Ticaret fırsatlarını kaçırıyorsunuz:
- Ücretsiz ticaret uygulamaları
- İşlem kopyalama için 8.000'den fazla sinyal
- Finansal piyasaları keşfetmek için ekonomik haberler
Kayıt
Giriş yap
Gizlilik ve Veri Koruma Politikasını ve MQL5.com Kullanım Şartlarını kabul edersiniz
Hesabınız yoksa, lütfen kaydolun
Wall Street: Hızlı tüccarlar
Wall Street: Hızlı tüccarlar
Pek çok insan, Amerika Birleşik Devletleri'ndeki hisse senedi alım satım işlemlerinin çoğunun artık insanlar tarafından değil, robotik bilgisayarlar tarafından yürütüldüğünden habersizdir. Bu süper bilgisayarlar, göz açıp kapayıncaya kadar binlerce farklı menkul kıymet alıp satma yeteneğine sahiptir. Bilindiği gibi yüksek frekanslı ticaret, Wall Street'te son yıllarda yaygınlaştı ve geçen baharda Dow Jones Industrial Average'ın sadece 15 dakikada 600 puan düşmesiyle mini marketin çökmesinde rol oynadı.
Menkul Kıymetler ve Borsa Komisyonu ve Kongre üyeleri, bilgisayar ticareti yoluyla piyasa manipülasyonunun yararlılığı, potansiyel tehlikeleri ve şüpheleri hakkında zor sorular sormaya başladı. İnsan tüccarlarından makinelere geçiş, bir zamanlar finans dünyasının merkezi olan New York Borsasının manzarasını değiştirdi. Şimdi, alım satım işlemlerinin %30'dan azı borsa katında gerçekleşmekte, geri kalanı ise elektronik platformlar ve alternatif alım satım sistemleri aracılığıyla gerçekleştirilmektedir.
Büyük bankaların ve yüksek frekanslı ticaret şirketlerinin sahip olduğu iki elektronik borsa, BATS ve Direct Edge ortaya çıktı ve şaşırtıcı hızlarda günde bir milyardan fazla hisse ticareti yapıyor. Manoj Narang tarafından yönetilen Tradeworks gibi yüksek frekanslı ticaret firmaları ve quants (kantitatif analistler) adı verilen matematikçiler ve bilim adamlarından oluşan bir ekip bu uygulamaya katılıyor. İşlem başına bir kuruş veya daha az kar elde etmeyi amaçlayarak, saniyenin kesirleri için işlemler gerçekleştirirler. Bu firmalar, gerçek zamanlı verileri analiz etmek ve anlık kararlar almak için bilgisayarlarına programlanmış karmaşık matematiksel algoritmalara güvenirler.
Yüksek frekanslı alım satımın kilit yönlerinden biri, bilgisayarların alım satım yapılan şirketleri anlamamasıdır. Şirketlerin değerini, yönetimlerini veya diğer niteliksel faktörleri bilmiyorlar. Alım satım kararları tamamen niceliksel faktörlere, olasılığa ve istatistiksel analize dayalıdır. Bu yaklaşım, pazardaki uçucu fırsatların yakalanmasına izin verir, ancak temel faktörleri göz ardı eder.
Yüksek frekanslı tüccarlar, hız avantajı elde etmek için süper bilgisayarlara ve altyapıya büyük yatırımlar yapar. Bilgisayarları borsa sunucularına ne kadar yakınsa, kritik piyasa bilgilerini o kadar hızlı alırlar. Birkaç milisaniyelik avantaj bile önemli kazançlar sağlayabilir. Eleştirmenler, yüksek frekanslı tüccarların bu avantajdan ön siparişleri almak, hisse senetlerini manipüle etmek ve herhangi bir gerçek değer katmadan piyasadan para çekmek için yararlandığını iddia ediyor.
Taraftarlar, yüksek frekanslı ticaretin piyasa likiditesini artırdığını, işlem maliyetlerini azalttığını ve hisse senedi marjlarını daralttığını iddia ederken, eleştirmenler bunun adalet ve şeffaflığı baltaladığına inanıyor. Alım satımın yüksek hızlı doğası ve algoritmaların karmaşıklığı, düzenleyicilerin eşit bir oyun alanını izlemesini ve sağlamasını zorlaştırıyor. Dow Jones'un birkaç dakika içinde 600 puan düştüğü 2010'daki "ani çöküş", yüksek frekanslı ticaret ve kontrol eksikliği ile ilişkili potansiyel riskleri ortaya çıkardı.
Düzenleyiciler ve milletvekilleri, yüksek frekanslı ticaretle ilgili endişeleri gidermek için reformlar önermeye başladılar. Menkul Kıymetler ve Borsa Komisyonu, yüksek frekanslı alım satımları izlemek ve belirlemek için önlemler almayı düşünüyor ve aşırı fiyat oynaklığı durumlarında alım satımı durdurmak için devre kesiciler uygulandı. Ancak, piyasanın bütünlüğüne olan güveni yeniden tesis etmek ve sistemin kendilerine karşı hileli olduğunu düşünen ortalama yatırımcılara şeffaflık sağlamak için daha fazla değişikliğe ihtiyaç vardır.
Son yıllarda, yüksek frekanslı tüccarlar faaliyetlerini para birimi ve emtia piyasalarına doğru genişletti ve bu durum, finansal piyasalar üzerindeki etkilerine ilişkin endişeleri daha da artırdı. Teknolojinin evrimi, düzenleyicilerin ayak uydurma kabiliyetini geride bıraktı ve yenilik ile pazar bütünlüğü arasında bir denge kuran reformlar için artan bir çağrı var.
"Mathematical Modeling and Computation in Finance: With Exercises and Python and MATLAB Computer Codes" , yazan CW Oosterlee ve LA Grzelak, World Scientific Publishing, 2019.
"Finansta Matematiksel Modelleme ve Hesaplama: Alıştırmalar ve Python ve MATLAB Bilgisayar Kodları ile" matematik, finans ve bilgisayar bilimlerinin kesişimini araştıran paha biçilmez bir kitaptır. Alanında uzman kişiler tarafından yazılan kitap, Python ve MATLAB gibi popüler programlama dillerini kullanarak finansta matematiksel modelleri anlamak ve uygulamak için kapsamlı bir kılavuz sağlar.
Kitap, okuyuculara, olasılık teorisi, stokastik hesap ve optimizasyon teknikleri dahil olmak üzere finansta matematiksel modellemenin temel kavramlarını tanıtarak başlıyor. Gerçek dünyadaki finansal problemlerin çözümünde sayısal yöntemlerin ve simülasyonun önemini vurgulayarak, modelleme ve hesaplamanın pratik yönlerini vurgular.
Bu kitabın göze çarpan özelliklerinden biri, Python ve MATLAB'de çok sayıda alıştırma ve bilgisayar kodu içermesidir. Bu alıştırmalar, okuyucuların materyalle aktif olarak ilgilenmelerine, kavramları anlamalarını güçlendirmelerine ve programlama becerilerini geliştirmelerine olanak tanır. Alıştırmalar üzerinde çalışarak ve sağlanan kodları uygulayarak okuyucular, finansal analiz için bu programlama dillerini kullanma konusundaki yeterliliklerini geliştirmek ve finanse etmek için matematiksel modelleri uygulamada uygulamalı deneyim kazanabilirler.
Kitap, opsiyon fiyatlandırması, portföy optimizasyonu, risk yönetimi ve varlık tahsisi gibi finansla ilgili çok çeşitli konuları kapsar. Oynaklık modellemesi, faiz oranı modellemesi ve kredi riski modellemesi gibi ileri konuları derinlemesine inceleyerek okuyuculara finansal modellemede kullanılan matematiksel teknikleri kapsamlı bir şekilde anlamalarını sağlar.
Yazarlar, kitap boyunca teorik titizlik ile pratik uygulama arasında bir denge kuruyorlar. Gerçek dünyadan örnekler ve vaka çalışmaları eşliğinde, temel matematiksel kavramlar ve algoritmalar hakkında net açıklamalar sağlarlar. Bu yaklaşım, okuyucuların teorik temelleri kavramasını sağlarken, aynı zamanda bu modellerin pratik finansal sorunları çözmek için nasıl uygulanabileceğine dair fikir edinmelerini sağlar.
Ayrıca kitap, farklı modelleme yaklaşımlarının avantajlarını ve sınırlamalarını vurgulayarak, okuyucuları gerçek dünya senaryolarında modelleri seçerken ve uygularken bilinçli kararlar vermek için gerekli eleştirel düşünme becerileriyle donatıyor.
"Finansta Matematiksel Modelleme ve Hesaplama: Alıştırmalar ve Python ve MATLAB Bilgisayar Kodları ile", finans alanında matematiksel modelleme ve hesaplama yöntemleri konusundaki anlayışlarını derinleştirmek isteyen öğrenciler, araştırmacılar ve uygulayıcılar için mükemmel bir kaynaktır. Teorik açıklamalar, pratik alıştırmalar ve kullanıma hazır bilgisayar kodlarının birleşimi, onu finansal sorunları çözmek için matematiksel teknikleri uygulamakla ilgilenen herkes için vazgeçilmez bir yol arkadaşı yapar.
https://github.com/LechGrzelak/Computational-Finance-Course
Bu ders Hesaplamalı Finans, "Mathematical Modeling and Computation in Finance: With Exercises and Python and MATLAB Computer Codes" kitabına dayanmaktadır.
Hesaplamalı Finans: Ders 1/14 (Varlık Sınıflarına Giriş ve Genel Bakış)
Bu kapsamlı ders, modern finansı anlamak için gerekli olan çok çeşitli konuları kapsayan büyüleyici hesaplamalı finans ve finans mühendisliği alanlarına bir giriş niteliğindedir. Öğretim görevlisi, çeşitli senaryolar altında türevlerin fiyatlandırılması için pratik modeller oluşturmak için kullanılan matematiksel ve hesaplamalı finanstan teorik modellerin önemini vurgular.
Hesaplamalı finans dersinde öğrenciler, pratik finansal yöntemleri anlamak ve uygulamak için çok önemli olan çeşitli konuları derinlemesine inceleyeceklerdir. Eğitmen Leth Lag liderliğindeki kurs, simülasyon ve opsiyon fiyatlandırması için Python kullanarak verimli programlama tekniklerinin uygulanmasını vurgulayacaktır. Bu kapsamlı program finans, kantitatif finans ve finans mühendisliği ile ilgilenen kişiler için tasarlanmıştır. Zımni oynaklıklar, riskten korunma stratejileri ve egzotik türevlerin büyüleyici dünyası gibi temel kavramları kapsayacaktır.Hesaplamalı finans, matematiksel finans ile sayısal yöntemler arasında yer alan disiplinler arası bir alandır. Birincil amacı, programlama becerilerini teorik modellerle birleştirerek doğrudan ekonomik analize uygulanabilecek teknikler geliştirmektir. Finans mühendisliği ise finansal teori, mühendislik yöntemleri, matematiksel araçlar ve programlama uygulamalarını kullanan çok disiplinli bir yaklaşımı kapsar. Finans mühendisleri, türevleri fiyatlandırmak ve karmaşık finansal sözleşmeleri verimli bir şekilde yönetmek için kullanılabilecek matematiksel ve hesaplamalı finansa dayalı pratik modeller oluşturmada kritik bir rol oynar. Bu modeller teorik olarak sağlam ve çeşitli senaryolara uyarlanabilir olmalıdır.
Ders, hisse senetleri, opsiyonlar, faiz oranları, döviz, kredi piyasaları, emtialar, enerji ve kripto para birimleri dahil olmak üzere hesaplamalı finansta ticareti yapılan farklı varlık sınıflarına ışık tutacaktır. Özellikle kripto para birimleri, çeşitli varlık sınıflarına maruz kalma imkanı sunar ve riskten korunma amacıyla kullanılabilir. Her varlık sınıfının, risk kontrolü ve riskten korunma stratejileri için kullanılan kendine özgü sözleşmeleri vardır. Tezgah Üstü (OTC) piyasası, birden çok karşı tarafıyla birlikte anlaşılması gereken ek karmaşıklıklar sunar.
Öğretim görevlisi, farklı özelliklerini ve fiyatlandırma için belirli metodolojilere, modellere ve varsayımlara olan ihtiyacı vurgulayarak kripto para birimlerinin finanstaki rolünü keşfedecektir. Ayrıca faiz oranları, forex, hisse senetleri, emtialar ve kredi temerrüt takasları (CDS) gibi farklı varlık sınıflarının pazar payları incelenecektir. Seçenekler, finansal dünyanın nispeten küçük bir bölümünü temsil ederken, finansal ve hesaplamalı analiz konusunda farklı bir bakış açısı sunar.
Opsiyonlar ve spekülasyon konusu, bireylerin nispeten küçük bir sermaye yatırımı ile bir hisse senedinin gelecekteki yönü hakkında spekülasyon yapmasına izin vererek, opsiyonların hisse senedi satın almaya nasıl bir alternatif sunduğu vurgulanarak kapsamlı bir şekilde tartışılacaktır. Ancak, seçeneklerin bir vadesi vardır ve hisse senedi fiyatı değişmeden kalırsa değer kaybedebilir, bu da zamanlamayı spekülasyonda çok önemli bir faktör haline getirir. Kurs, finansal piyasalara, varlık sınıflarına ve bu karmaşık manzaralarda gezinmede finans mühendislerinin rolüne bir giriş sağlayacaktır. En popüler varlık sınıfı olan hisse senetleri, mülkiyet kavramı ve hisse senedi değerinin şirket performansı ve gelecekteki beklentilerden nasıl etkilendiği vurgulanarak ayrıntılı olarak incelenecektir.
