Задачки для тренировки мозгов так или иначе связанные с торговлей. Теорвер, теория игр и пр. - страница 2

Новый комментарий
 

Пусть вероятность А равна р, вероятность В равна q = 1-р.


м.о. исхода нечетной ставки:

МОнечА = р*1рупь + q*(-1)рупь = (2р-1)рупь.

Очевидно, если ставим вместо А на В, то МОнечВ = 2q-1 = 1-2р = - МОнечА.


м.о. исхода четной ставки:

р*2*МОнечА + (1-р)*4*МОнечВ =

= р*2*МОнечА - (1-р)*4*МОнечА =

= МОнечА*(р*2 - (1-р)*4) =

= (2р-1)(6р - 4)


Осталось сложить и поделить пополам:

1/2*(2р-1 + (6р-4)(2р-1)) =

= (2р-1)/2*(1+6р-4)) =

= (2р-1)/2*3*(2р-1)) =

= 3/2*(2р-1)^2 >= 0, ч. и тр. д.

 
Mathemat:

Пусть вероятность А равна р, вероятность В равна q = 1-р.


м.о. исхода нечетной ставки:

МОнечА = р*1рупь + q*(-1)рупь = (2р-1)рупь.

Очевидно, если ставим вместо А на В, то МОнечВ = 2q-1 = 1-2р = - МОнечА.


м.о. исхода четной ставки:

р*2*МОнечА + (1-р)*4*МОнечВ =

= р*2*МОнечА - (1-р)*4*МОнечА =

= МОнечА*(р*2 - (1-р)*4) =

= (2р-1)(6р - 4)


Осталось сложить и поделить пополам:

1/2*(2р-1 + (6р-4)(2р-1)) =

= (2р-1)/2*(1+6р-4)) =

= (2р-1)/2*3*(2р-1)) =

= 3/2*(2р-1)^2 >= 0, ч. и тр. д.



Что-то слишком мудреное.

Считаем проще, а именно по сериям событий:

Cерия AA выигрыш +3

Серия AB выигрыш -1

Серия BA выигрыш -5

Серия BB выигрыш +3

Пусть вероятность события А = p

Тогда серия АА выпадет с вероятностью p^2

Серия AB и серия BA c вероятностью p * (1 - p) = p - p^2

Серия BB c вероятностью (1 - 2)^2 = 1 - 2*p + p^2

Итого матожидание выигрышей: 3 * p^2 + 3 * (1 - 2*p + p^2) = 3 * (1 - 2 * p + 2 * p^2)

Итого матожидание проигрышей: (-5 - 1) * (p - p^2) = -6 * (p - p^2)

Cтроим неравенство, которое нужно доказать:

0 <= 3 * (1 - 2 *p + 2 * p^2) - 6 * (p - p^2)

6 * (p - p^2) <= 3 * (1 - 2 *p + 2 * p^2)

2 * (p - p^2) <= 1 - 2 * (p - p^2)

4 * (p - p^2) <= 1

p - p^2 <= 1 / 4


Осталось только доказать, что p - p^2 при любом значении p от 0 до 1 не может быть более 1/4. Это уже несложно. Т.к. при крайних значениях p = 0 и p = 1, p - p^2 = 0. А при значении p = 0.5 имеем экстремум, p - p^2 = 1/4 = 0.25

Следовательно, мы имеем дело с системой ставок у которой не бывает отрицательного матожидания. Т.е. при самом худшем исходе, мы остаемся при своих. В остальных случаях получаем профит.


Глядя на серии с учетом выигрышей и проигрышей, можно сделать вывод что система ставок трендовая, т.к. серии АА и BB дают профит, а серии AB и BA убытки.

 
Reshetov:

А никто не говорил, что система ставок беспросадочная. Она беспроигрышная по МО, т.е. при p(A) != 0.5 профит будет стремиться к росту. Но дисперсия может давать просадки.

для информации: забыл выключить скрипт с вчерашнего дня... как несколько часов в районе 1500-2000 руб. держится. Кол-во циклов боюсь представить.
 
sever30:

для информации: забыл выключить скрипт с вчерашнего дня... как несколько часов в районе 1500-2000 руб. держится. Кол-во циклов боюсь представить.


Лучше переписать алгоритм на какой нибудь язык, который компилируется в машинный код, например, на С или Java и в целочисленном выражении. Тогда сотни миллионов прогонов будут выполняться за несколько секунд. Вот пример на Java:

  private void test() {
    Random rand = new java.util.Random();
    int deposit = 0; // Начальный депозит
    for (int i = 0; i < 100000000; i++) {
      int number = 0;
      for (int j = 0; j < 2; j++) {
        number = number * 2;
       // Если сравнение с числом не равным 49,
       // то, вероятность не равна 0.5
       // и депозит будет расти
        if (rand.nextInt(100) > 49) {
          number++;
        }
      }
      if (number == 0) {
        deposit +=3;
      }
      if (number == 1) {
        deposit--;
      }
      if (number == 2) {
        deposit -= 5;
      }
      if (number == 3) {
        deposit +=3;
      }
    }
    System.out.println(deposit);
  }

А вот результаты для p(A) = 0.5

58264
-4496
7560
41640
62312
-23208
-11952
32124

Т.е. несмотря на то, что ПГСЧ мультипликативный с достаточно равномерным распределением, тем не менее количество профитных тестов слегка превышает количество убыточных по причине дисперсии.

