Commercio quantitativo - pagina 12
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16. Gestione del portafoglio
16. Gestione del portafoglio
Il video "Portfolio Management" approfondisce una vasta gamma di argomenti relativi alla gestione del portafoglio, fornendo una comprensione completa dell'argomento. L'istruttore adotta un approccio pratico, collegando la teoria con le applicazioni della vita reale e le esperienze personali nel settore degli acquisti. Immergiamoci nelle diverse sezioni trattate nel video:
Costruzione intuitiva di portafogli: l'istruttore avvia la classe incoraggiando gli studenti a costruire in modo intuitivo portafogli su una pagina vuota. Scomponendo gli investimenti in percentuali, dimostrano come l'asset allocation svolga un ruolo cruciale nella gestione del portafoglio. Gli studenti sono invitati a pensare all'allocazione dei loro investimenti e a come utilizzare i loro fondi fin dal primo giorno. Questo esercizio aiuta gli studenti a cogliere i fondamenti della costruzione del portafoglio e fornisce approfondimenti sui processi decisionali.
Teoria che si collega alla pratica: questa sezione evidenzia l'importanza dell'osservazione come primo passo verso l'apprendimento di qualcosa di utile. L'istruttore spiega che teorie e modelli sono costruiti sulla base della raccolta di dati e del riconoscimento di modelli. Tuttavia, nel campo dell'economia, i modelli ripetibili non sono sempre evidenti. Per convalidare le teorie, le osservazioni devono essere confermate o testate in vari scenari. Gli studenti sono incoraggiati a condividere le loro costruzioni di portfolio, promuovendo la partecipazione attiva e l'impegno.
Comprensione degli obiettivi di gestione del portafoglio: l'istruttore sottolinea l'importanza di comprendere gli obiettivi della gestione del portafoglio prima di affrontare come raggruppare diverse attività o esposizioni insieme. Presentano un grafico che illustra la spesa in funzione dell'età, sottolineando che i modelli di spesa di ognuno sono unici. Riconoscere la propria situazione è fondamentale per stabilire in modo efficace gli obiettivi di gestione del portafoglio.
Bilanciare spesa e guadagni: il relatore introduce il concetto di curva di spesa e guadagno, evidenziando la discrepanza tra i due. Per colmare il divario, sono necessari investimenti che generano flussi di cassa per bilanciare guadagni e spese. La sezione copre anche diversi scenari di pianificazione finanziaria, come la pianificazione della pensione, il rimborso del prestito studentesco, la gestione del fondo pensione e la gestione della dotazione universitaria. Vengono discusse le sfide dell'allocazione del capitale ai trader con strategie e parametri diversi, con il rischio comunemente misurato dalla varianza o dalla deviazione standard.
Rendimento e deviazione standard: questa sezione approfondisce la relazione tra rendimento e deviazione standard. Il relatore esplora i principi della moderna teoria del portafoglio, esemplificandoli attraverso casi speciali. Investimenti come contanti, lotterie, lancio di monete, titoli di stato, finanziamenti di venture capitalist e azioni sono posizionati su un grafico di rendimento rispetto alla deviazione standard, fornendo una comprensione più chiara dei concetti.
Scelte di investimento e frontiera efficiente: il relatore approfondisce diverse scelte di investimento e la loro collocazione su una mappa che illustra rendimenti e volatilità. Introducono il concetto di frontiera efficiente, che massimizza i rendimenti minimizzando la deviazione standard. La sezione si concentra su un caso speciale di un portafoglio a due attività, spiegando come calcolare la deviazione standard e la varianza. Questa panoramica consente agli spettatori di comprendere in che modo la teoria del portafoglio può informare le decisioni di investimento.
Vantaggi della diversificazione e parità di rischio: il relatore esamina gli scenari nella gestione del portafoglio, evidenziando i vantaggi della diversificazione. Discutono tre casi: volatilità zero e nessuna correlazione, volatilità disuguali e correlazione zero e perfetta correlazione positiva o negativa. La diversificazione è enfatizzata come strategia per ridurre efficacemente la deviazione standard in un portafoglio.
Allocazione del portafoglio con leva finanziaria: questa sezione introduce il concetto di leva finanziaria come mezzo per aumentare i rendimenti attesi oltre l'allocazione ponderata uguale. Sfruttando l'allocazione tra obbligazioni e azioni, gli investitori possono potenzialmente ottenere rendimenti attesi più elevati. Il relatore sottolinea l'importanza di bilanciare la leva finanziaria per ottimizzare rischio e rendimento.
Indice di Sharpe e formula di Kelly: il video approfondisce l'indice di Sharpe, noto anche come rendimento ponderato per il rischio o aggiustato per il rischio, e la formula di Kelly. Sebbene l'asset allocation svolga un ruolo fondamentale nella gestione del portafoglio, il video sottolinea che fare affidamento esclusivamente sulla frontiera efficiente non è sufficiente. La sezione fornisce un esempio di portafoglio 60-40 per dimostrare l'efficacia dell'asset allocation ma anche la sua potenziale volatilità.
In tutto il video, l'istruttore sottolinea l'interconnessione degli individui nel mercato e l'importanza di considerare questo aspetto durante l'ottimizzazione dei portafogli. Il relatore sottolinea anche il ruolo della teoria dei giochi e la complessità della finanza rispetto a ben definiti problemi di fisica. Sottolineano l'importanza dell'osservazione attiva, dei modelli basati sui dati e dell'adattamento per affrontare efficacemente le sfide nella gestione del portafoglio. Infine, il relatore riconosce il ruolo fondamentale del management al di là delle decisioni di investimento, in particolare in aree come le risorse umane e la gestione dei talenti.
In sintesi, il video fornisce un'esplorazione completa di vari aspetti della gestione del portafoglio. Copre la costruzione intuitiva del portafoglio, la relazione tra rischio e rendimento, il concetto di parità di rischio, la frontiera efficiente, il ruolo della leva finanziaria e l'importanza della gestione del rischio. Approfondisce anche i fattori comportamentali, l'asset allocation dinamica, gli investimenti a lungo termine e la necessità di apprendimento e adattamento continui. Comprendendo questi principi e implementando solide strategie di gestione del portafoglio, gli investitori possono sforzarsi di raggiungere i propri obiettivi finanziari gestendo efficacemente il rischio.
17. Processi stocastici II
17. Processi stocastici II
In questa sezione della serie di video viene introdotto il concetto di moto browniano come soluzione alla difficoltà di gestire la densità di probabilità di un cammino in un processo stocastico, in particolare nel caso di una variabile continua. Il moto browniano è una distribuzione di probabilità sull'insieme delle funzioni continue dai reali positivi ai reali. Ha proprietà che lo rendono un modello ragionevole per vari fenomeni, come l'osservazione del movimento del polline nell'acqua o la previsione del comportamento dei prezzi delle azioni.
Inoltre, il video introduce il concetto di calcolo di Ito, che è un'estensione del calcolo classico all'impostazione dei processi stocastici. Il calcolo tradizionale non funziona con il moto browniano e il calcolo di Ito fornisce una soluzione per modellare la differenza percentile nei prezzi delle azioni. Il lemma di Ito, derivato dall'espansione di Taylor, è uno strumento fondamentale nel calcolo stocastico che permette di calcolare la differenza di una funzione su un piccolo incremento di tempo usando il moto browniano. Arricchisce la teoria del calcolo e consente l'analisi dei processi che coinvolgono il moto browniano.
Il video discute anche le proprietà del moto browniano, come il fatto che non è differenziabile da nessuna parte e attraversa l'asse t infinitamente spesso. Nonostante queste caratteristiche, il moto browniano ha implicazioni nella vita reale e può essere utilizzato come modello fisico per quantità come i prezzi delle azioni. Il limite di una semplice passeggiata aleatoria è un moto browniano e questa osservazione aiuta a comprenderne il comportamento.
