Negociação quantitativa - página 13

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Wall Street: Os comerciantes de velocidade

Wall Street: Os comerciantes de velocidade

Muitas pessoas não sabem que a maioria das negociações de ações nos Estados Unidos não são mais executadas por seres humanos, mas sim por computadores robóticos. Esses supercomputadores são capazes de comprar e vender milhares de títulos diferentes em um piscar de olhos. O comércio de alta frequência, como é conhecido, tornou-se predominante em Wall Street nos últimos anos e desempenhou um papel importante no mini crash do mercado na primavera passada, quando o Dow Jones Industrial Average despencou 600 pontos em apenas 15 minutos.

A Securities and Exchange Commission e os membros do Congresso começaram a levantar questões difíceis sobre a utilidade, perigos potenciais e suspeitas de manipulação de mercado por meio de negociação por computador. A mudança de operadores humanos para máquinas transformou a paisagem da Bolsa de Valores de Nova York, que já foi o centro do mundo financeiro. Agora, menos de 30% das negociações ocorrem no pregão, sendo o restante realizado por meio de plataformas eletrônicas e sistemas alternativos de negociação.

Duas bolsas de valores eletrônicas, a BATS e a Direct Edge, pertencentes a grandes bancos e empresas de negociação de alta frequência, surgiram e negociam mais de um bilhão de ações por dia a velocidades surpreendentes. Empresas de negociação de alta frequência como a Tradeworks, dirigida por Manoj Narang e uma equipe de matemáticos e cientistas chamados quants (analistas quantitativos), se dedicam a essa prática. Eles executam negociações por frações de segundo, com o objetivo de obter um lucro de um centavo ou menos por negociação. Essas empresas dependem de algoritmos matemáticos complexos programados em seus computadores para analisar dados em tempo real e tomar decisões em frações de segundo.

Um aspecto fundamental da negociação de alta frequência é que os computadores não entendem as empresas que estão sendo negociadas. Eles não sabem o valor das empresas, sua gestão ou qualquer outro fator qualitativo. As decisões de negociação são puramente baseadas em fatores quantitativos, probabilidade e análise estatística. Essa abordagem permite capturar oportunidades fugazes no mercado, mas desconsidera fatores fundamentais.

Os operadores de alta frequência investem pesadamente em supercomputadores e infraestrutura para obter uma vantagem de velocidade. Quanto mais próximos seus computadores estiverem dos servidores da bolsa de valores, mais rapidamente eles receberão informações críticas do mercado. Mesmo alguns milissegundos de vantagem podem resultar em lucros significativos. Os críticos argumentam que os operadores de alta frequência exploram essa vantagem para antecipar pedidos, manipular ações e extrair dinheiro do mercado sem agregar nenhum valor real.

Embora os proponentes afirmem que a negociação de alta frequência aumenta a liquidez do mercado, reduz os custos de transação e aperta os spreads das ações, os críticos acreditam que isso prejudica a justiça e a transparência. A natureza de alta velocidade da negociação e a complexidade dos algoritmos tornam difícil para os reguladores monitorar e garantir condições equitativas. O "flash crash" de 2010, quando o Dow Jones caiu 600 pontos em questão de minutos, expôs os riscos potenciais associados às negociações de alta frequência e à falta de controle.

Reguladores e legisladores começaram a propor reformas para lidar com as preocupações relacionadas ao comércio de alta frequência. A Securities and Exchange Commission está considerando medidas para rastrear e identificar negociações de alta frequência, e os disjuntores foram implementados para interromper as negociações em casos de extrema volatilidade de preços. No entanto, são necessárias mais mudanças para restaurar a confiança na integridade do mercado e dar transparência aos investidores médios que sentem que o sistema está sendo manipulado contra eles.

Nos últimos anos, os operadores de alta frequência expandiram suas atividades para os mercados de câmbio e commodities, aumentando ainda mais as preocupações sobre seu impacto nos mercados financeiros. A evolução da tecnologia ultrapassou a capacidade dos reguladores de acompanhar, e há uma demanda crescente por reformas que encontrem um equilíbrio entre inovação e integridade do mercado.

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"Modelagem matemática e computação em finanças: com exercícios e códigos de computador Python e MATLAB" , por CW Oosterlee e LA Grzelak, World Scientific Publishing, 2019.

"Modelagem matemática e computação em finanças: com exercícios e códigos de computador Python e MATLAB" é um livro inestimável que explora a interseção de matemática, finanças e ciência da computação. Escrito por especialistas na área, ele fornece um guia abrangente para entender e implementar modelos matemáticos em finanças usando linguagens de programação populares como Python e MATLAB.

O livro começa apresentando aos leitores os conceitos fundamentais da modelagem matemática em finanças, incluindo teoria da probabilidade, cálculo estocástico e técnicas de otimização. Ele enfatiza os aspectos práticos de modelagem e computação, destacando a importância dos métodos numéricos e da simulação na solução de problemas financeiros do mundo real.

Uma das características de destaque deste livro é a inclusão de vários exercícios e códigos de computador em Python e MATLAB. Esses exercícios permitem que os leitores se envolvam ativamente com o material, reforcem sua compreensão dos conceitos e desenvolvam suas habilidades de programação. Trabalhando com os exercícios e implementando os códigos fornecidos, os leitores podem obter experiência prática na aplicação de modelos matemáticos para finanças e aprimorar sua proficiência no uso dessas linguagens de programação para análise financeira.

O livro cobre uma ampla gama de tópicos relevantes para finanças, como precificação de opções, otimização de portfólio, gerenciamento de risco e alocação de ativos. Ele investiga tópicos avançados como modelagem de volatilidade, modelagem de taxa de juros e modelagem de risco de crédito, fornecendo aos leitores uma compreensão abrangente das técnicas matemáticas usadas na modelagem financeira.

Os autores encontram um equilíbrio entre rigor teórico e aplicação prática ao longo do livro. Eles fornecem explicações claras dos conceitos e algoritmos matemáticos subjacentes, acompanhados de exemplos do mundo real e estudos de caso. Essa abordagem permite que os leitores compreendam os fundamentos teóricos e, ao mesmo tempo, obtenham insights sobre como esses modelos podem ser aplicados para resolver problemas financeiros práticos.

Além disso, o livro destaca as vantagens e limitações de diferentes abordagens de modelagem, equipando os leitores com as habilidades de pensamento crítico necessárias para tomar decisões informadas ao escolher e implementar modelos em cenários do mundo real.

"Modelagem matemática e computação em finanças: com exercícios e códigos de computador Python e MATLAB" é um excelente recurso para estudantes, pesquisadores e profissionais da área de finanças que desejam aprofundar sua compreensão de modelagem matemática e métodos computacionais. Sua combinação de explicações teóricas, exercícios práticos e códigos de computador prontos para uso o torna um companheiro essencial para qualquer pessoa interessada em aplicar técnicas matemáticas para resolver problemas financeiros.

https://github.com/LechGrzelak/Computational-Finance-Course

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Este curso de Finanças Computacionais é baseado no livro: "Modelagem Matemática e Computação em Finanças: Com Exercícios e Códigos de Computador Python e MATLAB"

Finanças Computacionais: Aula 1/14 (Introdução e Visão Geral das Classes de Ativos)

Esta palestra abrangente serve como uma introdução aos fascinantes campos de finanças computacionais e engenharia financeira, abrangendo uma ampla gama de tópicos essenciais para a compreensão das finanças modernas. O palestrante enfatiza a importância dos modelos teóricos de finanças matemáticas e computacionais, que são utilizados para criar modelos práticos de precificação de derivativos em diversos cenários.

No curso de finanças computacionais, os alunos irão se aprofundar em vários tópicos que são cruciais para a compreensão e aplicação de métodos financeiros práticos. Liderado pelo instrutor, Leth Lag, o curso enfatizará a implementação de técnicas de programação eficientes usando Python para simulação e precificação de opções. Este programa abrangente é projetado para indivíduos interessados em finanças, finanças quantitativas e engenharia financeira. Ele cobrirá conceitos essenciais, como volatilidades implícitas, estratégias de hedge e o fascinante reino dos derivativos exóticos.

Finanças computacionais é um campo interdisciplinar situado entre finanças matemáticas e métodos numéricos. Seu principal objetivo é desenvolver técnicas que possam ser aplicadas diretamente à análise econômica, combinando habilidades de programação com modelos teóricos. A engenharia financeira, por outro lado, abrange uma abordagem multidisciplinar que emprega teoria financeira, métodos de engenharia, ferramentas matemáticas e práticas de programação. Os engenheiros financeiros desempenham um papel crítico na criação de modelos práticos baseados em finanças matemáticas e computacionais, que podem ser utilizados para precificar derivativos e lidar com contratos financeiros complexos com eficiência. Esses modelos devem ser teoricamente sólidos e adaptáveis a diversos cenários.

O curso esclarecerá diferentes classes de ativos negociados em finanças computacionais, incluindo ações, opções, taxas de juros, câmbio, mercados de crédito, commodities, energia e criptomoedas. As criptomoedas, em particular, oferecem exposição a várias classes de ativos e podem ser empregadas para fins de hedge. Cada classe de ativos tem seus contratos exclusivos usados para controle de risco e estratégias de hedge. O mercado de balcão (OTC), com suas múltiplas contrapartes, apresenta complexidades adicionais que precisam ser compreendidas.

O palestrante explorará o papel das criptomoedas nas finanças, enfatizando seus diversos recursos e a necessidade de metodologias, modelos e premissas específicas para precificação. Além disso, serão examinadas as participações de mercado de diferentes classes de ativos, como taxas de juros, forex, ações, commodities e credit default swaps (CDS). Embora as opções representem uma porção relativamente pequena do mundo financeiro, elas oferecem uma perspectiva distinta da análise financeira e computacional.

O tópico de opções e especulação será amplamente discutido, destacando como as opções fornecem uma alternativa à compra de ações, permitindo que os indivíduos especulem sobre a direção futura de uma ação com um investimento de capital relativamente pequeno. No entanto, as opções têm uma data de vencimento e podem perder valor se o preço das ações permanecer inalterado, tornando o tempo um fator crucial na especulação. O curso fornecerá uma introdução aos mercados financeiros, classes de ativos e o papel dos engenheiros financeiros na navegação por esses cenários complexos. As ações, como a classe de ativos mais popular, serão exploradas em detalhes, enfatizando o conceito de propriedade e como o valor das ações é influenciado pelo desempenho da empresa e pelas expectativas futuras.

A palestra esclarecerá a natureza estocástica do comportamento das ações no mercado, influenciada por fatores como oferta e demanda, concorrentes e desempenho da empresa. O valor esperado de uma ação pode diferir de seu valor real, levando à volatilidade. A volatilidade é um elemento crucial na modelagem e precificação de opções, pois determina as flutuações futuras nos preços das ações. Além disso, a palestra distinguirá dois tipos de investidores: os interessados em retornos de dividendos e os que buscam oportunidades de crescimento.

O conceito de dividendos e investimento em dividendos será apresentado, enfatizando como os dividendos fornecem um investimento estável e certo, pois as empresas distribuem pagamentos aos acionistas regularmente. No entanto, os pagamentos de dividendos podem variar e os altos rendimentos de dividendos podem indicar maior risco nos investimentos de uma empresa. A palestra abordará brevemente taxas de juros e mercados monetários, reconhecendo que esses tópicos serão abordados mais extensivamente em um curso de acompanhamento.

A inflação e seu impacto nas taxas de juros serão discutidos, elucidando como os bancos centrais controlam a inflação ajustando as taxas de juros. A palestra explorará os benefícios de curto prazo e as implicações de longo prazo da redução das taxas de juros, bem como estratégias alternativas, como a teoria monetária moderna ou a compra de ativos pelos bancos centrais. Além disso, será explicado o papel da incerteza entre os participantes do mercado na determinação das taxas de juros e o efeito tributário oculto da inflação sobre os cidadãos. A palestra será concluída com um aprofundamento no tema da gestão de risco em empréstimos. O palestrante destacará os riscos potenciais enfrentados pelos credores, como a falência ou a inadimplência dos devedores. Para mitigar esses riscos, os credores geralmente cobram um prêmio de risco para garantir que sejam adequadamente compensados por quaisquer perdas potenciais.

Seguindo em frente, o palestrante mudará o foco para as taxas de juros e sua importância nas finanças. Eles explicarão como as taxas de juros afetam vários instrumentos financeiros, incluindo contas de poupança, hipotecas e empréstimos. O conceito de juros compostos será introduzido, enfatizando a noção de que uma unidade de moeda hoje vale mais do que a mesma unidade no futuro devido a fatores como a inflação. Serão discutidos os dois principais métodos de cálculo de juros, simples e compostos, com uma explicação detalhada de suas diferenças e exemplos práticos.

Em seguida, o palestrante se aprofundará nas taxas de juros compostas, principalmente para investimentos com prazo de um ano. Eles explicarão a modelagem matemática de taxas compostas usando a função exponencial, onde uma unidade de moeda é multiplicada por e elevado à potência da taxa de juros. Além disso, o palestrante descreverá como essa representação matemática se alinha com as equações diferenciais que regem as contas de poupança, levando à determinação do fator de multiplicação usado para descontar os fluxos de caixa futuros. No entanto, o palestrante notará que, na realidade, as taxas de juros não são constantes, mas variam ao longo do tempo, como evidenciado por diferentes instrumentos, como prazos e preços de moedas como o Euro e o USD.

Serão discutidos os gráficos que representam as taxas de juros e a liquidez do mercado para a zona do euro e para o dólar. Notavelmente, o estado atual da zona do euro revela rendimentos negativos em todos os vencimentos de até 30 anos, o que implica que investir em títulos do governo na zona do euro pode resultar em perda de dinheiro. O palestrante vai sugerir que os indivíduos podem preferir trocar euros por dólares e investir em títulos americanos, pois oferecem maiores rendimentos. No entanto, esta abordagem acarreta riscos, incluindo perdas potenciais devido a flutuações da taxa de câmbio. O palestrante enfatizará que as taxas de juros dependem do tempo e estão sujeitas à dinâmica do mercado.

O palestrante esclarecerá o conceito de compra de títulos, destacando que os compradores de títulos geralmente pagam mais do que o valor real do título. Consequentemente, o valor do dinheiro investido em títulos pode depreciar com o tempo e a inflação pode corroer o valor do investimento. Os principais compradores de títulos, como fundos de pensão e bancos centrais, serão mencionados, destacando seu papel significativo no mercado de títulos. Além disso, o palestrante abordará o conceito de volatilidade, que mede a variação dos preços financeiros ao longo do tempo. A volatilidade é calculada usando medidas estatísticas como variância e fornece informações sobre a tendência de flutuação de um mercado ou título, introduzindo incerteza e risco.

O curso então mudará sua atenção para retornos e volatilidade de ativos, dois conceitos cruciais em finanças computacionais. Os retornos dos ativos referem-se aos ganhos ou perdas de um título dentro de um período de tempo específico, enquanto a volatilidade mede a variação desses retornos. Um mercado altamente volátil indica oscilações significativas de preço em um curto espaço de tempo, resultando em maior incerteza e risco. Será introduzido o índice VIX, instrumento que mede a incerteza do mercado. Ele utiliza opções out-of-the-money ou put e é comumente empregado por investidores para proteger seu capital em caso de queda no valor de mercado. A importância do tempo e da previsão dos tempos de exposição será enfatizada, pois podem ser desafiadores na prática.

O instrutor discutirá as complexidades da análise da volatilidade de vários índices, incluindo o índice VIX. Eles reconhecerão as dificuldades em modelar matematicamente a volatilidade devido às circunstâncias e flutuações do mercado. Além disso, serão introduzidas as opções europeias, que servem como blocos de construção fundamentais para a precificação de derivativos com base na volatilidade. O palestrante fará uma distinção clara entre opções de compra e opções de venda, explicando que as opções de compra dão ao titular o direito de comprar um ativo a um preço e data pré-determinados, enquanto as opções de venda dão ao titular o direito de vender um ativo a um preço pré-determinado. e data, funcionando essencialmente como seguro.

Com a base de opções estabelecida, o palestrante apresentará uma visão geral das opções dentro de diferentes classes de ativos. Eles enfatizarão os dois principais tipos de opções: opções de compra e opções de venda. No caso de uma opção de compra, o comprador tem o direito de vender o ativo subjacente ao lançador em uma data de vencimento e preço de exercício especificados. Isso significa que, no vencimento, o lançador é obrigado a comprar a ação pelo preço de exercício caso o comprador opte por exercer a opção. Por outro lado, uma opção de venda concede ao comprador o direito de vender o ativo subjacente ao lançador em uma data de vencimento e preço de exercício especificados. No vencimento, o lançador deve comprar a ação pelo preço de exercício especificado se o comprador exercer a opção.

Para ilustrar a rentabilidade potencial das opções, o palestrante apresenta duas representações gráficas – uma para opções de compra e outra para opções de venda. Esses gráficos representam o lucro ou perda potencial com base no valor do estoque subjacente. Ao examinar os gráficos, os espectadores podem obter informações sobre como as mudanças no valor das ações podem afetar a lucratividade das opções.

Ao longo do curso, o instrutor explorará tópicos avançados adicionais relacionados a finanças computacionais, incluindo modelagem de derivativos, implementação de programação eficiente e o uso de Python para simulação e precificação de opções. Eles irão programar ao vivo durante as sessões e analisar os resultados de forma colaborativa com os telespectadores, proporcionando experiência prática e insights práticos.

O curso é projetado especificamente para pessoas interessadas em finanças, finanças quantitativas e engenharia financeira. O objetivo é preencher a lacuna entre finanças matemáticas e métodos numéricos, oferecendo conhecimentos e habilidades interdisciplinares necessários para lidar com problemas financeiros do mundo real. Os conceitos de volatilidade implícita, estratégias de hedge e derivativos exóticos também serão abordados, fornecendo uma compreensão abrangente de finanças computacionais e suas aplicações no setor financeiro.

Ao final do curso, os participantes terão adquirido uma base sólida em finanças computacionais, engenharia financeira e aplicação prática de métodos numéricos. Eles serão equipados com as ferramentas e o conhecimento para desenvolver e implementar modelos de precificação de derivativos, gerenciamento de riscos e análise de dados financeiros. Este curso serve como um trampolim para aqueles que buscam seguir carreira em finanças, análise quantitativa ou engenharia financeira, capacitando-os a tomar decisões informadas e contribuir para o campo em constante evolução das finanças computacionais.

• 00:00:00 O curso abordará vários tópicos relacionados a finanças computacionais, incluindo modelagem de derivativos, implementação eficiente de programação e uso de Python para simulação e precificação de opções. O instrutor do curso, Leth Lag, fará a programação ao vivo e analisará os resultados junto com os telespectadores. O curso é destinado aos interessados em finanças, finanças quantitativas e engenharia financeira, e também abordará os conceitos de volatilidade implícita e cobertura. O curso terminará com uma discussão sobre derivados exóticos.
  
  
• 00:05:00 Nesta seção, o foco é em finanças computacionais, que é um ramo da ciência da computação aplicada que lida com problemas financeiros práticos e enfatiza métodos numéricos práticos. Este campo é interdisciplinar, entre finanças matemáticas e métodos numéricos. O objetivo das finanças computacionais é desenvolver técnicas que possam ser aplicadas diretamente à análise econômica, e isso envolve o uso de programação e modelos teóricos. Outro aspecto discutido é a engenharia financeira, que é um campo multidisciplinar que aplica teoria financeira, métodos de engenharia, ferramentas matemáticas e prática de programação. A engenharia financeira e as finanças computacionais estão relacionadas, e os engenheiros financeiros desenvolvem modelos que são práticos, viáveis, rápidos e eficientes e podem ser usados por instituições financeiras para precificar derivativos e implementar estratégias de hedge.
  
  
• 00:10:00 Nesta seção, é discutido o papel da engenharia financeira no desenvolvimento de modelos para contratos financeiros complexos. Os engenheiros financeiros usam modelos teóricos de finanças matemáticas e computacionais para criar modelos práticos que podem ser usados para precificar derivativos e outros contratos complicados. Os modelos devem ser teoricamente corretos e funcionar em uma ampla gama de cenários. A engenharia financeira é orientada pelas necessidades do cliente e requer um conjunto de habilidades multidisciplinares, incluindo modelagem quantitativa e programação. A palestra também explica as principais classes de ativos em finanças, incluindo bolsas de valores e opções, que os engenheiros financeiros precificam usando seus modelos e ferramentas.
  
  
• 00:15:00 Nesta seção, o palestrante discute as várias classes de ativos que são negociadas em finanças computacionais. Existem ações, opções, taxas de juros, câmbio, mercado de crédito, commodities, energia e criptomoedas. No caso das criptomoedas, existem muitos tipos diferentes dependendo de suas características e também podem ser consideradas como um mercado de opções. O palestrante aborda diferentes contratos dentro de cada classe de ativos usados para proteger e controlar o risco. Além disso, o palestrante destaca que alguns mercados, como o mercado de balcão, são desenhados para o perfil de risco dos clientes e envolvem múltiplas contrapartes.
  
  
• 00:20:00 Nesta seção, o palestrante discute o papel das criptomoedas nas finanças e explica como elas são projetadas para oferecer exposição a diferentes classes de ativos. As criptomoedas podem ser usadas para proteger riscos e algumas também fornecem exposição a ações, ouro, prata e petróleo. Diferentes criptomoedas têm características únicas, exigindo diferentes metodologias, modelos e suposições para precificação. O palestrante passa a discutir a participação de mercado de diferentes classes de ativos, como taxas de juros, forex, ações, commodities e CDS. Embora as opções sejam uma pequena parte do mundo financeiro, elas ainda são importantes e oferecem uma perspectiva única sobre análise financeira e computacional.
  
  
• 00:25:00 Nesta seção, o tópico de opções e especulações é discutido. As opções podem ser uma alternativa mais barata à compra de ações, permitindo apostar na direção futura de uma ação com um pequeno investimento de capital. No entanto, as opções têm uma data de vencimento e perdem valor se nada acontecer com o preço da ação durante esse período, tornando o timing um desafio significativo na especulação. A palestra apresenta o conceito de mercados financeiros, classes de ativos e o papel de um engenheiro financeiro. A primeira e mais popular classe de ativos, ações ou ações, também é explorada, incluindo como comprar uma ação significa tornar-se proprietário da empresa e como o valor de uma ação depende do desempenho da empresa e das expectativas de pagamentos futuros.
  
  
• 00:30:00 Nesta seção, o palestrante aborda o comportamento das ações no mercado, que é estocástico e influenciado por diversos fatores como oferta e demanda, concorrentes e desempenho da empresa. Isso significa que o valor esperado de uma ação pode diferir de seu valor real, resultando em volatilidade. A volatilidade é um elemento importante na modelagem e precificação de opções, pois determina as flutuações do preço de uma ação no futuro. Além disso, o proprietário de uma ação teoricamente possui uma parte da empresa e pode receber dividendos ou colher benefícios do crescimento da ação. Existem dois tipos de investidores: os interessados em retornos de dividendos e os que buscam oportunidades de crescimento.
  
