Основы статистики

Теория вероятности и статистика

Любая статистика - это результат изменения состояний объекта, ее порождающего. Рассмотрим валютный курс EURUSD по часовым таймфреймам:

В данном случае, объектом является отношение двух валют, а статистикой - их курс в каждый момент времени. Каким же образом соотношение двух валют влияют на свой курс? Почему в данный промежуток времени мы имеем именно такой график курса, а не другой. Почему в данный момент времени курс валют идет вниз, а не вверх? Ответом на эти вопросы является слово "вероятность". Каждый объект, в зависимости от вероятности, может принимать одно или другое значение.

Проведем простой эксперимент: возьмем монету, и будем подбрасывать ее определенное количество раз, каждый раз фиксируя результат выпадения. Предположим, что монета идеальна. Тогда для нее можно составить следующую таблицу:

Исходя из таблицы можно сделать вывод, что монета с одинаковой вероятностью может упасть вверх либо "орлом", либо "решкой". Другие исходы здесь невозможны (заранее исключили вариант ребро), так как сумма вероятностей всех возможных событий должна равняться единице.

Подбросим монету 10 раз. Рассмотрим результаты выпадений:

Почему так получилось, ведь вероятность выпадения у сторон одинаковая? Вероятность выпасть вверх у сторон монеты действительно одинаковая, но это не означает, что после определенного количества испытаний монета должна упасть ровно половину раз на одну сторону, и половину на другую. Вероятность лишь показывает, что в данном одном испытании (подбрасывании) монета упадет вверх либо "орлом", либо "решкой", и шансы этих двух событий одинаковы.

Теперь подбросим монету 100 раз. Получим новую таблицу исходов:

Как видно, количество исходов так же не равны. Однако, 53 и 47 - это тот результат, который подтверждает изначальные предположения о вероятности. Почти половину раз монета упала "орлом", и половину "решкой".

Теперь проделаем обратную работу. Пусть есть монета, у которой неизвестны вероятности выпадений сторон. Нужно определить, является ли она идеальной, т.е. имеет одинаковые вероятности для выпадения сторон.

Возьмем данные из первого опыта. Поделим количество исходов для сторон на полное количество исходов. Получим вероятности:

Как видно, из первого опыта очень тяжело сделать вывод, что монета идеальна. Проделаем то же для второго опыта:

А для этих результатов, с высокой степенью точности, можно говорить, что монета действительно идеальна.

На этом простом примере, можно сделать важный вывод: с ростом количества испытаний, статистика более точно отражает свойства объекта ее порождающего.

Таким образом, статистика и вероятность сильно переплетаются. Статистика является результатом испытаний над объектом, и напрямую зависит от вероятности состояний этого объекта. В свою очередь, с помощью статистики можно оценить вероятности состояний объекта. Именно здесь возникает главная задача трейдера: зная данные о торгах за определенный промежуток времени (статистику), спрогнозировать поведение цен(курса) на следующий период времени (получить вероятность), и на основании этого принять решение о покупке или продаже.

Поэтому, вернувшись к введению, важно так же знать и понимать взаимосвязь между статистикой и вероятностью, а также иметь знания по оценке рисков и рисковых ситуаций, но это уже не относится к теме данной статьи.

Рассмотрим теперь базовые статистические параметры. Предположим, что имеются данные о росте в сантиметрах 10 человек в некоторой группе:

Данные в таблице называются выборкой, а их количество - объемом выборки. Рассмотрим некоторые параметры этой выборки. Все параметры будут являться выборочными, так как они получаются из данных выборки, а не из данных о случайной величине.

1. Выборочное математическое ожидание

Выборочное математическое ожидание показывает среднее значение выборки. В данном случае - это средний рост члена группы.

Для вычисления математического ожидания, нужно:

1. Просуммировать все значения выборки.
2. Полученное поделить на ее объем. 

Формула: 

 Где:

• M - выборочное математическое ожидание,
• a[i] - элемент выборки,
• n - объем выборки.

Рассчитав значение выборочного мат. ожидания, получаем  174.5 см.

2. Выборочная дисперсия

Выборочная дисперсия показывает насколько значения выборки отдалены от ее математического ожидания. Чем значение больше, тем данные более разбросаны.