Ders, arz ve talep, rakipler ve şirket performansı gibi faktörlerden etkilenen piyasadaki hisse senedi davranışının stokastik doğasına ışık tutacak. Bir hisse senedinin beklenen değeri, gerçek değerinden farklı olabilir ve bu da oynaklığa yol açar. Oynaklık, hisse senedi fiyatlarında gelecekteki dalgalanmaları belirlediği için modelleme ve fiyatlama seçeneklerinde çok önemli bir unsurdur. Ek olarak, ders iki tür yatırımcı arasında ayrım yapacaktır: temettü getirileriyle ilgilenenler ve büyüme fırsatları arayanlar.
Temettü kavramı ve temettü yatırımı tanıtılacak ve şirketler hissedarlarına düzenli olarak ödeme dağıtırken temettülerin istikrarlı ve kesin bir yatırımı nasıl sağladığı vurgulanacaktır. Bununla birlikte, temettü ödemeleri değişiklik gösterebilir ve yüksek temettü getirileri, bir şirketin yatırımlarında artan riskin göstergesi olabilir. Ders, faiz oranlarına ve para piyasalarına kısaca değinecek ve bu konuların bir takip kursunda daha kapsamlı bir şekilde ele alınacağını kabul edecektir.
Enflasyon ve faiz oranları üzerindeki etkisi tartışılacak ve merkez bankalarının faiz oranlarını ayarlayarak enflasyonu nasıl kontrol ettiği açıklanacaktır. Ders, faiz oranlarını düşürmenin kısa vadeli faydalarını ve uzun vadeli etkilerini ve ayrıca modern para teorisi veya merkez bankaları tarafından varlık alımları gibi alternatif stratejileri keşfedecek. Ayrıca piyasa katılımcıları arasındaki belirsizliğin faiz oranlarının belirlenmesindeki rolü ve enflasyonun vatandaşlar üzerindeki gizli vergi etkisi açıklanacaktır. Ders, kredi vermede risk yönetimi konusuna değinilerek sona erecektir. Öğretim görevlisi, borçluların iflas etmesi veya kredileri temerrüde düşürmesi gibi borç verenlerin karşılaştığı potansiyel riskleri vurgulayacaktır. Bu riskleri azaltmak için, borç verenler genellikle herhangi bir potansiyel zararın yeterince tazmin edilmesini sağlamak için bir risk primi talep ederler.
İleriye dönük olarak, konuşmacı faiz oranlarına ve bunların finanstaki önemine odaklanacak. Faiz oranlarının tasarruf hesapları, ipotek ve krediler dahil olmak üzere çeşitli finansal araçları nasıl etkilediğini açıklayacaklar. Bileşik faiz kavramı tanıtılacak ve enflasyon gibi faktörler nedeniyle bugün bir para biriminin gelecekteki aynı birimden daha değerli olduğu fikri vurgulanacaktır. Basit ve bileşik faiz oranlarını hesaplamanın iki ana yöntemi, farklılıkları ve pratik örnekleri ayrıntılı bir şekilde açıklanarak tartışılacaktır.
Konuşmacı daha sonra, özellikle bir yıllık vadeye sahip yatırımlar için bileşik faiz oranlarını daha derinlemesine inceleyecek. Bileşik oranların matematiksel modellemesini, bir para biriminin faiz oranının gücüne yükseltilmiş e ile çarpıldığı üstel işlevi kullanarak açıklayacaklar. Ayrıca konuşmacı, bu matematiksel temsilin tasarruf hesaplarını yöneten diferansiyel denklemlerle nasıl hizalandığını ve gelecekteki nakit akışlarını iskonto etmek için kullanılan çarpma faktörünün belirlenmesine yol açtığını açıklayacaktır. Bununla birlikte, konuşmacı, gerçekte faiz oranlarının sabit olmadığını, vadeler gibi farklı enstrümanların ve Euro ve USD gibi para birimlerinin fiyatlarının gösterdiği gibi zaman içinde değiştiğini not edecektir.
Euro bölgesi ve dolar için faiz oranlarını ve piyasa likiditesini temsil eden grafikler tartışılacaktır. Özellikle, Avro Bölgesi'nin mevcut durumu, 30 yıla kadar tüm vadelerde negatif getiriler ortaya koyuyor, bu da Avro Bölgesi içinde devlet tahvillerine yatırım yapmanın para kaybına yol açabileceğini ima ediyor. Konuşmacı, bireylerin Euro'yu dolar ile değiştirmeyi ve daha yüksek getiri sundukları için ABD tahvillerine yatırım yapmayı tercih edebileceklerini öne sürecek. Bununla birlikte, bu yaklaşım, döviz kuru dalgalanmalarından kaynaklanan potansiyel kayıplar da dahil olmak üzere riskler taşımaktadır. Konuşmacı, faiz oranlarının zamana bağlı olduğunu ve piyasa dinamiklerine tabi olduğunu vurgulayacaktır.
Öğretim görevlisi, tahvil satın alma kavramına ışık tutacak ve tahvil alıcılarının genellikle tahvilin gerçek değerinden daha fazlasını ödediğini vurgulayacaktır. Sonuç olarak, tahvillere yatırılan paranın değeri zamanla değer kaybedebilir ve enflasyon yatırımın değerini aşındırabilir. Tahvil piyasasındaki önemli rollerinin altını çizerek, emeklilik fonları ve merkez bankaları gibi büyük tahvil alıcılarından bahsedilecektir. Ayrıca öğretim üyesi, finansal fiyatlardaki zaman içindeki değişimi ölçen oynaklık kavramına değinecektir. Volatilite, varyans gibi istatistiksel ölçümler kullanılarak hesaplanır ve bir piyasanın veya menkul kıymetin dalgalanma eğilimine ilişkin içgörü sağlayarak belirsizlik ve risk getirir.
Kurs daha sonra dikkatini hesaplamalı finansta iki önemli kavram olan varlık getirileri ve volatiliteye kaydıracaktır. Varlık getirileri, bir menkul kıymetin belirli bir zaman dilimindeki kazanç veya kayıplarını ifade ederken, volatilite bu getirilerin varyansını ölçer. Oldukça değişken bir piyasa, kısa sürede önemli fiyat dalgalanmalarına işaret eder ve bu da artan belirsizlik ve riskle sonuçlanır. Piyasa belirsizliğini ölçen bir araç olan VIX endeksi tanıtılacak. Paranın tükenmesi veya satma opsiyonlarından yararlanır ve yatırımcılar tarafından piyasa değerinin düşmesi durumunda sermayelerini korumak için yaygın olarak kullanılır. Uygulamada zorlayıcı olabilecekleri için zamanlamanın ve maruz kalma sürelerini tahmin etmenin önemi vurgulanacaktır.
Eğitmen, VIX endeksi de dahil olmak üzere çeşitli endekslerin volatilitesini analiz etmenin inceliklerini tartışacaktır. Piyasa koşulları ve dalgalanmalar nedeniyle oynaklığın matematiksel olarak modellenmesindeki zorlukları kabul edeceklerdir. Ayrıca, volatiliteye dayalı türev fiyatlama için temel yapı taşları olarak hizmet eden Avrupa opsiyonları tanıtılacaktır. Öğretim görevlisi, alım opsiyonları ile satım opsiyonları arasında net bir ayrım yapacak ve alım opsiyonlarının sahibine önceden belirlenmiş bir fiyat ve tarihte bir varlık alma hakkı verdiğini, satım opsiyonlarının ise sahibine bir varlığı önceden belirlenmiş bir fiyattan satma hakkı verdiğini açıklayacaktır. ve tarih, esasen sigorta görevi görür.
Oluşturulan seçeneklerin temeli ile öğretim görevlisi, farklı varlık sınıfları içindeki seçeneklere genel bir bakış sunacaktır. İki temel seçenek tipini vurgulayacaklar: alım opsiyonları ve satım opsiyonları. Alım opsiyonunda alıcı, dayanak varlığı belirli bir vade ve kullanım fiyatı üzerinden yazara satma hakkına sahiptir. Bu, vade sonunda, alıcı opsiyonu kullanmayı seçerse yazarın hisse senedini kullanım fiyatından satın almak zorunda olduğu anlamına gelir. Öte yandan, bir satım opsiyonu, alıcıya dayanak varlığı belirli bir vade ve kullanım fiyatı üzerinden yazara satma hakkı verir. Vade sonunda, alıcı opsiyonu kullanırsa, yazar hisse senedini belirtilen kullanım fiyatından satın almalıdır.
Opsiyonların potansiyel kârlılığını göstermek için öğretim görevlisi, biri alım opsiyonları, diğeri ise satım opsiyonları için olmak üzere iki grafik gösterim sunar. Bu grafikler, dayanak hisse senedinin değerine bağlı olarak potansiyel kar veya zararı gösterir. İzleyiciler, grafikleri inceleyerek, hisse senedi değerindeki değişikliklerin seçeneklerin karlılığını nasıl etkileyebileceği konusunda fikir edinebilir.
Kurs boyunca eğitmen, türevlerin modellenmesi, verimli programlama uygulaması ve Python'un simülasyon ve opsiyon fiyatlandırması için kullanımı dahil olmak üzere hesaplamalı finansla ilgili ek ileri konuları keşfedecektir. Oturumlar sırasında canlı program yapacaklar ve sonuçları izleyicilerle işbirliği içinde analiz ederek uygulamalı deneyim ve pratik içgörüler sağlayacaklar.
Kurs özellikle finans, kantitatif finans ve finans mühendisliği ile ilgilenen kişiler için tasarlanmıştır. Gerçek dünyadaki finansal sorunların üstesinden gelmek için gereken disiplinler arası bilgi ve becerileri sunarak, matematiksel finans ile sayısal yöntemler arasındaki boşluğu kapatmayı amaçlamaktadır. Zımni oynaklıklar, riskten korunma stratejileri ve egzotik türevler kavramları da ele alınarak, hesaplamalı finans ve finans endüstrisindeki uygulamaları hakkında kapsamlı bir anlayış sağlanır.
Kursun sonunda katılımcılar, hesaplamalı finans, finans mühendisliği ve sayısal yöntemlerin pratik uygulamasında sağlam bir temel kazanmış olacaklardır. Türevleri fiyatlandırmak, riskleri yönetmek ve finansal verileri analiz etmek için modeller geliştirmek ve uygulamak için araçlar ve bilgi ile donatılacaklar. Bu kurs, finans, kantitatif analiz veya finans mühendisliği alanlarında kariyer yapmak isteyenler için bir basamak taşı görevi görerek, onları bilinçli kararlar alma ve sürekli gelişen hesaplamalı finans alanına katkıda bulunma konusunda güçlendirir.
Hesaplamalı Finans: Ders 2/14 (Hisse Senedi, Opsiyonlar ve Stokastik)
Hesaplamalı Finans: Ders 2/14 (Hisse Senedi, Opsiyonlar ve Stokastik)
Eğitmen, ticaret güvenini, riskten korunmayı ve finansta matematiksel modellerin gerekliliğini anlamanın önemini vurgulayarak kursa genel bir bakış sunarak başlar. Put opsiyonlarının fiyatlandırılması konusuna giriyorlar ve riskten korunma kavramını açıklıyorlar. Stokastik diferansiyel denklemleri çözmek için bir araç olarak Ito'nun önermesinin tanıtılmasıyla stokastik süreçler ve varlık fiyatı modellemesi de ele alınmaktadır.
Eğitmen, bu kavramların pratik uygulamasını göstermek için, bir yatırımcının yatırımını potansiyel hisse senedi değerindeki düşüşten korumaya çalıştığı bir eğitim stratejisi örneği sunar. En kötü senaryoda minimum miktarda para sağlamak için satım opsiyonları şeklinde sigorta satın almayı öneriyorlar.
Opsiyon ticaretine geçerek öğretim üyesi, hisse senedi fiyatlarındaki aşağı yönlü hareketlere karşı koruma sağlamak için satım opsiyonlarının kullanımına odaklanır. Bununla birlikte, Tesla örneğinde olduğu gibi, özellikle hisse senedinin oynaklığı yüksek olduğunda, satma opsiyonları satın almanın pahalı olabileceğini belirtiyorlar. Opsiyon maliyetlerini azaltmak için kullanım fiyatı düşürülebilir, ancak bu, hisse senedi için daha düşük bir fiyatı kabul etmek anlamına gelir. Öğretim görevlisi, vade ve kullanım fiyatına göre kategorize edilmiş, piyasada mevcut farklı türde seçenekleri gösteren Reuters'ten bir ekran görüntüsü sağlar. Alım ve satım opsiyonları için kullanım fiyatı ile opsiyon fiyatları arasındaki ilişkiyi de açıklarlar.
Zımni oynaklık, piyasa belirsizliğinin bir ölçüsü olarak tanıtıldı. Öğretim görevlisi, daha düşük kullanım fiyatlarının daha yüksek zımni oynaklıkla ilişkili olduğunu açıklıyor. Bir seçeneğin dayanak varlığa olan değer bağımlılığını ölçen Delta da tanıtıldı. Video daha sonra riskten korunma kavramını ve risksiz bir portföy elde etmek için bir oranın nasıl kurulabileceğini, ancak hisse senedinin değeri artmazsa potansiyel olarak kazançları sınırlandırabileceğini araştırıyor. Kısa vadeli yatırımlar için uygunluğunu vurgulayarak, ancak yüksek oynaklık dönemlerinde potansiyel maliyetine dikkat çekerek, opsiyonlarla korunma tartışılmıştır.
Opsiyon ticareti, bir riskten korunma ve risk azaltma aracı olarak daha fazla araştırılmaktadır. Öğretim görevlisi, uzun vadeli yatırımlar için maliyetli olabileceğinden, seçeneklerin belirli bir vadeye sahip kısa vadeli yatırımlar için daha cazip olduğunu öne sürüyor. Satış opsiyonlarının büyük bir hisse senedi portföyüne sahip yatırımcılar için riski azaltmaya nasıl yardımcı olabileceği vurgulanarak çağrılarla korunma kavramı tanıtılır. Ancak, çok fazla çağrı satmamak için dikkatli olunması tavsiye edilir çünkü bu, potansiyel olumlu tarafı kısıtlayabilir ve her zaman belirli bir derecede risk taşır.