Inoltre, il video esplora la distribuzione di una somma di variabili casuali e la sua aspettativa nel contesto del moto browniano. Discute la convergenza della somma delle variabili normali e la applica ai moti browniani.
In sintesi, questa sezione della serie di video introduce il moto browniano come soluzione per gestire la densità di probabilità di un percorso in un processo stocastico. Spiega le proprietà del moto browniano, la sua applicazione nella modellazione dei prezzi delle azioni e dei derivati finanziari e la necessità che il calcolo di Ito funzioni con esso. Comprendere questi concetti è essenziale per analizzare i processi stocastici a tempo continuo e le loro applicazioni in vari campi.
18. Itō Calcolo
18. Itō Calcolo
In questo video completo sul calcolo di Ito, viene trattata un'ampia gamma di argomenti relativi ai processi stocastici e al calcolo. Il professore approfondisce le complessità del lemma di Ito, una versione più sofisticata dell'originale, e fornisce una spiegazione dettagliata della variazione quadratica del moto browniano. Viene esplorato il concetto di deriva in un processo stocastico, insieme a dimostrazioni pratiche di come il lemma di Ito può essere applicato per valutare tali processi. Il video tocca anche l'integrazione e la descrizione del tipo di somma riemanniana dell'integrazione, i processi adattati e le martingale. Viene sottolineata l'importanza di praticare esercizi di calcolo di base per acquisire familiarità con l'argomento. Inoltre, il video si conclude dando un'anteprima del prossimo argomento, il teorema di Girsanov.
Nella sezione successiva del video, il professore continua la discussione sul calcolo di Ito rivedendo e presentando il lemma di Ito in una forma leggermente più generale. Attraverso l'uso dell'espansione di Taylor, il professore analizza i cambiamenti in una funzione, f, al variare della prima e della seconda variabile. Il professore sfrutta il moto browniano per valutare f(t, B_t). Incorporando la variazione quadratica del moto browniano e le due variabili, t e x, il video fornisce una spiegazione del motivo per cui il calcolo di Ito differisce dal calcolo classico incorporando un termine aggiuntivo. Proseguendo, il video si concentra sul termine di secondo ordine nell'espansione di Taylor, espresso in termini di derivate parziali. Vengono esaminati i termini cruciali, vale a dire del f su del t dt, del f su del x dx, ei termini di secondo ordine. Riorganizzando questi termini, si ricava una forma più sofisticata del lemma di Ito, incorporando un termine aggiuntivo. Il video dimostra che i termini che coinvolgono dB_t quadrato e dt per dB_t sono insignificanti rispetto al termine che coinvolge la derivata seconda di f rispetto a x, in quanto sopravvive grazie alla sua equivalenza a dt. Ciò porta a una raffinata comprensione del calcolo di Ito.
Il video procede introducendo il concetto di processo stocastico con termine deriva risultante dall'aggiunta di un termine ad un moto browniano. Questo tipo di processo diventa il principale oggetto di studio, dove la differenza può essere espressa in termini di termine di deriva e termine di moto browniano. Viene spiegata la forma generale del lemma di Ito, che si discosta dalla forma originaria per la presenza della variazione quadratica. Inoltre, il video utilizza il lemma di Ito per valutare i processi stocastici. La variazione quadratica consente la separazione del secondo termine derivato, consentendo la derivazione di termini complessi. Viene presentato un esempio che coinvolge la funzione f(x) = x^2, che dimostra come calcolare d di f in B_t. La prima derivata parziale di f rispetto a t è determinata essere 0, mentre la derivata parziale rispetto a x è 2x, con la seconda derivata essendo 2 in t, x.
Il video procede spiegando il calcolo di d di f in t virgola B di t. La formula include termini come f parziale su t parziale dt, f parziale su x dB_t parziale e 1/2 quadrato parziale f su x quadrato parziale di dB_t quadrato, che è uguale a dt. Vengono forniti esempi per aiutare a capire come utilizzare queste formule e come sostituire le variabili. Viene anche spiegata la distinzione tra sigma e un sigma primo variabile nella formula e quando applicarli. Il moto browniano è utilizzato come base per questa formula, in quanto rappresenta la forma più semplice.
Nella sezione successiva, il professore affronta il modello proposto per il prezzo delle azioni utilizzando il moto browniano, affermando che S_t non è uguale a e al sigma moltiplicato per B di t. Sebbene questa espressione produca un valore atteso pari a 0, introduce la deriva. Per risolvere questo problema, il termine 1/2 di sigma quadrato per dt viene sottratto dall'espressione, risultando nel nuovo modello S di t uguale a e meno 1 su 2 sigma quadrato t più sigma per B_t. Questo rappresenta un moto browniano geometrico senza deriva. Il professore spiega inoltre che se abbiamo un percorso campionario B_t, possiamo ottenere un percorso campionario corrispondente per S di t prendendo ogni volta il valore esponenziale di B_t.
Successivamente, il video sposta l'attenzione sulla definizione di integrazione. L'integrazione è descritta come l'inverso della differenziazione, con una definizione un po' "stupida". Ci si chiede se l'integrazione esista sempre dati f e g. Il video esplora quindi la descrizione dell'integrazione del tipo di somma riemanniana, che prevede la divisione dell'intervallo in pezzi molto fini e la somma delle aree delle caselle corrispondenti. Il limite delle somme riemanniane viene spiegato quando la funzione si avvicina all'infinito quando n tende all'infinito, fornendo una spiegazione più dettagliata.
Viene affrontata una questione intrigante riguardante la relazione tra l'integrale di Ito e la descrizione del tipo di somma riemanniana. Il video spiega che l'integrale di Ito manca della proprietà della somma riemanniana, dove la scelta del punto all'interno dell'intervallo non ha importanza. Inoltre, il video menziona una versione alternativa del calcolo di Ito che considera il punto più a destra di ogni intervallo invece del punto più a sinistra. Questa versione alternativa, sebbene equivalente al calcolo di Ito, incorpora segni meno invece di segni più nel termine di secondo ordine. In definitiva, il video sottolinea che nel mondo reale le decisioni relative agli intervalli di tempo devono essere prese in base al punto più a sinistra, poiché il futuro non può essere previsto.
Il relatore fornisce una spiegazione intuitiva e una definizione dei processi adattati nel calcolo di Ito. I processi adattati sono caratterizzati dal prendere decisioni esclusivamente basate su informazioni passate fino al momento attuale, un fatto incorporato nella teoria stessa. Il video illustra questo concetto utilizzando esempi come una strategia azionaria che si basa esclusivamente sui prezzi delle azioni passate. Viene evidenziata la rilevanza dei processi adattati nel quadro del calcolo di Ito, in particolare nelle situazioni in cui le decisioni possono essere prese solo nel punto temporale più a sinistra e gli eventi futuri rimangono sconosciuti. Il relatore sottolinea l'importanza di comprendere i processi adattati e fornisce diversi esempi illustrativi, inclusa la strategia delta t minimo.
Le proprietà dell'integrale di Ito nel calcolo di Ito sono discusse nella sezione successiva. In primo luogo, si evidenzia che l'integrale di Ito di un processo adattato segue sempre una distribuzione normale. In secondo luogo, viene introdotto il concetto di isometria di Ito, che consente il calcolo della varianza. L'isometria di Ito afferma che il valore atteso del quadrato dell'integrale di Ito di un processo è uguale all'integrale del quadrato del processo nel tempo. Per aiutare la comprensione, viene utilizzato un aiuto visivo per chiarire la nozione di isometria di Ito.