  
• 00:35:00 Nesta seção do vídeo, é discutido o conceito de dividendos e investimento em dividendos. O investimento em dividendos é atraente para aqueles que desejam um investimento estável e certo, pois a cada trimestre ou semestralmente, uma empresa fará pagamentos aos acionistas. No entanto, os dividendos podem variar de ano para ano, e altos pagamentos de dividendos podem indicar mais risco nos investimentos de uma empresa. O vídeo também aborda brevemente as taxas de juros e os mercados monetários, observando que as taxas de juros são uma porcentagem do princípio, mas esse tópico será abordado em um curso de acompanhamento.
  
  
• 00:40:00 Nesta seção, o palestrante discute a inflação e o impacto dos juros na economia. Quando a economia vai bem e a circulação de dinheiro aumenta, existe o risco de inflação, que pode ser controlada pelos bancos por meio do aumento das taxas de juros. No entanto, a redução das taxas de juros pode fornecer um impulso de curto prazo para a economia, mas esta não é uma solução de longo prazo. Os bancos centrais podem usar a teoria monetária moderna ou comprar ativos no mercado como alternativa. Além disso, o palestrante explica como as taxas de juros são afetadas pela incerteza dos participantes do mercado em relação ao recebimento de dinheiro dos bancos e como a inflação pode atuar como um imposto oculto sobre os cidadãos. Finalmente, o palestrante fala sobre gerenciamento de risco em empréstimos e sugere que um mutuário pode ir à falência ou não pagar os empréstimos, o que leva a um prêmio de risco para garantir que o credor seja compensado por qualquer perda.
  
  
• 00:45:00 Nesta seção, o palestrante discute as taxas de juros e sua importância nas finanças. Eles explicam como as taxas de juros afetam as contas de poupança, hipotecas e empréstimos. O palestrante discute como as taxas de juros podem ser modeladas e que o conceito mais simples é que um euro hoje vale mais do que um euro daqui a um ano devido a fatores como a inflação. As duas principais formas de composição e cálculo das taxas de juros são simples e compostas, com juros compostos ocorrendo ao longo da vida do investimento. O palestrante define esses termos e fornece exemplos para ilustrá-los.
  
  
• 00:50:00 Nesta seção, o palestrante discute o conceito de juros compostos para vencimento de um ano. A taxa composta é calculada como um euro vezes e elevado à potência r. O palestrante explica como isso é modelado matematicamente, descrevendo uma equação diferencial que descreve as contas de poupança. A solução da equação diferencial fornece o fator de multiplicação, que é usado para descontar fluxos de caixa futuros. No entanto, o orador nota que, na realidade, as taxas de juro não são constantes, mas dependentes do tempo, o que é ilustrado por vários instrumentos, como prazos e preços da Europa e do USD.
  
  
• 00:55:00 Nesta seção do vídeo, o palestrante discute os gráficos que representam as taxas de juros e a liquidez do mercado da zona do euro e do dólar. Os gráficos mostram que atualmente todos os rendimentos do Euro até 30 anos são negativos, o que significa que investir em títulos do governo na Europa resultaria em perda de dinheiro. O palestrante sugere que as pessoas preferem trocar euros por dólares e investir em títulos dos EUA, pois oferecem rendimentos mais altos. No entanto, existe um risco envolvido, pois a taxa de câmbio pode cair, deteriorando os lucros potenciais. O palestrante também observa que as taxas de juros dependem do tempo e não são constantes.

• 01:00:00 Nesta seção, o palestrante discute o conceito de compra de títulos. Os compradores de títulos pagam mais do que o título vale e, como resultado, o valor do dinheiro se deteriorará com o tempo e também pode haver inflação, causando perda de investimento. Fundos de pensão e bancos centrais são os principais compradores de títulos. O palestrante também aborda o conceito de volatilidade, que é uma medida da variação dos preços financeiros ao longo do tempo e é calculada por meio da variância da medida estatística da tendência de um mercado ou título subir ou descer em um período de tempo.
  
  
• 01:05:00 Nesta seção, aprendemos sobre retornos e volatilidade de ativos, dois conceitos importantes em finanças computacionais. Os retornos dos ativos são os ganhos ou perdas de um título dentro de um período de tempo específico, e a volatilidade mede a variação desses retornos. Um mercado altamente volátil significa que os preços podem oscilar drasticamente em um curto período de tempo, o que pode levar a incertezas e riscos. O índice VIX é um exemplo de instrumento de mercado que mede a incerteza e é construído usando opções fora do dinheiro ou de venda. É frequentemente usado por investidores para proteger seu capital em caso de queda no valor de mercado. No entanto, o tempo é crucial ao usá-lo, pois os tempos de exposição podem ser muito curtos e difíceis de prever.
  
  
• 01:10:00 O instrutor discute a volatilidade de vários índices, incluindo o índice VIX, e como pode ser difícil analisar matematicamente devido às circunstâncias e flutuações do mercado. Em seguida, ele apresenta as opções europeias, que são um bloco de construção fundamental da precificação de derivativos na volatilidade, com uma correspondência de um para um entre o preço da opção e a volatilidade. O instrutor explica as diferenças entre opções de compra e venda, com uma opção de compra dando ao titular o direito de comprar um ativo em uma data futura por um preço definido, enquanto uma opção de venda dá ao titular o direito de vender um ativo em uma data futura por um preço fixo, atuando essencialmente como um seguro.
  
  
• 01:15:00 Nesta seção, o palestrante apresenta uma visão geral das opções dentro das classes de ativos e identifica dois tipos principais de opções: opções de compra e opções de venda. No caso de uma opção de compra, o comprador pode vender para o lançador em uma data de vencimento e preço de exercício especificados, o que significa que, no vencimento, o lançador é obrigado a vender ações pelo preço de exercício. Em contraste, para uma opção de venda, o comprador pode vender para o lançador, o que novamente é feito no vencimento, mas desta vez o lançador deve comprar ações pelo preço de exercício especificado. O palestrante apresenta então dois gráficos, um para os dois tipos de opções, destacando seu lucro potencial em função do valor da ação.

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Finanças Computacionais: Aula 2/14 (Ações, Opções e Estocástica)

Finanças Computacionais: Aula 2/14 (Ações, Opções e Estocástica)

O instrutor começa fornecendo uma visão geral do curso, enfatizando a importância de compreender a confiança na negociação, cobertura e a necessidade de modelos matemáticos em finanças. Eles se aprofundam no tópico de precificação de opções de venda e explicam o conceito de hedge. Processos estocásticos e modelagem de preços de ativos também são abordados, com a introdução do lema de Ito como uma ferramenta para resolver equações diferenciais estocásticas.

Para ilustrar a aplicação prática desses conceitos, o instrutor apresenta um exemplo de estratégia de treinamento em que um investidor busca proteger seu investimento de uma possível queda no valor das ações. Eles sugerem a compra de seguros na forma de opções de venda para garantir uma quantia mínima de dinheiro no pior cenário.

Passando para a negociação de opções, o palestrante enfoca o uso de opções de venda para se proteger contra movimentos de queda nos preços das ações. No entanto, eles observam que a compra de opções de venda pode ser cara, principalmente quando a volatilidade das ações é alta, como exemplificado pela Tesla. Para reduzir os custos das opções, pode-se diminuir o preço de exercício, mas isso significa aceitar um preço mais baixo para a ação. O palestrante fornece uma captura de tela da Reuters mostrando diferentes tipos de opções disponíveis no mercado, categorizadas por vencimento e preço de exercício. Eles também explicam a relação entre o preço de exercício e os preços das opções de compra e venda.

A volatilidade implícita é introduzida como uma medida da incerteza do mercado. O palestrante explica que os preços de exercício mais baixos estão associados a uma maior volatilidade implícita. Delta, que mede a dependência do valor de uma opção em relação ao ativo subjacente, também é introduzido. O vídeo então aprofunda o conceito de hedge e como um índice pode ser estabelecido para obter um portfólio sem risco, embora potencialmente limitando os ganhos se o valor da ação não aumentar. O hedge com opções é discutido, destacando sua adequação para investimentos de curto prazo, mas observando seu custo potencial em períodos de alta volatilidade.

A negociação de opções é mais explorada como meio de cobertura e redução de risco. O palestrante sugere que as opções normalmente são mais desejáveis para investimentos de curto prazo com vencimento definido, pois podem ser caras para investimentos de longo prazo. O conceito de hedging com call é introduzido, enfatizando como a venda de opções pode ajudar a reduzir o risco para os investidores que possuem uma grande carteira de ações. No entanto, recomenda-se cautela contra a venda de muitas opções de compra, pois pode restringir o potencial de valorização e sempre traz um certo grau de risco.

O vídeo então investiga as commodities, explicando que são matérias-primas usadas como proteção contra a inflação devido aos seus padrões de preços imprevisíveis, mas muitas vezes sazonais. A negociação de commodities é realizada principalmente no mercado futuro, onde são feitos negócios para comprar ou vender commodities em uma data futura. A distinção entre os mercados de eletricidade e outras commodities é destacada, com a eletricidade apresentando desafios únicos devido à sua incapacidade de ser totalmente armazenada e seu impacto na previsibilidade e valor dos derivativos.

O palestrante passa a discutir a negociação de moedas como uma classe de ativos, comumente chamada de mercado de câmbio. Ao contrário da compra ou venda tradicional de uma determinada taxa de câmbio, os indivíduos trocam quantias de dinheiro entre moedas. O palestrante enfatiza o papel do dólar americano como moeda base e moeda de reserva. Eles também abordam a manipulação das taxas de câmbio pelos bancos centrais para fortalecer ou enfraquecer as moedas. Adicionalmente, é mencionada uma pequena aplicação de derivados cambiais para cobertura de riscos cambiais em negócios internacionais.

O palestrante explica como bancos e instituições financeiras podem comprar ou vender seguros contra taxas de câmbio flutuantes para gerenciar incertezas de investimento. Investir em diferentes países pode introduzir incertezas devido à variação da força da moeda e das políticas monetárias, levando a retornos incertos. O financiamento computacional desempenha um papel crucial no gerenciamento e cálculo dos riscos associados a esses investimentos, modelando incertezas e considerando vários fatores. O palestrante observa ainda que os bitcoins podem ser considerados taxas de câmbio e discute sua natureza híbrida como uma mercadoria regulamentada com valor determinado por meio de câmbio em relação ao dólar americano. A volatilidade dos bitcoins torna seu valor futuro difícil de prever.

Além disso, o palestrante explora o conceito de precificação neutra ao risco, que é um princípio fundamental na precificação de opções. A precificação neutra ao risco assume que, em um mercado perfeitamente eficiente, o retorno esperado de uma opção deve ser igual à taxa livre de risco. Essa abordagem simplifica o processo de precificação considerando as probabilidades de diferentes resultados com base em uma medida neutra ao risco, onde o retorno esperado da opção é descontado à taxa livre de risco.

Em seguida, o palestrante apresenta o modelo Black-Scholes-Merton (BSM), que é um modelo matemático amplamente utilizado para precificação de opções. O modelo BSM incorpora vários fatores, como o preço atual das ações, preço de exercício, tempo até o vencimento, taxa de juros livre de risco e volatilidade do ativo subjacente. Ele assume que o ativo subjacente segue o movimento browniano geométrico e que o mercado é eficiente.

O palestrante explica os principais componentes do modelo BSM, incluindo a fórmula para calcular o valor de uma opção de compra ou venda europeia. Eles enfatizam a importância da volatilidade na precificação de opções, pois uma maior volatilidade aumenta o valor de uma opção devido ao potencial de maiores flutuações de preço. O palestrante também menciona o papel da volatilidade implícita, que é a expectativa do mercado sobre a volatilidade futura implícita nos preços das opções.

Em seguida, a palestra aprofunda o conceito de delta hedging, que é uma estratégia utilizada para minimizar o risco mantendo uma posição neutra no ativo subjacente. Delta mede a sensibilidade do preço de uma opção às mudanças no preço do ativo subjacente. Ao ajustar o número de ações detidas no ativo subjacente, um investidor pode criar uma carteira delta-neutra que é menos afetada pelos movimentos de preços.

O palestrante explica o processo de cobertura delta usando o modelo BSM e demonstra como ele pode efetivamente reduzir o risco. Eles discutem o conceito de hedge dinâmico, em que o hedge é continuamente ajustado à medida que o preço do ativo subjacente muda. Isso garante que o portfólio permaneça delta neutro e minimize a exposição às flutuações do mercado.

Além do delta hedging, a palestra aborda outras técnicas de gerenciamento de risco, como gamma hedging e vega hedging. Gama mede a taxa de variação do delta, enquanto vega mede a sensibilidade do preço de uma opção às mudanças na volatilidade implícita. Essas técnicas permitem que os investidores gerenciem e ajustem suas posições com base nas mudanças nas condições e riscos do mercado.

No final da palestra, o palestrante destaca as limitações e suposições do modelo BSM. Eles reconhecem que os mercados do mundo real podem se desviar das suposições do modelo, como a presença de custos de transação, restrições de liquidez e o impacto de fricções de mercado. O palestrante incentiva uma abordagem cautelosa e enfatiza a importância de entender as limitações e incertezas associadas aos modelos de precificação de opções.

No geral, a palestra fornece uma visão abrangente da confiança comercial, estratégias de cobertura, modelos de precificação de opções e técnicas de gerenciamento de risco. Ele equipa os alunos com conhecimentos e ferramentas essenciais para navegar no complexo mundo dos mercados financeiros e tomar decisões informadas nas atividades de negociação e investimento.

• 00:00:00 Nesta seção, o instrutor explica os assuntos de negociação de confiança, hedging e a necessidade de modelos que serão aprendidos no curso. Eles detalham como precificar as opções de venda e o conceito de hedge. O instrutor também aborda processos estocásticos e como modelar preços de ativos. Eles apresentam o lema de Ito e como ele pode ser usado para resolver equações diferenciais estocásticas. Por fim, o instrutor dá um exemplo de estratégia de treinamento em que um investidor gostaria de proteger seu investimento de uma possível queda no valor de uma ação. Para fazer isso, eles podem comprar um seguro para garantir que tenham pelo menos uma certa quantia de dinheiro no pior cenário.
  
  
• 00:05:00 Nesta seção, o palestrante discute o uso de opções de venda para se proteger contra movimentos de queda no preço de uma ação. No entanto, comprar uma opção de venda pode ser caro, especialmente quando a volatilidade da ação é alta, como é o caso da Tesla. Para tornar a opção mais barata, pode-se diminuir o preço de exercício, embora isso signifique aceitar um preço mais baixo para a ação. Em seguida, o palestrante mostra uma captura de tela da Reuters, que demonstra os diferentes tipos de opções disponíveis no mercado, categorizadas por vencimento e preço de exercício, e explica a relação entre o preço de exercício e os preços das opções de compra e venda.
  
  
• 00:10:00 Nesta seção, é introduzido o conceito de volatilidade implícita, descrevendo-a como uma medida de incerteza no mercado. Quanto menor o preço de exercício, maior a volatilidade implícita, e o delta também é introduzido como uma medida de quanto o valor de uma opção depende do ativo subjacente. O vídeo explica como funciona o hedge e como existe um índice que resulta em nenhum movimento no valor de uma carteira, fornecendo resultados instantâneos sem risco, mas também pode limitar ganhos potenciais se o valor da ação não aumentar. O hedge com opções é então discutido e é explicado que é adequado para quem não planeja manter suas ações por muito tempo, embora possa ser caro quando a volatilidade é alta.
  
  
• 00:15:00 Nesta seção, o palestrante aborda a negociação de opções como forma de proteção e redução de riscos. Eles explicam que as opções geralmente são desejáveis apenas para investimentos de curto prazo com vencimento definido e que usá-las para investimentos de longo prazo pode ser caro. O palestrante também fala sobre o conceito de hedge com call e como a venda de opções pode ser uma forma de reduzir o risco para investidores que possuem uma grande carteira de ações. No entanto, eles alertam que vender muitas opções de compra pode reduzir o potencial de valorização de possuir ações, e que a negociação de opções sempre traz algum grau de risco.
  
  
• 00:20:00 Nesta seção, o vídeo explora as commodities, que são matérias-primas como metais preciosos, petróleo e produtos alimentícios que costumam ser usadas como proteção contra a inflação porque seus preços são imprevisíveis, mas geralmente apresentam efeitos sazonais. A negociação de commodities é feita principalmente no mercado futuro, onde são feitos acordos para comprar ou vender a commodity em algum momento futuro. A diferença entre os mercados de eletricidade e outras commodities é que a eletricidade não pode ser totalmente armazenada, o que dificulta o mercado, especialmente se a previsibilidade e o aumento de um derivativo dependerem da eletricidade. Os mercados de energia para commodities geralmente lidam especificamente com o comércio e o fornecimento de energia e são regulados por autoridades internacionais nacionais para proteger os direitos do consumidor e evitar oligopólios.
  
  
• 00:25:00 Nesta seção, o palestrante discute a classe de ativos de moedas, também conhecido como mercado de câmbio. É único porque os indivíduos não podem comprar ou vender uma determinada taxa de câmbio. Em vez disso, eles trocam quantias de dinheiro de uma moeda para outra. O dólar é considerado a moeda base e é uma moeda de reserva. O mercado de câmbio está entre os mercados mais manipulados do mundo devido ao acesso dos Bancos Centrais às reservas. Eles podem influenciar ou manipular as taxas de câmbio para fortalecer ou enfraquecer uma moeda. O palestrante também fala sobre uma pequena aplicação no mercado de câmbio, onde um derivativo pode ser usado para se proteger contra riscos cambiais em negócios no exterior.
  
  
• 00:30:00 Nesta seção, o palestrante discute como bancos e outras instituições financeiras podem comprar ou vender seguros contra taxas de câmbio flutuantes para lidar com incertezas de investimento. Ao investir no exterior, diferentes países podem ter diferentes pontos fortes em suas moedas e políticas monetárias que podem levar a retornos incertos. As finanças computacionais estão focadas em gerenciar e calcular os riscos envolvidos nesses tipos de investimentos, modelando essas incertezas e levando em conta inúmeros fatores. O palestrante também destaca que bitcoins podem ser considerados taxas de câmbio, e é um produto híbrido interessante, pois é regulamentado como commodity, mas sua qualidade é determinada por meio de sua cotação em relação ao dólar americano. Além disso, há volatilidade no preço dos bitcoins, tornando difícil prever seu valor no futuro.
  
  
• 00:35:00 Nesta seção, o palestrante discute o uso de opções de venda para proteger os lucros dos investimentos em Bitcoin. O valor de uma opção de venda depende de quão longe o preço de exercício está do valor atual do Bitcoin, com um preço de exercício mais alto resultando em um preço mais alto para a opção. No entanto, jogar neste mercado requer uma quantidade substancial de capital devido à quantidade significativa de dinheiro necessária para pagar o seguro. A volatilidade do Bitcoin também aumenta a incerteza e o custo de investir em opções. O palestrante também faz um breve histórico das opções e explica que as opções com prazos de vencimento mais longos tendem a ser mais caras que os ativos subjacentes devido ao custo do seguro.
  
  
• 00:40:00 Nesta seção do vídeo, o palestrante apresenta e explica diferentes tipos de opções, incluindo opções europeias, americanas, bermudas e exóticas/dependentes do caminho. As opções européias só podem ser exercidas na data de vencimento/vencimento, enquanto as opções americanas podem ser exercidas em qualquer dia de negociação, tornando-as mais caras. As opções das Bermudas têm datas de exercício específicas, enquanto as opções exóticas/dependentes do caminho são personalizadas e não muito líquidas. O palestrante discute vários termos relacionados a opções, como vencimento, preço de exercício, portfólio, lançador e engenharia financeira. O foco principal da série de palestras é precificar as opções com precisão e minimizar os riscos associados a elas. O palestrante também simplifica a discussão com um gráfico e enfatiza a importância de entender os principais fatores que impulsionam a precificação de opções.
  
  
• 00:45:00 Nesta seção, o professor discute a precificação e comparação de opções de ações usando modelos estatísticos e análise de regressão. O foco está na perspectiva de um lançador de uma opção que gostaria de proteger sua posição para vender uma opção e ao mesmo tempo se proteger contra o risco da ação subir ou descer. Ao proteger uma carteira, um lançador pode vender uma opção e receber um valor, VC0, e um valor delta, que deve ser compensado por meio da compra ou venda de uma certa quantidade de ações para se proteger contra qualquer exposição potencial. O redator deve considerar dois cenários ao decidir sobre o delta, se a ação sobe ou desce, para minimizar o risco e maximizar o lucro.
  
  
• 00:50:00 Nesta seção da palestra, o professor explica como construir um portfólio de forma que não seja afetado pelas oscilações do mercado. Para conseguir isso, o valor da carteira não deve mudar, independentemente de a ação subir ou descer. O professor usa um exercício simples para determinar o delta, que é a diferença entre o estoque em alta e o estoque em baixa. Uma vez calculado, pode ser substituído para determinar o valor da opção, que se encontra menor que o preço do volume. Isso significa que a análise estatística usada para prever a ação não tem nada a ver com o valor de uma opção, que depende da ação. Verificou-se que a diferença nos valores das opções é mais importante do que a probabilidade, o que pode estar relacionado à maior volatilidade da ação levando ao preço mais alto.
  
  
• 00:55:00 Nesta seção, são discutidos os fatores que determinam o preço de uma opção, incluindo o estado atual da ação, vencimento e volatilidade. As taxas de juros também desempenham um papel na determinação do valor de uma opção. Maior tempo para expirar e maior volatilidade aumentam a chance de uma opção estar dentro do dinheiro, enquanto a paridade de saída indica que existe uma relação entre chamadas e opções de venda. Ao alternar entre os dois, é possível avaliar numericamente qual é mais benéfico. Não há necessidade de fazer qualquer suposição em relação ao estoque ao usar a paridade de saída e, se a relação não for válida, existe arbitragem.
  
  
• 01:00:00 Nesta seção, o palestrante discute o conceito de arbitragem e apresenta uma estratégia que envolve o uso de informações sobre calls e puts para identificar se existe arbitragem no mercado. A importância de modelar o comportamento aleatório no mercado de ações também é enfatizada e os dois modelos comuns, movimento browniano geométrico e aritmético, são apresentados. O palestrante destaca como isso permite que as ações fiquem negativas, o que não é desejável. Além disso, discute-se o conceito de retorno sobre o investimento e realiza-se um pequeno experimento utilizando dados de mercado de cinco anos para medir retornos percentuais. Os retornos são mostrados para oscilar em torno de zero com saltos ocasionais para cima ou para baixo.
  
  
• 01:05:00 Nesta seção, o vídeo discute o uso de retornos coletados para estimar a densidade de retornos ao longo do tempo, que tem uma média de zero e um desvio padrão de um por cento. A função de distribuição cumulativa empírica é comparada a uma distribuição normal, mostrando que a primeira tem uma cauda mais grossa e não vai tão rápido para zero quanto a obtida com a distribuição empírica. O vídeo apresenta o processo de Wiener, também conhecido como movimento browniano, como uma prática comum para modelar o ruído com o objetivo de modelar a aleatoriedade em um estoque. O processo de Wiener tem muitas propriedades desejáveis, incluindo zero retornos no tempo t0, incrementos estacionários independentes, uma distribuição normal com média zero e variância t e um caminho contínuo sem saltos. O vídeo também discute os dois principais componentes da modelagem de ações: tempo e volatilidade, que direcionam o preço e são elevados ao quadrado no modelo.
  