Для вычисления дисперсии, нужно:

1. Вычислить математическое ожидание выборки.
2. От каждого  элемента выборки вычесть мат. ожидание и возвести разность в квадрат.
3. Просуммировать все полученные выше значения.
4. Поделить сумму на объем выборки минус 1.

Формула:  

Где: 

• D - выборочная дисперсия,
• M - выборочное математическое ожидание,
• a[i] - элемент выборки,
• n - объем выборки.

Для данной выборки значение дисперсии равно: 113.611.

Как видно на рисунке, 3 значения  далеко отстоят от мат. ожидания, что и приводит к большому значению дисперсии.

3. Выборочная асимметрия

 Выборочная асимметрия показывает, насколько значения выборки асимметричны относительно ее мат. ожидания. Чем ближе значение к нулю, тем значения выборки симметричней.

Для вычисления асимметрии, нужно:

1. Вычислить математическое ожидание выборки.
2. Вычислить дисперсию выборки.
3. Просуммировать кубы разности каждого элемента и мат. ожидания.
4. Полученное поделить на значение дисперсии в степени 2/3.
5. Полученное домножить на коэффициент, равный объему выборки, деленному на произведение объема выборки минус 1 и объема выборки минус 2.

Формула:  

Где: 

• A - выборочная асимметрия, 
• D - выборочная дисперсия,
• M - выборочное математическое ожидание,
• a[i] - элемент выборки,
• n - объем выборки.

Для данной выборки получаем достаточно малое значение асимметрии: 0.372981. Это вызвано тем, что далекие значения, компенсируют друг друга.

Для асимметричной выборки значение будет больше. Например для следующих данных значение будет равняться: 1.384651.

4. Выборочный эксцесс

Выборочный эксцесс показывает меру остроты пика выборки.

Для вычисление эксцесса, нужно:

1. Вычислить математическое ожидание выборки.
2. Вычислить дисперсию выборки.
3. Просуммировать четвертые степени разности каждого элемента и мат. ожидания.
4. Поделить полученное на квадрат дисперсии.
5. Полученное домножить на коэффициент, равный произведению объема выборки на объем выборки плюс 1, деленного на произведение объема выборки минус 1, объема выборки минус 2 и объема выборки минус 3.
6. Вычесть из полученного произведение 3-ех и объема выборки минус 1 в квадрате, деленного на произведение объема выборки минус 1 и объема выборки минус 2.

Формула:  

Где: 

• E - выборочный эксцесс,
• D - выборочная дисперсия,
• M - выборочное математическое ожидание,
• a[i] - элемент выборки,
• n - объем выборки.

Для данных о росте получаем значение: -0.1442285.

Для данных с острым пиком получаем большее значение: 10.

5. Выборочная ковариация

Выборочная  ковариация - это величина, показывающая степень линейной зависимости между двумя выборками данных. Между линейно независимыми данными ковариация будет равняться 0.

Для демонстрации этого параметра, дополнительно введем данные о весе каждого из 10 человек:

Для  вычисления ковариации двух выборок, нужно:

1. Вычислить математическое ожидание первой выборки.
2. Вычислить математическое ожидание второй выборки.
3. Просуммировать все произведения двух разностей: первая - элемент первой выборки минус мат. ожидание первой выборки; вторая -  элемент второй выборки (соответствующий элементу первой выборки) минус мат. ожидание второй выборки.
4. Полученное поделить на объем выборки минус 1.

Формула:  

Где: 

• Cov - выборочная ковариация,
• a[i] - элемент первой выборки,
• b[i] - элемент первой выборки, 
• M1 - выборочное математическое ожидание первой выборки, 
• M2 - выборочное математическое ожидание второй выборки, 
• n - объем выборки. 

Рассчитаем значение ковариации для двух выборок: 91.2778. Зависимость есть, покажем это на совмещенном графике:

Как видно (как правило) увеличению роста соответствует уменьшение веса и наоборот.

 6. Выборочная корреляция

Выборочная коррелляция так же показывает степень линейной зависимости между двумя выборками, но ее значение всегда колеблется от -1 до 1.