Video daha sonra emtiaları inceliyor ve bunların öngörülemeyen ancak genellikle mevsimsel fiyat kalıpları nedeniyle enflasyona karşı koruma olarak kullanılan ham maddeler olduğunu açıklıyor. Emtia ticareti, öncelikle, gelecekteki bir tarihte emtia almak veya satmak için anlaşmaların yapıldığı vadeli işlem piyasasında gerçekleştirilir. Elektrik piyasaları ile diğer emtialar arasındaki fark vurgulanmıştır; elektriğin tam olarak depolanamaması ve türev öngörülebilirliği ve değeri üzerindeki etkisi nedeniyle benzersiz zorluklar ortaya çıkarmaktadır.
Öğretim görevlisi, genellikle döviz piyasası olarak adlandırılan bir varlık sınıfı olarak döviz ticaretini tartışmaya devam ediyor. Belirli bir döviz kurunun alışılagelmiş alış veya satışından farklı olarak, bireyler para birimleri arasında belirli miktarlarda para alışverişinde bulunurlar. Öğretim görevlisi, ABD dolarının temel para birimi ve rezerv para birimi olarak rolünü vurgular. Ayrıca, Merkez Bankalarının para birimlerini güçlendirmek veya zayıflatmak için döviz kurlarını manipüle etmelerine de değiniyorlar. Ek olarak, uluslararası ticarette kur risklerinden korunmak için döviz türevlerinin küçük bir uygulamasından bahsedilmektedir.
Konuşmacı, bankaların ve finans kurumlarının yatırım belirsizliklerini yönetmek için dalgalanan döviz kurlarına karşı nasıl sigorta alıp satabileceklerini açıklıyor. Farklı ülkelerde yatırım yapmak, değişen para birimi güçleri ve para politikaları nedeniyle belirsizlikler getirebilir ve belirsiz getirilere yol açabilir. Hesaplamalı finans, belirsizlikleri modelleyerek ve çeşitli faktörleri göz önünde bulundurarak bu tür yatırımlarla ilişkili risklerin yönetilmesinde ve hesaplanmasında çok önemli bir rol oynar. Konuşmacı ayrıca, bitcoinlerin döviz kurları olarak kabul edilebileceğini belirtiyor ve ABD dolarına karşı değişim yoluyla belirlenen değeri olan düzenlenmiş bir emtia olarak hibrit doğalarını tartışıyor. Bitcoinlerin oynaklığı, gelecekteki değerlerini tahmin etmeyi zorlaştırıyor.
Ayrıca konuşmacı, opsiyon fiyatlandırmasında temel bir ilke olan riskten bağımsız fiyatlandırma kavramını araştırıyor. Risk-nötr fiyatlandırma, tamamen etkin bir piyasada, bir seçeneğin beklenen getirisinin risksiz orana eşit olması gerektiğini varsayar. Bu yaklaşım, seçeneğin beklenen getirisinin risksiz oranda iskonto edildiği, riskten bağımsız bir ölçüme dayalı olarak farklı sonuçların olasılıklarını göz önünde bulundurarak fiyatlandırma sürecini basitleştirir.
Konuşmacı daha sonra fiyatlandırma seçenekleri için yaygın olarak kullanılan bir matematiksel model olan Black-Scholes-Merton (BSM) modelini tanıtır. BSM modeli, mevcut hisse senedi fiyatı, kullanım fiyatı, sona erme süresi, risksiz faiz oranı ve dayanak varlığın oynaklığı gibi çeşitli faktörleri içerir. Dayanak varlığın geometrik Brown hareketini izlediğini ve piyasanın etkin olduğunu varsayar.
Konuşmacı, bir Avrupa alım veya satım opsiyonunun değerini hesaplama formülü de dahil olmak üzere BSM modelinin temel bileşenlerini açıklıyor. Daha büyük fiyat dalgalanmaları potansiyeli nedeniyle daha yüksek oynaklık bir seçeneğin değerini artırdığından, opsiyon fiyatlamasında oynaklığın önemini vurgularlar. Konuşmacı ayrıca, piyasanın opsiyon fiyatlarının ima ettiği gelecekteki oynaklık beklentisi olan zımni oynaklığın rolünden de bahsediyor.
Daha sonra ders, dayanak varlıkta nötr bir pozisyonu koruyarak riski en aza indirmek için kullanılan bir strateji olan delta riskinden korunma kavramını derinlemesine inceler. Delta, bir opsiyonun fiyatının dayanak varlığın fiyatındaki değişikliklere olan duyarlılığını ölçer. Bir yatırımcı, dayanak varlıkta tutulan hisse sayısını ayarlayarak, fiyat hareketlerinden daha az etkilenen delta nötr bir portföy oluşturabilir.
Konuşmacı, BSM modelini kullanarak delta riskten korunma sürecini açıklıyor ve riski nasıl etkili bir şekilde azaltabileceğini gösteriyor. Dayanak varlığın fiyatı değiştikçe korunmanın sürekli olarak ayarlandığı dinamik korunma kavramını tartışıyorlar. Bu, portföyün delta nötr kalmasını sağlar ve piyasa dalgalanmalarına maruz kalmayı en aza indirir.
Ders, delta riskten korunmaya ek olarak, gama riskten korunma ve vega riskten korunma gibi diğer risk yönetimi tekniklerini de kapsar. Gama, delta değişim oranını ölçerken, vega bir opsiyon fiyatının zımni oynaklıktaki değişikliklere duyarlılığını ölçer. Bu teknikler, yatırımcıların pozisyonlarını değişen piyasa koşullarına ve risklere göre yönetmelerine ve ayarlamalarına olanak tanır.
Dersin sonuna doğru, konuşmacı BSM modelinin sınırlamalarını ve varsayımlarını vurgular. Gerçek dünya piyasalarının, işlem maliyetlerinin varlığı, likidite kısıtlamaları ve piyasa sürtüşmelerinin etkisi gibi modelin varsayımlarından sapabileceğini kabul ediyorlar. Konuşmacı ihtiyatlı bir yaklaşımı teşvik ediyor ve opsiyon fiyatlandırma modelleriyle ilgili sınırlamaları ve belirsizlikleri anlamanın önemini vurguluyor.
Genel olarak ders, ticaret güveni, riskten korunma stratejileri, opsiyon fiyatlandırma modelleri ve risk yönetimi tekniklerine kapsamlı bir genel bakış sunar. Öğrencileri finansal piyasaların karmaşık dünyasında gezinmek ve ticaret ve yatırım faaliyetlerinde bilinçli kararlar almak için gerekli bilgi ve araçlarla donatır.
Hesaplamalı Finans: Ders 3/14 (Python'da Opsiyon Fiyatlandırması ve Simülasyon)
Hesaplamalı Finans: Ders 3/14 (Python'da Opsiyon Fiyatlandırması ve Simülasyon)
Derste, eğitmen Python'da hisse senedi yolu simülasyonunu derinlemesine inceler ve fiyatlandırma seçenekleri için Black-Scholes modelini araştırır. Opsiyonlar için arbitrajsız fiyat türetmeye yönelik iki yaklaşımı, yani riskten korunma ve martingalleri tartışıyorlar. Konuşmacı, fiyatlandırma çerçevesinde kısmi diferansiyel denklemler (PDE'ler) ile Monte Carlo simülasyonu arasındaki bağlantıyı vurgulayarak martingallerin nasıl programlanacağını ve simüle edileceğini gösterir.
Euler ayrıklaştırma yöntemini kullanarak konuşmacı, stokastik süreçlerin nasıl simüle edileceğini ve grafiklerinin nasıl oluşturulacağını açıklar. Basit bir süreçle başlarlar ve S'den X'e, yani S'nin logaritmasına geçmek için Ito'nun lemmasını kullanırlar. Öğretim görevlisi daha sonra Euler ayrıklaştırma yöntemini tanıtır ve Python'daki uygulamasını gösterir. Bu yöntem, sürekli fonksiyonun ayrıklaştırılmasını ve hem sürüklenme hem de Brownian hareketi için artışların simüle edilmesini içerir, bu da simüle edilmiş yolların grafikleriyle sonuçlanır.
Hesaplamalı bir bakış açısıyla, konuşmacı opsiyon fiyatlandırma modelleri için yolların simülasyonunu tartışıyor. Her yolu ayrı ayrı simüle etmek yerine, zaman dilimleme gerçekleştirmenin ve her satırın belirli bir yolu temsil ettiği bir matris oluşturmanın verimliliğini açıklıyorlar. Satır sayısı yol sayısına, sütun sayısı ise zaman adımlarının sayısına karşılık gelir. Konuşmacı, standart normal rasgele değişkeni kullanarak ayrıklaştırma sürecinin uygulanmasını açıklar ve daha iyi yakınsama için standardizasyonun önemini vurgular.
Ders ayrıca Python kullanılarak geometrik Brownian hareketi için yolların simülasyonunu da kapsar. Konuşmacı, kararlı simülasyonlar için rastgele bir tohumun nasıl düzeltileceğini gösteriyor ve varlık fiyatlarını modellemek için mu ve sigma gibi değişkenler ve kaymalı stokastik bir diferansiyel denklem içeren Black-Scholes modelini tanıtıyor. Konuşmacı, Black-Scholes modelinin finans sektöründe, özellikle hisse senedi fiyatlama seçeneklerinde hala yaygın olarak kullanıldığının altını çiziyor. Farklı sonuç olasılıklarına dayalı fiyatlandırma seçeneklerine yardımcı olan gerçek dünya ölçüsü ve riskten bağımsız ölçü kavramlarını tartışırlar.
Ayrıca ders, Python'da opsiyon fiyatlandırması ve simülasyonunu araştırıyor. Konuşmacı, arbitraj veya risksiz koşullar varsayılmadan geçmiş verilere dayalı olarak tahmin edilen gerçek dünya ölçüsü ile belirli koşulların sağlanmasını gerektiren risksiz ölçü arasında ayrım yapar. Bir hisse senedinde sürekli alım satımı ve altta yatan hisse senedi hareketini yakalamak için opsiyon pozisyonunu ayarlamayı içeren bir alım satım stratejisi sunarlar. Konuşmacı, portföyün dinamiklerini Ito'nun lemmasını kullanarak açıklar ve bu yöntemle seçenek değerlerinin stokastik doğasını türetir.
Konuşmacı ayrıca, Brownian hareketinden bağımsız bir riskten korunma portföyü oluşturma tekniklerini de araştırıyor. Brownian hareketini içeren terimleri geçersiz kılan ve delta-nötr bir portföy sağlayan bir delta seçmeyi tartışıyorlar. Konuşmacı, bir tasarruf hesabıyla aynı getiriyi sağlayan portföyün önemini vurgular ve para ayar hesapları kavramını tanıtır.
Ayrıca ders, Black-Scholes modelini kullanarak opsiyon değerlemesi için kısmi diferansiyel denklemlerin (PDE'ler) türetilmesini ele alır. Ortaya çıkan PDE, bir seçeneğin gerçeğe uygun değerini belirleyen sınır koşullarına sahip ikinci dereceden bir türevdir. Konuşmacı, Black-Scholes modelinin opsiyon fiyatlandırmasının, kalibrasyondan veya tarihsel verilerden elde edilebilen mu kayma parametresine önemli ölçüde bağlı olmadığını vurgular. Ancak, riskten korunma için işlem maliyetleri bu modelde dikkate alınmaz.
Ders, Black-Scholes modeli ve opsiyon fiyatlandırması içindeki çeşitli önemli kavramları kapsar. Modelin uygulanması için risksiz bir senaryoya yol açan hiçbir arbitraj fırsatı olmadığı varsayımını tartışır. Konuşmacı, delta riskinden korunma kavramını ve bir portföyün en büyük rastgele bileşenini nasıl ortadan kaldırdığını açıklıyor. Ek olarak, konuşmacı gama'yı deltanın davranışının bir ölçüsü olarak tanıtıyor ve modeldeki her parametrenin korunabileceğini vurguluyor. Son olarak ders, bir seçeneğin değerini belirleyen zaman, kullanım, oynaklık ve piyasayla ilgili parametreler gibi faktörleri araştırıyor.
Derste, konuşmacı Black-Scholes modelini ve onun opsiyon fiyatlamasındaki uygulamasını daha fazla araştırıyor. Sürekli oynaklık varsayımı ve işlem maliyetlerinin yokluğu dahil olmak üzere modelin varsayımlarını ve sınırlamalarını tartışırlar. Bu sınırlamalara rağmen, Black-Scholes modeli, basitliği ve Avrupa alım ve satım opsiyonlarını fiyatlandırmadaki etkinliği nedeniyle finans endüstrisinde yaygın olarak kullanılmaya devam etmektedir.
Konuşmacı, piyasanın mevcut opsiyon fiyatlarından türetilen gelecekteki oynaklık beklentisi olan zımni oynaklık kavramını tanıtıyor. Zımni oynaklık, seçeneklerin fiyatlandırılmasını etkilediği için Black-Scholes modelinde çok önemli bir parametredir. Konuşmacı, modeli kullanarak piyasa verilerinden ima edilen volatilitenin nasıl elde edilebileceğini açıklıyor ve bunun opsiyon ticareti stratejilerindeki önemini tartışıyor.
Ders, delta riskten korunma ve gama ticareti gibi çeşitli opsiyon ticareti stratejilerini derinlemesine inceliyor. Delta riskten korunma, dayanak varlığın fiyatındaki değişikliklerle ilgili olarak nötr bir pozisyonu korumak için portföy kompozisyonunun sürekli olarak ayarlanmasını içerir. Gama ticareti, deltanın dayanak varlığın fiyatına göre nasıl değiştiğini ölçen gama değişikliklerinden yararlanmaya odaklanır. Bu stratejiler, opsiyon ticaretinde riski yönetmeyi ve karlılığı en üst düzeye çıkarmayı amaçlar.