  
• 01:10:00 Nesta seção, o palestrante explica a definição de um processo estocástico e seu uso na modelagem de preços e retornos de ações. Um processo estocástico é uma variável aleatória com dois parâmetros - tempo e espaço probabilístico. O palestrante fornece uma definição formal de um processo estocástico como uma coleção de variáveis aleatórias definidas em duas dimensões. Eles também discutem o processo Geometric Brownian Motion, que é usado para simular preços de ações. O processo consiste em um termo de deriva e um termo de volatilidade e pode ser discretizado para modelar os preços das ações em cada passo de tempo. O palestrante enfatiza a importância de levar em consideração o componente temporal na modelagem de preços e retornos de ações.
  
  
• 01:15:00 Nesta seção do vídeo, o palestrante discute equações diferenciais estocásticas e a forma integral. Eles descrevem o modelo Samelson, que é um processo da forma de movimento geométrico browniano. Este modelo se ajusta muito bem aos dados reais para ações e índices quando calibrado para as realizações históricas do caminho. No entanto, não é adequado para calibração de opções, e as discrepâncias nos dados reais parecem ter uma probabilidade maior de grandes aumentos e quedas do que o modelo prevê. Isso se deve à natureza gaussiana do modelo, onde eventos extremos não podem acontecer e a maioria das informações está dentro de intervalos de três sigma.
  
  
• 01:20:00 Nesta seção, o palestrante discute vários modelos usados para opções com ênfase no papel da volatilidade como principal direcionador desses modelos. Os modelos usados para opções são determinados pela volatilidade e, ao abordar questões como falta de ajuste nas caudas, possíveis soluções alternativas incluem a inclusão de saltos ou volatilidade estocástica. O palestrante também apresenta três processos, movimento browniano aritmético, movimento browniano geométrico e o processo de Ornstein-Uhlenbeck, com foco em seus recursos e diferenças. Embora o movimento Browniano aritmético seja simples, os retornos das ações podem ser negativos, tornando o movimento Browniano geométrico preferível porque os valores do processo sempre permanecem positivos. Finalmente, o processo de Ornstein-Uhlenbeck é representado por uma versão do velocímetro com uma média de longo prazo e um parâmetro que representa a velocidade com que os caminhos oscilarão em torno dessa média.
  
  
• 01:25:00 Nesta seção, o palestrante discute as diferenças entre vários processos estocásticos usados em diferentes classes de ativos, como o movimento browniano geométrico sendo comumente usado para ações, já que as ações não podem ser negativas e normalmente experimentam crescimento exponencial. A palestra também apresenta o Lema de Ito, uma ferramenta em finanças usada para encontrar a solução para uma equação diferencial estocástica específica. O lema ensina o que é a dinâmica de um processo, dada uma função do processo, e o palestrante explica como isso possibilita a resolução manual de muitas equações diferenciais. O principal elemento a ser lembrado ao lidar com o Lema de Ito é a tabela de Ito.
  
  
• 01:30:00 Nesta seção, o palestrante discute o uso da tabela Ethos para encontrar a equação diferencial estocástica para um determinado processo. O lema de Ito é uma ferramenta poderosa para encontrar a dinâmica de um processo, dado um segundo processo em uma função que gostaria de aplicar, e pode ser facilmente aplicado se memorizar a tabela. O palestrante fornece um exemplo de processo de estoque usando movimento browniano geométrico e função logarítmica para encontrar a dinâmica e, por meio da aplicação da tabela, resta apenas um elemento na equação, que é usado para encontrar a solução final.
  
  
• 01:35:00 Nesta seção, o palestrante discute a solução para um processo de estoque em termos do movimento browniano e logaritmo de um processo de estoque. O logaritmo de um processo de estoque tem uma distribuição Gaussiana com uma parte constante e uma parte de movimento Browniano aritmético. A função de densidade para o logaritmo de um processo de estoque é uma distribuição log-normal com média e variância determinadas pelos parâmetros do processo. O palestrante explica como diferentes parâmetros afetam a distribuição log-normal do processo, como mudanças na volatilidade resultando em uma distribuição mais ampla.
  
  
• 01:40:00 Nesta seção, o palestrante discute o impacto de mu na variância de um processo e o efeito resultante na distribuição do processo. Um mu mais alto leva a uma distribuição de cauda mais grossa e aumenta a volatilidade do processo. O locutor então mostra um processo normal simulado e um processo normal logarítmico, no qual o último tem uma densidade assimétrica e uma cauda mais grossa voltada para cima. Isso reflete os estoques movidos pelo movimento de limite geométrico e sua forma exponencial de densidade.

[MetaQuotes]

Finanças Computacionais: Aula 3/14 (Precificação de Opções e Simulação em Python)

Finanças Computacionais: Aula 3/14 (Precificação de Opções e Simulação em Python)

Na palestra, o instrutor se aprofunda na simulação de trajetória de ações em Python e explora o modelo Black-Scholes para opções de precificação. Eles discutem duas abordagens para derivar o preço livre de arbitragem para opções, ou seja, cobertura e martingales. O palestrante demonstra como programar martingales e simulá-los, destacando a conexão entre as equações diferenciais parciais (PDEs) e a simulação de Monte Carlo na estrutura de preços.

Usando o método de discretização de Euler, o palestrante explica como simular e gerar gráficos de processos estocásticos. Eles começam com um processo simples e empregam o lema de Ito para mudar de S para X, o logaritmo de S. O palestrante então apresenta o método de discretização de Euler e demonstra sua implementação em Python. Este método envolve discretizar a função contínua e simular os incrementos tanto para deriva quanto para movimento browniano, resultando em gráficos de caminhos simulados.

Do ponto de vista computacional, o palestrante discute a simulação de caminhos para modelos de precificação de opções. Em vez de simular cada caminho individualmente, eles explicam a eficiência de realizar fatias de tempo e construir uma matriz onde cada linha representa um caminho específico. O número de linhas corresponde ao número de caminhos, enquanto o número de colunas corresponde ao número de intervalos de tempo. O palestrante explica a implementação do processo de discretização usando a variável aleatória normal padrão e enfatiza a importância da padronização para uma melhor convergência.

A palestra também cobre a simulação de caminhos para movimento browniano geométrico usando Python. O palestrante ilustra como fixar uma semente aleatória para simulações estáveis e apresenta o modelo Black-Scholes, que envolve uma equação diferencial estocástica com deriva e parâmetros como mu e sigma para modelagem de preços de ativos. O palestrante destaca que o modelo Black-Scholes ainda é amplamente utilizado no setor financeiro, principalmente para precificação de opções sobre ações. Eles discutem os conceitos de medida do mundo real e medida neutra ao risco, que auxiliam na precificação de opções com base em diferentes probabilidades de resultado.

Além disso, a palestra explora preços de opções e simulação em Python. O palestrante distingue entre a medida do mundo real, estimada com base em dados históricos sem assumir arbitragem ou condições livres de risco, e a medida neutra ao risco, que requer certas condições para se manter. Eles apresentam uma estratégia de negociação envolvendo negociação contínua em uma ação e ajustando a posição da opção para capturar o movimento da ação subjacente. O palestrante explica a dinâmica do portfólio usando o lema de Ito e deriva a natureza estocástica dos valores das opções por meio desse método.

O palestrante também se aprofunda em técnicas para construir uma carteira de hedge independente do movimento browniano. Eles discutem a escolha de um delta que anule os termos envolvendo o movimento browniano, garantindo um portfólio delta neutro. O palestrante destaca a importância da carteira ter o mesmo retorno que a poupança e apresenta o conceito de conta de depósito.

Além disso, a palestra aborda a derivação de equações diferenciais parciais (PDEs) para avaliação de opções usando o modelo de Black-Scholes. A PDE resultante é um derivativo de segunda ordem com condições de contorno que determinam o valor justo de uma opção. O palestrante enfatiza que a precificação das opções do modelo Black-Scholes não depende significativamente do parâmetro de deriva mu, que pode ser obtido a partir de calibração ou dados históricos. No entanto, os custos de transação para cobertura não são considerados neste modelo.

A palestra aborda vários conceitos importantes dentro do modelo Black-Scholes e precificação de opções. Discute a hipótese de não haver oportunidades de arbitragem, levando a um cenário livre de riscos para a aplicação do modelo. O palestrante explica o conceito de delta hedging e como ele elimina o maior componente aleatório de uma carteira. Além disso, o palestrante apresenta o gama como uma medida do comportamento do delta e enfatiza que todos os parâmetros do modelo podem ser protegidos. Finalmente, a palestra explora os fatores determinantes do valor de uma opção, como tempo, exercício, volatilidade e parâmetros relacionados ao mercado.

Na palestra, o palestrante explora ainda mais o modelo Black-Scholes e sua aplicação na precificação de opções. Eles discutem as suposições e limitações do modelo, incluindo a suposição de volatilidade constante e a ausência de custos de transação. Apesar dessas limitações, o modelo Black-Scholes continua amplamente utilizado no setor financeiro devido à sua simplicidade e eficácia na precificação de opções europeias de compra e venda.

O palestrante introduz o conceito de volatilidade implícita, que é a expectativa do mercado sobre a volatilidade futura derivada dos preços atuais das opções. A volatilidade implícita é um parâmetro crucial no modelo de Black-Scholes, pois afeta o preço das opções. O palestrante explica como a volatilidade implícita pode ser obtida a partir de dados de mercado usando o modelo e discute sua importância nas estratégias de negociação de opções.

A palestra investiga várias estratégias de negociação de opções, como cobertura delta e negociação gama. A cobertura delta envolve o ajuste contínuo da composição da carteira para manter uma posição neutra em relação às mudanças no preço do ativo subjacente. A negociação gama concentra-se na exploração de mudanças na gama, que mede como o delta muda em relação ao preço do ativo subjacente. Essas estratégias visam gerenciar o risco e maximizar a lucratividade na negociação de opções.

O palestrante também aborda outros fatores importantes que influenciam os preços das opções, incluindo decaimento de tempo (theta), taxas de juros (rho) e rendimento de dividendos. Eles explicam como esses fatores afetam o preço das opções e como os traders podem usá-los para tomar decisões informadas.

Ao longo da palestra, a programação Python é utilizada para demonstrar a implementação de vários modelos de precificação de opções e estratégias de negociação. O palestrante fornece exemplos de código e explica como utilizar bibliotecas e funções para realizar cálculos e simulações.

Em resumo, a palestra fornece uma visão abrangente da precificação e simulação de opções usando o modelo Black-Scholes e conceitos relacionados. Ele enfatiza a aplicação prática desses conceitos na programação Python, tornando-o um recurso valioso para pessoas interessadas em finanças quantitativas e negociação de opções.

• 00:00:00 Nesta seção da palestra, o instrutor discute a simulação de trajetória de estoque em Python e o modelo Black-Scholes para precificação. Ele explica as duas maneiras de derivar o preço livre de arbitragem para opções, por meio de hedge e martingales, e demonstra como programar martingales e simulá-los. Ele também discute a relação entre equações diferenciais parciais (PDE) e simulação de Monte Carlo em uma estrutura de preços e como distinguir diferentes medidas em uma equação diferencial estocástica. A palestra termina com uma demonstração do modelo Black-Scholes e uma demonstração de como realizar a precificação usando Python.
  
  
• 00:05:00 Nesta seção, o palestrante discute como simular e gerar gráficos de processos estocásticos usando o método de discretização de Euler. Eles começam com um processo simples da aula anterior e usam o lema de Ito para mudar de S para X, o logaritmo de S. Eles então explicam o método de discretização de Euler e como implementá-lo usando Python. O método envolve discretizar a função contínua e simular os incrementos para ambos os movimentos, deriva e browniano. O código mostrado no vídeo é utilizado para gerar os gráficos dos caminhos simulados.
  
  
• 00:10:00 Nesta seção, o palestrante discute a perspectiva computacional de simular caminhos para um modelo de precificação de opções. Ao invés de simular cada caminho individualmente, é computacionalmente eficiente realizar fatias de tempo e construir uma matriz onde cada linha corresponde a um caminho particular. O número de linhas é determinado pelo número de caminhos e o número de colunas é determinado pelo número de intervalos de tempo. O palestrante explica a implementação da discretização do processo usando a variável aleatória normal padrão e como a padronização ajuda a alcançar uma melhor convergência.
  
  
• 00:15:00 Nesta seção, o palestrante explica como simular caminhos de um movimento browniano geométrico usando Python, incluindo como corrigir uma semente aleatória para simulações estáveis. Eles também apresentam o modelo Black-Scholes, que inclui uma equação diferencial estocástica com desvio e parâmetros como mu e sigma, para modelar o preço de um ativo como uma ação. Eles observam que esse modelo ainda é comumente usado no setor financeiro e explicam como ele pode ser usado para precificar opções sobre ações. O palestrante também discute o conceito de medida do mundo real e medida neutra ao risco, que ajudam a precificar opções com base nas probabilidades de diferentes resultados.
  
  
• 00:20:00 Nesta seção, a palestra discute precificação de opções e simulação em Python. A medida do mundo real é explicada como os parâmetros estimados com base em dados históricos, sem assumir nada sobre arbitragem ou ausência de risco, enquanto a medida neutra ao risco requer condições arbitrárias para se manter. É apresentada uma estratégia em que alguém detém uma opção e negocia continuamente uma ação para manter algumas ações, comprando ou vendendo uma opção para capturar o movimento da ação subjacente. A carteira é consistentemente reequilibrada todos os dias para corresponder ao seu valor e proteger contra quaisquer flutuações do estoque subjacente. O Lema de Ito é aplicado para encontrar a dinâmica do portfólio, e o valor de uma opção é derivado estocástico por meio desse método.
  
  
• 00:25:00 Nesta seção da palestra, o palestrante discute a substituição da dinâmica por estoque para aplicar o lema de Ito e lidar com um termo quadrado. Eles então explicam como construir uma carteira de hedge que não dependa do movimento browniano, o que é obtido escolhendo um delta para o qual todos os termos em torno do movimento browniano serão iguais a zero. O palestrante também discute como essa carteira deve dar o mesmo rendimento que colocar todo o dinheiro em uma conta poupança e explica a representação do dinheiro por meio de contas de depósito de dinheiro.
  
  
• 00:30:00 Nesta seção, o palestrante explica como derivar uma equação diferencial parcial (PDE) para avaliar opções usando o modelo de Black-Scholes. A PDE resultante é um derivativo de segunda ordem com condições de contorno que podem ser usadas para determinar o valor justo de uma opção. Curiosamente, o modelo não depende do parâmetro mu, o que significa que os desvios obtidos da calibração ou dados históricos não impactam significativamente a precificação de opções em uma estrutura neutra ao risco. No entanto, é importante observar que os custos de transação para cobertura não são considerados neste modelo.
  
  
• 00:35:00 Nesta seção, o palestrante discute vários conceitos importantes do modelo Black-Scholes e precificação de opções. A primeira é a suposição de que não há possibilidades de arbitragem, significando que o modelo é aplicado em um cenário livre de risco. O palestrante também explica o delta hedge e como ele elimina o maior componente aleatório de uma carteira. Além disso, o palestrante apresenta a importância do gama, que mede como o delta se comporta e como cada parâmetro do modelo pode ser protegido. Finalmente, o palestrante discute os fatores determinantes do valor de uma opção, incluindo tempo, exercício, volatilidade e parâmetros relacionados ao mercado. Uma das descobertas mais significativas do modelo Black-Scholes é que a equação de precificação não depende de mu, que não é um componente super importante na precificação de opções.
  
  
• 00:40:00 Nesta seção, o palestrante discute precificação de opções e simulação em Python. Eles analisam um gráfico exibindo diferentes opções de venda e compra para SMP com um valor atual de 3.800, vencimentos variados e a volatilidade implícita obtida da volatilidade implícita e delta de Black-Scholes. Eles explicam que o modelo de Black-Scholes, apesar de suas limitações e premissas, é considerado o padrão de mercado para precificação de opções. O palestrante então apresenta martingales, que oferecem uma forma alternativa de determinar o valor justo de uma opção. Eles explicam o conceito de filtração e as três condições para que um processo estocástico seja considerado um martingale. Eles observam que a terceira condição é a mais importante e que os martingales são um método útil para BD de alta dimensão.
  
  
• 00:45:00 Nesta seção do vídeo, é discutido o conceito de martingale e sua relação com justiça e arbitragem nula. As condições para verificar se o movimento browniano é um martingale são explicadas e demonstradas por meio de exemplos. A independência dos incrementos do movimento browniano e a propriedade das expectativas lineares também são abordadas. O exemplo envolvendo a distribuição normal de log é apresentado e a condição principal que precisa ser verificada para determinar se é um martingale é explicada.
  
  
• 00:50:00 Nesta seção, o palestrante discute o uso do método de filtração para calcular a expectativa de e wt-s e confirma que o processo dado na linha anterior satisfaz a condição marginal e é um martingale. A principal conclusão desta seção é que um processo integral estocástico é um martingale, e sempre que um processo definido é um integral sem deriva, xt é sempre um martingale com relação à filtração. O processo sem deriva também pode ser representado na forma diferencial como dxt = dt * dw t.
  
  
• 00:55:00 Nesta seção, o palestrante discute se o preço de uma ação é ou não um martingale. As ações normalmente não são martingales porque seria um mau investimento se você esperasse a mesma quantia de dinheiro que investiu no futuro. No entanto, se você considerar um processo de estoque descontado e descontar os fluxos de caixa futuros para hoje, esperaria que o valor da empresa fosse igual ao valor que vê hoje. O palestrante aplica o lema de Ito e descobre a dinâmica de s sobre m para ver se esse termo é um martingale. A aplicação do teorema do processo integral estocástico pode determinar as condições sob as quais isso ocorre. A primeira derivada parcial em relação ao estoque é um sobre m, e a segunda derivada é zero, então este termo é um martingale.
  
  
• 01:00:00 Nesta seção, o palestrante discute como alternar entre medidas para transformar a dinâmica do processo de estoque com desconto em martingale sob a medida Q, que é a medida de interesse. O palestrante mostra como mudar a expectativa de medida P mensurável para medida Q e explica que, uma vez que tenhamos o processo e a medida, podemos derivar a transformação da medida. Ao impor a condição de que o processo de estoque com desconto deve ser um martingale na medida Q, o falante cancela os termos principais e deriva a transformação da medida para alternar entre as medidas.
  
  
• 01:05:00 Nesta seção da palestra, o instrutor discute o ponto de partida para equações de precificação que envolvem uma expectativa sob medida neutra ao risco de um retorno futuro descontado para hoje. Isso forma o preço de mercado de um derivativo, e a equação para a dinâmica dessa expressão envolve o preço de mercado do risco, que informa a relação entre o crescimento esperado de uma ação em comparação com a taxa de juros, dimensionada para volatilidade. O instrutor demonstra como usar o lema de Itô para encontrar a dinâmica dessa expressão e, após a simplificação, a equação resultante é a mesma que a expressão para PDE na equação de Black-Scholes.
  
  
• 01:10:00 Nesta seção, o palestrante explica que ao calcular uma expectativa sob uma medida neutra ao risco, não é permitido considerar um processo que não esteja sob a medida neutra ao risco. Isso significa que o processo utilizado para a expectativa deve ter r para descontá-la. Portanto, no processo utilizado para a expectativa, o desvio deve ser sempre alterado de m para r. O palestrante usa o código Python para demonstrar como verificar se uma ação é um martingale ou não e apresenta um valor de estoque com desconto usando o dinheiro economizado em contas. Eles também aumentam o número de caminhos para simulação para melhorar a precisão, mas alertam contra a plotagem de todos os caminhos por motivos de desempenho.
  
  
• 01:15:00 Nesta seção, o palestrante discute a conexão entre simulação de Monte Carlo e equações diferenciais parciais (PDEs) para precificação de opções. O palestrante apresenta uma PDE genérica e enfatiza que a PDE não depende de μ e sim da taxa de juros, r. Para relacionar a precificação com a simulação de Monte Carlo à solução desse PDE, o palestrante apresenta a fórmula de Feynman-Kac, que estabelece o vínculo entre PDEs e processos estocásticos e oferece um método para resolver determinados PDEs simulando caminhos aleatórios de um processo estocástico. A condição final também é discutida, e o palestrante observa que o desconto geralmente está associado ao preço.
  
  
• 01:20:00 Nesta seção, o palestrante explica como calcular o valor de um derivativo hoje descontando o pagamento futuro esperado e como a taxa livre de risco é usada para descontar os fluxos de caixa futuros. O palestrante também discute o processo estocástico e como relacioná-lo com a equação diferencial parcial (PDE) para o valor da derivada. Aplicando o lema de Itô ao processo, simplificando os termos e integrando os dois lados da equação diferencial estocástica, o palestrante mostra que a expectativa da integral é zero, o que ajuda a provar a relação entre a EDP e o valor da derivada.
  
  
• 01:25:00 Nesta seção, o palestrante explica o cálculo estocástico e seu uso na precificação de opções. Ele mostra como a expectativa de uma integral estocástica envolvendo movimento browniano é sempre zero, o que faz com que o valor de uma opção hoje seja igual à expectativa de retorno de um processo no vencimento. O palestrante demonstra como resolver equações diferenciais parciais com condições terminais usando cálculo estocástico e mostra como a solução de um SDE pode ser obtida calculando o segundo momento da variável e aplicando-o à equação de precificação. Por fim, ele explica que o valor futuro descontado do payoff está sempre relacionado à solução da equação de precificação, e que o desvio do processo é sempre igual ao desvio da medida neutra ao risco.
  
  
• 01:30:00 Nesta seção, o palestrante explica duas abordagens principais para precificação de opções: a abordagem PDE e a abordagem de probabilidade neutra ao risco. A abordagem neutra ao risco envolve a alteração da medida de probabilidade da verdadeira probabilidade estatística para a probabilidade neutra ao risco, o que é especialmente importante ao lidar com martingales. O palestrante também discute as diferenças entre as medidas e quando escolher qual delas, sendo a probabilidade neutra ao risco a probabilidade de um evento ou estado futuro com o qual ambas as partes negociantes do mercado concordam. Isso ajuda a estimar as probabilidades associadas a um determinado evento e a medir seu preço.
  
  
• 01:35:00 Nesta seção, o palestrante explica o conceito de probabilidade neutra ao risco, que é a probabilidade medida pelo mercado que é usada para precificar instrumentos financeiros. A probabilidade neutra ao risco não é uma estatística ou previsão histórica, mas reflete a crença comum do mercado em relação à probabilidade de um evento acontecer. O palestrante mostra como simular simulações de Monte Carlo usando a medida Q ou a medida P. A medida Q é a medida neutra ao risco e é determinada assim que o preço de um contrato é estabelecido, o que nos informa a probabilidade neutra ao risco atribuída a um evento específico. O palestrante enfatiza a importância do uso dessa medida de probabilidade para evitar arbitragem e explica como estimar os parâmetros necessários para as simulações a partir de dados de mercado e dados históricos.
  
