSA), R'nin faiz oranını temsil ettiği e^(RT) ile çarpılan başlangıç değeri (basitlik için bir olarak kabul edilebilir) olarak tanımlanır. MSA'nın ayrıntılı türevlerini bir numaralı derste bulabilirsiniz. Stokastik faiz oranları durumunda MSA, M(T) = M(0) * e^(∫[0 ila T] R(s) ds) şeklinde ifade edilebilir, burada R(s) stokastik faiz oranını temsil eder ve integral, stokastik miktarın entegrasyonunu açıklar.

Şimdi sıfır kuponlu tahvilin tanımını tartışalım. Sıfır kuponlu tahvil, gelecekteki T zamanında bir euro ödeyen bir sözleşmedir. Sıfır kuponlu tahville ilgili fiyatlandırma sorunu, bugünkü değerini belirlemektir. Başka bir deyişle, gelecekteki ödemenin bugünkü değerini bulmak istiyoruz. Bu, hesaplamalı finansta temel bir sorundur, çünkü günümüzde her zaman sözleşmelerin gerçeğe uygun değerini belirlemek için değerini belirlemeye odaklanıyoruz.

Stokastik faiz oranları söz konusu olduğunda, temel fiyatlandırma teoremi, T zamanında gelecekteki bir ödemeye sahip bir sözleşmenin risk-nötr ölçüsü altında bugüne iskonto edilmiş değerinin bir beklenti olarak ifade edilebileceğini belirtir. Spesifik olarak, faiz oranlarının integralinin beklentisidir. Bu, beklenti ve negatif işaretin onu MSA'dan ayırdığı MSA kavramının bir uzantısı olarak görülebilir. Dolayısıyla, sıfır kuponlu tahvil -∫[0 ila T] R(s) ds beklentisi olarak ifade edilebilir.

Özetlemek gerekirse, para tasarruf hesabı ile sıfır kuponlu tahvil arasındaki ilişki şu şekilde açıklanabilir: MSA için M(T) = başlangıç değeri * e^(∫[0 - T] R(s) ds), sıfır kuponlu tahvil -∫[0 ila T] R(s) ds beklentisi olarak tanımlanır. Deterministik durumlarda, sıfır kuponlu tahvilin 1 / M(T)'ye eşit olmasıyla ilişki daha basittir; burada M(T), T zamanındaki MSA değeridir.

Hesaplamalı finansta, özellikle stokastik faiz oranlarıyla uğraşırken bu ilişkiyi anlamak çok önemlidir. Finans mühendisliği ve fiyatlandırma problemlerinde çok önemli bir rol oynar. Bu kursta açıklandığı gibi ölçü değişikliği kavramı, karmaşık getirileri basitleştiren ve genellikle analitik fiyatlandırma denklemlerini bulmamızı sağlayan güçlü bir araçtır. Bu konuyla ilgileniyorsanız, bu kanalda bulunan finans mühendisliği kursunu keşfetmenizi tavsiye ederim.

Umarım bu açıklama para tasarruf hesabı ile sıfır kuponlu tahvil arasındaki farkları açıklığa kavuşturur. Ana ayrım, stokastik faiz oranlarıyla uğraşırken önemli hale gelen beklenti teriminde yatmaktadır. Stokastik faiz oranlarının yokluğunda, para tasarruf hesabı ile sıfır kuponlu tahvil arasındaki ilişki daha açıktır. Bu gibi durumlarda, eğer sabit bir faiz oranımız varsa, sıfır kuponlu tahvilin ifadesi basitçe 1 / M(T) olacaktır; burada M(T), T zamanında tasarruf hesabının değerini temsil eder.

Ancak, stokastik faiz oranları devreye girdiğinde, beklenti terimi çok önemli hale gelir. Sıfır kuponlu tahvil hesaplamasında stokastik faiz oranlarının entegrasyonu, faiz oranlarının zaman içindeki belirsizliğini ve değişkenliğini açıklar. Bu, iki finansal araç arasındaki ilişkiye karmaşıklık katar.

Para tasarruf hesabı ile sıfır kuponlu tahvil arasındaki dinamikleri ve ilişkiyi anlamak, hesaplamalı finans alanında çok önemlidir. Çeşitli finansal sözleşmelerin değerlerini analiz etmemizi, değerlendirmemizi ve makul fiyatlarını belirlememizi sağlar. Bu kursta ele alınan ölçü değişikliği kavramı, karmaşık ödemeleri basitleştirmek ve fiyatlandırma denklemlerini türetmek için güçlü bir çerçeve sağlar.

Sonuç olarak, tasarruf hesabı ve sıfır kuponlu tahvil yakından ilişkilidir, ancak matematiksel formülasyonları açısından farklılık gösterirler. Para tasarruf hesabı, anapara tutarının zaman içindeki bileşik değerini temsil ederken, sıfır kuponlu tahvil, entegre faiz oranları beklentisi aracılığıyla gelecekteki bir ödemenin bugünkü değerini hesaplar. Stokastik faiz oranları söz konusu olduğunda bu ayrım daha önemli ve ilgi çekici hale gelir. Finans uzmanları, bu ilişkiyi anlayarak bilinçli kararlar alabilir ve hesaplamalı finans dünyasında etkin bir şekilde gezinebilir.

[MetaQuotes]

Zımni oynaklıkların hesaplanmasındaki zorluklar nelerdir?