Continuando la discussione, il video approfondisce le proprietà degli integrali di Ito. È stabilito che la varianza dell'integrale di Ito di un processo adattato corrisponde alla variazione quadratica del moto browniano, e questo può essere calcolato in modo semplice. Viene introdotto il concetto di martingala nei processi stocastici, chiarendo come la presenza o l'assenza di un termine di deriva in un'equazione differenziale stocastica determina se il processo è una martingala. Il relatore tocca anche le applicazioni delle martingale nella teoria dei prezzi, sottolineando l'importanza di comprendere questi concetti nell'ambito del calcolo di Ito. Gli spettatori sono incoraggiati a impegnarsi in esercizi di calcolo di base per migliorare la loro familiarità con l'argomento. Infine, il relatore afferma che il prossimo argomento da trattare è il teorema di Girsanov.
Nella sezione successiva, il video approfondisce il teorema di Girsanov, che consiste nel trasformare un processo stocastico con deriva in un processo senza deriva, trasformandolo così in una martingala. Il teorema di Girsanov ha un'importanza significativa nella teoria dei prezzi e trova applicazioni in vari problemi di gioco all'interno di processi stocastici discreti. Il relatore ospite introduce il concetto di distribuzione di probabilità su cammini e processi gaussiani, ponendo le basi per la comprensione del teorema. Infine, viene fornita una semplice formula per rappresentare la derivata di Radon-Nikodym, che gioca un ruolo cruciale nel teorema di Girsanov.
Infine, il video si conclude evidenziando le più ampie implicazioni del calcolo Itō per i processi stocastici. Sottolinea che la distribuzione di probabilità del valore di un portafoglio nel tempo può essere misurata secondo una distribuzione di probabilità che dipende da un prezzo azionario modellato utilizzando il moto browniano con deriva. Attraverso gli strumenti ei concetti del calcolo Itō, questo problema può essere trasformato in un problema che coinvolge il moto browniano senza deriva calcolando l'aspettativa in un diverso spazio di probabilità. Questa trasformazione consente la conversione di un processo non martingala in un processo martingala, che ha interpretazioni significative in scenari del mondo reale.
Per cogliere appieno le complessità del calcolo Itō, il video incoraggia gli spettatori a praticare esercizi di calcolo di base e familiarizzare con i concetti sottostanti. In tal modo, gli individui possono sviluppare una comprensione più profonda dei processi stocastici, dell'integrazione stocastica e delle applicazioni del calcolo Itō in vari campi.
In conclusione, questo video completo sul calcolo Itō copre una vasta gamma di argomenti. Inizia con un'esplorazione del lemma di Ito, della variazione quadratica del moto browniano e del concetto di deriva nei processi stocastici. Approfondisce quindi la valutazione dei processi stocastici utilizzando il lemma di Ito e discute l'integrazione e la descrizione del tipo di somma riemanniana dell'integrazione. Il video introduce anche i processi adattati, le martingale e le proprietà degli integrali di Ito. Infine, evidenzia il teorema di Girsanov e sottolinea le più ampie implicazioni del calcolo di Itō per la comprensione e la modellazione dei processi stocastici.
19. Formula di Black-Scholes, Valutazione neutrale al rischio
19. Formula di Black-Scholes, Valutazione neutrale al rischio
In questo video informativo, la formula di Black-Scholes e la valutazione neutrale al rischio vengono discusse in modo approfondito, fornendo preziose informazioni sulle loro applicazioni pratiche nel campo della finanza. Il video inizia illustrando il concetto di prezzo neutrale al rischio attraverso un esempio riconoscibile di un allibratore che accetta scommesse sulle corse di cavalli. Impostando le quote in base alle scommesse totali già piazzate, l'allibratore può garantire un profitto senza rischi, indipendentemente dall'esito della gara. Questo esempio serve come base per comprendere i contratti derivati, che sono pagamenti formali collegati a uno strumento liquido sottostante.
Il video procede introducendo diversi tipi di contratti in finanza, inclusi contratti a termine, opzioni call e opzioni put. Un contratto a termine è spiegato come un accordo tra due parti per l'acquisto di un bene a un prezzo predeterminato in futuro. Le opzioni call fungono da assicurazione contro il declino dell'attività, fornendo al detentore dell'opzione il diritto di acquistare l'attività a un prezzo concordato. Al contrario, le opzioni put consentono agli investitori di scommettere sul declino dell'asset, concedendo loro l'opzione di vendere l'asset a un prezzo predeterminato. I calcoli per i pagamenti di questi contratti si basano su ipotesi specifiche come il prezzo corrente dell'attività sottostante e la sua volatilità.
Viene poi introdotto il concetto di neutralità del rischio, sottolineando che il prezzo di un'opzione, quando il payout è fisso, dipende unicamente dalla dinamica e dalla volatilità del titolo. Le preferenze di rischio degli operatori di mercato non influiscono sul prezzo dell'opzione, evidenziando l'importanza del prezzo neutrale al rischio. Per illustrare ciò, viene presentato un mercato a due periodi senza incertezza e i prezzi delle opzioni vengono calcolati utilizzando il metodo di valutazione neutrale al rischio, che si basa sull'assenza di probabilità del mondo reale. L'esempio prevede il prestito di denaro per acquistare azioni e l'impostazione del prezzo a termine per ottenere un prezzo dell'opzione pari a zero.
Il video approfondisce il concetto di replica dei portafogli, in particolare nel contesto dei contratti a termine. Assumendo una posizione corta in un contratto a termine e combinando azioni e contanti, viene costruito un portafoglio replicante, garantendo una replica esatta del payoff finale. L'obiettivo del prezzo neutrale al rischio è identificare i portafogli replicanti per ogni dato derivato, poiché il prezzo corrente del derivato dovrebbe corrispondere al prezzo del portafoglio replicante.
Un'ulteriore esplorazione è dedicata alla determinazione del prezzo di un guadagno generale utilizzando la formula di Black-Scholes e una valutazione neutrale al rischio. Viene introdotto un portafoglio replicante, costituito da un'obbligazione e da una certa quantità di azioni, come mezzo per replicare la performance del derivato alla scadenza, indipendentemente dalle probabilità del mondo reale. Il video introduce il concetto di misura neutrale al rischio o misura martingala, che esiste indipendentemente dal mondo reale e svolge un ruolo fondamentale nella determinazione del prezzo dei derivati. Vengono inoltre discusse la dinamica del titolo sottostante e l'importanza della deviazione standard del moto browniano, con la formula di Black-Scholes presentata come un'estensione della regola di Taylor.
Il video approfondisce quindi la risoluzione dell'equazione differenziale parziale per il modello Black-Scholes, che mette in relazione il prezzo corrente del derivato con la sua strategia di copertura ed è applicabile a tutti i derivati negoziabili basati sulla volatilità delle azioni. I coefficienti di replica del portafoglio sono determinati per qualsiasi momento, consentendo la perfetta replica della performance di un derivato attraverso l'acquisto di azioni e contanti. Questa copertura non comporta alcun rischio, consentendo ai trader di riscuotere una commissione sulla transazione.
Inoltre, il relatore spiega come l'equazione di Black-Scholes può essere trasformata in un'equazione di calore, facilitando l'uso di metodi numerici per la determinazione del prezzo di derivati con payout o dinamiche complesse. Il video evidenzia l'importanza di affrontare il problema da una prospettiva neutrale al rischio per determinare il prezzo del derivato come il valore atteso del payout scontato dalla probabilità neutrale al rischio alla scadenza. L'importanza della misura neutrale al rischio, in cui la deriva del titolo è uguale al tasso di interesse, viene sottolineata attraverso un esempio binario.
Per payoff derivati più complicati, come payoff americani, devono essere impiegate simulazioni Monte Carlo o metodi alle differenze finite. Il video sottolinea la necessità di questi approcci quando l'ipotesi di volatilità costante, come assunto nella formula di Black-Scholes, non è vera negli scenari del mondo reale.