  
• 01:40:00 Nesta seção da palestra, o conceito de desvio é discutido em relação à precificação de opções e simulação em Python. A simulação envolve o cálculo da relação entre o estoque a qualquer momento e o dinheiro economizado nas contas, que é um martingale sob a medida de risco neutro. O código é plotado e mostra que sob a medida B, a razão não é um martingale. A segunda parte da palestra envolve a aplicação do famoso modelo de Black-Scholes para encontrar o preço da opção sob o movimento geométrico browniano e derivar a fórmula de Black-Scholes usando uma transformação logarítmica e integrando a função. A expectativa é calculada sob a medida neutra ao risco e o valor do derivativo é obtido pela fórmula de Feynman-Kac.
  
  
• 01:45:00 Nesta seção, o vídeo explica o processo de uso da função geradora cumulante para calcular o preço da opção. Envolve transformar a integral de precificação de opção original em uma versão de função geradora cumulante. A transformação fornece uma distribuição normal mais fácil de manusear do que uma distribuição log-normal. Após a substituição, chegamos ao teorema de precificação de Black-Scholes, uma fórmula famosa para precificação de opções de compra europeias.

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Finanças Computacionais: Aula 4/14 (Volatilidade Implícita)

Finanças Computacionais: Aula 4/14 (Volatilidade Implícita)

Nesta palestra abrangente sobre finanças computacionais, o conceito de volatilidade implícita ocupa o centro do palco, esclarecendo sua importância nos cálculos de precificação de opções. Embora o modelo Black-Scholes sirva de base para o cálculo da volatilidade implícita, suas limitações e ineficiências são devidamente enfatizadas. A palestra investiga várias metodologias para calcular a volatilidade implícita, notadamente processos iterativos como o método de Newton-Raphson. Além disso, o palestrante explora os desafios associados à modelagem de preços de opções e destaca o papel das volatilidades implícitas em refletir as expectativas do mercado. Ao longo da palestra, a importância crucial de compreender a volatilidade na precificação de opções e construir carteiras de hedge eficazes continua sendo um tema central.

A palestra amplia sua exploração, concentrando-se na relação entre os preços das opções e a volatilidade implícita, com ênfase específica em opções de compra e venda líquidas fora do dinheiro. Ele examina diferentes tipos de inclinação da volatilidade implícita, abrangendo parâmetros de volatilidade dependentes do tempo e a influência da dependência do tempo no sorriso da volatilidade implícita. Além disso, a palestra investiga as limitações do modelo Black-Scholes e abordagens alternativas para lidar com modelos de volatilidade, incluindo modelos de volatilidade local, modelos de salto e modelos de volatilidade estocástica. O impacto do vencimento da opção na volatilidade também é elucidado, com opções de vencimento mais curto exibindo uma distribuição mais concentrada em torno do nível monetário em comparação com vencimentos mais longos, onde o efeito sorriso torna-se menos pronunciado.

O professor começa resumindo os principais conceitos abordados nas seções anteriores, especificamente relacionados à precificação de opções e modelagem de volatilidade. A volatilidade implícita é introduzida, destacando seu cálculo a partir de dados de mercado e seu papel na medição da incerteza. O algoritmo para calcular a volatilidade implícita é discutido em detalhes. Além disso, as limitações e eficiências do modelo Black-Scholes são abordadas, juntamente com extensões como a incorporação de parâmetros de volatilidade dependentes do tempo e a geração de superfícies de volatilidade implícita. A palestra também aborda as desvantagens de confiar apenas no modelo Black-Scholes e apresenta modelos alternativos como volatilidade local e volatilidade estocástica. Enfatiza-se a necessidade de especificar um modelo adequado para precificação de sinistros contingentes e a importância de construir uma carteira de hedge composta por opções e ações para chegar a uma equação diferencial parcial (PDE) de precificação.

O palestrante passa a explorar a utilização de expectativas na resolução de equações diferenciais parciais, especificamente ao lidar com uma taxa de juros determinística e a necessidade de considerar as expectativas sob a medida neutra ao risco. A equação de precificação para opções de compra e venda europeias é apresentada, contando com uma função de distribuição cumulativa normal (CDF) de estoque inicial avaliada nos pontos d1, que depende de parâmetros do modelo, juntamente com um expoente envolvendo a taxa de juros ao longo do tempo até o vencimento. A palestra explica que esta fórmula pode ser facilmente implementada no Excel.

A seguir, o palestrante discorre sobre os parâmetros necessários para o modelo Black-Scholes, que serve como ferramenta para estimar preços de opções. Esses parâmetros abrangem tempo até o vencimento, preço de exercício, taxa de juros, valor atual do estoque e o parâmetro de volatilidade, sigma, que precisa ser estimado usando preços de mercado. O palestrante enfatiza a correspondência biunívoca entre o preço da opção e a volatilidade, destacando que um aumento na volatilidade implica em um correspondente aumento no preço da opção e vice-versa. A seguir, discute-se o conceito de volatilidade implícita, enfatizando seu cálculo com base no preço médio e sua importância dentro do modelo de Black-Scholes.

A palestra se aprofunda ainda mais na obtenção de volatilidade implícita de modelos com vários parâmetros. Nota-se que independente do modelo escolhido, este deve passar no teste do modelo Black-Scholes. No entanto, usar o modelo Black-Scholes para precificar todas as opções simultaneamente torna-se impraticável devido às diferentes volatilidades implícitas para cada exercício. A palestra também aponta que as volatilidades implícitas tendem a aumentar com vencimentos mais longos das opções, significando maior incerteza. Um exemplo é fornecido para demonstrar o cálculo da volatilidade implícita usando dados de mercado e uma opção de compra padrão de 100 ações.

O conceito de volatilidade implícita é posteriormente exposto pelo palestrante. Os dados históricos de uma opção são usados para estimar sua volatilidade usando a equação de Black-Scholes. No entanto, o palestrante destaca que, embora essa estimativa forneça um determinado preço para a opção, o mercado pode ter precificado de maneira diferente devido à sua natureza prospectiva, contrastando com a estimativa histórica retrospectiva. Apesar dessa discrepância, a relação entre as duas volatilidades ainda é utilizada para fins de investimento, embora o palestrante recomende cautela contra a confiança puramente especulativa nessa relação. A palestra então explica como calcular a volatilidade implícita usando a equação de Black-Scholes dado o preço de mercado e outras especificações de uma opção. No entanto, o palestrante reconhece que o conceito de volatilidade implícita é inerentemente falho, pois não há um valor correto definitivo, e o modelo usado é uma aproximação, em vez de uma representação verdadeira da precificação de opções.

O palestrante passa a explicar o processo de encontrar a volatilidade implícita empregando o método de Newton-Raphson, uma abordagem iterativa. Esse método envolve a criação de uma função baseada na equação de Black-Scholes e no preço de mercado para resolver o sigma, a volatilidade implícita. O palestrante destaca o uso de uma expansão em série de Taylor para calcular a diferença entre a solução exata e a iteração, com o objetivo de encontrar uma função onde a volatilidade implícita de Black-Scholes coincida com a volatilidade implícita do mercado. A capacidade de calcular a volatilidade implícita rapidamente em milissegundos é crucial para os criadores de mercado identificarem oportunidades de arbitragem e gerarem lucros.

O conceito do processo iterativo para calcular a volatilidade implícita usando o método de Newton-Raphson é introduzido. O processo envolve múltiplas iterações até que a função g se aproxime de zero, com cada nova etapa estimada com base na anterior. O palestrante enfatiza a importância da suposição inicial para a convergência do método de Newton-Raphson. Opções extremamente fora do dinheiro ou opções próximas de zero podem apresentar desafios à medida que a função se torna plana, resultando em um pequeno gradiente que dificulta a convergência. Para superar esse problema, os profissionais geralmente definem uma grade de suposições iniciais. O algoritmo aproxima a função usando sua linha tangente e calcula a interceptação x, com gradientes mais acentuados levando a uma convergência mais rápida.

Além disso, o palestrante explica a implementação do algoritmo de Newton-Raphson para calcular a volatilidade implícita de uma opção. O algoritmo baseia-se no modelo Black-Scholes, com parâmetros de entrada, incluindo o preço de mercado, exercício, prazo de vencimento, taxa de juros, volume inicial de estoque e parâmetro de volatilidade inicial. A convergência do algoritmo é analisada e um limite de erro é determinado. O código é demonstrado usando Python, com métodos e definições necessários preparados com antecedência, aproveitando as bibliotecas NumPy e SciPy.

A palestra discorre sobre o cálculo da volatilidade implícita, enfatizando as entradas necessárias para esse cálculo, como o valor da opção e a derivada do preço de compra em relação ao parâmetro de volatilidade, conhecido como Vega. O núcleo do código envolve o processo passo a passo de calcular a volatilidade implícita, com o palestrante fornecendo explicações sobre os vários parâmetros envolvidos e seu significado. A palestra termina com uma breve demonstração do processo iterativo empregado para calcular a volatilidade implícita.

O palestrante também aborda o tema do erro no cálculo da volatilidade implícita e como ela é determinada pelas diferenças entre as iterações. O gráfico de saída mostra a volatilidade implícita obtida para um preço de chamada, exercício, vencimento e outros parâmetros. O palestrante ilustra como a convergência varia com diferentes estimativas iniciais de volatilidade, ressaltando a importância desse processo na calibração da indústria. A estimativa inicial deve estar próxima da volatilidade implícita real para que o modelo converja com sucesso. Os profissionais da indústria normalmente tentam diferentes volatilidades iniciais até que uma convergência adequada seja alcançada e esse valor de volatilidade específico seja escolhido.

a palestra se aprofunda na interpretação das volatilidades implícitas. As volatilidades implícitas podem fornecer informações sobre as expectativas e o sentimento do mercado. Quando a volatilidade implícita é alta, sugere que os participantes do mercado antecipam flutuações de preço significativas, o que pode indicar incerteza ou risco percebido no ativo subjacente. Por outro lado, volatilidades implícitas baixas indicam expectativas de preços relativamente estáveis.

A palestra enfatiza que as volatilidades implícitas não são uma medida da volatilidade futura, mas sim um reflexo dos preços de mercado. As volatilidades implícitas são influenciadas por vários fatores, como dinâmica de oferta e demanda, sentimento do mercado e apetite de risco dos participantes do mercado. Portanto, é crucial interpretar as volatilidades implícitas no contexto de outros indicadores de mercado e análises fundamentais.

O palestrante também destaca o conceito de superfícies de volatilidade implícita ou sorrisos de volatilidade. As superfícies de volatilidade implícita representam a relação entre volatilidades implícitas e diferentes preços de exercício e vencimentos. Em certas condições de mercado, as volatilidades implícitas das opções out-of-the-money podem ser maiores ou menores do que as opções at-the-money. Essa curvatura na superfície de volatilidade implícita é conhecida como sorriso ou sorriso de volatilidade. A palestra explica que o sorriso de volatilidade indica a percepção dos participantes do mercado sobre a probabilidade de movimentos extremos de preços, como grandes riscos negativos ou eventos positivos inesperados.

Além disso, a palestra aborda o conceito de estruturas a termo de volatilidade implícita. As estruturas a termo de volatilidade implícita descrevem a relação entre volatilidades implícitas e diferentes vencimentos para uma opção específica. O palestrante explica que as estruturas a termo da volatilidade implícita podem apresentar diferentes formatos, como inclinação ascendente (contango), inclinação descendente (backwardation) ou curvas planas. Essas estruturas a termo podem fornecer informações sobre as expectativas do mercado em relação à volatilidade futura em diferentes horizontes de tempo.

Além disso, a palestra investiga as limitações e desafios associados às volatilidades implícitas. Ele enfatiza que as volatilidades implícitas são derivadas dos preços das opções, que são influenciados por vários fatores e premissas, incluindo taxas de juros, rendimentos de dividendos e a hipótese de mercado eficiente. Portanto, as volatilidades implícitas nem sempre refletem com precisão a verdadeira volatilidade subjacente.

Além disso, a palestra discute o conceito de volatilidade histórica e sua comparação com a volatilidade implícita. A volatilidade histórica é calculada com base nos movimentos anteriores dos preços do ativo subjacente, enquanto a volatilidade implícita é derivada dos preços das opções. O palestrante observa que a volatilidade histórica é retrospectiva e pode não capturar totalmente as expectativas futuras do mercado, enquanto a volatilidade implícita incorpora informações prospectivas embutidas nos preços das opções.

Por fim, a palestra termina com um resumo dos principais pontos abordados. Enfatiza a importância de entender a volatilidade implícita, seus métodos de cálculo e sua interpretação no contexto de precificação de opções e expectativas de mercado. O palestrante incentiva a exploração e pesquisa nesta área, dada a sua importância nos mercados financeiros e na tomada de decisões de investimento.

• 00:00:00 Nesta seção da palestra, o professor começa resumindo o que foi aprendido até agora sobre precificação de opções e modelagem de volatilidade. Ele explica o conceito de volatilidade implícita e como ela é calculada no mercado, bem como sua importância na medição da incerteza. O algoritmo para calcular a volatilidade implícita também é discutido. Além disso, as limitações e eficiências do modelo Black-Scholes são abordadas, juntamente com extensões do modelo, como a introdução de um parâmetro de volatilidade dependente do tempo e a geração de superfícies de volatilidade implícita. Finalmente, são mencionadas as limitações negativas do modelo Black-Scholes e modelos alternativos como volatilidade local e volatilidade estocástica. A palestra enfatiza a necessidade de especificar um modelo que possa ser utilizado para precificar sinistros contingentes e a importância de construir uma carteira de hedge composta por uma opção e ações para chegar a uma PDE de precificação.
  
  
• 00:05:00 Nesta seção, o palestrante discute o uso de expectativas na resolução de equações diferenciais parciais, especificamente no caso de uma taxa de juros determinística e a necessidade de tomar a expectativa sob a medida neutra de pulso. O processo utilizado na expectativa deve estar sob a medida de assassinato Q, que é descontado sob a medida P. A equação de precificação para opções de compra e venda europeias é mostrada como contando com um CDF normal de estoque inicial avaliado nos pontos d1, que é uma função dos parâmetros do modelo, e um expoente da taxa de juros ao longo do tempo até o vencimento. A fórmula pode ser facilmente implementada no Excel.
  
  
• 00:10:00 Nesta seção, o palestrante explica os parâmetros necessários para o modelo Black-Scholes, que é usado para estimar preços de opções. Esses parâmetros incluem tempo até o vencimento, preço de exercício, taxa de juros, valor atual das ações e o parâmetro de volatilidade, sigma, que precisa ser estimado usando preços de mercado. O palestrante enfatiza que existe uma correspondência de um para um entre o preço da opção e a volatilidade, e que um aumento na volatilidade implica em um aumento no preço da opção e vice-versa. A palestra discute a volatilidade implícita, que é calculada com base no preço médio e é um elemento importante no modelo Black-Scholes.
  
  
• 00:15:00 Nesta seção, o palestrante discute como obter a volatilidade implícita de um modelo que possui muitos parâmetros. Ele observa que independente do modelo escolhido, ele deve sempre passar pelo modelo black-scholes. No entanto, o modelo black-scholes não pode ser usado para precificar todas as opções ao mesmo tempo porque a volatilidade do implante para cada exercício é diferente. O palestrante destaca ainda que quanto maior o vencimento de uma opção, maiores se tornam as volatilidades implícitas, tornando-as mais incertas. Finalmente, a palestra dá um exemplo de como calcular a volatilidade do implante a partir de dados de mercado e uma opção de compra padrão de 100 ações.
  
  
• 00:20:00 Nesta seção, o palestrante discute o conceito de volatilidade implícita. Ele começa usando dados históricos sobre uma opção para estimar sua volatilidade usando a equação de Black-Scholes. Ele então observa que, embora isso forneça um determinado preço para a opção, o mercado pode precificá-la de maneira diferente devido ao fato de que o mercado é prospectivo, enquanto a estimativa histórica é retrospectiva. Ele explica que as pessoas ainda usam a relação entre as duas volatilidades para fins de investimento, mas alerta para que isso não seja puramente especulativo. Finalmente, ele explica como usar a equação de Black-Scholes para calcular a volatilidade implícita de uma opção dado seu preço de mercado e outras especificações. No entanto, ele observa que o conceito de volatilidade implícita é inerentemente falho, pois não há como saber o número correto e o modelo usado não é o modelo real para precificação de opções.
  
  
• 00:25:00 Nesta seção, o palestrante explica o processo de encontrar a volatilidade implícita calculando o inverso do modelo de precificação de opções usando a abordagem de Newton-Raphson. Isso envolve a criação de uma função para a equação de Black-Scholes e o preço de mercado para encontrar o sigma, que é a volatilidade implícita. Para fazer isso, eles usam uma expansão da série de Taylor para calcular a diferença entre a solução exata e a iteração, com o objetivo de encontrar uma função em que a volatilidade implícita de Black-Scholes seja igual à volatilidade implícita do mercado. Os criadores de mercado contam com o cálculo rápido da volatilidade implícita em milissegundos para identificar oportunidades de arbitragem e obter lucro.
  
  
• 00:30:00 Nesta seção, é introduzido o conceito de processo iterativo para calcular a volatilidade implícita usando o método de Newton-Raphson. O processo envolve computar uma iteração múltiplas vezes até que a função g esteja próxima o suficiente de zero, com cada novo passo estimado a partir do anterior. No entanto, a estimativa inicial é um fator crucial para a convergência do método de Newton-Raphson. Se o valor da opção estiver extremamente fora do dinheiro ou muito próximo de zero, a função se tornará muito plana e o gradiente se tornará muito pequeno para convergir. As pessoas geralmente definem uma grade para suposições iniciais para superar o problema da suposição inicial. O algoritmo aproxima a função por sua linha tangente e calcula a interceptação x na linha padrão, e quanto mais íngreme o gradiente, mais rápido a convergência.
  
  
• 00:35:00 Nesta seção da palestra, o palestrante explica a implementação do algoritmo de Newton-Raphson para calcular a volatilidade implícita de uma opção. A função a ser otimizada é o modelo de Black-Scholes, sendo os parâmetros de entrada o preço de mercado, preço de exercício, tempo até o vencimento, taxa de juros, volume inicial de estoque e parâmetro de volatilidade inicial. O algoritmo conta com duas avaliações: a função alvo e sua primeira derivada, conhecida como Vega. A convergência do algoritmo é analisada e uma camada de erro é derivada. O código é implementado em Python, com os métodos e definições necessários previamente preparados, e conta com as bibliotecas NumPy e SciPy.
  
  
• 00:40:00 Nesta seção, o palestrante explica o processo de cálculo da volatilidade implícita. As entradas necessárias para este cálculo incluem o valor da opção e a derivada do preço de compra em relação ao parâmetro de volatilidade. O parâmetro Vega, que é a sensibilidade do valor da opção ao parâmetro de volatilidade, também é discutido. O núcleo do código envolve o cálculo da volatilidade implícita e o palestrante percorre o processo passo a passo. Eles também explicam os vários parâmetros envolvidos na computação e seu significado. A palestra termina com uma breve demonstração do processo iterativo usado para calcular a volatilidade implícita.
  
  
• 00:45:00 Nesta seção, o palestrante discute o erro no cálculo da volatilidade implícita e como ela é determinada pela diferença entre as iterações. O gráfico de saída mostra a volatilidade implícita encontrada para um preço de compra, o preço de exercício, o vencimento e outros parâmetros. O palestrante também mostra como a convergência muda com diferentes estimativas iniciais de volatilidade e como esse processo é importante na calibração da indústria. A estimativa inicial deve estar próxima da volatilidade implícita real ou o modelo não irá convergir. Os profissionais da indústria tentam diferentes volatilidades iniciais até que o modelo seja bem-sucedido e essa volatilidade seja escolhida.
  
  
• 00:50:00 Nesta seção, o palestrante discute o uso de volatilidades implícitas no cálculo de preços de opções. Eles observam que o problema está na volatilidade inicial próxima de zero, o que torna a busca por gradiente ineficaz. A palestra também examina como as volatilidades implícitas podem indicar que tipos de formatos o mercado espera e como calcular se os preços das opções estão corretos. O palestrante finaliza afirmando que sempre se deve usar strike igual a zero ao verificar os preços das opções.
  
  
• 00:55:00 Nesta seção, aprendemos sobre os desafios de modelagem de preços de opções e como a flexibilidade do modelo Black-Scholes é limitada ao ajustar duas volatilidades implícitas com apenas um parâmetro, especialmente quando as volatilidades implícitas não são mais constantes. No entanto, o modelo de Black-Scholes ainda é usado quando é bom o suficiente para ajustar uma única opção com um determinado preço de exercício, pois pode ser calibrado para o preço que é dado no mercado. Aprendemos também que, ao traçar volatilidades implícitas contra um conjunto de strikes, normalmente existem três formas diferentes que podem ser observadas, sendo a mais comum o sorriso de volatilidade implícita, em que o ponto mais baixo do sorriso pode estar localizado em uma região em torno de o ponto mais baixo, mas isso não significa necessariamente a volatilidade implícita.
  
  
• 01:00:00 Nesta seção da palestra, é discutida a relação entre os preços das opções e a volatilidade implícita, com foco nas opções de venda e de compra out-of-the-money mais líquidas. A palestra explica como os preços das opções aumentam à medida que se afastam do dinheiro e, como resultado, a diferença entre o preço de mercado e o preço do modelo (volatilidade implícita) também aumenta. A palestra também aborda diferentes tipos de desvio de volatilidade implícita, incluindo um em que a volatilidade implícita aumenta ligeiramente à medida que você se afasta da opção no dinheiro. A palestra termina com uma discussão sobre como melhorar a equação de Black-Scholes usando parâmetros de volatilidade dependentes do tempo.
  
  
• 01:05:00 Nesta seção, o vídeo discute o impacto da dependência do tempo na volatilidade implícita e como isso afeta a geração do sorriso de volatilidade implícita. Não é possível gerar o sorriso de volatilidade implícita com volatilidade dependente do tempo para diferentes strikes, mas é possível ter estrutura a termo de volatilidade implícita
  onde o impacto da volatilidade varia para diferentes comprimentos de opções. O vídeo também mostra como calcular a volatilidade implícita e gerar caminhos com volatilidade dependente do tempo e como isso afeta a equação de volatilidade implícita de Black-Scholes. O vídeo também mostra um exemplo de ajuste de diferentes níveis de volatilidade para duas opções com vencimentos diferentes.
  
  
• 01:10:00 Nesta seção, o palestrante explica como a volatilidade implícita muda com base em diferentes strikes e vencimentos usando gráficos. Eles introduzem o conceito de superfície de volatilidade implícita, que é um elemento importante na discussão de volatilidades e modelos estocásticos de volatilidade. Eles então discutem a relação entre o vencimento de uma opção e sua volatilidade, explicando que as opções de vencimento curto têm uma distribuição mais concentrada em torno do nível monetário, enquanto os vencimentos mais longos se difundem ao longo do tempo e o efeito sorriso torna-se menos pronunciado. Por fim, destacam que para vencimentos mais longos, a distribuição da opção se torna muito mais ampla, significando mais incerteza.
  