Zımni oynaklıkların hesaplanmasındaki zorluklar nelerdir?

Hesaplamalı finans dersine dayalı soru ve cevaplara hoş geldiniz. Bugün, özellikle Heston modeli bağlamında, zımni oynaklıkların hesaplanmasındaki zorluklarla ilgili olan üçüncü soruyu inceleyeceğiz.

Zımni oynaklıkları tartışırken, aksi belirtilmedikçe, tipik olarak Black-Scholes zımni oynaklıklarına atıfta bulunuruz. Bu nedenle, Heston modeli için, ima edilen oynaklığın nasıl elde edileceği sorulursa, Heston formülünü yalnızca uzun vadeli ortalama veya ilk varyans için tersine çeviremeyiz. Heston modelinde ima edilen oynaklık, iki aşamalı bir süreç gerektirir: Heston modeline dayalı olarak fiyatların hesaplanması ve ardından karşılık gelen sigmayı bulmak için bu fiyatların ters Black-Scholes formülünde kullanılması.

Heston modeli, varyans için hesaplamaya karmaşıklık katan birden fazla parametre sunar. Tek bir parametreye sahip olduğumuz Black-Scholes modelinden farklı olarak, Heston modelinin birden fazla parametresi, benzersiz bir parametre seti elde etmek için yeniden tersine çevirmemizi engeller.

Zımni oynaklıklar, hisse senedinin mevcut değerini göz önünde bulunduran göreli karşılaştırmalara izin verdiğinden, farklı hisse senetlerinin davranışını ve performansını karşılaştırmak için değerli araçlardır. Örtülü oynaklık, opsiyon değerlemeleriyle ilişkili risk ve belirsizliğin değerlendirilmesine yardımcı olan belirsizliği içerir.

Zımni oynaklık kavramı uzun yıllardır ortalıkta dolaşıyor ve Black-Scholes modelinin tek parametresi nedeniyle fiyatlandırma seçenekleri için uygun olmadığı ortaya çıktı. Uygulamada, değişen ihtarlara ve vadelere sahip farklı seçenekler genellikle farklı zımni oynaklıklar sergiler. Bu tutarsızlık, sabit bir oynaklık varsayımının tüm seçenekleri aynı anda fiyatlandırmak için uygun olmadığını göstermektedir. Bu nedenle zorluk, modeldeki fiyatları piyasada gözlenen fiyatlar ile uyumlu hale getiren zımni oynaklıkları bulmakta yatmaktadır.

Zımni oynaklıkların hesaplanması, önemsiz olmayan bir görev olan Black-Scholes formülünün tersine çevrilmesini içerir. Newton yöntemi veya Brent yöntemi gibi çeşitli sayısal rutinler bu amaç için yaygın olarak kullanılır. Bu yöntemler, modelden Black-Scholes fiyatını opsiyonun piyasa fiyatına eşitleyen bir denklemi çözerek bilinmeyen zımni oynaklığı bulmayı amaçlar.

Özellikle yüksek frekanslı ticarette veya modelleri piyasa verilerine göre kalibre ederken, ima edilen oynaklıkların etkin bir şekilde hesaplanması çok önemlidir. Hesaplama hızı, ticaret stratejilerini veya model kalibrasyonunun etkinliğini önemli ölçüde etkileyebilir. Bu nedenle, zımni oynaklık hesaplamaları için hızlı ve doğru sayısal rutinler geliştirmek büyük önem taşımaktadır.

Alım seçeneği yüzeyinin son derece düz hale geldiği parasız seçeneklerle uğraşırken zorluk yoğunlaşır. Bu gibi durumlarda, yinelemeli arama algoritmaları yakınsamakta zorluk çekebilir veya doğru gradyanların olmaması nedeniyle en uygun noktayı bulmak için çok sayıda yineleme gerektirebilir. Bu nedenle, uygun bir ilk tahminin belirlenmesi, hesaplamanın etkinliğini ve etkinliğini sağlamak için çok önemli hale gelir.

Zımni oynaklıkların öncelikle Black-Scholes ima edilen oynaklıkla ilişkili olduğunu belirtmekte fayda var. Bununla birlikte, aritmetik Brownian hareketi veya kaydırılmış log-normal dağılımlar gibi diğer modellere dayalı olarak ima edilen oynaklıklara sahip olmak mümkündür. Bu gibi durumlarda, hesaplamalar için kullanılan modeli açıkça belirtmek önemlidir.

Sonuç olarak, zımni oynaklıkların hesaplanması, özellikle parasız seçeneklerle uğraşırken hızla ilgili zorluklar ortaya çıkarır. Doğru ve hızlı hesaplamalar için verimli sayısal rutinler ve ilk tahminlerin dikkatli bir şekilde değerlendirilmesi gereklidir. Zımni oynaklıklar, opsiyon fiyatlandırmasında, risk değerlendirmesinde ve model kalibrasyonunda hayati bir rol oynayarak hesaplamalı finansta bunların hesaplanmasını ve anlaşılmasını çok önemli hale getirir.

[MetaQuotes]

Aritmetik Brown hareketini kullanarak seçenekleri fiyatlandırabilir misiniz?

Aritmetik Brown hareketini kullanarak seçenekleri fiyatlandırabilir misiniz?

Hesaplamalı Finans kursu Soru-Cevap oturumuna hoş geldiniz!