Il video introduce il concetto di Co-put parity, che stabilisce una relazione tra il prezzo di una call e il prezzo di una put a parità di strike price. Costruendo un portafoglio replicante costituito da call, put e azioni, gli investitori possono garantire un pagamento specifico alla fine. Il relatore dimostra inoltre come la parità Co-put può essere utilizzata per valutare i contratti digitali, che hanno pagamenti binari in base al fatto che il titolo finisca al di sopra o al di sotto del prezzo di esercizio. Ciò può essere ottenuto sfruttando l'idea di un portafoglio replicante e i prezzi delle chiamate.
Nella sezione successiva, il relatore approfondisce la replica dei portafogli come mezzo per coprire derivati complicati. Attraverso un esempio che prevede l'acquisto di una chiamata con prezzo di esercizio K meno 1/2 e la vendita di una chiamata con prezzo di esercizio K più 1/2, combinati per creare un pagamento, il relatore dimostra come questo pagamento può essere migliorato vendendo a K meno 1/4 e K più 1/4, risultando in una vincita con metà della pendenza. Il video evidenzia l'utilizzo di piccoli epsilon, l'acquisto e la vendita di più contratti e il ridimensionamento a un rapporto 2:1 per approssimare il prezzo digitale. Il relatore spiega come prendere i derivati del prezzo Co per strike si traduca in una rampa e fornisce approfondimenti sulle pratiche della vita reale impiegate per ridurre al minimo il rischio.
Nel complesso, questo video fornisce una copertura completa dei prezzi neutrali al rischio, inclusa la formula Black-Scholes, la parità Co-put e la replica dei portafogli. Offre preziose informazioni sulla determinazione del prezzo e sulla copertura di derivati complicati, pur riconoscendo la necessità di tecniche più avanzate in determinati scenari. Comprendendo questi concetti, le persone possono acquisire una comprensione più profonda della gestione del rischio e delle sue applicazioni nel regno finanziario.
20. Prezzo dell'opzione e dualità di probabilità
20. Prezzo dell'opzione e dualità di probabilità
In questa sezione, il Dr. Stephen Blythe approfondisce la relazione tra i prezzi delle opzioni e le distribuzioni di probabilità, facendo luce sulla formula per replicare qualsiasi prodotto derivato con una data funzione di payout. Sottolinea che le opzioni call sono fondamentali e possono essere utilizzate per replicare qualsiasi funzione continua, rendendole essenziali nel regno finanziario. Blythe esplora anche i limiti dell'utilizzo delle sole opzioni call per determinare il processo stocastico sottostante per un prezzo azionario, suggerendo che possono essere impiegate anche basi alternative di funzioni in grado di coprire funzioni continue.
Il video fa una breve pausa mentre il Dr. Blythe condivide un intrigante aneddoto storico relativo ai Cambridge Mathematics Tripos. Questo esame, che ha testato la conoscenza matematica di figure importanti come Lord Kelvin, John Maynard Keynes e Karl Pearson, ha svolto un ruolo significativo nel plasmare il campo della matematica applicata.
Tornando all'argomento principale, il Dr. Blythe introduce il concetto di prezzo dell'opzione e dualità di probabilità, evidenziando la naturale dualità tra questi due aspetti. Spiega che i prodotti derivati complicati possono essere intesi come distribuzioni di probabilità e, passando avanti e indietro tra prezzi delle opzioni, probabilità e distribuzioni, possono essere discussi in modo più accessibile.
Il video procede con l'introduzione della notazione per i prezzi delle opzioni e la spiegazione della funzione di pagamento di un'opzione call. Il Dr. Blythe costruisce un portafoglio composto da due call e utilizza i limiti per trovare la derivata parziale del prezzo call rispetto al prezzo strike. Introduce anche il concetto di call spread, che rappresenta lo spread tra due call con una specifica funzione di payout.
Il dottor Blythe approfondisce quindi la dualità tra prezzi delle opzioni e probabilità, concentrandosi sul Teorema fondamentale del prezzo delle attività (FTAP). Spiega che i prezzi delle opzioni sono valori attesi dei pagamenti futuri scontati al presente e il pagamento di un'opzione digitale è correlato alla probabilità che il prezzo delle azioni sia superiore a un certo livello alla scadenza. Usando il calcolo, dimostra che il limite del call spread tende all'opzione digitale, e il prezzo dell'opzione digitale è uguale alla derivata parziale del prezzo call rispetto allo strike price. Il relatore sottolinea la distinzione teorica tra prezzo di esercizio maggiore o maggiore o uguale, osservando che tale distinzione non ha alcun significato pratico.
Successivamente, il relatore approfondisce la connessione tra i prezzi delle opzioni e la probabilità introducendo il Teorema fondamentale del prezzo delle attività. Questo teorema stabilisce che il rapporto tra il prezzo di un derivato e un'obbligazione zero coupon è una martingala rispetto al prezzo dell'azione sotto la distribuzione neutrale al rischio. Il Dr. Blythe spiega come questo teorema consenta di passare dalla densità di probabilità al prezzo di qualsiasi derivato, consentendo un'analisi più approfondita della relazione tra probabilità e prezzo delle opzioni.
Il video passa a discutere un metodo per accedere alla funzione di densità attraverso un portafoglio di opzioni, in particolare utilizzando la strategia call butterfly. Il Dr. Blythe spiega che uno spread call butterfly, costruito scalando opportunamente la differenza tra due spread call, può approssimare la derivata seconda necessaria per ottenere la funzione di densità. Anche se potrebbe non essere fattibile diventare infinitamente piccolo nel mondo reale, il trading di call butterfly con specifici prezzi di esercizio fornisce un'approssimazione ragionevole della probabilità che l'asset sottostante si trovi all'interno di un particolare intervallo.
Basandosi su questa idea, il Dr. Blythe spiega come il portafoglio a farfalla può essere utilizzato per accedere alla derivata seconda e ottenere la funzione di densità. Prendendo opportuni limiti della diffusione a farfalla, arriva alla funzione di densità f(x), che serve come misura di probabilità indipendente dal modello per la variabile casuale sottostante alla scadenza. Questa misura di probabilità consente agli individui di valutare se sono d'accordo con la probabilità implicita nel prezzo della farfalla e di prendere decisioni di investimento informate. Il dottor Blythe sottolinea che queste relazioni sono indipendenti dal modello e valgono indipendentemente dal modello specifico utilizzato per il prezzo delle opzioni.
Nella sezione seguente, il dottor Stephen Blythe, docente di finanza quantitativa, approfondisce la relazione tra i prezzi delle opzioni e le distribuzioni di probabilità. Spiega che la distribuzione di probabilità di un titolo in un determinato momento è condizionata dal suo prezzo al momento attuale, e la condizione della martingala è rispetto allo stesso prezzo. Il dottor Blythe si prende quindi un momento per condividere un'interessante notizia storica sulla laurea in matematica di Cambridge, che ha svolto un ruolo fondamentale nel plasmare il programma per i concentratori di matematica applicata.
Andando avanti, l'oratore approfondisce il teorema fondamentale dei prezzi delle attività (FTAP). Questo teorema afferma che il rapporto prezzo-cedola zero-obbligazione è una martingala rispetto al prezzo delle azioni sotto la distribuzione neutrale al rischio. Fornisce un quadro per passare dalla densità di probabilità al prezzo di qualsiasi derivato. Il Dr. Blythe sottolinea che la densità può anche essere derivata dai prezzi delle chiamate, e questi due percorsi sono interconnessi attraverso il Teorema fondamentale, consentendo un'analisi più approfondita della relazione tra probabilità e prezzo delle opzioni.