  
• 01:15:00 Nesta seção, o vídeo discute as diferentes formas de volatilidade implícita, que variam de acordo com o vencimento do contrato e outros fatores. O modelo Black-Scholes é limitado porque só pode calibrar para um ponto na grade, então qualquer volatilidade fora do nível do dinheiro será plana. Embora o modelo Black-Scholes não seja ideal para pagamentos ou contratos mais complicados, ainda é importante, pois fornece informações sobre a precificação de derivativos, construção de portfólios replicantes, cobertura e simulação de movimentos de mercado. Apesar de suas limitações, o modelo Black-Scholes é um modelo fundamental em finanças.
  
  
• 01:20:00 Nesta seção, o palestrante fala sobre as limitações do modelo Black-Scholes na realidade. Ele destaca que, embora o hedge exija o reequilíbrio contínuo de uma carteira para obter a mesma taxa de retorno do investimento em uma conta de poupança, isso é impraticável, pois comprar e vender ações centenas de vezes ao dia seria muito caro devido aos custos de transação. Como resultado, o hedge ocorre com muito menos frequência, dependendo do comportamento do mercado, e os custos de transação e os hedges menos frequentes não são levados em consideração no modelo de Black-Scholes. Além disso, estudos empíricos de séries temporais financeiras revelaram que a suposição de normalidade dos preços dos ativos não pode capturar caudas pesadas. Isso significa que a probabilidade atribuída a eventos extremos é muito baixa e isso não é bem captado pela distribuição log-normal do modelo de Black-Scholes.
  
  
• 01:25:00 Nesta seção da palestra, o instrutor explica as diferentes abordagens para lidar com modelos de volatilidade. A primeira abordagem discute os modelos de volatilidade local, que é uma simples extensão do modelo atual. A função do modelo de volatilidade local é chamada de função de volatilidade local e é construída usando dados de mercado. A segunda abordagem, que será discutida na próxima aula, é um modelo de saltos, possibilitando a geração de efeitos smile e skew. A terceira abordagem envolve a volatilidade estocástica, uma extensão avançada da volatilidade local, utilizando uma equação diferencial estocástica para conduzir a volatilidade.

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Finanças Computacionais: Aula 5/14 (Jump Processes)

Finanças Computacionais: Aula 5/14 (Jump Processes)

A palestra progride para explorar maneiras de aprimorar o modelo Black-Scholes incorporando saltos no processo de estoque, fazendo a transição de um modelo difusivo para um modelo de difusão por salto. O instrutor começa explicando a inclusão de saltos no processo de estoque e fornecendo uma definição de saltos. Em seguida, eles demonstram uma implementação simples de um processo de salto em Python, enfatizando a necessidade de lidar com saltos em um processo estocástico para ações, garantindo que o modelo permaneça sob a medida q.

Além disso, a palestra investiga as implicações da introdução de saltos na precificação e como isso afeta a PDE (Equação Diferencial Parcial) de precificação, introduzindo termos integrais adicionais. A discussão se estende ao impacto de diferentes distribuições de salto nas formas de volatilidade implícita e à utilização de conceitos como expectativa de expectativas iteradas, a propriedade da torre de expectativa e funções características para processos de salto ao lidar com expectativas complexas.

O palestrante enfatiza a praticidade dos processos de salto na precificação de opções e calibração de modelos, destacando seu realismo e capacidade de acomodar caudas pesadas, bem como controlar a curtose e assimetria de travamento e densidade de giro. Ao incorporar um processo de salto, um melhor ajuste ao sorriso de volatilidade implícita ou inclinação da volatilidade implícita pode ser alcançado, tornando os processos de salto uma alternativa mais favorável ao modelo de Black-Scholes.

Mudando o foco, a palestra introduz o conceito de processos de salto representados por um processo de contagem, que não estão correlacionados com o movimento browniano. Esses processos são modelados usando um processo aleatório de Poisson, caracterizado por valor inicial zero e incrementos independentes seguindo uma distribuição de Poisson. A taxa do processo de Poisson determina o número médio de saltos em um período de tempo especificado. A palestra explica como calcular o número médio de saltos dentro de um determinado intervalo para processos de salto usando notação e expectativas.

Em finanças computacionais, o palestrante discute a simulação de processos de salto, observando que a magnitude do salto não pode explodir e delineando os pressupostos técnicos associados a ele. O processo envolve a definição de matrizes e parâmetros para simular incrementos independentes usando uma distribuição de Poisson para cada incremento do processo de salto. A palestra também aborda a utilização do processo de Poisson no lema de Ethos para estender a dinâmica dos processos de salto para precificação de ações. Dentro do contexto de finanças computacionais, a palestra apresenta e explica o conceito de processos de salto. Ele define o termo "t-menos" como o tempo imediatamente antes de ocorrer um salto em um processo e explora a dinâmica do processo por meio do lema de Ethos e do cálculo de derivadas em relação ao tempo. A relação entre o tamanho do salto e o ajuste resultante na função "g" é discutida, enfatizando a relevância prática desses conceitos na modelagem de processos estocásticos. A palestra também destaca a importância de considerar a independência dos processos de salto e processos difusivos ao modelar o comportamento do mercado de ações.

Para derivar a dinâmica de uma função "g" em um modelo que incorpora processos de salto e difusão, a palestra se concentra no comportamento de alta complexidade de difusão e na aplicação do lema de Ito. O lema de Ito é usado para lidar com termos cruzados, como dxpt ao quadrado, no contexto de maior complexidade do modelo. Uma vez que todos os elementos, incluindo deriva, difusão e saltos, são combinados, a dinâmica de "g" pode ser derivada usando o lema de Ito. A extensão da tabela de Ito também é abordada, enfatizando as diferenças entre um processo de Poisson e um movimento browniano. A palestra termina descrevendo o processo de derivação da dinâmica para uma função "g" que incorpora os processos de salto e difusão.

Seguindo adiante, a palestra descreve o processo de obtenção da dinâmica de uma ação com salto e movimento browniano sob a medida Q. Este processo envolve definir uma nova variável e determinar sua dinâmica, garantindo que a expectativa da dinâmica seja zero. O componente de salto é considerado independente de todos os outros processos, resultando em uma expressão que inclui termos para deriva, volatilidade e expectativa de J menos um. Essa expressão é então substituída na equação pela medida Q, garantindo que a dinâmica de ST sobre a conta poupança seja um martingale.

O instrutor passa a discutir como derivar um modelo com difusão e saltos, fornecendo um exemplo para ilustrar os caminhos de um modelo com dois componentes: difusivo e salto. A parte difusiva representa o comportamento contínuo, enquanto o elemento salto introduz descontinuidade, permitindo a representação de padrões de salto observados em determinadas ações. O instrutor também aborda os parâmetros para o salto e o parâmetro de volatilidade para o movimento browniano, juntamente com os valores iniciais para as taxas de juros e ações. Para aprimorar ainda mais a compreensão, o instrutor demonstra como programar a simulação e traçar os caminhos resultantes.

A palestra passa a explicar a expectativa de e elevado a j, que é calculado analiticamente como a expectativa de uma distribuição log-normal. A simulação de incrementos de Poisson conduzidos por c vezes pi vezes dt é realizada, com z representando incrementos para uma distribuição normal e j representando a magnitude do salto. A dinâmica do processo de difusão de saltos envolve tanto equações diferenciais parciais quanto equações diferenciais integrais, onde a parte integral representa a expectativa de tamanhos de salto. A equação de precificação pode ser derivada por meio da construção de portfólio ou por meio da abordagem de função característica, e os parâmetros precisam ser calibrados usando preços de opções no mercado.

No contexto de construção de portfólio, a palestra descreve o processo de construção de um portfólio composto por uma opção vendida e um hedge com uma ação subjacente. Ao garantir que a dinâmica da carteira aumente na mesma taxa que a conta de poupança, uma equação diferencial de preços pode ser derivada. Para atingir a dinâmica desejada, o estoque dividido pelo dinheiro da caderneta de poupança deve ser um martingale. A palestra então deriva a condição para mu, demonstrando que uma vez que a dinâmica é estabelecida, a dinâmica de v pode ser derivada. Esta informação é então usada para calcular as expectativas e derivar a dinâmica de v.

O palestrante explora ainda a equação para uma derivada de primeira ordem em relação ao tempo, que também é de primeira ordem em relação a x e inclui uma expectativa de valor de um contrato no tempo t com um salto. Isso leva a um termo integral devido à presença de uma expectativa, resultando em uma equação diferencial integral parcial (PID) que é mais difícil de resolver do que as EDPs puras. A solução passa por encontrar a expressão analítica para o valor esperado, que por vezes pode ser expresso em termos de séries infinitas. A importância das condições de contorno e a transformação de PIDs em transformações logarítmicas para melhorar a convergência também são discutidas.

Continuando a discussão sobre processos de salto, a palestra enfoca a transformação dos processos de salto no caso de PID e PID na opção deluxe. A palestra apresenta duas abordagens comuns para especificar a magnitude do salto, ou seja, o modelo clássico dos comerciantes e o exponencial duplo não simétrico. Embora a calibração do modelo se torne mais complicada com a adição de sigma j e mu j, a praticidade e a aceitação da indústria geralmente favorecem modelos com menos parâmetros. A palestra também reconhece que, à medida que a dinâmica dos processos de salto se torna mais complexa, alcançar a convergência torna-se um desafio, exigindo técnicas avançadas, como o espaço de Fourier ou soluções analíticas para calibração de parâmetros.

A palestra passa a explicar o processo de precificação usando a simulação de Monte Carlo para processos de difusão de saltos. A precificação envolve calcular a expectativa de retorno futuro descontando seu valor presente. Embora métodos como PIDs e simulação de Monte Carlo tenham um bom desempenho em termos de complexidade computacional para simulações, eles podem não ser ideais para precificação e calibração de modelos devido ao aumento significativo no número de parâmetros quando os saltos são introduzidos. A palestra também se aprofunda na interpretação da distribuição de saltos e parâmetros de intensidade e seu impacto no sorriso e inclinação da volatilidade implícita. Um experimento de simulação é conduzido, variando parâmetros enquanto mantém outros fixos para observar os efeitos resultantes em saltos e inclinação.

Para analisar os efeitos da volatilidade e da intensidade dos saltos na forma do sorriso e nível de volatilidade implícita, o palestrante discute suas relações. Aumentar a volatilidade de um salto leva a um nível mais alto de volatilidade, enquanto a intensidade dos saltos também afeta o nível e a forma do sorriso de volatilidade implícita. Essas informações são cruciais para entender o comportamento dos preços das opções e calibrar modelos para dados do mercado real.

A palestra então apresenta o conceito de Propriedade da Torre e sua aplicação na simplificação de problemas financeiros. Ao condicionar um caminho de um processo para calcular a expectativa ou preço de outro processo, problemas com múltiplas dimensões em equações diferenciais estocásticas podem ser simplificados. A propriedade da torre também pode ser aplicada a problemas em equações de Black-Scholes com parâmetros de volatilidade e processos de contabilidade, que muitas vezes se tornam somas ao lidar com integrais de salto. O palestrante enfatiza a necessidade de fazer suposições sobre parâmetros nessas aplicações.

Em seguida, o palestrante discute o uso das técnicas de Fourier para resolver equações de precificação em finanças computacionais. As técnicas de Fourier dependem da função característica, que pode ser encontrada na forma analítica para alguns casos especiais. O palestrante percorre um exemplo usando o modelo de Merton e explica como encontrar a função característica para esta equação. Ao separar termos de expectativa envolvendo partes independentes, o palestrante demonstra como expressar o somatório em termos de expectativas, permitindo a determinação da função característica. A vantagem de usar as técnicas de Fourier é sua capacidade de permitir cálculos de precificação rápidos, que são cruciais para a calibração do modelo e avaliação em tempo real.

Em seguida, o palestrante discute o uso das técnicas de Fourier para resolver equações de precificação em finanças computacionais. As técnicas de Fourier dependem da função característica, que pode ser encontrada na forma analítica para alguns casos especiais. O palestrante percorre um exemplo usando o modelo de Merton e explica como encontrar a função característica para esta equação. Ao separar termos de expectativa envolvendo partes independentes, o palestrante demonstra como expressar o somatório em termos de expectativas, permitindo a determinação da função característica. A vantagem de usar as técnicas de Fourier é sua capacidade de permitir cálculos de precificação rápidos, que são cruciais para a calibração do modelo e avaliação em tempo real.

Ao longo da palestra, o instrutor enfatiza a importância de entender e incorporar processos de salto em modelos financeiros computacionais. Ao incluir saltos, os modelos podem capturar melhor o comportamento dos preços das ações no mundo real e fornecer preços mais precisos e resultados de calibração. A palestra também destaca os desafios associados aos processos de salto, como a complexidade de resolver equações diferenciais integrais e a necessidade de calibração cuidadosa de parâmetros. No entanto, com as técnicas e metodologias apropriadas, os processos de salto podem aumentar significativamente a precisão e o realismo dos modelos financeiros computacionais.

• 00:00:00 Nesta seção, o palestrante explica como melhorar o modelo black-scholes, incluindo saltos no processo de estoque e passando de um modelo difusivo para um modelo de difusão por salto. A discussão começa com a inclusão de saltos no processo de estoque e a definição de saltos. O palestrante também mostra como realizar uma implementação simples de um processo de salto em Python e como lidar com saltos em um processo estocástico de ações para garantir que o modelo ainda esteja sob q medida. A inclusão de saltos na precificação introduz termos integrais adicionais, que estarão presentes no pde de precificação. A palestra também discute o impacto de diferentes distribuições de salto em diferentes formas de volatilidade implícita e como usar as expectativas iteradas de expectativa, a propriedade da torre de expectativa e funções características para processos de salto ao lidar com expectativas complicadas. Por fim, a palestra aborda como usar a transformação de Fourier para inverter a função característica para calibração de modelos de difusão de salto que possuem vários parâmetros.
  
  
• 00:05:00 Nesta seção, o palestrante discute a extensão do modelo para saltos. O comportamento de uma ação, como a KLM, não pode ser explicado por um movimento browniano geométrico porque revela padrões de salto. Esses saltos são observados no mercado e podem ser devidos a eventos inesperados do mercado ou pagamentos de dividendos, mas geralmente estão relacionados a fatores como conflito político ou problemas de entrega de commodities. Para melhor adequar o comportamento de uma ação e múltiplos strikes para precificação de opções, é necessário um processo que inclua esse fenômeno de salto. Um desses processos é um modelo baseado em Lévy com difusão de salto, que inclui um movimento browniano e uma parte de salto que pode explicar os padrões de salto exibidos por algumas ações.
  
  
• 00:10:00 Nesta seção, o palestrante discute a utilidade dos processos de salto na precificação de opções e calibração de modelos. Ele explica como os saltos são realistas ao precificar as opções e como eles permitem uma melhor calibração ao incluir caudas pesadas. Além disso, os processos de salto podem ajudar a controlar a curtose e a assimetria da densidade de bloqueio e curva. Ao construir um processo que inclui um salto, ele demonstra como isso pode facilitar um melhor ajuste ao sorriso da volatilidade implícita ou à inclinação da volatilidade implícita. No geral, os processos de salto são uma alternativa superior ao modelo Black-Scholes.
  
  
• 00:15:00 Nesta seção, é apresentado o segundo processo estocástico em finanças computacionais, que é um processo de salto representado por um processo de contagem. O processo de salto não está correlacionado com o movimento browniano e é modelado com um processo aleatório de Poisson. O processo de Poisson tem inicialmente valor zero e incrementos independentes com probabilidade dada pela distribuição de Poisson. A taxa do processo de Poisson representa a quantidade média de saltos em um período de tempo especificado. A probabilidade de ocorrer um salto durante um pequeno intervalo de tempo é então calculada usando o processo de Poisson e um pequeno o dt. A probabilidade de ocorrência de saltos zero também é discutida.
  
  
• 00:20:00 Nesta seção, o palestrante explica como calcular o número médio de saltos em um determinado intervalo para processos de salto. O cálculo envolve a substituição da diferença entre o número de saltos no ponto s mais dt e x-ps usando uma notação curta de dxp. A expectativa de um evento é calculada pelo valor esperado vezes a probabilidade do evento. Adicionalmente, é introduzida a definição de um processo de Poisson compensado, onde o valor esperado do processo é zero. Por fim, a palestra menciona que normalmente não há correlação entre a magnitude do salto de uma variável aleatória e o processo, dificultando a avaliação da magnitude de um salto e a definição de quando ele ocorreu.
  
  
• 00:25:00 Nesta seção, o palestrante discute processos de salto em finanças computacionais. A magnitude do salto não pode explodir e há suposições técnicas a respeito. A simulação dos caminhos e realizações do processo envolve a definição de matrizes e parâmetros para uma distribuição de Poisson, que é utilizada para simular incrementos independentes para cada incremento do processo de salto. A palestra também aborda como usar o processo de Poisson no lema Ethos para estender sua dinâmica de precificação de ações.
  
  
• 00:30:00 Nesta seção, o conceito de processo de salto é apresentado e explicado dentro do contexto de finanças computacionais. O termo "t-menos" é definido como um tempo imediatamente antes de ocorrer um salto em um processo, e a dinâmica do processo é explorada por meio do lema ethos e do cálculo das derivadas em relação ao tempo. A relação entre o tamanho do salto e o ajuste resultante na função g é discutida, e destaca-se a relevância prática desses conceitos na modelagem de processos estocásticos. Além disso, enfatiza-se a importância de considerar a independência dos processos de salto e processos difusivos ao modelar o comportamento do mercado de ações.
  
  
• 00:35:00 Nesta seção da palestra, o foco é derivar a dinâmica de uma função g em um modelo que possui processos de salto e difusão. O palestrante começa explicando que quando a complexidade do modelo aumenta devido à alta difusão, a derivação de soluções pode se tornar significativamente mais difícil. O orador então introduz o lema de Ito para discutir como ele é aplicado neste contexto, particularmente ao lidar com termos cruzados como dxpt ao quadrado. O orador então explica que uma vez que todos os elementos (deriva, difusão e saltos) são colocados juntos, a dinâmica de g pode ser derivada usando o lema de Ito. A extensão da tabela Ito também é abordada, com o palestrante explicando que a diferença entre um processo de Poisson e o Movimento Browniano se torna aparente. Por fim, o palestrante descreve o processo de derivação da dinâmica para uma função g que incorpora os processos de salto e difusão.
  
  
• 00:40:00 Nesta seção, o palestrante descreve o processo de chegar à dinâmica de um estoque com salto e movimento browniano sob a medida Q. O processo envolve definir uma nova variável e determinar sua dinâmica, garantindo que a expectativa da dinâmica seja zero. Supõe-se que o componente de salto seja independente de todos os outros processos, e a expressão resultante inclui termos para deriva e volatilidade junto com a expectativa de J menos um. A etapa final envolve substituir esse processo na equação para a medida Q e garantir que a dinâmica de ST sobre a conta de poupança seja um martingale.
  
  
• 00:45:00 Nesta seção da palestra, o instrutor explica como derivar um modelo com difusão e saltos e dá um exemplo de como seriam os caminhos de um modelo com dois componentes de componentes difusivos e saltos. O processo possui uma parte difusiva, que se comporta continuamente, e um elemento saltador, que o torna descontínuo. O instrutor também discute os parâmetros do salto e o parâmetro de volatilidade do movimento browniano, bem como os valores iniciais das ações e taxas de juros. Por fim, o instrutor mostra como programar a simulação e traçar os caminhos.
  
  
• 00:50:00 Nesta seção da aula de finanças computacionais, o palestrante explica a expectativa de e elevado a j, que é calculado analiticamente como a expectativa de uma distribuição log-normal. Eles então simulam incrementos de Poisson dirigidos por c pi vezes dt, com z como incrementos para uma distribuição normal e j como a magnitude do salto. A dinâmica do processo de difusão de saltos envolve equações diferenciais parciais e equações diferenciais integrais, com a parte integral representando a expectativa de tamanhos de salto. A equação de precificação pode ser derivada por meio da construção do portfólio ou pela abordagem da função característica, sendo que os parâmetros precisam ser calibrados usando os preços das opções no mercado.
  
  
• 00:55:00 Nesta seção, a palestra descreve o processo de construção de uma carteira composta por uma opção que é vendida e um hedge com ações subjacentes. Ao garantir que a dinâmica da carteira aumente na mesma taxa que a conta poupança, uma equação diferencial de preços pode ser derivada. A palestra explica que para atingir a dinâmica da informação de estoque e risco, a divisão do estoque pelo dinheiro da caderneta de poupança deve ser um martingale. A palestra então deriva a condição para mu, mostrando que uma vez que a dinâmica é estabelecida, a dinâmica de v pode ser derivada. Esta informação é então usada para calcular as expectativas e derivar a dinâmica de v.
  
  
• 01:00:00 Nesta seção, o palestrante discute a equação para uma derivada de primeira ordem em relação ao tempo, ou seja, de primeira ordem em relação a x, e inclui uma expectativa de valor de um contrato no tempo t com um pular. Isso leva a um termo integral devido à presença de uma expectativa que se torna uma equação diferencial integral parcial (PID), pois inclui um termo integral. O palestrante explica que, por conta disso, os PIDs podem ser mais difíceis de resolver do que os PDEs. A solução passa por encontrar a expressão analítica para o valor esperado, que por vezes pode ser expresso em termos de séries infinitas. O palestrante também discute a importância das condições de contorno e a transformação de PIDs em transformações logarítmicas para uma melhor convergência.
  
  
• 01:05:00 Nesta seção, o palestrante discute a transformação dos processos de salto no caso de pid e pid na opção deluxe. O palestrante observa que a especificação da magnitude do salto j depende do usuário, mas descreve duas abordagens comuns: o modelo clássico dos comerciantes e o exponencial duplo não simétrico. Embora a calibração do modelo se torne mais complicada com a adição de sigma j e mu j, normalmente, ter menos parâmetros é mais prático e aceitável na indústria. O palestrante observa que, se a dinâmica dos processos de salto for muito complicada, alcançar a convergência torna-se problemático e são necessárias técnicas avançadas, como o espaço de Fourier ou mesmo soluções analíticas, para calibrar esses parâmetros.
  
  
• 01:10:00 Nesta seção, o palestrante discute como realizar a precificação usando simulação de Monte Carlo para um processo de difusão de salto, que envolve calcular a expectativa de retorno futuro descontando seu valor hoje. Embora métodos como PIDs e Monte Carlo tenham um bom desempenho em termos de complexidade computacional para simulações, eles podem não ser ideais para precificação e calibração de modelos, pois a introdução de saltos aumenta significativamente o número de parâmetros. O palestrante também explica como interpretar a distribuição de saltos e parâmetros de intensidade, e seu impacto no sorriso e inclinação da volatilidade implícita. Além disso, o locutor realiza um experimento de simulação para variar os parâmetros enquanto mantém outros fixos para observar as mudanças nos efeitos de salto e inclinação.
  