Bugünün sorusu, aritmetik Brown hareketini kullanarak fiyatlandırma seçeneklerine odaklanan dördüncü soru. Bu soru, İkinci Derste tartışılan materyallere dayanmaktadır.

Aritmetik Brown hareketi, daha önce gördüğümüz geometrik Brown hareketinden biraz farklı bir süreçtir. Black-Scholes modelini kullanmak gibi fiyatlandırma seçenekleri söz konusu olduğunda, temel fark değişkenlik ve sürüklenmedir. Modelin bu basitleştirilmiş versiyonunda oynaklık terimi ve türevi ayarlanmıştır.

Bir piyasa senaryosunda, belirli bir kullanım fiyatı (K) ve son kullanma tarihini (T) ele alalım. Bir opsiyon fiyatı (C1) gözlemliyoruz. Bilgilerimize dayanarak, geometrik Brownian hareketi için zımni oynaklığı kolayca bulabiliriz. Benzer şekilde, bu durumda, piyasada gözlemlenen opsiyon fiyatıyla mükemmel bir şekilde eşleşen zımni bir oynaklık (Sigma tilde) bulabiliriz. Ancak, iki modelin eşdeğer olmadığına dikkat etmek önemlidir. Yunanlılar olarak da bilinen hassasiyetleri incelediğimizde aralarındaki fark ortaya çıkıyor.

Aritmetik Brownian hareketi, hisse senedi gerçekleşmelerinin negatif olabileceğini varsayar ki bu gerçekçi değildir. Buna karşılık, geometrik Brownian hareketi yalnızca pozitif stok yollarını varsayar. Bu fark, aritmetik Brown hareketi varsayımını daha az gerçekçi hale getirerek, riskten korunma stratejimizi negatif hisse senedi gerçekleşmelerini hesaba katacak şekilde ayarlamamızı gerektiriyor.

Opsiyon fiyatlarının karşılaştırılması bazı içgörüler sağlayabilirken, bir modelin yeterince iyi olup olmadığını belirlemek için her zaman en iyi kriter değildir. Ek olarak, hem geometrik hem de aritmetik Brownian hareket modelleri, ima edilen oynaklık gülümsemesine veya eğriliğine kalibre edilemez. Ancak, yalnızca belirli bir seçeneğe sahip bir pazarı düşündüğümüz bu özel durumda, iki modeli kolayca karşılaştırabilir ve hangisinin daha uygun olduğunu belirleyebiliriz.

Oynaklık parametresinin (Sigma) sabitlendiği OU işlemi için benzer değerlendirmeler yapılabilir. Bununla birlikte, OU süreci, para tasarruf hesaplarına bölünen bir stok açısından risk-nötr önlem altında iyi tanımlanmayan sapma gibi ek sorunlarla karşı karşıyadır. Bu nedenle, fiyatlandırma seçenekleri için uygun bir süreç değildir.

Görsel örnekler sağlamak için, üç stokastik diferansiyel denklem için birkaç gerçekleştirme yolu hazırladım: geometrik Brown hareketi, aritmetik Brown hareketi ve OU süreci. Simülasyonlarda, yollar arasında benzer şekiller ve desenlerle sonuçlanan aynı Brownian hareketi kullanılmıştır.

Özetle, aritmetik Brownian hareketini kullanarak seçenekleri fiyatlamak mümkün olsa da, her zaman en mantıklı yaklaşım olmayabilir. Bir modelin yeterliliği, varlığın altında yatan varsayımların ve dinamiklerin piyasanın fiziksel özelliklerini yansıtıp yansıtmadığına bağlıdır. Dikkate alınması gereken temel unsur budur.

[MetaQuotes]

Stokastik bir süreç ile rastgele bir değişken arasındaki fark nedir?

Stokastik bir süreç ile rastgele bir değişken arasındaki fark nedir?

Hesaplamalı Finans kursu Soru-Cevap oturumuna hoş geldiniz!

Bugünün sorusu, stokastik bir süreç ile rastgele bir değişken arasındaki farka odaklanan beşinci soru. Bu soru, İkinci Derste tartışılan materyallere dayanmaktadır.

Stokastik bir süreç, temelde zamana göre parametrize edilmiş rastgele değişkenlerin bir koleksiyonudur. Resmi olarak, olasılık uzayına karşılık gelen zaman (t) ve Omega (Ω) olmak üzere iki argümana sahip olduğumuz bir stokastik süreci X(t) olarak temsil edebiliriz. Aksine, bir rastgele değişken, bu zamana bağlılığı olmayan daha basit bir kavramdır. Örneğin, yazı tura atıyorsak ve "yazı" ya da "tura" sonuçlarını dikkate alıyorsak, bu rastgele bir değişkendir. Bununla birlikte, denkleme zamanı dahil edersek ve zaman içinde "yazı" veya "tura" oluşumlarını dikkate alırsak, bu stokastik bir süreç haline gelir.

Hem endüstride hem de akademide, stokastik süreçleri tartışırken genellikle ikinci argümanı (Omega) ihmal ederiz. Bunun yerine, sürece, stokastik bir sürecin tam bir tanımını sağlayacak olan dX(t, Ω) yerine X(t) olarak atıfta bulunuruz.