Nella sezione successiva, il Dr. Blythe spiega che i prezzi di tutte le opzioni call per vari prezzi di esercizio giocano un ruolo cruciale nel determinare il payout per ogni data funzione derivata. Le opzioni call abbracciano tutti i prezzi dei derivati e sono considerate prezzi dei derivati europei. Il relatore sottolinea che una funzione derivata può essere replicata costruendo un portafoglio di call, e se il payout del derivato corrisponde a una combinazione lineare di opzioni call alla scadenza, oggi avranno lo stesso valore. Questo concetto è sostenuto dall'assunto fondamentale della finanza, noto come nessun arbitraggio, che afferma che se due cose avranno lo stesso valore in futuro, dovrebbero avere lo stesso valore oggi. Tuttavia, il dottor Blythe riconosce che questa ipotesi è stata messa in discussione nella finanza sin dalla crisi finanziaria del 2008.
Continuando la discussione, il video presenta una domanda economica stimolante sui mercati finanziari e l'arbitraggio. Quando il tempo di scadenza (T capitale) è fissato a lungo termine, esiste la possibilità che i prezzi dell'opzione e del portafoglio replicante divergano se l'arbitraggio fallisce. Ciò può comportare una differenza sostanziale tra le due opzioni. L'evidenza empirica ha dimostrato che i prezzi si sono effettivamente discostati l'uno dall'altro. Il dottor Blythe afferma che gli investitori a lungo termine, come la dotazione di Harvard, si concentrano sui loro rendimenti annuali e quinquennali invece di sfruttare la discrepanza dei prezzi su un periodo di 10 anni. Introduce quindi una teoria matematica che afferma che qualsiasi funzione continua può essere replicata da chiamate senza eccezioni, nel limite.
L'oratore procede a discutere la formula per replicare un prodotto derivato arbitrario con una data funzione di payout, indicata come g(x) o g(S) alla scadenza. La formula fornisce istruzioni esplicite sulla replica del derivato utilizzando g(0) obbligazioni a cedola zero, g primo zero del titolo e una combinazione lineare di opzioni call. Il dottor Blythe supporta questa formula utilizzando i valori attesi e sottolinea la dualità tra i prezzi delle opzioni e le probabilità, evidenziando l'importanza delle opzioni call come informazioni fondamentali che coprono l'intero spettro. La formula pone anche domande intriganti che meritano ulteriori esplorazioni.
Affrontando un aspetto importante, il Dr. Blythe esplora se sia possibile determinare il processo stocastico per un prezzo azionario in un dato periodo conoscendo tutti i prezzi delle opzioni call per varie scadenze e prezzi. Sostiene che la risposta è no perché il prezzo delle azioni può fluttuare istantaneamente in un piccolo intervallo di tempo, senza alcun vincolo sulla continuità del processo o limitazioni matematiche. Tuttavia, se lo stock segue un processo di diffusione, diventa fattibile determinare il processo, risultando in una soluzione elegante e pratica. In realtà, si può conoscere solo un sottoinsieme finito di opzioni call, sottolineando ulteriormente i limiti della determinazione completa del processo stocastico sottostante basato esclusivamente sui prezzi delle opzioni call.
Il Dr. Blythe prosegue spiegando che anche con l'accesso a un gran numero di prezzi delle opzioni call europee, potrebbero esserci ancora prodotti derivati complessi o non standard i cui prezzi non possono essere determinati in modo univoco conoscendo solo quelle opzioni. Sottolinea che l'insieme delle opzioni call da solo non fornisce informazioni complete sul processo stocastico sottostante, anche se tutte le opzioni call sono note. Per superare questa limitazione, il Dr. Blythe suggerisce di prendere in considerazione basi alternative per l'intervallo di tutti i possibili pagamenti. Osserva che è possibile utilizzare qualsiasi insieme arbitrario di funzioni in grado di estendersi su una funzione continua, sebbene l'utilizzo delle opzioni di chiamata offra spesso l'approccio più elegante.
Continuando la discussione, il Dr. Blythe chiarisce la relazione tra i prezzi delle opzioni call e le distribuzioni terminali. Afferma che la distribuzione terminale può essere determinata in modo univoco dai prezzi delle opzioni call. Considerando il rapporto tra Z e theta, si può ottenere una particolare densità neutrale al rischio per ciascun titolo. Ciò evidenzia l'interconnessione tra i prezzi delle opzioni call e la densità del prezzo delle azioni sottostanti alla scadenza, fornendo preziose informazioni sulle misure di probabilità indipendenti dal modello.
Mentre la sezione volge al termine, il Dr. Blythe ribadisce l'importanza di comprendere le connessioni tra i prezzi delle opzioni e le distribuzioni di probabilità in finanza. Queste informazioni consentono ad analisti e trader di formulare giudizi informati sulle probabilità implicite riflesse nei prezzi delle opzioni e di adeguare di conseguenza le loro decisioni di investimento. Il dottor Blythe sottolinea che queste relazioni sono vere indipendentemente dal modello specifico utilizzato per il prezzo delle opzioni, sottolineando ulteriormente la loro importanza nella finanza quantitativa.
In sintesi, la presentazione del Dr. Stephen Blythe esplora l'intricata relazione tra i prezzi delle opzioni e le distribuzioni di probabilità. Discute l'ascesa dell'ingegneria finanziaria e il percorso di carriera dell'analista quantitativo, che è stato influenzato dalla cancellazione del Superconducting Super Collider. Il Dr. Blythe introduce il concetto di prezzo dell'opzione e dualità di probabilità, sottolineando la dualità naturale tra i prezzi dell'opzione e le distribuzioni di probabilità. Esplora il Teorema fondamentale dell'Asset Pricing e le sue implicazioni per la comprensione dei prezzi delle opzioni e degli approcci probabilistici in finanza. Il Dr. Blythe fornisce esempi di utilizzo di spread a farfalla e altri oggetti di scambio per accedere alle funzioni di densità e formulare giudizi sulle probabilità implicite. La presentazione include anche aneddoti storici sui Cambridge Mathematics Tripos, che mostrano il coinvolgimento di importanti matematici nella finanza. Attraverso queste discussioni, il dottor Blythe fa luce sulle profonde connessioni tra i prezzi delle opzioni, le probabilità e i principi fondamentali del prezzo delle attività.
21. Equazioni differenziali stocastiche
21. Equazioni differenziali stocastiche
Questo video fornisce un'esplorazione approfondita di vari metodi per la risoluzione di equazioni differenziali stocastiche (SDE). Il professore inizia evidenziando la sfida di trovare un processo stocastico che soddisfi una data equazione. Tuttavia, rassicurano il pubblico che, in determinate condizioni tecniche, esiste una soluzione unica con condizioni iniziali specificate. Il docente introduce il metodo delle differenze finite, la simulazione Monte Carlo e il metodo dell'albero come approcci efficaci per risolvere gli SDE.
Il professore approfondisce le condizioni tecniche necessarie per risolvere gli SDE e sottolinea che queste condizioni in genere valgono, facilitando la ricerca di soluzioni. Dimostrano un esempio pratico di risoluzione di un semplice SDE utilizzando una forma esponenziale e applicando un approccio indovinato insieme a formule pertinenti. Inoltre, il relatore illustra come analizzare i componenti di un SDE per tornare indietro e trovare la funzione corrispondente. Introducono il processo di Ornstein-Uhlenbeck come un esempio di un processo stocastico che ritorna alla media, facendo luce sui suoi termini di deriva e rumore.
Passando a metodi risolutivi specifici, il professore spiega come il metodo delle differenze finite, comunemente usato per le equazioni alle derivate ordinarie e alle derivate parziali, possa essere adattato per affrontare le SDE. Descrivono il processo di scomposizione dell'SDE in piccoli intervalli e l'approssimazione della soluzione utilizzando la formula di Taylor. Il docente discute anche le sfide poste dall'incertezza intrinseca del moto browniano nel metodo delle differenze finite e presenta una soluzione che coinvolge un percorso di moto browniano campione fisso.