Konuşmacı ayrıca opsiyon fiyatlarını etkileyen zamana bağlı azalma (teta), faiz oranları (rho) ve temettü getirisi gibi diğer önemli faktörlere de değiniyor. Bu faktörlerin opsiyon fiyatlandırmasını nasıl etkilediğini ve tacirlerin bilinçli kararlar almak için bunları nasıl kullanabileceğini açıklarlar.
Ders boyunca, çeşitli opsiyon fiyatlandırma modellerinin ve ticaret stratejilerinin uygulanmasını göstermek için Python programlamasından yararlanılır. Konuşmacı, kod örnekleri sağlar ve hesaplamalar ve simülasyonlar gerçekleştirmek için kitaplıkların ve işlevlerin nasıl kullanılacağını açıklar.
Özetle ders, Black-Scholes modelini ve ilgili kavramları kullanarak opsiyon fiyatlandırması ve simülasyonuna kapsamlı bir genel bakış sunar. Python programlamasında bu kavramların pratik uygulamasını vurgulayarak niceliksel finans ve opsiyon ticareti ile ilgilenen bireyler için değerli bir kaynak haline getirir.
Hesaplamalı Finans: Ders 4/14 (Zımni Oynaklık)
Hesaplamalı Finans: Ders 4/14 (Zımni Oynaklık)
Hesaplamalı finans üzerine olan bu kapsamlı derste, zımni oynaklık kavramı, opsiyon fiyatlandırma hesaplamalarındaki önemine ışık tutarak merkez sahneye çıkıyor. Black-Scholes modeli, zımni oynaklığın hesaplanması için bir temel görevi görürken, sınırlamaları ve verimsizlikleri gerektiği gibi vurgulanmıştır. Ders, özellikle Newton-Raphson yöntemi gibi yinelemeli süreçler olmak üzere, ima edilen volatiliteyi hesaplamak için çeşitli metodolojileri derinlemesine inceler. Ek olarak, öğretim görevlisi, opsiyon fiyatlarının modellenmesiyle ilgili zorlukları araştırır ve piyasa beklentilerini yansıtmada zımni oynaklıkların rolünün altını çizer. Ders boyunca, opsiyon fiyatlamasındaki oynaklığı anlamanın ve etkili riskten korunma portföyleri oluşturmanın hayati önemi ana tema olmaya devam ediyor.
Ders, opsiyon fiyatları ile zımni oynaklık arasındaki ilişkiye odaklanarak ve parasız likit satış ve alımlarına özel bir vurgu yaparak keşfini genişletiyor. Zamana bağlı oynaklık parametrelerini ve zamana bağlılığın ima edilen oynaklık gülüşü üzerindeki etkisini kapsayan farklı ima edilen oynaklık çarpıklığı türlerini inceler. Ayrıca ders, Black-Scholes modelinin sınırlamalarını ve yerel oynaklık modelleri, atlama modelleri ve stokastik oynaklık modelleri dahil olmak üzere oynaklık modellerini ele almaya yönelik alternatif yaklaşımları derinlemesine inceler. Opsiyon vadesinin oynaklık üzerindeki etkisi de, daha kısa vade seçeneklerinin, gülümseme etkisinin daha az belirgin olduğu daha uzun vadelere kıyasla para seviyesi etrafında daha yoğun bir dağılım sergilemesi ile açıklanmaktadır.
Profesör, önceki bölümlerde ele alınan, özellikle opsiyon fiyatlandırması ve oynaklık modellemesi ile ilgili temel kavramları özetleyerek başlar. İma edilen oynaklık tanıtılır, piyasa verilerinden hesaplaması ve belirsizliği ölçmedeki rolü vurgulanır. Örtülü volatiliteyi hesaplamak için algoritma ayrıntılı olarak tartışılmaktadır. Ayrıca, Black-Scholes modelinin sınırlamaları ve etkinlikleri, zamana bağlı oynaklık parametrelerini dahil etme ve ima edilen oynaklık yüzeyleri oluşturma gibi uzantılarla birlikte ele alınmaktadır. Ders ayrıca yalnızca Black-Scholes modeline güvenmenin dezavantajlarına da değiniyor ve yerel oynaklık ve stokastik oynaklık gibi alternatif modelleri tanıtıyor. Koşullu alacakların fiyatlandırılması için uygun bir model belirleme ihtiyacına ve fiyatlandırma kısmi diferansiyel denklemine (PDE) ulaşmak için opsiyonlardan ve hisse senetlerinden oluşan bir riskten korunma portföyü oluşturmanın önemine vurgu yapılır.
Konuşmacı, kısmi diferansiyel denklemleri çözmede beklentilerin kullanımını, özellikle de deterministik bir faiz oranıyla uğraşırken ve beklentileri riskten bağımsız ölçü altında almanın gerekliliğini keşfetmeye devam ediyor. Avrupa alış ve satış opsiyonları için fiyatlandırma denklemi, model parametrelerine bağlı olarak d1 noktalarında değerlendirilen ilk hisse senedi normal kümülatif dağılım fonksiyonuna (CDF) ve vadeye kalan süre boyunca faiz oranını içeren bir üste dayanarak sunulmaktadır. Ders, bu formülün Excel'de kolayca uygulanabileceğini açıklar.
Daha sonra öğretim görevlisi, opsiyon fiyatlarını tahmin etmek için bir araç görevi gören Black-Scholes modeli için gerekli parametreleri detaylandırır. Bu parametreler, piyasa fiyatları kullanılarak tahmin edilmesi gereken vadeye kalan süre, kullanım, faiz oranı, mevcut hisse senedi değeri ve oynaklık parametresi sigma'yı kapsar. Öğretim görevlisi, opsiyon fiyatı ile oynaklık arasındaki bire bir yazışmayı vurgulayarak, oynaklıktaki bir artışın opsiyon fiyatında buna karşılık gelen bir artış anlamına geldiğini ve bunun tersinin de geçerli olduğunu vurgular. Daha sonra ima edilen oynaklık kavramı tartışılmakta, orta fiyata dayalı hesaplaması ve Black-Scholes modeli içindeki önemi vurgulanmaktadır.
Ders, birden fazla parametreye sahip modellerden ima edilen oynaklığın elde edilmesini daha ayrıntılı olarak ele alır. Hangi model seçilirse seçilsin, Black-Scholes modelinin testinden geçmesi gerektiğine dikkat çekilmektedir. Ancak, tüm opsiyonları aynı anda fiyatlandırmak için Black-Scholes modelini kullanmak, her grev için farklı zımni oynaklıklar nedeniyle pratik olmaz. Ders ayrıca, zımni oynaklıkların daha uzun seçenek vadeleriyle artma eğiliminde olduğuna ve daha fazla belirsizliğe işaret ettiğine işaret ediyor. Piyasa verileri ve 100 hisseye ilişkin standart bir alım opsiyonu kullanılarak zımni oynaklığın hesaplanmasını göstermek için bir örnek verilmiştir.
Zımni oynaklık kavramı, öğretim görevlisi tarafından daha da açıklanmaktadır. Bir seçeneğin tarihsel verileri, Black-Scholes denklemi kullanılarak volatilitesini tahmin etmek için kullanılır. Ancak öğretim görevlisi, bu tahminin opsiyon için belirli bir fiyat vermesine rağmen, geriye dönük tarihsel tahminin aksine, piyasanın ileriye dönük doğası nedeniyle opsiyonu farklı fiyatlamış olabileceğinin altını çiziyor. Bu tutarsızlığa rağmen, öğretim görevlisi bu ilişkiye tamamen spekülatif olarak güvenmemeyi tavsiye etse de, iki oynaklık arasındaki ilişki hala yatırım amaçlı olarak kullanılmaktadır. Ders daha sonra piyasa fiyatı ve bir opsiyonun diğer özellikleri göz önüne alındığında Black-Scholes denklemini kullanarak zımni volatilitenin nasıl hesaplanacağını açıklamaya devam eder. Bununla birlikte, öğretim görevlisi, kesin bir doğru değer olmadığı ve kullanılan modelin opsiyon fiyatlandırmasının gerçek bir temsilinden ziyade bir tahmin olduğu için zımni oynaklık kavramının doğası gereği kusurlu olduğunu kabul eder.
Öğretim görevlisi, yinelemeli bir yaklaşım olan Newton-Raphson yöntemini kullanarak ima edilen oynaklığı bulma sürecini açıklamaya devam eder. Bu yöntem, ima edilen oynaklık olan sigma için Black-Scholes denklemine ve piyasa fiyatına dayalı bir fonksiyonun kurulmasını içerir. Öğretim görevlisi, Black-Scholes ima edilen oynaklığın piyasa ima edilen oynaklıkla eşleştiği bir fonksiyon bulmak amacıyla, tam çözüm ile yineleme arasındaki farkı hesaplamak için bir Taylor serisi açılımının kullanımını vurgular. İma edilen volatiliteyi milisaniye cinsinden hızlı bir şekilde hesaplama yeteneği, piyasa yapıcıların arbitraj fırsatlarını belirlemesi ve kar elde etmesi için çok önemlidir.
Newton-Raphson yöntemi kullanılarak ima edilen oynaklığın hesaplanması için yinelemeli süreç kavramı tanıtılmaktadır. Süreç, g fonksiyonu sıfıra yaklaşana kadar, her yeni adım bir öncekine göre tahmin edilerek birden fazla yineleme gerektirir. Öğretim görevlisi, Newton-Raphson yönteminin yakınsaması için ilk tahminin önemini vurgular. Aşırı parasız seçenekler veya sıfıra yakın seçenekler, fonksiyon düz hale geldikçe ve yakınsamayı engelleyen küçük bir gradyanla sonuçlandığında zorluklar ortaya çıkarabilir. Bu sorunun üstesinden gelmek için, uygulayıcılar genellikle ilk tahminlerden oluşan bir ızgara tanımlar. Algoritma, teğet çizgisini kullanarak işleve yaklaşır ve daha hızlı yakınsamaya yol açan daha dik eğimlerle x-kesişimini hesaplar.
Ayrıca öğretim görevlisi, bir seçeneğin zımni volatilitesini hesaplamak için Newton-Raphson algoritmasının uygulanmasını açıklar. Algoritma, piyasa fiyatı, kullanım, vadeye kalan süre, faiz oranı, ilk stok hacmi ve ilk oynaklık parametresi gibi girdi parametreleriyle Black-Scholes modeline dayanır. Algoritmanın yakınsaması analiz edilir ve bir hata eşiği belirlenir. Kod, NumPy ve SciPy kitaplıklarından yararlanılarak önceden hazırlanmış gerekli yöntemler ve tanımlarla Python kullanılarak gösterilmiştir.
Ders, opsiyon değeri ve Vega olarak bilinen oynaklık parametresine göre çağrı fiyatının türevi gibi bu hesaplama için gerekli girdileri vurgulayarak, zımni oynaklığın hesaplanmasını detaylandırır. Kodun çekirdeği, öğretim görevlisinin dahil olan çeşitli parametreler ve bunların önemi hakkında açıklamalar sağlamasıyla, ima edilen oynaklığın adım adım hesaplanması sürecini içerir. Ders, zımni oynaklığı hesaplamak için kullanılan yinelemeli sürecin kısa bir gösterimiyle sona erer.
Konuşmacı ayrıca zımni oynaklığın hesaplanmasındaki hata konusunu ve yinelemeler arasındaki farklarla nasıl belirlendiğini de ele alıyor. Çıktı grafiği, bir arama fiyatı, kullanım, vade ve diğer parametreler için elde edilen zımni oynaklığı gösterir. Konuşmacı, yakınsamanın oynaklık için farklı ilk tahminlerle nasıl değiştiğini göstererek bu sürecin endüstri kalibrasyonundaki önemini vurguluyor. Modelin başarılı bir şekilde yakınsaması için ilk tahminin gerçek zımni oynaklığa yakın olması gerekir. Endüstri pratisyenleri tipik olarak, uygun bir yakınsama elde edilene ve bu belirli oynaklık değeri seçilene kadar farklı ilk oynaklıkları dener.
ders, ima edilen oynaklıkların yorumlanmasına daha derinlemesine dalar. Zımni oynaklıklar, piyasa beklentileri ve duyarlılığı hakkında fikir verebilir. Zımni oynaklık yüksek olduğunda, piyasa katılımcılarının, dayanak varlıkta belirsizliği veya algılanan riski gösterebilecek önemli fiyat dalgalanmaları beklediğini gösterir. Tersine, düşük zımni dalgalanmalar, nispeten istikrarlı fiyat beklentilerini gösterir.
Ders, zımni oynaklıkların gelecekteki oynaklığın bir ölçüsü değil, piyasa fiyatlandırmasının bir yansıması olduğunu vurgular. Zımni oynaklıklar, arz ve talep dinamikleri, piyasa duyarlılığı ve piyasa katılımcılarının risk iştahı gibi çeşitli faktörlerden etkilenir. Bu nedenle, ima edilen oynaklıkları diğer piyasa göstergeleri ve temel analiz bağlamında yorumlamak çok önemlidir.
Öğretim görevlisi ayrıca ima edilen değişkenlik yüzeyleri veya uçucu gülümsemeler kavramını vurgular. Zımni oynaklık yüzeyleri, ima edilen oynaklıklar ile farklı kullanım fiyatları ve vadeler arasındaki ilişkiyi temsil eder. Belirli piyasa koşullarında, zararsız seçeneklerin zımni oynaklıkları, başabaş seçeneklerinden daha yüksek veya daha düşük olabilir. Zımni uçuculuk yüzeyindeki bu eğrilik, uçucu gülümseme veya sırıtış olarak bilinir. Ders, oynaklık gülümsemesinin, piyasa katılımcılarının büyük aşağı yönlü riskler veya beklenmedik olumlu olaylar gibi aşırı fiyat hareketlerinin olasılığına ilişkin algılarını gösterdiğini açıklıyor.