Simüle edilmiş Monte Carlo yollarının ve bunların zaman ve Omega ile bağlantısının nasıl yorumlanacağını anlamak da önemlidir. X(t) sürecinin değerlerini zamana göre çizersek, birden fazla Monte Carlo yolu gözlemleyebiliriz. Her yol, sürecin olası bir gerçekleşmesini temsil eder. Belirli bir zamanı sabitlersek, t* diyelim ve o noktadaki tüm gerçekleşmelerin dağılımına bakarsak, belirli bir zamanda farklı sonuçlar (Omegas) düşünüyoruz. Öte yandan, belirli bir gerçekleşmeyi (Omega) sabitleyebilir ve sürecin zaman içinde nasıl geliştiğini gözlemleyerek tek bir yol elde edebiliriz. Bu nedenle, dikkate almamız gereken iki boyutumuz var: sonuçların dağılımlarını analiz etmek için zamanı sabitlemek veya sürecin zaman içindeki davranışını gözlemlemek için bir gerçekleştirmeyi sabitlemek.

Özetle, stokastik bir süreç, zamana göre parametreleştirilen rastgele değişkenlerin bir koleksiyonudur. Bir sistemin zaman içindeki gelişimini temsil eder ve Monte Carlo yollarından gözlemlenebilir. Rastgele değişken ise zamana bağlı olmayan daha basit bir kavramdır. Hesaplamalı finansı incelerken bu ayrımı anlamak çok önemlidir.

[MetaQuotes]

Bir stok sürecini modellemek için ABM/GBM kullanmanın avantajları ve dezavantajları nelerdir?

Bir stok sürecini modellemek için ABM/GBM kullanmanın avantajları ve dezavantajları nelerdir?

Hesaplamalı Finans ile ilgili Sorular ve Cevaplar oturumuna hoş geldiniz!

Bugünün sorusu, bir stok süreci modellemek için aritmetik Brown hareketi veya geometrik Brown hareketi kullanmanın avantajlarını ve dezavantajlarını araştıran altıncı soru. Bu soru, İki Numaralı Soru'ya dayanmaktadır ve fiyatlandırma seçenekleri için aritmetik Brownian hareketinin kullanıldığı bir önceki oturumda tartışılan soruya benzer.

Bu iki süreç arasındaki fark görece küçüktür, öncelikle hem pozitif hem de negatif değerlere izin veren bir varlığı mı yoksa hisse senetleri gibi yalnızca pozitif varlıklara mı odaklandığımızla ilgilidir. Bugün, çeşitli senaryolarda belirli bir türevi fiyatlandırmak için aritmetik Brownian hareketinin mi yoksa geometrik Brownian hareketinin uygun olup olmadığını belirlememize yardımcı olan yönleri inceleyeceğiz.

Fiyatlandırmamız gereken egzotik bir türevimizin olduğu bir durumu ele alalım. Bu türev karmaşıktır ve muhtemelen çağrılabilirlik özelliklerini içerir. Aritmetik veya geometrik Brownian hareketinin fiyatlandırma için yeterli olup olmadığını değerlendirmek için belirli faktörleri incelememiz gerekir.

Sorulacak ilk soru, bu varlık sınıfındaki egzotik türev piyasasının zengin olup olmadığıdır. Mevcut başka egzotik türevler varsa, bu piyasa fiyatlarına kalibrasyona izin veren bir model düşünmemiz gerektiğini önerir. Daha sonra fiyatlandırmayı faiz türevine göre tahmin edebiliriz. Bununla birlikte, pazar zengin değilse, bu, egzotik türevi fiyatlandırabileceğimiz anlamına gelir, ancak kalibrasyon için kullanılabilecek ek egzotik türev yoktur.

İkinci durumda, bir sonraki adıma geçiyoruz ve bu pazar için mevcut seçeneklerin olup olmadığını kontrol ediyoruz. Bir opsiyon piyasası varsa, önce modelimizi bu opsiyonlara, genellikle likit araçlara göre kalibre etmeliyiz. Bu kalibrasyon, model parametrelerinin belirlenmesine yardımcı olur. Kalibre edilmiş model parametrelerine sahip olduğumuzda, bunları egzotik türevi fiyatlandırmak için kullanabiliriz.

Piyasada alım ve satım yoksa, kullanılacak piyasa enstrümanlarının olmadığı bir senaryo ile karşılaşırız. Bu gibi durumlarda, örneğin, alım ve satımlar için zımni dalgalanmaların olmadığı bir piyasada, egzotik türevi fiyatlandırmak için Black-Scholes modelinin veya geometrik Brownian hareketinin uygun olduğunu düşünebiliriz. Ancak bu durumda Sigma parametresinin kalibrasyonunun yeterli olması gerektiğine dikkat edilmelidir. Çağrılabilirlik gibi gelişmiş özelliklere sahip bir türev için temel alımlar ve satım opsiyonları gibi riskten korunma araçlarına sahip değilsek, bu türevi alıp satmanın tavsiye edilmeyebileceği iddia edilebilir. Bununla birlikte, tamamen teorik bir bakış açısıyla, geometrik Brownian hareketi, sınırlı piyasa bilgisi olan bu tür senaryolarda kullanılabilir.

Piyasada diğer egzotik türevler veya alım satımlar gibi daha fazla araç varsa, egzotik türevi geometrik Brownian hareketi kullanarak fiyatlandırmanın uygun olmadığını anlamak çok önemlidir. Model, yalnızca bir serbest parametre ile ima edilen oynaklık gülümsemesine ve çarpıklığına yeterince iyi kalibre edilemez.