Successivamente, il docente esplora il metodo di simulazione Monte Carlo per la risoluzione di SDE. Sottolineano la necessità di estrarre numerosi campioni da una distribuzione di probabilità, consentendo il calcolo di X(0) per ciascun campione e ottenendo una distribuzione di probabilità per X(1). Il relatore osserva che, a differenza del metodo delle differenze finite, la simulazione Monte Carlo può essere impiegata una volta fissato il moto browniano.
Il metodo dell'albero viene introdotto come un altro approccio di soluzione numerica per SDE, che prevede l'uso di semplici passeggiate aleatorie come approssimazioni per estrarre campioni dai moti browniani. Calcolando i valori delle funzioni su una distribuzione di probabilità, è possibile realizzare una distribuzione approssimativa del moto browniano. Il docente sottolinea l'importanza di scegliere una dimensione del passo appropriata (h) per bilanciare accuratezza e tempo di calcolo, poiché la qualità dell'approssimazione si deteriora con dimensioni del passo più piccole.
Durante la lezione, il docente e gli studenti si impegnano in discussioni sui metodi numerici per la risoluzione di SDE, con particolare attenzione ai metodi ad albero per le derivate dipendenti dal percorso. Viene citata anche l'equazione del calore, che modella la distribuzione del calore nel tempo in una barra infinita isolata. L'equazione del calore ha una soluzione in forma chiusa ed è ben compresa, fornendo preziose informazioni sulla risoluzione di SDE. Viene esplorata la sua relazione con la distribuzione normale, evidenziando come la distribuzione del calore corrisponda a una moltitudine di moti browniani simultanei.
Il video si conclude con il professore che riassume gli argomenti trattati e menziona che il progetto finale prevede lo svolgimento dei dettagli della risoluzione degli SDE. Il relatore indica inoltre che le prossime conferenze si concentreranno sulle applicazioni pratiche del materiale presentato finora, arricchendo ulteriormente la comprensione delle SDE negli scenari del mondo reale.
23. Copertura del credito Quanto
23. Copertura del credito Quanto
In questa conferenza completa, il professor Stefan Andreev, un rinomato esperto di Morgan Stanley, si tuffa nell'affascinante mondo del pricing e della copertura di strumenti finanziari complessi nei regni del cambio, dei tassi di interesse e del credito. Il focus principale della discussione è sul concetto di copertura del credito, che comporta la mitigazione dei rischi associati all'esposizione creditizia.
Il professor Andreev inizia spiegando il processo di replica del payoff di un prodotto finanziario complesso utilizzando i prezzi noti di altri strumenti e impiegando sofisticate tecniche matematiche per ricavare il prezzo del prodotto complesso. Sottolinea l'importanza di incorporare processi di salto, che sono fenomeni stocastici che catturano movimenti di prezzo improvvisi e significativi, per descrivere efficacemente il comportamento dei prezzi legati ai default sovrani nei mercati emergenti. Un esempio notevole esplorato è l'impatto della situazione di insolvenza greca sulla valuta Euro.
La conferenza approfondisce vari aspetti del prezzo teorico delle obbligazioni, considerando modelli matematici che facilitano la copertura contro le insolvenze e i contratti a termine in valuta estera (FX). Il modello di credito di base introdotto prevede l'utilizzo di processi di Poisson caratterizzati da un tasso di intensità, indicato come 'h', e un termine compensatore per ottenere una condizione costante di non arbitraggio. Questo modello fornisce un quadro per analizzare e valutare le obbligazioni tenendo conto dei rischi di credito.
Il video approfondisce anche la strategia Quanto Credit Hedging, che prevede l'utilizzo di un portafoglio composto da obbligazioni sia in dollari che in euro per coprire il rischio di credito. La valutazione di queste obbligazioni si basa su fattori quali il tasso di cambio e il payoff atteso. La strategia richiede un ribilanciamento dinamico con il passare del tempo a causa dei cambiamenti nella probabilità di insolvenza e delle dimensioni dei salti. Inoltre, la conferenza esplora l'estensione del modello per incorporare recuperi diversi da zero, che migliora le capacità di determinazione del prezzo e di copertura per contratti contingenti di credito e credit default swap denominati in valute estere.
Il relatore riconosce le complessità che sorgono quando si utilizza il lemma di Ito, uno strumento matematico per gestire equazioni differenziali stocastiche, in particolare in scenari che coinvolgono sia processi diffusivi che salti. Le simulazioni Monte Carlo sono suggerite come mezzo per verificare l'accuratezza dei risultati derivati. I modelli della vita reale sono noti per essere più complessi, spesso incorporando tassi di interesse stocastici e tassi di rischio che possono essere correlati con altri fattori come il FX. La conferenza evidenzia l'esistenza di un'ampia gamma di modelli progettati per vari mercati, con la complessità e la velocità richiesta che ne determinano l'idoneità.
Viene discussa la stima dei tassi di rischio (h) e delle dimensioni dei salti (J), con il relatore che spiega come i prezzi delle obbligazioni possono essere utilizzati per stimare questi parametri. Vengono esplorate le stime di recupero dal default, con convenzioni che in genere fissano tassi fissi al 25% per le nazioni sovrane e al 40% per le società. Tuttavia, i tassi di recupero possono variare in modo significativo a seconda delle circostanze specifiche. Gli investitori di solito formulano ipotesi sui tassi di recupero e la stima può essere influenzata da fattori macroeconomici. La conferenza si conclude affrontando la stima delle curve di rischio utilizzando i prezzi delle obbligazioni di riferimento e replicando i processi per stimare i prezzi in scenari che coinvolgono più valute.
Durante la conferenza, il professor Andreev fornisce numerosi esempi, equazioni e approfondimenti per approfondire la comprensione del pubblico della determinazione del prezzo e della copertura di prodotti finanziari complessi. Gli argomenti trattati spaziano dall'analisi statistica e le previsioni alla complessità di vari modelli matematici, fornendo in definitiva conoscenze preziose per le persone interessate a questo dominio.
Il professor Stefan Andreev introduce il concetto di determinazione del prezzo delle obbligazioni utilizzando modelli matematici e l'importanza della copertura contro le insolvenze e le fluttuazioni dei cambi. Dimostra il processo attraverso esempi e sottolinea la necessità di una stima accurata dei tassi di rischio e dei tassi di recupero.
La conferenza esplora la strategia Quanto Credit Hedging, che prevede la costruzione di un portafoglio di obbligazioni in dollari ed euro per proteggersi dal rischio di credito. Il valore delle obbligazioni è determinato considerando il tasso di cambio e il payoff atteso. Il modello tiene conto della probabilità di insolvenza e della dimensione del salto, richiedendo un ribilanciamento dinamico del portafoglio con il passare del tempo.
Il video approfondisce la derivazione dei prezzi delle obbligazioni in dollari ed euro per la strategia Quanto Credit Hedging. L'oratore spiega i calcoli necessari per determinare la probabilità che tau sia maggiore di T o minore di T e il valore atteso di S_T. Analizzando i rapporti dei nozionali delle due obbligazioni, viene proposta una strategia di portafoglio con copertura.
Il relatore estende ulteriormente il modello di copertura del credito Quanto per incorporare recuperi diversi da zero. Questa estensione consente ai trader di prezzare contratti contingenti di credito e credit default swap denominati in valuta estera, fornendo rapporti di copertura più accurati. Sebbene la calibrazione diventi più impegnativa con il modello esteso, il professor Andreev ne sottolinea l'importanza nella comprensione di modelli matematici complessi.
