ReduceToBidiagonal

Преобразует произвольную вещественную или комплексную матрицу A размера m×n к верхнему или нижнему бидиагональному виду B с помощью ортогонального преобразования: Q**T * A * P = B. При m >= n матрица B будет верхней бидиагональной; при m < n — нижней. Функция Lapack GEBRD.

Вычисления для типа matrix<double>

Вычисления для типа matrix<float>

Вычисления для типа matrix<complex>

Вычисления для типа matrix<complexf>

Параметры

Б

[out]  Верхняя или нижняя бидиагональная матрица.

reflect_qp

[out]  Преобразованная матрица A. При m >= n диагональ и первая наддиагональ перезаписываются верхней бидиагональной матрицей B; элементы ниже диагонали вместе с вектором tau_q представляют ортогональную матрицу Q как произведение элементарных отражателей, а элементы выше первой наддиагонали вместе с вектором tau_p представляют ортогональную матрицу P как произведение элементарных отражателей. При m < n диагональ и первая поддиагональ перезаписываются нижней бидиагональной матрицей B; при этом элементы ниже первой поддиагонали вместе с вектором tau_q представляют ортогональную матрицу Q как произведение элементарных отражателей, а элементы выше диагонали с вектором tau_p представляют ортогональную матрицу P как произведение элементарных отражателей.

tau_q

[out] Вектор скалярных множителей элементарных отражателей, представляющих ортогональную матрицу Q.

tau_p

[out] Вектор скалярных множителей элементарных отражателей, представляющих ортогональную матрицу P.

Возвращаемое значение

Возвращает true в случае успеха, иначе false в случае ошибки.

Примечание

Матрицы Q и P представляются в виде произведений элементарных рефлекторов:

При m >= n

    Q = H(1) H(2) . . . H(n)  и  P = G(1) G(2) . . . G(n-1)

Каждый H(i) и G(i) имеет вид:

    H(i) = I - tauq * v * v**T  и G(i) = I - taup * u * u**T

где tauq и taup — это скаляры, а v и u — векторы;

v(1:i-1) = 0, v(i) = 1, а v(i+1:m) сохраняется на выходе в матрице A(i+1:m,i);

u(1:i) = 0, u(i+1) = 1, а u(i+2:n) сохраняется на выходе в матрице A(i,i+2:n);

tauq сохраняется в массиве tau_q(i), а taup — в tau_p(i).

При m < n

    Q = H(1) H(2) . . . H(m-1)  и  P = G(1) G(2) . . . G(m)

Каждый H(i) и G(i) имеет вид:

    H(i) = I - tauq * v * v**T  и G(i) = I - taup * u * u**T

где tauq и taup — это скаляры, а v и u — векторы;

v(1:i) = 0, v(i+1) = 1, а v(i+2:m) сохраняется на выходе в матрице A(i+2:m,i);

u(1:i-1) = 0, u(i) = 1, а u(i+1:n) сохраняется на выходе в матрице A(i,i+1:n);

tauq сохраняется в массиве tau_q(i), а taup — в tau_p(i).

Содержимое матрицы A при выходе (выходная матрица reflect_qp) можно проиллюстрировать следующими примерами:

где d и e обозначают диагональные и недиагональные элементы матрицы B, vi — элемент вектора, определяющего H(i), а ui — элемент вектора, определяющего G(i).

Матрицы Q и P могут быть получены с помощью метода ReflectBidiagonalToQP.