Özetle, bir fiyatlandırma modelinin seçimi her zaman fiyatlandırmayı hedeflediğimiz türev türüne bağlıdır. Bir modelin yeterliliğini yargılamak için piyasa araçlarının mevcudiyetini dikkate almamız gerekir. Piyasa araçları varsa, geometrik Brownian hareketi veya basit Black-Scholes modelleri gibi modeller uygun değildir. Bununla birlikte, fiyatlandırma zımni oynaklıkları için, geometrik Brownian hareketi hala geçerlidir. Ancak egzotik türevleri ve daha karmaşık varlıkları fiyatlandırmak için tercih edilen bir seçenek değildir.

Avantaj ve dezavantajlar açısından, bu modellerin avantajları minimum düzeydedir. Piyasanın pozitif veya negatif varlıklara izin verip vermediğini dikkate alan fiziksel bir temsile izin verirler. Bununla birlikte, model kalibrasyonu için sınırlı serbestlik derecelerine sahiptirler, bu da onları egzotik türevlerin fiyatlandırılması için uygun hale getirmez.

Umarım bu açıklama, hisse senedi süreçlerini ve fiyatlandırma türevlerini modellemek için aritmetik Brown hareketi veya geometrik Brown hareketi kullanmanın avantaj ve dezavantajlarını açıklığa kavuşturur. Bir dahaki sefere görüşürüz! Güle güle.

[MetaQuotes]

Simüle edilmiş bir stok süreci için hangi sağlık kontrollerini gerçekleştirebilirsiniz?

Simüle edilmiş bir stok süreci için hangi sağlık kontrollerini gerçekleştirebilirsiniz?

Hesaplamalı Finans kursuna dayalı Sorular ve Cevaplar oturumuna hoş geldiniz.

Bugünün sorusu, simüle edilmiş bir stokastik süreç için gerçekleştirilebilecek akıl sağlığı kontrollerine odaklanan yedi numara. Bu soru, fiyatlandırma amacıyla ayrıklaştırılmış bir stokastik diferansiyel denklemin simülasyonunu içeren pratik alıştırmalarla ilgilidir. Uygulamanın doğru olduğundan emin olmak ve sonuçların geçerliliği konusunda güven kazanmak için belirli kontrollerin yapılması şarttır.

Bu soruyu ele almak için, gerçekleştirilebilecek birkaç adımı ve kontrolü inceleyelim. İlk olarak, simüle edilen belirli varlık sınıfını dikkate almak önemlidir. Örneğin, bir stok sürecini simüle edersek, iskontolu hisse senedinin Martingale özelliğini takip edip etmediğini değerlendirmek basit bir kontroldür. Vade sonunda hisse senedinin bugüne indirgenmiş beklentisi, hisse senedinin ilk değerine eşit olmalıdır. Gerçekte, simülasyon yollarının sayısı arttıkça veya ızgara boyutu küçüldükçe azalması gereken küçük bir fark olabilir. Bu farkı izlemek ve en aza indirmek simülasyon doğruluğunu geliştirmeye yardımcı olabilir.

Kontrol edilmesi gereken diğer bir husus, fiyatlandırılan türevin basitleştirilip basitleştirilemeyeceğidir. Örneğin, kullanım fiyatı sıfır olan bir alım opsiyonu seçilirse, temelde yukarıda belirtilen ilk çeke iner. Türevin getirisinin uygun şekilde uygulandığının doğrulanması çok önemlidir.

Stabilite bir diğer önemli husustur. Monte Carlo yollarının sayısını artırmanın etkisini ve rastgele tohumları değiştirirken sonuçların kararlılığını değerlendirmeyi içerir. Farklı tohumlara sahip simülasyonlar önemli ölçüde farklı fiyatlar veriyorsa, bu modelde potansiyel bir istikrarsızlık olduğunu gösterir. Kararlılığı sağlamak için sürüklenme düzeltmesi veya Martingale düzeltme terimleri gibi ayarlamalar gerekli olabilir.

Ek olarak, zaman aralıklarının ayrıklaştırma adım boyutunu değiştirirken sonuçların nasıl değiştiğini gözlemlemek değerlidir. Bu, simülasyonun farklı zaman çözünürlüklerine duyarlılığını değerlendirmeye yardımcı olur.

Kritik kontrollerden biri, simüle edilen sürecin piyasa araçlarını geri fiyatlandırıp fiyatlandıramayacağıdır. Model parametreleri, opsiyonlar gibi piyasa araçlarına göre ayarlanmışsa, model fiyatlarının piyasa fiyatlarıyla karşılaştırılması esastır. Fiyatlar önemli ölçüde farklılık gösteriyorsa bu, modelin iyi performans göstermediğini gösterir ve ayarlamalar veya ek kalibrasyon gerektirebilir.

Bunlar, simüle edilmiş stokastik süreçler için gerçekleştirilebilecek temel akıl sağlığı kontrollerinden bazılarıdır. Spesifik kontrollerin, dikkate alınan fiyatlandırma sözleşmesinin türüne bağlı olarak değişebileceğini belirtmekte fayda var. Örneğin, kullanım tarihleri olan opsiyonlar için, bunların temel durum senaryosu olarak Avrupa tipi ödemelere çökmesini sağlamak önemlidir.

Bu kontrollerin gerçekleştirilmesi, simülasyonun doğrulanmasına ve uygulamadaki olası sorunların veya hataların belirlenmesine yardımcı olur.

[MetaQuotes]

Feynman-Kac formülü nedir?