Ayrıca ders, zımni oynaklık terim yapıları kavramını da kapsar. Zımni oynaklık terimi yapıları, belirli bir seçenek için ima edilen oynaklıklar ile farklı vadeler arasındaki ilişkiyi tasvir eder. Öğretim görevlisi, ima edilen oynaklık terim yapılarının, yukarı eğimli (contango), aşağı eğimli (geriye doğru eğimli) veya düz eğriler gibi farklı şekiller sergileyebileceğini açıklar. Bu terim yapıları, farklı zaman ufuklarında gelecekteki oynaklığa ilişkin piyasa beklentileri hakkında fikir verebilir.
Ek olarak, ders, zımni değişkenliklerle ilişkili sınırlamaları ve zorlukları derinlemesine inceler. Zımni oynaklıkların, faiz oranları, temettü getirileri ve etkin piyasa hipotezi dahil olmak üzere çeşitli faktör ve varsayımlardan etkilenen opsiyon fiyatlarından türetildiğini vurgular. Bu nedenle, ima edilen oynaklıklar her zaman gerçek altta yatan oynaklığı doğru bir şekilde yansıtmayabilir.
Ayrıca ders, tarihsel oynaklık kavramını ve bunun ima edilen oynaklıkla karşılaştırmasını tartışır. Tarihsel oynaklık, dayanak varlığın geçmiş fiyat hareketlerine göre hesaplanırken, ima edilen oynaklık, opsiyon fiyatlarından elde edilir. Öğretim görevlisi, tarihsel oynaklığın geriye dönük olduğunu ve gelecekteki piyasa beklentilerini tam olarak yakalayamayacağını, zımni oynaklığın ise opsiyon fiyatlarına gömülü ileriye dönük bilgileri içerdiğini belirtiyor.
Son olarak, ders, ele alınan kilit noktaların bir özeti ile sona erer. Zımni volatiliteyi, hesaplama yöntemlerini ve opsiyon fiyatlandırması ve piyasa beklentileri bağlamında yorumlanmasını anlamanın önemini vurgular. Öğretim görevlisi, finansal piyasalarda ve yatırım kararı vermede önemi göz önüne alındığında, bu alanda daha fazla keşif ve araştırmayı teşvik eder.
oynaklık etkisinin farklı seçenek uzunlukları için değiştiği yer. Video ayrıca zımni oynaklığın nasıl hesaplanacağını ve zamana bağlı oynaklıkla yolların nasıl oluşturulacağını ve bunun Black-Scholes zımni oynaklık denklemini nasıl etkilediğini gösterir. Video ayrıca, farklı vadelere sahip iki seçenek için farklı oynaklık seviyelerine uyma örneğini de gösteriyor.
Hesaplamalı Finans: Ders 5/14 (Atlama Süreçleri)
Hesaplamalı Finans: Ders 5/14 (Atlama Süreçleri)
Ders, Black-Scholes modelini stok sürecine atlamalar dahil ederek, difüzyon modelinden sıçrama-difüzyon modeline geçiş yaparak geliştirmenin yollarını keşfetmeye devam ediyor. Eğitmen, atlamaların stok sürecine dahil edilmesini açıklayarak ve atlamaların bir tanımını vererek başlar. Daha sonra Python'da bir atlama sürecinin basit bir uygulamasını gösterirler ve modelin q ölçüsü altında kalmasını sağlarken hisse senetleri için stokastik bir süreçteki sıçramaları ele alma ihtiyacını vurgularlar.
Ayrıca ders, fiyatlandırmada sıçramalar getirmenin sonuçlarını ve bunun fiyatlandırma PDE'sini (Kısmi Diferansiyel Denklemi) nasıl etkilediğini inceler ve ek integral terimler sunar. Tartışma, farklı atlama dağılımlarının ima edilen oynaklık şekilleri üzerindeki etkisine ve beklenti yinelemeli beklentiler, beklentinin kule özelliği ve karmaşık beklentilerle uğraşırken atlama süreçleri için karakteristik fonksiyonlar gibi kavramların kullanımına kadar uzanır.
Öğretim görevlisi, fiyatlandırma seçeneklerinde ve modellerin kalibre edilmesinde atlama süreçlerinin pratikliğini vurgulayarak gerçekçiliklerini ve ağır kuyrukları barındırma yeteneklerinin yanı sıra kilitlenme ve dönüş yoğunluğunun basıklığını ve asimetrisini kontrol etme yeteneklerini vurgular. Bir atlama sürecini dahil ederek, ima edilen oynaklık gülümsemesine veya ima edilen oynaklık çarpıklığına daha iyi bir uyum elde edilebilir, bu da atlama işlemlerini Black-Scholes modeline daha uygun bir alternatif haline getirir.
Ders, odağı değiştirerek, Brownian hareketiyle ilişkisiz olan, bir sayma işlemiyle temsil edilen atlama süreçleri kavramını tanıtıyor. Bu süreçler, ilk sıfır değeri ve bir Poisson dağılımını izleyen bağımsız artışlarla karakterize edilen rastgele bir Poisson süreci kullanılarak modellenmiştir. Poisson sürecinin hızı, belirli bir zaman dilimindeki ortalama atlama sayısını belirler. Ders, gösterim ve beklentiler kullanılarak atlama işlemleri için belirli bir aralıktaki ortalama atlama sayısının nasıl hesaplanacağını açıklar.
Hesaplamalı finansta, öğretim görevlisi atlama süreçlerinin simülasyonunu tartışır, sıçrama büyüklüğünün patlayamayacağına dikkat çeker ve onunla ilişkili teknik varsayımları ana hatlarıyla belirtir. Süreç, atlama sürecinin her bir artışı için bir Poisson dağılımı kullanarak bağımsız artışları simüle etmek için matrislerin ve parametrelerin tanımlanmasını içerir. Ders ayrıca, hisse senedi fiyatlandırması için atlama süreçlerinin dinamiklerini genişletmek için Ethos lemma'daki Poisson sürecinin kullanımını da kapsar. Hesaplamalı finans bağlamında, ders atlama süreçleri kavramını tanıtır ve açıklar. "t-eksi" terimini, bir süreçte bir sıçrama meydana gelmeden hemen önceki süre olarak tanımlar ve Ethos lemması ve zamana göre türevlerin hesaplanması yoluyla sürecin dinamiklerini araştırır. Sıçrama boyutu ile "g" fonksiyonunda ortaya çıkan ayarlama arasındaki ilişki tartışılarak, bu kavramların stokastik süreçlerin modellenmesindeki pratik önemi vurgulanır. Ders ayrıca hisse senedi piyasası davranışını modellerken atlama süreçlerinin ve yayılma süreçlerinin bağımsızlığını dikkate almanın önemini vurgulamaktadır.
Hem atlama hem de difüzyon süreçlerini içeren bir modelde "g" fonksiyonunun dinamiklerini türetmek için ders, yüksek difüzyon karmaşıklığının davranışına ve Ito lemmasının uygulanmasına odaklanır. Ito'nun önermesi, artan model karmaşıklığı bağlamında dxpt kare gibi çapraz terimleri işlemek için kullanılır. Sürüklenme, dağılma ve atlamalar dahil olmak üzere tüm unsurlar birleştirildiğinde, "g" dinamikleri Ito'nun lemması kullanılarak türetilebilir. Poisson süreci ile Brownian hareketi arasındaki farklar vurgulanarak Ito tablosunun uzantısına da değinilir. Ders, hem atlama hem de difüzyon süreçlerini içeren bir "g" fonksiyonu için dinamikleri türetme sürecini özetleyerek sona erer.
İleriye dönük olarak ders, Q ölçüsü altında atlama ve Brownian hareketi olan bir hisse senedinin dinamiklerini elde etme sürecini açıklamaktadır. Bu süreç, yeni bir değişkenin tanımlanmasını ve dinamiklerinin belirlenmesini, dinamiklerin beklentisinin sıfır olmasını sağlamayı içerir. Sıçrama bileşeninin diğer tüm işlemlerden bağımsız olduğu varsayılır ve bu da sürüklenme, oynaklık ve J eksi bir beklentisi için terimler içeren bir ifadeyle sonuçlanır. Bu ifade daha sonra, para tasarruf hesabı üzerindeki ST dinamiklerinin bir martingale olmasını sağlayarak, Q ölçüsü için denklemde ikame edilir.
Eğitmen, hem yayılma hem de sıçramalar içeren bir modelin nasıl türetileceğini tartışmaya devam ediyor ve iki bileşenli bir modelin yollarını gösteren bir örnek sunuyor: yayılma ve sıçrama. Dağınık kısım, sürekli davranışı temsil ederken, sıçrama elemanı, belirli hisse senetlerinde gözlemlenen sıçrama modellerinin temsiline izin vererek süreksizliği ortaya çıkarır. Eğitmen ayrıca hisse senedi ve faiz oranları için başlangıç değerleri ile birlikte sıçrama parametrelerini ve Brownian hareketi için oynaklık parametresini de kapsar. Eğitmen, anlayışı daha da geliştirmek için simülasyonun nasıl programlanacağını ve ortaya çıkan yolların nasıl çizileceğini gösterir.
Ders daha sonra, log-normal dağılımın beklentisi olarak analitik olarak hesaplanan e üzeri j'nin beklentisini açıklamaya devam eder. c çarpı pi çarpı dt tarafından yönlendirilen Poisson artışlarının simülasyonu gerçekleştirilir; z normal dağılım için artışları ve j sıçrama büyüklüğünü temsil eder. Sıçrama difüzyon sürecinin dinamikleri, hem kısmi diferansiyel denklemleri hem de integral kısmın sıçrama boyutlarının beklentisini temsil ettiği integral diferansiyel denklemleri içerir. Fiyatlandırma denklemi, portföy oluşturma veya karakteristik fonksiyon yaklaşımı yoluyla elde edilebilir ve parametrelerin piyasadaki opsiyon fiyatları kullanılarak kalibre edilmesi gerekir.
Portföy oluşturma bağlamında, ders, satılan bir opsiyon ve dayanak hisse senedi içeren bir hedge içeren bir portföy oluşturma sürecini açıklar. Portföy dinamiklerinin tasarruf hesabı ile aynı oranda artması sağlanarak bir fiyat farkı denklemi elde edilebilir. İstenilen dinamikleri elde etmek için, para tasarruf hesabına bölünen hisse senedinin bir martingale olması gerekir. Ders daha sonra mu için koşulu türeterek, dinamikler bir kez kurulduktan sonra v'nin dinamiklerinin türetilebileceğini gösterir. Bu bilgi daha sonra beklentileri hesaplamak ve v'nin dinamiklerini türetmek için kullanılır.
Öğretim görevlisi ayrıca zamana göre birinci dereceden bir türev denklemini araştırır, bu da x'e göre birinci derecedendir ve t zamanında bir sözleşme değeri için bir sıçrama ile bir beklenti içerir. Bu, bir beklentinin varlığından dolayı bir integral terimine yol açar ve bu da saf PDE'lerden daha zor çözülmesi gereken bir kısmi integral diferansiyel denklem (PID) ile sonuçlanır. Çözüm, bazen sonsuz seriler cinsinden ifade edilebilen beklenen değer için analitik ifadeyi bulmayı içerir. Gelişmiş yakınsama için sınır koşullarının önemi ve PID'lerin log dönüşümlerine dönüştürülmesi de tartışılmaktadır.
Atlama süreçleriyle ilgili tartışmaya devam eden ders, lüks seçeneği altında PID ve PID durumunda atlama süreçlerinin dönüşümüne odaklanır. Ders, atlama büyüklüğünü belirtmek için iki yaygın yaklaşım sunar, yani klasik satıcı modeli ve simetrik olmayan çift üstel. Modelin kalibrasyonu, sigma j ve muj'nin eklenmesiyle daha karmaşık hale gelirken, pratiklik ve endüstri kabulü genellikle daha az parametreli modelleri tercih eder. Ders ayrıca atlama süreçlerinin dinamikleri daha karmaşık hale geldikçe, yakınsama sağlamanın zorlaştığını ve Fourier uzayı veya parametre kalibrasyonu için analitik çözümler gibi gelişmiş teknikleri gerektirdiğini kabul eder.
Ders daha sonra atlamalı difüzyon süreçleri için Monte Carlo simülasyonunu kullanarak fiyatlandırma sürecini açıklamaya devam eder. Fiyatlandırma, bugünkü değerini iskonto ederek gelecekteki getiri beklentisini hesaplamayı içerir. PID'ler ve Monte Carlo simülasyonu gibi yöntemler, simülasyonlar için hesaplama karmaşıklığı açısından iyi performans gösterirken, atlamalar yapıldığında parametre sayısındaki önemli artış nedeniyle fiyatlandırma ve model kalibrasyonu için ideal olmayabilirler. Ders ayrıca, atlamaların ve yoğunluk parametrelerinin dağılımını ve bunların zımni oynak gülümseme ve çarpıklık üzerindeki etkilerini yorumlamayı da ele alıyor. Sıçrama ve eğrilik üzerinde ortaya çıkan etkileri gözlemlemek için diğerlerini sabit tutarken parametreleri değiştiren bir simülasyon deneyi gerçekleştirilir.
Sıçramaların değişkenliği ve yoğunluğunun, ima edilen değişken gülümsemenin şekli ve seviyesi üzerindeki etkilerini analiz etmek için öğretim görevlisi bunların ilişkilerini tartışır. Bir sıçramanın değişkenliğini artırmak, daha yüksek bir değişkenlik düzeyine yol açarken, sıçramaların yoğunluğu da ima edilen uçucu gülümsemenin seviyesini ve şeklini etkiler. Bu bilgi, opsiyon fiyatlarının davranışını anlamak ve modelleri gerçek piyasa verilerine göre kalibre etmek için çok önemlidir.
Ders daha sonra Kule Mülkü kavramını ve bunun finans problemlerini basitleştirmedeki uygulamasını tanıtır. Başka bir sürecin beklentisini veya fiyatını hesaplamak için bir süreçten yola koşullanarak, stokastik diferansiyel denklemlerdeki çok boyutlu problemler basitleştirilebilir. Kule Özelliği, Black-Scholes denklemlerindeki volatilite parametreleri ve atlama integralleriyle uğraşırken genellikle toplama haline gelen hesaplama süreçleriyle ilgili problemlere de uygulanabilir. Öğretim üyesi, bu uygulamalardaki parametrelerle ilgili varsayımlarda bulunma gereğini vurgular.