Для вычисления корреляции двух выборок, нужно:

1. Вычислить дисперсию первой выборки.
2. Вычислить дисперсию второй выборки.
3. Вычислить ковариацию этих выборок.
4. Ковариацию поделить на корень из произведения дисперсий.

Формула: 

Где: 

• Corr - выборочная корреляция,
• Cov - выборочная ковариация,
• D1 - выборочная дисперсия первой выборки, 
• D2 -  выборочная дисперсия  второй выборки,  

Для данных о росте и весе, значение корреляции будет равняться 0.579098.

Как используется статистика для торговли

Самым простым примером использования статистических параметров в торговле является индикатор MovingAverage или скользящее среднее. При его расчете используются данные за определенный период, и считается среднее арифметическое значение цены:

Где: 

• MA - значение индикатора,
• P[i] - цена,
• n - период измерения MA

Рассмотрим реализацию базовых статистических параметров, изложенных выше, в MQL5. Эти статистические методы, описанные выше (и не только), реализованы в пакете Статистические функции statistics.mqh. Рассмотрим их код.

1. Выборочное математическое ожидание

 Функция пакета, вычисляющая выборочное мат. ожидание, называется Average:

На вход функции подается выборка с данными. На выходе имеем мат. ожидание.

2. Выборочная дисперсия

Функция пакета, вычисляющая выборочную дисперсию, называется Variance:

 На вход функции подается выборка с данными и ее мат. ожидание. На выходе имеем дисперсию.

3. Выборочная асимметрия

Функция пакета, вычисляющая выборочную асимметрию, называется Asymmetry:

 На вход функции подается выборка с данными, ее мат. ожидание и дисперсия. На выходе имеем асимметрию.

4. Выборочный эксцесс

Функция пакета, вычисляющая выборочный эксцесс, называется Excess (Excess2):

На вход функции подается выборка с данными, ее мат. ожидание и дисперсия. На выходе имеем эксцесс.

5. Выборочная ковариация

Функция пакета, вычисляющая выборочную ковариацию, называется Cov: 

На вход функции подаются две выборки с данными и их мат. ожидания. На выходе имеем ковариацию.

6. Выборочная корреляция

Функция пакета, вычисляющая выборочную корреляцию, называется Corr: 

На вход функции подается ковариация двух выборок, дисперсия первой выборки и дисперсия второй выборки. На выходе имеем корреляцию.

#include <Statistics.mqh>
//+------------------------------------------------------------------+
//| Script program start function                                    |
//+------------------------------------------------------------------+
void OnStart()
  {
//--- зададим две выборки значений.
   double arrX[10]={173,162,194,181,186,159,173,178,168,171};
   double arrY[10]={65,70,83,60,105,58,69,90,78,65};
//--- вычислим математическое ожидание
   double mx=Average(arrX);
   double my=Average(arrY);
//--- для вычисления дисперсии используем значение мат. ожидания
   double dx=Variance(arrX,mx);
   double dy=Variance(arrY,my);
//--- значения асимметрии и эксцесс
   double as=Asymmetry(arrX,mx,dx);
   double exc=Excess(arrX,mx,dx);
//--- значения ковариации и корреляции
   double cov=Cov(arrX,arrY,mx,my);
   double corr=Corr(cov,dx,dy);
//--- вывод результатов в log файл
   PrintFormat("mx=%.6e",mx);
   PrintFormat("dx=%.6e",dx);
   PrintFormat("as=%.6e",as);
   PrintFormat("exc=%.6e",exc);
   PrintFormat("cov=%.6e",cov);
   PrintFormat("corr=%.6e",corr);
  }

После выполнения скрипта терминал выдаст следующие результаты:

Пакет содержит также множество других функций, описание которых находится в CodeBase - https://www.mql5.com/ru/code/866.

Небольшие выводы были уже сделаны в конце пункта "Теория вероятности и статистика". Вдобавок к этому хотелось бы сказать, что изучать статистику, как и любую другую науку, нужно с самых азов. Даже благодаря ее базовым элементам можно упрощать понимание многих сложных вещей, механизмов, закономерностей, что в конечном итоге является крайне необходимым в работе трейдера.