Feynman-Kac formülü nedir?

Hesaplamalı Finans ile ilgili Ciddi Sorular ve Cevaplar oturumuna hoş geldiniz.

Bugünün sorusu, Feynman-Katz formülü ve uygulamasına odaklanan üçüncü Dersten sekiz numara. Feynman-Katz formülü, kısmi diferansiyel denklemler (PDE'ler) ile stokastik süreçler arasında çok önemli bir bağlantı kurar ve rasgele yolların simülasyonu yoluyla belirli PDE'leri çözmek için bir yöntem sağlar. Bu güçlü makine, PDE'leri stokastik süreçlerle birleştirerek karmaşık sorunları çözmemizi sağlıyor.

Formülün kendisi, kısmi diferansiyel denklemin belirli bir biçimiyle ilgilidir. Zaman türevi terimi (dt), sürüklenme terimi (μ), birinci dereceden türev terimi (dX), volatilite terimi (σ²/2) ve ikinci dereceden türev terimi (d²X) olan bir PDE düşünün. PDE ayrıca, V değerinin T zamanında deterministik bir fonksiyon ETA(X) üstlendiği bir terminal koşulunu da içerir. Burada X, bir durum değişkenini temsil eder.

Feynman-Katz teoremi, bu PDE'nin çözümünün, stokastik bir sürecin bir fonksiyonu olarak düşünüldüğünde, T zamanında değerlendirilen deterministik fonksiyon ETA'nın beklentisi olarak ifade edilebileceğini belirtir. X(t) ile gösterilen stokastik süreç şu şekilde tanımlanabilir: dX(t) = μ dt + σ dW(t), burada dW(t) bir Wiener sürecini (Brown hareketi) temsil eder. Kayma terimi μ ve oynaklık terimi σ², PDE'nin katsayıları tarafından belirlenir.

Bir son durumla birlikte dt + μ dX + (σ²/2) d²X = 0 şeklinde bir PDE'miz varsa, çözümü stokastik olan X(t)'de değerlendirilen son koşulun beklentisi olarak ifade edebiliriz. T zamanında işlem

PDE'nin yalnızca ikinci dereceden türev terimini ve bir terminal koşulunu içerdiği basit bir örneği ele alalım. Feynman-Katz teoremini uygulayarak, çözümün bu durumda x² olan ETA fonksiyonunun beklentisi olacağını biliyoruz. Böylece çözüm, X(t)²'nin beklentisi olarak yazılabilir, burada X(t), bazı başlangıç durumlarına sahip ölçekli bir Brownian hareketidir. Beklentinin hesaplanması Sigma²(Tt) + X²'yi verir.

Feynman-Katz formülü, finansta, özellikle fiyatlandırma seçeneklerinde güçlü bir araçtır. Örneğin, Black-Scholes denkleminde, bir fiyatlandırma PDE'sine götüren bir replika portföy ile başlıyoruz. Aynı stratejiyi takip ederek, fiyatlandırma PDE'si, stokastik sürece dayalı nihai ödeme beklentisinin simülasyonu ile zarif bir şekilde ilişkilendirilebilir. Beklenti ve PDE arasındaki bu bağlantı, portföyü çoğaltabileceğimiz, fiyatlandırma PDE'sini türetebileceğimiz ve ardından Monte Carlo yolları veya simüle edilmiş stokastik süreçler yoluyla beklentiyi simüle edebileceğimiz, opsiyon fiyatlandırması için kapsamlı bir çerçeve sağlar.

Feynman-Katz formülünü anlamak ve kullanmak, çeşitli finansal uygulamalarda esastır. PDE'leri çözmek için güçlü bir yöntem sunar ve stokastik süreçler ile kısmi diferansiyel denklemler arasında net bir bağlantı sağlar.

Teşekkürler ve bir dahaki sefere görüşürüz!

[MetaQuotes]

Zımni oynaklık terim yapısı nedir?

Zımni oynaklık terim yapısı nedir?

Hesaplamalı Finans derslerine dayanan Sorular ve Cevaplar oturumuna hoş geldiniz.

Bugünün sorusu, dördüncü Derste işlenen materyalle ilgili olan dokuzuncu soru. Soru şu: "İma edilen volatilite terim yapısı nedir?" Bu soru genellikle, Black-Scholes modeli üzerindeki zamana bağlı oynaklığın etkisini ve zımni oynaklık gülümsemesi veya çarpıklığı oluşturup oluşturamayacağını tartışırken ortaya çıkar. Ne yazık ki, zamana bağlı bir oynaklığın gülümsemeye veya çarpıklığa neden olabileceğini belirten yaygın cevap yanlıştır. Zımni oynaklık terimi yapısını ve bunun Black-Scholes modeliyle bağlantısını inceleyelim.

Zımni oynaklığı anlamak için nasıl hesaplandığını ve Black-Scholes modeli bağlamında anlamını bilmemiz gerekir. Standart Black-Scholes çerçevesinde, bir alım opsiyonunun piyasa fiyatı veriliyken, piyasa fiyatı ile Black-Scholes fiyatı arasındaki farkı sıfır yapan zımni oynaklığı (Sigma_imp) bulmayı amaçlıyoruz. Bu zımni oynaklık, Black-Scholes fiyatlandırma denkleminin ters çevrilmesiyle elde edilir.