Daha sonra öğretim görevlisi, hesaplamalı finansta fiyatlandırma denklemlerini çözmek için Fourier tekniklerinin kullanımını tartışır. Fourier teknikleri, bazı özel durumlar için analitik formda bulunabilen karakteristik fonksiyona dayanır. Öğretim görevlisi, Merton'un modelini kullanarak bir örnek üzerinde yürür ve bu denklem için karakteristik fonksiyonun nasıl bulunacağını açıklar. Öğretim elemanı, bağımsız bölümleri içeren beklenti terimlerini ayırarak, toplamanın beklentiler cinsinden nasıl ifade edileceğini gösterir ve karakteristik fonksiyonun belirlenmesine olanak tanır. Fourier tekniklerini kullanmanın avantajı, model kalibrasyonu ve gerçek zamanlı değerlendirme için çok önemli olan hızlı fiyatlandırma hesaplamalarını mümkün kılma yetenekleridir.
Daha sonra öğretim görevlisi, hesaplamalı finansta fiyatlandırma denklemlerini çözmek için Fourier tekniklerinin kullanımını tartışır. Fourier teknikleri, bazı özel durumlar için analitik formda bulunabilen karakteristik fonksiyona dayanır. Öğretim görevlisi, Merton'un modelini kullanarak bir örnek üzerinde yürür ve bu denklem için karakteristik fonksiyonun nasıl bulunacağını açıklar. Öğretim elemanı, bağımsız bölümleri içeren beklenti terimlerini ayırarak, toplamanın beklentiler cinsinden nasıl ifade edileceğini gösterir ve karakteristik fonksiyonun belirlenmesine olanak tanır. Fourier tekniklerini kullanmanın avantajı, model kalibrasyonu ve gerçek zamanlı değerlendirme için çok önemli olan hızlı fiyatlandırma hesaplamalarını mümkün kılma yetenekleridir.
Ders boyunca eğitmen atlama süreçlerini anlamanın ve hesaplamalı finans modellerine dahil etmenin önemini vurgular. Modeller, atlamaları dahil ederek gerçek dünyadaki hisse senedi fiyatlarının davranışını daha iyi yakalayabilir ve daha doğru fiyatlandırma ve kalibrasyon sonuçları sağlayabilir. Ders ayrıca, integral diferansiyel denklemleri çözmenin karmaşıklığı ve dikkatli parametre kalibrasyonu ihtiyacı gibi atlama işlemleriyle ilgili zorlukları vurgular. Bununla birlikte, uygun teknikler ve metodolojiler ile atlama süreçleri, hesaplamalı finans modellerinin doğruluğunu ve gerçekçiliğini önemli ölçüde artırabilir.
Hesaplamalı Finans: Ders 6/14 (Affine Jump Difüzyon Süreçleri)
Hesaplamalı Finans: Ders 6/14 (Affine Jump Difüzyon Süreçleri)
Öğretim görevlisi, ön ofis ve arka ofis arasındaki ayrıma odaklanarak finansal kurumlardaki fiyatlandırma modellerinin seçimine ilişkin içgörü sağlar. Ön büro ticaret faaliyetlerini yürütür ve alım satımları başlatır, bunlar daha sonra ticaretin bakımı ve defter tutulması için arka ofise aktarılır. Öğretim görevlisi, bir fiyatlandırma modeli seçerken kalibrasyon, risk değerlendirmesi, fiyatlandırma doğruluğu ve hesaplama verimliliği gibi çeşitli faktörlerin dikkate alınması gerektiğini vurgular. Ek olarak, karakteristik fonksiyonlar kavramı ve afin sıçramalı difüzyon süreçleri, verimli fiyatlandırma değerlendirmesine izin veren model sınıfları olarak tanıtılmaktadır. Bu modeller, hızlı fiyatlandırma hesaplamaları yapabilir ve bu da onları gerçek zamanlı ticaret için uygun hale getirir. Ders ayrıca, para birimi işlevi türetme, atlama birleştirme yoluyla çerçeve genişletme ve finansal kurumlarda fiyatlandırma ve modelleme iş akışı gibi konuları da ele alıyor.
Atlama süreçlerini anlamanın önemi ve bunların fiyatlandırma doğruluğu üzerindeki etkisi ders boyunca vurgulanırken, integral diferansiyel denklemleri çözme ve model parametrelerini kalibre etme ile ilgili zorluklar da vurgulanır. Uygun teknikler ve metodolojilerden yararlanılarak, hesaplamalı finans modelleri, gerçek dünyadaki hisse senedi fiyat davranışını daha iyi yansıtacak ve fiyatlandırma ve kalibrasyon sonuçlarını iyileştirecek şekilde geliştirilebilir.
Ayrıca konuşmacı, finansal kurumlarda, özellikle müşteriler için finansal ürünlerin tasarlanması ve fiyatlandırılmasında ön büronun rolünü vurgulamaktadır. Ön büro, bu ürünler için uygun fiyatlandırma modellerini seçmekten ve işlemlerin doğru bir şekilde kaydedilmesini sağlamaktan sorumludur. Arka ofisle işbirliği, seçilen modelleri doğrulamak ve uygulamak, kurumun riskleri ve alım satımlarına uygunluklarını sağlamak için çok önemlidir. Ön büronun birincil amacı, müşterilere rekabetçi fiyatlar sunmak ve riskleri kabul edilebilir sınırlar içinde yönetmek arasında bir denge kurarken, istikrarlı bir kar akışı sağlamaktır.
Konuşmacı, finansal ürünün spesifikasyonundan ve altta yatan risk faktörlerini yakalamak için stokastik diferansiyel denklemlerin formüle edilmesinden başlayarak, başarılı fiyatlandırmada yer alan temel adımları ana hatlarıyla belirtir. Bu risk faktörleri, fiyatlandırma modelinin belirlenmesinde ve ardından fiyatların hesaplanmasında kritik bir rol oynamaktadır. Bu risk faktörlerinin uygun şekilde tanımlanması ve modellenmesi, doğru fiyatlandırma ve risk yönetimi için çok önemlidir.
Ders sırasında, tam ve yarı kesin çözümler de dahil olmak üzere farklı fiyatlandırma yöntemleri ve ayrıca Monte Carlo simülasyonu gibi sayısal teknikler tartışılır. Konuşmacı, fiyatlandırma modelinin parametrelerinin piyasa gözlemlerine uyacak şekilde ayarlandığı model kalibrasyonunun önemini vurgular. Fourier teknikleri, model kalibrasyonu için daha hızlı bir alternatif olarak tanıtıldı ve model parametrelerinin verimli bir şekilde hesaplanmasına izin verdi.
Ders ayrıca hesaplamalı finansta fiyatlandırma için iki popüler yaklaşımı karşılaştırır: Monte Carlo simülasyonu ve kısmi diferansiyel denklemler (PDE'ler). Monte Carlo simülasyonu, yüksek boyutlu fiyatlandırma problemlerinde yaygın olarak kullanılır, ancak doğruluk açısından sınırlı olabilir ve örnekleme hatalarına eğilimli olabilir. PDE'ler ise delta, gamma, vega gibi hassasiyetleri düşük maliyetle hesaplayabilme ve çözümlerde akıcılık gibi avantajlar sunmaktadır. Konuşmacı, basit finansal ürünler için daha hızlı ve daha uygun fiyatlandırma yaklaşımları sundukları için Fourier tabanlı yöntemlerin ileriki derslerde ele alınacağını belirtiyor.
Karakteristik fonksiyonlar kavramı, bilinen analitik olasılık yoğunluk fonksiyonlarına sahip olan ve olmayan modeller arasındaki boşluğu kapatmak için önemli bir araç olarak sunulmuştur. Karakteristik fonksiyonlar kullanılarak, bir hisse senedinin fiyatlama ve risk değerlendirmesi için gerekli olan olasılık yoğunluk fonksiyonunun türetilmesi mümkün hale gelir.
Ders boyunca kalibrasyonun önemi vurgulanmaktadır. Kalibrasyon için referans olarak sıvı enstrümanlar kullanılır ve daha sonra parametreleri daha karmaşık türev ürünleri doğru bir şekilde fiyatlandırmak için uygulanır. Öğretim görevlisi, gelişen piyasa koşullarına uyum sağlamak ve güvenilir fiyatlandırma sonuçları elde etmek için fiyatlandırma modellerini ve tekniklerini sürekli iyileştirme ve iyileştirme ihtiyacını vurgular.
Özetle ders, ön büronun rolüne, model kalibrasyonuna ve risk, verimlilik ve doğruluk hususlarına odaklanarak finansal kurumlarda fiyatlandırma modellerini seçme sürecine ilişkin içgörüler sağlar. Ayrıca fiyatlandırma ve model kalibrasyonu için Monte Carlo simülasyonu, PDE'ler ve Fourier tabanlı yöntemler gibi çeşitli teknikleri de tanıtır. Karakteristik fonksiyonlar kavramı ve bunların olasılık yoğunluk fonksiyonlarını türetmedeki önemi, model iyileştirme ve gerçek dünya koşullarına uyarlamanın zorlukları ve önemi ile birlikte tartışılmaktadır.
Hesaplamalı Finans: Ders 7/14 (Stokastik Oynaklık Modelleri)
Hesaplamalı Finans: Ders 7/14 (Stokastik Oynaklık Modelleri)
Derste, sınırlamaları olabilecek Black-Scholes modellerine bir alternatif olarak stokastik oynaklık modelleri kavramını inceleyeceğiz. Konuşmacı, stokastik oynaklık modellerinin, fiyatları ve ima edilen oynaklıkları verimli bir şekilde elde etmek için ileri teknikler gerektiren afin difüzyon modelleri sınıfına ait olduğunu vurgular. Stokastik oynaklığın dahil edilmesinin arkasındaki motivasyon açıklanır ve Heston'ın iki boyutlu stokastik oynaklık modeli tanıtılır.
Kapsanan önemli bir husus, modellerin yalnızca tek bir nokta yerine tüm zımni oynaklık yüzeyine göre kalibre edilmesidir. Bu, yola bağlı getiriler ve vuruş yönü bağımlılığı ile uğraşırken özellikle çok önemlidir. Uygulayıcılar tipik olarak modelleri alış ve satış gibi likit enstrümanlara kalibre eder ve ardından egzotik türevlerin fiyatlarına tahminde bulunur. Stokastik oynaklık modelleri, içsel sınırlamalarına rağmen tüm oynaklık yüzeyinin kalibrasyonuna izin verdiği için piyasada popülerdir.
Ders ayrıca borsadaki oynaklık yüzeylerinin önemini ve uygun modellere olan ihtiyacı vurgulamaktadır. Oynaklık yüzeyi dik bir gülümseme sergiliyorsa, sıçramalar veya stokastik oynaklık içeren modeller sıklıkla tercih edilir. Fiyatlandırma seçenekleri için kullanılan, P ölçüsü ve riskten bağımsız ölçü dahil olmak üzere farklı ölçütler tartışılmaktadır. Faiz oranlarını zamana bağlı hale getirmenin gülümsemeleri veya çarpıklığı iyileştirmemesine karşın, stokastik veya yerel oynaklığın getirilmesinin kalibrasyona yardımcı olabileceğine dikkat edilmelidir. Volatiliteyi modellemek için ortalamaya dönüşlü karekök süreçlerini kullanan Hassel modeli de tanıtıldı.
Ders, stokastik oynaklık modelleri kavramını ayrıntılı olarak araştırıyor. Başlangıçta, stokastik bir diferansiyel denklemi tanımlamak için normal bir süreç ve Brownian hareketi kullanılır, ancak bu yaklaşımın, özellikle negatif hale gelebileceği için volatiliteyi doğru bir şekilde yakalamada başarısız olduğu kabul edilir. CIR süreci olarak da bilinen Kutu Ters İşleminin faydaları, yağlı kuyruklar sergilemesi ve negatif olmaması nedeniyle açıklanır, bu da onu oynaklık için uygun bir model yapar. Stokastik oynaklık yapısıyla Heston modeli tanıtılır ve varyansın (VT) merkezi olmayan bir ki-kare dağılımını izlediği gösterilir. Bu dağılımın bir geçiş dağılımı olduğu açıklığa kavuşturulmuş ve Feller durumunun model kalibrasyonu sırasında kontrol edilmesi gereken kritik bir teknik koşul olarak bahsedilmiştir.
Feller'in durumu olarak anılan, sıfıra ulaşan yollardan kaçınmak için stokastik volatilite modellerinin koşulları tartışılmaktadır. Koşul, kappa parametresinin ve uzun vadeli ortalamanın iki katı çarpımının gama kare, oynaklığın karesinden büyük veya ona eşit olması durumunda sağlanır. Koşul karşılanmadığında, yollar sıfıra ulaşabilir ve geri dönebilir, bu da ulaşılabilir bir sınır koşuluna yol açar. Merkezi olmayan ki-kare dağılımlarının özellikleri ve bunların CIR süreçleriyle ilişkisi açıklanır. Feller koşulunu sağlamanın veya sağlamamanın etkilerini göstermek için varyans yolları ve yoğunluk grafikleri sağlanmıştır.
Stokastik oynaklık modellerinde kesin kuyruklu dağılımların önemi, modelleri piyasa verilerine göre kalibre ettikten sonra sıklıkla gözlemlendikleri için vurgulanmaktadır. Bir modelin Feller koşulu sağlanmazsa, Monte Carlo yollarının sıfıra çarpabileceği ve sıfırda kalabileceği not edilir. Korelasyonun Brown hareketi yoluyla modellere dahil edilmesi açıklanır ve sıçramaların tipik olarak bağımsız olarak kabul edildiğinden bahsedilir. Ders, Feller'in durumunun yoğunluk üzerindeki etkisini gösteren bir grafikle sona erer.
