Начну с игры в орлянку. Перепишу её в наших терминах, но суть останется прежней. Есть два игрока, обозначенных через T − трейдер и D − ДЦ. У каждого из них есть две стратегии: up и dn, обозначающие соответственно движение цены вверх или вниз на какое-то фиксированное значение. Такой способ дискретизации цены похож на тот, что используется при построении графиков рэнко или крестики-нолики. ДЦ и трейдер, одновременно и независимо друг от друга, выбирают направление и если их выбор совпадает, то выигрывает трейдер, а ДЦ проигрывает и наоборот − в случае несовпадения их выбора. Выигрыш и проигрыш полагаем равными единице. Матричное представление игры:
| Игроки | игрок D, стратегия up | игрок D, стратегия dn |
| игрок T, стратегия up | 1, -1 | -1, 1 |
| игрок T, стратегия dn | -1, 1 | 1, -1 |
Игра не имеет седловой точки и потому не имеет решения в чистых стратегиях. Перейдём к смешанным стратегиям. Это весьма важный момент в теории игр. С абстрактной математической точки зрения этот переход прост и логичен, но ему довольно трудно бывает придать реальный смысл. Обычно используется подход при котором так или иначе рассматривается многократное повторение игры (все игры при этом не зависимы друг от друга). Наиболее простой вариант для нас − считать что игра происходит много раз одна за другой, но при этом результаты предыдущих игр никак не влияют на последующие.
В смешанных стратегиях игра имеет очевидное решение (равновесие Нэша), при котором у обоих игроков их стратегии взяты с вероятностями 1/2. При этом, выигрыши обоих игроков равны нулю. Если кто-то из игроков отклонится от равновесной стратегии, то другой игрок сможет найти и использовать такую стратегию, которая принесёт ему положительную прибыль.
Таким образом, в соответствии с данной моделью, цена будет себя вести как симметричное случайное блуждание («честная монетка»). Но главное здесь не вывод (имеющий мало смысла), а демонстрация подхода, при котором вместо «плохой» игровой неопределённости рассматривается «хорошая» вероятностная неопределённость. Этот переход возможен только потому, что мы выдвигаем какие-то предположения об игроках. В данном конкретном случае, например, мы полагаем что все игроки рациональны и что им известна рациональность их противников, а также известно, что их собственная рациональность известна противникам и т.д. Очевидно, что это предположение не может полностью выполняться для реальных людей.
Естественным развитием этой модели будет следующая − если мы говорим о последовательности игр, то разумно всё же считать, что на выбор стратегии будут влиять результаты предыдущих игр. Это нас приводит в гораздо менее элементарную область теории игр − повторяющиеся игры. По сути, на основе имеющейся игры строится новая игра. Сложность уже в том, что число чистых стратегий в новой игре огромно и сильно растёт с числом повторений. Математически выражаясь, эти стратегии являются отображениями из множества возможных исходов проведённых игр в множество стратегий исходной игры (в нашем случае их две). Если не ошибаюсь, то уже в случае повторяющейся игры длины два число стратегий для каждого игрока будет равно 64.
Не буду углубляться в рассмотрение этой модели как по причине её сложности, так и по той причине, что в ней игроки (трейдер и ДЦ) равноправны. Очевидно, это допущение − очень грубое отклонение от реальности. Приведу возможный вариант модели, в которой это может быть исправлено.
Рассмотрим простую модель, в которой трейдеры играют друг с другом, а ДЦ не участник игры а, скорее, её ведущий. Воспользуемся моделью так называемой «игры меньшинства» (minority game). Это понятие возникло на основе задачи бара Эль-Фароль. В этой игре выигрывает тот, чей выбор разделяет меньшинство игроков, откуда и пошло общее название игр. Результат игры не определяется напрямую результатами предыдущих игр, но у игроков нет никакой другой информации и любой из них знает, что остальные игроки находятся в таком же положении. Поэтому можно сказать, что игроки принимают решения опираясь на историю только постольку, поскольку полагают, что то же самое делают и другие игроки. Таким образом, история хоть и косвенно (через её учёт игроками) в некоторой степени определяет результаты последующих игр. Но, как только некая стратегия оказывается выигрышной, то её находят и использует всё большее количество игроков (то что нашли одни, вполне могут найти и другие) и когда этих людей станет большинство, то стратегия станет проигрышной.
Более подробно − можно почитать в статье создателей данной модели.