Modelden elde edilen opsiyon fiyatları piyasada gözlemlenenlerle karşılaştırıldığında, yalnızca fiyatlara dayalı olarak ima edilen oynaklık gülümsemesinin veya çarpıklığının varlığını belirlemek zordur. Bunun yerine, ima edilen oynaklıklara odaklanmalıyız. Zımni oynaklıklara bakıldığında, piyasa opsiyon fiyatlarının, beklenen kullanım fiyatlarının (k) artması için düştüğünü gözlemliyoruz. Bununla birlikte, ima edilen oynaklıkların davranışı önemli ölçüde değişebilir. Bazı durumlarda düz olabilirken bazı durumlarda eğrilik sergileyebilirler. Oynaklık gülümsemesinin veya çarpıklığının varlığını doğru bir şekilde değerlendirmek için fiyatlardan ziyade ima edilen oynaklıkları incelemek çok önemlidir.

Zımni değişkenlikler, piyasa koşullarına bağlı olarak gülümseme, eğri ve hatta bir hokey sopası şekli dahil olmak üzere çeşitli şekiller alabilir. Farklı piyasa türleri, farklı zımni oynaklık kalıpları sergiler ve buna bağlı olarak, bu kalıpları eşleştirmek için farklı modeller ve kalibrasyon prosedürleri gerekir.

Şimdi, zımni oynaklığın terim yapısını tartışalım. Vade yapısında, kullanım fiyatını sabit tutarken opsiyon vadesini değiştirmeye odaklanıyoruz. Black-Scholes modelinde (sabit bir Sigma'yı sigma(T) ile değiştirerek) zamana bağlı oynaklığı eklersek, ima edilen oynaklık terimi yapısının gülümseme veya çarpıklık yaratmadığını görürüz. Bunun yerine, başabaş opsiyonlar için zımni oynaklıkların zaman içinde nasıl değiştiğini gösterir. Terim yapısı, seçeneklerin vadeleri değiştikçe ima edilen oynaklıkların gelişimini tanımlar. 3B grafikte, başa baş opsiyonlar için, vade aynı olduğu sürece (düz yüzey) zımni volatilitenin sabit kaldığını gözlemliyoruz. Bununla birlikte, opsiyon vadesini değiştirdikçe, zımni oynaklıklar değişir ve zımni oynaklık terim yapısını gösterir.

Black-Scholes modelinde zamana bağlı oynaklığın tanıtılmasının zımni oynaklık gülümsemesi veya çarpıklığı oluşturmadığına dikkat etmek önemlidir. Modelde hala gülümseme veya çarpıklık yok, ancak zaman içinde zımni oynaklıkları açısından paranın başında seçeneklerin kalibrasyonuna izin veriyor. Kitabımda ve Dördüncü Dersimde, zamana bağlı oynaklıkları kullanarak, zamana bağımlılığı Sigma yıldızı olarak bilinen sabit bir Sigma'ya sıkıştırarak opsiyon fiyatlarının (hem alım hem de satım) nasıl temsil edileceğine dair materyaller bulacaksınız. Bu, en uygun fiyat seçenekleriyle ilişkili vade yapısını göz önünde bulundurarak Black-Scholes fiyatlandırma çerçevesini yeniden kullanmanıza olanak tanır.

Sonuç olarak, Black-Scholes modelinde zamana bağlı oynaklık, ima edilen oynaklık gülümsemesi veya çarpıklığı oluşturmaz. Yalnızca başabaş seçeneklerin vade yapısıyla ilişkili zımni oynaklıkları etkiler. Gülümseme veya çarpıklığın varlığını değerlendirmek için her zaman opsiyon fiyatlarından ziyade ima edilen oynaklıkları inceleyin.

Umarım bu açıklama kavramı açıklığa kavuşturur. Bir dahaki sefere görüşürüz. Güle güle ve teşekkürler!

[MetaQuotes]

Black-Scholes modelinin eksiklikleri nelerdir? Black-Scholes modeli neden hala kullanılıyor?

Black-Scholes modelinin eksiklikleri nelerdir? BS modeli neden hala kullanılıyor?

Hesaplamalı Finans kursuna dayalı Sorular ve Cevaplar oturumuna hoş geldiniz.

Bugünün sorusu, dördüncü Dersle ilgili olan 10. soru. Soru, "Black-Scholes modelinin eksiklikleri nelerdir ve neden hala kullanılıyor?"

Bu derste tartışıldığı gibi, Black-Scholes modeli türevlerin fiyatlandırılması için temel bir modeldir. Hisse senedi fiyatını temsil etmek için geometrik Brownian hareketine sahip tek bir stokastik diferansiyel denklemi (SDE) varsayar. Bu basit süreç daha sonra seçenekleri fiyatlandırmak için kullanılır. Ancak, modelin varsayımlarının mevcut piyasa koşulları için yeterli olmadığını öğrendik.

Black-Scholes modelinin en büyük dezavantajı, oynaklığı temsil eden tek bir parametreye, Sigma'ya dayanmasıdır. Bu tek parametre, piyasada gözlenen ima edilen oynaklık gülümsemelerinin ve çarpıklıklarının karmaşıklığını yakalamak için yetersizdir. Modelin sabit faiz oranları varsayımı da gerçekçi değildir, ancak faiz oranları oynaklığa kıyasla opsiyon fiyatlaması üzerinde minimum etkiye sahiptir.