Ders, Brownian hareketindeki korelasyon ve varyansa odaklanır. Konuşmacı, ilişkili Brown hareketleriyle uğraşırken, belirli bir ilişkinin doğru olması gerektiğini ve aynı şeyin artışlar için de geçerli olduğunu açıklıyor. Cholesky ayrışımı tekniği, pozitif belirli bir matris ve iki alt üçgen matrisin çarpımını kullanarak iki Brown hareketini ilişkilendirmek için bir araç olarak tanıtıldı. Bu yöntem, derste daha sonra tartışılan iki işlemin formüle edilmesinde yardımcı olur.
Bağımsız Brownian hareketleriyle alt üçgen matris çarpımının yapısı tartışılarak, bağımsız ve ilişkili süreçlerin bir kombinasyonunu içeren bir vektör elde edilir.
Ayrıca öğretim görevlisi, Heston modelinin karakteristik işlevinin verimli ve hızlı fiyatlandırma konusunda değerli bilgiler sağladığını açıklıyor. Karakteristik fonksiyonu türeterek, ilgili tüm terimlerin açık olduğu ve sıradan diferansiyel denklemleri çözmek için karmaşık analitik veya sayısal hesaplamalara olan ihtiyacı ortadan kaldırdığı ortaya çıkar. Bu basitlik, Heston modelinin önemli avantajlarından biri olarak kabul edilir ve bu, onu türevleri fiyatlandırmak için pratik ve güçlü bir araç haline getirir.
Konuşmacı, Heston modelindeki her bir parametrenin özelliklerini ve sonuçlarını anlamanın, oynaklıkla ilişkili riskleri etkili bir şekilde yönetmek için çok önemli olduğunu vurguluyor. Kappa, uzun vadeli ortalama, oynaklık, korelasyon ve varyans sürecinin başlangıç değeri gibi parametrelerin tümü, oynaklık dinamikleri ve ima edilen oynaklık yüzeyi üzerinde belirgin etkilere sahiptir. Uygulayıcılar, bu parametreleri piyasaya göre ayarlayarak ve etkilerini analiz ederek, daha doğru fiyatlandırma ve risk yönetimi sağlayarak, zımni oynaklık gülümsemeleri ve çarpıklıkları hakkında değerli içgörüler elde edebilirler.
Ders, stokastik oynaklık modellerini yalnızca tek bir noktadan ziyade tüm zımni oynaklık yüzeyine kalibre etmenin önemini vurgulamaktadır. Yola bağlı getiriler ve vuruş yönü bağımlılıkları, piyasa verilerinin tüm karmaşıklığını yakalamak için kapsamlı bir kalibrasyon yaklaşımı gerektirir. Tipik olarak, uygulayıcılar, modelleri alış ve satış gibi likit araçlara göre kalibre eder ve ardından egzotik türevlerin fiyatlarına göre tahminde bulunur. Stokastik oynaklık modelleri, tüm oynaklık yüzeyinin kalibrasyonuna izin verirken, kalibrasyon sürecinin mükemmel olmadığı ve sınırlamaları olduğu kabul edilmektedir.
Öğretim görevlisi, stokastik volatilite modellerinin anlaşılmasını daha da geliştirmek için, modelleri piyasa verilerine göre kalibre ederken sıklıkla gözlemlenen uzun kuyruklu dağılımlar kavramını derinlemesine inceler. Konuşmacı, bir modelin kesici koşulu karşılanmazsa, Monte Carlo yollarının sıfıra ulaşıp sıfırda kalarak modelin doğruluğunu etkileyebileceğini açıklıyor. Ek olarak, stokastik oynaklık modellerinde sıçramaların dahil edilmesi ve korelasyonların bağımsız olarak ele alınması tartışılmaktadır. Ders, bu unsurların oynaklık dinamiklerini ve fiyatlandırmayı nasıl etkilediğine dair içgörüler sağlar.
Ders, Heston modelini Black-Scholes modeliyle karşılaştırarak sona erer. Heston modeli oynaklığın modellenmesinde daha fazla esneklik ve stokastiklik sunarken, Black-Scholes modeli fiyat türevleri için bir ölçüt olmaya devam ediyor. Farklı parametre değişikliklerinin ima edilen değişken gülümsemeler ve çarpıklıklar üzerindeki etkilerini anlamak, uygulayıcıların kendi özel ihtiyaçlarına uygun modeli seçmeleri için çok önemlidir. Kapsamlı kalibrasyon ve analiz yoluyla, Heston'ınki gibi stokastik oynaklık modelleri, finansal piyasalarda fiyatlandırma ve risk yönetimine ilişkin değerli bilgiler sağlayabilir.
Heston modelini tartışmaya ek olarak, ders Brownian hareketinde korelasyon ve varyansın önemine değinir. Konuşmacı, ilişkili Brownian hareketleriyle uğraşırken, Cholesky ayrışımının kullanımı da dahil olmak üzere belirli ilişkilerin ve koşulların doğru olması gerektiğini açıklar. Bu teknik, pozitif belirli bir matris kullanarak iki Brown hareketinin korelasyonuna ve iki alt üçgen matrisin çarpımına izin verir. Ders, bu yöntemin çok boyutlu durumlarda süreçleri formüle etmek ve istenen korelasyon yapısını elde etmek için gerekli olduğunu vurgulamaktadır.
Ayrıca öğretim görevlisi, stokastik oynaklık modellerinde bağımsız ve ilişkili Brown hareketlerinin oluşturulmasına ve temsiline odaklanır. Cholesky ayrışımı, Brown hareketlerini ilişkilendirmek için yararlı bir araç olsa da, ders, pratik amaçlar için bunun her zaman gerekli olmadığına işaret ediyor. Bunun yerine, ilişkili Brown hareketlerini etkili bir şekilde birleştirmek için Ito'nun önermesi uygulanabilir. Ders, ilişkili Brown hareketlerine sahip hisse senedi portföylerinin oluşturulmasına ilişkin örnekler sunar ve birden çok değişken içeren çok boyutlu fonksiyonların dinamiklerini belirlemek için Ito lemmasının nasıl uygulanacağını gösterir.
Ders ayrıca bir martingale yaklaşımı kullanan Heston modeli için fiyatlandırma kısmi diferansiyel denklemini (PDE) de kapsar. Bu yaklaşım, oynaklığın uzun vadeli ortalamaya oranını temsil eden pi adı verilen belirli bir miktarın bir martingale olmasını sağlamayı içerir. Ders, Ethos Lemma'yı uygulayarak, türevleri ve varyans sürecini içeren martingale denklemini türetiyor. Fiyatlandırma PDE'si, türev sözleşmeleri için adil fiyatların belirlenmesine ve fiyatlandırmada risk-nötr önlemin kullanılmasına izin verir.
Ayrıca konuşmacı, farklı parametrelerin stokastik oynaklık modellerinde ima edilen oynaklık şekli üzerindeki etkisini tartışıyor. Gama, korelasyon ve ortalamaya dönüş hızı (kappa) gibi parametrelerin, ima edilen oynaklıkların eğriliğini, çarpıklığını ve terim yapısını etkilediği gösterilmiştir. Bu parametrelerin etkilerini anlamak, modellerin doğru bir şekilde kalibre edilmesine ve istenen oynaklık dinamiklerinin yakalanmasına yardımcı olur.
Ders boyunca, konuşmacı model kalibrasyonunun önemini, özellikle tüm zımni oynaklık yüzeyi için vurgular. Sıvı enstrümanlara kalibre etmek ve egzotik türevlere ekstrapolasyon yapmak uygulayıcılar arasında yaygın bir uygulamadır. Heston modeli de dahil olmak üzere stokastik oynaklık modelleri, fiyatlama ve risk yönetiminde daha iyi doğruluk sağlayarak tüm oynaklık yüzeyine kalibre etme esnekliği sağlar. Ancak, model kalibrasyonunun sınırsız olmadığı ve Heston ve Black-Scholes modelleri gibi modeller arasındaki ince farklılıkların uygun fiyatlandırma ve risk değerlendirmesi sağlamak için dikkatle incelenmesi gerektiği kabul edilmektedir.
Ders, Heston modeline, parametre çıkarımlarına, kalibrasyon tekniklerine ve Brownian hareketinde korelasyon ve varyansın rolüne odaklanarak stokastik oynaklık modellerine kapsamlı bir genel bakış sunar. Uygulayıcılar, bu kavramları anlayarak ve etkin bir şekilde uygulayarak, türevleri fiyatlandırma, riskleri yönetme ve finansal piyasaların karmaşıklıklarında gezinme becerilerini geliştirebilirler.
Hesaplamalı Finans: Ders 8/14 (Opsiyon Fiyatlandırması için Fourier Dönüşümü)
Hesaplamalı Finans: Ders 8/14 (Opsiyon Fiyatlandırması için Fourier Dönüşümü)
Opsiyon fiyatlandırması için Fourier Dönüşümü konulu ders sırasında eğitmen, tekniğin uygulamasını ve çeşitli yönlerini derinlemesine inceler. İnce difüzyon modelleri sınıfına giren modeller için yoğunluğu ve verimli fiyat seçeneklerini hesaplamak için Fourier Dönüşümünün kullanıldığını açıklayarak başlarlar. Teknik, hesaplama açısından pahalı olabilen gerçek eksen üzerinde bir integralin hesaplanmasını içerir. Bununla birlikte, inversiyon lemmasını kullanarak, eğitmen "u" için etki alanının nasıl azaltılabileceğini açıklayarak integralin gerçek kısmının hesaplanmasını sağlar. Bu yaklaşım, pahalı hesaplamalarla ilişkili hesaplama yükünü en aza indirmeye yardımcı olur.
Öğretim görevlisi ayrıca, uygulama verimliliğini önemli ölçüde artıran hızlı Fourier dönüşümü (FFT) kullanarak bu gösterimin iyileştirilmesini tartışır. FFT'nin özelliklerinden yararlanılarak, hesaplama iş yükü azaltılarak opsiyon fiyatlandırması daha verimli ve daha hızlı hale getirilir. Oturum, Fourier dönüşüm yöntemi ile maliyet yöntemi arasında bir karşılaştırma yapılarak, ilgili uygulama ayrıntılarına ilişkin içgörüler sağlanarak sona erer.
Öğretim görevlisi, ileriye doğru ilerlerken, Fourier dönüşümünü kullanarak yoğunluğu hesaplamanın hızlı bir yolunu elde etmenin ilk adımını derinlemesine inceler. Bu adım, alanın ikiye bölünmesini ve hesaplama açısından ucuz bir işlem olan gerçek kısmın çıkarılmasını içerir. Ek olarak, öğretim görevlisi, karakteristik fonksiyonun daha verimli hesaplanmasını kolaylaştırdığından, karmaşık sayıların bölünmesini ve eşlenik almanın önemini araştırır. Her bir "x" değeri için yoğunluğu elde etmek için bir ızgaranın inşası da tartışılarak, uygun alanların seçilmesinin ve sınırların tanımlanmasının önemi vurgulanmaktadır.
Ders, bir Fourier dönüşüm integrali ve "n" ızgara noktasından oluşan bir ızgara kullanılarak "x" yoğunluğunun hesaplanmasının açıklanmasıyla devam eder. Eğitmen, aynı anda birden çok "x" değeri için yoğunluk hesaplamaları yapılması gerektiğini vurgular. Izgaralar tanımlandıktan sonra, "gama" adlı bir işlevi içeren yeni bir integral tanıtılır ve ayrık integrale yaklaşmak için yamuk integral kullanılır. Bu süreci göstermek için öğretim görevlisi, eşit aralıklı ızgaraya sahip bir fonksiyon için yamuk integral almanın bir örneğini sağlar.
Konuşmacı daha sonra Fourier dönüşümü için ızgarayı tanımlamak üzere parametreleri yapılandırma sürecini derinlemesine inceler. Bu parametreler ızgara noktalarının sayısını, maksimum "u" değerini ve delta "x" ile delta "u" arasındaki ilişkiyi kapsar. Bu parametreler bir kez belirlendikten sonra, integraller ve toplamlar yer değiştirebilir ve her bir "x" değeri için bir fonksiyonun türetilmesini sağlar. Ders, yamuk integralini ve yamuğun sınır düğümlerinde değerlendirilen karakteristik fonksiyonları içeren bir denklem içerir.
İntegralin temsili ve opsiyon fiyatlandırmasında hızlı Fourier dönüşümü (FFT) kullanmanın önemi ayrıntılı olarak tartışılmaktadır. Konuşmacı, uygulayıcıların FFT'ye giriş için uygun bir işlev tanımlayarak çoğu kütüphanede zaten mevcut olan hızlı değerlendirme ve uygulama özelliklerinden yararlanabileceğini açıklıyor. Öğretim görevlisi, bu dönüşümün hesaplanmasında yer alan adımları ve bunun integralleri hesaplamak için nasıl kullanılabileceğini açıklamaya devam eder. Genel olarak ders, hesaplamalı finansta FFT'nin önemini ve opsiyon fiyatlandırmasındaki yararlılığını vurgular.
Yukarıda belirtilen konulara ek olarak, ders, opsiyon fiyatlandırması için Fourier dönüşümü ile ilgili çeşitli yönleri araştırıyor. Bunlar, ayrık sayıda nokta için doğru hesaplamalar sağlamak için enterpolasyon tekniklerinin kullanımını, Taylor serisi ile karakteristik fonksiyon arasındaki ilişkiyi, çift fonksiyonlar için kosinüs genişletme yönteminin uygulanmasını ve yoğunluğu yaklaşık olarak belirlemek için kesik alanların kullanımını içerir. Ders ayrıca yoğunluğun geri kazanılmasını, Fourier açılımı kullanılarak elde edilen sayısal sonuçları ve matrisler ve vektörler biçimindeki fiyatlandırma gösterimini de kapsar.