  
• 01:15:00 Nesta seção, o palestrante discute os efeitos da volatilidade e intensidade dos saltos na forma do sorriso e nível da volatilidade implícita. Aumentar a volatilidade de um salto leva a um nível mais alto de volatilidade, enquanto a intensidade dos saltos também afeta o nível e a forma do sorriso de volatilidade implícita. A palestra passa a discutir a propriedade da torre para expectativas e como ela pode ser usada para lidar com saltos e integrais. A propriedade da torre para expectativas permite simplificar e facilitar o manuseio de expressões de expectativa, tornando-a uma ferramenta útil no cálculo de expectativas envolvendo saltos.
  
  
• 01:20:00 Nesta seção, o palestrante discute a Propriedade da Torre e a aplica para simplificar problemas de finanças. Ao condicionar um caminho de um processo para calcular a expectativa ou preço de outro processo, problemas com múltiplas dimensões em equações diferenciais estocásticas podem ser simplificados. A propriedade da torre também pode ser aplicada a problemas em equações de Black-Scholes com parâmetros de volatilidade e processos de contabilidade, que muitas vezes se tornam somas ao lidar com integrais de salto. O palestrante enfatiza que suposições devem ser feitas em relação aos parâmetros nessas aplicações.
  
  
• 01:25:00 Nesta seção, o palestrante discute o uso das técnicas de Fourier para resolver equações de precificação em finanças computacionais. As técnicas de Fourier dependem da função característica que pode ser encontrada na forma analítica para alguns casos especiais. O palestrante percorre um exemplo usando o modelo de Merton e explica como encontrar a função característica para esta equação. Ao separar os termos de expectativa envolvendo partes independentes, o professor mostra como expressar a soma em termos de expectativas e, assim, encontrar a função característica. A vantagem de usar as técnicas de Fourier é que elas permitem cálculos de precificação extremamente rápidos, o que é crucial para a calibração do modelo e avaliação em tempo real.
  
  
• 01:30:00 Nesta seção, o palestrante discute uma fórmula que vincula o processo de salto a uma transformada de Fourier. Usando expectativa condicional, o palestrante simplifica a fórmula em uma função característica que envolve a expectativa de expoentes. A nova expressão se parece muito com a definição de um expoente. Uma simplificação adicional resulta em uma expressão compacta da função característica, que será utilizada na avaliação das técnicas de Fourier.

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Finanças Computacionais: Aula 6/14 (Processos de Difusão de Saltos Afins)

Finanças Computacionais: Aula 6/14 (Processos de Difusão de Saltos Afins)

O palestrante fornece insights sobre a seleção de modelos de precificação dentro das instituições financeiras, com foco na distinção entre o front office e o back office. O front office lida com as atividades comerciais e inicia os negócios, que são então transferidos para o back office para manutenção e escrituração comercial. O palestrante enfatiza a necessidade de considerar vários fatores, incluindo calibração, avaliação de risco, precisão de precificação e eficiência computacional ao escolher um modelo de precificação. Além disso, o conceito de funções características e processos de difusão de salto afim é introduzido como classes de modelo que permitem uma avaliação de precificação eficiente. Esses modelos são capazes de cálculos de precificação rápidos, tornando-os adequados para negociação em tempo real. A palestra também aborda tópicos como derivação de função monetária, extensão de estrutura por meio de incorporação de salto e fluxo de trabalho de precificação e modelagem em instituições financeiras.

A importância de entender os processos de salto e seu impacto na precisão da precificação é destacada ao longo da palestra, juntamente com os desafios envolvidos na solução de equações diferenciais integrais e na calibração dos parâmetros do modelo. Ao alavancar técnicas e metodologias apropriadas, os modelos financeiros computacionais podem ser aprimorados para refletir melhor o comportamento do preço das ações no mundo real e melhorar os resultados de precificação e calibração.

Além disso, o palestrante enfatiza o papel do front office nas instituições financeiras, principalmente na concepção e precificação de produtos financeiros para os clientes. O front office é responsável por selecionar os modelos de precificação adequados para esses produtos e garantir que as negociações sejam registradas corretamente. A colaboração com o back office é fundamental para validar e implementar os modelos escolhidos, garantindo a sua adequação aos riscos e negócios da instituição. O principal objetivo do front office é encontrar um equilíbrio entre fornecer preços competitivos aos clientes e gerenciar riscos dentro de limites aceitáveis, garantindo um fluxo constante de lucros.

O palestrante descreve as etapas essenciais envolvidas na precificação bem-sucedida, começando com a especificação do produto financeiro e a formulação de equações diferenciais estocásticas para capturar os fatores de risco subjacentes. Esses fatores de risco desempenham um papel crítico na determinação do modelo de precificação e no cálculo subsequente dos preços. A especificação e modelagem adequadas desses fatores de risco são cruciais para a precificação precisa e o gerenciamento de riscos.

Durante a palestra, são discutidos diferentes métodos de precificação, incluindo soluções exatas e semi-exatas, além de técnicas numéricas como a simulação de Monte Carlo. O palestrante destaca a importância da calibração do modelo, onde os parâmetros do modelo de precificação são ajustados para corresponder às observações do mercado. As técnicas de Fourier são introduzidas como uma alternativa mais rápida para a calibração do modelo, permitindo a computação eficiente dos parâmetros do modelo.

A palestra também compara duas abordagens populares para precificação em finanças computacionais: simulação de Monte Carlo e equações diferenciais parciais (PDEs). A simulação de Monte Carlo é amplamente utilizada para problemas de precificação de alta dimensão, mas pode ser limitada em precisão e propensa a erros de amostragem. As PDEs, por outro lado, oferecem vantagens como a capacidade de calcular sensibilidades como delta, gama e vega a um baixo custo e suavidade nas soluções. O palestrante menciona que os métodos baseados em Fourier serão abordados em palestras futuras, pois oferecem abordagens de precificação mais rápidas e adequadas para produtos financeiros simples.

O conceito de funções características é apresentado como uma ferramenta chave para preencher a lacuna entre os modelos com funções de densidade de probabilidade analítica conhecidas e aqueles sem. Ao usar funções características, torna-se possível derivar a função de densidade de probabilidade de uma ação, que é essencial para precificação e avaliação de risco.

Ao longo da palestra, é enfatizada a importância da calibração. Instrumentos líquidos são usados como referência para calibração, e seus parâmetros são então aplicados para precificar produtos derivativos mais complexos com precisão. O palestrante destaca a necessidade de melhorar e refinar continuamente os modelos e técnicas de precificação para se adaptar às condições de mercado em evolução e obter resultados de precificação confiáveis.

Em resumo, a palestra fornece informações sobre o processo de escolha de modelos de precificação em instituições financeiras, com foco na função do front office, calibração de modelo e considerações de risco, eficiência e precisão. Ele também apresenta várias técnicas, como simulação de Monte Carlo, PDEs e métodos baseados em Fourier para precificação e calibração de modelo. O conceito de funções características e sua importância na derivação de funções de densidade de probabilidade é discutido, juntamente com os desafios e a importância do refinamento e adaptação do modelo às condições do mundo real.

• 00:00:00 Nesta seção, o palestrante discute como escolher um modelo de precificação no contexto de instituições financeiras. Ele explica que o front office normalmente está associado às atividades de negociação, enquanto o back office se concentra na manutenção de negócios e contabilidade. Quando um cliente deseja comprar um derivativo, a negociação ocorre no front office e, em seguida, é transferida para o back office. O palestrante também destaca a importância de considerar diferentes aspectos, como calibragem, riscos, precificação e eficiência, na hora de escolher um modelo de precificação. Além disso, introduz o conceito de funções características e processos de difusão por saltos afins, que são classes de modelos que permitem a avaliação eficiente de preços de forma rápida. A palestra também aborda como derivar a função de moeda para o modelo de bloco e como estender a estrutura adicionando saltos.
  
  
• 00:05:00 Nesta seção, o palestrante discute o fluxo de trabalho do front office de uma instituição financeira, que lida principalmente com o design e a precificação de produtos financeiros para clientes. O front office decide o modelo a ser usado para precificar o produto e agenda a negociação. Coordena também com o back-office a validação e implementação dos modelos utilizados, garantindo a adequação dos mesmos aos riscos e negócios da instituição. O front office visa equilibrar a preferência de oferecer melhores preços aos clientes, mantendo os riscos dentro dos limites aceitáveis e os lucros fluindo continuamente. O palestrante descreve as etapas necessárias, incluindo a especificação do produto financeiro e as equações diferenciais estocásticas dos fatores de risco envolvidos, para uma precificação bem-sucedida.
  
  
• 00:10:00 Nesta seção da palestra, o palestrante discute o processo de precificação e modelagem de produtos financeiros. O processo envolve especificar fatores de risco, escolher modelos adequados para as dimensões, definir o preço do modelo, calibrar o modelo e realizar a precificação. A última etapa envolve a venda do produto e o hedge. O palestrante também explica os diferentes métodos de precificação e destacou soluções exatas e semi-exatas, além de métodos numéricos como a simulação de Monte Carlo. O foco da palestra está no quarto ponto da calibração do modelo, onde o palestrante fala sobre o uso das técnicas de Fourier para uma calibração mais rápida.
  
  
• 00:15:00 Nesta seção, o palestrante discute diferentes abordagens para precificação em finanças computacionais, ou seja, simulação de Monte Carlo e PDEs. A simulação de Monte Carlo é uma abordagem popular, especialmente para problemas de precificação de alta dimensão, pois os PDEs podem ser difíceis de resolver e discretizar em múltiplas dimensões. No entanto, a técnica é limitada a duas dimensões e está associada a ruído aleatório e possíveis erros de amostragem. Os PDEs, por outro lado, têm a vantagem de poder calcular sensibilidades como delta, gama e vega a um custo baixo e são sempre suaves. O palestrante explica que nas próximas palestras, eles focarão nos métodos baseados em Fourier, que são mais rápidos e adequados para produtos simples. Ele também explica como a calibração é feita com base em instrumentos líquidos e como esses parâmetros são usados para precificar produtos derivados mais complicados.
  
  
• 00:20:00 Nesta seção, o instrutor discute o uso da amostragem de Monte Carlo para precificar derivativos financeiros e os possíveis problemas com erros de amostragem e efeitos aleatórios. Eles também mencionam o uso de métodos alternativos, como as técnicas de Fourier para calibração e encontrar a função de densidade de probabilidade de um estoque. O conceito de uma função característica é introduzido para ajudar a preencher a lacuna entre os modelos para os quais a função de densidade de probabilidade é conhecida analiticamente e aqueles para os quais não é. O objetivo é, em última análise, encontrar uma maneira de passar da função característica para a função de densidade de probabilidade do estoque.
  
  
• 00:25:00 Nesta seção, o palestrante discute o uso de transformações de Fourier para recuperação de densidade, o que é particularmente útil na precificação de opções do tipo europeu. O método da transformação de Fourier é computacionalmente eficiente e não se restringe a modelos gaussianos, podendo ser utilizado para qualquer variável aleatória que possua uma função característica. O processo de recuperação de densidade envolve relacionar os caminhos do processo estocástico à densidade observada em um determinado tempo t. O palestrante mostra vários gráficos e discute a importância da frequência dos sinais e a relação entre a variância de um processo e o número de rotações.
  
  
• 00:30:00 Nesta seção, o palestrante discute os aspectos técnicos da transformada de Fourier e sua importância na análise de sinais. Eles explicam como a transformada de Fourier pode mudar uma função monetária para uma representação no domínio da frequência e definir uma função característica como uma expectativa de um expoente de i. A densidade é derivada do CDF tomando sua derivada, e a função característica pode ser usada para encontrar o k-ésimo momento de uma variável. Finalmente, eles destacam as propriedades úteis da transformada de Fourier, incluindo a relação entre a derivada de uma função característica e o k-ésimo momento.
  
  
• 00:35:00 Nesta seção, o palestrante explica a relação entre uma variável X definida como um logaritmo de Y e a função característica de log Y de U. Tomando um logaritmo, X é transformado e a equação simplificada em uma integral de 0 ao infinito, onde uma função de correção do logaritmo de uma variável pode calcular cada momento de uma ação. Este método é mais fácil desde que o modelo considerado não envolva estoques negativos, o que é considerado raro. O palestrante também menciona que isso é útil para calcular analiticamente os momentos de Black-Scholes. O palestrante também apresenta a função característica do modelo Black-Scholes.
  
  
• 00:40:00 Nesta seção, o palestrante explica como realizar uma transformação log em uma variável de estoque em finanças computacionais. Ao converter a variável, a equação diferencial parcial resultante (PDE) torna-se mais simples de resolver. O palestrante fornece o PDE atualizado após a transformação e explica como encontrar a solução usando o teorema de Duffie-Pan-Singleton. Detalhes adicionais sobre as condições exatas para a solução prometem ser discutidos posteriormente.
  
  
• 00:45:00 Nesta seção, o palestrante discute como resolver a equação diferencial parcial para a função característica usando o método Duffy-Pan-Singleton. Para encontrar a solução, as derivadas da transformação de u para x devem ser calculadas e substituídas na EDP. Em seguida, usando condições de contorno, o falante encontra soluções para as equações diferenciais ordinárias para a e b, que são então substituídas na expressão da função característica para chegar ao resultado final. Este método é usado para encontrar a função característica para o modelo de Black-Scholes, que é um caso trivial com uma solução analítica conhecida.
  
  
• 00:50:00 Nesta seção, o palestrante explica o processo de derivação de funções conectadas e encontrar os valores de aeb em processos de difusão de salto afim. As funções corretivas requerem a verificação se a solução pode ser aplicada à EDP dada, seguida pela determinação do número de EDOs a serem resolvidas para encontrar a e b. No modelo de Black-Scholes, a função característica depende do logaritmo inicial do valor do estoque. A classe de modelos que podem ser considerados como Processos de Difusão Afim existe tal que a função característica tem a forma de e^(a+bx). O palestrante também discute as condições necessárias para que um sistema de equações diferenciais estocásticas satisfaça a dada forma de função característica, incluindo a necessidade de a estrutura de volatilidade ser representada como uma matriz dependendo do número de x's e movimentos brownianos.
  
  
• 00:55:00 Nesta seção, o palestrante explica as condições dos processos de difusão por salto afim. O número de movimentos brownianos normalmente corresponde ao número de variáveis de estado no modelo, mas não há requisitos rígidos. As três condições para esses processos são o drift que só pode depender linearmente de X, uma condição sobre as taxas de juros e uma condição quanto à estrutura de volatilidade. A condição mais crucial e difícil é a estrutura de volatilidade; as matrizes obtidas após a multiplicação ou o quadrado da volatilidade devem ser apenas lineares em X. Esta condição não é satisfeita pelo modelo de Black-Scholes, mas pode ser transformada sob transformação de log para satisfazer a condição.
  
  
• 01:00:00 Nesta seção da palestra, o professor discute o conceito de função característica no contexto de um sistema de equações diferenciais e o aplica ao modelo de Black-Scholes. A função característica é definida como uma função de moeda descontada com uma condição de contorno e uma filtragem. Pode ser resolvido usando uma solução para o sistema correspondente de EDOs do tipo Riccati. O professor fornece um exemplo de como usar essa abordagem para resolver a função característica no caso do modelo Black-Scholes.
  
  
• 01:05:00 Nesta seção, o foco está na função característica para processos de difusão por salto afim. Olhando para a equação da função característica descontada, nota-se que este termo pode ser retirado, pois é constante. Esta seção também analisa as condições para difusão fina e a resolução das equações diferenciais ordinárias para A e B. É importante escolher parâmetros que possam ser resolvidos analiticamente para evitar cálculos demorados. A seção também discute o trabalho com mais de uma dimensão e dá um exemplo de modelagem de dois estoques com processos de movimento Browniano geométricos não correlacionados.
  
  
• 01:10:00 Nesta seção, o palestrante discute o cálculo das funções características para uma configuração de difusão de salto afim bidimensional. O palestrante explica que o sistema de equações diferenciais estocásticas inclui um termo adicional, j, e um processo de Poisson multidimensional, o que significa que os saltos agora estão incluídos na estrutura da difusão de saltos afins. O palestrante também explica que a condição terminal para a função característica inclui uma condição de contorno onde a é um termo constante sem nenhuma dependência de x, e b1 e b2 correspondem a x1 e x2, respectivamente. Por fim, é dada a equação para a função característica 2d, onde temos a, iu1 e iu2, que são explicitamente conhecidos.
  
  
• 01:15:00 Nesta seção, a discussão se concentra na independência entre as partes de difusão e jumpy no modelo Affine Jump Diffusion Processes, onde a magnitude do jump é independente e a intensidade do framework não depende de j. As condições para essa estrutura são desvios lineares, volatilidade quadrada ou métricas de covariância da taxa de juros e o mesmo para a intensidade, o que significa que psi, a intensidade de um processo de Poisson, não pode depender de outra forma senão linearmente dos valores do estado. Finalmente, a seção termina com uma discussão sobre as dificuldades de usar saltos nos modelos devido ao aumento da volatilidade e das flutuações, o que torna a calibração e o hedge mais complicados.
  
  
• 01:20:00 Nesta seção, o palestrante discute as dimensões das funções de previsão de entrada e saída para processos de difusão por salto afim. A função de previsão de saída é tipicamente unidimensional, representando a distribuição marginal para log de estoque, e depende das características de u, incluindo variação e saltos. A dimensão da função de previsão de entrada está relacionada ao número de equações diferenciais estocásticas. O palestrante então demonstra o processo para um modelo de difusão de salto afim derivando a equação diferencial estocástica e a equação diferencial integral parcial. Eles descobrem que o modelo não é afim por causa do termo ao quadrado, mas depois de realizar uma transformação logarítmica, eles ficam com uma equação diferencial básica com apenas uma variável aleatória independente, j. Eles então calculam as derivadas para obter a solução para a função característica, que é um produto da função característica de j pela função de x.
  
  
• 01:25:00 Nesta seção, o palestrante discute a derivação da equação diferencial para processos de difusão por salto afim. Isso é feito tomando os termos por x, definindo-os como zero e reunindo todos os outros termos para colocá-los na derivada de a. A solução para a é então derivada e é a mesma encontrada sem o uso de hipóteses de difusão afim. No entanto, existem alguns parâmetros constantes incluídos, como a0 e l0 que são do lado p, indicando que a intensidade dos saltos é constante e não dependente do estado.

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Finanças Computacionais: Aula 7/14 (Modelos de Volatilidade Estocástica)

Finanças Computacionais: Aula 7/14 (Modelos de Volatilidade Estocástica)

Na palestra, aprofundamos o conceito de modelos estocásticos de volatilidade como alternativa aos modelos Black-Scholes, que podem ter suas limitações. O palestrante destaca que os modelos estocásticos de volatilidade pertencem à classe dos modelos de difusão afim, que requerem técnicas avançadas para obtenção eficiente de preços e volatilidades implícitas. A motivação por trás da incorporação da volatilidade estocástica é explicada e o modelo de volatilidade estocástica bidimensional de Heston é apresentado.

Um aspecto importante abordado é a calibração de modelos para toda a superfície de volatilidade implícita, em vez de apenas um único ponto. Isso é particularmente crucial ao lidar com recompensas dependentes do caminho e dependência da direção do ataque. Os profissionais normalmente calibram modelos para instrumentos líquidos, como opções de compra e venda, e depois extrapolam para os preços de derivativos exóticos. Os modelos de volatilidade estocástica são populares no mercado, pois permitem a calibração de toda a superfície de volatilidade, apesar de suas limitações inerentes.

A palestra também destaca a importância das superfícies de volatilidade no mercado de ações e a necessidade de modelos apropriados. Se a superfície de volatilidade exibe um sorriso íngreme, os modelos que incorporam saltos ou volatilidade estocástica são frequentemente preferidos. Diferentes medidas usadas para precificar opções, incluindo a medida P e a medida neutra ao risco, são discutidas. Observa-se que, embora tornar as taxas de juros dependentes do tempo não melhore os sorrisos ou a inclinação, a introdução de volatilidade estocástica ou local pode ajudar na calibração. O modelo de Hassel, que utiliza processos de raiz quadrada com reversão à média para modelar a volatilidade, também é apresentado.

A palestra explora o conceito de modelos de volatilidade estocástica em detalhes. Inicialmente, um processo normal e um movimento Browniano são usados para definir uma equação diferencial estocástica, mas reconhece-se que esta abordagem não captura com precisão a volatilidade, especialmente porque ela pode se tornar negativa. Os benefícios do Box Inverse Process, também conhecido como processo CIR, são explicados, pois exibe caudas grossas e permanece não negativo, tornando-o um modelo adequado para volatilidade. O modelo de Heston, com sua estrutura de volatilidade estocástica, é introduzido, e a variância (VT) segue uma distribuição qui-quadrada não central. Esclarece-se que esta distribuição é uma distribuição de transição, e a condição de Feller é mencionada como uma condição técnica crítica a ser verificada durante a calibração do modelo.

As condições para os modelos de volatilidade estocástica evitarem que os caminhos cheguem a zero, conhecidas como condição de Feller, são discutidas. A condição é satisfeita quando duas vezes o produto do parâmetro kappa e a média de longo prazo é maior ou igual a gama ao quadrado, a volatilidade ao quadrado. Quando a condição não é atendida, os caminhos podem chegar a zero e retornar, levando a uma condição de limite atingível. As propriedades das distribuições qui-quadrada não centrais e sua relação com os processos CIR são explicadas. Caminhos de variância e gráficos de densidade são fornecidos para ilustrar os efeitos de satisfazer ou não a condição de Feller.

A importância das distribuições de cauda gorda em modelos de volatilidade estocástica é enfatizada, pois elas são frequentemente observadas após a calibração de modelos para dados de mercado. Note-se que se a condição de Feller de um modelo não for satisfeita, os caminhos de Monte Carlo podem chegar a zero e permanecer em zero. A inclusão de correlação em modelos via movimento browniano é explicada e é mencionado que os saltos são normalmente considerados independentes. A palestra termina com um gráfico representando o impacto da condição do Feller na densidade.

A palestra se concentra na correlação e variância no movimento browniano. O palestrante explica que, ao lidar com movimentos brownianos correlacionados, uma certa relação deve ser verdadeira, e o mesmo se aplica aos incrementos. A técnica de decomposição de Cholesky é introduzida como um meio de correlacionar dois movimentos brownianos usando uma matriz definida positiva e a multiplicação de duas matrizes triangulares inferiores. Esse método é útil para formular os dois processos discutidos posteriormente na palestra.

A construção da multiplicação da matriz triangular inferior com movimentos brownianos independentes é discutida, resultando em um vetor contendo uma combinação de processos independentes e correlacionados.

Além disso, o palestrante explica que a função característica do modelo Heston fornece informações valiosas sobre precificação eficiente e rápida. Ao derivar a função característica, torna-se evidente que todos os termos envolvidos são explícitos, eliminando a necessidade de cálculos analíticos ou numéricos complexos para resolver as equações diferenciais ordinárias. Essa simplicidade é considerada uma das vantagens significativas do modelo de Heston, tornando-o uma ferramenta prática e poderosa para precificação de derivativos.