Black-Scholes modelinin diğer bir dezavantajı, geometrik Brownian hareketi tarafından üretilen geri dönüşlerin yeterince kuyruklu olmamasıdır. Bu, çok düşük olasılıklara sahip aşırı olayların yeterince açıklanmadığı ve modeli gerçekçi olmadığı anlamına gelir.

Şimdi, bu eksikliklere rağmen neden hala Black-Scholes modeli kullanılıyor? Cevap çok yönlüdür. Black-Scholes modeli, egzotik türevlerin fiyatlandırılması için uygun olmasa da, Avrupa opsiyonlarının fiyatlandırılması için kullanılabilir. Avrupa opsiyonları daha basit ve daha likit piyasalara sahip, vanilya Avrupa opsiyonlarını kullanarak daha kolay riskten korunmaya izin veriyor. Bu nedenle, mevcut başka piyasa aracı yoksa, egzotik türevleri fiyatlandırmak için Black-Scholes modeli kullanılabilir. Bununla birlikte, egzotik türevleri etkili bir şekilde koruma yeteneğinden yoksun olduğu için bu yaklaşımın riskli olduğunu not etmek önemlidir.

Ek olarak, Black-Scholes modeli, ima edilen oynaklıkların hesaplanmasında yaygın olarak kullanılmaktadır. Örtülü volatiliteler, opsiyon tüccarları için önemli bir araçtır ve Black-Scholes formülü kullanılarak elde edilir. Heston modeli veya sıçramalı modeller gibi daha karmaşık modeller kullanıldığında bile, bu modellerle ilişkili zımni oynaklıklar yine de Black-Scholes formülü kullanılarak hesaplanır. Varlığın seviyesinden bağımsız bir oynaklık ölçüsü sağladıkları ve farklı varlıklar arasında anlamlı risk karşılaştırmasına izin verdikleri için zımni oynaklıklar tercih edilir.

Bu derste, Black-Scholes çerçevesi üzerinde iyileştirmeler sunan stokastik oynaklık modelleri ve yerel oynaklık modelleri gibi Black-Scholes modeline çeşitli alternatifleri araştırdık. Bu alternatifler hakkında daha derinlemesine bir anlayışa ihtiyacınız varsa, dersleri tekrar gözden geçirmenizi tavsiye ederim.

Çok teşekkür ederim ve bir sonraki seansımızı sabırsızlıkla bekliyorum.

[MetaQuotes]

Poisson atlama sürecini dahil edersek Ito'nun tablosu nasıl görünür?

Poisson atlama sürecini dahil edersek Ito'nun tablosu nasıl görünür?

Hesaplamalı Finans ile ilgili Sorular ve Cevaplar oturumuna hoş geldiniz. Bugün, beşinci derste işlenen materyallere dayanan 11 numaralı soruyu tartışacağız. Soru şu: Poisson atlama sürecini dahil ettiğimizde Ethos tablosu nasıl görünüyor?

Başlamak için, Ethos lemmasının Brown hareketini içeren süreçlere uygulanmasını hatırlayalım. Bir sürecin bir fonksiyonunun dinamiklerini bulmak için Taylor açılımını içeren Ethos lemmasını uygulamamız gerektiğini biliyoruz. Brown hareketi için Ethos tablosu dt, dw, dtdw ve dwdw ile terimleri içerir. dt çarpı dw veya dtdw ile çapraz terimlerimiz varsa, simetri nedeniyle sıfır olarak kabul edilirler. Ve dwdw basitçe dt'dir.

Şimdi sadece Brown hareketinin değil, aynı zamanda sürecin dinamikleri arasında bir Poisson sürecinin de yer aldığı durumu ele alalım. Poisson atlama süreci, zamanın her noktasında meydana gelen bir dizi atlama olarak temsil edilebilir. Süreci ayrıklaştırırsak, sonlu bir aralıkta birden çok sıçramamız olabilir. Ancak, son derece küçük aralıklar düşünüldüğünde, yalnızca tek bir sıçrama meydana gelir. Sırasıyla sol el limitini ve sürecin atlamadan hemen önceki değerini temsil etmek için xt- ve xt gösterimini sunuyoruz.

Şimdi G(xt) fonksiyonuna odaklanalım. Ethos lemmasını Poisson atlamalı bir sürecin bir fonksiyonuna uygularsak, bir sürüklenme terimi, bir atlama terimi ve sıçrama nedeniyle G artışını içeren bir ifade elde ederiz. Sürüklenme terimi, Brownian hareketi için Ethos lemmasındakine benzer, ancak yayılma kısmı yoktur. Sıçrama terimi, Poisson sürecine bağlıdır ve sıçrama boyutunun ürününden ve bir sıçramanın meydana gelmesi için gösterge fonksiyonundan oluşur.

Özetlemek gerekirse, bir Poisson atlama süreci için Ethos tablosu, Brownian hareketi için Ethos tablosundaki terimleri ve ayrıca Poisson sürecinin iki artışının çarpımından ortaya çıkan ek bir terimi içerir. Bu ek terim, süreçleri atlamak için Ethos lemmasının uygulanmasında çok önemlidir.

Stokastik süreçlerin fonksiyonlarının dinamiklerini analiz etmek için finansta güçlü bir araç olduğundan, Ethos lemmasını ve onun atlama süreçlerine uygulanmasını anlamak önemlidir. Bu konuyla ilgili daha fazla ayrıntı beşinci derste ve ilgili literatürde bulunabilir. Başka soru sormaktan çekinmeyin. Güle güle!