Il video discute anche delle complicazioni che sorgono quando si utilizza il lemma di Ito per spiegare sia i processi diffusivi che quelli di salto. Il relatore suggerisce di utilizzare simulazioni Monte Carlo per convalidare l'accuratezza dei risultati ottenuti dai calcoli. I modelli della vita reale sono riconosciuti come più complessi, spesso incorporando tassi di interesse stocastici e tassi di rischio correlati ad altri fattori come il cambio estero.
Inoltre, la conferenza sottolinea che le stime di recupero dal default variano e sono tipicamente fissate a convenzioni come il 25% per le nazioni sovrane e il 40% per le imprese. Tuttavia, questi valori non sono fissi e possono variare a seconda della società specifica. La stima dei tassi di recupero comporta la considerazione di fattori macroeconomici, sebbene rimanga un concetto soggettivo in cui gli investitori di solito si basano su ipotesi.
Per stimare i tassi di rischio (h) e J, il professor Andreev spiega l'uso dei prezzi delle obbligazioni. Prendendo obbligazioni di riferimento con prezzi noti, è possibile costruire curve di rischio. La replica di queste obbligazioni di riferimento aiuta a stimare il valore h per ogni prezzo dell'obbligazione. Quando sono coinvolte più valute, il processo diventa più complesso, richiedendo la replica di più processi per stimare i prezzi. Nel caso di obbligazioni paganti cedole, devono essere considerati tutti i pagamenti cedolari e calcolata la loro aspettativa.
Nel complesso, la conferenza del professor Stefan Andreev fornisce preziose informazioni sulla determinazione dei prezzi e la copertura di prodotti complessi in valuta estera, tassi di interesse e credito. Attraverso spiegazioni dettagliate, esempi e modelli matematici, fa luce sulle complessità della copertura del credito, del prezzo delle obbligazioni e della stima dei tassi di rischio e dei recuperi.
24. Modello HJM per i tassi di interesse e il credito
24. Modello HJM per i tassi di interesse e il credito
In questa sezione, Denis Gorokhov, un esperto finanziario di Morgan Stanley, discute il modello HJM (Heath-Jarrow-Morton) e la sua applicazione nella determinazione del prezzo e nella copertura di prodotti finanziari esotici, inclusi derivati di credito e ratei a doppia gamma. Il modello HJM è un potente framework utilizzato dalle principali banche come Morgan Stanley e Goldman Sachs per scambiare vari tipi di derivati esotici in modo efficiente e soddisfare le richieste dei clienti.
Gorokhov confronta il modello HJM con la fisica teorica, sottolineando che offre sia modelli risolvibili che problemi complessi. Consente alle banche di prezzare numericamente con precisione un'ampia gamma di derivati esotici. Sottolinea la volatilità e la casualità dei mercati e il modo in cui possono avere un impatto sui trader di derivati che richiedono strategie di copertura efficaci.
La conferenza introduce il concetto di avviare un modello di prezzo derivato da un processo stocastico e utilizza la dinamica log-normale come modello fondamentale per i movimenti dei prezzi delle azioni. Il modello incorpora una componente deterministica chiamata deriva e una componente casuale chiamata diffusione, che cattura l'impatto della casualità sui prezzi delle azioni. Utilizzando questo modello, è possibile derivare la formula di Black-Scholes, che consente il calcolo della distribuzione di probabilità per il titolo in un dato momento e consente il prezzo dei derivati con un payoff dipendente dal prezzo del titolo.
Il modello HJM viene quindi discusso specificamente nel contesto dei tassi di interesse e del credito. Il docente spiega la dinamica dei tassi di interesse come un processo log-normale, assicurando che i prezzi delle azioni non possano essere negativi. Viene introdotto il lemma di Ito, una pietra miliare della teoria del prezzo dei derivati nel modello HJM, e viene spiegata la sua derivazione. Il lemma di Ito aiuta a differenziare la funzione di una variabile stocastica, facilitando la modellazione e il prezzo dei derivati.
La funzione di Green dell'equazione utilizzata nel modello HJM è evidenziata come simile alla funzione di distribuzione di probabilità per i prezzi delle azioni. Nello spazio neutrale al rischio, dove la deriva di tutte le attività è il tasso di interesse, la copertura dinamica diventa cruciale, con solo il parametro della volatilità che influenza il prezzo delle opzioni. Le simulazioni Monte Carlo vengono impiegate per simulare i prezzi delle azioni e altre variabili finanziarie, consentendo il calcolo dei prezzi dei derivati. Questo metodo di simulazione è un potente strumento che si applica a vari campi della finanza.
La conferenza approfondisce anche il concetto di fattori di sconto e il loro significato in finanza. Vengono spiegati i tassi a termine, che servono come comoda parametrizzazione per i fattori di sconto non crescenti. Viene discussa la curva dei rendimenti, che rappresenta la relazione tra le diverse scadenze ei relativi tassi di interesse. In genere, la curva dei rendimenti è inclinata verso l'alto, indicando tassi di interesse più elevati per prestiti a lungo termine.
Il mercato degli swap viene introdotto come fornitore di valori di pagamento fissi per diverse scadenze. Sommando questi pagamenti, è possibile determinare il tasso swap. Questo tasso aiuta a comprendere il valore attuale dei pagamenti futuri o il valore dell'investimento oggi per coprire i futuri pagamenti a tasso fisso.
In conclusione, la conferenza sottolinea l'importanza di un prezzo neutrale al rischio nella valutazione del valore di derivati e titoli esotici emessi da grandi banche. Sottolinea il ruolo del modello HJM, le simulazioni Monte Carlo e la comprensione dei tassi di interesse, del credito e dei fattori di sconto nella determinazione del prezzo e nella copertura di questi complessi strumenti finanziari.
25. Teorema del recupero di Ross
25. Teorema del recupero di Ross
In questo video, Peter Carr approfondisce il teorema del recupero di Ross e la sua applicazione per estrarre le credenze di mercato dai prezzi di mercato. Il teorema introduce tre misure di probabilità: fisica, neutrale al rischio e la nuova misura di probabilità recuperata. Tali misure consentono di identificare le probabilità naturali associate ad eventi futuri sulla base dei prezzi di mercato dei derivati.
Carr inizia spiegando il concetto di titoli Arrow-Debreu, che sono opzioni digitali che pagano in base a un livello di prezzo predeterminato di un'attività sottostante. Approfondisce la stima dei prezzi di questi titoli e opzioni binarie. L'attenzione si sposta quindi sul cambio della tecnica del numerario in un ambiente di diffusione univariata, che viene utilizzato per derivare risultati basati sul teorema di recupero di Ross.
Il relatore sottolinea le ipotesi che facilitano l'estrazione delle credenze di mercato dai prezzi di mercato. Sottolinea il successo di Ross nell'identificare queste convinzioni senza fare affidamento su ulteriori ipotesi, mettendo in mostra il potere del teorema del recupero. Esplorando il concetto di portafogli numerici, Carr spiega la relazione tra il portafoglio ottimale di crescita e il tasso di crescita del mondo reale.
Il video discute ulteriormente il criterio di Kelly, le opzioni esotiche e vanigliate e la connessione tra le opzioni digitali e le convinzioni del mercato. Tocca le sfide affrontate nell'estendere la teoria a spazi statali illimitati e le varie ipotesi fatte durante la discussione.
Carr conclude esaminando in dettaglio il teorema del recupero di Ross, sottolineando il suo approccio non parametrico per determinare le convinzioni del mercato senza richiedere parametri specifici per l'avversione al rischio di mercato. Sottolinea la capacità di Ross di estrarre le convinzioni del mercato dai prezzi di mercato senza invocare ipotesi sugli investitori rappresentativi o sulle loro funzioni di utilità.
