Matematica pura, fisica, logica (braingames.ru): giochi di cervello non legati al commercio - pagina 156
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E a proposito, bisogna specificare la distanza prima del cambio dell'ora o dopo? È un po' difficile misurare la distanza quando si chiede al processo "quando questa distanza cambia più velocemente".
Supponiamo che le mani si muovano continuamente, senza scatti. Questa è l'ipotesi più logica.
In qualche modo non posso farlo senza derivati.
Sembra davvero complicato. Intuitivamente sembra essere il punto in cui si sovrappongono. (Un'altra opzione è quando guardano in direzioni opposte.) Ma non è affatto ovvio.
Si consideri che le frecce si muovono in senso antiorario da un punto zero dove inizialmente coincidevano in direzione.
Orario: z1 = 36*exp(i*t) = 36*cos(t) + i*36*sin(t)
Minuto: z2 = 45*exp(i*12*t) = 45*cos(12*t) + i*45*sin(12*t)
La distanza tra le estremità (o meglio, il suo quadrato): L^2 = (36*cos(t) - 45*cos(12*t))^2 + (36*sin(t) - 45*sin(12*t))^2 =
= 36^2 + 45^2 - 2*36*45*(cos(t)*cos(12*t) + sin(t)*sin(12*t)) =
= 36^2 + 45^2 - 2*36*45*cos(11*t) = 3321 - 3240*cos(11*t)
Quindi L = (3321 - 3240*cos(11*t))^0.5. (***)
L' = 0,5*(3321 - 3240*cos(11*t))^(-0,5) * 11*3240*sin(11*t) -> max modulo.
Questo è tutto. Passo oltre, anche Wolfram non trova gli estremi onesti, lì è un'approssimazione.
= 36^2 + 45^2 - 2*36*45*cos(11*t) = 3321 - 3240*cos(11*t)
Pfft. Stavo risolvendo la stessa cosa io stesso, e tutto ha funzionato allo stesso modo. Ho guardato il forum e ho avuto la stessa idea :).
Sì, nemmeno io conosco la derivazione. Non ricordo come vengono calcolati. Non è davvero realistico calcolare la derivata da questa espressione. Ma perché? Ci deve essere una soluzione, ovviamente.
Sembra essere risolto.
Così otteniamo questa funzione di dipendenza
y = (3321-3240*cos(x))^(1/2), dove
y è la distanza tra le estremità in qualsiasi momento
x è l'angolo di deviazione tra le frecce [0 ; 2*Pi]
Da qui troviamo la derivata e indaghiamo per un estremo
y ' = 1/2*(3321-3240*cos(x))^(-1/2)*3240sin x = 0
sin x = 0
x1 = 0
x2 = pi
A 0 la velocità è massima, a pi è minima.
Quindi la velocità massima è a 0gr, il che significa che sarà nel punto in cui le frecce coincidono, come inizialmente supposto.
Questo sembra risolvere il problema, anche se se c'è qualcosa che non va ve lo farò sapere.
Quindi, velocità massima a 0g, il che significa che sarà nel punto in cui le frecce coincidono, come previsto in origine.
Questo sembra risolvere il problema, anche se se c'è qualcosa che non va, ve lo farò sapere.
Da qui, trovare la derivata e indagare fino all'estremo
y ' = 1/2*(3321-3240*cos(x))^(-1/2)*3240sin x = 0
No, non lo è. Posso trovare il derivato da solo.
Qui dobbiamo trovare il suo estremo, non lo zero. È lo zero della derivata seconda .
quando questa distanza cambia più rapidamente.
Cioè quando la velocità è al massimo.
Quindi, la velocità massima a 0g, il che significa che sarà nel momento in cui le frecce coincidono, come inizialmente assunto.
Questo sembra risolvere il problema, anche se se c'è qualcosa che non va, ve lo farò sapere.
Il metodo numerico dà valori completamente diversi).
Quando si inizia a mezzogiorno, la velocità massima tra le frecce è a 403 secondi e si ripete dopo 3927 secondi (il calcolo è preciso al secondo). Distanza 27 mm
Il metodo numerico dà valori completamente diversi).
Quando si inizia a mezzogiorno, la velocità massima tra le frecce è a 403 secondi e si ripete dopo 3927 secondi (il calcolo è preciso al secondo). Distanza 27 mm
Un'altra volta. Togliamo il moltiplicatore 81 ai numeri, che non risolve nulla, e il moltiplicatore di frequenza. Otteniamo la funzione
L(t) = (41-40*cos(t))^0.5
La funzione è periodica. Grafico:
Dobbiamo trovare i punti in cui L' è massimo in modulo (sul grafico vediamo che questi punti sono vicini ai minimi della funzione L, ma non sono sicuramente i suoi minimi; infatti sono punti di flesso del grafico).
In altre parole, dobbiamo scegliere tra gli zeri della derivata seconda L(t). Differenziare attentamente due volte - e otteniamo che gli zeri della derivata seconda sono i punti in cui cos(t) = 4/5. (Se ne hai bisogno, puoi differenziare la funzione L(t) due volte da solo).
La distanza (tenendo conto del moltiplicatore perso sqrt(81)) è
L(t) = 9*(41-40*4/5))^0.5 = 27 mm.
Potrei aver sbagliato da qualche parte, o non aver preso in considerazione qualcosa. Ma il risultato è sorprendentemente "razionale", indicando che la soluzione è probabilmente corretta.
P.S. Il primo tempo da zero (anche se non è necessario cercarlo) è qualcosa intorno a pi/5, cioè circa 6 minuti dopo l'inizio del movimento.
La risposta non si è rivelata affatto come quella che si supponeva "intuitivamente ovvia".
Ma il problema è davvero molto semplice, ma bisogna fare attenzione.
Vorrei poter trovare una soluzione senza la matematica superiore...