O palestrante enfatiza que entender as características e implicações de cada parâmetro do modelo de Heston é crucial para gerenciar com eficácia os riscos associados à volatilidade. Parâmetros como kappa, média de longo prazo, volatilidade, correlação e o valor inicial do processo de variância têm impactos distintos na dinâmica da volatilidade e na superfície de volatilidade implícita. Ao calibrar esses parâmetros para o mercado e analisar seus efeitos, os profissionais podem obter informações valiosas sobre sorrisos e desvios de volatilidade implícita, permitindo preços e gerenciamento de risco mais precisos.

A palestra destaca a importância de calibrar modelos de volatilidade estocástica para toda a superfície de volatilidade implícita, em vez de apenas um único ponto. Os retornos dependentes do caminho e as dependências da direção do ataque exigem uma abordagem de calibração abrangente para capturar toda a complexidade dos dados de mercado. Normalmente, os profissionais calibram os modelos para instrumentos líquidos, como opções de compra e venda, e então extrapolam para preços de derivativos exóticos. Embora os modelos de volatilidade estocástica permitam a calibração de toda a superfície de volatilidade, reconhece-se que o processo de calibração não é perfeito e tem suas limitações.

Para aprimorar ainda mais a compreensão dos modelos de volatilidade estocástica, o palestrante se aprofunda no conceito de distribuições de cauda gorda, que são frequentemente observadas ao calibrar modelos para dados de mercado. O palestrante explica que, se a condição do feller de um modelo não for satisfeita, os caminhos de Monte Carlo podem chegar a zero e permanecer em zero, afetando a precisão do modelo. Além disso, a inclusão de saltos e a consideração independente de correlações em modelos estocásticos de volatilidade são discutidas. A palestra fornece informações sobre como esses elementos influenciam a dinâmica de volatilidade e os preços.

A palestra termina comparando o modelo Heston com o modelo Black-Scholes. Enquanto o modelo Heston oferece maior flexibilidade e estocasticidade na modelagem da volatilidade, o modelo Black-Scholes continua sendo uma referência para a precificação de derivativos. Compreender as implicações de diferentes mudanças de parâmetros em sorrisos e desvios de volatilidade implícita é essencial para que os profissionais escolham o modelo apropriado para suas necessidades específicas. Por meio de calibração e análise abrangentes, os modelos de volatilidade estocástica, como o de Heston, podem fornecer informações valiosas sobre precificação e gerenciamento de risco nos mercados financeiros.

Além de discutir o modelo de Heston, a palestra aborda a importância da correlação e variância no movimento browniano. O palestrante explica que, ao lidar com movimentos brownianos correlacionados, certas relações e condições devem ser verdadeiras, incluindo o uso da decomposição de Cholesky. Esta técnica permite a correlação de dois movimentos brownianos usando uma matriz definida positiva e a multiplicação de duas matrizes triangulares inferiores. A palestra enfatiza que este método é essencial para formular processos em casos multidimensionais e alcançar a estrutura de correlação desejada.

Além disso, o palestrante foca na construção e representação de movimentos brownianos independentes e correlacionados em modelos estocásticos de volatilidade. Embora a decomposição de Cholesky seja uma ferramenta útil para correlacionar movimentos brownianos, a palestra aponta que, para fins práticos, nem sempre é necessária. Em vez disso, o lema de Ito pode ser aplicado para incorporar movimentos brownianos correlacionados de forma eficaz. A palestra fornece exemplos de construção de carteiras de ações com movimentos brownianos correlacionados e demonstra como aplicar o lema de Ito para determinar a dinâmica de funções multidimensionais envolvendo múltiplas variáveis.

A palestra também aborda a equação diferencial parcial de preços (PDE) para o modelo Heston usando uma abordagem martingale. Essa abordagem envolve garantir que uma quantidade específica, chamada pi, que representa a razão da volatilidade sobre a média de longo prazo, seja um martingale. Aplicando o Ethos Lemma, a palestra deriva a equação para o martingale, que envolve derivadas e o processo de variância. A PDE de precificação permite a determinação de preços justos para contratos de derivativos e o uso da medida de risco neutro na precificação.

Além disso, o palestrante discute o impacto de diferentes parâmetros na forma de volatilidade implícita em modelos de volatilidade estocástica. Parâmetros como gama, correlação e a velocidade de reversão à média (kappa) mostram influenciar a curvatura, assimetria e estrutura de termo das volatilidades implícitas. Compreender os efeitos desses parâmetros ajuda a calibrar com precisão os modelos e capturar a dinâmica de volatilidade desejada.

Ao longo da palestra, o palestrante enfatiza a importância da calibração do modelo, principalmente para toda a superfície de volatilidade implícita. Calibrar para instrumentos líquidos e extrapolar para derivados exóticos é uma prática comum entre os profissionais. Os modelos estocásticos de volatilidade, incluindo o modelo Heston, fornecem flexibilidade para calibrar toda a superfície de volatilidade, permitindo melhor precisão na precificação e gerenciamento de risco. No entanto, reconhece-se que a calibração do modelo não é sem limitações e que as diferenças sutis entre os modelos, como os modelos de Heston e Black-Scholes, devem ser cuidadosamente examinadas para garantir preços adequados e avaliação de risco.

A palestra fornece uma visão abrangente dos modelos de volatilidade estocástica, com foco no modelo de Heston, suas implicações de parâmetros, técnicas de calibração e o papel da correlação e variância no movimento browniano. Ao compreender e aplicar efetivamente esses conceitos, os profissionais podem aprimorar sua capacidade de precificar derivativos, gerenciar riscos e navegar pelas complexidades dos mercados financeiros.

• 00:00:00 Nesta seção, aprendemos sobre os modelos estocásticos de volatilidade como uma alternativa aos modelos Black-Scholes, que podem ter deficiências. A inclusão de saltos pode corrigir alguns problemas, mas são difíceis de implementar e interpretar. Os modelos de volatilidade estocástica estão em uma classe de modelos de difusão afim que requerem técnicas avançadas para obter preços e volatilidades implícitas de forma eficiente. A palestra aborda a motivação para a volatilidade estocástica e apresenta o modelo de volatilidade estocástica bidimensional de Heston. Também abordamos como lidar com populações, correlacionar movimentos brownianos, usar correlação, estender o lema de Ito para casos de dimensão superior e precificar PDEs usando abordagens de martingale, Monte Carlo e transformações de Fourier. A palestra enfatiza a importância de entender o significado e o impacto de cada parâmetro ao gerenciar os riscos associados a uma curvatura ou inclinação. Por fim, comparamos o modelo de Heston com o modelo de Black-Scholes e derivamos e usamos a função característica para o primeiro.
  
  
• 00:05:00 Nesta seção, o palestrante discute a importância de calibrar um modelo para toda a superfície de volatilidade implícita em vez de apenas um ponto na superfície. Eles explicam que, se um retorno depende do caminho e depende da direção do golpe, calibrar apenas um ponto na superfície não é suficiente. A palestra continua explicando como os profissionais normalmente calibram modelos para instrumentos líquidos, como opções de compra e venda, e depois extrapolam para o preço de derivativos exóticos. O palestrante também explica que os modelos de volatilidade estocástica são populares no mercado, pois permitem que os praticantes calibrem para toda a superfície de volatilidade, embora a calibração não seja perfeita e tenha suas limitações.
  
  
• 00:10:00 Nesta seção, o palestrante discute o uso de modelos estocásticos de volatilidade para calibrar a superfície de volatilidade do mercado de ações. Eles explicam que, se a superfície tiver um sorriso íngreme, pode ser necessário um modelo que inclua saltos ou um modelo como a volatilidade estocástica que modela a volatilidade como uma variável aleatória. O palestrante também explica as diferentes medidas usadas para precificar opções, incluindo a medida P e a medida neutra ao risco. Eles alertam que tornar as taxas de juros dependentes do tempo não melhora sorrisos ou distorções, mas tornar a volatilidade estocástica ou local pode ajudar na calibração. Finalmente, eles introduzem o modelo de Hassel, que usa processos de raiz quadrada com reversão à média para modelar a volatilidade.
  
  
• 00:15:00 Nesta seção da palestra, o conceito de modelos estocásticos de volatilidade é discutido. O uso de um processo normal e movimento browniano para definir uma equação diferencial estocástica é explicado, mas falha em modelar com precisão a volatilidade, pois pode se tornar negativa. Os benefícios do Box Inverse Process, também conhecido como processo CIR, são então destacados, pois possui caudas gordas e é não negativo, tornando-o um modelo adequado para volatilidade. O modelo de Heston, com sua estrutura de volatilidade estocástica, é apresentado, e VT, a variância do modelo de Heston, segue uma distribuição qui-quadrada não central. É explicado que esta é uma distribuição de transição, e a condição do feller é mencionada como uma condição técnica importante a ser verificada durante a calibração do modelo.
  
  
• 00:20:00 Nesta seção, o instrutor discute as condições para que os modelos de volatilidade estocástica tenham caminhos que não cheguem a zero, também conhecida como condição de Fellouris. A condição é satisfeita quando duas vezes o produto do parâmetro kappa e a média de longo prazo é maior ou igual a gama ao quadrado, a volatilidade ao quadrado. Se a condição não for satisfeita, os caminhos podem chegar a zero e retornar, o que é conhecido como uma condição de limite atingível. O instrutor também explica as propriedades das distribuições qui-quadrada não centrais e como elas se relacionam com os processos CIR. Finalmente, o instrutor fornece gráficos de caminhos de variância e densidade para quando a condição de Fellouris é satisfeita e não satisfeita.
  
  
• 00:25:00 Nesta seção, o palestrante discute modelos de volatilidade estocástica e a importância de distribuições de cauda gorda, que são frequentemente observadas após a calibração de modelos para dados de mercado. O palestrante observa que, se a condição de queda de um modelo não for satisfeita, os caminhos de Monte Carlo podem chegar a zero e permanecer em zero. O palestrante explica como a correlação é incluída nos modelos por meio do movimento browniano e que os saltos são normalmente considerados independentes. A seção termina com um gráfico que mostra os efeitos da condição do feller na densidade.
  
  
• 00:30:00 Nesta seção do vídeo sobre modelos estocásticos de volatilidade, o palestrante discute correlação e variância no movimento browniano. Ele explica que, ao lidar com movimentos brownianos correlacionados, uma certa relação deve ser verdadeira, e o mesmo se aplica a incrementos. O palestrante descreve a técnica de decomposição de Cholesky, que permite a correlação de dois movimentos brownianos usando uma matriz definida positiva e a multiplicação de duas matrizes triangulares inferiores. Este método será usado para ajudar a formular os dois processos na próxima discussão.
  
  
• 00:35:00 Nesta seção, o palestrante discute a construção da multiplicação da matriz triangular inferior com movimentos brownianos independentes, que resulta em um vetor contendo uma combinação de processos independentes e correlacionados. A palestra demonstra como determinar a correlação entre dois movimentos brownianos simplificando a notação e substituindo expressões. Ao usar essa derivação, as mesmas propriedades de momentos e correlação são preservadas, permitindo flexibilidade na escolha de um método de decomposição adequado.
  
  
• 00:40:00 Nesta seção da palestra, o apresentador discute a mudança do uso de dois movimentos brownianos correlacionados para o uso de duas variáveis independentes e como a correlação pode ser alcançada usando a decomposição de Cholesky. Os benefícios de lidar com movimentos brownianos independentes também são explicados, com gráficos de amostra fornecidos para mostrar as diferenças em correlações negativas, positivas e nulas. O apresentador também dá um exemplo de código de como simular essas correlações usando a padronização de amostras e geração de caminhos. O processo de geração do movimento browniano também é destacado, com a nova realização do movimento browniano sendo gerada a partir da anterior usando um processo iterativo.
  
  
• 00:45:00 Nesta seção, o vídeo discute como simular caminhos multicoloridos para movimento linear correlacionado e como lidar com dimensões maiores e matrizes de correlação definida não positiva. A decomposição de Cholesky é usada para calcular movimentos brownianos independentes com tempos de correlação dt, que podem ser aplicados para todas as dimensões. No entanto, se você encontrar uma matriz de correlação definida não positiva, precisará usar certos algoritmos para mapear a matriz para uma definida positiva. Também é importante especificar limites para seu coeficiente de correlação para garantir que ele esteja dentro de uma faixa realista de -1 e 1. Além disso, o vídeo menciona que, na prática, cada processo em um caso multidimensional pode depender de todos os movimentos brownianos correlacionados , mas este é um caso incomum.
  
  
• 00:50:00 Nesta seção, o palestrante apresenta a decomposição de Cholesky, que é uma ferramenta útil para lidar com movimentos brownianos correlacionados e transformar o sistema de equações de correlacionado para não correlacionado. Eles explicam como representar o sistema de equações diferenciais em termos de movimentos brownianos independentes usando a correlação e a decomposição de Cholesky. O palestrante também discute a condição técnica para aplicação do lema de Ethos para processos vetoriais, que é que a função g deve ser suficientemente diferenciável. Eles fornecem um exemplo de uma equação diferencial estocástica multidimensional e como diferenciar a função g com cada processo no vetor para obter a dinâmica do processo.
  
  
• 00:55:00 Nesta seção, o palestrante discute a representação de movimentos brownianos independentes e correlacionados em modelos estocásticos de volatilidade. Eles explicam que, para fins práticos, não é necessário fazer uma decomposição de Cholesky e, em vez disso, o lema de Ito pode ser usado para aplicar movimentos brownianos correlacionados. O palestrante também fornece um exemplo de construção de uma carteira de duas ações com movimentos brownianos correlacionados e valores sigma. Eles explicam ainda mais o processo de aplicação do lema de Ito para encontrar a dinâmica de uma função multidimensional envolvendo duas ou três variáveis.
  
  
• 01:00:00 Nesta seção da palestra, o palestrante discute a aplicação do Ethos Lemma para derivar a equação diferencial parcial de preços (PDE) para o modelo de Heston usando uma abordagem martingale. A PDE de precificação exige que o valor de um derivativo, descontado para o presente, seja igual ao seu valor futuro esperado, sendo a conta moeda movida pela equação para taxas de juros, e o processo de variação sendo estocasticamente variável. Embora derivar um PDE de precificação para uma variável que não é observável ou negociável possa ser bastante complicado, a abordagem martingale é considerada um dos métodos mais simples para conseguir isso. A PDE de precificação é poderosa na medida em que permite derivar o preço justo de um contrato e a medida de risco neutro.
  
  
• 01:05:00 Nesta seção, o palestrante explica a abordagem martingale para precificar derivativos sob o modelo de volatilidade estocástica. A abordagem envolve definir uma quantidade como pi, que é a razão de v sobre m, e garantir que essa quantidade seja um martingale aplicando o Ethos Lemma. O orador deriva a equação para o martingale, que envolve a derivada simples, um sobre m dv menos rv sobre m dt. A economia consiste em um ativo, uma volatilidade que não é negociável e uma conta de poupança de dinheiro. Para chegar à solução, o palestrante aplica a série de Taylor e manipula os termos com Ito Calculus, que é direto. No entanto, calcular o termo relacionado ao produto do processo de variância e o estoque é mais complicado. A solução final envolve dois movimentos brownianos e um termo extra que depende da correlação entre a variância e o estoque.
  
  
• 01:10:00 Nesta seção, o palestrante discute a flexibilidade do modelo de Heston e a estocasticidade do processo de variância em comparação com o modelo de Black-Scholes. Eles explicam como o modelo envolve vários parâmetros, incluindo kappa, a média de longo prazo, volatilidade e correlação, e mais um parâmetro, o valor inicial do processo de variância. Eles também observam que a maior vantagem do modelo é que cada um desses parâmetros tem um impacto individual na volatilidade, permitindo a calibração e implantação de inclinação inteligente da volatilidade. O palestrante destaca que eles analisarão o impacto de diferentes mudanças de parâmetros nos sorrisos e habilidades da volatilidade implícita.
  
  
• 01:15:00 Nesta seção, o palestrante explica os efeitos de diferentes parâmetros na forma da volatilidade implícita em modelos estocásticos de volatilidade. O parâmetro gama controla a curvatura da volatilidade implícita, e aumentá-la leva a uma forma mais inclinada. As correlações afetam a assimetria da volatilidade implícita e as correlações negativas levam a uma forma de sorriso. A velocidade de reversão à média (kappa) afeta a estrutura a termo da volatilidade implícita, com kappa maior causando convergência mais rápida para a média de longo prazo. Embora o kappa tenha algum efeito no nível e na forma da volatilidade implícita, seu impacto principal é na estrutura a termo.
  
  
• 01:20:00 Nesta seção, o palestrante discute o impacto de diferentes parâmetros nos modelos estocásticos de volatilidade, especificamente para controlar a estrutura a termo das volatilidades implícitas. A média de longo prazo e os parâmetros v0 têm um efeito semelhante no modelo. V bar controla o nível se o vencimento for dado e v0 controla a estrutura a termo das volatilidades implícitas. A comparação de volatilidades implícitas instantâneas com black-scholes pode determinar se um modelo de lápide ou black-scholes é mais apropriado. Além disso, o palestrante usa preços de opções para ilustrar as diferenças entre os modelos Hastel e black-scholes. O controle de sorrisos implícitos é tipicamente associado a caudas mais grossas em modelos de Hastel, enquanto os modelos de Black-Scholes convergem muito mais rápido para zero.
  
  
• 01:25:00 lembre-se ao calibrar modelos estocásticos de volatilidade e observar o impacto de diferentes parâmetros nos preços. Embora olhar apenas para os preços não possa determinar a forma da volatilidade implícita, a calibração para opções de volatilidade implícita fora do dinheiro pode fornecer mais informações sobre a precisão do modelo. As diferenças entre um modelo e o mercado podem ter um impacto significativo nas volatilidades implícitas, especialmente nas opções fora do dinheiro, portanto, entender a inclinação e o sorriso da volatilidade é crucial na calibração do modelo. Diferenças sutis entre o modelo Heston e o modelo Black-Scholes exigem o exame de diferentes elementos além dos preços das opções, como caudas mais pesadas e a forma da volatilidade. O coeficiente de correlação também é importante para vincular a volatilidade às ações, e seu valor é escolhido com base nos preços de mercado das opções, não em dados históricos.
  
  
• 01:30:00 Nesta seção, o palestrante discute o modelo Heston e sua superioridade sobre o modelo Black Scholes na precificação de derivativos. No entanto, surge um desafio ao tentar determinar qual quantidade no mercado representa a volatilidade estocástica real. Para confirmar se o modelo de Heston é afim, o palestrante verifica se as variáveis de estado e a matriz de covariância quadrada são lineares no vetor de estado, que consiste em duas variáveis de estado, s_t e variance_t. O palestrante então explica que após realizar a transformação logarítmica, eles devem verificar se todos os termos são lineares em relação ao vetor espaço de estado. Apesar da complexidade do modelo, realizar a transformação logarítmica não complica significativamente as derivações.
  
  
• 01:35:00 Nesta seção, o palestrante discute a matriz de covariância instantânea e afirma que ela ajuda a verificar se o processo está bom ou não. Além disso, uma função característica para o modelo de Heston é derivada e é referida como uma decomposição útil que é relevante para uma precificação eficiente e rápida. O palestrante reconhece que abrange algumas páginas de derivações no livro, mas destaca que todos os termos são explícitos e nenhum cálculo analítico ou numérico é necessário para resolver as EDOs para a função característica. Isso é visto como uma das maiores vantagens do modelo Heston.

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Finanças Computacionais: Aula 8/14 (Transformação de Fourier para Precificação de Opções)

Finanças Computacionais: Aula 8/14 (Transformação de Fourier para Precificação de Opções)

Durante a palestra sobre Transformação de Fourier para precificação de opções, o instrutor aprofunda a aplicação da técnica e diversos aspectos. Eles começam explicando que a Transformação de Fourier é utilizada para calcular a densidade e opções de preço eficiente para modelos que se enquadram na classe de modelos de difusão fina. A técnica envolve calcular uma integral sobre o eixo real, o que pode ser computacionalmente caro. Porém, ao empregar o lema da inversão, o instrutor elucida como o domínio para "u" pode ser reduzido, possibilitando o cálculo da parte real da integral. Essa abordagem ajuda a minimizar a carga computacional associada a cálculos caros.

O palestrante discute ainda a melhoria dessa representação usando a transformação rápida de Fourier (FFT), que aumenta significativamente a eficiência da implementação. Aproveitando as propriedades da FFT, a carga de trabalho computacional é reduzida, tornando a precificação de opções mais eficiente e rápida. A sessão termina com uma comparação entre o método de transformação de Fourier e o método de custo, fornecendo informações sobre seus respectivos detalhes de implementação.

Seguindo em frente, o palestrante se aprofunda na primeira etapa para derivar uma maneira rápida de calcular a densidade usando a transformação de Fourier. Esta etapa envolve dividir o domínio em dois e extrair a parte real, que é uma operação computacionalmente barata. Além disso, o palestrante explora a divisão de números complexos e a importância de tomar o conjugado, pois facilita cálculos mais eficientes da função característica. A construção de uma grade para obter a densidade para cada valor "x" também é discutida, destacando a importância de selecionar domínios apropriados e definir limites.

A palestra prossegue com uma explicação do cálculo da densidade de "x" usando uma integral de transformação de Fourier e uma grade compreendendo "n" pontos da grade. O instrutor enfatiza a necessidade de realizar cálculos de densidade para vários valores "x" simultaneamente. Uma vez definidas as grades, uma nova integral envolvendo uma função denominada "gama" é introduzida e a integração trapezoidal é empregada para aproximar a integral discreta. Para ilustrar esse processo, o palestrante fornece um exemplo de execução de integração trapezoidal para uma função com uma grade igualmente espaçada.

O palestrante então se aprofunda no processo de configuração de parâmetros para definir a grade para a transformação de Fourier. Esses parâmetros abrangem o número de pontos da grade, o valor máximo de "u" e a relação entre delta "x" e delta "u". Uma vez estabelecidos esses parâmetros, integrais e somatórios podem ser substituídos, possibilitando a derivação de uma função para cada valor de "x". A palestra inclui uma equação incorporando integração trapezoidal e funções características avaliadas nos nós de fronteira do trapézio.

A representação da integral e a importância de empregar a transformação rápida de Fourier (FFT) na precificação de opções são discutidas em detalhes. O palestrante explica que, ao definir uma função adequada para entrada na FFT, os profissionais podem aproveitar os recursos rápidos de avaliação e implementação já presentes na maioria das bibliotecas. O palestrante explica as etapas envolvidas no cálculo dessa transformação e como ela pode ser utilizada para calcular integrais. No geral, a palestra ressalta a importância da FFT em finanças computacionais e sua utilidade na precificação de opções.

Além dos tópicos mencionados, a palestra explora vários aspectos relacionados à transformação de Fourier para precificação de opções. Isso inclui o uso de técnicas de interpolação para garantir cálculos precisos para um número discreto de pontos, a relação entre a série de Taylor e a função característica, a aplicação do método de expansão do cosseno para funções pares e o uso de domínios truncados para aproximar a densidade. A palestra também aborda a recuperação da densidade, os resultados numéricos obtidos usando a expansão de Fourier e a representação de preços na forma de matrizes e vetores.