А вот тесты, где сравнение с числом 50, т.е. p(A) = 0.51

143484
133556
101844
152840
76956
90296

Для p(A) = 0.49, т.е. сравнение с числом 48

100740
147924
80708
115648
128136
101544


Результаты примерно одинаковы, т.к. МО для p(А) = x равно MO для p(A) = 1 - x
 

Ладно, с частным случаем разобрались. Теперь вторая задача, а именно обобщенная формулировка:


Системы ставок с неотрицательным матожиданием


Пусть есть некие два взаимоисключающих события A и B с соответствующими вероятностями: p(A) = 1 - p(B).

Правила игры: если игрок делает ставку на некое событие и это самое событие выпадает, то его выигрыш равен ставке. Если событие не выпадает, то его проигрыш равен ставке.

Наш игрок делает ставки по следующей системе:

Первая или любая другая нечетная ставка всегда на событие А. Все нечетные ставки всегда равны по размеру, например, 1 рубль.

Вторая или любая другая четная ставка:

- Если предыдущая нечетная ставка выиграна, то следующая четная ставка увеличивается в х раз, где x больше нечетной ставки, и ставится на событие А
- Если предыдущая нечетная ставка проиграна, то следующая четная ставка увеличивается в y = f(x) раз и ставится на событие В

Задача: Найти функцию для y = f(x), так чтобы матожидание при любом p(А) в допустимом диапазоне от p(A) = 0 до p(A) = 1 было неотрицательным и чтобы соблюдалось условие, при котором матожидание для p(A) = x было равно матожиданию для p(A) = 1 - x.
 
Reshetov:

p - p^2 <= 1 / 4


Осталось только доказать, что p - p^2 при любом значении p от 0 до 1 не может быть более 1/4. Это уже несложно. Т.к. при крайних значениях p = 0 и p = 1, p - p^2 = 0. А при значении p = 0.5 имеем экстремум, p - p^2 = 1/4 = 0.25

Следовательно, мы имеем дело с системой ставок у которой не бывает отрицательного матожидания. Т.е. при самом худшем исходе, мы остаемся при своих. В остальных случаях получаем профит.


Глядя на серии с учетом выигрышей и проигрышей, можно сделать вывод что система ставок трендовая, т.к. серии АА и BB дают профит, а серии AB и BA убытки.

Непонятно в чём тут изюминка. При p = 0.5 мы имеем матожидание 0. А при отличном от 0.5 мы имеем постоянный тренд, на нём мы будем выигрывать при любой системе ставок, хоть с мартингейлом, хоть без. Если конечно правильно определим тренд :)
 
Reshetov:

Глядя на серии с учетом выигрышей и проигрышей, можно сделать вывод что система ставок трендовая, т.к. серии АА и BB дают профит, а серии AB и BA убытки.

Если события А и Б случайные с вероятностью 0.5 и независимые, то никакой манименеджмент не сделает систему прибыльной. Его эквити будет случайным блужданием. А так как у игрока по определению не может быть бесконечного капитала, то рано или поздно он обязательно сольёт всё что у него есть.
 
timbo:
Если события А и Б случайные с вероятностью 0.5 и независимые, то никакой манименеджмент не сделает систему прибыльной. Его эквити будет случайным блужданием. А так как у игрока по определению не может быть бесконечного капитала, то рано или поздно он обязательно сольёт всё что у него есть.


Ваше утверждение заведомо неверное. Учите матчасть - она рульная.


Правильно так:

Если события А и Б случайные с вероятностью 0.5 и независимые, то никакой манименеджмент не сделает систему ставок в игре в орлянку или аналогичную ей с матожиданием не равным 0. Его эквити будет случайным блужданием. А так как у игрока по определению не может быть бесконечного капитала, то рано или поздно он либо сольёт всё что у него есть с вероятностью 0.5, либо выиграет сумму капитала равную начальному, т.е. удвоит начальный капитал с такой же вероятностью 0.5 за приблизительное время x^2 сделанных ставок.

Соответственно МО = x * 0.5 - x * 0.5 = 0;

где: x - размер начального капитала / размер ставки

 
Reshetov:


Ваше утверждение заведомо неверное. Учите матчасть - она рульная.


Правильно так:

Если события А и Б случайные с вероятностью 0.5 и независимые, то никакой манименеджмент не сделает систему с матожиданием не равным 0. Его эквити будет случайным блужданием. А так как у игрока по определению не может быть бесконечного капитала, то рано или поздно он либо сольёт всё что у него есть с вероятностью 0.5, либо выиграет сумму капитала равную начальному, т.е. удвоит начальный капитал с такой же вероятностью 0.5.

Соответственно МО = 1 * 0.5 - 1 * 0.5 = 0

Решетов - ты патологический троешник. Это классика теории случайного блуждания. Матожидание 0 не спасает от слива. Игрок может заработать очень много, гораздо больше первоначального капитала, но если игра продолжается неограниченно долго, то он обязательно всё сольёт.
 
timbo:
Решетов - ты патологический троешник. Это классика теории случайного блуждания. Матожидание 0 не спасает от слива. Игрок может заработать очень много, гораздо больше первоначального капитала, но если игра продолжается неограниченно долго, то он обязательно всё сольёт.

За Вашу отсебятину даже кол с минусом - будет слишком высокая оценка по теорверу.


Ботаника в виде бесконечно долгой игры не канает. Наша жизнь ограничена по времени.

К тому же доказательство слива при ограниченном капитале игрока в орлянку есть только для случая, когда вероятность его выигрыша менее 0.5 и только в том случае, если игра ведется против игрока с бесконечным капиталом. В остальных случаях игрок с конечным капиталом может быть и сольет, а может быть и удвоиться, утроиться, учетвериться и т.д.


Учите матчасть - она рульная.
123456789...23
Новый комментарий