Ders boyunca eğitmen, Fourier dönüşüm yönteminin pratik uygulamasını vurgular, farklı parametrelerin etkisini tartışır ve yaklaşımın avantajlarını ve sınırlamalarını vurgular. Kapsamlı açıklamalar ve sayısal deneyler sağlayarak, ders, öğrencileri gerçek dünya senaryolarında opsiyon fiyatlandırması için Fourier dönüşümünü uygulamak için gerekli bilgi ve araçlarla donatır.
Öğretim görevlisi, opsiyon fiyatlandırması için Fourier Dönüşümünde yoğunluk fonksiyonunun geri kazanımını tartışmaya devam ediyor. Yüksek doğrulukta yoğunluk hesaplamaları elde etmek için dönüşümde yeterince çok sayıda nokta ("n" ile gösterilir) seçmenin önemini vurgularlar. Öğretim görevlisi, dağılım tarafından belirlenen "u_max" ile etki alanını ve maksimumu tanımlamak için "i" karmaşık sayısını tanıtır. Ayrıca öğretim görevlisi enterpolasyona olan ihtiyacı, özellikle ızgara üzerinde yer almayan girdiler için bile çıkış yoğunluğu fonksiyonunun doğru hesaplanmasını sağlamak için "x_i" ızgara noktalarında kübik enterpolasyon kullanarak açıklar.
Konuşmacı, enterpolasyonun faydalarını ve Fourier dönüşümünü kullanarak opsiyon fiyatlandırmasıyla ilişkisini daha fazla araştırıyor. Fourier dönüşümü daha büyük ızgaralar için avantajlı olsa da, hesaplama açısından FFT'den nispeten daha az maliyetli olduğundan, daha büyük sayılarla uğraşırken enterpolasyon tercih edilebilir. Konuşmacı enterpolasyonun nasıl çalıştığını kod örnekleri aracılığıyla gösteriyor ve parametreleri ayarlayarak hassasiyetleri hesaplamanın ve hiçbir ek ücret ödemeden Yunanlıları elde etmenin mümkün hale geldiğinin altını çiziyor. Bu özellik, kosinüs genişletme tekniğini, bariyer ve Bermuda seçenekleri gibi daha egzotik türevleri fiyatlandırmak için ideal hale getirir.
Ek olarak, öğretim görevlisi Taylor serisi ile hesaplamalı finanstaki karakteristik fonksiyon arasındaki ilişkiyi tartışır. Ders, seriler ile karakteristik fonksiyon arasındaki bire bir yazışmayı göstererek, ek integraller gerektirmeden doğrudan ilişkilere izin verir. Öğretim görevlisi daha sonra, sıfır civarındaki çift fonksiyonları temsil etmek için bir Fourier kosinüs açılımı kullanan opsiyon fiyatlandırması için "cos yöntemini" açıklar. Bu yöntem, açılımın ilk teriminin her zaman yarıyla çarpılması gerektiği şeklindeki can alıcı notla, integrallerin ve katsayıların hesaplanmasını içerir.
Ders, "a"dan "b"ye sonlu bir destek aralığı elde etmek için "g" fonksiyonunun entegrasyon alanını değiştirme sürecine daha yakından bakıyor. Konuşmacı ifadeyi basitleştirmede Euler formülünün önemini açıklar ve "u" yerine "k pi bölü ba" ifadesinin yoğunluğu içeren daha basit bir ifadeye nasıl yol açtığını gösterir. Kesilen alan bir şapka sembolü ile gösterilir ve "a" ve "b" parametreleri için özel değerler çözülmekte olan probleme göre seçilir. Konuşmacı bunun bir yaklaşıklık tekniği olduğunu ve "a" ve "b" değerlerinin seçiminde buluşsal seçimlerin söz konusu olduğunu vurgular.
Ayrıca, ders, Fourier genişlemesi ile yoğunluğun geri kazanılması arasındaki ilişkiyi araştırıyor. Ders, denklemin her iki tarafının gerçek kısımlarını alarak, yoğunluğun integralini karakteristik fonksiyonun gerçek bir parçası olarak ifade etmeye izin veren Euler formülünü gösterir. Bu zarif ve hızlı yöntem, karakteristik fonksiyonun tanımını kullanarak hedef fonksiyonun integralleri ile karakteristik fonksiyon arasındaki ilişkilerin bulunmasını kolaylaştırır. Maliyet yöntemi, genleşme katsayılarını hesaplamak ve yoğunluğu geri kazanmak için bu ilişkileri keşfetmeyi amaçlar. Yöntem, sonsuz toplama ve kesme alanından hatalar ortaya çıkarsa da, bu hataların kontrol edilmesi kolaydır.
Ardından ders, az sayıda terimle bile yüksek doğruluk elde edebilen Fourier kosinüs açılımını özetlemeye odaklanır. Normal olasılık yoğunluk fonksiyonunu (PDF) içeren sayısal bir deney, zaman ölçümü dahil olmak üzere terim sayısına dayalı olarak hata üretimini incelemek için yürütülür. Kod deneyi, kosinüs yöntemi kullanılarak yoğunluk oluşturmak üzere yapılandırılmıştır ve hatayı, kosinüs yöntemi kullanılarak geri kazanılan yoğunluk ile tam normal PDF arasındaki maksimum mutlak fark olarak tanımlar. Kosinüs yöntemi, yöntemin merkezinde yer alan karakteristik işlevi kullanarak yoğunluğu geri kazanmak için yalnızca birkaç satır kod gerektirir.
Ek olarak, konuşmacı, matris gösterimi kullanılarak verimli bir şekilde gerçekleştirilebilen Fourier açılımının sayısal sonuçlarını tartışır. Genişletme terimlerinin sayısı arttıkça hata azalır, 64 terimle 10^-17 gibi düşük bir hata elde edilir. Daha az sayıda terim kullanmak salınımlara veya daha zayıf bir uyumla sonuçlanabilir. Konuşmacı, etki alanı ve genişletme terimlerinin sayısı gibi parametrelerin, özellikle yoğun kuyruklu dağıtımlar için dikkatli bir şekilde ayarlanması gerektiğini belirtiyor. Ayrıca ders, log-normal yoğunluğun normal karakteristik fonksiyon kullanılarak da modellenebileceğini vurgulamaktadır.
Öğretim görevlisi ileriye doğru ilerlerken log-normal durumunu derinlemesine inceler ve yoğunluğunun normal dağılımdan nasıl farklı olduğunu açıklar. Log-normal dağılımı nedeniyle, tipik olarak daha yüksek sayıda genişletme terimi gerekir. Öğretim görevlisi, belirli bir dağılım ve alan türü için uygun sayıda terim seçmenin önemini vurgular.
Ders, maliyet yönteminin yoğunluğu geri kazanmak için özellikle yararlı olduğunu ve yalnızca vade sonunda ödemesi olan Avrupa tipi seçenekler gibi türev fiyatlandırma için yaygın olarak kullanıldığını vurgular. Öğretim görevlisi, risk-nötr ölçüm altında bir yoğunluk ve ödeme fonksiyonunun ürününün entegrasyonunu içeren fiyatlandırmanın nasıl çalıştığını açıklamaya devam eder.
Ders ilerledikçe, konuşmacı bir bağlantı fonksiyonunun türetilebileceği ve kosinüslerin kullanılabileceği daha egzotik seçenekleri tartışır. Zaman ekseni üzerindeki bir noktadan diğerine geçişi tanımlayan dağılımlara atıfta bulunarak "geçiş yoğunlukları" terimi tanıtıldı. Başlangıç değeri rastgele bir değişkenin dağılımı cinsinden verilir. Sunum ayrıca, yoğunluğun belirli bir aralıkla sınırlı olduğu yoğunluğun kesilmesini araştırıyor. Gauss dördün yöntemi, karakteristik bir fonksiyonun gerçek bölümlerinin bir toplamının bir üs ile çarpılmasının entegre edilmesini içeren açıklanır.
Ders, vade sonunda hisse senedinin logaritmasının bir ölçeklendirme katsayısına bölümü olarak tanımlanan düzeltilmiş günlük varlık fiyatı kavramını tanıtmaktadır. Kazancın alternatif bir temsili sunulur ve konuşmacı "v" seçiminin "h_n" katsayısını doğrudan etkilediğini not eder. Bu yaklaşım, birden fazla kullanım için getirileri değerlendirmek için kullanılabilir ve aynı anda çeşitli kullanım fiyatlarında fiyatlandırma seçenekleri için uygun bir yöntem sağlar.
Daha sonra konuşmacı, opsiyon fiyatlandırması için Fourier dönüşümünde üstel ve kosinüs fonksiyonlarını kullanarak bir getiri fonksiyonunun yoğunlukla çarpımının integralini hesaplama sürecini derinlemesine inceler. İlgili iki integral için genel bir form sağlanır ve çeşitli getirileri hesaplamak için farklı katsayılar seçilir. Konuşmacı, bu tekniği birden çok vuruş için uygulayabilmenin önemini vurgulayarak, tüm vuruşların bir kerede fiyatlandırılmasına izin vererek zamandan tasarruf sağlar ve hesaplama masraflarını azaltır. Son olarak, fiyatlandırma temsili, bir vektörle çarpılan bir matris şeklinde sunulur.
Opsiyon fiyatlandırmasında Fourier dönüşümü için uygulama formülü, öğelerin vektörleştirilmesini ve matris manipülasyonlarını içerecek şekilde tartışılmıştır. Ders, "k" yi bir vektör olarak alma ve "n_k" doğrultusu ile bir matris oluşturma sürecini açıklar. Gerçek kısımlar, karmaşık sayıları işlemek için hesaplanır. Karakteristik fonksiyon, "x"e bağlı olmadığı ve çoklu çarpmalar için verimli uygulamalar elde etmede kilit rol oynadığı için yüksek öneme sahiptir. Uygulamanın doğruluğu ve yakınsaması terim sayısına bağlıdır ve örnek bir karşılaştırma gösterilmektedir.
Ek olarak, konuşmacı, opsiyon fiyatlandırmasında Fourier dönüşüm yöntemi için kullanılan kodu derinlemesine inceler ve ilgili farklı değişkenleri açıklar. Atlama difüzyon modelleri için tipik olarak 10 veya 8'de tutulan "a" ve "b" katsayıları için bir aralık kavramını ortaya koyarlar. Kod, farklı modellere uyarlanabilen genel bir işlev olan karakteristik işlev için bir lambda ifadesi içerir. Konuşmacı, aynı deneyin birden fazla yinelemesini yaparak ve ortalama süreyi hesaplayarak zamanı ölçmenin önemini vurgular. Son olarak, maliyet yöntemini ve büyük bir oynaklığı varsaymak için entegrasyon aralığını nasıl kullandığını gösterirler.
Ders, opsiyon fiyatlamasının Fourier dönüşümü yöntemi için grevleri tanımlama ve katsayıları hesaplama sürecinin bir açıklamasıyla devam eder. Öğretim görevlisi, model parametrelerini ayarlarken daha iyi yakınsama sağlayabileceğini ve değerlendirme için daha az terim gerektirebileceğini, standart model parametrelerine bağlı kalmanın genellikle güvenli olduğunu vurgular. Bir matris tanımlama ve indirgenmiş kullanım fiyatını elde etmek için matris çarpımı gerçekleştirme adımlarını detaylandırırlar ve ortaya çıkan hatayı kesin çözümdeki hatayla karşılaştırırlar. Ders, hatanın terim sayısına ve seçilen vuruş aralığına bağlı olduğunu vurgular.
Konuşmacı daha sonra Hızlı Fourier Dönüşümü (FFT) yöntemi ve Kosinüs yöntemi dahil olmak üzere opsiyon fiyatlandırması için farklı yöntemlerin karşılaştırmasını sunar. FFT yönteminin çok sayıda ızgara noktası için daha uygun olduğunu, Kosinüs yönteminin ise daha az sayıda ızgara noktası için daha verimli olduğunu açıklıyorlar. Öğretim görevlisi, her iki yöntemi kullanarak opsiyon fiyatlarının hesaplanmasını gösterir ve sonuçları karşılaştırır.
Ayrıca ders, risk yönetimi ve portföy optimizasyonu gibi finansın diğer alanlarında Fourier tabanlı yöntemlerin uygulanmasını kapsar. Öğretim görevlisi, Riske Maruz Değer (VaR) ve Koşullu Riske Maruz Değer (CVaR) gibi risk ölçümlerini tahmin etmek için Fourier tabanlı yöntemlerin kullanılabileceğini açıklar. Fourier yöntemlerini optimizasyon teknikleriyle birleştirerek, riski en aza indiren veya getirileri en üst düzeye çıkaran en uygun portföy tahsislerini bulmak mümkündür.
Ders, sunum boyunca tartışılan ana noktaların özetlenmesiyle sona erer. Fourier dönüşüm teknikleri, opsiyon fiyatlandırması ve diğer finansal uygulamalar için güçlü bir araç sağlar. Kosinüs yöntemi, karakteristik fonksiyon ve Fourier açılımından yararlanarak seçeneklerin verimli ve doğru fiyatlandırılmasına izin verir. Terim sayısı ve alan gibi parametrelerin seçimi, yöntemin doğruluğunu ve yakınsamasını etkiler. Ek olarak, Fourier tabanlı yöntemler, opsiyon fiyatlandırmasının ötesinde çeşitli finansal sorunlara genişletilebilir.
Genel olarak, ders, yoğunluğun geri kazanılması, enterpolasyon, cos yöntemi, log-normal dağılımlar, çoklu vuruşlar, uygulama hususları ve diğer fiyatlandırma yöntemleriyle karşılaştırmalar gibi konuları kapsayan, opsiyon fiyatlandırmasında Fourier dönüşüm tekniklerine kapsamlı bir genel bakış sağlar. Öğretim görevlisinin açıklamaları ve kod örnekleri, bu tekniklerin finans alanındaki pratik uygulamalarını göstermeye ve doğruluk ve verimlilik açısından faydalarını vurgulamaya yardımcı olur.