Ao longo da palestra, o instrutor enfatiza a implementação prática do método da transformação de Fourier, discute o impacto de diferentes parâmetros e destaca as vantagens e limitações da abordagem. Ao fornecer explicações abrangentes e experimentos numéricos, a palestra equipa os alunos com o conhecimento e as ferramentas necessárias para aplicar a transformação de Fourier para precificação de opções em cenários do mundo real.

O palestrante passa a discutir a recuperação da função de densidade na Transformação de Fourier para precificação de opções. Eles enfatizam a importância de selecionar um número suficientemente grande de pontos (denotados como "n") na transformação para obter cálculos de densidade de alta precisão. O professor introduz o número complexo "i" para definir o domínio e máximo, com "u_max" determinado pela distribuição. Além disso, o palestrante explica a necessidade de interpolação, principalmente usando interpolação cúbica nos pontos da grade "x_i" para garantir o cálculo preciso da função de densidade de saída, mesmo para entradas que não estão na grade.

O palestrante explora ainda mais os benefícios da interpolação e sua relevância para a precificação de opções usando a transformação de Fourier. Embora a transformação de Fourier seja vantajosa para grades maiores, a interpolação pode ser preferida ao lidar com números maiores, pois é comparativamente menos dispendiosa computacionalmente do que a FFT. O palestrante demonstra como funciona a interpolação por meio de exemplos de código, destacando que, ajustando parâmetros, torna-se possível calcular sensibilidades e obter gregos sem custo adicional. Esse recurso torna a técnica de expansão de cosseno ideal para precificar derivativos mais exóticos, como opções de barreira e Bermudas.

Além disso, o palestrante discute a relação entre a série de Taylor e a função característica em finanças computacionais. A palestra mostra a correspondência um-para-um entre a série e a função característica, permitindo relações diretas sem a necessidade de integrais adicionais. O palestrante então descreve o "método cos" para precificação de opções, que emprega uma expansão de cosseno de Fourier para representar funções pares em torno de zero. Este método envolve o cálculo de integrais e coeficientes, com a observação crucial de que o primeiro termo da expansão deve sempre ser multiplicado pela metade.

A palestra analisa mais de perto o processo de alteração do domínio de integração da função "g" para obter um intervalo de suporte finito de "a" a "b". O palestrante explica a importância da fórmula de Euler na simplificação da expressão e mostra como substituir "u" por "k pi dividido por ba" leva a uma expressão mais simples envolvendo a densidade. O domínio truncado é indicado por um símbolo de chapéu e os valores específicos para os parâmetros "a" e "b" são escolhidos com base no problema que está sendo resolvido. O palestrante enfatiza que esta é uma técnica de aproximação e que escolhas heurísticas estão envolvidas na seleção dos valores de "a" e "b".

Além disso, a palestra explora a relação entre a expansão de Fourier e a recuperação da densidade. Tomando as partes reais de ambos os lados da equação, a palestra demonstra a fórmula de Euler que permite expressar a integral da densidade como parte real da função característica. Este método elegante e rápido facilita encontrar as relações entre integrais da função alvo e a função característica usando a definição da função característica. O método de custo visa descobrir essas relações para calcular os coeficientes de expansão e recuperar a densidade. Embora o método introduza erros de soma infinita e domínio de truncamento, esses erros são fáceis de controlar.

A palestra se concentra em resumir a expansão do cosseno de Fourier, que pode atingir alta precisão mesmo com um pequeno número de termos. Um experimento numérico envolvendo uma função de densidade de probabilidade normal (PDF) é conduzido para examinar a geração de erro com base no número de termos, com medição de tempo incluída. O experimento de código é estruturado para gerar densidade usando o método do cosseno, definindo o erro como a diferença absoluta máxima entre a densidade recuperada usando o método do cosseno e o PDF normal exato. O método do cosseno requer apenas algumas linhas de código para recuperar a densidade usando a função característica, que está no centro do método.

Além disso, o palestrante discute os resultados numéricos da expansão de Fourier, que podem ser executados com eficiência usando notação de matriz. O erro diminui à medida que o número de termos de expansão aumenta, com um erro tão baixo quanto 10^-17 alcançado com 64 termos. Usar um número menor de termos pode resultar em oscilações ou um ajuste mais pobre. O palestrante observa que parâmetros como o domínio e o número de termos de expansão devem ser cuidadosamente ajustados, especialmente para distribuições fortemente atadas. Além disso, a palestra destaca que a densidade log-normal também pode ser modelada usando a função de característica normal.

Seguindo em frente, o palestrante se aprofunda no caso log-normal e explica como sua densidade difere da distribuição normal. Devido à distribuição log-normal, normalmente é necessário um número maior de termos de expansão. O palestrante enfatiza a importância de escolher um número adequado de termos para um tipo específico de distribuição e domínio.

A palestra enfatiza que o método do custo é particularmente útil para recuperar a densidade e é comumente empregado para precificação de derivativos, como opções do tipo europeu que só têm pagamento no vencimento. O palestrante passa a explicar como funciona a precificação, envolvendo a integração do produto de uma função de densidade e payoff sob a medida neutra ao risco.

À medida que a palestra avança, o palestrante discute opções mais exóticas, onde uma função de conectividade pode ser derivada e cossenos podem ser usados. O termo "densidades de transição" é introduzido, referindo-se às distribuições que descrevem a transição de um ponto no eixo do tempo para outro. O valor inicial é dado em termos da distribuição de uma variável aleatória. A apresentação explora ainda mais o truncamento da densidade, onde a densidade é limitada a um intervalo especificado. O método da quadratura gaussiana é explicado, o que envolve a integração de uma soma das partes reais de uma função característica multiplicada por algum expoente.

A palestra apresenta o conceito de logaritmo ajustado do preço do ativo, que é definido como o logaritmo do estoque no vencimento dividido por um coeficiente de escala. Uma representação alternativa do payoff é apresentada, e o palestrante observa que a escolha de "v" impacta diretamente o coeficiente "h_n". Essa abordagem pode ser usada para avaliar pagamentos de vários exercícios, fornecendo um método conveniente para precificar opções em vários preços de exercício simultaneamente.

Em seguida, o palestrante se aprofunda no processo de calcular a integral de uma função de payoff multiplicada pela densidade usando funções exponenciais e cosseno na transformação de Fourier para precificação de opções. Uma forma genérica para as duas integrais envolvidas é fornecida, e diferentes coeficientes são selecionados para calcular vários payoffs. O palestrante enfatiza a importância de poder implementar essa técnica para múltiplos golpes, permitindo a precificação de todos os golpes de uma só vez, o que economiza tempo e reduz gastos computacionais. Por fim, a representação do preço é apresentada na forma de uma matriz multiplicada por um vetor.

A fórmula de implementação da transformação de Fourier na precificação de opções é discutida, envolvendo a vetorização de elementos e manipulações de matrizes. A palestra explica o processo de tomar "k" como um vetor e criar uma matriz com "n_k" greves. As partes reais são calculadas para lidar com números complexos. A função característica é de grande importância, pois não depende de "x" e desempenha um papel fundamental na obtenção de implementações eficientes para golpes múltiplos. A precisão e a convergência da implementação dependem do número de termos, e uma comparação de amostra é mostrada.

Além disso, o palestrante se aprofunda no código usado para o método de transformação de Fourier na precificação de opções e explica as diferentes variáveis envolvidas. Eles introduzem o conceito de intervalo para os coeficientes "a" e "b", normalmente mantidos em 10 ou 8 para modelos de difusão por salto. O código inclui uma expressão lambda para a função característica, que é uma função genérica adaptável a diferentes modelos. O palestrante enfatiza a importância de medir o tempo conduzindo várias iterações do mesmo experimento e calculando o tempo médio. Finalmente, eles ilustram o método de custo e como ele utiliza a faixa de integração para assumir uma grande volatilidade.

A palestra continua com uma explicação do processo de definição de strikes e cálculo de coeficientes para o método da transformada de Fourier de precificação de opções. O palestrante enfatiza que, embora ajustar os parâmetros do modelo possa levar a uma melhor convergência e exigir menos termos para avaliação, geralmente é seguro manter os parâmetros do modelo padrão. Eles detalham as etapas de definição de uma matriz e realização da multiplicação da matriz para obter o preço de exercício descontado, comparando o erro resultante com o da solução exata. A palestra destaca que o erro depende do número de termos e do intervalo de strike escolhido.

O palestrante então apresenta uma comparação de diferentes métodos de precificação de opções, incluindo o método Fast Fourier Transform (FFT) e o método Cosine. Eles explicam que o método FFT é mais adequado para um grande número de pontos de grade, enquanto o método Cosine é mais eficiente para um número menor de pontos de grade. O palestrante demonstra o cálculo dos preços das opções usando os dois métodos e compara os resultados.

Além disso, a palestra aborda a aplicação dos métodos baseados em Fourier em outras áreas de finanças, como gestão de riscos e otimização de portfólio. O palestrante explica que os métodos baseados em Fourier podem ser usados para estimar medidas de risco, como Value-at-Risk (VaR) e Conditional Value-at-Risk (CVaR). Combinando métodos de Fourier com técnicas de otimização, é possível encontrar alocações ótimas de portfólio que minimizem o risco ou maximizem os retornos.

A palestra termina resumindo os principais pontos discutidos ao longo da apresentação. As técnicas de transformação de Fourier fornecem uma ferramenta poderosa para precificação de opções e outras aplicações financeiras. O método do cosseno permite a precificação eficiente e precisa das opções, aproveitando a função característica e a expansão de Fourier. A escolha dos parâmetros, como o número de termos e o domínio, impacta na precisão e convergência do método. Além disso, os métodos baseados em Fourier podem ser estendidos para vários problemas financeiros além do preço de opções.

No geral, a palestra fornece uma visão abrangente das técnicas de transformação de Fourier na precificação de opções, abrangendo tópicos como recuperação de densidade, interpolação, método cos, distribuições log-normal, strikes múltiplos, considerações de implementação e comparações com outros métodos de precificação. As explicações do palestrante e os exemplos de código ajudam a ilustrar a aplicação prática dessas técnicas em finanças e destacam seus benefícios em termos de precisão e eficiência.

• 00:00:00 Nesta seção, aprenderemos sobre a Transformação de Fourier para precificação de opções. A técnica da Transformação de Fourier é usada para calcular a densidade e precificar com eficiência opções para modelos que pertencem à classe de um modelo de difusão fina. A técnica envolve calcular uma integral sobre o eixo real, o que pode ser computacionalmente caro. No entanto, usando o lema da inversão, podemos reduzir o domínio para u e calcular a parte real da integral, o que ajuda a evitar cálculos caros. O bloco inclui uma discussão sobre a melhoria dessa representação usando a transformação rápida de Fourier, tornando a implementação muito mais rápida e eficiente. Por fim, a sessão termina com uma comparação entre o método da transformação de Fourier e o método do custo, juntamente com os detalhes de implementação dessas técnicas.
  
  
• 00:05:00 Nesta seção, o palestrante discute o primeiro passo para derivar uma maneira rápida de calcular a densidade para usar a transformação rápida de Fourier para precificação de opções. O primeiro passo envolve dividir o domínio em dois e pegar a parte real, o que é uma operação barata. Além disso, o palestrante discute a divisão de números complexos e a obtenção do conjugado, o que permite um cálculo mais eficiente da função característica. A palestra também aborda a construção de uma grade para obter a densidade para cada x, o que envolve a escolha de um determinado domínio e a definição de limites.
  
  
• 00:10:00 Nesta seção da palestra, o professor explica como calcular a densidade de x usando uma integral de transformação de Fourier e uma grade de n pontos de grade. Eles esclarecem que o cálculo da densidade precisa ser feito para múltiplos xs ao mesmo tempo. Uma vez definidas as grades, elas definem uma nova integral de 0 ao infinito de uma função chamada gama e determinam a integração trapezoidal a partir da integral discreta. O professor dá um exemplo para explicar como realizar a integração trapezoidal para uma função com grade igualmente espaçada.
  
  
• 00:15:00 Nesta seção da palestra, o palestrante discute o processo de configuração de parâmetros para definir a grade para a transformação de Fourier. Esses parâmetros incluem o número de pontos da grade, o valor máximo de u e uma relação entre delta x e delta u. Uma vez definidos esses parâmetros, integrais e somatórios podem ser substituídos e uma função pode ser obtida para cada valor de x. O alto-falante fornece uma equação que inclui uma integração trapezoidal e funções de caracteres avaliadas nos nós de fronteira do trapézio.
  
  
• 00:20:00 Nesta seção da palestra, o palestrante discute a representação da integral e a importância do uso da transformação rápida de Fourier (FFT) na precificação de opções. O palestrante explica que ao definir uma função que se encaixe nas entradas para FFT, podemos nos beneficiar da rápida avaliação e implementação de FFT já disponível na maioria das bibliotecas. O palestrante explica as etapas envolvidas no cálculo dessa transformação e como ela pode ser usada para calcular integrais. No geral, a palestra destaca a relevância da FFT em finanças computacionais e sua utilidade para a precificação de opções.
  
  
• 00:25:00 Nesta seção, o palestrante discute a transformação de Fourier para precificação de opções. Eles começam definindo a função característica e a grade que usaríamos para a transformação de Fourier. O palestrante destaca a necessidade da interpolação, pois temos um número discreto de pontos, por exemplo, alguns milhares de pontos, mas são necessários milhões de pontos para um bom funcionamento. Eles observam que a integração trapezoidal da função característica ajuda a recuperar a densidade, mas ainda não é benéfica. O palestrante explica que é possível reduzir o número de avaliações e operações necessárias para a transformação de Fourier discretizada usando a transformação de Fourier rápida. Eles mostram um gráfico que compara a redução nas operações quando a dimensionalidade dos pontos da grade aumenta, onde a complexidade alcançada com a transformação rápida de Fourier é significativamente melhor.
  
  
• 00:30:00 Nesta seção, o palestrante explica a Transformação de Fourier e seu uso na precificação de opções. Eles se concentram em um termo e definem a função corretiva da densidade calculada a partir da função conectiva. Ao usar a transformação rápida de Fourier, o palestrante enfatiza que a maior vantagem é que os termos de cada lado da diagonal da matriz m são na verdade os mesmos termos, e esse fato pode ser usado para reduzir o número de operações necessárias para o cálculo. Além disso, a palestra aborda as propriedades da simetria e semelhança entre os termos no contador no lado oposto da diagonal. A palestra fornece uma explicação detalhada do termo de correção que é essencial para representar o problema em zk.
  
  
• 00:35:00 Nesta seção, o instrutor discute a aplicação da Transformação Rápida de Fourier (FFT) em finanças computacionais. O algoritmo FFT ajuda a reduzir o número de cálculos necessários utilizando as propriedades de similaridade dos termos nas métricas. No entanto, para usar FFT, a formulação precisa estar em uma forma especial que o algoritmo possa digerir. O instrutor enfatiza que diferentes técnicas de integração numérica podem ser usadas para recuperar a densidade, mas a formulação precisa ser tal que a FFT possa ser aplicada. Por fim, o instrutor fornece um experimento mostrando a codificação de FFT para uma distribuição gaussiana e como diferentes parâmetros afetam a recuperação da densidade.
  
  
• 00:40:00 Nesta seção, o palestrante discute os detalhes sobre a função de densidade de recuperação na Transformação de Fourier para Precificação de Opções. O número de pontos usados na transformação é n, que deve ser grande o suficiente para atingir alta densidade de precisão. O palestrante define i como um número complexo usado para definir o domínio e o máximo, sendo umax determinado pela distribuição. O palestrante explica como lidar com a interpolação, usando uma interpolação cúbica na grade xi em pontos fxi. Essa interpolação é necessária para garantir que a função de densidade de saída seja calculada com precisão, mesmo para entradas que não estão na grade.
  
  
• 00:45:00 Nesta seção do vídeo, o palestrante discute os benefícios da interpolação e como ela se relaciona com a precificação de opções usando a transformação de Fourier. O palestrante menciona que, embora a transformação de Fourier seja benéfica para caixas grandes, a interpolação pode ser preferida para números maiores, pois é comparativamente mais barata que a FFT. O palestrante também demonstra como funciona a interpolação via código e explica que, alterando parâmetros, é possível calcular sensibilidades e obter gregos sem custo adicional, tornando a técnica de expansão cosinus ideal para precificar derivativos mais exóticos, como opções de barreira e bermudas.
  
  
• 00:50:00 Nesta seção, o palestrante discute a relação entre a série de Taylor e a função característica usada em finanças computacionais. A série tem uma correspondência biunívoca com a função característica, permitindo relações diretas sem integrais adicionais. O palestrante passa a descrever o método cos para precificação de opções, que usa uma expansão de cosseno de Fourier para representar funções pares em torno de zero. O método envolve o cálculo de integrais e coeficientes, e é importante ter em mente que o primeiro termo da expansão deve sempre ser multiplicado pela metade.
  
  
• 00:55:00 Nesta seção, o palestrante discute a necessidade de alterar o domínio de integração da função g para ter um intervalo de suporte finito de a até b. Eles explicam a importância da fórmula de Euler na simplificação da expressão e mostram como substituir u por k pi dividido por ba leva a uma expressão mais simples envolvendo a densidade. O domínio truncado é indicado por um chapéu, e valores específicos para os parâmetros a e b são escolhidos dependendo do problema que está sendo resolvido. O palestrante enfatiza que esta é uma técnica de aproximação e que há escolhas heurísticas envolvidas na seleção dos valores de a e b.
  
  
• 01:00:00 Nesta seção, a palestra explora a relação entre a expansão de Fourier e a recuperação da densidade. Tomando as partes reais de ambos os lados da equação, a palestra mostra que temos uma fórmula de Euler que nos permite expressar a integral da densidade como uma parte real da função característica. Esta é uma maneira muito elegante e rápida de encontrar a relação entre as integrais da função de destino e a função característica usando a definição da função monetária. O método de custo trata de encontrar essas belas relações entre as integrais da função alvo e a função característica para calcular os coeficientes de expansão e a recuperação da densidade. O método introduz erros provenientes da soma infinita e do domínio de truncamento, mas esses erros são fáceis de controlar.
  
  
• 01:05:00 Nesta seção da palestra sobre transformação de Fourier para precificação de opções, o foco está no resumo da expansão do cosseno de Fourier. A expansão pode atingir alta precisão mesmo para poucos termos presentes, como mostrado em um experimento numérico envolvendo uma PDF normal, onde a geração do erro é verificada com base no número de termos e o tempo é medido. O experimento de código é estruturado para gerar densidade usando o método do cosseno e definindo o erro como a máxima diferença absoluta de densidade, que é recuperada usando o método do cosseno e comparada com o PDF normal exato. O método do cosseno requer apenas algumas linhas de código para recuperar a densidade usando a função característica, que é o coração do método.
  
  
• 01:10:00 Nesta seção, o palestrante discute os resultados numéricos da expansão de Fourier, que podem ser realizados de forma eficiente com a notação matricial. O erro diminui à medida que o número de termos de expansão aumenta, com um erro de 10^-17 alcançado com 64 termos. Um número menor de termos pode resultar em oscilações ou um ajuste mais pobre. O palestrante observa que parâmetros como o domínio e o número de termos de expansão devem ser ajustados, especialmente para distribuições fortemente atadas. A densidade logarítmica normal também pode ser modelada usando a função de característica normal.
  
  
• 01:15:00 Nesta seção, o palestrante discute o caso log-normal e como sua densidade difere da distribuição normal. Devido à distribuição log-normal, é necessário um número maior de termos de expansão. O palestrante incentiva a manter o número de termos para um tipo específico de distribuição e domínio. O método do custo é poderoso para recuperar a densidade e é usado principalmente para precificação de derivativos, como opções do tipo europeu que só têm pagamento no vencimento. O palestrante explica como funciona a precificação, que envolve a integração do produto de uma função de densidade e payoff sob a medida de risco neutro.
  
  
• 01:20:00 Nesta seção, o vídeo discute opções mais exóticas, nas quais uma função de conectividade pode ser derivada e cosméticos podem ser usados. Os termos distribuições são densidades de transição, o que significa que ao calcular a densidade de transição de um ponto no eixo do tempo para outro, o valor inicial é dado em termos da distribuição de uma variável aleatória. A apresentação continua discutindo o truncamento da densidade, onde a densidade é truncada em um intervalo especificado, e o método da quadratura gaussiana, que envolve a integração de uma soma de partes reais de uma função característica vezes algum expoente. O logaritmo ajustado do preço do ativo é definido como o logaritmo da ação no vencimento dividido por um coeficiente de escala, e é apresentada uma representação alternativa do payoff. O vídeo observa que a escolha de v tem um impacto direto no coeficiente hn e que essa abordagem pode ser usada para avaliar os retornos de golpes múltiplos.
  
  
• 01:25:00 Nesta seção, o palestrante discute o processo de cálculo da integral sobre uma função payoff multiplicada pela densidade por meio do uso de funções exponenciais e cosseno na transformação de Fourier para precificação de opções. O palestrante continua explicando uma forma genérica para duas integrais envolvidas e como a seleção de diferentes coeficientes permite que vários pagamentos sejam calculados. O palestrante destaca a importância de poder implementar esta técnica para golpes múltiplos, permitindo a precificação de todos os golpes de uma só vez, economizando tempo e reduzindo gastos. Por fim, o palestrante explica a representação do preço na forma de uma matriz multiplicada por um vetor.
  
  
• 01:30:00 Nesta seção da palestra, é discutida a fórmula de implementação da transformação de Fourier para precificação de opções. Envolve a vetorização de elementos e manipulações de matrizes. A implementação envolve tomar k como um vetor e criar uma matriz com nk strikes. A fórmula envolve o cálculo de partes reais para lidar com os números complexos. A função característica é de grande importância, pois não depende de x e desempenha um papel fundamental na obtenção de implementações eficientes para golpes múltiplos. A precisão e a convergência da implementação dependem do número de termos, e uma comparação de amostra é mostrada.
  
  
• 01:35:00 Nesta seção, o palestrante discute o código usado para o método da Transformação de Fourier para precificação de opções e explica as diferentes variáveis envolvidas. Eles introduzem o conceito de intervalo para os coeficientes aeb e explicam como ele é normalmente mantido em 10 ou 8 para modelos de difusão por salto. O código também inclui uma expressão lambda para a função de característica, que é uma função genérica que pode funcionar para diferentes modelos. O palestrante enfatiza a importância de medir o tempo realizando várias iterações do mesmo experimento e tomando o tempo médio para todas elas. Finalmente, eles ilustram o método de custo e como ele usa o intervalo de integração para assumir uma grande volatilidade.
  
  
• 01:40:00 Nesta seção, o palestrante explica o processo de definição de strikes e cálculo de coeficientes para o método da transformada de Fourier de precificação de opções. O palestrante observa que, embora ajustar os parâmetros do modelo possa levar a uma melhor convergência e a menos termos necessários para avaliação, geralmente é seguro manter os parâmetros do modelo padrão. O palestrante então detalha as etapas de definição de uma matriz e realização da multiplicação da matriz para obter o preço de exercício descontado, com o erro resultante sendo comparado com o do método dos buracos negros. Além disso, o palestrante demonstra como a introdução de golpes adicionais pode levar a uma função mais suave e facilitar a calibração do modelo para vários golpes.