Nel complesso, questo video fornisce un'esplorazione completa del teorema del recupero di Ross, delle sue applicazioni e dei presupposti alla base della sua metodologia. Le spiegazioni di Carr offrono preziose informazioni sulla teoria e sulle sue implicazioni pratiche nell'estrarre le convinzioni del mercato dai prezzi di mercato.
26. Introduzione al rischio di credito di controparte
26. Introduzione al rischio di credito di controparte
Questo video completo fornisce un'analisi approfondita del rischio di credito di controparte (CCR) e dell'aggiustamento del valore del credito (CVA) e del loro significato nella determinazione del prezzo dei derivati. Il relatore sottolinea l'inclusione del CVA nel prezzo dei derivati, poiché non solo influisce sui valori mark-to-market, ma introduce anche un effetto portafoglio che varia in base al rischio di insolvenza. Viene sottolineata l'accuratezza del prezzo del CVA, con particolare attenzione agli effetti di portafoglio non lineari e alle complessità derivanti dalle asimmetrie nei crediti e nei debiti. Le strategie per la gestione del CCR, come la collateralizzazione e la modellazione dei derivati a livello aziendale, sono discusse come mezzi per affrontare rischi aggiuntivi non rilevati dai modelli a livello commerciale. Il video tocca anche le sfide nella modellizzazione dei portafogli a causa dei diversi requisiti metodologici e dell'impatto del CCR sul mercato cash.
Per approfondire ulteriormente il contenuto, il video presenta una serie di argomenti relativi alla modellazione del rischio di credito di controparte. Questi includono il modello di Schönbucher, il test della martingala, il ricampionamento e l'interpolazione, evidenziando la necessità di modelli a livello aziendale per gestire effetti di portafoglio non lineari e integrare i modelli a livello commerciale. L'oratore approfondisce la ricerca della misura della martingala di un CDS par coupon o forward CDS par rate, nonché l'importanza del test della martingala, del ricampionamento e dell'interpolazione per garantire che le condizioni della martingala siano soddisfatte. Viene esplorato il concetto di cambiare la misura di probabilità o il numerario per modellare in modo coerente l'intera curva dei rendimenti, accompagnato da formule pratiche e la loro implementazione. Il video si conclude riconoscendo la complessità della modellazione di un portafoglio di operazioni e suggerendo potenziali argomenti di ricerca per ulteriori studi.
Inoltre, il video affronta l'importanza del CCR nel trading di derivati over-the-counter, sottolineando che gli eventi di default possono comportare la perdita dei crediti previsti. Il CVA viene introdotto come mezzo per adeguare il prezzo mark-to-market considerando il rischio di credito della controparte, simile al rischio di un'obbligazione societaria. Viene discusso l'impatto del CCR sui requisiti patrimoniali, sulla valutazione e sul rendimento del capitale proprio, insieme a un esempio che mostra come la valutazione di un'operazione può trasformarsi da guadagni apparenti a perdite quando la controparte fallisce. Vengono esaminate varie categorie di rischio, come il rischio di tasso di interesse e il rischio di finanziamento della liquidità, e vengono evidenziate le strategie per la gestione del CCR, come CVA e CV Trading.
Inoltre, il video presenta il concetto di CVA di responsabilità, che si concentra sul lato pagabile e sulla probabilità di inadempienza da parte della banca o dell'esperto. Sottolinea l'importanza di valutare accuratamente il CVA comprendendo tutte le operazioni coinvolte, inclusi i loro guadagni non lineari simili a opzioni. Le sfide poste dal rischio di credito della controparte e dal rischio di finanziamento della liquidità sono esemplificate attraverso lo scenario della vendita di put, con l'operazione di Warren Buffett che funge da caso di studio. Il video discute anche della gestione del CCR, esplorando l'uso di note legate al credito e l'impatto sugli spread di credito e sull'emissione di obbligazioni. Inoltre, approfondisce le difficoltà associate alla modellazione del rischio di credito di controparte e le implicazioni per il mercato a pronti, evidenziando la collateralizzazione come alternativa e suggerendo l'acquisto di protezione del credito garantita dagli intermediari come possibile strategia. La modellizzazione dei derivati a livello aziendale è sottolineata come un aspetto cruciale della comprensione del rischio di credito della controparte.
Inoltre, vengono discussi i limiti dei modelli di derivati a livello commerciale, sottolineando la necessità che i modelli a livello aziendale catturino rischi aggiuntivi, come i rischi di portafoglio non lineari. Vengono spiegate le complessità coinvolte nella modellazione dei portafogli, comprese le variazioni nei requisiti della metodologia per ogni operazione. La simulazione, il test della martingala e il ricampionamento vengono introdotti come tecniche per affrontare le imprecisioni numeriche e garantire che le condizioni della martingala siano soddisfatte. L'oratore esplora anche i tassi di swap a termine, i tassi di cambio a termine e la loro relazione con le martingale sotto misure specifiche e attività di numerario. Viene presentato il modello di Schönbucher, incentrato sulle misure di sopravvivenza, sulle misure della martingala e sulla complessità di trovare la misura della martingala di un CDS par coupon o forward CDS par rate. Il video spiega come viene definita la misura della probabilità di sopravvivenza utilizzando la derivata Radon-Nikodym ed evidenzia la necessità di considerare separatamente l'impatto del default nel modello.
Inoltre, il relatore approfondisce il test della martingala, il ricampionamento e l'interpolazione per la modellazione del rischio di credito della controparte. Il test Martingale comporta la garanzia che le approssimazioni numeriche soddisfino le condizioni della formula del modello. In caso di discrepanze, viene utilizzato il ricampionamento della martingala per correggere questi errori. L'interpolazione della martingala, d'altra parte, viene utilizzata quando il modello richiede una struttura dei termini che non è esplicitamente disponibile, consentendo l'interpolazione mantenendo le relazioni della martingala. Il relatore fornisce approfondimenti sul processo di interpolazione e ricampionamento per soddisfare le condizioni della martingala per ogni punto della struttura dei termini.
Il video sottolinea l'importanza delle variabili indipendenti appropriate per l'interpolazione, in quanto garantisce che la quantità interpolata soddisfi automaticamente tutte le condizioni del bersaglio della martingala. Viene spiegata l'identificazione della misura martingala, con il LIBOR forward che funge da martingala nella sua misura forward. Il relatore sottolinea l'importanza di cambiare la misura di probabilità o il numerario per modellare in modo coerente l'intera curva dei rendimenti, ottenuto attraverso un semplice cambio di numerario.
Inoltre, l'importanza dei modelli a livello aziendale è evidenziata nella gestione degli effetti di portafoglio non lineari e nell'utilizzo di modelli a livello commerciale per il test, il ricampionamento e l'interpolazione della martingala. Questi modelli sono fondamentali per gestire efficacemente il rischio di credito di controparte, nonché i rischi relativi al finanziamento della liquidità e del capitale. L'oratore riconosce i limiti di tempo, ma rimanda gli spettatori interessati a pagina 22 delle diapositive per un ulteriore esempio. I professori concludono la conferenza esprimendo il loro apprezzamento per la dedizione e il duro lavoro degli studenti durante tutto il corso, offrendo se stessi come risorsa per future indagini. Annunciano inoltre che la lezione verrà ripetuta nel prossimo autunno, con potenziali modifiche e miglioramenti, incoraggiando gli studenti a visitare il sito web del corso per ulteriori informazioni.
Nel complesso, questo video completo fornisce un'analisi dettagliata del rischio di credito della controparte e del suo impatto sulla determinazione del prezzo dei derivati. Copre concetti chiave come CCR, CVA, modelli a livello aziendale, test martingala, ricampionamento e interpolazione. Il video offre esempi pratici e approfondimenti sulla gestione del rischio di credito della controparte, sottolineando l'importanza di prezzi accurati e affrontando rischi aggiuntivi oltre ai modelli a livello commerciale.